考点13 二倍角的正弦、余弦、正切
3.13二倍角的正弦、余弦、正切公式
3．1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式学习目标1.会用两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变形运用．知识点一 二倍角公式sin 2α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；tan 2α＝2tan α1－tan 2α⎝⎛⎭⎫α≠π2＋k π，2α≠π2＋k π，k ∈Z . 知识点二 二倍角公式的变形1．公式的逆用2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝12sin 2α， cos 2α－sin 2α＝cos 2α，2tan α1－tan 2α＝tan 2α. 2．二倍角公式的重要变形——升幂公式和降幂公式升幂公式1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α，1＋cos α＝2cos 2α2,1－cos α＝2sin 2α2. 降幂公式cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.1．sin α＝2sin α2cos α2.( √ ) 2．cos 4α＝cos 22α－sin 22α.( √ )3．对任意角α，tan 2α＝2tan α1－tan 2α.( × ) 提示 公式中所含各角应使三角函数有意义．如当α＝π4及α＝π2时，上式均无意义． 4．cos 2α＝1－cos 2α2.( × )题型一 给角求值例1 (1)计算：cos 2π12－sin 2π12； 考点 应用二倍角公式化简求值题点 利用余弦的二倍角公式化简求值解 原式＝cos π6＝32. (2)计算：1－tan 275°tan 75°； 考点 应用二倍角公式化简求值题点 利用正切的二倍角公式化简求值解 1－tan 275°tan 75°＝2·1－tan 275°2tan 75°＝2·1tan 150°＝－2 3. (3)计算：cos 20°cos 40°cos 80°.考点 应用二倍角公式化简求值题点 利用正弦的二倍角公式化简求值解 原式＝12sin 20°·2sin 20°cos 20°cos 40°cos 80° ＝12sin 20°·sin 40°·cos 40°cos 80° ＝122sin 20°sin 80°cos 80° ＝123sin 20°·sin 160° ＝sin 20°23sin 20°＝18. 反思感悟 对于给角求值问题，一般有两类(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角．(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．跟踪训练1 (1)cos π7cos 3π7cos 5π7的值为( ) A.14 B ．－14 C.18 D ．－18考点 应用二倍角公式化简求值题点 利用正弦的二倍角公式化简求值答案 D解析 cos π7cos 3π7cos 5π7＝cos π7·⎝⎛⎭⎫－cos 4π7·⎝⎛⎭⎫－cos 2π7 ＝2sin π7cos π7cos 2π7cos 4π72sin π7＝sin 2π7cos 2π7cos 4π72sin π7＝sin 4π7cos 4π74sin π7＝sin8π78sin π7＝－18. (2)12－cos 2π8＝ ； 考点 应用二倍角公式化简求值题点 利用余弦的二倍角公式化简求值答案 －24解析 原式＝12⎝⎛⎭⎫1－2cos 2π8＝－12cos π4＝－24. 题型二 条件求值例2 (1)若sin α－cos α＝13，则sin 2α＝ . 考点 应用二倍角公式化简求值题点 综合应用二倍角公式化简求值答案 89解析 (sin α－cos α)2＝sin 2α＋cos 2α－2sin αcos α＝1－sin 2α＝⎝⎛⎭⎫132，即sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫132＝89.(2)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α等于( ) A.6425 B.4825 C ．1 D.1625考点 应用二倍角公式化简求值题点 综合应用二倍角公式化简求值答案 A解析 cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α. 把tan α＝34代入，得 cos 2α＋2sin 2α＝1＋4×341＋⎝⎛⎭⎫342＝42516＝6425. 引申探究在本例(1)中，若改为sin α＋cos α＝13，求sin 2α. 解 由题意，得(sin α＋cos α)2＝19， ∴1＋2sin αcos α＝19，即1＋sin 2α＝19， ∴sin 2α＝－89. 反思感悟 (1)条件求值问题常有两种解题途径①对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；②对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．(2)一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ.跟踪训练2 (1)若sin(π－α)＝13，且π2≤α≤π，则sin 2α的值为( ) A ．－429B ．－229 C.229 D.429考点 二倍角的正弦、余弦、正切公式题点 利用二倍角公式求二倍角的正弦值答案 A解析 因为sin(π－α)＝13，所以sin α＝13， 又因为π2≤α≤π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－223， 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×13×⎝⎛⎭⎫－223＝－429. (2)已知α为第三象限角，cos α＝－35，则tan 2α＝ . 考点 二倍角的正弦、余弦、正切公式题点 利用二倍角公式求二倍角正切值答案 －247解析 因为α为第三象限角，cos α＝－35， 所以sin α＝－1－cos 2α＝－45， tan α＝43，tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×431－⎝⎛⎭⎫432＝－247.利用二倍角公式化简证明典例 (1)化简：1＋sin 2θ－cos 2θ1＋sin 2θ＋cos 2θ. 考点 应用二倍角公式化简求值题点 利用二倍角公式化简证明三角函数式解 方法一 原式＝(1－cos 2θ)＋sin 2θ(1＋cos 2θ)＋sin 2θ＝2sin 2θ＋2sin θcos θ2cos 2θ＋2sin θcos θ＝2sin θ(sin θ＋cos θ)2cos θ(cos θ＋sin θ) ＝tan θ.