第二讲导数与微分
高等数学 第二章 导数与微分
（2）算比值： y f (x x) f (x) ．
x
x
（3）求极限： f (x) lim y lim f (x x) f (x) ．
x x0
x0
x
四、函数可导性与连续性的关系
定理 如果函数 y f (x) 在点 x0 处可导，则函数 y f (x) 在点 x0 处一定连续． 如果函数 f (x) 在点 x0 处连续，则函数 f (x) 在点 x0 处不一定可导．
第二章
导数与微分
导学
我们在解决实际问题时，除了需要确定变量之间的函数关系外，有时 还需要研究函数相对于自变量变化的快慢程度，即函数的变化率，以及当 自变量发生微小变化时函数的近似改变量，这两个问题就是我们本章所要 讨论的主要内容——导数与微分．
第一节
导数的概念
一、导数的定义
设某物体在数轴上做变速直线运动，运动方程为 s s(t) ，现在求该物体在 t0 时刻的瞬时速度 v(t0 ) ．
当
u
C （C
为常数）时，有
C v
Cv v2
．
二、反函数的求导法则
定理 2 如果函数 x f ( y) 在区间 I y 内单调、可导且 f ( y) 0 ，那么它的反函数 y f 1(x) 在
区间 Ix {x | x f ( y) ，y I y} 内也可导，且有
[ f 1(x)] 1 或 dy 1 ．
当时间 t 由 t0 变到 t0 t 时，物体的路程 s(t) 由 s(t0 ) 变到 s(t0 t) ，
路程的增量 s 为 s s(t0 +t) s(t0 ) ，
物体在
t0
到 t0
t
这段时间内的平均速度为
v
s t
第二章 导数与微分
由此可见,当|Δx|很小时,(Δx)^2的作用非常小,可以忽略不计 因此,函数y=x^2在x0有微小改变量Δx时,函数的改变量Δy约为 2x0·Δx, Δy≈2x0·Δx.
从图2-3中不难看出,Δy表示的是以x0为边长的正方形外围 的阴影部分面积,它为图示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ部分面积之和 2(x0·Δx)+(Δx)2，显然当|Δx|相对于x0很小时，(Δx)^2是微乎其 微的. 当f(x)=x2时，f′(x0)=2x0，因此Δy≈2x0·Δx可以写成 Δy≈f′(x0)·Δx. 由于f′(x0)·Δx是Δx的线性函数，所以通常把 f′(x0)·Δx叫做Δy的线性主部.
一般地，对于给定的可导函数y=f(x)，当自变量在x0处有 微小的改变量Δx时，函数值y的改变量Δy可用下式近似计算， 即
已知曲线方程y=f(x)，可以求过曲线上点M(x0，y0)处的 切线斜率.在M点的附近取点N(x0+Δx，y0+Δy)，其中Δx可正 可负，作割线MN，其斜率为(φ为倾斜角) tanφ=Δy/Δx=[f(x0+Δx)-f(x0)]/Δx.当Δx→0时，割线MN将绕着 点M转动到极限位置MT,如图2-2所示.根据上面切线的定义， 直线MT就是曲线y=f(x)在点M处的切线.自然，割线MN的斜 率tanφ的极限就是切线MT的斜率tanα(α是切线MT的倾斜角).
以上两个问题，虽然它们所代表的具体内容不同，但从 数量上看，它们有共同的本质：都是计算当自变量的增量趋 于零时，函数的增量与自变量的增量之比的极限.在自然科学 、工程技术问题和经济管理中，还有许多非均匀变化的问题 ，也都可归结为这种形式的极限.因此，抽去这些问题的不同 的实际意义，只考虑它们的共同性质，就可得出函数的导数 定义.
