广义积分敛散性分析_唐廷载
广义积分敛散性的判别
比较判别法
比较判别法是一种通过比较被积函数与已知收敛或发散的函数来判定广义积分敛散性的方法。如果被 积函数小于已知收敛的函数，则该广义积分收敛；如果被积函数大于已知发散的函数，则该广义积分 发散。
应用比较判别法时，需要选择合适的已知函数作为比较对象，以便准确判断被积函数的敛散性。
拉贝判别法
拉贝判别法是一种通过判断被积函数 的单调性和无界性来判定广义积分敛 散性的方法。如果被积函数在积分区 间上单调递减且无界，则该广义积分 收敛；如果被积函数在积分区间上单 调递增或无界，则该广义积分发散。
VS
应用拉贝判别法时，需要准确判断被 积函数的单调性和无界性，以便准确 判断该广义积分的敛散性。
06
广义积分的计算方法
分部积分法
总结词
分部积分法是一种通过将积分拆分为两个或 更多部分来简化积分的方法。
详细描述
分部积分法是将一个积分转换为两个或更多 个积分的和或差，以便更容易地计算每个积 分。这种方法通常用于处理难以直接积分的 函数。
柯西准则
如果存在某个正数$T$，使得在区间$(-infty, T]$和$[T, +infty)$上，函数$f(x)$均收敛，则函数$f(x)$的广义积 分收敛。
04
广义积分的应用
在物理中的应用
描述连续介质性质
01
广义积分可以用来描述连续介质在时间和空间上的性质，例如
温度分布、电荷密度等。
解决物理问题
换元积分法
总结词
换元积分法是一种通过引入新的变量来简化积分的方法。
详细描述
换元积分法是通过引入新的变量来简化积分的计算。这种方法通常用于处理具有复杂或 难以处理的边界条件的积分。通过引入新的变量，可以将原始积分转换为更易于处理的
广义积分敛散性分析_唐廷载
的还是发散的,数P的选取就带有一定的盲目性,常常出现不是把P选大了就是把P
选小了,因而不能判定的情况.究其原因,就是没有对被积函数厂(x)在x”+co或x、
b一0时的数量级进行必要的估计、分析,或者不一明确厂(x)的数量级同广义积分敛散性
阶数不高于从。<、<l)}。,,、}。,}。n,、汗。).,‘.,占沪}名声喃伪、}‘U,孟,口二‘{,人J)、
一
竺型噜生一一一一一一一{‘{{--—非无穷小量的正有界量{(氏1〕{发散{(o、1)1收敛阶数不高于;(。<;<l){,八、,、_,’庵。}。。,、一卜护豪器劣吴童尸、“一尸一“…‘”,‘’“’博散{〔气‘’准歇
唐拜载
1。问题的提出
在〔l〕第331一332页和第338页上,分别给出了两个极限形式的比较判别法:
I、设在〔a,+co)上厂(x)》0、并且连续:.
(1)如果limx”f(x)二l,其中0砍I<+co,P>l,
则I)”,(x)dx收敛;
(2)如果limx广(x)二l,其中0<l(+的,P簇l,
十‘.
表2广义积分敛散性同被积函数数量级和P的选取范围的关系
一
一-----,-----~-~
f(x,的数”一丁卜x)As一}一丁:f(x)d劣-
p的选取范围{敛散性
(l,+co)!收敛
P的选取范围{敛散性
常量零(一OO,1)1收敛敛
严巫阵l一阵一呼一阵阶数不低于入(入>l)的无穷小量(1,入〕敛}(一入,1)收敛1阶无穷小量散1(一‘,士…收,
二
广义积分敛散性对数判别法的两点注记
广义积分敛散性对数判别法的两点注记作者：梁峰来源：《科技视界》2015年第05期【摘要】无穷限积分和瑕积分的对数判别法是一种新的敛散性判别法，但在理论上还不完整. 本文给出几个有意义的实例，对于退化情况进行补充说明.【关键词】广义积分;敛散性;对数判别法Two Notes to a Logarithmic Criterion for Convergence of Improper IntegralsLIANG Feng（Dept.of Math.， Anhui Normal University， Wuhu Anhui 241000， China）【Abstract】Logarithmic criterion for infinite integrals and stained integrals is a new one. But there is a theoretical flaw in the known results for this criterion. Based on some meaningful concrete examples given in this paper， two notes for a degenerate case are provided.【Key words】Improper integral; Convergence or divergence; Logarithmic criterion广义积分敛散性的判别，是高等数学的一个难点. 其判别方法多样，技巧性也较强. 