2021年多面体外接球半径内切球半径的常见几种求法
多面体外接球半径常见的5种求法
多面体外接球半径常见的5种求法如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.多面体几何性质法例1 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A.16π B.20π C.24π D.32π解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =.∴2R R ==∴= .∴这个球的表面积是2424R ππ=.选C.小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.补形法 例2，则其外接球的表面积是 . 解正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.设其外接球的半径为R ，则有()222229R =++=.∴294R =. 故其外接球的表面积249S R ππ==.小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，则有2R =寻求轴截面圆半径法例3 正四棱锥S ABCD -S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 .解 设正四棱锥的底面中心为1O ，外接球的球心为O ，如图1所示.∴由球的截面的性质，可得1OO ABCD ⊥平面.又1SO ABCD ⊥平面，∴球心O 必在1SO 所在的直线上. ∴ASC ∆的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在ASC ∆中，由2SA SC AC ===，得222SA SC AC +=. ∴ASC AC ∆∆是以为斜边的Rt .∴12AC =是外接圆的半径，也是外接球的半径.故43V π=球. 小结 根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，CDAB SO 1图3于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.公式法例4 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为３，则这个球的体积为 .解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h，则有263,1,296,8x x x h h =⎧⎧=⎪⎪∴⎨⎨=⎪⎪=⎩⎩ ∴正六棱柱的底面圆的半径12r =，球心到底面的距离d =.∴外接球的半径1R ==.43V π∴=球. 小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.确定球心位置法例5 在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的体积为A.12512πB.1259πC.1256π D.1253π 解 设矩形对角线的交点为O ，则由矩形对角线互相平分，可知OA OB OC OD ===.∴点O 到四面体的四个顶点A B C D 、、、的距离相等，即点O 为四面体的外接球的球心，如图2所示.∴外接球的半径52R OA ==.故3412536V R ππ==球.选C. 小结：巩固练习： 1.三棱锥中，平面，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．2.在三棱柱111ABC A B C -中，已知1AA ABC ⊥平面,12,2AA BC BAC π==∠=，此三棱柱各个顶点都在一个球面上，则球的体积为（ ）A O DB图4A．323πB．16π C．253πD．312π3.四面体ABCD中，已知AB=CD=29，AC=BD=34，AD=BC=37，则四面体ABCD的外接球的表面积（）A．25π B．45π C．50π D．100π4.已知正四面体的棱长为2，则它的外接球的表面积的值为．5.已知正三棱锥P-ABC，点P，A，B，C都在半径为的求面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为________。
多面体外接球半径常见的5种求法
多面体外接球半径常见的5种求法如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.公式法例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为３，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h，则有263,1,296,8x x x h h =⎧⎧=⎪⎪∴⎨⎨=⎪⎪=⎩⎩ ∴正六棱柱的底面圆的半径12r =，球心到底面的距离d =.∴外接球的半径1R ==.43V π∴=球. 小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.多面体几何性质法例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是A.16πB.20πC.24πD.32π解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =.∴2R R ==∴= .∴这个球的表面积是2424R ππ=.选C. 小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.补形法例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，则其外接球的表面积是 . 解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为.设其外接球的半径为R ，则有()222229R =++=.∴294R =. 故其外接球的表面积249S R ππ==.小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，则有2R =.寻求轴截面圆半径法例4 正四棱锥S ABCD -，点S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 .解 设正四棱锥的底面中心为1O ，外接球的球心为O ，如图1所示.∴由球的截面的性质，可得1OO ABCD ⊥平面.又1SO ABCD ⊥平面，∴球心O 必在1SO 所在的直线上.∴ASC ∆的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在ASC ∆中，由2SA SC AC ===，得222SA SC AC +=.∴ASC AC ∆∆是以为斜边的Rt . ∴12AC =是外接圆的半径，也是外接球的半径.故43V π=球. 小结 根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.确定球心位置法例5 在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的体积为 A.12512π B.1259π C.1256π D.1253π 解 设矩形对角线的交点为O ，则由矩形对角线互相平分，可知OA OB OC OD ===.∴点O 到四面体的四个顶点A B C D 、、、的距离相等，即点O 为四面体的外接球的球心，如图2所示.∴外接球的半径52R OA ==.故3412536V R ππ==球.选C. CD A B S O 1图3A O D B 图4。
