高中数学导数及微积分练习题
高三数学微积分基础练习题集与答案
高三数学微积分基础练习题集与答案注：本练习题集共包含20道微积分基础题目，每道题后面附有详细的解答和答案。
希望能对高三学生复习微积分有所帮助。
1. 题目：计算函数f(x) = 2x^3 - 3x^2在区间[-1, 2]上的定积分。
解答：首先，我们计算f(x)的原函数F(x)。
F(x) = ∫(2x^3 - 3x^2)dx = 1/2x^4 - x^3 + C根据定积分的性质，f(x)在区间[a, b]上的定积分可以写成原函数F(x)在点b和点a处的函数值之差，即：∫[a, b]f(x)dx = F(b) - F(a)代入a = -1，b = 2，得到：∫[-1, 2](2x^3 - 3x^2)dx = F(2) - F(-1) = (1/2 * 2^4 - 2^3) - (1/2 * (-1)^4 - (-1)^3)= 8 - 7/2= 9/2所以，函数f(x) = 2x^3 - 3x^2在区间[-1, 2]上的定积分为9/2。
2. 题目：计算函数f(x) = e^x在区间[0, ln2]上的定积分。
解答：由于e^x的原函数为e^x，即F(x) = e^x，根据定积分的性质，我们有：∫[0, ln2]e^xdx = F(ln2) - F(0) = e^(ln2) - e^0= 2 - 1= 1所以，函数f(x) = e^x在区间[0, ln2]上的定积分为1。
3. 题目：计算函数f(x) = sin(x)在区间[0, π]上的定积分。
解答：sin(x)的原函数为-cos(x)，即F(x) = -cos(x)。
根据定积分的性质，我们有：∫[0, π]sin(x)dx = F(π) - F(0) = (-cos(π)) - (-cos(0))= -(-1) - (-1)= 2所以，函数f(x) = sin(x)在区间[0, π]上的定积分为2。
4. 题目：计算函数f(x) = x/x^2 + 3在区间[1, 3]上的定积分。
高中数学导数及微积分练习题
1．求导：（1）函数 2cos x x 的导数为（2）y ＝(x ＋2)；(3)y ＝(1＋ x )2(4)y ＝3x 2＋ ；(5)y ＝x 2(2x －) ． (6)已知y ＝3)，则y ′＝1＝.2．设1ln )(2+=x x f ，则=)2('f （ ）．(A)．54(B)．52 (C)．51 (D)．53 3．已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象与x 轴有三个不同交点)0,(),0,0(1x ，)0,(2x ，且)(x f 在1x =-，2=x 时取得极值，则21x x ⋅的值为（ ） (A)．4 (B)．5 (C)．－6 (D)．不确定34.()34([0,1])1()1()()0()12f x x x x A B C D =-∈-函数的最大值是( )5．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，底面边长为（ ）．(Ａ)．3V (Ｂ)．32V (Ｃ)．34V (D)．32V6．由抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积是（ ）． (A)．18(B)．338(C)．316 (D)．167．曲线3x y =在点)0)(,(3≠a a a 处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为61，则=a 。
8．已知抛物线2y x bx c =++在点(12)，处的切线与直线20x y ++=垂直，求函数2y x bx c =++的最值．9.已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值.(1)讨论)1(f 和)1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值;(2)过点)16,0(A 作曲线)(x f y =的切线,求此切线方程.10、已知f (x )32,在x ＝1与x ＝－2时，都取得极值。
⑴求a ，b 的值；⑵若x ∈[－3，2]都有f (x )>112c -恒成立，求c 的取值范围。
高中数学微积分基础知识练习题及参考答案2023
高中数学微积分基础知识练习题及参考答案20231. 题目：求函数 $f(x)=\frac{x}{1+\sqrt{1+x^2}}$ 的导数。
2. 参考答案：令 $u=1+\sqrt{1+x^2}$，则 $f(x)=\frac{x}{u}$。