关于对数判别法，文[1]给出如下两个定理：定理A 设f（x）在[a，+∞）上恒正，且在任何有限区间[a，u]上可积，若■（1）则当1定理B 设定义在（a，b]上的正函数f（x）以x=a为瑕点，在任何[u，u]？奂（a，b]上都可积，且■（2）则当-∞≤q当q=1时，对于该退化情况定理A和B没有给出相应结果. 下面通过几个具体实例作进一步分析.对于无穷限积分的情况，由文[2]，考虑如下积分■根据（1）式■.又因■，所以，当p>1时，■收敛;当p≤1时，■发散.由上例可知，有如下结论成立.定理1 设定理A中的条件成立. 则当q=1时，无穷限积分■f（x）dx可能收敛也可能发散. 对于瑕积分的情况，取f（x）=■，由（2）式得■且■，（3）即，瑕积分■发散.若取f（x）=■，考虑如下瑕积分■.（4）①因■所以x=0为（4）的瑕点;②由（2）式■③■由①、②和③知，瑕积分■收敛且满足q=1.综合瑕积分（3）和（4）的敛散性，如下结论成立.定理2 设定理B中的条件成立. 则当q=1时，无穷限积分■f（x）dx可能收敛也可能发散.定理1和2分别对定理A和B在q=1时作了补充，使得广义积分敛散性对数判别法在理论上更为完整.【参考文献】[1]陈亚丽. 广义积分敛散性对数判别法[J]. 安徽电子信息职业技术学院学报， 2004，3（15-16）： 31-32.[2]梁峰. 正项级数敛散性的一个判别法[J]. 高等数学研究， 2010，13（3）：8-9.[3]华东师范大学数学系.数学分析（下册）[M].3版.北京：高等教育出版社， 2006.[4]赵树源. 微积分[M].3版.北京：中国人民大学出版社， 2007.[责任编辑：曹明明]。
广义积分敛散性判别法的应用
广义积分敛散性判别法的应用主要的广义积分敛散性证明方法如下：套定义验证比较判别法、等价无穷小Cauchy准则Dirichlet判别法Abel判别法另外本文还有用Cauchy准则来处理广义积分有关的证明题的例题总结.1 广义积分的定义定义1.1[无穷积分]如果 f(x) 在任意有限区间 [a,A] 都是Riemann可积, 且极限 limA→+∞∫aAf(x)dx 存在, 则把无穷积分定义为∫a+∞f(x)dx=limA→+∞∫aAf(x)dx.否则称无穷积分是发散的.此外,∫−∞+∞f(x)dx=∫a+∞f(x)dx+∫−∞af(x)dx.这与Cauchy主值积分不同:(V.P.)∫−∞+∞f(x)dx=limA→+∞∫−AAf(x)dx.广义积分与Riemann积分有类似性质, 运算法则（分部积分、变量替换等）可以推广过来.定义1.2 [瑕积分]如果 f(x) 在任意有限区间 [a′,b],(a<a′<b) 都是Riemann可积, 且极限 lima′→a+∫a′bf(x)dx 存在, 则把瑕积分定义为∫abf(x)dx=lima′→a+∫a′bf(x)dx.否则称无穷积分发散.例1.1 无穷积分∫1+∞1xpdx 当 p>1 时, 该无穷积分收敛;当 p≤1 时, 该无穷积分发散.例1.2 瑕积分∫011xpdx. 当 p<1 时, 该瑕积分收敛; 当 p≥1 时, 该瑕积分发散.例1.3 ∫−∞+∞11+x2dx=arctanx|−∞0+arctanx|0+∞=π例1.4 ∫−1111−x2dx=arcsinx|−10+arcsinx|01=π.如果被积函数 f(x) 恒大于0, 我们有如下结论.定理1.5 设 f≥0, 则无穷积分∫a+∞f(x)dx 收敛当且仅当 F(A)=∫aAf(x)dx 是 A∈[a,+∞) 的有界函数.2 比较判别法与等价无穷小定理2.1 设 0≤f≤Mg,M>0 为常数,(这个不等式对充分大的x都成立就行了). 则当无穷积分∫a+∞g(x)dx 收敛时, 无穷积分∫a+∞fdx 也收敛. 当无穷积分∫a+∞fdx 发散时, 无穷积分∫a+∞g(x)dx 发散. 瑕积分的结果类似.在比较判别法中, M的寻找可以用极限去找. 如果极限 l=limx→∞f(x)g(x) 存在, 则(1) 当 0<l<∞时, 积分∫a+∞f(x)dx 与∫a+∞g(x)dx 同敛散.(2) 当 l=0 时, 如果∫a+∞g(x)dx 收敛, 则∫a+∞f(x)dx 也收敛.(3) 当 l=+∞时, 如果∫a+∞g(x)dx 发散, 则∫a+∞f(x)dx 也发散.注：对瑕积分有类似结论..例2.2 判断积分∫0+∞dxexx 的敛散性.提示：无. \QED例2.3 积分∫01dxlnx 是发散的.证明：注意到 limx→0+1lnx=0, 于是0不是瑕点, 1是瑕点. 我们只需要考虑∫1/21dxlnx. 由于∫1/21dxlnx=∫01/2dtln(1−t),且 ln(1−t)∼−t(t→0), 则积分∫1/21dxlnx 与−∫01/2dtt 同敛散. 则原积分是发散的. \QED例2.4 积分∫01lnx1−xdx 是收敛的.证明： 0,1 都是瑕点. 