中考专题：垂直平分线与角平分线

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2020中考数学总复习：垂直平分线、角平分线及尺规作图(结合2019中考真题)

图20-10
∴AD=BD,∴△BDC的周长=BD+DC+BC=AD+DC+BC=5+3=8.
三角形三边的垂直平分线相交于一点,这一点到三角形三个顶点的距离相等
考点二角平分线
从一个角的顶点出发,把这个角分成两个相等的角,这条射线定义
叫做这个角的平分线
角平分线
定角平分线上的点到角的两边的距离③ 相等 ,
理
即∠��1��
= ⊥
∠2 ��,��
图20-9
[答案] C
[解析]由作法得 BD 平分∠ABC,∴A 选项的结论正确;∵∠C=90°,∠A=30°, ∴∠ABC=60°,∴∠ABD=30°=∠A,∴AD=BD,∴B 选项的结论正确; ∵∠CBD=12∠ABC=30°,∴BD=2CD,∴D 选项的结论正确;∴AD=2CD, ∴S△ABD=2S△CBD,∴C 选项的结论错误.故选 C.
垂直平分线、角平分线及尺规作图
考点一线段的垂直平分线
定义性质判定实质构成拓展
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离① 相等与一条线段两个端点距离② 相等的点,在这条线段的垂直平分线上
线段的垂直平分线可以看作是到线段两个端点距离相等的所有点的集合
D,则∠CBD的度数为 ( B )
A.30°
B.45°
C.50°
D.75°
图20-3
3.[2018·包头一模]已知:在△ABC中,BC>AB>AC.根据图20-4中的作图痕迹及作法,下列结论一定成立的是 ( B ) A.AP⊥BC B.∠APC=2∠ABC C.AP=CP D.BP=CP

中考专题：垂直平分线与角平分线

线段的垂直平分线知识要点详解1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点这条线段两个端点的距离相等.定理的数学表示：如图1，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若点C 在直线m 上，则AC ＝BC.定理的作用：证明两条线段相等（2）线段关于它的垂直平分线对称.2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（1）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.定理的数学表示：如图2，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若AC ＝BC ，则点C 在直线m 上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.3、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.定理的数学表示：如图3，若直线,,i j k 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的垂直平分线，则直线,,i j k 相交于一点O ，且OA ＝OB ＝OC.定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形.经典例题：例1 如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于（） A ．6cm B ．8cm C ．10cm D ．12cm图2针对性练习：已知：1)如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交BC 于点E ，如果△EBC 的周长是24cm ，那么BC=2) 如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交BC 于点 E ，如果BC=8cm ，那么△EBC 的周长是3）如图，AB=AC,AB 的垂直平分线交AB于点D ，交AC 于点E ，如果∠A=28度，那么∠EBC 是例2. 已知：如图所示，AB=AC ，DB=DC ，E 是AD 上一点，求证：BE=CE 。

线段的垂直平分线和角的平分线中考真题

线段的垂直平分线和角的平分线中考真题1（2016黄石）如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A=50°，则∠BDC=（）A．50° B．100° C．120° D．130°2（2016广州）已知△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，DE是AC的垂直平分线，DE交AB于点D，连接CD，则CD=（）（A）3 （B）4 C、4.8 （D）53（2016荆州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线交BC于D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E．若BC=3，则DE的长为（）A．1 B．2 C．3 D．44（2016天门）如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=110．AB的垂直平分线DE交AC于点D,连接BD，则∠ABD = ▲度．5（2016毕节）到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（）A.三条高的交点B. 三条角平分线的交点C.三条中线的交点D. 三条边的垂直平分线的交点6、（2016长沙）如图，△ABC中，AC=8，BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为．8（2016西宁）如图6，OP平分AOBPD⊥于点D，4PC=AOP，PC∥OA，OA∠，︒=∠15则=PD．9（2016常德）如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OB于点C，且PC=3，点P到OA 的距离为．10（2016怀化）如图，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，则下列结论错误的是（）A．PC=PD B．∠CPD=∠DOP C．∠CPO=∠DPO D．OC=OD11（2016淮安）、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D ，若CD=4，AB=15，则△ABD 的面积是（）A ．15 B ．30 C ．45D ．6012（2016铜仁）如图，已知∠AOB =30°，P 是∠AOB 平分线上一点，CP ∥OB ,交OA 于点C ，PD ⊥OB ,垂足为点D ,且PC =4，则PD 等于（）A. 1 B. 2 C. 4 D. 813（2016湖州）如图，AB ∥CD ，BP 和CP 分别平分∠ABC 和∠DCB ，AD 过点P ，且与AB 垂直．若AD=8，则点P 到BC 的距离是（）A ．8 B ．6 C ．4 D ．214（2016莆田）如图，OP 是∠AOB 的平分线，点C ，D 分别在角的两边OA ，OB 上，添加下列条件，不能判定△POC ≌△POD 的选项是（）A ．PC ⊥OA ，PD ⊥OB B ．OC=ODC ．∠OPC=∠OPD D ．PC=PD15（2016台湾）证明命题“角的一部分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程. 下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证.已知：如图，∠AOC=∠BOC ，点P 在OC 上. _____________________________________. 求证：______________________.请你补全已知和求证，并写出证明过程.（第9题图）。

三角形的角平分线与垂直平分线

三角形的角平分线与垂直平分线角平分线与垂直平分线是三角形中重要的几何概念。

它们可以帮助我们研究三角形的性质和推导出一些有用的结论。

本文将详细介绍角平分线与垂直平分线的定义、性质和应用。

一、角平分线角平分线定义为从一个角的顶点出发，将这个角分成两个相等的角的线段。

以三角形ABC为例，假设角A的角平分线为AD，则角BAD 与角DAC是相等的。

这一定义可以推广到任意三角形中的任意角。

角平分线具有以下性质：1. 一个角的两条平分线相交于该角的顶点，并将该角平分成两个相等的角。

2. 三角形的内角平分线三条相交于一点，称为内心。

这个点到三角形三边的距离相等，可以证明是三角形内接圆的圆心。

3. 三角形的外角平分线三条相交于一点，称为外心。

这个点到三角形的顶点的距离相等，可以证明是三角形外接圆的圆心。

4. 三角形的角平分线分割对边成比例，即根据角平分线定理可得：AB/BC=AD/DC。

角平分线的应用广泛，特别是在证明三角形的性质和推导结论时非常有用。

例如，可以利用角平分线证明角的等分性质、三角形的相似性质、垂心定理等。

二、垂直平分线垂直平分线定义为从一个线段的中点出发，与该线段垂直且将该线段平分为两段相等的线段。

以三角形ABC为例，假设AB的垂直平分线为DE，则AD=BD=BE=CE=CD。

这一定义可以推广到任意线段。

垂直平分线具有以下性质：1. 一个三角形的三条垂直平分线交于一点，称为垂心。

这个点到三角形三顶点的距离相等，可以证明是三角形外接圆的圆心。

2. 一个角的垂直平分线经过角的顶点，并将该角平分成两个相等的角。

3. 垂直平分线等分线段，即对于一个线段AB，若点D是其垂直平分线的交点，则AD=DB。

垂直平分线也有许多应用，特别是在几何证明中常常能发挥关键作用。

例如，可以利用垂直平分线证明角的等分性质、直角三角形的性质、垂心定理等。

总结：角平分线与垂直平分线是三角形中重要的概念，它们有着许多有用的性质和应用。

三角形的角平分线和垂直平分线

三角形的角平分线和垂直平分线三角形是几何学中最常见的形状之一，它由三条边和三个角组成。

在研究三角形的性质时，我们经常会遇到角平分线和垂直平分线这两个重要的概念。

本文将详细介绍三角形的角平分线和垂直平分线的定义、性质以及它们在解题中的应用。

一、角平分线1. 定义：三角形的角平分线是指从一个角的顶点出发，将该角分为两个相等的角的线段。

具体而言，设三角形ABC中的∠BAC的角平分线为AD，那么AD将∠BAC分为两个相等的角∠BAD和∠DAC。

2. 性质：（1）角平分线与对边的关系：角平分线将对边分成两个部分，这两个部分的长度之比等于与它们相对的两个角的正弦值之比。

即AB/AC = BD/DC = sin∠BAD/sin∠DAC。

（2）角平分线的交点：三角形的三条角平分线交于一点，称为内心。

内心是三角形内切圆的圆心，三条角平分线相交于该点的原因是，该点到三条边的距离相等，满足等距离定理。

（3）内心到三边的距离：内心到三边的距离相等，且等于内切圆的半径。

设内心到三边的距离分别为r₁、r₂和r₃，那么r₁=r₂=r₃=r。

二、垂直平分线1. 定义：三角形中的垂直平分线是指从一个角的顶点出发，与对边垂直相交，并将对边分成两个相等部分的直线。

以三角形ABC中∠BAC的垂直平分线为例，假设该垂直平分线与BC相交于点D，那么BD=DC。

2. 性质：（1）垂直平分线与对边的关系：垂直平分线平分对边，并且被平分的两部分的长度相等。

即BD=DC。

（2）垂直平分线与角平分线的关系：垂直平分线与角平分线互相垂直。

也就是说，三角形的垂直平分线同时也是它的内角平分线。

三、角平分线和垂直平分线的应用角平分线和垂直平分线在解决三角形相关问题时起着重要的作用，它们能够提供关键的几何信息，帮助我们求解未知量、证明定理。

1. 解题应用：（1）角平分线的应用：在求解三角形相关问题时，可以利用角平分线的性质来求解未知量，比如利用角平分线将角分为两个相等的角，从而应用三角函数关系进行计算。

垂直平分线与角平分线(讲义及答案).

