耀华中学高二年级数学学科居家学习网上测试试卷答案

合集下载

2019-2020学年天津市耀华中学高二(上)期末数学试卷+答案解析(附后)

2019-2020学年天津市耀华中学高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共11小题，共44分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.设抛物线的焦点为F，点P在此抛物线上且横坐标为5，则等于( )A. 4B. 6C. 8D. 102.已知椭圆的焦点在x轴上，且离心率，则( )A. 9B. 5C. 25D.3.某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是( )A. 45B. 50C. 55D. 604.下面双曲线中有相同离心率，相同渐近线的是( )A. ，B. ，C. ，D. ，5.已知过双曲线右焦点且倾斜角为的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心率e的取值范围是( )A. B. C. D.6.设p：，q：，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是( )A. B.C. D.7.已知，椭圆的左右焦点，，点在椭圆C上，P是椭圆C上的动点，则的最大值为( )A. 4B.C. 5D.8.正四面体的四个面上分别写有数字0，1，2，3，把两个这样的四面体抛在桌面上，露在外面的6个数字为2，0，1，3，0，3的概率为( )A. B. C. D.9.椭圆的左右焦点分别为，，若椭圆上存在一点Q使得，则椭圆的离心率的取值范围是( )A. B. C. D.10.设抛物线的焦点为F，准线为l，过焦点的直线分别交抛物线于A，B两点，分别过A，B 作l的垂线，垂足为C，若，且三角形CDF的面积为，则p的值为( )A. B. C. D.11.已知、为双曲线的左、右焦点，P为右支上任意一点，若的最小值为8a，则该双曲线的离心率e的取值范围为( )A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，共30分）12.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层随机抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取__________名学生．13.在等差数列中，，，则数列的通项公式为______.14.直线与抛物线有且只有一个交点，则k为______.15.已知椭圆，、、、四个点中恰有三个点在椭圆C上，则椭圆C的方程是______.16.4名志愿者被随机分配到A、B、C三个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者，则甲、乙两名志愿者没有分配到同一个岗位服务的概率为______.17.已知，，且，则的最小值等于______.三、解答题（本大题共2小题，共26分。

天津市耀华中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学试卷含解析

天津市耀华中学2018-2019学年度第二学期期中形成性检测高二年级数学试卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设(1) 1i x yi +=+，其中,x y 是实数，则x yi +=（） A. 1 B.2C.3D. 2【答案】B 【解析】【分析】根据复数相等的充要条件，求得1,1x y ==，再由复数模的计算公式，即可求解.【详解】由题意知，复数满足(1)1i x yi +=+，可得1x x y=⎧⎨=⎩，解得1,1x y ==，所以22||1112x yi i +=+=+=B.【点睛】本题主要考查了复数相等的充要条件，以及复数模的计算，其中解答中熟记复数相等的充要条件和复数模的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.已知(3)(1)z m m i =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是A. (31)-， B. (13)-， C. (1,)+∞ D. (3)-∞-，【答案】A 【解析】试题分析：要使复数z 对应的点在第四象限,应满足30{10m m +>-<，解得31m -<<，故选A.【考点】复数的几何意义【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）组即可．复数z ＝a ＋bi复平面内点Z （a ，b ）（a ，b ∈R ）．复数z ＝a ＋bi （a ，b ∈R ）平面向量OZ .【此处有视频，请去附件查看】3.已知()()231f x x xf '=+，则()2f '-=（）A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】A 【解析】【分析】先求出()()231f x x f +''=，令1x =，求出()1f '后，导函数即可确定，再求()2f '．【详解】()()231f x x f +''=，令1x =，得()()1231f f =+''，()11f '=-， ∴()23f x x '=-． ∴()21f '=．故选A ．【点睛】本题考查函数与导数，求导公式的应用及函数值求解．本题求出()1f '是关键步骤．4.已知(1)1f '=，0(13)(1)lim x f x f x∆→+∆-∆等于（）A. 1B. -1C. 3D.13【答案】C 【解析】【分析】根据导数概念，得到00(13)(1)(13)(1)lim3lim 3(1)3x x f x f f x f f x x∆→∆→+∆-+∆-'==∆∆，即可求出结果.【详解】因为(1)1f '=，所以00(13)(1)(13)(1)lim 3lim 3(1)33x x f x f f x f f x x∆→∆→+∆-+∆-'===∆∆.故选C【点睛】本题主要考查导数的概念，熟记导数的概念即可，属于常考题型.5.函数()ln xf x x=，则（）A. e x =为函数()f x 的极大值点B. e x =为函数()f x 的极小值点C. 1e x =为函数()f x 的极大值点 D. 1ex =为函数()f x 的极小值点【答案】A 【解析】()211'nxf x x-=，故当0x e <<时函数单调递增，当x e >时，函数单调递减，故x e =为函数的极大值点．6.函数2()(0,0)f x ax bx a b =+>>在点(1,(1))f 处的切线斜率为2，则8a bab+的最小值是（） A. 10 B. 9C. 8D. 32【答案】B 【解析】对函数求导可得，()'2.f x ax b =+根据导数的几何意义，()'122f a b =+=，即b1.2a += 8a b ab +=81b a +=(81b a +)·b (2a +)=8a b 2b a +8a b2b a +，当且仅当228a b 2a b b a +=⎧⎪⎨=⎪⎩即1343a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，取等号.所以8a b ab +的最小值是9.故选B.点睛：本题主要考查导数的几何意义，求分式的最值结合了重要不等式，“1”的巧用，注意取等条件7.若函数()1ln f x x ax x=++在[)1,+∞上是单调函数，则a 的取值范围是( ) A. 1(,0][,)4-∞⋃+∞ B. 1(,][0,)4-∞-⋃+∞C. 1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D. (],1-∞【答案】B 【解析】【分析】由求导公式和法则求出()'f x ，由条件和导数与函数单调性的关系分类讨论，分别列出不等式进行分离常数，再构造函数后，利用整体思想和二次函数的性质求出函数的最值，可得a 的取值范围．【详解】由题意得，()211'f x a x x=+-，因为()f x 在[)1,+∞上是单调函数，所以()'0f x ≥或()'0f x ≤在[)1,+∞上恒成立，当()'0f x ≥时，则2110a x x+-≥在[)1,+∞上恒成立，即211a x x≥-，设()221111124g x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，因为[)1,x ∈+∞，所以(]10,1x∈，当11x=时，()g x 取到最大值为0，所以0a ≥；当()'0f x ≤时，则2110a x x+-≤在[)1,+∞上恒成立，即211a x x≤-，设()221111124g x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，因为[)1,x ∈+∞，所以(]10,1x∈，当112x =时，()g x 取到最小值为14-，所以14a ≤-，综上可得，14a ≤-或0a ≥，所以数a 的取值范围是][1,0,4⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭．本题选择B 选项.【点睛】本题主要考查导数研究函数的的单调性，恒成立问题的处理方法，二次函数求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.设点P 是曲线3335y x x =+上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（） A. 203π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B. 2023πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭，， C. 223ππ⎛⎤⎥⎝⎦， D. 233ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【答案】B 【解析】【分析】求导后通过导数的解析式确定导数的取值范围，再根据函数的导数就是函数在此点的切线的斜率，求出倾斜角的取值范围【详解】2333y x =-≥-'tan 3α∴≥02πα∴≤<或23παπ≤< 则角α的取值范围为2023πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭，，故选B【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，求导后解得直线的倾斜角与斜率，属于基础题。

2023-2024学年天津市耀华中学高二上学期期中数学试卷+答案解析(附后)

2023-2024学年天津市耀华中学高二上学期期中数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则的值为( )A. B.C.D.2.若直线与圆有公共点，则( )A. B.C.D.3.圆和圆的公切线的条数为( )A. 1B. 2C. 3D. 44.已知直线过点，且被圆截得的弦长是8，则该直线的方程为( )A. B.或C.D.或5.若两条直线与互相垂直，则a 的值等于( )A. 3B. 3或5C. 3或或2D.6.作直线l 与圆相切且在两轴上的截距相等，这样的直线l 有( )A. 4条B. 3条C. 2条D. 1条7.已知椭圆以及椭圆内一点，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为( )A. B. C. 2D.8.过椭圆的一个焦点F 作弦AB ，若，，则的数值为( )A. B.C. D. 与弦AB 斜率有关9.椭圆的两焦点为，，以为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为( )A.B.C.D.10.设椭圆的方程为，斜率为k的直线不经过原点O，且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB 的中点.下列说法正确的个数( )①直线AB与OM垂直②若点M的坐标为，则直线方程为③若直线方程为，则点M的坐标为④若直线方程为，则A. 4B. 3C. 2D. 1二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。

11.直线与曲线有两个公共点，则b的取值范围是__________.12.若圆上恰有相异两点到直线的距离等于1，则r的取值范围是__________13.已知P是直线上的动点，PA，PB是圆的切线，A，B为切点，C为圆心，那么四边形PACB面积的最小值是__________14.已知椭圆的离心率为，短轴长为2，点P为椭圆上任意一点，则的最小值是__________.15.已知椭圆C：的左焦点为F，经过原点的直线与C交于A，B两点，总有，则椭圆C离心率的取值范围为__________.三、解答题：本题共3小题，共40分。

