江西省南昌市2017-2018学年高三一轮复习(一)数学试题 Word版含答案
江西省南昌市2017-2018学年高三数学二模试卷(理科) Word版含解析
2017-2018学年江西省南昌市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．已知集合A={y|y=sinx，x∈R}，B={x|＜（）x＜3}，则A∩B等于（）A．{x|﹣1≤x≤1}B．{x|﹣1≤x＜1} C．{x|﹣1＜x≤1}D．{x|﹣1≤x＜2} 2．已知x∈R，y为纯虚数，若（x﹣y）i=2﹣i，则x+y等于（）A．1 B．﹣1﹣2i C．﹣1+2i D．1﹣2i3．“对任意x∈（1，+∞），都有x3＞x”的否定是（）A．存在x0∈（﹣∞，1]，使x＜B．存在x0∈（1，+∞），使x＜C．存在x0∈（﹣∞，1]，使x≤D．存在x0∈（1，+∞），使x≤4．如图所示是一样本的频率分布直方图，若样本容量为100，则样本数据在区间B．∪∪[，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．计算∫（1+sinx）dx的结果为．14．已知（x+1）2（x+）n的展开式中没有x2项，n∈N*，且5≤n≤8，则n= ．15．一几何体的三视图如图（网络中每个正方形的边长为1），若这个几何体的顶点都在球O 的表面上，则球O的表面积是．16．从1，2，3，…，n中这n个数中取m （m，n∈N*，3≤m≤n）个数组成递增等差数列，所有可能的递增等差数列的个数记为f（n，m），则f（30，5）等于．三、解答题：本大题共6个题，共70分．17．如图，直角三角形ACB的斜边AB=2，∠ABC=，点P是以点C为圆心1为半径的圆上的动点．（Ⅰ）当点P在三角形ABC外，且CP⊥AB时，求sin∠PBC；（Ⅱ）求•的取值范围．18．某人准备投资盈利相互独立的甲、乙两个项目，投资甲项目x万元，一年后获利x万元，万元、﹣1万元的概率分别是0.2，0.4，0.4；投资乙项目x万元，一年后获利x万元、0万元、﹣x万元的概率分别是0.4，0.2，0.4．（1）若这两个项目各投资4万元，求一年后这两个项目和不低于0万元的概率；（2）若这两个项目共投资8万元，你认为这两个项目应该分别投资多少万元？说明理由．19．如图，斜四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形，侧面AA1B1B⊥底面ABCD，AA1=2，∠B1BA=60°．（1）求证：平面AB1C⊥平面BDC1；（2）在棱A1D1上是否存在一点E，使二面角E﹣AC﹣B1的余弦值是？若存在，求，若不存在，说明理由．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的焦距为2，直线l1：y=kx（k≠0）与椭圆相交于点A，B，过点B且斜率为k的直线l2与椭圆C的另一个交点为D，AD⊥AB．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l2与x轴，y轴分别相交于点M，N，求△OMN面积的最大值．21．已知函数f（x）=e﹣x（e为自然对数的底，m为常数）．（1）若曲线y=f（x）与x轴相切，求实数m的值；（2）若存在实数x1，x2∈使得2f（x1）＜f（x2）成立，求实数m的取值范围．22．如图，A，B，D三点共线，以AB为直径的圆与以BD为半径的圆交于E，F，DH切圆B于点D，DH交AF于H．（1）求证：AB•AD=AF•AH．（2）若AB﹣BD=2，AF=2，求△BDF外接圆的半径．23．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ﹣2cosθ．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线l（t为参数）与曲线C交于A，B两点，求|AB|．24．已知函数f（x）=|ax+1|+|2x﹣1|（a∈R）．（1）当a=1时，求不等式f（x）≥2的解集；（2）若f（x）≤2x在x∈[，1]时恒成立，求a的取值范围．2016年江西省南昌市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．已知集合A={y|y=sinx，x∈R}，B={x|＜（）x＜3}，则A∩B等于（）A．{x|﹣1≤x≤1}B．{x|﹣1≤x＜1} C．{x|﹣1＜x≤1}D．{x|﹣1≤x＜2} 【考点】交集及其运算．【分析】求出集合A中函数的值域，确定出A，求出集合B中不等式的解集，确定出B，找出两集合的公共部分，即可求出两集合的交集．【解答】解：由集合A中的函数y=sinx，得到﹣1≤y≤1，∴A=，由集合B中的不等式＜（）x＜3，解得：﹣1＜x＜2，∴B=（﹣1，2），则A∩B=（﹣1，1]．故选：C．2．已知x∈R，y为纯虚数，若（x﹣y）i=2﹣i，则x+y等于（）A．1 B．﹣1﹣2i C．﹣1+2i D．1﹣2i【考点】复数相等的充要条件．【分析】由复数代数形式的除法运算化简，然后再根据复数相等求出答案即可．【解答】解：x∈R，y为纯虚数，设y=ai，∵（x﹣y）i=2﹣i，∴xi+a=2﹣i，∴x=﹣1，a=2，∴x+y=﹣1+2i，故选：C．3．“对任意x∈（1，+∞），都有x3＞x”的否定是（）A．存在x0∈（﹣∞，1]，使x＜B．存在x0∈（1，+∞），使x＜C．存在x0∈（﹣∞，1]，使x≤D．存在x0∈（1，+∞），使x≤【考点】的否定．【分析】直接利用全称的否定是特称写出结果即可．【解答】解：因为全称的否定是特称，所以““对任意x∈（1，+∞），都有x3＞x”的”的否定是：存在x0∈（1，+∞），使x≤，故选：D．4．如图所示是一样本的频率分布直方图，若样本容量为100，则样本数据在区间B．∪∪[，+∞）【考点】椭圆的简单性质．【分析】去绝对值可得x≥0时，y=2x﹣4；当x＜0时，y=﹣2x﹣4，数形结合可得曲线必相交于（±2，0），分别联立方程结合一元二次方程根的分布可得．【解答】解：由2|x|﹣y﹣4=0可得y=2|x|﹣4，当x≥0时，y=2x﹣4；当x＜0时，y=﹣2x﹣4，∴函数y=2|x|﹣4的图象与方程x2+λy2=4的曲线必相交于（±2，0）∴为了使函数y=2|x|﹣4的图象与方程x2+λy2=1的曲线恰好有两个不同的公共点，则y=2x﹣4代入方程x2+λy2=1，整理可得（1+4λ）x2﹣16λx+16λ﹣4=0，当λ=﹣时，x=2满足题意，由于△＞0，2是方程的根，∴＜0，解得﹣＜λ＜时，方程两根异号，满足题意；y=﹣2x﹣4代入方程x2+λy2=1，整理可得（1+4λ）x2+16λx+16λ﹣4=0当λ=﹣时，x=﹣2满足题意，由于△＞0，﹣1是方程的根，＜0，解得﹣＜λ＜时，方程两根异号，满足题意；综上知，实数λ的取值范围是（e为自然对数的底，m为常数）．（1）若曲线y=f（x）与x轴相切，求实数m的值；（2）若存在实数x1，x2∈使得2f（x1）＜f（x2）成立，求实数m的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）设出切点，求出原函数的导函数，由f′（t）=0且f（t）=0列式求得m值；（2）把存在实数x1，x2∈使得2f（x1）＜f（x2）成立，转化为当x∈时，函数f（x）max＞2f （x）min，然后分m≥1、m≤0、0＜m＜1分类求得m的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）=e﹣x，得f′（x）=﹣e﹣x+e﹣x（2x+1﹣m）=e﹣x=﹣e﹣x（x﹣m）（x﹣1），设切点为（t，0），则f′（t）=0，f（t）=0，即，解得：或，∴m的值是3或﹣1；（2）依题意，当x∈时，函数f（x）max＞2f（x）min，①当m≥1时，当x∈时，f′（x）≤0，函数f（x）单调递减，∴f（0）＞2f（1），即1，得m；②当m≤0时，x∈时，f′（x）≥0，函数f（x）单调递增，∴f（1）＞2f（0），即，得m＜3﹣2e；③当0＜m＜1时，当x∈（0，m）时，f′（x）＜0，当x∈（m，1）时，f′（x）＞0，，f（x）max=f（0）或f（1），记函数，g′（m）=，当m≥0时，g′（x）≤0，g（m）单调递减，∴m∈（0，1）时，g（m）＞g（1）=，∴，，不存在m∈（0，1），使得f（x）max＞2f（x）min，综上：实数m的取值范围是（﹣∞，3﹣2e）∪（3﹣，+∞）．22．如图，A，B，D三点共线，以AB为直径的圆与以BD为半径的圆交于E，F，DH切圆B于点D，DH交AF于H．（1）求证：AB•AD=AF•AH．（2）若AB﹣BD=2，AF=2，求△BDF外接圆的半径．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）由题意可得∠BDH=∠BFH，可得B、D、F、H四点共圆，可得AB•AD=AF•AH．（2）由已知结合切割弦定理求得AD，进一步求得BD，然后利用△AFB∽△ADH求得DH，则由勾股定理可得△BDF外接圆的半径．【解答】（1）证明：设圆B交线段AB于点C，∵AB为圆O一条直径，∴BF⊥FH．又DH⊥BD，故B、D、F、H四点在以BH为直径的圆上，∴B、D、F、H四点共圆．∴AB•AD=AF•AH．（2）解：∵AH与圆B相切于点F，由切割线定理得AC=AB﹣BD=2，AF2=AC•AD，即，AD=4，∴，BF=BD=1．又△AFB∽△ADH，则，得，连接BH，由（1）可知BH为DBFH的外接圆直径，，故△BDF的外接圆半径为．23．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ﹣2cosθ．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线l（t为参数）与曲线C交于A，B两点，求|AB|．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ﹣2cosθ，可得ρ2=2ρsinθ﹣2ρcosθ，把代入即可得出直角坐标方程．（II）把曲线l（t为参数）代入曲线C的方程化为：t2﹣2t=0，利用|AB|=|t2﹣t1|=即可得出．【解答】解：（I）曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ﹣2cosθ，可得ρ2=2ρsinθ﹣2ρcosθ，∴直角坐标方程为：x2+y2=2y﹣2x．（II）把曲线l（t为参数）代入曲线C的方程化为：t2﹣2t=0，∴t1+t2=2，t1t2=0．∴|AB|=|t2﹣t1|==2．24．已知函数f（x）=|ax+1|+|2x﹣1|（a∈R）．（1）当a=1时，求不等式f（x）≥2的解集；（2）若f（x）≤2x在x∈[，1]时恒成立，求a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】（1）分类讨论即可求出不等式的解集；（2）由绝对值不等式的性质，不等式可化为|ax+1|≤1，即﹣≤a≤0，根据x的范围，求出﹣的范围，即可得到a的范围．【解答】解：（1）当a=1时，不等式f（x）≥2可化为|x+1|+|2x﹣1|≥2①当x≥时，不等式为3x≥2，解得x≥，故x≥；②当﹣1≤x＜时，不等式为2﹣x≤2，解得x≤0，故﹣1≤x≤0；③当x＜﹣1时，不等式为﹣3x≥2，解得x≤﹣，故x＜﹣1；综上原不等式的解集为（﹣∞，0]∪[，+∞）；（2）f（x）≤2x在x∈[，1]时恒成立时恒成立，当x∈[，1]时，不等式可化为|ax+1|≤1，解得﹣2≤ax≤0，所以﹣≤a≤0，因为x∈[，1]，所以﹣∈，所以a的取值范围是[﹣2，0}．2016年6月14日。
2017年11月6日 双曲线的定义及其标准方程(1)-每日一题2018年高考数学(文)一轮复习
双曲线的定义及其标准方程（1）高考频度：★★★☆☆ 难易程度：★★★☆☆实轴长为2，虚轴长为4的双曲线的标准方程是A ．2214y x -= B ．2214x y -= C ．222211416416x y y x -=-=或 D ．22221144y x x y -=-=或 【参考答案】D【解题必备】求双曲线的标准方程时常用待定系数法：（1）根据已知条件设出双曲线的标准方程；（2）利用已知条件确定,a b 或22,a b ,注意双曲线定义的应用；（3）确定双曲线的标准方程.特别地，若已知双曲线上两点的坐标，则双曲线的标准方程可能有两个，把点的坐标代入，得到关于,a b 的两个关系式，由此求解.也可设双曲线方程为221(0)Ax By AB +=<，把点的坐标代入求出,A B 的值，此种方法计算过程简单，也避免了分类讨论.1．若双曲线221:1742x y C a-=+与双曲线222:1116y x C a -=-的焦距相等，则实数a 的值为 A ．−1 B ． 1 C ．2 D ．42．已知双曲线的方程为，则它的右焦点坐标为A ．B ．C ．D ．3．双曲线221169x y -=上一点A 到点（5,0）的距离为15，则点A 到点（−5,0）的距离为_________________. 4．双曲线的焦距为_________________.学-3．【答案】7或23【解析】双曲线221169x y -=，()()28,5,05,0a ∴=-是双曲线的两个焦点，点A 在双曲线上，128PF PF ∴-=，点A 到点()5,0的距离为15，则点A 到点()5,0-是15823+=或1587-=，故答案为7或23.学*4．【答案】8 【解析】双曲线221259x y k k+=--,即由题意(25−k )(9−k )<0，∴9<k <25，∴2c =25−k +k −9=16，∴c =4， ∴2c =8，故答案为8.。
江西省南昌市2017-2018学年度高三第二轮复习测试卷文科数学(一)试题(解析版)
2017—2018学年度南昌市高三第二轮复习测试卷文科数学(一)一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则集合可以是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求得集合A，再有得，即可得解.【详解】因为，由得，故选A．【点睛】本题主要考查了集合的表示和集合的基本关系，属于基础题.2.已知复数满足（为虚数单位），则复数所对应的点位于复平面的（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】分析：先根据得到z然后根据复数的坐标定义即可得出结论.详解：由题得：故z所对应的坐标为，为第四象限故选D.点睛：考查复数的四则运算和坐标表示，属于基础题.3.已知双曲线的右焦点在直线上，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求得直线与轴的交点，进而得c，再有，即可得解.【详解】因为直线与轴的交点为，所以在双曲线中有，故，即，故选D．【点睛】本题主要考查了双曲线焦点的概念，属于基础题.4.滴滴公司为了调查消费者对滴滴打车出行的真实评价，采用系统抽样方法从2000人中抽取100人做问卷调查，为此将他们随机编号1,2，，2000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的100人中，编号落入区间的人做问卷，编号落入区间的人做问卷，其余的人做问卷，则抽到的人中，做问卷的人数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据系统抽样可知抽到的号码构成以9为首项，20为公差的等差数列，得，由，进而求解即可.【详解】若采用系统抽样方法从人中抽取人做问卷调查，则需要分为组，每组20人，若第一组抽到的号码为，则以后每组有抽取的号码分别为，所以抽到的号码构成以9为首项，20为公差的等差数列，此等差数列的通项公式为.由题意可知，落在区间[1521,2000]的有：.解得：.，所以编号落入区间的有（人），故选B．【点睛】本题主要考查系统抽样的方法，属于简单题. 系统抽样适合抽取样本较多且个体之间没有明显差异的总体，系统抽样最主要的特征是，所抽取的样本相邻编号等距离，可以利用等差数列的性质解答.5.已知数列为等比数列，，且是与的等差中项，则的值为（）A. 或B.C. 或D.【答案】C【解析】【分析】由是与的等差中项，得，进而解得，代入等比数列的通项公式求解即可.【详解】由题意，所以，故选C．【点睛】本题主要考查了等差中项的概念及等比数列的运算，属于简单题.6.已知向量，满足，，且向量，的夹角为，若与垂直，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由条件可得，由与垂直，进而得，即可得解.【详解】因为，所以，故答案选D．【点睛】本题主要考查了数量积的运算，属于基础题.7.已知，且，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】在上递增，，化为，由指数函数的性质，可得，故选C.8.某几何体的三视图如图所示，若该几何体的表面积为，则俯视图中圆的半径为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由三视图可知该几何体为一个长方体挖去了一个半球，计算表面积令其等于，即可得解.【详解】由三视图可知该几何体为一个长方体挖去了一个半球，设圆半径为，所以该几何体的表面积，得，故选A．【点睛】以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然后再根据所求进行解题即可．9.《九章算术》是我国古代著名数学经典．其中对勾股定理的论术比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分)．已知弦尺，弓形高寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为( )(注：1丈＝10尺＝100寸，，)A. 600立方寸B. 610立方寸C. 620立方寸D. 633立方寸【答案】D【解析】【分析】由三角形，利用勾股定理可得半径，进而得，再利用，乘以高即可得体积. 【详解】连接，设⊙的半径为，则，所以.由于，所以，即.所以平方寸．∴该木材镶嵌在墙中的体积为立方寸，故选D．【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理及扇形的面积公式，柱体的体积公式，属于中档题10.某程序框图如图所示，若输出，则判断框中为A. B.C. D.【答案】B【解析】由框图程序可知，结合循环结构的终止条件可得解【详解】由框图程序可知因为，所以所以，解得，即当时程序退出，故选B．【点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.11.已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点，为抛物线上的任一点，过点作圆的切线，切点分别为，则四边形的面积最小值为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】设，则，进而得最值.【详解】由题意可知抛物线的方程为，圆恒的圆心为，半径为．设，则所以当时，切线长取得最小值，此时四边形的面积取得最小值，最小值为，故选D．【点睛】圆中的最值问题，往往转化为到圆心到几何对象（如定直线或定点等）的最值问题．有时也可以转为关于某个变量的函数（变量可为动直线的斜率或点的坐标等），再利用基本不等式或函数的单调性等求其最值．12.设，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得令，即与恰有3个交点，由，利用导数得到函数的单调性即可得解.【详解】恰有3个零点，则恰有3个根，令，即与恰有3个交点，，当时，，所以在上是减函数；当时，，当时，，当时，，所以在时增函数，在时减函数，且，所以故选A．【点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.13.已知函数为奇函数，若，则的值为________.【答案】3【解析】【分析】由函数为奇函数，可得，进而可得解.【详解】因为函数为奇函数，且，，所以，所以．所以．【点睛】本题主要考查了奇偶性的应用，属于基础题.14.已知变量满足约束条件，若恒成立，则实数的取值范围为________．【答案】【解析】【分析】由不等式恒成立，可得恒成立，故，由线性规划求最值即可.【详解】由不等式恒成立，可得恒成立，故．作出不等式组满足约束条件所对应的可行域，可得经过点时有最小值，所以实数的取值范围为．【点睛】本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.15.记为不超过的最大整数，如，则函数的所有零点之和为________.【答案】【解析】【分析】由，令，求导利用函数单调性可证得在上无零点，只需考虑：，，，求解即可.【详解】由题意可知： .令.有：.所以在上单调递减，有，所以在上无零点，只需考虑：，，，可得三个零点分别为，故答案为．【点睛】本题主要考查了分段函数的零点问题，属于中档题.16.已知数列满足，，，则使得成立的最大值为____________.【答案】999【解析】【分析】由，得数列是首项为，公差为的等差数列，，进而可得，从而列不等式求解即可.【详解】因为，所以，所以，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以，所以，所以．所以．解得．故答案为：999.【点睛】数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．三．解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知函数的部分图像如图所示，其中、分别为函数的一个最高点和最低点，、两点的横坐标分别为，且．（Ⅰ）求函数的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）在中，角的对边分别是，且满足，求的值．【答案】(1) 单调递增区间为;(2)1.【解析】【分析】（1）由图可知，从而可解得，再由得，又因为，可得，令，即可得解；（2）由余弦定理可得，进而得，即，所以，从而得解.【详解】（1）由图可知，所以，又因为，所以，又因为，因为，所以.所以函数，令，解得，所以函数的单调递增区间为.（2）因为，由余弦定理得所以所以，当且仅当等号成立，即所以，有.【点睛】本题考查了三角函数的图象和性质，由的部分图象确定其解析式的方法.解决问题的关键是熟练掌握各个参数的意义，代表振幅，可由图象的最小最大值确定；可由函数的周期确定；是初相，可由特殊点确定.18.某大学为了更好提升学校文化品位，发挥校园文化的教育功能特举办了校园文化建设方案征集大赛，经评委会初评，有两个优秀方案入选.为了更好充分体现师生的主人翁意识，组委会邀请了100名师生代表对这两个方案进行登记评价（登记从高到低依次为），评价结果对应的人数统计如下表：（Ⅰ）若按分层抽样从对1号方案进行评价的100名师生中抽取样本进行调查，其中等级层抽取3人，等级层抽取1人，求的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若从对2个方案的评价为的评价表中各抽取进行数据分析，再从中选取2份进行详细研究，求选出的2份评价表中至少有1份评价为的概率.【答案】(1) ,c=20;(2).【解析】【分析】（1）根据分层抽样分别求出a，b，c的值即可；（2）对1号方案、2号方案抽取的样本容量都是4.其中，1号方案的评价表中，评价为的有3份，评价为的有1份，令其分别记为；2号方案的评价表中，评价为的有2份，评价为的有2份，令其分别记为.从中抽取2份评价表，从中抽取2份，求出满足条件的概率即可．【详解】（1）由分层抽样可知，.又，所以，所以.（2）由题意，对1号方案、2号方案抽取的样本容量都是4.其中，1号方案的评价表中，评价为的有3份，评价为的有1份，令其分别记为；2号方案的评价表中，评价为的有2份，评价为的有2份，令其分别记为.从中抽取2份评价表，不同的结果为：，，，，，，，共28个.其中至少有1份评价为的所包含的不同结果为，，，共18个.故所求事件的概率为.【点睛】条件概率的求法(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得．注意：事件A与事件B有时是相互独立事件，有时不是相互独立事件，要弄清P(AB)的求法．(2)当基本事件适合有限性和等可能性时，可借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得．19.如图，在斜三棱柱中，已知，，且.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）若，求四棱锥的体积.【答案】(1)见解析；（2）.【解析】【分析】（1）连接，易证得，，所以，所以，从而可证得，即可证得结论；（2）由即可得解.【详解】（1）证明：连接，在平行四边形中，由得平行四边形为菱形，所以，又，所以，所以，又，所以，所以平面平面（2）.故四棱锥的体积为.【点睛】求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法. ①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．20.已知点在椭圆上，设分别为椭圆的左顶点、下顶点，原点到直线的距离为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设为椭圆在第一象限内一点，直线分别交轴、轴于两点，求四边形的面积．【答案】（1）椭圆的方程为；（2）四边形的面积为.【解析】【分析】（1）根据条件可得，，从而可解得椭圆方程；（2）设点，从而有，得，所以四边形的面积为，从而可得解.【详解】（1）因为椭圆经过点，有，由等面积法，可得原点到直线的距离为，联立两方程解得，所以椭圆的方程为．（2）设点，则，即．直线，令，得．从而有，同理，可得．所以四边形的面积为．所以四边形的面积为．【点睛】本题主要考查了椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，需要较大的运算量，属于难题.21.已知函数.（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）当时，求证：.【答案】(1) 函数的减区间为，增区间为，;(2)见解析.【解析】【分析】（1）函数求导，由得函数减区间，由得函数的增区间；（2）欲证，只需证，设，，即证，分别求导求最值即可.【详解】（1）定义域为，因为，当时，；或，此时函数的增区间为，减区间为，当时，，函数无单调区间当时，；或，此时函数的减区间为，增区间为，（2）欲证，即证，只需证，设，，即证因为，令，得当时，；当或时，，又因为，当时，，当时，所以，而所以，即成立.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合(图象在上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数.22.在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系．已知直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．（Ⅰ）求直线过点的参数方程；（Ⅱ）已知直线与曲线交于，设，且，求实数的值．【答案】(1) 线过点的参数方程为（为参数）;(2).【解析】【分析】（1）先将极坐标方程变为直角坐标方程，再写成参数形式即可；（2）现将曲线化为的直角坐标方程，与直线联立得，设点分别对应参数恰为上述方程的根，则．由题设得，进而利用韦达定理求解即可【详解】（1）将，代入直线的极坐标方程得直角坐标方程．所以直线过点的参数方程为（为参数）．（2）由，得，由代入，得．将直线的参数方程与的直角坐标方程联立，得，（*）．设点分别对应参数恰为上述方程的根，则．由题设得，即．由（*）得，，则有，得或．因为，所以．【点睛】直线的参数方程的标准形式的应用过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程是.(t是参数，t可正、可负、可为0)若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则(1)M1，M2两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0＋t2cos α，y0＋t2sin α).(2)|M1M2|＝|t1－t2|.(3)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t＝，中点M到定点M0的距离|MM0|＝|t|＝.(4)若M0为线段M1M2的中点，则t1＋t2＝0.23.已知函数（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若的解集包含，求的取值范围.【答案】(1) 解集为;(2) 的取值范围为.【解析】【分析】（1）分段去绝对值解不等式即可；（2））等价于，由，去绝对值得，列不等式求解即可. 【详解】（1）当时，，不等式，即，当时，由，解得；当时，由，解得，故不等式无解；当时，由，解得．综上的解集为．（2）等价于．当时，等价于，即，若的解集包含，则[，，即．故满足条件的的取值范围为．【点睛】绝对值不等式的常见解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
