学而思五年级秋季第七讲知识总结教学文案

学而思五年级秋季第七讲知识总结
学而思五年级秋季第七讲知识总结
神奇的9（接上讲）
2. 9的整除特征
①一个数能否被9整除，我们只需要看它的各个数位数字之和能否被9整除；并且它除以9的余数与数字和除以9的余数保持一致。

②实际上算除以9的余数，不仅可以看数字和，也可以将原数任意分割后再相加，看这个和除以9的余数。

例如：12345…9899除以9的余数，就等于1 + 2 + 3 + 4 + …… + 98 + 99的和除以9的余数。

证明和第①条一样，都是用位值原理。

③弃9法：在算除以9的余数时，如果几个数的和是9或9的倍数，可以直接弃掉。

注意等差数列中连续的9个数之和一定是9的倍数。

对应题目：例4、例5、提3、尖3
3. 进位原理与整除特征的综合运用
对应题目：例6、提4、尖4
下面以例6为例，再把解题方法复习一下：
例6：下面算式由1~9中的8个组成，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字。

那么“数学解题”与“能力”的差的最大值是__________.
【解析】首先判断哪一个数字没有用。

在这
个算式中，结果2010除以9余3，所以所有
加数的数字和除以9也余3。

因为1 + 2
+ …… + 9 = 45能被9整除，所以显然数字6
没有用。

其次计算进位的次数。

加数的数字和为45 –
6 = 39，和的数字和为3，相差36，所以发生了4次进位。

最后根据最值的要求往里填数。

现在要求“数学解题”与“能力”的差最大，也就是“数学解题”尽可能大，“能力”尽可能小。

显然“数”= 1；“数学解题”最大，那么“学”= 9；此时百位和十位分别发生了一次进位，那么个位进位两次，即“题”+“力”+“示”= 20。

现在还有数字2、3、4、5、7、8没有用，相加为20，只能是5 + 7 + 8 = 20；所以根据差最大的要求，“题”= 8，“力”= 5；同理，“解”= 4，“能”= 2；即“数学解题”与“能力”的差的最大值为1948 – 25 = 1923。

④
③
②
①
O
D
C
B A
④
③②
①
O
D
B A
蝴蝶模型
1. 任意四边形中的蝴蝶模型
（1） ①×③ = ②×④
（2） ABD BCD S AO S OC =△△ ； ACD ABC S DO
S OB
=△△
对应题目：例1
2. 梯形中的蝴蝶模型
（1） ①×③ = ②×④ （2）
ABD BCD S AO S OC =△△ ； ACD ABC S DO
S OB
=△△ （3） ② = ④
（4） 若AD : BC = a : b ， 则① ：② ：③ ：④ = a 2 ：ab ：b 2
：ab
在各种杯赛里，蝴蝶模型考查最多的就是梯形中的蝴蝶模型，尤其是第（3）和（4）条性质，大家一定要记熟。

