高中数学 第三章 导数典型习题及详细解答(二)

基础巩固强化

一、选择题

1．(文)(2012·陕西文，9)设函数f (x )＝2

x ＋ln x ，则( ) A ．x ＝1

2为f (x )的极大值点 B ．x ＝1

2为f (x )的极小值点 C ．x ＝2为f (x )的极大值点 D ．x ＝2为f (x )的极小值点 [答案] D

[解析] 由f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝1x (1－2

x )＝0可得x ＝2. 当02时 f ′(x )>0，f (x )单调递增．所以x ＝2为极小值点． (理)(2012·陕西理，7)设函数f (x )＝x e x ，则( ) A ．x ＝1为f (x )的极大值点 B ．x ＝1为f (x )的极小值点 C ．x ＝－1为f (x )的极大值点 D ．x ＝－1为f (x )的极小值点 [答案] D

[解析] 本题考查了导数的应用—求函数的极值． f ′(x )＝e x ＋x e x ，令f ′(x )＝0， ∴e x ＋x e x ＝0，∴x ＝－1，

当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )＝e x ＋x e x <0，x ∈(－1，＋∞)时，f ′(x )

＝e x ＋x e x >0，∴x ＝－1为极小值点，故选D.

[点评] 求函数的极值要讨论在各区间内导函数值的符号，同时要注意函数的定义域．

2．(2013·贵州四校期末)已知函数f (x )＝x 3－2x 2－4x －7，其导函数为f ′(x )．则以下四个命题：

①f (x )的单调减区间是(2

3，2)； ②f (x )的极小值是－15；

③当a >2时，对任意的x >2且x ≠a ，恒有f (x )>f (a )＋f ′(a )(x －a )；

④函数f (x )有且只有一个零点． 其中真命题的个数为( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个

[答案] C

[解析] f ′(x )＝3x 2－4x －4＝(3x ＋2)(x －2)，可得f (x )在(－∞，－23)上为增函数，在(－2

3，2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数，故①错误；f (x )极小值＝f (2)＝－15，故②正确；在(2，＋∞)上，f (x )为“下凸”函数，

又a >2，x ≠a ，当x >a 时，有f (x )－f (a )

x －a >f ′(a )恒成立；当x

有f (x )－f (a )x －a f (a )＋f ′(a )(x －a )，故③正确；

f (x )极大值＝f (－2

3)<0，故函数f (x )只有一个零点，④正确．真命题为②③④，故选C.

3．(文)(2013·郑州第一次质量预测)直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3

＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，则2a ＋b 的值为( )

A ．2

B ．－1

C ．1

D ．－2

[答案] C

[解析] ∵直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，且y ＝x 3＋ax ＋b 的导数y ′＝3x 2＋a ，

∴⎩⎪⎨⎪⎧

3＝k ×1＋13＝13

＋a ×1＋b k ＝3×12＋a

，解得a ＝－1，b ＝3，∴2a ＋b ＝1.

(理)(2013·昆明调研)若曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则a ＋b ＝( )

A ．－1

B ．0

C ．1

D ．2

[答案] C

[解析] 依题意得，f ′(x )＝－a sin x ，g ′(x )＝2x ＋b ，于是有f ′(0)＝g ′(0)，即－a sin0＝2×0＋b ，b ＝0，m ＝f (0)＝g (0)，即m ＝a ＝1，因此a ＋b ＝1，选C.

4．(2012·洛阳统考)若函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x －a 恰好有两个不同零点，则a 可能为( )

A ．4

B ．6

C ．7

D ．8 [答案] A

[解析] f ′(x )＝6x 2－18x ＋12＝6(x －1)(x －2)，由f ′(x )>0得x <1或x >2，由f ′(x )<0得1

＝0或f(2)＝0，解得a＝5或a＝4，而选项中只给出了一个值4，所以选A.

5．(文)

函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在(a，b)内的极大值点有()

A．1个B．2个

C．3个D．4个

[答案] B

[解析]由导函数的图象知，f(x)在(a，b)内变化情况为增→减→增→减，故有两个极大值点．

(理)(2012·重庆理，8)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如下图所示，则下列结论中一定成立的是()

A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)

B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)

C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)

D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2) [答案] D

[解析] 当x <－2时，1－x >3，则f ′(x )>0； 当－2

∴函数f (x )有极大值f (－2)，当12时，1－x <－1，则f ′(x )>0，

∴函数f (x )有极小值f (2)，故选D.

6．(文)已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于(1,0)点，则f (x )的极大值、极小值分别为( )

A.4

27，0 B ．0，4

27 C ．－4

27，0 D ．0，－4

27

[答案] A

[解析] f ′(x )＝3x 2－2px －q ， 由f ′(1)＝0，f (1)＝0得，

⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2p －q ＝0，1－p －q ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧

p ＝2，q ＝－1.

∴f (x )＝x 3－2x 2＋x ， 由f ′(x )＝3x 2

－4x ＋1＝0得x ＝1

3或x ＝1，

易得当x ＝13时f (x )取极大值4

27， 当x ＝1时f (x )取极小值0.

(理)(2013·浙江理，8)已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )＝(e x