垂直平分线与角平分线（讲义）知识点睛1.垂直平分线相关定理：①线段垂直平分线上的点到这条线段___________________；②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．2.角平分线相关定理：①角平分线上的点到这个角的_____________________；②在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．精讲精练1.如图，在△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，交AC于点E，垂足为点D．若BE+CE=12，BC=8，则△ABC的周长为___________．第1题图第2题图2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，DE是线段AB的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E．若DE=1，则线段AC的长为________．3.如图，在△ABC中，DE，GF分别是AC，BC的垂直平分线，AD=8，BG=10．若AD⊥CD，则DG的长为_______．4.如图，AD与BC相交于点O，OA=OC，∠A=∠C，BE=DE．求证：OE垂直平分BD．5.如图，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，AB=8，BC=6．若S△ABC=14，则DE=__________．第5题图第6题图6.如图，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，且PC=PD，点E在射线OA上，若∠AOB=60°，∠OPE=80°，则∠AEP的度数为_________．7.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点O，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为点D，E．求证：OD=OE．8.已知：如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．9.如图，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于点A，B，点C在x轴正半轴上，且OC=OB，点D位于x轴上点C的右侧，连接BC，∠BAO和∠BCD的平分线AP，CP相交于点P，连接BP，则∠PBC的度数为__________．10.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，在AC和AB上分别截取AE，AD，使AE=AD．再分别以点D，E为圆心，大于12 DE的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点F，作射线AF交边BC于点G．若CG=4，AB=10，则△ABG的面积为________．第10题图第11题图11.如图，在△ABC中，∠B=35°，∠ACB=75°，请依据尺规作图的痕迹，计算∠α=__________．12.过直线上一点，作已知直线的垂线．已知：A为直线MN上一点．求作：直线AB，使AB⊥MN．作法：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，交直线MN于C，D两点；②分别以______，______为圆心，_________为半径作弧，两弧交MN上方于一点B；③______________．______________即为所求．13.过直线外一点，作已知直线的垂线．已知：A为直线MN外一点．求作：直线AB，使AB⊥MN．作法：①在MN下方任取一点P；②以_____为圆心，______为半径作弧，交MN于C，D两点；③分别以______，______为圆心，_________为半径作弧，两弧交MN下方于一点B；④______________．______________即为所求．14.如图，已知△ABC，求作：（不写作法，保留作图痕迹）（1）AC边上的高；（2）BC边上的高．15.如图，C，D是∠AOB内部两点，在∠AOB内部求作一点P，使PC=PD，并且使点P到∠AOB两边的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）16.已知：如图，∠ABC，点D在射线BC上．求作：等腰△PBD，使线段BD为等腰△PBD的底边，点P 在∠ABC内部，且点P到∠ABC两边的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）17.如图，A，B是平面上的两定点，在平面上找一点C，使△ABC是以点C为直角顶点的等腰直角三角形，这样的点C有几个？请用尺规作图确定点C的位置，保留作图痕迹．【参考答案】课前预习1.①两个端点的距离相等2.①两边的距离相等精讲精练1.322.33.64.证明略；提示：证△AOB≌△COD（ASA），得到OB=OD，再结合BE=DE，由“到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”得证5.26.110°7.证明略；提示：由“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”可证OD=OF=OE8.证明略；提示：过点F分别作FG⊥AD于G，FH⊥AE于H，FK⊥BC 于K，先由“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”可证FG=FK=FH，再由“在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”求证9.45°10.2011.75°12.①点C；点D；大于1CD的长；③作直线AB；直线AB213.②点A；AP长；③点C；点D；大于1CD的长；③作直线2AB；直线AB14.作图略提示：过直线外一点作已知直线的垂线；15.作图略提示：作线段CD的垂直平分线和∠AOB的角平分线；16.作图略提示：作线段BD的垂直平分线和∠ABC的角平分线；17.这样的点C有2个，作图略。

