线代08-09-1试题B-解答

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2008-2009学年线性代数试卷A及答案

华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2008-2009学年第2学期考试科目：线性代数考试类型：（闭卷）考试时间： 120 分钟学号姓名年级专业题号一二三四五六总分得分评阅人试卷说明: T A 表示矩阵A 的转置矩阵，*A 表示矩阵A 的伴随矩阵，1A -表示矩阵A 的逆矩阵，A 表示方阵A 的行列式, R (A )表示矩阵A 的秩, I 是单位矩阵.一. 选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题的选项中，只有一项符合要求，把所选项前的字母填在题中括号内1. 设n B A 均为,阶方阵，满足等式0=AB ，则必有( C )(A) 0=A 或 0=B(B) 0=+B A () 0||=A 或 0||=B(D) 0||||=+B A2. 已知,,A B C 均为n 阶可逆方阵，且ABC I =，则下列结论必然成立的是( C )(A) ACB I = (B) BAC I = () BCA I = (D) CBA I =3．设有n 维向量组（Ⅰ）：12,,,r ααα 和（Ⅱ）：12,,,()m m r ααα> ，则( B )(A) 向量组（Ⅰ）线性无关时，向量组（Ⅱ）线性无关() 向量组（Ⅰ）线性相关时，向量组（Ⅱ）线性相关 (C) 向量组（Ⅱ）线性相关时，向量组（Ⅰ）线性相关 (D) 向量组（Ⅱ）线性无关时，向量组（Ⅰ）线性相关4．设n 元齐次线性方程组AX =0的系数矩阵A 的秩为r ，则AX =0有非零解的充分必要条件是( B )5. Matlab 软件中, 在命令窗口输入[1:3][321]'*, 显示ans=( D )二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）6. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010021A ，则=-1A120010001-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭． (A) r=n() r<n(C) r ≥n(D) r>n(A) 7 (B) 8 (C) 9 () 107. 设t ηηη,,,21 及t t ηληληλ+++ 2211都是非齐次线性方程组b A =X 的解向量，则=+++t λλλ 21______1__________.8. 矩阵20002023A a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与矩阵10002000B b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦相似, 则a b += . 9. 设123,1,1),0,2,3),1,0,1),k ααα===（（（则当k = 时，α1,α2,α3 线性相关.10.设A 为三阶方阵，其特征值2,1,3,- 则*A = ．11.已知二次型222123112132233(,,)2245f x x x x tx x x x x x x x =+-+++正定, 则t 的取值范围为．三、计算题12.(7分) 已知100110,021A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭131011,002B ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭求:2T A AB +13.（8分）计算下列行列式3214214314324321四、解方程组14. (10分)求方程组123412341234311232x x x xx x x xx x x x⎧⎪--+=⎪-+-=⎨⎪⎪--+=-⎩的通解.五、解答题15.（10分）求下列向量组的秩，并求一个最大无关组：a1=(1, 2,-1, 4)T,a2=(9, 100, 10, 4)T, a3= (-2,-4, 2,-8)T．16. (8分) 已知1121 342 012A--⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭，求A的伴随矩阵*A．17.(12分) 设212122221A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求一个正交阵P ，使1P AP -=Λ为对角阵．六、证明题18.(6分) 设向量组322211,a a b a a b +=+= 433,a a b += 144,a a b +=, 证明向量组4321,,,b b b b 线性相关.2008—2009第二学期《线性代数》（A ）参考答案和评分标准一. 选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1. C2. C3. B4. B5. D二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）6. 120010001-⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭ 7. 18. 8 9. -1/2 10. 36 11. 405t -<<三、计算题12.T T A AB A E B 2(2)+=+=1001001001102010310021001112⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎪ ⎪ ⎪-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦3分100300110330021114⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭ 5分 300030754⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭7分 13.将行列式第2、3、4列加到第1列上，得3214214314324321=32110214101431043210=101110222031104321------ 4分=10400440311--- 6分=160 8分14.11110111101111011131002410024111231/200121/200000⎛⎫⎛⎫⎛⎫------ ⎪ ⎪ ⎪--→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 4分 x x x x x x 1234340241--+=⎧⎨-=⎩，x x x x x x x x 1324132431-=-⎧⎨+=++⎩， 5分取x x 2400⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得*120120η⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 6分取x x 2410,01⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，x x 1311,02⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 8分得齐次方程组基础解系为121110,0201ξξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 9分通解为x x k kx x 12123411120101022010⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭10分 15. 192192192210040820010110201900004480320000A ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦6分rank(A)=2 7分所以向量组的秩为2． 8分 a 1=(1, 2, -1, 4)T , a 2=(9, 100, 10, 4)T 不成比例，所以 a 1，a 2为最大无关组. 10分16. 因为1*1,||A A A -=2分*1111||||A A AA A ---==4分 1||1A -=- 6分*1||1*A A -=-=121342012--⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭8分17.123(1)(1)(5),1,1,5A E λλλλλλλ-=-+--=-==， 3分对应于11λ=-，由 ()0A E x += 得111122ξ-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，单位化，得111162p -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭； 6分对应于21λ=，由 ()0A E x -= 得2110ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，单位化，得211120p -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 8分对应于35λ=，由 (5)0A E x -= 得3111ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，单位化，得311131p ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭． 10分 11162311162321063P ⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，有1100010005TP AP P AP --⎛⎫⎪==Λ= ⎪ ⎪⎝⎭． 12分18. 设有4321,,,x x x x 使得044332211=+++b x b x b x b x即0)()()()(144433322211=+++++++a a x a a x a a x a a x 3分整理得 01100011000111001)(43214321=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x x a a a a 4分而011000110001110014321=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛x x x x 有非零解，所以结论成立 6分。

08级《线性代数与空间解析几何》试题B参考答案

《线性代数与空间解析几何》试题(B)参考答案与评分标准(090209)一、单项选择（每小题3分，共15分）1.D2.A3.B4.A5.C二、填空题（每小题2分，共10分）1. 3,2. 0,3. 2240x y z ⎧+=⎨=⎩, 4. 43-三、计算题（每小题10分，共30分）1.解 1201120112011001471201120112010001120112001200122322012400000000⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，3 分向量组的秩为3，一个最大无关组123,,ααα7(22)+ 分 4132ααα=-。

