ch3b

MX KX 0
X φf (t )
7
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
首先讨论正定系统的主振动
正定系统： MX KX 0
主振动： X φa sin( t ) 将常数 a 并入φ 中
X R
0
n
M 正定，K 正定
φ [1 2 n ]T
k1n 2 m1n k 2 n 2 m2 n k nn 2 mnn
0
2n a1 2( n1) an1 2 an 0 频率方程
解出 n 个值，按升序排列为：
2 2 0 12 2 n
或特征多项式
i ：第 i 阶固有频率
k11 i2 m11 k 21 i2 m21 k n1 i2 mn1
2013年7月5日 《振动力学》
k12 i2 m12 k 22 i2 m22 k n 2 i2 mn 2
k1n i2 m1n 1(i ) 0 (i ) 2 k 2 n i m2 n 2 0 (i ) 2 k nn i mnn n 0
X φsin( t )
(K M ) 0 φ
2
φ 有非零解的充分必要条件：
k11 2 m11 k 21 2 m21 k n1 2 mn1 2013年7月5日
《振动力学》
K 2M 0
特征方程
k12 2 m12 k 22 2 m22 k n 2 2 mn 2
( K i2 M ) (i ) 0 φ n n n n
φ(i ) [1(i ) n(i ) ]T
n 个方程
奇次方程组
当 i不是特征多项式重根时，上式 n 个方程只有一个不独立 设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有 (i ) 的某个元 φ (i ) 素（例如 n ）的项全部移到等号右端
作用力方程： 固有振动方程：
（自由振动方程）
MX KX P (t )
MX KX 0
X Rn
和单自由度系统一样，自 由振动时系统将以固有频 率为振动频率
同步振动：系统在各个坐标上除了运动幅值不相同外，随时 间变化的规律都相同的运动
运动规律的时间函数
X φ f (t )
( FM

2
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
采用位移方程求解固有频率
位移方程： FMX X FP (t )
主振动： X φsin( t ) 代入，得： (FM I ) 0 φ 特征方程：
X R
n
F K 1 柔度矩阵
自由振动的位移方程： FMX X 0
φ 特征向量（模态）
φ(i )
1(i ) φ(i ) R n1 n(i )
i
一一对应
i 1~ n
i、φ(i ) 代入： ( K i2 M ) (i ) 0 φ
2013年7月5日 《振动力学》
第i 阶模态特征值 问题
13
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
主振动： 代入，得： 解释：
X φsin( t )
(FM I ) 0 φ
φ [1 2 n ]T
特征值
1/ 2
？
(K M ) 0 φ
2
Kφ Mφ
2
1
2
Iφ K 1 Mφ 1 I) 0 φ
10
1/ 2
2013年7月5日 《振动力学》
14
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
( K i2 M ) (i ) 0 φ n n n n
φ(i ) [1(i ) n(i ) ]T
n 个方程
奇次方程组
当 i不是特征多项式重根时，上式 n 个方程只有一个不独立 设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有 (i ) 的某个元 φ (i ) 素（例如 n ）的项全部移到等号右端
0
0
6
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
(t ) φT Kφ f T 2 f (t ) φ Mφ
a、b、 为常数
（1）正定系统
0
(t ) 2 f (t ) 0 f
f (t ) a sin(t ), f (t ) at b,
(t ) φT Kφ 令： 2 f M 正定，K 正定或半正定 (常数) 0 T f (t ) φ Mφ 对于非零列向量φ ： 0
φ Mφ 0 φT Kφ 0 φT Kφ 0 T φ Mφ
T
2013年7月5日 《振动力学》
t 的函数
与t 无关
φT Mφ 0 对于正定系统： T φ Kφ 0 φT Mφ 0 对于半正定系统： T φ Kφ 0
12
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
• 多自由度系统的模态（主振型）
正定系统： MX KX 0
主振动： X φa sin( t ) 特征值问题： ( K 2 M ) 0 φ
X Rn
0
φ Rn
振动的形状
特征值（固有频率）
n 自由度系统：
φ [1 2 n ]T
特征值
1/ 2
FM I 0
特征根按降序排列： 1 2 n 0
i 1/ i2
2013年7月5日 《振动力学》 11
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
例：三自由度系统
m 0 0 M 0 m 0 0 0 m
(k11 i2 m11 )1(i ) (k 1,n1i2 m1,n1 )n(i)1 (k1n i2 m1n )n(i ) n -1个方程 非奇次方程组 (k 2 (i ) 2 (i ) 2 (i ) n 1,1 i mn 1,1 )1 ( k n 1, n 1 i mn 1, n 1 )n 1 (k n 1, n i mn 1, n )n
k1n 2 m1n k 2 n 2 m2 n k nn 2 mnn
0
8
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
k11 2 m11 k 21 2 m21 k n1 2 mn1
k12 2 m12 k 22 2 m22 k n 2 2 mn 2
2013年7月5日 《振动力学》
1 ：基频
9
固有频率仅取决于系统本身的刚度、质量等物理参数
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
采用位移方程求解固有频率 位移方程：
FMX X FP (t )
X Rn
F K 1 柔度矩阵
自由振动的位移方程： FMX X 0
为使计算简单，令： n( i ) 1
2013年7月5日 《振动力学》
φ
(i )
(i ) 1

(i ) 2

(i ) n 1
1

T
16
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
例：三自由度系统
m 0 0 M 0 m 0 0 0 m
x1 2k m k m
x1 2k
m
x2 k
m
x3
2k m
k
(K 2 M ) 0 φ
3k m 2 k 0
3 1 0
3k K k 0
k 2k k
0 k 3k
k 2k m 2 k
1
1 k 2 0 2 3k m 3 0
2013年7月5日 《振动力学》
3
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
三自由度系统
振动形式1
振动形式2
振动形式3
同步振动：系统在各个坐标上除了运动幅值不相同外，随时 间变化的规律都相同的运动
2013年7月5日 《振动力学》 4
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
• 多自由度系统的固有频率
φ(i ) [1(i ) n(i ) ]T
当 i不是特征多项式的重根时，上式的 n 个方程中有且只有 一个不独立 设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有 (i ) 的某个元 φ (i ) 素（例如 n ）的项全部移到等号右端
(k11 i2 m11 )1(i ) (k 1,n1i2 m1,n1 )n(i)1 (k1n i2 m1n )n(i ) (k 2 (i ) 2 (i ) 2 (i ) n 1,1 i mn 1,1 )1 ( k n 1, n 1 i mn 1, n 1 )n 1 (k n 1, n i mn 1, n )n
2013年7月5日 《振动力学》 2
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
• 多自由度系统的固有频率
作用力方程： 固有振动方程：
（自由振动方程）
MX KX P (t )
MX KX 0
X Rn
和单自由度系统一样，自 由振动时系统将以固有频 率为振动频率
在考虑系统的固有振动时，最感兴趣的是系统的同步振动， 即系统在各个坐标上除了运动幅值不相同外，随时间变化的 规律都相同的运动
主振动
0 0
只可能出现形如 X φa sin( t )的同步运动 系统在各个坐标上都是按相同频率及初相位in( t )的同步运动 也可能出现形如 X φ(at b) 的同步运动（不发生弹性变形 ）