数形结合思想在函数与三角函数中的应用-练习题
三角函数的图像与性质 难点训练(答案)
三角函数的图象和性质三角函数的图象和性质是高考的热点,在复习时要充分运用数形结合的思想,把图象和性质结合起来.本节主要帮助考生掌握图象和性质并会灵活运用.●难点磁场(★★★★)已知α、β为锐角,且x (α+β-2π)>0,试证不等式f (x )=)sin cos ()sin cos (αββα+x x <2对一切非零实数都成立.●案例探究[例1]设z 1=m +(2-m 2)i ,z 2=cos θ+(λ+sin θ)i ,其中m ,λ,θ∈R ,已知z 1=2z 2,求λ的取值范围.命题意图:本题主要考查三角函数的性质,考查考生的综合分析问题的能力和等价转化思想的运用,属★★★★★级题目.知识依托:主要依据等价转化的思想和二次函数在给定区间上的最值问题来解决. 错解分析:考生不易运用等价转化的思想方法来解决问题.技巧与方法:对于解法一,主要运用消参和分离变量的方法把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题;对于解法二,主要运用三角函数的平方关系把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题.[例2]如右图,一滑雪运动员自h =50m 高处A 点滑至O 点,由于运动员的技巧(不计阻力),在O 点保持速率v 0不为,并以倾角θ起跳,落至B 点,令OB =L ,试问,α=30°时,L 的最大值为多少?当L 取最大值时,θ为多大?命题意图:本题是一道综合性题目,主要考查考生运用数学知识来解决物理问题的能力.属★★★★★级题目.知识依托:主要依据三角函数知识来解决实际问题.错解分析:考生不易运用所学的数学知识来解决物理问题,知识的迁移能力不够灵活. 技巧与方法:首先运用物理学知识得出目标函数,其次运用三角函数的有关知识来解决实际问题.本难点所涉及的问题及解决的方法主要有:1.考查三角函数的图象和性质的基础题目,此类题目要求考生在熟练掌握三角函数图象的基础上要对三角函数的性质灵活运用.2.三角函数与其他知识相结合的综合题目,此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力.在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点,并可以逐渐加强.3.三角函数与实际问题的综合应用.此类题目要求考生具有较强的知识迁移能力和数学建模能力,要注意数形结合思想在解题中的应用.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)函数y =-x ·cos x 的部分图象是( )2.(★★★★)函数f (x )=cos2x +sin(2π+x )是( ) A.非奇非偶函数B.仅有最小值的奇函数C.仅有最大值的偶函数D.既有最大值又有最小值的偶函数 二、填空题3.(★★★★)函数f (x )=(31)|cos x |在[-π,π]上的单调减区间为_________. 4.(★★★★★)设ω>0,若函数f (x )=2sin ωx 在[-4,3ππ,]上单调递增,则ω的取值范围是_________.三、解答题5.(★★★★)设二次函数f (x )=x 2+bx +c (b ,c ∈R ),已知不论α、β为何实数恒有f (sin α)≥0和f (2+cos β)≤0.(1)求证:b +c =-1;(2)求证c ≥3;(3)若函数f (sin α)的最大值为8,求b ,c 的值.6.(★★★★★)用一块长为a ,宽为b (a >b )的矩形木板,在二面角为α的墙角处围出一个直三棱柱的谷仓,试问应怎样围才能使谷仓的容积最大?并求出谷仓容积的最大值.7.(★★★★★)有一块半径为R ,中心角为45°的扇形铁皮材料,为了获取面积最大的矩形铁皮,工人师傅常让矩形的一边在扇形的半径上,然后作其最大内接矩形,试问:工人师傅是怎样选择矩形的四点的?并求出最大面积值.8.(★★★★)设-6π≤x ≤4π,求函数y =log 2(1+sin x )+log 2(1-sin x )的最大值和最小值.9.(★★★★★)是否存在实数a ,使得函数y =sin 2x +a ·cos x +85a -23在闭区间[0,2π]上的最大值是1?若存在,求出对应的a 值;若不存在,试说明理由.。
三角函数10道大题(带答案解析)
三角函数1.已知函数()4cos sin()16f x x x π=+-.(Ⅰ)求 ()f x 的最小正周期; (Ⅱ)求()f x 在区间[,]64ππ-上的最大值和最小值.2、已知函数.,1cos 2)32sin()32sin()(2R x x x x x f ∈-+-++=ππ(Ⅰ)求函数)(x f 的最小正周期; (Ⅱ)求函数)(x f 在区间]4,4[ππ-上的最大值和最小值.3、已知函数()tan(2),4f x x =+π(Ⅰ)求()f x 的定义域与最小正周期;(II )设0,4⎛⎫∈ ⎪⎝⎭πα,若()2cos 2,2f =αα求α的大小4、已知函数xxx x x f sin 2sin )cos (sin )(-=.(1)求)(x f 的定义域及最小正周期; (2)求)(x f 的单调递减区间.5、 设函数2()cos(2)sin 24f x x x π=++. (I )求函数()f x 的最小正周期;(II )设函数()g x 对任意x R ∈,有()()2g x g x π+=,且当[0,]2x π∈时, 1()()2g x f x =-,求函数()g x 在[,0]π-上的解析式.6、函数()sin()16f x A x πω=-+(0,0A ω>>)的最大值为3, 其图像相邻两条对称轴之间的距离为2π, (1)求函数()f x 的解析式; (2)设(0,)2πα∈,则()22f α=,求α的值. 7、设426f (x )cos(x )sin x cos x π=ω-ω+ω,其中.0>ω (Ⅰ)求函数y f (x )= 的值域(Ⅱ)若y f (x )=在区间322,ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数,求 ω的最大值.8、函数2()6cos 3(0)2xf x x ωωω=->在一个周期内的图象如图所示,A 为图象的最高点,B 、C 为图象与x 轴的交点,且ABC ∆为正三角形.(Ⅰ)求ω的值及函数()f x 的值域;(Ⅱ)若0()5f x =,且0102(,)33x ∈-,求0(1)f x +的值.9、已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边,cos sin 0a C C b c --= (1)求A ; (2)若2a =,ABC ∆的面积为3;求,b c .10、在∆ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知cos A =23,sin B C .(Ⅰ)求tan C 的值; (Ⅱ)若a ∆ABC 的面积.答案1、【思路点拨】先利用和角公式展开,再利用降幂公式、化一公式转化为正弦型函数,最后求周期及闭区间上的最值.【精讲精析】(Ⅰ)因为()4cos sin()16f x x x π=+-14cos (sin cos )122x x x =+-222cos 1x x =+-2cos 22sin(2)6x x x π=+=+, 所以()f x 的最小正周期为π.(Ⅱ)因为64x ππ-≤≤,所以22663x πππ-≤+≤.于是,当262x ππ+=,即6x π=时,()f x 取得最大值2;当266x ππ+=-,即6x π=-时,()f x 取得最小值-1.2、【解析】 (1)2()=sin (2+)+sin(2)+2cos 133f x x x x ππ--2sin 2coscos 2)34x x x ππ=+=+ 函数()f x 的最小正周期为22T ππ==(2)32sin(2)11()4444424x x x f x ππππππ-≤≤⇒-≤+≤⇒-≤+≤⇔-≤≤当2()428x x πππ+==时,()m a xf x ,当2()444x x πππ+=-=-时,m i n ()1f x =-【点评】该试题关键在于将已知的函数表达式化为=sin (+)y A x ωϕ的数学模型,再根据此三角模型的图像与性质进行解题即可.3、【思路点拨】1、根据正切函数的有关概念和性质;2、根据三角函数的有关公式进行变换、化简求值.【精讲精析】(I )【解析】由2,42+≠+∈x k k Z πππ, 得,82≠+∈k x k Z ππ. 所以()f x 的定义域为{|,}82∈≠+∈k x R x k Z ππ,()f x 的最小正周期为.2π (II )【解析】由()2cos 2,2f =αα得tan()2cos 2,4+=παα22sin()42(cos sin ),cos()4+=-+παααπα 整理得sin cos 2(cos sin )(cos sin ).cos sin +=+--αααααααα因为(0,)4∈πα,所以sin cos 0.+≠αα因此211(cos sin ),sin 2.22-==ααα即 由(0,)4∈πα,得2(0,)2∈πα.所以2,.612==ππαα即4、解(1):si n 0()x x k k Z π≠⇔≠∈得:函数()f x 的定义域为{,}x x k k Z π≠∈(sin cos )sin 2()(sin cos )2cos sin x x xf x x x xx-==-⨯sin 2(1cos 2))14x x x π=-+=--得:)(x f 的最小正周期为22T ππ==;(2)函数sin y x =的单调递增区间为[2,2]()22k k k Z ππππ-+∈ 则322224288k x k k x k πππππππππ-≤-≤+⇔-≤≤+得:)(x f 的单调递增区间为3[,),(,]()88k k k k k Z ππππππ-+∈5、本题考查两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、三角函数的周期等性质、分段函数解析式等基础知识,考查分类讨论思想和运算求解能力. 【解析】211()co242f x x π=++11sin222x =-, (I )函数()f x 的最小正周期22T ππ== (II )当[0,]2x π∈时,11()()sin 222g x f x x =-=当[,0]2x π∈-时,()[0,]22x ππ+∈ 11()()sin 2()sin 22222g x g x x x ππ=+=+=- 当[,)2x ππ∈--时,()[0,)2x ππ+∈ 11()()sin 2()sin 222g x g x x x ππ=+=+=得函数()g x 在[,0]π-上的解析式为1sin 2(0)22()1sin 2()22x x g x x x πππ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩.6、【解析】(1)∵函数()f x 的最大值是3,∴13A +=,即2A =.∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为2π,∴最小正周期T π=,∴2ω=. 故函数()f x 的解析式为()2sin(2)16f x x π=-+.(2)∵()2f α2sin()126πα=-+=,即1sin()62πα-=,∵02πα<<,∴663πππα-<-<,∴66ππα-=,故3πα=.7、解:(1)()14sin sin cos 22f x x x x x ωωωω⎫=++⎪⎪⎝⎭222cos 2sin cos sin x x x x x ωωωωω=++-21x ω=+因1sin 21x ω-≤≤,所以函数()y f x =的值域为1⎡+⎣(2)因sin y x =在每个闭区间()2,222k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上为增函数,故()21f x x ω=+()0ω>在每个闭区间(),44k k k Z ππππωωωω⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上为增函数. 依题意知3,22ππ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦,44k k ππππωωωω⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦对某个k Z ∈成立,此时必有0k =,于是 32424ππωππω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩,解得16ω≤,故ω的最大值为16. 8. 本题主要考查三角函数的图像与性质、同角三角函数的关系、两角和差公式,倍角公式等基础知识,考查基本运算能力,以及数形结合思想,化归与转化思想. [解析](Ⅰ)由已知可得:2()6cos3(0)2xf x x ωωω=->=3cosωx+)3sin(32sin 3πωω+=x x又由于正三角形ABC 的高为23,则BC=4 所以,函数482824)(πωωπ===⨯=,得,即的周期T x f所以,函数]32,32[)(-的值域为x f .……………………6分(Ⅱ)因为,由538)(0=x f (Ⅰ)有 ,538)34(sin 32)(00=+=ππx x f 54)34(sin 0=+ππx 即 由x 0)2,2()34x (323100ππππ-∈+-∈),得,( 所以,53)54(1)34(cos 20=-=+ππx 即 故=+)1(0x f =++)344(sin 320πππx ]4)34(sin[320πππ++x)22532254(324sin)34cos(4cos )34([sin 3200⨯+⨯=+++=ππππππx x567=………………………………………………………12分 9..解:(1)由正弦定理得:cos sin 0sin cos sin sin sin a C C b c A C A C B C --=⇔=+sin cos sin sin()sin 1cos 1sin(30)2303060A C A C a C CA A A A A ︒︒︒︒⇔=++⇔-=⇔-=⇔-=⇔=(2)1sin 42S bc A bc ==⇔=, 2222cos 4a b c bc A b c =+-⇔+= 10. 本题主要考查三角恒等变换,正弦定理,余弦定理及三角形面积求法等知识点.(Ⅰ)∵cos A =23>0,∴sin A=cos C =sin B =sin(A +C )=sin A cos C +sin C cos Acos C +23sin C .整理得:tan C(Ⅱ)由图辅助三角形知:sin C=.又由正弦定理知:sin sin a cA C =,故c = (1)对角A 运用余弦定理:cos A =222223b c a bc +-=. (2)解(1) (2)得:b=or b舍去).∴∆ABC的面积为:S.。
三角函数10道大题(带答案)
三角函数10道大题(带答案)三角函数1.已知函数$f(x)=4\cos x\sin(x+\frac{\pi}{6})+\sin(2x-\frac{\pi}{4})+2\cos2x-1,x\in R$。
Ⅰ)求$f(x)$的最小正周期;Ⅱ)求$f(x)$在区间$[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}]$上的最大值和最小值。
2.已知函数$f(x)=\tan(2x+\frac{\pi}{4}),x\in R$。
Ⅰ)求$f(x)$的定义域与最小正周期;II)设$\alpha\in(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2})$,若$f(\alpha+\frac{\pi}{4})=2\cos2\alpha$,求$\alpha$的大小。
3.已知函数$f(x)=\frac{(sinx-cosx)\sin2x}{\sin x}$。
1)求$f(x)$的定义域及最小正周期;2)求$f(x)$的单调递减区间。
4.设函数$f(x)=\frac{2\pi\cos(2x+\frac{\pi}{4})+\sin2x}{24}$。
Ⅰ)求函数$f(x)$的最小正周期;II)设函数$g(x)$对任意$x\in R$,有$g(x+\pi)=g(x)$,且当$x\in[0,\frac{\pi}{2}]$时,$2\pi g(x)=1-f(x)$,求函数$g(x)$在$[-\pi,0]$上的解析式。
5.函数$f(x)=A\sin(\omega x-\frac{\pi}{6})+1(A>0,\omega>\frac{\pi}{6})$的最大值为3,其图像相邻两条对称轴之间的距离为$\frac{\pi}{2}$。
1)求函数$f(x)$的解析式;2)设$\alpha\in(0,\frac{\pi}{2})$,则$f(\alpha)=2$,求$\alpha$的值。
6.设$f(x)=4\cos(\omega x-\frac{\pi}{6})\sin\omegax+\cos2\omega x$,其中$\omega>0$。
高中数学三角函数练习题及答案
高中数学三角函数练习题及答案一、填空题1.已知四面体ABCD ,M 、N 分别为棱AD 、BC 的中点,F 为棱AB 上异于A 、B 的动点.则下列结论中正确的结论的序号为__________.①线段MN 的长度为1;②若点G 为线段MN 上的动点,则无论点F 与G 如何运动,直线FG 与直线CD 都是异面直线;③MFN ∠的余弦值的取值范围是⎡⎢⎣⎭;④FMN 1.2.已知函数()1sin sin 34f x x x π⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭定义域为[](),m n m n <,值域为11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,则n m-的最小值是________.3.已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .角B 为钝角.设△ABC 的面积为S ,若()2224bS a b c a =+-,则sin A +sin C 的最大值是____________.4.在ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .D 、E 是线段AB 上满足条件1()2CD CB CE =+,1()2CE CA CD =+的点,若2CD CE c λ⋅=,则当角C 为钝角时,λ的取值范围是______________5.三棱锥P ABC -中,PA ⊥平面ABC ,直线PB 与平面ABC 所成角的大小为30,AB =60ACB ∠=︒,则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为________.6.若函数()sin12xf x x π=+,则(1)(2)(3)(2021)f f f f +++⋯⋯+=__________7.在直角平面坐标系xOy 中,12,F F 分别是双曲线()22210yx b b-=>的左、右焦点,过点1F 作圆221x y +=的切线,与双曲线左、右两支分别交于点,A B ,若2||||F B AB =,则b 的值是_________.8.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中,2AB =,1AA =若M 是侧面11BCC B 内的动点,且AM MC ⊥,则1A M 的最小值为__________.9.已知向量a 与b 的夹角为θ,sin θ=||4a b -=,向量,c a c b --的夹角为2π,||23c a -=,则a c ⋅的最大值是___________.10.在平面直角坐标系xOy 中,已知直线2y x =+与x 轴,y 轴分别交于M ,N 两点,点P 在圆22()2x a y -+=上运动.若MPN ∠恒为锐角,则实数a 的取值范围是________.二、单选题11.设150a =,112ln sin cos 100100b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,651ln 550c =,则a ,b ,c 的大小关系正确的是( ) A .a b c << B .a c b << C .b c a << D .b a c <<12.已知函数()()sin cos sin cos 0f x x x x x ωωωωω=++->,则下列结论错误的是( )①1ω=时,函数()f x 图象关于π4x =对称;②函数()f x 的最小值为-2;③若函数()f x 在π,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增,则(]03ω∈,;④1x ,2x 为两个不相等的实数,若()()124f x f x +=且12x x -的最小值为π,则2ω=. A .②③B .②④C .①③④D .②③④13.已知30.4tan(1),tan0.1,a b c πππ=+-==,则( ).A .b c a <<B .c a b <<C .a c b <<D .a b c <<14.在ABC 中,角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ,设ABC 的面积为S ,则24Sa bc+的最大值为( )A B C D 15.设函数()211f x x =-,()122x f e x --=,()31sin 23f x x π=,99i i a =,0i =、1、2、、99.记()()()()()()10219998k k k k k k k I f a f a f a f a f a f a =-+-++-,1k =、2、3,则( ) A .123I I I << B .321I I I << C .132I I I <<D .213I I I <<16.已知,42ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,,32ππβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦sin αβαβ=+,则tan()αβ-=( )AB .1C .2+D 217.如图,将矩形纸片ABCD 折起一角落()EAF △得到EA F '△,记二面角A EF D '--的大小为π04θθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭,直线A E ',A F '与平面BCD 所成角分别为α,β,则( ).A .αβθ+>B .αβθ+<C .π2αβ+>D .2αβθ+>18.在三棱锥S ABC -中,侧棱SA ,SB ,SC 两两垂直,且2SA SB SC +==.设SA x =,该三棱锥的表面积为函数()y f x =,以下判断正确的是( ) A .()f x 为常数 B .()f x 有极小值 C .()f x 有极大值D .()f x 是单调函数19.已知1F 、2F 是椭椭圆和双曲线共有焦点,P 为两曲线的一个公共点,且126F PF π∠=,记椭圆和双曲线的离心率分别1e ,2e ,则1212e e e e +⋅的最大值为 A .4B .2C .83D .16320.已知1sin ,sin ,sin ,222a x x b x ωωω⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,其中0>ω,若函数1()2f x a b =⋅-在区间(,2)ππ内有零点,则实数ω的取值可能是( )A .18B .14C .12D .34三、解答题21.在推导很多三角恒等变换公式时,我们可以利用平面向量的有关知识来研究,在一定程度上可以简化推理过程.如我们就可以利用平面向量来推导两角差的余弦公式:cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+ 具体过程如下:如图,在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O ,以Ox 为始边作角αβ,.它们的终边与单位圆O 的交点分别为A ,B .则(cos ,sin ),(cos ,sin )OA OB ααββ→→== 由向量数量积的坐标表示,有: cos cos sin sin OA OB αβαβ→→⋅=+设,OA OB →→的夹角为θ,则||||cos cos cos cos sin sin OA OB OA OB θθαβαβ→→→→⋅=⋅==+另一方面,由图3.1—3(1)可知,2k απβθ=++;由图可知,2k απβθ=+-.于是2,k k Z αβπθ-=±∈.所以cos()cos αβθ-=,也有cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+, 所以,对于任意角,αβ有:cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+(()C αβ-)此公式给出了任意角,αβ的正弦、余弦值与其差角αβ-的余弦值之间的关系,称为差角的余弦公式,简记作()C αβ-.有了公式()C αβ-以后,我们只要知道cos ,cos ,sin ,sin αβαβ的值,就可以求得cos()αβ-的值了.阅读以上材料,利用下图单位圆及相关数据(图中M 是AB 的中点),采取类似方法(用其他方法解答正确同等给分)解决下列问题: (1)判断1OC OMOM→→→=是否正确?