江西省南昌市2017-2018学年高三一轮复习(一)数学试题 Word版含答案

数学（一）（集合、简易逻辑和推理与证明）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项 是符合题目要求的.
1.已知集合{}
2|20A x x x =-=，{}0,1,2B =，则A B =（ ）
A ．{}0,2
B ．{}0
C ．{}0,1
D ．{}2
2.已知集合{}
2|20A x x x =->，{|B x x =<<，则（ ） A ．A
B =∅ B ．A B R =
C ．B A ⊆
D ．A B ⊆
3.设集合{}1,2A =，则满足{}1,2,3A B =的集合B 的个数是（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
4.设命题p ：n N ∃∈，22n n >，则p ⌝为（ ） A ．n N ∀∈，22n n > B ．n N ∃∈，22n n ≤ C ．n N ∀∈，22n n ≤
D ．n N ∃∈，22n n =
5.用反证法证明命题“设3
()3||()f x x x a a R =+-∈为实数，则方程()0f x =至少有一个实根”时，要做的假设是（ ） A ．方程()f x 没有实根 B ．方程()0f x =至多有一个实根 C ．方程()0f x =至多有两个实根
D ．方程()0f x =恰好有两个实根
6.已知全集{}1,2,3,4U =，集合{}1,2A =，{}2,3B =，则()U A B =ð（ ）
A ．{}1,3,4
B ．{}3,4
C ．{}3
D ．{}4
7.观察下列各式：1a b +=，223a b +=，334a b +=，447a b +=，
…，则1010a b +=（ ） A ．28
B ．76
C ．123
D ．199
8.命题“对任意x R ∈，都有20x ≥”的否定为（ ）
A ．对任意x R ∈，都有20x <
B ．不存在x R ∈，使得20x <
C ．存在0x R ∈，使得200x ≥
D ．存在0x R ∈，使得200x <
9.“1x >”是“12
log (2)0x +<”的（ ）
A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条
件
10.设x Z ∈，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集，若命题p ：x A ∀∈，2x B ∈，则（ ） A ．p ⌝：x A ∀∈，2x B ∉ B ．p ⌝：x A ∀∉，2x B ∉ C ．p ⌝：x A ∃∉，2x B ∈
D ．p ⌝：x A ∃∈，2x B ∉
11.已知集合{}0,1,2A =，则集合{}|,B x y x A y A =-∈∈中元素的个数是（ ） A ．1
B ．3
C ．5
D ．9
12.在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ） A ．()()p q ⌝∨⌝
B ．()p q ∨⌝
C ．()()p q ⌝∧⌝
D ．p q ∨
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知全集为R ，集合1|()12
x A x ⎧
⎫=≤⎨⎬⎩
⎭
，{}
2|680B x x x =-+≤，则
()R A B =ð ．
14.在数列{}n a 中，11a =，11n
n n
a a a +=+（1,2,3,n =…），则此数列的通项公式可归纳为 ．
15.在等差数列{}n a 中，若10a =，s ，t 是互不相等的正整数，则有等式
(1)(1)0t s s a t a ---=成立．类比上述性质，相应地，在等比数列{}n b 中，若11b =，s ，
t 是互不相等的正整数，则由等式 成立．
16.已知命题“存在x R ∈，210x ax -+≤”为假命题，则a 的取值范围为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知集合{}
|3327x A x =≤≤，{}2|log 1B x x =>． （1）分别求A
B ，R B
A ð；
（2）已知集合{}|1C x x a =<<，若C A ⊆，求实数a 的取值集合．
18.已知命题p ：方程2220x ax a +-=在[]1,1-上有解；命题q ：只有一个实数0x 满足不等式200220x ax a ++≤，若命题“p 或 q ”是假命题，求a 的取
值范围．
19.已知函数2
()(1)1
x x f x a a x -=+
>+． 求证：（1）函数()f x 在()1,-+∞上为增函数； （2）方程()0f x =没有负根．
20.已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22x
g x =-，若同时满足条件：
①x R ∀∈，()0f x <或()0g x <；②(,4)x ∃∈-∞-，()()0f x g x ⋅<，求m 的取值范围． 21.设p ：函数(1)1y a x =-+在(,)x ∈-∞+∞内单调递减；q ：曲线2
1y x ax =++与x 轴交于不同的两点．