天津耀华中学上学期高二数学期末考试

天津耀华中学上学期高二数学期末考试一、选择题：（请将正确选项填入下列表格中，每小题3分，共12题）1．已知直线L 1：ax+2y=0与直线L 2：x+（a-1）y+a 2-1=0平行，则实数a 的值是 A ．-1或2 B ．0或1 C ．-1 D ．22．已知两条直线L 1：y=x 与L 2=ax-y=0.其中a 是实数，当这两条直线的夹角在（0，12π）内变动时，a 的取值范围是 A ．（0，1） B ．（3,3） C ．（1，3） D ．（,331）∪（1，3）3． kx 2+2y 2-(k-1)x=0所表示的曲线不可能是A ．抛物线B ．直线C ．圆D ．一个点4．椭圆145222++a y a x =1的焦点在x 轴上，则它的离心率的取值范围是 A ．（0，51） B ．（51，55）] C ．⎥⎦⎤ ⎝⎛55,0 D ．⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,55 5．抛物线y=4ax 2(a ＜0 ＝的焦点坐标是 A ．（a 41，0） B ．（0，a 161） C ．（0，-a 161） D ．（a161 6．抛物线y 2=2px 与直线ax+y-4=0交于两点A 和B ，A （1，2），设抛物线的焦点为F ，则│FA │+│FB │等于 A ．7 B ．35 C ．6 D ．57．过（0，3）作直线L ，若L 与双曲线3422y x -=1，只有一个公共点，则L 共有 A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条8．双曲线2mx 2-my 2=2，有一条准线方程是y=1，则m 应等于 A ．-4是 B ．-21 C ．-2 D ．-34 9．已知点P （233,25）为椭圆92522y x +=1上的点,F 1,F 2是椭圆的两焦点,点Q 在线段F 1P 上,且│PQ │=│PF 2│，那么Q 分−→−PF1之比是 A ．43 B.34 C.52 D.35 10.已知：f(x)=(21)x ,a, b 为正数，A=f(2b a +),G=f(ab ),H=f(ba ab+2),则A 、G 、H 的大小关系为A ．A ≤G ≤HB ．A ≤H ≤GC ．G ≤H ≤AD ．H ≤G ≤A10．不等式22x a -＜2x+a (a ＞0)的解集是A ．｛x │-2a ＜x ＜a ｝ B.｛x │x ＞0或x ＜-54｝ C ．｛x │-a ≤x ≤-54a 或0≤x ≤a ｝ D.｛x │＜x ≤a ｝12.a,b 不正实数，a+b=1,则ab+ab1的最小值为A ．441 B.21 C.2 D.34二、填空题：（每小题4分，共5题）13．自点A （-1，4）作圆（x-2）2+(y-3)2=1的切线，则切线长为14．过（0，-2）的直线与抛物线y 2=8x 交于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为2，则│AB │=15.焦点在x 轴上，焦距为20，渐近线方程为y=±34x 的双曲线的标准方程为 16．设圆过双曲线16922y x -=1的一个顶点和对应的焦点,圆心在此双曲线上,则圆心到双曲线的中心的距离为17.P 是椭圆162722y x +=1上的点,则点P 到直线4x+3y-25=0的距离最小值为三、解答题：（共4题）18．已知集合A=｛x │21log (3-x)≥-2｝，集合B=｛x │ax a-2＞｝若A ∩B=φ，求实数a 的取值范围。

