量子力学经典题目及解答

µ e s4
2n 2ℏ 2
试由驻波条件求粒子能量的可能值。 试由驻波条件求粒子能量的可能值。 λx h nh 解：驻波条件 1
p2 3.粒子被限制在长宽高分别为 1 3.粒子被限制在长宽高分别为 a , a2, a3 的箱中动， 的箱中动， E = 2µ
a1 = n1
2
， px = ∴
λx
=
2a1
∂ψ ∂ψ E =E , = ψ⋯ (2) 定 ：ℏ 态 i ψ ∂t ∂t iℏ ∂ψ* ∂ψ* E * * 取 共 ： iℏ 复 轭 =E , ψ = ψ ⋯ ) (3 ∂t ∂t −iℏ ∴ 态 率 度 布 随 间 化 即 定 几 密 分 不 时 变 ， ： ∂w ∂ψ* ∂ψ E * E =ψ +ψ* =ψ ψ +ψ* ψ = 0 ∂t ∂t ∂t −iℏ iℏ ∂w 由1 ( )， iJ = − ∇ = 0， ∂t ∴ iJ与 间 关 即 为 t无 的 矢 。 ∇ 时 无 ， J 与 关 常 量 ∂t
,
同理， 同理，
py = n2h/ 2a2, pz = n3h/ 2a3 n , n2, n3 =1 ⋯ ,2,3 ⋯ 1
p2 1 2 2 2 h2 n1 2 n2 2 n3 2 ∴E = = ( px + py + pz ) = ( ) +( ) +( ) 2µ 2µ 2µ 2a1 2a2 2a3
Ⅰ -a Ⅱ o a Ⅲ
ℏ ′′ 2µE x < a⋯ (2) ⋯ ψ ΙΙ + ℏ2 ψΙΙ = 0 即 ′′ − 2µ(u0 − E)ψΙ,ΙΙΙ = 0 x > a⋯ (3) ⋯ ψ 2 Ι,ΙΙΙ ℏ
ψΙΙ (x) = Aeikx + Be−ikx x < a⋯ (4) ⋯ 2µE 2 2µ(u0 − E) 2 令 = 2 ,α = k ， 为 解 : 2 ψΙ,ΙΙΙ (x) = aeαx +be−αx x > a⋯ (5) ⋯ ℏ ℏ
1 其中 c =
ρd ν ν
=
cν 3d ν 1
ℓ
cν 2 T
h 8 h π c2 = , k c3
h ν kT
−1
∴ρν = c1ν 3ℓ T dν ≫1 , 在高频区, 在高频区, ℓ hv hv v kT ℓ ≃1+ =1+c2 在低频区， 在低频区， kT 3 T 3 c1v dv c1v dv c1 2 ∴ ρν dν = c v / T = = Tv dv
∧ ∧ iℏ 1 * * * 解： = − J ( ∇ −ψ ψ ) = ψ ψ ∇ ( ψ pψ −ψ pψ*) 2µ 2µ ∂ 1 ∂ 1 ∂ 其 ， 中 ∇= er +e +e θ ϕ ∂r r ∂θ r sinθ ∂ϕ ∂ 由 ψ1=ψ1 于 (r)与 向 关 ∵∇ 1 = ψ1 er 方 无 ， ψ (r) ∂r iℏ J =− ( 1∇ 1 −ψ1∇ 1 ) ψ* ψ ψ* 2µ
x <0 0 < x < a, 其 n =1 ⋯ 中 ,2, x >a ( ) 11 ( 10)
i − Et n ℏ
n2π 2 2µE 由 (4)式 (7)式 α2 = 和 : = a2 ℏ2 n2π 2ℏ2 ∴ 级 n= 能 E , n =1 ⋯ ,2, ⋯ 2 2µa Ψ x, t) =ψ(x)e (
i(αx−ωt )
i(βx−ωt )
1
2
1
2
+a*bf1* f2e−i(α−β )x + ab* f1 f2*ei(α−β)x = a f (x) + b f22 (x) +[a*be−i(α−β )x + ab*ei(α−β )x ] f1 f2
2 2 1 2
代 a = 2,b = i, 入 e−i(α−β )x −ei(α−β )x = 4 f12 (x) + f22 (x) + f1 f *(2i) *(−2i) −2i = 4 f12 (x) + f22 (x) + 4 f1 f sin(α − β)x
2µE ψ(x) = 0,(Biblioteka Baidu ≤ x ≤ a)⋯ (3) ⋯ 2 ℏ
2µE ψ′ ψ ⋯ ,则 ′ +α2 = 0⋯ (4) 2 ℏ 解 ψ = Acosαx + Bsinαx⋯ (5 为 ⋯ ) 令 2= α 由 函 的 续 , 求 波 数 连 性要 :
