材料力学第09章(压杆稳定复习)-06

两端铰支 一端固定 一端自由 一端固定 一端铰支 两端固定
π 2EI F = cr (µl )2
欧拉公式
µ=1
µ =2
µ = 0.7
µ =0.5
三、临界应力
π 2E σ cr = 2 λ
欧拉公式
µ l — — 杆的柔度（或长细或） λ=
i
I (i = — — 惯性惯径 ) A
四、压杆的临界应力总图
σ cr
σS
σP
π 2E λ1 = σp
a −σ s λ2 = b
σcr =a−bλ −
π 2E σ cr = 2 λ
λ2
λ1
临界应力总图
λ=
µL
i
λ ≥ λ 1，大柔度杆 λ 2 ≤ λ ≤ λ 1，中柔度杆 λ ≤ λ 2，粗短杆 粗短杆
π 2E σ cr = 2 λ
σ c1m 1m
B
φ40
C
F A
1m 1m
FB B FB B
i=
I d 40 = = = 10 mm A 4 4
FA
275 [σ ]= = = 137.5(MPa ) n 2 Fl M max = 2 M max Fl σ max = = ≤ [σ ] W 2W
∴F
≤
σs
µ l 2 × 1000 = = 200 λ= 10 i
= 200 2 × 4
= 63.6(kN)
F A
1m 1m
FB B FB B
FA
F cr F cr Q = ≥ n st FB 0 .5 F
∴ F≤
F cr 63.6 = = 42.4 (kN) 0 . 5 n st 0.5× 3
所以，许用值 所以，许用值[F]=38.8kN
π 2E π 2 × 205×10 3 λ1 = = σP 250
= 90
∴λ > λ1
是细长杆，用欧拉公式： 是细长杆，用欧拉公式：
2W[σ ] 2×141×103 ×137.5 = l 1000
= 38.8(kN)
π 2E F =σcr⋅ A = 2 ⋅ A cr λ π 3 × 205×10 3 × 40 2
σ cr = σ s
π 2E λ1 = σp
a −σ s λ2 = b
λ=
µl
i
Fcr = σ cr ⋅ A
I i= A
五、压杆的稳定校核
Fcr 安全系数法： 安全系数法： n = F
稳定条件： 稳定条件：
工作安全系数
n
≥
nst
nst —规定的安全系数 规定的
已知F=12kN，斜撑杆 的外径 的外径D=45mm，内径 [例1] 已知 ，斜撑杆CD的外径 ， d=40mm，材料为 ，材料为Q235钢， E=200GPa，σP=200MPa， 钢 ， ， σS=235MPa， a=304MPa，b=1.12MPa， 稳定安全系数 ， ， ， nst =2.5，试校核斜撑杆的稳定性。 ，试校核斜撑杆的稳定性。
Fcr = σ cr ⋅ A =198.4×
π (452 − 402 )
4
= 84 ( kN )
F cr 84 = = 2 . 48 < n st n= F CD 33 . 95
不满足稳定性要求。 ∴斜撑杆CD不满足稳定性要求。 斜撑杆 不满足稳定性要求
梁为No16号工字钢，W=141cm3，BC柱直径 号工字钢， 梁为 号工字钢 柱直径 [例2]AB梁为 d=40mm，材料均为Q275钢， E=205GPa， ，材料均为 钢 ， σP=250MPa， σS=275MPa， a=338MPa，b=1.22MPa， ， ， ， ， 强度安全因数 n =2，稳定安全因数 nst =3，求载荷 的许 ， ，求载荷F的许 用值。 用值。 No16
F
1m 1m 1m 1m
F
B A
45° °
B A
45° °
C
C
FCD
解：∑ M A = 0, 1 × FCD sin 45° − 2 × F = 0
D
FCD =
4F 2F = 33 .95 kN = cos45° 2
I π ( D4 −d 4 ) i= A= 64
π ( D2 −d 2 )
4
D2 + d 2 = = 15(mm) 4
一、什么是压杆失稳 什么是压杆失 当杆子所受压力达到或超过某一临界值时， 当杆子所受压力达到或超过某一临界值时，压杆丧失其直 线形状的平衡而过渡为曲线平衡，称为丧失稳定，简称失稳。 线形状的平衡而过渡为曲线平衡，称为丧失稳定，简称失稳。 二、细长压杆临界压力
µ—长度系数（或约束系数）。 长度系数（ 长度系数 或约束系数） µ l —相当长度 相当长度
1× 2 ×1×10 3 = 94 .3 = λ= 15 i
µl
π 2 E π 2 × 200×10 3 λ1 = = = 99 σP 200
a −σ s 304 − 235 ∴ λ 2 < λ < λ1 = = 61 .1 λ2 = 1.12 b σcr = a − bλ = 304 − 1.12 × 94 .3 = 198 .4( MPa )