9 分2.解 21111(2)(1)11λλλλλ=+-，3 分12,4λλ≠≠- 当且时方程组有唯一解分2λ=-当时，方程组无解6 分(结论1分，过程1分)1λ=当时，方程组有无穷多解,7 分通解12111010001x k k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭9 分 3.解二次型对应的矩阵为122224242A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭1 分 2122||224(2)(7)242I A λλλλλλ---=+-=-+--+，特征值为1232,7λλλ===-3 分12122122222,244000,1,024400001I A λλαα---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-=-→== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭当时基础解系，5 分 82220117,254011,22450002I A λλα---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--=--→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭3当时基础解系，7 分222123132,,2273203X CY C f y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===+- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭经过正交化、单位化，正交变换标准型 9 分四、计算题（每小题8分，共24分）1.解，设所求平面的法向量为n ，则12(6,3,2),(4,1,2)n n n n ⊥=-⊥=-2 分12632(4,4,6)412i j kn n n =⨯=-=---取，5 分所求的平面方程 2230x y z +-=。

线代08-09-1(B)试题

2008—2009第一线性代数（B ）卷数理学院全校各专业（答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）一、填空题：（每小题5分，共15分）1. 行列式中如果有两行或两列成比例，则该行列式的值为_________ ..2.设方阵A 有一特征值为λ，则2()234f A E A A =++的一个特征值为___3.设矩阵1101000A k k ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是正定阵，则k 满足的条件是_________.二、单选题（每小题3分，共15分）1. 设A ，B 都是n 阶矩阵，且0=AB ，则下列成立的是（）（A ）00＝或B A =；（B ）A ,B 都不可逆；（C ）A ,B 中至少有一个不可逆；（D ）A +B ＝02. 下列叙述正确的是_________A. 任意矩阵A , B 满足 AB =BA.B. 任意矩阵A B 满足AB =0 推出 A =0.C ．任意n 阶矩阵A 满足 E A A A =*D. 任意矩阵A, B 满足 |AB |=|BA |.3. 设n 元齐次线性方程组AX ＝0的系数矩阵A 的秩为r ，则方程组AX ＝0有非零解的充分必要条件是（）)(A n r =； )(B n r ≥； )(C n r < )(D n r >4. 下列叙述正确的是_________A. 矩阵的秩等于列向量组的秩+1.B. 矩阵的秩等于列向量组的秩-1.C. 只含零向量的向量组的秩为1.D. 矩阵n m A ⨯与n l B ⨯的行向量等价的充要条件是 AX=0 与 BX=0 同解.课程考试试题学期学年拟题学院（系）: 适用专业:5. 3阶矩阵A 与100020003⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭相似，则（） (A) 1,-2,3是矩阵A 的特征值 (B) 1,-2,3都不是矩阵A 的特征值(C) 1,-2,3中只有一个是矩阵A 的特征值 (D) 1,-2,3中有两个是矩阵A 的特征值三、计算行列式（共14分）1．计算下列4阶行列式4x aa a a xa a D a ax a a a a x= （7分） 2. 设3阶矩阵A 的特征值为1，－1，2，263,||.求B A A E B =-+（7分）四、（10分）4 设向量组 A ：m a a a ,,,21 无关。

2008-2009第二学期线性代数试卷及标答(B卷)

12n n n b b b ；12312⎛⎫ ⎪，2⎛武汉理工大学教务处试题标准答案及评分标准用纸课程名称:线性代数（ A 卷）一、填空题（每小题3分，共15分）1、2A E +；2、1；3、4；4、3；5、 0.二、选择题（每小题3分，共15分）1、C2、C3、A4、D 5 、B三、解答题（每小题7分，共35分）1、 2212111nn nn i i n b b a b b D a b b a b =+⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦+∑ ………………………………………………………（3分） 11n i iaa b a =⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦∑ ………………………………………………………………（6分）11n n i i a b a -=⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦∑…………………………………………………………………………………（7分） 2、因为()123240,312402231024A B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭……………………………………………………………（2分） 553100444333010444131001222r r ⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪−−→−−→- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭………………………………………………（6分）所以 X=55313334262-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭………………………………………………………………（7分） 3、因 22|3|3||T AA A =29||A = ……………………………………………………（5分）2229()a b =+。

……………………………………………………（7分）4、设10,T X α= 即123220x x x ++= ……………………………………… （2分）解得基础解系12221,001ηη--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

……………………………………… （4分）Schmidt 正交化12,ηη，得到222132222252[,]41,[,]501ηααηαηααα⎛⎫- ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭即为所求。

2008-2009(1)高等数学试题(B卷)(90)答案

广州大学2008-2009学年第一学期考试卷参考答案课程：高等数学（B 卷）（90学时）考试形式：闭卷考试一．填空题（每空2分，本大题满分16分）1．设⎩⎨⎧≤>=002x x x x x f ,,)(，则=-))2((f f 4 .2. 若函数 ⎩⎨⎧>+≤=112x b ax x x x f ,,)( 在1=x 处可导，则=a 2 ，=b -1 .3．0=x 是x xy sin =的第一类间断点，是xy 1si n =的第二类间断点。

4．已知10=')(x f ，则=--+→hh x f h x f h )()(lim0002 .5．设)(),(x G x F 是)(x f 的两个原函数，则='=')()(x G x F )(x f ，='-])()([x G x F ___0___.二．选择题 (每小题3分, 本大题满分15分)学院专业班级姓名1. 当0→x 时, 12-x e是2x 的( C )无穷小.(A) 高阶 (B) 低阶 (C) 同阶 (D) 等价 2. 函数3x y =在点(1,1)处的切线方程为 ( B ).(A) 23--=x y (B) 23-=x y (C) 23+=x y (D) 13+-=x y 3．设)(x f 的一个原函数是x cos ，则='⎰dx x f x )( ( A ). (A) C x x x +--cos sin (B) C x x x +-cos sin (C) C x x x +-sin cos (D) C x x x ++-sin cos .4. 若函数)(x f 在点0x x =可导是)(x f 在点0x x =连续的（ A ）。

