解方程组迭代法
第2章解线性代数方程组的迭代法
第二章解线性代数方程组的迭代法2. 1 引言在许多实际问题中，常常需要求解这样的线性代数方程组，它的系数矩阵数很高，但非零元素很少，人们称其为大型稀疏线性代数方程组，对于这类方程组，如果它乂不具有带状性，那么，再用直接法求解就不太有效，因为用直接法进行消元或矩阵的三角分解时，没有考虑到系数矩阵的稀疏性，破坏了系数矩阵的形状，导致了计算量的增加和存储单元的浪费，于是，人们常用迭代法求解大型稀疏线性代数方程组。
迭代法只需要存储系数矩阵的非零元素，这样，占用内存在单元较少，能解高阶线性代数方程组。
山于迭代法是通过逐次迭代来逼近方程组的解，因此，收敛性和收敛速度是构造迭代法时要注意的问题。
那么，是否可以构造一种适用于一般情况的迭代法呢？回答是否定的，这是因为不同的系数矩阵具有不同的性态，一般地，每一种迭代法都具有一定的适用范围，在本章的学习中将会看到，有时，某种方法对一类方程组迭代收敛，而对另一类方程组进行迭代时就会发散。
因此，我们应该学会针对具有不同性质的线性代数方程组，构造合适的迭代方法。
本章主要介绍一些基本的迭代法，并在一定的范围内讨论其中儿种方法的收敛法。
2. 2 基本迭代法考虑线性方程组如坷+如勺+…+气兀”二勺a2t x i+a22x2 + - + a2…x n =b2■•••••••••••(2. 1)采用矩阵和向量记号，我们可以把(2.1)式写成Ax = h(2.2)其中，为非奇异矩阵，设下面我们介绍雅可比(Jacobi)迭代，高斯-塞德尔(Gauss-Seidel)迭代与S0R迭代以及SS0R迭代的基本思想和算法。
为了方便地给出矩阵表示式，我们引进下列矩阵分裂：4SD-U,(2.3)其中-a2\-a n\(1)雅可比迭代的基本思想从式(2.1)的第i个方程中解出X t=(/ = 1,2,•••,«)我们把迭代前面的值代入上式右边，山计算得到等式左边的值作为一次迭代的新值，然后再把这个新值代入右边，再从左边得到一个新值，如此反复，就得到了雅可比迭代公式。
第四章-解AX=b的迭代法
•迭代格式的收敛性
2 k 引理4.1 (线性代数定理) 设矩阵序列 IM , , M , , M ,
k l i m M 0 ( M ) 1 . k
则
（证明见关治和陈景良编《数值计算方法》P410-412） 定理4.1 设迭代格式为
( k 1 ) ( k ) xM x g , k 0 , 1 , 2 , ( 4 . 3 )
充分性（）设ρ(M)<1,证{x(k)}收敛。
如果ρ(M)<1 ，则I-M为非奇异矩阵。事实上，因
为ρ(M)<1，λi<1，因此λ=1不是M的特征值，即
| 1 IM || IM |0 .
所以方程组 (I-M)x = f 有惟一解x*,满足(I-M)x* = f ，即 x*=Mx* + f 。于是
( k ) ( k 1 ) 2 ( k 2 ) x x * M ( x x * ) M ( x x * ) k ( 0 ) k M ( x x * ) M . 0
由引理4.1知，
k () k I f ( M ) < 1 ,t h e nl i m M 0 , l i m ( x x * ) 0 , i . e . k k () k l i m x x * . k
写成矩阵形式
x1 0 x b 2 21 31 x3 b x b n n1
或简记为
b 12 b 13 0 b23 b 0 32 bn2 bn3
b 1n x 1 g 1 b2n x2 g2 b 3n x 3 g3 g x 0 n n
( k ) ( k ) ( k 1 ) ( k ) x x * x x q x x *
迭代法(iterative method
迭代法(iterative method
迭代法是一种数学方法，通过不断地迭代逼近来求解数学问题。
这种方法通常用于求解方程、优化问题、积分问题等。
迭代法的基本思想是：给定一个初始值或初始解，然后根据一定的规则进行迭代，每次迭代都得到一个新的解，直到满足某个终止条件为止。
这个终止条件可以是精度要求、迭代次数限制等。
常见的迭代法包括：
1.牛顿迭代法：用于求解非线性方程的根，通过不断地逼近方程的根来求解。
2.梯度下降法：用于求解最优化问题，通过不断地沿着负梯度的方向搜索来找到最优
解。
3.牛顿-拉夫森方法：结合了牛顿法和二分法的优点，用于求解非线性方程的根。
4.雅可比迭代法：用于求解线性方程组，通过不断地逼近方程组的解来求解。
5.高斯-赛德尔迭代法：用于求解线性方程组，通过不断地逼近方程组的解来求解。
使用迭代法时需要注意初始值的选择、迭代规则的合理性、终止条件的设定等问题，以确保迭代过程的收敛性和有效性。
同时，迭代法也有一定的局限性，对于一些非线性问题或复杂问题，可能需要进行多次迭代或者采用其他方法进行求解。
牛顿迭代法求解方程组
牛顿迭代法求解方程组一、牛顿迭代法的基本原理牛顿迭代法是一种用于求解方程的迭代方法，其基本思想是通过不断逼近方程的根来求解方程。
具体而言，对于一个方程f(x) = 0，我们可以选择一个初始近似解x0，然后通过迭代的方式不断更新x 的值，直到满足一定的停止准则为止。
牛顿迭代法的更新公式如下：x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}其中，x_n表示第n次迭代得到的近似解，f(x_n)表示方程在x_n处的函数值，f'(x_n)表示方程在x_n处的导数值。
二、牛顿迭代法在求解方程组中的应用牛顿迭代法不仅可以用于求解单个方程，还可以推广到求解方程组的情况。
假设我们要求解一个由m个方程和n个未知数组成的方程组，即F(x) = 0其中，F(x) = (f1(x1, x2, ..., xn), f2(x1, x2, ..., xn), ..., fm(x1, x2, ..., xn))为方程组的向量函数。