大一上学期《高等数学》知识整理-第二章 导数与微分
大一上学期《高等数学》知识整理-第二章导数与微分第二章导数与微分1.导数的定义。
对于一个在x0的某个邻域内有定义的函数，当自变量x在x0处取得增量Δx时，相应地函数y取得增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)，如果当Δx→x0时Δy/Δx的极限存在，则称函数y=f(x)在x0点可导，并称这个极限为函数y=f(x)在x0处的导数。
通俗地讲，就是描述某个函数在某点增长或下降的瞬时速度，这个“速度”的单位为y每x，即每变化一个单位的x，y变化多少。
与物理学中定义米/秒是一个性质的。
把函数f(x)的导数看做是关于x的函数，即得到函数f(x)的导函数f'(x)，简称导数。
（以上的“x0”中的“0”都是x 的下标，下同。
）导数也可以用微分的形式记作dy/dx，这个后面会提及。
2.在导数的定义中，如果Δx从左边趋向x0或从右边趋向x0，那么对应的导数被称为左导数和右导数。
只有f(x)在x0处的左导数和右导数相等，才能称f(x)在x0处可导。
举个例子，绝对值函数y=|x|，其在x=0处的左导数是-1（即x每增大1，y减小1），右导数是1，两者不相等，所以该函数在x=0处不可导。
如图所示。
绝对值函数y=|x|的导数是符号函数y=sgn(x)，但是不包含x=0（单独的符号函数y=sgn(x)，当x=0时，y=0）。
3.用定义法可以求初等函数的导数，本质上就是求极限。
比如说求y=x²在x=a处的导数，即就是求Δx→0时((a+Δx)²-a²)/Δx的极限。
求得结果为2a了解即可，还不如求导公式来得快。
下图为求该极限的过程，也就是用定义求y=x²的导数的过程。
4.函数的可导性与连续性的关系。
我们有定理：如果函数y=f(x)在点x0处可导，则f(x)在x0处必连续。
但反过来就不一定了。
归纳为一句话：连续不一定可导，可导一定连续。
y=|x|就是一个例子。
该函数在定义域内处处连续但是在x=0时不可导（因为左右极限不一样）。
经典-高数第2章：导数与微分
1 y 1 x 1 1 x 1 2 x 4 1
y x 1
3(x 1)
x4
y
(x 1) 3 x 1 (x 4)2 ex
1 x 1
1 3(x 1)
x
2
4
1
隐函数的导数
设 y xsinx ( x 0), 求y.
导 即有如下的关系式
可微
可导
连续
有极限
微分与导数间的计算转换方法
重点）
可导是指
lim y x0 x
存在.
说明函数的连续性，因为式中有除以Δ x，
反应的是变化的快慢，几何意义表示切线
的斜率
可微是函数值的变化增量，Δ y可以表达 为A·Δ x+o(Δ x)，解决的是函数的变化 增量，微分表示函数值的增量结果，可间
联系
可微必可导，可导必连续，连续有极限 但是，有极限不一定连续，连续不一定可
x
当Δ x足够小时，dy与Δ y相差很小，切线段MP 可近似的代替曲线段MN（以直代曲）
微分
微分的理解
A是与Δ x无关的常数，但却与f(x)与x0有 关。实际上，A为f(x)在x0处的导数值。
由刚才的几何意义，当Δ x很小时， Δ y≈dy（这样就可以近似计算较复杂函 数的改变量）
可微与可导的区别与联系（理解
注意：此导数为一函数。在某一点的导数 是一个值。
f (x0 )可以看作导函数f (x) 在x0的函数值，
即 f '(x0 ) f '(x) xx0 . 有下标特别指
明在某点x0
导数的几何意义
第二章 导数与微分
例4
求自由落体运动 s
=
1 2
gt 2
在时刻 t0
的瞬时速度 v(t0 )
.
解
Δs
=
1 2
g (t0
+
Δt)2
−
1 2
gt02
=
gt0Δt
+
1 2
g (Δt )2
Δs Δt
=
gt0Δt
+ 1 g (Δt )2
2 Δt
=
gt0
+
1 2
gΔt
lim
Δt → 0
Δs Δt
=
lim
Δt → 0
(
g
t
0
+
1 2
也随着变动而趋向于极限位置，即直线 M0T .称直线 M0T 为曲线 y = f (x) 在定点
29
M0 处的切线.显然，此时倾角ϕ 趋向于切线 M 0T 的倾角α ，即切线 M 0T 的斜率
为
tan α = lim tanϕ = lim Δy = lim f ( x0 + Δx) − f ( x0 ) .
lim Δy = lim (2x + Δx) = 2x
Δx Δx→0
Δx→0
y′ = ( x2 )′ = 2x .
同理可得 (xn )′ = nxn−1 （ n 为正整数）
例 6 求 y = sin x 的导函数.
解 Δy = sin ( x + Δx) − sin x = 2 cos(x + Δx ) ⋅ sin Δx
d f (x)
dx
x= x0
这时称函数 y = f (x0 ) 在点 x0 处是可导的函数.