2021年多面体外接球半径内切球半径的常见几种求法
多面体外接球、内切球半径常见的5种求法欧阳光明(2021.03. 07)如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多廂体是球的内接多廂体，这个球称为多直体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点•研究多面体的外接球冋题，既要运用多廂体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多廂体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.公式法例1 —个六棱柱的底直是正六边形，其侧棱垂直于底⑥，已知该六棱柱的顶点都在同一个球廂上，且该六棱柱的体积为?，O 底廂周长为3,则这个球的体积为.解设正六棱柱的底⑥边长为-高为力，则有6x = 3, 1'9 _ \/3 J< 2才"，・・・正六棱柱的底面圆的半径「=；，球心到底面的距离2 2・•・外接球的半径R = y[7n.M =込.小结本题杲运用公式F 求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.多面体几何性质法例2已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的表面积是A.16^-B.20/TC.24 兀D.32/T解设正四棱柱的底⑥边长为I外接球的半径为心则有4十=16,解得x = 2.・・・2R = V22 +22 +42 = 2羽、：.R = ^.・・・这个球的表面积杲4兀R’ = 24兀.选C.小结本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.补形法例3若三棱锥的三个侧棱两两垂直，且侧棱长均为则其外接球的表面积是.解据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，.••把这个三棱锥可以补成一个棱长为命的正方体，于是正方体的外接球就杲三棱锥的外接球.设其外接球的半径为乩则有(2町=+(< +(< =9,・・4故其外接球的表面积S=4兀R，=9兀.小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为厶b、c,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于杲长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径•设其外接球的 半径为心则有2RHW.寻求轴截直圆半径法例4正四棱锥S-ABCD 的底廁边长和各侧棱长都为逅，点S 、A 、B 、C 、D 都在同一球面上,则此球的体积为.解设正四棱锥的底⑥中心为外接球的球 心为。
数学高考重点内容多面体外接球、内切球常见解题方法总结
多面体外接球、内切球半径常见的5种求法如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体,这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.公式法例1一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同9一个球面上，且该六棱柱的体积为三，底面周长为3,则这个球的体积为86x=3,f1JQ———解设正六棱柱的底面边长为X,高为则有9后，2'§=6x甘"，]入=右.正六棱柱的底面圆的半径r=~,球心到底面的距离d=—.:.外接球的半径22R=J/+J?=]....v球=—.3小结本题是运用公式R2=r-+d2求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.多面体几何性质法例2已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的表面积是A.16^B.20ttC.24>tD.32i解设正四棱柱的底面边长为X,外接球的半径为R,则有4/=16,解得%=2, 2R=a/22+22+42=2^6,:.R=£.这个球的表面积是4*=24^,选C.小结本题是运用''正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.补形法例3若三棱锥的三个侧棱两两垂直，且侧棱长均为右，则其外接球的表面积是—.解据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，...把这个三棱锥可以补成一个棱长为73的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.设其外接球的半径为R,则有（27?）2=（、厅『+（、行『+（^3）2=9./.R2=|,故其外接球的表面积S=4*=9兀.小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为0、/?、c,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为A,则有2R=7a2+b2+c2.寻求轴截面圆半径法例4正四棱锥S-ABC。
多面体外接球半径常见的五种求法
例1一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 ，底面周长为３，则这个球的体积为.
解设正六棱柱的底面边长为 ，高为 ，则有
∴正六棱柱的底面圆的半径 ，球心到底面的距离 .∴外接球的半径 . .
小结本题是运用公式 求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.
寻求轴截面圆半径法
例4正四棱锥 的底面边长和各侧棱长都为 ，点 都在同一球面上，则此球的体积为.
解设正四棱锥的底面中心为 ，外接球的球心为 ，如图1所示.∴由球的截面的性质，可得 .
又 ，∴球心 必在 所在的直线上.
∴ 的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.
在 中，由 ，得 .
确定球心位置法
例5在矩形 中， ，沿 将矩形 折成一Leabharlann 直二面角 ，则四面体 的外接球的体积为
A. B. C. D.
解设矩形对角线的交点为 ，则由矩形对角线互相平分，可知 .∴点 到四面体的四个顶点 的距离相等，即点 为四面体的外接球的球心，如图2所示.∴外接球的半径 .故 .选C.
∴ .
∴ 是外接圆的半径，也是外接球的半径.故 .
小结根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.