江西省南昌市2017-2018学年度高三第二轮复习测试卷文科数学(四) Word版含解析
Q是（-D. [)1,1俯视图左视图主视图9. 已知()()()0,4,2,0,0,2,A B C --光线从点A 射出，经过线段BC (含线段端点)反射，恰好与圆()()22925x a y a -+-=相切，则（ ）A.1110a -≤≤-B. 11510a ≤≤-C.11510a ≤≤+D.11a -≤≤ 10.根据某校10位高一同学的身高(单位：cm)画出的茎叶图（图1），其中左边的数字从左到右分别表示学生身高的百位数字和十位数字，右边的数字表示学生身高的个位数字，设计一个程序框图（图2），用()1,2,,10i A i =⋅⋅⋅表示第i 个同学的身高，计算这些同学身高的方差，则程序框图①中要补充的语句是 ( )A ．iB B A =+ B ．2i B B A =+C ．()2i B B A A =+- D ．22i B B A =+11. 函数()321213f x x ax x =+-+在()1,2x ∈存在极值点，则（ ）A. 1122a -<< B. 1122a -≤≤ C. 12a <-或12a > D. 12a ≤-或12a ≥12．已知函数()()sin (0,)2f x x πωϕωϕ=+>≤，4x π=-和4x π=分别是函数()f x 取得零点和最小值点横坐标，且()f x 在,1224ππ⎛⎫⎪⎝⎭-单调，则ω的最大值是 ( )A.3 B.5 C. 7 D. 9二．填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.13. 设,x y 满足10302x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =+的最大值为__________.14．矩形ABCD 中，4AB =，2BC =，点F 为线段AB 的中点，E 在线段BC （含端点）上运动，则·DE EF 的最小值是__________.15. 如图为某几何体的三视图，主视图与左视图是两个全等的直角三1，俯视图为边长为1的正方形，则该几何 体最长边长为__.16.设12,F F 分别是双曲线()222210x y b a a b-=>>左右焦点，P 是双曲线上一点，12PF F ∆内切圆被双曲线渐近线所截得弦长不大于实半轴，且与y 轴相切，则双曲线离心率取值范围是________.三．解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．图1D B B 17. （本小题满分12分）在菱形ABCD 中，2AB =且60ABC ∠=︒，点,M N 分别是棱,CD AD 的中点，将四边形ANMC 沿着AC 转动，使得EF 与MN 重合，形成如图所示多面体，分别取,BF DE 的中点,P Q . （Ⅰ）求证：//PQ 平面ABCD ；（Ⅱ）若平面AFEC ⊥平面ABCD ，求多面体ABCDFE 的体积.18．（本小题满分12分）某电视节目为选拔出现场录制嘉宾，在众多候选人中随机抽取100名选手，按选手身高分组，得到的频率分布表如图所示.（Ⅰ）请补充频率分布表中空白位置相应数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图； （Ⅱ）为选拔出舞台嘉宾，决定在第3、4、5组中用分层抽样抽取6人上台，求第3、4、5组每组各抽取多少人？（III ）在（Ⅱ）的前提下，电视节目主持人会在上台6人中随机抽取2人表演节目，求第4组至少有一人被抽取的概率？19．（本小题满分12分）各项均为正数的数列{}n a 满足：n S 是其前n 项的和，且22n n n S a a =+.数列{}n b 满足12b a =-，12n a n n n b b a +=+⋅.（Ⅰ）求123,,a a a 及通项n a ； （Ⅱ）求数列{}n b 的通项n b .20．（本小题满分12分）已知23P ⎛ ⎝⎭是椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）与抛物线E :()220y px p =>的一个公共点，且椭圆与抛物线具有一个相同的焦点F ．（Ⅰ）求椭圆C 及抛物线E 的方程； （Ⅱ）设过F 且互相垂直的两动直线12,l l ，1l 与椭圆C 交于,A B 两点，2l 与抛物线E 交于,C D 两点，求四边形ACBD 面积的最小值.21. （本小题满分12分） 已知函数2()(),x f x ex e e ax a R =-+∈ （Ⅰ）讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.选做部分请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上． 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为()22625x y +-=（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴且具有相同单位长建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程为112x ty t=-+⎧⎨=-+⎩（其中t 为参数），若直线l 与C 交于,A B 两点，求AB 中点M 到()2,3N --的距离．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()32f x x a x ＝－+＋ . （Ⅰ）若3a =，解不等式()3f x ≤；（Ⅱ）若不存在实数x ，使得不等式()142f x a x ≤－-＋，求实数a 的取值范围．2017—2018学年度南昌市高三第二轮复习测试卷文科数学(四)参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．）二、填空题(本大题共4小题,每小题5分，共20分)B13. 12 14.8-15.16. )e ∈+∞三、解答题(本大题共6小题，共70分)17【解析】（Ⅰ）取BE 中点R ，连接,,PR QR BD ，由,P Q 分别是,BF DE 的中点 //,//PR EF QR BD ∴又//EF AC ，//PR ∴平面ABCD ，//QR 平面ABCD ，又PR QR R = ∴平面//PQR 平面ABCD ，又PQ ⊆平面PQR//PQ 平面ABCD .（Ⅱ）连接AC ，设,AC BD 交于点OBD AC ∴⊥，又平面AFEC ⊥平面ABCD ， 平面AFEC 平面ABCD AC = BD ∴⊥平面AFEC∴多面体ABCDFE 可以分解为四棱锥B ACEF - 和四棱锥D ACEF -菱形ABCD 中，2AB =且60ABC ∠=︒知：2,12E CA BD F A C==== 设梯形EFAC 的面积为()124EFAC BD S EF AC =+⋅=1332ABCDFE EFAC V S BD =⋅⋅=18【解析】（Ⅰ）由题可知，第2组的频数为0.3510035? 人，第3组的频率为300.300.100=频率分布直方图:（Ⅱ）因为第3,4,5组共有60名观众，所以利用分层抽样 在60人中抽取6人，每组人数为：3人，2人，1人； （III ）设第3组的3人分别是：,,a b c ；第4组的2人分别是：,x y ；第5组的1人是：k .从中抽取两人的可能有：()()()()(),,,,,,,,,,a b a c a x a y a k ()()()()(),,,,,,,,,,b c b x b y b k c x ()()()()(),,,,,,,,,;c y c k x y x k y k 共有15种不同可能性所以，第4组至少有一人被抽取的概率93155P ==.19．【解析】（Ⅰ）在22n n n S a a =+⋅⋅⋅①中，令1n =得11a =；令2n =得22a =； 令3n =得33a =； 当2n ≥时，21112n n n S a a ---=+⋅⋅⋅②故①-②得，22112n n n n n a a aa a --=-+-即()()()1111,0,1n n n n n n n n n a a a a a a a a a ----+=+->∴-=∴数列{}n a 是等差数列，n a n =（Ⅱ）由（Ⅰ）知：112,2nn n b b b n +=--=⋅()()()121121*********n n n n b b b b b b b b b n ++∴=+-+-+⋅⋅⋅+-=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅记1212222nnP n =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ ，则()23121222122n n n P n n +=⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅两式相减得，()1211111212122222122n n n n n n P n n n ++++-=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅-⋅=--⋅=--()1122n n P n +∴=-+()1112n n b n ++∴=-⋅()22,2n n b n n ∴=-⋅≥，又12b =-也符合， ()22,n n b n n N *∴=-⋅∈，即122,n n n b n n N+*=⋅-∈20．【解析】（Ⅰ）22,33P ⎛ ⎝⎭抛物线E ：(22y px =2p ∴=即抛物线E 的方程为24y x =，()1,0F221a b ∴-= 又22,3P ⎛ ⎝⎭在椭圆C ：22221x y a b +=2248193a b∴+=，结合221a b -=知23b =（负舍）， 2a ∴椭圆C 的方程为22143x y +=，抛物线E 的方程为2y =（Ⅱ）由题可知直线1l 斜率存在，设直线1l 的方程(y k x =，()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y①当0k =时，4AB =，直线2l 的方程1x =，4CD =，故182ACBD S AB CD =⋅⋅= ②当0k ≠时，直线2l 的方程为()11y x k =--， 由()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得()22223484120k x k x k +-+-= 221212228412,3434k k x x x xk k-∴+==++由弦长公式知12AB x =-=()2212143k k +=+同理可得()241CD k =+()()()2222221212414143411232ACBD k k k S B D k k A C ∴=⋅⋅=++⋅+=++⋅令()21,1,t k t =+∈+∞，则2222424244141124ACBD t S t t t t ===-⎛⎫---+ ⎪⎝⎭， 当()1,t ∈+∞时，()2110,1,243t t ⎛⎫∈--+< ⎪⎝⎭，2483ACBD S >= 综上所述：四边形ACBD 面积的最小值为8.21．【解析】（Ⅰ）由题()1'()2x f x x e a +=+，（1）当0a ≥时，120,x ea ++>故(),0x ∈-∞时，()1'()20x f x x e a +=+<函数()f x 单调递减，()0,+x ∈∞时，()1'()20x f x x e a +=+>函数()f x 单调递增；（2）当02e a -<<时，故(),ln(2)1x a ∈-∞--时，()1'()20x f x x e a +=+>,函数()f x 单调递增，()ln(2)1,0x a ∈--时，()1'()20x f x x e a +=+<,函数()f x 单调递减，()0,x ∈+∞时，()1'()20x f x x e a +=+>,函数()f x 单调递增；（3）当2e a =-时，()1'()20x f x x e a +=+≥恒成立，函数()f x 单调递增； （4）当2e a <-时，故(),0x ∈-∞时，()1'()20x f x x e a +=+>函数()f x 单调递增，()0,ln(2)1x a ∈--时，()1'()20x f x x e a +=+<函数()f x 单调递减，()ln(2)1,x a ∈--+∞时，()1'()20x f x x e a +=+>函数()f x 单调递增；（Ⅱ）当0a =时，()()0x f x ex e e =-=有唯一零点1,x =不符合题意；由（Ⅰ）知：当0a >时，故(),0x ∈-∞时，函数()f x 单调递减，()0,x ∈+∞时，函数()f x 单调递增，x →-∞时，()f x →+∞；x →+∞时，()f x →+∞，()00f e =-<必有两个零点； 当02ea -<<时，故(),ln(2)1x a ∈-∞--时，函数()f x 单调递增， ()ln(2)1,0x a ∈--时，函数()f x 单调递减，()0,x ∈+∞时，函数()f x 单调递增，()()()2ln(2)12(ln(2)1)ln(2)10,00f a a a a a f e --=---+--<=-<,函数()f x 至多有一个零点；当2ea =-时，函数()f x 单调递增，函数()f x 至多有一个零点； 当2ea <-时，故(),0x ∈-∞时，函数()f x 单调递增，()0,ln(2)1x a ∈--时，函数()f x 单调递减，()ln(2)1,x a ∈--+∞时，函数()f x 单调递增，(0)0f e =-<，函数()f x 至多有一个零点；综上所述：当0a >时，函数()f x 有两个零点.22．【解析】（Ⅰ）由圆C 的方程为()22625x y +-=知：2212110x y y +-+=222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ==+=212sin 110ρρθ∴-+=是圆C 的极坐标方程.（Ⅱ）直线l 的参数方程为112x ty t =-+⎧⎨=-+⎩，当1t =-时，点()2,3N --在直线l 上，故可将直线l的参数方程为2535x s y s ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，代入圆C ：()22625x y +-=得2600s -+= ，设,A B 对应的参数为12,s s，12s s ∴+=∴,A B 中点M对应的参数为122s s+=MN ∴=23．【解析】（Ⅰ）3a ＝，()3323f x x x =≤－+＋当2x ≤-时，3323x x ---≤，解得12x ≥-x ∴∈∅C A 当21x -<≤时，3323x x -++≤，解得1x ≥{}1x ∴∈ 当1x >时，3323x x -++≤，解得1x ≤x ∴∈∅ 综上所述，不等式()3f x ≤的解集为{}1.（Ⅱ）不存在实数x ,使得不等式()142f x a x ≤－-＋等价于()142f x a x >－-＋恒成立 即3631x a x a >－+＋－恒成立，()()3633636x a x x a x a ≥=+－+＋－-＋61a a ∴+>-当6a <-时，61a a -->-，解得a ∈∅当6a ≥-时，61a a +>-，解得52a >- 52a ∴>-时，不存在实数x ，使得不等式()142f x a x ≤－-＋.2017-1018高三理科数学（四）选择填空详细解析1.C 【解析】{|11},P x x x =≤-≥或{}|0Q y y =≥(){|01}U C P Q x x ∴=≤<，故选C.2．B 【解析】47311616a a q =∴=12q ∴=±，故选B ． 3．C 【解析】,p q 均为假命题，故选C ．4. A 【解析】设,z a i a R =+∈，()()220,a i a i b ∴+-++=即()()221220,a a b a i-+-+-=220,a ∴-=1,a z ∴=== A.5．C 【解析】()()ln 1f x x =-向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到()ln 22y x =-+过点()1,2，且单调递减,故选C ．6．B 【解析】()2sin(2+)6f x x π=-是一个复合函数，与()2sin(2)6g x x π=-的增减区间正好相反，而()2sin(2)6g x x π=-减区间满足3222,26k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，也即5[]36x k k k Z ππππ∈++∈，，，故选B ． 7．C 【解析】过S 作SO ⊥平面ABC ，垂足为O ，连接 AO 并延长交BC 于H ，连接CO SO BC ∴⊥，又SA BC ⊥，,SO SA S BC =∴⊥平面SAO ，又AO ⊆平面SAOBC AO∴⊥，同理AB CO⊥O∴是三角形ABC的垂心.故选C.8．B【解析】由等差数列的性质知：,,,m n s t N*∈，反之：等差数列{}n a为常数列，m n s ta a a a+=+9.D【解析】如图，A关于BC对称点()6,2D-使圆()()22925x a y a-+-=反射光线相切，只需使得射线,DB DC与圆相切即可，而直线DB为：220x y++=，直线DC为：2y=，22a=-=得11,,15a=-11a-≤≤+10．B【解析】由()()(22122x x x x xsn-+-+⋅⋅⋅+=()222212122n nx x x x x x x nxn++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅++=22222122nx x x nx nxn++⋅⋅⋅+-+=222212nx x xxn++⋅⋅⋅+=-，循环退出时11i=，知221Axi⎛⎫= ⎪-⎝⎭，2221210B A A A∴=++⋅⋅⋅+，故程序框图①中要补充的语句是2iB B A=+，故选B．11. A【解析】若函数()321213f x x ax x=+-+在(1,2)x∈无极值点，则()2'220f x x ax=+-≥或()2'220f x x ax=+-≤在()1,2x∈恒成立：①当01x a=-≤时，'(1)210f a=-≥，得12a≥；②当'(1)210f a=-≤且'(2)420f a+=≤，得12a≤-；③当2x a=-≥时，'(2)420f a+=≥，得a∈Φ；综合无极值时12a≤-或12a≥，所以在1122a-<<在(1,2)x∈存在极值，故选A．12．B【解析】由()()sin(0,)2f x xπωϕωϕ=+>≤，4424kT Tππ⎛⎫∴--=+⎪⎝⎭即2124kTπ+=，又2Tωπ=，()21k k Nω*=+∈∴，又()f x在,1224ππ⎛⎫⎪⎝⎭-单调，24122Tππ⎛⎫∴--≤⎪⎝⎭，又2Tωπ=8ω∴≤，当7ω=时，()()sin7f x xϕ=+由4xπ=是函数()f x最小值点横坐标知4πϕ=-，()f x∴在,1228xππ⎛⎫∈ ⎪⎝-⎭-递减，,2824xππ⎛∈-⎫⎪⎝⎭递增，不满足()f x在,1224ππ⎛⎫⎪⎝⎭-单调，是函数()f x最小值点横坐标知4πϕ=(f∴13．12【解析】如图，作出可行域（图中阴影部分），目标函 数2z x y =+ 在点()2,5A 取得最大值12.14．8-【解析】以A 为原点，如图建立直角坐标系， 则()()()()4,0,2,0,0,2,4,2B F D C ，设()()4,02E y y ≤≤，()()4,2,2,DE y EF y ∴=-=--，故()2·17DE y EF =---，当0y =或2y =时，·DE EF 取得最小值8-.．O14题图 15题图AC =16. )e ⎡∈+∞⎣【解析】不妨设P 在第一象限，,,M N A 分别为12PF F ∆内切圆与12PF F ∆三边的切点，()()121212122a PF PF PM MF PN NF MF NF AF AF =-=+-+=-=-，A ∴在双曲线上，故12PF F ∆内切圆圆心为(),a a ，半径为a∴圆心到渐近线0bx ay -=的距离是()a b a d c-==∴弦长2BC===依题得2a ≤即()2234b ac -≥，b a ∴-≥2280c a --≥，同时除以2a 得 ，故)e ⎡∈+∞⎣。
江西省南昌市2017-2018学年高三第一轮复习训练题数学(二)《函数性质及其应用》
江西省南昌市2020-2021学年高三第一轮复习训练题数学（二）《函数性质及其应用》学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．函数y =的定义域为（ ） A ．(2,4]B ．(2,4)C ．(4,)+∞D ．(,4)-∞2．已知函数3201732017log 3,0()log (),0m x x x f x x nx x ⎧+>=⎨-+<⎩为偶函数，则m n -=（ ） A ．4-B ．2-C ．2D ．43．函数()3sin 2f x x x x =+-的一个零点所在的区间为（ ） A ．1(,1)2B ．(1,)2πC ．(,2)2πD ．(2,)π4．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(3)()f x f x +=-，且(2)1f -=，则(2016)(2017)f f +=（ ）A ．0B ．1-C ．1D ．25．已知定义在R 上的函数()21()x m f x m -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),a f 2b(log 5),c(2)f f m ,则,,a b c ,的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a <<6．已知函数(1)y f x =+的定义域是[]0,3，则()x y f e =的定义域是（ ） A ．[0,2ln 2]B ．[1,2ln 2]C ．(,ln3]-∞D ．(,ln 2]-∞7．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ） A ．1y x=B ．tan y x =C．2017=log )y xD．y =8．已知函数()y f x =是R 上的偶函数，且满足(2)(2)(2)f x f x f +=-+，当[0,2]x ∈时， ()24x f x =-，令函数()()g x f x m =-，若()g x 在区间[6,2]-上有4个零点，分别记为1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x +++=（ ）A ．8-B ．6-C ．4-D ．2-9．已知()(3),(,1],(1,)xa x x f x a x -∈-∞⎧=⎨∈+∞⎩是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(0,3)B ．(1,3)C ．(1,)+∞D ．3[,3)210．已知函数()12017lg()201721xx xf x x-+=+-+-，则关于x 的不等式 ()()314f x f x ++>的解集为（ ） A ．1(,)4-+∞ B ．1(,0)4-C ．1(,)4-∞-D ．2(,0)3-11．函数2()xf x x a=+的图像可能是（ ）A ．（2）（3）（4）B ．（1）（2）（4）C ．（1）（3）D ．（1）（2）（3）（4）12．已知函数()()()23221,2log 2log 4x x f x x g x t =+=-+-，若函数()()()1F x f g x =-在区间⎡⎣上恰有两个不同的零点，则实数t 的取值范围（ ） A ．5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．59,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．94,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．94,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题13．已知函数()()22log 11,12,1x x f x x x x ⎧-+<=⎨-≥⎩，若()3f a =，则a =__________．14．奇函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递减，且(1)2f =-，则关于x 的不等式2(4sin 3)2f x -≤-≤的解集是________．15．已知函数221sin 2017()22017x x f x x +++=+，则2017()2017i i f =∑=______．16．设函数()x x x f x a b c =+-，其中0c a >>，0c b >>.若a ，b ，c 是ABC ∆的三条边长，则下列结论正确的是_________．（写出所有正确结论的序号） ①(,1)x ∀∈-∞，()0f x >；②0x R ∃∈，使0x a ，0x b ，0x c 不能构成一个三角形的三条边长； ③若ABC ∆为直角三角形，对于*n N ∀∈，(2)0f n >恒成立. ④若ABC ∆为钝角三角形，则0(1,2)x ∃∈，使0()0f x =；三、解答题17．设函数1()f x x x=+（x (,0)(0,)∈-∞+∞）的图象为1C ，1C 关于点(2,1)A 的对称的图象为2C ，2C 对应的函数为()y g x =． （Ⅰ）求函数()y g x =的解析式，并确定其定义域；（Ⅱ）若直线y b =与2C 只有一个交点，求b 的值，并求出交点的坐标．18．已知定义在R 上的函数f(x)满足f(x +4)=f(x)，当x ∈[0,4]时，f(x)=2|x−m|+n ，且f(2)=6.（1）求m ，n 的值；（2）当x ∈[0,4]时，关于x 的方程f(x)−a ⋅2x =0有解，求a 的取值范围.19．已知函数1()2x e f x ln ax +=+是偶函数，4()2x xb g x -=是R 上的奇函数． （Ⅰ）求+a b 的值；（Ⅱ）若对s R ∀∈，都有()()f s g t >成立，求实数t 的取值范围． 20．已知函数3()log (01)3ax f x a x -=<<+的定义域为{|}x m x n <<，值域是[][]{|log (1)log (1)}a a y a n y a m -<<-.（Ⅰ）求证: 3m >； （Ⅱ）求实数a 的取值范围. 21．