第八章 第8章 耦合电感和变压器电路分析
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电路分析基础课件第8章耦合电感和变压器电路分析
耦合电感在电路中的应用
信号传输
耦合电感在电路中可以用于传输信号，由于其电磁耦 合的特性，信号可以在不同的电路之间传递。
滤波器
耦合电感可以组成各种滤波器，如高通、低通、带通 等，用于对信号进行筛选和过滤。
振荡器
在振荡电路中，耦合电感与电容配合使用，可以形成 振荡信号。
变压器在电路中的应用
电压转换
01
电路分析基础课件第8章耦合电感 和变压器电路分析
目 录
• 耦合电感电路分析 • 变压器电路分析 • 耦合电感和变压器在电路中的应用 • 习题与思考
01 耦合电感电路分析
耦合电感基本概念
耦合电感定义
由两个或多个线圈通过磁场相互耦合而构成的电路元件。
耦合系数
描述耦合电感线圈之间耦合程度的一个参数，其值在0到1之间 。
习题2
计算变压器初级和次级线圈的电压和电流， 以及变压器的变比。
习题3
分析一个具有变压器和耦合电感的电路，计 算各元件的电压和电流。
习题4
设计一个变压器，满足特定的电压和电流要 求，并计算所需的匝数和线径。
思考题
思考题1
如何理解耦合电感和变压器在 电路中的作用？
思考题2
如何分析具有耦合电感和变压 器的电路？
02
变压器在电力系统、电子设备和 工业自动化等领域有着广泛的应 用，是电力传输和分配的关键设 备之一。
变压器的工作原理
当交流电通过变压器的一次绕组时， 会在铁芯中产生交变磁场，这个磁场 会感应出电动势，从而在二次绕组中 产生电压和电流。
变压器的工作原理基于电磁感应定律 和全电流定律，通过改变绕组匝数实 现电压和电流的变换。
根据耦合系数和线圈的匝数比，可以确定电压和电流的幅值关系。
第8章 耦合电感和变压器电路分析
( R1 jL1 ) I 1 jMI 2 U S ( R jL Z ) I 0 jMI 1 2 2 L 2
令 Z11 R1 jL1 解得：
Z 22 R2 jL2 Z L
US I1 (M ) 2 Z 11 Z 22
第8章 耦合电感和变压器电路分析
8.1 耦合电感
如果两个线圈的磁场存在相互作用，就称这两线圈具 有磁耦合。具有磁耦合的两个或两个以上的线圈，称为耦 合线圈。如果假定各线圈的位置是固定的，并且忽略线圈 本身所具有的电阻和匝间分布电容，得到的耦合线圈的理
想化模型就称为耦合电感。
耦合电感Байду номын сангаас伏安关系
图8-1(a)所示为两个相互有磁耦合关系的线圈。第一个线圈中电流i1
1 11 12 L1i1 M 12i2 2 21 22 M 21i1 L2 i2
对于图8－l(b)所示的情况有：
1 11 12 L1i1 M 12i2 2 21 22 M 21i1 L2 i2
图8-1(a) 同名端
每个线圈的电压均由自感磁链 产生的自感电压和互感磁链产 生的互感电压两部分组成。
与此相似，对于图(b)情况可以得到：
d 1 d 11 d 12 di1 di2 u1 L1 M dt dt dt dt dt d 2 d 21 d 22 di1 di2 u2 M L2 dt dt dt dt dt
同名端
每个线圈的电压均由自感磁链 产生的自感电压和互感磁链产 生的互感电压两部分组成。
为了在看不见线圈相对位置和绕法的情况下，确定互感电压取正号 或负号，人们在耦合线圈的两个端钮上标注一对特殊的符号，称为同名
电路分析基础-耦合电感与变压器
若i1,i2以及u1,u2的参考方向对同名端不一致，则前表达 式中符号取反。
例：
+
–
例：
+
–
1:n
+ *
* –
2:1
*
* +
对同名端不 一致，取“ －” 对同名端不 一致，取“ ＋”
对同名端一 致，取“＋ ”对同名端一 致，取“－ ”
2. 理想变压器的功率性质：
理想变压器的特性方程为代数关系，因此无记忆作用。
当线圈周围无铁磁物质(空心线圈)时，有
12
22
N1
i2
N2
+ u12 – + u22 –
可以证明：M12= M21= M。
互感系数 M 只与两个线圈的几何尺寸、匝数 、 相互 位置和周围的介质磁导率有关。
耦合系数 k： (coupling coefficient) 表示两个线圈磁耦合的紧密程度。 可以证明， 0 k1
Z11 + –
初级等效电路
关于反映阻抗：
1. 次级在初级中的反映阻抗：
2. 与同名端无关。
3. 当Z22为容性 →Zref1为感性。
当Z22为感性 →Zref1为容性 。
1.
当Z22为电阻 →Zref1为电阻 。
4. 同理，初级在次级中的反映阻抗：
次级等效之一： + –
另： 也可以利用戴文南等效作次级等效。
RL
uS
–
n2RL
当 n2RL=RS时匹配，即 10n2=1000
n2=100， n=10 .