把积分区间拆成 (0,1/2) 与 (1/2,1). (在 (0,1/2) 区间内, 出现瑕点的地方是 lnx, 而在 (1/2,1) 区间内, 出现瑕点的地方是 11−x, 没出现瑕点的地方可以视作有限数)注意0>∫01/2lnx1−xdx>2∫01/2lnxdx,而∫01/2lnxdx=xlnx|01/2−∫01/2dx=12(ln12−1),则∫01/2lnx1−xdx 收敛. 另一方面,∫1/21lnx1−xdx=∫01/2ln(1−t)tdt,并注意到 limt→0+ln(1−t)t=−1, 则∫1/21lnx1−xdx 收敛. \QED3 用Cauchy准则验证收敛性定理3.1 [Cauchy准则] f(x) 在 [a,+∞) 上的积分收敛的充分必要条件是: ∀ε>0,∃M=M(ε),当 B>A>M 时, |∫abf(x)dx|<ε.例3.2 积分∫0+∞cosx2dx 是收敛的.证明：我们只需要看被积函数在 [1,+∞) 的积分即可. 作变量代换 x=t, 则∫1+∞cosx2dx=12∫1+∞costtdt.则|∫ABcosttdt|=|sintt|AB+12sintt3/2dt|≤1A+1B+12∫ABt −3/2dt=2A→0(B>A→+∞).因此积分是收敛的. \QED注：f在 [a,+∞) 积分存在不能推出 f(x)→0(x→+∞). 需要添加条件. 详见第6小节.例3.3 积分∫0+∞|cosx2|dx 是发散的.证明：【方法一】只需要考虑 cost 的一个周期. 由于∫(mπ)2(mπ+π)2|cosx2|dx=12∫mπ(m+1)π|cost|tdt>12(m+1)π∫mπ(m+1)π|cost|dt=22(m+1)π>2π1m+1+m+2=2π(m+2−m+1).固定m, 取 n>m, 则∫(mπ)2(nπ)2|cosx2|dx>2π(n+1−m+1)→∞(n→∞).因此原积分是发散的. \QED【方法二】(比较判别法). 由于 |cosx2|≥cos2x2=12(1+cos2x2), 由例3.2, 积分∫1+∞cos(2x2)dx 是收敛的, 但是积分 \int_1^{+\infty}1dx 发散, 则原积分发散. \QED注：方法二的技巧在例4.3、例6.5也用到了. 也就是说当 |x|≤1 时, 根据幂函数 y=xα的性质, 必有 x2≤|x|≤1. 利用这个技巧可以去掉绝对值.。
微积分学广义积分敛散性判别
故 0xpf(x) 1 b M ,
即有 0 f(x ) M x p (x 1 x ) .
由 p 1 于 的 P 积x 1 分 M x pd x收 , 故 敛
无穷 积 f(x)分 dx收.敛 x1
由 f( x ) d x x 1 f( x ) d x f( x ) d x 可 f( x 知 ) d x 收 .
a
a
由比较判 P积 别分 法综 与合
定理 （柯西极限判别法）
设 f ( x ) C ( [ a , ) ) ( a 0 ) , 且 f ( x ) 0 .
若存 p 1 ,使 在 li得 常 x m p f(x )存 数 ,则 在 x
无穷 积 f(x)d 分 x收;敛 a
a
a
收敛, 或同时发.散
( 2 ) 当 0 时 ,无 穷 g ( x ) d x 收 , 积 则 敛 f ( x ) d 分 x 收 .
a
a
( 3 ) 当 时 , 无 g 穷 ( x ) d x 发 , 积 则 f 散 ( x ) d x 分 发 .
x
F(x)af(t)dt
在 [a,)上单调增加 .由 且 极 有 限 上 存 界 在准
可知 liF m ( 极 x ) li限 m xf(t)d t存 . 在 x x a
即无穷 f(x积 )dx收 分 .敛 a
定理 （ 比较判别法 ）
设 f( x ) 函 ,g ( x ) 在 [ a ,数 ) 上 , A 有 R ,A a , 界
|F ( t ) | |t s u d i u | n | c u t o | |c 1 s c o t | o 2 s ,( s t 1 ) .
广义积分敛散性的判别法PPT课件
广义积分比较审敛原理：设 f (x), g(x) 在 区间 [a, );(a 0) 上连续，， 1）如果：
0 f (x) g(x),(a x ) 且 g(x)dx
收敛，则
f (x)dx
a
收敛；2）如果：
a
0 g(x) f (x), (a x ) 且 g(x)dx
c a)
p
,
(c
0)
Cor3设 f (x) 在区间 (a,b] 上连续，且
f (x) 0, lim f (x) 1）如果存在常数M>0,及
q 1
xa0
,使得：
f
(x)
(x
M a)q
, (a
x
b)
b
则 f (x)dx
a
收敛；
2）如果存在常数N>0,及q≥1,使得
f (x) N ,(a x b) (x a)q
1
1
lim(x 1) lim 1,
x1
ln x 1 x1
x
故根据推论4知，题设广义积分发散.
