[整理]在数学教学中培养学生的创造性思维

1 1 2 ，在教师的点 已知： 1 a 1,1 b 1, 求证： 2 2 1 ab 1 a 1 b
评帮助下，学生给出了四种不同的证法：作差比较法、综合法、分析法、三 角换元法。教师对此感到满意，也潜意识认为没有其他证法了。但此时学生 的思维大门已经开启，有的学生还想跃跃欲试，学生 1 展示了他的新探究：
1
1）定义 f(k)=k+1，k Z； 2）若 2k<x<2k+1，定义 f(x)=2k+1+ ( x 2k ) ； 3）若 2k+1<x<2k+2，定义 f(x)=2k+2+ [ x ( 2k 1)] ；
1
命题：如此定义的函数 f(x)满足函数方程 f[f(x)]=x+2.
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6，点M到这两个定点的距离的平方和为 26，求点的轨迹方程） ，还可以提 出下列问题：问题 3 平面内到两定点F 1 ，、 F 2 的距离的平方积、商分别等于 常数的点的轨迹是什么？问题 4 平面内到定点F距离的平方与到定直线L 的距离的平方和等于常数的点的轨迹是什么？ 三、培养想象力。想象是思维探索的翅膀。数学想象一般有以下几个基 本要素。第一，要有扎实的基础知识和丰富的经验支持。第二，要有能迅速 摆脱表象干扰的敏锐的洞察力和丰富的想象力。 第三， 要有执著追求的情感。 因此，培养学生的想象力，首先要使学生学好有关的基础知识。其次，根据 教材潜在的因素，创设想象情境，提供想象材料，诱发学生的创造性想象。 另外，还应指导学生掌握一些想象的方法，像类比、归纳等。例如在一节高 三复习课上，我准备用一题多解的开放视角引导学生探索如 | y1 | 2 cos 2 2 2 | x1 || y1 | cos 2 1 cos 2 2 , 2 | x1 || y1 | cos 2 1 cos 2 2 只需证明：
cos( 1 2 ) cos 2 1 cos 2 2 ，即证明 cos 2 ( 1 2 ) cos 2 1 cos 2 2， 即证明： 即证明： 1 cos （2 1 2 2） 2 cos 2 1 cos 2 2， 即证明： 1 cos 2 1 cos 2 2 sin 2 1 sin 2 2 2 cos 2 1 cos 2 2 , 即证明： 1 cos(2 1 2 2 )，得证。

| x1 | 2 cos 21 | y1 | 2 cos 2 2 | x1 | 2 | y1 | 2 cos 21 cos 2 2
1 1 1 ab | x1 || y 2 | cos( 1 2 ) 只需证明 | x1 | 2 cos 2 1 | y1 | 2 cos 2 2 | x1 | | y1 | cos 2 1 cos 2 2
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重要的结果， 有规律性的发现？能否形成独到的新见解， 有自己的小发明？ 等等。通过不断地想象，让学生的思维能够持续飞翔，从而不断培养学生丰 富的想象力。 四、培养发散思维。在教学中，培养学生的发散思维能力一般可以从 以下几个方面入手。比如训练学生对同一条件，联想多种结论；改变思维角 度，进行变式训练；培养学生个性，鼓励创优创新；加强一题多解、一题多 变、一题多思等。特别是近年来，随着开放性问题的出现，不仅弥补了以往 习题发散训练的不足， 同时也为发散思维注入了新的活力。 下面是我在教学 实践中遇到的一个例子，事情缘起于一本教辅读物的一个练习题：求f(x), 使f(x)满足f[f(x)]=x+2……… (1)，书后的答案是 f(x)= x+1。该题本意是在学生 学习了函数的基本概念之后， 通过一次函数复合的具体例子， 让学生体会复 合函数的概念。这样的设计思想是不错的，但是题目中没有明确给出“f(x) 是一次函数”的条件，给学生造成了困惑。不少学生要求解释这道题。当被 告之应加上“f(x)是一次函数”的条件后，许多学生认为“f(x)是一次函数” 的条件可由（1）推出，有些学生则认为根据不充分。在这样的情况下，求 出函数方程（1）的一个非线性解的兴趣被唤起，我不愿放过这样一个能让 学生开阔数学眼界，提升思维深度的大好机会。于是，我开始探究能否构造 一个满足（1）的非线性函数的例子。 在具体进行构造之前，有必要了解f(x)的一些基本性质，以便构造时有 正确的方向。由（1）知，f(x)定义域和值域都是一切实数；如果有x 1 ,x 2 使 f(x 1 )=f(x 2 ) ，则f(f(x 1 ))=f(f(x 2 ))；函数的复合满足结合律，即(f。f)。f(x)= f。 (f。f)(x)，由此得到f(x+2)=f(x)+2……（2）因此，我们只要对满足 0 x <2 的 实数x定义f(x)， 然后按照 （2） 将f(x)的定义延拓到整个实数轴上即可。 令 ( x) 为任意一个定义域和值域都为开区间（0，1）的有反函数的函数，它的反函 数记为 ( x) 。下面k总表示整数，定义f(x)如下：
2 2