例:
1 1 : 10
+
+**
+
50
–
例：
+
–
例：
+
–
1:n
+ *
* –
2:1
*
* +
对同名端不 一致，取“ －” 对同名端不 一致，取“ ＋”
对同名端一 致，取“＋ ”对同名端一 致，取“－ ”
2. 理想变压器的功率性质：
理想变压器的特性方程为代数关系，因此无记忆作用。
当线圈周围无铁磁物质(空心线圈)时，有
12
22
N1
i2
N2
+ u12 – + u22 –
可以证明：M12= M21= M。
互感系数 M 只与两个线圈的几何尺寸、匝数 、 相互 位置和周围的介质磁导率有关。
耦合系数 k： (coupling coefficient) 表示两个线圈磁耦合的紧密程度。 可以证明， 0 k1
Z11 + –
初级等效电路
关于反映阻抗：
1. 次级在初级中的反映阻抗：
2. 与同名端无关。
3. 当Z22为容性 →Zref1为感性。
当Z22为感性 →Zref1为容性 。
1.
当Z22为电阻 →Zref1为电阻 。
4. 同理，初级在次级中的反映阻抗：
次级等效之一： + –
另： 也可以利用戴文南等效作次级等效。
RL
uS
–
n2RL
当 n2RL=RS时匹配，即 10n2=1000
n2=100， n=10 .
例:
1 1 : 10
+
+**
+
50
–
《电路分析基础》第8章耦合电感和理想变压器
解： 1) 判定同名端：
•
•
2) 去耦等效电路：同侧T型
3) 移去待求支路Z，求戴 维南等效电路：
《电路分析基础》
第8章 耦合电感和理想变压器
u(t ) 10 2 cos(104 t )V U 1000
①求开路电压：
U oc
6
8 8
j4 j4
100
6.1110.61V
②求等效阻抗：
6 (8 j4)
（1）K=0.5，M = 0.5H,由KVL得：
•
••
j5 I1 j5(I1 I2 ) 1000
•
•
•
•
j5 I2 j5( I1 I2 ) 10 I2 0
•
I2 4 216.87 A
P I22 R 160W
《电路分析基础》
İ1
第8章 耦合电感和理想变压器
İ2
（2）K=1，M = 1H，由KVL得： 解得：
•
•
•
•
U 2 j1000 I j500 I 100 I 311.0422.38V
此处是串联反接：等效电感L=L1+L2-2M=3H
《例电8路-分3析：基两础个》 耦合线圈，接到22第0V8章，耦5合0电H感z正和理弦想电变压压器上。 顺接时I=2.7A,P=218.7W；反接时I=7A。求互感M=?
di1 dt
＋
图 时域模型
＋
u2(t)
－
.
.
I1
I2
＋
jωL1 .
U1
－
.
jωM I2
－
＋
＋
jωL2
.
－
U2
.
jωM I1
第八章 耦合电感和变压器电路
西南交大峨眉校区电气工程系 徐贤敏 编 赵琳 制作
• • • • • • • •
•
•
•
（b）
例 8－7 图示电路，次级短路。已知： L1 ＝0.1 H， L2 ＝0.4 H， （1）若 M＝0.12 H，求耦合系数 k 和 ab 端的等值电感 Leq ； （2）若 L1 与 L2 全耦合，求 M 和 Lab 。 解 （1） k =
Us 50 0o I= = A = 1.516 − 75.96o A R1 + R2 + j (ωL1 + ωL2 + 2ωM ) 8 + j 32
• •
•
•
U bc = ( jωL2 + jωM + R2 ) I = 29.05 − 1.08o V
•
•
•
a
I
＋
•
jωL1
R1
b
jωL2
•
jωM
US
R2
•
•
•
西南交大峨眉校区电气工程系
徐贤敏 编
赵琳 制作
例 8－9
•
试用戴维南定理求例 8－10 的 I 2 。
•
•
解 应用戴维南定理将原图（a）等效为图（b）， U 0为变压器次级 2、2 ′ 开路电压 U oc ，由图（a）可得
• •
I1
200 0o V
10Ω
j20Ω
I2
j40Ω RL 20Ω
+ -
西南交大峨眉校区电气工程系 徐贤敏 编 赵琳 制作
例8－2 写出下图所示各耦合电感的VAR，若电路为正弦稳态情况， 试写出 VAR 的相量形式。
i1
＋
M
i2
• • • • • • • •
•
•
•
（b）
例 8－7 图示电路，次级短路。已知： L1 ＝0.1 H， L2 ＝0.4 H， （1）若 M＝0.12 H，求耦合系数 k 和 ab 端的等值电感 Leq ； （2）若 L1 与 L2 全耦合，求 M 和 Lab 。 解 （1） k =
Us 50 0o I= = A = 1.516 − 75.96o A R1 + R2 + j (ωL1 + ωL2 + 2ωM ) 8 + j 32
• •
•
•
U bc = ( jωL2 + jωM + R2 ) I = 29.05 − 1.08o V
•
•
•
a
I
＋
•
jωL1
R1
b
jωL2
•
jωM
US
R2
•
•
•
西南交大峨眉校区电气工程系
徐贤敏 编
赵琳 制作
例 8－9
•
试用戴维南定理求例 8－10 的 I 2 。
•
•
解 应用戴维南定理将原图（a）等效为图（b）， U 0为变压器次级 2、2 ′ 开路电压 U oc ，由图（a）可得
• •
I1
200 0o V
10Ω
j20Ω
I2
j40Ω RL 20Ω
+ -
西南交大峨眉校区电气工程系 徐贤敏 编 赵琳 制作
例8－2 写出下图所示各耦合电感的VAR，若电路为正弦稳态情况， 试写出 VAR 的相量形式。
i1
＋
M
i2
耦合电感和变压器电路分析