在题目中，看见交叉线一定要想到构造蝴蝶模型
蝴蝶模型这一讲并不算难，关键是熟练掌握并应用蝴蝶模型的几个性质。

下面是第七讲补充习题答案
1. A 的数字和是2012，B 的数字和是1997，已知A 和B 作差的时候退了15次位，那么结果的数字和是多少？
【解析】：2012-1997+15×9=150或者1997-2012+15×9=120．
2. 如下图所示的竖式中相同ABCDEF 分别表示1-9中7个不同的数字，那么这七个数字的和是多少？
2 13
0A B C D E
F
G
【解析】：共进位3次，所以数字和为2+1+3+9×3=33，而1624+389=2013是其中的一个解．
3. 123×123×1234×99999999结果的数字和是多少？
【解析】： 容易得知123×123×1234<200×200×2000=8000000<999999999，所以结果的数字和为9×8=72．
4. 1234567891011…19881989除以9的余数是多少？
【解析】：1+2+3+…+1989=1990×1989÷2=995×1989，而1989是9的倍数，所以原来的数除以9的余数为0．
5. 将0-9中的9个数字填入下列算式中，那么没被选中的数字是多少？
□□□□+□□+□□□=2290 【解析】：左右两边除以9的余数相同，右边除以9余4，所以左边除以9的余数也是4，所以没选中的数字应该是5．
1. 如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△AOB 面
积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？
第七讲 蝴蝶模型
上讲回顾
本讲巩固
【解析】：根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =⨯÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5+++=平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米．
2. 如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三
角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？
【解析】：⑴根据蝴蝶定理，123BGC S ⨯=⨯V ，那么6BGC S =V
⑵:1:3AG GC =
3. （2007年第12届华杯赛决赛）在梯形ABCD 中，上底长5厘米，下底长10厘米，
20=∆BOC S 平方厘米，则梯形ABCD 的面积是 平方厘米．
【解析】：上底：下底=5：10=1:2，根据梯形蝴蝶模型的结论，
:::1:2:4:2AOD AOB BOC COD S S S S ∆∆∆∆=，所以:4:9梯形BOC ABCD S S ∆=，所以梯形ABCD 的面
积为20÷4×9=45平方厘米．
4. 如图，22S =，34S =，求梯形的面积．
【解析】：显然422S S ==，所以12431S S S S =⨯÷=，所以梯形面积为1+2+2+4=9．
O
C
D
B
A
B
O
D C
B
A
5. （2009年第14届华杯赛决赛）如图所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，对角线AC ，
BD 相交于点O ．已知AB =5，CD =3，且梯形ABCD 的面积为4，求三角形OAB 的面积．
【解析】：根据题意，AB =5，CD =3，CD :AB =3:5，
则根据蝴蝶模型22::::::9:15:25:15DOC AOD AOB COB S S S S a ab b ab ==V V V V ，令AOB S V =25份，
则梯形ABCD 共有：9+15+25+15=64份．所以1份为：4÷64=1
16
，则三角形OAB 的面积为
116×25=2516
． 6. 已知ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，三角形ODE 的面积为6平方厘米。

则阴
影部分的面积是 平方厘米．
【解析】：连接AC ．由于ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，所以
:2:3CE AD =，根据梯形蝴蝶定理，
22:::2:23:23:34:6:6:9COE AOC DOE AOD S S S S =⨯⨯=V V V V ，所以6AOC S =V （平方厘
米），9AOD S =V （平方厘米），又6915ABC ACD S S ==+=V V （平方厘米），阴影部分面积为61521+=（平方厘米）．
7. 如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形ADG 的面积是
1004，三角形BCH 的面积是1009，求四边形EGFH 的面积．
A B
C
D
O
E H
G F
E D
C
B A
H
G F
E
D
C
B A
【解析】：如图，连结EF ，显然四边形ADEF 和四边形BCEF 都是梯形，于是我们可以得到三角形EFG 的面积等于三角形ADG 的面积；三角形BCH 的面积等于三角形EFH 的面积，所以四边形EGFH 的面积是1004+1009=2013．
8. 在下图的正方形ABCD 中，E 是BC 边的中点，AE 与BD 相交于F 点，三角形ABF
的面积为8平方厘米，那么正方形ABCD 面积是 平方厘米．
【解析】：连接DE ，BE :AD =1:2，根据梯形的蝴蝶模型，得到
:::1:2:4:2BEF EFD AFD ABF S S S S ∆∆∆∆=，所以:2:9梯形ABF ABED S S ∆=，所以梯形ABED 的面
积为8÷2×9=36平方厘米，所以△DCE 的面积为36÷3=12平方厘米，所以正方形面积为36+12=48平方厘米．
9. E 是平行四边形ABCD 的CD 边上的一点，BD 、AE 相交于点F ，已知三角形AFD 的
面积是12，三角形DEF 的面积是8，求四边形BCEF 的面积为多少？
【解析】：如图，根据梯形的蝴蝶中，△BEF 的面积为12，△ABF 的面积为12×12÷8=18，所以△ABE 的面积为18+12=30，所以梯形的面积为30×2=60，所以△BEC 的面积为60-12-12-8-18=10，所以四边形BCEF 的面积为12+10=22．
10. 如图所示两个正方形ABCD 和CEFG 并排放置，已知BF 与CD 交于H 并且
DH =2CH ，三角形DHF 的面积为24，那么五边形ABEFD 的面积是多少？
A B
C
D
E
F F
E
D
C
B
A
F
E
D
C
B
A F E
D C
B
A
【解析】：连BD 、CF ，那么四边形BCFE 是梯形，而CH ：DH=1：2，根据梯形中的蝴蝶模型，得到△CHB 的面积为24，△CHF 的面积为12，△BHD 的面积为48，所以△CDB 面积为24+48=72，所以大正方形面积为144．那么得到边长CD 的长度为12，而△CDF 的面积为12+24=36，所以可以得到GF=36×2÷12=6，那么小正方形面积为36，△GDF 面积为（12-6）×6÷2=18，所以五边形面积为18+36+144=198．
H
G F
E D C B
A H
G F
E
D C B
A。