2 | x1 || y 2 | cos( 1 2 )
即证明： | x1 | 2 cos 2 1 | y1 | 2 cos 2 2
2 | x1 || y1 | cos 2 1 cos 2 2 cos( 1 2 ) 2 | x1 || y1 | cos 2 1 cos 2 2 ， cos( 1 2 )
用向量来证明不等式， 也是方法上的创新， 这两种证法都体现了学生的大胆 想象力、 探究精神和解题机智。 一个懂得如何学习的学生在课堂上的想象力 是非常丰富的，一个好的教师也应该懂得怎样来培养和保护学生的想象力。 有时候，学生的想象力可能是“天马行空” ，甚至是荒唐的，这时候教师还 要注意引导： 解题是否浪费了重要的信息？能否开辟新的解题通道？解题多 走了哪些思维回路？思维、 运算能否变得简洁？是否有方法的创新？能否对 问题蕴涵的知识进行纵向深入地探究， 梳理知识的系统性？能否加强知识的 横向联系，把问题所蕴涵孤立的知识“点”扩展到系统的知识“面”？为什 么有这样的问题， 它和哪些问题有联系？能否受这个问题的启发， 得到一些
在上面的函数中，函数 的选取有很大的任意性。下面是几个例子： 例 1．如取 (x)=x (0<x<1)，容易验证此时 f(x)=x+1 例 2．如取 (x)=x 2 (0<x<1)和 ( x)
1 1 a 2 a 4 a 6 , 2 1 a 1 又 1 b 2 b 4 b 6 , 2 1 b
1 1 2 (a 2 b 2 ) (a 4 b 4 ) (a 6 b 6 ) , 2 2 1 a 1 b 2 2ab 2a 2 b 2 2a 3 b 3 2 2(1 ab a 2 b 2 a 3 b 3 ) 1 ab
用无穷等比数列的和的公式来证明不等式本身就是一种创新， 应该说思维非 常巧妙。 学生 2 同样展示了他的新探究： 不等式条件可加强0 a、b 1,
设 x1 (1, a ), x 2 (1, a), y1 (1, b), y 2 (1,b), 则 | x1 || x 2 |, | y1 || y 2 |, 1 a 2 x1 x 2 ,1 b 2 y1 y 2 ,1 ab x1 y 2 , 设 x1与x轴夹角为1， y1与x轴夹角为 2，则有0 1、 2
2

4
, x1 x 2 | x1 | 2 cos 21 ,
y1 y 2 | y1 | cos 2 2 , x1 y 2 | x1 || y 2 | cos(1 2 ),
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1 1 1 1 2 2 2 2 1 a 1 b | x1 | cos 21 | y1 | cos 2 2
0 1 [ x (2k 1)] 1，由于此时f ( x) 2k 2 1 [ x (2k 1)]， 故2k 2 f ( x) 2k 3，也即2(k 1) f ( x) 2(k 1) 1，从而 f [ f ( x)] 2(k 1) 1 [ f ( x) 2(k 1)] 2k 3 [ 1 ( x (2k 1))] 2k 3 x (2k 1) x 2.证毕。
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证明：若x是整数，命题显然成立。如2k x 2k 1， 则0 x 2k 1， 0 ( x 2k ) 1，由于f ( x) 2k 1 ( x 2k )， 故2k 1 f ( x) 2k 2，从而f [ f ( x)] 2k 2 1 [ f ( x) (2k 1)] 2k 2 1 [ ( x 2k )] 2k 2 x 2k x 2， 同理，若2k 1 x 2k 2，则0 x (2k 1) 1
在数学教学中培养学生的创造性思维
在数学教学中培养学生的创造性思维是时代的要求。 要培养学生的创造 性思维， 就应该有与之相适应的， 能促进创造性思维培养的教学方式。 当前， 数学创新教学方式主要有以下几种形式： 1 、开放式教学。 这种教学在通常情况下， 由教师通过开放题的引进， 在学生参与下解决， 使学生在问题解决的过程中体验数学的本质， 品尝进行创造性数学活动的乐 趣。开放式教学中的开放题一般有以下几个特点。一是结果开放，一个问题 可以有不同的结果；二是方法开放，学生可以用不同的方法解决这个问题； 三是思路开放，强调学生解决问题时的不同思路。 2 、活动式教学。 这种教学模式主要是让学生进行适合自己的数学活动，包括模型制作、 游戏、行动、调查研究等，使学生在活动中认识数学、理解数学、热爱数学。 3 、探索式教学。 采用“发现式” ，引导学生主动参与，探索知识的形成、规律的发现、 问题的解决等过程。 要培养学生的创造思维能力， 应当在数学教学中充分有效地结合上述三 种形式（但不限于这三种形式） ，通过逐步培养学生的以下各种能力来实现 教学目标： 一 、培养学生的观察力。敏锐的观察力是创造思维的起步器。那么， 在课堂中，怎样培养学生的观察力呢？第一，在观察之前，要给学生提出明 确而又具体的目的、任务和要求。第二，要在观察中及时指导。比如要指导 学生根据观察的对象有顺序地进行观察，要指导学生选择适当的观察方法， 要指导学生及时地对观察的结果进行分析总结等。 第三， 要科学地运用直观 教具及现代教学技术， 以支持学生对研究的问题做仔细、 深入地观察。 第四， 要努力培养学生浓厚的观察兴趣。 二、 培养领悟力。 数学领悟力是可以在学习数学的过程中逐步成长起来 的。 在平时的数学教学中应该善于启发学生认识和理解所学的知识， 并能熟 练的掌握数学的基本方法和基本技能， 通过培养学生的领悟能力， 优化学生 的数学思维品质，让学生达到“真懂”的地步。例如：上圆锥曲线复习课时， 当复习完椭圆、双曲线、抛物线的各自定义及统一定义后，突然有一学生提 问：平面内到两定点F 1 ，、 F 2 的距离的积等于常数的点的轨迹是什么？这一 意料外的问题使思路豁然开朗， 我们也可以顺势提出以下问题引导学生， 让 学生探索：问题 1 平面内到两定点F 1 ，、 F 2 的距离的积、商等于常数的点的 轨迹是什么？问题 2 平面内到定点F的距离与到定直线L的距离的和等于 常数的点的轨迹是什么？若联想到课本第 61 页第 6 题（两个定点的距离为