2013-计算力学习题讲解

计算力学习题讲解
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1，试述弹性力学中按位移求解与有限元单元法中按位移求解 之间的异同点。
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1，试述弹性力学中按位移求解与有限元单元法中按位移求解 之间的异同点。 弹性力学 物理模型 基本方程 解法 有限单元法
解答形式
解答精度
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在平衡情况下，系统总位能等于负的应变能。在有限元 解中，由于假定的近似位移模式一般来说总是与精确解 有差别的。
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2，以位移为基本未知量的有限元法其解具有下限性质，试证 明之。
有限元解使得 p p min 近似解： p 、U、 a K 、 U U max K a P K a P p min 对应的解就是真实解，有限元得到解一般都是近似解 真实解： p 、U、 a K 、
9
η
1 η=1 2
ξ=1
1 4 5
ξ
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单元②形函数
2 2 s 3
s N2 l
N3 1
s l
N6 0
6
s 0 1 l T Fs N qs ds s l l 0 1 l
0 qs s q l
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课本内容
(2) 构造边中节点的插值函数：某个方向的一次项与另 一个方向的 Lagrange 多项式的乘积。保证在本节点处 为1,在其余所有节点处为0，但在单元内部不为0。若没 有中心点 (单元内），由此构造的插值函数为最终的结 果。如有单元中心点，则需对边中节点修正
1 N 5 (1 2 )(1 ) 2 1 N 7 (1 2 )(1 ) 2
1，试述弹性力学中按位移求解与有限元单元法中按位移求解 之间的异同点。 弹性力学 物理模型 基本方程 解法 连续体 几何方程 物理方程 平衡微分方程 解微分方程 有限单元法
解答形式
解答精度
用函数表示
精确解
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1，试述弹性力学中按位移求解与有限元单元法中按位移求解 之间的异同点。 弹性力学 物理模型 基本方程 解法 连续体 几何方程 物理方程 平衡微分方程 解微分方程 有限单元法 离散化结构 几何方程 物理方程 结点平衡方程 解代数方程
1 1 1 1 N1 4 ( )( ), N 2 4 ( )( )( 1) 2 2 2 2 1 1 1 1 N 3 4( )( 1)( )( 1), N 4 4 ( )( )( 1) 2 2 2 2
a 2 5 1
根据最小势能原理，得到的系统的总位能总会比真正的 总位能要大，故
p ≥ p U ≤U 即
a
T
K a ≤a K a
T
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2，以位移为基本未知量的有限元法其解具有下限性质，试证 明之。

a P≤a P
T T
故有限元解总体上不大于真实解，即解具有下限性质
按图中所示单元②的局部 编码写出单元刚度矩阵和 应力矩阵。
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平面问题的单元刚度矩阵[k]不随单元（或坐标轴）的 平行移动或作n角度（n为整数）的转动而改变。
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5，如图所示8结点矩形单元（每边中点为结点），3点为坐 标原点，a=b=2，单元厚度为t。 （1）求该单元的位移函数和形函数，并检验其是否满足收 敛性条件。 （2）求在2-6-3边作用均布水平荷载q时的等效结点荷载。
y
N5 4 ( 1), N6 4 ( 1)(1 )
b
q
6
8
N7 4 ( 1)(1 ), N8 4 ( 1)
x
3
7
4
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（2）荷载作用在2-3边上，故等效结点力只与2、6、3号结点 有关
1 1 1 1 N 2 4 ( )( )( 1), N6 4 ( 1)(1 ), N3 4( )( 1)( )( 1) 2 2 2 2 N y 在 0边上计算 i a N 6 N 3 N 2 4 1, 4(1 2 ), 4 3 1 2 5
解答形式
解答精度
用函数表示
精确解
用数值表示
近似解
补充要点：弹性力学设定的位移函数力求反映整体结构位移状态，有限元的位移 函数仅针对离散单元，但是需要验证位移函数的收敛性。 东南大学土木工程学院
2，以位移为基本未知量的有限元法其解具有下限性质，试证 明之。