(不需要证明)(2)证明:sin sin 2sincos22αβαβαβ+-+=(3)利用以上结论求函数()sin 2sin(2)3f x x x π=++的单调区间.22.已知函数()cos f x x =. (1)若,αβ为锐角,5()f αβ+= 4tan 3α=,求cos2α及tan()βα-的值;(2)函数()(2)3g x f x =-,若对任意x 都有2()(2)()2g x a g x a ≤+--恒成立,求实数a 的最大值;(3)已知3()()()=2f f f αβαβ+-+,,(0,)αβπ∈,求α及β的值.23.在直角ABC ∆中,2BAC π∠=,延长CB 至点D ,使得2CB BD =,连接AD .(1)若AC AD =,求CAD ∠的值; (2)求角D 的最大值.24.已知函数()2sin 2cos 2f x x x x =++. (1)求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间; (2)求函数()f x 在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上的最大值和最小值.25.已知(1,sin )a x =,(1,cos )b x =,(0,1)e =,且(cos sin )x x -∈. (1)若()//a e b +,求sin cos x x 的值;(2)设()()f x a b me a b =⋅+⋅-,m R ∈,若()f x 的最大值为12-,求实数m 的值.26.已知向量 2(2,22()),(,2a x b ωϕ=+=,其中0,02πωϕ><<.函数()f x a b =⋅的图象过点()1,2B ,点B 与其相邻的最高点的距离为4.(Ⅰ)求函数()f x 的单调递减区间; (Ⅱ)计算()()()12...2017f f f +++的值;(Ⅲ)设函数()()1g x f x m =--,试讨论函数()g x 在区间 [0,3] 上的零点个数. 27.已知函数()f x a b =⋅,其中()3sin ,1a x =-,()1,cos b x =,x ∈R .(1)求函数()y f x =的单调递增区间; (2)求()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值.28.已知ABC ∆的三个内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,函数()()2sin cos sin f x x A x A =-+,且当512x π=时,()f x 取最大值. (1)若关于x 的方程()f x t =,0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭有解,求实数t 的取值范围;(2)若5a =,且sin sin B C +=,求ABC ∆的面积. 29.在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ,已知sin tan 1cos BC B=-.(Ⅰ)求证:ABC ∆为等腰三角形;(Ⅱ)若ABC ∆是钝角三角形,且面积为24a ,求2b ac的值.30.设向量a =(2sin 2x cos 2xx ),b =(cos x ,sin x ),x ∈[-6π,3π],函数f (x )=2a •b .(1)若|a b |,求x 的值;(2)若f (x )-m m 的取值范围.【参考答案】一、填空题1.①④2.3π 3.984.12(,)369-5.20π6.30327.1189.2510.1a 或4a二、单选题 11.D 12.B 13.D 14.A 15.D 16.D 17.A 18.A 19.A 20.D 三、解答题21.(1)正确;(2)见解析;(3)单调递增区间为,()36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦,()f x 的单调递减区间为2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】 (1) 因为对1||n n →→是n →方向上的单位向量,又1OC →=且OM →与OC→共线,即可判断出正确;(2)在OAM ∆中, ||||coscos22OM OA βαβα→→--=⋅=,又1OC OMOM→→→=,表示出OC →,OM →的坐标,由纵坐标对应相等化简即可证得结论; 即sin sin 2sincos22αβαβαβ+-+=(3)由(2)结论化简可得222233()sin 2sin 22sin cos 23226x x x x f x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭=++==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭借助正弦型函数的性质即可求得结果. 【详解】(1) 因为对于非零向量1,||n n n →→→是n →方向上的单位向量,又1OC →=且OM →与OC→共线,所以1OC OMOM→→→=正确;(2) 因为M 为AB 的中点,则OM AB ⊥,从而在OAM ∆中, ||||coscos22OM OA βαβα→→--=⋅=,又1OC OMOM→→→=,又cos ,sin 22OC αβαβ→++⎛⎫= ⎪⎝⎭,cos cos sin sin 22OM αβαβ→++⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以1sin sin sin22cos 2αβαββα++⎛⎫=⎪-⎝⎭, 即sin sin 2sincos22αβαβαβ+-+=(3)因为222233()sin 2sin 22sin cos 23226x x x x f x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭=++==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令222262k x k πππππ-+≤+≤+,解得: 36k x k ππππ-+≤≤+所以()f x 的单调递增区间为,()36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦令3222262k x k πππππ+≤+≤+,解得: 263k x k ππππ+≤≤+所以()f x 的单调递减区间为2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查向量在证明三角恒等式中的应用,考查类比推理,考查正弦型函数的单调性,难度较难.22.(1)72cos 2,tan()2511αβα=--=;(2)265-;(3)3παβ== 【解析】 【分析】(1)根据同角三角函数的关系和二倍角的余弦公式可求得cos2α的值,利用二倍角的正切公式、同角三角函数的基本关系以及两角差的正切公式可求解tan()βα-的值;(2)由余弦函数的有界性求得()g x 的值域,再将不等式分离参数,并令()1t g x =-,可得1a t t ≤+对[5,3]t ∈--恒成立.易知函数1y t t=+在[5,3]t ∈--单调递增,求出其最小值,则可得265a ≤-,从而求得a 的最大值; (3)利用和差化积公式(需证明)以及二倍角公式,将该式化简,配凑成22(2coscos)sin 0222αβαβαβ+---+=,再结合,(0,)αβπ∈,即可求出α及β的值.【详解】 解:(1)4tan 3α=,且α为锐角, 4sin 5α∴=,3cos 5α=,22tan 24tan 21tan 7ααα==--则227cos 2cos sin 25ααα=-=-,又()cos()f αβαβ+=+=,αβ为锐角,sin()αβ∴+=,tan()2αβ+=-, tan()tan[()2]βααβα∴-=+-242()tan()tan 227241tan()tan 2111(2)()7αβααβα---+-===+++-⨯-; (2)()(2)3cos 23[4,2]g x f x x =-=-∈--,2()(2)()2g x a g x a ≤+--对任意x 恒成立,即2()2()2(()1)g x g x g x a -+≤-对任意x 恒成立, 令()1[5,3]t g x =-∈--,211t a t t t+∴≤=+对[5,3]t ∈--恒成立,又函数1y t t=+在[5,3]t ∈--单调递增,∴当5t =-时,min 126()5t t +=-,265a ∴≤-,则a 的最大值为265-; (3)3()()()2f f f αβαβ+-+=, 即3cos cos cos()2αβαβ+-+= , cos cos()22αβαβα+-=+coscossinsin2222αβαβαβαβ+-+-=-,cos cos()22αβαββ+-=-coscos+sinsin2222αβαβαβαβ+-+-=,cos cos 2coscos22αβαβαβ+-∴+=,又2cos()2cos12αβαβ++=-,232coscos2cos 12222αβαβαβ+-+∴-+=, 则24cos 4coscos10222αβαβαβ++--+=, 22(2coscos)1cos 0222αβαβαβ+---+-=, 即22(2coscos)sin 0222αβαβαβ+---+=,2cos cos 022sin 02αβαβαβ+-⎧-=⎪⎪∴⎨-⎪=⎪⎩,又0απ<<,0βπ<<, 3παβ∴==.【点睛】本题考查了同角三角函数间的关系,两角和与差的三角函数公式,二倍角余弦和正切公式,不等式恒成立问题,考查了运算能力和转化能力,属于综合性较强的题. 23.(1)23CAD π∠=;(2)6π.【解析】 【分析】(1)在ABD ∆中,由正弦定理得,sin sin BD ABDα=,再结合在直角ABC ∆中,sin AB BC C =,然后求解即可;(2)由正弦定理及两角和的余弦可得()2tan tan cos 2sin 22D D αααϕ=+=+,然后结合三角函数的有界性求解即可. 【详解】解:(1)设BAD ∠=α,在ABD ∆中,由正弦定理得,sin sin BD ABDα=, 而在直角ABC ∆中,sin AB BC C =,所以sin sin sin BD BC CDα=, 因为AC AD =,所以C D =, 又因为2CB BD =,所以1sin 2α=,所以6πα=,所以23CAD π∠=;(2)设BAD ∠=α, 在ABD ∆中,由正弦定理得,sin sin BD ABDα=, 而在直角ABC ∆中,()cos cos AB BC ABC BC D α=∠=+, 所以()()cos cos cos sin sin sin sin sin BC D BC D D BD D Dαααα+-==, 因为2CB BD =,所以2sin 2sin cos cos 2sin sin D D D ααα=-, 即22sin cos sin 2tan 12sin 2cos 2D ααααα==+-,即()2tan tan cos 2sin 22D D αααϕ=++,1≤及0,2D π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,解得0tan D <≤ 所以角D 的最大值为6π. 【点睛】本题考查了正弦定理,重点考查了三角函数的有界性,属中档题. 24.(1)T π=;2,63k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭ππππ(2)5; -2 【解析】 【分析】(1)根据二倍角公式和辅助角公式化简即可(2)由02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,π求出26x π+的范围,再根据函数图像求最值即可【详解】(1)()2sin 2cos 22cos 232sin 236f x x x x x x x ⎛⎫=++=++=++ ⎪⎝⎭π,22T ππ==,令3222,2,62263x k k x k k ⎛⎫⎛⎫+∈++⇒∈++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πππππππππ, 即单减区间为2,,63k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭; (2)由702,2666x t x ⎡⎤⎡⎤∈⇒=+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,ππππ,当76πt =时,()f x 的最小值为:-2;当2t π=时,()f x 的最大值为:5【点睛】本题考查三角函数解析式的化简,函数基本性质的求解(周期、单调性、在给定区间的最值),属于中档题 25.(1)0 (2)32【解析】 【分析】(1)通过()//a e b +可以算出()(1,sin 1)//1,cos cos sin 1x x x x +⇒=+,移项、两边平方即可算出结果.(2)通过向量的运算,解出()()f x a b me a b =⋅+⋅-,再通过最大值根的分布,求出m 的值. 【详解】(1)通过()//a e b +可以算出()(1,sin 1)//1,cos cos sin 1x x x x +⇒=+, 即2cos sin 1(cos sin )112sin cos 1sin cos 0x x x x x x x x -=⇒-=⇒-=⇒= 故答案为0.(2)()1sin cos (sin cos )f x x x m x x =++-,设()cos sin x x t t ⎡-=∈⎣,22112sin cos sin cos 2t x x t x x --=⇒=,22113()()1222t g t f x mt t mt -==+-=--+,即213(),22g t t mt t ⎡=--+∈⎣的最大值为12-; ①当11m m -≤⇒≥-时,max 1313()(1)2222g x g m m ==--+=-⇒=(满足条件);②当11m m <-≤⇒<-时,222max 1311()()22222g x g m m m m =-=-++=-⇒=-(舍);③当m m -><max 131()2222g x g m ==-⨯-=-⇒=故答案为32m = 【点睛】当式子中同时出现sin cos ,sin cos ,sin cos x x x x x x +-时,常常可以利用换元法,把sin cos x x 用sin cos ,sin cos x x x x +-进行表示,但计算过程中也要注意自变量的取值范围;二次函数最值一定要注意对称轴是否在规定区间范围内,再讨论最后的结果.26.(Ⅰ)[41,43]k k ++,k Z ∈;(Ⅱ)2018;(Ⅲ)详见解析. 【解析】 【分析】(Ⅰ)由数量积的坐标运算可得f (x ),由题意求得ω4π=,再由函数f (x )的图象过点B (1,2)列式求得φ.则函数解析式可求,由复合函数的单调性求得f (x )的单调递增区间;(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f (x )=1+sin2x π,可得f (x )是周期为4的周期函数,且f (1)=2,f (2)=1,f (3)=0,f (4)=1.得到f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=4. 进一步可得结论;(Ⅲ)g (x )=f (x )﹣m ﹣12sin x m π=-,函数g (x )在[0,3]上的零点个数,即为函数y =sin2x π的图象与直线y =m 在[0,3]上的交点个数.数形结合得答案.【详解】(Ⅰ)∵a =cos2(ωx +φ)),b =(22,∴f (x )2222a b =⋅=⨯-(ωx +φ)=1﹣cos2(ωx +φ)), ∴f (x )max =2,则点B (1,2)为函数f (x )的图象的一个最高点. ∵点B 与其相邻的最高点的距离为4,∴242πω=,得ω4π=. ∵函数f (x )的图象过点B (1,2),∴1222cos πϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭,即sin2φ=1.∵0<φ2π<,∴φ4π=. ∴f (x )=1﹣cos2(44x ππ+)=1+sin2x π,由322222k x k πππππ+≤≤+,得4143k x k +≤≤+,k Z ∈. ()f x ∴的单调递减区间是[41,43]k k ++,k Z ∈.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f (x )=1+sin2x π,∴f (x )是周期为4的周期函数,且f (1)=2,f (2)=1,f (3)=0,f (4)=1. ∴f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=4. 而2017=4×504+1,∴f (1)+f (2)+…+f (2017)=4×504+2=2018; (Ⅲ)g (x )=f (x )﹣m ﹣12sin x m π=-,函数g (x )在[0,3]上的零点个数,即为函数y =sin2x π的图象与直线y =m 在[0,3]上的交点个数.在同一直角坐标系内作出两个函数的图象如图:①当m >1或m <﹣1时,两函数的图象在[0,3]内无公共点; ②当﹣1≤m <0或m =1时,两函数的图象在[0,3]内有一个共点; ③当0≤m <1时,两函数的图象在[0,3]内有两个共点. 综上,当m >1或m <﹣1时,函数g (x )在[0,3]上无零点; ②当﹣1≤m <0或m =1时,函数g (x )在[0,3]内有1个零点; ③当0≤m <1时,函数g (x )在[0,3]内有2个零点.【点睛】本题考查三角函数中的恒等变换应用,考查数量积的坐标运算,体现了数形结合的解题思想方法,是中档题. 27.(1)2[2,2],33k k k Z ππππ-++∈;(2)最小值为1-3 【解析】 【分析】(1)先利用平面向量数量积的坐标运算律以及辅助角公式得出()2sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,然后解不等式()22262k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈可得出函数()y f x =的单调递减区间;(2)由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得出6x π-的取值范围,然后再利用正弦函数的性质得出函数()y f x =的最大值和最小值. 【详解】 (1)()3sin ,1a x =-,()1,cos b x =,()313cos 2cos 2sin cos cos sin 266f x x x x x x x ππ⎫⎛⎫∴=-=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2sin 6x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,解不等式()2222k x k k Z ππππ-+≤≤+∈,得()22233k x k k Z ππππ-+≤≤+∈, 因此,函数()y f x =的单调递增区间为2[2,2],33k k k Z ππππ-++∈;(2)02x π≤≤,663x πππ∴-≤-≤,所以,函数()y f x =在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,则()min 2sin 16f x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,()max 2sin 2sin 263f x πππ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭因此,函数()y f x =在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1-【点睛】本题考查三角函数的单调性与最值,考查平面数量积的坐标运算,解这类问题首先要利用三角三角恒等变换公式将三角函数解析式化简,并将角视为一个整体,利用正弦函数或余弦函数的基本性质求解,考查分析问题和解题问题的能力,属于中等题.28.(1)(;(2 【解析】 【分析】(1)利用两角和差的正弦公式整理()f x 可得:()sin(2)A f x x =-,再利用已知可得:522122A k πππ⨯-=+(k Z ∈),结合已知可得:3A π=,求得:(0,)2x π∈时,sin(2)13x π<-≤,问题得解.(2)利用正弦定理可得:sin sin )+=+B C b c ,结合sin sin B C +=可得:8+=b c ,对a 边利用余弦定理可得:2222cos a b c bc A =+-,结合已知整理得:13=bc ,再利用三角形面积公式计算得解. 【详解】解:(1)()2sin()cos sin f x x A x A =-+2sin()cos sin[()]x A x x x A =-+--2sin()cos sin cos()cos sin()x A x x x A x x A =-+--- sin cos()cos sin()x x A x x A =-+-sin(2)x A =-.因为()f x 在512x π=处取得最大值, 所以522122A k πππ⨯-=+,k Z ∈, 即2,3A k k Z ππ=-+∈. 因为(0,)A π∈,所以3A π=,所以()sin(2)3f x x π=-.因为(0,)2x π∈,所以22(,)333x πππ-∈-所以sin(2)13x π<-≤,因为关于x 的方程()f x t =有解,所以t 的取值范围为(.(2)因为5a =,3A π=,由正弦定理sin sin sin b c a B C A ==于是sin sin )+=+B C b c .又sin sin B C +=,所以8+=b c . 由余弦定理得:2222cos a b c bc A =+-,整理得:2225=+-b c bc ,即225()3643=+-=-b c bc bc , 所以13=bc ,所以1sin 2ABC S bc A ∆==【点睛】本题主要考查了两角和、差的正弦公式应用,还考查了三角函数的性质及方程与函数的关系,还考查了正弦定理、余弦定理的应用及三角形面积公式,考查计算能力及转化能力,属于中档题.29.(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ)2 【解析】 【分析】(Ⅰ)将正切化弦,结合两角和差正弦公式可求得()sin sin C B C =+,根据三角形内角和可整理为sin sin C A =,则由正弦定理可得到结论;(Ⅱ)利用三角形面积公式可求得1sin 2B =;根据三角形为钝角三角形且(Ⅰ)中的c a =,可知B 为钝角,求得cos B ;利用余弦定理可构造方程求得,a b 之间关系,从而得到所求结果. 【详解】 (Ⅰ)由sin tan 1cos B C B =-得:sin sin cos 1cos C BC B=-则:()sin sin cos cos sin sin C B C B C B C =+=+A B C π++= ()()sin sin sin B C A A π∴+=-= sin sin C A ∴=由正弦定理可知:c a =ABC ∆∴为等腰三角形(Ⅱ)由题意得:2211sin sin 224a S ac B a B ===,解得:1sin 2B =ABC ∆为钝角三角形,且a c = B ∴为钝角 cos B ∴=由余弦定理得:(2222222cos 22b a c ac B a a =+-==+2222b b ac a ∴==【点睛】本题考查三角形形状的求解、利用余弦定理、三角形面积公式求解三角形边之间的关系问题,涉及到两角和差正弦公式、三角形内角和、诱导公式、同角三角函数值的求解等知识.30.(1)π4x =;(2)2⎤⎦.【解析】 【分析】(1)根据|a |=b |,利用化简函数化简解得x 的值; (2根据f (x )=2a •b .结合向量的坐标运算,根据x ∈[6π-,3π],求解范围,)﹣f (x )﹣m ≤m 的取值范围. 【详解】解:(1)由|a b |, 可得222a b =; 即4sin 2x =2(cos 2x +sin 2x ) 即sin 2x =12;∴sin x = ∵x ∈[-6π,3π], ∴x =4π(2)由函数f (x )=2a •b =2sin2x 2x=sin2x +1122-cos2x )=sin2x x (2x -3π)∵x ∈[-6π,3π], ∴2x -3π∈[-23π,3π],2≤2sin (2x -3π)要使f (x )-m则2m m ⎧-≤⎪⎨≥⎪⎩2m ≤故得m 的取值范围是2]. 【点睛】本题考查三角函数的化简能力和向量的运算,考查转化思想以及计算能力.。
高中数学三角函数专项练习题(含答案)