2022-2023学年天津市耀华中学高二上学期期中考数学试卷含详解

天津市耀华中学2022-2023学年度第一学期期中学情调研高二年级数学学科试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共100分.考试用时100分钟.祝同学们考试顺利!第I 卷（选择题共48分）一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请把正确答案填涂在答题卡上.1.已知直线l 与直线1:230l x y -+=和2:210l x y --=平行且距离相等，则直线l 的方程为（）A.210x y -+=B.210x y ++=C.220x y -+= D.220x y ++=2.已知直线()1:13l ax a y +-=与2:22l x ay +=互相垂直，则实数=a （）A.0a =或3a =-B.0a =或3a =C.0a = D.3a =3.过点()2,3的直线l 与圆C ：22430x y x +++=交于A ，B 两点，当弦AB 取最大值时，直线l 的方程为（）A.3460x y -+= B.3460x y --= C.4380x y -+= D.4380x y +-=4.如图，在四面体OABC 中，,,OA a OB b OC c === ，且11,24OE EA BF BC == ，则EF =（）A.131344a b c -+B.131344a b c ++C.131344a b c--+D.131344a b c-++5.已知圆M 的半径为1，若此圆同时与x 轴和直线y =相切，则圆M 的标准方程可能是（）A.22((1)1x y -+-= B.22(1)(1x y -+=C .22(1)(1x y -++= D.22((1)1x y ++=6.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点,M N 分别是111,BC CC 的中点，直线DN 与1A M 所成角的余弦值为（）A.45-B.45C.35-D.357.已知22:(2)2C x y -+=，过点()1,3P 的直线l 交圆C 于,A B 两点，且2AB =，则直线l 的方程是（）A.43130x y +-=B.34130x y +-=C.1x =或43130x y +-=D.1y =或34130x y +-=8.曲线221259x y +=与221(09)925x y k k k+=<<--的关系是（）A.有相等的焦距，相同的焦点B.有不等的焦距，相同的焦点C.有不等的焦距，不同的焦点D.有相等的焦距，不同的焦点9.已知圆222:()0O x y r r +=>，直线:34150l x y --=，圆O 上有且只有两个点到直线l 的距离为1，则圆O 半径r 的取值范围为（）A.[]2,4 B.()2,4 C.(]2,3 D.[)3,410.已知()4,0A ，()0,4B ，从点()2,0P 射出的光线经直线AB 反射后，再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是（）A.33B.6C.10D.2511.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F 分别为上底面1111D C B A 和侧面11CDD C 的中心，则点C 到平面AEF 的距离为（）A.41111B.114C.1111D.111112.已知椭圆2222:1(0),x y C a b C a b+=>>的上顶点为A ，左右焦点为12,F F ，离心率为12.过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于,D E 两点，6DE =，则ADE V 的周长是（）A.19B.14C.252D.13第II 卷（非选择题共52分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共计24分.不需写出解答过程，请把答案填在答案纸上的定位置.13.已知实数x ，y 满足22650x y x +++=，则1yx -的最大值为__________．14.过点()1,1P 且截距相等的直线方程为__________.15.在平面直角坐标系中，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦距为2c ，以O 为圆心，a 为半径作圆，过点2(,0)ac作圆的两切线互相垂直，则离心率e =_________．16.两圆22440x y x y ++-=和22280x y x ++-=相交于两点,M N ，则公共弦MN 的长为__________.17.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60，则对角线1AC 的长为__________.18.已知EF 是棱长为8的正方体外接球的一条直径，点M 在正方体表面上运动，则ME MF ⋅的最小值为__________.三.解答题：本大题共2小题，共28分，解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答案纸上.19.如图：在直三棱柱111ABC A B C -中，190,1ACB CA CB CC ∠====，D 是棱1BB 的中点，P 是1C D 的延长线与CB 的延长线的交点.（1）求证：AP 平面1A CD ；（2）求平面1A CD 与平面11AC D 的夹角的余弦值；（3）若点E 在线段AP 上，且直线1A E 与平面1ACD 所成的角的正弦值为147，求线段AE 的长.20.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为22，且经过点61,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，O 是坐标原点，OA OB OD +=，点D 刚好在椭圆C 上，已知点()0,1,P PAB ，求直线l 的方程.天津市耀华中学2022-2023学年度第一学期期中学情调研高二年级数学学科试卷第I 卷（选择题共48分）一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请把正确答案填涂在答题卡上.1.已知直线l 与直线1:230l x y -+=和2:210l x y --=平行且距离相等，则直线l 的方程为（）A.210x y -+=B.210x y ++=C.220x y -+=D.220x y ++=【答案】A【分析】设直线l 的方程为20(3,1)x y c c c -+=≠≠，然后利用两平行线间的距离公式列方程求解即可.【详解】设直线l 的方程为20(3,1)x y c c c -+=≠≠，=，解得：1c =，所以直线l 的方程为210x y -+=，故选：A .2.已知直线()1:13l ax a y +-=与2:22l x ay +=互相垂直，则实数=a （）A.0a =或3a =-B.0a =或3a =C.0a =D.3a =【答案】B【分析】直线()1:13l ax a y +-=与2:22l x ay +=互相垂直，若斜率不存在，则0a =或1a =，显然当0a =时两直线垂直；若两直线斜率存在时，则斜率积为1,-求出3a =.【详解】当0a =时，1:3l y =，2:1l x =，此时两直线垂直，当1a =时，1:3l x =，22:2l x y +=，此时两直线不垂直，当0,1a ≠时，两条直线分别化为：13:11a l y x a a =+--，222:l y x a a=-+，直线()1:13l ax a y +-=与2:22l x ay +=互相垂直，211,a a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭∴⨯-解得：3a =或0a =（舍去），综上可知：3a =或0a =.故选:B3.过点()2,3的直线l 与圆C ：22430x y x +++=交于A ，B 两点，当弦AB 取最大值时，直线l 的方程为（）A.3460x y -+=B.3460x y --= C.4380x y -+= D.4380x y +-=【答案】A【分析】要使过点()2,3的直线l 被圆C 所截得的弦AB 取最大值时，则直线过圆心，然后根据直线的两点式方程写出答案即可【详解】圆C ：22430x y x +++=化为22(2)1x y ++=所以圆心坐标(2,0)-要使过点()2,3的直线l 被圆C 所截得的弦AB 取最大值时，则直线过圆心由直线方程的两点式得：023022y x -+=-+，即3460x y -+=故选：A4.如图，在四面体OABC 中，,,OA a OB b OC c === ，且11,24OE EA BF BC == ，则EF =（）A.131344a b c -+B.131344a b c ++C.131344a b c--+D.131344a b c-++【答案】D【分析】利用空间向量基本定理求解出3144OF b c =+ ，从而求出131344EF OF OE a b c =-=-++.【详解】因为14BF BC = ，所以1131()4444OF OB BF OB BC OB OC OB b c =+=+=+-=+ ，又1123OE EA a == ，所以131344EF OF OE a b c =-=-++ ．故选：D5.已知圆M 的半径为1，若此圆同时与x 轴和直线y =相切，则圆M 的标准方程可能是（）A.22((1)1x y -+-= B.22(1)(1x y -+=C.22(1)(1x y -++= D.22((1)1x y ++=【答案】A【分析】设圆的方程为()()221x a y b -+-=，依题意利用圆心到直线的距离等于半径得到方程组，解得即可；【详解】解：设圆的方程为()()221x a y b -+-=，圆心为(),a b ，半径1r =，依题意11b ⎧==，解得1b a =⎧⎪⎨=⎪⎩或133b a =⎧⎪⎨=-⎪⎩或1b a =-⎧⎪⎨=⎪⎩或133b a =-⎧⎪⎨=⎪⎩，所以圆的方程为22((1)1x y-+-=或22((1)1x y +++=或223((1)13x y -++=或223((1)13x y ++-=；故选：A6.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点,M N 分别是111,BC CC的中点，直线DN 与1A M 所成角的余弦值为（）A.45-B.45C.35-D.35【答案】B【分析】设正方体棱长为2，以D 为原点建立空间直角坐标系，写出向量1A M ，DN的坐标，利用数量积计算向量夹角的余弦值，其绝对值即直线DN 与1A M 所成角的余弦值.【详解】设正方体棱长为2，以D 为原点，DA ，DC ，1DD 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系.则1(2,0,2)A ，()1,2,2M ，()0,0,0D ，()0,2,1N ，所以()11,2,0A M =- ，()0,2,1DN =，设直线DN 与1A M所成角为θ，则()1222211022014cos 51221A M DNA M DNθ⋅-⨯+⨯+⨯===-+⨯+ .故选：B.7.已知22:(2)2C x y -+=，过点()1,3P 的直线l 交圆C 于,A B 两点，且2AB =，则直线l 的方程是（）A.43130x y +-=B.34130x y +-=C.1x =或43130x y +-=D.1y =或34130x y +-=【答案】C【分析】过点()1,3P 的直线l 与圆C 相交，弦长2AB =，有斜率存在与斜率不存在两种情况，故分类讨论即可.【详解】由题意可知圆心(2,0)C ，半径2r =当直线斜率不存在时，此时1,x =将1x =代入圆的方程可得21y =，解得1y =±，所以弦长2AB =，符合条件，当直线斜率存在时，设直线方程为：3(1)y k x -=-即30kx y k --+=，圆心到直线的距离d ==由弦长公式可得2AB ===解得：43k =-,所以直线方程为：43(1)3y x -=--，即：43130x y +-=，综上可知直线l 的方程为：1x =或43130x y +-=.故选：C8.曲线221259x y +=与221(09)925x y k k k+=<<--的关系是（）A.有相等的焦距，相同的焦点B.有不等的焦距，相同的焦点C.有不等的焦距，不同的焦点D.有相等的焦距，不同的焦点【答案】D【分析】根据椭圆标准方程的特点及焦距的定义即可求解.【详解】由题意可知，椭圆221259x y +=的焦点在x 轴上，且225916c =-=，所以4c =，焦距为2248c =⨯=，焦点坐标为()4,0±，椭圆221(09)925x y k k k+=<<--的焦点在y 轴上，且()()225916c k k =---=，所以4c =，焦距为2248c =⨯=，焦点坐标为()0,4±，所以两椭圆有相等的焦距，不同的焦点.故选：D.9.已知圆222:()0O x y r r +=>，直线:34150l x y --=，圆O 上有且只有两个点到直线l 的距离为1，则圆O 半径r 的取值范围为（）A.[]2,4 B.()2,4 C.(]2,3 D.[)3,4【答案】B【分析】求出圆心到直线的距离，再由条件列出不等式|3|1r -<求解即可.【详解】圆心(0,0)到直线:34150l x y --=3=，又圆O 上有且只有两个点到直线l 的距离为1，所以|3|1r -<，解得24r <<.故选：B10.已知()4,0A ，()0,4B ，从点()2,0P 射出的光线经直线AB 反射后，再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是（）A. B.6C.D.【答案】C【分析】求出P 关于直线AB 的对称点Q 和它关于y 轴的对称点T ，则QT 的长就是所求路程．【详解】由题意直线AB 方程为4x y +=，设P 关于直线AB 的对称点(,)Q a b ，则122422ba ab ⎧=⎪⎪-⎨+⎪+=⎪⎩，解得42a b =⎧⎨=⎩，即(4,2)Q ，又P 关于y 轴的对称点为(2,0)T -，QT ==．故选：C11.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F 分别为上底面1111D C B A 和侧面11CDD C 的中心，则点C 到平面AEF 的距离为（）A.11B.4C.1111D.21111【答案】A【分析】建立空间直角坐标系，求出平面AEF 的法向量，按照距离的向量求法求解即可.【详解】如图，以A 为原点，1,,AB AD AA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，易知(0,0,0),(1,1,2),(1,2,1),(2,2,0)A E F C ，设平面AEF 的法向量(,,)n x y z =，则2020n AE x y z n AF x y z ⎧⋅=++=⎨⋅=++=⎩ ，令1y =-，解得(3,1,1)n =-- ，故点C 到平面AEF的距离为11n AC n⋅== .故选：A.12.已知椭圆2222:1(0),x y C a b C a b+=>>的上顶点为A ，左右焦点为12,F F ，离心率为12.过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于,D E 两点，6DE =，则ADE V 的周长是（）A.19B.14C.252D.13【答案】D【分析】由离心率为12，得到a ，b ，c 之间的关系，做出简图，分析可得直线DE 的方程为：3()3y x c =+，且直线DE 垂直平分2AF ，所以ADE V 的周长等于2F DE △的周长，等于4a ，将直线方程与椭圆方程2222143x y c c+=联立，利用弦长公式求出c ，a 的值.【详解】因为椭圆的离心率为12c e a ==，所以2a c =，b ==，如图，12122AF AF F F c ===，所以12AF F △为正三角形，又因为直线DE 过1F 且垂直于2AF ，所以1230DFF ∠=︒，直线DE 的方程为：3()3y x c =+，设点D 坐标()11,x y ，点E 坐标()22,x y ，将直线方程与椭圆方程2222143x y c c +=联立，得22138320x cx c +-=，则12813c x x +=-，2123213c x x =-，所以2223832481463131313c c c DE ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--⨯-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得138c =，4a =.由图，直线DE 垂直平分2AF ，所以ADE V 的周长等于2F DE △的周长，等于413a =.故选：D.第II 卷（非选择题共52分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共计24分.不需写出解答过程，请把答案填在答案纸上的定位置.13.已知实数x ，y 满足22650x y x +++=，则1yx -的最大值为__________．【答案】33133【分析】由1yx -的几何意义为圆上的点与(1,0)连线的斜率，利用点线距离公式求过(1,0)与圆相切直线的斜率，即可得最大值.【详解】1yx -可看作圆上的点与(1,0)连线的斜率，当直线与圆相切时斜率取最值，∴设直线方程(1)y k x =-，圆心(3,0)-，半径2r =，圆心到直线距离2421k d k-==+，∴3k =±，故最大值为33.故答案为：3.14.过点()1,1P 且截距相等的直线方程为__________.【答案】0x y -=或20x y +-=【分析】求过点()1,1P 且截距相等的直线方程，分为过原点与不过原点两种情况讨论即可.【详解】当直线经过原点时，设直线方程,y kx =代入()1,1P 得1k =，所以直线方程为：y x =，即0,x y -=当直线不经过原点时，设直线方程为,x y a +=代入()1,1P 得112a =+=，所以直线方程为：2x y +=，即20x y +-=，综上所求直线方程为：0x y -=或20x y +-=.故答案为：0x y -=或20x y +-=15.在平面直角坐标系中，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦距为2c ，以O 为圆心，a 为半径作圆，过点2(,0)a c作圆的两切线互相垂直，则离心率e =_________．【答案】22【分析】根据圆的性质，结合椭圆离心率公式进行求解即可.【详解】由题意可知：圆的方程为222x y a +=，设两切点为,A B ，由圆的性质和题意可知：4POA π∠=，且OA PA ⊥，因此POA 是直角三角形，故2cos422OA a c e a OP a cπ=⇒=⇒==，故答案为：2216.两圆22440x y x y ++-=和22280x y x ++-=相交于两点,M N ，则公共弦MN 的长为__________.【答案】12551255【分析】根据已知条件联立方程组，求出交点坐标，利用两点间的距离公式即可求解.【详解】由2222440280x y x y x y x ⎧++-=⎨++-=⎩，解得40x y =-⎧⎨=⎩，或45125x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以不妨取两圆的交点为()4124,0,,55M N ⎛⎫-⎪⎝⎭，所以2241212540555MN ⎛⎫⎛⎫=--+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：1255.17.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60，则对角线1AC 的长为__________.【答案】66【分析】由11AC AB BC CC =++，结合数量积向量运算即可求【详解】由题，11AC AB BC CC =++，则()2222211111222AC AB BC CC AB BC CC AB BC BC CC AB CC =++=+++⋅+⋅+⋅ 2363266cos60216=⨯+⨯⨯⨯⨯︒=，故1AC ==故答案为：18.已知EF 是棱长为8的正方体外接球的一条直径，点M 在正方体表面上运动，则ME MF ⋅的最小值为__________.【答案】32-【分析】根据已知条件及正方体的体对角线为正方体外接球的直径，再利用平面向量的数量积的运算，结合平面向量的线性运算即可求解.【详解】由题意可知，EF 为棱长为8的正方体外接球的一条直径，O 为球心，M 为正方体表面上的任意一点，如图所示则球心O 也就是正方体的中心，所以正方体的中心O 到正方体表面任意一点M 的距离的最小值为正方体的内切球半径，它等于棱长的一半为4,EF=.()()()()22ME MF MO OE MO OF MO OE MO OE OM OE⋅=+⋅+=+⋅-=- 22283482OM OM ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭ 所以ME MF ⋅的最小值为244832-=-.故答案为：32-.三.解答题：本大题共2小题，共28分，解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答案纸上.19.如图：在直三棱柱111ABC A B C -中，190,1ACB CA CB CC ∠====，D 是棱1BB 的中点，P 是1C D 的延长线与CB 的延长线的交点.（1）求证：AP 平面1A CD ；（2）求平面1A CD 与平面11AC D 的夹角的余弦值；（3）若点E 在线段AP 上，且直线1A E 与平面1A CD 所成的角的正弦值为147，求线段AE 的长.【答案】（1）证明见解析（2）55（3）53【分析】(1)连接1AC 交1AC 于O ，连接DO ，则O 是1AC 的中点，由三角形中位线得AP DO ∥，再由线面平行的判定定理即可证明.(2)建立坐标系，求出平面1A CD 与平面11AC D 的法向量，利用空间向量求出夹角的余弦值.(3)先设出E 点位置AE AP λ=，再利用直线1A E 与平面1A CD 所成的角的正弦值为147求出λ，即可求出AE 的长.【小问1详解】连接1AC 交1AC 于O ，连接DO ，则O 是1AC 的中点，D 是棱1BB 的中点，1B D BD ∴=，1111,90B DC BDP C B D PBD ︒∠=∠∠=∠= ，11B DC BDP ∴ ≌，1C D PD ∴=，D ∴是1C P 的中点，AP DO ∴∥，DO ⊂ 平面1A CD ，AP ⊄平面1A CD ，AP ∴ 平面1A CD .【小问2详解】以C 为坐标原点，以1,,CA CB CC 为坐标轴建立空间直角坐标系,C xyz -则111(0,0,0),(1,0,1),(0,1,(0,0,1),2C AD C 111111(1,0,1),=01(1,0,0),(0,1,22CA CD C A C D ∴===- （，，），设平面1A CD 的法向量为111(,,)m x y z = ，平面11AC D 的法向量为222(,,)n x y z =，则111100,,00n C A m CA n C D m CD ⎧⎧⋅=⋅=⎪⎪⎨⎨⋅=⋅=⎪⎪⎩⎩即112112200,,110022x z x y z y z +==⎧⎧⎪⎪⎨⎨+=-=⎪⎪⎩⎩令12z =得(2,1,2),m =-- 令22z =得(0,1,2),n =5cos ,,5m n m n m n⋅∴===⋅由图可知平面1A CD 与平面11AC D 的夹角为锐角，所以平面1A CD 与平面11AC D【小问3详解】1(1,2,0),(0,0,1),AP AA =-=设(,2,0)(01AE AP λλλλ==-≤≤），则11(,2,1),A E AE AA λλ=-=--则111sin ,A E m A E m A E m⋅===⋅，直线1A E 与平面1A CD 所成的角的正弦值为147，147=，解得1,3λ=AP ，1533AE AP ∴==.20.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为22，且经过点1,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，O 是坐标原点，OA OB OD +=，点D 刚好在椭圆C 上，已知点()0,1,P PAB，求直线l 的方程.【答案】（1）22142x y +=（2）212y x =-或212y x =--.【分析】（1）由离心率结合222a b c =+，可得a b ，关系.后代入所过点可得方程.（2）考虑直线斜率存在与不存在两种情况，先由OA OB OD +=，求出D 点坐标，后通过已知三角形面积得出答案.【小问1详解】设椭圆C 的半焦距为c ,因为椭圆C 的离心率为22,所以22c a =.结合222a b c =+，则2222222112c a b b a a a -==-=，得2212b a =，即222a b=.又椭圆C 经过点61,2⎛ ⎝⎭，则22222266221112a b b b ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭+=+=.解得2a b c ===，.故椭圆C 的标准方程为:22142x y +=.【小问2详解】①当直线l 的斜率不存在时，不妨将其设为0x x =,其中00x >.则A B ，两点关于x 轴对称，设为()()0000,,A x y B x y -，则OA OB OD +==()02,0x ，又D 在椭圆上，故022x =，得01x =取点661,1,22A B ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，.则16122PAB S ==≠ 故直线l 的斜率不存在与题意不符.②当直线l 的斜率存在时，设直线的方程()()1122,,y kx m A x y B x y =+，，.联立方程:22142y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩.消去y ,得()222214240k x kmx m +++-=.由题意()28420k m ∆=+->.则21212224242121km m x x x x k k -+=-=++，，121222()221m y y k x x m k +=++=+.因OA OB OD +=，故点D 的坐标为2242(,)2121km mk k -++.因为点D 刚好在椭圆C 上，所以222242()()2121142km m k k -+++=()()()()()2222222222222821421164240212121m k k k m m k k k +-+⇒+⋅-==+++.即22212k m +=.此时()22284224k m m ∆=+-=.则AB ===m设点P到直线l 的距离为d ,则d =则1122PAB S AB d =⋅⋅=⋅()22221413210m m m m m m ⇒=-⇒=-⇒+-=，解得1m =-或13m =.当13m =时，由22212k m +=，算得20k <，故13m =不合题意.当1m =-时，由22212k m +=，算得212k =，解得22k =或22k =-.故直线方程为:212y x =-或212y x =--.【点睛】关键点点睛:本题（1）考查求椭圆标准方程，关键为通过离心率找到a b c ，，关系.（2）为直线与椭圆关系综合题，需注意考虑直线斜率存在与不存在两种情况.其次是对于斜率存在的情况，关键为通过OA OB OD +=及D 点在椭圆上，利用方程联立及韦达定理找到所设直线中未知量k 和m 的关系.考查了学生的分析计算能力，属于难题.。