我们可以将该方程组转化为一个等价的非线性方程组：f(x) = 0其中，f(x) = (f1(x1, x2, ..., xn), f2(x1, x2, ..., xn), ..., fm(x1, x2, ..., xn))。
牛顿迭代法在求解方程组时的更新公式如下：x_{n+1} = x_n - J^{-1}(x_n) f(x_n)其中，J(x_n)是方程组在x_n处的雅可比矩阵，其定义为：J(x_n) = \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1}(x_n) & \frac{\partial f_1}{\partial x_2}(x_n) & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}(x_n) \\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1}(x_n) & \frac{\partial f_2}{\partial x_2}(x_n) & \cdots & \frac{\partial f_2}{\partial x_n}(x_n) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1}(x_n) & \frac{\partial f_m}{\partial x_2}(x_n) & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n}(x_n) \end{pmatrix}三、牛顿迭代法的收敛性和收敛速度牛顿迭代法在求解方程组时具有较好的收敛性和收敛速度。
第五章 解线性方程组的迭代解法
定义迭代法为： 定义迭代法为：
x ( k + 1) = G J x ( k ) + g
其中Jacobi迭代矩阵：GJ = D1 ( L + U ) 迭代矩阵： 其中 迭代矩阵
g = D 1b = (7.2, 8.3, 8.4)T 取 x ( 0 ) = (0, 0, 0)T , 代入迭代式，得x(1) = Bx ( 0 ) + g = (7.2, 8.3, 8.4)T x ( 2 ) = Bx (1) + g = (9.71,10.70,11.5)T x (9 ) = (10.9994,11.9994,12.9992) 精确解为 x = (11,12,13)T .
记
A = D L U
其中 D = diag (a11 ,, ann ) , L, U 分别为 A 的 严格下、上三角形部分元素构成的三角阵 严格下、上三角形部分元素构成的三角阵. Gauss-Seidel方法的矩阵形式为 方法的矩阵形式为
x ( k +1) = D1 ( Lx ( k +1) + Ux ( k ) + b)
或者
x ( k +1) = ( D L)1Ux ( k ) + ( D L)1 b
( 这说明Gauss-Seidel方法的迭代矩阵为 D L)1U 方法的迭代矩阵为 这说明
从而有
定理5.2 定理5.2 Gauss-Seidel方法收敛的充分必要条件为 方法收敛的充分必要条件为
ρ (GG ) < 1 或
线性方程组的迭代式求解方法
线性方程组的迭代式求解方法迭代法解方程的基本原理1.概述把 Ax=b 改写成 x=Bx+f ，如果这一迭代格式收敛，对这个式子不断迭代计算就可以得到方程组的解。
道理很简单：对 x^{(k+1)}=bx^{(k)}+f 两边取极限，显然如果收敛，则最终得到的解满足 \lim_{k\rightarrow\infty } x^{(k)}=x^*=Bx^*+f ，从而必然满足原方程 Ax^*=b 。
迭代方法的本质在于这一次的输出可以当作下一次的输入，从而能够实现循环往复的求解，方法收敛时，计算次数越多越接近真实值。
2.收敛条件充要条件：迭代格式 x=Bx+f 收敛的充要条件是 \rho (B)<1充分条件： \Vert B\Vert <1即 \Vert B\Vert <1 \Rightarrow \rho(B)<1\Leftrightarrow 迭代收敛一、Jacobi迭代法怎样改写Ax=b ，从而进行迭代求解呢？一种最简单的迭代方法就是把第i行的 x_i 分离出来(假定 a_{ii} \ne 0 )：\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_j=b_i\Rightarrow x_i=\frac{b_i-\sum_{j=1,j\ne i}^{n}a_{ij}x_j}{a_{ii}}\quad \\这就是Jacobi(雅可比)迭代法。
迭代格式给定x^{(0)}=\left[x_1^{(0)},x_2^{(0)},\cdots,x_n^{(0)}\rig ht]^T ，则Jacobi法的迭代格式（也称分量形式）为x_i^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}\left ( {b_i-\sum_{j=1,j\ne i}^{n}a_{ij}x_j^{(k)}}\right),\quadi=1,2,\cdots,n\\矩阵形式设 A=D-L-U。
Jacobi法的矩阵形式（也称向量形式）为x^{(k+1)}=B_Jx^{(k)}+D^{-1}b\\其中迭代矩阵 B_J=D^{-1}(L+U)收敛条件\begin{eqnarray} \left. \begin{array}{lll} \VertB_J\Vert <1 \\ A 严格对角占优\\ A, 2D-A对称正定\end{array} \right \} \end{eqnarray} \Rightarrow \rho (B_J)<1\Leftrightarrow 迭代收敛特别地，若 A 对称正定且为三对角，则 \rho^2(B_J)=\rho (B_G)<1 。