高中数学三角函数专项练习题(含答案)一、填空题1.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,1a =,34A π=,若b c λ+有最大值,则实数λ的取值范围是_____.2.已知函数()()4sin 03πf x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭,圆C 的方程为()22525x y -+=,若在圆C 内部恰好包含了函数()f x 的三个极值点,则ω的取值范围是______.3.已知()()()cos sin 0f x x x x ωωωω=>,如果存在实数0x ,使得对任意的实数x ,都有()()()002016f x f x f x π≤≤+成立,则ω的最小值为___________.4.在ABC 中,角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c ,D 为边BC 上的一点,若6c =,b =sin BAD ∠=,cos BAC ∠=,则AD =__________. 5.△ABC 中,角A ,B ,C 所对的三边分别为a ,b ,c ,c =2b ,若△ABC 的面积为1,则BC 的最小值是________ .6.关于函数())cos sin f x x x x =+①其表达式可写成()cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭;②直线12x π=-是曲线()y f x =的一条对称轴;③()f x 在区间,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增;④存在0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使()()3f x f x αα+=+恒成立.其中正确的是______(填写正确的番号).7.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中,2AB =,1AA =若M 是侧面11BCC B 内的动点,且AM MC ⊥,则1A M 的最小值为__________.8.设△A n B n C n 的三边长分别为a n ,b n ,c n ,n =1,2,3…,若11b c >,1112b c a +=,11,2n n n n n a c a a b +++==,12n n n a bc ++=,则n A ∠的最大值是________________. 9.已知O 为△ABC 外接圆的圆心,D 为BC 边的中点,且4BC =,6AO AD ⋅=,则△ABC 面积的最大值为___________.10.已知P 是直线34130x y ++=上的动点,PA ,PB 是圆()()22111x y -+-=的切线,A ,B 是切点,C 是圆心,那么四边形PACB 面积的最小值是________.二、单选题11.若方程x 2 +2x +m 2 +3m = m cos(x +1) + 7有且仅有1个实数根,则实数m 的值为( ) A .2B .-2C .4D .-412.已知双曲线2221(0)y x b b -=>的左、右焦点分别为1F ,2F ,过点2F 作直线l 交双曲线的右支于A ,B 两点.若11||::3:3:2AB AF BF =,则双曲线的离心率为( )A B C .113D .1113.若函数sin 2y x =与()sin 2y x ϕ=+在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上的图象没有交点,其中()0,2ϕπ∈,则ϕ的取值范围是( )A .[),2ππB .,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C .(),2ππD .,214.在ABC 中,,E F 分别是,AC AB 的中点,且32AB AC =,若BEt CF <恒成立,则t 的最小值为( ) A .34B .78C .1D .5415.已知双曲线22413y x -=的左右焦点分别为1F ,2F ,点M 是双曲线右支上一点,满足120MF MF →→⋅=,点N 是线段12F F 上一点,满足112F N F F λ→→=.现将12MF F △沿MN 折成直二面角12F MN F --,若使折叠后点1F ,2F 距离最小,则λ=( )A .15B .25C .35D .4516.在ABC 中,60BAC ∠=,3BC =,且有2CD DB =,则线段AD 长的最大值为( )A B .2 C 1 D .17.设点()11,P x y 在椭圆22182x y +=上,点()22,Q x y 在直线280x y +-=上,则2121x x y y -+-的最小值是( )A.1B C .1D .218.已知函数22sin sin ,[1,1]()22,(1,)x x a a x f x x ax a x ⎧++-∈-=⎨-+∈+∞⎩若关于x 的不等式()0f x 对任意[1,)x ∈-+∞恒成立,则实数a 的范围是( )A .[0,2]B .(,0][2,)-∞+∞C .(,0][1,2]-∞D .[0,1][2,)⋃+∞19.已知1sin ,sin ,sin ,222a x x b x ωωω⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,其中0>ω,若函数1()2f x a b =⋅-在区间(,2)ππ内有零点,则实数ω的取值可能是( )A .18B .14C .12D .3420.在ABC 中,2AB =,,D E 分别是边AB ,AC 的中点,CD 与BE 交于点O ,若OC =,则ABC 面积的最大值为( )AB .C .D .三、解答题21.已知1l ,2l ,3l 是同一平面内自上而下的三条不重合的平行直线.(1)如图1,如果1l 与2l 间的距离是1,2l 与3l 间的距离也是1,可以把一个正三角形ABC 的三顶点分别放在1l ,2l ,3l 上,求这个正三角形ABC 的边长.(2)如图2,如果1l 与2l 间的距离是1,2l 与3l 间的距离是2,能否把一个正三角形ABC 的三顶点分别放在1l ,2l ,3l 上,如果能放,求BC 和3l 夹角θ的正切值并求该正三角形边长;如果不能,试说明理由.(3)如果边长为2的正三角形ABC 的三顶点分别在1l ,2l ,3l 上,设1l 与2l 间的距离为1d ,2l 与3l 间的距离为2d ,求12d d ⋅的取值范围.22.如图,四边形ABCD 是某市中心一边长为4百米的正方形地块的平面示意图. 现计划在该地块上划分四个完全相同的直角三角形(即Rt ,Rt ,Rt ABF BCG CDH 和Rt DAE ),且在这四个直角三角形区域内进行绿化,中间的小正方形修建成市民健身广场,为了方便市民到达健身广场,拟修建4条路,AE ,BF ,CG DH . 已知在直角三角形内进行绿化每1万平方米的费用为10a 元,中间小正方形修建广场每1万平方米的费用为13a 元,修路每1百米的费用为a 元,其中a 为正常数.设FAB θ∠=,0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.(1)用θ表示该工程的总造价S ;(2)当cos θ为何值时,该工程的总造价最低?23.已知函数 f (x )=a (|sin x |+|cos x |)﹣sin2x ﹣1,a ∈R . (1)写出函数 f (x )的最小正周期(不必写出过程); (2)求函数 f (x )的最大值;(3)当a =1时,若函数 f (x )在区间(0,k π)(k ∈N*)上恰有2015个零点,求k 的值.24.已知()3,sin a x ω=,1,2cos 3b x πω⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,其中0>ω,()f x a b =⋅,且函数()f x 在12x π=处取得最大值.(1)求ω的最小值,并求出此时函数()f x 的解析式和最小正周期; (2)在(1)的条件下,先将()y f x =的图像上的所有点向右平移4π个单位,再把所得图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),然后将所得图像上所有的点向下平移y g x 的图像.若在区间5,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上,方程()210g x a +-=有两个不相等的实数根,求实数a 的取值范围;(3)在(1)的条件下,已知点P 是函数()y h x =图像上的任意一点,点Q 为函数()y f x =图像上的一点,点,6A π⎛ ⎝⎭,且满足12OP OQ OA =+,求()104h x +≥的解集. 25.在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知3sin cos 022A a B ππ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,且2sin 6sin sin A B C =⋅. (1)求A ;(2)若()b c a R λλ+=∈,求λ的值.26.已知函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向左平移2π个单位长度后与函数()()cos 22g x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭图象重合.(1)求ω和ϕ的值;(2)若函数()88h x f x g x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,求函数()h x 的单调递减区间及图象的对称轴方程.27.已知函数()2212cos f x x x =+-. (1)求()f x 的对称轴; (2)将()f x 的图象向左平移12π个单位后得到函数()g x 的图象,当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,求()g x 的值域.28.函数211()sin 2sin cos cos sin 222f x x x πϕϕϕ⎛⎫=⋅+⋅-+ ⎪⎝⎭,22ππϕ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭其图像过定点1,64π⎛⎫⎪⎝⎭(1)求ϕ值;(2)将()y f x =的图像左移8π个单位后得到()y g x =,求()g x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大和最小值及此时对应的x 的取值是多少?29.已知向量 2(2,22()),(,2a x b ωϕ=+=,其中0,02πωϕ><<.函数()f x a b =⋅的图象过点()1,2B ,点B 与其相邻的最高点的距离为4.(Ⅰ)求函数()f x 的单调递减区间; (Ⅱ)计算()()()12...2017f f f +++的值;(Ⅲ)设函数()()1g x f x m =--,试讨论函数()g x 在区间 [0,3] 上的零点个数.30.已知函数())2cos cos 1f x xx x =+-.(1)求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值;(2)若()85f x =-,2,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,求cos2x 的值;(3)若函数()()0y f x ωω=>在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调递增函数,求正数ω的取值范围.【参考答案】一、填空题1.2⎝2.1925731,,48481248ππππ⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ 3.140324.456.②③78.π3##60°9.10二、单选题 11.A12.A 13.A 14.B 15.C 16.C 17.D 18.C 19.D 20.C 三、解答题21.(1)2 ;(2)能放,tan θ=;(3)(]0,1 【解析】 【分析】(1)根据,A C 到直线2l 的距离相等,可得2l 过AC 的中点M ,2l AC ⊥,从而求得边长2AC AM =的值.(2)假设能放,设边长为a ,BC 与3l 的夹角θ,不妨设060θ<≤,可得sin 2a θ=,()sin 601a θ-=,两式相比化简可得sin θa 的值,从而得出结论. (3)利用两角和差的正弦、余弦公式化简()124sin 60sin d d θθ⋅=-为()2sin 2301θ+-,再根据正弦函数的定义和值域求出12d d ⋅的取值范围. 【详解】 (1),A C 到直线2l 的距离相等,∴2l 过AC 的中点M , ∴2l AC ⊥, ∴边长22AC AM ==(2)假设能放,设边长为a ,BC 与3l 的夹角θ, 由对称性,不妨设060θ<≤, ∴sin 2a θ=,()sin 601a θ-=,两式相比可得:()sin 2sin 60θθ=-,即sin sin θθθ-,2sin θθ∴=,tan θ∴=,sin θ∴=,故边长3a==,综上可得,能放.(3)()1214sin60sin4sin sin2d dθθθθθ⎫⋅=-=-⎪⎪⎝⎭()1cos2222sin23012θθθ⎫+=-=+-⎪⎪⎝⎭.060θ<≤,30230150θ∴<+≤,()1sin23012θ≤+≤,所以()02sin23011θ≤+-≤,又10d>,2d>,所以(]120,1d d⋅∈.【点睛】本题是一道考查三角函数应用的题目,解题的关键是掌握等边三角形的性质以及三角函数的恒等变换,属于中档题.22.(1)()16(13sin6sin cos)S aθθθθ=+-,0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭;(2)当3cos4θ=时,()16()S afθθ=取得最小值【解析】(1)根据题意可知4sinBFθ=,4cosAFθ=,进而求得Rt ABFS与EFGHS正方形再求得总造价S即可. (2)由(1)有()16(13sin6sin cos)S aθθθθ=+-,再求导分析函数的单调性与最值即可.【详解】(1)在Rt ABF中,FABθ∠=,4AB=,所以4sinBFθ=,4cosAFθ=.由于Rt,Rt,RtABF BCG CDH和Rt DAE是四个完全相同的直角三角形,所以4sinAE BF CG DHθ====,4(cos sin)EF FG GH HEθθ====-,所以Rt114cos4sin8sin cos22ABFS AF BFθθθθ=⋅⋅=⨯⨯=,2224(cos sin)16(12sin cos)EFGHS EFθθθθ==-=-正方形.所以()48sin cos1016(12sin cos)1344sinS a a aθθθθθθ=⨯⨯+-⨯+⨯⨯16[20sin cos(12sin cos)13sin]aθθθθθ=+-⨯+16(13sin6sin cos)aθθθ=+-,0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.(2)由(1)记()13sin6sin cosfθθθθ=+-,0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.则22232()cos6(cos sin)12cos cos612(cos)(cos)43fθθθθθθθθ'=--=-++=--+.令()0fθ'=,因为0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以3cos4θ=或2cos3θ=-(舍).记3cos4θ=,所以当(0,)θθ∈时,()0fθ'<,()fθ单调递减;当0(,)4πθθ∈时,()0f θ'>,()f θ单调递增. 所以当3cos 4θ=时,()f θ取得极小值,也是最小值, 又0a >,所以当3cos 4θ=时,()16()S af θθ=取得最小值. 【点睛】本题主要考查了三角函数在几何中的运用,同时也考查了求导分析函数最值的方法,属于难题. 23.(1)最小正周期为π.(2)见解析(3)k =1008. 【解析】(1)由题意结合周期函数的定义直接求解即可;(2)令t ,t ∈[1,则当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()()2f x t at t μ==-,当,2x π⎛⎤∈π ⎥⎝⎦时,()()22f x v t t at ==+-,易知()()t v t μ≤,分类比较()1v 、v的大小即可得解;(3)转化条件得当且仅当sin2x =0时,f (x )=0,则x ∈(0,π]时,f (x )有且仅有两个零点,结合函数的周期即可得解. 【详解】(1)函数 f (x )的最小正周期为π. (2)∵f (x )=a (|sin x |+|cos x |)﹣sin2x ﹣1=sin2x ﹣1=(sin2x +1),令t =t ∈[1],当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()()(21f x t at t t μ==-≤≤,当,2x π⎛⎤∈π ⎥⎝⎦时,()()(221f x v t t at t ==+-≤≤,∵()()()2222220t v t at t t at t μ-=--+-=-+≤即()()t v t μ≤.∴()()(){}max max max 1,f x v t v v ==,∵()11v a =-,v,∴当1a ≤-()f x 最大值为1a -;当1a >-()f x .(3)当a =1时,f (x )sin 21x -,若f (x )=0sin 21x =+即22sin 22sin 2sin x x x =+,∴当且仅当sin2x =0时,f (x )=0,∴x ∈(0,π]时,f (x )有且仅有两个零点分别为2π,π, ∴2015=2×1007+1, ∴k =1008. 【点睛】本题考查了三角函数的综合问题,考查了分类讨论思想和转化化归思想,属于难题.24.(1)ω的最小值为1,()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,T π=,(2)104a <≤(3)原不等式的解集为3,22428k k xx k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】(1)先将()f x 化成正弦型,然后利用()f x 在12x π=处取得最大值求出ω,然后即可得到()f x 的解析式和周期(2)先根据图象的变换得到()sin 6x y g x π⎛⎫-= ⎝=⎪⎭,然后画出()g x 在区间5,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象,条件转化为()g x 的图象与直线12y a =-有两个交点即可(3)利用坐标的对应关系式,求出()h x 的函数的关系式,进一步利用三角不等式的应用求出结果. 【详解】 (1)因为()3,sin a x ω=,1,2cos 3b x πω⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()32sin cos 3f x a b x x πωω⎛⎫=⋅=++ ⎪⎝⎭212sin cos sin cos 2x x x x x x ωωωωωω⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭11cos 21sin 2sin 22222x x x x ωωωω-=+=+sin 23x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为()f x 在12x π=处取得最大值.所以22,1232k k Z πππωπ⨯+=+∈,即121,k k Z ω=+∈当0k =时ω的最小值为1此时()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,T π=(2)将()y f x =的图像上的所有的点向右平移4π个单位得到的函数为sin 2sin 2436y x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,再把所得图像上所有的点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到的函数为sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,然后将所得图像上所有的点向下平移32个单位,得到函数()sin 6x y g x π⎛⎫-= ⎝=⎪⎭()sin 6g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间5,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象为:方程()210g x a +-=有两个不相等的实数根等价于()g x 的图象 与直线12y a =-有两个交点 所以11212a ≤-<,解得104a <≤(3)设(),P x y ,()00,Q x y因为点3,6A π⎛ ⎝⎭,且满足12OP OQ OA =+ 所以00126132x x y y π⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩002332x x y y π⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因为点()00,Q x y 为函数()y f x =图像上的一点 所以332sin 2233y x ππ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即1()sin 423y h x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭因为()104h x +≥,所以1sin 432x π⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭所以7242,636k x k k Z πππππ-≤-≤+∈ 所以3,22428k k x k Z ππππ+≤≤+∈ 所以原不等式的解集为3,22428k k xx k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭【点睛】本题考查的知识要点:三角函数关系式的变换,正弦型函数的性质的应用,平面向量的数量积的应用,三角不等式的解法及应用,主要考查学生的运算能力和转换能力,属于中档题.25.(1)3A π=;(2)λ=. 【解析】【分析】(1)根据诱导公式、正弦定理、同角三角函数基本关系式,结合已知等式,化简tan A =(0,)A π∈,可得A 的值; (2)由已知根据余弦定理可得2223a a bc λ+=,利用正弦定理可得26a bc =,联立即可解得λ的值.【详解】(13sin cos 022A a B ππ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos sin 0A a B ⇒+=,cos sin sin 0B A A B ⇒+=(0,)sin 0B B π∈∴≠,tan (0,)3A A A ππ∴=∈∴=;(2)22sin 6sin sin 6A B C a ac =⋅⇒=,2222222cos )(3a b c bc B b c b bc bc c +⋅=++=--=-,而()b c a R λλ+=∈,22()3a a bc λ=-,而26a ac =,所以有2302λλλλ=⇒=>∴= 【点睛】本题考查了诱导公式、正弦定理、同角三角函数基本关系式、余弦定理,考查了数学运算能力.26.(1)2ω=,3πϕ=;(2)减区间为()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦,对称轴方程为()212k x k Z ππ=+∈ 【解析】【分析】(1)先根据平移后周期不变求得2ω=,再根据三角函数的平移方法求得3πϕ=即可.(2)根据(1)中()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,()cos 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭代入可得()h x ,利用辅助角公式求得()23h x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,再代入调递减区间及图象的对称轴方程求解即可. 【详解】(1)因为函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向左平移2π个单位长度后与函数()()cos 22g x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭图象重合, 所以2ω=.5sin 2sin 2cos 222663f x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 所以()cos 2cos 23x x πϕ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭, 因为2πϕ<,所以3πϕ=.