方法二 原式＝(sin θ＋cos θ)2－(cos 2θ－sin 2θ)(sin θ＋cos θ)2＋(cos 2θ－sin 2θ)＝(sin θ＋cos θ)[(sin θ＋cos θ)－(cos θ－sin θ)](sin θ＋cos θ)[(sin θ＋cos θ)＋(cos θ－sin θ)]＝2sin θ2cos θ＝tan θ. (2)求证：4sin αcos α1＋cos 2α·cos 2αcos 2α－sin 2α＝tan 2α. 考点 三角恒等式的证明题点 三角恒等式的证明证明 左边＝2sin 2α2cos 2α·cos 2αcos 2α＝tan 2α＝右边． [素养评析] (1)三角函数式化简、证明的常用技巧①特殊角的三角函数与特殊值的互化．②对于分式形式，应分别对分子、分母进行变形处理，有公因式的提取公因式后进行约分． ③对于二次根式，注意二倍角公式的逆用．④利用角与角之间的隐含关系，如互余、互补等．⑤利用“1”的恒等变形，如tan 45°＝1，sin 2α＋cos 2α＝1等．(2)通过本例掌握推理的基本形式和规则，学会有逻辑地思考问题，形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，提升逻辑推理的数学核心素养.1．(2017·山东)已知cos x ＝34，则cos 2x 等于() A ．－14 B.14 C ．－18 D.18考点 二倍角的正弦、余弦、正切公式题点 利用公式求二倍角的余弦值答案 D解析 cos 2x ＝2cos 2x －1＝2×⎝⎛⎭⎫342－1＝18.故选D.2.1－tan 215°2tan 15°等于( ) A. 3 B.33 C ．1 D ．－1考点 二倍角的正弦、余弦、正切公式题点 利用公式求二倍角正切值答案 A解析 原式＝12tan 15°1－tan 215°＝1tan 30°＝ 3.3．sin 4π12－cos 4π12等于( )A ．－12 B ．－32 C.12 D.32考点 应用二倍角公式化简求值题点 利用余弦的二倍角公式化简求值答案 B解析 原式＝⎝⎛⎭⎫sin 2π12＋cos 2π12·⎝⎛⎭⎫sin 2π12－cos 2π12 ＝－⎝⎛⎭⎫cos 2π12－sin 2π12＝－cos π6＝－32. 4．cos 275°＋cos 215°＋cos 75°cos 15°等于( ) A.62 B.32 C.54 D ．1＋34考点 利用二倍角公式化简求值题点 利用正弦二倍角公式化简求值答案 C解析 原式＝sin 215°＋cos 215°＋sin 15°cos 15°＝1＋12sin 30°＝1＋14＝54. 5．求证：cos 2(A ＋B )－sin 2(A －B )＝cos 2A cos 2B . 考点 利用二倍角公式化简求值题点 利用余弦二倍角公式化简证明证明 左边＝1＋cos (2A ＋2B )2－1－cos (2A －2B )2＝cos (2A ＋2B )＋cos (2A －2B )2＝12(cos 2A cos 2B －sin 2A sin 2B ＋cos 2A cos 2B ＋sin 2A sin 2B ) ＝cos 2A cos 2B ＝右边，所以等式成立．1．对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是32α的二倍；α2是α4的二倍；α3是α6的二倍；α2n 是α2n ＋1的二倍(n ∈N *)． 2．二倍角余弦公式的运用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．常用形式：(1)1＋cos 2α＝2cos 2α.(2)cos 2α＝1＋cos 2α2. (3)1－cos 2α＝2sin 2α.(4)sin 2α＝1－cos 2α2.。
二倍角的正弦、余弦、正切公式(高中数学)
θ＝2 3， 23
所以sin
2θ＋cos
θ2＝4， 2 3
即 1＋2sin θ2cos θ2＝43，
所以 sin θ＝13，
所以 cos 2θ＝1－2sin2θ＝1－2×132＝79.
答案：13
7 9
3.cos
1π2－sin
π 12cos
1π2＋sin
1π2的值为________．
解析：原式＝cos21π2－sin21π2
左边 －右边＝0，右边＝1；③分析法，从要证明的等式出发，一步 步寻找等式成立的条件．
1．若 α 为第三象限角，则
1＋cos 2α－ cos α
1－cos sin α
2α＝________．
解析：因为 α 为第三象限角，所以 cos α＜0，sin α＜0，
所以 1＋cos 2α－ 1－cos 2α＝ 2cos2α－ 2sin2α
＝ccooss 22αα＝1.
(2)证明：法一：左边＝csoinsπ4π4＋＋αα－csionsπ4π4－－αα＝
sinπ4＋αcosπ4－α－sinπ4－αcosπ4＋α cosπ4＋αcosπ4－α
＝cosisnπ4π4＋＋ααs－inπ4π4＋＋αα
＝12sinsinπ2＋2α2α＝2csions 22αα＝2tan 2α＝右边． 所以等式成立．
1．已知 x∈－π2，0，cos x＝45，则 tan 2x＝(
)
A．274
B．－274
C．274
D．－274
解析：选 D.由 cos x＝45，x∈－π2，0， 得 sin x＝－35， 所以 tan x＝－34， 所以 tan 2x＝1－2tatnanx2x＝12－×－－34342 ＝－274，故选 D.
高中数学-二倍角的正弦、余弦、正切公式
1.二倍角的正弦、余弦、正切
∵ sin(α＋β)＝sinαcos β＋cosαsin β,
∴ 当α＝β 时，sin(α+β)＝sin2α＝2sinαcosα
sin2α＝2sinαcosα ∵ cos(α +β)＝cosαcosβ －sinαsinβ
(S2 α)
∴ 当α = β时, cos(α＋β)＝cos2α ＝cos2α －sin2α
例6. 求值： cos215°+sin250°–cos175°·cos95°
•
解:原式＝
1 cos30 1 cos100 sin5
2
2
cos 5
1 1 cos30 1 sin10 1 sin10
2
2
2
1 3 4
例7. 已知sin( ) 5 ,且0 ,
4
13
4
求3sin2 4sin cos cos2 的值。
3. 6
(4)1－cos 2 π＝－1(2cos 2π －1)
2
82
8
＝－1cosπ＝－ 2.
24
4
练习1.已知sinα＝5 ，α∈( ,π)，求sin2α，
13
cos2α，tan2α的值.
2
解：∵sinα＝ 5 ，α∈（ , π ),
13
2
∴cosα＝－ 1 sin 2 1 ( 5 )2 12.
例13 化简
2
2,
2 2cos
1
其中180 360.
4
例14 已知: x+y=3–cos4θ，x – y=4sin2θ,
1
1
求证：x 2 y2 2.
例15 求证 sin4 cos2 cos tan .