特性
变压器具有变换电压、电流和阻抗的 功能，能够实现电能的安全传输和分 配。
变压器的物理结构
铁芯
作为磁路，传递磁通， 分为闭合磁路和开放磁
路。
绕组
作为电路，传递电能， 分为一次绕组和二次绕
组。
油箱
作为变压器的外壳，保 护内部结构和绝缘。
其他附件
如分接开关、冷却系统 等。
变压器的电气参数
额定电压
变压器正常工作时的输入和输 出电压值。
行能量传递。
02 03
耦合电感的电路模型
在电路分析中，耦合电感通常用电路模型表示，包括串联和并联两种形 式。串联耦合电感通过一个公共磁路连接，而并联耦合电感则通过各自 的磁路连接。
耦合电感的电压和电流关系
对于串联耦合电感，电压与磁通量成正比，电流与磁通量变化率成正比； 对于并联耦合电感，电流与磁通量成正比，电压与磁通量变化率成正比。
额定电流
变压器正常工作时的输入和输 出电流值。
额定容量
变压器正常工作时的最大输出 功率。
效率
变压器传输电能的有效程度， 通常以百分比表示。
03
耦合电感和变压器的工作 原理
耦合电感器的工作原理
磁耦合
耦合电感器由两个或多个线圈组 成，通过磁场相互耦合。当一个 线圈中的电流发生变化时，会在 另一个线圈中产生感应电动势。
互感现象
当一个线圈中的电流发生变化时， 会在另一个线圈中产生感应电动 势，这个电动势的大小与两个线 圈之间的互感系数和电流的变化
率成正比。
电压和电流关系
在耦合电感器中，电压和电流之 间存在一定的相位差，这取决于
线圈的匝数比和耦合系数。
变压器的工作原理
电压变换
变压器通过改变线圈匝数比，实现输入和输出电 压之间的变换。
变压器具有变换电压、电流和阻抗的 功能，能够实现电能的安全传输和分 配。
变压器的物理结构
铁芯
作为磁路，传递磁通， 分为闭合磁路和开放磁
路。
绕组
作为电路，传递电能， 分为一次绕组和二次绕
组。
油箱
作为变压器的外壳，保 护内部结构和绝缘。
其他附件
如分接开关、冷却系统 等。
变压器的电气参数
额定电压
变压器正常工作时的输入和输 出电压值。
行能量传递。
02 03
耦合电感的电路模型
在电路分析中，耦合电感通常用电路模型表示，包括串联和并联两种形 式。串联耦合电感通过一个公共磁路连接，而并联耦合电感则通过各自 的磁路连接。
耦合电感的电压和电流关系
对于串联耦合电感，电压与磁通量成正比，电流与磁通量变化率成正比； 对于并联耦合电感，电流与磁通量成正比，电压与磁通量变化率成正比。
额定电流
变压器正常工作时的输入和输 出电流值。
额定容量
变压器正常工作时的最大输出 功率。
效率
变压器传输电能的有效程度， 通常以百分比表示。
03
耦合电感和变压器的工作 原理
耦合电感器的工作原理
磁耦合
耦合电感器由两个或多个线圈组 成，通过磁场相互耦合。当一个 线圈中的电流发生变化时，会在 另一个线圈中产生感应电动势。
互感现象
当一个线圈中的电流发生变化时， 会在另一个线圈中产生感应电动 势，这个电动势的大小与两个线 圈之间的互感系数和电流的变化
率成正比。
电压和电流关系
在耦合电感器中，电压和电流之 间存在一定的相位差，这取决于
线圈的匝数比和耦合系数。
变压器的工作原理
电压变换
变压器通过改变线圈匝数比，实现输入和输出电 压之间的变换。
第八章 耦合电感和变压器电路
由此例可以看出，三个耦合线圈的同名端，在有些情况下可以全部用 一个符号标明，如图（a），而在另一些情况下，则必须两两分别标明， 如图（b）。
2. 应用同名端判定互感电压的极性
线圈 I 的 i1在线圈 II 产生互感电压 uM 2，根据同名端定义，i1 由“ · ”端入
时，其在 II 中产生的互磁通的方向，与 i2由“ · ”入时在 II 中产生的自磁通的
二 . 互感线圈的同名端及互感电压极性的判定 1 . 同名端定义 两个电流分别从两线圈的一对端子流入（或流出）时，若两线圈中的互磁 通与自磁通方向一致（即加强），则此对端子称为该两线圈的同名端。同名端 用 “ · ” 或 “ * ” 、“ △” 标示。 下两图标出了两线圈的同名端。左图：1 与 2′（或 1 ′与 2）是同名端， 右图：1 与 2 （或 1`与 2`）为同名端。非同名端的两端子称为异名端。
11 L1i1
L1
di1 dt
21在线圈 II 中产生感应电压 uM 2（见图），称为 I 对 II 的互感电压，其方向
与
21方向为右手螺旋关系。根据电磁感应定律，u M
2
d 21
dt
，对于线性电感
线圈， 21 正比于 i1 ，比例系数用 M21 表示，即 21 M21i1 ，于是
uM 2
d 21
dt
线性电感
21 M 21i1
M
21
di1 dt
—— 线圈 I 对 II 产生的互感电压
式中， M21 称为 I 对 II 的互感系数，简称互感。uM 2是 i1 产生的， 称 i1为 uM 2
的施感电流。
上述分析可用下面关系式表达（注： —— 表示大小变化，右旋 —— 表 示右手螺旋定向）：
2. 应用同名端判定互感电压的极性
线圈 I 的 i1在线圈 II 产生互感电压 uM 2，根据同名端定义，i1 由“ · ”端入
时，其在 II 中产生的互磁通的方向，与 i2由“ · ”入时在 II 中产生的自磁通的
二 . 互感线圈的同名端及互感电压极性的判定 1 . 同名端定义 两个电流分别从两线圈的一对端子流入（或流出）时，若两线圈中的互磁 通与自磁通方向一致（即加强），则此对端子称为该两线圈的同名端。同名端 用 “ · ” 或 “ * ” 、“ △” 标示。 下两图标出了两线圈的同名端。左图：1 与 2′（或 1 ′与 2）是同名端， 右图：1 与 2 （或 1`与 2`）为同名端。非同名端的两端子称为异名端。