(2)由(1)()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,()cos 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭, 所以()88h x f x g x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,sin 2cos 2212123x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 令()3222232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈,解得()71212k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 所以函数的单调递减区间为()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 令()232x k k Z πππ+=+∈,可得图象的对称轴方程为()212k x k Z ππ=+∈. 【点睛】本题主要考查了三角函数的平移运用以及辅助角公式.同时也考查了根据三角函数的解析式求解单调区间以及对称轴等方法.属于中档题.27.(1)23k x ππ=+(k Z ∈)(2)[]0,2 【解析】(1)利用三角恒等变换,化简函数解析式为标准型,再求对称轴;(2)先求平移后的函数解析式,再求值域.【详解】(1)()222cos 1f x x x =-+2cos 2x x =-2sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 令:262x k πππ-=+,得23k x ππ=+, 所以()f x 的对称轴为23k x ππ=+(k Z ∈). (2)将()f x 的图象向左平移12π个单位后得到函数()g x ,所以()12g x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2sin 22sin 2126x x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,有220,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,故[]sin 20,1x ∈, ()g x ∴的值域为[]0,2.【点睛】本题考查利用三角恒等变换化简函数解析式,求解函数性质,同时涉及三角函数图象的平移,以及值域的求解问题.属三角函数综合基础题.28.(1)0ϕ=(2)当4x π=时,min ()g x =;当8x π=-时,max 1()2g x = 【解析】【分析】 (1)先将函数表达式结合降幂公式化简可得()1cos(2)2f x x ϕ=-,结合函数过点1,64π⎛⎫ ⎪⎝⎭和,22ππϕ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭即可求解具体ϕ值; (2)根据函数图像平移法则先求得1()cos 224g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,由,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦求得32,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦,再结合余弦函数性质即可求解 【详解】(1)11cos 21()sin 2sin cos cos 222x f x x ϕϕϕ+=⋅+⋅- 11sin 2sin cos 2cos 22x x ϕϕ=⋅+⋅ 1cos(2)2x ϕ=- 又图像过点1,64π⎛⎫ ⎪⎝⎭,11cos 423πϕ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭ 233k ππϕπ∴-=+或2()3k k Z ππ-+∈ 又,22ππϕ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,0ϕ∴= (2)由(1)知1()cos 22f x x =, 11()cos 2cos 22824g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 32,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦当3244x ππ+=时,即4x π=时,min ()g x =当204x π+=时,即8x π=-时,max 1()2g x =【点睛】本题考查三角函数表达式的化简求值,降幂公式的使用,两角差的余弦公式的逆用,在具体区间函数最值的求解,属于中档题29.(Ⅰ)[41,43]k k ++,k Z ∈;(Ⅱ)2018;(Ⅲ)详见解析.【解析】【分析】(Ⅰ)由数量积的坐标运算可得f (x ),由题意求得ω4π=,再由函数f (x )的图象过点B (1,2)列式求得φ.则函数解析式可求,由复合函数的单调性求得f (x )的单调递增区间;(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f (x )=1+sin 2x π,可得f (x )是周期为4的周期函数,且f (1)=2,f (2)=1,f (3)=0,f (4)=1.得到f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=4. 进一步可得结论;(Ⅲ)g (x )=f (x )﹣m ﹣12sinx m π=-,函数g (x )在[0,3]上的零点个数,即为函数y =sin 2x π的图象与直线y =m 在[0,3]上的交点个数.数形结合得答案.【详解】(Ⅰ)∵a =cos2(ωx +φ)),b =∴f (x )222a b =⋅=⨯(ωx +φ)=1﹣cos2(ωx +φ)), ∴f (x )max =2,则点B (1,2)为函数f (x )的图象的一个最高点. ∵点B 与其相邻的最高点的距离为4,∴242πω=,得ω4π=. ∵函数f (x )的图象过点B (1,2),∴1222cos πϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭,即sin2φ=1. ∵0<φ2π<,∴φ4π=.∴f (x )=1﹣cos2(44x ππ+)=1+sin 2x π, 由322222k x k πππππ+≤≤+,得4143k x k +≤≤+,k Z ∈. ()f x ∴的单调递减区间是[41,43]k k ++,k Z ∈.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f (x )=1+sin 2x π,∴f (x )是周期为4的周期函数,且f (1)=2,f (2)=1,f (3)=0,f (4)=1. ∴f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=4.而2017=4×504+1,∴f (1)+f (2)+…+f (2017)=4×504+2=2018;(Ⅲ)g (x )=f (x )﹣m ﹣12sin x m π=-,函数g (x )在[0,3]上的零点个数, 即为函数y =sin 2x π的图象与直线y =m 在[0,3]上的交点个数.在同一直角坐标系内作出两个函数的图象如图:①当m >1或m <﹣1时,两函数的图象在[0,3]内无公共点;②当﹣1≤m <0或m =1时,两函数的图象在[0,3]内有一个共点;③当0≤m <1时,两函数的图象在[0,3]内有两个共点.综上,当m >1或m <﹣1时,函数g (x )在[0,3]上无零点;②当﹣1≤m <0或m =1时,函数g (x )在[0,3]内有1个零点;③当0≤m <1时,函数g (x )在[0,3]内有2个零点.【点睛】本题考查三角函数中的恒等变换应用,考查数量积的坐标运算,体现了数形结合的解题思想方法,是中档题.30.(I )1-;(II 334-;(III )10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ 【解析】 【分析】 将()f x 整理为2sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭;(I )利用x 的范围求得26x π+的范围,结合sin x 的图象可求得最值;(II )利用()85f x =-可求得sin 26x ;结合角的范围和同角三角函数关系可求得cos 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭;根据cos 2cos 266x x ππ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,利用两角和差余弦公式可求得结果;(III )利用x 的范围求得26x πω+的范围,从而根据sin x 单调递增区间构造出关于ω的不等式组,解不等式组再结合0>ω即可得到结果.【详解】()23cos 2cos 132cos 22sin 26f x x x x x x x π⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭ (I )0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 72,666x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦[]2sin 21,26x π⎛⎫∴+∈- ⎪⎝⎭ ()f x ∴在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为:1- (II )由题意得:82sin 265x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ 4sin 265x π⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭ 2,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 3132,626x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦ 3cos 265x π⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭ cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦341552=⨯(III )()2sin 26f x x πωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,2,6366x πωπππωωπ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦ 2622362k k ππωππωππππ⎧+≤+⎪⎪∴⎨⎪+≥-⎪⎩,k Z ∈,解得:12362k k ωω⎧≤+⎪⎨⎪≥-⎩,k Z ∈ 0ω>,可知当0k =时满足题意,即103ω<≤ω∴的取值范围为:10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查正弦型函数的值域求解、单调性应用、三角恒等变换公式应用、同角三角函数关系等问题.关键是能够利用二倍角公式和辅助角公式将函数化为()sin A x ωϕ+的形式,从而通过整体对应的方式来研究函数的值域和性质.。
灵活运用数学思想,高效解答三角函数问题
备考指南三角函数是高考的必考内容之一.解答三角函数问题,不仅需灵活运用三角函数的性质、公式、图象,还需运用各种数学思想,如换元思想、分类讨论思想、方程思想、整体代换思想来求解.本文主要谈一谈如何灵活运用数学思想,高效解答三角函数问题.一、整体代换思想整体代换思想是指将某些式子看作一个整体,用新元进行代换.在求三角函数值、化简三角函数式、求三角函数的单调区间时,灵活运用整体代换思想,可使问题快速获解.在解题时,需将一些较为复杂的式子、频繁出现的式子进行代换,这样便于简化运算.例1.已知函数f ()x =A sin ()ωx +ϕ(A >0,ω>0,0<||ϕ<π2)部分图象如图1所示,若x 4-x 1=π,x 2=π6.(1)求函数f ()x 的解析式;(2)求f æèöøπ6-x 的单调递增区间.图1O解:(1)f ()x =2sin æèöø2x -π6;(过程略)(2)由(1)可得,f æèöøπ6-x =2sin éëêùûú2æèöøπ6-x -π6=2sin æèöøπ6-2x =-2sin æèöø2x -π6,而2sin æèöø2x -π6的单调递增区间与函数y =2sin θ的单调递增区间一致,因为π2+2k π≤θ≤3π2+2k π()k ∈Z ,所以π2+2k π≤2x -π6≤3π2+2k π,k ∈Z ,解得π3+k π≤x ≤5π6+k π,k ∈Z ,则f æèöøπ6-x 的单调递增区间为éëùûπ3+k π,5π6+k π,k ∈Z .我们需先用π6-x 替换f ()x =2sin æèöø2x -π6中的x ,通过整体代换求得函数f æèöøπ6-x 的解析式;然后将其与函数y =2sin θ的单调递增区间π2+2k π≤θ≤3π2+2k π()k ∈Z 相对应,于是将θ替换成2x -π6,通过整体代换求得x 的取值范围,即为函数的单调递增区间.二、数形结合思想正弦函数、余弦函数、正切函数的图象均有其独特的性质和形状.在解答三角函数问题时,可灵活运用数形结合思想,借助三角函数的图象来分析问题.首先需根据题意和函数式画出函数的图象;然后通过观察图象,确定函数的对称轴、最高点、最低点、零点,并明确函数的变化趋势;再根据题目的要求建立关系式.例2.已知函数f ()x =sin x +2||sin x ,x ∈[]0,2π的图象与直线y =k 有且仅有两个交点,则k 的取值范围为______.解:由题意可得,f ()x =ìíî3sin x ()0≤x ≤π,-sin x ()π≤x ≤2π,画出函数的图象,如图2所示.图2当x ∈[]0,π时,f ()x 的最大值为3,当x ∈[]π,2π时,f ()x 的最大值为1,由图可知,要使f ()x 的图象与直线y =k 有且仅有两个交点,需使1<k <3.根据函数f ()x =sin x +2||sin x 的解析式,我们很容易画出函数的图象,于是在同一个坐标系中分别画出函数f ()x =sin x +2||sin x 和直线y =k 的图象,并移53动直线.通过观察图象,可以发现,只有在1<k <3时,函数f ()x 与直线y =k 有两个交点.这样运用数形结合思想,就能快速求得参数k 的取值范围.例3.已知函数f ()x =23sin ωx 2cosωx 2+2cos 2ωx 2-1(ω>0)的周期为π,当x ∈éëùû0,π2时,方程f ()x =m 恰好有两个不同的实数解x 1、x 2,则f ()x 1+x 2=_____.解:∵f ()x =23sin ωx 2cosωx 2+2cos 2ωx 2-1=3sin æèöøωx +π6,而函数的周期为π,∴T =2πω=π,ω=2,∴函数f ()x =3sin æèöø2x +π6,画出函数f ()x =3sin æèöø2x +π6和直线f ()x =m在éëùû0,π2上的图象,如图3所示.0图3由图可知,关于x 1、x 2,x 1+x 2=2×π6=π3,则f æèöøπ3=2sin æèöø2×π3+π6=2×12=1.将函数式f ()x 化简后,在同一坐标系中画出函数f ()x =3sin æèöø2x +π6和直线f ()x =m 在éëùû0,π2上的图象,即可通过观察图象,发现当方程f ()x =m 有两个不同实数解时,函数f ()x 的对称轴为x =π6,根据函数的对称性就能快速求得x 1+x 2的值.三、方程思想运用方程思想解答三角函数问题,需寻找问题中的等量关系,选取合适的变量,建立关于变量的方程或者方程组,通过解方程或方程组求得问题的答案.例4.已知sin θ+cos θ=15,θ∈()0,π,则cot θ=_____.解:将sin θ+cos θ=15平方,可得sin θcos θ=-1225,因为θ∈()0,π,所以sin θ>0,cos θ<0,且sin θ>||cos θ,将sin θ,cos θ看作方程x 2-15x -1225=0的两个根,则sin θ=45,cos θ=-35,可得cot θ=cos θsin θ=-34.已知关系式中含有sin θ、cos θ,而由同角三角函数的商式关系式可知cot θ=cos θsin θ,于是将已知关系式平方,根据同角三角函数的平方关系式sin 2θ+cos 2θ=1,得到sin θcos θ=-1225,即可根据韦达定理,构造一元二次方程x 2-15x -1225=0,并将sin θ、cos θ看作方程的两个根,通过解方程,求得问题的答案.例5.若2sin 2x -cos 2x +sin x cos x -6sin x +3cos x=0,求2cos 2x +sin 2x 1+tan x 的值.解:2sin 2x -cos 2x +sin x cos x -6sin x +3cos x =2sin 2x +()cos x -6sin x +3cos x -cos 2x ,Δ=(cos x 22x =9()cos x -22,可得sin x =()6-cos x ±()6-3cos x 4,整理得sin x =3-cos x (舍去)或sin x =12cos x ,则tan x =12,所以2cos 2x +sin 2x 1+tan x =2cos x ()cos x +sin x sin x +cos xcos x=2cos 2x =2cos 2x sin 2x +cos 2x =2tan 2x +1=85.将已知关系式看作关于sin x 的一元二次方程,即可通过解方程求得sin x 的表达式,进而求得tan x 的值.可见,灵活运用数学思想,能有效提升解答三角函数问题的效率.在解题的过程中,需根据题意,将已知关系式进行代换,将数形结合起来,构造出合适的方程或方程组,以便运用整体代换思想、数形结合思想、方程思想,快速求得问题的答案.(作者单位:冯艳玲,福建省三明市第九中学;谢定亮,福建省三明第一中学)备考指南54。
三角函数10道大题(带答案)
三角函数大题转练三角函数大题转练1.已知函数()4cos sin()16f x x x p =+-.(Ⅰ)求(Ⅰ)求 ()f x 的最小正周期;的最小正周期;(Ⅱ)求()f x 在区间[,]64p p-上的最大值和最小值.2、已知函数.,1cos 2)32sin()32sin()(2R x x x x x f Î-+-++=p p(Ⅰ)求函数)(x f 的最小正周期;的最小正周期;(Ⅱ)求函数)(x f 在区间]4,4[pp -上的最大值和最小值. 3、已知函数()tan(2),4f x x =+p(Ⅰ)求()f x 的定义域与最小正周期;的定义域与最小正周期;(II II)设)设0,4æöÎç÷èøpa ,若()2cos 2,2f =a a 求a 的大小的大小4、已知函数x x x x x f sin2sin )cos (sin )(-=.(1)求)(x f 的定义域及最小正周期;的定义域及最小正周期; (2)求)(x f 的单调递减区间. 5、 设函数22()cos(2)sin 24f x x x p=++. (I )求函数()f x 的最小正周期;的最小正周期;(II )设函数()g x 对任意x R Î,有()()2g x g x p +=,且当[0,]2x pÎ时,1()()2g x f x =-,求函数()g x 在[,0]p -上的解析式. 6、函数()sin()16f x A x pw =-+(0,0A w >>)的最大值为3, 其图像相邻两条对称轴之间的距离为2p ,(1)求函数()f x 的解析式;的解析式;(2)设(0,)2pa Î,则()22f a =,求a 的值. 7、设426f (x )cos(x )sin x cos x p =w -w +w ,其中.0>w(Ⅰ)求函数y f (x )= 的值域的值域(Ⅱ)若y f (x )=在区间322,p p éù-êúëû上为增函数,求上为增函数,求 w 的最大值. 8、函数2()6cos3cos 3(0)2xf x x w w w =+->在一个周期内的图象如图所示,A 为图象的最高点,B 、C 为图象与x 轴的交点,且ABC D 为正三角形. (Ⅰ)求w 的值及函数()f x 的值域;的值域;(Ⅱ)若083()5f x =,且0102(,)33x Î-,求0(1)f x +的值. 9、已知,,a b c 分别为ABC D 三个内角,,A B C 的对边,cos 3sin 0a C a C b c +--=(1)求A ; (2)若2a =,ABC D 的面积为3;求,b c . 10、在D ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知cos A =23,sin B =5cos C .(Ⅰ)求tan C 的值;的值; (Ⅱ)若a =2,求D ABC的面积.的面积.答案答案1、【思路点拨】先利用和角公式展开,再利用降幂公式、化一公式转化为正弦型函数,最后求周期及闭区间上的最值. 【精讲精析】(Ⅰ)因为()4cos sin()16f x x x p=+-314cos (sin cos )122x x x =+-23sin 22cos 1x x =+-3sin 2cos 22sin(2)6x x x p =+=+,所以()f x 的最小正周期为p .(Ⅱ)因为64x p p-££,所以22663x p pp-£+£.于是,当262x pp+=,即6x p=时,()f x 取得最大值2;当266x p p +=-,即6x p=-时,()f x 取得最小值-1. 2、【解析】 (1)2()=sin (2+)+sin(2)+2cos 133f x x x x p p --2sin 2cos cos 22sin(2)34x x x p p =+=+ 函数()f x 的最小正周期为22T p p ==(2)322sin(2)11()24444424x x x f x p p p p p p -££Þ-£+£Þ-£+£Û-££当2()428x x p p p +==时,()2maxf x =,当2()444x x p p p +=-=-时,mi min n ()1f x =- 【点评】该试题关键在于将已知的函数表达式化为=sin (+)y A x w j 的数学模型,再根据此三角模型的图像与性质进行解题即可数的有关公式进行变换、化简求值.【精讲精析】(I )【解析】由2,42+¹+Îx k k Z p p p , 得,82¹+Îk x k Z p p .所以()f x 的定义域为{|,}82ι+Îkx R x k Z p p ,()f x 的最小正周期为.2p(II )【解析】由(())2cos 2,2f =a a 得tan()2cos 2,4+=pa a22sin()42(cos sin ),cos()4+=-+p a a a p a 整理得sin cos2(cos sin )(cos sin ).cos sin +=+--a a a a a a a a因为(0,)4Îp a ,所以sin cos 0.+¹a a 因此211(cos sin ),sin 2.22-==a a a 即 由(0,)4Îp a ,得2(0,)2Îp a .所以2,.612==p pa a 即4、解(1):s i n 0()x x k k Z p¹Û¹Î得:函数()f x 的定义域为{,}x x k k Z p ¹Î(sin cos )sin 2()(sin cos )2cos sin x x x f x x x xx-==-´sin 2(1cos 2)2sin(2)14x x x p=-+=--得:)(x f 的最小正周期为22T p p ==;(2)函数sin y x =的单调递增区间为[2,2]()22k k k Z p p p p -+Î 则322224288k x k k x k p p p p pp p p p -£-£+Û-££+得:)(x f 的单调递增区间为3[,),(,]()88k k k k k Z p pp p p p -+Î5、本题考查两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、三角函数的周期等性质、分段函数解析式等基础知识,考查分类讨论思想和运算求解能力. 【解析】2211()co 242f x x xp=++11sin 222x =-, (I )函数()f x 的最小正周期22T p p ==(II )当[0,]2x p Î时,11()()sin 222g x f x x =-=当[,0]2x p Î-时,()[0,]22x p p +Î 11()()sin 2()sin 22222g x g x x x pp=+=+=- 当[,)2x p p Î--时,()[0,)2x p p +Î 11()()sin 2()sin 222g x g x x x p p =+=+=得函数()g x 在[,0]p -上的解析式为1sin 2(0)22()1sin 2()22x x g x x x p p p ì--££ïï=íï-£<ïî. 6、【解析】(1)∵函数()f x 的最大值是3,∴13A +=,即2A =. ∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为2p ,∴最小正周期T p=,∴2w =. 故函数()f x 的解析式为()2sin(2)16f x x p=-+. (2)∵()2f a 2sin()126p a =-+=,即1sin()62p a -=, ∵02p a <<,∴663p p pa -<-<,∴66p p a -=,故3p a =. 7、解:(1)()314cos sin sin cos 222f x x x x x w w w w æö=++ç÷ç÷èø22223sin cos 2sin cos sin x x x x x w w w w w =++-3sin 21x w =+因1sin 21x w -££,所以函数()y f x =的值域为13,13éù-+ëû(2)因sin y x =在每个闭区间()2,222k k k Z p p p péù-+Îêúëû上为增函数, 故()3sin 21f x x w =+()0w >在每个闭区间(),44k k k Z p p p p w w w w éù-+Îêúëû上为增函数. 依题意知3,22p p éù-Íêúëû,44k k p p pp w w w w éù-+êúëû对某个k Z Î成立,此时必有0k =,于是32424p p w p pwì-³-ïïíï£ïî,解得16w £,故w 的最大值为16. 8. 本题主要考查三角函数的图像与性质、同角三角函数的关系、两角和差公式,倍角公式等基础知识,考查基本运算能力,以及数形结合思想,化归与转化思想. [解析](Ⅰ)由已知可得:2()6cos3cos 3(0)2xf x x w w w =+->=3cosωx+)3sin(32sin 3pw w +=x x又由于正三角形ABC 的高为23,则BC=4 所以,函数482824)(p w wp ===´=,得,即的周期T x f所以,函数]32,32[)(-的值域为x f .……………………6分 (Ⅱ)因为,由538)(0=x f (Ⅰ)有,538)34(sin 32)(00=+=p p x x f 54)34(s i n 0=+p p x 即 由x 0)2,2()34x (323100pp p p -Î+-Î),得,(所以,53)54(1)34(cos 20=-=+p p x 即故=+)1(0x f =++)344(sin 320p p p x ]4)34(sin[320p p p ++x )22532254(324sin)34cos(4cos )34([sin 3200´+´=+++=pp p p p p x x567=………………………………………………………12分 9..解:(1)由正弦定理得:cos 3sin 0sin cos 3sin sin sin sin a C a C b c A C A C B C+--=Û-=+sin cos 3sin sin sin()sin 13sin cos 1sin(30)2303060A C A C a C CA A A A A °°°°Û+=++Û-=Û-=Û-=Û=(2)1sin 342S bc A bc ==Û=, 2222cos 4a b c bc A b c =+-Û+= 10. 本题主要考查三角恒等变换,正弦定理,余弦定理及三角形面积求法等知识点. (Ⅰ)∵cos A =23>0,∴sin A =251cos 3A -=,又5cos C =sin B =sin(A +C )=sin A cos C +sin C cos A =53cos C +23sin C .整理得:tan C =5.(Ⅱ)由图辅助三角形知:sin C =56.又由正弦定理知:sin sin a c A C=, 故3c =. (1) 对角A运用余弦定理:cos A =222223b c abc +-=. (2) 解(1) (2)得:3b = or b =33(舍去). ∴D ABC 的面积为:S=52.。
