☆2002年普通高等学校招生全国统一考试上海秋考卷

2002年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码.2.本试卷共有22道试题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1、若C z ∈，且()13=+i z （i 为虚数单位），则=z 3i --. 2、已知向量a 和b 的夹角为︒120，且5,2==b a ，则()=⋅-a b a213.3、方程()12321log 3+=⋅-x x的解=x 1-.4、若正四棱锥的底面边长为cm 32，体积为34cm ，则它的侧面与底面所成的二面角的大小是30︒.5、已知在二项式()n x 31+和()n x 52+的展开式中，各项系数之和分别记为n n b a ,，n 是正整数，则=--∞→nn nn n b a b a 432lim12.6、已知圆()1122=++y x 和圆外一点()2,0P ，过点P 作圆的切线，则两条切线夹角的正切值是43.7、在某次花样滑冰比赛中，发生裁判受贿事件。

竞赛委员会决定将裁判由原来的9名裁判增至14名，但只任取其中7名裁判的评分作为有效分,若14名裁判中有2人受贿，则有效分中没有受贿裁判的评分的概率是313. （结果用数值表示） 8、〖文〗抛物线()()1412+=-x y 的焦点坐标为()0,1.〖理〗曲线⎩⎨⎧+=-=1212t y t x （t 为参数）的焦点坐标是()0,1.9、〖文〗某工程由下列工序组成，则工程总时数为11天.〖理〗若B A ,两点的极坐标为()0,6,3,4B A ⎪⎭⎫⎝⎛π，则AB 中点的极坐标是⎭. （极角用反三角函数值表示）10、设函数()x x f 2sin =，若()t x f +是偶函数，则t 的一个可能值是()()3//.../21444k k Z πππ+∈.11、若数列{}n a 中，31=a ，且21n n a a =+（n 为正整数），则数列的通项=n a ()12*3n n N -∈.12、已知函数()x f y =（定义域为D ，值域为A ）有反函数()x fy 1-=，则方程()0=x f 有解a x =，且()()D x x x f ∈>的充要条件为()x fy 1-=满足()()()110f a f x x x A --=<∈且.二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且仅有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（无论是否都写在圆括号内）一律得零分.13、如图，在复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合是下列四个中的————————————————（D ）()A ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≥=C z z z z ,21Re ,1； ()B ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≥≤C z z z z ,21Re ,1()C ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≥=C z z z z ,21Im ,1； ()D ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≥≤C z z z z ,21Im ,1；14、已知直线l 、m ，平面α、β，且βα⊂⊥m l ,，给出下列四个命题： ⑴若α∥β，则l ⊥m ； ⑵若m l ⊥，则α∥β；⑶若βα⊥，则l ∥m ； ⑷若l ∥m ，则βα⊥；其中正确命题的个数是——————————————————————————————————————（B ）()A 1个()B 2个 ()C 3个 ()D 4个15、函数x x y sin +=，[]ππ,-∈x 的大致图像是——————————————————————————（C ）()A()B()C()D16、一般地，家庭用电量（千瓦时）与气温（C ︒）有一定的关系。

图（1）表示某年12个月中每月的平均气温，图（2）表示某家庭在这年12个月中每月的用电量。

根据这些信息，以下关于该家庭用电量与气温间关系的叙述中，正确的是———————————————————————————————（C ）()A 气温最高时，用电量最多； ()B 气温最低时，用电量最少；()C 当气温大于某一值时，用电量随气温增高而增加； ()D 当气温小于某一值时，用电量随气温降低而增加；三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤。

17、（本题满分12分）如图直三棱柱111O B A ABO -中，︒=∠===90,3,4,41AOB OB OA OO ，D 是线段11B A 的中点，P 是侧棱1BB 上一点，若BD OP ⊥，求OP 与底面 AOB 所成的角的大小.（结果用反三角函数值表示）参考解答：解法一：以O 为原点，建立空间直角坐标系，由题意有()3,0,0B，3,2,42D ⎛⎫⎪⎝⎭， 设()3,0,P z ，则3,2,42BD ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3,0,OP z =.因为BD OP ⊥，所以9402BD OP z ⋅=-+= ，98z =.因为1BB ⊥平面AOB ，所以POB ∠是OP 与底面AOB 所成的角，3tan 8POB ∠=，所以POB ∠3arctan 8=. 解法二：取11O B 中点E ，连接,DE BE ，则DE ⊥平面11OBBO ，所以BE 是BD 在平面11OBBO 内的射影.又OP BD ⊥，由三垂线定理的逆定理得OP BE ⊥，在矩形11OBBO 中，易得1Rt OBP Rt BBE ∆≅∆， 所以11BP OBB E BB =，得98BP =.以下同解法一.18、（本题满分12分）已知点()0,3-A 和()0,3B ，动点C 到B A ,两点的距离之差的绝对值为2，直点C 的轨迹与线2-=x y 交于E D ,两点，求线段DE的长.参考解答：设点(),C x y ，则2CA CB -=±，根据双曲线的定义，可知点C 的轨迹是双曲线22221x y a b-=.由22,2a c AB ===，得221,2a b ==，故点C 的轨迹方程是22112x y -=. 由221122x y y x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，得2460x x +-=，因为0∆>，所以直线与双曲线有两个交点，设()()1122,,,D x y E x y ， 则124x x +=-，126x x =-，故DE ===.19、〖文〗（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数()222++=ax x x f ，[]5,5-∈x ，⑴当1-=a 时，求函数()x f 的最大值与最小值；⑵求实数a 的取值范围，使()x f y =在区间[]5,5-上是单调函数.参考解答： ⑴当1a =-时，()()222211f x x x x =-+=-+，[]5,5x ∈-，所以1x =时，()f x 的最小值为1； 当5x =-时，()f x 的最大值为37.⑵函数()()222f x x a a =++-图像的对称轴为x a =-，因为()f x 在区间[]5,5-上是单调函数， 所以5a -≤-或5a -≥，故a 的取值范围是5a ≤-或5a ≥.〖理〗（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数()22tan 1f x x x θ=+⋅-，[]3,1-∈x ，其中⎪⎭⎫⎝⎛-∈2,2ππθ，⑴当6πθ-=时，求函数()x f 的最大值与最小值；⑵求θ的取值范围，使()x f y =在区间[]3,1-上是单调函数.参考解答：⑴当6πθ=-时，()2241,333f x x x x x ⎛⎡=--=--∈- ⎣ ⎝⎭， 所以x =时，()f x 的最小值为43-，当1x =-时，()f x ⑵函数()()22tan 1tan f x x θθ=+--图像的对称轴为tan x θ=-，因为()yf x =在区间⎡-⎣上是单调函数，所以tan 1θ-≤-或tan θ-≥tan1θ≥或tan θ≤θ的取值范围 是,,2342ππππ⎛⎤⎡⎫--⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.20、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分.某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的%80出售；同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，根据上述促销方法，顾客在该商场购买可以获得双重优惠。