三角形的角平分线与垂直平分线的性质解析

三角形的角平分线与垂直平分线的性质解析三角形是几何学中的基本图形之一，由三条边和三个角组成。

在研究三角形的性质时，角平分线和垂直平分线是两个重要的概念。

本文将详细解析三角形的角平分线与垂直平分线的性质，并通过几何证明来加深理解。

一、角平分线的性质角平分线是指将一个角分成两个相等角的线段。

在三角形中，每个角都可以有三条角平分线，它们分别连接角的顶点和对边上的点。

下面将分别探讨三角形内、角平分线与三角形外、角平分线的性质。

1. 三角形内的角平分线性质对于任意三角形ABC，以顶点A为例，AC为角A的对边，BD为角A的一条角平分线（B点在AC上）。

则有以下结论：（1）角平分线BD将角A分成两个相等的角。

这是角平分线的定义性质，也即∠BAD = ∠DAC。

（2）角平分线所在的边（线段BD）与对边（线段AC）成等角。

这一性质可以通过角平分线定义的推论得到，即∠ABD = ∠CBD。

（3）角平分线所在的边（线段BD）与三角形的另一边（线段AB 或BC）成外角。

外角是指角的补角，也即∠ABC = ∠CBD + ∠ABD。

2. 三角形外的角平分线性质接上述讨论，若角平分线BD延长到线段BC上的点E，则有以下结论：（1）角平分线BD将角A分成两个相等的角。

这一性质是角平分线的定义性质，同前述。

（2）角平分线所在的射线（射线BD）与对边（线段AC）夹角的平分线是角平分线BD所在的边（线段BD）。

这一性质也即∠ABD是∠ACD的平分线，通过几何证明可得。

（3）角平分线所在的射线（射线BD）与三角形的另一边（线段AB或BC）成内角。

内角是指角的补角，也即∠DBE = ∠ABC + ∠CBD。

这一性质可通过几何证明来得到。

二、垂直平分线的性质垂直平分线是指将一个线段分成两个相等线段，并且与该线段垂直的线段。

在三角形中，每条边都可以有一条垂直平分线，它们分别与对边相交于一个点，并且将对边分成两个相等线段。

下面将讨论垂直平分线的性质。

中考重点三角形的垂直平分线定理

中考重点三角形的垂直平分线定理中考重点：三角形的垂直平分线定理在中考数学考试中，三角形是一个常见的考点。

其中，三角形的垂直平分线定理是一个重要的概念。

下面，本文将详细介绍三角形的垂直平分线定理及其相关性质。

一、三角形的垂直平分线定理的定义垂直平分线定理是指：如果一条直线同时垂直于一条边且平分这条边，那么它一定与这个三角形的对角线相交于对角线的中点。

二、垂直平分线的性质1. 垂直平分线将边分成相等的两段。

根据垂直平分线定理，垂直平分线将三角形的一条边分成两段，并且这两段长度相等。

这是因为垂直平分线平分了边，同时也垂直于边，所以可以得出这个性质。

2. 垂直平分线的交点是对边的中点。

垂直平分线与三角形的对边相交于对边的中点。

这是由垂直平分线定理的定义得出的。

三、垂直平分线的应用1. 证明角平分线与垂直平分线的关系。

在三角形中，如果某条线段既是角的平分线又是相应边的垂直平分线，那么它必定是这个角的平分线，即它与对边的交点是角的平分线的中点。

2. 判断三角形相似的条件之一。

如果两个三角形有一个顶点相同，并且它们相对于这个顶点的两条边被一条直线所垂直平分，那么这两个三角形是相似的。

这是因为两个三角形的对应边被这条直线垂直平分，并且相等，符合三角形相似的条件之一。

3. 求解直角三角形的边长问题。

在求解直角三角形的边长问题中，垂直平分线的性质可以被充分利用。

根据垂直平分线将直角边分成相等的两段，可以通过已知条件求解未知边长。

四、三角形垂直平分线定理的应用举例例1：如图所示，ABC是一个等边三角形，AD是三角形ABC的一条边AB的垂直平分线，证明AD是边BC的垂直平分线。

解：由于ABC是一个等边三角形，所以AD是边AB的垂直平分线，则AD与弧BC的交点为弧BC的中点。

又因为BC = AC，所以AD也是边BC的垂直平分线。

例2：如图所示，ABCD是一个平行四边形，E是边AD的中点，证明BE是边CD的垂直平分线。

解：由于ABCD是一个平行四边形，所以AE = ED。

最新中考数学专题-三角形全等与角平分线,垂直平分线

2017-2018学年中考数学专题---《三角形全等与角平分线，垂直平分线》一．选择题（每小题3份，共计36分）1．下列说法不正确的是（）A．如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同B．图形全等，只与形状、大小有关，而与它们的位置无关C．全等图形的面积相等，面积相等的两个图形是全等图形D．全等三角形的对应边相等，对应角相等2．不能使两个直角三角形全等的条件是（）A．斜边、直角边对应相等B．两直角边对应相等C．一锐角和斜边对应相等D．两锐角对应相等3．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3=（）A．90°B．135°C．150°D．180°4．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，过B作BE⊥AD于E，过E作EF∥AC交AB于F，则A．AF=2BF B．AF=BF C．AF＞BF D．AF＜BF第4题图第5题图第6题图5．如图，△ABC中，∠B=∠C=∠EDF=α，BD=CF，BE=CD，则下列结论正确的是（）A．2α+∠A=180°B．α+∠A=90°C．2α+∠A=90°D．α+∠A=180°6．如图，把一个等腰直角三角形放在间距是1的横格纸上，三个顶点都在横格上，则此三角形的斜边长是（）A．3 B．C．2D．27．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，∠C的平分线与∠ABC的外角的平分线交于E点，则∠AEB是（）A．50°B．45°C．40°D．35°第6题图第7题图第8题图8．如图，在△ABC中，AC=10，BC=8，AB垂直平分线交AB于点M，交AC于点D，则△BDC的周长为（）A．14 B．16 C．18 D．209．已知AD和BE是△ABC的高，H是AD与BE或是它们的延长线的交点，BH=AC，则∠ABC的度数为（）A．45°B．135°C．60°或120°D．45°或135°10．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B，D重合，已知AB=3，AD=4，则①DE=DF；②DF=EF；③△DCF≌△DGE；④EF=．上面结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．如图，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为R、S，若AQ=PQ，PR=PS，则这四个结论中正确的有（）①PA平分∠BAC；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△CSP．A．4个B．3个C．2个D．1个第10题图第11题图第12题图12．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），给出以下四个结论：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③2S四边形AEPF=S△；④BE+CF=EF．上述结论中始终正确的有（）ABCA．4个B．3个C．2个D．1个2017-2018学年中考数学专题---《三角形全等与角平分线，垂直平分线》题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案二．填空题（共6小题）13．如图：∠DAE=∠ADE=15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE=8，则DF等于．14．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=22.5°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC于E，若CE=3，则BE=．第13题图第14题图第15题图15．如图，已知点O为∠CAB与∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC于E，若OE=2，则点O 到AB的距离与点O到CD的距离之和是．16．如图，△ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于D、E，若边BC长为5cm，则△ADE的周长为cm．17．如图，直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3．把一块含有45°角的直角三角板如图所示放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为．第16题图第17题图第18题图18．如图所示，将等腰直角三角形ABC放置到平面直角坐标系中，直角顶点C在x轴上，点B在y轴上，反比例函数y=图象过点A，若点B与点C坐标分别为（0，1）与（﹣2，0），则k=．三．解答题（19-21每小题8分，22-25每小题9分，共计60分）19．如图，∠C=∠F，AC∥EF，AE=BD，求证：①△ABC≌EDF；②BC∥DF．20．如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高．求证：（1）∠DEF=∠DFE；（2）AD垂直平分EF．21．如图：△ABC中，DE是BC边的垂直平分线，垂足为E，AD平分∠BAC且MD⊥AB，DN⊥AC延长线于N．求证：BM=．22．如图，已知四边形ABCD中，∠D=∠C=90°，AE平分∠BAD，点E是DC的中点，且E在DC上．（1）求证：BE平分∠ABC；（2）求∠AEB；（3）求证：AD+BC=AB．23．如图，在△ABC中，∠ACB=45°，AD是△ABC的高，在AD上取点E，使得DE=DB，连接CE并延长，交边AB于点F，连接DF．（1）求证：AB=CE；（2）求证：BF+EF=FD．24．如图1，线段BE上有一点C，以BC，CE为边分别在BE的同侧作等边三角形ABC，DCE，连接AE，BD，分别交CD，CA于Q，P．（1）证明：AE=BD（2）如图2，取AE的中点M、BD的中点N，连接MN，试判断三角形CMN的形状，并说明理由．25．情景阅读：如图1，M是正方形ABCD的AB边上的中点，MD⊥MH，且MH交正方形ABCD的外角∠CBE的平分线BH于点H．在AD上取中点G，连接MG，易证得：△MBH≌△DGM，则可得：MD=MH．建模迁移：如图2，在等边△ABC中，点M是BC边上的点，连接AM，过点M在AM右侧作∠AMH=60°，与∠ACB的邻补角∠A的平分线交于点H．（1）猜想验证：MA=MH；（2）初步应用：点M在直线BC上运动时，上述（1）中结论还成立吗？说明理由；（3）延伸拓展：在（2）的条件下，过H作HN⊥BC，试说明CB，CM，之间的数量关系，直接写出结论．26．如图，BC⊥CA，BC=CA，DC⊥CE，DC=CE，直线BD与AE交于点F，交AC于点G，连接CF．（1）求证：△ACE≌△BCD；（2）求证：BF⊥AE；（3）请判断∠CFE与∠CAB的大小关系并说明理由．27．如图，在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连结AD．AG．（1）求证：AD=AG；（2）AD与AG的位置关系如何．28．如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，EF垂直平分BD．求证：∠ABD=∠BDF．29．如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC、BD，若AB=AC 且∠ABD=60°．求证：AB=BD+CD．30．如图，等腰△ABC中，AC=BC，△BDC和△ACE分别为等边三角形，AE与BD相交于点F，连接CF并延长，交AB于点G．求证：G为AB的中点．31．如图，四边形ABCD中，∠ABC=90°，点E是AB上的点，∠ECD=45°，连接ED，过D作DF⊥BC于F，DF=BC．求证：ED﹣FC=BE．2017-2018学年中考数学专题---《三角形全等与角平分线，垂直平分线》参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．下列说法不正确的是（）A．如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同B．图形全等，只与形状、大小有关，而与它们的位置无关C．全等图形的面积相等，面积相等的两个图形是全等图形D．全等三角形的对应边相等，对应角相等【解答】解：A．如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同，正确，不合题意；B．图形全等，只与形状、大小有关，而与它们的位置无关，正确，不合题意；C．全等图形的面积相等，但是面积相等的两个图形不一定是全等图形，故此选项错误，符合题意；D．全等三角形的对应边相等，对应角相等，正确，不合题意；故选：C．2．不能使两个直角三角形全等的条件是（）A．斜边、直角边对应相等B．两直角边对应相等C．一锐角和斜边对应相等D．两锐角对应相等【解答】解：A、符合AAS，正确；B、符合HL，正确；C、符合ASA，正确；D、因为判定三角形全等必须有边的参与，错误．故选D．3．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3=（）A．90°B．135°C．150°D．180°【解答】解：如图，在△ABC和△DEA中，，∴△ABC≌△DEA（SAS），∵∠3+∠4=90°，∴∠1+∠3=90°，又∵∠2=45°，∴∠1+∠2+∠3=90°+45°=135°．故选B．4．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，过B作BE⊥AD于E，过E作EF∥AC 交AB于F，则（）A．AF=2BF B．AF=BF C．AF＞BF D．AF＜BF【解答】解：∵AD平分∠BAC，EF∥AC，∴∠FAE=∠CAE=∠AEF，∴AF=EF，∵BE⊥AD，∴∠FAE+∠ABE=90°，∠AEF+∠BEF=90°，∴∠ABE=∠BEF，∴AF=BF．故选B．5．如图，△ABC中，∠B=∠C=∠EDF=α，BD=CF，BE=CD，则下列结论正确的是（）A．2α+∠A=180°B．α+∠A=90°C．2α+∠A=90°D．α+∠A=180°【解答】解：A、正确．∵∠A+∠B+∠C=180°，∠B=∠C=α，∴2α+∠A=180°．B、错误．不妨设，α+∠A=90°，∵2α+∠A=180°，∴α=90°，这个显然与已知矛盾，故结论不成立．C、错误．∵2α+∠A=180°，∴2α+∠A=90°不成立．D、错误．∵2α+∠A=180°，∴α+∠A=180°不成立．故选A．6．如图，把一个等腰直角三角形放在间距是1的横格纸上，三个顶点都在横格上，则此三角形的斜边长是（）A．3 B．C．2 D．2【解答】解：如图所示：作BD⊥a于D，CE⊥a于E，则∠BDA=∠AEC=90°，∴∠ABD+∠BAD=90°，∵∠BAC=90°，∴∠CAE+∠BAD=90°，∴∠ABD=∠CAE，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴AE=BD=1，∵CE=2，∴由勾股定理得：AB=AC=，=，∴BC==．故选：B．7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，∠C的平分线与∠ABC的外角的平分线交于E点，则∠AEB是（）A．50°B．45°C．40°D．35°【解答】解：∵E在∠C的平分线上，∴E点到CB的距离等于E到AC的距离，∵E在∠B的外角的平分线上，∴E点到CB的距离等于E到AB的距离，∴E点到AC的距离等于E到AB的距离，∴AE是∠BAC的外角的平分线．∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，∴∠ABC=60°，，∵EB是∠ABC的外角的平分线，∴∠ABE=60°，∴∠AEB=180°﹣60°﹣75°=45°．故选B．8．如图，在△ABC中，AC=10，BC=8，AB垂直平分线交AB于点M，交AC于点D，则△BDC的周长为（）A．14 B．16 C．18 D．20【解答】解：∵边AB的垂直平分线交AC于点D，AC=6，BC=4，∴AD=BD，∴△BDC的周长=BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=10+8=18．故选C．9．已知AD和BE是△ABC的高，H是AD与BE或是它们的延长线的交点，BH=AC，则∠ABC的度数为（）A．45°B．135°C．60°或120°D．45°或135°【解答】解：有2种情况，如图（1），（2），∵BH=AC，∠BEC=∠ADC，∠AHE=∠BHD，∠HAE+∠C=90°，∠HAE+∠AHE=90°，∴∠C=∠AHE，∴∠C=∠BHD，∴△HBD≌△CAD，∴AD=BD．如图（1）时∠ABC=45°；如图（2）时∠ABC=135°．