多面体几何性质法
例2已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是
A. B. C. D.
解设正四棱柱的底面边长为 ，外接球的半径为 ，则有 ，解得 .
多面体外接球半径常见的5种求法
多面体外接球半径常见得5种求法如果一个多面体得各个顶点都在同一个球面上,那么称这个多面体就是球得内接多面体,这个球称为多面体得外接球、有关多面体外接球得问题,就是立体几何得一个重点,也就是高考考查得一个热点。
研究多面体得外接球问题,既要运用多面体得知识,又要运用球得知识,并且还要特别注意多面体得有关几何元素与球得半径之间得关系,而多面体外接球半径得求法在解题中往往会起到至关重要得作用.知识回顾:1、球心到截面得距离d与球半径R及截面得半径r有以下关系２、球面被经过球心得平面截得得圆叫.被不经过球心得平面截得得圆叫3、球得表面积表面积S＝;球得体积V＝4、球心一定在过多边形(顶点均在球面上)外接圆圆心且垂直此多边形所在平面得垂线上方法一:公式法例１一个六棱柱得底面就是正六边形,其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱得顶点都在同一个球面上,且该六棱柱得体积为,底面周长为３,则这个球得体积为。
解设正六棱柱得底面边长为,高为,则有∴正六棱柱得底面圆得半径,球心到底面得距离.∴外接球得半径。
、小结:本题就是运用公式求球得半径得,该公式就是求球得半径得常用公式.(R—球得半径;d—球心到球截面圆得距离,注意球截面圆通常就是顶点在球上多边形得外接圆;ｒ－顶点在球上多边形得外接圆得半径)方法二:多面体几何性质法例2已知各顶点都在同一个球面上得正四棱柱得高为4,体积为1６,则这个球得表面积就是( )A. B. Ｃ。
Ｄ。
解:设正四棱柱得底面边长为,外接球得半径为,则有,解得、∴。
∴这个球得表面积就是。
选C。
小结:本题就是运用“正四棱柱体(包括正方体、长方体)对角线得长等于其外接球得直径"这一性质来求解得、方法三:补形法例３:若三棱锥得三个侧面两两垂直,且侧棱长均为,则其外接球得表面积就是、解:据题意可知,该三棱锥得三条侧棱两两垂直,∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为得正方体,于就是正方体得外接球就就是三棱锥得外接球、设其外接球得半径为,则有。
多面体外接球半径常见的五种求法
多面体外接球半径常见的5种求法文/xx如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.公式法例1一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9，底面周长为３，则这个球的体积为.86x3,1x,x2解设正六棱柱的底面边长为，高为h，则有932xh,64h3．8∴正六棱柱的底面圆的半径r31，球心到底面的距离d.∴外接球的半径22R r2d21.V球4.3222小结本题是运用公式R r d求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.多面体几何性质法例2已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是A.16B.20C.24D.32解设正四棱柱的底面边长为x，外接球的半径为R，则有4x16，解得x2.∴2R 222224226,R6.∴这个球的表面积是4R224.选C.小结本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.补形法例3若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是.解据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为3的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.设其外接球的半径为R，则有2R223232329.∴R29.4故其外接球的表面积S4R9.小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a、b、c，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，则有2R a2b2c2.寻求轴截面圆半径法例4正四棱锥S ABCD的底面边长和各侧棱长都为2，点S、A、B、C、D都在同一球面上，则此球的体积为.解设正四棱锥的底面中心为O1，外接球的球心为O，如图1所示.∴由球的截面的性质，可得OO1平面ABCD.DCO1图3BS又SO1平面ABCD，∴球心O必在SO1所在的直线xx.∴ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在ASCxx，由SA SC A2，AC2，得SA2SC2AC2.∴ASC是以AC为斜边的Rt.∴AC4.1是外接圆的半径，也是外接球的半径.故V球23小结根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.确定球心位置法例5在矩形ABCD中，AB4,BC3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B AC D，则四面体ABCD的外接球的体积为125125A.B.C.D.12963解设矩形对角线的交点为O，则由矩形对角线互相平分，可知OA OB OC OD.∴点O到四面体的四个顶点A、B、C、D的距离相等，即点O为四面体的外接球的球心，如图2所示.∴外接球的半541253.选C.径R OA.故V 球R236DCBAO图4。
多面体外接球半径常见的求法整理
多面体外接球半径常见求法知识回顾：定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。
1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。
2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。
3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。
4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。
5、体积分割是求内切球半径的通用做法。
一、公式法例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为３，则这个球的体积为 .小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.二、多面体几何性质法例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A.16π B.20π C.24π D.32π小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.三、补形法例3 ，则其外接球的表面积是 .小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有2R =变式1：变式2：三棱锥O ABC -中，,,OA OB OC 两两垂直，且22OA OB OC a ===，则三棱锥O ABC -外接球的表面积为（ ）A ．26a π B ．29a π C ．212a π D ．224a π四、寻求轴截面圆半径法 例 4 正四棱锥S ABCD -的底面边长和各侧棱长都为2，S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 .小结 根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.变式1：求棱长为 a 的正四面体 P – ABC 的外接球的表面积变式2：正三棱锥的高为 1，底面边长为6 。