已知函数21()ln 2f x x m x =-. （Ⅰ）若函数()f x 在定义域上是增函数，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若m 1≥，令2()()(1)F x f x x m x =-++，试讨论函数()F x 的零点个数，并说明理由.22．已知函数．（Ⅰ）讨论函数的单调性；k 时，关于的方程有唯一解，求的值．（Ⅱ）若2014参考答案1．B 【解析】202440x x x ->⎧⇒<<⎨->⎩，选B. 2．D 【解析】根据题意设0,0x x >-<，又由()()3201732017log 3,0log ,0m x x x f x x nx x ⎧+>⎪=⎨-+<⎪⎩为偶函数，则3320172017()log log 3()f x x nx m x x f x -=-=+= ，则有1,3m n ==-，则134m n -=+=，选D.3．B 【解析】连续函数3()sin 2f x x x x =+-，由于3(1)1sin121sin110f =+-⨯=-<，33388()()210222288f sin ππππππππ+-=+-⨯=+-=> ，(1)()02f f π∴⋅< 则函数()3sin 2f x x x x =+-的一个零点所在的区间为(1,)2π，选B.4．B 【解析】(3)(),(6)(3)[()]()f x f x f x f x f x f x +=-∴+=-+=--=,说明函数()f x 的周期为6，20166336,201763361=⨯=⨯+，则(2016)(2017)(0)(1)f f f f +=+，由函数()f x 为 定义在R 上的奇函数，则(0)0,f =又(3)()f x f x +=-，则(1)(4)(2)1f f f =-=--=-，则(2016)(2017)(0)(1)011f f f f +=+=-=-，选B. 5．B 【解析】由()f x 为偶函数得0m =,所以0,52log 3log 32121312,a =-=-=-=2log 521514b =-=-=,0210c =-= ,所以c a b <<,故选B.考点：本题主要考查函数奇偶性及对数运算. 6．A 【解析】03,114x x ≤≤∴≤+≤ ，则14x e ≤≤ ，0ln 42ln 2x ≤≤=，则()x y f e =的定义域是[0,2ln 2]，选A. 7．C 【解析】选择支A 、B 、C 中的三个函数均为奇函数，10111xx x+≥⇒-≤<-，定义域不关于原点对称，函数y =1y x =在(,0)-∞为增函数，在(0,)+∞上为增函数，不是定义域上的增函数，tan y x =的 增区间为(,),22k k k Z ππππ-+∈，不是定义域上的增函数，故选择C. 8．A 【解析】()f x 是R 上的偶函数，且满足()()()222f x f x f +=-+，(2)(2)(2),(2)0f f f f =-+∴=,(2)(2)f x f x ∴+=-,则(4)()f x f x +=，则()f x 的周期为4，作出()f x 在[6,2]-上的函数图象如图，由图象可以看出()f x 在[6,2]-上有2条对称轴4,0x x =-=，则4个零点之和为2(4)208⨯-+⨯=-，选A.9．D 【解析】已知()()(]()3,,1,1,xa x x f x a x ⎧-∈-∞⎪=⎨∈+∞⎪⎩是R 上的增函数，则1303a a a a>⎧⎪->⎨⎪-≤⎩，则332a ≤<，选D. 10．B 【解析】首先要知道20172017x xy -=-为奇函数且在定义域内为增函数，1lg()1xy x+=-为奇函数且在定义域内为增函数，令1()20172017lg()1xxxg x x-+=-+-为奇函数且在(1,1)-上为增函数，()()2g x f x =- ，解不等式(31)()4++>f x f x ，等价于(31)2()20f x f x +-+->，即(31)()0,(31)()()g x g x g x g x g x ++>+>-=-，则13111131x x x x-<+<⎧⎪-<<⎨⎪+>-⎩，104x -<< .选B.【点睛】首先需要了解一些常见的函数的单调性和奇偶性，如x x y a a -=+ ，x xy a a -=- ，x x x xa a y a a---=+，log (a y x = ，1log ()1a x y x +=- 等，另外要掌握利用抽象函数的奇偶性和单调性解不等式，注意优先考虑函数定义域，借助单调性解不等式. 11．A 【解析】当0a =时，函数1()(0)f x x x=≠，函数图象为（4），当0a ≠时，函数图象过原点，排除（1），若0a >时函数图像为（2），当0a <时，由于22()0x a x a +=--≠ ，则2x a ≠-，则x ≠，函数图像为（3），所以函数()2xf x x a=+的图像可能是（2）（3）（4），选A. 12．C 【解析】函数()[()]1F x f g x =-的零点为方程222[2(log )2log 4]1f x x t -+-=的根，而(0)1f =，则2222(log )2log 40x x t -+-=，令2log x m =，则3[0,]2m ∈ ，则22240m m t -+-=在3[0,]2上有两个不同的实根，即2224t m m =-++在3[0,]2上有两个不同的实根，即y t =与2224y m m =-++ 的图象在3[0,]2m ∈有两个交点，设22192242()22y m m m =-++=--+ ，画出图象抛物线，当0m =时，4y =，当12m =时，max 92y = ，由于3[0,]2m ∈，所以942t ≤< .选C.13．3-或3 【解析】当1a <时，22log (1)13,log (1)2,14,3a a a a -+=-=-==-； 当1a ≥时，2223,230,31a a a a a a -=--===-或，取3a =； 综上可知：3a =- 或3a =. 14．5[2,2]66k k ππππ++（k Z ∈） 【解析】奇函数()f x 在(),-∞+∞上单调递减，且()12f =-，则(1)2f -=，关于x 的不等式()24sin 32f x -≤-≤化为(1)(4sin 3)(1)f f x f ≤-≤-，114sin 31,sin 12x x -≤-≤≤≤，52266k x k ππππ+≤≤+ ，k Z ∈ ，不等式的解集为52,266k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k Z ∈）. 15．2018 【解析】2221sin 2017sin ()1220172017x x xf x x x +++==+++,21sin ()122017x f x x +-=+ ,设21sin ()()122017xg x f x x =+-=+ ，()g x 为奇函数，()()0g x g x -+=，则11()1()1022f x f x -+-++-=，11()()222f x f x -+++=，令1,2x t -+=11,122x t x t =-+=- ，()(1)2f t f t +-= ，12016(0)(1)2,()()2,....20172017f f f f +=+= ，则20172017i i f=⎛⎫⎪⎝⎭∑=2018220182⨯=. 【点睛】把函数的解析式分离常数化简后会发现函数的一部分为奇函数，本题就是借助这部分奇函数做的文章，利用其函数的定义得出函数关系，进而得出f(x)+f(1-x)=2，从而符合倒序相加法求和的要求，达到求和的目的. 16．①②④ 【解析】对于①因为,,a b c 为三角形的三边，则a b c +>，又0c a >>，0c b >>.则01,01a bc c<<<<，所以当(,1)x ∈-∞时，()[()()1](1)0x x x x x a b a b a b cf x c c c c c c c c+-=+->+-=⋅> ，故①正确；对于②，令2,3,4a b c ===，可构成三角形三条边，2222,9,16a b c ===却不能构成三角形三条边，故②正确；对于③，若ABC ∆为直角三角形，根据题意得222c a b =+，对于*n N ∈，2222222(2)()0n n n n n n f n a b c a b a b =+-=+-+≤ ，故③错误；对于④，因为.0,0c a c b >>>，且若ABC ∆为钝角三角形，所以2220a b c +-<，于是222(1)0,(2)0f a b c f a b c =+->=+-<，则()01,2x ∃∈，使()00f x =； 故④正确；正确命题序号为①②④.【点睛】本题为多选填空题，要根据题意认真分析解决每一步，第一步提取x c 后进行放缩，利用两边之和大于第三边得证，第二步利用特值特例法举一反例说明不成立，第三步利用勾股定理进行代换说明差值非正，阐述出命题错误，第四步借助零点存在原理说明正确，每一步判断都要有理有据. 17．（Ⅰ）1()24g x x x =-+-((,4)(4,)x ∈-∞⋃+∞)．（Ⅱ）见解析 【解析】试题分析：（1）设点P 为原函数的图象上任意一点，点P 关于点A 的对称点为动点Q （x,y ）,点P 满足原函数的方程，利用中点坐标公式联系P 、Q 两点的坐标关系，利用坐标相关法求对称曲线的方程，再求出定义域；（2）两曲线的交点问题，需要联立方程组，根据只有一个交点，只需判别式为0，求出b 和交点坐标. 试题解析：（Ⅰ）设(),P u v 是()1f x x x =+上任意一点，∴1v u u=+ ① 设(),P u v 关于()2,1A 对称的点为(),Q x y ，∴ 42u x v y +=⎧⎨+=⎩，解得42u xv y =-⎧⎨=-⎩，代入①得1244y x x -=-+-，∴124y x x =-+-， ∴ ()124g x x x =-+-(()(),44,x ∈-∞⋃+∞)． （Ⅱ）联立124y b y x x =⎧⎪⎨=-+⎪-⎩,()26490x b x b -+++=，∴ ()()22644940b b b b ∆=+-⨯+=-= 0b =或4b =. ∴ 当0b =时得交点()3,0；当4b =时得交点()5,4．【点睛】求点的轨迹方程的方法主要有直接法、定义法、坐标相关法、交轨法、参数法等，坐标相关法时较常用的方法；（2）两条曲线交点问题需要联立方程组去解决，两曲线只有一个交点可转化为二次方程的判别式为零去解决，然后再解方程组得出交点坐标. 18．（1）m =2，n =5（2）a ∈[916,9]【解析】试题分析：（1）由f(x +4)=f(x)可知f(0)=f(4)，代入表达式可求得m 的值，又f(2)=6，可求出n 的值；（2）由（1）可知方程为2|x−2|+5=a ×2x ，对x 进行讨论去绝对值符号，可得a =4(2x )2+52x ，a =14×(12x )2+5×12x据x ∈[0,4]结合指数函数，二次函数的性质可求得a 的取值范围.试题解析：（1）由已知f(0)=f(4)，可得2|m|+n =2|4−m|+n ∴|m|=|4−m|,∴m =2又由f(2)=6可知2|2−2|+n =6,∴n =5. （2）方程即为2|x−2|+5=a ×2x 在[0,4]有解.当x ∈[0,2]时，22−x +5=a ×2x ⇒a =4(2x )2+52x ，令(12)x =t ∈[14,1],则a =4t 2+5t 在[14,1]单增，∴a ∈[32,9]当x ∈(2,4]时，2x−2+5=a ×2x ⇒a =14+5×12x ，令(12)x =t ∈[116,14),则a =14+5t ，∴a ∈[916,32),综上：a ∈[916,9].考点：1、指数函数，二次函数求值域；2、函数的解析式及方程有解问题. 19．（Ⅰ）12．（Ⅱ）(,0)-∞． 【解析】试题分析：（1）根据函数的奇偶性的定义求出函数解析式中的参数，特别是奇函数在x=0处有定义函数满足f(0)=0，有时利用f(0)=0也可以求参数；（2）对函数f(x)求导，根据导数的正负研究函数的单调性，进而求出函数f(x)的最小值，根据不等式恒成立的要求，利用极值原理，得出g(t)满足的要求，解不等式求出t 的取值范围. 试题解析：（Ⅰ）∵()12x e f x ln ax +=+是偶函数，∴()()f x f x -=恒成立，即1122x x e e ln ax ln ax -++-=+，∴111122222x x x x xe e e e ax ln ln ln ln x e-++++-=-=-=，∴12a =- ∵()42x xbg x -=是R 上的奇函数，∴()00g =，解得1b =， 此时()411222xx xxg x -⎛⎫==- ⎪⎝⎭，经检验，()g x 是奇函数， ∴12a b +=． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知()1122x e f x ln x +=-，()122xx g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 当[)0,x ∈+∞时，()()211012221x x xx e e f x e e -=⋅-'=≥++， ∴()f x 在[)0,+∞上是增函数，又因为()f x 是偶函数，所以()f x 在上(],0-∞是减函数，∴()()min 00f x f ==，要对s R ∀∈，都有()()f s g t >成立，则()()min f s g t >，即()0g t <，∴4102t t-<，则41t <，解得0t <， ∴实数t 的取值范围为(),0-∞．【点睛】若()f x 为偶函数，则()()f x f x -=，图象关于y 轴对称，在关于原点对称的单调区间函数的单调性相反；若函数()f x 为奇函数则()()f x f x -=-，图象关于原点对称，在关于原点对称的单调区间函数的单调性相同；奇函数在原点有定义，则(0)0f =.20．(Ⅰ) 见解析(Ⅱ) 0a <<. 【解析】试题分析：(1)根据已知函数求出定义域，则{|}x m x n <<为已知函数所求出的x 的范围的子集，再利用所提供的值域得出m>1,n>1的要求，从而说明m>3；(2)根据复合函数的单调性法则，由于对数的底数0<a<1,以及33x y x -=+的单调性判断出原函数f(x)在(3,)+∞上为增函数，根据已知定义域和值域及函数的单调性，写出x 值与y 值的对应关系式，得出列方程组，把问题转化为一元二次方程存在两个大于3的实根问题，最后利用根的分布条件列出不等式组，解出a 的范围. 试题解析： (Ⅰ)303,33x x x x ->⇒><-+,又因为函数的定义域{|}x m x n <<，可得3n m >>或3n m ->>,而函数的值域为()(){|log 1log 1}a a y a n y a m ⎡⎤⎡⎤-<<-⎣⎦⎣⎦，由对数函数的性质知1,1m n >>，3m ∴>(Ⅱ)()()361,33x g x g x x x -==-∴++在区间()3,+∞上递增,又因为01a << 即()f x 单调递减的函数.()()()()3log log 1333log log 11333log log 13a a a a a a n a n x x n a x a x m x x a m m -⎧⎡⎤=-⎣⎦⎪--⎪+⎡⎤⎡⎤∴⇒=-⇒=-⎨⎣⎦⎣⎦-++⎪⎡⎤=-⎣⎦⎪+⎩即()()221310ax a x a +---=有两个大于3的实数根，()()20,032133102132a a a a a a ⎧⎪>∆>⎪⋅+-⋅-->⎨⎪-⎪->⎩0a ⇒<<. 【点睛】（1）处理有关集合的包含关系问题，无限数集一般使用数轴作为工具，可以直观画出集合的包含关系，常借助端点数值的大小关系满足集合的要求；（2）根据函数的单调性及函数的定义域和值域，可以得出自变量与函数值的对应关系，化归与转化思想是高考要求学生学会的一种数学思想，把一个陌生的问题通过转化，变为一个熟悉的问题去解决，本题把满足方程组要求的问题转化为一元二次方程的根的分布问题，很容易得到解决. 21．（Ⅰ）(,0]-∞.(Ⅱ）见解析 【解析】试题分析：（1）函数在某区间上为增函数就是要求函数的导数在某区间上非负，求出函数的导数，由于含参，所以对参数分类两种情况讨论，当0m ≤时，导数非负恒成立，当0m >，导数值有正有负有零，不合题意舍；（2）写出函数F(x)并求导，分m=1和m>1两种情况研究，当m=1时，函数单调减，一个零点，当 m>1时，写出函数的单调区间，图象先减后增再减，由于极小值为正，只能当极大值小于零时，才会有一个零点，解出m 的范围 . 试题解析：（Ⅰ）依题意得，()2m x mf x x x x='-=-，()0,x ∈+∞，当0m ≤时，()0f x '>，故函数()f x 在()0,+∞上单调递增，符合题意； 当0m >时，()(x x f x x+'=，令()0f x '>，得0x <<()f x 单调递减，令()0f x '>，得x >()f x 单调递增，故函数()f x在(上单调递减，在)+∞上单调递增，不合题意.综上所述，实数m 的取值范围为(],0-∞. (Ⅱ）()()()()22111ln 2F x f x x m x x m x m x =-++=-++-（0x >）， 易得()()()11x x m m F x x m x x--=-++-=-'. ①若1m =，则()0F x '≤，函数()F x 为减函数， 注意到()3102F =>，()4ln40F =-<，所以()F x 有唯一零点； ②若1m >，则当01x <<或x m >时，()0F x '<，当1x m <<时，()0F x '>， 所以函数()F x 在()0,1和(),m +∞上单调递减，在()1,m 上单调递增， 注意到()1102F m =+>，()()22ln 220F m m m +=-+<，所以()F x 有唯一零点. 综上，当1m ≥时，函数()F x 有唯一零点.【点睛】根据函数的单调性求参数的范围问题，一般转化为函数的导数值非正或非负恒成立去解决，首选方法是分离参数用极值原理去解决，其次是对参数分类讨论，近年的高考题倾向分类讨论；（2）有关函数的零点问题的解决方法主要是借助数形结合思想，利用导数研究函数的单调性和极值，利用函数的单调性模拟函数的图象，根据函数零点的个数的要求，控制极值点函数值的正负，从而解不等式求出参数的范围. 22．(Ⅰ)见解析 (Ⅱ) 12a =． 【解析】试题分析：(1)首先函数的定义域要求x>0，对函数求导，针k 为奇数和偶数两种情况考查导数的符号，借助导数的正负说明函数的增减性；（2）当k=2014时，写出函数f(x)的表达式，使关于的方程()2f x ax =有唯一解，只需()20f x ax -=有唯一根，构造函数()()2g x f x ax =-，对函数g(x)求导，令()0g x '=，得20x ax a --=，研究函数个g(x)在(0,)+∞ 上的单调性和和g(x)的极小值，由于()0g x =有唯一解，则要求则()()2200g x g x ⎧=⎪⎨=⎪'⎩，，根据两式的结构发现可构造函数()2ln 1h x x x =+-，由于 h(x)在(0,)+∞上单增且(1)0h =，说明()()2200g x g x ⎧=⎪⎨=⎪'⎩，，中的21x =，从而解得12a = .试题解析：(Ⅰ) 由已知得x ＞0且()()221ka f x x x=--⋅'． 当k 是奇数时，()0f x '>，则f (x )在(0,+∞)上是增函数; 当k 是偶数时，则()(222x x a f x x xx='=-．所以当x ∈(时，()0f x '<，当x ∈)+∞时，()0f x '>．故当k 是偶数时，f (x)在(上是减函数，在)+∞上是增函数．(Ⅱ) 若2014k =，则()()2*2ln f x x a x k N=-∈．记()()222ln 2g x f x ax x ax x ax =-=--，()()22222a g x x a x ax a x x=-=-'--, 若方程f (x )=2ax 有唯一解，即g (x )=0有唯一解； 令()0g x '=,得20x ax a --=．因为0,0a x >>，所以10x =<（舍去），2x =．当()20,x x ∈时，()0g x '<，()g x 在()20,x 是单调递减函数； 当()2,x x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 在()2,x +∞上是单调递增函数．当x =x 2时, ()20g x '=，()()2min g x g x =．因为()0g x =有唯一解，所以()20g x =．则()()2200g x g x ⎧=⎪⎨=⎪'⎩，， 即22222222200x alnx ax x ax a ⎧--=⎨--=⎩，，设函数()2ln 1h x x x =+-， 因为在x >0时，h (x )是增函数，所以h (x ) = 0至多有一解． 因为h (1) = 0，所以方程(*)的解为x 2 = 1，从而解得12a =【点睛】利用导数研究含参函数的单调性，首先求出函数的导数，由于含参，所以对参数分类两种情况讨论，根据导数的正负，说明函数在相应区间上的增减；（2）本题涉及两次构造函数，一次是作差构造法，一次是根据方程组构造函数，需要掌握一些见到的构造方法，另外把方程有为一解的问题转化为函数图象与x 轴只有一个交点，化归与转化思想很重要.。
江西省南昌市2017-2018学年高三第二轮复习测试卷理科数学(七) ---精校解析Word版
2017-2018学年度南昌市高三第二轮复习测试试卷理科数学(七)一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出集合，，判断，的关系，即可得到答案.【详解】因为，.所以.故选A.【点睛】本题考查集合与集合的关系，是基础题.2.2.已知复数 (为虚数单位)，则的虚部为( )A. －1B. 0C. 1D. i【答案】C【解析】【分析】利用复数的除法运算计算即可.【详解】因为，故虚部为1.故选C.【点睛】本题考查复数的除法运算，属基础题.3.3.函数的零点所在的大致区间为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】,,且为单调递增函数，所以零点所在的大致区间为，选B.点睛：判断函数零点(方程的根)所在区间的方法(1)解方程法：当对应方程易解时，可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上．(2)定理法：利用零点存在性定理进行判断．(3)数形结合法：画出相应的函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断．4.4.已知随机变量服从正态分布即，且，若随机变量，则（）A. 0.3413B. 0.3174C. 0.1587D. 0.1586【答案】C【解析】【分析】利用正态分布的对称性，结合题意即可求得结果【详解】由题设由正态分布的对称性可得故选【点睛】本题主要考查了正态分布的性质，解题的关键是掌握正态分布的对称性，属于基础题。
5.5.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，还提出了一元二次方程的解法问题.直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”.设、分别是双曲线，的左、右焦点，是该双曲线右支上的一点，若分别是的“勾”“股”，且，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题可得，所以，又，由此可求双曲线的离心率.【详解】由双曲线的定义得，所以，即，由题意得，所以，又，所以，解得，从而离心率故选D.【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，属中档题.6.6.给出下列四个命题:①“若为的极值点，则=0”的逆命题为真命题；②“平面向量的夹角是钝角”的充分不必要条件是；③若命题p：，则；④命题“，使得”的否定是：“，均有”.其中不正确的个数是( )A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】A【解析】【分析】分别对①②③④进行真假判断，从而得到结论．【详解】“若x0为y=f(x)的极值点，则=0”的逆命题为: “若=0，则x0为y=f(x)的极值点”,为假命题,即①不正确;“平面向量的夹角是钝角”的必要不充分条件是,即②不正确;若命题p: ，则,即③不正确;特称命题的否定为全称命题,即④正确.即不正确的个数是3.故选A.【点睛】本题考查了四种命题的关系，充分必要条件，以及命题的否定，属于中档题．7.7.执行如图所示的程序框图．如果输入，则输出的（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】因为输入，，.所以第1步：，；第2步：，；第3步：，；……以此类推，第2018步：，，所以输出，故选C.【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属基础题．8.8.为庆祝中国人民解放军建军90周年，南昌市某校打算组织高一6个班级参加红色旅游活动，旅游点选取了八一南昌起义纪念馆，南昌新四军军部旧址等5个红色旅游景点．若规定每个班级必须参加且只能游览1个景点，每个景点至多有两个班级游览，则这6个班级中没有班级游览新四军军部旧址的不同游览方法数为（）A. 3600B. 1080C. 1440D. 2520【答案】C【分析】根据题意分两种情况讨论：第一种，先将个班级分成四组，分别为再分配到四个景点，第二种，将人平均分成三组，再分配到除新四军军部旧址外的四个景点的任意三个景点，分别求出每一种情况的参观方法数，由加法原理计算可得答案【详解】由于每个班级必须参加且只能游览个景点，且每个景点至多有两个班级游览，因此可以把问题看成是将个班级分配到除新四军军部旧址外的四个景点或三个景点，可以分两种情况：第一种，先将个班级分成四组，分别为再分配到四个景点，不同的参观方法数为：种第二种，将人平均分成三组，在分配到除新四军军部旧址外的四个景点的任意三个景点，不同的参观方法数为：种由上可知，不同的参观方法数共有种故选【点睛】本题主要考查了排列，组合的实际应用，注意题目中的分类讨论，由不同的情形得到不同的参观方法，继而求出结果。
江西省南昌市2017-2018学年度高三理科数学第二轮复习测试卷(精编含解析)