∵HE⊥AC，∴∠C+∠EBC=90°①，∵∠HDC=90°，∴∠H+∠HBD=90°②，∵∠HBD=∠EBC③，∴由①②③可得，∠C=∠H，∵BH=AC，∠ADC=∠BDH，∠C=∠H，∴△HBD≌△CAD，∴AD=BD，∴∠AB D=45°，∠ABC=135°．故选D．10．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B，D重合，已知AB=3，AD=4，则①DE=DF；②DF=EF；③△DCF≌△DGE；④EF=．上面结论正确的有（）A．1个B．2个 C．3个 D．4个【解答】解；如图作EM⊥BC于M．∵四边形ABCD是矩形，四边形EFDG是由四边形ABEF翻折，∴∠ADC=∠GDF=∠C=∠G=90°，DC=DG=AB=3，AD=BC=4∴∠EDG=∠CDF，在△DEG和△DFC中，，∴△DEG≌△DFC．故③正确，∴DE=DF，故①正确，设DF=FB=x，则CF=4﹣x，在RT△DCF中，∵DF2=CD2+CF2，∴x2=（4﹣x）2+32，∴x=，∴DE=DF=，∵四边形AEMB是矩形，∴AE=BM=，ME=AB=3，∴MF=BC﹣BM﹣CF=4﹣﹣（4﹣）=，在RT△EFM中，EF==．故④正确，②错误．假设DF=EF，∵DE=DF，∴EF=DE=DF，∴△DEF是等边三角形，∴∠DFE=60°，∴∠BFE=∠DFE=∠DFC=60°，这显然不可能，假设不成立，故②错误．故正确的有3个，选C11．如图，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为R、S，若AQ=PQ，PR=PS，则这四个结论中正确的有（）①PA平分∠BAC；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△CSP．A．4个B．3个 C．2个 D．1个【解答】解：（1）PA平分∠BAC．∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，AP=AP，∴△APR≌△APS，∴∠PAR=∠PAS，∴PA平分∠BAC；（2）由（1）中的全等也可得AS=AR；（3）∵AQ=PR，∴∠1=∠APQ，∴∠PQS=∠1+∠APQ=2∠1，又∵PA平分∠BAC，∴∠BAC=2∠1，∴∠PQS=∠BAC，∴PQ∥AR；（4）∵PR⊥AB，PS⊥AC，∴∠BRP=∠CSP，∵PR=PS，∴△BRP不一定全等与△CSP（只具备一角一边的两三角形不一定全等）．故选B．12．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），给出以下四个结论：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③2S四边形AEPF=S△ABC；④BE+CF=EF．上述结论中始终正确的有（）A．4个B．3个 C．2个 D．1个【解答】解：∵∠APE、∠CPF都是∠APF的余角，∴∠APE=∠CPF，∵AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中点，∴AP=CP，在△APE和△CPF中，，∴△APE≌△CPF（ASA），同理可证△APF≌△BPE，∴AE=CF，△EPF是等腰直角三角形，S四边形AEPF=S△ABC，①②③正确；故AE=FC，BE=AF，∴AF+AE＞EF，∴BE+CF＞EF，故④不成立．始终正确的是①②③．故选B．二．填空题（共6小题）13．如图：∠DAE=∠ADE=15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE=8，则DF等于 4 ．【解答】解：作DG⊥AC，垂足为G．∵DE∥AB，∴∠BAD=∠ADE，∵∠DAE=∠ADE=15°，∴∠DAE=∠ADE=∠BAD=15°，∴∠DEG=15°×2=30°，∴ED=AE=8，∴在Rt△DEG中，DG=DE=4，∴DF=DG=4．故答案为：4．14．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=22.5°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC于E，若CE=3，则BE= 3．【解答】解：∵∠C=90°，∠B=22.5°，DE垂直平分AB．故∠B=∠EAB=22.5°，所以∠AEC=45°．又∵∠C=90°，∴△ACE为等腰三角形所以CE=AC=3，故可得AE=3．故答案为：3．15．如图，已知点O为∠CAB与∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC于E，若OE=2，则点O到AB的距离与点O到CD的距离之和是 4 ．【解答】解：作OG⊥AB于G，OH⊥CD于H，∵点O为∠CAB与∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC，OG⊥AB，OH⊥CD，∴OG=OE=2，OH=OE=2，∴OG+OH=4，∴点O到AB的距离与点O到CD的距离之和是4，故答案为：4．16．如图，△ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于D、E，若边BC 长为5cm，则△ADE的周长为 5 cm．【解答】解：∵△ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于D、E，∴AD=BD，AE=EC，∵边BC长为5cm，∴BD+DE+EC=5cm，∴AD+ED+AE=5cm，故答案为：5．17．如图，直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3．把一块含有45°角的直角三角板如图所示放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为．【解答】解：别过点A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC=BC，∵∠EBC+∠BCE=90°，∠BCE+∠ACF=90°，∠ACF+∠CAF=90°，∴∠EBC=∠ACF，∠BCE=∠CAF，在△BCE与△ACF中，∴△BCE≌△ACF（ASA）∴CF=BE，CE=AF，∵l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，∴CF=BE=3，CE=AF=3+1=4，在Rt△ACF中，∵AF=4，CF=3，∴AC=5，∵AF⊥l3，DG⊥l3，∴△CDG∽△CAF，∴，∴∴在Rt△BCD中，∵CD=，BC=5，所以BD==．故答案为：．18．如图所示，将等腰直角三角形ABC放置到平面直角坐标系中，直角顶点C在x轴上，点B在y轴上，反比例函数y=图象过点A，若点B与点C坐标分别为（0，1）与（﹣2，0），则k= ﹣6 ．【解答】解：过A点作AD⊥x轴，作AE⊥y轴，∵三角形ABC是等腰直角三角形，∴AC=CB，∵∠ACD+∠CAD=∠ACD+∠BCO，∴∠CAD=∠BCO，在△ADC与△COB中，△ADC≌△COB，∴AD=CO=2，CD=BO=1，∴OD=DC+CO=3，∴矩形ADOE的面积是3×2=6，∴k=﹣6．故答案为：﹣6．三．解答题（共13小题）19．如图，∠C=∠F，AC∥EF，AE=BD，求证：①△ABC≌EDF；②BC∥DF．【解答】证明：①∵AE=BD，∴AE+EB=BD+EB，即AB=ED，∵AC∥EF，∴∠A=∠FED，在△ABC和△EDF中，，∴△ABC≌EDF；②∵△ABC≌EDF，∴∠ABC=∠D，∴BC∥DF．20．如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高．求证：（1）∠DEF=∠DFE；（2）AD垂直平分EF．【解答】证明：（1）∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∴∠DEF=∠DFE；（2）在Rt△AED和Rt△AFD中∴Rt△AED≌Rt△AFD，∴AE=AF，而DE=DF，∴AD垂直平分EF．21．如图：△ABC中，DE是BC边的垂直平分线，垂足为E，AD平分∠BAC且MD⊥AB，DN⊥AC延长线于N．求证：BM=．【解答】证明：连接BD，DC，如图：∵DE所在直线是BC的垂直平分线，∴BD=CD，∵AD平分∠BAC，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC交AC的延长线于点N，∴DM=DN，在Rt△BMD与Rt△CDN中，∴Rt△BMD≌Rt△CDN（HL），∴BM=；22．如图，已知四边形ABCD中，∠D=∠C=90°，AE平分∠BAD，点E是DC 的中点，且E在DC上．（1）求证：BE平分∠ABC；（2）求∠AEB；（3）求证：AD+BC=AB．【解答】（1）证明：过E作EF⊥AB于F，∵∠D=90°，AE平分∠BAD，∴EF=DE，∵E为DC中点，∴DE=EC，∴EF=EC，∵EF⊥AB，∠C=90°，（2）解：延长AE、BC交于点M，∵AD∥BC∴∠DAE=∠CME，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠BAM，∴∠BAM=∠CME，∴AB=BM，在△ADE和△MCE中∴△ADE≌△MCE，∴AE=EM，∠DAE=∠M∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠BAE，∴∠M=∠BAE，∴AB=BM，∵AE=EM，∴BE⊥AM，（3）证明：∵△ADE≌△MCE，∴AD=CM，∵AB=BM，BM=BC+CM，∴AD+BC=AB．23．如图，在△ABC中，∠ACB=45°，AD是△ABC的高，在AD上取点E，使得DE=DB，连接CE并延长，交边AB于点F，连接DF．（1）求证：AB=CE；（2）求证：BF+EF=FD．【解答】证明：（1）∵AD是△ABC的高，∠ACB=45°，∴∠ADB=∠CDE=90°，△ACD是等腰直角三角形，∴AD=CD，在△ABD和△CED中，，∴△ABD≌△CED（SAS），∴AB=CE；（2）如图，在EC上截取EG=BF，∵△ABD≌△CED，∴∠B=∠CED，在△BDF和△EDG中，，∴△BDF≌△EDG（SAS），∴DF=DG，∠BDF=∠EDG，∴∠FDG=∠FDE+∠EDG=∠FDE+∠BDF=∠ADB=90°，∴△DFG是等腰直角三角形，∴BF+EF=EG+EF=FG=FD，故BF+EF=FD．24．如图1，线段BE上有一点C，以BC，CE为边分别在BE的同侧作等边三角形ABC，DCE，连接AE，BD，分别交CD，CA于Q，P．（1）找出图中的所有全等三角形．（2）找出一组相等的线段，并说明理由．（3）如图2，取AE的中点M、BD的中点N，连接MN，试判断三角形CMN的形状，并说明理由．【解答】解：（1）△BCD≌△ACE；△BPC≌△AQC；△DPC≌△EQC （2）BD=AE．理由：等边三角形ABC、DCE中，∵∠ACB=∠ACD=∠DCE=60°，∴∠BCD=∠ACE，在△BCD和△ACE中，，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴BD=AE．（3）等边三角形．理由：由△BCD≌△ACE，∴∠1=∠2，BD=AE．∵M是AE的中点、N是BD的中点，∴DN=EM，又DC=CE．在△D和△ECM中，，∴△D≌△ECM（SAS），∴=CM，∠NCD=∠MCE，∠MCE+∠DCM=60°．∴∠NCD+∠DCM=60°，即∠NCM=60°，又∵CM=，∴△CMN为等边三角形．25．情景阅读：如图1，M是正方形ABCD的AB边上的中点，MD⊥MH，且MH 交正方形ABCD的外角∠CBE的平分线BH于点H．在AD上取中点G，连接MG，易证得：△MBH≌△DGM，则可得：MD=MH．建模迁移：如图2，在等边△ABC中，点M是BC边上的点，连接AM，过点M 在AM右侧作∠AMH=60°，与∠ACB的邻补角∠A的平分线交于点H．（1）猜想验证：MA=MH；（2）初步应用：点M在直线BC上运动时，上述（1）中结论还成立吗？说明理由；（3）延伸拓展：在（2）的条件下，过H作HN⊥BC，试说明CB，CM，之间的数量关系，直接写出结论．【解答】证明：（1）如图2，过M点作MD∥AC交AB于D，则BM=BD，∠ADM=120°∵AB=BC，∴AD=MC，∵CH是∠ACB外角平分线，所以∠ACH=60°，∴∠MCH=∠ACB+∠ACH=120°，又∵∠DMC=120°，∠AMH=60°，∴∠HMC+∠AMD=60°又∵∠DAM+∠AMD=∠BDM=60°，∴∠HMC=∠MAD，在△ADM和△MCH中，，∴△AMD≌△MHC（ASA），∴MA=MH；（2）成立，如图3，过M点作MD∥AB交AC延长线于D，∵MD∥AB，∴∠D=∠BAC=60°，∴∠ACB=60°，∴∠DCM=60°，∴∠DMC=180°﹣60°﹣60°=60°，∴△CDM是等边三角形，∴CM=MD，∵∠AMH=60°，∠CMD=60°，∴∠AMH+∠1=∠CMD+∠1，即∠AMD=∠CMH，在△AMD和△HMC中，，∴△AMD≌△HMC，∴MA=MH；（3）由（2）证得△AMN≌△HMC，∴AN=CH，∵∠HDC=90°，∠HCD=60°，∴∠CHD=30°，∴CH=2CD，∵AC=BC，=CM∴AN=AC+=BC+=CB+CM，∵AN=CH，2CD=CB+CM，即：CB=2CD﹣CM．26．如图，BC⊥CA，BC=CA，DC⊥CE，DC=CE，直线BD与AE交于点F，交AC于点G，连接CF．（1）求证：△ACE≌△BCD；（2）求证：BF⊥AE；（3）请判断∠CFE与∠CAB的大小关系并说明理由．【解答】证明：（1）∵BC⊥CA，DC⊥CE，∴∠ACB=∠DCE=90°，∴∠BCD=∠ACE，在△BCD与△ACE中，，∴△ACE≌△BCD；（2）∵△BCD≌△ACE，∴∠CBD=∠CAE，∵∠BGC=∠AGE，∴∠AFB=∠ACB=90°，∴BF⊥AE；（3）∠CFE=∠CAB，过C作CH⊥AE于H，CI⊥BF于I，∵△BCD≌△ACE，∴AE=BD，S△ACE=S△BCD，∴CH=CI，∴CF平分∠BFH，∵BF⊥AE，∴∠BFH=90°，∠CFE=45°，∵BC⊥CA，BC=CA，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB=45°，∴∠CFE=∠CAB．27．如图，在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连结AD．AG．（1）求证：AD=AG；（2）AD与AG的位置关系如何．【解答】解：（1）∵BE、CF分别是AC、AB两边上的高，∴∠AFC=∠BFC=∠BEC=∠BEA=90°∴∠BAC+∠ACF=90°，∠BAC+∠AB E=90°，∠G+∠GAF=90°，∴∠ABE=∠ACF．在△ABD和△GCA中，，∴△ABD≌△GCA（SAS），∴AD=GA，（2）结论：AG⊥AD．理由：∵△ABD≌△GCA（SAS），∴∠BAD=∠G，∴∠BAD+∠GAF=90°，∴AG⊥AD．28．如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，EF垂直平分BD．求证：∠ABD=∠BDF．【解答】证明：∵EF垂直平分BD，∴FB=FD，∴∠FBD=∠BDF，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠FBD，∴∠ABD=∠BDF．29．如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC、BD，若AB=AC 且∠ABD=60°．求证：AB=BD+CD．【解答】证明：如图作AM⊥CD于M，AN⊥BD于N．∵AB=AC，∴∠ABC=∠3，∵∠2=∠3，∠1=∠ABC，∴∠1=∠2，∵AM⊥CD，AN⊥DB，∴AM=AN，在RT△ABN和RT△ACM中，，∴△ABN≌△ACM，∴BN=CM，在RT△ADN和RT△ADM中，，∴△ADN≌△ADM，∴DN=DM，∴BD+CD=BN+ND+CD=BN+CM=2BN，在RT△ABN，∵∠ANB=90°，∠ABN=60°，∴∠BAN=30°，∴AB=2BN，∴AB=BD+CD．30．如图，等腰△ABC中，AC=BC，△BDC和△ACE分别为等边三角形，AE与BD相交于点F，连接CF并延长，交AB于点G．求证：G为AB的中点．【解答】证明：∵CA=CB∴∠CAB=∠CBA∵△AEC和△BCD为等边三角形∴∠CAE=∠CBD，∠FAG=∠FBG∴AF=BF．在三角形ACF和△CBF中，，∴△AFC≌△BCF（SSS），∴∠ACF=∠BCF∴AG=BG（三线合一）∴G为AB的中点31．如图，四边形ABCD中，∠ABC=90°，点E是AB上的点，∠ECD=45°，连接ED，过D作DF⊥BC于F，DF=BC．求证：ED﹣FC=BE．【解答】证明：延长EB至G，使BG=CF，连接CG，∵DF⊥BC，∴∠CBG=∠DFC=90°，在△BCG和△FDC中∴△BCG≌△FDC，∴CD=CG，∠1=∠2，∵∠1+∠DCF=90°，∴∠2+∠DCF=90°，∵∠DCE=45°，∴∠ECG=45°，∴∠DCE=∠ECG，在△DEC和△EGC中，∴△DEC≌△EGC（SAS），∴ED=EG，∴ED﹣FC=BE．。