(A) 充分条件 (B) 必要条件 (C) 充要条件 (D) 无关条件.5.设)(x f 在区间I 内具有二阶导数，且在I 内0>'')(x f ，则)(x f 在I 内是( B ).(A) 凸函数 (B) 凹函数 (C) 周期函数（D ）单减函数三．解答下列各题（每小题6分，本大题满分30分）1．2211xx y +-=ln ，求dy . 解：)ln()ln(2211x x y +--=221212x xx x y +--=' 144-=x x………………………………………………………………..4分 dx x xdx y dy 144-='=∴……………………………………………….6分2．=y x e 2，求n 阶导数).()(0n y .解：,xe y 22=',x e y 222='',x e y 232=''',)()(x n n e x y 22=∴……………………………………………………………4分 .)()(n n y 20=∴………………………………………………………………..6分3．设曲线参数方程为)(sin cos 0>>⎩⎨⎧==b a tb y ta x ，求dxdy . 解：dt dxdt dy dx dy =………………………………………………………………….3分 t ab t a t b cot sin cos -=-=……………………………………………….6分4．求321x x x )sin (lim +→.解：22223123211x x xx x x x x sin sin)sin (lim )sin (lim ⋅→→+=+2231201⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=x x x x x sin sin )sin (lim …………………………………………….3分3e =…………………………………………………...……………………….6分5．求⎪⎭⎫⎝⎛--→x x x ln lim 1111.解：=⎪⎭⎫⎝⎛--→x x x ln lim 1111⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+→x x x x x ln )(ln lim 111……………………………….2分 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-+=→x x x x x 1111ln lim⎪⎭⎫⎝⎛+--+=→111x x x x x ln lim ………………………………………………………4分 ∞= …………………………………………………………..…..6分四．计算下列积分（每小题6分，本大题满分18分）1．xdx x 22⎰cos . 解：x d x xdx x 221222sin cos ⎰⎰=()dx x x x x ⎰⋅-=222212sin sin ……………………………………………..2分 ()x d x x x 22212cos sin ⎰+= ()xdx x x x x 222212cos cos sin ⎰-+=……………………………………4分 C x x x x x +⎪⎭⎫⎝⎛-+=22122212sin cos sin ………………………….…..…..6分 2．⎜⎠⎛-220221dx xx .解：令t x sin =，则tdt dx cos =⎜⎠⎛-=⎜⎠⎛-40222202211πtdt t t dx x xcos sin sin ……………………..………....2分 dt t ⎰=402πsin ……………………..…………………………………………..3分dt t ⎰-=4221πcos 40422π⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t t sin ………………………………………………………….….5分.418-=π……………………..……………………………………………….6分3．⎰∞++12211dx x x )(.解：⎰∞++12211dx x x )( ⎰∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=122111dx x x…………………………………………………...….2分 +∞⎪⎭⎫⎝⎛--=11x x arctan ……………………..………………………………....4分 .41π-=………………………………………………………………………..6分六．（本题满分6分）计算由抛物线2x y =与x y =所围图形绕x 轴旋转一周所得立体的体积. 解：根据旋转体体积公式知dx x x V ⎰-=142)(π……………………..…………………………………3分105353⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=x x π π152=………..………………………………………………………………6分七．（本题满分7分）1．证明当0>x 时，有x x x >++212)ln(. 证明：令x x x x f -++=212)ln()(，………………………………...2分则当0>x 时，011112>+=-++='xx x x x f )(，……………………….4分x x x x f -++=212)ln()(在),(+∞0上严格单调递增。

08-09年第二学期《线性代数Ⅱ》课程考试试卷B答案

2008─2009学年第二学期《线性代数Ⅱ》课程考试试卷B 答案注意：1、本试卷共 3 页； 2、考试时间120分钟一、单选题 (每小题 2 分，共 20 分)1.设A 为n 阶方阵，且2,n ≥则5A -等于（ A ）；(A ) (5)n A -； (B ) 5A -； (C ) 5A ； (D ) 5nA .2.设,,A B C 为同阶方阵，则()T ABC 等于 ( B )；(A ) T T T A B C ； (B ) T T T C B A ； (C ) T T T C A B ； (D ) T T T A C B .3.设矩阵1122A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则和A 等价的矩阵是( B )；(A ) 1022A ⎛⎫= ⎪⎝⎭；(B ) 1313A ⎛⎫= ⎪⎝⎭；(C ) 111222A ⎛⎫= ⎪⎝⎭；(D ) 112222A ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭. 4.若向量组s ααα,...,,21，(2s )线性无关的充要条件是（ D ）； (A ) s ααα,...,,21 均不为零向量；(B ) s ααα,...,,21中任意两个向量不成比例； (C ) s ααα,...,,21任意s-1个向量线性无关；(D ) s ααα,...,,21中任意一个向量均不能由其余s-1个向量线性表示.5.已知12,ββ为非齐次线性方程组Ax b =两个不同的解，12,αα为其导出组0Ax =的一个基础解系，12,c c 为任意常数，则Ax b =的通解可以表示为（ A ）；(A ) )()(212121121αααββ++++c c ；(B ) )()(212121121αααββ+++-c c ；(C ) )()(212121121ββαββ-+++c c ；(D ) )()(212121121ββαββ+++-c c . 6.设A 为n 阶方阵，且032=-+E A A则=+-1)2(E A （ A ）；(A ) E A -；(B ) E A +；(C ))(31E A -；（D ）)(31E A +. 7．设n 阶可逆方阵A 有一个特征值为3，对应的特征向量为x, 则下列等式中不正确的是（ B ）；()3A Ax x = 1()3B A x x -= 11()3C A x x -= 2()9D A x x =.8.写出二次型1231213(,,)22f x x x x x x x =+的规范形（ C ）；（A ）221222y y -；（B ）221222y y +；（C ）2212y y -；（D ）2212y y +. 9.设3阶矩阵A 与B 相似,A 的特征值为4,2,3. 则B 等于（ D ）；1()24A ； 1()9B ； ()9C ； ()24D .10.二次型212311323(,,)44f x x x x x x x x =++的矩阵为（ D ）；(A ) 104004440⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；(B ) 1022002000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；(C ) 1002000220⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；(D ) 102002220⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.二、计算下列行列式 (每小题6分，共12分)1．123233249499367677=02．1115115115115111=512三峡大学试卷纸教学班号序号学号姓名…………………….………….………………试题不要超过密封线………….………………………………三、计算矩阵 (共20分)设111210101A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，123120001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭求（1）A AB 23-；(5分) （2）B A T；（5分）（3）判断矩阵A 是否可逆？若可逆，求1-A .（10分）解：（1）242126124AB ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ (2)2421114108323126221018181241011610AB A -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (5)（2）12112336411012000310*******TA B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭………10 （3）40A =-≠，故A 可逆，……………………13 并且**1111222, (17)113111111222444113111 (204)222113444A A A A ----⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪===- ⎪- ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭四、(每小题4分，共16分)已知向量组13125α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭21112α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭32013α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭41101α⎛⎫⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(1)若123430αααβ+--=，求β；(2)求向量组的秩),,,(4321ααααR ；(3)求向量组4321,,,αααα的一个最大无关组； (4)将其余向量组用此最大无关组线性表示.解：（1）1135383193β⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (4)（2）31211011110101122110000052310000A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---⎪ ⎪=→⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭向量组的秩),,,(4321ααααR =2 (8)（3）向量组4321,,,αααα的一个最大无关组为12,αα (12)（4）312412,2αααααα=-=- (16)三峡大学试卷纸教学班号序号学号姓名…………………….………….………………试题不要超过密封线………….………………………………五、(共15分)求下列非齐次线性方程组的通解及对应的齐次方程组的基础解系：123451234523451234513235226254337x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=-⎧⎪+++-=-⎪⎨+++=⎪⎪+++-=-⎩ 解111111101153321135012262012262000000543317000000-----⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪ ⎪→⎪ ⎪⎪⎪--⎝⎭⎝⎭因R(A)=R(A,b)=2 5.故有无穷解. (5)原方程组的同解方程组为13452345532262x x x x x x x x =++-⎧⎨=---+⎩ (7)特解*32,000η-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (9)齐次的基础解系123115226,,100010001ξξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (13)通解为*112233k k k ηηξξξ=+++(123,,k k k 为任意常数) (15)六、(共17分) 设矩阵100032023A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.(1)求矩阵A 的特征值和特征向量；（2）求一正交矩阵P ，使得AP P 1-为对角矩阵.解：（1）10032(1)(1)(5)0023A E λλλλλλλ--=-=---=- 得A 的特征值为1231,5λλλ===……………4 对应121λλ==，解方程0)(=-x E A 得特征向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1101ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0012ξ (8)1ξ，2ξ为对应于121λλ==的特征向量.对应53=λ，解方程0)5(=-x E A 得特征向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1103ξ (10)3ξ为对应于53=λ的特征向量.(2)将321,,ξξξ单位化有,11021,001,11021321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=P P P ......... (12)令),,(321P P P P =（不唯一）有⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-5000200011AP P (15)三峡大学试卷纸教学班号序号学号姓名…………………….………….………………试题不要超过密封线………….………………………………。