由商导数公式，可得：$$ f'(x)=\frac{u\cdot1-x\cdot\frac{1}{2\sqrt{1+x^2}}}{u^2} $$化简后得：$$ f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}(\sqrt{1+x^2}+1)^2} $$3. 题目：设 $y=\frac{1+x}{1-x}$，求 $\frac{dy}{dx}$。
4. 参考答案：将 $y=\frac{1+x}{1-x}$ 化简得 $x=\frac{y-1}{y+1}$。
再对 $x$ 求导：$$ \frac{dx}{dy}=\frac{d}{dy}(\frac{y-1}{y+1})=\frac{-2}{(y+1)^2} $$根据链式法则，可得：$$ \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=-\frac{(y+1)^2}{2} $$将 $\frac{dx}{dy}$ 带入即可。
5. 题目：已知函数 $f(x)=\sqrt{1-e^{-x}}$，求 $f'(x)$。
6. 参考答案：令 $u=1-e^{-x}$，则 $f(x)=\sqrt{u}$。
利用链式法则，可得：$$ f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot\frac{du}{dx} $$对 $u$ 求导，得：$$ \frac{du}{dx}=e^{-x} $$将 $\frac{du}{dx}$ 带入即可：$$ f'(x)=\frac{e^{-\frac{x}{2}}}{2\sqrt{1-e^{-x}}} $$7. 题目：已知函数 $y=x+\ln x$，求 $y''$。
导数概念练习题
导数概念练习题导数是微积分的一个重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率，即函数在该点处的斜率。
导数的概念在许多学科中都有广泛的应用，如物理学、工程学、经济学等。
下面是一些导数概念的练习题，帮助大家更好地理解这个概念。
已知函数f(x) = x^2 + 2x + 1，求f'(x)。
已知函数f(x) = sin(x)，求f'(x)。
已知函数f(x) = log(x)，求f'(x)。
已知函数f(x) = e^x，求f'(x)。
已知函数f(x) = x^n，求f'(x)。
已知函数f(x) = x/ln(x)，求f'(x)。
解：f'(x) = (ln(x)-1)/(ln(x))^2已知函数f(x) = arctan(x)，求f'(x)。
已知函数f(x) = e^(arctan(x))，求f'(x)。
解：f'(x) = e^(arctan(x))*(1/(1+x^2))已知函数f(x) = sin(e^x)，求f'(x)。
解：f'(x) = cos(e^x)*e^x已知函数f(x) = x^sin(x)，求f'(x)。
解：f'(x) = sin(x)x^(sin(x)-1)(cos(x)-1)以上练习题可以帮助大家理解导数的概念，并掌握一些常见的导数计算方法。
导数是数学中一个非常重要的概念，它描述了一个函数在某一点处的变化率。
求导数是数学分析中的一个基本技能，也是解决许多实际问题中必不可少的工具。
下面是一些求导数的练习题，供大家参考。
(1)θ=sinx,y=cosx。
(x)=3xx=0为函数的极值点。
随着素质教育的不断推进，高中数学课程中引入了越来越多的抽象概念，其中导数概念便是之一。
导数概念作为微积分的核心概念之一，对于高中生而言，是一个极具挑战性的知识点。
因此，本文旨在探讨高中学生对导数概念的理解情况，为教师提供有益的教学参考，从而提高学生对导数概念的理解和掌握程度。
高中数学选修--导函数微积分提高练习
1、过原点的直线l 与曲线xy e =相切，求直线l 的方程. 2、已知()()2'518f x f x x =⋅-，求()'2f .3、已知函数()321f x x ax x =-+--在(),-∞+∞上单调，则a 的取值范围是4、已知函数()32f x ax bx cx d =+++的图像与x 轴有三个交点()()()120,0,,0,,0x x ，且()f x 在1,2x x == 时取得极值，则12x x ⋅的值为___________ .5、在R 上的可导函数()3211232f x x ax bx c =+++，当()0,1x ∈时取得极大值，当()1,2x ∈时取得极小值，则21b a --的取值范围是___________ . 6、曲线ln y x =上的点P 到直线310x y --=的最短距离为_____________ . 7．若t R ∈，曲线3y x =与直线3y x t =-在[0,1]x ∈上的不同交点的个数有 8、若函数()()32111132f x x ax a x =-+-+在区间()1,4内为减函数，在区间()6,+∞上为增函数，求实数a 的取值范围.9．设()f x '是函数()f x 的导函数，将(y f =中，不可能正确的是 。