学姐笔记-中考数学几何-角平分线、垂直平分线经典题型总结

角平分线、垂直平分线知识考点：了解角平分线、垂直平分线的有关性质和定理，并能解决一些实际问题。

精典例题：【例题】如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝300，AB 的垂直平分线EF 交AB 于点E ，交BC 于点F ，求证：CF ＝2BF 。

分析一：要证明CF ＝2BF ，由于BF 与CF 没有直接联系，联想题设中EF 是中垂线，根据其性质可连结AF ，则BF ＝AF 。

问题转化为证CF ＝2AF ，又∠B ＝∠C ＝300，这就等价于要证∠CAF ＝900，则根据含300角的直角三角形的性质可得CF ＝2AF ＝2BF 。

分析二：要证明CF ＝2BF ，联想∠B ＝300，EF 是AB 的中垂线，可过点A 作AG ∥EF 交FC 于G 后，得到含300角的Rt △ABG ，且EF 是Rt △ABG 的中位线，因此BG ＝2BF ＝2AG ，再设法证明AG ＝GC ，即有BF ＝FG ＝GC 。

分析三：由等腰三角形联想到“三线合一”的性质，作AD ⊥BC 于D ，则BD ＝CD ，考虑到∠B ＝300，不妨设EF ＝1，再用勾股定理计算便可得证。

以上三种分析的证明略。

探索与创新：【问题】请阅读下面材料，并回答所提出的问题：三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。

如图，△ABC 中，AD 是角平分线。

求证：ACABDC BD =。

分析：要证ACABDC BD =，一般只要证BD 、DC 与AB 、AC 或BD 、AB 与DC 、AC 所在三角形相似，现在B 、D 、C 在同一条直线上，△ABD 与△ADC 不相似，需要考虑用别的方法换比。

我们注意到在比例式ACABDC BD =中，AC 恰好是BD 、DC 、AB 的第四比例项，所以考虑过C 作CE ∥AD 交BA 的延长线于E ，从而得到BD 、CD 、AB 的第四比例项AE ，这样，证明ACABDC BD =就可以转化为证AE ＝AC 。

