材料力学期末复习

P
400斜截面的应力 h/4 解：1）在400斜截面的应力 h P L
L/2
L/4 L/4
C τ
τC
P QC = = 50KN 2 3 MC ⋅ y 25×10 ⋅150×10−3 ×12 σC σ = = C IZ 200× 6003 ×10−12
= 1.04MPa（压应力）
b
MC = × = 25KN ⋅ m 2 4
q=6KN/m P=30KN
1.查22a表得 表得： 解： 1.查22a表得：3 −
WZ = 0.309 ×10 IZ
* S z max
m3
= 0.189m
L/3 Q 17
L/2 +
L/2
2.求支反力 2.求支反力
13 + 39
d = 7.5mm
M 12 -
RA = 29kN , RB = 13kN
2 ± (
σ x −σ y
2
2 )2 + τ x = (
− 1.04 − 0 2 ) + 0.469 2 = 0.18(−1.22) MPa 2
τ max =
σ1 − σ 3
2 = 0.7 PMa
0.18 − (−1.22) − 2τ x − 2 × 0.469 = tan 2α 0 = = 0.902 = 2 − 1.04 σ x −σ y
+
σ x −σ y
cos(80o ) −τ x sin( 80o )
τ 40 =
o
σ x −σ y
2 = −0.431MPa
sin( 80 ) +τ x cos(80 )
o o
C τ
C
σC
2）求主应力、主平面和最大切应力 几何法 σx=-1.04PMa,τx=0.469PMa; σy=0, τx=0.469PMa 1.04PMa,τ =0.469PMa
4）支架的临界荷载
Fcr = 3FNcr cos α = 2 3 × 9.37 × kN = 22.5kN 2.5
5)支架的许可荷载
[ F ] = Fcr / nst = 22.5 / 3 = ql RBl 2 − = 8EI 3EI EA
B B/ q RB
3Aql RB = 2 4(2Al + 3I )
3
图示一矩形截面简支梁,在跨中有集中力作用。 图示一矩形截面简支梁,在跨中有集中力作用。已 例6: :P=100KN,L=2m,b=200mm,h=600mm,α 离左支座L/4 L/4处 知:P=100KN,L=2m,b=200mm,h=600mm,α=400。求：离左支座L/4处 截面上C点在40 斜截面的应力。求主应力，主平面和最大切应力。 截面上C点在400斜截面的应力。求主应力，主平面和最大切应力。
d1 ≥ 4 × 20 ×103
20KN
(+)
π [σ t ]
= 20.6mm
(-)
30KN
d1 ≥ 20.6mm d2 ≥17.8mm
d2 ≥
4 × 30 × 103
π [σ c ]
= 17.8mm
d = 21mm
例2
图示直杆，其抗拉刚度为EA，试求杆件的 轴向变形△L，B点的位移δB和C点的位移 δC;如果在C点轴线方向作用一F力，又如 何？
50×103 ⋅150× 200× 225×10−9 ×12 = = IZ ⋅ b 200× 6003 ×10−9 × 200×10−3
C QC ⋅ SZ
= 0.469M Pa
σ 40 =
o
σ x +σ y
2 2 −1.04 −1.04 o o = + cos(80 ) − 0.469sin( 80 ) = −1.07MPa 2 2
BC段最大切应力为:
τ max 2 =

τ max 1
和τ 均大于许用切应力 [τ ]，说明杆的扭 转强度不符合要求。
max 2
例4 一外伸工字梁，工字钢型号为22a，梁上荷载如图 一外伸工字梁，工字钢型号为22a 22a， 所示，已知： m，材料的许用应力[ 所示，已知：L=6 m，材料的许用应力[σ]=170MPa MPa，试验算该梁是否安全。 [τ]=100 MPa，试验算该梁是否安全。
C q A
L L/2
解： 1）选取静定基 （
（2）将相当系统变形与 原系统比较，得变形协调方程： 原系统比较，得变形协调方程：
B B/ q RB
y B = ∆LBC
y B = yq − y RB
∆LBC l RB ⋅ 2 = EA
ql 4 RB l 3 = − 8 EI Z 3EI Z
C q A
L L/2
圆心坐标：（σx+σy） τ
