浅谈新课标全国卷导数命题背景
几道高考导数试题根源的探究
3
> 4 x0 -
16 , 3
( 1) 求 f ( x ) 的最小值 h ( t) ; ( 2) 若 h ( t) < - 2 t + m 对 t ∈ ( 0 , 2 ) 恒成立 ,
3 x0 3 再取 t = x 3 , 0 , 得 g x0 ( x0 ) = 3
故所求函数的单调递增区间是 ( - ∞, - 2) , ( 2 ,
) , 单调递减区间是 ( - 2 , 2) . + ∞ ( 2) 证明 : (ⅰ ) 方法一 :
3 2 x 2 令 h ( x ) = f ( x) - gt ( x ) = - t3 x + t( x 3 3
原解 ( 1) m = f ( x 0 ) - x0 f ′ ( x0 ) . ( 2) 证 明 令 h ( x ) = g ( x ) - f ( x ) , 则
( x ) 在 D 内均可导 , 且 f ″ ( x) > 0 ( f ″ ( x ) < 0) f′ ( x) = f ′ ( x0 ) - f ′ ( x ) , h′ ( x0 ) = 0 . h′ ( x ) 递减 , 所以 h′ ( x ) 递增 , 因此 , 当 x 因为 f ′ ( x) > 0 ; > x 0 时 , h′ ( x ) < 0 . 所以 x 0 是 h ( x ) 唯 当 x < x0 时 , h′
求实数 m 的取值范围 . 解析 ( 1) ∵f ( x ) = t ( x + t) 2 - t3 + t - 1 ( x ∈ R , t > 0) , ∴当 x = - t 时 , f ( x ) 取最小值 f ( - t) = - t + t - 1,
简述导数在高中数学新课程中的地位与作用-教育文档资料
简述导数在高中数学新课程中的地位与作用导数（“导函数”的简称）是一类特殊的函数，利用导数可以求曲线的切线，判断或论证函数的单调性，求函数的极值和最值，以及利用导数解决生活中的优化问题等。
导数在函数中的应用很广，所以，导数是分析和解决问题的有效工具。
本文通过探讨导数在新课程中的地位以及在数学解题中的应用，以拓展学生的解题思路，提高学生分析和解决问题的能力。
高中数学是由必修课程和选修课程两部分构成。
必修课程是整个高中数学课程的基础，选修课程是在完成必修课程学习的基础上，希望进一步学习数学的学生根据自己的兴趣选修。
选修课程由系列1、2、3、4等组成，在系列1和2中都选择了导数及其应用。
显然，导数的重要性不言而喻。
一、有利于学生理解函数的性质在高中阶段学习函数时，主要学习函数的定义域、解析式、值域、单调性、奇偶性、周期性、有界性等。
我们知道，函数的这些性质都可以通过函数的图像表示出来。
因而，如果能准确作出函数的图像，函数的性质就一目了然。
如果所涉及的函数是基本初等函数，用描点法就可以作出函数的图像。
但是，如果所涉及的函数是非基本初等函数，如函数y=x2-2x2+x-1，y=ex-x-1等，仅用描点法就很难准确地作出图像。
但是，掌握了导数的知识之后，学生就可以利用函数的一阶导数判定函数的单调区间、极值点和最值点；利用极限思想找出其水平渐近线和垂直渐近线，然后再结合描点法，就能较为准确地作出函数的图像。
这样就有利于学生理解函数的性质，同时也拓宽了学生的知识面。
1.利用导数求函数的解析式用解析式表示函数的关系，便于研究函数的性质，而利用导数求函数的解析式，函数的一些基本性质就会显得更加清晰。
例1.设函数y=ax3+bx2+cx+d的图像与y轴交点为P点，且曲线在P点处的切线方程为12x-y-4=0，若函数在x=2处取得极值0，试确定函数的解析式。
解析：因为函数y=ax3+bx2+cx+d的图像与y轴交点为P点，所以，P点的坐标为（0，d），又曲线在P点处的切线方程为y=12x-4，P点坐标适合方程，从而得：d=-4，又切线斜率k=12，故在x=0处的导数y′x=0=12，而y′=3ax2+2bx+c，y′x=0=c，从而得出：c=12，又函数在x=2处取得极值0，所以，12a+4b+12=08a+4b+20=0解得：a=2，b=-9。
高考数学导数试题解题研究以新课标全国卷为例
高考数学导数试题解题研究以新课标全国卷为例一、本文概述本文旨在深入研究高考数学导数试题的解题策略，以新课标全国卷为例进行详细分析。
我们将首先概述导数的基本概念及其在高考中的重要性，然后深入探讨导数试题的常见题型和解题技巧。
通过对新课标全国卷历年导数试题的系统梳理，我们将揭示导数试题的命题规律和趋势，为考生提供有针对性的备考建议。
本文还将分享一些成功的解题经验和策略，帮助考生更好地应对高考数学导数试题，提高解题效率和准确性。
通过本文的研究，我们期望能为广大考生和教师提供有益的参考，推动高考数学导数试题解题水平的提升。
二、导数基础知识回顾导数作为高中数学的核心知识点，其基础知识的掌握对于解答导数试题至关重要。
我们需要明确导数的定义。
导数描述了函数在某一点处切线的斜率，它表示函数在该点处的瞬时变化率。
在求解导数试题时，我们应熟练掌握导数的定义，能够根据给定的函数求出其在某一点的导数。
我们需要掌握导数的基本公式和运算法则。
例如，常见的导数公式包括常数函数的导数、幂函数的导数、指数函数的导数、对数函数的导数等。
同时，我们还需要熟悉导数的运算法则，如加法法则、减法法则、乘法法则、除法法则等。
这些公式和法则将为我们求解导数试题提供有力的工具。
导数的几何意义和应用也是我们需要关注的重点。
导数的几何意义体现在函数图像的切线斜率上，我们可以通过导数来判断函数的单调性、极值点等性质。
同时，导数在实际生活中的应用也十分广泛，如物理学中的速度、加速度等都与导数密切相关。
对于新课标全国卷中的导数试题，我们还需要关注其命题特点和趋势。
近年来，导数试题的命题逐渐趋于灵活和多样化，不仅涉及到导数的基础知识，还涉及到导数在实际问题中的应用。
因此，我们需要加强对导数综合应用能力的培养，提高解题的灵活性和创新性。
对于高考数学导数试题的解题研究，我们需要从导数的基础知识入手，熟练掌握导数的定义、公式、运算法则和几何意义等方面的知识。
我们还需要关注导数在实际问题中的应用和命题趋势的变化，加强综合应用能力的培养和实践经验的积累。
导数在高中数学新课程中的地位
导数在高中数学新课程中的地位【摘要】导数是高中数学知识的一个重要交汇点，是联系多个章节内容以及解决相关问题的重要工具.而函数是建立在中学数学知识和导数之间的一座桥梁，不管是在证明不等式，解决数列求和的有关问题，以及解决一些实际应用问题，我们都可以构造函数模型，并且利用导数，来解决相关问题，导数的重要性不言而喻.希望通过对导数在新课程中的地位以的探讨，拓展学生的解题思路，提高学生分析问题和解决问题的能力。
【关键词】新课程；导数；思维导数给高中数学增添了新的活力，特别是导数广泛的应用性，为解决函数、切线、不等式、数列、实际等问题带来了新思路、新方法，为我们展现出了一道亮丽的风景线，也使它成为新教材高考试题的热点和命题新的增长点，导数成为分析问题和解决问题的重要工具。
将导数与传统内容结合，不仅能加强能力的考查力度，而且也使试题具有更广泛的实践意义。
一、有利于学生更好地理解函数的性态在高中阶段学习函数时，为了理解函数的性态，学生主要学习函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、有界性等.我们知道，函数的这些性质都可以通过函数的图像表示出来，因而，如果能准确地作出函数的图像，函数的性质就一目了然，函数的性态也容易掌握了。
如果所涉及的函数是基本初等函数，用描点法就可以作出函数的图像.但是，如果所涉及的函数是非基本初等函数，利用极限的思想找出其水平渐近线和垂直渐近线，然后再结合描点法，就能较为准确地作出函数的图像.这样就有利于学生更好地理解函数的性态，同时也拓宽了学生的知识面。
二、有利于学生更好地掌握函数思想数学上的许多问题，用初等数学方法是不能解决的，或者难以解决，而通过数学模型建立函数关系，利用函数思想，然后用导数来研究其性质，充分发挥导数的工具性和应用性的作用，可以轻松简捷地获得问题的解决，这也正体现和显示了新课程的优越性。
三、有利于学生弄清曲线的切线问题学生由于受“圆上某点的切线”的定义的影响，误认为曲线在某点处的切线，就是与曲线有一个公共点的直线.如果学习了导数的定义及其几何意义后，学生就知道f（x）在点x=x0的切线斜率k，正是割线斜率在x→x0时的极限，即由导数的定义，k=f’（x），所以曲线y=f（x）在点（x0，y0）的切线方程是y-y0=f’（x0）（x-x0）这就是说：函数f在点x0的导数f’（x0）是曲线y=f（x）在点（x0，y0）处的切线斜率、.从而，学生就掌握了切线的一般定义：设有曲线C及C上的一点P，在点P外另取曲线C上一点Q，作割线PQ，当点Q沿曲线C趋向点P时，如果割线PQ绕点P旋转而趋向极限位置PT，那么直线PT就称为曲线C在点P处的切线。
探析导数背景下高考综合题的命题趋势
2 考查导数与 相关知识的交汇，凸显导数的工 具价值 2.1 导数背景下 的函数、不等式
例 3 (2007 高考全国卷)设函数 f ( x) = e x e x . (I) 证明： f ( x) 的导数 f ′(x) ≥2 ；(II)若对所有 x ≥0 都 有 f (x) ≥ax ，求 a 的取值范围．
π
π
= 2[cos( 3x + ) cos sin( 3x + ) sin ]
3
3
=
要 使 g( x) 是 奇 函 数 , 当 且 仅 当 g(0) = 0 , 即
2008 年第 5 期
福建中学数学
11
探析导数背景下高考综合题的命题趋势
周辉阳 江苏省泰兴市第三高级中学(225400)
导 数的引入， 给传统的中 学数学内 容注入了生 机 和 活力 ， 为中 学 数学 问 题的 研究 提 供了 新 的视 角 ．近年来，导 数及其应用 几乎成了数 学高考舞台 上必唱“主角”之一，在高考卷中所占比重也有上升趋 势 ．命题者往 往将导数和传 统的函数、 数列、不等 式 、解析几何 等数学知识有 机地结合起 来，设计出 背 景新颖、能 力要求较高的 综合试题， 借以考查学 生 的运算能力 、逻辑推理能 力以及分析 问题和解决 问 题的能力， 体现了导数作 为工具在分 析和解决一 些问题上的优越性，同时也体现了“在知识网络交汇 处设计问题”的命题理念和创新精神．本文结合近年 来的高考试题，对高考中导数的考查进行分析． 1 全面考查相关概念和方法, 凸显导数的工具价值
点评：本 题是典型的 不等式恒成 立问题．解 法 中由 f (x) ≥ax ，巧妙地构造出 g(x) ≥g(0) ，转化 为函数的单 调性问题．然 后以导数为 工具，自然 而
以“函数与导数”为例谈谈新高考数学命题及教学策略
以“函数与导数”为例谈谈新高考数学命题及教学策略摘要：“函数与导数”是当前高中数学教学内容中相当重要的内容，也是当前新高考中的高频考点，导数是探究函数性质的关键性工具，依托各种数学方法与数学思想同导数计算的结合可以有效获取函数的单调性、极值、最值等等性质的解答。
同时“函数与导数”也是当前新高考中综合考察的要点，通过与不等式证明、圆锥曲线等知识点进行结合，以综合压轴的问题出现，考察学生的综合问题解决能力。
本篇文章首先就以“函数与导数”为例从考题新结构、考题新情境、考题新认识三个角度来说明当前新高考数学的命题思路与命题方法，而后就如何依托新高考的时代背景开展有效的数学教学提出相应的建议。
关键词：数学核心素养；高考命题；高考复习；建议引言：在高考革新的时代背景之下，高考数学命题方向、题目立意都有了针对性的优化与创新，以求通过高考考试真正的选拔高质量学生，做好对素质教育的有效检验。
当前新高考的数学试卷中往往将“函数与导数”作为基础题目与压轴题目的出题点，这类题目往往彰显着对学生数学思想运用、逻辑推理能力、数学计算能力、创新能力等核心素养的检验，并能有效突出了当前新高考下数学试卷命题的本质和强调理性思维为导向的命题原则。
以期本篇文章能够以“函数与导数”为例有效分析当前新高考数学命题的基本角度、立意与创新，从而据此探究新高考背景下数学教学的有效途径。
一、试题命题分析高考命题选择哪种类型的题目，依托哪种学生数学能力检验形式才能真正有效的反映出学生数学学习与教师数学教学的成效，从而有效增强数学教学的目的性与针对性，是当前新高考背景下数学命题研究的永恒方向。
本篇文章将以“函数与导数”为例，从题目新结构、题目新情境、以及题目新认识这三个层次上对当下新高考数学命题进行分析。
１、考题新结构数学高考试卷的命题结构往往关乎着考试的区分度和试题的难度以及有效性，影响着学生总体高考的选拔性与基础性。