几种迭代计算方法
几种迭代计算方法迭代计算方法是一种重要的计算技术，它是基于不断逼近的原理，通过多次迭代运算来逼近所要求解的问题的计算结果。
下面将介绍几种常见的迭代计算方法。
1.不动点迭代不动点迭代是指通过选择一个合适的迭代函数来不断逼近一个不动点的过程。
不动点指的是在迭代函数中，当迭代到其中一步时，迭代函数的值等于该迭代的值，即f(x)=x。
常见的不动点迭代有牛顿迭代法和迭代法求解方程。
牛顿迭代法通过选择一个初始值x0，利用迭代函数f(x)=x-f(x)/f'(x)来逼近方程f(x)=0的根。
每次迭代中，通过计算迭代函数的值来更新x的值，直至满足一定的精度要求。
迭代法求解方程是通过将方程f(x) = 0转化为x = g(x)的形式，并选择一个合适的g(x)来进行不断迭代求解的方法。
通过选择不同的g(x)，可以得到不同的迭代方法，如简单迭代法、Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法等。
2.逐次平方根法逐次平方根法是一种通过不断迭代计算来求解线性方程组的方法。
该方法通过对原始的线性方程组进行变换，将其转化为对角线元素全为1的上三角矩阵，并将方程组的解表示为逐次迭代的形式。
在每次迭代中，通过求解一个线性方程组来更新解的值，直至满足一定的精度要求。
逐次平方根法是一种迭代计算方法，其主要适用于对称正定矩阵，能够有效地求解大规模线性方程组。
3.迭代加权法迭代加权法是一种通过引入权重来加快迭代收敛速度的方法。
该方法在每次迭代更新解的时候，通过对解的不同分量引入不同的权重来控制更新的幅度。
通过合理选择权重，可以加快迭代收敛速度，提高求解效率。
迭代加权法是一种通用的迭代计算方法，在多个领域中有不同的应用，如求解矩阵特征值问题、求解最优化问题等。
以上介绍的是常见的几种迭代计算方法，它们在不同的问题中有着广泛的应用。
这些方法通过迭代运算不断逼近所要求解的问题的计算结果，具有较好的收敛性和计算效率，是一种重要的计算技术。
高斯牛顿迭代法解方程组
高斯牛顿迭代法解方程组高斯牛顿迭代法是一种常用的数值计算方法，用于解决非线性方程组。
本文将介绍高斯牛顿迭代法的基本原理、步骤和应用场景。
一、高斯牛顿迭代法的原理高斯牛顿迭代法是利用泰勒展开式对非线性方程组进行近似线性化处理，然后通过迭代逼近的方法求解方程组的解。
其基本思想是通过线性化的近似，将非线性方程组转化为一个线性方程组，然后利用线性方程组的解逐步逼近非线性方程组的解。
二、高斯牛顿迭代法的步骤1. 初始化：给定初值向量x0和迭代误差精度ε。
2. 迭代计算：根据当前的估计解xk，计算出近似的雅可比矩阵Jk 和残差向量rk。
3. 判断终止条件：若rk的范数小于等于设定的误差精度ε，则停止迭代，输出近似解xk；否则，进行下一步迭代。
4. 更新迭代：根据当前的估计解xk和雅可比矩阵Jk，计算更新量Δxk。
5. 更新解向量：更新当前的估计解xk+1 = xk + Δxk。
6. 回到步骤2，继续迭代计算，直到满足终止条件。
三、高斯牛顿迭代法的应用场景高斯牛顿迭代法广泛应用于科学和工程领域的各种问题求解，特别适用于非线性最小二乘问题的求解。
以下是一些常见的应用场景：1. 数据拟合：在实际问题中，常常需要根据一组观测数据拟合出一个数学模型。
高斯牛顿迭代法可以通过最小化观测数据与模型之间的误差，来确定最优的模型参数。
2. 图像处理：高斯牛顿迭代法可以用于图像处理中的图像恢复、图像去噪、图像分割等问题的求解。
例如，在图像恢复中，可以利用高斯牛顿迭代法求解出最佳的恢复图像。
3. 机器学习：高斯牛顿迭代法可以用于机器学习中的参数估计和模型训练。
例如，在逻辑回归中，可以使用高斯牛顿迭代法来求解最优的模型参数。
4. 无线通信：高斯牛顿迭代法在无线通信系统中的信道估计、自适应调制等问题的求解中得到广泛应用。
通过迭代计算信道的状态信息，可以提高通信系统的性能。
高斯牛顿迭代法是一种强大的数值计算方法，可以有效地求解非线性方程组。
迭代法举例
迭代法举例
迭代法是指通过反复迭代，逐步逼近求解方程的一种方法。
下面我们来举几个例子。
1.牛顿迭代法求解方程根
牛顿迭代法是一种求解方程根的迭代方法，假设需要求解的方程为f(x)=0，初始点为
x0，则可以通过以下迭代公式求解：
xn+1=xn-f(xn)/f'(xn)
其中f'(xn)表示f(x)在点xn处的导数。
通过不断的迭代求解，当f(xn+1)足够小的时候，就可以认为xn+1是方程f(x)=0的解。
这可以用来求解很多实际问题，例如求解非线
性方程、求解微积分中的最大值和最小值等。
2.雅可比迭代法求解线性方程组
x(k+1)=D^{-1}(b-(L+U)x(k))
其中D是A的对角线元素构成的对角矩阵，L和U分别是A的下三角和上三角部分矩阵。
这个迭代公式是通过将原方程组的系数矩阵A分解为D-(L+U)的形式而得到的。
使用雅可比迭代法求解线性方程组时，需要保证矩阵A是对称正定的，否则该方法可
能会失效。
此外，这个方法的收敛速度通常较慢。
3.梯度下降法求解函数最小值
其中α为步长，∇f(xn)表示f(x)在点xn处的梯度。
通过不断的迭代求解，可以逐步逼近函数f(x)的最小值。
但是需要注意的是，当该函数的梯度存在很大的方向差异时，梯度下降法的收敛速度
可能较慢，因此需要改进方法，例如Adagrad和Adam等算法，使得每个变量的更新步长可以根据过去的梯度值自适应地调整。
解线性方程组的迭代法
|| x || 0 (非负性) ； （1）|| x || 0 ，当且仅当 x 0 时，
（2） || x ||| | || x || (齐次性)； （3） || x y |||| x || || y || (三角不等式). 则称 || x || 为向量 x 的范数 (或模).