三角函数图像及性质-图像变换习题
考点测试20 三角函数的图象和性质一、基础小题1.已知f(x)=sin ⎝⎛⎭⎫x +π2,g(x)=cos ⎝⎛⎭⎫x -π2,则f(x)的图象( ) A .与g(x)的图象相同 B .与g(x)的图象关于y 轴对称 C .向左平移π2个单位,得到g(x)的图象 D .向右平移π2个单位,得到g(x)的图象解析 因为g(x)=cos ⎝⎛⎭⎫x -π2=cos ⎝⎛⎭⎫π2-x =sinx ,所以f(x)向右平移π2个单位,可得到g(x)的图象,故选D. 2.函数y =sin 2x +sinx -1的值域为( )A .[-1,1]B .⎣⎡⎦⎤-54,-1C .⎣⎡⎦⎤-54,1 D .⎣⎡⎦⎤-1,54 答案 C 解析(数形结合法)y =sin 2x +sinx -1,令sinx =t ,则有y =t2+t -1,t ∈[-1,1],画出函数图象如图所示,从图象可以看出,当t =-12及t =1时,函数取最值,代入y =t2+t -1可得y ∈⎣⎡⎦⎤-54,1. 3.函数y =2sin ⎝⎛⎭⎫π6-2x (x ∈[-π,0])的单调递增区间是( ) A .⎣⎡⎦⎤-π,-5π6 B .⎣⎡⎦⎤-π3,0 C .⎣⎡⎦⎤-2π3,-π6 D .⎣⎡⎦⎤-π3,-π6 答案 C 解析 因为y =2sin ⎝⎛⎭⎫π6-2x =-2sin ⎝⎛⎭⎫2x -π6,所以函数y =2sin ⎝⎛⎭⎫π6-2x 的单调递增区间就是函数y =sin ⎝⎛⎭⎫2x -π6的单调递减区间.由π2+2kπ≤2x -π6≤3π2+2kπ(k ∈Z),解得π3+kπ≤x≤5π6+kπ(k ∈Z),即函数y =2sin ⎝⎛⎭⎫π6-2x 的单调递增区间为⎣⎡ π3+kπ,⎦⎤5π6+kπ(k ∈Z),又x ∈[-π,0],所以k =-1,故函数y =2sin ⎝⎛⎭⎫π6-2x (x ∈[-π,0])的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤-2π3,-π6. 4.使函数f(x)=sin(2x +φ)为R 上的奇函数的φ的值可以是( ) A .π4 B .π2C .πD .3π2答案 C 解析 若f(x)是R 上的奇函数,则必须满足f(0)=0,即sinφ=0.∴φ=kπ(k ∈Z),故选C. 5.已知函数f(x)=sin ⎝⎛⎭⎫x +π6,其中x ∈⎣⎡⎦⎤-π3,a ,若f(x)的值域是⎣⎡⎦⎤-12,1,则a 的取值范围是( ) A .⎝⎛⎦⎤0,π3 B .⎣⎡⎦⎤π3,π2 C .⎣⎡⎦⎤π2,2π3 D .⎣⎡⎦⎤π3,π 解析 若-π3≤x≤a ,则-π6≤x +π6≤a +π6.因为当x +π6=-π6或x +π6=7π6时,sin ⎝⎛⎭⎫x +π6=-12,当x +π6=π2时,sin ⎝⎛⎭⎫x +π6=1,所以要使f(x)的值域是⎣⎡⎦⎤-12,1,则有π2≤a +π6≤7π6,即π3≤a≤π,即a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤π3,π.故选D.二、高考小题6.[2015·全国卷Ⅰ]函数f(x)=cos(ωx +φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为( )A .⎝⎛⎭⎫kπ-14,kπ+34,k ∈Z B.⎝⎛⎭⎫2kπ-14,2kπ+34,k ∈ZC .⎝⎛⎭⎫k -14,k +34,k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫2k -14,2k +34,k ∈Z D 解析 由题图可知T 2=54-14=1,所以T =2.结合题图可知,在⎣⎡⎦⎤-34,54(f(x)的一个周期)内,函数f(x)的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫-14,34.由f(x)是以2为周期的周期函数可知,f(x)的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫2k -14,2k +34,k ∈Z ,故选D. 7.[2015·四川高考]下列函数中,最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A .y =cos ⎝⎛⎭⎫2x +π2 B .y =sin ⎝⎛⎭⎫2x +π2 C .y =sin2x +cos2x D .y =sinx +cosx答案 A 解析 选项A ,y =cos ⎝⎛⎭⎫2x +π2=-sin2x ,符合题意,故选A. 三、模拟小题8.[2016·广州调研]函数f(x)=sinx +x 在区间[0,+∞)内( )A .没有零点B .有且仅有1个零点C .有且仅有2个零点D .有且仅有3个零点答案 B 解析 在同一坐标系中画出函数y =sinx 与y =-x 的图象,由图象知这两个函数图象有1个交点,∴函数f(x)=sinx +x 在区间[0,+∞)内有且仅有1个零点.9.[2017·河北邢台调研]已知定义在R 上的函数f(x)满足:当sinx≤cosx 时,f(x)=cosx ,当sinx>cosx 时,f(x)=sinx.给出以下结论:①f(x)是周期函数;②f(x)的最小值为-1;③当且仅当x =2kπ(k ∈Z)时,f(x)取得最小值;④当且仅当2kπ-π2<x<(2k +1)π(k ∈Z)时,f(x)>0;⑤f(x)的图象上相邻两个最低点的距离是2π.其中正确的结论序号是________.答案 ①④⑤解析 易知函数f(x)是周期为2π的周期函数.函数f(x)在一个周期内的图象如图所示. 由图象可得,f(x)的最小值为-22,当且仅当x =2kπ+5π4(k ∈Z)时,f(x)取得最小值;当且仅当2kπ-π2<x<(2k +1)π(k ∈Z)时,f(x)>0;f(x)的图象上相邻两个最低点的距离是2π.所以正确的结论的序号是①④⑤.四、模拟大题10.[2017·江西上饶模拟]设函数f(x)=sin(2x +φ)(-π<φ<0),y =f(x)图象的一条对称轴是直线x =π8.(1)求φ的值;(2)求函数y =f(x)的单调递增区间.解 (1)由f ⎝⎛⎭⎫π8=±1得sin ⎝⎛⎭⎫π4+φ=±1,∵-π<φ<0,∴-3π4<φ+π4<π4,∴φ+π4=-π2,φ=-3π4. (2)由(1)得f(x)=sin ⎝⎛⎭⎫2x -3π4,令-π2+2kπ≤2x -3π4≤π2+2kπ,k ∈Z , 可解得π8+kπ≤x≤5π8+kπ,k ∈Z.因此y =f(x)的单调增区间为⎣⎡⎦⎤π8+kπ,5π8+kπ,k ∈Z.函数y =Asin(ωx +φ)的图象和性质一、基础小题1.将函数y =sinx 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把所得各点向右平行移动π10个单位长度,所得图象的函数解析式是( )A .y =sin ⎝⎛⎭⎫2x -π10B .y =sin ⎝⎛⎭⎫12x -π20C .y =sin ⎝⎛⎭⎫2x -π5 D .y =sin ⎝⎛⎭⎫12x -π10 答案 B 解析 将函数y =sinx 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到y =sin 12x ,再把所得各点向右平行移动π10个单位长度,所得图象的函数解析式是y =sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x -π10=sin ⎝⎛⎭⎫12x -π20.故选B. 2.要得到函数y =sin ⎝⎛⎭⎫4x -π3的图象,只需将函数y =sin4x 的图象( ) A .向左平移π12个单位 B .向右平移π12个单位 C .向左平移π3个单位 D .向右平移π3个单位答案 B 解析 y =sin ⎝⎛⎭⎫4x -π3=sin ⎣⎡⎦⎤4⎝⎛⎭⎫x -π12,故要将函数y =sin4x 的图象向右平移π12个单位.故选B. 3.下列函数中,最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A .y =cos ⎝⎛⎭⎫2x +π2 B .y =sin ⎝⎛⎭⎫2x +π2 C .y =sin2x +cos2x D .y =sinx +cosx答案 A 解析 采用验证法.由y =cos ⎝⎛⎭⎫2x +π2=-sin2x ,可知该函数的最小正周期为π且为奇函数,故选A. 4.函数f(x)=sin(ωx +φ)⎝⎛⎭⎫x ∈R ,ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为( ) A .f(x)=sin ⎝⎛⎭⎫2x +π4B .f(x)=sin ⎝⎛⎭⎫2x -π4C .f(x)=sin ⎝⎛⎭⎫4x +π4D .f(x)=sin ⎝⎛⎭⎫4x -π4 答案 A 解析 由题图可知,函数y =f(x)的最小正周期为T =2πω=⎝⎛⎭⎫3π8-π8×4=π,所以ω=2,又函数f(x)的图象经过点⎝⎛⎭⎫π8,1,所以sin ⎝⎛⎭⎫π4+φ=1,则π4+φ=2kπ+π2(k ∈Z),解得φ=2kπ+π4,又|φ|<π2,所以φ=π4,即函数f(x)=sin ⎝⎛⎭⎫2x +π4,故选A. 5.函数y =2sin ⎝⎛⎭⎫π6x -π3(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( ) A .2- 3 B .0 C .-1D .-1- 3答案 A 解析 ∵0≤x≤9,∴-π3≤π6x -π3≤7π6,∴-32≤sin ⎝⎛⎭⎫π6x -π3≤1,∴-3≤2sin ⎝⎛⎭⎫π6x -π3≤2, ∴函数y =2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6-π3(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为2- 3.6.已知ω>0,0<φ<π,直线x =π4和x =5π4是函数f(x)=sin(ωx +φ)图象的两条相邻的对称轴,则φ=( )A .π4B .π3C .π2D .3π4答案 A 解析 由题意可知函数f(x)的周期T =2×⎝⎛⎭⎫5π4-π4=2π,故ω=1,∴f(x)=sin(x +φ),令x +φ=kπ+π2(k ∈Z),将x =π4代入可得φ=kπ+π4(k ∈Z),∵0<φ<π,∴φ=π4.7.已知函数f(x)=sin ⎝⎛⎭⎫ωx +π6(ω>0)的最小正周期为4π,则( ) A .函数f(x)的图象关于点⎝⎛⎭⎫π3,0对称 B .函数f(x)的图象关于直线x =π3对称 C .函数f(x)的图象向右平移π3个单位后,图象关于原点对称 D .函数f(x)在区间(0,π)内单调递增答案 C 解析 因为函数的周期T =2πω=4π,所以ω=12,所以f(x)=sin ⎝⎛⎭⎫12x +π6.当x =π3时,f ⎝⎛⎭⎫π3=sin ⎝⎛⎭⎫12×π3+π6=sin π3=32,所以A 、B 错误.将函数f(x)的图象向右平移π3个单位后得到g(x)=sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x -π3+π6=sin x2的图象,关于原点对称,所以C 正确.由-π2+2kπ≤12x +π6≤π2+2kπ(k ∈Z),得-4π3+4kπ≤x≤2π3+4kπ(k ∈Z),所以f(x)=sin ⎝⎛⎭⎫12x +π6的单调递增区间为⎣⎡ -4π3+4kπ,⎦⎤2π3+4kπ,k ∈Z ,当k =0时,增区间为⎣⎡⎦⎤-4π3,2π3,所以D 错误.故选C.8.已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6+x =f ⎝⎛⎭⎫π6-x ,则f ⎝⎛⎭⎫π6=________. 答案 ±2解析 函数f(x)=2sin(ωx +φ)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6+x =f ⎝⎛⎭⎫π6-x ,则其对称轴为x =π6,所以f ⎝⎛⎭⎫π6=±2. 二、高考小题9.[2016·全国卷Ⅱ]若将函数y =2sin2x 的图象向左平移π12个单位长度,则平移后图象的对称轴为( )A .x =kπ2-π6(k ∈Z)B .x =kπ2+π6(k ∈Z)C .x =kπ2-π12(k ∈Z)D .x =kπ2+π12(k ∈Z)答案 B 解析 将函数y =2sin2x 的图象向左平移π12个单位长度得到函数y =2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x +π12=2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6的图象,由2x +π6=kπ+π2(k ∈Z),可得x =kπ2+π6(k ∈Z).则平移后图象的对称轴为x =kπ2+π6(k ∈Z),故选B.10.[2016·北京高考]将函数y =sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3图象上的点P ⎝⎛⎭⎫π4,t 向左平移s(s>0)个单位长度得到点P′.若P′位于函数y =sin2x 的图象上,则( )A .t =12,s 的最小值为π6B .t =32,s 的最小值为π6C .t =12,s 的最小值为π3D .t =32,s 的最小值为π3答案 A 解析 点P ⎝⎛⎭⎫π4,t 在函数y =sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3的图象上,∴t =sin ⎝⎛⎭⎫2×π4-π3=12. 函数y =sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3的图象向左平移π6个单位长度即可得到函数y =sin2x 的图象,故s 的最小值为π6. 11.[2016·福州一中模拟]已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)⎝⎛⎭⎫A>0,ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示,为了得到函数g(x)=Asinωx 的图象,只需要将y =f(x)的图象( ) A .向左平移π3个单位长度B .向右平移π3个单位长度C .向左平移π6个单位长度D .向右平移π6个单位长度答案 D 解析 根据函数f(x)=Asin(ωx +φ)( A>0,ω>0,|φ|<π2 )的部分图象,可得A =2,T 4=2πω·14=π3-π12,求得ω=2.再根据五点法作图可得2·π12+φ=π2,求得φ=π3,∴f(x)=2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3,g(x)=2sin2x ,故把f(x)=2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3的图象向右平移π6个单位长度,可得g(x)=2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x -π6+π3=2sin2x 的图象,故选D. 三、高考大题12.[2015·湖北高考]某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx +φ)⎝⎛⎭⎫ω>0,|φ|<π2在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:ωx +φ 0 π2 π 3π2 2π x π3 5π6 Asin(ωx +φ)5-5(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式;(2)将y =f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到y =g(x)的图象.若y =g(x)图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫5π12,0,求θ的最小值.解 (1)根据表中已知数据,解得A =5,ω=2,φ=-π6.数据补全如下表:ωx +φ 0 π2 π 3π2 2π x π12 π3 7π12 5π6 1312π Asin(ωx +φ)5-5且函数表达式为f(x)=5sin ⎝⎛⎭⎫2x -π6. (2)由(1)知f(x)=5sin ⎝⎛⎭⎫2x -π6,则g(x)=5sin ⎝⎛⎭⎫2x +2θ-π6.因为函数y =sinx 的对称中心为(kπ,0),k ∈Z. 令2x +2θ-π6=kπ,k ∈Z ,解得x =kπ2+π12-θ,k ∈Z.由于函数y =g(x)的图象关于点⎝⎛⎭⎫5π12,0成中心对称, 所以令kπ2+π12-θ=5π12,k ∈Z ,解得θ=kπ2-π3,k ∈Z.由θ>0可知,当k =1时,θ取得最小值π6.。
1.解三角函数不等式 练习题
[][]12123432411sin 2sin 122,20,0,,2,,2x y x y x x x x x x x x ππππ===+=-+=①②图中画出了两个周期T 的图象,可以看出有两组解,在,这一个例 解方程:解析:看成函数与函数周期内有解,在这一个相等的问题;即知道其周期内有中一个解解且,可两组解的关系知道另是:一个解;()4345661sin 526sin sin sin sin 6666x x x x x x πππππππππππ⎧=-=⎪⎪==⇒⎨⎛⎫⎪=-⇒=-⇒=-= ⎪⎪⎝⎭⎩由对称性可知道③由容易得到由诱导公式 三角函数专题(一)一、三角函数方程与不等式1212341324,.2,,,2,2T x x x x x x x x x x πππ+=+=知识点:①②解三角函数方程与三角函数不等式,主要用到方程每个周期内都有两个解每个周期内的解相差一个周期;如:若周期为T=,第一个周期内的解为第二个与函数,数形结合的思想,即利用图象解方程与不等式;③主要利用三角函数的图象的对称性或诱导公周期内的解式求根为,则与解集;1x 2x 3x 4x ()1324121172,26615sin 2,2,.2266x x x x x x k x k k Z k πππππππππ∴=-=-=-=-==+=+∈解:解集为注:后缀的表明每个周期内有这样子的一个解()()11sin 252,2,6612sin 272,2,66x k k k Zx k k k Zππππππππ>⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭<⎛⎫-++ ⎪⎝⎭∈解不等式:解:如图阴影部分,解集为解集为1x 2x 3x 4x 1x 2x 3x 4x 12y =12y =12y =2x 1x 3x 4x ()()2313421211sin 21sin 2667665112,26615sin 2,2,266x x x x x x x x x x x k x k k Zπππππππππππππ=-=⇒==-=+==-=-=+=∴=-=-+=-+∈例2 解方程:解析:由由对称性易知 从而可知提示:知道一个解,可求另一解的解集为6x π↑1x 2x 3x 4x ()17(2)sin 2,2266153sin 2,2266x k k x k k ππππππππ⎛⎫>-⇒-++∈ ⎪⎝⎭⎛⎫<-⇒-+-+∈ ⎪⎝⎭解集为,k Z 解集为,k Z 12y =-()()()343413243411cos 21cos 23,1cos cos cos 224422,2333333124cos 22,233x x x x x x x x x x x x k x k k Zπααππαπααππππππππππππππ=-=⇒==-=+=-=-∴=-=+⇒=-=-=-=-∴=-=+=+∈例3 解方程:解析:观察发现关于对称,则由诱导公式=,= 的最后解集为或2x 1x 3x 4x α()1(2)cos 2222,23313cos 2242,233x k k x k k ππππππππ>-⎛⎫⇒-++ ⎪⎝⎭∈<-⎛⎫⇒++∈ ⎪⎝⎭解集为,k Z解集为,k Z2x 1x 3x 4x()()()sin 2203..55 . 3626f x x f x A B C D ππππϕϕπ⎛⎛⎫=-+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭例5 已知,且过点,则的值可以是 .以上例题表明,解三角函数方程是解不等式以及解其他题目的关键。
数形结合必考题型全梳理!(附例题)
高中数学:数形结合必考题型全梳理!(附例题)一、数形结合的三个原则一、等价性原则在数形结合时,代数性质和几何性质的转换必须是等价的,否则解题将会出现漏洞.首先,由代数式、方程、不等式构造函数时一要注意变量(包括自变量和因变量)的取值范围。
二、双向性原则既要进行几何直观分析,又要进行相应的代数抽象探求,直观的几何说明不能代替严谨的代数推理.另一方面,仅用直观分析,有时反倒使问题变得复杂,比如在二次曲线中的最值问题,有时使用三角换元,反倒简单轻松.三、简单性原则不要为了“数形结合”而数形结合.具体运用时,一要考虑是否可行和是否有利;二要选择好突破口,确定好主元;三要挖掘隐含条件,准确界定参变量的取值范围,特别是运用函数图象时应设法选择动直线(直线中含有参数)与定二次曲线.二、数形结合的应用一、利用数轴、韦恩图求集合利用数形结合的思想解决集合问题,常用的方法有数轴法、韦恩图法等。
当所给问题的数量关系比较复杂,不好找线索时,用韦恩图法能达到事半功倍的效果。