因而，教育部考试中心在保障命题结构平稳浮动的情况下，在试卷命题开放性上做出了精巧改变，例如针对选题目来说，选考题目由传统的三选一转变为后来的二选一，至今改变为多选题甚至出现了开放题目的设计。
近几年全国新课标卷导数压轴题规律透视-2019年精选文档
近几年全国新课标卷导数压轴题规律透视近几年全国新课标卷对于导数应用的考查，其难点一直围绕函数的单调性、极值（最值）展开，以导数为工具探究函数的性质，借此研究不等式、方程等问题，着重考查分类讨论、数形结合、化归与转化的数学思想方法，意在考查学生的运算求解能力，推理论证能力，充分体现数学理性思维的特点，从思维的层次性、深刻性、创新性等方面进行全面考查，凸显了高考试题的选拔功能，一直在履行压轴的使命.本文通过解析近几年新课标卷导数压轴题，透视归纳导数压轴题的命题规律.类型1不等式恒成立求参数范围不等式恒成立求参数范围是导数应用的热点问题，常规方法有分参法、函数最值法，但新课标卷对这类问题的考查却别有洞天，往往利用函数的性质求解参数的范围.2010、2011、2013、2014年份的全国新课标卷均考查了这种类型.下面以2010、2014年份的试题为例说明.例1（2010年新课标理科）设函数f（x）=ex-1-x-ax2.（1）若a=0，求f（x）的单调区间；（2）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围.解析一（1）a=0时，f（x）=ex-1-x，f′（x）=ex-1.当x∈（-∞，0）时，f′（x）0.故f（x）在（-∞，0）单调减少，在（0，+∞）单调增加.（2）f′（x）=ex-1-2ax，由（1）知ex≥1+x，当且仅当x=0时等号成立.故f′（x）≥x-2ax=（1-2a）x，从而当1-2a≥0，即a≤12时，f′（x）≥0（x≥0），而f （0）=0，于是当x≥0时，f（x）≥0.由ex>1+x（x≠0）可得e-x>1-x（x≠0）.从而当a>12时，f′（x）1，即a>12时，ln2a>0，易知g（x）在（0，ln2a）上递减，在（ln2a，+∞）上递增，显然，在（0，ln2a）上，g （x）≤g（0）=0，所以f′（x）≤0，即f（x）在（0，ln2a）上递减，f（x）0时，g（x）>0，求b的最大值；解析一（Ⅰ）f′（x）=ex+e-x-2≥0，等号仅当x=0时成立，所以f（x）在（-∞，+∞）单调递增.（Ⅱ）g（x）=f（2x）-4bf（x）=e2x-e-2x-4b（ex-e-x）+（8b-4）x，g′（x）=2[e2x+e-2x-2b（ex+e-x）+（4b-2）]=2（ex+e-x-2）（ex+e-x-2b+2）.①当b≤2时，g′（x）≥0，等号仅当x=0时成立，所以g（x）在（-∞，+∞）单调递增.而g（0）=0，所以对任意x>0，g（x）>0.②当b>2时，若x满足20，g（x）>0.②当b>2时，由ex+e-x-2b+2=0，解得ex=b-1±b2-2b>0，解得x=ln（b-1±b2-2b），其中x1=ln（b-1+b2-2b）>0，x2=ln（b-1-b2-2b）0时，m′（x）>0，x 所以b>2不符合题意.综上，b的最大值为2.说明对于（2），解法一中，当b>2时，令20，往往需要探究相应函数的零点、单调性等性质，再借助这些性质求解不等式.2015年的新课标文理两卷均考查了该种类型.例3（2015年新课标2卷理科）设函数f（x）=emx+x2-mx.（Ⅰ）证明：f（x）在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（Ⅱ）若对于任意x1，x2∈[-1，1]，都有|f（x1）-f（x2）|≤e-1，求m的取值范围.该题利用函数性质解不等式解析（Ⅰ）f′（x）=m（emx-1）+2x，若m≥0，则当x∈（0，+∞）时，emx-1≥0，f′（x）>0；当x∈（-∞，0）时，emx-1≤0，f′（x）0；当x∈（-∞，0）时，emx-1>0，f′（x）1时，由g（m）在（0，+∞）上单调递增，则g（m）>0，不合题意；当m0，即e-m+m>e-1，不合题意.综上，m的取值范围是[-1，1].从例3可以看出这类问题的命题规律：以最值为载体求参数范围，归结于解超越不等式.超越不等式相应的函数零点能够观察出其数值，且函数在零点两侧的单调性是明确的，利用函数的单调性，判断出参数范围.2015年新课标2卷文科21、2014年湖南理科22与上述例题类似.类型3函数最值问题最值问题一直是新课标卷的热点，一是以导数为工具求函数最值、构造函数求代数式最值，如2012年新课标卷理科21题，通过构造函数求代数式最值.二是利用函数最值证明不等式（2013年新课标2卷理科21、2014年新课标1卷理科21）、求参数范围（2012年新课标卷文科21）、判断函数零点（2015年新课标1卷理科21）等.好多问题的设计打破常规，在探究极值点时频频出现超越方程，致使落脚点不在函数最值的具体数值上，而在函数取得最值时相应自变量所满足的数量关系上，再利用这一关系解决问题，具有较高的技巧.例4（2014年新课标1卷文科）设函数f（x）=alnx+1-a[]2[SX）]x2-bx（a≠1），曲线y=f（x）在点（1，f （1））处的切线斜率为0.（Ⅰ）求b；（Ⅱ）若存在x0≥1，使得f（x0）解析（Ⅰ）f′（x）=ax+（1-a）x-b.由题设知f′（1）=0，解得b=1.（Ⅱ）f（x）的定义域为（0，+∞），由（Ⅰ）知，f（x）=alnx+1-a2x2-x，f′（x）=ax+（1-a）x-1=1-ax（x-a1-a）（x-1）.①若a≤12，则a1-a≤1，故当x∈（1，+∞）时，f′（x）>0，f（x）在（1，+∞）单调递增.所以，存在x0≥1，使得f（x0）即1-a2-1 ②若121，故当x∈（1，a1-a）时，f′（x）0，f（x）在（1，a1-a）单调递减，在（a1-a，+∞）单调递增，所以存在x0≥1，使得f （x0）而f（a1-a）=alna1-a+a22（1-a）+aa-1>aa-1，所以不合题意.③若a>1，则f（1）=1-a2-1=-a-12 综上，a的取值范围是（-2-1，2-1）∪（1，+∞）.说明该题是常规的最值问题，但12 例5（2015年新课标1卷文科）设函数f（x）=e2x-alnx.（Ⅰ）讨论f（x）的导函数f′（x）零点的个数；（Ⅱ）证明：当a>0时，f（x）≥2a+aln2a.解析（Ⅰ）函数定义域为（0，+∞），f′（x）=2e2x-ax（x>0），当a≤0时，f′（x）>0，f′（x）没有零点；当a>0时，由于e2x在（0，+∞）上单调递增，-ax在（0，+∞）上单调递增，故f′（x）在（0，+∞）上单调递增.又f′（a）>0，当b满足00，所以f（x）在（0，x0）上是减函数，在（x0，+∞）上是增函数，所以，当x=x0时，f（x）取得最小值为f（x0）=e2x0-alnx0，由于f′（x0）=0，即2e2x0-ax0=0，得e2x0=a2x0，所以2x0=lna2x0，即2x0=lna-ln（2x0），即2x0=lna-ln2-lnx0，即2x0-lna+ln2=-lnx0，即2ax0+aln2a=-alnx0，所以f（x0）=e2x0-alnx0=a2x0+2ax0+aln2a≥2a+aln2a.所以当a>0时，f（x）≥2a+aln2a.说明题目设计有新意，在探究极值点时出现超越方程，且不能观察出函数的极值点，致使落脚点不在函数最值的具体数值上，而在函数取得最值时相应自变量所满足的数量关系上，在利用这一关系时有较高的变形技巧.2012年新课标卷文科21、2013年新课标2卷理科21与例5类似.例6（2014年新课标2文科）已知函数f（x）=x3-3x2+ax+2，曲线y=f（x）在点（0，2）处的切线与x轴交点的横坐标为-2.（Ⅰ）求a；（Ⅱ）证明：当k0.当x≤0时，g′（x）=3x2-6x+1-k>0，g（x）单调递增，g（-1）=k-10时，令h（x）=x3-3x2+4，则g（x）=h（x）+（1-k）x>h（x），h′（x）=3x2-6x=3x（x-2），h（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增，所以g（x）>h（x）≥h（2）=0.所以g（x）=0在（0，+∞）没有实根.综上，g（x）=0在R有唯一实根，即曲线y=f（x）与直线y=kx-2只有一个交点.解析二（Ⅱ）证明由（Ⅰ）知，f（x）=x3-3x2+x+2.设g（x）=f（x）-kx+2=x3-3x2+（1-k）x+4，g′（x）=3x2-6x+1-k，其对称轴为x=1，Δ=36-12（1-k）=12（2+k）.（1）k≤-2时，Δ≤0，g′（x）≥0，g（x）在R上是增函数，g（0）=4>0，g（-1）=k-10，由g′（x）=0，得x1=1-6+3k3，x2=1+6+3k3.易知0g（0）>0，极小值为g（x2）.由g（-1）0，则g（x）在（0，+∞）上无零点.②00，则g（x）在（0，+∞）上无零点.综上，g（x）=0在R有唯一实根，即曲线y=f（x）与直线y=kx-2只有一个交点.说明解法一运用了放缩法，技巧性强，解题过程简练.解法二注重通法，但判断极小值的符号时，也有较强的变形技巧.可以看出，对于最值问题，一类是函数的极值点的数值能够确定，最值的数值都能够确定；另一类问题是在探究极值点时出现超越方程，极值点的数值及最值的数值不能确定，只能得到函数取得最值时相应自变量所满足的数量关系.再利用函数取得最值时相应自变量所满足的数量关系证明不等式、求参数范围、判断函数零点等.广州市花都区第二中学510800杨伟达众所周知，平行线和垂线一样都是处理几何问题的常用方法之一.在高中数学中，笔者发现若能恰当用好平行线（平移直线）对快速解题起到事半功倍的效果.下面是笔者对有关距离、斜率、参数、截距等问题运用平行线（平移直线）进行析疑解惑，突显平行线的魅力，焕发新的活力.1用好平行线解决有关距离问题有这样的数学问题，用传统的代数方法处理运算复杂、抽象、无从下手；若用极端思想处理，化抽象为具体，化整体为局部，通过对“特殊”的思考，达到对“一般”的解决.比如用几何法作平行线，利用平移直线，达到对极端问题的解决，运算简便、快捷.例1（2012年全国卷理数12）设点P在曲线y=12ex上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|最小值为A.1-ln2B.2（1-ln2）C.1+ln2D.2（1+ln2）分析设两动点坐标求距离，思路方法简单，但运算繁杂，求解过程常常会半途而废.笔者不难发现两个函数y=12ex与y=ln （2x）是互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称.因此，两曲线上两点最小距离转化为求曲线y=12ex上一点到直线y=x的最小距离.只要平移直线y=x与曲线y=12ex相切，由两平行线性质：k1=k2求得切点.图1解析因为函数y=12ex与y=ln（2x）是互为反函数，所以它们的图象关于直线y=x对称.如图1，将直线y=x平移到直线m，且与曲线y=12ex相切，此时切点到直线y=x距离最小.由两平行线得：k1=k2=1，k1=f′（x）=12ex=1，解得x=ln2，代入y=12ex得y=1，所以切点坐标为P（ln2，1），所以切点P（ln2，1）到直线y=x的距离d=1-ln22=22（1-ln2），所以|PQ|最小值为2d=2（1-ln2）.例2（2015年全国卷理数16）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是.分析此题用传统方法处理，作辅助线把四边形分为两个三角形，设未知量，用正弦定理求解，运算复杂，学生只能望而止步；若采用极端思想处理，通过对“特殊”的思考，达到对“一般”的解决.本题通过平移AD，就会变为两个特殊的三角形，用正弦定理可求得AB的极端值.图2解如图2所示，动态审视（1）四边形ABCD，保持BC=2及∠B=∠C=75°固定，延长BA，CD交于E，平移AD，此时当A与D重合于E点时，AB最长.在△BCE中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理得BCsin∠E=BEsin∠C，即2sin30°=BEsin75°，得BE=6+2.动态审视（2）四边形ABCD，保持BC=2及∠A=∠B=75°固定，平移AD，当D与C重合时，此时与AB交于F，AB最短.