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式二倍角的正弦、余弦、正切公式【问题导思】在公式C (α＋β)，S (α＋β)，T (α＋β)中，若α＝β公式还成立吗？二倍角的正弦、余弦、正切公式记法 公式 S 2α sin 2α＝2sin αcos α C 2α cos 2α＝cos 2α－sin 2α T 2αtan 2α＝2tan α1－tan 2α正弦、余弦的二倍角公式的变形1.余弦的二倍角公式的变形2．正弦的二倍角公式的变形 (1)sin αcos α＝12sin 2α，cos α＝sin 2α2sin α.(2)1±sin 2α＝(sin α±cos α)2.利用二倍角公式给角求值求下列各式的值：(1)cos π5cos 2π5；(2)12－cos 2π8；(3)2tan 150°1－tan 2150°； (4)sin 10°sin 50°sin 70°.对于给角求值问题，一般有两类：(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化，一般可以化为特殊角．(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．求下列各式的值． (1)cos 72°cos 36°；(2)1sin 50°＋3cos 50°.利用二倍角公式给值求值已知sin(π4－x )＝513，0<x <π4，求cos 2xcos (π4＋x )的值．1．条件求值问题常有两种解题途径：(1)对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；(2)对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．2．当遇到π4±x 这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通．在例题条件不变的情况下，求sin 2xcos (π4－x )的值．二倍角公式的综合应用(1)化简：1＋cos 2θ－sin 2θ1－cos 2θ－sin 2θ；(2)化简：1＋sin 10°－1－sin 10°1．对于三角函数式的化简有下面的要求：(1)能求出值的应求出值．(2)使三角函数种数尽量少．(3)使三角函数式中的项数尽量少．(4)尽量使分母不含有三角函数．(5)尽量使被开方数不含三角函数．2．化简的方法：(1)弦切互化，异名化同名，异角化同角． (2)降幂或升幂．(3)一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin2θ.化简下列各式．(1)π4＜α＜π2，则1－sin 2α＝________. (2)α为第三象限角，则1＋cos 2αcos α－1－cos 2αsin α＝________.未根据角范围分类讨论致误化简1＋sin θ－1－sin θ(θ∈(0，π))．1.12sin 15°cos 15°的值等于( ) A.14 B.18 C.116D.122．下列各式中，值为32的是( ) A ．2sin 15°－cos 15° B ．cos 215°－sin 215° C ．2sin 215°－1D ．cos 215°＋sin 215°3．已知tan α＝12，则tan 2α＝__________.4．若tan(α＋π4)＝3＋22，求1－cos 2αsin 2α的值．一、选择题1.2sin 2α1＋cos 2α·cos 2αcos 2α＝( ) A ．tan 2α B ．tan α C ．1 D.122．函数f (x )＝sin x cos x 的最小值是( ) A ．－1 B ．－12 C.12 D ．13．设sin(π4＋θ)＝13，则sin 2θ＝( )A ．－79B ．－19 C.19 D.794．设sin α＝35(π2＜α＜π)，tan(π－β)＝12，则tan(α－2β)＝( )A ．－247B ．－724 C.247 D.7245.2－2cos 8＋21－sin 8的化简结果是( ) A ．2cos 4－4sin 4 B ．2sin 4 C ．2sin 4－4cos 4 D ．－2sin 4 二、填空题6．已知sin(π4－x )＝35，则sin 2x 的值等于________．7．在△ABC 中，已知cos 2C ＝－14，则sin C 的值为________．8．函数f (x )＝sin(2x －π4)－22·sin 2x 的最小正周期是________．三、解答题9．(1)求函数f (x )＝cos(x ＋23π)＋2cos 2x2，x ∈R 的值域；(2)已知tan α＝3，α∈(π4，π2)，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值．10．已知sin(π4＋α)sin(π4－α)＝16，且α∈(π2，π)，求sin 4α的值．11．已知函数f (x )＝tan(2x ＋π4)．(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)设α∈(0，π4)，若f (α2)＝2cos 2α，求α的大小．12.已知tan(α＋π4)＝2，求cos 2α＋3sin 2α＋tan 2α的值．。
3.1.3_二倍角的正弦、余弦、正切公式
基础梳理
一、二倍角的正弦、余弦、正切公式 在公式 sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β 中，令 β＝α， 得到 sin 2α＝________，这就是二倍角的正弦公式； 在公式 cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β 中，令 β＝α， 得到 cos 2α＝________，这就是二倍角的余弦公式， 其变形形式有：cos 2α＝________＝________；
利用二倍角公式化简与证明
2 2 已知tan2β ＝tan2α＋
cos 2α－2cos 2β＝1.
1 ： cos 2α－2c 已知 tan β＝tan α＋ 2 求证 .求证： cos α
分析：本题考查利用二倍角公式证明．首先要降 幂，然后才可以寻找到二倍角的形式，进而寻找到它 们的关系．
1 解析：∵1＋tan β＝1＋tan α＋ 2 ， cos α 1 2 ∴ 2 ＝ 2 ，∴cos2α＝2cos2β， cos β cos α 1＋cos 2α ∴ ＝1＋cos 2β， 2 ∴1＋cos 2α＝2＋2cos 2β， 即得 cos 2α－2cos 2β＝1.
3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
课 标 点 击
预 习 导 学
典 例 精 析
课 堂 导 练
课 堂 小 结
1．理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公 式及其推导过程．
2．灵活运用二倍角公式及其不同变形，能正 用、逆用公式，进一步树立化归思想方法．
二、二倍角公式中应注意的问题 (1)对“二倍角”公式应该有广泛的理解． α α α 如 8α 是 4α 的二倍角，α 是 的二倍角， 是 的 2 3 6 α α α α 二倍角等等．又如 α＝2× ， ＝2× ，„， n 2 2 4 2 α ＝2× n＋1等等． 2 π (2)当 α＝kπ＋ ，(k∈Z)时，tan α 的值不存在， 2 这时求 tan 2α 的值可用诱导公式求得． π π (3)一般情况下，sin 2α≠2sin α，例如 sin ≠2sin . 3 6
二倍角的正弦、余弦和正切公式
4
2
4
3
2
6
2
6+2 3
＝ × ＋ × ＝
，
3
2
3
2
6
π
π
π
sin − ＝ sin cos － cos sin
2
4
2
4
2
4
3
2
6
2
6−2 3
＝ × － × ＝
，故C正确、D错误.
3
2
3
2
6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
9. 已知 sin
cos
2
－
25
.
− －1，
9
7
2α＝2× －1＝－ .
25
25
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
12.
为
2
等腰三角形一个底角的余弦值为 ，则这个三角形顶角的正弦值
3
4 5
9
.
设 A 是等腰△ ABC 的顶角，则
sin B ＝ 1 − cos2 ＝ 1 −
2
cos B ＝ ，
cos20°
＝
sin20°+2sin40°
cos20°
考点二
例2
(1)
(1)
二倍角的正弦、余弦、正切公式的逆用和变形应用
π
5
cos cos π的值为(
12
12
π
5
cos cos π＝
12