2019-2020学年天津市耀华中学高二(下)4月月考数学试卷(附答案详解)

2019-2020学年天津市耀华中学高二（下）4月月考数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共50.0分）1.函数f(x)=(x−3)e x的单调递减区间是()A. (−∞,2)B. (0,3)C. (1,4)D. (2,+∞)2.若函数f(x)=kx−lnx在区间(1,+∞)上单调递增，则k的取值范围是()A. (−∞,−2]B. (−∞,−1]C. [1,+∞)D. [1,+∞)3.已知i是虚数单位，a，，得“a=b=1”是“”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知i为虚数单位，则i1+i的实部与虚部之积等于()A. 14B. −14C. 14i D. −14i5.若复数z满足(1+2i)z=(1−i)，则|z|=()A. 25B. 35C. √105D. √106.下列求导运算正确的是()A. (cosx)′=sinxB.C. (lgx)′=1xln10D.7.点P是曲线y=x2−lnx上任意一点，则点P到直线y=x−2的距离的最小值是()A. 1B. √2C. 2D. 2√28.某同学回答“用数学归纳法的证明√n(n+1)<n+1(n∈N∗)”的过程如下：证明：①当n=1时，显然命题是正确的．②假设当n=k(k≥1,k∈N∗)时，有√k(k+1)<k+1，那么当n=k+1时，√(k+1)2+(k+1)=√k2+3k+2<√k2+4k+4=(k+1)+1，所以当n=k+1时命题是正确的，由①②可知对于n∈N∗，命题都是正确的，以上证法是错误的，错误在于()A. 从k到k+1的推理过程没有使用归纳假设B. 假设的写法不正确C. 从k到k+1的推理不严密D. 当n=1时，验证过程不具体9.已知函数f(x)=13x3−12mx2+4x−3在区间[1,2]上是增函数，则实数m的取值范围为()A. 4≤m≤5B. 2≤m≤4C. m≤2D. m≤410.定义在R上的偶函数f(x)，其导函数f′(x)，当x≥0时，恒有x2f′(x)+f(−x)<0，若g(x)=x2f(x)，则不等式g(x)<g(1−2x)的解集为()A. (13,1) B. (−∞,13)∪(1,+∞)C. (13,+∞) D. (−∞,13)二、单空题（本大题共4小题，共24.0分）11.曲线y=e x(x2+2)在点(0,2)处的切线斜率为______．12.函数f(x)=12x2−9lnx的单调减区间为______．13.若函数f(x)=x2+x−lnx+1在其定义域的一个子区间(2k−1,k+2)内不是单调函数，则实数k的取值范围是______．14.若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln(x+1)的切线，则b=______．三、解答题（本大题共2小题，共26.0分）15.已知函数f(x)=x2+2x+alnx，a∈R．(Ⅰ)若a=−4，求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程；(Ⅱ)若函数f(x)在[1,+∞)上单调递增，求实数a的取值范围．16.求函数f(x)=e x(e x−a)−a2x(a∈R)的单调区间．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵数f(x)=(x−3)e x∴f′(x)=(x−2)e x，根据单调性与不等式的关系可得：(x−2)e x<0，即x<2所以函数f(x)=(x−3)e x的单调递减区间是(−∞,2)故选：A．要求函数f(x)=(x−3)e x的单调递减区间，求出导函数，解不等式本题考查了导数在判断单调性中的应用，难度不大，属于常规题．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查了利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法，属于中档题．求出导函数f′(x)，由于函数f(x)=kx−lnx在区间(1,+∞)单调递增，可得f′(x)≥0在区间(1,+∞)上恒成立，解出即可．【解答】解：f′(x)=k−1，x∵函数f(x)=kx−lnx在区间(1,+∞)单调递增，∴f′(x)≥0在区间(1,+∞)上恒成立．∴k≥1，x在区间(1,+∞)上单调递减，而y=1x∴k≥1．∴k的取值范围是：[1,+∞)．故选：C．3.【答案】A【解析】【分析】本题考查的知识点是充分、必要条件的判断，复数的相等，复数的运算，属于简单题．利用复数的运算性质，分别判断“a=b=1”⇒“(a+bi)2=2i”与“(a+bi)2=2i”⇒“a=b=1”的真假，进而根据充分条件和必要条件的判断得到结论．【解答】解：当a=b=1时，(a+bi)2=(1+i)2=2i成立，故“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的充分条件；当(a+bi)2=a2−b2+2abi=2i时，a=b=1或a=b=−1，故“a=b=1”不是“(a+bi)2=2i”的必要条件；综上所述，“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的充分不必要条件．故选A．4.【答案】A【解析】解：∵i1+i =i(1−i)(1+i)(1−i)=12+12i，∴所求的实部与虚部之积是14．故选A．先对所给的复数分子分母同乘以1−i，再进行化简整理出实部和虚部，即求出它们的乘积，本题考查两个复数代数形式的乘除法，以及虚数单位i的幂运算性质，两个复数相除时，需要分子和分母同时乘以分母的共轭复数进行化简．5.【答案】C【解析】【分析】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，属于基础题．由(1+2i)z=(1−i)，得z=1−i1+2i，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再根据复数求模公式可求答案．【解答】解：由(1+2i)z=(1−i)，得z =1−i 1+2i =(1−i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=−1−3i 5=−15−35i ，则|z|=√(−15)2+(−35)2=√105．故选C ．6.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查函数的导数的求解，运用函数的导数运算法则是解决本题的关键，属于基础题．根据函数的导数公式进行判断即可．【解答】解：，故A 不正确；，故B 不正确；，故C 正确；，故D 不正确．故选C ．7.【答案】B【解析】【分析】本题考查了导数的几何意义以及点到直线的距离，属于中档题．对y 求导，当点P 是曲线的切线中与直线y =x −2平行的直线的切点时，点P 到直线y =x −2的距离的最小，解答即可．【解答】解：由题意y′=2x −1x=2x 2−1x，x >0，当点P 是曲线的切线中与直线y =x −2平行的直线的切点时，点P 到直线y =x −2的距离最小，令y′=2x −1x =1，解得x =1，所以点P的坐标为(1,1)，故点P到直线y=x−2的最小值为√1+1=√2，故选：B．8.【答案】A【解析】解：用数学归纳法应这样证明：①当n=1时，显然命题是正确的；②假设当n=k(k≥2,k∈N∗)时，有√k(k+1)=√k2+k<k+1，即k2+k<(k+1)2；则当n=k+1时，√(k+1)2+(k+1)=√k2+k+2k+2<√(k+1)2+2k+2<√k2+4k+4=(k+1)+1，所以当n=k+1时命题是正确的，由①②可知对于n∈N∗，命题都是正确的．原题目中的证法是错误的，错误在于从k到k+1的推理过程没有使用归纳假设；只是用了放缩法和不等式的性质，不符合数学归纳法的要求．故选：A．此证明中，从推出P(k+1)成立中，没有用到假设P(k)成立的形式，不是数学归纳法．本题考查了数学归纳法证明命题的应用问题，正确理解数学归纳法证明命题的要求是解题的关键．9.【答案】D【解析】【分析】本题考查了利用导数研究函数的单调性，不等式的恒成立问题，利用基本不等式求最值，转化思想的应用，属于一般题．先求导f′(x)=x2−mx+4，得到函数在区间[1,2]上是增函数，转化为x2−mx+4≥0在区间[1,2]上恒成立，分离参数利用基本不等式求出最小值即可得结果．【解答】解：已知函数f(x)=13x3−12mx2+4x−3，则f′(x)=x2−mx+4，因为函数f(x)=13x3−12mx2+4x−3在区间[1,2]上是增函数，即x2−mx+4≥0在区间[1,2]上恒成立，则m≤x+4x在区间[1,2]上恒成立，因为x+4x ≥2√x·4x=4，当且仅当x=2时取等号，所以m≤4．故选D．10.【答案】A【解析】解：g(x)=x2f(x)，当x≥0时，g′(x)=2x[x2f′(x)+f(−x)]≤0，∴函数g(x)在[0,+∞)上单调递减．∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，∴函数g(x)是定义在R上的偶函数，则不等式g(x)<g(1−2x)即g(|x|)<g(|1−2x|)，∴|x|>|1−2x|，解得：13<x<1．∴不等式g(x)<g(1−2x)的解集为(13,1)．故选：A．g(x)=x2f(x)，当x≥0时，g′(x)=2x[x2f′(x)+f(−x)]≤0，可得函数g(x)在[0,+∞)上单调递减．根据函数f(x)是定义在R上的偶函数，可得函数g(x)是定义在R上的偶函数，不等式g(x)<g(1−2x)即g(|x|)<g(|1−2x|)，转化即可得出不等式的解集．本题考查了利用导数研究函数的单调性、函数的奇偶性、单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.【答案】2【解析】解：由已知得：y′=e x(x2+2x+2)，∴y′|x=0=2．故答案为：2．先求出函数的导数，然后将x=0代入即可．本题考查导数的几何意义以及切线的斜率，属于基础题．12.【答案】(0,3]【解析】【分析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调区间，属于基础试题．先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解．【解答】解：定义域(0,+∞)，f′(x)=x−9x =x2−9x，易得当0<x≤3时，f′(x)≤0，函数单调递减，故函数的单调递减区间(0,3]，故答案为：(0,3]13.【答案】[12,3 4 )【解析】解：函数f(x)=x2+x−lnx+1的定义域为(0,+∞)．由区间(2k−1,k+2)，可得：0≤2k−1<k+2，解得12≤k<3．f′(x)=2x+1−1x =(2x−1)(x+1)x，令f′(x)=0，解得x=12．∵函数f(x)=x2+x−lnx+1在其定义域的一个子区间(2k−1,k+2)内不是单调函数，∴2k−1<12<k+2，解得：−32<k<34．与12≤k<3联立解得：12≤k<34．故答案为：[12,3 4 ).函数f(x)=x2+x−lnx+1的定义域为(0,+∞).由区间(2k−1,k+2)，可得：0≤2k−1<k+2，解得k范围．f′(x)=2x+1−1x =(2x−1)(x+1)x，令f′(x)=0，解得x=12.由函数f(x)=x2+x−lnx+1在其定义域的一个子区间(2k−1,k+2)内不是单调函数，可得2k−1<12<k+2，进而解得k的范围．本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14.【答案】1−ln2【解析】【分析】本题考查了导数的几何意义，属于中档题．设切线与两曲线的切点的横坐标分别为x1，x2，根据导数的几何意义得到k与切点横坐标的关系，由切点在切线上，又在曲线上，列方程组，解之即可得到答案．【解答】解：设直线y=kx+b与曲线y=lnx+2和y=ln(x+1)的切点横坐标分别为x1，x2，对函数y=lnx+2求导，得y′=1x ；对函数y=ln(x+1)求导，得y′=1x+1．由导数的几何意义可得k=1x1=1x2+1①，∴x1=x2+1②，再由切点既在切线上也在各自的曲线上，可得{kx1+b=lnx1+2③kx2+b=ln(x2+1)④,②代入③得，k(x2+1)+b=ln(x2+1)+2⑤，⑤−④得k=2，代入①得x1=12，将k=2，x1=12代入③，得b=1−ln2．故答案为1−ln2．15.【答案】解：(I)f(x)=x2+2x+alnx，a∈R．f′(x)=2x−2x2+ax，a=−4时，f(x)=x2+2x−4lnx，f(1)=1+2−0=3．f′(x)=2x−2x2−4x，f′(1)=2−2−4=−4．∴曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程为：y−3=−4(x−1)，化为：4x+y−7= 0．(Ⅱ)∵函数f(x)在[1,+∞)上单调递增，∴f′(x)=2x−2x2+ax≥0，化为：a≥2x−2x2．令g(x)=2x−2x2.x∈[1,+∞)．由于函数g(x)在x∈[1,+∞)上单调递减．∴x=1时，函数g(x)取得最大值，g(1)=0．∴a≥0．【解析】(I)f(x)=x2+2x +alnx，a∈R.f′(x)=2x−2x2+ax，a=−4时，f(x)=x2+2x−4lnx，可得：f(1)，f′(1).即可得出曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程．(Ⅱ)由函数f(x)在[1,+∞)上单调递增，可得f′(x)=2x−2x2+ax≥0，化为：a≥2x−2x2.令g(x)=2x−2x2.x∈[1,+∞).利用函数g(x)在x∈[1,+∞)上单调递减．即可得出结论．本题考查了利用导数研究函数的单调性、切线方程、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.【答案】解：f′(x)=e x(e x−a)+e x⋅e x−a2=2(e x+a2)(e x−a)．下面对a分类讨论：a=0时，f(x)=e2x在R上单调递增．a>0时，令f′(x)=0，解得x=lna.可得：函数f(x)在(−∞,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增．a<0时，令f′(x)=0，解得x=ln(−a2).可得：函数f(x)在(−∞,ln(−a2))上单调递减，在(ln(−a2),+∞)上单调递增．综上可得：a=0时，f(x)在R上单调递增．a>0时，函数f(x)在(−∞,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增．a<0时，函数f(x)在(−∞,ln(−a2))上单调递减，在(ln(−a2),+∞)上单调递增．【解析】f′(x)=e x(e x−a)+e x⋅e x−a2=2(e x+a2)(e x−a).下面对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．第11页，共11页。

