高等数学期中测试题答案_2

lim
x
x
3 x 2
e3
2.
lim( 1 1 ) x0 sin x ln(1 x)
lim ln(1 x) sin x x0 sin x ln(1 x)
lim
x0
ln(1
x) x2
sin
x
lim
1 1
x
cos
x
x0
2x
lim 1 (1 x) cos x lim 1
x0
2x
x0 1 x
x 1800 （元）为唯一驻点，因此租金为
1800 元时，收益最大，且 f(1800)=略 五、证明：
（1）f(x)为奇函数，故 f(0)=0
f (x) 在区间[0,1]上连续，(0,1)上可导，
由拉格朗日中值定理可得，
在(0,1)上至少存在一点 ，使得 f ( ) f (1) f (0) 1
x
1
ex e 2x
2x
ln
sin
x
x2
cot
x
1
ex e2x
5. dy 2x x dx 2 1 x2 1 x2
d2y 1 x2 x( 1 x2 )
dx 2
( 1 x2 )2
1 x2 x x
1 x2
( 1 x2 )2
1
3
(1 x2 ) 2
6.
y x dy sec2(x y)(1 dy )
一、1. ln(x 1) ； 2. 3； 3. 6；
4.
(1)n1(n 1)! ； 5.
y
1 2
x
.
二、1. A; 2. B; 3. C; 4. B; 5.
D.
三、
1.
lim( x 1) x ； x x 2
lim(1
x2
3 )3
x
3 2
x
Baidu Nhomakorabea
x x 2
lxim(1
x
3
2
)
x
2 3
dx
dx
dy sec2(x y) y dx x sec2(x y)
或=
1 tan2( x y) y x (1 tan2(x y))
1 x2y2 y x 1 x2y2
7. dx t ; dy 1
dt
1 t2 dt 1 t2
dy dy / dt 1
dt dx / dt t
1 (1) f () f () 1
极大值： f (3) 27 k
极小值： f (1) 5 k
② 27 k 0, 5 k 0
所以 27 k 5
（2）解：f
(x)
(50
x
1000 )( x 50
100)
x2 72x 7000 50
f (x) x 72 0 25
由于奇函数的导数为偶函数，
f (1) f (1)
y +
0-
0+
y增
极减 大
极增 小
单增区间：， (, 3) ， (1, )
单间区间： (3,1)
(x) 在区间[-1,1]上连续，(-1,1)上可导，
由拉格朗日中值定理可得，在(-1,1)上至少
存在一点 ，使得 () (1) (1) 1 ，即
d2y
d ( 1) t
d ( 1) t
/
dt
dx2 dx
dx / dt
1
t2 t
1 t2 t3
1 t2
四、（1）解：① y x3 3x2 9x k
y ' 3x2 6x 9 3(x 3)(x 1)
y ' 0,则x1 3, x2 1
x (, 3) 3 (3,1) 1 (1, )
10 （2）令(x) f (x) f (x) ，则 (1) f (1) f (1) f (1) 1 (1) f (1) f (1) f (1) (1)
lim cos x (1 x)sin x 1
x0
2
2
3. lim x( x2 1 x) x
lim x( x2 1 x)( x2 1 x)
x
( x2 1 x)
lim
x
x x2 1 x
lim x
1 1
1
1 x2
1
2
4.
dy dx
2x ln sin
x
x2
1 sin x
cos