2017-2018学年南昌市高三第二轮复习测试试卷理科数学(八)一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.1.设为虚数单位， ( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据复数乘法法则计算得结果.【详解】选A.【点睛】首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为2.2.在实数范围内，使得不等式成立的一个充分而不必要的条件是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先解不等式，再根据解集与选项之间包含关系确定选择.【详解】因为所以为不等式成立的一个充分而不必要的条件，选D.【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．3.3.某学校老师中，型血有36人、型血有24人、型血有12人，现需要从这些老师中抽取一个容量为的样本.如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取，都不用剔除个体；如果样本容量减少一个，则在采用系统抽样时，需要在总体中剔除2个个体，则样本容量可能为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据系统抽样和分层抽样方法特点确定样本容量需满足条件，再比较选项确定结果.【详解】因为采用系统抽样和分层抽样方法抽取，都不用剔除个体；所以样本容量为的约数，因为，所以样本容量为的倍数，因此舍去B,D;因为如果样本容量减少一个，则在采用系统抽样时，需要在总体中剔除2个个体，所以样本容量为的约数加1，因此选C.【点睛】本题考查系统抽样和分层抽样方法，考查基本求解能力.4.4.已知函数,若,则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据二倍角公式化简，再代入化简,最后根据平方关系求【详解】因为，所以，平方得，选C.【点睛】本题考查二倍角公式以及同角三角函数关系，考查基本求解能力.5.5.已知，, ,则的最小值为A. B. C. D.【解析】【分析】先确定可行域，再根据目标函数表示可行域内点到定点（-1，-1）距离的平方，确定最小值的取法，并求结果.【详解】因为, ,所以，，作可行域，则可行域内点到定点A（-1，-1）距离的平方，其最小值为A到直线距离的平方：，选B.【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.6.6.已知边长为的菱形，,则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】根据向量三角形法则将用表示，再根据向量数量积定义求结果.【详解】选C.【点睛】平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.7.7.某几何体的三视图如图（虚线刻画的小正方形边长为1）所示，则这个几何体的体积为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先还原几何体，再分割成两个椎体，最后根据锥体体积公式求结果.【详解】几何体为如图多面体PABCDE，所以体积为选D.【点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．8.8.已知函数的部分图像如图所示,则的值分别是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据半个周期求，再根据最值点求【详解】因为因为，所以选C.【点睛】已知函数的图象求解析式(1).(2)由函数的周期求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.9.9.将半径为，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求圆锥的底面半径以及高，再根据相似得内切球的半径，最后根据球的体积公式求结果.【详解】设圆锥的底面半径为r,高为h,则，设内切球的半径为R，则选A.【点睛】本题考查圆锥展开图相关知识，考查基本求解能力.10.10.某地一企创电商最近两年的“双十一”当天的销售额连续增加，其中2016年的增长率为，2017年的增长率为，则该电商这两年的“双十一”当天销售额的平均增长率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据增长率的定义列方程解得结果.【详解】设该电商这两年的“双十一”当天销售额的平均增长率为x，则，选D.【点睛】本题考查增长率的概率，考查基本求解能力.11.11.两等差数列的前项和分别为且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由等差数列的前项和可设，即，进而求得，得到答案.【详解】由等差数列的前项和，依题意有，所以,所以，故选C.【点睛】本题主要考查了等差数列的前项和以及等差数列的性质的应用，其中熟记等差数列数列的前项和的形式，合理应用是解答的关键，着重考查了数学的转化思想方法的应用，属于中档试题.12.12.已知可导函数的定义域为，其导函数满足,则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题设条件，构造新哈市，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化，即可求解.【详解】由题意知，当时，，可得，设，则，所以在单调减. 不等式，即为，解得，故选B.【点睛】本题主要考查了导数在函数的单调性中的应用，以及不等式的求解问题，其中构造新函数，利用导数和函数单调性之间的关系，得出新函数的单调性是解答的关键，着重考查了转化思想方法，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.13.已知集合，，则__________.【答案】【解析】【分析】先将一元二次不等式得集合A,再求函数值域得集合B,最后根据交集定义求结果.【详解】 ,.【点睛】集合的基本运算的关注点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．14.14.某程序框图如图所示,则输出的结果是__________.【答案】【解析】【分析】执行循环求和，再根据特殊角的正切值求结果.【详解】由题意得.【点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.15.15.已知双曲线的左焦点为,若过点且倾斜角为的直线与双曲线的左支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】根据双曲线几何性质得渐近线斜率取值范围，再解出离心率取值范围.【详解】因为过点且倾斜角为的直线与双曲线的左支有且只有一个交点，所以【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.16.16.数列的通项是，其前项和记为，则_________.【答案】240【解析】【分析】先根据余弦函数值化简，再分组求和得结果.【详解】【点睛】本题采用分组转化法求和，即通过两个一组进行重新组合，将原数列转化为一个等差数列. 分组转化法求和的常见类型还有分段型（如）及符号型（如）三、解答题:本大题共6小题，共70分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.17.已知的三个内角的对边分别为且满足.（Ⅰ）求边长的值；（Ⅱ）若AD平分∠BAC交BC于点D求的面积.【答案】(1);(2) .【解析】【分析】（1）先根据余弦定理得，与联立解得的值，（2）先求出b,c，再根据角平分线定理得,解得，由余弦定理得，解得，最后根据三角形面积公式求结果.【详解】（Ⅰ），又，消得，得（Ⅱ）由（Ⅰ），,得,即,,所以.【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.18.18.国庆期间，一位游客来到某旅游城市，这里有甲、乙、丙三个著名的旅游景点，若这位游客游览这三个景点的概率分别是，且客人是否游览哪个景点互不影响，设表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.（Ⅰ）求的分布列和数学期望；（Ⅱ）记“时，不等式恒成立”为事件，求事件发生的概率.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（I）用表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值，根据客人游览的景点数的可能取值为和客人没有游览的景点数的可能取值为，写出变量的可能取值，根据相互独立事件同时发生的概率，求解每个随机变量取值对应的概率，得出分布列，求得数学期望.（Ⅱ）由不等式恒成立，有恒成立，分和讨论，即可得到答案.【详解】（I）分别记“客人游览甲景点”，“客人游览乙景点”，“客人游览丙景点”为事件由已知相互独立， ,客人游览的景点数的可能取值为. 相应地，客人没有游览的景点数的可能取值为，所以的可能取值为.所以的分布列为13P0.760.241×0.76+3×0.24=1.48.（Ⅱ）的可能取值为1，3.且时，不等式恒成立，有恒成立，即当=1时，不等式恒成立，当=3时，不等式不会恒成立.所以.【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列及数学期望的计算，同时考查了相互独立事件的概率的计算以及一元二次不等式的恒成立问题的求解，，其中试题有一定的综合性，认真审题，合理作答是解答的关键，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力.19.19.如图，已知矩形中，、分别是、上的点，，，是的中点，现沿着翻折,使平面平面.（Ⅰ）为的中点，求证：平面.（Ⅱ）求异面直线与所成角的大小.【答案】（1）见解析；（2）异面直线AD与BC的所成角为.【解析】【分析】（1）取的中点，根据线面平行判定定理得∥平面，∥平面，再根据面面平行判定定理得平面∥平面,最后得结论，（2）先根据等腰三角形性质得AP⊥DE,再根据面面垂直性质定理得⊥平面，最后根据等体积法求点到平面的距离.【详解】（Ⅰ）取的中点，连接,，易证∥,∴∥平面.∵是△的中位线，∴∥,,∴∥平面.,∴平面∥平面, ∥平面.（Ⅱ）连接AP、PB，∵AD=AE,点P为DE的中点，∴AP⊥DE,∵平面ADE⊥平面BCDE,平面平面 ,⊥平面，⊥.根据余弦定理可求得 ,同理可求得,同理可求得 , , ，三棱锥的高为 , ,设点P到平面距离为d, ,，．【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.20.20.已知椭圆中心在坐标原点，焦点在轴上，且过，直线与椭圆交于,两点（,两点不是左右顶点），若直线的斜率为时，弦的中点在直线上.（Ⅰ）求椭圆的方程.（Ⅱ）若以,两点为直径的圆过椭圆的右顶点，则直线是否经过定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由.【答案】(1)椭圆的方程为：;(2)见解析.【解析】【分析】（1）根据斜率公式以及中点坐标公式得，，再由椭圆的标准方程利用点差法得，因此可得，最后与在椭圆上联立方程组解得，（2）根据以,两点为直径的圆过椭圆的右顶点，得，设直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理代入化简得，解得或，即得定点，最后验证斜率不存在的情形也满足.【详解】（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，，由题意直线的斜率为，弦的中点在直线上，得，，再根据作差变形得，所以，又因为椭圆过得到，所以椭圆的方程为：.（Ⅱ）由题意可得椭圆右顶点，⑴当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，此时要使以,两点为直径的圆过椭圆的右顶点则有以解得或（舍）此时直线为⑵当直线的斜率存在时，设直线的方程为，则有，化简得①联立直线和椭圆方程得，，②把②代入①得即，得或此时直线过或（舍）综上所述直线过定点.【点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.21.21.已知函数，斜率为的直线过点，其中.（Ⅰ）若函数的图象恒在直线的上方（点除外），求的值；（Ⅱ）证明：.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）由题意，可设直线的方程为，令，则，分和四种情况讨论，即可得到结果.（Ⅱ）由（Ⅰ）当时，得，进而得，累加后，即可作差证明.【详解】（Ⅰ）直线的方程为，令，有，①当单调增，（不合题意）；②当令得所以在单调增，（不合题意）；③当令得，有在单调减，在单调增，所以在处取得最小值（合题意）；④当令得所以在单调减，（不合题意）；综上可得（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）当时，所以，即，累加得：.即.【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.22.22.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，，直线：（为参数，）.（Ⅰ）求直线的普通方程；（Ⅱ）在曲线上求一点，使它到直线的距离最短，并求出点的极坐标.【答案】(1)直线的普通方程为;(2) 点的极坐标为.【解析】【分析】（1）根据加减消元法得直线的普通方程，（2）由于曲线为圆，所以D为过圆心且垂直直线的直线与圆的交点（取靠近直线的点），利用解方程组可得D直角坐标，最后化为极坐标.【详解】（Ⅰ）因为直线的参数方程为（为参数，），消去得直线的普通方程为.（Ⅱ）因为曲线：是以为圆心，为半径的圆，设点，且点到直线：的距离最短，所以曲线在点处的切线与直线：平行.即直线与的斜率的乘积等于，即.因为，解得或.所以点或.由于点到直线的距离最短，所以点的极坐标为.【点睛】1.将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换法． 2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响．23.23.设函数.（Ⅰ）当，时，求的最小值；（Ⅱ）若对任意，不等式的解集为空集，求实数的取值范围.【答案】(1)的最小值为-1;(2)的取值范围为.【解析】【分析】（1）代入条件得，根据一次函数单调性求最小值，（2）先转化得.再根据绝对值三角不等式得.利用基本不等式求最值得最大值为，因此即得实数的取值范围.【详解】（Ⅰ）当时，,因为，所以的最小值为-1.综上所述，的最小值为-1.（Ⅱ）因为不等式的解集为空集，所以.因，所以.因为，当且仅当，即时等号成立.所以的取值范围为.【点睛】形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法，利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此处设a＜b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集；(2)几何法，利用|x－a|＋|x－b|＞c(c＞0)的几何意义：数轴上到点x1＝a和x2＝b的距离之和大于c的全体；(3)图象法：作出函数y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的图象，结合图象求解.。
2018年高考数学一轮总复习 专题2.1 函数及其表示练习(含解析)理
专题.1 函数及其表示真题回放1. 【2017高考天津理第1题】设函数y =A ，函数ln(1)y x =-的定义域B ，则A B =（ ）（A ）()1,2 （B ）(]1,2 （C ）()2,1- （D ）[)2,1- 【答案】D【解析】：由240x -≥得22x -≤≤，由10x ->得1x <，故AB ={}|21x x -≤≤，选D【考点解读】1.集合的运算 2.函数定义域 3.简单不等式的解法，集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再运算，常常借助数轴或韦恩图来处理2. 【2015高考湖北文第6题】函数256()lg 3x x f x x -+=-的定义域为（ ）（A ）()2,3 （B ）(]2,4 （C ）()(]2,33,4 （D ）()(]1,33,6-【答案】C【考点解读】本题考察函数的定义域，涉及根式、绝对值、对数和分式、交集等内容 3. 【2015高考福建理第14题】若函数64,2()(01)3log ,2a x x f x a a x x -+≥≥⎧=>≠⎨+<⎩且的值域是[)4+∞，，则实数的取值范围是______ 【答案】(]12，【解析】：当2x ≤，故64x -+≥，要使得函数()f x 的值域为[)4+∞，，只需()1()3l o g2a f x x x =+>的值域包含于[)4+∞，，故1a >，所以1()3log 2a f x >+，所以3log 24a +≥，解得12a <≤，所以实数的取值范围是(]12，【考点解读】本题考查分段函数的值域问题，分段函数是一个函数，其值域是各段函数值取值范围的并集，将分段函数的值域问题转化为集合之间的包含关系，是本题的两点，要注意分类讨论思想的运用 考点分析1.函数及其表示了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域 了解映射的概念在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数 2.了解简单的分段函数并能简单的应用3.函数的概念、解析式、图像、分段函数的应用为高考主要考点，重点考查数形结合、分类讨论思想及逻辑推理能力，2018年复习时应予以高度关注. 融会贯通题型一 映射与函数的概念【例1】给出四个命题：①函数是其定义域到值域的映射；②()f x =③函数2(N)y x x ∈＝的图象是一条直线；④2()x f x x=与()g x x ＝是同一个函数．其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】A知识链接1.符号:f A B →表示集合A 到集合B 的一个映射，它有以下特点： (1)对应法则有方向性, :f A B →与:f B A →不同;(2)集合A 中任何一个元素,在f 下在集合B 中都有唯一的元素与对应; (3)象不一定有原象,象集C 与B 间关系是C B ⊆.2.函数是特殊的映射,它特殊在要求集合A 和B 都是非空数集.函数三要素是指定义域、值域、对应法则.同一函数必须满足:定义域相同、对应法则相同.3.要注意()f a 与()f x 的区别与联系，()f a 表示x a =时，函数()f x 的值，它是一个常数，而()f x 是自变量的函数，对于非常数函数，它是一个变量，()f a 是()f x 的一个特殊值.4.区间是某些数集的一种重要表示形式，具有简单直观的优点.应注意理解其含义并准确使用.5.函数的表示方法有三种：解析法、图象法、列表法. 【变式训练】1.下列四组函数中，表示为同一函数的是（ ）A ．(),()f x x g x ==B ．x x f -=2)(与2)(-=x x gC ．21(),()11x f x g x x x -==+- D ．()()f x g x ==【答案】A2.已知函数()23,f x x x A =-∈的值域为{1,1,3}-，则定义域A 为 . 【答案】{1,2,3}【解析】由函数定义，令()f x 分别等于1,1,3-，求对应自变量的值，即得定义域为{1,2,3}. 解题技巧与方法总结1.判断一个对应是否为映射，关键看是否满足“集合A 中元素的任意性，集合B 中元素的唯一性”．2. 判断一个对应f ：A →B 是否为函数，一看是否为映射；二看A ，B 是否为非空数集．若是函数，则A 是定义域，而值域是B 的子集．3. 函数的三要素中，若定义域和对应关系相同，则值域一定相同．因此判断两个函数是否相同，只需判断定义域、对应关系是否分别相同． 题型二 函数的定义域问题典例1. (2017·南师大考前模拟)函数()f x =的定义域为 ▲ ．【答案】3,22⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】由题意得123log (23)0023122x x x -≥⇒<-≤⇒<≤，即定义域是3,22⎛⎤ ⎥⎝⎦【变式训练】(2017届河南南阳一中高三文月考)函数()lg(1)f x x =+的定义域为（ ）（A ）(1,0)(0,1]- （B ）(1,1]- （C ）(4,1]-- （D ）(4,0)(0,1]-【答案】A【解析】要使函数有意义，应有⎪⎩⎪⎨⎧≠+>+≥+--11,01,0432x x x x 解得01<<-x 或10≤<x ，故选A.解题技巧与方法总结已知解析式求函数定义域问题列式主要从分母不为零、偶次根式下被开方数非负、对数中真数大于零等角度出发，而解则与一元二次不等式、指对数不等式、三角不等式等联系在一起 典例2. (2016·福建福州五校联考理)已知函数(2)y f x =-定义域是[]0,4，则(1)1f x y x +=-的定义域是_________ 【答案】[)3,1-【变式训练1】已知函数()f x 的定义域为[]1,2-，求函数2(1)(1)y f x f x =+--的定义域【答案】由题意2112112x x -≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，1x ≤ 【解析】求函数()()y f x g x =+的定义域，一般先分别求函数()y f x =和函数()y g x =的定义域A 、B ，再求A B I ，即为所求函数的定义域【变式训练2】(2016~2017学年广西陆川县中学月考)已知函数12(log )y f x =的定义域为11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则函数(2)x y f =的定义域为（ ）A ．[]1,0-B ．[]0,2C ．[]1,2-D ．[]0,1 【答案】D解题技巧与方法总结（1）已知原函数()[](),f x a b f a x b << ()f x 的定义域为(),a b ，求复合函数[]()f g x 的定义域：只需解不等式()a g x b <<，不等式的解集即为所求函数的定义域；（2）已知复合函数[]()f g x 的定义域为(),a b ，求原函数()f x 的定义域：只需根据a x b <<求出函数()g x 的值域，即得原函数()f x 的定义域；（3）求函数()()y f x g x =+的定义域，一般先分别求函数()y f x =和函数()y g x =的定义域A 、B ，再求A B I ，即为所求函数的定义域典例3.已知函数()f x =R ，则实数的取值范围是（ ）（A ）120a -<≤ （B ）120a -<< （C ）13a > （D ）13a ≤ 【答案】A【解析】函数()f x =R ，只需分母不为即为，所以0a =或24(3)0a a a ≠⎧⎨∆=-⨯-<⎩，可得120a -<≤ 【变式训练】已知函数4()12f x x =-+的定义域是[],a b （,a b 为整数），值域是[]0,1，则所有满足条件的整数数对(),a b 所组成的集合为_____________ 【答案】()()()()(){}2,0,2,1,2,2,1,2,0,2----题型三 函数的值域问题 命题点1 求函数的值域 典例1.函数()=x f 25243x x -+的值域是 . 【答案】 (0，5]【解析】因为2x 2-4x+3=2(x-1)2+1≥1，所以0<212-43x x +≤1，所以0<y ≤5，所以值域为(0，5].典例2 求函数253)(-+=x x x f 的值域. 【答案】{}|3y y ≠【变式训练1】(2016·江苏省扬州市期末统考)函数221xx y =+()0x ≥的值域为 ． 【答案】1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】函数221111212121x x x x x y +-===-+++110,21,212,0212x x x x ≥∴≥∴+≥∴<≤+Q 1111221x ∴≤-<+【变式训练2】(2016-2017学年黑龙江哈师大附中)函数()f x 的值域为 ． 【答案】[)1,1-解题技巧与方法总结分离常数法求值域步骤：第一步 观察函数()f x 类型，型如()ax bf x cx d +=+； 第二步 对函数()f x 变形成()a ef x c cx d=++形式；第三步 求出函数ey cx d=+在()f x 定义域范围内的值域，进而求函数()f x 的值域.典例3 求函数y x =+. 【答案】(,1]-∞【解析】令210,2t t x -=≥=，原函数化为()211022y t t t =-++≥，其开口向下，并且对称轴是1t =，故当1t =时取得最大值为，没有最小值，故值域为(,1]-∞. 解题技巧与方法总结换元法求值域：第一步 观察函数解析式的形式，函数变量较多且相互关联；第二步 另新元代换整体，得一新函数，求出新函数的值域即为原函数的值域. 典例4 (2016人教A 版双基双测)函数21xy x =+的值域为__________ 【答案】11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】法一：当0x =时，0y =当0x >时，21112,x x y x x +==+≥=当且仅当1x x =即1x =时取“=”，所以102y <≤当0x <时，211112,x x x y x x x +⎛⎫⎫==+=----=- ⎪⎪⎝⎭⎭当且仅当1x x -=-即1x =-时取“=”，所以102y -≤<综上1122y -≤≤法二：21x y x =+，所以20yx x y -+=有解当0y =时方程有解；当0y ≠时，由0≥V 可得2140y -≥，∴1122y -≤≤且0y ≠综上可知1122y -≤≤ 【变式训练1】已知52x ≥，求函数245()24x x f x x -+=- 的最小值.【答案】最小值为1【变式训练2】 若函数()y f x =的值域为1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则函数()()()1F x f x f x =+的值域是（ ）A ．1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．510,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【变式训练3】(2016届浙江省杭州市学军中学高三5月模拟，理16)已知实数,a b R ∈,若223a ab b -+=, 则()22211ab a b +++的值域为 ．【答案】160,7⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：222233233a ab b a b ab ab ab -+=⇒+=+≥⇒-≤≤()()2222211(3)9614ab ab t t a b ab t t++-===+-+++，其中4[1,7]t ab =+∈，所以9660t t +-≥=，当且仅当3t =时取等号，又当7t =时96t t +-取最大值167， 故值域为160,7⎡⎤⎢⎥⎣⎦考点：函数值域典例5求函数3274222++-+=x x x x y 的值域.【答案】9,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】 2223(1)20x x x ++=++>Q ，所以函数的定义域为R原函数可以化为2223247x y xy y x x ++=+-，整理得：()222(2)370y x y x y -+-++=当2y ≠时，上式可以看成关于的二次方程，该方程的范围应该满足解题技巧与方法总结判别式法求函数值域：观察函数解析式的形式，型如22dx ex fy ax bx c++=++的函数，将函数式化成关于的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数y 的取值范围，即得函数的值域. 【精要点评】配方法、分离常数法和换元法是求常见函数值域的有效方法，但要注意各种方法所适用的函数形式，还要注意函数定义域的限制.换元法多用于无理函数，换元的目的是进行化归，把无理式转化为有理式来解；二次分式型函数求值域，多采用分离出整式利用基本不等式法求解. 命题点2 已知函数定义域(值域)求参数的取值范围典例1 (2016-2017学年河北卓越联盟高一上学期月考三数学试卷)若函数244y x x =--的定义域为[]0,m ，值域为[]8,4--，则m 的取值范围是（ ）A ．()2,4B ．[)2,4 C ．(]2,4 D ．[]2,4【答案】D【解析】二次函数对称轴为2x =，当2x =时取得最小值8-，当0x =时函数值为4-，由对称性可知4x =时函数值为4-，所以m 的取值范围是[]2,4【变式训练】(2014届陕西省考前保温训练)函数2()46f x x x =--的定义域为[0]m ，，值域为[10,6]﹣﹣，则m 的取值范围是（ ）A ．0，4]B ．2，4]C ．2，6]D ．4，6]【答案】B典例2(江苏省南京师范大学附属中学2015-2016学年期中)已知函数()f x =的定义域是一切实数，则m 的取值范围是__________． 