11 L1i1
L1
di1 dt
21在线圈 II 中产生感应电压 uM 2（见图），称为 I 对 II 的互感电压，其方向
与
21方向为右手螺旋关系。根据电磁感应定律，u M
2
d 21
dt
，对于线性电感
线圈， 21 正比于 i1 ，比例系数用 M21 表示，即 21 M21i1 ，于是
uM 2
d 21
dt
线性电感
21 M 21i1
M
21
di1 dt
—— 线圈 I 对 II 产生的互感电压
式中， M21 称为 I 对 II 的互感系数，简称互感。uM 2是 i1 产生的， 称 i1为 uM 2
的施感电流。
上述分析可用下面关系式表达（注： —— 表示大小变化，右旋 —— 表 示右手螺旋定向）：
Chp8耦合电感和理想变压器
从同名端进（出）——与自感电压同号 从异名端进（出）——与自感电压异号
例1、写出各耦合电感的伏安特性关系式。
（教材P216 8－2）
+ i1
M i2 +
+ i1
M
+
u1
L1
L2
u2
-
-
(a)
u1
L1
L2
u2
-
-
i2
(b)
四、耦合电感元件的VCR
+ i1 M
i2
+
**
u1 L1
L2 u2
-
-
+
I1 jM I2
例1. 求图示串联电路的谐振角频率 。 （教材P217 8－12）
0.01H R
0.02H 0.06H 0.001F
R 0.1H
0.001F
去耦等效电路
0
1 100rad/s 0.10.001
例2. 求各二端电路的最简形式等效电路
2H
8H
2H
2H
6H
0H
2H
(1)
2H 8H 2H
(2)
2H 8H 2H
I2 回路方程简写为
**
+
j L1
j L2
Z11I& 1ZMI& 2U & S （初级）
US -
R1
R2
ZL Z22I& 2ZMI& 10 （次级）
解方程，得：
I&1
Z11
U&S
(M)2Y22
空芯变压器电路模型
(R 1jL 1 )I& 1jM I& 2 U & S
例1、写出各耦合电感的伏安特性关系式。
（教材P216 8－2）
+ i1
M i2 +
+ i1
M
+
u1
L1
L2
u2
-
-
(a)
u1
L1
L2
u2
-
-
i2
(b)
四、耦合电感元件的VCR
+ i1 M
i2
+
**
u1 L1
L2 u2
-
-
+
I1 jM I2
例1. 求图示串联电路的谐振角频率 。 （教材P217 8－12）
0.01H R
0.02H 0.06H 0.001F
R 0.1H
0.001F
去耦等效电路
0
1 100rad/s 0.10.001
例2. 求各二端电路的最简形式等效电路
2H
8H
2H
2H
6H
0H
2H
(1)
2H 8H 2H
(2)
2H 8H 2H
I2 回路方程简写为
**
+
j L1
j L2
Z11I& 1ZMI& 2U & S （初级）
US -
R1
R2
ZL Z22I& 2ZMI& 10 （次级）
解方程，得：
I&1
Z11
U&S
(M)2Y22
空芯变压器电路模型
(R 1jL 1 )I& 1jM I& 2 U & S
电路 第8章耦合电感和变压器电路分析2(1)
1 n
(U S
Z1
I2 n
)
1 n
U
S
Z1 n2
I2
应该指出：阻抗的 n2 倍与元件的 n2 倍是不一 样的。
电阻和电感意义相同；而电容意义刚好相反:
n2 R (n2 R)
n2 ( jL) j (n2 L)
n2
1
jC
1
j
(
1 n2
C)
利用阻抗的来回搬移，能使问题简化。例如：
*
-
I2 j200
+ * U 100
-
1:10
解：将次级折合到初级
ZL 100 j200 Zi n2ZL 1 j2
I1
1000 2 j2
25
2 45A
由理想变压器的伏安关系
I2 nI1 2.5 2 45A
U 100I2 250 2 45 V
a Z1
c Z3
+
U S
*
Z2
N
-
*
简化为
b
a
n:1 d c Z3
+
U S
-
*
1 n2 Z1
*
1 n2 Z2
N
b n:1
d
电源也可以“搬移”。不过，电源搬移与同 名端有关。
a
c Z3
*
-
*
1 n
U+S
1 n2 Z1
1 n2 Z2
N
b n:1
d
由理想变压器
c Z3
的VCR，简化 -
成没有变压器 的电路。
n2
电路教案第8章 耦合电感和理想变压器
1 C2
jωL1
1 C1
jωL2
j
列回路KVL方程得
R1 I 1 U 1 j R2 I 2 j
1 I1 U S 0 C1
1 I 2 U 2 0 C2
耦合电感VCR，得
U1 j L1 I1 j MI 2 U 2 j L2 I 2 j MI1
二、耦合电感的伏安关系
通电流后，若其自磁通与 互磁通方向一致，称为磁通 相助。 各线圈中的总磁链包含自磁 链和互磁链两部分。在磁通相 助的情况下，两线圈的总磁链 分别为 Ψ1 = Ψ11 + Ψ12 = L1 i1+ M i2 Ψ2 = Ψ22 + Ψ21 = L2 i2+ M i1
i1(t)
i2(t)
I 1 2Ω
US
j1Ω U 1 j2Ω
I2 0
I2
j4Ω U 2
V
根据互感的VCR，有U1 j 2I1 由KVL有 U S 2I1 U1 (2 j 2) I1 US I1 2 j2 j1 U S 在次级线圈，由互感的VCR，有 U 2 j1 I1 2 j2 US 4 2V 取模得 U 2 2 2 2 2 如果次级接一个理想电流表，其读数又为多少？
R2
I10
.