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式【知识导航】1.会推导二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.灵活应用二倍角的正弦、余弦、正切公式解决有关的求值、化简、证明等问题.【知识梳理】【做一做1】已知sin α=3,cos α=4,则sin 2α等于 ()A.7B.12C.12D.24解析:sin2α=2sinαcosα=2425.答案:D【做一做2】已知cos α=13,则cos 2α等于()A.13B.23C.−79D.79解析:cos2α=2cos2α-1=2−1=−7.答案:C【做一做3】已知tan α=3,则tan 2α等于()A.6B.−34C.−38D.98解析:tan2α=2tanα1-tanα=2×31-32=−3.答案:B二倍角公式的变形公式剖析:(1)公式的逆用:2sinαcosα=sin2α;sinαcosα=1sin2α; cosα=sin2α;cos2α-sin2α=cos2α;2tanα1-tan2α=tan2α.(2)公式的有关变形:1±sin2α=sin2α+cos2α±2sinαcosα=(sinα±cosα)2;1+cos2α=2cos2α;1-cos2α=2sin2α.(3)升幂和降幂公式:升幂公式:1+sinα=sinα2+cosα22;1-sinα=sinα2-cosα22;1+cosα=2cos2α2;1−cosα=2sin2α2.降幂公式:cos2α=1+cos2α2;sin2α=1-cos2α2.【典例分析】题型一利用二倍角公式求值【例1】求下列各式的值:(1)co sπcos2π;(2)12−cos2π8;(3)ta nπ−1tanπ12.分析:第(1)题可根据2π5是π5的2倍构造二倍角的公式求值;第(2)(3)题需将所求的式子变形,逆用二倍角公式化简求值.解:(1)原式=2sinπ5cosπ5cos2π52sinπ5=sin2π5cos2π52sinπ5=sin4π54sinπ=sinπ54sinπ=14.(2)原式=1-2cos2π8=−2cos2π8-1=−12cosπ4=−24.(3)原式=tan2π12-1tanπ12=−2×1-tan2π122tanπ12=-2×1tanπ6=33=-2 3.【变式训练1】求下列各式的值:(1)si nπ12cos π12; (2)1-2sin 2750°; (3)1sin10°− 3cos10°. 解:(1)原式=2sin π12cos π122=sin π62=14.(2)原式=cos(2×750°)=cos1500° =cos(4×360°+60°)=cos60°=1.(3)原式=cos10°- 3sin10°=2 12cos10°- 32sin10°=4(sin30°cos10°-cos30°sin10°)=4sin20°=4.题型二知值求值【例2】已知si n π4-x =513,0<x <π4,求cos2xcos π4+x的值. 分析:注意角的关系 π4+x + π4-x =π2,注意诱导公式的应用cos2x=si n π2+2x ,利用倍角公式解题.解:原式=sin π2+2x cos π4+x=2sin π4+x cos π4+xcos π4+x=2si n π+x .∵si n π-x =cos π+x =5,且0<x <π,∴π+x ∈ π,π,sin π+x = 1-cos 2 π+x =12,∴原式=2×12=24.反思已知某角的三角函数值求值,要认真观察已知角与所求的和或差是特殊角或二倍角等,用诱导公式变形后,利用有关公式求值.【变式训练2】(1)已知si n α-π6 =35,且α是锐角,则sin 2α-π3 =__________,cos 2α-π3 =__________,tan 2α-π=__________;(2)若si n π+θ =30<θ<π,则cos 2θ=__________. 解析:(1)由题意知co s α-π6 =45,∴si n 2α-π3 =2sin α-π6 cos α-π6 =2425,cos 2α-π3 =725,tan 2α-π3 =247. (2)∵si n π4+θ =35,0<θ<π4,∴co s π4+θ =45.∴cos2θ=si n π+2θ =sin2 π+θ=2si n π+θ cos π+θ =2×3×4=24. 答案:(1)24724(2)24题型三化简与证明【例3】化简:(1 3tan10cos70° 1+cos40°(2)2cos 2α-12tan π4-α sin π4+α. 分析:先把切化弦,再结合三角函数公式求解。
二倍角公式
二倍角公式
二倍角公式是三角函数中的一种重要的公式，它用于计算角度的倍数。
在三角函数中，角度的一倍被称为原角，两倍被称为二倍角。
二倍角公式可以通过原角的余弦、正弦或正切来表示。
下面我们将介绍正弦、余弦和正切的二倍角公式。
1. 正弦的二倍角公式：
根据三角函数的定义，正弦函数表示一个角的对边与斜边的比值。
正弦的二倍角公式可以表示为：
sin(2θ) = 2sinθcosθ
2. 余弦的二倍角公式：
余弦函数表示一个角的邻边与斜边的比值。
余弦的二倍角公式可以表示为：
cos(2θ) = cos²θ - sin²θ
或者
cos(2θ) = 2cos²θ - 1
或者
cos(2θ) = 1 - 2sin²θ
3. 正切的二倍角公式：
正切函数表示一个角的对边与邻边的比值。
正切的二倍角公式可以表示为：
tan(2θ) = (2tanθ) / (1 - tan²θ)
这些二倍角公式可以用于计算二倍角的正弦、余弦和正切值。
在实际问题中，二倍角公式在三角函数的求解和应用中具有广泛的应用。
例如，在解三角方程、证明三角恒等式和计
算三角函数值等方面都会用到二倍角公式。
总结起来，二倍角公式是三角函数中的重要公式，包括正弦、余弦和正切的二倍角公式。
它们可以通过原角的正弦、余弦或正切来计算二倍角的值。
这些公式在解决实际问题和证明三角恒等式时起到了重要的作用。
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 4 2sin 2 cos 2 5 12 120 2 ( ) ; 13 13 169
cos 4 1 2sin 2 2 5 2 119 1 2 ( ) ; 13 169
tan 4 sin 4 120 169 120 ( ) . cos 4 169 119 119
2 4 , 5
8 D. 25
8 : 5得， cos
7 cos 2 cos 1 . 2 25
2.已知 cos
4 ,8 12, 求 sin , cos , tan 的值. 8 5 4 4 4 3 4 3 解：由 ， cos , 得sin = ， 8 2 8 5 8 5 3 4 24 sin =2sin cos =2 ）（ ） （ = , 4 8 8 5 5 25
2.公式的逆用 例3.求下列各式的值：
(1)sin15 cos15 ;(2) cos
2
8
sin
2
8
;
tan 22.5° (3) ;(4)2 cos 2 22.5° 1. 1 tan 2 22.5°
1 1 1 解：(1)sin15°cos15°= 2sin15°cos15°= sin 30° ; 2 2 4 2 (2) cos 2 sin 2 = cos(2 ) cos ; 8 8 8 4 2 1 2 tan 22.5° tan 22.5° 1 1 2 (3) tan 45° ; 1 tan 2 22.5° 1 tan 2 22.5° 2 2
tan B 2, 2 tan B 2 2 4 tan 2B . 2 2 1 tan B 1 2 3 tan 2A tan 2B tan(2A 2B) 1 tan 2A tan 2B 24 4 44 7 3 . 24 4 还可以把 2A 2B 1 ( ) 117 7 3
二倍角的正弦,余弦,正切公式
Sin2α=2sinα·cosα
倍 cos 2 cos 2 sin 角 cos 2 2 cos 1 公 cos 2 1 2 sin 2 式 2 tan tan 2 2 1 tan ( k2 且 k 4 2)
2 2
x 12cos2 2
12
【3】化简：
解：
我思考! 我会做， 你呢？
2 cos 40
sin 40 cos10
sin 80 cos10
； 时时娱乐
zth17awb
欲避无从避起、欲拈怕拈伤纤丝，分外为难。如今毓笙忽而明敏解语、豁达大方，他意外之喜，心胸都为之一爽，却又 想起宝音，笑声一敛，转为黯然神伤。乐韵于帘下服侍苏明远穿回雨具，院中又有人来，却是两个婆子，口称领嘉颜命， 奉两个盒子来，苏明远问道：“这样晚，是什么？”一个婆子道：“回大少爷，是些摆设用度之物。”另一个婆子嘴快： “都是重阳用的器皿糕点。”毓笙母逝父陋，苏老太太又非她亲生的外婆，表面上无一些亏待，实则是冷淡得多的，日 常用具、并节下玩器，都差着别屋，纵嘉颜细腻周到，也不能样样替毓笙院中额外照应，而今主子们都在山上没回来， 怎想到给毓笙院里加东西？苏明远心里微愕，也未加理会处，便回去了。婆子们一样样东西给乐韵看过，挎空盒子回去 了。乐韵将东西禀了毓笙，措辞小心，态度恭谨，几乎可以说有些畏惧。她一直是看不起这位 ，但几天前 几乎病死过 去，再醒来，就好像变了个人，莫非是鬼门关上打了转，看穿了生死？从前的怯懦不见了，小心眼更荡然无存，变得浩 然泠然，倒仿佛是——淬了火的刀！不久前把嘉颜都弹压住，也没费什么言辞、不曾递人一分把柄，这上下该来的东西 都送过来了，何等手段？她要再看不起 ，莫非是自己往刀口上送吗！洛月束起了帘帷，替 杯中续好暖茶捧来，毓笙啜 了一口，倚回引枕上，望着微微摆动的帘角。他刚刚坐在这儿，但连他都作梦也想不到罢……毓笙轻轻转过头，掩了唇 角忍不住滑出的冷笑。想不到，她这具身体里的魂儿，已是宝音。第五章 前生后世两茫茫（1）宝音清楚的记得，那 日——便是宝音活在人世的最后一日——真真的半点儿预兆都没有，她正忙着与嘉颜筹备重阳节下诸事宜。她与嘉颜， 是苏老太太身边的一等丫头，左膀右臂，一应事宜都躲不得闲。正是蛩声初动，桐叶生凉的好时节。游学在外的谢大公 子苏明远，也是刚回来没多久，厨下小丫头柳莺儿贪着偷看他，竟忘了火候，生生炊坏明儿要用的八屉儿重阳糕，管事 大娘气狠了，拧着她的耳朵，嚷嚷要把她撵出去。莺儿的亲姐姐燕儿唬得脸都黄了，找嘉颜，救她看在同乡份上救她一 救。宝音恰与嘉颜同对帐簿，一个数字怎么算也算不平，虽是小数目，宝音总觉可疑，嘉颜劝她：“算了！先过节要紧， 这等小小数字，想是谁记错了，回头对出来，再责打不迟。”宝音做事最认真，摇头道：“这干大娘大婶子们，颠三倒 四的记错不是一天两天，你去问她们，她们才肯承认呢！终究我需对出来，查到是哪个条目哪个人人，拿到她鼻子底下， 她才赖不掉了。过节么，”对着嘉颜撒赖的皱皱鼻子，“左右有你在，走不了大褶儿！”嘉颜好气又好笑，恰柳燕儿来， 又不肯说什么事，硬把嘉颜求扯到旁