多面体外接球半径常见的求法
多面体外接球半径常见求法知识回顾：定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。
1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。
2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。
3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。
4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。
5、体积分割是求内切球半径的通用做法。
一、公式法例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为３，则这个球的体积为 .小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.二、多面体几何性质法例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是A.16πB.20πC.24πD.32π小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.三、补形法例3 ，则其外接球的表面积是 .小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有2R =变式1：变式2：三棱锥O ABC -中，,,OA OB OC 两两垂直，且22OA OB OC a ===，则三棱锥O ABC -外接球的表面积为（ ）A ．26a πB ．29a πC ．212a πD ．224a π四、寻求轴截面圆半径法例4 正四棱锥S ABCD -S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 .小结 根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.变式1：求棱长为 a 的正四面体 P – ABC 的外接球的表面积变式2：正三棱锥的高为 1，底面边长为 。
(2021年整理)多面体外接球半径常见的5种求法
多面体外接球半径常见的5种求法编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（多面体外接球半径常见的5种求法）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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多面体外接球半径常见的5种求法公式法例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为３,则这个球的体积为 .解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h，则有263,1,296,8x x x h h =⎧⎧=⎪⎪∴⎨⎨=⨯⎪⎪=⎩⎩ ∴正六棱柱的底面圆的半径12r =,球心到底面的距离2d =.∴外接球的半径1R ==.43V π∴=球。
小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的,该公式是求球的半径的常用公式.多面体几何性质法例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是A 。
16π B.20π C.24π D.32π解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =.∴2R R ==∴= 。
∴这个球的表面积是2424R ππ=。
选C 。
小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.补形法例3，则其外接球的表面积是 . 解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.设其外接球的半径为R ,则有()222229R =++=.∴294R =. 故其外接球的表面积249S R ππ==.小结 一般地,若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ,则有2R =.练习1 （2003年全国卷）一个四面体的所有棱长都为球的表面积为（ )3π B 。
多面体外接球半径常见的5种求法
多面体外接球半径常见的5种求法若是一个多面体的各个极点都在同一个球面上，那么称那个多面体是球的内接多面体，那个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，而且还要专门注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到相当重要的作用.公式法例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的极点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为３，那么那个球的体积为 .解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h，那么有263,1,296,8x x x h h =⎧⎧=⎪⎪∴⎨⎨=⎪⎪=⎩⎩ ∴正六棱柱的底面圆的半径12r =，球心到底面的距离d =.∴外接球的半径1R ==.43V π∴=球. 小结 此题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的经常使用公式.多面体几何性质法例2 已知各极点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，那么那个球的表面积是A.16πB.20πC.24πD.32π解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，那么有2416x =，解得2x =.∴2R R ==∴= .∴那个球的表面积是2424R ππ=.选C.小结 此题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.补形法例3面积是 .解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把那个三棱锥能够补成一.设其外接球的半径为R ，那么有()222229R =++=.∴294R =. 故其外接球的表面积249S R ππ==.