在△BCF中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理得BFsin∠FCB=BCsin∠BFC，即：BFsin30°=2sin75°，得BF=6-2，所以AB的取值范围为（6-2，6+2）.2用好平行线解决有关斜率问题有一些数学题，题目的已知条件出现了有关线段长度的比例关系，若直接用代数法求解，涉及未知量多，运算复杂、易错；不妨作平行线，利用平行线的性质，巧妙转化线段比，运算简便、快捷.例3（2013年全国卷Ⅱ）设抛物线C∶y2=4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点.若|AF|=3|BF|，则l的斜率为（）.A.k=±1B.k=±33C.k=±3D.k=±22法一如图3所示，作出抛物线的准线l1及点A，B到准线的垂线段分别为AA1，BB1，并设直线l交准线l1于点M.设|BF|=m，由抛物线的定义可知|BB1|=m，|AA1|=|AF|=3m.由BB1∥AA1，可知|BB1||AA1|=|MB||MA|，即m3m=|MB||MB|+4m，求得|MB|=2m，则|MA|=6m.在Rt△A1AM中，|AA1|=3m，|MA|=6m，故∠AMA1=30°，得∠AFx=∠MAA1=60°.k=tan∠AFx=3[KF）]；同理，将直线l绕x轴对折也满足条件，可得∠AFx=180°-∠MAA1=120°，所以k=tan∠AFx=-3[KF）]，故选C项.图3图4法二如图4所示，由于|AF|=3|BF|，所以分别从A、B两点作x轴垂线AM、BN，交点分别为M、N，由AM∥BN，可知AFBF=AMBN.得|AM|=3|BN|，即yA=-3yB，再根据抛物线焦弦长公式：yAyB=-p2=-4，代入求得yB=±233，xB=13，所以k1=yB-0xB-1=±3，故选C项.3用好平行线解决有关参数问题有一些数学题，题目已知条件出现了图形，这时需观察图形，找出图形的特征，根据图形的特点思考，选择适当的方法尝试解题，最后将问题最优化.其中作平行线（平移直线），巧妙转化量的关系，运算简便、快捷，起到意想不到的效果.例4（2013年北京高考）向量a，b，c在正方形网格中的位置如图5所示.若c=λa+μb（λ，μ∈R），则λμ=.图5图6 分析对于这样的一个图，许多人自然会想到建立坐标系，利用向量的坐标运算及平面向量基本定理求解；若细心观察、发现图形中a是小正方形两端点的对角线，且c端点及b的中点都在小正方形的端点上，平移向量a即可构成一个三角形，利用向量的三角形法则可得c=λa+μb（λ，μ∈R）.解由图6可知，向量b的中点E（小正方形的一个顶点），向量c的终点F（小正方形的一个顶点），连接EF，构成一个三角形.不难发现EF是两个小正方形的对角线，FE∥a，且FE=2a，根据向量的三角形法则可得：FG=FE+EG，即-c=2a+12b，λ=-2，μ=-12，所以λμ=4.例5若不等式组x-y≥0，2x+y≤2，y≥0，x+y≤a表示的平面区域是一个三角形，满足x+y=a，求a的取值范围.分析此题的关键在于首先画出平面区域，其中直线x+y=a表示斜率为1的平行直线.观察、发现、标出图形的特征点A及点B，根据题目的已知条件，平移直线，直到问题解决.解不等式组x-y≥0，2x+y≤2，y≥0表示的平面区域如图7所示（阴影部分）.解方程组y=x，2x+y=2得A（23，23）；解方程组y=0，2x+y=2得B（1，0）.图7若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，①满足直线x+y=a经过点A的直线右上方，解得a≥43；②直线x+y=a经过点B的左下方且经过点O右上方解得0 在历年的高考题中，线性规划问题几乎年年出现，其中不乏有“定k（斜率）求b（截距）”的类型.解决此截距问题关键在于：平移直线，过特殊点可求得最值.例6（2012年全国卷理14）设x，y满足约束条件：x，y≥0，x-y≥-1，x+y≤3，则z=x-2y的取值范围为.分析像这种“定k求d”类型的题目先要知道目标函数表示什么，若表示为定斜率求最值，则最值通常在区域端点或边界取得.其关键是：平移直线得到区域内端点.解画出不等式所表示的区域.由z=x-2y得y=12x-12z，平移直线y=12x，由图8可知，当直线经过点D（3，0）时，图8直线y=12x-12z的截距最小，此时z最大为z=x-2y=3，当直线经过B点时，直线截距最大，此时z最小，由x-y=-1，x+y=3，解得x=1，y=2，即B（1，2），此时z=x-2y=1-4=-3，所以-3≤z≤3，即z的取值范围是[-3，3].总之，在一些高考题中，若能恰当用好平行线（平移直线），再运用平行线的性质，对它们进行特殊思考和求解，往往起到事半功倍的效果.。
2023高考数学新高考1卷19题出题背景
2023高考数学新高考1卷19题出题背景
2023年高考数学新高考1卷的第19题，主要考查了导数的应用。
题目分为两部分，第一部分是含参讨论，属于常考题型；第二部分是将不等式转化为函数最值问题，结合第一问的结论再构造新函数变为函数最值问题。
这道题目的背景主要涉及导数在研究函数中的应用，包括函数的单调性、极值和最值等。
通过导数的计算，可以分析函数的增减性、拐点以及极值点，从而解决一些实际问题和数学问题。
以上信息仅供参考，可以查看高考试卷解析或者咨询专业数学教师，了解具体的出题背景和解题思路。
《导数的背景》课件
02
导数在数学中的应用
导数在函数极值问题中的应用
总结词
导数在函数极值问题中起到关键 作用，通过求导可以判断函数的 增减性，进而确定函数的极值点
。
详细描述
导数可以表示函数在某一点的切 线斜率，当导数大于0时，函数 在该区间内单调递增；当导数小 于0时，函数在该区间内单调递 减。因此，通过求导并判断导数 的正负，可以确定函数的极值点
。
示例
考虑函数f(x)=x^2，对其求导得 到f'(x)=2x。令f'(x)=0，解得 x=0。在x=0左右分别检验导数
的正负，可以确定函数在x=0处 取得极小值。
导数在不等式证明中的应用
总结词
导数在不等式证明中起到桥梁作用，通过构造函数并求导，可以将不等式问题转化为函数 的单调性问题。
详细描述
通过构造函数，将不等式中的变量代入函数中，然后对该函数求导，研究函数的单调性。 如果函数在某区间内单调递增或递减，则可以证明该不等式在该区间内成立。
03
导数在经济学中的应用
导数在边际分析中的应用
总结词
导数在经济学中用于描述函数的变化率，即边际分析。
详细描述
导数可以用来分析经济函数的增减性和变化速度，例如边际成本、边际收益和边 际利润等。通过导数的符号和大小，可以判断经济变量的增减趋势和最优化条件 。
导数在弹性分析中的应用
总结词
导数可以用于研究经济变量之间的相对变化关系，即弹性分析。
导数的几何意义
总结词
导数在几何上表示函数图像在该点的切线斜率。
详细描述
对于可导函数，其导数在几何上表示为函数图像在该点的切线斜率。切线与x轴 的夹角正切值即为该点的导数值，反映了函数在该点的变化趋势。
浅谈新课标全国卷导数命题背景
浅谈新课标全国卷导数命题背景.近几年高考题的导数压轴经常以微积分里的重要定理作为背景，但纵观命题人给的答案，很多是所谓结合高中知识巧妙构造等等，颇有把考生玩弄于股掌之间的味道.结合高等数学局部容，我们来研究下近几年高考真题的本质： 例1.〔2014卷〕函数()cos sin ,[0,]2f x x x x x π=-∈，（1）求证：()0f x ≤ （2）假设sin x a b x <<在(0,)2π上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值 第〔1〕问很简单，求导后容易得到结论第〔2〕问我们令()sin π02x g x x x ⎛⎤=,∈, ⎥⎝⎦， 那么()2cos sin x x xg x x⋅-'=，由⑴知，()0g x '≤， 故()g x 在π02⎛⎤, ⎥⎝⎦上单调递减，从而()g x 的最小值为π22πg ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故2πa ≤，a 的最大值为2π.接下来b 最大值肯定在x 等于0处取到，代入x ＝0，我们发现出现了00的情况，只用初等数学我们无法求解，其实此题就用到了微积分里两个重要极限之一0sin xlim1xx →＝，接下来我们来证明一下这个结论 令()f x ＝sinx ，由导数定义得()f x '＝0sin limx x x x x x→+Δ（+Δ）（Δ）-＝cosx ， 那么()0f '＝0sin lim 0-0x x x →+Δ（0+Δ）（Δ）＝0sin xlim x x →＝0lim x →cosx ＝1，那么显然第〔2〕小问里b的最小值就是1评注：此题结合了极限0sin xlim1xx →＝进展命制，并且它的证明过程就是高中数学课本里对导数的定义，很多教师为了方便讲解直接跳过该定义讲解导数几何意义，笔者认为这是一个很大的失误，所以在复习时以前没有着重讲解的定义需要额外关心，考场上遇到所谓冷门知识时才能应付自如，游刃有余.高等数学里还有个重要极限就是lime 1xx x→∞＝（1+），稍后我们进展讨论.上面两个极限是导数与微分的容，在上完导数与微分后，我们将会接触到3个微分中值定理：罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理罗尔中值定理：，曲线弧 〔方程为 〕是一条连续的曲线弧，如果弧的两端点纵坐标相等，那么弧上至少有一点 ，曲线在该点切线是水平的拉格朗日中值定理：如果函数 f(x) 满足： 1)在闭区间 [a,b]上连续； 2)在开区间(a,b)可导。
剖析新课标下导数在高考中的考查热点
剖析新课标下导数在高考中的考查热点陈小芬【摘要】微积分是近代数学最伟大的成就，在中学阶段把微积分最核心的导数内容列为学习与考试的要求之一．由于导数是研究函数性质的重要工具，又有着丰富的实际背景和广泛的应用，导数也自然成为了历届高考考查的热门之一．有关导数的内容在2000年开始的新课程试卷命题时，在考查的形式和要求上已经发生了变化，已经由前两年只是在解决问题中的辅助地位上升为分析和解决问题时必不可少的工具，并逐渐加深．这也体现了导数作为工具分析和解决一些函数性质问题的方法，【期刊名称】《中学教研：数学版》【年(卷),期】2008(000)012【总页数】3页(P28-30)【关键词】历届高考;导数;考查热点;新课标;函数性质;近代数学;中学阶段;试卷命题【作者】陈小芬【作者单位】浙江师范大学教育硕士,浙江金华321004【正文语种】中文【中图分类】G632.474微积分是近代数学最伟大的成就，在中学阶段把微积分最核心的导数内容列为学习与考试的要求之一.由于导数是研究函数性质的重要工具，又有着丰富的实际背景和广泛的应用，导数也自然成为了历届高考考查的热门之一.有关导数的内容在2000年开始的新课程试卷命题时，在考查的形式和要求上已经发生了变化，已经由前两年只是在解决问题中的辅助地位上升为分析和解决问题时必不可少的工具，并逐渐加深.这也体现了导数作为工具分析和解决一些函数性质问题的方法，这类问题用传统教材的方法是无法解决的.笔者观察了2008年实施新课程地区的8份文、理科试卷，全都有导数这部分的内容.既有考查导数基础知识的客观题，又有考查导数综合运用的解答题.在客观题中，试题主要涉及导数的计算、求曲线的切线、函数的单调区间与函数的极值及原函数与导函数图像等知识点的简单运用；在解答题中，试题更体现了对导数综合运用较高的能力要求.下面结合2008年实施新课程地区的8份文、理科试卷,谈谈导数在高考中的几类主要题型.1 研究函数图像及性质例1 已知函数f(x)=x3+mx2+nx-2的图像过点(-1，-6)，且函数g(x)=f ′(x)+6x的图像关于y轴对称.(1)求m，n的值及函数y=f(x)的单调区间；(2)若a>0，求函数y=f(x)在区间(a-1,a+1)内的极值.(2008年福建省数学高考文科试题)分析本小题主要考查函数的奇偶性、单调性、极值、导数、不等式等基础知识，考查运用导数研究函数性质的方法，以及分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力.解 (1)由函数f(x)的图像过点(-1，-6)，可得m-n=-3.由f(x)=x3+mx2+nx-2，得f ′(x)=3x2+2mx+n,则g(x)=f ′(x)+6x=3x2+(2m+6)x+n.而g(x)的图像关于y轴对称，所以解得m=-3,从而n=0,于是f ′(x)=3x2-6x=3x(x-2).由f ′(x)>0,得x>2或x<0,故f(x)的单调递增区间是(-∞，0)，(2，+∞)；由f ′(x)<0,得0<x<2,故f(x)的单调递减区间是(0，2).