垂直平分线与角平分线典型题

线段的垂直平分线与角平分线(1)知识要点详解1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的数学表示：如图1，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若点C 在直线m 上，则AC ＝BC.定理的作用：证明两条线段相等（2）线段关于它的垂直平分线对称.2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（1）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.定理的数学表示：如图2，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若AC ＝BC ，则点C 在直线m 上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.3、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.定理的数学表示：如图3，若直线,,i j k 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的垂直平分线，则直线,,i j k 相交于一点O ，且OA ＝OB ＝OC.定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的图1图2交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形.经典例题：例1如图1，在△ABC中，BC＝8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（）A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm针对性练习：：1)如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果△EBC的周长是24cm，那么BC=2) 如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果BC=8cm，那么△EBC的周长是3）如图，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果∠A=28度，那么∠EBC是例2. 已知：AB=AC，DB=DC，E是AD上一点，求证：BE=CE。

中垂线和角平分线

线段的垂直平分线与角平分线知识要点详解C1、线段垂直平分线的性质/\(1)垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到/ m\这条线段两个端点的距离相等. A |D—X B图i 定理的数学表示：如图1,已知直线m与线段AB垂直相交于点D,且A[> BD若点C在直线m上，贝S AO BC.定理的作用：证明两条线段相等(2)线段关于它的垂直平分线对称.2、线段垂直平分线性质定理的逆定理(1)线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.定理的数学表示：如图2,已知直线m与线段AB垂直相交于点D,且AD=BD,若AC= BC则点C在直线m上. 定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.课堂笔记：3、关于三角形三边垂直平分线的定理(1)关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一ki点到三个顶点的距离相等.定理的数学表示：如图3,若直线i,j,k分别是△ ABC三边AB BGCA的垂直平分线，则直线i,j,k相交于一点0,且0A= OB= OC.定理的作用：证明三角形内的线段相等.(2)三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系:若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形.经典例题：例1 如图1,在厶ABC中, BC= 8cm AB的垂直平分线交AB于点D,交边AC于点E, △ BCE勺周长等于18cm 则AC的长等于( )A. 6cmB. 8cmC. 10cm D .课堂笔记：例2、在厶ABC中, AB二AC AB的垂直平分线与边AC所在的直线相交所成锐角为50°,^ ABC的底角/ B的大小为__________________ 。

(完整版)中考数学尺规作图专题复习(含答案)

中考尺规作图专题复习（含答案）尺规作图定义：用无刻度的直尺和圆规画图，中考中常见画的图是线段的垂线，垂直平分线，角平分线、画等长的线段，画等角。

1.直线垂线的画法：【分析】：以点C为圆心，任意长为半径画弧交直线与A，B两点，再分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径画圆弧，分别交直线l两侧于点M，N，连接MN，则MN即为所求的垂线2.线段垂直平分线的画法【分析】：作法如下：分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径画圆弧，分别交直线AB两侧于点C，D，连接CD，则CD即为所求的线段AB的垂直平分线.3.角平分线的画法【分析】1.选角顶点O为圆心，任意长为半径画圆，分别交角两边A，B点，再分别以A，B为圆心，大于12AB的长为半径画圆弧，交H点，连接OH，并延长，则射线OH即为所求的角平分线.4.等长的线段的画法直接用圆规量取即可。

5.等角的画法【分析】以O为圆心，任意长为半径画圆，交原角的两边为A,B两点，连接AB；画一条射线l，以上面的那个半径为半径，l的顶点K为圆心画圆，交l与L，以L为圆心，AB 为半径画圆，交以K为圆心，KL为半径的圆与M点，连接KM，则角LKM即为所求.备注：1.尺规作图时，直尺主要用作画直线，射线，圆规主要用作截取相等线段和画弧；2.求作一个三角形，其实质是依据三角形全等的基本事实或判定定理来进行的；3.当作图要满足多个要求时，应逐个满足，取公共部分.例题讲解例题1.已知线段a，求作△ABC，使AB=BC=AC=a.解：作法如下:①作线段BC=a；（先作射线BD，BD截取BC=a）.②分别以B、C为圆心，以a半径画弧，两弧交于点A；③连接AB、AC.则△ABC 要求作三角形.例2.已知线段a 和∠α，求作△ABC ，使AB=AC=a ，∠A=∠α.解：作法如下：①作∠MAN=∠α；②以点A 为圆心，a 为半径画弧，分别交射线AM ，AN 于点B ，C. ③连接B ，C.△ABC 即为所求作三角形.例3.(深圳中考)如图，已知△ABC ，AB <BC ，用尺规作图的方法在BC 上取一点P ，使得PA ＋PC ＝BC ，则下列选项中，正确的是(D )【解析】由题意知，做出AB 的垂直平分线和BC 的交点即可。

中考数学尺规作图专题复习(含答案)

中考数学复习----《角的平分线与线段的垂直平分线》知识点总结与专项练习题(含答案解析)

中考数学复习----《角的平分线与线段的垂直平分线》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.角平分线的定义：角的内部把角平均分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。

2.角平分线的性质：①平分角。

②角平分线上任意一点到角两边的距离相等。

3.角平分线的判定：角的内部到角两边相等的点一定在角平分线上。

4.角平分线的尺规作图：具体步骤：①以角的顶点O为圆心，一定长度为半径画圆弧，圆弧与角的两边分别交于两点M、N。

如图①。

②分别以点M与点N为圆心，大于MN长度的一半为半径画圆弧，两圆弧交于点P。

如图②。

③连接OP，OP即为角的平分线。

5.线段的垂直平分线的定义：过线段的中点且与线段垂直的直线是这条线段的垂直平分线。

6.垂直平分线的性质：①垂直且平分线段。

②垂直平分线上任意一点到这条线段两个端点的距离相等。

7.垂直平分线的判定：到线段两端点距离相等的点一定在线段的垂直平分线上。

8.垂直平分线的吃规作图：具体步骤：①以线段两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两侧别分交于M、N。

如图①②连接MN，过MN的直线即为线段的垂直平分线。

如图②练习题1、（2022•鄂尔多斯）如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C．若EC＝2，则OD的长为（）A．2 B．2C．4 D．4+2【分析】过点E作EH⊥OA于点H，根据角平分线的性质可得EH＝EC，再根据平行线的性质可得∠ADE的度数，再根据含30°角的直角三角形的性质可得DE的长度，再证明OD＝DE，即可求出OD的长．【解答】解：过点E作EH⊥OA于点H，如图所示：∵OE平分∠AOB，EC⊥OB，∴EH＝EC，∵∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，∴∠AOC＝2∠AOE＝30°，∵DE∥OB，∴∠ADE＝30°，∴DE＝2HE＝2EC，∵EC＝2，∴DE＝4，∵∠ADE＝30°，∠AOE＝15°，∴∠DEO＝15°，∴∠AOE＝∠DEO，∴OD＝DE＝4，故选：C．2、（2022•北京）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，则S △ACD＝．【分析】过D点作DH⊥AC于H，如图，根据角平分线的性质得到DE＝DH＝1，然后根据三角形面积公式计算．【解答】解：过D点作DH⊥AC于H，如图，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DH⊥AC，∴DE＝DH＝1，∴S△ACD＝×2×1＝1．故答案为：1．3、（2022•黑龙江）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，CD＝．【分析】过点D作DE⊥AB于E，利用勾股定理列式求出AB，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD＝DE，然后根据△ABC的面积列式计算即可得解．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10，∵AD平分∠CAB，∴CD＝DE，∴S△ABC＝AC•CD+AB•DE＝AC•BC，即×6•CD+×10•CD＝×6×8，解得CD＝3．故答案为：3．4、（2022•宜昌）如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于BC长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB＝7，AC＝12，BC＝6，则△ABD的周长为（）A．25 B．22 C．19 D．18【分析】根据题意可知MN垂直平分BC，即可得到DB＝DC，然后即可得到AB+BD+AD ＝AB+DC+AD＝AB+AC，从而可以求得△ABD的周长．【解答】解：由题意可得，MN垂直平分BC，∴DB＝DC，∵△ABD的周长是AB+BD+AD，∴AB+BD+AD＝AB+DC+AD＝AB+AC，∵AB＝7，AC＝12，∴AB+AC＝19，∴△ABD的周长是19，故选：C．5、（2022•湖北）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论：①四边形AECF是菱形；②∠AFB＝2∠ACB；③AC•EF＝CF•CD；④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF．其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】根据题意分别证明各个结论来判断即可．【解答】解：根据题意知，EF垂直平分AC，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，∴AE＝AF＝CF＝CE，即四边形AECF是菱形，故①结论正确；∵∠AFB＝∠FAO+∠ACB，AF＝FC，∴∠FAO＝∠ACB，∴∠AFB＝2∠ACB，故②结论正确；∵S四边形AECF＝CF•CD＝AC•OE×2＝AC•EF，故③结论不正确；若AF平分∠BAC，则∠BAF＝∠FAC＝∠CAD＝90°＝30°，∴AF＝2BF，∵CF＝AF，∴CF＝2BF，故④结论正确；故选：B．33．（2022•鄂尔多斯）如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线DE交AB于点D，连接DC，若AB＝3.7，AC＝2.3，则△ADC的周长是．【分析】根据线段垂直平分线的性质可得BD＝CD，进一步即可求出△ADC的周长．【解答】解：∵边BC的垂直平分线DE交AB于点D，∴BD＝CD，∵AB＝3.7，AC＝2.3，∴△ADC的周长为AD+CD+AC＝AB+AC＝6，故答案为：6．34．（2022•青海）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC 于点D，交BC于点E，∠BAE＝10°，则∠C的度数是．【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AE＝EC，从而可得∠EAC＝∠C，然后利用三角形内角和定理可得∠EAC+∠C＝80°，进行计算即可解答．【解答】解：∵ED是AC的垂直平分线，∴AE＝EC，∴∠EAC＝∠C，∵∠ABC＝90°，∠BAE＝10°，∴∠EAC+∠C＝180°﹣∠BAE﹣∠ABC＝80°，∴∠EAC＝∠C＝40°，故答案为：40°．。