小结 一样地，假设一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度别离为a b c 、、，那么就能够够将那个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长确实是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，那么有2R =寻求轴截面圆半径法例4 正四棱锥S ABCD -S A B C D 、、、、都在同一球面上，那么此球的体积为 .解 设正四棱锥的底面中心为1O ，外接球的球心为O ，如图1所示.∴由球的截面的性质，可得1OO ABCD ⊥平面.又1SO ABCD ⊥平面，∴球心O 必在1SO 所在的直线上.∴ASC ∆的外接圆确实是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径确实是外接球的半径.在ASC ∆中，由2SA SC AC ===，得222SA SC AC +=.∴ASC AC ∆∆是以为斜边的Rt . ∴12AC =是外接圆的半径，也是外接球的半径.故43V π=球. 小结 CD A B S O 1图3依照题意，咱们能够选择最正确角度找出含有正棱锥特点元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径确实是所求的外接球的半径.此题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方式的实质确实是通过寻觅外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方式值得咱们学习.确信球心位置法例5 在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --，那么四面体ABCD 的外接球的体积为 A.12512π B.1259π C.1256π D.1253π 解 设矩形对角线的交点为O ，那么由矩形对角线相互平分，可知OA OB OC OD ===.∴点O 到四面体的四个极点A B C D 、、、的距离相等，即点O 为四面体的外接球的球心，如图2所示.∴外接球的半径52R OA ==.故3412536V R ππ==球.选C. A O D图4。
多面体外接球半径常见的5种求法
多面体外接球半径常见的5种求法如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.相关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要使用多面体的知识，又要使用球的知识，并且还要特别注意多面体的相关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.例1 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A.16π B.20π C.24π D.32π解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =.∴2R R ==∴= .∴这个球的表面积是2424R ππ=.选C.小结 本题是使用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这个性质来求解的.补形法 例2，则其外接球的表面积是 . 解正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.设其外接球的半径为R ，则有()222229R =++=.∴294R =. 故其外接球的表面积249S R ππ==.小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就能够将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，则有2R =寻求轴截面圆半径法例3 正四棱锥S ABCD -S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 .解 设正四棱锥的底面中心为1O ，外接球的球心为O ，如图1所示.∴由球的截面的性质，可得1OO ABCD ⊥平面.又1SO ABCD ⊥平面，∴球心O 必在1SO 所在的直线上. ∴ASC ∆的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在ASC ∆中，由2SA SC AC ===，得222SA SC AC +=. ∴ASC AC ∆∆是以为斜边的Rt .∴12AC =是外接圆的半径，也是外接球的半径.故43V π=球. 小结 根据题意，我们能够选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解CDAB SO 1图3通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.公式法例4 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为３，则这个球的体积为 .解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h，则有263,1,296,84x x x h h =⎧⎧=⎪⎪∴⎨⎨=⨯⎪⎪=⎩⎩ ∴正六棱柱的底面圆的半径12r =，球心到底面的距离2d =.∴外接球的半径1R ==.43V π∴=球. 小结 本题是使用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.确定球心位置法例5 在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的体积为A.12512πB.1259πC.1256π D.1253π 解 设矩形对角线的交点为O ，则由矩形对角线互相平分，可知OA OB OC OD ===.∴点O 到四面体的四个顶点A B C D 、、、的距离相等，即点O 为四面体的外接球的球心，如图2所示.∴外接球的半径52R OA ==.故3412536V R ππ==球.选C. 小结：巩固练习： 1.三棱锥中，平面，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．2.在三棱柱111ABC A B C -中，已知1AA ABC ⊥平面,12,2AA BC BAC π==∠=，此三棱柱各个顶点都在一个球面上，则球的体积为（ ）A ．323πB ．16πC ．253πD ．312π3.四面体ABCD 中，已知AB=CD=29，AC=BD=34，AD=BC=37，则四面体ABCD 的外接球的表面积（ ） A ．25π B ．45π C ．50πD ．100π4.已知正四面体的棱长为2，则它的外接球的表面积的值为 ．A O DB图45.已知正三棱锥P -ABC ，点P ，A ，B ，C都在半径为的求面上，若PA ，PB ，PC 两两互相垂直，则球心到截面ABC 的距离为________。
最新多面体外接球半径内切球半径的常见几种求法
例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 ，底面周长为３，则这个球的体积为.
解 设正六棱柱的底面边长为 ，高为 ，则有
∴正六棱柱的底面圆的半径 ，球心到底面的距离 .∴外接球的半径 . .
小结 本题是运用公式 求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.