【答案】[]04，【解析】当0m =时，显然函数有意义，当0m ≠，则210mx mx ++≥对一切实数恒成立，所以0{m >∆≤，得04m <≤，综合得04m ≤≤点睛：本题在解题时尤其要注意对0m =时的这种情况的检验，然后根据二次函数大于等于零恒成立，只需开口向上0∆≤即可.【变式训练】(2015-2016浙江湖州中学高二期中，理14)已知函数2()lg(1)f x mx mx =++，若此函数的定义域为R ，则实数m 的取值范围是 ；若此函数的值域为R ，则实数m 的取值范围是 ．【答案】04m ≤< 4m ≥考点：对数函数定义域、值域.典例3 (2015-2016学年广西南宁八中高一上期末)若函数21242y x x =-+的定义域、值域都是闭区间[2]2b ，，则的取值为 ． 【答案】2；【解析】联系二次函数图象特点，注意函数在闭区间[2]2b ，是单调增函数． 解：函数21242y x x =-+的图象是开口向上的抛物线，对称轴是2x =，∴函数在闭区间[2]2b ，上是单调增函数， 函数的定义域、值域都是闭区间[2]2b ， ∴2x b =时，函数有最大值2b ， ∴21422422b b b ⨯⨯+=﹣，∴1b =（舍去） 或2b =， ∴的取值为 2．考点：函数的值域；函数的定义域及其求法．【变式训练】(2017届江苏如东高级中学等四校高三12月联考)已知函数()224f x x x =-+定义域为[],a b ，其中a b <，值域[]3,3a b ，则满足条件的数组(),a b 为__________． 【答案】()1,4题型四 求函数的解析式典例1 (江西新余四中2016~2017月考)已知2(1)2f x x x +=-，求函数()f x 的解析式 【答案】2()43f x x x =-+【解析】令1x t +=，则1x t =-，求得()f t 的表达式，从而求得()f x 的解析式 考点：换元法求函数解析式【变式训练】(天津南大附中高一同步练习)已知，则的表达式是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】A【解析】令1x t -=，得1x t =+ 因为2(1)45f x x x -=+-所以22()(1)4(1)56f t t t t t =+++-=+ 由此可得2()6f x x x =+典例2 (辽宁省阜新市2016~2017第一次月考)已知2(1)27f x x x -=-+，求()f x 的解析式【答案】2()6f x x =+【解析】由题意得2227(1)6x x x -+=-+，所以2(1)(1)6f x x -=-+，即2()6f t t =+ 【变式训练】(甘肃省武威第六中学2016~2017第一次月考)若函数()f x 满足(32)9+8f x x +=，则()f x 的解析式是（ ）（A ）()9+8f x x = （B ）()3+2f x x = （C ）()34f x x =-- （D ）()3234f x x x =+--或【答案】B【解析】由题意得(32)983(32)2f x x x +=+=++，所以()32f t t =+，即()32f x x =+ 考点：配凑法求函数解析式典例 3 (河南南阳一中2016级第一次月考)已知函数()y f x =满足1()2()3f x f x x=+，则()f x 的解析式为___________【答案】2()(0)f x x x x=--≠考点：解方程组法求函数解析式【变式训练】定义在(-1,1)内的函数()f x 满足()(-)()21f x f x lg x -＝＋，求函数()f x 的解析式． 【答案】21()lg(1)+lg(1-),(-11)33f x x x x =+∈, 【解析】当(-11)x ∈,时，有()(-)()21f x f x lg x -＝＋①以x -代，得2(-)()lg(1)f x f x x -=-+②由①②消去f (－x )，得21()lg(1)+lg(1-),(-11)33f x x x x =+∈,典例4 (山东蒙阴一中2016级高一开学考)已知函数()f x 是一次函数，若(())48f f x x =+，求()f x 的解析式【答案】8()2()283f x x f x x =+=--或【分析】设一次函数()(0)f x ax b a =+≠，利用(())48f f x x =+，得出关于,a b 的关系式，即可求解,a b 的值，得出函数的解析式考点：待定系数法求函数解析式 【变式训练】已知[]{}()2713ff f x x =+，且()f x 是一次式，求()f x 的解析式【答案】()31f x x =+【分析】由题意可得，设()(0)f x kx b k =+≠ []2()()f f x k kx b b k x kb b ∴=++=++[]{}232()()2713ff f x k kx kb b b k x k b kb b x ∴=+++=+++=+32273113k k b k b kb b ⎧==⎧⎪∴⎨⎨=++=⎪⎩⎩ ∴()31f x x =+ 解题技巧与方法总结1.已知函数类型，用待定系数法求解析式．2.已知函数图象，用待定系数法求解析式，如果图象是分段的，要用分段函数表示．3.已知()f x 求[()]f g x ，或已知[()]f g x 求()f x ，用代入法、换元法或配凑法．4.若()f x 与1()f x或()f x -满足某个等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解． 5.应用题求解析式可用待定系数法求解．6.求函数解析式一定要注意函数的定义域，否则极易出错． 题型三 分段函数典例1.【河北枣强中学2016~2017第一次月考】已知21,1()23,1x x f x x x ⎧+<=⎨-+≥⎩，则((2))f f =（ ） (A) -7 (B) 2 (C) -1 (D) 5 【答案】B【解析】由题意得2((2))(1)(1)12f f f =-=-+= 考点：函数值的求解【变式训练】(山东鄄城一中2016~2017调研)设[]3,10()(5),10x x f x f f x x -≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，则(6)f 的值为_______ 【答案】7【分析】[](6)(65)((11))(8)f f f f f f =+==由(8)((85))(133)=(10)7f f f f f =+=-=典例2．(2015高考数学（理）一轮配套特训：2-1函数的概念、定义域和值域)设函数()f x ＝246,06,0x x x x x ⎧-+≥⎨+<⎩，则不等式()()1f x f >的解集是( ) A ．(),1,)3(3-∞U ＋ B ．()3,1,()2∞U －＋ C ．()1,1,()3∞U －＋ D ．(),3()1,3∞U －－ 【答案】A典例3.【2014上海,理18】⎪⎩⎪⎨⎧>++≤-=,0,1,0,)()(2x a x x x a x x f 若)0(f 是)(x f 的最小值，则的取值范围为（ ）.(A)-1,2] (B)-1，0] (C)1，2] (D) [0,2] 【答案】D【考点】分段函数的单调性与最值问题．典例4.【2014高考重庆理第16题】若不等式2212122++≥++-a a x x 对任意实数恒成立，则实数的取值范围是____________. 【答案】11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】令()()312121|2|3221312x x f x x x x x x x ⎧⎪--≤-⎪⎪⎛⎫=-++=--<≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫+>⎪ ⎪⎝⎭⎩，其图象如下所示（图中的实线部分）考点：1、分段函数；2、等价转换的思想；3、数形结合的思想. 典例 5.(安徽省六安市2016~2017第一中学)设函数31,1()2,1xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩，则满足()(())2f a f f a =的的取值范围是_________【答案】23a ≥解题技巧与方法总结1.因为分段函数在其定义域内的不同子集上其对应法则不同，而分别用不同的式子来表示，因此在求函数值时，一定要注意自变量的值所在子集，再代入相应的解析式求值．2.“分段求解”是处理分段函数问题解的基本原则． 知识交汇1.（北京第四中学2016~2017期中）已知函数()log ()xa f x a ka =-，其中01,a k R <<∈（1） 若1k =，求函数()f x 的定义域 （2） 若12a =，且()f x 在[)1,+∞内总有意义，求的取值范围 【答案】（1）{}|1x x >（2）1k <【交汇技巧】将定义域问题与对数函数的性质进行结合，需要注意对数函数的单调性及真数大于0；本题求参数取值范围采用参数分离，参数分离法求取值范围的原则为分离后不等式另一边函数的单调性、最值、值域等易求2. (江苏连云港房山中学月考)已知函数2()25(1)f x x ax a =-+> （1） 若函数()f x 的定义域和值域均是[]1,a ，求实数的值（2） 若对任意的[]12,1,1x x a ∈+，总有12()()4f x f x -≤，求实数的取值范围 【答案】（1）=2 （2）13a <≤【解析】（1）Q 22()()5(1)f x x a a a =-+->∴()f x 在[]1,a 上是减函数，又定义域和值域均为[]1,a ∴(1),()1f a f a == 解得=2（2）若2a ≥，又[]1,1x a a =∈+，且(1)1a a a +-≤-∴2max min (1)62,()5f f a f f a a ==-==-∴对任意的[]12,1,1x x a ∈+，总有12()()4f x f x -≤∴max min 4f f -≤即2(62)(5)4a a ---≤，解得13a -≤≤∴23a ≤≤若12a <<，22max min (1)6,()5f f a a f f a a =+=-==-max min 4f f -≤显然成立综上13a <≤练习检测1.下列对应法则f 为A 上的函数的个数是( )①2Z N A B f x y x →＋＝，＝，：＝；②Z A B Z f x y →＝，＝，：； ③{}[11]00A B f x y →＝－，，＝，：＝ A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】B2.集合{}22M x x =-≤≤，{}02N y y =≤≤，给出下列四个图形，其中能表示以M 为定义域，N 为值域的函数关系的是（ ）．【答案】B【解析】选项A 中定义域为[]2,0-，选项C 的图像不是函数图像，选项D 中的值域不对，选B.3. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·2x，x ≥02－x，x ＜0(a ∈R )，若ff (－1)]＝1，则a ＝( )A.14B.12 C ．1 D ．2 【答案】A【解析】因为－1＜0，所以f (－1)＝2－(－1)＝2，又2＞0，所以ff (－1)]＝f (2)＝a ·22＝1，解得a ＝14。
江西省抚州市南城一中2017-2018学年高三摸底考试 理科数学 试卷Word版含答案
第3题江西省抚州市南城一中2017-2018学年高三摸底考试理科数学试卷注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2. 回答第Ⅰ卷时．选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)已知集合{}220,A xx x x =∣--≤∈R ，{}lg(1)1,B x x x =∣+<∈Z ，则A B =I A.(0,2) B.[]0,2 C.{}0,2 D.{}0,1,2(2)已知复数1z =，则22z z =- A.2 B.2- C.2i D.2i -(3)执行右面的程序框图()N *∈N ，那么输出的p 是A.33A N N ++B.22A N N ++C.11A N N ++D.A NN(4)离心率为2的双曲线E 的一个焦点到一条渐近线的距离为1， 则E 的标准方程可以是 A.2231x y -= B.2213xy -= C.2231x y -= D.2213y x -= (5)已知数列{}n a 满足：12a =，且对任意,n m *∈N ，都有m n m n a a a +=⋅，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则42S S = A.2 B.3 C.4 D.5(6)设点(,)x y 在平面区域E 内，记事件A “对任意(,)x y E ∈，有21x y -≥”，则 满足事件A 发生的概率()1P A =的平面区域E 可以是第13题图F D第11题图（2）′图（1）左视图主视图4A.20x x y ≤⎧⎨+≥⎩ B.20x x y ≥⎧⎨+≤⎩ C.20x x y ≥⎧⎨-≤⎩ D.2x x y ≤⎧⎨-≥(7)已知函数()y f x =的图像为如图所示的折线ABC ， 则11[(1)()]d x f x x -+=⎰A.2B.2-C.1D.1-(8)甲、乙、丙3名教师安排在10月1日至5日的5天中值班，要求每人值班一天且每天至 多安排一人，其中甲不在10月1日值班且丙不在10月5日值班，则不同的安排方法有 A.36 B.39 C.42 D.45(9)在三棱锥P ABC -中，底面ABC 是等腰三角形，120BAC ∠=o，2BC =，PA⊥平面ABC ，若三棱锥P ABC -的外接球的表面积为8π，则该三棱锥的体积为A.9B.9C.3D.9(10)已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线与C 交于A 、B 两点， 与l 交于点P ，若3AF FB =，则PF = A.7 B.7.5 C.8 D.8.5 (11)某几何体的主视图和左视图如图（1），它的俯视图的 直观图是矩形1111O A B C 如图（2），其中116O A =，112O C =，则该几何体的侧面积为A.48B.64C.96D.128(12)对于函数(),()f x g x 满足：对任意x ∈R ，都有2(23)()f x x g x -+=，若关于x 的方程()sin02g x x π+=只有5个根，则这5个根之和为 A.5 B.6 C.8 D.9第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～第24题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题:本大题共4小题，每小题5分。
江西省南昌市2017-2018学年高三第二轮复习测试卷文科数学(七)
2017-2018学年度南昌市高三第二轮复习测试试卷文科数学(七)一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.）B. C.【答案】A【解析】【分析】，判断.故选A.【点睛】本题考查集合与集合的关系，是基础题.2.为虚数单位)( )A. －1B. 0C. 1D. i【答案】C【解析】【分析】利用复数的除法运算计算即可.1.故选C.【点睛】本题考查复数的除法运算，属基础题.3.( )B. C.【答案】B【解析】【分析】.，所以函数的零点所在的大致区间为故选B.【点睛】本题考查零点存在性定理的应用，属基础题.4.如图，边长为2的正方形中有一阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域则阴影区域的面积约为 ( )无法计算【答案】C【解析】【分析】求出正方形的面积，利用几何概型可求阴影区域的面积.，所以故选C.【点睛】本题考查几何概型的应用，属基础题.5.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，还提出了一元二次方程的解法问题.直角三角形的三条边长分别称的“勾”“股”，且线的离心率为（）C. D.【答案】D【解析】【分析】的离心率.，所以故选D.【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，属中档题.6.给出下列四个命题:的夹角是钝角”的充分不必要条件是③若命题p，使得，均有其中不正确的个数是( )A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】A【解析】【分析】分别对①②③④进行真假判断，从而得到结论．【详解】“若x0为y=f(x)，则x0为y=f(x)的极值点”,为假命题,即①不正确;即②不正确;若命题p即③不正确;特称命题的否定为全称命题,即④正确.即不正确的个数是3.故选A.【点睛】本题考查了四种命题的关系，充分必要条件，以及命题的否定，属于中档题．7.，则输出的）D.【答案】C【解析】【分析】运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．所以第1第2第3……以此类推，第2018，所以输出，故选C.【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属基础题．8.的焦点为）D.【答案】C【解析】【分析】画出图形，4为边长的正三角形，由此计算三角形的面积．【详解】由抛物线定义知，4为边长的正三角形，其面积为故选C.【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，抛物线的简单性质的应用，三角形的面积计算，属于中档题．9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）D.【答案】A【解析】【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是该几何体是如图所示的三棱【详解】由三视图可得，该几何体是如图所示的三棱故选A.【点睛】】本题考查的知识点是由三视图求几何体体积，考查空间想象能力，属于中档题．10.则正数（）【答案】B【解析】【分析】函数的单调性能求出正数的最大值．在区间上单调递增知，所以.所以正数，故选B.【点睛】本题考查三角函数中参数值的最大正值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二倍角的正弦公式、正弦函数单调性的合理运用．11.如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，不一定正确．．．．．的是（）A. AC⊥BDB. AC∥截面PQMNC. AC = BDD. 异面直线PM与BD【答案】C【解析】依题意得MN∥PQ，MN∥平面ABC，又MN、AC⊂平面ACD，且MN与AC无公共点，因此有MN∥AC，AC∥平面MNPQ.同理，BD∥PN.又截面MNPQ是正方形，因此有AC⊥BD，直线PM与BD所成的角是45°.综上所述，其中错误的是C，故选C．考点：线面平行的判定、异面直线所成的角.视频12.下表中的数表为“森德拉姆筛”（森德拉姆，东印度学者），其特点是每行每列都成等差数列．在上表中，2017出现的次数为（）【解析】【分析】第1（2为首项，公差为1j的等差数列，求出通项公式，就求出结果．【详解】列的数为那么每一组的解就对应表中的一个数.因为第1行的数组（是以2为首项，公差为1的等差数列，据此易知，2017出现的次数故选B.【点睛】本题考查了行列模型的等差数列应用，解题时利用首项和公差写出等差数列的通项公式，运用通项公式求值，是中档题．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.13.．【解析】【分析】直接利用向量的线性运算求出结果．∴B，C，D三点共线.∴化为：−即答案为-3.【点睛】本题考查的知识要点：向量的线性运算及相关的恒等变换问题．14.若等比数列的各项均为正数，前4项的和为44项倒数之和为_________．【分析】，则，，所以即答案为3.【点睛】本题考查等比数列的求和公式和通项公式，整体求解是解决问题的关键，属中档题．15.（”，_________．【解析】【分析】.【详解】所围成的区域内，由于原点到直线【点睛】本题考查了线性规划的基本应用问题，利用目标函数的几何意义是解题的关键，是中档题．16.【解析】【分析】】在最小值，而【点睛】本题考查了导数的综合应用及基本不等式的应用，同时考查了方程的根与函数的零点的关系应用，属于中档题．三．解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（1（2的大小为.【答案】（1（2）3【解析】【分析】（1）因为，.【详解】（1）因为（2，，得，所以当即时，.【点睛】本题考查三角函数的化简求值，向量的数量积、余弦定理、正弦定理的应用，考查计算能力．属中档题.18.如图，中，，，，. 且（Ⅱ）2，是线段的体积.【答案】（1）见解析（2【解析】【分析】2，积.【详解】，又因为，所以2，即四面体的体积为.【点睛】本题考查面面垂直的证明以及锥体体积的实际，属中档题.19..对近六年的年宣传费经电脑模拟，（万元）（吨）对上述数据作了初步处理，得到相关的值如下表：（Ⅱ）的关系为若想在2018年达到年利润最大，请预测2018年的宣传费用是多少万元？【答案】（1）（2）当2018年的宣传费用为98万元时，年利润有最大值.【解析】【分析】的预报值为2018年的宣传费用.【详解】两边取对数得，即时，有最大值.故当2018年的宣传费用为98万元时，年利润有最大值.【点睛】本题考查回归方程的求法，二次函数的最值，属于基础题.20.如图，已知圆两点，求【答案】（12【解析】【分析】，由题动圆内切，与圆两条切线相交于可得经过的方程是.【详解】的半径为内切，与圆所以动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为.，切点；则经过，又两条切线，所以经过两点的直线时，有，，整理得综上所述，当时，有最小值．【点睛】本题考查点的轨迹的求法，考查直线与圆、椭圆的位置关系，属中档题.21.已知函数.【答案】（1），时，时，上单调递减.（2）见解析【解析】【分析】（1数的单调区间即可．.【详解】（Ⅰ）（），恒成立，所以，时，令时，，.综上所述，时，时，上单调递减.，所以（当且仅当，恒成立，只要证明，单调递减，当...，可知在上单调递增，又由，即*），*，即，所以有.【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及利用导数方不等，考查分类讨论思想的应用．属难题.22.后得到曲线点，轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，建立极坐标系，直线（1）求曲线（2的距离的最大值．【答案】（1（2【解析】【分析】（Ⅰ）过伸缩变换，可得曲的方程，由极坐标方程可得直线的直角坐标方程．（Ⅱ）因为椭圆的参数方程为到直线的距离为.【详解】，可得曲线可得直线的直角坐标方程为（Ⅱ）因为椭圆的参数方程为时，点到直线的距离有最大值【点睛】本题考查的知识点是简单的极坐标方程，直线与圆锥曲线的关系，难度中档．23.已知函数，其中【答案】（12）见解析【解析】【分析】（Ⅱ）当x∈R时，2，）的最小值，【详解】（Ⅰ）由题意，（1无解；（2）时，，解得（3）的解集为当且仅当时，等号成立，即，因此，当【点睛】本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值三角不等式的应用，比较2个数大小的方法，属于中档题．。
高考数学一轮复习 专题18 任意角、弧度制及任意角的三角函数(含解析)-人教版高三全册数学试题
专题18任意角、弧度制及任意角的三角函数最新考纲1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.基础知识融会贯通 1．角的概念(1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S ＝{β|β＝k ·360°＋α，k ∈Z }． (3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 2．弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.(2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝π180 rad ，1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°. (3)扇形的弧长公式：l ＝|α|·r ，扇形的面积公式：S ＝12lr ＝12|α|·r 2.3．任意角的三角函数任意角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )时， 则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx(x ≠0)． 三个三角函数的性质如下表：三角函数 定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号 第四象限符号sinαR＋ ＋ － － cosR＋－－＋αtanα{α|α≠k π＋π2，k ∈Z } ＋－＋－4.三角函数线如下图，设角α的终边与单位圆交于点P ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，过A (1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T .【知识拓展】1．三角函数值的符号规律三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 2．任意角的三角函数的定义(推广)设P (x ，y )是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O 的距离为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r，tan α＝y x(x ≠0)．重点难点突破 【题型一】角及其表示【典型例题】已知集合{α|2k πα≤2k π，k ∈Z }，则角α的终边落在阴影处（包括边界）的区域是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：集合{α|2k πα≤2k π，k ∈Z }，表示第一象限的角，故选：B ． 【再练一题】直角坐标系内，β终边过点P （sin2，cos2），则终边与β重合的角可表示成（ ）A ．2+2πk ，k ∈ZB ．2+k π，k ∈ZC ．2+2k π，k ∈zD ．﹣2+2k π，k ∈Z【解答】解：∵β终边过点P （sin2，cos2），即为（cos （2），sin （2））∴终边与β重合的角可表示成2+2k π，k ∈Z ，故选：A ．思维升华 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需的角． (2)确定kα，αk(k ∈N *)的终边位置的方法先写出kα或αk 的X 围，然后根据k 的可能取值确定kα或αk的终边所在位置． 【题型二】弧度制 【典型例题】已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，试求扇形的圆心角的弧度数（）A．1B．4C．1或 4D．1或 2【解答】解：设扇形的圆心角为αrad，半径为Rcm，则，解得α＝1或α＝4．故选：C．【再练一题】将300°化成弧度得：300°＝rad．【解答】解：∵180°＝π，∴1°，则300°＝300．故答案为：．思维升华应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．【题型三】三角函数的概念及应用命题点1 三角函数定义的应用【典型例题】已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，若A（x，3）是角θ终边上一点，且，则x＝（）A．