二、数形结合在解析几何中的应用解析几何问题往往综合许多知识点,在知识网络的交汇处命题,备受出题者的青睐,求解中常常通过数形结合的思想从动态的角度把抽象的数学语言与直观的几何图形结合起来,达到研究、解决问题的目的.构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题;如果等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征,就要考虑用数形结合的方法来解题,即所谓的几何法求解,比较常见的对应有:(一)与斜率有关的问题(二)与距离有关的问题三、数形结合在函数中的应用(一)利用数形结合解决与方程的根有关的问题【点拨】数形结合可用于解决方程的根的问题,准确合理地作出满足题意的图象是解决这类问题的前提.(二)利用数形结合解决函数的单调性问题(三)利用数形结合解决比较数值大小的问题(四)函数的最值问题(五)利用数形结合解决抽象函数问题四、运用数形结合思想解不等式(一)解不等式(二)求参数的取值范围五、运用数形结合思想解决三角函数问题时间,提高考试效率,起到事半功倍的效果.六、借助向量的图象解决几何问题利用向量可以解决线段相等,直线垂直,立体几何中空间角(异面直线的角、线面角、二面角)和空间距离(点线距、线线距、线面距、面面距),利用空间向量解决立体几何问题,将抽象的逻辑论证转化为代数计算,以数助形,大大降低了空间想象能力,是数形结合的深化。
(完整word)数形结合思想在解题中的应用(包含30例子)汇总,推荐文档
数形结合思想在解题中的应用(包含30例子)一、知识整合1.数形结合是数学解题中常用的思想方法,使用数形结合的方法,很多问题能迎刃而解,且解法简捷。
所谓数形结合,就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。
数形结合思想通过“以形助数,以数解形”,使复杂问题简单化,抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质,它是数学的规律性与灵活性的有机结合。
2.实现数形结合,常与以下内容有关:①实数与数轴上的点的对应关系;②函数与图象的对应关系;③曲线与方程的对应关系;④以几何元素和几何条件为背景,建立起来的概念,如复数、三角函数等;⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
如等式()()x y -+-=214223.纵观多年来的高考试题,巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题,可起到事半功倍的效果,数形结合的重点是研究“以形助数”。
4.数形结合的思想方法应用广泛,常见的如在解方程和解不等式问题中,在求函数的值域,最值问题中,在求复数和三角函数问题中,运用数形结合思想,不仅直观易发现解题途径,而且能避免复杂的计算与推理,大大简化了解题过程。
这在解选择题、填空题中更显其优越,要注意培养这种思想意识,要争取胸中有图,见数想图,以开拓自己的思维视野。
二、例题分析例1.的取值范围。
之间,求和的两根都在的方程若关于k k kx x x 310322-=++ 分析:0)(32)(2=++=x f x k kx x x f 程轴交点的横坐标就是方,其图象与令()13(1)0y f x f =-->的解,由的图象可知,要使二根都在,之间,只需,(3)0f >,()()02bf f k a-=-<10(10)k k -<<∈-同时成立,解得,故,例2. 解不等式x x +>2 解:法一、常规解法:“数形结合”在解题中的应用原不等式等价于或()()I x x x x II x x ≥+≥+>⎧⎨⎪⎩⎪<+≥⎧⎨⎩02020202 解,得;解,得()()I x II x 0220≤<-≤<综上可知,原不等式的解集为或{|}{|}x x x x x -≤<≤<=-≤<200222 法二、数形结合解法: 令,,则不等式的解,就是使的图象y x y x x x y x 121222=+=+>=+在的上方的那段对应的横坐标,y x 2=如下图,不等式的解集为{|}x x x x A B ≤<而可由,解得,,,x x x x x B B A +===-222故不等式的解集为。
高考真题——三角函数及解三角形真题(加答案)
全国卷历年高考三角函数及解三角形真题归类分析三角函数一、三角恒等变换(3题)1.(2015年1卷2)o o o o sin 20cos10cos160sin10- =( ) (A) (B(C )12- (D )12【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin30=12,故选D. 考点:本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式.2.(2016年3卷)(5)若3tan 4α=,则2cos 2sin 2αα+=( ) (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【解析】由3tan 4α=,得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-,所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=,故选A .考点:1、同角三角函数间的基本关系;2、倍角公式.3.(2016年2卷9)若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则sin 2α=(A )725(B )15(C )15-(D )725-【解析】∵3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,2ππ7sin 2cos 22cos 12425ααα⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选D .二、三角函数性质(5题)4.(2017年3卷6)设函数π()cos()3f x x =+,则下列结论错误的是()A .()f x 的一个周期为2π-B .()y f x =的图像关于直线8π3x =对称C .()f x π+的一个零点为π6x =D .()f x 在π(,π)2单调递减【解析】函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移π3个单位得到,如图可知,()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增,D 选项错误,故选D.π5.(2017年2卷14)函数()23sin 3cos 4f x x x =+-(0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦)的最大值是 .【解析】()22311cos 3cos cos 3cos 44f x x x x x =-+-=-++ 23cos 12x ⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭,0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则[]cos 0,1x ∈,当3cos 2x =时,取得最大值1. 6.(2015年1卷8)函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示,则()f x 的单调递减区间为( )(A )13(,),44k k k Z ππ-+∈ (B )13(2,2),44k k k Z ππ-+∈(C )13(,),44k k k Z -+∈(D )13(2,2),44k k k Z -+∈【解析】由五点作图知,1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,解得=ωπ,=4πϕ,所以()cos()4f x x ππ=+,令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈,解得124k -<x <324k +,k Z ∈,故单调减区间为(124k -,324k +),k Z ∈,故选D. 考点:三角函数图像与性质7. (2015年2卷10)如图,长方形ABCD 的边AB=2,BC=1,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC ,CD 与DA 运动,记∠BOP=x .将动点P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数f (x ),则f (x )的图像大致为的运动过程可以看出,轨迹关于直线2x π=对称,且()()42f f ππ>,且轨迹非线型,故选B .8.(2016年1卷12)已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-, 为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭,单调,则ω的最大值为 (A )11 (B )9 (C )7 (D )5考点:三角函数的性质 三、三角函数图像变换(3题)9.(2016年2卷7)若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度,则平移后图象的对称轴为 (A )()ππ26k x k =-∈Z (B )()ππ26k x k =+∈Z (C )()ππ212Z k x k =-∈ (D )()ππ212Z k x k =+∈【解析】平移后图像表达式为π2sin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,令ππ2π+122x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,得对称轴方程:()ππ26Z k x k =+∈,故选B . 10.(2016年3卷14)函数sin 3cos y x x =-的图像可由函数sin 3cos y x x =+的图像至少向右平移_____________个单位长度得到.考点:1、三角函数图象的平移变换;2、两角和与差的正弦函数.11.(2017年1卷9)已知曲线C 1:y =cos x ,C 2:y =sin (2x +2π3),则下面结论正确的是 A .把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C 2B .把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C 2C .把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C 2D .把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C 2【解析】:熟识两种常见的三角函数变换,先变周期和先变相位不一样。
数形结合的典型例题
数形结合思想一、数学结合思想所谓的数形结合思想,就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想。
数学结合思想的应用包括以下几个方面:(1)“以形助数”,把某些抽象的数学问题直观化、生动化,变抽象思维有形象思维,提示数学问题的本质;(2)“以数助形”,把直观图形数量化,使形更加精确。
二、运用数形结合需要熟练掌握“数”、“形”及其相互转化: 1.“数”:主要是指数和数量关系。
中学阶段的“数”有以下几类:(1)复数;(2)代数式;(3)函数; (4)不等式;(5)方程;(6)向量。
2.“形”:主要是指图形,有点、线、面、体等。
中学阶段的“形”有以下几类:(1)数轴;(2)Venn 图;(3)函数图象;(4)单位圆;(5)方程的曲线;(6)平面几何的图形; (7)立体几何图形;(8)可行域; 三、数形结合思想应用的关键: 1 .由“数”联想到“形”;2 .由“图”想“数”。
四、数形结合思想解决的问题类型:1.运用数轴、Venn 图解决不等(组)的解集、 集合的运算问题;2.运用平面直角坐标系和函数的图象解决 函数问题、不等式问题、方程问题; 3.三角函数与解三角形问题; 4.立体几何问题;5.可行域求最优解问题; 6.数列问题;7.方程曲线与曲线方程等解析几何问题; 8.复数问题。
数形结合思想的典型试题 以形助数探索解题思路 例6:(改编题)已知函数⎩⎨⎧>≤≤=)1(log )10(sin )(2011x x x x x f π,若,,a b c互不相等,且()()()f a f b f c ==,则a b c ++的取值范围是( C ) A .)2011,1( B .)2012,1( C .)2012,2( D .]2012,2[例7.设120x x π<<<,试比较11s in x ax =和22s in x b x =的大小.【分析及解】由式子sin x x的结构可知,sin x x的的几何意义是连接两点()0,0O (),sin Tx x 的直线的斜率,于是,可以画出sin y x=的图象,研究两点()11,sin A x x 和()22,sin B x x 与()0,0O 连线的斜率,由图象可知,O AO Bk k >,即ab>.变式: 已知函数xx x f sin )(=。
2023高考数学复习专项训练《三角函数的应用》(含答案)
2023高考数学复习专项训练《三角函数的应用》一、单选题(本大题共12小题,共60分)1.(5分)设函数f(x)=Acos(ωx+φ)(其中A>0,|ω|<;4,0<;φ<;π)的大致图象如图所示,则f(x)的最小正周期为()A. π2B. πC. 2πD. 4π2.(5分)数学必修二介绍了海伦−秦九韶公式:我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中,提出了已知三角形三边长求三角形的面积的公式,与著名的海伦公式完全等价,由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平,其求法是:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上,余四约之,为实.一为从隔,开平方得积.若把以上这段文字写成公式,即S=√14[a2c2−(a2+c2−b22)2],其中a、b、c分别为△ABC内角A、B、C的对边.若√3cosB√3sinB =1tanC,b=2,则△ABC面积S的最大值为()A. √3B. √5C. 3D. √23.(5分)某干燥塔的底面是半径为1的圆面O,圆面有一个内接正方形ABCD框架,在圆O的劣弧BC上有一点P,现在从点P出发,安装PA,PB,PC三根热管,则三根热管的长度和的最大值为()A、4B、2√3C、3√3D、2√6A. 4B. 2√3C. 3√3D. 2√64.(5分)现只有一把长为2m的尺子,为了求得某小区草坪坛边缘A,B两点的距离AB(AB大于2m),在草坪坛边缘找到点C与D,已知∠ACD=90∘,且tan∠ADB=−2√2,测得AC=1.2m,CD=0.9m,BD=1m,则AB=()A. √373m B. √5m C. √172m D. 3√22m5.(5分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>;0,ω>;0,|φ|<;π2)在一个周期内的图象如图所示.若方程f(x)=m在区间[0,π]上有两个不同的实数解x1,x2,则x1+x2的值为()A. π3B. 23π或43π C. 43π D. π3或43π6.(5分)设y=f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数,其中0⩽t⩽24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系:经长期观观察,函数y=f(t)的图象可以近似地看成函数y=k+Asin(ωt+φ)的图象.在下面的函数中,最能近似表示表中数据间对应关系的函数是()A、y=12+3sinπ6t,t∈[0,24]B、y=12+3sin(π6t+π),t∈[0,24]C、y=12+3sinπ12t,t∈[0,24]D、y=12+3sin(π12t+π2),t∈[0,24]A. y=12+3sinπ6t,t∈[0,24]B. y=12+3sin(π6t+π),t∈[0,24]C. y=12+3sinπ12t,t∈[0,24]D. y=12+3sin(π12t+π2),t∈[0,24]7.(5分)泰山于1987年12月12日被列为世界文化与自然双重遗产,泰山及其周边坐落着许多古塔.某兴趣小组为了测量某古塔的高度,如图所示,在地面上一点A处测得塔顶B的仰角为60∘,在塔底C处测得A处的俯角为45∘.已知山岭高CD为256米,则塔高BC为()A. 256(√2−1)米B. 256(√3−1)米C. 256(√6−1)米D. 256(2√3−1)米8.(5分)为迎接校运动会的到来,学校决定在半径为20√2m,圆心角为π的扇形空地4OPQ内部修建一平行四边形观赛场地ABCD,如图所示,则观赛场地面积的最大值为( )A. 200m2B. 400(2−√2)m2C. 400(√3−1)m2D. 400(√2−1)m29.(5分)如图所示,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置O的距离s(cm)和时),那么单摆摆动一个周期所需的时间为间t(s)的函数关系式为s=6sin(2πt+π6()A. 2πsB. πsC. 0.5sD. 1s10.(5分)小明在学完《解直角三角形》一章后,利用测角仪和校园旗杆的拉绳测量校园旗杆的高度,如图,旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等,小明先将PB拉到PB′的位置,测得∠PB′C=α(B′C为水平线),测角仪B′D的高度为1米,则旗杆PA的高度为()A. 11+sin α米 B. 11−cos α米 C. 11−sin α米D. 11+cos α米11.(5分)瀑布是庐山的一大奇观,为了测量某个瀑布的实际高度,某同学设计了如下测量方案:有一段水平山道,且山道与瀑布不在同一平面内,瀑布底端与山道在同一平面内,可粗略认为瀑布与该水平山道所在平面垂直,在水平山道上A 点位置测得瀑布顶端仰角的正切值为32,沿山道继续走20m ,抵达B 点位置测得瀑布顶端的仰角为π3.已知该同学沿山道行进的方向与他第一次望向瀑布底端的方向所成角为π3,则该瀑布的高度约为()A. 60mB. 90mC. 108mD. 120m12.(5分)设y =f(t)是某港口水的深度y (米)关于时间t (时)的函数,其中0⩽t ⩽24,表格中是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系:经长期观察,函数y =f(t)的图象可以近似地看成函数y =k +Asin(ωt +φ)的图象.下面的函数中,最能近似表示表中数据间对应关系的函数是( )A. y =12+3sin π6t,t ∈[0,24] B. y =12+3sin(π6t +π2),t ∈[0,24] C. y =12+3sin π12t,t ∈[0,24] D. y =12+3sin(π12t +π2),t ∈[0,24] 二 、填空题(本大题共5小题,共25分)13.(5分)振动量函数y =√2sin(ωx +φ)(ω>;0)的初相和频率分别为-π和32,则它的运动周期为_______________,相位是_______________.14.(5分)如图,在平面直角坐标系中,点P 以每秒π2的角速度从点A 出发,沿半径为2的上半圆逆时针移动到B ,再以每秒π3的角速度从点B 沿半径为1的下半圆逆时针移动到坐标原点O,则上述过程中动点P的纵坐标y关于时间t的函数表达式为__________.15.(5分)函数f(x)=sin(ωx+φ)(其中ω>;0,|φ|<;π2)的图象如图所示,则函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为_______________;为了得到g(x)=sinωx的图象,只需把y=f(x)的图象上所有的点向右平移_______________个单位长度.16.(5分)已知海湾内海浪的高度y(米)是时间t(0⩽t⩽24,单位:小时)的函数,记作y=f(t).某日各时刻记录的浪高数据如下表:经长期观测,y=f(t)可近似地看成是函数y=Acosωt+b.根据以上数据,可得函数y=Acosωt+b的表达式为__________.17.(5分)一个匀速旋转的摩天轮每12分钟转一周,最低点距地面2米,最高点距地面18米,P是摩天轮轮周上一定点,从P在最低点时开始计时,则16分钟后P点距地面的高度是____.三、解答题(本大题共6小题,共72分)18.(12分)某地为发展旅游业,在旅游手册中给出了当地一年每个月的月平均气温表,根据图中提供的数据,试用y=Asin(ωt+φ)+b近似地拟合出月平均气温y(单位:℃)与时间t(单位:月)的函数关系,并求出其周期和振幅,以及气温达到最大值和最小值的时间.(答案不唯一)19.(12分)某地种植大棚蔬菜,已知大棚内一天的温度(单位:℃)随时间t(单位:ℎ)的变化近似满足函数关系:f(t)=12−3sin(π12t+π3),t∈[0,24).(1)求实验室这一天的最大温差;(2)若某种蔬菜的生长要求温度不高于10.5℃,若种植这种蔬菜,则在哪段时间大棚需要降温?20.(12分)如图,有一块以点O为圆心的半圆形空地,要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地,使其一边AD落在半圆的直径上,另两点B,C落在半圆的圆周上.已知半圆的半径长为20m.(1)如何选择关于点O对称的点A,D的位置,可以使矩形ABCD的面积最大,最大值是多少?(2)沿着AB,BC,CD修一条步行小路从A到D,如何选择A,D位置,使步行小路的距离最远?21.(12分)健康成年人的收缩压和舒张压一般为120~140mmHg和60~90mmHg.心脏跳动时,血压在增加或减小.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压,血压计上的读数就是收缩压和舒张压,读数120/80mmHg为标准值.记某人的血压满足函数式p(t)=25sin160πt+115,其中p(t)为血压(mmHg),t为时间(min),试回答下列问题:(1)求函数p(t)的周期;(2)求此人每分钟心跳的次数;(3)求出此人的血压在血压计上的读数,并与正常值比较.22.(12分)如果α为小于360°的正角,且这个角的7倍角的终边与这个角的终边重合,则这样的角α是否存在?23.(12分)某港口的水深y(米)是时间t(0≤t≤24,单位:小时)的函数,下面是每天时间与水深的关系表:(A>0,ω>0).(1)根据以上数据,求出y=f(t)的解析式;(2)若船舶航行时,水深至少要11.5米才是安全的,则船舶在一天中有几个小时可以安全进出该港?答案和解析1.【答案】C;【解析】略2.【答案】A;【解析】此题主要考查正弦定理在解三角形中的应用,两角和与差公式,考查二次函数求最值问题,考查转化思想,属于较难题.先利用两角和的正弦公式、三角形的内角和、诱导公式化简已知条件可得sinC=√3sinA,由正弦定理可得c=√3a代入面积公式结合二次函数的性质即可求解.解:因为√3cosB√3sinB =1tanC=cosCsinC,所以sinC=√3sinCcosB+√3cosCsinB=√3sin(B+C)=√3sinA,由正弦定理可得:c=√3a,代入面积公式可得:S=√14[a2⋅3a2−(a2+3a2−222)2]=√14[3a4−(2a2−2)2]=√14(−a4+8a2−4)=√14[−(a2−4)2+12]=√−14(a2−4)2+3,所以当a=2时,−14(a2−4)2+3取得最大值3,所以△ABC面积S的最大值为√3,故选:A.3.【答案】null;【解析】此题主要考查三角函数的实际应用,属于基础题.求出|PA|+|PB|+|PC|=2√3sin(θ+φ),利用三角函数的性质即可求解.解:如图,设∠PAC=θ,θ∈[0,π4],可得|PA|+|PB|+|PC|=2[cosθ+sin(π4−θ)+sinθ]=(2+√2)cosθ+(2−√2)sinθ=2√3sin(θ+φ),其中tanφ=3+2√2,φ∈(π4,π2 ),所以(|PA|+|PB|+|PC|)max=2√3,由的范围可以取到最大值.故选B.4.【答案】C;【解析】此题主要考查解三角形的实际应用,考查数学运算的核心素养与应用意识,属于中档题.由题意可得AD=1.5m,利用tan∠ADB,求出cos∠ADB,进一步进行求解即可.解:因为∠ACD=90∘,AC=1.2m,CD=0.9m,所以AD=√AC2+CD2=1.5m.因为tan∠ADB=−2√2,所以cos∠ADB=−13,所以AB=√1.52+12−2×1.5×1×(−13)=√172m.5.【答案】D;【解析】略6.【答案】null;【解析】此题主要考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式以及应用,通过对实际问题的分析,转化为解决三角函数问题,属基础题.通过排除法进行求解,由y=f(t)可以近似看成y=k+Asin(ωx+φ)的图象,故可以把已知数据代入y=k+Asin(ωx+φ)中,分别按照周期和函数值排除,即可求出答案.解:排除法:∵y=f(t)可以近似看成y=k+Asin(ωx+φ)的图象,∴由T=12可排除C、D,将(3,15)代入,排除B.故选A.7.【答案】B;此题主要考查了三角形的边角关系应用问题,也考查了数形结合思想和运算求解能力,属于基础题.根据题意结合图形,利用三角形的边角关系,即可求出塔高BC 的值.解:如图所示,在Rt △ACD 中,∠CAD =45°,CD =256, 所以AD =256,在Rt △ABD 中,∠BAD =60°, 所以BD =ADtan∠BAD =256√3, 所以BC =BD −CD =256√3−256, 即塔高BC 为256(√3−1)米. 故选:B.8.