第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式(高中数学)
=
2tan
=tan
1-tan2
2θ.
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
忽视角的范围致误
典例 化简: 2 + 2 + 2cos(2π<α<3π).
错解 2 + 2 + 2cos =
2 + 2cos 2=2cos4.
错解错在什么地方?你能发现吗?怎样避免这类错误?
π
12
π
π 2
+ cos
=
8
8
(1)2cos2 =
(2) sin
;
解析:(1)原式=1+cos 2 ×
π
4
2
2
2
(2)1+ 2
(2)原式=1+sin =1+ .
3
答案:(1)1+ 2
.
π
12
=1+cos
π
3
=1+ 2 .
6
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
利用二倍角公式解决给角求值问题
1
θsin θ=1+2(cos
1
2θcos 30°-sin 2θsin 30°-cos 2θcos 30°-sin 2θsin 30°)+2sin
1
2
(1-cos2)+sin2
2sin2 +sin2
(2)证明左边=
=
(1+cos2)+sin2
2cos2 +sin2
2sin2 +2sincos
二倍角的正弦、余弦、正切
一、一周内容概述
（一）、倍角公式
在和角公式中令β=α，则得到二倍角公式，即
由倍角的余弦公式结合平方关系sin2α＋cos2α=1可得升幂公式：cos2α=2cos2α－1或cos2α=1－2sin2α
变形可得降幂公式：
（二）、半角公式
（三）、和积互化公式
1、积化和差
2、和差化积
二、重难点知识归纳及讲解
（一）、理解倍角公式中“倍”的相对性
倍角公式不仅仅只限于2α是α的两倍，还可以用于诸如将4α作为2α的两倍，α作为的两倍，作为的两部，3α作为的两倍，作为的两倍等等.
例1、求值：
分析：逆用倍角公式
解：①原式=sin75°cos75°=sin150°=
②原式=cos215°－sin215°=cos30°=
（二）、倍角公式的应用
例2、已知，求cos2x的值. 分析一：因cos2x=cos2x－sin2x=(cosx＋sinx)(cosx－sinx).
故可先分别求出cosx－sinx与cosx＋sinx.
分析二：把作为整体，要求cos2x，转化为求
例3、化简
分析一：利用平方差公式
分析二：分子，分母同除以sin2α，运用半角公式
（三）、和积互化公式的应用
例4 、已知tanx=a，求的值.
分析：
分子中的3sinx可看成2sinx＋sinx，然后把sinx＋sin3x化为积.分母同样处理.。
二倍角的正弦、余弦、正切·内容分析
二倍角的正弦、余弦、正切·内容分析1.本小节运用正弦、余弦、正切的和角公式，推导出它们对应的倍角公式以及公式C2的两种变形.然后是公式的运用，分为三个层次：一是应用同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和(差)角公式停止求值、化简与恒等式证明;二是处置本章末尾(引言和章头图)中提出的效果;三是经过例题引见正弦、余弦、正切的半角公式(用平方方式给出)以及一局部积化和差、和差化积公式，经过练习引见另一局部积化和差、和差化积公式.2.经过本小节的学习，要使先生掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能正确运用这些公式停止复杂三角函数式的化简、求值与恒等式证明(包括引出半角、积化和差、和差化积公式，但不要求记忆).经过倍角公式的推导，了解它们之间，以及它们与和角公式之间的内在联络，从而培育逻辑推理才干.3.本小节的重点是正弦、余弦、正切的倍角公式以及公式C2的两种变形cos2=2cos2-1及cos2=1-2sin2(不要求记住公式过的同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和(差)角公式的综合运用.讲清倍角公式与和角公式的关系，以及公式C2的三种等价方式，是学好本小节的关键.4.(1)在正弦、余弦、正切的和角公式中，令两角相等，就失掉对应的倍角公式.由此可知，倍角公式是和角公式的特例.公式S2，C2中，角可以为恣意角;但公式T2只要当的值是存在的，这时求tan2的值可应用诱导公式，即讲倍角公式时还要留意，在普通状况下，sin22sin，例如样应该让先生知道，在普通状况下，cos22cos，tan22tan至于当且仅当取什么值时这两个等式区分成立，触及到解三角方程，不要求先生研讨.(2)倍角公式不只可运用于将2作为的2倍的状况，还可以运用练地运用倍角公式，必需使他们熟习什么样的两个角成2倍关系(指成1∶2或2∶1的关系)，配合做足够数量的习题稳固.通常在运用倍角公式对半角的三角函数停止变换时，先生会发作困等.教学时，应留意这方面的训练.3)倍角公式与和(差)角公式的内在联络如下：5.(1)例1是倍角公式的直接运用.在由sin求cos时，由于运用了公式cos2=1-sin2，所以要依据角终边所在象限来确定取哪一个平方根.这道例题通知先生，假设sin，cos，tan 这三个值中的一个以及角终边所在象限，那么不只可求出其他两个值，还可以求出sin2，cos2，tan2这三个值. (2)例2是运用比例的基本性质及逆用倍角公式的一道证明题.例3要难一些，除了要运用上述公式外，还要运用诱导公式及逆用和角公式，目的是停止综合训练.在例3和例4之间，教科书及时地处置了本章末尾所提的效果.将这一实践效果的结论停止延伸，可知在一个圆的一切内接矩形中，以内接正方形的面积为最大.教学时务必作这一延伸，并把结论归入正方形的性质之中.(3)例4的目的是引出半角公式.鉴于由倍角公式得出有两个值).教科书采用了这种观念，在例4中只引出了半角公式的平方(4)例5的目的是引出积化和差、和差化积公式.这组公式共有42=8个.全部写受骗然是引出只写上其中2个(从积化和差、和差化积公式中各取出其第一个)，把其他6个放在练习题中，也可以说是引出.教科书采取的就是后一种思绪.这8个公式也都不要求先生记忆.在本小节的习题4.7中，不装备运用半角公式及积化和差、和差化积公式的标题.本章教学时间较紧，希望在教学中不要补充.6.关于习题4.7的第4题，可提示先生：条件给出了x，y公式求得x=(1+sin2)2，y=(1-sin2)2后，要依据1+sin20，1-sin20来确定平方根.依据恣意角三角函数的定义，先生不难了解|sin21的理想.。
二倍角的正弦、余弦、正切公式
二倍角的正弦、余弦、正切公式1、知识温故：（1）、学习要求1．理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式及其推导过程．2．灵活运用二倍角公式及其不同变形，能正用、逆用公式，进一步树立化归思想方法．( 2 )复习两角和与差的余弦公式：两角和与差的正弦公式：两角和与差的正切公式：（3）新知探究探究：你能利用，，推导出，，的公式吗？在公式，，中，当时，得到相应的一组公式：；；；因为，所以公式可以变形为或公式，，，都叫做倍角公式．(1) 二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互化问题．(2)二倍角公式为仅限于是的二倍的形式，其它如是的两倍，是的两倍，是的两倍，是的两倍等，所有这些都可以应用二倍角公式．因此，要理解“二倍角”的含义，即当时，就是的二倍角．凡是符合二倍角关系的就可以应用二倍角公式．尤其是“倍角”的意义是相对的(3)公式，，，成立的条件是:公式成立的条件是．其他(4) 熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角—降次，降角—升次）二倍角公式的变形：①，降幂公式②, 升幂公式2、 经典范例题型一：特殊角求值例一：习题：（1）题型二：根据两角关系求值例一：设α、β均为锐角，cosα＝，cos(α+β）= ,求cosβ例二：已知求证tan=3tan(+)例三：求tan20°+4sin20°的值例四：（2006江苏竞赛）已知，求的值习题：（2）求值：（3）已知，求证：。
（4）（5）求的值。