B．C．1D．﹣1【解答】解：角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，若A（x，3）是角θ终边上一点，且，则x＝﹣1，故选：D．【再练一题】已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点A（2sinα，3），则cosα＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵由题意可得：x＝2sinα，y＝3，可得：r，∴cosα，可得：cos2α，整理可得：4cos4α﹣17cos2α+4＝0，∴解得：cos2α，或（舍去），∴cosα．故选：A．命题点2 三角函数线的应用【典型例题】已知，a＝sinα，b＝cosα，c＝tanα，那么a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞a＞b【解答】解：作出三角函数对应的三角函数线如图：则AT＝tanα，MP＝sinα，OM＝cosα，则sinα＞0，AT＜OM＜0，即sinα＞cosα＞tanα，则a＞b＞c，故选：A．【再练一题】已知a ＝sin ，b ＝cos ，c ＝tan ，则（ ）A ．b ＜a ＜cB ．c ＜b ＜aC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c【解答】解：因为，所以cos sin ，tan 1，所以b ＜a ＜c ． 故选：A ．思维升华 (1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P 的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P 的坐标．(2)利用三角函数线解不等式要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性写出角的X 围．基础知识训练1．【某某省某某市第八中学2018-2019学年高一下学期期中考试】已知角θ的终边经过点()2,3-，则（ ）A ．5B ．15-C ．15D ．5-【答案】A【解析】由任意角的三角函数定义可知：3 tan2θ=-本题正确选项：A2．【某某省会宁县第一中学2018-2019学年高一下学期期中考试】函数的值域是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可知：角的终边不能落在坐标轴上，当角终边在第一象限时，当角终边在第二象限时，当角终边在第三象限时，当角终边在第四象限时，因此函数的值域为，故选：C.3．【某某省某某师X大学附属实验中学2018-2019学年高一下学期第二次月考】已知角α的终边上一点P的坐标为，则sinα的值为（）A．12B．1-2C3D．3【答案】B 【解析】解：角α的终边上一点P 的坐标为31,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 它到原点的距离为r =1，由任意角的三角函数定义知：，故选：B ．4．【某某省宁县第二中学2018-2019学年高一下学期期中考试】已知点P （sinα+cosα，tanα）在第四象限，则在[0，2π）内α的取值X 围是（ ）A ．（2π，34π）∪（54π，32π） B ．（0，4π）∪（54π，32π） C ．（2π，34π）∪（74π，2π）D ．（2π，34π）∪（π，32π）【答案】C 【解析】∵点P （sinα+cosα，tanα）在第四象限， ∴，由sinα+cosα2=（α4π+）， 得2kπ＜α4＜π+2kπ+π，k∈Z，即2kπ4π-＜α＜2kπ34π+π，k∈Z． 由tanα＜0，得kπ2π+＜α＜kπ+π，k∈Z．∴α∈（2π，34π）∪（74π，2π）．故选：C ．5．【某某省示X 高中2018-2019学年高一下学期第三次联考】若角θ是第四象限角，则32πθ+是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】C 【解析】角θ是第四象限角.，则故32πθ+是第三象限角.故选C. 6．【某某省某某市第一中学2018-2019学年高一下学期第四次月考】已知且sin 0α>，则下列不等式一定成立的是（） A ． B ． C ．D ．【答案】D 【解析】 由于且sin 0α>，故α为第二象限角，故，故D 选项一定成立，故本小题选D. 7．【某某某某市第三中学2018-2019学年高一5月月考】半径为1cm ，中心角为150°的角所对的弧长为（ ）cm ．A ．23B ．23π C ．56D ．56π 【答案】D 【解析】由题意，半径1r cm =，中心角，又由弧长公式，故选：D ．8．【某某省会宁县第一中学2018-2019学年高一下学期期中考试】与0420-终边相同的角是（ ） A ．0120- B ．0420C ．0660D ．0280【答案】C 【解析】与0420-角终边相同的角为：，当3n =时，．故选：C．9．【某某省某某师X大学附属实验中学2018-2019学年高一下学期第二次月考】下列说法正确的是（）A．钝角是第二象限角B．第二象限角比第一象限角大C．大于90︒的角是钝角D．-165︒是第二象限角【答案】A【解析】解：钝角的X围为，钝角是第二象限角，故A正确；﹣200°是第二象限角，60°是第一象限角，-200°＜60°，故B错误；由钝角的X围可知C错误；-180°＜-165°＜-90°，-165°是第三象限角，D错误．故选：A．10．直角坐标系内，角β的终边过点，则终边与角β重合的角可表示成（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为点为第四象限内的点，角β的终边过点，所以β为第四象限角，所以终边与角β重合的角也是第四象限角，而，均为第三象限角，为第二象限角，所以BCD排除，故选A11．【某某省某某市启东中学2018-2019学年高二5月月考】给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在半径的大小无关； ④若，则α与β的终边相同；⑤若cos 0θ<，则θ是第二或第三象限的角． 其中正确的命题是______．（填序号） 【答案】③ 【解析】 ①43απ=-，则α为第二象限角；3πβ=，则β为第一象限角，此时αβ<，可知①错误；②当三角形的一个内角为直角时，不属于象限角，可知②错误； ③由弧度角的定义可知，其大小与扇形半径无关，可知③正确； ④若3πα=，23πβ=，此时，但,αβ终边不同，可知④错误；⑤当θπ=时，，此时θ不属于象限角，可知⑤错误．本题正确结果：③12．【某某省会宁县第一中学2018-2019学年高一下学期期中考试】与02018-角终边相同的最小正角是______ 【答案】0142 【解析】 解：，即与02018-角终边相同的最小正角是0142， 故答案为：0142．13．【某某省某某市郏县第一高级中学2018-2019学年高一下学期第二次5月月考】从8:05到8:50，分针转了________（rad ）． 【答案】3π2- 【解析】从8:05到8:50，过了45分钟，时针走一圈是60分钟，故分针是顺时针旋转，应为负角， 故分针转了32π-. 14．【2017届某某省某某市石室中学高三二诊模拟考试】已知角3πα+的始边是x 轴非负半轴．其终边经过点34(,)55P --，则sin α的值为__________．【答案】43310-+ 【解析】解：∵点P （1，2）在角α的终边上，∴tan α2=， 将原式分子分母除以cos α，则原式故答案为：5．16．【某某省涟水中学2018-2019学年高二5月月考】欧拉公式（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，3i e -表示的复数在复平面中位于第_______象限. 【答案】三 【解析】由题e -3i＝cos3-i sin3，又cos3<0, sin3>0,故3i e -表示的复数在复平面中位于第三象限. 故答案为三17．【某某省会宁县第一中学2018-2019学年高一下学期期中考试】（1）已知扇形的周长为8，面积是4，求扇形的圆心角．（2）已知扇形的周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形的面积最大？ 【答案】（1）2；（2）当半径为10圆心角为2时，扇形的面积最大，最大值为100． 【解析】（1）设扇形的圆心角大小为α()rad ，半径为r ，则由题意可得：．联立解得：扇形的圆心角2α=． （2）设扇形的半径和弧长分别为r 和l , 由题意可得240r l +=， ∴扇形的面积．当10r =时S 取最大值，此时20l =， 此时圆心角为2l rα，∴当半径为10圆心角为2时，扇形的面积最大，最大值为100．18．【某某市徐汇区2019届高三上学期期末学习能力诊断】我国的“洋垃极禁止入境”政策已实施一年多某沿海地区的海岸线为一段圆弧AB ，对应的圆心角，该地区为打击洋垃圾走私，在海岸线外侧20海里内的海域ABCD 对不明船只进行识别查证如图：其中海域与陆地近似看作在同一平面内在圆弧的两端点A ，B 分别建有监测站，A 与B 之间的直线距离为100海里．求海域ABCD 的面积；现海上P 点处有一艘不明船只，在A 点测得其距A 点40海里，在B 点测得其距B 点海里判断这艘不明船只是否进入了海域ABCD ？请说明理由． 【答案】（1）平方海里； （2）这艘不明船只没进入了海域ABCD ．.【解析】，在海岸线外侧20海里内的海域ABCD，，，平方海里，由题意建立平面直角坐标系，如图所示；由题意知，点P在圆B上，即，点P也在圆A上，即；由组成方程组，解得；又区域ABCD内的点满足，由，不在区域ABCD内，由，也不在区域ABCD内；即这艘不明船只没进入了海域ABCD．19．已知角β的终边在直线x－y＝0上.①写出角β的集合S；②写出S中适合不等式－360°≤β<720°的元素.【答案】①{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}；②－120°，240°，600°.【解析】①如图，直线x－y＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°X围内，终边落在射线OA上的角是60°，终边落在射线OB上的角是240°，所以以射线OA、OB为终边的角的集合为：S1＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S2＝{β|β＝240°＋k·360°，k∈Z}，所以，角β的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}.②由于－360°≤β<720°，即－360°≤60°＋n·180°<720°，n∈Z，解得，n∈Z，所以n可取－2、－1、0、1、2、3.所以S中适合不等式－360°≤β<720°的元素为：60°－2×180°＝－300°；60°－1×180°＝－120°；60°－0×180°＝60°；60°＋1×180°＝240°；60°＋2×180°＝420；60°＋3×180°＝600°.20．已知，如图所示.(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合.(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.【答案】(1) 终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k ·360°，k ∈Z}；(2) {α|－30°＋k ·360°≤α≤135°＋k ·360°，k ∈Z}. 【解析】(1)终边落在OA 位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k ·360°，k ∈Z}＝{α|α＝135°＋k ·360°，k ∈Z}；终边落在OB 位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k ·360°，k ∈Z}.(2)由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的角及终边与它们相同的角组成的集合，故该区域可表示为{α|－30°＋k ·360°≤α≤135°＋k ·360°，k ∈Z}.能力提升训练1．【某某省某某市2019届高三模拟考试】如图，点为单位圆上一点，，点沿单位圆逆时针方向旋转角到点，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】∵点A 为单位圆上一点，，点A 沿单位圆逆时针方向旋转角α到点，∴A （cos ，sin ），即A （），且cos （α），sin （α）．则sinα＝sin[（α）]＝sin （α）cos cos （α）sin，故选：D ．2．【某某省某某实验中学2018-2019学年高一下学期期中考试】在ABC ∆中，若，那么ABC∆是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定【答案】A【解析】∆中，，∵在ABC∴，∴,A B为锐角．又，∴，∴，∴C为锐角，∆为锐角三角形．∴ABC故选A．3．【某某省某某市2018-2019学年高一下学期期中考试】已知，那么角是（）A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角D．第一或第四象限角【答案】B【解析】由，得异号，则角是第二或第三象限角，故选:.【某某省某某市2018-2019学年高一下学期期中考试】已知角α的终边经过点P（-3，y），且y＜0，cosα=-，4．则tanα=（）A．B．C．D．【答案】C 【解析】由题意，角的终边经过点，且，则，∴，所以，故选：C ．5．【某某省某某市2019届高三下学期第三次统考】已知角83πθ=的终边经过点(,23)P x ，则x 的值为（ ） A ．±2 B ．2C ．﹣2D ．﹣4【答案】C 【解析】 ∵已知角83πθ=的终边经过点(,23)P x ，∴23x，则2x =-，故选：C ．6．【某某省某某市第三中学2019届高三上学期期中考试】，则3f π⎛⎫=⎪⎝⎭（ ） A ．32B ．33C ．12D ．3【答案】C 【解析】根据题意，，且123π<<，则.故选：C ．7．【某某省华文大教育联盟2019届高三第二次质量检测考试】在平面直角坐标系xOy 中，已知02απ<<，点是角α终边上一点，则α的值是___________．【答案】3π 【解析】，∵02απ<<，且点P 在第一象限， ∴α为锐角，∴α的值是3π， 故答案为：3π8．【某某省某某市第一中学2018-2019学年高一下学期开学考试】函数的定义域为______．【答案】或x k π=，k Z}∈【解析】 因为所以 2sin x 0cosx≥等价于0cosx >或0sinx =所以或x k π=，k Z ∈故答案为：或x k π=，k Z}∈．9．【某某省蓉城名校联盟2018-2019学年上期期末联考高一】在平面直角坐标系中，已知一个角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P （5，-12），则sinα+cosα的值为___． 【答案】【解析】∵一个角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P （5，-12），∴sinα=则sinα+cosα=-，故答案为：-．10．对于任意实数，事件“”的概率为_______．【答案】【解析】由于“”，故为第二象限角，故概率为.。
高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 集合的概念及运算练习 文-人教版高三全册数学试
§1．1 集合的概念及运算考纲解读考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度1．集合的含义与表示了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系;能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题Ⅰ2017课标全国Ⅰ,1;2017课标全国Ⅲ,1;2016某某,1选择题★★☆2．集合间的基本关系理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;在具体情境中,了解全集与空集的含义Ⅱ2013某某,3 选择题★★☆3．集合间的基本运算理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集;理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集;能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算Ⅱ2017课标全国Ⅱ,1;2017,1;2016课标全国Ⅰ,1;2016课标全国Ⅱ,1;2016课标全国Ⅲ,1选择题★★★分析解读1．掌握集合的表示方法,能判断元素与集合的“属于”关系、集合与集合之间的包含关系．2．深刻理解、掌握集合的元素,子、交、并、补集的概念．熟练掌握集合的交、并、补的运算和性质．能用韦恩(Venn)图表示集合的关系及运算．3．本部分内容在高考试题中多以选择题或填空题的形式出现,以函数、不等式等知识为载体,以集合语言和符号语言表示为表现形式,考查数学思想方法．4．本节内容在高考中分值约为5分,属中低档题．命题探究五年高考考点一集合的含义与表示1．(2017课标全国Ⅲ,1,5分)已知集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},则A∩B中元素的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4答案B2．(2016某某,1,5分)已知集合A={1,2,3},B={y|y=2x-1,x∈A},则A∩B=（）A．{1,3} B．{1,2} C．{2,3} D．{1,2,3}答案A3．(2015课标Ⅰ,1,5分)已知集合A={x|x=3n+2,n∈N},B={6,8,10,12,14},则集合A∩B中元素的个数为（）A．5 B．4 C．3 D．2答案DA．⌀B．{2} C．{0} D．{-2}答案B5．(2013某某,2,5分)若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}中只有一个元素,则a=（）A．4 B．2C．0 D．0或4答案A教师用书专用(6—8)6．(2015某某,10,5分)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},定义集合A ⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},则A⊕B中元素的个数为（）A．77 B．49 C．45 D．30答案C7．(2014某某,1,5分)已知集合A={x|(x+1)(x-2)≤0},集合B为整数集,则A∩B=（）A．{-1,0} B．{0,1}C．{-2,-1,0,1} D．{-1,0,1,2}答案D8．(2013课标全国Ⅰ,1,5分)已知集合A={1,2,3,4},B={x|x=n2,n∈A},则A∩B=（）A．{1,4} B．{2,3} C．{9,16} D．{1,2}答案A考点二集合间的基本关系(2013某某,3,5分)若集合A={1,2,3},B={1,3,4},则A∩B的子集个数为（）A．2 B．3 C．4 D．16答案C考点三集合间的基本运算1．(2017课标全国Ⅱ,1,5分)设集合A={1,2,3},B={2,3,4},则A∪B=（）A．{1,2,3,4} B．{1,2,3} C．{2,3,4} D．{1,3,4}答案A2．(2017,1,5分)已知全集U=R,集合A={x|x<-2或x>2},则∁U A=（）A．(-2,2) B．(-∞,-2)∪(2,+∞)C．[-2,2] D．(-∞,-2]∪[2,+∞)答案CA．{2} B．{1,2,4}C．{1,2,4,6} D．{1,2,3,4,6}答案B4．(2017某某,1,5分)设集合M={x||x-1|<1},N={x|x<2},则M∩N=（）A．(-1,1) B．(-1,2) C．(0,2) D．(1,2)答案C5．(2016课标全国Ⅰ,1,5分)设集合A={1,3,5,7},B={x|2≤x≤5},则A∩B=（）A．{1,3} B．{3,5} C．{5,7} D．{1,7}答案B6．(2016课标全国Ⅱ,1,5分)已知集合A={1,2,3},B={x|x2<9},则A∩B=（）A．{-2,-1,0,1,2,3} B．{-2,-1,0,1,2}C．{1,2,3} D．{1,2}答案D7．(2016课标全国Ⅲ,1,5分)设集合A={0,2,4,6,8,10},B={4,8},则∁A B=（）A．{4,8} B．{0,2,6}C．{0,2,6,10} D．{0,2,4,6,8,10}答案C8．(2016,1,5分)已知集合A={x|2<x<4},B={x|x<3或x>5},则A∩B=（）A．{x|2<x<5} B．{x|x<4或x>5}C．{x|2<x<3} D．{x|x<2或x>5}答案C9．(2016某某,1,5分)设集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},B={3,4,5},则∁U(A∪B)=（）A．{2,6} B．{3,6}C．{1,3,4,5} D．{1,2,4,6}答案A10．(2016某某,2,5分)设集合A={x|1≤x≤5},Z为整数集,则集合A∩Z中元素的个数是（）A．6 B．5 C．4 D．3答案B11．(2015课标Ⅱ,1,5分)已知集合A={x|-1<x<2},B={x|0<x<3},则A∪B=（）A．(-1,3) B．(-1,0) C．(0,2) D．(2,3)答案A12．(2015某某,1,5分)已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={2,3,5},集合B={1,3,4,6},则集合A∩∁U B=（）13．(2015某某,1,5分)已知集合A={x|2<x<4},B={x|(x-1)·(x-3)<0},则A∩B=（）A．(1,3) B．(1,4) C．(2,3) D．(2,4)答案C14．(2014某某,1,5分)已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合∁U(A∪B)=（）A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0<x<1}答案D15．(2013课标全国Ⅱ,1,5分)已知集合M={x|-3<x<1},N={-3,-2,-1,0,1},则M∩N=（）A．{-2,-1,0,1} B．{-3,-2,-1,0}C．{-2,-1,0} D．{-3,-2,-1}答案C16．(2017某某,1,5分)已知集合A={1,2},B={a,a2+3}．若A∩B={1},则实数a的值为____．答案1教师用书专用(17—40)17．(2016某某,1,5分)已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合P={1,3,5},Q={1,2,4},则(∁U P)∪Q=（）A．{1} B．{3,5}C．{1,2,4,6} D．{1,2,3,4,5}答案C18．(2015,1,5分)若集合A={x|-5<x<2},B={x|-3<x<3},则A∩B=（）A．{x|-3<x<2} B．{x|-5<x<2}C．{x|-3<x<3} D．{x|-5<x<3}答案A19．(2015某某,1,5分)设集合M={x|x2=x},N={x|lg x≤0},则M∪N=（）A．[0,1] B．(0,1] C．[0,1) D．(-∞,1]答案A20．(2015某某,1,5分)已知集合P={x|x2-2x≥3},Q={x|2<x<4},则P∩Q=（）A．[3,4) B．(2,3] C．(-1,2) D．(-1,3]答案A21．(2015某某,2,5分)若集合M={x|-2≤x<2},N={0,1,2},则M∩N等于（）22．(2014某某,1,5分)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},集合A={1,3,5,6},则∁U A=（）A．{1,3,5,6} B．{2,3,7}C．{2,4,7} D．{2,5,7}答案C23．(2014某某,1,5分)若集合P={x|2≤x<4},Q={x|x≥3},则P∩Q等于（）A．{x|3≤x<4}B．{x|3<x<4}C．{x|2≤x<3}D．{x|2≤x≤3}答案A24．(2014课标Ⅰ,1,5分)已知集合M={x|-1<x<3},N={x|-2<x<1},则M∩N=（）A．(-2,1) B．(-1,1) C．(1,3) D．(-2,3)答案B25．(2014某某,2,5分)设集合A={x|x2-2x<0},B={x|1≤x≤4},则A∩B=（）A．(0,2] B．(1,2) C．[1,2) D．(1,4)答案C26．(2014某某,1,5分)设集合S={x|x≥2},T={x|x≤5},则S∩T=（）A．(-∞,5]B．[2,+∞)C．(2,5) D．[2,5]答案D27．(2014大纲全国,1,5分)设集合M={1,2,4,6,8},N={1,2,3,5,6,7},则M∩N中元素的个数为（）A．2 B．3 C．5 D．7答案B28．(2014某某,1,5分)设集合M={x|x≥0,x∈R},N={x|x2<1,x∈R},则M∩N=（）A．[0,1] B．(0,1)C．(0,1] D．[0,1)答案D29．(2013,1,5分)已知集合A={-1,0,1},B={x|-1≤x<1},则A∩B=（）A．{0} B．{-1,0} C．{0,1} D．{-1,0,1}答案B30．(2013某某,1,5分)设集合S={x|x>-2},T={x|-4≤x≤1},则S∩T=（）A．[-4,+∞)B．(-2,+∞)31．(2013某某,2,5分)已知A={x|x+1>0},B={-2,-1,0,1},则(∁R A)∩B=（）A．{-2,-1} B．{-2} C．{-1,0,1} D．{0,1}答案A32．(2013某某,1,5分)设集合S={x|x2+2x=0,x∈R},T={x|x2-2x=0,x∈R},则S∩T=（）A．{0} B．{0,2} C．{-2,0} D．{-2,0,2}答案A33．(2013某某,1,5分)设集合A={1,2,3},集合B={-2,2},则A∩B=（）A．⌀B．{2}C．{-2,2} D．{-2,1,2,3}答案B34．(2013某某,1,5分)已知集合A={0,1,2,3,4},B={x||x|<2},则A∩B=（）A．{0} B．{0,1} C．{0,2} D．{0,1,2}答案B35．(2013某某,1,5分)已知集合A={x∈R||x|≤2},B={x∈R|x≤1},则A∩B=（）A．(-∞,2]B．[1,2] C．[-2,2] D．[-2,1]答案D36．(2013某某,1,5分)设全集为R,函数f(x)=的定义域为M,则∁R M为（）A．(-∞,1)B．(1,+∞)C．(-∞,1]D．[1,+∞)答案B37．(2013某某,1,5分)已知全集U={1,2,3,4},集合A={1,2},B={2,3},则∁U(A∪B)=（）A．{1,3,4} B．{3,4} C．{3} D．{4}答案D38．(2015某某,11,5分)已知集合U={1,2,3,4},A={1,3},B={1,3,4},则A∪(∁U B)=______．答案{1,2,3}39．(2014某某,11,5分)已知集合A={3,4,5,12,13},B={2,3,5,8,13},则A∩B=_______．答案{3,5,13}40．(2013某某,10,5分)已知集合U={2,3,6,8},A={2,3},B={2,6,8},则(∁U A)∩B=__________．