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1
例10
判别广义积分01
sin x x
dx
解 因为
而 sin 1 x
1
,
xx
1 dx
0x
的收敛性.
收敛，根据比较审敛原理知，
广义积分
1
sin
1 x
dx
0x
收敛，从而题设广义积分也收敛.
dx
1
x
的敛散性.
解 因为 lim x arctan x lim arctan x ,
x
x
x
2
广义积分敛散性判别方法探讨
广义积分敛散性判别方法探讨引言在数学初学者学习积分的过程中，会接触到定积分及广义积分的概念。
定积分的计算可以通过积分公式和分部积分法等一系列方法进行求解，但广义积分的计算相对困难，必须先判断其敛散性，然后才能定量计算。
因此，本文将探讨广义积分敛散性判别方法，让读者更好地理解和掌握这一知识点。
广义积分概述广义积分是指被积函数在积分区间上具有无限变化或在有限变化之外的点具有间断、奇异等性质的积分。
它与定积分相比，可以扩展进行积分的范围。
常用的广义积分可以分为以下两类：第一类广义积分第一类广义积分的被积函数在积分区间的某一端点或两个端点附近有无穷大的极限值或具有无限间断点。
例如，$\\displaystyle\\int_{0}^{+\\infty}\\frac{1}{x^2}dx$和$\\displaystyle\\int_{1}^{2}\\frac{1}{(x-1)^{1/2}}dx$都属于第一类广义积分。
第二类广义积分第二类广义积分的积分区间是无限的，在无穷远处或在某一点处可能有无限大的变化。
例如，$\\displaystyle\\int_{0}^{+\\infty}e^{-x}dx$和$\\displaystyle\\int_{0}^{1}\\frac{1}{x^{1/2}}dx$都属于第二类广义积分。
敛散性判别方法广义积分在计算时必须先判断其敛散性，只有在敛的情况下才能对其进行求解。
下面是判别广义积分敛散性的常用方法。
第一类广义积分的敛散性判别方法一、比较判别法如果存在两个广义积分：$\\displaystyle\\int_{a}^{+\\infty}f(x)dx$和$\\displaystyle\\int_{a}^{+\\infty}g(x)dx$且满足：$\\forall x>a,\\ f(x)\\ge g(x)\\ge 0$则有：1.若$\\displaystyle\\int_{a}^{+\\infty}g(x)dx$收敛，则$\\displaystyle\\int_{a}^{+\\infty}f(x)dx$收敛；2.若$\\displaystyle\\int_{a}^{+\\infty}f(x)dx$发散，则$\\displaystyle\\int_{a}^{+\\infty}g(x)dx$发散。
高等数学(微积分)课件§广义积分敛散性的判别
'
x (1 x)2
,
x (1,1)
23
幂函数性质ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ运用(求和函数)
例 求 级 数 ( 1 )n 1xn的 和 函 数 .
解 s(xn ) 1 (1n )n1xn, 显s然 (0)0,
n1
n
s (x ) 1 x x 2 1 , 1 x
(1x1)
两边积分得
x
s(t)d tln1 (x)
n0
(anxn) nanxn1.
n0
n1
(收敛半径不变)
22
幂函数性质的运用(求和函数)
例：求幂 级n数 xn的和函数。
n1
解：由 1
1－x
n0
xn,
x (1,1)
1－1x
'
n0
xn
'
(xn )'
n0
n1
nxn1,
x (1,1)
上式两边乘以x，可得：
nxn
n1
x 1－1 x
解：由于该幂级数的系 数a 2n1 0(n 0,1,2,...), 故不能直接用前面的定 理。
而直接利用比值判别法 。
lim un1 n un
lim
n
x 2(n1) 2 n 1
2n x2n
1 x2 2
由比值判别法：1 x2 1, 即当 x
2时，
1 x2n绝对收敛；
2
n1 2n
当 x
2时，
n0
(R,R)内可积 ,且对x(R,R)可逐项积分 .