题型：含的求值与化简例一，例二，例三，（2008广西竞赛）求值：习题：（6）（7）求值：题型：连乘式求值例一：求值：例二：求值：（1）sin18o cos36o（2）（2000全国竞赛模拟）（3）习题：（8）求值：(9) （2004湖北竞赛模拟）化简(10)计算：题型：对偶式求值例一：例二：例三：（2006全国竞赛模拟）cos220o+cos250o-cos20o cos50o习题：（11）（12）（13）求值：sin217o+cos247o+cos47o sin17o题型：含的处理策略例一：求值例二：(1)(2)利用上题结论例三：（1）（2）（2002全国竞赛训练）利用上题思想，求证：.例四：已知tan和是方程的两个根，证明：pq+1=0 3、 过关测试6．函数y＝cos2x－sin2x的最小正周期是( )7．(2010年广州高一统考)y＝(sin x－cos x)2－1是( ) A．最小正周期为2π的偶函数B．最小正周期为2π的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为π的奇函数过关测试答案：1、 2.3.-4/34.5.6. 解析：∵y＝cos 2x，∴函数的最小正周期T＝π.答案：A7. 解析：y＝1－2sin xcos x－1＝－sin 2x，为奇函数，且所求最小正周期答案：D。
高考数学总复习 313 二倍角的正弦、余弦、正切公式 新
【优化总结】2013高考数学总复习 3-1-3 二倍角的正弦、余弦、正切公式 新人教版1.12sin 15°cos 15°的值等于( ) A.14 B.18 C.116D.12解析：原式＝14×2sin 15°cos 15°＝14×sin 30°＝18.答案：B2．计算1－2sin 222.5°的结果等于( ) A.12 B.22 C.33D.32解析：1－2sin 2 22.5°＝cos 45°＝22. 答案：B3．若α∈(0，π)，且cos α＋sin α＝－13，则cos 2α等于( )A.179 B ．±179C ．－179D.173解析：将cos α＋sin α＝－13平方整理得2sin α·cos α＝－89.∵α∈(0，π)，∴cos α<0，sin α>0.∴cos α－sin α＝－cos α－sin α2＝－1－2sin αcos α＝－173. ∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－173＝179. 答案：A4．若tan α＝12，则tan 2α＝________.解析：tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝43. 答案：435．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，则sin 2x 的值为______．解析：sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝725.答案：725.6．△ABC 的三个内角为A 、B 、C ，当A 取何值时，cos A ＋2cos B ＋C2取得最大值，最大值是多少？解：cos A ＋2cos B ＋C2＝cos A ＋2sin A 2＝1－2sin 2A 2＋2sin A 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A 2－122＋32.当sin A 2＝12， 即A ＝60°时，取得最大值，最大值为32.(时间：30分钟 满分：60分)知识点及角度 难易度及题号基础 中档 稍难 给角求值 5 给值求值 1、3 4、7、89、10 化简三角函数式2、6一、选择题(每小题4分，共16分)1．已知cos α＝－35，则cos 2α等于( )A.725 B ．－725C.2425D ．－2425解析：cos 2α＝2cos 2α－1＝－725，故选B.答案：B2.1＋cos 100°－1－cos 100°等于( ) A ．－2cos 5° B ．2cos 5° C ．2sin 5°D ．－2si n 5°解析：原式＝2cos 250°－2sin 250° ＝2(cos 50°－sin 50°)＝2⎝⎛⎭⎪⎫22cos 50°－22sin 50°＝2sin(45°－50°)＝2sin(－5°)＝－2sin 5°. 答案：D3．已知tan 2θ＝－22，π＜2θ＜2π，则tan θ的值为( ) A. 2 B ．－22C ．－2D.2或－22解析：由题意得2tan θ1－tan 2θ＝－22，解得tan θ＝－22或tan θ＝ 2. 又π＜2θ＜2π，则π2＜θ＜π，所以有tan θ＝－22.故选B. 答案：B4．已知等腰三角形底角的余弦为23，则顶角的正弦值是( )A.259B.459C ．－459D ．－259解析：设底角为α，则cos α＝23，顶角为π－2α，∴sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α ＝2× 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫232×23＝459. 答案：B二、填空题(每小题4分，共12分)5．计算：sin 422.5°－cos 422.5°＝________.解析：原式＝(sin 222.5°＋cos 222.5°)(sin 222.5°－cos 222.5°)＝－cos 45°＝－22. 答案：－226．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，则函数的周期为________．解析：∵f (x )＝sin(x ＋π6)cos(x ＋π6)＝12sin(2x ＋π3)，∴周期为π.答案：π7．若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝26(0＜θ＜π2)，则sin 2θ＝________.解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝12sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2θ ＝12cos 2θ＝26， ∴cos 2θ＝23， ∴sin 2θ＝±1－cos 22θ＝±73. 又∵0＜θ＜π2，∴0＜2θ＜π，∴sin 2θ＝73. 答案：73三、解答题8．(10分)在△ABC 中，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝513，求cos 2A 的值．解：在△ABC 中，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝513＞0.∴sin(π4＋A )＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝1213.∴cos 2A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2A ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝2×1213×513＝120169.9．(10分)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，(1)求tan α的值；(2)求sin 2α－cos 2α1＋cos 2α的值．解：法一：∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，∴tan α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－tan π41＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α·ta n π4＝13－11＋13＝－12.法二：∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝tan π4＋tan α1－tan π4·tan α＝1＋tan α1－tan α＝13，∴tan α＝－12.(2)法一：原式＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＝tan α－12 ＝－12－12＝－1.法二：sin 2α＝2sin αcos αsin 2 α＋cos 2 α＝2tan α1＋tan 2α. cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2 α＋cos 2 α＝1－tan 2 α1＋tan 2α. 原式＝sin 2α1＋cos 2α－12＝2tan α1＋tan 2α1＋1－tan 2α1＋tan 2α－12＝tan α－12＝－12－12＝－1.10．(12分)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝210，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4. (1)求sin x 的值； (2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的值．