C(-1.04,0.469)
/2=-1.04/2=-0.52 应力圆半径R或τmax
R = τ max = (
2α2
O(-0.52,0)
σ x −σ y
2
2 )2 + τ x
σ2
σ1
σ
− 1.0 − 0 = ( ) + 0,469 2 = 0.70MPa 2
D(0,-0.469)
AB段最大切应力为：
τ max1 =
16T1 d 4 πD13 1 − 1 D1 16T2 d 3 πD2 1 − 2 D2
4
16 × 300 ×103 = = 161.7(MPa) > [τ ] 4 18 3 π × 24 1 − 24 16 × 200 × 10 3 = = 173 .3( MP a ) > [τ ] 4 18 3 π × 22 1 − 22
α 2 = 21.0250 , α1 = 21.0250 + 900 = 111.0250
例7，有三根钢管构成的支架如兔所示。钢管的外径 D=30mm，内径d=22mm，钢管的长度l=2。5， E=210GPa σP=200MPa，在支架的顶端三杆铰接。如果 稳定安全系数nst=3，试求许可荷载。 解：1）分析稳定。结构产生 失稳破坏一定的三根杆同时达 到临界荷载时发生的，因此， 结构的临界荷载等于三杆的临 界压力荷载之和。 2）计算杆的柔度
d = 7.5mm
q=6KN/m
L/3 Q 17
L/2 +
L/2
τ max
13 + 39
M 12 -
12
= 12 MPa ≤ [τ ] = 100MPa
* Qmax S z max 17 ×103 = = I zb 0.189 × 7.5 ×10 −3
全梁安全
例5：已知：荷载q，梁AB的抗弯刚度为EI、 已知：荷载q AB的抗弯刚度为 、 的抗弯刚度为EI BC的抗拉压刚度为 。试求： 的抗拉压刚度为EA 杆BC的抗拉压刚度为EA。试求：BC 杆内力
λ= µl
i = 1× 2.5 = 269
1 × ( 0.032 + 0.022 2 ) 4
π 2E π 2 × 210 ×109 λp = = = 102 210 × 10 6 σP λ > λP , 可用欧拉公式计算
3）杆的临界压力
FNcr
π 2 EI π 2 × 210 ×109 × π × (0.034 − 0.0224 ) = = N = 9.37kN 2 2 ( µl ) (1× 2.5) × 64
12
3.画出剪力、 3.画出剪力、弯矩图 画出剪力
M max = 39kn.m
Qmax = 17kn
4.计算最大工作应力,并校核强度
WZ = 0.309 ×10 −3 m 3 IZ S
* z max
= 0.189m
P=30KN
M max = 39kN Qmax = 17kN
3 M max 39 × 10 σ max = = Wz 0.309 × 10 −3 = 126MPa ≤ [σ ] = 170MPa
材料力学期末复习
2011.12.30
例1
圆截面等直杆沿轴向受力如图示，材料为 铸铁，抗拉许用应力[σt ] ＝60Mpa，抗压许用 应力 [σ c ] ＝120MPa，设计横截面直径。
20KN 30KN
30 ×103 ≤ [σ c ] 2 πd 2 4
20KN
30KN
20 ×103 ≤ [σ t ] 2 πd1 4
σ 1, 2 = 半径 ± 圆心坐标 σ 1 , 2 = ±0.70 − 0.52 = 0.18(−1.22) PMa
0.469 tan 2α = = 0.902 0.52 2α 2 = 42.050 , α 2 = 21.0250 , α1 = α 2 + 900 = 111.0250
解析法：
σ 1,3 = σ x +σ y
F
FL δ B = ∆LAB = EA
C L
A L
F
B
FL δC = δ B = EA
例3 图4-16a为一空心圆杆，已知MA =300N·m， MB =500N·m，MC=200N·m，[τ ] =60MPa 试校 核该杆的强度。
解（1）作杆的扭矩图。 AB段扭矩大小为300 N·m，符号为负； BC段扭矩大小为200 N·m，符号为正； 扭矩图所示。 （2）强度校核。单从最大扭矩不能确定最危 险由扭矩图可知Mmax截面的位置，应该分 别计算各段的最大切应力进行强度校核。