即0xs(x)dx 0x(anxn)dx
x 0
anxndx
n0
n0an xn1. n0 n1
广义积分判别法
广义积分判别法广义积分判别法是微积分中一个重要的概念和方法，用于判断广义积分的收敛性和发散性。
本文将介绍广义积分判别法的基本原理和应用，并通过实例详细说明其具体操作方法。
一、广义积分的定义在微积分中，广义积分是对某些函数进行积分运算的一种扩展形式。
对于连续函数，我们可以直接使用定积分进行求解，但对于一些特殊的函数情况，定积分无法直接求解。
此时，我们需要引入广义积分的概念。
对于函数f(x)在区间[a,b]上的广义积分，可以表示为：∫f(x)dx = lim┬(t→b⁺) ∫┬(a)f(x)dx其中，a为积分下限，b为积分上限，t为一个逼近b的数列。
如果该极限存在且有限，则称广义积分收敛；如果该极限不存在或为无穷大，则称广义积分发散。
二、收敛性的判别方法1. 基本性质判别法若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且0≤f(x)≤g(x)，其中g(x)在[a,b]上连续，且∫g(x)dx收敛，则∫f(x)dx收敛；若∫g(x)dx发散，则∫f(x)dx发散。
2. 比较判别法设函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上连续，且0≤f(x)≤g(x)，若∫g(x)dx收敛，则∫f(x)dx收敛；若∫f(x)dx发散，则∫g(x)dx 发散。
3. 极限判别法设函数f(x)在区间[a,b)上连续，若存在正数M>0和正数p>1，使得当x→b-时，|f(x)|≤M/(|x-b|ᵖ)，则∫f(x)dx收敛；若对于任意正数M>0和正数p>1，当x→b-时，|f(x)|>M/(|x-b|ᵖ)，则∫f(x)dx发散。
4. 绝对收敛和条件收敛若∫|f(x)|dx收敛，则称广义积分∫f(x)dx绝对收敛；若∫|f(x)|dx发散，但∫f(x)dx收敛，则称广义积分∫f(x)d x条件收敛。
三、实例分析下面通过几个实例来说明广义积分判别法的具体应用。
实例1：判断广义积分的收敛性考虑广义积分∫┬(1)(x⁻²-1)dx，我们可以使用比较判别法来判断其收敛性。
06 第六节 广义积分审敛法
第六节 广义积分审敛法判定一个广义积分的收敛性,是一个重要的问题. 当被积函数的原函数求不出来,或者求原函数的计算过于复杂时,利用广义积分的定义来判断它的收敛性就不适用了. 因此,我们需要其它方法来判断广义积分的收敛性.分布图示★ 无穷限广义积分的审敛法★ 比较审敛原理 ★ 例1 ★ 例2★ 例3 ★ 例4 ★ 例5★ 绝对收敛 ★ 例6 ★ 例7★ 无界函数广义积分的比较审敛原理★ 例8 ★ 例9 ★ 例10★ Γ-函数 ★ Γ-函数的几个重要性质★ 例11 ★ 例12★ 内容小结 ★ 习题5-6★ 返回内容要点一、无穷限广义积分的审敛法二、无界函数的广义积分审敛法三、-Γ函数： 定义 性质例题选讲无穷限广义积分的审敛法例1 (E01) 判别广义积分⎰+∞+1341x dx 的敛散性. 解 因为,111103/4434x x x =<+<这里,134>=ρ故由推论1知，题设广义积分收敛. 例2 (E02) 判别广义积分⎰+∞+121x x dx 的敛散性. 解 因为,111lim 22=+⋅+∞→x x x x 这里,12>=p 故由推论2知，题设广义积分收敛.例3 判别广义积分⎰∞++122/31dx x x 的敛散性. 解 因为 ,1lim 1lim 2222/3+∞=+=++∞→∞→x x x x x x x x 故根据推论2知，题设广义积分发散.例4 (E03) 判别广义积分dx xe x ⎰∞+-+11的敛散性. 解 因为当1≥x 时，,11xx e x >+- 故由推论1知，题设广义积分发散 .例5 (E04) 判别广义积分⎰+∞1arctan dx xx 的敛散性. 解 因为,2arctan lim arctan lim π==+∞→+∞→x x x x x x 故根据推论2知，题设广义积分发散 . 例6 判别广义积分⎰+∞-0sin bxdx e ax 的收敛性，其中b a ,都是常数，且.0>a解 ,sin ax ax e bx e --≤而dx e ax ⎰+∞-0收敛 .∴dx bx e ax |sin |0-+∞⎰收敛，故题设广义积分收敛 .例7 (E05) 判别广义积分⎰+∞a dx x x 23sin )0(>a . 解 由于,1|sin |223xx x ≤而dx x a ⎰+∞21收敛，故dx x x a |sin |23∞+⎰收敛，即dx xx a ⎰+∞23sin 绝对收敛 .无界函数的广义积分审敛法 例8 (E06) 判别广义积分⎰31ln xdx 的收敛性. 解 被积函数在点1=x 的右邻域内无界.又由洛必达法则知 ,011lim ln 1)1(lim 11>=-++→→xx x x x 故根据推论4知，题设广义积分发散.例9 判别广义积分⎰101sin dx xx 的收敛性. 解 因为,11sinx x x ≤而⎰10x dx 收敛，根据比较审敛原理知， 广义积分dx xx ⎰101sin 收敛，从而题设广义积分也收敛.例10 (E07) 判别广义积分⎰-20cos 1πdx x x m的收敛性.解 由于0=x 是m xx x f cos 1)(-=的瑕点，且 ),0(12121~cos 122→=--x x x x x x m mm 所以，当,12<-m 即3<m 时，题设广义积分收敛 ;当,12≥-m 即3≥m 时，题设广义积分发散 .例11计算下列各式的值:;)3(2)6()1(ΓΓ.)21()25()2(ΓΓ 解 )1(由公式得:;302345!22!5)3(2)6(=⋅⋅=⋅=ΓΓ )2(由公式得:)21()23(23)21()25(ΓΓ=ΓΓ.43)21()21(2123=ΓΓ⋅=例12 计算下列广义积分:(1) ;03⎰+∞-dx e x x(2) 已知),(r Γ计算);0(,01>⎰+∞-λλdx e x x r (3) ).0(,022>⎰+∞-a dx e x a 解 )1( )4(30Γ=⎰-+∞dx e x x !3=.6=)2( 令,t x =λ则.dt dx =λ于是dt e t dx e x t r x r λλλ1)(1010--∞+--∞+⎰=⎰dt e t t r r --∞+⎰=101λ.)(r r λΓ= )3( 令,ax t =则.adx dt =于是⎰+∞-022dx e x a ⎰+∞-=021dt e a t 2211⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⋅=a .2a π=。
广义积分敛散性判别法的应用
证明
一imsnrxA}r(x)!~d>0,且入成l,则,~+.