天津耀华中学高二数学理上学期期末试卷含解析

天津耀华中学高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是()A．(－∞，－2) B．(0,3) C．(1,4) D．(2，＋∞)参考答案：D2. 某公司10位员工的月工资（单位：元）为x1，x2，…，x10，其均值和方差分别为和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（）A．，s2+1002 B． +100，s2+1002C．，s2 D． +100，s2参考答案：D【考点】BC：极差、方差与标准差；BB：众数、中位数、平均数．【分析】根据变量之间均值和方差的关系和定义，直接代入即可得到结论．【解答】解：由题意知y i=x i+100，则=（x1+x2+…+x10+100×10）=（x1+x2+…+x10）=+100，方差s2= [（x1+100﹣（+100）2+（x2+100﹣（+100）2+…+（x10+100﹣（+100）2]= [（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x10﹣）2]=s2．故选：D．3. 已知，，若∥，则的值是( )A．1 B．－1 C．4 D．－4参考答案：D4. 命题“ x0∈R,=1”的否定形式是（）A. x0∈R,≠1 B. x0∈R,＞1C. x∈R,x2 =1D. x∈R,x2≠1参考答案：D5. 已知抛物线，过点的任意一条直线与抛物线交于A，B两点，抛物线外一点，若∠∠，则t的值为( )A. B. p C. D. －3参考答案：D【分析】设出点和直线，联立方程得到关于的韦达定理，将转化为斜率相反，将根与系数关系代入得到答案.【详解】设，设直线AB：又恒成立即答案为D【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系,定点问题,设直线方程时消去可以简化运算,将角度关系转化为斜率关系是解题的关键,计算量较大,属于难题.6. 设变量满足约束条件，则目标函数的取值范围是（）A． B. C． D.参考答案：A7. 若，是异面直线，，，则直线（）A．同时与，相交B．至少和，中一条相交C．至多与，中一条相交D．与一条相交，与另一条平行参考答案：B8. 如果，那么下列不等式一定成立的是（）A． B． C． D．参考答案：A略9. 已知，，则是成立的 ( )A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件参考答案：A10. .已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是()A．求数列的前10项和(n∈N*)B．求数列的前11项和(n∈N*)C．求数列的前10项和(n∈N*)D．求数列的前11项和(n∈N*) 参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. （几何证明选讲选做题）如图所示，圆的直径，为圆周上一点，．过作圆的切线，过作的垂线，分别与直线、圆交于点，则线段的长为．参考答案：312. 已知抛物线的焦点坐标是（0，﹣3），则抛物线的标准方程是．参考答案：x2=﹣12y【考点】抛物线的标准方程．【专题】计算题；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意和抛物线的性质判断出抛物线的开口方向，并求出p的值，即可写出抛物线的标准方程．【解答】解：因为抛物线的焦点坐标是（0，﹣3），所以抛物线开口向下，且p=6，则抛物线的标准方程x2=﹣12y，故答案为：x2=﹣12y．【点评】本题考查抛物线的标准方程以及性质，属于基础题．13. 已知椭圆的离心率，A,B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A,B的一点，直线PA,PB倾斜角分别为，则参考答案：略14. 若半径为1的动圆与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是．参考答案：15. 数列{a n}的前n项和为S n，若数列{a n}的各项按如下规律排列：有如下运算和结论：①a24＝；②数列a1，a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9＋a10，…是等比数列；③数列a1，a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9＋a10，…的前n项和为；④若存在正整数k，使S k<10，S k＋1≥10，则a k＝.其中正确的结论有________．(将你认为正确的结论序号都填上)参考答案：①③④16. .观察下列式子：根据以上式子可以猜想：__________．参考答案：【分析】确定的不等式的左边各式分子是1，分母值自然数的平方和，右边分母与最后一项的分母相同，分子是以3为首项，2为公差的等差数列，即可求解．【详解】由已知中的不等式可知不等式的左边各式分子是1，分母值自然数的平方和，右边分母与最后一项的分母相同，分子是以3为首项，2为公差的等差数列，所以不等式右边的第2018项为所以．【点睛】本题考查了合情推理，对于合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确．而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)．17. 《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中给出了如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐，齐去长安一千一百二十五里．良马初日行一百零三里，日增一十三里．驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢？”其大意为：“现有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是1125里．良马第一天行103里，之后每天比前一天多行13里．驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇？”在这个问题中两马从出发到相遇的天数为．参考答案：9【考点】函数模型的选择与应用．【分析】利用等差数列的求和公式与不等式的解法即可得出．【解答】解：由题意知，良马每日行的距离成等差数列，记为{a n}，其中a1=103，d=13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{b n}，其中b1=97，d=﹣0.5；设第m天相逢，则a1+a2+…+a m+b1+b2+…+b m=103m+×13+97m+×（﹣0.5）=200m+×12.5≥2×1125，化为m2+31m﹣360≥0，解得m，取m=9．故答案为：9三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2020-2021学年天津市耀华中学高二下学期期中数学复习卷(含答案解析)