第二讲导数和微分内容提要和典型例题
x0
① f (x)连续 ② f(0)存在
③ f(x)连续 ④ f(0)存在
第二章 导数与微分典型例题
解 首先注意到
当 0时lim xsin 1不存在
x 0
x
当 0时 lim xsi1 n0
x 0
x
① 当 x0时f， (x)xnsi1n是初等函数，连续 x
因此要使 f (x)连续只f须 (x)在 x0处连续
F ( 0 ) 存 F ( 0 ) 在 F ( 0 ) F (0 ) x l 0 if m (x )1 ( sxix )n f(0 )
x l i0 m f(x x ) 0 f(0 )f(x)sx ixn f(0 )f(0 ) F (0 ) x l 0 if m (x )1 ( sxix )n f(0 ) x l i0 m f(x x ) 0 f(0 )f(x)sx ix n
2d yy22tyd yet 0
dt
dt
dyet y2 dt 2ty2
dy
dy dx
dt dx
(1t2)(et y2) 2ty2
dt
④ 设 f(x)(x20 01 1)g(x)，其 g(x)在 中 x1处连续
且 g(1)1求 f(1)
第二章 导数与微分典型例题
第二讲 导数与微分
内容提要与典型例题
第二章 导数与微分内容提要
一、主要内容
关 系
d y y d y y d x y d o y ( x ) dx
导数
y lim x0 x
基本公式 高阶导数 高阶微分
微分
dyyx
求导法则
第二章 导数与微分内容提要
第二讲：连续,导数、微分
o
1
x
跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点 函数在点 x0处的左、右极限都存在 . 处的左、
处的左、 3.第二类间断点 如果 f ( x )在点 x0处的左、 第二类间断点 右极限至少有一个不存 在, 则称点 x0为函数 f ( x )的第二类间断点 . 1 例6 讨论函数 f ( x ) = x , x > 0,在x = 0处的连续性 . x , x ≤ 0, y
如果函数在开区间 (a , b )内连续 , 并且在左端点 x = a处右连续 , 在右端点 x = b处左连续 , 则称 函数 f ( x )在闭区间 [a , b]上连续 .
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线 例如, 例如 有理函数在区间 ( ∞ ,+∞ )内是连续的 .
三、小结
1.函数在一点连续必须满足的三个条件 函数在一点连续必须满足的三个条件; 函数在一点连续必须满足的三个条件 2.区间上的连续函数 区间上的连续函数; 区间上的连续函数 3.间断点的分类与判别 间断点的分类与判别; 间断点的分类与判别
第一类间断点:可去型 跳跃型 第一类间断点 可去型,跳跃型 可去型 跳跃型. 间断点 第二类间断点:无穷型 振荡型 第二类间断点 无穷型,振荡型 无穷型 振荡型.
二、函数的间断点
函数 f ( x)在点x0处连续必须满足的三个 条件:
(1) f ( x )在点 0处有定义; 在点x
( 2) lim f ( x )存在;
x → x0
( 3) lim f ( x ) = f ( x 0 ).
x → x0
如果上述三个条件中只 要有一个不满足 , 则称 函数 f ( x )在点 x0处不连续 (或间断 ), 并称点 x0为 f ( x )的不连续点(或间断点).