答案{6,8}三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组1．(2018某某师大附中11月模拟,1)已知集合A={(x,y)|x,y为实数,且y=x2},B={(x,y)|x,y为实数,且x+y=1},则A∩B的元素个数为（）A．无数个B．3 C．2 D．1答案C2．(2017某某某某高中毕业班4月调研,2)已知集合A={1,3},B=,则A ∪B=（）A．{1,3} B．{1,2,3} C．{1,3,4} D．{1,2,3,4}答案B3．(2016某某某某一模,1)集合U=R,A={x|x2-x-2<0},B={x|y=ln(1-x)},则图中阴影部分所表示的集合是（）A．{x|x≥1}B．{x|1≤x<2}C．{x|0<x≤1}D．{x|x≤1}答案B考点二集合间的基本关系4．(2017某某某某一模,2)已知集合M={-1,0,1},N={x|x=ab,a,b∈M,且a≠b},则集合M与集合N的关系是（）A．M=N B．M∩N=N C．M∪N=N D．M∩N=⌀答案B5．(2016某某某某二模,1)设集合M={-1,1},N={x|x2-x<6},则下列结论正确的是（）A．N⊆M B．N∩M=⌀C．M⊆N D．M∩N=R答案C6．(2018某某某某调研,13)设集合A={1,},B={a},若B⊆A,则实数a的值为______．答案07．(2017某某八市联考,13)已知A={x|x2-3x+2<0},B={x|1<x<a},若A⊆B,则实数a的取值X围是_____．答案[2,+∞)考点三集合间的基本运算8．(2018某某重点中学11月质检,1)已知集合A={x|3x>3},B={x|3x2-2x-5<0},则A∩B=（）A．B．(-1,1) C．(-1,+∞)D．9．(2018某某重点中学期中联考,1)已知集合A=,B={x|(x+2)(x-1)>0},则A∩B等于（）A．(0,2) B．(1,2)C．(-2,2) D．(-∞,-2)∪(0,+∞)答案B10．(2018某某某某一模,1)若集合A={x|1≤x≤5},B={x|log2x<2},则A∪B等于（）A．(-1,5] B．(0,5] C．[1,4) D．[-1,4)答案B11．(2017某某百校联盟4月质检,1)已知集合A={x|2x2-7x+3<0},B={x∈Z|lg x<1},则阴影部分所表示的集合的元素个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4答案B12．(2017某某某某三模,1)已知全集U=R,集合M={x||x|<1},N={y|y=2x,x∈R},则集合∁U(M∪N)等于（）A．(-∞,-1] B．(-1,2)C．(-∞,-1]∪[2,+∞)D．[2,+∞)答案A13．(2017某某襄阳五中模拟,1)设集合U={1,2,3,4},集合A={x∈N|x2-5x+4<0},则∁U A等于（）A．{1,2} B．{1,4} C．{2,4} D．{1,3,4}答案B14．(2016中原名校四月联考,1)设全集U=R,集合A={x|0≤x≤2},B={y|1≤y≤3},则(∁U A)∪B=（）A．(2,3] B．(-∞,1]∪(2,+∞)C．[1,2) D．(-∞,0)∪[1,+∞)答案DB组2016—2018年模拟·提升题组(满分:55分时间:40分钟)一、选择题(每小题5分,共35分)1．(2018某某南开中学月考,1)已知全集U={0,1,2,3,4,5},集合A={1,2,3,5},B={2,4},则(∁U A)∪B=（）A．{1,2,4} B．{4} C．{0,2,4} D．{0,2,3,4}2．(2018某某浏阳三校联考,1)设A={x|y=},B={y|y=ln(1+x)},则A∩B=（）A．{x|x>-1} B．{x|x≤1}C．{x|-1<x≤1}D．⌀答案B3．(2018某某某某重点高中联考,2)已知集合M=,N=,则M∩N=（）A．⌀B．{(3,0),(0,2)}C．[-2,2] D．[-3,3]答案D4．(2018某某五校协作体9月联考,2)已知集合P={x|x2-2x-8>0},Q={x|x≥a},P∪Q=R,则a的取值X围是（）A．(-2,+∞)B．(4,+∞)C．(-∞,-2] D．(-∞,4]答案C5．(2017某某某某、某某等六市一模,1)已知集合A={(x,y)|y-=0},B={(x,y)|x2+y2=1},C=A∩B,则C的子集的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．4答案C6．(2017某某某某第二次模拟,2)已知全集U=R,集合M={x|x+2a≥0},N={x|log2(x-1)<1},若集合M∩(∁U N)={x|x=1或x≥3},那么a的取值为（）A．a=B．a≤C．a=-D．a≥答案C7．(2016某某某某瑞安八校联考,1)已知集合A={x|ax=1},B={0,1},若A⊆B,则由a的取值构成的集合为（）A．{1} B．{0} C．{0,1} D．⌀答案C二、解答题(每小题10分,共20分)8．(2018某某某某四校联考,17)已知三个集合:A={x∈R|log2(x2-5x+8)=1},B={x∈R|=1},C={x∈R|x2-ax+a2-19>0}．(2)已知A∩C≠⌀,B∩C=⌀,某某数a的取值X围．解析(1)∵A={x∈R|log2(x2-5x+8)=1}={x∈R|x2-5x+8=2}={2,3},(2分)B={x∈R|=1}={x∈R|x2+2x-8=0}={2,-4},(4分)∴A∪B={2,3,-4}．(5分)(2)∵A∩C≠⌀,B∩C=⌀,∴2∉C,-4∉C,3∈C．(6分)∵C={x∈R|x2-ax+a2-19>0},∴(7分)即,解得-3≤a<-2．(9分)所以实数a的取值X围是[-3,-2)．(10分)9．(2017某某某某、某某联考,18)已知函数f(x)=的定义域为A,函数g(x)=(-1≤x≤0)的值域为B．(1)求A∩B;(2)若C=[a,2a-1],且C∪B=B,某某数a的取值X围．解析(1)要使函数f(x)=有意义,需log2(x-1)≥0,解得x≥2,∴A=[2,+∞)．对于函数g(x)=,∵-1≤x≤0,∴1≤g(x)≤2,∴B=[1,2],∴A∩B={2}．(2)∵C∪B=B,∴C⊆B．当2a-1<a,即a<1时,C=⌀,满足条件．当2a-1≥a,即a≥1时,要使C⊆B,则解得1≤a≤．综上可得,a∈．C组2016—2018年模拟·方法题组方法1利用数轴和韦恩(Venn)图解决集合问题的方法1．(2018某某某某一中11月模拟,2)已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},且B≠⌀,若A∪B=A,则（）A．-3≤m≤4B．-3<m<4 C．2<m<4 D．2<m≤4答案D2．(2017豫北名校联考,1)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},M={3,4,5},N={1,3,6},则集合{2,7}=（）A．M∩N B．(∁U M)∩(∁U N)C．(∁U M)∪(∁U N) D．M∪N答案B3．(2016某某蓟县期中,1)函数y=的定义域为集合A,函数y=ln(2x+1)的定义域为集合B,则A∩B=（）A．B．C．D．答案A方法2解决与集合有关的新定义问题的方法4．(2018某某某某三校联考,4)已知集合M={1,2,3,4},集合A,B为集合M的非空子集,若∀x∈A,y∈B,x<y恒成立,则称(A,B)为集合M的一个“子集对”,则集合M的“子集对”共有个__________．答案175．(2016某某中原名校3月联考,14)当两个集合中一个集合为另一集合的子集时,称这两个集合构成“全食”,当两个集合有公共元素,但互不为对方子集时,称这两个集合构成“偏食”．对于集合A=,B={x|ax2=1,a≥0},若A与B构成“全食”或构成“偏食”,则a的取值集合为___________．答案{0,1,4}。
高中数学一轮复习(含答案)1.1 集合
第一章 集合与常用逻辑用语 第一节 集合一、基础知识1．集合的有关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．元素互异性，即集合中不能出现相同的元素，此性质常用于求解含参数的集合问题中．(2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．(3)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉.(4)五个特定的集合及其关系图：N *或N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集．2．集合间的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称A 是B 的子集，记作A ⊆B (或B ⊇A )．(2)真子集：如果集合A 是集合B 的子集，但集合B 中至少有一个元素不属于A ，则称A 是B 的真子集，记作A B 或B A . A B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ A ⊆B ，A ≠B .既要说明A 中任何一个元素都属于B ，也要说明B 中存在一个元素不属于A . (3)集合相等：如果A ⊆B ，并且B ⊆A ，则A ＝B . 两集合相等：A ＝B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧A ⊆B ，A ⊇B .A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性，B 中任意一个元素也符合A 中元素的特性．(4)空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集．记作∅.∅∈{∅}，∅⊆{∅}，0∉∅，0∉{∅},0∈{0}，∅⊆{0}．3．集合间的基本运算(1)交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A ∩B ，即A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }．(2)并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为A 与B 的并集，记作A ∪B ，即A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }．(3)补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作∁U A ，即∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }．求集合A 的补集的前提是“A 是全集U 的子集”，集合A 其实是给定的条件.从全集U 中取出集合A 的全部元素，剩下的元素构成的集合即为∁U A .二、常用结论(1)子集的性质：A ⊆A ，∅⊆A ，A ∩B ⊆A ，A ∩B ⊆B .(2)交集的性质：A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∩B ＝B ∩A .(3)并集的性质：A ∪B ＝B ∪A ，A ∪B ⊇A ，A ∪B ⊇B ，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝∅∪A ＝A .(4)补集的性质：A ∪∁U A ＝U ，A ∩∁U A ＝∅，∁U (∁U A )＝A ，∁A A ＝∅，∁A ∅＝A .(5)含有n 个元素的集合共有2n 个子集，其中有2n －1个真子集，2n －1个非空子集．(6)等价关系：A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ；A ∪B ＝A ⇔A ⊇B .考点一 集合的基本概念[典例] (1)(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0 (2)已知a ，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 019＋b 2 019的值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．±1[解析] (1)因为A 表示圆x 2＋y 2＝1上的点的集合，B 表示直线y ＝x 上的点的集合，直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2.(2)由已知得a ≠0，则b a＝0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1.又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a 2 019＋b 2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1.[答案] (1)B (2)C [提醒] 集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．[题组训练]1．设集合A ＝{0,1,2,3}，B ＝{x |－x ∈A,1－x ∉A }，则集合B 中元素的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A 若x ∈B ，则－x ∈A ，故x 只可能是0，－1，－2，－3，当0∈B 时，1－0＝1∈A ；当－1∈B 时，1－(－1)＝2∈A ；当－2∈B 时，1－(－2)＝3∈A ；当－3∈B 时，1－(－3)＝4∉A ，所以B ＝{－3}，故集合B 中元素的个数为1.2．若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a 等于( )A.92B.98 C ．0 D ．0或98解析：选D 若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a ＝0时，x ＝23，符合题意．当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0，得a ＝98，所以a 的值为0或98. 3.（2018·厦门模拟）已知P ={x |2<x <k ,x ∈N},若集合P 中恰有3个元素，则k 的取值范围为_____________ 解析：因为P 中恰有3个元素，所以P =｛3，4，5｝，故k 的取值范围为5<k ≤6.答案：（5，6］ 考点二 集合间的基本关系[典例] (1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R}，B ＝{x |0<x <5，x ∈N}，则( )A ．B ⊆AB ．A ＝BC ．A BD ．B A(2)(2019·湖北八校联考)已知集合A ＝{x ∈N *|x 2－3x <0}，则满足条件B ⊆A 的集合B 的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．8(3)已知集合A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－m <x <m }，若B ⊆A ，则m 的取值范围为________．[解析] (1)由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，∴A ＝{1,2}．由题意知B ＝{1,2,3,4}，比较A ，B 中的元素可知A B ，故选C. (2)∵A ＝{x ∈N *|x 2－3x <0}＝{x ∈N *|0<x <3}＝{1,2}，又B ⊆A ，∴满足条件B ⊆A 的集合B 的个数为22＝4，故选C.(3)当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A . 当m >0时，因为A ＝{x |－1<x <3}．若B ⊆A ，在数轴上标出两集合，如图，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －m ≥－1，m ≤3，－m <m .所以0<m ≤1.综上所述，m 的取值范围为(－∞，1]． [答案] (1)C (2)C (3)(－∞，1][变透练清]1.(变条件)若本例(2)中A 不变，C ＝{x |0<x <5，x ∈N}，则满足条件A ⊆B ⊆C 的集合B 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D 因为A ＝{1,2}，由题意知C ＝{1,2,3,4}，所以满足条件的B 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．2.(变条件)若本例(3)中，把条件“B ⊆A ”变为“A ⊆B ”，其他条件不变，则m 的取值范围为________．解析：若A ⊆B ，由⎩⎪⎨⎪⎧－m ≤－1，m ≥3得m ≥3，∴m 的取值范围为[3，＋∞)．答案：[3，＋∞) 3．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{x |x 2＋mx ＋1＝0，x ∈R}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________． 解析：①若B ＝∅，则Δ＝m 2－4<0，解得－2<m <2；②若1∈B ，则12＋m ＋1＝0，解得m ＝－2，此时B ＝{1}，符合题意；③若2∈B ，则22＋2m ＋1＝0，解得m ＝－52，此时B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，12，不合题意． 综上所述，实数m 的取值范围为[－2,2)．答案：[－2,2)考点三 集合的基本运算考法(一) 集合的运算[典例] (1)(2018·天津高考)设集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，C ＝{x ∈R|－1≤x ＜2}，则(A ∪B )∩C ＝( )A ．{－1,1}B ．{0,1}C ．{－1,0,1}D ．{2,3,4}(2)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x －4>0}，B ＝{x |－2≤x ≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为( )A ．{x |－2≤x <4}B ．{x |x ≤2或x ≥4}C ．{x |－2≤x ≤－1}D ．{x |－1≤x ≤2}[解析] (1)∵A ＝{1,2,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，∴A ∪B ＝{－1,0,1,2,3,4}．又C ＝{x ∈R|－1≤x ＜2}， ∴(A ∪B )∩C ＝{－1,0,1}．(2)依题意得A ＝{x |x <－1或x >4}，因此∁R A ＝{x |－1≤x ≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为(∁R A )∩B ＝{x |－1≤x ≤2}． [答案] (1)C (2)D考法(二) 根据集合运算结果求参数[典例] (1)已知集合A ＝{x |x 2－x －12>0}，B ＝{x |x ≥m }．若A ∩B ＝{x |x >4}，则实数m 的取值范围是( )A ．(－4,3)B ．[－3,4]C ．(－3,4)D ．(－∞，4](2)(2019·河南名校联盟联考)已知A ＝{1,2,3,4}，B ＝{a ＋1,2a }，若A ∩B ＝{4}，则a ＝( )A ．3B ．2C ．2或3D ．3或1[解析] (1)集合A ＝{x |x <－3或x >4}，∵A ∩B ＝{x |x >4}，∴－3≤m ≤4，故选B.(2)∵A ∩B ＝{4}，∴a ＋1＝4或2a ＝4.若a ＋1＝4，则a ＝3，此时B ＝{4,6}，符合题意；若2a ＝4，则a ＝2，此时B ＝{3,4}，不符合题意．综上，a ＝3，故选A. [答案] (1)B (2)A[题组训练]1．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0，x ∈Z}，则A ∪B ＝( )A ．{1}B ．{1,2}C ．{0,1,2,3}D ．{－1,0,1,2,3}解析：选C 因为集合B ＝{x |－1<x <2，x ∈Z}＝{0,1}，而A ＝{1,2,3}，所以A ∪B ＝{0,1,2,3}．2．(2019·重庆六校联考)已知集合A ＝{x |2x 2＋x －1≤0}，B ＝{x |lg x <2}，则(∁R A )∩B ＝( )A.⎝⎛⎭⎫12，100B.⎝⎛⎭⎫12，2C.⎣⎡⎭⎫12，100 D ．∅解析：选A 由题意得A ＝⎣⎡⎦⎤－1，12，B ＝(0,100)，则∁R A ＝(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞，所以(∁R A )∩B ＝⎝⎛⎭⎫12，100. 3．(2019·合肥质量检测)已知集合A ＝[1，＋∞)，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪12a ≤x ≤2a －1，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B.⎣⎡⎦⎤12，1C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞ D ．(1，＋∞)解析：选A 因为A ∩B ≠∅，所以⎩⎨⎧2a －1≥1，2a －1≥12a ，解得a ≥1. [课时跟踪检测]1．(2019·福州质检)已知集合A ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z}，B ＝{x |－1<x ≤4}，则集合A ∩B 中元素的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 依题意，集合A 是由所有的奇数组成的集合，故A ∩B ＝{1,3}，所以A ∩B 中元素的个数为2.2．设集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，A ＝{1,3,5}，B ＝{3,4,5}，则∁U (A ∪B )＝( )A ．{2,6}B ．{3,6}C ．{1,3,4,5}D ．{1,2,4,6}解析：选A 因为A ＝{1,3,5}，B ＝{3,4,5}，所以A ∪B ＝{1,3,4,5}．又U ＝{1,2,3,4,5,6}，所以∁U (A ∪B )＝{2,6}．3．(2018·天津高考)设全集为R ，集合A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |x ≥1}，则A ∩(∁R B )＝( )A ．{x |0＜x ≤1}B ．{x |0＜x ＜1}C ．{x |1≤x ＜2}D ．{x |0＜x ＜2}解析：选B ∵全集为R ，B ＝{x |x ≥1}，∴∁R B ＝{x |x ＜1}．∵集合A ＝{x |0＜x ＜2}，∴A ∩(∁R B )＝{x |0＜x ＜1}．4．(2018·南宁毕业班摸底)设集合M ＝{x |x <4}，集合N ＝{x |x 2－2x <0}，则下列关系中正确的是( )A ．M ∩N ＝MB ．M ∪(∁R N )＝MC ．N ∪(∁R M )＝RD ．M ∪N ＝M解析：选D 由题意可得，N ＝(0,2)，M ＝(－∞，4)，所以M ∪N ＝M .5．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤2x <2，B ＝{x |ln x ≤0}，则A ∩B 为( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．[－1,0) C.⎣⎡⎭⎫12，1 D ．[－1,1]解析：选A ∵12≤2x <2，即2－1≤2x <212，∴－1≤x <12，∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1≤x <12.∵ln x ≤0，即ln x ≤ln 1，∴0<x ≤1，∴B ＝{x |0<x ≤1}，∴A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x <12. 6．(2019·郑州质量测试)设集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ＝A ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．(－∞，1]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：选D 由A ∩B ＝A ，可得A ⊆B ，又因为A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，所以a ≥2.7．已知全集U ＝A ∪B 中有m 个元素，()∁U A ∪()∁U B 中有n 个元素．若A ∩B 非空，则A ∩B 的元素个数为( )A ．mnB ．m ＋nC ．n －mD ．m －n解析：选D 因为()∁U A ∪()∁U B 中有n 个元素，如图中阴影部分所示，又U ＝A ∪B 中有m 个元素，故A ∩B 中有m －n 个元素．8．定义集合的商集运算为A B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝m n ，m ∈A ，n ∈B ，已知集合A ＝{2,4,6}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k 2－1，k ∈A ，则集合B A∪B 中的元素个数为( ) A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选B 由题意知，B ＝{0,1,2}，B A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，14，16，1，13，则B A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，14，16，1，13，2，共有7个元素．9．设集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，B ＝{x |x <1，且x ∈Z}，则A ∩B ＝________. 答案：{－1,0}解析：依题意得A ＝{x |(x ＋1)(x －2)≤0}＝{x |－1≤x ≤2}，因此A ∩B ＝{x |－1≤x <1，x ∈Z}＝{－1,0}．10．已知集合U ＝R ，集合A ＝[－5,2]，B ＝(1,4)，则下图中阴影部分所表示的集合为________．解析：∵A ＝[－5,2]，B ＝(1,4)，∴∁U B ＝{x |x ≤1或x ≥4}，则题图中阴影部分所表示的集合为(∁U B )∩A ＝{x |－5≤x ≤1}．答案：{x |－5≤x ≤1}11．若集合A ＝{(x ，y )|y ＝3x 2－3x ＋1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则集合A ∩B 中的元素个数为________． 解析：法一：由集合的意义可知，A ∩B 表示曲线y ＝3x 2－3x ＋1与直线y ＝x 的交点构成的集合．联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x 2－3x ＋1，y ＝x ，解得⎩⎨⎧ x ＝13，y ＝13或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1， 故A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎫13，13，(1，1)，所以A ∩B 中含有2个元素． 法二：由集合的意义可知，A ∩B 表示曲线y ＝3x 2－3x ＋1与直线y ＝x 的交点构成的集合．因为3x 2－3x ＋1＝x 即3x 2－4x ＋1＝0的判别式Δ>0，所以该方程有两个不相等的实根，所以A ∩B 中含有2个元素．答案：212．已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝{x |x ＜a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是__________．解析：由log 2x ≤2，得0＜x ≤4，即A ＝{x |0＜x ≤4}，而B ＝{x |x ＜a }，由于A ⊆B ，在数轴上标出集合A ，B ，如图所示，则a ＞4.答案：(4，＋∞)13．设全集U ＝R ，A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |2<x <4}，C ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}．(1)分别求A ∩B ，A ∪(∁U B )；(2)若B ∪C ＝B ，求实数a 的取值范围．解：(1)由题意知，A ∩B ＝{x |1≤x ≤3}∩{x |2<x <4}＝{x |2<x ≤3}．易知∁U B ＝{x |x ≤2或x ≥4}，所以A ∪(∁U B )＝{x |1≤x ≤3}∪{x |x ≤2或x ≥4}＝{x |x ≤3或x ≥4}．(2)由B ∪C ＝B ，可知C ⊆B ，画出数轴(图略)，易知2<a <a ＋1<4，解得2<a <3. 故实数a 的取值范围是(2,3)．。