(2)由第(1)小题得f ′(x)=3x(x-2).令f ′(x)=0,得x=0或x=2.当x变化时，f ′(x),f(x)的变化情况如表1所示.表1x(-∞，0)0(0，2)2(2，+∞)f′(x)+0-0+f(x)极大值极小值由此可得：当0<a<1时， f(x)在(a-1,a+1)内有极大值f(0)=-2,无极小值；当a=1时， f(x)在(a-1,a+1)内无极值；当1<a<3时， f(x)在(a-1,a+1)内有极小值f(2)=-6，无极大值；当a≥3时， f(x)在(a-1,a+1)内无极值.综上所述,当0<a<1时， f(x)有极大值-2，无极小值;当1<a<3时， f(x)有极小值-6，无极大值；当a=1或a≥3时， f(x)无极值.导数作为研究函数问题的利器，常用来解决单调性、极值、最大(小)值这3类问题.在求解这些函数问题时，要注意结合导数的思想,在熟练运用导数工具研究函数性质的同时，要注意比较研究函数的导数方法与初等方法，体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性.点评此题若用初等方法求函数f(x)的单调区间十分困难，而采用导数方法来研究，通过“求导→解不等式→写单调区间”这3步可简捷地完成解答.一般来说，用导数方法求函数f(x)的极大(小)值，先求函数的导数f ′(x)，再解f ′(x)=0得到极值点，最后列表分析得出结论.2 研究相切问题例2 设函数曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0．(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．(2008年宁夏数学高考文科试题)解 (1)方程7x-4y-12=0可化为当x=2时，又所以解得故(2)设P(x0,y0)为曲线上任一点，由可知,曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为即令x=0,得从而切线与直线x=0的交点坐标为令y=x,得y=x=2x0，从而切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0),因此点P(x0,y0)处的切线与直线x=0，y=x所围成的三角形面积为故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0，y=x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6．导数的几何意义表现为曲线的切线斜率值，因此利用导数可求曲线y=f(x)的切线，并进一步将导数融合到函数与解析几何的交汇问题中.解决此类相切问题一般是先求函数的导数y=f ′(x)，依据曲线y=f(x)在x=x0的切线斜率进行研究.由于切点具有双重身份，既在切线上，又在函数图像上，因此对切点的研究可作为解决问题的纽带，特别是在不知道具体切点的情况下，常常通过设切点坐标并联立方程组求解. 点评依据切线的斜率等于切点处的导数值，易轻松完成第(1)小题；第(2)小题求解的关键是设出切点,从而表示出在此点处的切线方程.这是一种常用的解题方法.3 证明不等式成立证明不等式的方法有许多，导数作为研究一些不等式恒成立问题的工具，体现了导数应用上的新颖性以及导数思想的重要性.在用导数方法研究不等式时，一般是先构造一个函数，借助对函数单调性或最大(小)值的研究，经历某些代数变形，得到待证明的不等式.例3设函数f(x)=x2ex-1+ax3+bx2，已知x=-2和x=1为f(x)的极值点．(1)求a和b的值；(2)讨论f(x)的单调性；(3)设试比较f(x)与g(x)的大小．(2008年山东省数学高考文科试题)解 (1)因为f ′(x) =ex-1(2x+x2)+3ax2+2bx=xex-1(x+2)+x(3ax+2b)，且x=-2和x=1为f(x)的极值点，从而f ′(-2)=f ′(1)=0，所以解得(2)因为所以f ′(x)=x(x+2)(ex-1-1).令f ′(x)=0，解得x1=-2，x2=0，x3=1．因为当x∈(-∞,-2)∪(0,1)时，f ′(x)<0；当x∈(-2,0)∪(1,+∞)时，f ′(x)>0,所以f(x)在(-2,0)和(1,+∞)上是单调递增的,在(-∞,-2)和(0,1)上是单调递减的．(3)由第(1)小题可知,因此f(x)-g(x)=x2ex-1-x3=x2(ex-1-x).令h(x)=ex-1-x，则h′(x)=ex-1-1．令h′(x)=0，得x=1，因为当x∈(-∞,1]时，h′(x)≤0，所以h(x)在x∈(-∞,1]上单调递减．故当x∈(-∞,1]时，h(x)≥h(1)=0.因为当x∈[1,∞)时，h(x)≥0，所以h(x)在x∈[1,+∞)上单调递增.故当x∈[1,+∞)时，h(x)≥h(1)=0,即对任意x∈(-∞,+∞)，恒有h(x)≥0.又x2≥0，所以f(x)-g(x)≥0，故对任意x∈(-∞,+∞)，恒有f(x)≥g(x).点评观察第(3)小题中待判断的不等式，结合函数思想在不等式证明中的作用，将问题转化为研究函数h(x)在R上的单调性及最小值.此道高考试题主要考查了导数的概念与计算，以及利用导数研究函数单调性、极值和证明不等式的方法，这体现了高考对综合运用导数知识解决问题的能力要求．4 求解参数范围例4 已知函数f(x)=ln(1+x)-x.(1)求f(x)的单调区间；(2)记f(x)在区间[0,n](n∈N*)上的最小值为bx,令an=ln(1+n)-bx.如果对一切n，不等式恒成立，求实数c的取值范围.(2008年福建省数学高考试题)分析本小题主要考查函数的单调性、最值、不等式、数列等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分析问题和解决问题的能力.解 (1)因为f(x)=ln(1+x)-x，所以函数定义域为(-1,+∞),且由f ′(x)>0,得-1<x<0，f(x)的单调递增区间为(-1，0)；由f ′(x)<0,得x>0，f(x)的单调递增区间为(0，+∞).(2)因为f(x)在[0,n]上是减函数，所以bn=f(n)=ln(1+n)-n,因此an=ln(1+n)-bn=ln(1+n)-ln(1+n)+n=n.因为对n∈N*恒成立,所以对n∈N*恒成立,即对n∈N*恒成立.设则c<g(n)对n∈N*恒成立.考虑因为所以g(x)在[1,+∞)内是减函数,则当n∈N*时，g(n)随n的增大而减小.又因为所以对一切n∈N*,g(n)>1.因此c≤1,即实数c的取值范围是(-∞，1].给定含有参数的函数以及相关的函数性质，在求解参数的值或范围时，需要灵活运用导数这一工具，对问题实施正确的等价转化，列出关于参数的方程或不等式.在此类含参问题的求解过程中，逆向思维的作用显得尤为重要.由上可知，导数思想方法具有程序化、易掌握的显著特点，它是一种有力的工具，可以作为解决函数的极值、单调区间、函数在闭区间上的最大(小)值等基本方法.导数的广泛应用为研究函数性质、函数图像开辟了新的捷径，成为沟通函数与数列、不等式、圆锥曲线等问题的一座桥梁.要意识到导数工具的重要性，下最大的功夫进行突破，为今后的深入学习与研究打下了坚实的基础.从以上试题也可以看出,导数的概念、函数与导函数的图像、导数的几何意义、用导数求单调区间、求极值和最值等都考到了，并且还注意到与其他数学知识的结合.从命题的发展趋势可以看出，体现了对本部分考试要求的3个层次:第1层次是主要考查导数的概念、求导公式和法则；第2层次是导数的简单应用，包括求函数的极值、求函数的单调区间、证明函数的增减性等；第3层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性等有机地结合在一起设计综合试题.参考文献【相关文献】[1]波利亚.怎样解题[M].阎育苏,译.北京:科学出版社,1982.[2]杨利刚.导数在三角函数问题中的应用[J].中学数学教学，2008(3)：33-35．。
浅论数学高考题目中的导数(毕业论文)
浅论数学高考题目中的导数数学与计算机科学 学院 数学与应用数学 专业105012009082 林耀永 指导教师：王孝振【摘 要】导数进入高中数学教材已经有多年，它给传统的中学教学带来了新的生机与活力.导数对于研究数学问题而言是一个非常优秀的工具，它可以十分广泛的应用于各种数学问题的研究.在历年的高考中，导数常与方程、函数、不等式等等的知识点相交汇，以各种形式出现.其中不乏颇具亮点的题目，为高考数学增色不少.本文就导数的一些相关知识与导数在高考中的一些常见题型做出了些许的分析和研究.【关键词】导数；高考；导数的应用.1.引言导数进入高中数学教材已经有多年，它给传统的中学教学带来了新的生机与活力.导数对于研究数学问题而言是一个非常优秀的工具，它可以十分广泛的应用于函数问题、不等式问题、解析几何问题等等数学问题的研究，并为此提供新的视角、新的方法、新的途径.就目前而言，导数在教学中的主要目标是导数的本质及其应用，导数依旧是学生必须掌握的一个重要知识.由于导数其知识内涵的基础性及其应用的广泛性，使得导数不仅成为了高中数学的一个创新点，更成为了数学高考中的一个“熟客”. 在历年的高考中，导数常与方程、函数、不等式等等的知识点相交汇，以各种形式出现，其中不乏颇具亮点的题目，为高考数学增色不少.本文就导数的一些相关知识与导数在高考中的一些常见题型做出了些许的分析和研究.2.导数的相关知识2.1 导数的概念导数（Derivative ）是微积分中的重要基础概念.当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限.在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分.可导的函数一定连续,不连续的函数一定不可导.导数实质上就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则.2.2 导数的定义设函数()y f x =在点0x 附近有定义，当自变量x 在0x 处有增量x ∆时，相应地函数取得增量00()()y f x x f x ∆=+∆-；如果y ∆与x ∆之比当0x ∆→时极限存在且有限，即极限0000()()lim lim x x f x x f x y x x∆→∆→+∆-∆=∆∆存在且有限，则称这个极限值为函数()y f x =在点0x处的导数，记为0()f x '.2.3 导数与导函数如果函数()y f x =在开区间I 内每一点都可导，就称函数()f x 在区间I 内可导.这时函数()y f x =对于区间I 内的每一个确定的x 值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，称这个函数为原来函数()y f x =的导函数，记作y ',()f x ',dy dx , ()df x dx.导函数简称导数. 2.4 导数的几何意义 函数()y f x =在0x 点的导数0()f x '的几何意义：表示函数曲线在00(,())P x f x 点的切线斜率,即该函数()y f x =的曲线在0x 这一点上的切线斜率.2.5 求导公式及法则（1）0C '=；（2）1()n n x nx -'=；（3）(sin )cos x x '=；（4）(cos )sin x θ'=-；（5）221(tan )sec cos x x x'==； （6）221(cot )csc sin x x x '=-=-； （7）(sec )sec tan x x x '=；（8）(csc )csc cot x x x '=-；（9）1(ln )x x'=； （10）1(log )ln a x x a '=； （11）()x xe e '=；（12）()ln x x a a a '=其中0,1a a >≠；（13）(arcsin )x '=（14）(arccos )x '=（15）21(arctan )1x x '=+； （16）21(arccot )1x x '=-+. 为了便于记忆，有人整理出了以下口诀：常为零，幂降次，对导数（e 为底时直接导数，a 为底时乘以ln a ），指不变（特别的，自然对数的指数函数完全不变，一般的指数函数须乘以ln a ）；正变余，余变正，切割方（切函数是相应割函数（切函数的倒数）的平方），割乘切，反分式.3.导数的应用3.1以导数为工具研究函数的部分性质3.1.1 判断函数的单调性利用导数的符号判断函数的增减性，这是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用，它充分体现了数形结合的思想．