2020-2021学年天津市耀华中学高二下学期期中数学复习卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知函数f(x)=ax−x3在区间[1,+∞)上单调递减，则a的最大值是()A. 0B. 1C. 2D. 32.复数a+i2−i为纯虚数，则实数a=()A. −2B. −12C. 2 D. 123.记事件A发生的概率为，定义(A)=[+]为事件A发生的“测度”.现随机抛掷一个骰子，则下列事件中测度最大的一个是()IF a<10THENy=2∗aelsey=a∗aPRINT yEndA. 向上的点数为1B. 向上的点数不大于2C. 向上的点数为奇数D. 向上的点数不小于34.二次函数y=ax2+bx与指数函数y=(ba)x在同一坐标系中的图象可能是()A. B.C. D.5.对次函数f(x)=ax+bx+c(a为非零整数)，同学给出下列结论，其有有一结是错误则错误的结论是()A. −1是f(x)的零点B. 1是f(x)的极值点C. 3是f(x)的极值D. 点(2,8)在曲线y=f(x)上6.设函数f(x)在定义域(0,+∞)上是单调函数，且∀x∈(0,+∞)，f(f(x)−e x+x)=e.若不等式2f(x)−f′(x)−3≥ax对x∈(0,+∞)恒成立，则a的取值范围是()A. (−∞,e−2]B. (−∞,e−1]C. (−∞,2e−3]D. (−∞,2e−1]7.设f(x)=xe−2+x2,g(x)=e xx,对∀x1,x2∈R+,有f(x1)k≤g(x2)k+1恒成立,则正数的k取值范围()A. (0,1)B. (0,+∞)C. [1,+∞)D. [12e2−1,+∞)8.y=x3在点M(−2,−8)处的切线方程是()A. 12x−y−16=0B. 12x−y+16=0C. 12x+y−16=0D. 12x+y+16=09.已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x)，若对于任意实数x有f′(x)+f(x)>0，且f(0)=1，则不等式e x f(x)>1的解集为()A. (−∞,0)B. (0,+∞)C. (−∞,e)D. (e,+∞)10.已知函数f(x)=a(x−1x )−2lnx(a∈R)，g(x)=−ax，若至少存在一个x0∈[1,e]，使f(x0)>g(x0)成立，则实数a的范围为()A. [λ,+∞)B. (0,+∞)C. [0,+∞)D. (G(x),+∞)二、单空题（本大题共6小题，共30.0分）11.在半径为R的圆内，作内接等腰△ABC，当底边上高ℎ∈(0,t]时，△ABC的面积取得最大值3√3R24，则t的取值范围是______．12.复数z=3−4i(i是虚数单位)的虚部是______13.四位成绩优异的同学报名参加数学、物理两科竞赛，若每人至少选报一科，则不同的报名方法数为______ .(用数字作答)14.函数f(x)=x3+ax2+bx+c，x∈[−2,2]，表示的曲线过原点，且在x=±1处的切线的斜率均为−1，有以下命题：①f(x)的解析式是f(x)=x3−4x，x∈[−2,2]；②f(x)的极值点有且只有1个；③f(x)的最大值与最小值之和为0；其中真命题的序号是______ ．15.某团队有6人入住宾馆中的6个房间，其中的房号301与302对门，303与304对门，305与306对门，若每人随机地拿了这6个房间中的一把钥匙，则其中的甲、乙两人恰好对门的概率为______ ．16.设三次函数f(x)=13ax3+12bx2+cx(a,b，c为实数且a≠0)的导数为f′(x)，g(x)=f′′(x)，若对任意x∈R，不等式f′(x)≥g(x)恒成立，则b2a2+e2的最大值为______．三、解答题（本大题共2小题，共30.0分）17.设f(x)=ln(x+1)+ax，(a∈R且a≠0)．(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；(Ⅱ)若a=1，证明：x∈[1,2]时，f(x)−3<1x成立．18.已知函数f(x)=e x−1−ax2+bx−c．(Ⅰ)当a=0时，若f(x)≥f(1)恒成立，求满足条件的b的集合；(Ⅱ)当a=e2时，若对任意大于0的实数b，f(x)有且只有一个零点，求正数c的最小值．【答案与解析】1.答案：D解析：解：∵f(x)=ax−x3∴f′(x)=a−3x2∵函数f(x)=ax−x3在区间[1,+∞)上单调递减，∴f′(x)=a−3x2≤0在区间[1,+∞)上恒成立，∴a≤3x2在区间[1,+∞)上恒成立，∴a≤3．故选D．根据f(x)在区间[1,+∞)上单调递减，可得f′(x)≤0在区间[1,+∞)上恒成立，建立等量关系，求出参数a最大值即可．本小题主要考查运用导数研究函数的单调性及恒成立等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．2.答案：D解析：解：∵复数a+i2−i =(a+i)(2+i)(2−i)(2+i)=2a−1+(2+a)i5为纯虚数，∴2a−1=0，2+a≠0，解得a=12．故选：D．利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，属于基础题．3.答案：A解析：试题分析：本题考查等可能概率的计算，引进新定义，从而解决问题。

2025届天津市耀华中学高考数学二模试卷含解析

2025届天津市耀华中学高考数学二模试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列四个结论中正确的个数是（1）对于命题0:p x R ∃∈使得2010x -≤，则:p x R ⌝∃∈都有210x ->；（2）已知2(2,)XN σ，则 (2)0.5P X >=（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程为ˆ23yx =-；（4）“1x ≥”是“12x x+≥”的充分不必要条件. A ．1B ．2C ．3D ．42．设a=log 73，13b log 7=，c=30.7，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．b a c <<3．网格纸上小正方形边长为1单位长度，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A ．1B ．43C ．3D ．44．把满足条件（1）x R ∀∈，()()f x f x -=，（2）1x R ∀∈，2x R ∃∈，使得()()12f x f x =-的函数称为“D 函数”，下列函数是“D 函数”的个数为（）①2||y x x =+ ②3y x = ③x x y e e -=+ ④cos y x = ⑤sin y x x =A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．已知双曲线22221x y a b-=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为（）A ．43B ．53C ．54D ．326．若22nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项式展开式中二项式系数的和为32，则正整数n 的值为（）A ．7B ．6C ．5D ．47．1023112x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中有理项有（） A ．3项B ．4项C ．5项D ．7项8．函数()y f x =满足对任意x ∈R 都有()()2f x f x +=-成立，且函数()1y f x =-的图象关于点()1,0对称，()14f =，则()()()201620172018f f f ++的值为（）A ．0B ．2C ．4D ．1 9．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（）A ．B ．C ．D ．10．若点(2，k)到直线5x-12y+6=0的距离是4，则k 的值是( ) A ．1B ．-3C ．1或53D ．-3或17311．设向量a ，b 满足2=a ，1b =，,60a b =，则a tb +的取值范围是 A ．)2,⎡+∞⎣B ．)3,⎡+∞⎣C ．2,6⎤⎦D ．3,6⎤⎦12．已知()21AB =-，，()1,AC λ=，若10cos BAC ∠=，则实数λ的值是（） A ．-1B ．7C ．1D ．1或7二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

天津市耀华中学2018-2019学年高二9月月考数学试题解析

天津市耀华中学2018-2019学年高二9月月考数学试题解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．设函数的集合，平面上点的集合，则在同一直角坐标系中，P 中函数的图象恰好经过Q 中两个点的函数的个数是 A4 B6 C8 D102．已知2,0()2, 0ax x x f x x x ⎧+>=⎨-≤⎩，若不等式(2)()f x f x -≥对一切x R ∈恒成立，则a 的最大值为（）A ．716-B ．916-C ．12-D ．14-3．函数22()(44)log x x f x x -=-的图象大致为（）4．已知一三棱锥的三视图如图所示，那么它的体积为（）A ．13 B ．23C ．1D ．2 5．已知角α的终边经过点(sin15,cos15)-，则2cos α的值为（）A ．124+B ．124- C. 34 D ．0 6．已知抛物线C ：y x 82=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FQ PF 2=，则=QF （） A ．6B ．3C ．38D ．34 第Ⅱ卷（非选择题，共100分）7．设a ，b 为正实数，11a b+≤23()4()a b ab -=，则log a b =（） A.0B.1-C.1 D .1-或0【命题意图】本题考查基本不等式与对数的运算性质等基础知识，意在考查代数变形能与运算求解能力. 8．在极坐标系中，圆的圆心的极坐标系是( )。

ABC D9．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是，，，BH 为AC 边上的高，5BH =，若2015120aBC bCA cAB ++=，则H 到AB 边的距离为（）A ．2B ．3 C.1 D ．410．已知全集R U =，集合{|||1,}A x x x R =≤∈，集合{|21,}x B x x R =≤∈，则集合U A C B 为（）A.]1,1[-B.]1,0[C.]1,0(D.)0,1[- .则几何体的体积为（）34意在考查学生空间想象能力和计算能） ,m m γ=,//m βα⊥,γαβ⊥⊥二、填空题（本大题共分.把答案填写在横线上）a 2，a 3，a 4－2成等差数列，则a n ＝________．((2))f g = ， [()]f g x 的值域为．. 15．已知过球面上 ,,A B C 三点的截面和球心的距离是球半径的一半，且2AB BC CA ===，则球表面积是_________.16．某公司租赁甲、乙两种设备生产A B ，两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件，乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费用为300元，现该公司至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，所需租赁费最少为__________元.三、解答题（本大共6小题，共70分。