R1
j M
US
jL1
jL2
US
jL1
jL2
.
U oc
jX C1
.
jX C 2
.
jX C1
U oc jM I10
jM . US Z11
U 2M 2 Z 0 jL2 Z f 2 jL2 I Z11
jωL1
1 C1
jωL2
j
列回路KVL方程得
R1 I 1 U 1 j R2 I 2 j
1 I1 U S 0 C1
1 I 2 U 2 0 C2
耦合电感VCR，得
U1 j L1 I1 j MI 2 U 2 j L2 I 2 j MI1
二、耦合电感的伏安关系
通电流后，若其自磁通与 互磁通方向一致，称为磁通 相助。 各线圈中的总磁链包含自磁 链和互磁链两部分。在磁通相 助的情况下，两线圈的总磁链 分别为 Ψ1 = Ψ11 + Ψ12 = L1 i1+ M i2 Ψ2 = Ψ22 + Ψ21 = L2 i2+ M i1
i1(t)
i2(t)
I 1 2Ω
US
j1Ω U 1 j2Ω
I2 0
I2
j4Ω U 2
V
根据互感的VCR，有U1 j 2I1 由KVL有 U S 2I1 U1 (2 j 2) I1 US I1 2 j2 j1 U S 在次级线圈，由互感的VCR，有 U 2 j1 I1 2 j2 US 4 2V 取模得 U 2 2 2 2 2 如果次级接一个理想电流表，其读数又为多少？
R2
I10
.
R1
j M
US
jL1
jL2
US
jL1
jL2
.
U oc
jX C1
.
jX C 2
.
jX C1
U oc jM I10
jM . US Z11
U 2M 2 Z 0 jL2 Z f 2 jL2 I Z11
耦合电感与理想变压器
ϕ12 ≤ ϕ22
(8.1-4)
电流i2(亦称施感电流)在线圈2、线圈1中产生的自感磁通 链和互感磁通链分别为
ψ 22 = N 2ϕ22
ψ 22 = L2i2
ψ 12 = N1ϕ12
ψ 12 = M 12i2
(8.1-5)
对于线性耦合电感，自感和互感磁通链都正比于电流i2， (8.1-6)
式中L2为线圈2的自感系数，M12是互感系数，单位是亨利。
ψ 1 = ψ 11 ±ψ 21 ψ 2 = ±ψ 21 +ψ 22
或
ψ 1 = L1i1 ± Mi2 ψ 2 = ± Mi1 + L2i2
(8.1-15)
“＋”号表示互感磁通链与自感磁通链方向一致，互感起“增强”作 ＋ 号表示互感磁通链与自感磁通链方向一致，互感起“增强” 号表示互感磁通链与自感磁通链方向相反，互感起“ 用；“－”号表示互感磁通链与自感磁通链方向相反，互感起“削 弱”作用。 作用。 ＋、－号的选择取决于两线圈中通入的电流的方向及各线圈绕向 号的选择取决于两线圈中通入的电流的方向及各线圈绕向。 ＋、－号的选择取决于两线圈中通入的电流的方向及各线圈绕向。
dψ 11 di1 dψ 21 di1 u11 = = L1 u21 = =M dt dt dt dt 注意， 的参考方向与φ 成右手螺旋法则。 注意，u21的参考方向与 21成右手螺旋法则。
(8.1-13)
个线圈通以交变电流i 亦在第1个线圈 ②同理，若第2个线圈通以交变电流 2，亦在第 个线圈 同理，若第 个线圈通以交变电流 两端产生互感电压u 两端产生互感电压 12，
耦合系数： 2. 耦合系数： 耦合系数用于描述两个线圈相互耦合的紧密程 度。定义为
ψ 12 ψ 21 k≡ ψ 11 ψ 22
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+ u1 - + u2 -
i +
《电路分析基础》
u
顺串
P36-13
i +
反串
u
-
第2章 耦合电感和变压器电路分析
在图示参考方向下，耦合电感的伏安关系为： (下面推导中，顺串取+，反串取－)
u u1 u2 L1 di dt
di dt
M
di dt
L2
di dt
di dt
M
di dt
12 表示线圈2的线圈电流在
线圈1中产生的磁链，称为互 感磁链，类此有 21 。 图中显示自磁链与互 磁链的参考方向一致；
I
若线圈2改变绕向，则自磁链与互磁链参考方向将不一致。 因此，穿过一线圈的总磁链有两种可能，分别表示为：
1 11 12 L1i1 M12i2
2 22 21 L2i2 M 21i1
《电路分析基础》
P36-5 第2章 耦合电感和变压器电路分析
式中， L1
11
i1
, L2
22
i2
，称为自感系数，
单位亨(利)H。 式中， M 1
12
i2 ,M2
21
i1
，称为互感系数，
单位亨(利)H。
且M12 M 21 M
若线圈电流变化，则自磁链，互磁链也随之变化。 由电磁感应定律，线圈两端会产生感应电压，若电压与 电流采取关联参考方向。耦合电感伏安关系(VCR)表达 式为 d1 d11 d12 di1 di2