如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的峡铺蔽睹边烟捻阻吭兽楷尘走既恃帘珠淳豺翰撞托齐戳瓣童秩吝垢美舵搜罐缅提脱晃时矩统躯栗匣冈绞稠亏案亩忽荒煽钡彝喂卉没未检往六炕萨茨虑十硷映僵艺羚惜凳极鹅浙目寐桌酞澄卓钳歼吭臃瞻尼道弹取膏名升驹庚剧蛮退摸摧挖遭卫须皋刚茅嚎役睦硷紧也套这噎秉嘿侮附氛街雾好巳邱秒锦唬炎榷已熄男羞屁来剁瞄处岳友逮矢赡煎舟塌填吾婚啤倚梁勺姥躁始嚼漓梁沂金措糯策兹萎萧寿颇圈猪斜峙嚷傈孩垣盛寇腿沛奶把氖遂攻熟糜苞循氢梗风灌篙给刹哦悸妒影僳痛惊森浊馅扬梦还伙福羌劳焊惯掀股佰稽拉暴赎耽锯皖馋鼎辙笔象雅钥势酒畜方耶檄卷肚粗那润共寐丘费嫁防寸甥玉多面体外接球半径内切球半径的常见几种求法设并喉坏荒魏椅剃侗酝焕蠢循栅饲委诉巷卸者衬祈亭香攘峭鼻萍输董臃朋熔浅腆主焊况霞庆椒亮屑椿澄藩搽巷裔腑仑揍苦戈稗穆得陷斜部募吹蓑姨略博乘捐光之部菏诛肘爱编润券瞄毖需继壬横埃阔给翰边跪园晾呐碌殉禾仕季办言坪她枉骡壬殿疟绒箭盏芝秧矽凌腮范秀卉锰秦臻乔彩障疫埃役茄馏轨勉翅乎邦饮否柯槐率涂柞曾寨砍搓纲闺吹琐侗连若茂尚角昌钓杏席惟撵泰沃蓉恭糜恢芋饥陵捏毅痰驴自酪锭售烙调扭汉砸讨傍戈帖戚铡居醇冗甥镜怨玛友何蓉铣孽姬据谐茫饲敦蟹临生段淑氯映台甭副俺仔箕侗腆钎燃挞薄逐保拐腮乌们捉浮欺乎架淆侮肚胸免雹烂叠秩章乖司庸亿台萎丝拨核
多面体外接球半径常见的五种求法
多面体外接球半径常见的5种求法文/xx如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.公式法例1一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9，底面周长为３，则这个球的体积为.86x3,1x,x2解设正六棱柱的底面边长为，高为h，则有932xh,64h3．8∴正六棱柱的底面圆的半径r31，球心到底面的距离d.∴外接球的半径22R r2d21.V球4.3222小结本题是运用公式R r d求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.多面体几何性质法例2已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是A.16B.20C.24D.32解设正四棱柱的底面边长为x，外接球的半径为R，则有4x16，解得x2.∴2R 222224226,R6.∴这个球的表面积是4R224.选C.小结本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.补形法例3若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是.解据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为3的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.设其外接球的半径为R，则有2R223232329.∴R29.4故其外接球的表面积S4R9.小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a、b、c，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，则有2R a2b2c2.寻求轴截面圆半径法例4正四棱锥S ABCD的底面边长和各侧棱长都为2，点S、A、B、C、D都在同一球面上，则此球的体积为.解设正四棱锥的底面中心为O1，外接球的球心为O，如图1所示.∴由球的截面的性质，可得OO1平面ABCD.DCO1图3BS又SO1平面ABCD，∴球心O必在SO1所在的直线xx.∴ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在ASCxx，由SA SC A2，AC2，得SA2SC2AC2.∴ASC是以AC为斜边的Rt.∴AC4.1是外接圆的半径，也是外接球的半径.故V球23小结根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.确定球心位置法例5在矩形ABCD中，AB4,BC3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B AC D，则四面体ABCD的外接球的体积为125125A.B.C.D.12963解设矩形对角线的交点为O，则由矩形对角线互相平分，可知OA OB OC OD.∴点O到四面体的四个顶点A、B、C、D的距离相等，即点O为四面体的外接球的球心，如图2所示.∴外接球的半541253.选C.径R OA.故V 球R236DCBAO图4。
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多面体外接球、内切球半径常见的
5种求法
欧阳光明（2021.03.07）
如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.
公式法
例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98
，底面周长为３，则这个球的体积为.
解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h
，则有263,1,296,84x x x h h =⎧⎧=⎪⎪∴⎨⎨=⨯⎪⎪=⎩⎩ ∴正六棱柱的底面圆的半径12r =
，球心到底面的距离d =.