天津市耀华中学2021-2022高二数学上学期期中试题.doc

天津市耀华中学2021-2022高二数学上学期期中试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分．考试用时100分钟．祝同学们考试顺利！第Ⅰ卷（选择题共48分）一．选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上．．．．．．．．．． 1.若命题p ：2220x R x x ∃∈++≤， ,则命题p的否定是A ．2,220x R x x ∃∈++> B ．x R ∀∈ ， 2220x x ++< C ．x R ∀∈ ， 2220x x ++> D ．x R ∀∈ ， 2220x x ++≤ 2. 已知数列{}n a 是等差数列，若12a =，432a a =，则公差d = A ．0B ．2C ．1-D ．2-3. 若0b ≠，则“,,a b c成等比数列”是“b =”的A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4. 在等差数列{}n a 中，首项10a >，公差0d ≠，前n 项和为*()n S n ∈N ，且满足315S S =，则n S 的最大项为A ．7SB ．8SC ．9SD ．10S 5. 若数列{}n a 满足12a =， 111nn na a a ++=-，则2019a 的值为 A. 2 B. 3- C. 12-D. 136. 若不等式02>+-c bx ax 的解集是)3,2(-，则不等式02<++c ax bx 的解集是 A. ()3,2- B. ()2,3- C. (,2)(3,)-∞-+∞ D. (,3)(2,)-∞-+∞7. 如果关于x 的不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是A. (－∞，2]B.(－∞，－2)C.(－2，2]D.(－2， 2)8. 设常数0a >，若291a x a x+≥+对一切正实数x 成立，则a 的取值范围为A. 1,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B. 1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C. 1,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D. 1,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭9. 数列{n a }满足n a =n n +⋅+++321，则数列{11+n n a a }的前n 项和为A.2+n nB. 22+n nC. 1+n nD.12+n n10. 已知0,0a b >>，且满足1a b +=，则4b a b+的最小值为 A. 8 B.9 C. 4D. 4+11. 已知数列{}n a 满足7128=()38n n a n n a n N a n *-⎧⎛⎫-+>⎪ ⎪∈⎝⎭⎨⎪≤⎩，若对于任意列n N *∈都有 1n n a a +>，则实数a 的取值范围是A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ． 11,32⎛⎫⎪⎝⎭12. 设正实数,,x y z 满足22340x xy y z -+-=．则当xy z取得最大值时，412x y z +-的最大值为A ．0B ．1C ．94D ．第Ⅱ卷（非选择题共52分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案填写在答题．．．．．．．．卡．上．． 13. 等比数列}{n a 中，n S 为其前n 项和，若a S nn +⋅=23，则a = ▲ ．14. 已知4||<-a x p ：，0652>-+-x x q ：，若q 是p 的充分非必要条件，则实数a 的取值范围为 ▲ ．15. 设数列{}n a 的前n 项和为n S .若214,21,n n S a S n N *+==+∈，则1a = ▲ ，5S = ▲．16. 等比数列{}n a 中，若817643=⋅⋅⋅a a a a ，则91a a 的值为 ▲ ．17. 已知数列{}n a 满足1133,2n n a a a n +=-=，则na n的最小值为 ▲ ． 18. 下列命题中：①若222a b ，则a b 的最大值为2；②当0,0a b >>时，114ab++≥； ③函数2y =的最小值为2； ④当且仅当,a b 均为正数时，2a b ba+≥恒成立.其中是真命题的是 ▲ ．(填上所有真命题的序号)三、解答题：本题共2个题，共计22分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．将．答案填写在答题．．．．．．．卡．上．． 19. （本题满分9分）已知}{n a 为正项等比数列，256,151==a a ；n S 为等差数列}{n b 的前n 项和，,21=b 8525S S =.（Ⅰ）求}{n a 和}{n b 的通项公式；（Ⅱ）设n T 1122n n a b a b a b =+++，求n T .20. （本题满分13分）已知函数2()(,)f x x ax b a b R =+-∈．（Ⅰ）当2231b a a=-+时，解关于x的不等式()0f x≤（Ⅱ）若正数,a b满足43ab+≤，且对于任意的[)1,x∈+∞，()0f x≥恒成立，求实数,a b的值．天津市耀华中学2021—2021度第一学期期中形成性检测高二年级数学学科参考答案一．选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分．二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共计30分 13．3-； 14．]6,1[-； 15．1，121； 16．9； 17．212； 18．①②．三．解答题：本大题共2小题，共22分. 18．(本题满分9分)解：（Ⅰ）设n S 的公比为q ,由451a a q =,得 4.q =所以14.n n a -=设}{n b 的公差为d ，由8525S S =得1332322d b ==⨯=, 所以1(1)31n b b n d n =+-=-（2）（Ⅱ）n T 211245484(31)n n -=⨯+⨯+⨯++-①()244245431n n T n =⨯+⨯++-②②-①得：()()()2132344...44312324.n n n n T n n -=--++++-=+-⋅ 所以224.33n n T n ⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭ 19．(本题满分13分)解：（Ⅰ）当2231b a a =-+时 ,不等式()0f x ≤即为[(12)][(1)]0x a x a ----≤．①当23a <时 ,不等式的解集为[1,12]a a --； ②当23a =时 ,不等式的解集为13⎧⎫-⎨⎬⎩⎭；③当23a >时 ,不等式的解集为[12,1]a a --．（Ⅱ）问题转化为()0f x ≥对于任意[)1,x ∈+∞恒成立,可得1b a ≤+．从而444111311a a a b a a +≥+=++-≥=++，又因为43a b +≤,所以11,2411b a a b a a =+⎧⎪⇒==⎨+=⎪+⎩．。

天津市耀华中学2019-2020学年高二上学期期中数学试卷 (有解析)