（1）若p 为真且q 为真，求a 的取值范围；
（2）若p 与q 中一个为真一个为假，求a 的取值范围．
22.如图所示，点P 为斜三棱柱111ABC A B C -的侧棱1BB 上一点，1PM BB ⊥交1AA 于点
M ，1PN BB ⊥交1CC 于点N ．
（1）求证：1CC MN ⊥；
（2）在任意△DEF 中有余弦定理：2222cos DE DF EF DF EF DFE =+-⋅∠． 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．
2017-2018学年度南昌市新课标高三第一轮复习训练题数学（一）答案
一、选择题
二、填空题
13.{}|024x x x ≤<>或 14.1
n a n
=
15.1
11s t t s
b b --= 16.(2,2)-
三、解答题
解：（1）因为{}|13A x x =≤≤，{}|2B x x =>， 所以{}|23A
B x x =<≤，{}|2R B x x =≤ð， {}()
|3R B A x x =≤ð．
（2）因为{}|13A x x =≤≤，而{}|1C x x a =<<A ⊆， 所以当C 为空集时，1a ≤；当C 为非空集时，13a <≤， 故3a ≤．
18.解：由2220x ax a +-=，得(2)()0x a x a -+=， ∴2
a
x =
或x a =-．
∴2480a a ∆=-=，∴0a =或2a =． ∴当命题q 为真命题时，0a =或2a =， ∴命题“p 或q ”为真命题时，||2a ≤． ∵命题“p 或q ”为假命题，∴2a >或2a <-， 即a 的取值范围为2a >或2a <-．
19.解：（1）任取1x ，2(1,)x ∈-+∞，不妨设12x x <， 则210x x ->，210x +>，110x +>，又1a >，所以2
1x x a a >，
所以2121212122()()11x x x x f x f x a a x x ++-=-+
-++2121213()
0(1)(1)
x x x x a a x x -=-+>++， 故函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数．
（2）设存在00x <（01x ≠-）满足0()0f x =， 则0
0021x x a
x -=
+，且001x
a <<，所以002011
x x -<<+，即0122x <<，
与假设00x <矛盾，故方程()0f x =没有负根． 20.解：由()220x
g x =-<得1x <．
∵条件①x R ∀∈，()0f x <或()0g x <，∴当1x ≥时，()0f x <． 当0m =时，()0f x =，不能做到()f x 在1x ≥时，()0f x <，所以舍去．
∵()f x 作为二次函数开口只能向下，∴0m <，且此时两个根为12x m =，23x m =--．
为保证条件①成立，必须12
0,21,31,m x m x m <⎧⎪=<⎨⎪=--<⎩0,
1,24m m m <⎧⎪⎪
<⎨
⎪
>-⎪⎩，
即40m -<<． 又由条件②(,4)x ∃∈-∞-，()()0f x g x ⋅<的限制， 可得(,4)x ∈-∞-时，()f x 恒负．
∴就需要在这个范围内有得正数的可能，即4-应该比1x ，2x 两根中小的那个大， 由23m m =--，得1m =-，
∴当(1,0)m ∈-时，34m --<-，解得交集为空集，舍去． 当1m =-时，两根同为24->-，舍去． 当(4,1)m ∈--时，24m <-，即2m <-． 综上所述，(4,2)m ∈--．
21.解：依题意：p ：1a <，q ：2a >或2a <-．
（1）p 为真且q 为真时，有1,
22,
a a a <⎧⎨
<->⎩或所以2a <-；
（2）若p 与q 中有一个为真一个为假，则p 真q 假，或p 假q 真． 当p 真q 假时，1,
22,
a a <⎧⎨
-≤≤⎩，所以21a -≤<；
当p 假q 真时，1,
22,
a a a ≥⎧⎨
<->⎩或所以2a >．
所以21a -≤<或2a >．
22.解：（1）证明：∵1PM BB ⊥，1PN BB ⊥，PM PN P =，
∴1BB ⊥平面PMN ，∴1BB MN ⊥． 又11//CC BB ，∴1CC MN ⊥．
（2）在斜三棱柱111ABC A B C -中，有11111111112
2
2
2cos ABB A BCC B ACC A BCC B ACC A S S S S S α=+-， 其中α为平面11BCC B 与平面11ACC A 所成的二面角的大小．
证明：∵1CC ⊥平面PMN ， ∴上述的二面角的平面角为MNP ∠． 在PMN ∆中，
∵2222cos PM PN MN PN MN MNP =+-⋅∠，
∴222222111112()()cos PM CC PN CC MN CC PN CC MN CC MNP ⋅=⋅+⋅-⋅⋅∠， 由于111CBB C S PN CC =⋅，111ACC A S MN CC =⋅，1111ABB A S PM BB PM CC =⋅=⋅， ∴11111111112
2
2
2cos ABB A BCC B ACC A BCC B ACC A S S S S S α=+-．。