l)已知lim
犷一,“·,,‘X发散·
supx入if(x)一J<co,且入>l,则V。>o,日x。>a,Vx>x。,有x‘.f
(·).<科￡,即.f(x),<宁,记M一升￡,则M>0,而厂一令当。1时收敛,由比较判别法
可知,犷一f(·)dX绝对收敛;
确定积分的敛散性·但用定义可得犷一蔽备一‘呱广蔽器歹一‘呱户豁
t工一
易不石
InA+co,0<a(1
0,a>l
于是,当a>1时,原积分收敛,当O<a(1时,原积分发散。
二、对判别法的进一步讨论
l、柯西极限判别法适用于非负函数的广义积分,对其敛散性判别有一定效果.但对变号函
数的广义积分,只能判别其是否绝对收敛,在使用过程中,必须对被积函数加绝对值,否则,d
时,f(x)一+,的速度:
大时,积分发散;
当它的阶比,2二(、<;)小时,积分收敛;当它的阶比7牛认(、)1)火义一己产气汽一砚少
例5判别积.,.
-丁二二一-‘日可叙欲任
VxInx
一l
一,X
.nU
广、厂干!nx+几岸绎,;盯2VXjnX
解八|抑
安.一t攀报‘自价科攀版”9.5年结‘翔
2)已知土乳i”fx‘Ir(x)}=d>0,且入镇l,则v“>o,,.’竺>0,可限制￡,使得0<‘飞,
于是“x。>一使得Vx>x。,有X、,,‘·,,>。一>“,即.,‘·).>宁,而犷一令当、、,
高等数学高数课件 5.6 广义积分审敛法
f (x) N (a x ), p 1 xp
则 f ( x)dx 发散. a
有时将推论1写成下面的极限形式, 判断更为方便.
推论2 设函数 f ( x)在区间[a,)(a 0)上连续,
且 f ( x) 0. 若 lim x p f (x) l x
(1)若 0 l ，则
a
f
( x)dx 与
有界函数必有极限的准则, 可知极限
x
lim f (t)dt
x a
存在, 从而可证上述定理.
由上面的定理, 立即可得如下的比较判别法.
比较审敛原理 设函数 f ( x)、g( x)在区间 [a,)上连续,
(1) 如果 0 f ( x) g( x)(a x ),
且
g( x)dx 收敛, 则
于是,当2p 1 1时,即p 1时，+ x(1 cos 1) pdx 收敛。
1
x
当p 1时, + x(1 cos 1) pdx 发散。
1
x
另解：当x 时, x(1 cos 1)p
x
~
1 2p
1 x2 p1
当2p 1 1时,即p 1时，+ x(1 cos 1) pdx 收敛;
1
x
当p 1时, + x(1 cos 1) pdx 发散。
x
x
x
2
故根据推论2知 , 题设广义积分发散 . 另解： arctanx ~ , （x ) p 1 1
x 2x
由推论2，广义积分发散.