10、计算下列定积分 （1）34|2|x dx -+⎰（2）1211e dx x +-⎰ 8-=⎰220(3)10,x k dx k +==⎰则dx x ⎰-222cosππ； dx x ⎰--1121 求dx x ⎰-11的值。
11、求由曲线22y x =+与3y x =，0x =，2x =所围成的平面图形的面积。
图1图2图412设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则点P 横坐标的取值范围为（ ） A ．112⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，B ．[]10-，C ．[]01，D ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，13直线12y x b =+是曲线()ln 0y x x =>的一条切线，则实数b ＝ ． 14、求曲线3cos (0)2y x x π=≤≤与坐标轴围成的面积 。
高中数学导数、微积分测试题
导数、微积分1、〔2012二模〕如图，在边长为π的正方形的正弦曲线sin y x x =与轴围成的区域记为M〔图中阴影局部〕，随机往正方形投一个点P ，那么点P 落在区域M 的概率是 A ．21π B ．22πC ．23πD ．24π答案：B解析：区域M 的面积为：S M ＝0sin xdx π⎰＝－cosx 0|π＝2，而正方形的面积为S ＝2π，所以，所求概率为P ＝22π，选B 。
2、〔2012三模〕函数2()321f x x x =++，假设11()2()(0)f x dx f a a -=>⎰成立，那么a＝________. 答案：13解析：因为⎠⎛-11f(x)d x ＝⎠⎛-11 (3x 2＋2x ＋1)d x ＝(x 3＋x 2＋x)|1－1＝4，所以2(3a 2＋2a ＋1)＝4⇒a ＝－1或a ＝13.3、〔2012莱芜3月模拟〕函数201()212x x f x x x ⎧≤≤=⎨-≤≤⎩的图像与x 轴所围成的封闭图形的面积为. 【答案】56【解析】65)212(31)2()(2121032110220=-+=-+=⎰⎰⎰x x x dx x dx x dx x f 4、〔2012三模〕α、β是三次函数3211()2(,)32f x x ax bx a b R =++∈的两个极值点，且(0,1)α∈，(1,2)β∈，那么32b a --的取值围是〔 〕A ．2(,)5-∞B ．2(,1)5C ．(1,)+∞D ．2(,)(1,)5-∞⋃+∞答案：B解析：因为函数有两个极值，那么0)('=x f 有两个不同的根，即0>∆，又b ax x x f 2)('2++=，又)2,1(),1,0(∈∈βα，所以有⎪⎩⎪⎨⎧><>0)2('0)1('0)0('f f f ，即⎪⎩⎪⎨⎧>++<++>022402102b a b a b 。
导数练习题及答案
导数练习题及答案导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
掌握导数的概念和计算方法对于解决实际问题和理解数学原理都至关重要。
在学习导数的过程中，练习题是必不可少的一环。
本文将介绍一些常见的导数练习题及其答案，帮助读者更好地理解和掌握导数的概念和计算方法。
一、基本函数的导数1. 常数函数的导数常数函数f(x) = c的导数为0，其中c为常数。
这是因为常数函数在任意一点的变化率都为0，即斜率为0。
2. 幂函数的导数幂函数f(x) = x^n的导数为f'(x) = nx^(n-1)，其中n为正整数。
这是根据导数的定义和幂函数的性质得出的。
3. 指数函数的导数指数函数f(x) = a^x的导数为f'(x) = a^x * ln(a)，其中a为正实数，ln(a)为以e为底的对数。
这是根据指数函数和对数函数的性质以及导数的定义得出的。
4. 对数函数的导数对数函数f(x) = ln(x)的导数为f'(x) = 1/x，其中x为正实数。
这是根据对数函数和指数函数的性质以及导数的定义得出的。
二、基本运算法则1. 和差法则如果函数f(x)和g(x)都可导，则它们的和函数(f+g)(x)和差函数(f-g)(x)也可导，并且有以下公式：(f+g)'(x) = f'(x) + g'(x)(f-g)'(x) = f'(x) - g'(x)2. 积法则如果函数f(x)和g(x)都可导，则它们的乘积函数(f*g)(x)也可导，并且有以下公式：(f*g)'(x) = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)3. 商法则如果函数f(x)和g(x)都可导，并且g(x)不为0，则它们的商函数(f/g)(x)也可导，并且有以下公式：(f/g)'(x) = (f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)) / g(x)^2三、常见函数的导数1. 正弦函数和余弦函数的导数正弦函数f(x) = sin(x)的导数为f'(x) = cos(x)。