4.1.2 向量范数和向量序列的极限
常用的向量范数：设 x R n （1）向量的 - 范数 (最大范数)： || x || max | xi |
1 i n
|| x ||1 （2）向量的 1 - 范数 (绝对值范数)：
（3）向量的 2 - 范数：|| x ||2 ( x , x ) (
|| A ||2 3+2 2 , || A ||F 6
4.1.3 矩阵范数和矩阵序列的极限
(k ) ) R nn ，如果存 定义5 (矩阵序列的极限) 设有矩阵序列 Ak (aij
在 A (aij ) R nn，使
k (k ) lim aij aij ,
i, j 1, 2,
（4） || AB |||| A || || B || ； 则称 || A || 为矩阵 A 的范数.
4.1.3 矩阵范数和矩阵序列的极限
相容性： 设有矩阵范数 || ||s 和向量范数 || ||t ，如果对任何向量 x R n 及矩阵 A R nn ，有/2 || A ||F ( aij ) i , j 1 n
它是与向量 2-范数相容的矩阵范数，但不是从属范数.
4.1.3 矩阵范数和矩阵序列的极限
解线性方程组的迭代法
0.9906
0.0355
5 1.01159 0.9953
1.01159 0.01159
6 1.000251 1.005795 1.000251 0.005795
7 0.9982364 1.0001255 0.9982364 0.0017636
可见,迭代序列逐次收敛于方程组的解, 而且迭代7次得到精确到小数点后两位的近似解.
a11x1 a12x2 a13x3 b1 a21x1 a22x2 a23x3 b2 a31x1 a32x2 a33x3 b3
从而得迭代公式
x1
a12 a11
x2
a13 a11
x3
b1 a11
x2
a21 a22
x1
a23 a22
x3
b2 a22
x3
a31 a33
M 00.8 00..75
但(M)=0.8<1,所以迭代法 x(k+1)=Mx(k)+g 是收敛的.
由(3.5)式可见,‖M‖越小收敛越快,且当‖x (k) -x(k-1) ‖很小时,‖x(k) –x*‖就很小,实际中用‖x (k) x(k-1) ‖<作为
迭代终止的条件。 例如，对例1中的Jacobi迭代计算结果
+‖x(k+1) –x*‖‖M‖‖x(k) –x(k-1)‖+‖M‖‖x(k) –x*‖ 从而得‖x(k) –x*‖‖M‖‖x (k) -x(k-1) ‖/（1- ‖M‖）
(3.5) (3.6)
估计式(3.5)得证。利用(3.5)式和
‖x(k+1) 得到
-x(k)
‖‖M‖‖x
(k)
-x(k-1)
‖
解线性方程组 的迭代法
第六章 解线性方程组的迭代法.ppt
称 J 为解 Ax b的雅可比迭代法的迭代阵.
（2.5）
15
研究雅可比迭代法(2.5)的分量计算公式.
记 x(k ) ( x1(k ) ,, xi(k ) ,, xn(k ) )T ,
由雅可比迭代公式(2.5), 有
Dx(k1) (L U )x(k ) b,
或
i1
n
aii
9
定义1 (1) 对于给定的方程组 x Bx f，用公式(1.6) 逐步代入求近似解的方法称为迭代法(或称为一阶定常迭代 法，这里 B与 k无关).
(2) 如果 lim x(k) 存在(记为 x * )，称此迭代法收敛， k
显然 x *就是方程组的解，否则称此迭代法发散. 研究 {x(k )}的收敛性. 引进误差向量
22
例2 用高斯-塞德尔迭代法解线性方程组(1.2).
8x1 3x2 2x3 4x1 11x2 x3
20, 33,
6x1 3x2 12x3 36.
（1.2）
取 x(0) (0, 0, 0)T， 按高斯-塞德尔迭代公式
x ( k 1) 1
记为 Ax b , 其中
（1.2）
8 A4
6
3 2 11 1, 3 12
x1 x x2 ,
x3
20 b 33 .