ψΙ (0) =ψΠ(0) = A = 0,∴ (x) = Bsinαx⋯ ψ (6) ψΠ(a) =ψΙΙΙ (a) = Bsinαa = 0, B ≠ 0,∴ αa = 0 sin n π α π ,2 ⋯ 即 a = n , n =1 ,3 ,α = ⋯ (7) ⋯
∞
1
<2>
−∞
ψ dx = ∫ A2x2e−2λxdx =1 分 积 ) ,( 部 分 ∫
2 0
∞
π
1/4
,ψ =
π
1/4
2 A 2 A ∫ x2e−2λxdx = [x2e−2λx − λ 2 0 2 A 1 −2λx = [ xe −2λ λ 2 A =− e−2λx 4λ3 ∞ ∞
∞
∞ 0
− ∫ 2xe−2λxdx]
µ r * (2) :
µ e s2
rn
L 2 nℏ 2 = (µ v ) = ( ) = ( ) r rn
2
(1)
n2ℏ2 ∴ rn = ⋯ (4) 2 µ es e s2 p 2 e s2 ( µ v ) 2 e s2 又由 E = − = − =− ⋯ (5) 2µ r 2µ r 2 rn (4) 代 入 (5) 得 : E n = −
Axe−λx， ≥ 0 x −x /2 (2) 2.试将下列波函数归一化 (1) 2.试将下列波函数归一化： ψ = Ae ， ψ = 试将下列波函数归一化： ， 0 x ≤0 (3)ψ(x) = Ax(a − x)， < x < a 0
2
解：<1>
∞
−∞
∫ ψ dx = A
2 ∞ 2 −x
i n2π2ℏ2 − t ℏ 2µa2
( 12)
( ) 13
1 ′ A= 2.4证明（2.6-14）式中的归一化常数是 2.4证明 2.6-14） 证明（ 。 a ∞ a π 2 证： ψ dx = A 2 sin2 n (x + a)dx = A 2a =1 ′ ′ ∫ ∫ 2a −∞ −a
′ ∴A =
h2 n 2 n2 2 n3 2 π 2ℏ2 n 2 n2 2 n3 2 E = [( 1 ) +( ) +( ) ] = [( 1 ) +( ) +( ) ] 8µ a1 a2 a3 2µ a1 a2 a3
第一章
补充：1.设 补充：1.设 ψ1 = af1(x)e 和 ψ2 = bf2(x)e分别表示 微观粒子的两个可能状态， 微观粒子的两个可能状态，求当粒子处于叠加态 ψ =ψ1 +ψ2 时的相对几率分布。 为复常数， 为实函数。 时的相对几率分布。a，b为复常数， f1, f2 为实函数。 2 2 解： ψ 2 = ψ +ψ 2 = af ei(αx−ωt ) + bf ei(βx−ωt )
2.2由下列两定态波函数计算几率流密度，并从所得结果说 2.2由下列两定态波函数计算几率流密度 由下列两定态波函数计算几率流密度， ψ 表示向内传播的球面波。 表示向外传播的球面波， 表示向内传播的球面波。 明 ψ1 表示向外传播的球面波， 2 1 ikr 1 −ikr ( ) 1 = e ,(2) 2 = e 1ψ ψ r r
0 ∞
∞
−
0
1
∞
λ0
∫e
−2λx
2 A dx] = 2λ2
e−2λxdx ∫
0
x 2 3 2 <3> ∫ ψ(x) dx = ∫ A x (a − x) dx =A [ (a − x) + ∫ x (a − x)dx] 3 3 0 0 0 0
2 2 2 2 2
2 A = =1 3 0 4λ 2λ3/2xe−λx , x ≥ 0 ∴A = 2λ3/2,ψ = 0, x ≤ 0 a a a
e2 −1 c2v / T c2
−c2ν
----Wein公式 ----Wein公式
----R ----R-J公式
2.由玻尔角动量量子化条件导出氢原子能级公式 2.由玻尔角动量量子化条件导出氢原子能级公式 En 解： L = n ℏ = rn µ v ⋯ (1) 角动量量子化条件， 角动量量子化条件， e 2 µ v 2 s (向 心 力 ) ⋯ 2 ） （ 2 = r r
量子力学经典题目及解答
绪论