线性代数第9章习题答案

思考题9-11.是。

因为T =PAP B 可写成()T T T =P AP B ，记T =M P ，则.T=M AM B 2.是。

设,T T ==P AP B Q BQ C ，则,()().T T T==Q P APQ C PQ A PQ C 3.两个实对称矩阵合同的充要条件是它们同阶且正、负惯性指数相同。

4.参考第3题5.证:设实对称矩阵A 的正、负惯性指数分别为p 和q ，则A 有p 个正特征值1,,pλλ 和q 个负特征值1,,p p q λλ++ 。

于是，存在正交矩阵Q ，使得111diag(,,,,,,0,,0),p p p q λλλλ-++= Q AQ 即 11diag(,,,,,,0,,0).Tp p p q λλλλ++=-- Q AQ 取1111222211diag(,,,,,,1,1)p p p qλλλλ----++= D ，则diag(1,,1,1,,1,0,,0),T D =-- DQ AQ 即 ()()diag(1,,1,1,,1,0,,0).T=-- QD A QD 记=P QD ，则diag(1,,1,1,,1,0,,0).T =-- P AP习题9-11.解：（1）12012021012⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A ，该二次型的秩为3. (2) 011111110-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A ，该二次型的秩为3. 2.（1）所求正交变换为2121,122,3221-⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦x Qy Q 标准形为2212()33g y y =-y ，正惯性指数为1，负惯性指数为1.(2) 所求正交变换为3,,0⎥==⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦x Qy Q 标准形为222123()22g y y y =+-y ，正惯性指数为2，负惯性指数为1.3.（1）22212312233(,,)(2)2()5f x x x x x x x x =--++，标准形为222123()25g y y y =-+y ，所作变换为122,011001-⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦x Py P . (2)解：由于该二次型中不含平方项，但含有混合项12x x ,故令11221233x y y x y y x y⎧=+⎪=-⎨⎪=⎩，可得含有平方项的二次型221231223(,,)2g y y y y y y y =-+. 对含有2y 的项配方，得2221231233(,,)()g y y y y y y y =--+.令1122333z y z y y z y⎧=⎪=-⎨⎪=⎩，则把所给二次型化为标准形222123123(,,)h z z z z z z =-+.所做的可逆变换为1123212333x z z z x z z z x z⎧=++⎪=--⎨⎪=⎩,其系数矩阵为111111001⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦P .4.规范形为222123123(,,)h y y y y y y =++，所做的可逆变换为112321233123111222111222111222x y y y x y y y x y y y ⎧=-+⎪⎪⎪=+-⎨⎪⎪=-++⎪⎩5.4, 1.a b ==±6.1,0.a b ==7.证：存在正交变换=x Qy 将该二次型化为标准形2211(),n n g y y λλ=++ y 即2211.Tn n y y λλ=++ x Ax 因为12n λλλ≤≤≤ ，所以2222111()()().n n n y y g y y λλ++≤≤++ y由x 为单位列向量及正交变换保持长度不变可知，y 也是单位向量，因而2211n y y ++= ，所以1Tn λλ≤≤x Ax .8.证：因为对于任何n 元列向量x ，都有T T=x Ax x Bx ，所以TTi i i i =e Ae e Be ，即.ii ii a b =同样也有()()()()T T i j i j i j i j ++=++e e A e e e e B e e ，即i ijj i ja a a ab b b b+++=+++. 因为,ii ii a b =所以.ij ji ij ji a a b b +=+又因为A 和B 都是实对称矩阵，,,ij ji ij ji a a b b ==所以,.ij ij a b ==A B思考题9-21. n 元正定二次型的规范形为221n y y ++ . 2.不一定。