解：(1)因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，所以x －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，于是sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝7210，则sin x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π4 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4cos π4＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4sin π4＝7210×22＋210×22＝45. (2)因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，故cos x ＝－1－sin 2x ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝－35，sin 2x ＝2sin x cos x ＝－2425，cos 2x ＝2cos 2x －1＝－725，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 ＝sin 2x cos π3＋cos 2x sin π324＋7350.＝－。
高考数学热点考点精析 13二倍角的正弦、余弦、正切(大纲)
- 1 - 考点13二倍角的正弦、余弦、正切
一、填空题
1、（2011·全国高考理科·Ｔ14）已知a ∈(2π，π)，sin α
=5
，则tan2α= 【思路点拨】本题涉及到同角三角函数关系式,先由正弦值求出余弦值一定要注意角的范围，再求出正切值，最后利用正切函数的倍角公式即可求解. 【精讲精析】43-.由a ∈(2π，π)，sin α
sin 1cos tan cos 2αααα===-, 22tan 4tan 21tan 3
ααα==--. 2、（2011·全国高考文科·Ｔ14）已知α∈(π，
32π)，tan α=2，则cos α= . 【思路点拨】本题考查到同角三角函数的基本关系式，再由正切值求余弦值时，要注意角的范围，进而确定值的符号.
【精讲精析】-由a ∈(π，32π)，tan α=2
得cos 5α==-3、 (2011·重庆高考理科·T14)已知,cos 21sin αα+=且2π∈（0，），α则⎪⎭⎫ ⎝
⎛-4sin 2cos παα的值为
【思路点拨】由题意可求出ααcos sin -和ααcos sin +的值,然后把表达式用αsin 和αcos 表示出来,再进行计算即可.
【精讲精析】由题意知21cos sin =
-αα,两边平方可得432sin =α, 所以472sin 1)cos (sin 2=+=+ααα,又⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈2,0πα,所以27cos sin =+αα 214)cos (sin 2)cos (sin 2
2sin cos 4sin 2cos 22-=+-=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ααααααπαα.
答案：2-。
课时作业12：3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
3．1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式一、选择题1．若sin α＝13，则cos 2α等于( )A.89B.79 C ．－79D ．－89考点 二倍角的正弦、余弦、正切公式 题点 利用公式求二倍角的余弦值 答案 B解析 ∵sin α＝13，∴cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫132＝79. 2．已知sin α－cos α＝43，则sin 2α等于( )A ．－79B ．－29 C.29 D.79考点 应用二倍角公式化简求值 题点 利用正弦的二倍角公式化简求值 答案 A解析 ∵sin α－cos α＝43，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α＝169，∴sin 2α＝－79.故选A.3．(2018·辽宁师范大学附属中学高三期末)化简：cos 25°－sin 25°sin 40°cos 40°等于( )A ．1B ．2 C.12 D ．－1考点 利用二倍角公式化简求值 题点 综合利用二倍角公式化简求值 答案 B解析 cos 25°－sin 25°sin 40°cos 40°＝cos 10°12sin 80°＝cos 10°12cos 10°＝2.故选B.4．(2018·天津和平区高三期末)已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2，则cos 2α等于( ) A ．－35 B.35 C ．－45 D.45考点 二倍角的正弦、余弦、正切公式 题点 利用公式求二倍角余弦值 答案 D解析 由tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝2，解得tan α＝13， 则cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝1－191＋19＝45.故选D.5.1＋cos 100°－1－cos 100°等于( ) A ．－2cos 5° B ．2cos 5° C ．－2sin 5°D ．2sin 5°考点 利用二倍角公式化简求值 题点 利用余弦的二倍角公式化简求值 答案 C解析 原式＝2cos 250°－2sin 250°＝2(cos 50°－sin 50°)＝2⎝⎛⎭⎫22cos 50°－22sin 50°＝2sin(45°－50°)＝－2sin 5°.6．函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝⎛⎭⎫π2－x 的最大值为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D.112考点 应用二倍角公式化简求值 题点 综合应用二倍角公式化简求值 答案 B解析 f (x )＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －322＋112，所以当sin x ＝1时，f (x )的最大值为5. 7．(2018·北京东城区高三期末)若cos α＋sin α＝23，则2sin ⎝⎛⎭⎫2α－π4＋11＋tan α的值为( )A.59 B ．0 C ．－518 D ．－59考点 应用二倍角公式化简求值 题点 利用二倍角公式化简三角函数式 答案 D解析 ∵cos α＋sin α＝23，∴1＋2sin αcos α＝49，∴2sin αcos α＝－59.∴2sin ⎝⎛⎭⎫2α－π4＋11＋tan α＝2×22(sin 2α－cos 2α)＋11＋tan α＝2sin αcos α＋2sin 2α1＋sin αcos α＝2sin αcos α＝－59.二、填空题8．sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°＝ . 考点 应用二倍角公式化简求值 题点 利用正弦的二倍角公式化简求值 答案116解析 原式＝sin 6°cos 48°cos 24°cos 12° ＝sin 6°cos 6°cos 12°cos 24°cos 48°cos 6°＝sin 96°16cos 6°＝cos 6°16cos 6°＝116.9．(2018·广东茂名高三第一次综合测试)已知α∈(0，π)，且sin α＋cos α＝12，则cos 2α的值为 ．考点 利用二倍角公式化简求值 题点 综合利用二倍角公式化简求值 答案 －74解析 ∵sin α＋cos α＝12，∴1＋2sin αcos α＝14，∴sin αcos α＝－38.又∵α∈(0，π)，∴sin α>0，∴cos α<0，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝74，∴sin α－cos α＝72，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝－74. 10．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α·sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝16，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则sin 4α的值为 ． 