36
方程组的精确解是 x* (3, 2, 1)T . 现将(1.2)改写为
4
12
于是，求解 Ax b转化为求解 Mx Nx b，即求解
Ax b 求解x M 1Nx M 1b.
可构造一阶定常迭代法
线性代数方程组迭代法PPT课件
超松弛法
收敛速度快
总结词
总结词
计算量较大
ABCD
详细描述
超松弛法具有较快的收敛速度，尤其对于大型线 性方程组，能够显著减少迭代次数。
详细描述
由于超松弛法的计算量较大，因此在实际应用中 可能需要考虑计算效率的问题。
CHAPTER 04
迭代法的实现步骤
初始化
设置初值
为方程组的解向量设定一个初始值。
迭代法的应用场景
当方程组的系数矩阵难以直接求解时 ，迭代法可以作为一种有效的替代方 案。
在科学计算、工程技术和经济领域中 ，许多问题可以转化为线性代数方程 组求解，而迭代法在这些领域有广泛 的应用。
迭代法的优缺点
优点
迭代法通常比直接法更加灵活和通用，对于大规模和高维度的线性代数方程组， 迭代法更加高效。
缺点
迭代法需要选择合适的迭代公式和参数，并且需要满足收敛条件，否则可能无 法得到正确的解。此外，迭代法的计算过程比较复杂，需要较高的计算成本。
CHAPTER 02
迭代法的基本原理
迭代法的数学模型
迭代法是一种求解线性代数方程组的数值方法，通过不断迭代逼近方程的 解。
迭代法的数学模型通常表示为：$x_{n+1} = T(x_n)$，其中$x_n$表示第 $n$次迭代时的近似解，$T(x)$表示迭代函数。
03
非线性方程组的迭代法在求解优化问题、控制问题 等领域有广泛应用。
在优化问题中的应用
01
迭代法在优化问题中也有广泛应用，如求解无约束优化问题、 约束优化问题和多目标优化问题等。
02
常见的优化问题迭代法包括梯度下降法、牛顿法和共轭梯度法
等。
这些方法通过不断迭代来逼近最优解，广泛应用于机器学习、
迭代法求解方程原理
迭代法求解方程：原理与步骤详解迭代法，又称为辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的是直接法（或者称为一次解法），即一次性解决问题。
迭代法又分为精确迭代和近似迭代。
迭代法求解方程的原理是基于数学中的逼近理论，通过构造一个序列，使得该序列的极限值就是方程的解。
这种方法通常用于求解非线性方程或者方程组，因为这些方程可能难以通过直接求解的方式得到解析解。
迭代法求解方程的基本步骤：1.选择迭代函数：根据待求解的方程，选择一个合适的迭代函数。
这个迭代函数通常是通过对方程进行某种变换得到的。
2.确定迭代初值：为迭代过程选择一个初始值，这个初始值可以是任意的，但不同的初始值可能会影响到迭代的收敛速度和稳定性。
3.进行迭代计算：使用迭代函数和初始值，计算得到序列的第一个值。
然后，用这个值作为下一次迭代的输入，继续计算得到序列的下一个值。
如此反复进行，直到满足某个停止条件（如达到预设的迭代次数，或者相邻两次迭代结果的差值小于某个很小的阈值）。
4.判断解的有效性：如果迭代过程收敛，即序列的极限值存在且唯一，那么这个极限值就是方程的解。
否则，如果迭代过程发散，或者收敛到非唯一解，那么这种方法就失败了。
迭代法的收敛性：迭代法的关键问题是判断迭代过程是否收敛，即序列的极限值是否存在且唯一。
这通常取决于迭代函数的选择和初始值的设定。
对于某些迭代函数，无论初始值如何，迭代过程都会收敛到同一个值；而对于其他迭代函数，迭代过程可能会发散，或者收敛到多个不同的值。
迭代法的优缺点：优点：◆迭代法适用于求解难以直接求解的方程或方程组。
◆迭代法通常比直接法更容易编程实现。
◆在某些情况下，迭代法可能比直接法更快。
缺点：◆迭代法可能不收敛，或者收敛速度很慢。
◆迭代法的收敛性通常需要额外的数学分析或实验验证。
◆对于某些方程，可能需要尝试不同的迭代函数和初始值，才能找到有效的解决方案。
常见的迭代法：◆雅可比迭代法：用于求解线性方程组的一种方法，通过不断更新方程组的近似解来逼近真实解。
数值分析第六章线性方程组迭代解法
数值分析第六章线性方程组迭代解法线性方程组是数值分析中的重要内容之一，其求解方法有很多种。
其中一种常用的方法是迭代解法，即通过不断迭代逼近方程组的解。
本文将介绍线性方程组迭代解法的基本思想和常用方法。
线性方程组可以用矩阵形式表示为Ax=b，其中A是系数矩阵，b是常数向量，x是未知向量。
线性方程组的解可以是唯一解，也可以是无穷多个解。
迭代解法的基本思想是通过不断迭代，并利用迭代序列的极限，逼近线性方程组的解。
迭代解法适用于大型的线性方程组，而直接求解法则适用于小型的线性方程组。
常用的迭代解法有雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法和逐次超松弛迭代法。
雅可比迭代法是最简单的线性方程组迭代解法之一、它的基本思想是将线性方程组的每个方程都单独表示为未知数x的显式函数，然后通过不断迭代求解。
雅可比迭代法的迭代公式为：x(k+1)=D^(-1)(b-(L+U)x(k))其中，D是A的对角元素构成的对角矩阵，L是A的下三角矩阵，U 是A的上三角矩阵，x(k)是第k次迭代的解。
高斯-赛德尔迭代法是雅可比迭代法的改进版。
它的基本思想是将每个方程的解带入到下一个方程中，而不是等到所有方程都迭代完毕后再计算下一组解。