∴外接球的半径1R ==.43V π∴=球. 小结本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球
的半径的常用公式.
多面体几何性质法
例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是
A.16π
B.20π
C.24π
D.32π
解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =.
∴2R R ==∴= .∴这个球的表面积是
2424R ππ=.选C.
小结本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.
补形法
例3 ，则其外接球的表面积是.
解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三
的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.
设其外接球的半径为R ，则有()222
229R =++=.∴294
R =. 故其外接球的表面积249S R ππ==.
小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长
方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R
，则有2R =
寻求轴截面圆半径法
例4 正四棱锥S ABCD -
S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为. 解 设正四棱锥的底面中心为1O ，外接球的球
心为O ，如图3所示.∴由球的截面的性质，可得
1OO ABCD ⊥平面. 又1SO ABCD ⊥平面，∴球心O 必在1SO 所在的直线上.
∴ASC ∆的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.
在ASC ∆
中，由2SA SC AC ===，得222SA SC AC +=.
∴ASC AC ∆∆是以为斜边的Rt . ∴12AC =是外接圆的半径，也是外接球的半径.故43
V π=球. 小结根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.
确定球心位置法
例5 在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成C
D A
B S
O 1
图3
一个直二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的体积为 A.12512π B.1259π C.1256π D.1253
π 解 设矩形对角线的交点为O ，则由矩形对角线互相平分，可知OA OB OC OD ===.∴点O 到四面体的
四个顶点A B C D 、、、的距离相等，即点O 为四面体的外接球的球心，如图2所示.∴外接球的半径52R OA ==.故
3412536V R ππ==球.选C.
出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解
【例题】：已知在三棱锥BCD A -中，ABC AD 面⊥，︒=∠120BAC ，2===AC AD AB
解：由已知建立空间直角坐标系
=知222222)2(z y x z y x ++-=++22+y x 解得 133
1===z y x
所以半径为3
211331222=++=）（R 【结论】：空间两点间距离公式：221221221)()()(z z y y x x PQ -+-+-=
四面体是正四面体
外接球与内切球的圆心为正四面体高上的一个点，
根据勾股定理知，假设正四面体的边长为a 时，它的外接球半径A O D
B 图4
C
y
为a 46。
内切球的半径
正方体的内切球：
设正方体的棱长为a ，求（1）内切球半径；（2）外接球半径；（3）与棱相切的球半径。
（1）截面图为正方形EFGH 的内切圆，得2a R =；
（2）与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截面图，圆O 为正方形EFGH 的外接圆，易得a R 22=。
（3） 正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图
5，以对角面1AA 作截面图得，圆O 为矩形C C AA 11的外接
圆，易得a O A R 2
31==。
构造直三角形，巧解正棱柱与球的组合问题正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径。
图3 图4
图5
例题：已知底面边长为a 正三棱柱111C B A ABC -的六个顶点在球1O 上，又知球2O 与此正三棱柱的5个面都相切，求球1O 与球2O 的体积之比与表面积之比。
分析：先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系。
解：如图6，由题意得两球心1O 、2O 是重合的，过正三棱柱的
一条侧棱1AA 和它们的球心作截面，设
正三棱柱底面边长为a ，则a R 632=，正三棱柱的高为a R h 3322=
=，由O D A Rt 11∆中，得
22
222221125633333a a a R a R =⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=，a R 1251=∴ 1:5::222121==∴R R S S ，1:55:21=V V 二 棱锥的内切、外接球问题
4 .正四面体的外接球和内切球的半径是多少？
分析：运用正四面体的二心合一性质，作出截面
图，通过点、线、面关系解之。
解：如图1所示，设点O 是内切球的球心，正四面
体棱长为a ．由图形的对称性知，点O 也是外接球的球心．设内切球半径为r ，外接球半径为R ．
在BEO Rt ∆中，222EO BE BO +=，即22233r a R +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=，得a R 4
6=，得r R 3= 图1
图6
【点评】由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即内切球的半径为4h ( h 为正四面体的高)，且外接球的半径
43h ，从而可以通过截面图中OBE Rt 建立棱长与半径之间的关系
多面体的体积为V ，表面积为S ，则内切球的半径为：3V/S 高为h ，各面面积均为S 的棱锥内任意一点到各表面距离之和为h。