例如，购买标价为元的商品，则消费金额为 元，获得的优惠额为：110302.0400=+⨯元，设购买商品得到的优惠率商品的标价购买商品获得的优惠额=。

试问：⑴购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？ ⑵对于标价在[]800500，（元）内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到不小于31的优惠率？参考解答： ⑴10000.213033%1000⨯+=；⑵设商品的标价为x 元，则500800x ≤≤，消费额：4000.8640x ≤≤，由已知得()0.260134000.8500x I x x +⎧≥⎪⎨⎪≤<⎩ 或()0.2100135000.8640x II x x +⎧≥⎪⎨⎪≤≤⎩，不等式()I 无解，不等式组()II 的解为625750x ≤≤，因此，当顾客购买标价在[]625,750元内的商品时，可得到不小于13的优惠率.21、（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知函数()x b a x f ⋅=的图像过点()1,5,41,4B A ⎪⎭⎫⎝⎛，⑴求函数()x f 的解析式；⑵记()n f a n 2log =，n 是正整数，n S 是数列{}n a 的前n 项和，解关于n 的不等式0n n a S ⋅≤； ⑶〖文〗对于⑵中的n a 与n S ，整数96是否为数列{}n n S a 中的项？若是，则求出相应的项数；若不是，则说明理由.〖理〗对于⑵中的n a 与n S ，整数410是否为数列{}n n S a 中的项？若是，则求出相应的项数；若不是，则说明理由.参考解答：⑴由414a b =⋅，51a b =⋅得4b =，11024a =，故()41024x f x =.⑵由题意24log 2101024n n a n ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，()()192n n nS a a n n =⋅+=⋅-，()()259n n a S n n n =⋅-⋅-. 由0n n a S ≤得()()590n n -⋅-≤，即59n ≤≤，所以5,6,7,8,9n =.⑶1164a S =，2284a S =，3372a S =，4440a S =，而当59n ≤≤时0n n a S ≤，〖文〗当10n ≥时，1010100n n a S a S ≥=，因此96不是数列{}n n S a 中的项.〖理〗当1022n ≤≤时42222972410n na S a S ≤=<，当23n ≥时，423231159210n n a S a S ≥=>.因此，410不是数列{}n n a S 中的项.22、（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.规定()()!1...1m m x x x C mx+-⋅⋅-⋅=，其中R x ∈，m 是正整数，且10=x C ，这是组合数m n C（m n ,是正整数，且n m ≤）的一种推广，⑴求315-C 的值； ⑵〖文〗设0>x，当x 为何值时，()213xxC C 取得最小值？〖理〗组合数的两个性质：①m n n mnC C -=； ②mn m n m n C C C 11+-=+是否能推广到mx C （R x ∈，m 是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由；⑶〖文〗详见〖理〗⑵〖理〗已知组合数m n C 是正整数，证明：当Z x ∈，m 是正整数时，mxC Z ∈.参考解答： ⑴()()()31515191516...19116285!C C --⋅-⋅⋅-==-=-.⑵〖文〗()()()32211212366xx x x x C x x x C ⋅-⋅-⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，因为0x >，2x x +≥当且仅当x =x =()213xxC C 取得最小值.〖理〗性质①不能推广，例如当x=1无意义； 性质②能推广，它的推广形式是11mm mx x x C C C -++=，x R ∈，m 是正整数，事实上： 当1m=时，有10111x x x C C x C ++=+=；当2m ≥时，()()()()()11...11...2!1!mm xx x x x m x x x m C C m m -⋅-⋅⋅-+⋅-⋅⋅-++=+- ()()()1...2111!x x x m x m m m ⋅-⋅⋅-+-+⎛⎫=⋅+ ⎪-⎝⎭()()()1...21!x x x m x m ⋅-⋅⋅-+⋅+=1mx C +=⑶〖文〗详见〖理〗⑵. 〖理〗当xm ≥时，组合数mx C Z ∈；当0x m ≤<时0mx C Z =∈；当0x <时因为10x m -+->，所以()()1...1!mxx x x m C m ⋅-⋅⋅-+=()()()()()11...111!m m m x m x m x x C Zm -+--+-⋅⋅-+⋅--⋅=-⋅∈.。