一般地，在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减．如果在某个区间内恒有()0f x '=，则()f x 是常数函数．注意：在某个区间内，()0f x '>是()f x 在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件，如3()f x x =在R 内是增函数，但0x =时()0f x '=.也就是说，如果已知()f x 为增函数，解题时就必须写()0f x '≥.求函数单调区间的步骤：①确定()f x 的定义域；②求导数；③由（或）解出相应的x 的范围．当()0f x '>时，()f x 在相应区间上是增函数；当()0f x '<时，()f x 在相应区间上是减函数．3.1.2函数极值的判定①如果在两侧符号相同，则不是()f x 的极值点；②如果在附近的左右侧符号不同，那么，是极大值或极小值.3.1.3 求函数的极值①确定函数的定义域；②求导数；③在定义域内求出所有的驻点与导数不存在的点，即求方程及的所有实根；④检查在驻点左右的符号，如果左正右负，那么()f x 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么()f x 在这个根处取得极小值．3.1.4 求函数的最值如果()f x 在[],a b 上的最大值（或最小值）是在(,)a b 内一点处取得的，显然这个最大值（或最小值）同时是个极大值（或极小值），它是()f x 在(,)a b 内所有的极大值（或极小值）中最大的（或最小的），但是最值也可能在[],a b 的端点a 或b 处取得，极值与最值是两个不同的概念．求()f x 在[],a b 上的最大值与最小值的步骤：①求()f x 在(,)a b 内的极值；②将()f x 的各极值与()f a ，()f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．3.1.5实际问题实际生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题称为优化问题，优化问题也称为最值问题．解决这些问题具有非常现实的意义．这些问题通常可以转化为数学中的函数问题，进而转化为求函数的最大（小）值问题．3.2 利用导数的几何意义求解函数的切线方程 函数()y f x =在0x 点的导数0()f x '的几何意义：表示函数曲线在00(,())P x f x 点的切线斜率,即该函数()y f x =的曲线在0x 这一点上的切线斜率.这样，我们就可以求出函数在某点00(,())P x f x 的切线斜率，随后只需要运用点斜式000()()()y f x f x x x '-=-就可以求出切点为00(,())P x f x 的切线方程.3.3 利用导数求解一些不等式问题3.3.1利用导数得出函数单调性来证明不等式我们知道，如果函数在某个区间内其导数值小于（或大于）0，则此函数在这个区间上单调递减（或递增）.因此在一些不等式问题中，我们往往可以通过构造一个函数的方式，以导数的方法确定函数在一个区间上的单调性，再利用函数的单调性达到证明不等式的目的.即将不等式问题转化为了函数的单调性问题.3.3.2 利用导数得出函数的最值来证明不等式求函数的最值是导数一个重要的作用.因此在求证不等式问题的时候，我们可以先构造相应的韩式，再通过导数求出此函数的最值，若该函数的最大值（或最小值）都能使不等式成立，则可知此不等式恒成立，即将不等式问题转化为了函数的最值问题.3.3.3 利用导数解不等式解不等式的一般目的是求参数的取值范围或者求自变量的取值范围，着一些问题也往往可以通过导数的相关知识来解决.在具体题目中，这类问题一般与函数相交汇，解不等式时经常使用到的知识点就是如何求解函数的单调性和最值，结合函数的单调性和函数的最值，再分析题目要求之后，就可以列出一些相关的不等式，从而求解.归根结底，这一类问题依旧借助导数在求函数单调性和最值问题上的便利性，但两个相交汇的知识也会给题目带来不少变化，需要注意的地方不少，经常需要分类讨论，这是一种有一定难度的题型，在做此类问题的过程中需要细心分析，以确定最佳的分类标准.3.4 利用导数求函数中某些未知参数取值范围的问题导数常与函数相结合，而在函数中，也经常出现一些未知的参数.因此利用导数求解函数中的参数取值范围问题也屡见不鲜.这一类问题也是一种相当灵活的题型，主要运用到的知识点依旧是利用导数求函数的单调性和最（极）值的方法.3.4.1 此类问题常见题型、考法①并已知函数在某区间的单调性或已知函数的最（极）值，参数在函数的表达式上（或参数在区间边界上），求参数取值范围；②已知不等式在某区间上恒成立，参数在函数的表达式上（或参数在区间边界上），求参数的取值范围；③已知函数图像的交点情况，求参数的取值范围；④开放性问题，求参数的取值范围.3.4.2 含参不等式恒成立问题中，求未知参数取值范围的一般方法①分离参数：通过恒等变形，将参数分离出来，若()a f x ≥恒成立，只需求出max ()f x ，则必有max ()a f x ≥；反之，若()a f x ≤，只需求出min ()f x ，则有min ()a f x ≤.从而将问题转化为函数最值问题.②分类讨论：在给出的不等式中，如果两变量无法通过恒等变形分别置于不等式的两边，可以考虑通过分类讨论的思想来解决.③确定主元：在给出的含有两个变量的不等式中，我们习惯的将变量x 看做主元，而把变量a 看做参数.但在某些题目中，这种思路反而更加繁琐，此时不妨试下改换思路，反其道而行，将变量a 看做主元，而把变量x 看做参数，可能这一新的思路可以大幅简化解题的难度与过程的繁琐.当然，这一方法要根据实际情况，而非任意胡来.4.导数在高考中的常考知识点与题型4.1 利用导数研究函数的单调性考情聚焦：1．导数是研究函数单调性有力的工具，今年各地市高考中的单调性问题，几乎均用它解决．2．常与函数的其他性质、方程、不等式等交汇命题，且函数一般为含参数的高次、分式或指、对数式结构，多以解答题形式考查，属中高档题目．考点分析：利用导数研究函数单调性的一般步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导数()f x '；（3）① 若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数()f x 的定义域内解(或证明)不等式()0f x '>或()0f x '<.② 若已知()f x 的单调性，则转化为不等式()0f x '≥或()0f x '≤在单调区间上恒成立问题求解．例1 (2012年新课标，文科，21)设函数()2x f x e ax =--.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若a =1，k 为整数，且当x >0时，(x －k ) f ´(x )+x +1>0，求k 的最大值解：（Ⅰ）()f x 的定义域是R ，()x f x e a '=-．若0a ≤，则()0f x '>，所以()f x 在R 上是增函数．若0a >，令()0x f x e a '=-=，即ln x a =，则当(,ln )x a ∈-∞时，()0f x '<,所以()f x 在(,ln )a -∞上是减函数；当(ln ,)x a ∈+∞时()0f x '>，所以()f x 在(ln ,)x a ∈+∞上是增函数.（Ⅱ）略．例2 (2012年福建，理科，20) 已知函数2(),.x f x e ax ex a R =+-∈（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）试确定a 的取值范围，使曲线()y f x =上存在唯一的点P ,曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P .解：（Ⅰ）求导可知()2x f x e ax e '=+-，所以有(1)2f a '=，即曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线斜率20k a ==.所以0a =，即().x f x e ex =-此时有()x f x e e '=-，令()0x f x e e '=-=可得1x =.所以(,1)x ∈-∞时，有()0f x '<；(1,)x ∈+∞时，有()0f x '>，即()y f x =的单调递减区间为(,1)-∞，单调递增区间为(1,)+∞.（Ⅱ）略（见例8）．4.2 利用导数研究函数的极值与最值问题考情聚焦：1.导数是研究函数极值和最值问题的重要工具，几乎是历年各省各市高考中极值与最值问题求解的不用方法. 2. 此类问题常与函数的其他性质、方程、不等式等交汇命题，且函数一般为含参数的高次、分式、或指、对数式结构，多以解答题形式出现，属于高档题.考点分析：利用导数研究函数的极值的一般步骤：（1）确定定义域;（2）求导数()f x ';（3）①若求极值，则先求方程()0f x '=的根，再检验()f x '在方程根左右值的符号，求出极值.②若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程()0f x '=的根的大小或存在情况，从而求解.（4）将函数()y f x =的极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个即最小值.例3 (2012年新课标，理科，21)已知函数()y f x =满足121()(1)(0)2x f x f ef x x -'=-+ （Ⅰ）求()y f x =的解析式及单调区间； （Ⅱ）若21()2f x x ax b ≥++，求(1)a b +的最大值. 解：（Ⅰ）略（Ⅱ）由（1），21()2x f x e x x =-+；所以21()(1)2x f x x ax b e a x b ≥++⇔≥++⇔ 直线(1)y a x b =++在指数函数x y e =的图像下方，或与其相切.这里只需考虑相切的情形，设切点坐标为00(,)x y ，根据0000(1)(),x x x x x a e e y e ='+===，所以过切点00(,)x y 的切线方程可写为000()x x y e e x x -=-，即000(1)x x y e x e x =+-，故00(1)x b e x =-.因此000200(1)(1)(1)x x x a b e e x e x +=⨯-=-.记2()(1)x f x e x =-，则222()2(1)(12)x x x f x e x e e x '=--=-.所以当12x <时，()0f x '>，()f x 在1(,)2-∞上是增函数；12x >时，()0f x '<，()f x 在1(,)2+∞上是减函数.因此，当12x =时()f x 有最大值1()22e f =，即(1)2e a b +≤，此时112201,1,22e x a e b ==-=.综上可得(1)a b +的最大值为2e . 4.3 利用导数研究函数的图象考情聚焦：1．该考向由于能很好地综合考查函数的单调性、极值(最值)、零点及数形结合思想等重要考点，而成为近几年高考命题专家的新宠．2．常与函数的其他性质、方程、不等式、解析几何知识交汇命题，且函数一般为含参数的高次、分式、指、对数式结构，多以解答题中压轴部分出现．属于较难题．考点分析：这一部分内容比较灵活，需要学生对导数的相关知识都有所了解，并可以将之相交汇，灵活变通的运用所学知识点.例4 (2011年浙江，文科，10)设函数2()(,,)f x ax bx c a b c R =++∈，若1x =-为函数()x f x e 的一个极值点，则下列图象不可能为()y f x =的图象是( )解：设()()x F x f x e =，所以2()()()(2)x x x F x f x e e f x e ax b ax bx c ''=+=++++，又因为1x =-为()xf x e 的一个极值点，所以2(1)()0F e a c '-=-+=，即a c =.所以22244b ac b a ∆=-=-，当0∆=时，2b a =±，即对称轴所在的直线方程为1x =±；当0∆>时，12b a>，即对称轴所在直线应大于1或小于-1，故选D.