《计算机数学》2007试卷A答案

2007年浙江省普通高校“专升本”联考《计算机数学》试卷一、选择题：D A B C B D D B B A B二．填空题：1. 设函数)1,0()(≠=a a a x f x ，则[])()2()1(ln 1limn f f f n n ∞→= a ln 212. 设)()(ln x f e x f y = , 其中f 可微，则dx e x f x f e x f x dy x f x f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+'=)()()()(ln )(ln 1 .3. 已知)(x f 为x 2sin 的一个原函数，且21)0(=f ，则 ⎰=dx x f )(C x x +-2sin 41.4. ⎰-=++112)11(dx xex)1(22-+e π.5. 矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1011A 则=-1)2(A ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21021216. 设B A ,均为3阶矩阵, 3,21==B A ,则=-12A B T ______48_______ ______.7. 若线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+414343232121a x x a x x a x x a x x 有解, 则常数4321,,,a a a a 应满足关系式_____4231a a a a +=+______. 8. 设A ，B 为相互独立的随机事件，且5.0)(,6.0)(==B P A P ，则=+))((B A A P 3/4 .9. A ，B 为两个随机事件，⋃-⋃A B A AB )( Ω .10. 设集合A 中有4个元素，则A 上不同的等价关系的个数为 15 11. E ：我学英语；F ：我学日语；G ：我学德语。

则在英、日、德三种语言中公式 )()()(G F E G F E G F E ∧⌝∧⌝∨⌝∧∧⌝∨⌝∧⌝∧ 表示： 我恰学一种语言12. 设:)(x G x 是金子，:)(x F x 是闪光的，则命题“金子是闪光的，但闪光的不一定是金子”可符号化为： ))()(())()((y G y F y x F x G x ⌝∧∃∧→∀三．计算题：（计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分,本题共10个小题，1－4小题每题5分，5－10小题每题7分，共62分）1. 若b x x ax x x =++---→14lim231 ，求 a 和b 解： 由0)1(lim 1=+-→x x ，得04)4(lim 231=-=+---→a x ax x x ，所以4=a2分故10)1)(4(lim 144lim1231=--=++--=-→-→x x x x x x b x x 5分2. 设xxxe e e y 221ln arctan +-= ，求 dx dy .解：[][])1l n (221a r c t a n )1l n (ln 21arctan 222x x x x x e x e e e e y +--=+--= 1分xx x x x x ee e e e e y 22221111)(1+-=++-+=' 5分3.dx x x ⎰+)1ln(4解：原式＝⎰⎰+-+=+dx x x x x x d x 45422412)1ln(21)()1ln(21 2分 ⎰⎰++-+=+--+=42244421)()1ln(2)1(2)1ln(21xx d x x x dx x x x x x 4分C x x x x ++-+=2242arctan )1ln(25分4.dx e e e x x x ⎰+-5ln 031.解：令1-=x e t ，当0=x 时，0=t ；当2t 5ln ==时，x ； dt ttdx 212+=………………………….2分 原式＝⎰⎰+-=+2020222)441(242dt t dt t t 3分 ＝π-=⋅-4)2arctan 214(220t t 5分5. 计算行列式5317317517537531=D 解：53173175175311111653173175175316161616⨯＝各行加至第一行D 3分 24624224216246024202420111116------=------⨯＝ 5分＝2048)8()8(21688008024216=-⨯-⨯⨯=---⨯ 7分6. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=101111010A , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=350211B 且B AC C +=, 求:C .解：由C=AC+B ，则（E －A ）C ＝B 2分[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-441111210110011350211201101011B A E⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→112213100010001111111100110011 6分所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-=-112213)(1B A EC 7分7.求非齐次线性方程组: ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--+=++---=-+=+++215928232342532432143214214221x x x x x x x x x x x x x x x 的全部解.解：写出原方程组的增广矩阵，用行初等变换化为阶梯形矩阵：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------=000000000613211002321021215921823213104251321A 4分 得到与原方程组同解的方程组，⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+613212321243421x x x x x 于是方程组的全部解为：⎪⎩⎪⎨⎧-=+--=434212161321223x x x x x 42x x ，为自由未知量。