08-09秋线性代数考试题

线性代数试题班级姓名学号第 1 页2008~2009学年秋季学期线性代数期末考试试题题目一二三四五六总分数分数评卷人一、判断题：（正确：√，错误：×）（每小题2分，共10分） 1、B A ,为n 阶可逆方阵，111)(---+=+B A B A 。

（ F ） 2、方阵A 与B 相似，则方阵A 与B 一定等价。

（ T ） 3、包含零向量的向量组一定线性相关。

（ T ） 4、若一个向量组的部分向量组线性相关，则该向量组线性相关，部分向量组线性无关，则该向量组线性无关（ F ） 5、阶数不相等的行列式一定不相等（ F ）二、填空题：(每空2分，共20分)1、六阶行列式中某项645342362115a a a a a a 带有的符号为。

2、设非齐次线性方程组的增广矩阵为B =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------21)1(002210000031011201k kk k k ，则当k 时方程组无解；当k 时方程组有无穷多个解，此时该方程组对应的齐次线性方程组的基础解系中有个向量。

3、矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=265103412033A 的行向量组的秩为。

4、已知三阶矩阵A 的行列式为2，*A 为A 的伴随矩阵，则 =+-*-A A 2)2(1 。

5、向量组()()()TTT211,113,312321-=-==ααα的线性相关性为。

6、已知方阵A 的特征值为1，2，3，则矩阵42A A E B -+=（E 为单位矩阵）的特征值是。

7、已知cdb ab cd a bdc ad c b a D =，则=+++44342414A A A A 0 。

（4,3,2,1,4=i A i 为第四列元素的代数余子式）。

8、二次型323121242x x x x x x f ++-=所对应的矩阵为。

三、计算：(每小题7分，共14分)1、已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=121101B ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=011102C求TC AB -2、设 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=423012,521121104B A , 且B X AX +=3，求X线性代数试题班级姓名学号第 2 页四、计算：(每小题8分，共32分)1、求齐次线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+-=+-+0 302042143214321x x x x x x x x x x x 基础解系和通解。

成都信息工程学院 08级线代与空解试题答案_一)[1][1]

2008——2009 学年第一学期课程名称：空间解析几何与线性代数使用班级：08级理工本科（信计、应数除外）一、1．（8分）解：{}1,10,421-=→MM ，{}7,5,31-=n ，（2分）{}50,25,75121---=⨯→n M M ，所求平面的法向量n 可取为{}2,1,3=n （3分）所求平面方程为02323=-++z y x （3分）2．（8分）解：设已知平面为π,过直线L 垂直于平面π的平面为π'过直线L 的平面束方程为:0)32(12=+--+-++z y x z y x λ （2分）即 013)1()2()21(=-+-+-++λλλλz y x由 ππ⊥' 得 0)1(2221=-+-++λλλ 5=λ （2分）0144311:'=+--z y x π （2分）所以L 在平面π上的投影直线方程为:⎩⎨⎧=-++=+--0520144311z y x z y x （2分）二、（8分）解：79237823057030572301111146563564522436335452111111111156452243633545246563D 22---=---=--=分分12222100000200572301111122-=----=分分三、（8分）解：→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--100111010012001111⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----101220012230001111 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----→101220111010001111⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----→32120111010001111 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→2312110111010001111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→231211011101021021101（6分）=-1A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----2312111121021 （2分）四、（10分）解：由1*-=A B A 左乘A 得，1*-=AA B AA ，（2分）I B A =, I AB 1=（3分）计算得4=A ，（3分）4141==I B ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛10010001（2分）五、（10分）解：λλλλλλλλλ-----------=--------=-22442242224222I A2)2(24)2(2020224+-=-------=------=λλλλλλλλλλ （2分）特征值01=λ，232-==λλ （2分）0)(011=-=x I A λλ时，由得基础解系 T)1,1,1(1--=ξ，A 的属于01=λ的全部特征向量为 )0(111≠k k ξ （2分）232-==λλ 时，得基础解系为 T T )1,0,1(,)0,1,1(22==ξξA 的属于232-==λλ的全部特征向量为 323322,k k k k ，ξξ+ 不全为0. （4分）六、（8分）证：整理得 I I A A 10)3(=- ，（2分）∴A 可逆，且)3(1011I A A-=- （2分）再整理得 I I A I A 6)4)((=-+，（2分）∴I A 4-可逆，且)(61)4(1I A I A +=-- （2分）七、（8分）证: 设设有一组数321,,x x x 使 0332211=++βββx x x （1分）0)4()3()2(133322211=+++++ααααααx x x即 0)3()2()4(332221131=+++++αααx x x x x x （1分）由321,,ααα 线性无关,得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+030204322131x x x x x x （2分）02513012401≠=，方程组只有零解 0321===x x x （2分）故向量组 321,,βββ 线性无关. （2分）八、（10分）解： →⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=211211311)(λλλλb A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---311211211λλλλ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------→3311001102112λλλλλλ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+----→)1(3)2)(1(000110211λλλλλλ （4分）（1）当1,2≠-≠λλ时，方程组有唯一解（2分）（2）当2-=λ时，方程组无解（2分）（3）当1=λ时，方程组有无穷多解此时，通解为2121,,101011002c c c c x ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=为任意常数。

中国农业大学线代B期末试题08年秋(答案)

（1）a,b 为何值时此方程组有唯一解、无解或有无穷解？（2）若有无穷解，求其通解.
第 2 页共 4 页
−1 解： B = 1 4 −1 ~ 0 0 −2 −1 0
−2 a 1 2 5 10 a 2+a 4+a
1 −1 b ~ 0 − 1 0 1 b + 1 ； − 3b
当 a + 4 = 0,−3b = 0, 即 a = −4, b = 0 时有无穷多解；---------------（10 分）
−1 这时 B ~ 0 0 −2 −1 0 −4 −2 0 1 1 1 ~ 0 0 0 0 1 0 0 2 0 − 1 − 1 0
| A − E |= −1 ≠ 0 ∴ A − E 可逆；--------------------------------(6 分)
2 B = ( A − E ) ( A − E )( A + E ) = A + E = 0 1
−1
0 3 0
1 0 .-----------------(10 分) 2
k , i = 1,2, n
∴A=O, 与 A≠O 矛盾, A 可逆 . ---------------------------------（6 分）八、(13 分) 已知矩阵 A 与 B 相似，且
1 A = a 1 a 1 b 1 0 b , B = 0 0 1 0 1 0 0 0 2
（1）求出 a,b 的值；（2）求正交矩阵 P，使 P −1 AP = B . 解：∵A 的特征值 λ1 = 0, λ 2 = 1, λ 3 = 2 ;
1 ∴ | A |= a 1 0 | A − E |= a 1 a 1 b a 0 a