《高等数学》上册(课件全集)第2章导数及微分
导数的几何意义
总结词
详细描述
总结词
详细描述
导数的几何意义是切线斜率 。
对于可导函数，其在某一点 的导数即为该点处的切线斜 率。在几何上，导数表示曲 线在该点的切线的斜率。这 个斜率决定了切线的倾斜程 度，进而决定了函数在该点 的变化趋势。
导数决定切线的斜率和倾斜 程度。
对于可导函数，其在某一点 的导数决定了该点处切线的 斜率和倾斜程度。如果导数 大于0，切线斜率为正，表 示函数值随自变量增大而增 大；如果导数小于0，切线 斜率为负，表示函数值随自 变量增大而减小。因此，导 数是研究函数图像和性质的 重要工具。
导数的定义
总结词
导数定义是函数在某一点的切线斜率。
详细描述
导数可以理解为函数在某一点的切线斜率。对于可导函数，其在某一点的导数 即为该点处切线的斜率。这个斜率决定了函数在该点的变化趋势，是研究函数 行为的重要工具。
导数的定义
总结词
导数是函数在某一点附近的变化率。
详细描述
导数表示函数在某一点附近的变化率，即函数值随自变量变化的速率。对于可导函数，其在某一点的 导数值越大，表示函数在该点附近的斜率越大，即函数值变化越快；导数值越小，表示函数值变化越 慢。
微分中值定理的应用非常广泛，是高等数学中重要的知识点之一。
05
导数与微分的应用
导数在几何中的Biblioteka 用切线斜率导数可以用来求曲线上某一点的切线斜率，从而了解曲线在该点 的变化趋势。
函数单调性
通过导数可以判断函数的单调性，进而研究函数的增减性。
极值问题
导数可以用来研究函数的极值问题，确定函数在哪些点取得极值 。
导数的物理意义
总结词
导数的物理意义是速度和加速度。
微积分教学课件第2章导数与微分
微积分
三、 导数的几何意义
y y f(x)
曲线 y f (x)在点 (x0 , y0)的切线斜率为
tan f(x0)
CM
T
若 f(x0)0,曲线过 (x0 , y0)上升;
o x0
nan1
说明：
微积分
对一般幂函数 y x ( 为常数)
(x)x1
（以后将证明）
例如，(
1
x ) (x 2 )
1
x
1 2
2
1 2x
1 x
(x1)
x11
1 x2
(
1
3
) (x 4 )
3
x
7 4
xx
4
微积分
例3. 求函数 f(x)sixn的导数.
解: 令hx,则
f (x) lim f(xh)f(x) lim sin x(h)sixn
u(xh)vu (x()x u)v(ux((x)vxv)2)( (vxxu ())x(x)vh)(x)
故结论成立.
推论h: v(xCvh)v(x)vC2v ( C为常数 )
微积分
例2. 求证 (tax)n se2c x,(c x )s c cx s cc x o . t 证: (tanx)csoinsxx(six)ncocxos s2sxixn(cx o)s
h h
1, 1,
h0 h0
lim f(0h)f(0)不存在 ,即x在x0不可. 导
h 0
h
例6. 设
f
(x0)
存在,
求极限
lim f(x0h)f(x0h).
第二章 导数与微分知识点
第二章 导数与微分一、导数1．导数的定义: 由“变速直线运动的瞬时速度”、“平面曲线的切线斜率”引出 设函数()x f y =在点0x 的某领域内有定义，自变量x 在0x 处有增量x ∆，相应地函数增量()()00x f x x f y -∆+=∆。
如果极限 ()()xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆0000lim lim存在，则称此极限值为函数()x f 在0x 处的导数（也称微商），记作()0x f '，或0x x y ='，0x x dx dy =，()0x x dx x df =等，并称函数()x f y =在点0x 处可导。
如果上面的极限不存在，则称函数()x f y =在点0x 处不可导。
注：函数()x f 在0x 处的导数，就是导函数f ’(x)在点在0x 处的函数值，即()0x f '=f ’(x)|x=x0。
多数情况下用求导法则，有时用定义求导更方便。
如题中函有f(x)，而不是具体的方程时。
2、单侧导数右导数：()()()()()x x f x x f x x x f x f x f x x x ∆-∆+=--='++→∆→+000000lim lim 0左导数：()()()()()xx f x x f x x x f x f x f x x x ∆-∆+=--='--→∆→-000000lim lim 0则有()x f 在点0x 处可导()x f ⇔在点0x 处左、右导数皆存在且相等。
3、导数的几何意义如果函数()x f y =在点0x 处导数()0x f '存在，则在几何上()0x f '表示曲线()x f y =在点()()00,x f x 处的切线的斜率，即：()0x f '=K=tan a 。
切线方程：()()()000x x x f x f y -'=-法线方程：()()()()()010000≠'-'-=-x f x x x f x f y 注：切线与法线垂直，切线的斜率与法线的斜率乘积为负1，即：K 切 * K 法 = -1。
第二章 导数与微分
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) y lim lim x 0 x x 0 x