补充： 补充： 1.证明 1.证明Plank公式在高频区化为Wein公式，在低频区化为 证明Plank公式在高频区化为 公式在高频区化为Wein公式 公式， Rayley-Jeans公式 Rayley-Jeans公式。 公式。 证明：Plank公式为 证明：Plank公式为 或写为
iℏ 1 ±ik 1 1 −1 ∓ik ±1 ℏk [ ( )]er = 2 − 2 )− ( 2 + er 2µ r r r r r r r µ
J1平 于 r ,发 波 J2 平 于 r， 敛 行 e 散 ，反 行 e 收 波
2.3一粒子在一维势场中运动，求粒子的能级和对应的 2.3一粒子在一维势场中运动 一粒子在一维势场中运动， 波函 u ， ∞ x <0 数。其中 Ⅰ Ⅱ Ⅲ u(x) = 0,0 ≤ x ≤ a ∞ x >a ，
1 a
u0 > 0, x > a 2.7一粒子在一维势阱中运动 u 2.7一粒子在一维势阱中运动， (x) = 一粒子在一维势阱中运动， 0, x ≤ a
求束缚态( 求束缚态(0 < E < u0)的能级所满足的方程(分别求出奇宇称和 )的能级所满足的方程 的能级所满足的方程( 偶宇称解) 偶宇称解)。 ℏ2 d2 解：定态schr.eq 解：定态schr.eq − ψ +u(x) = E ⋯ (1 ψ ψ ⋯ ) 2 2µ dx u0 2µ(E −u) ⋯ ) ψ′′(x) + ψ = 0⋯ (1 ′ 2
2
∞
2
−∞ ∞
e dx = A2I =1 ∫
−x2 −y
2
I = ∫ e dx ∫ e dy = ∫ e
−∞ ∞ −∞ −∞
∞
−(x +y )
2 2
dxdy = ∫ ∫e rdrdθ
−r2 0 0
2π ∞
r2 −r −r2 = 2π ∫ e d( ) =πe 2 0
2
0 ∞
=π 1 e
−x2 /2
∴I = π , A =
− 解：定态schr.eq 解：定态schr.eq ℏ dψ +u(x) = E ⋯ ) ψ ψ (1 2 2µ dx
2 2
(J1取 号 J2 下 ) 上 ，取 号
o
a
ψΙ = ⋯ 由波函数有限性要求，ψΙΙΙ = 0,(x < 0, x > a)⋯ (2)
ψ (1)式改写为 ′′(x) + (1)式
3
a
2x 2x 2A 5 a5 = A2[ (a − x) + ∫ dx] = x = 3*4 3*4 3*4*5 0 30 0 0 30 30 ∴A = 5 , A = 5 a a
2
4
a
a
4
2
a
第二章
2.1证明在定态中，几率流密度与时间无关。 2.1证明在定态中，几率流密度与时间无关。 证明在定态中 ∂ 证： w +∇ J = 0⋯ 1 i ()
iℏ e∓ikr ∂ e±ikr e±ikr ∂ e∓ikr =− [ ( )− ( )]er 2µ r ∂r r r ∂r r e±ikr e∓ikr ∓ike∓ikr iℏ e∓ikr e±ikr ±ike±ikr =− [ ( 2 + )− ( 2 + )]er 2µ r r r r r r
∴J =−
∴ Π(x) = Bsin ψ
∞
n π x,(0 < x < a)⋯ (8 ⋯ ) a
a
归 化: 一
a
− ∞
∫ ψ dx =1
2 a 1−cos
B2 sin2 ∫
0
n π xdx = B2 ∫ a 0
2n π x a a dx = B2 =1 2 2
∴B =
2 ⋯ (9) ⋯ a
0 n π 2 波 数 (x) = 函 ψ sin x a a 0 定 波 数 (x, t) =ψ(x)e 态 函 Ψ
根 波 数 有 性 x →±∞时 ψ →0， 据 函 的 限 ： ， 有 ψΙ (x < a) = aeαx , b = 0 (6) ， 则 →∞ 否 ψ −αx (7) ψ ΙΙΙ (x > a) = be , a = 0 又 于 能 (x)关 原 左 对 ： (x) = u(−x)∴波 数 具 确 的 称 由 势 u 于 点 右 称 u 函 应 有 定 宇 B= A 即 （ ） 中 B = A ,可 在 4 式 ， 取 B =−A 奇 称 函 A′sin kx， 宇 波 数 ∴ ΙΙ (x) = ψ 偶 称 函 B′cos kx， 宇 波 数 (9) (10) (11) (8)