第一讲 坐标系 知识归纳 课件(人教A选修4-4)

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[解]
如图：令 A(ρ，θ)，
θ △ABC 内，设∠B＝θ，∠A＝ ， 2 又|BC|＝10，|AB|＝ρ. 10 由正弦定理，得 ＝ θ， 3θ sinπ－ sin2 2 化简，得 A 点轨迹的极坐标方程为 ρ＝10＋20cos θ. ρ
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互化的前提依旧是把直角坐标系的原点作为极点，x 轴 的正半轴作为极轴并在两种坐标系下取相同的单位长度． 互化公式为 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ y ρ2＝x2＋y2，tan θ＝xx≠0
π ＋(y－2) ＝4，圆心为(0,2)．将 θ＝ (ρ∈R)化成直角坐标方 6
2
程为 x－ 3y＝0，由点到直线的距离公式可知圆心到直线的 |0－2 3| 距离 d＝ ＝ 3. 2
答案： 3
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2.(2012· 上海高考)如图，在极坐标系中， π 过点 M(2,0)的直线 l 与极轴的夹角 α＝ . 6 若将 l 的极坐标方程写成 ρ＝f(θ)的形式， 则 f(θ)＝________.
化简，可得 x2＋y2＝56. 即所求顶点 Q 的轨迹方程为 x2＋y2＝56.
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设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换
x′＝λ· x φ： y′＝μ· y
λ＞0 的作用下， P(x， 点 y)对应点 P′(x′， μ＞0
y′)，称 φ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换．
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[例 2]
x′＝2x， y′＝2y
在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换 后， 曲线 C 变为曲线(x′－5)2＋(y′＋6)2＝1，
求曲线 C 的方程，并判断其形状．
[解]
x′＝2x， 将 y′＝2y
代入(x′－5)2＋(y′＋6)2＝1 中，
得(2x－5)2＋(2y＋6)2＝1. 52 1 2 化简，得(x－ ) ＋(y＋3) ＝ . 2 4 5 1 该曲线是以( ，－3)为圆心，半径为 的圆. 2 2
方程为ρcos θ－2ρsin θ＋7＝0，则圆心到直线的距离为
________．
[解析] 将 ρ＝2cos θ 化为 ρ2＝2ρcos θ，即有
x2＋y2－2x＝0，亦即(x－1)2＋y2＝1. 将 ρcos θ－2ρsin θ＋7＝0 化为 x－2y＋7＝0， |1＋7| 8 5 故圆心到直线的距离 d＝ 2 ＝ . 5 1 ＋－22
直角坐标方程化极坐标方程可直接将x＝ρcos θ，y＝ ρsin θ代入即可，而极坐标方程化为直角坐标方程通常将极 坐标方程化为ρcos θ，ρsin θ的整体形式，然后用x，y代替 较为方便，常常两端同乘以ρ即可达到目的，但要注意变形 的等价性．
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[例4]
已知圆的极坐标方程ρ＝2cos θ，直线的极坐标
[答案]
8 5 5
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[例 5]
π 在极坐标系中，点 M 坐标是(2， )，曲线 C 的 3
π 方程为 ρ＝2 2sin(θ＋ ); 以极点为坐标原点， 极轴为 x 轴的 4 正半轴建立平面直角坐标系，直线 l 经过点 M 和极点． (1)写出直线 l 的极坐标方程和曲线 C 的直角坐标方程； (2)直线 l 和曲线 C 相交于两点 A、B，求线段 AB 的长．
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利用问题的几何特征，建立适当坐标系，主要就是兼
顾到它们的对称性，尽量使图形的对称轴(对称中心)正好
是坐标系中的x轴，y轴(坐标原点)． 坐标系的建立，要尽量使我们研究的曲线的方程简 单．
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[例1]
已知圆的半径为6，圆内一定点P离圆心的距离
为4，A、B是圆上的两动点且满足∠APB＝90°，求矩形 APBQ的顶点Q的轨迹方程． [解] 如图，以圆心O为原点，OP
所在直线为x轴建立直角坐标系，则圆
的方程为x2＋y2＝36，P(4,0)．
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设 Q(x，y)，PQ 与 AB 相交于 P1， 4＋x y 则 P1＝( ， )． 2 2 由|PQ|＝|AB|＝2 r2－|OP1|2， 即 x－4 ＋y ＝2
2 2
4＋x 2 y 2 36－[ ＋ ]， 2 2
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[解]
π (1)∵直线 l 过点 M(2， )和极点， 3
π ∴直线 l 的直角坐标方程是 θ＝ (ρ∈R)． 3 π ρ＝2 2sin(θ＋ )即 ρ＝2(sin θ＋cos θ)， 4 两边同乘以 ρ 得 ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)， ∴曲线 C 的直角坐标方程为 x2＋y2－2x－2y＝0.
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在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程F(ρ，
θ)＝0 如果曲线C是由极坐标(ρ，θ)满足方程的所有点组成的， 则称此二元方程F(ρ，θ)＝0为曲线C的极坐标方程． 由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，因此曲线 的极坐标方程和直角坐标方程也有不同之处，一条曲线上 的点的极坐标有多组表示形式，有些表示形式可能不满足
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3．(2011· 江西高考)若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，
则该曲线的直角坐标方程为________．
解析：∵ρ＝2sin θ＋4cos θ，∴ρ2＝2ρsin θ＋4ρcos θ， ∴x2＋y2＝2y＋4x，即x2＋y2－4x－2y＝0. 答案：x2＋y2－4x－2y＝0.
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解析：在直线 l 上任取点 P(ρ，θ)，在△OPM 中，由正弦定 OM OP 2 ρ 理得 ＝ ，即 ＝ ，化简得 ρ π 5π sin∠OPM sin∠OMP sin －θ sin 6 6 1 1 ＝ ，故 f(θ)＝ . π π sin －θ sin －θ 6 6
1 答案： π sin －θ 6
(2)点 M 的直角坐标为(1， 3)，直线 l 过点 M 和原点， ∴直线 l 的直角坐标方程为 y＝ 3x. 曲线 C 的圆心坐标为(1,1)，半径 r＝ 2，圆心到直线 l 的 3－1 距离为 d＝ ，∴|AB|＝ 3＋1. 2
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方程，这里要求至少有一组能满足极坐标方程． 返回
求轨迹方程的方法有直接法、定义法、相关点代入法， 在极坐标中仍然适用，注意求谁设谁，找出所设点的坐标 ρ、 θ 的关系． [例 3] 1 △ABC 底边 BC＝10， ∠A＝ ∠B， B 为极点， 以 2
BC 为极轴，建立极坐标系，求顶点 A 的轨迹的极坐标方程．
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考情分析 通过对近几年新课标区高考试题的分析可知，高考对本 讲的考查集在考查极坐标方程、极坐标与直角坐标的互化 等．预计今后的高考中，仍以考查圆、直线的极坐标方程为 主．
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真题体验 1．(2012· 安徽高考)在极坐标系中，圆 ρ＝4sin θ 的圆心到直 π 线 θ＝ (ρ∈R)的距离是________． 6 解析：将 ρ＝4sin θ 化成直角坐标方程为 x2＋y2＝4y，即 x2