存在，则称函数 y f ( x ) 在点 x0 处可导，其极限 值称为函数 y f ( x ) 在点 x0 处的导数，记作
f ( x0 ), y | x x0
y f ( x) M0
3 1 1 2 解 y 2 x x
x 1
o
x
法线
k y
1 2
第二章 导数与微分
微积分部分
因此切线方程为 法线方程为
y 1
x 2y 3 0
2x y 1 0
1 2
x
1
，即
y 1 2 x 1
t 0 , t 0 t 上可近似的看作匀速运动,即速度看作
是不变的(实际上有一些微小的变化,但变化很小很 小).其平均速度为:
微积分部分 第二章 导数与微分
f ( t 0 t ) f ( t 0 ) S v t t
显然, t 越小,
S v ( t 0 ) 越接近.为此 与 t
dy , dx
x x0
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) lim 即 x 0 x 如果上述极限不存在,则称该函数在 x如果令 x 0 x x则 y f ( x )在 x 0点的导数又 可以表示为 f ( x ) lim f ( x ) f ( x 0 ) 0
令 t 0 ,对上式取极限得
f ( t 0 t ) f ( t 0 ) S v( t 0 ) lim lim t 0 t t 0 t
2.曲线上一点切线的斜率 k 设有一曲线 y f ( x ) , P( x0 , y0 ) 是其上一点,求 过该点的切线斜率 k. 设自变量由 x 0 点变化到了 x0 x ,则过 x0 x
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二讲导数与微分知识要点一、导数的概念1. 导数的定义设函数)(x f y =在点0x 的某个邻域内有定义，当自变量x 在0x 处取得增量x ∆（点x x ∆+0仍在邻域内）时，相应地函数y 取得增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；如果y ∆与x ∆之比当0→∆x 时的极限存在，即 x y x ∆∆→∆0lim =xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000存在,则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并称这个极限值为函数)(x f y =在点0x 处的导数，记为)(0x f ', 0x x y =',x x dx dy=，或0)(x x dx x df =, 即=∆∆='→∆=x y y z x x 0limxx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000 . 如果极限xyx ∆∆→∆lim 不存在,就称函数)(x f y =在点0x 处不可导. 2. 左、右导数)(0x f -'=x x f x x f x ∆-∆+-→∆)()(lim 000)(0x f +'=xx f x x f x ∆-∆++→∆)()(lim 000函数)(x f 在点0x 处可导的充分必要条件是左右导数都存在且相等.即)(0x f '存在⇔)(0x f -'=)(0x f +'3. 导数的几何意义由导数的定义可知：函数)(x f y =在点0x 处的导数)(0x f ',就是曲线(x f y =在点))(,(00x f x M 处的切线的斜率. 4.可导与连续的关系函数)(x f y =在点0x 处可导,则)(x f y =在点0x 处一定连续.二.导数的计算1.常数和基本初等函数的导数公式.（1）0)(='C ， （2）1)(-='ααμx x ， （3）,cos )(sin x x =' （4）,sin )(cos x x -=' （5）,sec )(tan 2x x =' （6）,csc )(cot 2x x -=' （7）,tan sec )(sec x x x =' （8）,cot csc )(csc x x x -=' （9）,ln )(a a a x x =' （10）,)(x x e e =' （11）,ln 1)(log a x x a =' （12）,1)(ln xx =' （13）,11)(arcsin 2xx -=' （14）,11)(arccos 2/xx --=（15）,11)(arctan 2x x +=' （16）211)cot (xx arc +-='. 2.函数的和、差、积、商的求导法则. 设)(),(x v v x u u ==都可导，则(1)u v u v '±'='±)(, (2)u C Cu '=')(, (3)v u v u uv '+'=')(, （4）2)(vv u v u vu '-'='. 3.复合函数的求导法则.设)(u f y =，)(x u ϕ=,而)(u f 及)(x ϕ都可导，则复合函数)]([x f y ϕ=的导数为dxdudu dy du dy ⋅= 或 x u x u y y '⋅'='. 4.反函数的导数.设)(1x f y -=是)(y f x =的反函数,且0≠'y x ，则yx x y '='1. 5．隐函数的求导法则0)(=x F 确定的函数)(x f y =6.