8. 给定集合{}3,2,1,0=A ，且A 中有关系：⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=∈><=21,,|,i j i j A j i j i R 或，{}2,,|,+=∈><=j i A j i j i S ， 试计算S R解：由已知条件可得：{}〉〈〉〈〉〈〉〈〉〈=1,2,0,0,3,2,2,1,1,0R ，{}〉〈〉〈=1,3,0,2S4分由关系复合的定义，有{}〉〈〉〈=1,2,0,1S R 7分9. 化简命题公式：R P Q Q P ∧⌝→⌝↔→))()((. 解：R P Q Q P ∧⌝→⌝↔→))()((R P Q Q P ∧⌝∨⌝⌝↔∨⌝⇔))()(( 3分 R Q P Q P ∧∨⌝↔∨⌝⇔))()((R R ⇔∧⇔1 7分10. 设解释T 为：个体域为{}6,3,2-=D ，谓词3:)(≤x x F7:)(,5:)(≤>x x R x x G 根据解释T 求)5())()((G x F x R x ∨→∀的真值.解：)5())()((G x F x R x ∨→∀0))6()6(())2()2(((∨→∧-→-⇔F R F R 3分 0))01(())11(())11((⇔→∧→∧→⇔ 6分所以，)5())()((G x F x R x ∨→∀在解释T 下为假。

7分四．综合题： （本题共4个小题，共30分）1.某射击小组有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手7人，四级射手1人。

各级射手能通过选拔进入比赛的概率依次为0.9，0.7，0.5和0.2。

求任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率. （7分）解：设A ，2A ，3A ，4A 分别表示任选一名射手为一、二、三、四级选手，B 表示能通过选拔进入比赛，则： 2 分204)(1=A P ,208)(2=A P ,207)(3=A P ,201)(4=A P 3 分9.0)(1=A B P ,7.0)(2=A B P ,5.0)(3=A B P ,2.0)(4=A B P 4 分由全概率公式，得：)()()()()()()()()(44332211A B P A P A B P A P A B P A P A B P A P B P +++=6 分＝645.0102201105207107208109204=⨯+⨯+⨯+⨯ 7 分2.设A 是N 阶可递距阵，如果A 中每行元素之和都是5，求1-A 的每行元素之和.（8分）解：令TnB )1,,1,1,1(=，由于A 中每行元素之和都是5，所以[]B AB T55,5,5== 4 分由A 可递，可以推出B A B 151-= 6 分 因此1-A 的每行元素之和为51 8 分3. 设20arctan 21)2(x dt t x tf x⎰=-，其中)(x f 是连续函数且1)1(=f ，求⎰21)(dx x f 。

（7分） 解：令u t x =-2，则u x t -=2，du dt -=，且当0=t 时，x u 2=；x t =，x u =； 2 分于是：⎰⎰⎰-=--=-xxxxxdu u f u x du u f u x dt t x tf 022)()2())(()2()2(222arctan 21)()(2x du u uf du u f xxxxx⎰⎰=-= 3 分上式对x 求导，得：[][]421)(2)2(2)(2)2(2)(2x xx xf x xf x f x f x du u f xx+=-∙--∙=⎰即：⎰+=-xxx xx xf du u f 241)()(25 分 令1=x ，即得：⎰=-21211)(2du u f ，即：⎰=2143)(dx x f7 分4. 证明： 若图G 是不连通的，则G 的补图G 是连通的。

证明：图>=<E V G ,不连通，则设其连通分支为)2(,,,21≥s G G G s ，其相应的顶点集为s V V V ,,,21 ，任取G 中两个顶点，① 若u ，v 分属于G 中不同的连通分支，则G uv ∈，因此u ，v 在G 中连通。

5分 ②若u ，v 属于G 中同一个连通分支，则从另一个连通分支中任取w ，则G uw ∉，即G vw G uw ∈∈,，于是在G 中存在一条路uwv ，使u ，v 连通。

综上述，对于G 中任意2个顶点，u ，v 总有路相连，故G 是连通的。

8分。