2008-2009 线性代数B题及参考答案

D、 α 1 , α 2 , L , α s ( s ≥ 2 ) 都不是零向量
二、填空题，每空 3 分，共 10 空，30 分。
2 1 ,则 | A |= ( 3 2
(1)、设 A =
), A 的逆矩阵为（
）。
(2)、设 A, B 是已知的 n 阶方阵，且 | A |≠ 0 ,则矩阵方程 AX = B 中的未知矩阵 X 为（）。）;二维向量 a1 = (1,1)T , a2 = (1, 0)T 将 b = (2,3) T
(3)写出二维单位向量 e1 , e2 （
表示为 a1 , a2 的线性组合（
）。
(4)、m × n 阶线性方程组 Ax = b , R( A), R( A, b) 分别为系数矩阵的秩及增广矩阵的秩，则当（
r
）无解，当（
r
）有唯一解，当（
r r
）有无穷多解
(5)、已知 α = (1,−1,2,0) T , β = (2,1,−2,−1) T ，则 α T β = （ 1 1 (6)、三阶方阵 A 的特征值为 1, , ，则 A −1 为（ 2 3 三、计算题（每题 10 分，共 40 分）
α 3 = (2,1,2 )T
2 1 ，单位化后得 p 1 = 3 1 2
则所求正交阵为 P = ( p1 , p 2 , p 3 ) 。
50
)
(6)、向量组 α 1 , α 2 , L , α s ( s ≥ 2 ) 线性相关的充分必要条件是(
46
《线性代数》作业答题纸
专业及班级姓名学号成绩
A、 α 1 , α 2 , L , α s ( s ≥ 2 ) 中至少有一个零向量 B、其中至少有一个向量是其余 s − 1 个向量的线性组合 C、 α 1 , α 2 , L , α s ( s ≥ 2 ) 中至少有两个向量成比例

08-09A答案

南京工业大学线性代数试题（A ）卷试题标准答案2008--2009学年第一学期使用班级江浦各专业本科生一、填空题(每题3分，共15分)(1) 0 (2.) -432 (3) (1,1,,1),T k k 为任意常数.(4) 1或－1 (5)1/2()A E -. 二、选择题（每题3分，共15分）（1） D (2) C (3) B (4) A (5) C 三、（10分）解：231123231123123231123231nin i n nin i n nn in i nnini x a a a a x a a a a x a x a a a a x a a a D a a x a a x a a x a a a a a x a x a a a x a ====+++++=+=+++++∑∑∑∑（从第二列至第n 列加到第1列）――――――――――――――――――――5分23232312311()11n n ni n i na a a x a a a x a a x a a a a x a =+=+++∑（提取公因子）＝11000100()10100n i i xx a xx=+∑（1(2)i i c a c i -≥）――――――――――8分＝11()nn i i xx a -=+∑―――――――――――――――――――――――10分四、（10分）解：由239AX A X E +=+得(3)(3)(3)A E X A E A E -=--+―――――――6分又30A E -≠，故3A E -可逆，上式两边同时左乘1(3)A E --得500(3)480127X A E -⎛⎫ ⎪=-+=-- ⎪ ⎪--⎝⎭。

――――――――10分五、（14分）解：以122,,,T T T ααα 为列生成矩阵A ，并对A 施行初等行变换将其化为行最简形.31710231171113434223A -⎛⎫⎪- ⎪= ⎪--- ⎪--⎝⎭13r r ↔ 11134231173171034223---⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎪--⎝⎭213141233r r r r r r --- 1113401170448011715---⎛⎫--⎪--⎝⎭42111340117150112300000---⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 32r r +1113401171500091800000---⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 231/9r r - 111340117150001200000---⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭―6分231373r r r r ++1110201101000120000-⎛⎫⎪- ⎪⎪⎪⎝⎭12r r +10201011010001200⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭―――8分所以15(,,)3R αα= ，一个极大无关组为124,,ααα，―――――――（12分）且31251242,2.ααααααα=+=-+―――――――――――――――（14分）六、（13分）对方程组的增广矩阵进行初等行变换1111012331(|)01323211A b a b a ⎛⎫⎪⎪= ⎪--- ⎪-⎝⎭ 21313r r r r -- 1111001221013201231a b a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪--- ⎪----⎝⎭ 3242r r r r ++ 11110012210010100010B a b a ⎛⎫⎪⎪= ⎪-+ ⎪-⎝⎭------------------------5分显然可见：当1,1a b =≠-时方程组无解，当1a ≠时方程组有唯一解，当1,1a b ==-时方程组有无穷多组解.――――――――――――――――――――――――8分当1,1a b ==-时继续将矩阵B 化为行最简形得B =11110012210000000000⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭12r r - 10111012210000000000---⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与原方程组等价的方程组为1342341122x x x x x x =-++⎧⎨=--⎩令3400x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得原方程组的一个特解为1100η-⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。

08-09-1线代B(含答案)

………………………..4分
， ………………..6分
-------------------------------------9分
-----13分
法二：设线性方程组的系数矩阵为A，增广矩阵为B.
------------------------------------3分
（1）；………6分
(2)当，
知故方程组无解；---------------------------------------------9分
解答：
一、单项选择题（每题3分，共30分）
1、D；2、B；3、D；4、C；5、B；6、C；7、D；8、B；9、C；10、B
二、填空题（每题4分，共20分）
1．0；2. 3；3. ；4. ；5. ；
三、（12分）
解：法一： ------------------------------------2分
5.四阶行列式展开式中的项的符号是（B）.
A．正号B．负号C．无法确定
6.设线性无关,若线性相关,则应满足条件(C).
A. B. C. D.
7.设是两个n阶正交矩阵，则下列结论不正确的是（D）.
A. B. 是正交矩阵C.AB是正交矩阵D.AFra bibliotek行列式等于 .
8.设A是n阶可逆矩阵，则下面说法不正确的是(B).
1.已知行列式，则 =（）.
2.若D= =1，则D1= =（）.
3.设，则 =（）.
4.设是线性方程组的解，且R（A）=2，
则的通解为（）.
5.设3阶方阵A与B相似,且A的特征值是 ,则行列式 =(24).
三.（12分）求解矩阵方程，其中 .
四.（13分）考虑下列关于未知数的线性方程组