天津市耀华中学2019-2020学年高二上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1.命题：∃x0∈R，2x0≥1的否定是()A. ∃x0∈R，2x0<1B. ∃x0∉R，2x0≥1C. ∀x∈R，2x≥1D. ∀x∈R，2x<12.在等差数列{a n}中，a3=1，公差d=2，则a8的值为()A. 9B. 10C. 11D. 123.已知a1,a2,a3,a4是非零实数，则a1a4=a2a3是a1,a2,a3,a4成等比数列的()A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充分且必要条件D. 既不充分又不必要条件4.等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=6,a1=4，则公差d=()A. 1B. 53C. −2D. 35.在数列{a n}中，a1=1，a2=5，a n+2=a n+1−a n(n∈N∗)，则a100=()A. 1B. −1C. 2D. 06.若不等式ax2−5x+1≤0的解集为[13,12]，则a的值为()A. 56B. 6 C. 16D. 57.不等式x2−4x>2ax+a对一切实数x都成立，则实数a的取值范围是()A. (1,4)B. (−4,−1)C. (−∞,−4)∪(−1,+∞)D. (−∞,1)∪(4,+∞)8.若不等式x2−ax+a>0在(1,+∞)上恒成立，则实数a的取值范围是()A. [0,4]B. [4,+∞)C. (−∞,4)D. (−∞,4]9.数列{a n}满足a1=1，且对任意的m，n∈N∗都有a m+n=a m+a n+mn，则1a1+1a2+⋯+1a20等于()A. 4021B. 2021C. 1910D. 201910.已知1a +1b=1(a>0,b>0),则a+b的最小值为()A. 2B. 3C. 4D. 511.已知数列{a n}中，a1=13，且对任意的n∈N∗，都有a n+1=1−a n1+a n成立，则a100=()A. 1B. 13C. 12D. 2312.若x<0，则2+3x+4x的最大值是()A. 2+4√3B. 2±4√3C. 2−4√3D. 以上都不对二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）13.设等比数列{a n}的前n项的和为S n，且满足S2=3，S3−S1=6，则a6=________．14.已知p：|4−x|≤6，q：x2−2x+1−a2≥0(a>0)，若￢p是q的充分而不必要条件，则实数a的取值范围为____________．15.已知数列{a n}的前n项和S n满足S n+S m=S n+m，且a1=1，那么a10=________．16.已知{a n}是等比数列，且a3a4=6，则a2a5=______ ．17.若数列{a n}满足(n−1)a n=(n+1)a n−1，且a1=1，则a100=________．18.若2a>b>0，则a+4的最小值是________．(2a−b)·b三、解答题（本大题共2小题，共22.0分）19.等差数列{a n}的各项均为正数，a1=1，前n项和为S n；数列{b n}为等比数列，b1=1，且b2S2=6，b2+S3=8．(1)求数列{a n}与{b n}的通项公式；(2)求{a n·b n}的前n项和T n．20.已知函数f(x)=x2−ax+3(a∈R)．(1)当a=2时，解不等式f(x)≥6；(2)若x∈[1,+∞)时，f(x)≥1−x2恒成立，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：∵命题是特称命题，∴命题的否定是：∀x∈R，2x<，故选：D．根据特称命题的否定是全称命题．即可得到结论．本题主要考查含有量词的命题的否定，根据特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键．2.答案：C解析：【分析】本题考查等差数列的通项公式，考查学生的计算能力，比较基础．直接利用等差数列的通项公式求解即可．【解答】解：∵在等差数列{a n}中，a3=1，公差d=2，∴a8=a3+5d=1+10=11．故选C．3.答案：B解析：【分析】本题考查了等比数列的性质，以及必要条件、充分条件与充要条件的判断，熟练掌握等比数列的性质是解本题的关键，属基础题．若a1，a2，a3，a4成等比数列，利用等比数列的性质得到a1a4=a2a3；但当a1a4=a2a3时，举反例说明a1，a2，a3，a4不一定成等比数列，进而得到“a1a4=a2a3”是“a1，a2，a3，a4成等比数列”必要非充分条件．【解答】解：先证必要性：若a1，a2，a3，a4成等比数列，∴a1a4=a2a3；又a1=1，a4=2，a2=−1，a3=−2，满足a1a4=a2a3，但1，−1，−2，2不成等比数列，则“a 1a 4=a 2a 3”是“a 1，a 2，a 3，a 4，成等比数列”必要非充分条件．故选B ．4.答案：C解析：【分析】本题考查等差数列的性质，等差数列的通项公式及求和公式，属基础题．利用等差数列性质可得a 2=2，即可得d =a 2−a 1=−2．【解答】解：由题意可得a 1+a 2+a 3=S 3，即3a 2=S 3=6，得a 2=2，所以d =a 2−a 1=2−4=−2．故选C ．5.答案：B解析：【分析】本题考查了数列的递推关系、数列的周期性，属于中档题．依题意得到a n+6=a n,即数列为周期数列，即可解答．【解答】解：∵在数列{a n }中，a 1=1，a 2=5，a n+2=a n+1−a n (n ∈N ∗)，∴a 3=a 2−a 1=4，同理可得：a 4=−1，a 5=−5，a 6=−4，a 7=1，a 8=5，…，可得a n+6=a n ．则a 100=a 16×6+4=a 4=−1．故选B ．6.答案：B解析：解：∵不等式ax 2−5x +1≤0的解集为[13,12]， ∴对应一元二次方程ax 2−5x +1=0的实数根为13和12，由根与系数的关系，得； 1a=13×12，解得a =6．根据不等式与对应一元二次方程的关系，利用根与系数的关系，求出a 的值．本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了根与系数的应用问题，是基础题目．7.答案：B解析：【分析】本题考查二次函数恒成立问题，属于基础题．先利用二次函数恒成立，△<0，然后求出结果．【解答】解：不等式x 2−4x >2ax +a 变形为x 2−(4+2a)x −a >0，该不等式对一切实数x 恒成立， ∴△<0，即(4+2a)2+4a <0，化简得a 2+5a +4<0，解得−4<a <−1， ∴实数a 的取值范围是(−4,−1)．故选B ．8.答案：C解析：【分析】本题考查恒成立问题求参数的取值范围，是中档题．将不等式x 2−ax +a >0在(1,+∞)上恒成立转化为a <x 2x−1在(1,+∞)上恒成立，运用基本不等式求出x 2x−1的最小值即可．【解答】解：∵不等式x 2−ax +a >0在(1,+∞)上恒成立， ∴a <x 2x−1在(1,+∞)上恒成立，即a <(x 2x−1)min，∵x 2x−1=(x −1)+1x−1+2≥2+2=4，当且仅当x =2时，取得最小值4． ∴a <4．故选C ．9.答案：A解析：本题考查等差数列的通项公式及其前n项和公式、“累加求和”与“裂项求和”方法，数列{a n}满足a1=1，且对任意的m，n∈N∗都有a m+n=a m+a n+mn，可得a n+1−a n=1+n，利用“累加求和”可得a n，再利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：∵数列{a n}满足a1=1，且对任意的m，n∈N∗都有a m+n=a m+a n+mn，∴a n+1−a n=1+n，∴a n=(a n−a n−1)+(a n−1−a n−2)+⋯+(a2−a1)+a1=n+(n−1)+⋯+2+1=n(n+1)2．∴1a n =2(1n−1n+1)．则1a1+1a2+⋯+1a20=2[(1−12)+(12−13)+⋯+(120−121)]=2(1−121)=4021．故选A．10.答案：C解析：【分析】本题考查利用基本不等式求最值，属简单题．【解答】解：(a+b)(1a +1b)=ba+ab+2≥2√ba×ab+2=4，当且仅当a=b=2时等号成立，∴a+b的最小值为4．故选C．11.答案：C解析：【分析】本题考查数列的周期性，属于基础题．由题意，求出数列{a n}的前几项，进而可知数列的周期，即可求出结果．【解答】解：数列{a n}中，a1=13，且对任意的n∈N∗，都有a n+1=1−a n1+a n成立，所以a2=1−a11+a1=1−131+13=12，a3=1−121+12=13，a4=1−131+13=12，···，所以数列{a n}的周期为2．所以a100=a2=12．故选C．12.答案：C解析：【分析】本题考查利用基本不等式求最值，解答时要注意基本不等式等号成立的条件，属于基础题．由题意，可变为2+3x+4x =2−[(−3x)+(−4x)]，利用基本不等式求出最值即可．【解答】解：由题意，2+3x+4x =2−[(−3x)+(−4x)]，∵x<0时，(−3x)+(−4x )≥2√(−3x)×(−4x)=4√3，∴2+3x+4x =2−[(−3x)+(−4x)]≤2−4√3，当且仅当−3x=−4x 即x=−2√33时等号成立，故x<0时，2+3x+4x的最大值是2−4√3，故选C．13.答案：32解析：【分析】本题主要考查等比数列的通项公式及前n项的和S n，属于基础题．根据等比数列的通项公式列出方程，求解首项与公比，再求解a6．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，因为S2=3⇒a1+a2=3，所以a1+a1q=3，因为S3−S1=6⇒a2+a3=6，所以a1q+a1q2=6，所以q=2,a1=1，则a6=a1q5=32．故答案为32.14.答案：(0,3]解析：【分析】此题主要考查绝对值的性质及一元二次方程的求法，还考查了充分必要条件的定义，是一道基础题．根据充分必要条件的定义可以求出a的取值范围．【解答】解：∵p：|4−x|≤6，∴−2≤x≤10，￢p可得，x>10或x<−2，q：x2−2x+1−a2≥0(a>0)，∴q，x≥1+a，x≤1−a，∵￢p是q的充分而不必要条件，∴￢p⇒q，∴{1+a≤101−a≥−2，且等号不能同时取到，解得，a≤3，∵a>0，∴当a=3，可得x≥4或x≤−2，满足题意，则实数a的取值范围为(0,3]，故答案为(0,3]．15.答案：1解析：【分析】本题考查数列的递推关系，数列的求和，属于基础题．由题意，可以对m，n赋值，根据特值法得到所求．【解答】，且a1=1，解：∵数列{a n}的前n项和S n满足S n+S m=S n+m∴令m=n=1，得到2S1=S2=a1+a2，∴a1=a2=1，令m=1，n=10，得到S10+S1=S11，令m=2，n=9，得到S9+S2=S11，两式相减得到a10−a2=0，∴a10=1，故答案为1．16.答案：6解析：解：∵{a n}是等比数列，且a3a4=6，∴a2a5=a1q⋅a14 =a1q2⋅a1q3a3a4=6．故答案为：6．利用等比数列通项公式求解．本题考查等比数列的两项乘积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．17.答案：5050解析：【分析】根据数列递推式，可采用累加法，利用等差数列的求和公式，可得结论．本题考查数列递推式，考查数列的通项，累加求和．【解答】解：∵(n−1)a n=(n+1)a n−1，∵a1=1，所以n≥2时，a na n−1=n+1n−1，所以a n=a na n−1·a n−1a n−2·…a3a2·a2a1·a1=n+1n−1·nn−2·n−1n−3 (4)2·31·1，即a n=(n+1)n1×2=n(n+1)2，所以，a100=5050故答案为5050．18.答案：3解析：【分析】本题考查利用基本不等式求最值，属于中档题．由a+4(2a−b)·b=(a−b2)+b2+1(a−b2)·b2，利用基本不等式可得答案．【解答】解：由于2a>b>0，所以2a−b>0，所以a+4(2a−b)·b=a+2(a−b2)·b=(a−b2)+b2+1(a−b2)·b2≥3√(a−b2)·b2·1(a−b2)·b23=3．当且仅当a−b2=b2=1(a−b2)·b2，即a=2，b=2时，取等号，故答案为3．19.答案：解：(1)设等差数列{a n}的公差为d，d>0，{b n}的公比为q，则a n=1+(n−1)d，b n=q n−1．由b2S2=6，b2+S3=8，有q(2+d)=6，q+3+3d=8，解得d=1，q=2，或q=9，d=−43(舍去)，故a n=n，b n=2n−1．(2)a n·b n=n·2n−1．前n项和为T n=1×20+2×21+3×22+⋯+n×2n−1，2T n=1×21+2×22+3×23+⋯+n×2n．两式相减可得−T n=20+21+22+⋯+2n−1−n·2n=20−2n1−2−n·2n=(1−n)·2n−1．化简可得T n=1+(n−1)·2n．解析：本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想，以及数列的求和方法：错位相减法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．(1)设等差数列{a n}的公差为d，d>0，{b n}的公比为q，运用等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，解方程可得公差和公比，即可得到所求通项公式；(2)求得a n·b n=n·2n−1，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和．20.答案：解：(1)函数f(x)=x2−ax+3，(a∈R)，当a=2时，不等式f(x)≥6化为x2−2x+3≥6，即x2−2x−3≥0，解得x≤−1或x≥3，∴该不等式的解集为(−∞,−1]∪[3,+∞)；(2)若x∈[1,+∞)时，f(x)≥1−x2恒成立，则x2−ax+3≥1−x2恒成立，即a⩽2x+2x在x∈[1,+∞)时恒成立；设g(x)=2x+2x ，其中x∈[1,+∞)，则g(x)⩾2⋅√2x⋅2x=4，当且仅当x=1时取“=”；∴a的取值范围是(−∞,4]．解析：本题主要考查不等式求解和不等式恒成立问题，属于中档题．(1)利用一元二次不等式和一元二次方程根的关系求解即可；(2)借助基本不等式求得a的取值范围即可．。

天津市和平区耀华中学高二数学上学期期中试题(含解析)

天津市和平区耀华中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题）1.命题“2,220x x x ∃∈++≤R ”的否定是（） A. 2,220x x x ∀∈++>R B. 2,220x R x x ∀∈++≤ C. 2,220x x x ∃∈++>R D. 2,220x x x ∃∈++≥R【答案】A 【解析】【分析】根据特称命题的否定是全称命题的知识，选出正确选项.【详解】特称命题的否定是全称命题,注意到要否定结论,故A 选项正确。

故选A 。

【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题的否定，属于基础题。

2。

已知数列{}n a等差数列,若12a =,342a a =，则公差d =( ）A. 0 B 。

2C 。

1-D 。

2-【答案】D 【解析】【分析】由题意利用等差数列的通项公式，可得公差d 的值．【详解】解：∵数列{}n a 是等差数列设公差为d ，若12a =,342a a =()23222d d ∴+=+,解得2d =-故选：D ．【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，属于基础题．3。

若0b ≠，则“,,a b c 成等比数列”是“b = ） A 。

充分不必要条件 B 。

必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】分析：根据等比数列的定义和等比数列的性质，即可判定得到结论．详解：由题意得，例如1,1,1a b c ==-=，此时,,a b c 构成等比数列，而b =反之当0b ≠时，若b =2b cb ac a b=⇒=，所以,,a b c 构成等比数列，所以当0b ≠时，,,a b c 构成等比数列是b =, 故选B ．点睛：本题主要考查了等比数列的定义和等比数列的性质，其中熟记等比数列的性质和等比数列的定义的应用是解答的关键,着重考查了推理与论证能力．4。

在等差数列{}n a 中，首项10a >,公差0d ≠，前n 项和为()*n S n N ∈，且满足315S S =，则n S 的最大项为（ )A 。