例5 (2012年汉南，理科，10)已知函数1()ln(1)f x x x=+-，则()y f x =的图像大致为（ ） 解：()ln(1)()()0101x g x x x g x g x x x ''=+-⇒=-⇒>⇔-<<+, ()00()(0)0g x x g x g '<⇔>⇒<=,即0x >或10x -<<均有()0f x <，故排除,,A C D ，答案为B .4.4 实际生活中的优化问题考情聚焦：本类题型在考查考生对导数在实际问题中的应用的掌握情况，考查考生的运算求解能力和推理论证能力．能力要求是考生的建模能力．试题难度中等偏难，属于难题．针对本题总结如下规律：①问哪个量，哪个量就是自变量，涉及最大最小的量为函数．②建立函数模型是时要结合实际意义，同时要注明自变量的取值范围，即定义域．③在利用导数求解时，要注意遵循导数求最值的步骤进行．④作为规范作答，要注意下结论．考点分析：优化问题一般是以求极值和最大（最小）为目的，能灵活的掌握导数在此种地方的用法，基本可以解决问题，不过如何从题目中提炼出数学模型，构造出合适的函数却颇为考验学生的数学功底.例6 （2010年湖北，理科，17)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系()(010)35k C x x x =≤≤+，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k 的值及()f x 的表达式；（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小，并求此最小值．解：（Ⅰ）设隔热层的厚度为x cm ，由题设，每年能源消耗费用()(010)35k C x x x =≤≤+. 再由(0)8C =，得40k =.因此40()(010)35C x x x =≤≤+.因为建造费用为1()6C x x =，所以1800()20()()6(010)35f x C x C x x x x =+=+≤≤+ （Ⅱ）因为1800()20()()6(010)35f x C x C x x x x =+=+≤≤+，所以我们可以得到22400()6(35)f x x '=-+，令()0f x '=，解得5x =或253x =-（舍去）.当(0,5)x ∈时，()0f x '<；当(5,10)x ∈时()0f x '>；所以5x =是()f x 的最小值点，且(5)70f =.因此，当隔热层修建5cm 厚时，总费用()f x 达到最小，最小值为70万元.4.5 利用导数的几何意义解决有关切线方程问题考情聚焦：1．利用导数研究曲线()y f x =的切线是导数的重要应用，为今年各省市高考命题的热点．2．常与函数的图象、性质及解析几何知识交汇命题，多以选择、填空题或以解答题中关键一步的形式出现，属简单题．考点分析：（1）导数的几何意义函数()y f x =在0x 处的导数()f x '的几何意义是：曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线的斜率．（2）求曲线切线方程的步骤：①求出函数()y f x =在点0x x =的导数，即曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处切线的斜率；②在已知切点坐标00(,())P x f x 和切线斜率的条件下，求得切线方程为000()()y y f x x x '-=-.注：(1)当曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线平行于Y 轴(此时导数不存在)时，由切线定义可知，切线方程为0x x =；(2)当切点坐标未知时，应首先设出切点坐标，再求解．例7 (2012年全国，文科，13)曲线(3ln 1)y x x =+在点(1,1)处的切线方程为 ． 解：根据导数的几何意义知，曲线(3ln 1)y x x =+在点(1,1)处的切线的斜率为()113ln 134x x y x =='=++=⎡⎤⎣⎦.因此，所求切线方程为14(1)y x -=-，即43y x =-.4.6 利用导数求函数中某些未知参数取值范围的问题考情聚焦：导数常与函数相结合，而在函数中，也经常出现一些未知的参数.因此利用导数求解函数中的参数取值范围问题也屡见不鲜.这一类问题也是一种相当灵活的题型，主要运用到的知识点依旧是利用导数求函数的单调性和最（极）值的方法.考点分析：这一部分内容比较灵活，需要学生对导数的相关知识都有所了解，并可以将之相交汇，灵活变通的运用所学知识点.例8 (2012年福建，理科，20) 已知函数2(),.x f x e ax ex a R =+-∈（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）试确定a 的取值范围，使曲线()y f x =上存在唯一的点P ,曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P .解：（Ⅰ）略（见例2）.（Ⅱ）设切点为00(,())P x f x ，由点斜式可知曲线()y f x =在点P 处的切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+，令000()()()()()g x f x f x x x f x '=---，故曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线与曲线只有一个公共点00(,())P x f x 等价于函数()g x 只有唯一零点.因为0()0g x =，且000()()()2()x x g x f x f x e e a x x '''=-=-+-（1）若0a ≥，当0x x >时，()0g x '>，即0x x >时，0()()0g x g x >=；当0x x <时，()0g x '<，即0x x <时，0()()0g x g x >=，故()g x 只有唯一一个零点0x x =.由P 的任意性可知，0a ≥不合题意，故舍去.（2）若0a <，令00()2()x x h x e e a x x =-+-，则0()0,()2x h x h x e a '==+.令()20x h x e a '=+=，得ln(2)x a =-，记ln(2)x a *=-，则当(,)x x *∈-∞时，()0h x '<，从而00()2()xx h x e e a x x =-+-在区间(,)x *-∞上单调递减；同理可知()h x 在(,)x *+∞上单调递增.①若x x *=，由(,)x x *∈-∞时，()()()0g x h x h x *'=>=；(,)x x *∈+∞时，()()()0g x h x h x *'=>=.可知()g x 在R 上单调递增.所以函数()g x 在R 上有且只有一个零点x x *=.②若x x *>，由于()h x 在(,)x *+∞上单调递增，且0()0h x =，则当(,)x x *∈+∞时有()()()0g x h x h x *'=>=，0()()0g x g x '>=；任取10(,)x x x *∈，则有1()0g x >.又当(,)x x *∈-∞时，易知1220000()(())()()x x g x e ax e f x x f x x f x e ax ''=+-+-+<+- 20000(())()()e f x x f x x f x ax bx c ''+-+=++,而在上面的式子中，0(())b e f x '=-+，1000()()x c e f x x f x '=-+.由于0a <，则必存在21x x <，使得20ax bx c ++<.所以2()0g x <，故()g x 在21(,)x x 内存在零点，即()g x 在R 上至少有两个零点.③若x x *<，同②并利用36xx e >，可证函数()g x 在R 上至少有两个零点. 综上所述，当0a <时，曲线()y f x =上存在唯一点(ln(2),(ln(2)))P a f a --，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P .参考文献[1] 高慧明.“导数及其应用”高考命题分析与思考. 《试题与研究：高中文科综合》 2012年第2期 J0009-J0014页. 共6页.[2] 范召霞. 2011年高考导数及其应用考情调研. 《数理化学习：高中版》 2011年第12期13-16页,共4页.[3] 郭振. 导数应用题型与高考走势.《中学教研：数学版》 2008年第2期 16-19页,共4页[4] 李怀军侯伟.导数在2012年高考新课标卷命题中的“三大”热点. 《试题与研究：高中理科综合》 2012年第3期 J0083-J0085页,共3页.[5] 张娟.高考中导数的应用. 《数理化学习（高三）》 2010年第12期 22-24页,共3页.[6] 虞育旗. 例谈高考中导数在函数里的综合应用. 《中学时代：理论版》 2012年第1期144-145页,共2页.[7] 蔡广红. 例析导数在高考试题中的应用. 《理科考试研究：高中版》 2011年第3期 4-6页,共3页.[8] 何伟军谢旭东.例析导数在高考中的热点问题. 《试题与研究：高中文科综合》 2011年第1期 I0012-I0015页,共4页.[8] 闫飞张生光. 浅谈高考热点问题：导数的应用. 读写算（教育教学研究）. 2011年第20期. 154-154页,共1页[9] 常佩佩. 探讨高考导数出题点. 《青年与社会：中外教育研究》 2012年第5期 153-153页,共1页.[10] 蔡勇全肖顺银肖军. 透视高考考查导数的六大热点. 中学生理科应试：高中》 2012年第3期 10-12页,共3页The analysis of derivative in the College Entrance Examination LIN Yao-yong 105012009082 Advisor：WANG Xiao-zhenMajor in Pure and Applied Mathematic sCollege of Mathematics and Computer Science【Abstract】Derivative entering high school math textbooks have been for many years, it has brought new vigor and vitality for the traditional secondary school teaching. Derivative is a very good way to discuss mathematical problems; it can be very widely used in the discussion of a variety of mathematical problems. In recent years of the college entrance examination, derivative is often combined with the knowledge of the equation, function, inequality and appeared in various forms. It makes the college entrance more exciting. This article made some analysis and research to Derivative-related knowledge and common questions in the college entrance examination.【Keywords】Derivative; college entrance examination; Applications of Derivatives.。
把握课程标准注重导向功能_高考_导数_试题命题的分析与思考
23
3
把握课程标准 注重导向功能
曾建国 曹 新
— — — 高考“ 导数 ” 试题命题的分析与思考
(赣南师范学院数学与计算机系 , 江西 赣州 341000 )
“ 导数 ” 是高中数学新课程实施以来新增内容之 一 , 其目的是 , 在中学数学课程中渗透微积分的思想 方法 . 虽然导数属选修内容 , 但近年来 , 有关导数的试 题已成为高考的一个热点 , 文理科每年必考导数题 . 由于数学高考试题对中学数学教学起着独特的 导向作用 , 因此 , 如何命制导数试题才更为科学合理 、 更能体现新课程标准的考查要求 , 是一个重要的研究 课题 . 本文就此对近几年有关导数的高考试题进行分 析 , 谈谈笔者的一些粗浅看法 .