线性代数考试练习题带答案大全(二)

线性代数考试练习题带答案一、单项选择题（每小题3分，共15分）1.设A 为m n ⨯矩阵，齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的（ A ）． (A ) 列向量组线性无关，（B ）列向量组线性相关，（C ）行向量组线性无关，（D ）行向量组线性相关． 2．向量,,αβγ线性无关，而,,αβδ线性相关，则（ C ）。

(A ) α必可由,,βγδ线性表出，（B ）β必不可由,,αγδ线性表出，（C ）δ必可由,,αβγ线性表出，（D ）δ必不可由,,αβγ线性表出. 3. 二次型()222123123(,,)(1)1f x x x x x x λλλ=-+++，当满足（ C ）时，是正定二次型．(A )1λ>-；（B ）0λ>；（C ）1λ>；（D ）1λ≥．4．初等矩阵（A ）；(A ) 都可以经过初等变换化为单位矩阵；（B ）所对应的行列式的值都等于1；（C ）相乘仍为初等矩阵；（D ）相加仍为初等矩阵 5．已知12,,,n ααα线性无关，则（C ）A. 12231,,,n n αααααα-+++必线性无关；B. 若n 为奇数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；C. 若n 为偶数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；D. 以上都不对。

二、填空题（每小题3分，共15分）6．实二次型()232221213214,,x x x x tx x x x f +++=秩为2，则=t7．设矩阵020003400A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1A -=8．设A 是n 阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，已知5A =，则*AA 的特征值为。

9．行列式111213212223313233a b a b a b a b a b a b a b a b a b =______ ____;10. 设A 是4×3矩阵，()2R A =，若102020003B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则()R AB =_____________；三、计算题（每小题10分，共50分）11．求行列式111213212223313233a b a b a b D a b a b a b a b a b a b +++=++++++的值。

大一线性代数考试题库及答案解析

大一线性代数考试题库及答案解析一、选择题1. 设矩阵A为3阶方阵，且|A|=2，则矩阵A的逆矩阵的行列式为多少？A. 1/2B. 2C. 1/4D. 1答案：C解析：根据行列式的性质，一个矩阵的逆矩阵的行列式等于原矩阵行列式的倒数。

因此，|A^(-1)| = 1/|A| = 1/2。

2. 向量α=(1,2,3)和β=(-1,0,1)是否共线？A. 是B. 否答案：A解析：若向量α和β共线，则存在一个实数k使得β=kα。

将向量α和β的对应分量相除，得到-1/1=0/2=1/3，显然不存在这样的实数k，因此向量α和β不共线。

二、填空题3. 设矩阵B是一个3×3的矩阵，且B的秩为2，则矩阵B的零空间的维数为____。

答案：1解析：矩阵B的零空间的维数等于矩阵的列数减去矩阵的秩，即3-2=1。

4. 若线性方程组Ax=b有唯一解，则系数矩阵A的秩等于____。

答案：n解析：若线性方程组Ax=b有唯一解，则系数矩阵A的秩等于未知数的个数n。

三、解答题5. 给定向量组α1=(1,2,3)，α2=(4,5,6)，α3=(7,8,9)，求证向量组α1，α2，α3线性相关。

答案：证明：首先计算向量组α1，α2，α3的行列式：|α1 α2 α3| = |1 2 3||4 5 6||7 8 9| = 0由于行列式为0，根据行列式的性质，向量组α1，α2，α3线性相关。

6. 设矩阵C为3×3的矩阵，且C的行列式为0，求证矩阵C不可逆。

答案：证明：根据矩阵的逆矩阵的定义，若矩阵C可逆，则存在矩阵C^(-1)使得CC^(-1)=I。

但是，由于|C|=0，根据行列式的性质，不存在矩阵C^(-1)使得CC^(-1)=I，因此矩阵C不可逆。

四、计算题7. 计算矩阵D=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\4 & 5 & 6\\7 & 8 &9\end{bmatrix}的行列式。