例6 讨论 x(1 cos 1) p dx 的敛散性。
1
x
解：因为
lim
x
x2 p1
x(1 cos
广义积分敛散性的一个判别法：“0”收敛法
广义积分敛散性的一个判别法：“0”收敛法
王敬有
【期刊名称】《天津商学院学报》
【年(卷),期】1992(012)001
【摘要】广义积分包括两大类。
一类是积分区间无穷型的广义积分,如∫0∞f（x）dx,另一类是积分区间虽为有穷,但被积函数在该区间内含有有限个无穷型间断点（瑕点）的广义积分,如∫0∞f（x）dx （（?）（x）=∞）。
传统的判别法是对第一类广义积分先将积分限视为有限的积分区间按常义积分处理,待积分求出原函数后再考查其极限是否存在,用此极限去判定原积分是否收敛。
如当（?）F（b）存在时则∫0∞f（x）dx收敛,否则发散。
对第二类广义积分则是先将积分区间改动,使被积函数在改动后的积分区间内成为有界函数再按常义积分处理、待求出原函数之后考查它在原积分区间上的极限是否存在,从而判断此广义积分是否收敛,如:当（?）F （α+ε）存在时则∫0∞（x）dx收敛,否则发散。
【总页数】3页(P73-75)
【作者】王敬有
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】O172.2
【相关文献】
1.正函数广义积分敛散性的判别法的推广 [J], 杨青
2.试论级数敛散性的判别法在广义积分中的推广 [J], 董振华
3.广义积分敛散性对数判别法的两点注记 [J], 梁峰
4.柯西判别法在广义积分敛散性中的运用 [J], 余小飞;郭洪林;
5.柯西判别法在广义积分敛散性中的运用 [J], 余小飞 ;郭洪林
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续表1
arCSlllX阶无穷小
x‘1时
号一ar“s‘nx
是告阶无穷小
x”1时
arCCOSX号一a,“““sx是
1阶无穷小雾阶无穷小石
arctgx号一a‘c’gx是
l阶无穷小
l阶无穷小
Shx无穷阶无穷大1阶无穷小
ehx无穷阶无穷大
chx一1是2
阶无穷小
thx1一thx是无穷阶
无穷小
阶无穷小
sh一lx无穷小阶无穷大阶无穷小
早
}
l
{
}
x、1+O时
小穷无阶1一2
eh一lx无穷小阶无穷大
th一lx阶无穷小
劣”l一O时
无穷小阶无穷
…{1大
这里说明一下,此表上的各函数的数量级是经过实际计算而得出的,限于篇幅,未
能将计算过程列出.
4。厂(x)的数一级与p的选取范围的关系
在可判断的范围内,根据厂(x)的数量级可直接判定广义积分的敛散性,也可根据
旦翼‘些办
arCtg劣J,
一一尸不一“舟
收敛;
发散.
叫‘山目即
r..J
时时
又1imx
石,十伪
arctgx_
忱
X
1imaretgx_介
2
南充师院学报1985牟
据此判别法可以得出下述用通项的数息级判定正项级救敛散性的定理.
定理。设艺。·是正项级数,当。一+co时,把告当作l阶无穷小量,则
i)当“·是阶数不低于久‘“>‘,的无穷小量或恒为零时,级数艺。。收敛;
刀.1
一一
‘
巾J
“)当。·是阶数不高于‘(0<“‘,的无穷小量或不是无穷小量时,级数》二”一1
发散.
6。应用举例
例1判断积分丁:奋亿x+I亿x么+1
召劣+1
d劣的敛散性.
解法一、显然厂(x)=二训声卞了>O(1《x+co)
又‘.’当x一+co时,‘(x)二,黯瑞是鲁阶无穷小量,
、/x+1
x亿x名+ld,收敛.
aox”+气x帅一1+…+a
box爪+bix爪一1+…+b
:>二}:一m阶无穷大>j
(。。今。,乙。祷。,n、m是自然数)
(l’,挤分别为分于、分母中系数
不为O的最低次项的次数)
:=;n1以李为极限!口。
犷一j阶无穷小
以奇为极限
舔1?一阶无穷小
a>1
(a>0,a今1)a>1
无穷阶无穷大
无穷阶无穷小
‘<钊i一‘阶无穷大
显然厂(x)二旦里些孟些)0(O簇x<+二)
丫当‘一O+时,f(ri护笠笋或者是一‘阶无穷大量‘n>1),或者
不是无穷大量(”蕊1).
:·当一l<‘即n<2时,I
当一‘》‘即·)2时,丁
‘旦理擎dx收敛;
OX
燮笋礴:发散.0X
又当‘二+co时,f(b二兴黔或者是,阶无穷,Jw‘例,,或者是一:
阶无穷大量(刀<O),或者是以斗为极限的量(月=0).
广义积分效散性分析
定广义积分的敛散性.
2。基本定理
定理1设函数厂(劝在〔a,
穷小量,则
.__、J卜。、‘*.,_.二厂~、1、,、,队二个田,非只、迁块,习人一’个~“u’忆了曰作1阴儿
)当,(·)是阶数不低于久(‘>1)的无穷。·量或恒为零时,广义积分I于一“·,d/收
敛,
11)当f(x)是阶数不高于入(0<入簇l)的无穷小量或不是无穷小量(包括常量零在
(3)第235页上有一个联系正项级数和广义积分敛散性的判别法:
哥西积分判别法若f(二)(劣>。)是非负的不增函数,则级数艺f(:)与积分
I:
习“:,dx同时收敛或同时发散·
南一充师院学报1985年
例3判断积分}I:一丝笋乡dx的敛散性·
解、一I+弋arCt又尤J,一一气厂一“人二{‘毕拌J二+{‘J0XJl竺斗些‘x
了(x)的数量级选取适当的P值,再使用极限判别法进行判定.
为便于查找和应用,现将非负连续函数厂(x)的广义积分的敛散性同厂(x)的数量级以
及P的选取范围的关系列表于后.
南充师院学才民·1985年
ii)设当x‘石一。时,f(x)是阶数不低子烈;》1)的无穷大量厂,则
1:_f(x)_1:_,:_,、l不,.,、_,八/,,」__几l三几l-
注2当沂(x)是阶数介于(a,均(O<a<入<1)的无穷小量时,
还可扩大为(一“,1).