高斯-赛德尔迭代法的迭代公式为：x(k+1)=(D-L)^(-1)(b-Ux(k))其中，D是A的对角矩阵，L是A的下三角矩阵（除去对角线），U是A的上三角矩阵（除去对角线），x(k)是第k次迭代的解。
逐次超松弛迭代法是对高斯-赛德尔迭代法的改进。
它引入了松弛因子w，通过调节松弛因子可以加快收敛速度。
逐次超松弛迭代法的迭代公式为：x(k+1)=(D-wL)^(-1)[(1-w)D+wU]x(k)+w(D-wL)^(-1)b其中，D是A的对角矩阵，L是A的下三角矩阵（除去对角线），U是A的上三角矩阵（除去对角线），w是松弛因子，x(k)是第k次迭代的解。
线性方程组迭代解法需要设置迭代停止准则，通常可以设置迭代次数上限或者设置一个精度要求。
第3章迭代法思想
高斯－塞德尔(Gauss-Seidel)迭代
由Jacobi迭代可以看出，每次计算 xi 新值时，用的都是 x j
x
( k 1) 1
( k 1)
(k )
( j i ) ，即 x j ( j i )
( k 1)
的旧值，但事实上，在计算 xi
, x2
( k 1)
时，
, x
( k 1) i 1
30
迭代法的矩阵描述
例：用矩阵形式的Jacobi迭代和G-S迭代形 式求解线性方程组：
2 x1 x 2 1 x1 4 x 2 5
2 1 2 0 0 0 0 1 A 0 4 1 0 0 0 D L U 1 4
22
高斯－塞德尔(Gauss-Seidel)迭代
取 x(0)=(0,0,0)T 计算如下： k x1(k) x2(k) x3(k)
1
…
0.72
…
0.902
…
1.1644
…
8
1.099998
1.199999
1.3
Jacobi法需要12次迭代。。。
23
上例计算结果表明，Gause seidel迭代 法比Jacobi迭代法效果好。事实上，对有 些问题Gause seidel迭代法确实比Jacobi 迭代法收敛得快，但也有Gause seidel迭 代比Jacobi迭代收敛得慢，甚至还有Jacobi 迭代收敛，Gause seidel迭代发散的情形。 评价：与Jacobi相比，只需一组工作单 元存放近似解。
11
雅克比(Jacobi)迭代法
等 价 方 程 组
x1 x2 xn 1 [ a12 x2 a1n xn b1 ] a11 1 [ a21 x1 a2 n xn b2 ] a22 1 [ an1 x1 an 2 x2 bn ] ann
迭代法求方程组
迭代法求方程组迭代法是一种常用的数值计算方法，被广泛应用于求解方程组的问题。
在工程、科学和经济等领域，方程组的求解是一项重要的任务，而迭代法则为我们提供了一种简单而有效的解决方案。
迭代法的基本思想是通过逐步逼近的方式，不断修正变量的值，直到满足方程组的解。
其核心思想是利用当前的近似解，通过一定的迭代公式来更新变量的值，使其逐渐逼近真实解。
在迭代法中，首先需要确定迭代公式。
迭代公式的选择往往是根据问题的特点和求解的要求来确定的。
常见的迭代公式有固定点迭代法、牛顿迭代法、雅可比迭代法等。
不同的迭代公式有不同的收敛性和计算效率，因此在实际应用中需要根据具体情况选择合适的迭代公式。
以解二元一次方程组为例，假设方程组为：x + y = 5x - y = 1我们可以通过雅可比迭代法来求解该方程组。
雅可比迭代法的迭代公式为：x(k+1) = (1/2) * (5 - y(k))y(k+1) = (1/2) * (1 + x(k))其中，k表示第k次迭代的结果，x(k)和y(k)分别表示第k次迭代的x和y的值。
根据迭代公式，我们可以从初始的近似解开始，通过逐步迭代来逼近真实解。
假设初始的近似解为x(0) = 0，y(0) = 0，我们可以通过迭代公式来计算出x(1)和y(1)，再利用x(1)和y(1)来计算x(2)和y(2)，以此类推，直到满足收敛条件。
通过多次迭代计算，我们可以得到方程组的近似解。
在实际应用中，迭代次数的选择是一个关键问题。
如果迭代次数过少，可能无法得到满足要求的解；如果迭代次数过多，可能会造成计算时间的浪费。
因此，需要根据具体问题来选择合适的迭代次数。
除了雅可比迭代法，还有其他的迭代方法可以用于求解方程组。
例如，固定点迭代法是一种简单直观的迭代方法，其基本思想是通过将方程组转化为x = g(x)的形式，不断迭代更新x的值，使其逐渐逼近真实解。
总结起来，迭代法是一种常用的数值计算方法，可以用于求解方程组等各种数学问题。
迭代法解方程
为新的初始值，继续迭代。
具体来说，假设要求解方程 f(x)=0 的解，则可以使用迭代法来求解。首先，我们选择初始值 x0，然
后根据迭代公式 x1=g(x0) 计算下一个近似解 x1。这里的迭代公式 g(x) 是我们自己设计的，它的作
用是将初始值 x0 转化为下一个近似解 x1。
迭代公式的选择对于迭代法的收敛性有很大影响。如果选择的迭代公式满足一定的条件，例如对于所 有的 x 都有 |g(x)|<1，则迭代法是收敛的。如果不满足这些条件，则迭代法可能不收敛。
迭代法的优点在于求解精度可以通过调整迭代次数来控制，并且对于线性方程组的求解速度较快。缺 点在于对于非线性方程组的求解可能不收敛，并且对于某些方程组收敛速度较慢。
总的来说，迭代法是一种常用的数值解法，可以用来求解方程。但是，需要注意选择的迭代公式对于 迭代法的收敛性的影响。
迭代真实值， 直到达到满意的精度为止。
迭代法的步骤如下：
1.