南开大学2008级线性代数试题和答案 B卷

经济学院本科生09-10学年第一学期线性代数期末考试试卷 (B 卷)答案及评分标准一、填空题（每小题4分、本题共28分）1. 设A 为3×3矩阵, 2=A , 把A 按行分块为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321A A A A , 其中j A （j =1,2,3）是A 的第j行, 则行列式122322010A A A A += _____2. 设A 为n 阶方阵, *A 为其伴随矩阵, 31det =A , 则=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛*-A A 1541det 1 _____3. 设3阶方阵O A ≠, ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=15342531t B 且O AB =, 则=t _____4. 设A 为5阶方阵, 且4)(=A r , 则齐次线性方程组0*=x A （*A 是A 的伴随矩阵）的基础解系所包含的线性无关解向量的个数为 _____5. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---1121121111n n n n n a a a a a a A ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x X 21，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111 B , 其中i j a a ≠(j i ≠), 则B X A =T 的解为 _____6. 设3阶方阵A 满足0322=--E A A , 且0<A <5, 则=A _____7. 若使二次型243132212322214321222)(),,,(x x x x x x x x x x t x x x x f ++-+++=为正定的, 则 t 的取值范围是 _____ 答案：（1） -4 （2）3)1(n - （3） 2 （4） 4（5） ()1,0,0T⋅⋅⋅ （6） 3 （7） 2>t二、单项选择题（每小题4分、本题共28分）1．设行列式3040222207005322D =--, 则第四行各元素余子式之和的值为 ( ) (A) 28 (B) -28 (C) 0 (D) 3362．设A 为m 阶方阵, B 为n 阶方阵, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00BA C , 则 C 等于 ( ) (A)B A (B) B A - (C) B A m n )1(- (D) B A n m +-)1( 3. 设)21,0,,0,21( =α, 矩阵ααααT T E B E A 2 ,+=-=, 则 AB 等于( )(A) O (B) E - (C) E (D) ααTE +4．设n 维列向量组)(,,21n m m <ααα 线性无关, 则n 维列向量组m βββ ,,21线性无关的充分必要条件是（）(A) 向量组m ααα ,,21可由向量组m βββ ,,21线性表示 (B) 向量组m βββ ,,21可由向量组m ααα ,,21线性表示 (C) 矩阵),,(21m ααα 与矩阵),,(21m βββ 等价 (D) 向量组m ααα ,,21与向量组m βββ ,,21等价5．设矩阵33)(⨯=ij a A 满足T*A A =, 其中*A 是A 的伴随矩阵, TA 是A 的转置矩阵，1213,,a a a 11若为三个相等的正数, a 11则为（）（A ）13 （B ）3( C )(D)6．设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值, 对应的特征向量分别为21,αα, 则221),(ααα+A 线性无关的充分必要条件是（）（A ）01≠λ （B ）02≠λ ( C )01=λ (D) 02=λ7. 设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0000000000000004,1111111111111111B A , 则A 与B （）（A ）合同且相似（B ）合同但不相似( C ) 不合同但相似（D) 不合同且不相似答案：BCC CCA A三、计算题（每小题8分、本题共32分）1．计算n 阶行列式12125431432321-=n n n D.解:2121112111211212221-------+-=+-=--+-=n n n n n nn n n n nn n n n n n ）（）（））（（）（）（）（））（（）（）（2. 设矩阵A 满足关系式11)2(--=-C A B C E T ，其中⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=1000210002101021,1000210032102321C B , 求A ？解在等式11)2(--=-C A B C E T 等号两边同时乘以C , 得[]TB C A 1)2(--=,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=--1000210012100121)2(,100021003210432121B C B C ,[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-=-1210012100120001)2(1TB C A . 阶）（）（）（行列式的外边，将第一列的公因子提到列均加到第一列上，并将每第二、三、11111111111111111211111011110111101111043212112112541143132121----+=---+=-+=n n n nn n n n nnn n n n n n D n3．设线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++-=+--=+--bx x x x x ax x x x x x x x x x x 43214321432143217107141253032（1）问：a , b 取何值时, 线性方程组无解、有解?（2）当线性方程组有解时, 试用基础解系表示通解.解设题中线性方程组为.Ax b =用消元法, 对线性方程组Ax b =的增广矩阵A 施以行初等变换，化为阶梯形矩阵：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=ｂ－４０１００００００－１００１３２０ｂ１－１０初等行变换a a A 32117107141125313211 由此可知：当b ≠4时,)()(A r A r ≠ 线性方程组Ax b =无解; 当b =4时, 恒有)()(A r A r = 线性方程组Ax b =有解.若,3)()(,1==≠A r A r a 方程组有无穷多个解，通解为：T T )1,0,21,27()0,0,21,21(--+k k 为任意实数若,2)()(,1===A r A r a 方程组有无穷多个解，通解为：T 2T 1T )1,0,21,27()0,1,23,21()0,0,21,21(--+-+k k 21k k 、为任意实数 4．设A 为3阶实对称矩阵, 且满足A 2+A -2E =0, 已知向量T )0,1,0(1=αT )1,0,1(2=α是A 的对应特征值λ=1的特征向量, 求A n , 其中n 为自然数.解：由题设可知(A - E )(A +2E )=0，A 的特征值可能取值为λ=1，-2。

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解答：
一、单项选择题（每题3分，共30分）
1、D；2、B；3、D；4、C；5、B；6、C；7、D；8、B；9、C；10、B
二、填空题（每题4分，共20分）
1．0；2. 3；3. ；4. ；5. ；
三、（12分）
解：法一： ------------------------------------2分
-------6分
-------------------------------------9分
-----13分
法二：设线性方程组的系数矩阵为A，增广矩阵为B.
------------------------------------3分
（1）；………6分
(2)当，
知故方程组无解；---------------------------------------------9分
讨论：取何值时,此方程组(1)有唯一解;(2)无解;(3)有无穷多解？并在有无穷解时求通解.
五.（13分）考虑矩阵，（1）问为何值时,矩阵A能对角化？（2）求可逆矩阵和对角矩阵，使得 .
六.证明题：（12分）
（1）已知A是n阶方阵,且满足，证明：都可逆,并求 .
（2）设，是3维列向量，是的转置，是的转置，证明： .
----------10分
-----------------------12分
法二： ---------------------------4分
------8分 -----------12分
四、（13分）
-----------------------------3分
---------------------6分
A. B.齐次线性方程组有非零解
C. A的秩是n D. A的特征值都不等于零.
9.设A为4阶方阵，且秩，为A的伴随矩阵，则 =（）.
A. 3 B.2 C. 1 D. 0
10.设A是阶矩阵，且，则
A.A的行向量组线性相关；
B.A的列向量组线性相关；
C.A的行向量组线性无关；
D.A的列向量组线性无关.
二、填空题：（每小题4分，共20分）
1.已知行列式，则 =（）.
2.若D= =1，则D1= =（）.
3.设，则 =（）.
4.设是线性方程组的解，且R（A）=2，
则的通解为（）.
5.设3阶方阵A与B相似,且A的特征值是 ,则行列式 =( ).
三.（12分）求解矩阵方程，其中 .
四.（13分）考虑下列关于未知数的线性方程组
（2）当时，解方程组，基础解系，
当时，解方程组，得
基础解系：，----------------------------------11分
所以，，满足 -----------------13分
六(12分)(1)证明，可逆，且 3分
可逆，且 -------6分
(2)证明： ……………………..2分
………………………..4分
， ………………..6分
通解为 ……………………..………………..13分
五、（13分）解：(1)
所以特征值为，， ----------------------------------------------4分
当时，考虑
要使A可对角化，必须R(A-E)=1,即。-----------------------------------7分
5.四阶行列式展开式中的项的符号是（）.
A．正号B．负号C．无法确定
6.设线性无关,若线性相关,则应满足条件( ).
A. B. ห้องสมุดไป่ตู้. D.
7.设是两个n阶正交矩阵，则下列结论不正确的是（）.
A. B. 是正交矩阵
C.AB是正交矩阵D. A的行列式等于 .
8.设A是n阶可逆矩阵，则下面说法不正确的是( ).