第一步：总认为电压、电流方向关联(假设电压或电流 的参考方向)，这时，自感电压总是正的,互感电压总是 同一符号； 第二步：按要求(消去假设的变量)改变相应互感电压 和自感电压的符号。 当两线圈的电流、电压参考方向已经时，也可以 画成含受控源的相应耦合电感的电路模型。
耦合电感的相量(模型)形式为
U1 jL1 I1 jMI 2
i dt
t
t
( L1
2
di1 dt
1 2
M
2
di2 dt
)i1dt
( L2
di2 dt
M
di1 dt
)i2 dt
1 2
L1i1
L2i2 Mi1i2 0
无源元件
也可以用其VCR和上式代入下式来验证：
dw(t )
《电路分析基础》
dt
p (t ) u1i1 u2i2
《电路分析基础》
P36-3
第2章 耦合电感和变压器电路分析
8.1 耦合电感
耦合电感：指多个线圈(这里先介绍两个线圈)相互之间 存在磁场的联系。它是耦合线圈的理想化模型。
复习：单个线圈(电感、或称自感)的VCR。：
磁链=匝数乘磁通：
N
自感=磁链比电流：
若u、i 方向关联， 由电磁感应定律：
L
Leq i 0
2
w(t )
L1 L2 M
2
L1 L2 2M
0
L1 L2 M
2
《电路分析基础》
P36-17
第2章 耦合电感和变压器电路分析
M
L1 L2
互感系数不大于自感系数的。 几何平均数。
1 2 ( L1 L2 )
L1 L2
k M L1 L2
L1 L2
得
M max
L2
c
* L
1
L2
*
u2
u1
d b
b
-
-
-
*
u2
-
d
VCR中互感电压取+
VCR中互感电压取－
(当各线圈的电压、电流方向关联时只有这两种可能。)
《电路分析基础》
P36-9 第2章 耦合电感和变压器电路分析
在绕法无法知道的情况下，同名端的测定： K aM c (1)直流法
根据其VCR，得 正偏：a,c同名端 反偏：a,d同名端 (2)交流法 a M c
《电路分析基础》
P36-8 第2章 耦合电感和变压器电路分析
di 2
当自磁链与互磁链的参考方向一致时取正号，不一 致时取负号。或者说，根据同名端，电流在本线圈中产 生的自感电压与该电流在另一个线圈中产生的互感电压 极性是相同的。
耦合电感的电路符号： i1 M i 2 c a
a
+
u1
+
+
i1
M
i2
+ * L1
+
US
-
L1
L2
v um 2
+
-
b
d
+
US
L1
b
L2
原图电源改为正弦电 + 源，开关移去，直流电压 表改为交流电压表，bd端 v um2 连接。
-
d
《电路分析基础》
根据其VCR的相量形 式同样能判定其同名端。
第2章 耦合电感和变压器电路分析
P36-10
根据同名端标记，根据线圈电流和电压的参考方向， 就可以直接列写耦合电感伏安关系。其规则：
耦合电感的VCR中有三个参数：L1、L2 和 M 。
8.1.2 耦合电感的同名端 耦合线圈自磁链和互磁链的参考方向是否一致，不 仅与线圈电流的参考方向有关，还与线圈的绕向及相对 位置有关，后者不便画出，故引入同名端的概念。
1.顾名思义,指绕法相同的一对端钮；
a
《电路分析基础》
b
P36-7
a、b是同名端
2
u u
2
《电路分析基础》
P36-16
第2章 耦合电感和变压器电路分析
di dt
d (i1 i2 ) dt
L1 L2 2 M L1 L 2 M
2
2
u
得
u
L1 L2 M
L1 L2 2 M
di dt
Leq
di dt
Leq
L1 L2 M
1 2
2
L1 L2 2M
P36-12 第2章 耦合电感和变压器电路分析
8.2 耦合电感的联接及去耦等效
常见的耦合电感的联接方式： 串联，并联和三端联接 去耦等效： 耦合电感用无耦合的等效电路去等效。 8.2.1 耦合电感的串联 顺串：异名端相接； 反串：同名端相接。 * L1 M L2 * + u1 - + u2 -
* L1 M * L2
-
u1 L1
di1 dt di2 dt
M
di2 dt
( L1 M )
di1 dt di2 dt
M
d(i1 i2 ) dt
u2 L2
M
di1 dt
( L2 M )
M
d(i1 i2 ) dt
《电路分析基础》
P36-20
第2章 耦合电感和变压器电路分析
8.3 空芯变压器
M 2 US Zi Z11 I1 Z 22
Zf1
其中：
M
Z 22
2
称为次级回路对初级回路的反映阻抗或引入阻抗。
《电路分析基础》
P36-22 第2章 耦合电感和变压器电路分析
它反映了次级回路通过磁耦合对初级回路的影响。
据此，可作为初级等效回路，很方便地求出初级回路电 流。而次级回路的电流为
( L1 L2 2 M )
Leq
i
Leq
+ u
串联等效
顺串等效: Leq L1 L2 2M