中考数学知识整理三角形中的角平分线与垂直平分线

中考数学知识整理三角形中的角平分线与垂直平分线数学知识整理：三角形中的角平分线与垂直平分线在中考数学中，三角形是一个重要的几何图形。

学习和掌握三角形的性质、特点以及相关定理，对于解题和理解某些数学概念都有着重要意义。

本文将着重介绍三角形中的角平分线与垂直平分线，帮助读者更好地理解和应用相关知识。

1. 角平分线角平分线是指从一个角的顶点出发，将这个角平分成两个相等的角的直线段。

对于任意一个三角形ABC，如果从顶点A引出一条角平分线AD，则AD将角BAC平分为两个相等的角BAD和CAD。

（插图1：三角形ABC，AD为角BAC的角平分线）角平分线的性质有以下几点：1.1 角平分线的定理定理1：如果一条直线平分一个角，那么这条直线上的任意一点到这个角的两边的距离相等。

定理2：如果一条线段平分一个角且通过角的顶点，那么这条线段上的任意一点到这个角的两边的距离相等。

这两个定理表明了角平分线在平分角时所具备的重要性质，这些性质经常被应用于解决相关的几何问题。

1.2 角平分线分割线段角平分线不仅将角分为两个相等的部分，还有一个重要的性质是它可以将三角形的对边分割成两个比例相等的线段。

具体地说，如果在线段BC上任取一点D，且AD是∠BAC的角平分线，则有以下结论：结论1：$\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{AB}{AC}$结论2：$\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{AB^2}{AC^2}$这两个结论在解决线段的比例问题时经常被使用。

2. 垂直平分线垂直平分线是指从一个线段的中点引出一条与该线段垂直且等长的线段。

对于任意一个三角形ABC，如果线段DE是边AC的垂直平分线，则AD=DC，且线段DE与边AC垂直。

（插图2：三角形ABC，DE为边AC的垂直平分线）垂直平分线有以下性质：2.1 垂直平分线的定理定理1：如果一条直线垂直平分一个线段，那么这条直线上的任意一点到这个线段的两个端点的距离相等。

中垂线和角平分线

线段的垂直平分线与角平分线知识要点详解1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的数学表示：如图1，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若点C 在直线m 上，则AC ＝BC.定理的作用：证明两条线段相等（2）线段关于它的垂直平分线对称. 2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（1）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.定理的数学表示：如图2，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若AC ＝BC ，则点C 在直线m 上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上. 课堂笔记：3、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.定理的数学表示：如图3，若直线,,i j k 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的垂直平分线，则直线,,i j k 相交于一点O ，且OA ＝OB ＝OC.定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形. 经典例题：例1 如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于（）A ．6cmB ．8cmC ．10cmD ．12cmm图1DABCm图2DABCjik图3OBCA课堂笔记：例2、在△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线与边AC 所在的直线相交所成锐角为50°，△ABC 的底角∠B 的大小为_______________。