[1 ]
1
a
; , 则 x1 < x2 <
1
a
1
a
.
分析 在 2002 年新教材高考数学试题中 , 这是 唯一一道直接涉及导数内容的试题 , 考查知识有 : 导 数的几何意义 — — — 曲线的切线斜率 , 以及求导数的 基本公式 . 例 3 ( 2003 年江西 、 安徽理科 19 题 ) 设 a > 0, 求函数 f ( x ) = x - ln ( x + a ) ( x ∈ ( 0, + ∞) ) 的单调 区间 . 例 4 ( 2004 年江西理科 19 题 ) 设 a ∈ R, 求函 数 f ( x ) = x2 eax的单调区间 . 例 5 ( 2004 全国文科 ( Ⅰ) 19 题 ) 已知 f ( x) =
2g (
2
) < ( b - a ) ln2.
这是本 套试 卷 的“ 压轴 题 ” , 它 应 该算 得 上是
新课程背景下高考函数与导数解答题命题研究及分析
新课程背景下高考函数与导数解答题命题研究及分析发表时间：2017-02-13T15:48:26.570Z 来源：《素质教育》2016年11月总第223期作者：许启芳[导读] 单调性是导数应用中最基本的也是最重要的内容，因为求极值和最值都离不开单调性。
山东省泰安第一中学271000函数在数学中具有举足轻重的地位，它不仅是高中数学的核心和主线内容，也是学生进一步学习高等数学的基础，而导数是解决函数问题的有力工具，为研究函数提供了简捷有效的方法，因此函数与导数的综合题就成了高考的热点、重点、难点。
一般来说，高考导数解答题有两到三问，命题恪守“基础能力两手硬，稳定创新一卷香”的基本理念，注重与传统考试热点的有机整合，并适时引入新概念、创设新情境、渗透新创意，基础为本、能力立意的特色鲜明，逐步形成交汇性、含参性、逆向性、构造性、探究性、发展性等命题规律与创新方向。
但高考时考查的主流题型有以下几类：1.求含参函数的单调区间；2.比较大小或证明不等式；3.含参数不等式恒成立问题求参数范围；4.求函数零点个数或是已知函数零点个数求参数范围。
下面就近几年的各地高考题为例来看看高考是如何考查的。
考点一：求含参函数的单调区间单调性是导数应用中最基本的也是最重要的内容，因为求极值和最值都离不开单调性，并且多以含参数的函数求单调性的方式来考。
解决此类问题关键是看参数对导数的影响，对参数分类讨论，要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简。
但是分类的标准，参数界值的确定却是一个难点。
考点二：比较大小或证明不等式高考中一些不等式的证明需要通过构造函数，转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。
考点三：含参数不等式恒成立问题已知不等式恒成立，求参数的取值范围问题是中学数学的重要内容之一，是函数、方程、不等式交汇处一个较为活跃的知识点。
这类问题以含参不等式“恒成立”为载体，镶嵌函数、方程、不等式等内容，综合性强，思想方法深刻，能力要求较高，因而成为近几年高考试题中的热点。
把握考点,层层递进,实现难点突破
把握考点，层层递进，实现难点突破——浅谈一轮复习《导数与积分》教学设计黄冈中学 夏泊凌在中学数学的新课程中，导数单元作为初等数学和高等数学重要的衔接点，显得格外引人瞩目. 导数的思想及其内涵丰富了对函数等问题的研究方法，已经成为近几年全国各地高考数学的一大热点. 另外，导数又具有很强的知识交汇功能，因此在高考中导数与积分是一个极其重要的内容，导数与积分的复习是数学第一轮复习的重点之一.下面，我将从以下三个部分来谈谈导数与积分的复习.一、紧扣《说明》要求与考题规律，以把握考点定教学应对策略1.《考试说明》的要求（1）导数概念及其几何意义①了解导数概念的实际背景.②通过函数图象直观理解导数的几何意义.（2）导数的运算①根据导数的定义求函数y C =(C 为常数),y x =,2y x =,3y x =,1y x=,y =的导数. ②能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如()f ax b +的复合函数）的导数.（3）导数在研究函数中的应用①了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件； 会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.（4）生活中的优化问题会用导数解决某些实际问题.（5）定积分与微积分基本定理①了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.②了解微积分基本定理的含义.从上述不难发现：《考试说明》对导数的考查，主要以切线方程、函数单调区间、极值、最值为主.2. 全国卷与湖北卷的联系与区别全国卷和湖北卷在导数考查的整体思路上是一样的：在考查基础知识的同时，都注重对数学思想方法和数学能力的考查. 导数的综合题均作为高考压轴题的形式出现.全国卷和湖北卷在导数考查的具体安排上有很区别：①以2015年全国卷与湖北卷《考试说明》的对比分析可以发现，全国卷对导数在研究函数中的应用的考查层次比湖北卷高.②从近三年高考试卷的内容来看，全国卷特别注重对含参函数的单调性或图象的研究，难度较大，而湖北卷仅在解答题三个小问题中的第（1）小问出现，主要利用导数研究不含参函数的单调性或最值，为后面的问题作铺垫；湖北卷注重对积分的考查，而全国卷对此几乎没有涉及；全国卷对曲线切线的考查比较频繁，而湖北卷很少涉及.3. 近三年全国卷考试特点与命题规律（1）试题分布：近三年全国数学理科卷Ⅰ中导数试题分布表：（2）试题特点：①从导数在高考中的地位来看, 几乎每年一道大题和一道小题, 分值17分，约占11.3%,并且试题难度较大.②从考查的内容来看，考查的热点是利用导数求曲线的切线方程、求函数的单调区间、证明不等式、研究函数的图象，研究函数的零点，或利用导数解决实际问题.从全国卷《考试说明》对导数的要求以及近几年全国卷的命题重点来看，无论是小题还是大题，导数与不等式等知识的交汇与综合往往作为高考卷的把关题或压轴题，一般有较大难度，但是我们对这类题进行分析后不难发现，在这类试题中，导数只不过是一种工具，利用导数研究函数（特别是含参函数）的单调性、极值、最值、图象的工具，真正的难点是将这类试题中的问题转化为函数的单调性、极值、最值、图象的问题. 所以函数的单调性、极值、最值、图象的问题是导数与积分单元复习中的重点，导数与不等式、方程等知识的综合是复习中的难点.二、紧绕复习计划与教学目标，以层层递进促课堂教学高效1. 教材分析“导数与积分”是高中数学人教A版教材选修2-2第一章的内容，是高考考查的重点和难点，题型既有灵活多变的客观性试题，又有具有一定能力要求的主观性试题，这要求在复习时要掌握基本题型的解法，树立利用导数处理问题的意识．2. 学情分析高三学生已经具备分析理解常见函数的性质的能力，同时也有通过导数研究函数性质的经验. 但在具体问题上，学生可能比较模糊，还没有形成解题规律和处理技巧.3．教学目标（1）知识与技能：利用导数的几何意义；利用导数求函数的单调区间；利用导数求函数的极值以及函数在闭区间上的最值；解决方程有解及不等式恒成立问题（2）过程与方法：能够利用函数性质作图象，反过来利用函数的图象研究函数的性质如交点情况，能合理利用数形结合解题；学会利用熟悉的问答过渡到陌生的问题.4．教学重点、难点重点是应用导数求单调性，极值，最值；难点是方程有解及不等式恒成立问题.5. 教学计划第一轮复习导数与积分单元分成四个部分，按照层层递进方式，具体安排如下：第一部分：导数的概念及几何意义（1课时）, 是本单元的基础内容，高考的热点，但不是难点.这部分要求学生熟练使用求导四则运算，能准确地求出基本函数和简单复合函数的导数，熟练掌握求曲线的切线方程方法的一般步骤.第二部分：定积分与微积分基本定理（1课时），是本单元的基础内容. 这部分要求学生了解计算简单定积分的一般方法和步骤，了解定积分与曲边梯形的面积的关系，了解用微积分基本定理求曲边梯形的面积或求变速运动的路程.第三部分：导数与函数的单调性、极值与最值（2课时），是本单元的重点内容. 这部分内容要求学生熟练掌握利用导数研究函数（特别是含参函数）的单调性、极值、最值与图象的一般方法和步骤，掌握对参数分类讨论的技巧.第四部分：导数的实际应用以及与方程、不等式的综合（2课时），是本单元的难点内容. 这部分内容要求学生掌握导数与不等式、方程、实际问题、参数讨论等知识的内在联系，培养学生对常见问题的等价转化、分类讨论、数形结合等思想方法的意识.5．教学设计以第三部分《导数与函数的单调性、极值与最值》的教学设计为例来阐述“一题多问、 由易到难、层层递进的模式”提高课堂教学效果.教学目的：让学生熟练掌握利用导数研究函数（特别是含参函数）的单调性、极值、最值以及画函数图象的基本方法、处理技巧.为了达到这个教学目的，我本部分的例题的选择及其意图如下：例1. 已知函数32()f x x x x =+-.（1）求()f x 的单调区间；（2）求()f x 的极值；（3）求()f x 在区间[]2,1-上的最大值与最小值.设计意图：例1主要考查不含参数的函数的的单调性、极值、最值等基础知识，选 自人教A 版数学选修2-2第31页习题1.3A 组第2题第（4）小题. 该题由学生演板、互 相纠错，老师补充完善完成，让学生加强对求函数单调性、极值与最值的一般方法步骤的掌握，并理解极值与最值的关系，也为例2问题的处理提供了方法步骤上的参考.例2．已知函数2()ln (21)()f x x ax a x a =+-+∈R .（1）若()f x 在区间[]2,3上单调递增，求a 的的取值范围；（2）求()f x 的单调区间与极值；（3）求()f x 在(]0,e 上的最大值.设计意图：例2主要考查含参函数的的单调性、极值、最值等基础知识，问题（1）是函数单调性与导数之间关系的变形运用，培养学生的逆向思维能力，并加深对函数单调性与导数的关系的认识；让学生认识到，问题（2）（3），虽然在例1的基础上高了一个层次，但是解方法和步骤的整体框架相同，不同的是需要对参数进行分类讨论. 在解答过程中，要让学生理解为什么要分类讨论，学会怎样进行分类讨论，总结解题规律：讨论函数的单调性就讨论含参不等式()0f x '>（或()0f x '<）的解集的情况，求最值的过程就是在讨论函数的单调性的基础上比较极值与端点值的大小的过程. 该题是本节的重点也是难点，由老师引导协助学生共同完成.例3．已知函数31()()4f x x ax a =++∈R .（1）当34a =-时，画出()f x 的大致图像；（2）讨论()f x 零点的个数；（3）（备用）用min{,}m n 表示,m n 中的最小值，设函数()ln g x x =-，{}()min (),()(0)h x f x g x x =>，讨论()h x 零点的个数. 设计意图：例3主要考查利用函数的单调性与极值画出函数的大致图象，是在例2的基础上又上升了一个层次. 该题让学生独立完成利用导数研究所给函数的单调性、极值的部分. 问题（1）中的函数不含有参数，问题（2）中的函数含有参数，既是分别对例1、例2的解题规律的加强巩固，又为下一步画图象或讨论零点个数做好准备工作. 