反串等效: Leq L1 L2 2M
由耦合电感为储能公式
w(t ) 1 2
《电路分析基础》
( L1 L2 2 M ) i
2
1 2
Leq i 0
2
P36-14
电路分析基础
刘 陈
沈元隆
第八章
《电路分析基础》
P36-1
第2章 耦合电感和变压器电路分析
第8章 耦合电感和变压器电路分析
8.1 耦合电感 8.2 耦合电感的联接及去耦等效 8.3 空芯变压器 8.4 理想变压器和全耦合变压器
8.5 含理想变压器电路的分析计算
8.6 一般变压器的电路模型 习题
《电路分析基础》
I2 j MI1 Z 22
若 ，相当于次级未接：Z i Z11 ，即 次级对 初级无影响；
0 Z
若
即次级短路相当于(近似于)初级短路。
《电路分析基础》
P36-23 第2章 耦合电感和变压器电路分析
LZ
L
,当 k=1，线圈绕组近似为零时，
第2章 耦合电感和变压器电路分析
2.起的作用相同的一对端钮；
当线圈电流同时流入(或流出)该对端钮时，各线 圈中产生的磁通方向一致的这对端钮。。
或者说，(1)同名端就是当电流分别流入线圈时，能使 磁场加强的一对端钮；
(2)同名端就是当电流分别流入线圈时，能使电压增加 的一对端钮； (3)产生自感电压与互感电压极性相同的一对端钮。 同名端用标志‘ . ’或‘ * ’等表示。 注意：同名端不一定满足递推性，故当多个线圈时有 时必需两两标出。 在VCR中， uM 1 M dt ，到底取正还是取负， 要根据电流参考方向和同名端来确定：
定义：耦合系数
0 k 1
k=1
全耦合,
k 1 紧耦合，
k较小，松耦合， k=0无耦合。
《电路分析基础》
P36-18 第2章 耦合电感和变压器电路分析
8.2.3 耦合电感的三端联接
i +
《电路分析基础》
u
顺串
P36-13
i +
反串
u
-
第2章 耦合电感和变压器电路分析
在图示参考方向下，耦合电感的伏安关系为： (下面推导中，顺串取+，反串取－)
u u1 u2 L1 di dt
di dt
M
di dt
L2
di dt
di dt
M
di dt
12 表示线圈2的线圈电流在
线圈1中产生的磁链，称为互 感磁链，类此有 21 。 图中显示自磁链与互 磁链的参考方向一致；
I
若线圈2改变绕向，则自磁链与互磁链参考方向将不一致。 因此，穿过一线圈的总磁链有两种可能，分别表示为：
1 11 12 L1i1 M12i2
2 22 21 L2i2 M 21i1
《电路分析基础》
P36-5 第2章 耦合电感和变压器电路分析
式中， L1
11
i1
, L2
22
i2
，称为自感系数，
单位亨(利)H。 式中， M 1
12
i2 ,M2
21
i1
，称为互感系数，
单位亨(利)H。
且M12 M 21 M
若线圈电流变化，则自磁链，互磁链也随之变化。 由电磁感应定律，线圈两端会产生感应电压，若电压与 电流采取关联参考方向。耦合电感伏安关系(VCR)表达 式为 d1 d11 d12 di1 di2
第一步：总认为电压、电流方向关联(假设电压或电流 的参考方向)，这时，自感电压总是正的,互感电压总是 同一符号； 第二步：按要求(消去假设的变量)改变相应互感电压 和自感电压的符号。 当两线圈的电流、电压参考方向已经时，也可以 画成含受控源的相应耦合电感的电路模型。
耦合电感的相量(模型)形式为
U1 jL1 I1 jMI 2
i dt
t
t
( L1
2
di1 dt
1 2
M
2
di2 dt
)i1dt
( L2
di2 dt
M
di1 dt
)i2 dt
1 2
L1i1
L2i2 Mi1i2 0
无源元件
也可以用其VCR和上式代入下式来验证：
dw(t )
《电路分析基础》
dt
p (t ) u1i1 u2i2
《电路分析基础》
P36-3
第2章 耦合电感和变压器电路分析
8.1 耦合电感
耦合电感：指多个线圈(这里先介绍两个线圈)相互之间 存在磁场的联系。它是耦合线圈的理想化模型。
复习：单个线圈(电感、或称自感)的VCR。：
磁链=匝数乘磁通：
N
自感=磁链比电流：
若u、i 方向关联， 由电磁感应定律：
L
Leq i 0
2
w(t )
L1 L2 M
2
L1 L2 2M
0
L1 L2 M
2
《电路分析基础》
P36-17
第2章 耦合电感和变压器电路分析
M
L1 L2
互感系数不大于自感系数的。 几何平均数。
1 2 ( L1 L2 )
L1 L2
k M L1 L2
L1 L2
得
M max
L2
c
* L
1
L2
*
u2
u1
d b
b
-
-
-
*
u2
-
d
VCR中互感电压取+
VCR中互感电压取－
(当各线圈的电压、电流方向关联时只有这两种可能。)
《电路分析基础》
P36-9 第2章 耦合电感和变压器电路分析