江西省南昌市2017-2018学年度高三第二轮复习测试卷文科数学(一)试题(解析版)
2017—2018学年度南昌市高三第二轮复习测试卷文科数学(一)一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则集合可以是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求得集合A，再有得，即可得解.【详解】因为，由得，故选A．【点睛】本题主要考查了集合的表示和集合的基本关系，属于基础题.2.已知复数满足（为虚数单位），则复数所对应的点位于复平面的（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】分析：先根据得到z然后根据复数的坐标定义即可得出结论.详解：由题得：故z所对应的坐标为，为第四象限故选D.点睛：考查复数的四则运算和坐标表示，属于基础题.3.已知双曲线的右焦点在直线上，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求得直线与轴的交点，进而得c，再有，即可得解.【详解】因为直线与轴的交点为，所以在双曲线中有，故，即，故选D．【点睛】本题主要考查了双曲线焦点的概念，属于基础题.4.滴滴公司为了调查消费者对滴滴打车出行的真实评价，采用系统抽样方法从2000人中抽取100人做问卷调查，为此将他们随机编号1,2，，2000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的100人中，编号落入区间的人做问卷，编号落入区间的人做问卷，其余的人做问卷，则抽到的人中，做问卷的人数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据系统抽样可知抽到的号码构成以9为首项，20为公差的等差数列，得，由，进而求解即可.【详解】若采用系统抽样方法从人中抽取人做问卷调查，则需要分为组，每组20人，若第一组抽到的号码为，则以后每组有抽取的号码分别为，所以抽到的号码构成以9为首项，20为公差的等差数列，此等差数列的通项公式为.由题意可知，落在区间[1521,2000]的有：.解得：.，所以编号落入区间的有（人），故选B．【点睛】本题主要考查系统抽样的方法，属于简单题. 系统抽样适合抽取样本较多且个体之间没有明显差异的总体，系统抽样最主要的特征是，所抽取的样本相邻编号等距离，可以利用等差数列的性质解答.5.已知数列为等比数列，，且是与的等差中项，则的值为（）A. 或B.C. 或D.【答案】C【解析】【分析】由是与的等差中项，得，进而解得，代入等比数列的通项公式求解即可.【详解】由题意，所以，故选C．【点睛】本题主要考查了等差中项的概念及等比数列的运算，属于简单题.6.已知向量，满足，，且向量，的夹角为，若与垂直，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由条件可得，由与垂直，进而得，即可得解.【详解】因为，所以，故答案选D．【点睛】本题主要考查了数量积的运算，属于基础题.7.已知，且，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】在上递增，，化为，由指数函数的性质，可得，故选C.8.某几何体的三视图如图所示，若该几何体的表面积为，则俯视图中圆的半径为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由三视图可知该几何体为一个长方体挖去了一个半球，计算表面积令其等于，即可得解.【详解】由三视图可知该几何体为一个长方体挖去了一个半球，设圆半径为，所以该几何体的表面积，得，故选A．【点睛】以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然后再根据所求进行解题即可．9.《九章算术》是我国古代著名数学经典．其中对勾股定理的论术比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分)．已知弦尺，弓形高寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为( )(注：1丈＝10尺＝100寸，，)A. 600立方寸B. 610立方寸C. 620立方寸D. 633立方寸【答案】D【解析】【分析】由三角形，利用勾股定理可得半径，进而得，再利用，乘以高即可得体积. 【详解】连接，设⊙的半径为，则，所以.由于，所以，即.所以平方寸．∴该木材镶嵌在墙中的体积为立方寸，故选D．【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理及扇形的面积公式，柱体的体积公式，属于中档题10.某程序框图如图所示，若输出，则判断框中为A. B.C. D.【答案】B【解析】由框图程序可知，结合循环结构的终止条件可得解【详解】由框图程序可知因为，所以所以，解得，即当时程序退出，故选B．【点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.11.已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点，为抛物线上的任一点，过点作圆的切线，切点分别为，则四边形的面积最小值为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】设，则，进而得最值.【详解】由题意可知抛物线的方程为，圆恒的圆心为，半径为．设，则所以当时，切线长取得最小值，此时四边形的面积取得最小值，最小值为，故选D．【点睛】圆中的最值问题，往往转化为到圆心到几何对象（如定直线或定点等）的最值问题．有时也可以转为关于某个变量的函数（变量可为动直线的斜率或点的坐标等），再利用基本不等式或函数的单调性等求其最值．12.设，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得令，即与恰有3个交点，由，利用导数得到函数的单调性即可得解.【详解】恰有3个零点，则恰有3个根，令，即与恰有3个交点，，当时，，所以在上是减函数；当时，，当时，，当时，，所以在时增函数，在时减函数，且，所以故选A．【点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.13.已知函数为奇函数，若，则的值为________.【答案】3【解析】【分析】由函数为奇函数，可得，进而可得解.【详解】因为函数为奇函数，且，，所以，所以．所以．【点睛】本题主要考查了奇偶性的应用，属于基础题.14.已知变量满足约束条件，若恒成立，则实数的取值范围为________．【答案】【解析】【分析】由不等式恒成立，可得恒成立，故，由线性规划求最值即可.【详解】由不等式恒成立，可得恒成立，故．作出不等式组满足约束条件所对应的可行域，可得经过点时有最小值，所以实数的取值范围为．【点睛】本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.15.记为不超过的最大整数，如，则函数的所有零点之和为________.【答案】【解析】【分析】由，令，求导利用函数单调性可证得在上无零点，只需考虑：，，，求解即可.【详解】由题意可知： .令.有：.所以在上单调递减，有，所以在上无零点，只需考虑：，，，可得三个零点分别为，故答案为．【点睛】本题主要考查了分段函数的零点问题，属于中档题.16.已知数列满足，，，则使得成立的最大值为____________.【答案】999【解析】【分析】由，得数列是首项为，公差为的等差数列，，进而可得，从而列不等式求解即可.【详解】因为，所以，所以，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以，所以，所以．所以．解得．故答案为：999.【点睛】数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．三．解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知函数的部分图像如图所示，其中、分别为函数的一个最高点和最低点，、两点的横坐标分别为，且．（Ⅰ）求函数的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）在中，角的对边分别是，且满足，求的值．【答案】(1) 单调递增区间为;(2)1.【解析】【分析】（1）由图可知，从而可解得，再由得，又因为，可得，令，即可得解；（2）由余弦定理可得，进而得，即，所以，从而得解.【详解】（1）由图可知，所以，又因为，所以，又因为，因为，所以.所以函数，令，解得，所以函数的单调递增区间为.（2）因为，由余弦定理得所以所以，当且仅当等号成立，即所以，有.【点睛】本题考查了三角函数的图象和性质，由的部分图象确定其解析式的方法.解决问题的关键是熟练掌握各个参数的意义，代表振幅，可由图象的最小最大值确定；可由函数的周期确定；是初相，可由特殊点确定.18.某大学为了更好提升学校文化品位，发挥校园文化的教育功能特举办了校园文化建设方案征集大赛，经评委会初评，有两个优秀方案入选.为了更好充分体现师生的主人翁意识，组委会邀请了100名师生代表对这两个方案进行登记评价（登记从高到低依次为），评价结果对应的人数统计如下表：（Ⅰ）若按分层抽样从对1号方案进行评价的100名师生中抽取样本进行调查，其中等级层抽取3人，等级层抽取1人，求的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若从对2个方案的评价为的评价表中各抽取进行数据分析，再从中选取2份进行详细研究，求选出的2份评价表中至少有1份评价为的概率.【答案】(1) ,c=20;(2).【解析】【分析】（1）根据分层抽样分别求出a，b，c的值即可；（2）对1号方案、2号方案抽取的样本容量都是4.其中，1号方案的评价表中，评价为的有3份，评价为的有1份，令其分别记为；2号方案的评价表中，评价为的有2份，评价为的有2份，令其分别记为.从中抽取2份评价表，从中抽取2份，求出满足条件的概率即可．【详解】（1）由分层抽样可知，.又，所以，所以.（2）由题意，对1号方案、2号方案抽取的样本容量都是4.其中，1号方案的评价表中，评价为的有3份，评价为的有1份，令其分别记为；2号方案的评价表中，评价为的有2份，评价为的有2份，令其分别记为.从中抽取2份评价表，不同的结果为：，，，，，，，共28个.其中至少有1份评价为的所包含的不同结果为，，，共18个.故所求事件的概率为.【点睛】条件概率的求法(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得．注意：事件A与事件B有时是相互独立事件，有时不是相互独立事件，要弄清P(AB)的求法．(2)当基本事件适合有限性和等可能性时，可借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A 发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得．19.如图，在斜三棱柱中，已知，，且.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）若，求四棱锥的体积.【答案】(1)见解析；（2）.【解析】【分析】（1）连接，易证得，，所以，所以，从而可证得，即可证得结论；（2）由即可得解.【详解】（1）证明：连接，在平行四边形中，由得平行四边形为菱形，所以，又，所以，所以，又，所以，所以平面平面（2）.故四棱锥的体积为.【点睛】求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法. ①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．20.已知点在椭圆上，设分别为椭圆的左顶点、下顶点，原点到直线的距离为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设为椭圆在第一象限内一点，直线分别交轴、轴于两点，求四边形的面积．【答案】（1）椭圆的方程为；（2）四边形的面积为.【解析】【分析】（1）根据条件可得，，从而可解得椭圆方程；（2）设点，从而有，得，所以四边形的面积为，从而可得解.【详解】（1）因为椭圆经过点，有，由等面积法，可得原点到直线的距离为，联立两方程解得，所以椭圆的方程为．（2）设点，则，即．直线，令，得．从而有，同理，可得．所以四边形的面积为．所以四边形的面积为．【点睛】本题主要考查了椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，需要较大的运算量，属于难题.21.已知函数.（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）当时，求证：.【答案】(1) 函数的减区间为，增区间为，;(2)见解析.【解析】【分析】（1）函数求导，由得函数减区间，由得函数的增区间；（2）欲证，只需证，设，，即证，分别求导求最值即可.【详解】（1）定义域为，因为，当时，；或，此时函数的增区间为，减区间为，当时，，函数无单调区间当时，；或，此时函数的减区间为，增区间为，（2）欲证，即证，只需证，设，，即证因为，令，得当时，；当或时，，又因为，当时，，当时，所以，而所以，即成立.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合(图象在上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数.22.在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系．已知直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．（Ⅰ）求直线过点的参数方程；（Ⅱ）已知直线与曲线交于，设，且，求实数的值．【答案】(1) 线过点的参数方程为（为参数）;(2).【解析】【分析】（1）先将极坐标方程变为直角坐标方程，再写成参数形式即可；（2）现将曲线化为的直角坐标方程，与直线联立得，设点分别对应参数恰为上述方程的根，则．由题设得，进而利用韦达定理求解即可【详解】（1）将，代入直线的极坐标方程得直角坐标方程．所以直线过点的参数方程为（为参数）．（2）由，得，由代入，得．将直线的参数方程与的直角坐标方程联立，得，（*）．设点分别对应参数恰为上述方程的根，则．由题设得，即．由（*）得，，则有，得或．因为，所以．【点睛】直线的参数方程的标准形式的应用过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程是.(t是参数，t可正、可负、可为0)若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则(1)M1，M2两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0＋t2cos α，y0＋t2sin α).(2)|M1M2|＝|t1－t2|.(3)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t＝，中点M到定点M0的距离|MM0|＝|t|＝.(4)若M0为线段M1M2的中点，则t1＋t2＝0.23.已知函数（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若的解集包含，求的取值范围.【答案】(1) 解集为;(2) 的取值范围为.【解析】【分析】（1）分段去绝对值解不等式即可；（2））等价于，由，去绝对值得，列不等式求解即可. 【详解】（1）当时，，不等式，即，当时，由，解得；当时，由，解得，故不等式无解；当时，由，解得．综上的解集为．（2）等价于．当时，等价于，即，若的解集包含，则[，，即．故满足条件的的取值范围为．【点睛】绝对值不等式的常见解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
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数学（一）（集合、简易逻辑和推理与证明）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{}2|20A x x x =-=，{}0,1,2B =，则A B =（ ）A ．{}0,2B ．{}0C ．{}0,1D ．{}22.已知集合{}2|20A x x x =->，{|B x x =<<，则（ ） A ．AB =∅ B ．A B R =C ．B A ⊆D ．A B ⊆3.设集合{}1,2A =，则满足{}1,2,3A B =的集合B 的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．54.设命题p ：n N ∃∈，22n n >，则p ⌝为（ ） A ．n N ∀∈，22n n > B ．n N ∃∈，22n n ≤ C ．n N ∀∈，22n n ≤D ．n N ∃∈，22n n =5.用反证法证明命题“设3()3||()f x x x a a R =+-∈为实数，则方程()0f x =至少有一个实根”时，要做的假设是（ ） A ．方程()f x 没有实根 B ．方程()0f x =至多有一个实根 C ．方程()0f x =至多有两个实根D ．方程()0f x =恰好有两个实根6.已知全集{}1,2,3,4U =，集合{}1,2A =，{}2,3B =，则()U A B =ð（ ）A ．{}1,3,4B ．{}3,4C ．{}3D ．{}47.观察下列各式：1a b +=，223a b +=，334a b +=，447a b +=，…，则1010a b +=（ ） A ．28B ．76C ．123D ．1998.命题“对任意x R ∈，都有20x ≥”的否定为（ ）A ．对任意x R ∈，都有20x <B ．不存在x R ∈，使得20x <C ．存在0x R ∈，使得200x ≥D ．存在0x R ∈，使得200x <9.“1x >”是“12log (2)0x +<”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件10.设x Z ∈，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集，若命题p ：x A ∀∈，2x B ∈，则（ ） A ．p ⌝：x A ∀∈，2x B ∉ B ．p ⌝：x A ∀∉，2x B ∉ C ．p ⌝：x A ∃∉，2x B ∈D ．p ⌝：x A ∃∈，2x B ∉11.已知集合{}0,1,2A =，则集合{}|,B x y x A y A =-∈∈中元素的个数是（ ） A ．1B ．3C ．5D ．912.在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ） A ．()()p q ⌝∨⌝B ．()p q ∨⌝C ．()()p q ⌝∧⌝D ．p q ∨第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知全集为R ，集合1|()12x A x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭，{}2|680B x x x =-+≤，则()R A B =ð ．14.在数列{}n a 中，11a =，11nn na a a +=+（1,2,3,n =…），则此数列的通项公式可归纳为 ．15.在等差数列{}n a 中，若10a =，s ，t 是互不相等的正整数，则有等式(1)(1)0t s s a t a ---=成立．类比上述性质，相应地，在等比数列{}n b 中，若11b =，s ，t 是互不相等的正整数，则由等式 成立．16.已知命题“存在x R ∈，210x ax -+≤”为假命题，则a 的取值范围为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知集合{}|3327x A x =≤≤，{}2|log 1B x x =>． （1）分别求AB ，R BA ð；（2）已知集合{}|1C x x a =<<，若C A ⊆，求实数a 的取值集合．18.已知命题p ：方程2220x ax a +-=在[]1,1-上有解；命题q ：只有一个实数0x 满足不等式200220x ax a ++≤，若命题“p 或 q ”是假命题，求a 的取值范围．19.已知函数2()(1)1x x f x a a x -=+>+． 求证：（1）函数()f x 在()1,-+∞上为增函数； （2）方程()0f x =没有负根．20.已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22xg x =-，若同时满足条件：①x R ∀∈，()0f x <或()0g x <；②(,4)x ∃∈-∞-，()()0f x g x ⋅<，求m 的取值范围． 21.设p ：函数(1)1y a x =-+在(,)x ∈-∞+∞内单调递减；q ：曲线21y x ax =++与x 轴交于不同的两点．（1）若p 为真且q 为真，求a 的取值范围；（2）若p 与q 中一个为真一个为假，求a 的取值范围．22.如图所示，点P 为斜三棱柱111ABC A B C -的侧棱1BB 上一点，1PM BB ⊥交1AA 于点M ，1PN BB ⊥交1CC 于点N ．（1）求证：1CC MN ⊥；（2）在任意△DEF 中有余弦定理：2222cos DE DF EF DF EF DFE =+-⋅∠． 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．2017-2018学年度南昌市新课标高三第一轮复习训练题数学（一）答案一、选择题二、填空题13.{}|024x x x ≤<>或 14.1n a n=15.111s t t sb b --= 16.(2,2)-三、解答题解：（1）因为{}|13A x x =≤≤，{}|2B x x =>， 所以{}|23AB x x =<≤，{}|2R B x x =≤ð， {}()|3R B A x x =≤ð．（2）因为{}|13A x x =≤≤，而{}|1C x x a =<<A ⊆， 所以当C 为空集时，1a ≤；当C 为非空集时，13a <≤， 故3a ≤．18.解：由2220x ax a +-=，得(2)()0x a x a -+=， ∴2ax =或x a =-．∴2480a a ∆=-=，∴0a =或2a =． ∴当命题q 为真命题时，0a =或2a =， ∴命题“p 或q ”为真命题时，||2a ≤． ∵命题“p 或q ”为假命题，∴2a >或2a <-， 即a 的取值范围为2a >或2a <-．19.解：（1）任取1x ，2(1,)x ∈-+∞，不妨设12x x <， 则210x x ->，210x +>，110x +>，又1a >，所以21x x a a >，所以2121212122()()11x x x x f x f x a a x x ++-=-+-++2121213()0(1)(1)x x x x a a x x -=-+>++， 故函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数．（2）设存在00x <（01x ≠-）满足0()0f x =， 则00021x x ax -=+，且001xa <<，所以002011x x -<<+，即0122x <<，与假设00x <矛盾，故方程()0f x =没有负根． 20.解：由()220xg x =-<得1x <．∵条件①x R ∀∈，()0f x <或()0g x <，∴当1x ≥时，()0f x <． 当0m =时，()0f x =，不能做到()f x 在1x ≥时，()0f x <，所以舍去．∵()f x 作为二次函数开口只能向下，∴0m <，且此时两个根为12x m =，23x m =--．为保证条件①成立，必须120,21,31,m x m x m <⎧⎪=<⎨⎪=--<⎩0,1,24m m m <⎧⎪⎪<⎨⎪>-⎪⎩，即40m -<<． 又由条件②(,4)x ∃∈-∞-，()()0f x g x ⋅<的限制， 可得(,4)x ∈-∞-时，()f x 恒负．∴就需要在这个范围内有得正数的可能，即4-应该比1x ，2x 两根中小的那个大， 由23m m =--，得1m =-，∴当(1,0)m ∈-时，34m --<-，解得交集为空集，舍去． 当1m =-时，两根同为24->-，舍去． 当(4,1)m ∈--时，24m <-，即2m <-． 综上所述，(4,2)m ∈--．21.解：依题意：p ：1a <，q ：2a >或2a <-．（1）p 为真且q 为真时，有1,22,a a a <⎧⎨<->⎩或所以2a <-；（2）若p 与q 中有一个为真一个为假，则p 真q 假，或p 假q 真． 当p 真q 假时，1,22,a a <⎧⎨-≤≤⎩，所以21a -≤<；当p 假q 真时，1,22,a a a ≥⎧⎨<->⎩或所以2a >．所以21a -≤<或2a >．22.解：（1）证明：∵1PM BB ⊥，1PN BB ⊥，PM PN P =，∴1BB ⊥平面PMN ，∴1BB MN ⊥． 又11//CC BB ，∴1CC MN ⊥．（2）在斜三棱柱111ABC A B C -中，有11111111112222cos ABB A BCC B ACC A BCC B ACC A S S S S S α=+-， 其中α为平面11BCC B 与平面11ACC A 所成的二面角的大小．证明：∵1CC ⊥平面PMN ， ∴上述的二面角的平面角为MNP ∠． 在PMN ∆中，∵2222cos PM PN MN PN MN MNP =+-⋅∠，∴222222111112()()cos PM CC PN CC MN CC PN CC MN CC MNP ⋅=⋅+⋅-⋅⋅∠， 由于111CBB C S PN CC =⋅，111ACC A S MN CC =⋅，1111ABB A S PM BB PM CC =⋅=⋅， ∴11111111112222cos ABB A BCC B ACC A BCC B ACC A S S S S S α=+-．。