微积分基础试题及答案
微积分基础试题及答案微积分是数学中的重要分支之一，它研究的是函数的变化规律与积分求解等问题。
而作为微积分学习的基础，我们需要掌握一些基本的概念和技巧。
本文将为您提供一些微积分基础试题及答案，帮助您巩固相关知识。
一、选择题1. 函数 f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x 的导数是：A. f'(x) = 6x^2 - 10x + 3B. f'(x) = 6x^2 - 10x + 9C. f'(x) = 6x^2 - 5x + 3D. f'(x) = 6x^3 - 5x^2 + 3答案：A2. 函数 f(x) = e^x ln x 的导数是：A. f'(x) = e^x ln x + e^x/xB. f'(x) = e^x/xC. f'(x) = e^x ln x + 1D. f'(x) = e^x ln x + e^x答案：C3. 曲线 y = x^3 + 2 在点 (1, 3) 处的切线斜率为：A. 5B. 6C. 7D. 8答案：B二、填空题1. 假设函数 f(x) = x^2 + 2x 的不定积分为 F(x)，则 F(x) = 。
答案：(1/3)x^3 + x^2 + C （C为常数）2. 曲线 y = 2x^3 + 3x^2 - x + 1 在 x = 0 处的切线方程为 y = 。
答案：y = -x + 1三、简答题1. 请解释导数的几何意义。
答案：导数表示函数曲线在某一点处的切线斜率，即函数在该点附近的变化率。
几何意义上，导数可理解为函数曲线在该点处的局部近似线性变化率。
2. 什么是定积分？定积分的几何意义是什么？答案：定积分是通过将曲线下的面积划分成无穷多个区间，并将各个区间的面积累加得到的数值。
几何意义上，定积分表示曲线与 x 轴之间的有向面积。
当曲线在 x 轴上方时，定积分为正值；当曲线在 x 轴下方时，定积分为负值。
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1．求导：（1）函数y= 2cos x x 的导数为--------------------------------------------------------
（2）y ＝ln(x ＋2)-------------------------------------；(3)y ＝(1＋sin x )2------------------------ ----------------------
(4)y ＝3x 2＋x cos x ------------------------------------ ；(5)y ＝x 2cos(2x －π
3)---------------------------------------- ．
(6)已知y ＝ln 3x
e x ，则y ′|x ＝1＝________. 2．设1ln
)(2+=x x f ，则=)2('f （ ）
． (A)．
54 (B)．52 (C)．51 (D)．5
3
3．已知函数d cx bx ax x f +++=2
3
)(的图象与x 轴有三个不同交点)0,(),0,0(1x ，
)0,(2x ，且)(x f 在1x =-，2=x 时取得极值，则21x x ⋅的值为（ ） (A)．4 (B)．5 (C)．－6 (D)．不确定
34.()34([0,1])1
()1
()
()0
()1
2
f x x x x A B C D =-∈-函数的最大值是( )
5．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，底面边长为（ ）．
(Ａ)．3V (Ｂ)．32V (Ｃ)．34V (D)．32V
6．由抛物线x y 22
=与直线4-=x y 所围成的图形的面积是（ ）． (A)．18
(B)．
3
38
(C)．
3
16 (D)．16
7．曲线3x y =在点)0)(,(3
≠a a a 处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为
6
1
，则=a _________ 。
8．已知抛物线2y x bx c =++在点(12)，处的切线与直线20x y ++=垂直，求函数2y x bx c =++的最值．
9.已知函数x bx ax x f 3)(2
3-+=在1±=x 处取得极值.(1)讨论)1(f 和)1(-f 是函数
)(x f 的极大值还是极小值;(2)过点)16,0(A 作曲线)(x f y =的切线,求此切线方程.