在绕法无法知道的情况下，同名端的测定： K aM c (1)直流法
根据其VCR，得 正偏：a,c同名端 反偏：a,d同名端 (2)交流法 a M c
《电路分析基础》
P36-8 第2章 耦合电感和变压器电路分析
di 2
当自磁链与互磁链的参考方向一致时取正号，不一 致时取负号。或者说，根据同名端，电流在本线圈中产 生的自感电压与该电流在另一个线圈中产生的互感电压 极性是相同的。
耦合电感的电路符号： i1 M i 2 c a
a
+
u1
+
+
i1
M
i2
+ * L1
+
US
-
L1
L2
v um 2
+
-
b
d
+
US
L1
b
L2
原图电源改为正弦电 + 源，开关移去，直流电压 表改为交流电压表，bd端 v um2 连接。
-
d
《电路分析基础》
根据其VCR的相量形 式同样能判定其同名端。
第2章 耦合电感和变压器电路分析
P36-10
根据同名端标记，根据线圈电流和电压的参考方向， 就可以直接列写耦合电感伏安关系。其规则：
耦合电感的VCR中有三个参数：L1、L2 和 M 。
8.1.2 耦合电感的同名端 耦合线圈自磁链和互磁链的参考方向是否一致，不 仅与线圈电流的参考方向有关，还与线圈的绕向及相对 位置有关，后者不便画出，故引入同名端的概念。
1.顾名思义,指绕法相同的一对端钮；
a
《电路分析基础》
b
P36-7
a、b是同名端
2
u u
2
《电路分析基础》
P36-16
第2章 耦合电感和变压器电路分析
di dt
d (i1 i2 ) dt
L1 L2 2 M L1 L 2 M
2
2
u
得
u
L1 L2 M
L1 L2 2 M
di dt
Leq
di dt
Leq
L1 L2 M
1 2
2
L1 L2 2M
P36-12 第2章 耦合电感和变压器电路分析
8.2 耦合电感的联接及去耦等效
常见的耦合电感的联接方式： 串联，并联和三端联接 去耦等效： 耦合电感用无耦合的等效电路去等效。 8.2.1 耦合电感的串联 顺串：异名端相接； 反串：同名端相接。 * L1 M L2 * + u1 - + u2 -
* L1 M * L2
-
u1 L1
di1 dt di2 dt
M
di2 dt
( L1 M )
di1 dt di2 dt
M
d(i1 i2 ) dt
u2 L2
M
di1 dt
( L2 M )
M
d(i1 i2 ) dt
《电路分析基础》
P36-20
第2章 耦合电感和变压器电路分析
8.3 空芯变压器
M 2 US Zi Z11 I1 Z 22
Zf1
其中：
M
Z 22
2
称为次级回路对初级回路的反映阻抗或引入阻抗。
《电路分析基础》
P36-22 第2章 耦合电感和变压器电路分析
它反映了次级回路通过磁耦合对初级回路的影响。
据此，可作为初级等效回路，很方便地求出初级回路电 流。而次级回路的电流为
( L1 L2 2 M )
Leq
i
Leq
+ u
串联等效
顺串等效: Leq L1 L2 2M
反串等效: Leq L1 L2 2M
由耦合电感为储能公式
w(t ) 1 2
《电路分析基础》
( L1 L2 2 M ) i
2
1 2
Leq i 0
2
P36-14
电路分析基础
刘 陈
沈元隆
第八章
《电路分析基础》
P36-1
第2章 耦合电感和变压器电路分析
第8章 耦合电感和变压器电路分析
8.1 耦合电感 8.2 耦合电感的联接及去耦等效 8.3 空芯变压器 8.4 理想变压器和全耦合变压器
8.5 含理想变压器电路的分析计算
8.6 一般变压器的电路模型 习题
《电路分析基础》
I2 j MI1 Z 22
若 ，相当于次级未接：Z i Z11 ，即 次级对 初级无影响；
0 Z
若
即次级短路相当于(近似于)初级短路。
《电路分析基础》
P36-23 第2章 耦合电感和变压器电路分析
LZ
L
,当 k=1，线圈绕组近似为零时，
第2章 耦合电感和变压器电路分析
2.起的作用相同的一对端钮；
当线圈电流同时流入(或流出)该对端钮时，各线 圈中产生的磁通方向一致的这对端钮。。
或者说，(1)同名端就是当电流分别流入线圈时，能使 磁场加强的一对端钮；
(2)同名端就是当电流分别流入线圈时，能使电压增加 的一对端钮； (3)产生自感电压与互感电压极性相同的一对端钮。 同名端用标志‘ . ’或‘ * ’等表示。 注意：同名端不一定满足递推性，故当多个线圈时有 时必需两两标出。 在VCR中， uM 1 M dt ，到底取正还是取负， 要根据电流参考方向和同名端来确定：
定义：耦合系数
0 k 1
k=1
全耦合,
k 1 紧耦合，
k较小，松耦合， k=0无耦合。
《电路分析基础》
P36-18 第2章 耦合电感和变压器电路分析
8.2.3 耦合电感的三端联接