实际上,当x一十co时,若f(x)是非无穷小量的正有界量或无穷大量,
显然发散,可不必再用什么判别法;
丁“,(/,dX为常义积分,“然收敛,
当二一西一O时,若子(x)不是无穷大量,则
也可以不必再用什么判别法.
5.用数皿级分析法判定正项级数的赦散性
11)若limf(x)=co,且对任意。>0,::_厂(x)_八。,,粉:,__、二二*,:、二11111~eses下一一一一u,纵幼明、J、弄,夕之2‘刀/J、日12lJ
穷大
111)若厂(x)不恒为零,且对任意M>O,l、m卿=O,则称矛(x)是无穷阶无穷
广义积分效散性分析~~几J户一,少~~一
..,.......~~一~~,
斗侧;
贝。丁。,(X,dX发散·
五、设了(x)在(a,b)上连续,且厂(x)》0,乙为厂(x)的奇点:
(1)如果lim(右一x)‘、厂(x)=l,其中O簇l<+co,P<王,
贝。丁、,(X,d/收敛;
(2)如果liUI(乙一、)‘’f(x)=l,其中0<l簇+co,P》1
贝。丁,(X)dX发散·
由于上述判别法在判定许多广义积分的敛散性时比较方便,所以常常被人们首先使
唐拜载
1。问题的提出
在〔l〕第331一332页和第338页上,分别给出了两个极限形式的比较判别法:
I、设在〔a,+co)上厂(x)》0、并且连续:.
(1)如果limx”f(x)二l,其中0砍I<+co,P>l,
则I)”,(x)dx收敛;
(2)如果limx广(x)二l,其中0<l(+的,P簇l,
十‘.
解法二f(x)=
3
、i,.下响
乙
召x
x了x
+1、。,,一__/.__、
矛二=气开尸夕U、1飞不‘、一伪,.+1
和1然了.,.显
上任一数P,比如P二3、.万,月石
1im万户f(x)=
3
1imx『了x十1
光一}十刀
=1im
x呀+的
x了x“+1
==1im
乍一乍十丫
了x名+x
侧xZ+1
},.1
.二甲一lX
7丁万丁
l阶无穷大量
阶数不低于产(拼>1)
的无穷大量
无穷阶无穷大量
}〔一1,1,}发散{1…发散
〔一产,1〕{发散
(一co,1〕{发散{〔1,十co
,
{发散
》}发散
P的选取范围
P的选取范围
f(x)dx
十d.
!,注“切m火
注1当厂(x)是阶数介于〔夕,幻(O<口<拼<1)的无穷大量时,
还可扩大为〔一夕,l〕,
一二一一一一一‘不几“\以一‘,Ij、人产一‘,U、、‘崛受下~,z,‘一o,l、二尤,乡一0、夏一司一一尹
以一X
又’.’f(劣)》0(a簇x<b),P二召)l,
丁:“·,‘·发散·
这里说明一下,在〔2〕第565页和588页上分别给出了下列判定非负可积函数的广
义妇分敛散性的论断.
。当‘一oQ时,若函数‘(x)与令比较是“‘>。)阶无穷刁、,,贝。,分
的关系.
本文将揭示广义积分敛散性同被积函数的数量级之间的关系,研究一些常见初等函
数在x。十co或x一)b一0或x‘a时的数量级,从而根据被积函数的数量级直接判定
广又积分的敛散性,或者根据被积函数的数量级使用极限形式的比较判别法,准确地判
广义积分效散性分析
刁、扩
0一一
‘、.产一‘l.r
曰.二一侧丹一令
勺1甲,百,X‘
亿x+1
男俨x么+1d劣收敛。的+.儿户..J
例“判断积衬;“x“Inxx‘一x3+ldx的敛散性.
解法一
xZInx
x礴一x3+1
,‘,f立x么Inx,,.r+
u汤=I~~石一下厂丁一不“人十IJOXeeX一个1Jl
x“Inx
x礴一xs+1dx-+.U广..J
广义祖分效散性分析43
显然厂(x)=
.一、矛、
J了性、一工夕
iv)若对任意M>O,lim,则称尹(x)是无穷阶无穷大.
为便宁查找和应用,现将一些常见初等函数在x,+co、x,O+等极限过程中的
数量级列表子后.
表1常用初等函数的数量级
、~~一__Xee》十。Ox,0+其它
a>0a阶无穷大a阶无穷小
(a笋0)a>O、一a阶无穷小一a阶无穷大
阶数不高于从。<、<l)}。,,、}。,}。n,、汗。).,‘.,占沪}名声喃伪、}‘U,孟,口二‘{,人J)、
一
竺型噜生一一一一一一一{‘{{--—非无穷小量的正有界量{(氏1〕{发散{(o、1)1收敛阶数不高于;(。<;<l){,八、,、_,’庵。}。。,、一卜护豪器劣吴童尸、“一尸一“…‘”,‘’“’博散{〔气‘’准歇