角平分线与垂直平分线

角平分线与垂直平分线在几何学中，角平分线和垂直平分线是两个重要的概念。

它们在解决几何问题和证明定理时起到了关键作用。

本文将介绍角平分线和垂直平分线的定义、性质以及它们在几何学中的应用。

一、角平分线角平分线是指将一个角分成两个相等角的直线或线段。

对于任意一个角ABC，如果直线AD将角ABC分成两个相等角，那么称直线AD 为角ABC的角平分线。

如图1所示，AD是角ABC的角平分线。

角平分线有以下的性质：1. 角平分线与角的两边垂直角平分线与角的两边垂直是角平分线的重要性质之一。

也就是说，角的两边与角平分线之间的夹角是90度。

这是很容易证明的，我们可以利用垂直角的性质来证明。

2. 角平分线相交于角的内部角平分线与角的两边相交于角的内部。

这可以通过反证法来证明。

假设角平分线与角的内部不相交，那么根据对角分线定理，该线段将角分成两个不等的角，与角平分线的定义相矛盾。

3. 角平分线将角分成两个相等角这是角平分线的定义所保证的。

通过角的内部一点作角的角平分线，可以将角分成两个相等的角。

这一性质在解决几何问题时经常会被应用。

二、垂直平分线垂直平分线是指将一条线段分成两个相等的线段，并且与该线段垂直的直线或线段。

对于线段AB，如果直线CD将线段AB平分，并且垂直于线段AB，那么称直线CD为线段AB的垂直平分线。

如图2所示，CD是线段AB的垂直平分线。

垂直平分线也有一些重要的性质：1. 垂直平分线与线段相交于线段的中点垂直平分线与线段相交于线段的中点，这是垂直平分线的定义所保证的。

线段的中点是指线段的两个端点的中点，可以通过连结线段的两个端点并取垂直平分线上的一点来证明。

2. 垂直平分线是线段的对称轴垂直平分线将线段分成两个相等的部分，并且对称于垂直平分线。

这是因为线段的两侧与垂直平分线之间的距离相等。

3. 垂直平分线垂直于线段垂直平分线与线段垂直是垂直平分线的重要性质之一。

也就是说，线段与垂直平分线之间的夹角是90度。

中考数学真题分类汇编及解析(二十一)角平分线、线段垂直平分线、中位线

（2022•广东中考）如图，在△ABC 中，BC ＝4，点D ，E 分别为AB ，AC 的中点，则DE ＝（）A ．14B ．12C ．1D ．2【解析】选D ．因为点D ，E 分别为AB ，AC 的中点，BC ＝4，所以DE 是△ABC 的中位线，所以DE =12BC =12×4＝2.（2022•南充中考）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，DE ∥AB ，交AC 于点E ，DF ⊥AB 于点F ，DE ＝5，DF ＝3，则下列结论错误的是（）A ．BF ＝1B ．DC ＝3 C ．AE ＝5D ．AC ＝9【解析】选A ．因为AD 平分∠BAC ，∠C ＝90°，DF ⊥AB ，所以∠1＝∠2，DC ＝FD ，∠C ＝∠DFB ＝90°，因为DE ∥AB ，所以∠2＝∠3，所以∠1＝∠3，所以AE ＝DE ，因为DE ＝5，DF ＝3，所以AE ＝5，CD ＝3，故选项B 、C 正确；所以CE =√DE 2−CD 2=4，所以AC ＝AE +EC ＝5+4＝9，故选项D 正确；因为DE ∥AB ，∠DFB ＝90°，所以∠EDF ＝∠DFB ＝90°，所以∠CDF +∠FDB ＝90°，因为∠CDF +∠DEC ＝90°，所以∠DEC ＝∠FDB ，因为∠C ＝∠DFB ，CD ＝FD ，所以△ECD ≌△DFB （AAS ），所以CE ＝BF ＝4，故选项A 错误；（2022•德阳中考）如图，在四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 边上的中点，则下列结论一定正确的是（）A ．四边形EFGH 是矩形B ．四边形EFGH 的内角和小于四边形ABCD 的内角和C ．四边形EFGH 的周长等于四边形ABCD 的对角线长度之和 D ．四边形EFGH 的面积等于四边形ABCD 的面积的14【解析】选C ．A ．如图，连接AC ，BD ，在四边形ABCD 中，因为点E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 边上的中点，所以EH ∥BD ，EH =12BD ，FG ∥BD ，FG =12BD ，所以EH ∥FG ，EH ＝FG ，所以四边形EFGH 是平行四边形，故A 选项错误；B ．因为四边形EFGH 的内角和等于360°，四边形ABCD 的内角和等于360°，故B 选项错误；C ．因为点E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 边上的中点，所以EH =12BD ，FG =12BD ，所以EH +FG ＝BD ，同理：EF +HG ＝AC ，所以四边形EFGH 的周长等于四边形ABCD 的对角线长度之和，故C 选项正确； D ．四边形EFGH 的面积不等于四边形ABCD 的面积的14，故D 选项错误．A ．12B ．9C ．6D ．3√2【解析】选B ．因为AB ＝AC ，AD 是△ABC 的角平分线，所以BD ＝CD =12BC ＝3，AD ⊥BC ，在Rt △EBD 中，∠EBC ＝45°，所以ED ＝BD ＝3，所以S △EBC =12BC •ED =12×6×3＝9（2022•河北中考）如图，将△ABC 折叠，使AC 边落在AB 边上，展开后得到折痕l ，则l 是△ABC 的（）A ．中线B ．中位线C ．高线D ．角平分线【解析】选D ．由已知可得，∠1＝∠2，则l 为△ABC 的角平分线.2101（2022•宜昌中考）如图，在△ABC 中，分别以点B 和点C 为圆心，大于12BC 长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ．作直线MN ，交AC 于点D ，交BC 于点E ，连接BD ．若AB ＝7，AC ＝12，BC ＝6，则△ABD 的周长为（）A ．25B ．22C ．19D ．18【解析】选C ．由题意可得，MN 垂直平分BC ，所以DB ＝DC ，因为△ABD 的周长是AB +BD +AD ，所以AB +BD +AD ＝AB +DC +AD ＝AB +AC ，因为AB ＝7，AC ＝12，所以AB +AC ＝19，所以△ABD 的周长是19.A ．△ABC 是等边三角形B ．AB ⊥CDC ．AH ＝BHD ．∠ACD ＝45°【解析】选ABC ．由作法得CD 垂直平分AB ，AC ＝BC ＝AB ，所以△ABC 为等边三角形，AB ⊥CD ，AH ＝BH ，所以A 、B 、C 选项符合题意；所以∠ACD =12∠ACB ＝30°．所以D 选项不符合题意（2022•眉山中考）在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝6，AC ＝8，点D ，E ，F 分别为边AB ，AC ，BC 的中点，则△DEF 的周长为（） A ．9B ．12C ．14D ．16【解析】选A.如图，点E ，F 分别为各边的中点，所以DE 、EF 、DF 是△ABC 的中位线，所以DE =12BC ＝3，EF =12AB ＝2，DF =12AC ＝4，所以△DEF 的周长＝3+2+4＝9（2022•毕节中考）在△ABC 中，用尺规作图，分别以点A 和C 为圆心，以大于12AC 的长为半径作弧，两弧相交于点M 和N ．作直线MN 交AC 于点D ，交BC 于点E ，连接AE ．则下列结论不一定正确的是（）A ．AB ＝AE B ．AD ＝CDC ．AE ＝CED ．∠ADE ＝∠CDE 【解析】选A ．由作图可知，MN 垂直平分线段AC ，所以AD ＝DC ，EA ＝EC ，∠ADE ＝∠CDE ＝90°，故选项B ，C ，D 正确．②作直线PQ 交AB 于点D ；③以点D 为圆心，AD 长为半径画弧交PQ 于点M ，连接AM 、BM ．若AB ＝2√2，则AM 的长为（）A ．4B ．2C ．√3D ．√2【解析】选B ．由作图可知，PQ 是AB 的垂直平分线，所以AM ＝BM ，因为以点D 为圆心，AD 长为半径画弧交PQ 于点M ，所以DA ＝DM ＝DB ，所以∠DAM ＝∠DMA ，∠DBM ＝∠DMB ，因为∠DAM +∠DMA +∠DBM +∠DMB ＝180°，所以2∠DMA +2∠DMB ＝180°，所以∠DMA +∠DMB ＝90°，即∠AMB ＝90°，所以△AMB 是等腰直角三角形，所以AM =√22AB =√22×2√2=2．（2022•怀化中考）如图，△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，若S △ADE ＝2，则S △ABC ＝ 8 ．【解析】因为D ，E 分别是AB ，AC 的中点，所以DE ：BC ＝1：2，DE ∥BC ，所以△ADE ∽△ABC ，所以S △ADE S △ABC =(DE BC)2=14，即2S △ABC=14，所以S △ABC ＝8．答案：8（2022•株洲中考）如图所示，点O 在一块直角三角板ABC 上（其中∠ABC ＝30°），OM ⊥AB 于点M ，ON ⊥BC 于点N ，若OM ＝ON ，则∠ABO ＝ 15 度．【解析】方法一：因为OM ⊥AB ，ON ⊥BC ，OM ＝ON ，所以点O 在∠ABC 的平分线上，（2022•扬州中考）“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片ABC，第1次折叠使点B落在BC边上的点B′处，折痕AD交BC于点D；第2次折叠使点A落在点D处，折痕MN交AB′于点P．若BC＝12，则MP+MN＝6．【解析】如图2，由折叠得：AM＝MD，MN⊥AD，AD⊥BC，所以GN∥BC，所以AG＝BG，所以GN是△ABC的中位线，所以GN=12BC=12×12＝6，因为PM＝GM，所以MP+MN＝GM+MN＝GN＝6．答案：61【解析】设MN 交BC 于D ，连接EC ，如图：由作图可知：MN 是线段BC 的垂直平分线，所以BE ＝CE ＝4，所以∠ECB ＝∠B ＝45°，所以∠AEC ＝∠ECB +∠B ＝90°，在Rt △ACE 中，AE =√AC 2−CE 2=√52−42=3，所以AB ＝AE +BE ＝3+4＝7，答案：7．（2022•达州中考）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝20°，分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径作弧，两弧分别相交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ，则∠CAD 的度数为 50° ．【解析】因为∠C ＝90°，∠B ＝20°，所以∠CAB ＝90°﹣∠B ＝90°﹣20°＝70°，由作图可知，MN 垂直平分线段AB ，所以DA ＝DB ，所以∠DAB ＝∠B ＝20°，所以∠CAD ＝∠CAB ﹣∠DAB ＝70°﹣20°＝50°，答案：50°【解析】因为CD ＝AD ，CE ＝EB ，所以DE 是△ABC 的中位线，所以AB ＝2DE ，因为DE ＝10m ，所以AB ＝20m ，答案：20．（2022•苏州中考）如图，在平行四边形ABCD 中，AB ⊥AC ，AB ＝3，AC ＝4，分别以A ，C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，过M ，N 两点作直线，与BC 交于点E ，与AD 交于点F ，连接AE ，CF ，则四边形AECF 的周长为 10 ．【解析】因为AB ⊥AC ，AB ＝3，AC ＝4，所以BC =√AB 2+AC 2=5，由作图可知，MN 是线段AC 的垂直平分线，所以EC ＝EA ，AF ＝CF ，所以∠EAC ＝∠ACE ，因为∠B +∠ACB ＝∠BAE +∠CAE ＝90°，所以∠B ＝∠BAE ，所以AE ＝BE ，所以AE ＝CE =12BC ＝2.5，因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AD ＝BC ＝5，CD ＝AB ＝3，∠ACD ＝∠BAC ＝90°，同理证得AF ＝CF ＝2.5，所以四边形AECF 的周长＝EC +EA +AF +CF ＝10，答案：10（2022•衡阳中考）如图，在△ABC 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径作圆弧，两弧相交于点M 和点N ，作直线MN 交CB 于点D ，连接AD ．若AC ＝8，BC ＝15，则△ACD 的周长为 23 ．【解析】根据作图过程可知：MN 是线段AB 的垂直平分线，（2022•台州中考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点．若EF的长为10，则CD的长为10 ．【解析】因为E，F分别为BC，CA的中点，所以EF是△ABC的中位线，所以EF=12AB，所以AB＝2EF＝20，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，AB＝20，所以CD=12AB＝10，答案：10（2022•福建中考）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．若BC＝12，则DE的长为6．【解析】因为D，E分别是AB，AC的中点，所以DE为△ABC的中位线，所以DE=12BC=12×12＝6．答案：6．（2022•荆州中考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，通过尺规作图得到的直线MN分别交AB，AC于D，E，连接CD．若CE=13AE＝1，则CD＝√6．【解析】如图，连接BE，因为CE=13AE＝1，所以AE＝3，AC＝4，而根据作图可知MN为AB的垂直平分线，所以AE＝BE＝3，在Rt△ECB中，BC=√BE2−CE2=2√2，所以AB=√AC2+BC2=2√6，因为CD 为直角三角形ABC 斜边上的中线，所以CD =12AB =√6．答案：√6．（2022•梧州中考）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点D ，E 分别是AB ，AC 边上的中点，连接CD ，DE ．如果AB ＝5m ，BC ＝3m ，那么CD +DE 的长是 4 m ．【解析】因为点D ，E 分别是AB ，AC 边上的中点，所以DE 是△ABC 的中位线，所以DE =12BC ，因为BC ＝3m ，所以DE ＝1.5m ，因为∠ACB ＝90°，所以CD =12AB ，因为AB ＝5m ，所以CD ＝2.5m ，所以CD +DE ＝2.5+1.5＝4（m ）. 答案：4．（2022·牡丹江中考）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠CAB ，AC ＝6，BC ＝8，CD ＝ 3 ．【解析】如图，过点D 作DE ⊥AB 于E ，因为∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，所以AB =√AC 2+BC 2=√62+82=10，因为AD 平分∠CAB ，所以CD ＝DE ，所以S △ABC =12AC •CD +12AB •DE =12AC •BC ，即12×6•CD +12×10•CD =12×6×8，解得CD ＝3．答案：3（2022•吉林中考）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 是边AD 的中点，点F 在对角线AC 上，且AF =14AC ，连接EF ．若AC ＝10，则EF ＝ 52 ．【解析】在矩形ABCD 中，AO ＝OC =12AC ，AC ＝BD ＝10，因为AF =14AC ，所以AF =12AO ，所以点F 为AO 中点，所以EF 为△AOD 的中位线，所以EF =12OD =14BD =52．答案：52（2022•广东中考）如图，已知∠AOC ＝∠BOC ，点P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ．求证：△OPD ≌△OPE ．【证明】因为∠AOC ＝∠BOC ，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，所以PD ＝PE ，在Rt △OPD 和Rt △OPE 中，{OP =OP PD =PE，所以Rt △OPD ≌Rt △OPE （HL ）．（2022•赤峰中考）如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝8，BC ＝5．（1）作BC 的垂直平分线，分别交AB 、BC 于点D 、H ；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，连接CD ，求△BCD 的周长．【解析】（1）如图，DH 为所作；。