【答案】D;【解析】如图所示,连接OC ,设∠COA =θ,作DF ⊥OP ,CE ⊥OP ,垂足分别为F ,E .根据平面几何知识可知,AB =CD =EF ,DF =OF =CE ,∴CE =20√2sinθ,EF =OE −OF =20√2cosθ−20√2sinθ.故四边形ABCD 的面积S 等于四边形DFEC 的面积,即有S =20√2sinθ×20√2(cosθ−sinθ)=400(sin2θ+cos2θ−1)=400√2sin(2θ+π4)−400,其中θ∈(0,π4).所以当sin(2θ+π4)=1,即θ=π8时,S max =400(√2−1),即观赛场地面积的最大值为400(√2−1)m 2.故选D .9.【答案】D;10.【答案】C; 【解析】此题主要考查三角函数在实际生活中的应用. 由题设可得PA −1=PAsinα,即可得结果. 解:由题设,PC =PB′sinα=PAsinα,而PC =PA −1,所以PA −1=PAsinα,可得PA =11−sinα米.故选:C11.【答案】A; 【解析】此题主要考查解三角形的应用,根据题意作出示意图是解答该题的关键,考查空间立体感、学科素养和运算能力,属于中档题.作出示意图,过点B 作BC ⊥OA 于C ,结合三角函数和勾股定理,转化为平面几何中的简单计算,即可得解.解:根据题意作出如下示意图,其中tanα=32,β=θ=π3,AB =20m ,过点B 作BC ⊥OA 于C , 设OH =3x ,则OA =OH tanα=2x ,OB =OH tanβ=√3x ,在Rt △ABC 中,因为AB =20,θ=π3,所以AC =AB ×cos π3=10,BC =AB ×sin π3=10√3,所以OC =OA −AC =2x −10,在Rt △OBC 中,由勾股定理知,(2x −10)2+(10√3)2=(√3x)2, 化简得x 2−40x +400=0,解得x =20, 所以瀑布的高度OH =3x =60m.故答案选:A.12.【答案】A;【解析】略13.【答案】23;3πx−π; 【解析】略14.【答案】f(t)={2sinπt2,0<t⩽2sin[π3(t−2)+π],2<t⩽5;【解析】此题主要考查利用三角函数的定义解决实际问题,在做题过程中点的坐标与角度之间的关系,属于综合题.解:由三角函数的定义可得:当动点P在半径为2的上半圆上运动时,t∈(0,2],终边OP对应的角度为π2t,所以P点坐标为(2cosπ2t,2sinπ2t),当动点P在半径为1的下半圆上运动时,t∈(2,5],终边OP对应的角度为π3(t−2)+π,所以P点坐标为(cos[π3(t−2)+π],sin[π3(t−2)+π]),综上:动点P的纵坐标y关于时间t的函数表达式为y={2sinπ2t,t∈(0,2]sin[π3(t−2)+π],t∈(2,5]15.【答案】π;π6+kπ,k∈Z;【解析】略16.【答案】y=12cosπ6t+1;【解析】此题主要考查了三角函数模型的应用的相关知识,试题难度一般. 解题时先计算出周期和振幅,然后求解解析式即可.解:由表中数据,知周期T=12,∴ω=2πT =2π12=π6,由t=0,y=1.5,得A+b=1.5;由t=3,y=1.0,得b=1.0,∴A=0.5,b=1,∴y=12cosπ6t+1.17.【答案】14;【解析】解:设P 与地面高度与时间t 的关系,f (t )=Asin (ωt+φ)+B (A >0,ω>0,φ∈[0,2π)),由题意可知:A=8,B=10,T=12,所以ω=,又因为f (0)=2,故ϕ=-πt所以f (16)=8sin(π- . 故答案为:14.18.【答案】解:根据图象可知,当t =1时,y 有最小值15;当t =8时,y 有最大值27. ∴{−A +b =15ω+φ=−π28ω+φ=π2A +b =27解得{A =6b =21ω=π7φ=−9π14, ∴y =6sin(π7t −9π14)+21,周期T =2πω=2ππ7=14,振幅A =6.气温在1月份时达到最低, 在8月份时达到最高.;【解析】此题主要考查由y =Asin(ωt +φ)的部分图象确定其解析式,属于中档题. 当t =8月份时平均气温达到最大值25℃,当t =1月份时,平均气温达到最小值15℃,列出方程组,结合周期与振幅,从而可得函数解析式.19.【答案】解:(1)由题意,函数f(t)=12−3sin(π12t +π3),t ∈[0,24), 根据正弦型函数的性质可得−1⩽sin(π12t +π3)⩽1,所以f(t)max=15,f(t)min=9,可得f(t)max−f(t)min=6,则实验室这一天的最大温差为6℃.(2)由题意,令f(t)>10.5,即12−3sin(π12t+π3)>10.5,即sin(π12t+π3)<12,因为t∈[0,24),可得π12t+π3∈[π3,7π3),所以5π6<π12t+π3<13π6,解得6<t<22,即在6时至22时这段时间内大棚需要降温.;【解析】此题主要考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质,三角函数模型的应用,属于中档题.(1)根据正弦型函数的性质可得−1⩽sin(π12t+π3)⩽1,求得f(t)max=15,f(t)min=9,进而求得这一天的最大温差;(2)根据题意,令f(t)>10.5,得到sin(π12t+π3)<12,利用正弦型函数的性质,求得t的范围即可求解.20.【答案】解(1)连接OB,如图所示,设∠AOB=θ,则AB=OBsinθ=20sinθ,OA=OBcosθ=20cosθ,且θ∈(0,π2).因为A,D关于点O对称,所以AD=2OA=40cosθ.设矩形ABCD的面积为S,则S=AD·AB=40cosθ·20sinθ=400sin2θ.因为θ∈(0,π2),所以2θ∈(0,π),所以当sin2θ=1,即θ=π4时,S max=400(m2).此时AO=DO=10√2(m).故当A,D距离圆心O为10√2m时,矩形ABCD的面积最大,其最大面积是400m2.(2)由(1)知AB=20sinθ,AD=40cosθ,所以AB+BC+CD=40sinθ+40cosθ=40√2sin(θ+π4),又θ∈(0,π2),所以θ+π4∈(π4,3π4),当θ+π4=π2,即θ=π4时,(AB+BC+CD)max=40√2(m),此时AO=DO=10√2(m),即当A,D距离圆心O为10√2m时,步行小路的距离最远.;【解析】此题主要考查三角函数在实际生活中的应用,考查正弦函数的最值,是中档题21.【答案】解(1)T =2π|ω|=2π160π =180(min).(2)f =1T=80. 即此人每分钟心跳的次数为80.(3)p(t)max =115+25=140(mmHg),p(t)min =115−25=90(mmHg), 即收缩压为140mmHg ,舒张压为90mmHg.此人的血压在血压计上的读数为140/90mmHg ,在正常值范围内.;【解析】此题主要考查三角函数在实际生活中的应用,考查正弦函数的周期与频率之间的关系以及求正弦函数的的值域相关问题,属于一般题.22.【答案】解:由题意,有7α=k·360°+α(k ∈Z),即α=k·60°. 又由于0°<α<360°,即0°<k·60°<360°(k ∈Z),则k 取1,2,3,4,5,所以α的值可取60°,120°,180°240°,300°.; 【解析】略.23.【答案】【解析】(1)由题表中数据可得:水深的最大值为13,最小值为7,所以{A +B =13,−A +B =7B =13+72=10,A =13−72=3,且相隔12小时达到一次最大值,说明周期为12,因此T=2πω=12,ω=π6,故f(t)=3sin π6t +10(0≤t ≤24)(2)要想船舶安全,必须f (t )≥11.5,即3sin π6t +10≥11.5, 所以sin π6t ≥12,所以2kπ+π6≤π6t ≤5π6+2kπ,k ∈Z ,解得12k+1≤t≤5+12k ,k ∈Z ,当k=0时,1≤t≤5;当k=1时,13≤t≤17.故船舶能安全进出该港的时间段为1:00至5:00,13:00至17:00,共8个小时.; 【解析】略。
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《三角函数与解三角形》经典测试题及答案
数学高考《三角函数与解三角形》复习资料一、选择题1.在ABC ∆中,若2sin sin cos 2CA B =,则ABC ∆是( ) A .等边三角形 B .等腰三角形C .不等边三角形D .直角三角形【答案】B 【解析】试题分析:因为2sin sin cos2CA B =,所以,1cos sin sin 2C A B +=,即2sin sin 1cos[()],cos()1A B A B A B π=+-+-=,故A=B ,三角形为等腰三角形,选B 。
考点:本题主要考查和差倍半的三角函数,三角形内角和定理,诱导公式。
点评:简单题,判断三角形的形状,一般有两种思路,一种是从角入手,一种是从边入手。
2.已知函数()2sin()0,,2f x x πωϕωϕπ⎛⎫⎡⎤=+>∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的部分图象如图所示,其中()01f =,5||2MN =,则点M 的横坐标为( )A .12B .25-C .1-D .23-【答案】C 【解析】 【分析】 由(0)1f =求出56πϕ=,由5||23MN πω=⇒=,再根据()2f x =可得答案.【详解】由函数()2sin()0,,2f x x πωϕωϕπ⎛⎫⎡⎤=+>∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的部分图象,可得(0)2sin 1f ϕ==,56πϕ∴=, 22512||2243MN ππωω⎛⎫==+⋅= ⎪⎝⎭,∴函数5()2sin 36f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,令52sin 236x ππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭, 得52,0362x k k ππππ+=+=得1x =-. 故选:C. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质,考查了数形结合思想的应用,解题的关键是利用勾股定理列方程求出3πω=,属于中档题.3.上世纪末河南出土的以鹤的尺骨(翅骨)制成的“骨笛”(图1),充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平,也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春(秋)分”,“夏(冬)至”的示意图,图3是某骨笛的部分测量数据(骨笛的弯曲忽略不计),夏至(或冬至)日光(当日正午太阳光线)与春秋分日光(当日正午太阳光线)的夹角等于黄赤交角.由历法理论知,黄赤交角近1万年持续减小,其正切值及对应的年代如下表: 黄赤交角 2341︒'2357︒'2413︒'2428︒'2444︒'正切值 0.439 0.444 0.450 0.455 0.461 年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根据以上信息,通过计算黄赤交角,可估计该骨笛的大致年代是( ) A .公元前2000年到公元元年 B .公元前4000年到公元前2000年 C .公元前6000年到公元前4000年 D .早于公元前6000年【答案】D 【解析】 【分析】先理解题意,然后根据题意建立平面几何图形,在利用三角函数的知识计算出冬至日光与春秋分日光的夹角,即黄赤交角,即可得到正确选项. 【详解】解:由题意,可设冬至日光与垂直线夹角为α,春秋分日光与垂直线夹角为β, 则αβ-即为冬至日光与春秋分日光的夹角,即黄赤交角, 将图3近似画出如下平面几何图形:则16tan 1.610α==,169.4tan 0.6610β-==, tan tan 1.60.66tan()0.4571tan tan 1 1.60.66αβαβαβ---==≈++⨯g .0.4550.4570.461<<Q ,∴估计该骨笛的大致年代早于公元前6000年.故选:D . 【点睛】本题考查利用三角函数解决实际问题的能力,运用了两角和与差的正切公式,考查了转化思想,数学建模思想,以及数学运算能力,属中档题.4.{}n a 为等差数列,公差为d ,且01d <<,5()2k a k Z π≠∈,223557sin 2sin cos sin a a a a +⋅=,函数()sin(4)(0)f x d wx d w =+>在20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调且存在020,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,使得()f x 关于0(,0)x 对称,则w 的取值范围是( ) A .20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ B .30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C .24,33⎛⎤⎥⎝⎦D .33,42⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D 【解析】 【分析】推导出sin4d =1,由此能求出d ,可得函数解析式,利用在203x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,上单调且存在()()0020203x f x f x x π⎛⎫∈+-= ⎪⎝⎭,,,即可得出结论. 【详解】∵{a n }为等差数列,公差为d ,且0<d <1,a 52k π≠(k ∈Z ),sin 2a 3+2sin a 5•cos a 5=sin 2a 7, ∴2sin a 5cos a 5=sin 2a 7﹣sin 2a 3=2sin 372a a +cos 732a a -•2cos 372a a +sin 732a a -=2sin a 5cos2d •2cos a 5sin2d , ∴sin4d =1,∴d 8π=.∴f (x )8π=cosωx ,∵在203x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,上单调 ∴23ππω≥, ∴ω32≤; 又存在()()0020203x f x f x x π⎛⎫∈+-= ⎪⎝⎭,,, 所以f (x )在(0,23π)上存在零点, 即223ππω<,得到ω34>. 故答案为 33,42⎛⎤⎥⎝⎦故选D 【点睛】本题考查等差数列的公差的求法,考查三角函数的图象与性质,准确求解数列的公差是本题关键,考查推理能力,是中档题.5.设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos θ=()A .B .CD 【答案】B 【解析】 【分析】由辅助角公式可确定()max f x =sin 2cos θθ-=平方关系可构造出方程组求得结果. 【详解】()()sin 2cos f x x x x ϕ=-=+Q ,其中tan 2ϕ=-()max f x ∴sin 2cos θθ-=又22sin cos 1θθ+= cos θ∴=【点睛】本题考查根据三角函数的最值求解三角函数值的问题,关键是能够确定三角函数的最值,从而得到关于所求三角函数值的方程,结合同角三角函数关系构造方程求得结果.6.定义在R 上的函数()f x 既是偶函数又是周期函数,若()f x 的最小正周期是π,且当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()sin f x x =,则5π3f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为( )A .12-B .2C .D .12【答案】B 【解析】 分析:要求53f π⎛⎫⎪⎝⎭,则必须用()sin f x x =来求解,通过奇偶性和周期性,将变量转化到区间02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上,再应用其解析式求解 详解:()f x Q 的最小正周期是π552333f f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()f x Q 是偶函数33f f ππ⎛⎫⎛⎫∴-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,533f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q 当02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,时,()sin f x x =,则5 sin 3332f f πππ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选B点睛:本题是一道关于正弦函数的题目,掌握正弦函数的周期性是解题的关键,考查了函数的周期性和函数单调性的性质.7.在ABC ∆中,角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ,已知cos cos 2b C c B b +=,则ab=( )A .B .2CD .1【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理及题设可知,sin cos sin cos 2sin B C C B B +=,即sin()2sin B C B +=,又A B C π++=,可得sin 2sin A B =,再由正弦定理,可得解【详解】由正弦定理:2sin sin b cR B C==,又cos cos 2b C c B b += 得到sin cos sin cos 2sin B C C B B +=,即sin()2sin B C B +=在ABC ∆中,A B C π++=故sin()2sin A B π-=,即sin 2sin A B =故sin 2sin a A b B == 故选:B 【点睛】本题考查了正弦定理在边角互化中的应用,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算能力,属于中档题8.已知πππsin()cos()0,322ααα++-=-<<则2πcos()3α+等于( )A B .35-C .45D .35【答案】C 【解析】 【分析】首先根据等式化简,得到4sin 65πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,再利用诱导公式化简2cos 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭求值. 【详解】解析:∵ππsin cos 32αα⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13sin sin sin 22ααααα+==6πα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ ∴π4sin 65()α+=-.又2ππππcos cos sin 32()())6(6ααα+=++=-+,∴2π4co (s 35)α+=. 故选:C 【点睛】本题考查三角恒等变换,化简求值,重点考查转化与变形,计算能力,属于基础题型.9.函数y=ππππcos sin cos -sin 4444x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦在一个周期内的图象是( ) A .B .C .D .【答案】B 【解析】 【分析】首先根据二倍角余弦公式化简得到函数的解析式,再由函数表达式得到函数的单调性和周期,进而得到选项. 【详解】根据两角和差公式展开得到: y=ππππcos sin cos -sin 4444x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦22πππcos sin cos 2424x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎝⎭⎭=-sin2x ,函数在0的右侧是单调递减的,且周期为π,故选B. 故答案选B . 【点睛】这个题目考查了三角函数的恒等变换,题型为已知函数表达式选择函数的图像,这种题目,一般是先根据函数的表达式得到函数的定义域,或者值域,进行排除;也可以根据函数的表达式判断函数的单调性,周期性等,之后结合选项选择.10.若函数()sin()f x A x ωϕ=+(其中0A >,||)2πϕ<图象的一个对称中心为(3π,0),其相邻一条对称轴方程为712x π=,该对称轴处所对应的函数值为1-,为了得到()cos2g x x =的图象,则只要将()f x 的图象( )A .向右平移6π个单位长度 B .向左平移12π个单位长度 C .向左平移6π个单位长度 D .向右平移12π个单位长度【答案】B 【解析】 【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A ,由周期求出ω,由五点法作图求出ϕ的值,可得()f x 的解析式,再根据函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律,诱导公式,得出结论. 【详解】根据已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(其中0A >,)2πϕ<的图象过点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭,7,112π⎛⎫-⎪⎝⎭, 可得1A =,1274123πππω⋅=-, 解得:2ω=. 再根据五点法作图可得23πϕπ⋅+=,可得:3πϕ=,可得函数解析式为:()sin 2.3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭故把()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移12π个单位长度, 可得sin 2cos236y x x ππ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭的图象, 故选B . 【点睛】本题主要考查由函数()sin y A x ωϕ=+的部分图象求解析式,由函数的图象的顶点坐标求出A ,由周期求出ω,由五点法作图求出ϕ的值,函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律,诱导公式的应用,属于中档题.11.若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,2cos2sin 4παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭,则sin 2α的值为( ) A .78-B .78C .18-D .18【答案】A【分析】利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简得到cos sin 4αα+=,再将两边平方利用二倍角正弦公式计算可得; 【详解】解:因为2cos2sin 4παα⎛⎫=-⎪⎝⎭所以()222cos sin sincos cossin 44ππαααα-=-所以()())2cos sin cos sin cos sin 2αααααα-+=- ,cos sin 02παπαα⎛⎫∈-≠ ⎪⎝⎭Q ,所以cos sin αα+=所以()21cos sin 8αα+=,即221cos 2cos sin sin 8αααα++=,11sin 28α+= 所以7sin 28α=- 故选:A 【点睛】本题考查两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用,属于中档题;12.函数()2sin sin cos y x x x =+的最大值为( )A .1B 1CD .2【答案】A 【解析】由题意,得()22sin sin cos 2sin 2sin cos sin2cos21y x x x x x x x x =+=+=-+π2114x ⎛⎫=-+≤ ⎪⎝⎭;故选A.13.直线y a =与函数()tan (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象的相邻两个交点的距离为2π,若()f x 在()(),0m m m ->上是增函数,则m 的取值范围是( )A .(0,]4πB .(0,]2πC .3(0,]4π D .3(0,]2π【解析】 【分析】根据直线y a =与函数()f x 的图象的相邻两个交点的距离为一个周期,得到12ω=,则()1tan 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,然后求得其单调增区间,再根据()f x 在()(),0m m m ->上是增函数,由(,)m m -是增区间的子集求解. 