问题（3）是今年全国卷21题，主要让学生体会本节内容是高考综合试题的核心，认识到掌握了用导数研究函数的单调性、极值、最值、图象的规律与方法，与导数有关综合试题也就迎刃而解了，减小学生对高考中导数压轴题的畏惧心理.利用几何画板，动态演示，直观的感觉参数的变化对函数的图象的影响，帮助学生更好地理解参数讨论的关键点，使探究落到实处.以上三个例题针对性强，抓住以利用导数来研究函数的单调性、极值与最值以及画函数图象为核心内容，突出训练，总结规律，提炼通法，从而提高学生的解题能力.每个例题的三个小问题之间以及三个例题之间均采用了一题多问、由易到难、层层递进的模式.在前一小问题的基础上处理下一小问题，在前一个例题的层次上处理下一个例题，既总结了解题方法，又弄清了它们之间的联系；既抓住了重点，又节约了时间；既解决了难点，又树立了学生的信心. 为下一部分导数的综合应用打下很好的基础.三、紧抓常见题型与解题方法，以难点突破助学生提升能力题型1：利用导数的几何意义求曲线的切线（可已知切线方程或切点坐标求参数的值）例1．设函数1()ln x xbe f x ae x x -=+，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为(1)2y e x =-+，求a , b . （2014年全国卷Ⅰ理第21题第1问）解题方法：必须明确切点的“三重身份”，切点在曲线上，切点在切线上，切点处的导函数的值为切线斜率.题型2：利用微积分基本定理求曲边梯形的面积例2. 求由曲线22y x =+与直线3y x =，0x =，2x =所围成平面图形的面积.（人教A 版数学选修2-2第60页习题1.7B 组第3题.）解题方法：正确画出题目中所表示的图形区域，由哪些曲边梯形组成，曲边梯形在x 轴的上方还是下方.题型3：求单调区间、极值或最值（或已知单调区间、极值或最值求参数范围） 例3．（1）求21()2x f x e x x =-+的单调区间；（2012年全国卷理第21题第1问）（2）求函数21()xx e g x x +-=的极值；（3）求函数()cos 02x h x x x x π⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭的最值. 解题方法：若求函数()f x ②单调区间只需解不等式()0f x '>（或()0f x '<），若已知()f x 单调性求参数范围可转化为()0f x '≥（或()0f x '≤）在给定区间上恒成立问题.求()f x 极值问题只需讨论方程()0f x '=的根的情况及在每个根的两侧导数值的正负情况，已知函数极值求参数范围问题转化为讨论方程()0f x '=根的分布问题.求函数最值问题首先求函数极值和区间端点函数值，再将极值和端点值比较选出最大值和最小值.难点：()f x '符号判断的技巧①结合()0f x '=的根（有时需要观察出来）与()f x '单调性来确定()f x '符号.如本例中()1xf x e x '=-+，2(1)(1)()x x x eg x x -+-'=；②用放缩法确定()f x '的符号，如本例中()cos sin x h x x x x '=-.注：当02x π≤≤时，cos 1x ≤，sin 0x x -≤，x ≤()10h x '≤.题型4：证明函数不等式例4. 证明：12ln 1x xe e x x -+>.（2014年全国卷Ⅰ理第21题第2问） 解题方法：证明函数不等式一般思路是构造新的函数并求导判断其单调性，利用函数单调性结合特殊点的函数值（通常是最值）进行证明.难点：若构造一个函数求最值非常麻烦，可以将不等式适当变形，构造两个函数，转化其中一个函数的最小值大于另一函数的最大值，如本例中将不等式变形为2ln x x x xe e->-， 构造两个函数，()ln f x x x =，2()x g x xe e -=-，其中min 11()()f x f e e ==-，max 1()(1)g x g e==-. 题型5：方程有解（或方程解的个数，函数有零点，函数零点的个数）求参数范围 例5. 若关于x 的方程1xkx x e =+有解，求k 的取值范围. 解题方法：对于方程在某区间上根的个数一般利用构造函数求导得函数单调性和极值，再根据单调性和极值画出函数图象利用图象法求解. 构造函数时可以构造一个函数也可以构造一对函数. 如本例中，若方程变形为10x kx x e --=，可以转化为1()x f x kx x e =--与x 轴有交点； 若方程变形为1(1)1x xe k k =≠-，也可以转化为()x g x xe =与直线11y k =-有交点； 若方程变形1(1)x k x e -=，还可转化为1()x h x e =与直线(1)y k x =-有交点，再转化为相切问题. 题型6：不等式恒成立（或有解）求参数范围例6：若当0x >, 且0x ≠时，ln 1ln 11x x k x x x x+>++-，求k 的取值范围. （2011年全国卷理第21题第2问）解题方法：函数不等式恒成立求参数范围问题一般思路为构造函数转化为最值问题. 构造函数的方法一般有两种，一种是将不等式变形构造含参数的函数，另一种是分离参数构造不含参数的函数，对于第一种构造的函数，需要利用逐段筛选讨论法求解，有时可取未知数的特殊值来缩小参数的范围，减少讨论的情况.难点：构造函数有讲究：将不等式适当变形，构造便于研究单调性的函数 若不等式变形为ln ln 111x x x x k x x -<-+-，可构造函数ln ln ()11x x x x f x x x =-+-，求导得 22222(1)ln 2(1)()(1)x x x f x x ++-'=-，单调性不容易研究； 若不等式变形为221(1)(1)2ln 01k x x x x ⎡⎤--+>⎢⎥-⎣⎦，可构造函数2(1)(1)()2ln k x g x x x --=+. 可取一些求知数x 的值代入去ln 1ln 11x x k x x x x+>++-缩小参数k 的范围，如取2x =，得41ln 213k <-<，接下来只需要在1k <的范围内去讨论()g x 的单调性.四．且行且思，对导数复习的几点思考1．把握高考动态，夯实基础知识：紧扣教材，准确把握概念、法则，夯实学生解题的规范性；总结高考规律，明确考点要求，抓主线，攻重点，求突破.2．总结解题规律，熟悉常见转化总结解题规律是找到一类题的解题方法、答题规律，从而提高解题效率；熟悉常见转化，就能把不熟悉的问题转化为比较熟悉的问题，从而运用已有的数学知识经验解决新问题.3．渗透思想方法，注重知识交汇数学思想方法是数学的灵魂，在教学过程中渗透数形结合、化归转化、分类讨论等数学思想方法，能提高教学效果，更能提高学生构造函数能力、画图、看图、用图能力等解题能力. 注意导数知识与其它章节的联系，对于知识的交汇问题，重点放在逻辑思维、推理能力的培养上，尽量减少繁杂运算.4．针对学生水平，落实查缺补漏对于学生导数内容掌握欠缺的方面，教师要加以提醒、点拨，使学生的思考能走向深入；对于学生出现的错误，教师应及时纠正，并帮助学生分析错误的原因，从而达到易错不错，错过不再错的目的.总之，一轮复习是高考备考的关键.把握考点，才能有的放矢；层层递进，才能个个击破；突破难点，才能冲刺高分.。
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浅谈新课标全国卷导数命题背景.
近几年高考题的导数压轴经常以微积分里的重要定理作为背景，但纵观命题人给的答案，很多是所谓结合高中知识巧妙构造等等，颇有把考生玩弄于股掌之间的味道.结合高等数学部分容，我们来研究下近几年高考真题的本质： 例1.（2014卷）已知函数()cos sin ,[0,]2
f x x x x x π
=-∈，
（1）求证：()0f x ≤ （2）若sin x
a b x
<
<在(0,)2π上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值
第（1）问很简单，求导后容易得到结论 第（2）问我们令()sin π02x g x x x ⎛⎤
=,∈, ⎥⎝⎦
，
则()2
cos sin x x x
g x x ⋅-'=，由⑴知，()0g x '≤， 故()g x 在π02⎛⎤, ⎥⎝⎦
上单调递减，从而()g x 的最小值为π2
2πg ⎛⎫= ⎪⎝⎭，
故2
π
a ≤，a 的最大值为2π.
接下来b 最大值肯定在x 等于0处取到，代入x ＝0，我们发现出现了0
0的情况，只用初等数学我们无法求解，其实本题就用到了微积分里两个重要极限之一0sin x
lim 1x
x →＝，接下来我
们来证明一下这个结论 令
()f x ＝sinx ，由导数定义得()f x '＝0sin lim x x x x x x
→+Δ（+Δ）
（Δ）-＝cosx ，
那么
()0f '＝0sin lim
0-0
x x x →+Δ（0+Δ）（Δ）＝0sin x
lim x x →＝0lim x →cosx ＝1，那么显然第（2）小问里b 的最小值就是1
评注：本题结合了极限0sin x
lim
1x
x →＝进行命制，并且它的证明过程就是高中数学课本里对导
数的定义，很多老师为了方便讲解直接跳过该定义讲解导数几何意义，笔者认为这是一个很
大的失误，所以在复习时以前没有着重讲解的定义需要额外关心，考场上遇到所谓冷门知识时才能应付自如，游刃有余.
高等数学里还有个重要极限就是lim
e 1x
x x
→∞
＝（1+）
，稍后我们进行讨论.
上面两个极限是导数与微分的容，在上完导数与微分后，我们将会接触到3个微分中值定理：罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理
罗尔中值定理：，曲线弧 （方程为 ）是一条连续的曲线弧，如果弧的两端点纵坐标相等，那么弧上至少有一点 ，曲线在该点切线是水平的
拉格朗日中值定理：如果函数 f(x) 满足： 1)在闭区间 [a,b]上连续； 2)在开区间(a,b)可导。
那么：在(a,b)至少有一点ξ(a<ξ<b)，
使等式()()()f b f a f b a
ξ-='-成立
柯西中值定理：如果函数f(x)及F(x)满足 (1)在闭区间 [a,b]上连续； (2)在 开区间(a,b)可导； (3)对任一x ∈(a,b)，F'(x)≠0 那么在(a,b) 至少有一点ξ， 使等式()()()()()
()
''f b f a f F b F a F ξξ-=-成立
其中，在柯西中值定理里当b →a 时，我们会得到求取
不定式极限的洛必达法则： (1)当x →a 时，函数f(x)及F(x)都趋于零； (2)f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0，那么有
例2.（2011新课标全国卷）已知函数()1f x x x
=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。
（Ⅰ）求a 、b 的值；
（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x k
f x x x
>
+-，求k 的取值围。