选择初始值 x0。
2.
根据初始值 x0 计算下一个近似解 x1。
3.
判断 x1 与 x0 的差值是否满足精度要求，如果满足，则退出迭代；如果不满足，则用 x1 作
解方程的helley迭代公式
解方程的helley迭代公式引言：解方程是数学中的一项重要内容，对于求解各种类型的方程有着重要的意义。
而Helley迭代公式则是一种常用的求解方程的方法，它通过不断逼近方程的解，最终得到准确的解。
本文将详细介绍Helley迭代公式的原理和应用，并结合具体例子进行说明。
正文：一、Helley迭代公式的原理1.1 迭代法的基本原理迭代法是一种通过不断逼近的方法求解方程的数值解。
其基本思想是从一个初始值开始，通过迭代的方式逐步逼近方程的解，直到满足一定的精度要求。
迭代法的核心在于选择合适的迭代公式和初始值，以确保迭代过程能够收敛到方程的解。
1.2 Helley迭代公式的定义Helley迭代公式是一种常用的迭代公式，它通过对方程进行变形，得到一个递推式，通过不断迭代逼近方程的解。
具体公式如下：Xn+1 = f(Xn)其中，Xn表示第n次迭代的结果，f(Xn)表示迭代函数，通过对方程进行变形得到。
二、Helley迭代公式的应用2.1 一元方程的求解Helley迭代公式在一元方程的求解中有着广泛的应用。
通过选择合适的迭代函数和初始值，可以逐步逼近方程的解。
例如，对于一元方程x^2 - 2 = 0，可以使用Helley迭代公式进行求解：Xn+1 = (Xn + 2/Xn) / 22.2 多元方程的求解Helley迭代公式不仅适用于一元方程，也可以用于多元方程的求解。
对于多元方程，需要将方程进行变形，得到适合Helley迭代公式的形式。
然后通过选择合适的迭代函数和初始值，进行迭代求解。
2.3 收敛性分析在使用Helley迭代公式求解方程时，需要对迭代过程的收敛性进行分析。
一般来说，迭代函数的导数在解附近应该满足一定的条件，以保证迭代过程的收敛性。
通过分析迭代函数的导数，可以判断迭代过程是否收敛，并确定合适的初始值。
三、具体例子说明3.1 一元方程求解示例以求解方程x^2 - 2 = 0为例，使用Helley迭代公式进行求解。
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考虑迭代式
x(k + 1) = BJ x(k ) + f
即
( k = 0 ,1,2 , L)
x ( k + 1 ) = D −1 ( L + U ) x ( k ) + D −1b
Dx
(k + 1)
= Lx
(k )
+ Ux
(k )
+b
注意到 L 的形式 ( 下三角 , 不含对角线 )
将上式改为
依此类推
2
x ( 2 ) = Bx ( 1 ) + f
M x ( k + 1 ) = Bx ( k ) + f
( k = 0 , 1 , 2 , L)
迭代矩阵 --------(3)
这种方式就称为迭代法 ,以上过程称为迭代过程
{ x( k ) } ∞ 迭代法产生一个序列 0
如果其极限存在,即
lim x ( k ) = x *
Dx ( k + 1 ) = Lx ( k + 1 ) + Ux ( k ) + b
13
( D − L ) x ( k + 1 ) = Ux ( k ) + b
当 M = D − L 可逆时
D − L 即为 A 的下三角 ( 包括对角线 )部分
x ( k + 1 ) = ( D − L ) − 1 Ux ( k ) + ( D − L ) − 1 b
∑a
j=3 n
2j
x
(k ) j
x
(k + 1) 3
∑a
j=1
3j
x
(k +1) j
∑a
j=4 n
3j
x
(k ) j
x
(k + 1) i
∑a
j=1
i−1
ij
x
(k +1) j
1 − a ii
j=i+1
∑a
ij
x
(k ) j
1 + bi a ii
1 + bn a nn
15
x
(k +1) n
∑a
j=1
n−1
2 .5 + 3 3
= [ 3 . 1364 , 2 . 0455 , 0 . 9716 ]T
x4 = x5 = x6 = x7 = x8 = x9 = x10 = x11 = x12 = 3.0241 1.9478 0.9205 d = 3.0003 1.9840 1.0010 d = 2.9938 2.0000 1.0038 d = 2.9990 2.0026 1.0031 d = 3.0002 2.0006 0.9998 d = 3.0003 1.9999 0.9997 d = 3.0000 1.9999 0.9999 d = 3.0000 2.0000 1.0000 d = 3.0000 2.0000 1.0000 d =
(0)
(0) (0) (0)
(i = 1,2,L, n)
尽量用最新的近似！
16
例：用Jacobi迭代法和G-S迭代法解方程组：
8 x1 − x2 + x3 = 8 2 x1 + 10 x2 − x3 = 11 x + x − 5 x = −3 3 1 2
x = (1,1,1)
( ( k 发现在 x i( k + 1 ) 之前 , x 1 k + 1 ) , x 2 k + 1 ) , L , x i(− 1+ 1 )已经求出 ( ( k) 但当求 x i( k + 1 )时 , 仍用 x 1 k ) , x 2 k ) , L , x i(− 1 进行迭代
( ( k+ 能否求 xi( k + 1 )时 , 利用 x1k + 1 ) , x 2k + 1 ) , L , xi(− 1 1 )进行迭代呢 ?