考点 利用二倍角公式化简求值 题点 综合利用二倍角公式化简求值 答案 －429解析 因为sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α·sin ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝16， 所以sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝13，即cos 2α＝13， 又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则2α∈(π，2π)， 所以sin 2α＝－1－cos 22α＝－1－⎝⎛⎭⎫132＝－223， 故sin 4α＝2sin 2α·cos 2α＝2×⎝⎛⎭⎫－223×13＝－429.11．已知θ为锐角，cos(θ＋15°)＝35，则cos(2θ－15°)＝ .考点 利用二倍角公式化简求值 题点 综合利用二倍角公式化简求值 答案17250解析 ∵θ为锐角，cos(θ＋15°)＝35，∴sin(θ＋15°)＝45.∴sin(2θ＋30°)＝2sin(θ＋15°)cos(θ＋15°)＝2425. cos(2θ＋30°)＝2cos 2(θ＋15°)－1＝2×925－1＝－725.∴cos(2θ－15°)＝cos(2θ＋30°－45°) ＝cos(2θ＋30°)cos 45°＋sin(2θ＋30°)sin 45° ＝－725×22＋2425×22＝17250.三、解答题12．已知3sin β＝sin(2α＋β)，且α≠π2＋k π，α＋β≠π2＋k π(k ∈Z )，求证：tan(α＋β)＝2tan α.考点 利用二倍角公式化简求值题点 利用二倍角公式化简三角函数式证明 因为sin β＝sin [(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α； sin(2α＋β)＝sin [(α＋β)＋α]＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)·sin α，所以3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α， 即sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α. 又α≠π2＋k π，α＋β≠π2＋k π(k ∈Z )，所以cos α≠0，cos(α＋β)≠0.于是等式两边同除以cos(α＋β)·cos α， 得tan(α＋β)＝2tan α.13．化简：(1＋sin α＋cos α)⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22＋2cos α(180°<α<360°)．考点 应用二倍角公式化简求值 题点 综合应用二倍角公式化简求值解 原式＝⎝⎛⎭⎫2cos 2α2＋2sin α2cos α2⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α24cos 2α2＝2cos α2⎝⎛⎭⎫cos α2＋sin α2⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22⎪⎪⎪⎪cos α2＝cos α2⎝⎛⎭⎫sin 2α2－cos 2α2⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2cos α⎪⎪⎪⎪cos α2.因为180°<α<360°，所以90°<α2<180°，所以cos α2<0，所以原式＝cos α.14．已知θ∈(0，π)，且sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝210，则tan 2θ＝ . 考点 二倍角的正弦、余弦、正切公式 题点 利用二倍角公式求二倍角的正切值 答案 －247解析 由sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝210，得22(sin θ－cos θ)＝210， 即sin θ－cos θ＝15.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧sin θ－cos θ＝15，sin 2θ＋cos 2θ＝1，得⎩⎨⎧sin θ＝45，cos θ＝35或⎩⎨⎧sin θ＝－35，cos θ＝－45.因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，所以⎩⎨⎧sin θ＝－35，cos θ＝－45不合题意，舍去，所以tan θ＝43，所以tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×431－⎝⎛⎭⎫432＝－247. 15．已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫cos α－23，－1，n ＝(sin α，1)，m 与n 为共线向量，且α∈⎣⎡⎦⎤－π2，0. (1)求sin α＋cos α的值； (2)求sin 2αsin α－cos α的值．考点 应用二倍角公式化简求值 题点 综合应用二倍角公式化简求值 解 (1)因为m 与n 为共线向量， 所以⎝⎛⎭⎫cos α－23×1－(－1)×sin α＝0， 即sin α＋cos α＝23. (2)因为1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2＝29，所以sin 2α＝－79，因为(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2， 所以(sin α－cos α)2＝2－29＝169.又因为α∈⎣⎡⎦⎤－π2，0， 所以sin α－cos α<0，sin α－cos α＝－43.因此，sin 2αsin α－cos α＝712.。
二倍角的正弦、余弦、正切
2 sin co s sin 2 (co s sin ) 2 sin co s
2 2 2
sin ( 2 co s 1) co s ( 2 co s 1)
tan =右式
练习
1.化 简 :
1 sin 2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ co s 2 1 sin 2 co s 2
2
1 cos 2 2 cos
2
1 cos 2 2 sin
2
升幂降角公式
cos
2
1 cos 2 2
sin
2
1 cos 2 2
降幂升角公式
例3 化简 (1) 1 sin 40 ; cos 20 sin 20
(2) 1 sin 40 ; cos 20 sin 20 (3) 1 cos 20 ;
③二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角 相等时推导出来，记忆时可联想相应角公式。
例1
已知 sin
5 13
, (
2
, )，求 sin 2，
cos 2， 2的值。 tan
解：因为sin
, ( , )， 13 2
5
所以cosα=－
120 169
2
sin
2
=－cosα
(4) sin(
1 tan (3) tan
3 2
4
3 2
) cos(
4
)
=2cot3α
(5)、 cos
1 4
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考点13 二倍角的正弦、余弦、正切
填空题
1.（2011·全国高考理科·Ｔ14）已知α∈(2π，π)，sin α
tan2α= . 【思路点拨】本题涉及同角三角函数关系式,先由正弦值求出余弦值，一定要注意角的范围，再求出正切值，最后利用正切函数的倍角公式即可求解.
【精讲精析】由α∈(2π，π)，sin α
=5
sin 1cos tan 5cos 2αααα=-==-, 22tan 4tan 21tan 3
ααα=
=--. 【答案】43- 2.（2011·全国高考文科·Ｔ14）已知α∈(π，32
π)，tan α=2，则cos α= . 【思路点拨】本题考查同角三角函数的基本关系式，在由正切值求余弦值时，要注意角的范围，进而确定值的符号.
【精讲精析】由α∈(π，32π)，tan α=2
得cos α==
【答案】5
-3. (2011·重庆高考理科·T14)已知,cos 21sin αα+=且2πα∈（0，），则⎪⎭⎫ ⎝
⎛-4sin 2cos παα的值为 . 【思路点拨】由题意可求出ααcos sin -和ααcos sin +的值,然后把表达式用αsin 和αcos 表示出来,再进行计算即可.
【精讲精析】由题意知21cos sin =
-αα,两边平方可得432sin =α, 所以472sin 1)cos (sin 2=+=+ααα,又⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈2,0πα,
所以sin cos α+α=
214)cos (sin 2)cos (sin 2
2sin cos 4sin 2cos 22-=+-=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ααααααπαα.
【答案】2
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