解：系统总位能的离散形式
p
求解的方程
1 T T a K a a P K a P 2 1 1 T T T p a K a a K a a K a U 2 2
x
1
1
q
6
8
b
3
7
4
qt P2 x t N 2 qx ds 2qt N 2 d 3 s 0
1
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6，如图所示刚架 （1）如何进行结点编号使整体刚度矩阵[K]的带宽最小？ （2）刚架的整体刚度矩阵中a结点的总体刚度矩阵Kaa和总 体刚度矩阵Kbc各由哪些分块矩阵叠加组成（自行确定单元 局部坐标方向）
1
2
3①4 5② Nhomakorabea6
7 l
8 l
9
可以使用线性单元的 简化方法
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q
1 2 3
单元①荷载作用在1-2边上，故等 效结点力只与1、2号结点有关， 形函数
①
4 5
②
6
N1 (1 )
N 2
7 l
8 l
9
0 线性分布面力 q q
{FS } [ N ] {qS }hds
单元原是连续体的一部分，具有无限多个 自由度，在假定了单元的位移函数后，自 由度限制为只有以结点位移表示的有限自 由度，引入了更多的约束和限制，使得单 元刚度较实际连续体加强了，连续体的整 体刚度随之增加，所以有限元解整体上较 真实解偏小。
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q
3，某平面结构采用四结点矩形 单元和三结点三角形单元建立有 限元计算模型，其如图所示。试 求结点2的等效荷载列阵{R2}。
FV——单元上体积力的等效荷载 FS——单元上表面力的等效荷载 pC——单元上节点上的集中力 1、体积力的等效荷载
{FV } [ N ]T {qV }hdxdy
A
2、表面力的等效荷载
{FS } [ N ] {qS }hds
l T
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q
3，某平面结构采用四结点矩形 单元和三结点三角形单元建立有 限元计算模型，其如图所示。试 求结点2的等效荷载列阵{R2}。
b c
a
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（1）考虑每个结点有两个自由度，半带宽d=（相邻结点 码的最大差值+1）*节点自由度数
bb
5 (4) 4 (2) 2 (1) 1 (3) 3 (7) 6 (11) (8) (5) 7 (9) (6)
cc
8
(10)
11 (12) 10
aa
9
故结点编号如图所示可使单元内结点编码相差3，使 得带宽d=12(按每节点3自由度假定）。
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课本内容
η
4 8 1
7
3
6 ξ
(1) 构造角节点的插值函数：双线性乘 积，暂时保证在本节点处为1,在其余角 节点处为0
5
2
ˆ 1 (1 )(1 ) ˆ 1 (1 )(1 ) N N 1 2 4 4 1 1 ˆ ˆ N 3 (1 )(1 ) N 4 (1 )(1 ) 4 4 1 ˆ 统一形式： N i (1 0 )(1 0 ) (i 1, 2,3, 4) 4
6 2 6 8 0 6 16 6 12 6 4 13.5 9 7.5 3 对 13.5 3 1.5 称 9.5 3 5.5
i i 1 j m
m 2 j
K (1)
S (1)
0 3 0 0 0 3 0 4 0 3 0 1 2 0 1.5 1.5 0.5 1.5
q 6 8
3
7
4
x
x 0, N b N N y 0 3 6 b 2 2, 2 x y ds d 2d
2 2
b
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y a 2 5 1
qt P3 x t N 3qx ds 2qt N 3d , 3 s 0 4 P6 x t N 6 qx ds 2qt N 6 d qt , 3 s 0
s l 0 0 0 0 s 0 0 l
T
0 1 s ds ql 0 0 q 2 3 l
2 0 0 3
T
0 R ql 2 故结点2的等效荷载列阵为 2 3
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4，图中两个三角形单元组成平行四边形，已知单元①按局部 编码i , j , m 的单元刚度矩阵和应力矩阵是
1
2
3
4
5
6
7 l
8 l
9
平衡所用到的的量均要属于节点的量，如单元位移、单元力。 载荷亦应如此，必须将体积力、表面力转化到节点上去，成 为等效荷载（载荷）。
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把总等效荷载 R e分解成体积力、表面力和集中力的等效荷 载之和，有 e
{R} {FV } {FS } { pc }