j
n
ann
n
j =1
nj
j
7
例
用Jacobi迭代法求解方程组,误差不超过1e-4
8 4 2 −3 11 1 2 x 1 20 − 1 x 2 = 33 4 x 3 12 −3 11 1 2 − 1 4
(k+1) (k) (k)
x1 = (8 + x2 − x3 ) / 8 x1 = (8 + x2 − x3 ) / 8 x2 = (11 − 2 x1 + x3 ) / 10 x2 = (11 − 2 x1 + x3 ) / 10 x = (3 + x + x ) / 5 x = (3 + x + x ) / 5 1 2 3 1 2 3
k →∞
则称迭代法收敛, 否则称为发散
3
迭代法的构造
Ax = b
A=
A∈ R
ann
n×n
非奇异， (aij ) n×n = A
a11 a22 O
−
0 - a 0 21 M O - an1 L - ann −1 0
nj
x
(k +1) j
= ( x 1 , x2 , L , x n ) T i −1 n ( k +1) ( k +1 ) (k ) 1 x i = (bi − ∑ aij x j − ∑ aij x j ) aii j =1 j =i +1 (k ) = x i + ∆xi i −1 n ( k +1 ) 1 ∆xi = (bi − ∑ aij x j − ∑ aij x j( k ) ) aii j =1 j =i x
3 0 0 − 2 1 0 0 L = − 4 − 2 0 0 −1 0 0 0
8
解: :
8 A = 4 2
0 11 0 0 0 4
8 D = 0 0
0 U = 0 0
0 −1 − 4 BJ = D ( L + U ) = 11 1 − 2
(k+1) (k) (k) (k+1) (k+1) (k) (k+1) (k) (k) (k+1) (k+1) (k+1)
Jacobi
G-S
18
解大型稀疏线性方程组的逐次超松弛迭代法 Successive Over Relaxation Method (SOR)
x ( 3 ) − x ( 2 ) = 0 . 4127
0.1573 0.0914 0.0175 0.0059 0.0040 7.3612e-004 2.8918e-004 1.7669e-004 3.0647e-005
依此类推,得方程组满足精度的解为x12 迭代次数 为12次
x 1 3 . 0000 x 2 = 2 . 0000 x 1 . 0000 3
第五章 解大型稀疏线性方程组的迭代法
在用直接法解线性方程组时要对系数矩阵不断变换 如果方程组的阶数很高,则运算量将会很大 并且大量占用计算机资源 因此对线性方程组
Ax = b
要求找寻更经济、适用的数值解法
--------(1)
设 A ∈ R n× n , b ∈ R n , x ∈ R n
1
如果能将线性方程组(1)变换为
= [ 2 . 875 , 2 . 3636 , 1 ]T
x ( 2 ) − x ( 1 ) = 2 . 1320
10
x(3) = BJ x(2) + f
0 4 = − 11 1 − 2
3 8 0 − 1 4
1 − 4 1 11 0
2 . 875 ⋅ 2 . 3636 1
j≠1 n
n
n n 1 1 x1 = (b1 − ∑ a1 j x j ) = x1 + (b1 − ∑ a1 j x j ) a11 a11 j =1 j =1
2
2
22
j =1 j≠2 n
2j
j
2
2
22
j =1
2j
j
n
i
i
ii
j=1 j≠i
ij
j
i
i
ii
j=1
ij
j
n
n
n
ann
n
j =1 j≠n
nj
3 8 0 1 − 4
1 − 4 1 11 0
2 .5 −1 f =D b = 3 3
取初值 x ( 0 ) = [ 0 0 0 ]T , 使用 Jacobi 迭代法 x(k + 1) = BJ x(k ) + f
( k = 0 ,1,2 ,Ln ,L)
x2 + x3 = 8 2 x1 + 10 x2 − x3 = 11 x + x − 5 x = −3 3 1 2
(k+1) (k) (k)
x1 = (8 + x2 − x3 ) / 8 x2 = (11 − 2 x1 + x3 ) / 10 x = (3 + x + x ) / 5 1 2 3
11
分析Jacobi迭代法的迭代过程,将其细化
( ( x 1k + 1 ) = x 1k ) n 1 + ( b1 − ∑ a 1 j x (j k ) ) a 11 j=1