【详解】因为直线y a =与函数()f x 的图象的相邻两个交点的距离为一个周期, 所以12ω=,()1tan 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,由12242k x k πππππ-<+<+,得322()22k x k k ππππ-<<+∈Z , 所以()f x 在3,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数, 由3(,),22m m ππ⎛⎫-⊆- ⎪⎝⎭, 解得02m π<≤.故选:B 【点睛】本题主要考查正切函数的图象和性质,还考查了运算求解的能力,属于中档题14.已知2433sin 5cos 77ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则tan 14πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭( )A .53-B .35-C .35D .53【答案】B 【解析】 【分析】根据诱导公式计算得到35tan 73πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,故3tan tan 1472πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,解得答案. 【详解】由诱导公式可知24333sin 3sin 33sin 777πππαπαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦,又2433sin 5cos 77ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得333sin 5cos 77ππαα⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 所以35tan 73πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,313tan tan 314725tan 7πππααπα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-=-=- ⎪⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦+ ⎪⎝⎭. 故选:B . 【点睛】本题考查了三角恒等变换,意在考查学生的计算能力和转化能力.15.函数2()sin cos 2cos f x a x a x x =+-的图象关于直线4πx =-对称,则()f x 的最大值为( ) A .2BC.D或【答案】D 【解析】 【分析】根据函数2()sin cos 2cos f x a x a x x =+-的图象关于直线4πx =-对称,则有()(0)2f f π-=,解得a ,得到函数再求最值.【详解】因为函数2()sin cos 2cos f x a x a x x =+-的图象关于直线4πx =-对称, 所以()(0)2f f π-=,即220a a +-=, 解得2a =-或1a =,当2a =-时,()sin 2cos 2cos 44f x x x x x π⎛⎫=--=-⎪⎝⎭,此时()f x的最大值为;当1a =时,()sin cos 2cos 4f x x x x x π⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭,此时()f x;综上()f x或. 故选:D 【点睛】本题主要考查三角函数的性质,还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力,属于中档题.16.某船开始看见灯塔A 时,灯塔A 在船南偏东30o 方向,后来船沿南偏东60︒的方向航行45km 后,看见灯塔A 在船正西方向,则这时船与灯塔A 的距离是( ) A .152km B .30kmC .15kmD .153km【答案】D 【解析】 【分析】如图所示,设灯塔位于A 处,船开始的位置为B ,船行45km 后处于C ,根据题意求出BAC ∠与BAC ∠的大小,在三角形ABC 中,利用正弦定理算出AC 的长,可得该时刻船与灯塔的距离. 【详解】设灯塔位于A 处,船开始的位置为B ,船行45km 后处于C ,如图所示,可得60DBC ∠=︒,30ABD ∠=︒,45BC =30ABC ∴∠=︒,120BAC ∠=︒在三角形ABC 中,利用正弦定理可得:sin sin AC BCABC BAC=∠∠,可得sin 1153sin 23BC ABC AC km BAC ∠===∠ 故选D 【点睛】本题主要考查的是正弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握正弦定理是解决本题的关键,属于基础题.17.已知曲线1:sin C y x =,21:cos 23C y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,则下面结论正确的是( )A .把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移3π个单位长度,得到曲线2CB .把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移3π个单位长度,得到曲线2CC .把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移3π个单位长度,得到曲线2CD .把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移3π个单位长度,得到曲线2C 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的周期变换和左右平移变换依次得到各选项中所得的函数解析式,从而得到正确选项. 【详解】A 中,将sin y x =横坐标缩短到原来的12倍得:sin 2y x =;向右平移3π个单位长度后得:2sin 2sin 2sin 2cos 233266y x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,A 错误;B 中,将sin y x =横坐标伸长到原来的2倍得:1sin2y x =;向右平移3π个单位长度后得:11121sin sin cos cos 232622632y x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦,B 错误;C 中,将sin y x =横坐标缩短到原来的12倍得:sin 2y x =;向左平移3π个单位长度后得:2sin 2sin 2sin 2cos 233266y x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,C 错误;D 中,将sin y x =横坐标伸长到原来的2倍得:1sin2y x =;向左平移3π个单位长度后得:1111sin sin cos cos 232622623y x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦,D 正确. 故选:D 【点睛】本题考查三角函数的周期变换和平移变换的问题,关键是能够准确掌握变换原则,得到变换后的函数解析式.18.40cos2d cos sin xx x xπ=+⎰( )A .1)B 1C 1D .2【答案】C 【解析】 【分析】利用三角恒等变换中的倍角公式,对被积函数进行化简,再求积分. 【详解】因为22cos2cos sin cos sin cos sin cos sin x x xx x x x x x-==-++,∴4400cos 2d (cos sin )d (sin cos )14cos sin 0xx x x x x x x x πππ=-=+=+⎰⎰,故选C . 【点睛】本题考查三角恒等变换知与微积分基本定理的交汇.19.在ABC △中,若a =3,c =7,∠C =60°,则边长b 为 A .5 B .8 C .5或-8 D .-5或8【答案】B 【解析】由余弦定理c 2=a 2+b 2-2ab cos C ,得24993b b =+-,即()()850b b -+=, 因为b >0,所以b =8.故选B .20.设函数()()sin f x x x x R =∈,则下列结论中错误的是( ) A .()f x 的一个周期为2π B .()f x 的最大值为2 C .()f x 在区间2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 D .3f x π⎛⎫+⎪⎝⎭的一个零点为6x π=【答案】D 【解析】 【分析】先利用两角和的正弦公式化简函数()f x ,再由奇偶性的定义判断A ;由三角函数的有界性判断B ;利用正弦函数的单调性判断C ;将6x π=代入 3f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭判断D .【详解】()sin f x x x = 23sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,()f x 周期22,1T A ππ==正确; ()f x 的最大值为2,B 正确,25,,,63326x x πππππ⎛⎫⎛⎫∈∴+∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭Q ,()f x ∴在2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递减,C 正确; 6x π=时,1032f x f ππ⎛⎫⎛⎫+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,6x π=不是3f x π⎛⎫+⎪⎝⎭的零点,D 不正确. 故选D. 【点睛】本题通过对多个命题真假的判断,综合考查两角和的正弦公式以及三角函数的单调性、三角函数的周期性、三角函数的最值与零点,意在考查对基础知识掌握的熟练程度,属于中档题.。
三角函数第一章第一节练习题
解答题(共16小题)1.(1)设90°<α<180°,角α的终边上一点为P(x ,),且cosα=x,求sinα与tanα的值;(2)已知角θ的终边上有一点P(x,﹣1)(x≠0),且tanθ=﹣x,求sinθ,cosθ.2.已知角α=45°;(1)在区间[﹣720°,0°]内找出所有与角α有相同终边的角β;(2)集合,,那么两集合的关系是什3.填写下表4.已知α=.(1)写出所有与α终边相同的角;(2)写出在(﹣4π,2π)内与α终边相同的角;(3)若角β与α终边相同,则是第几象限的角?5.(2006•上海)已知α是第一象限的角,且,求的值.6.(2005•黑龙江)已知α为第二象限的角,,β为第一象限的角,.求tan(2α﹣β)的值.7.(难)已知sin=,cos=﹣,试确定θ的象限.8.把下列各角的弧度化为角度或把角度化为弧度:(1)﹣135°(2).9.已知AB=2a,在以AB为直径的半圆上有一点C,设AB中点为O,∠AOC=60°.(1)在上取一点P,若∠BOP=2θ,把PA+PB+PC表示成θ的函数;(2)设f(θ)=PA+PB+PC,当θ为何值时f(θ)有最大值,最大值是多少?10.(2008•上海)如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB,小区的两个出入口设置在点A及点C 处,且小区里有一条平行于BO的小路CD,已知某人从C沿CD走到D用了10分钟,从D沿DA走到A用了6分钟,若此人步行的速度为每分钟50米,求该扇形的半径OA的长(精确到1米)11.如图所示动点P、Q从点A(4,0)出发沿圆周运动,点P按逆时针方向每秒钟转弧度,点Q按顺时针方向每秒钟转弧度,求P、Q第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标P、Q点各自走过的弧长.12.如果把地球看成一个球体,求地球上北纬60°纬线长和赤道线长的比值.13.一个水平放着的圆柱形水管,内半径是12cm,排水管的圆截面上被水淹没部分的弧含150°(如图),求这个截面上有水部分的面积(取π=3.14).14.已知一扇形的中心角是α,所在圆的半径是R.(1)若α=60°,R=10 cm,求扇形的弧所在的弓形面积;(2)若扇形的周长是一定值c(c>0),当α为多少弧度时,该扇形有最大面积?15.已知扇形的周长是8,(1)若圆心角α=2,求弧长l(注)(2)若弧长为6,求扇形的面积S.16.(2011•福建)设函数f(θ)=,其中,角θ的顶点与坐标原点重合,始边与x轴非负半轴重合,终边经过点P(x,y),且0≤θ≤π.(I)若点P的坐标为,求f(θ)的值;(II)若点P(x,y)为平面区域Ω:,上的一个动点,试确定角θ的取值范围,并求函数f(θ)的最小值和最大值.参考答案与试题解析一.解答题(共16小题)1.(1)设90°<α<180°,角α的终边上一点为P(x,),且cosα=x,求sinα与tanα的值;(2)已知角θ的终边上有一点P(x,﹣1)(x≠0),且tanθ=﹣x,求sinθ,cosθ.r=x=±﹣r=2==﹣,﹣﹣2.已知角α=45°;(1)在区间[﹣720°,0°]内找出所有与角α有相同终边的角β;(2)集合,,那么两集合的关系是什么?3.填写下表4.已知α=.(1)写出所有与α终边相同的角;(2)写出在(﹣4π,2π)内与α终边相同的角;(3)若角β与α终边相同,则是第几象限的角?<((,即可判断,<﹣终边相同的角是﹣、﹣、,则=k(为偶数时,在第三象限.5.(2006•上海)已知α是第一象限的角,且,求的值.=,.6.(2005•黑龙江)已知α为第二象限的角,,β为第一象限的角,.求tan(2α﹣β)的值.,∴﹣﹣﹣,∴,7.(难)已知sin=,cos=﹣,试确定θ的象限.sin=cos﹣sin=cos﹣=2sin•cos=<2﹣2=8.把下列各角的弧度化为角度或把角度化为弧度:(1)﹣135°(2).×=×;9.已知AB=2a,在以AB为直径的半圆上有一点C,设AB中点为O,∠AOC=60°.(1)在上取一点P,若∠BOP=2θ,把PA+PB+PC表示成θ的函数;(2)设f(θ)=PA+PB+PC,当θ为何值时f(θ)有最大值,最大值是多少?=2acosPB=PC=cos﹣2+)sin cos,=arcsin arcsin2a10.(2008•上海)如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB,小区的两个出入口设置在点A及点C 处,且小区里有一条平行于BO的小路CD,已知某人从C沿CD走到D用了10分钟,从D沿DA走到A用了6分钟,若此人步行的速度为每分钟50米,求该扇形的半径OA的长(精确到1米).分).,11.如图所示动点P、Q从点A(4,0)出发沿圆周运动,点P按逆时针方向每秒钟转弧度,点Q按顺时针方向每秒钟转弧度,求P、Q第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标P、Q点各自走过的弧长.•|=2点已运动到终边在•的位置,cos•sin.点走过的弧长为π点走过的弧长为π•π12.如果把地球看成一个球体,求地球上北纬60°纬线长和赤道线长的比值.R,那么它们对应的长度之比为R=13.一个水平放着的圆柱形水管,内半径是12cm,排水管的圆截面上被水淹没部分的弧含150°(如图),求这个截面上有水部分的面积(取π=3.14).=14.已知一扇形的中心角是α,所在圆的半径是R.(1)若α=60°,R=10 cm,求扇形的弧所在的弓形面积;(2)若扇形的周长是一定值c(c>0),当α为多少弧度时,该扇形有最大面积?,l=π××﹣)R=α•=(α•≤.,即舍去)时,扇形面积有最大值R=Rl=••l=(﹣l===2弧度时,扇形面积有最大值15.已知扇形的周长是8,(1)若圆心角α=2,求弧长l(注)(2)若弧长为6,求扇形的面积S.,求出扇形的弧长.S=16.(2011•福建)设函数f(θ)=,其中,角θ的顶点与坐标原点重合,始边与x轴非负半轴重合,终边经过点P(x,y),且0≤θ≤π.(I)若点P的坐标为,求f(θ)的值;(II)若点P(x,y)为平面区域Ω:,上的一个动点,试确定角θ的取值范围,并求函数f(θ)的最小值和最大值.,我们将点的坐标)画出满足约束条件=2≤θ≤,即。
数形结合思想在三角函数复习中的应用
数形结合思想在三角函数复习中的应用广西防城港市实验高级中学(538021)韦信英[摘要]三角函数是高中数学的重要内容,涵盖较多的知识点.部分三角函数题运用数形结合思想能够很快找到解题思路.在三角函数复习课中,注重数形结合思想,尤其围绕具体例题为学生讲解数形结合思想在解题中的策略,能使学生对三角函数有更加深刻的认识,并能提高他们的解题能力.[关键词]数形结合思想;三角函数;复习课;应用[中图分类号]G 633.6[文献标识码]A[文章编号]1674-6058(2021)32-0021-02高中数学三角函数复习教学中,教师既要注重带领学生一起回顾三角函数基础知识,又要为学生讲解数形结合思想在解题中的应用,通过复习进一步提高其应用数形结合思想解答三角函数习题的能力.一、借助数形结合思想弄清图像关系教师在高中数学三角函数复习课堂上应鼓励学生动手画出常见三角函数图像,牢记常见三角函数的周期、对称中心、取得最大值以及最小值的横坐标,牢固掌握三角函数图像规律,尤其为使学生搞清楚三角函数图像与其他图像之间的关系,应注重在课堂上为学生讲解经典例题.[例1]已知函数f (x )=23sin ωx 2cos ωx2+2cos 2ωx 2-1(ω>0)的周期为π,则当x ∈éëêùûú0,π2时,方程f (x )=m 恰有两个不同的实数解x 1,x 2,则f (x 1+x 2)=.分析:先对函数f (x )表达式进行化简,而后在x ∈éëêùûú0,π2上画出其图像,其和y =m 的交点的横坐标即为实数解,而后根据图像特点计算x 1+x 2的值,代入函数f (x )表达式求解即可.解:∵f (x )=23sin ωx 2cos ωx 2+2cos 2ωx2-1=3sin ωx +cos ωx =2sin ()ωx +π6,又因为其周期为π,则由T =2πω=π,得到ω=2,∴f (x )=2sin ()2x +π6.分别画出函数f (x )在éëêùûú0,π2上的图像和y =m 的图像,如图1所示.f (x )=2sin ()2x +π6y =m π/2π图1观察可知x 1+x 2=2×π6=π3,∴f (x 1+x 2)=f ()π3=2sin ()2×π3+π6=2×12=1.二、借助数形结合思想深化图像理解在三角函数复习中,为使学生更好地理解常见三角函数图像,教师既要鼓励学生运用对比法对比不同三角函数图像,搞清楚三角函数图像之间的区别与联系,也要注重为学生展示代表性较强的习题,在课堂上为学生预留一定的思考时间,要求学生运用数形结合思想进行作答,检验学生对三角函数图像的理解深度以及数形结合思想在解题中应用的灵活性,并要求其根据在解题中暴露出的问题,及时查漏补缺,通过复习真正有所收获.[例2]已知函数f (x )=sin ()x +π6,若当x ∈éëêùûú-π3,a 时,函数f (x )的值域为éëêùûú-12,1,则a 的取值范围为.分析:题目中函数f (x )的值域范围已经给出,但定义域范围带有参数.因此,需要根据函数图像进行分析.解:∵-π3≤x ≤a ,∴-π6≤x +π6≤a +π6,画出数学·解题研究函数f(x)=sin x的图像,如图2所示.f(x)=sin xπ/2π3π/27π6f图2由图可知,当x+π6=-π6时,f(x)=-12.要想满足函数f(x)的值域为éëêùûú-12,1,则由图可知π2≤a+π6≤7π6,解得π3≤a≤π,即a的取值范围是éëêùûúπ3,π.三、借助数形结合思想拓展解题思路在三角函数复习中,当学生掌握基础知识后,教师应注重拓展学生的解题思路,帮助学生掌握运用数形结合思想解题的技巧,使其在以后的解题中能够以不变应万变.教师应结合自身授课经验以及常考的习题类型,为学生展示经典习题,要求学生积极动手,通过画出相关图像,以实现顺利解题的目标,增强其解答三角函数习题的自信心.[例3]已知函数f(x)=2sin()2x-π3-66x-π,其在éëêùûú-π3,2π3上所有零点之和为.分析:题目设计到与三角函数相关的零点问题.解答通常将函数f(x)拆分成两个函数,将问题转化为两个函数图像的交点.由零点定义可知,其表示图像交点的横坐标,因此,结合图像便不难求出所有零点之和.解:∵f(x)=2sin()2x-π3-66x-π=0,即2sin(2x-π3)=66x-π,令y1=2sin()2x-π3,y2=66x-π,在同一直角坐标系中画出两个函数图像,如图3所示.-π/3π/32π/3πy2=66x-πy1=2sin()2x-π6图3可知两个函数图像关于点()π6,0对称.图像在éëêùûúπ3,2π3上共有四个零点,其和=4×π6=2π3.四、借助数形结合思想提高解题能力在函数复习中,为更好地提高学生的解题能力,教师应注重做好三角函数习题的创新,并注重给予学生针对性的点拨,使其能够运用数形结合思想找到解题的思路,提高其思维的灵活性.[例4]已知函数f(x)=cos x,若存在实数x1,x2,x3,…,xn,满足0≤x1<x2<…<x n≤4π,且|f(x1)-f(x2)|+|f(x2)-f(x3)|+…+||f(x n-1)-f(x n)=8,n≥2,n∈N*,则n的最小值为.分析:该题看似难度较大,但只要能够理解题意进行巧妙转化,结合三角函数图像不难作答.解:由三角函数图像可知,两点纵坐标之差的绝对值的最大值为2.因此,要想n的值最小,应确保x1,x2,x3,…,xn尽可能取得最高点和最低点.画出函数f(x)=cos x的图像,如图4所示.π2π3π4πf(x)=cos x图4要想满足||f(x1)-f(x2)+||f(x2)-f(x3)+…+||f(x n-1)-f(x n)=8,只需其取图中x1,x2,x3,x4,x5坐标的值即可,此时n的最小值为5.高中数学三角函数习题类型较多,复习教学中,教师应注重结合具体例题引导与启发学生运用数形结合思想进行求解.同时,鼓励学生做好数形结合思想在解题中的应用总结,掌握不同习题类型的解题规律,把握数形结合思想应用的技巧,以便学生在以后的解题中能够具体问题具体分析.[参考文献][1]李兰清.核心素养下高中数学三角函数问题有效教学策略探析[J].当代家庭教育,2020(23):85-86.[2]王圣荣.基于数形结合法的三角函数的考查[J].新课程导学,2020(19):33,35.[3]孙景波.数形结合思想在三角函数中的应用[J].数理天地(高中版),2020(3):14-16.[4]刘国君.关于高中数学三角函数中数形结合的实践及思考[J].文理导航(中旬),2019(7):6-7.[5]张起洋.高中数学数形结合思想在三角函数问题中的应用探究[J].数理化解题研究,2017(6):39.(责任编辑黄桂坚)数学·解题研究。
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数形结合思想在函数与三角函数中的应用
数形结合思想是数学解题中常用的思想方法,数形结合思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质;另外,由于使用了数形结合的方法,很多问题便迎刃而解,且解法简捷。
函数根的个数=函数与X 轴的交点数
1. 关于x 的方程22320x x k --=在(-1, 1)内有一个实根,则k 的取值范围是什么?
2.
3.
4.
5.已知函数
()312
f x ax a
=+-在区间(-1,1)上存在零点0x,求实数a的取值范围
两函数相交(两函数的共同解=两函数的交点个数)
1. 在(02,π)内,使s i n c o s x x >成立的x 取值范围为( )
A. ππππ4254,,⎛⎝ ⎫⎭⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪
B. ππ4,⎛⎝ ⎫
⎭⎪
C. ππ454,⎛⎝ ⎫⎭⎪
D. ππππ
45432,,⎛
⎝ ⎫⎭⎪⎛⎝ ⎫
⎭⎪
2. 函数 y =a |x |和 y = x +a 的图像恰好有两个公共点,则实数a 的取值范围为( )
(A )(1, +∞) (B )(-1, 1) (C )(-∞, -1) (D )(-∞, -1)∪(1, +∞)
3. 已知0<a <1,方程|log |||x a a x =的实数根的个数是( )
(A )1个 (B )2个 (C )3个 (D )以上都有可能
4. 若不等式x 2-log a x <0在(0, 21
)内恒成立, 则a 的取值范围是( )
(A )[161
, 1) (B )(0, 161
) (C )(161
, 1) (D )(0, 1)
5. 方程lg x =sin x 的根的个数是( )
(A )1个 (B )2个 (C )3个 (D )无数个
6. 试判断三个数间的大小顺序___________
7. 从小到大的顺序是___________
8. 若方程cos223sin cos 1x x x k -=+有解,则k ∈__________
9. 若曲线2y =|x |+1与直线y =kx +b 没有公共点,则k 、b 分别应满足的条件是
10. 求的定义域
11. 若方程233x x m x -+-=-在()
x ∈03,内有两不等实根,求实数m 的取值范围
12. 已知抛物线C :y =-x 2+mx -1,点A (3,0),B (0, 3), 求抛物线C 与线段AB 有两个不同交点时m 的范围
13. 如果方程的两个实根在方程的两实根之间,试求与应满足的关系式.
14. 设方程,试讨论取不同范围的值时其不同解的个数的情况。