高阶导数一般地，函数)(x f y =的导数)(x f y '='仍然是x 的函数.我们把)(x f y '='的导数叫做函数)(x f y =的二阶导数，记作y ''或22dxyd ，即)(''=''y y 或 )(22dx dydx d dxy d =.相应地，把)(x f y =的导数)(x f '叫做函数)(x f y =的一阶导数.类似地，)(x f 的二阶导数的导数，称为)(x f 的三阶导数，)(x f 的三阶导数的导数称为)(x f 的四阶导数,…,一般地，)(x f 的)1(-n 阶导数的导数称为)(x f 的n 阶导数，即 [])()1(n n yy='- ),4,3,2( =n ， n 阶导数记作 )(n y或 xd yd n n .函数)(x f y =具有n 阶导数，通常也称函数)(x f 为n 阶可导.如果函数)(x f 在点x 处具有n 阶导数，那末)(x f 在点x 的某一邻域内必定具有低于n 阶的各阶导数，二阶及二阶以上的导数统称高阶导数 二、微分 1. 微分的定义设函数)(x f y =在点0x 的某邻域内有定义，对于自变量在点0x 取得的改变量x ∆,如果相应的函数的改变量 )()(00x f x x f y -∆+=∆,可表示为)(x o x A y ∆+∆=∆,其中Ａ是不依赖于x ∆的常数，而)(x o ∆是比x ∆高阶的无穷小，则称函数)(x f y =在点0x 处可微，x A ∆叫做函数)(x f y =在点0x 相应于自变量增量x ∆的微分，记作dy ，即 .x A dy ∆=2.可微与可导的关系函数)(x f 在点0x 可微的充分必要条件是函数)(x f 在点0x 可导，且微分x x f dy ∆'=)(0。
3. 微分形式的不变性（1）当u 是自变量时, 函数的微分为 du u f dy )('=.（2）当u 不是自变量,而是中间变量，设)(x u ϕ=为x 的可导函数, 则复合函数)]([x f y ϕ=的微分为 )(u f dy '=dx x )(ϕ',由于du dx x =')(ϕ，所以，复合函数)]([x f y ϕ=的微分的公式也可以写成du u f dy )('=.由此可见，无论u 是自变量还是中间变量的可微函数，函数)(u f y =微分形式du u f dy )('=总保持不变，这一性质称为微分形式不变性.重要公式与结论 一、导数定义与极限的联系1.设)(0x f '存在，如果0)(lim =x u ，则);()()())((lim 000x f x u x f x u x f '=-+如果0)(lim x x u =，则).()()())(lim000x f x x u x f x u f '=--（2.设)(x f 在0x x =处连续，则.)(,0)()10(0)()(lim;0)(,0)()1()()(lim;)(,0)()(lim000000000000不存在x f x f k A x x x f x f x f k A x x x f A x f x f A x x x f kx x kx x x x '=⇒<<≠=-='=⇒>=-='=⇔=-→→→二、可导、可微、连续及极限的关系).()(lim 00x f x f x x =⇔⇒⇔→连续可微可导三、导数的几何意义切线方程：).)(()(000x x x f x f y -'=- 法线方程：).)()(1()(000x x x f x f y -'-=- 特别地，如0)(0='x f ，切线方程为：).(0x f y =；法线方程为：0x x =。
如∞=')(0x f ，切线方程为：0x x =；法线方程为：)(0x f y =。
四、奇偶函数、周期函数的导数1.可导偶函数的导函数为奇函数。
特别地，设)(x f 为偶函数，且)0(f '存在，则0)0(='f 。
2.可导奇函数的导函数为偶函数。
3.可导周期函数的导函数仍为同周期函数。
特别地，设)(),()(0x f x f T x f '=+存在，则).()(00x f T x f '=+' 五、A x f x f x f ='='⇔='-+)()(A )(000 六、含绝对值函数的可导性1.设)(lim 0x g xx →存在，且)(0x g 有定义，则||)(0x x x g -在0x 处可导。
2.设)(0)(00x f x f '=，存在，则|)(|x f 在0x 处可导0)(0='⇔x f 。
七、高阶导数公式1.设函数)(x u u =，)(x υυ=在点x 处有n 阶导数，则（1）)()()2()1()()(!)1()1(2)1()k k n n n n n u k k n n n u n n nu u u υυυυυ---+--++''-+'+=± （ .)(n u υ++2.基本初等函数的n 阶导数公式。
（1）!)(n x n n =）（， （2）b ax n n x e a b ea +=+)()（，.ln ))(a a a n x n x =（（3）).cos()][cos();sin()][sin()()(xbn ax a b ax x bn ax a b ax n n n n ππ∙+=+∙+=+（4）.)()!1()1()][ln(;)(!)1(11)(1)(nnn n n n nn b ax n a b ax b ax n a b ax +-∙-=++∙-=+-+）（。