10、已知f (x )=x 3+ax 2+bx+c ,在x ＝1与x ＝－2时，都取得极值。
⑴求a ，b 的值；⑵若x ∈[－3，2]都有f (x )>11
2
c -恒成立，求c 的取值范围。
11.设a 为实数，函数()a x x x x f +--=2
3。
（1）求()x f 的极值；（2）当a 在什么范围内
取值时，曲线()x f y =与x 轴仅有一个交点？
12.设a 为实数，函数()a x x x f ++-=33。
（1）求()x f 的极值；（2）是否存在实数a ，使
得方程()0=x f 恰好有两个实数根？
1. 已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为 （ ） A ．(x-1)3+3(x-1) B ．2(x-1)2 C ．2(x-1) D ．x-1
2．函数)0,4
(2cos π
在点x y =处的切线方程是 （ ）
A ．024=++πy x
B ．024=+-πy x
C ．024=--πy x
D ．024=-+πy x
3.曲线3cos (0)2y x x π
=≤≤
与坐标轴围成的面积是 （ ） A.4 B. 5
2 C.
3 D.2
4．函数3
13y x x =+- 有 （ ）
A.极小值-1，极大值1
B. 极小值-2，极大值3
C. 极小值-1，极大值3
D. 极小值-2，极大值2
5．函数32
y x x x =--的单调区间为_________________________________。
6．设函数32()2f x x ax x '=++, (1)f '=9,则a =_______________________. 7．
2
20(3)10,x k dx k +==⎰则 , 8
-=⎰
__________________.
8、已知对任意实数x ，有()(),()()f x f x g x g x -=--=。
且0x >时，'
'
()0,()0f x g x >>则0x <时 （ ）
Ａ '
'
()0,()0f x g x >> Ｂ '
'
()0,()0f x g x >< Ｃ '
'
()0,()0f x g x <> Ｄ '
'
()0,()0f x g x <<
9、曲线3cos (0)2y x x π
=≤≤与两坐标轴所围成图形的面积为（ ） A . 4 B . 2 C . 5
2
D. 3
10、设2(01)
()2(12)
x x f x x x ⎧≤<=⎨-≤≤⎩，则20
()f x dx ⎰等于（ ）
A 34
B 4
5
C 56
D 不存在
１１、已知1
220
()(2)f a ax a x dx =-⎰
，则()f a 的最大值是（）
Ａ
23 Ｂ 29 Ｃ 43 Ｄ 4
9
12、已知函数2
()321f x x x =++，若1
1
()2()f x dx f a -=⎰
成立，则a ＝__________.
13、()f x 是一次函数，且1
10
17
()5,()6
f x dx xf x dx ==
⎰
⎰，那么()f x 的解析式是________________.
14、已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为''
(),(0)0f x f >，对于任意实数x ，有
()0f x ≥，则
'
(1)
(0)
f f 的最小值为________. 15．计算下列定积分。
（1）
3
4
|2|x dx -+⎰
（2）1
2
11
e dx x +-⎰
16、设两抛物线22
2,y x x y x =-+=所围成的图形为M ，求：（1）M 的面积；（2）将M 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积。
17.求由抛物线42
-=x y 与直线2+-=x y 所围成图形的面积。
18、已知函数()()03
≠++=a c bx ax x f 为奇函数，其图像在点()()1,1f 处的切线与直线
076=--y x 垂直，导函数()x f /的最小值为-12。
（1）求a 、b 、c 的值；
（2）求函数()x f 的单调递增区间，并求函数()x f 在[]3,1-上的最大值和最小值。