高三第一轮复习数学---函数的概念与表示

高三第一轮复习数学---函数的概念与表示
一、教学目标：了解映射的概念,在此基础上加深对函数概念的理解；能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数；理解分段函数的意义．
二、教学重点：函数是一种特殊的映射,而映射是一种特殊的对应；函数的三要素中对应法则是核心，定义域是灵魂． 三、教学过程：
（一）主要知识： （一） 映射
（1）映射：设A 、B 是两个集合，如果按照某种映射法则f ，对于集合A 中的任一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合A 、B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到集合B 的映射，记作f ：A →B 。

（2）象与原象：如果给定一个从集合A 到集合B 的映射，那么集合A 中的元素a 对应的B 中的元素b 叫做a 的象，a 叫做b 的原象。

注意点：（1）对映射定义的理解。

（2）判断一个对应是映射的方法。

（二） 函数
（1）函数的定义
①原始定义：设在某变化过程中有两个变量x 、y ，如果对于x 在某一范围内的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就称y 是x 的函数，x 叫作自变量。

②近代定义：设A 、B 都是非空的数的集合，f ：x →y 是从A 到B 的一个对应法则，那么从A 到B 的映射f ：A →B 就叫做函数，记作y=f(x)，其中B y A x ∈∈,，原象集合A 叫做函数的定义域，象集合C 叫做函数的值域。

B C ⊆
（2）构成函数概念的三要素
①定义域②对应法则③值域 （三） 函数的表示方法
①解析法②列表法③图象法
注意：强调分段函数与复合函数的表示形式。

（二）主要方法：
1．对映射有两个关键点：一是有象，二是象惟一，缺一不可；
2．对函数三要素及其之间的关系给以深刻理解，这是处理函数问题的关键； 3．理解函数和映射的关系，函数式和方程式的关系． （三）例题分析：
例1、下列各组函数中，表示相同函数的是（D ）
()()()x x g x x f A ln 2,
ln 2==
()()()()x x g a a a x f B x a
=≠>=,1,0log
()()()[]
1,1(1,12
-∈-=-=
x x x g x x f C ()()()33),
1,0(log
x x g a a x f D x a a
=≠>=
练习：
变式题（一）：下列各对函数中，相同的是（D ）
()()()x x g x x f A ==,2 ()()()x x g x x f B lg 2,lg 2==
()()()()()1lg 1lg ,11lg +--=+-=x x x g x x x f C ()()()v
v
v g u u u f D -+=-+=
11,11 例2、{}{}
13:,,,3,,7,4,,3,2,12
4
+=→∈+==*
x y x f N n m n n n N m M 映射已知集合
是从M 到N 的一个函数，则m,n 的值分别为（B ）
（A ）2，5 （B ）5，2 （C ）3，6 （D ）6，3 练习：设” f ：A →B ”是从A 到B 的一个映射，其中(){}
R y x y x B A ∈==,,，
()()xy y x y x f ,,:+→,则A 中元素（1，-2）的象是 ，B 中的元素（1，-2）的原象
是 。

(-1,-2). (2,-1)或（-1，2）
变式二：设集合A 和B 都是自然数集合N ，映射f ：A →B 把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素2n +n ，则在映射f 下，像20的原象是（C ）
A 、2
B 、3
C 、4
D 、5 例3、下列对应是否为从A 到B 的映射？能否构成函数？
()11:,
,1+=
→==x y x f R B R A ()a b a f N
n n
b b B N a a A 1:,,1,2
12=→⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧∈==⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈=*
(){}{}作矩形的外接圆内的圆平面内的矩形平面:,
,3f B A αα==
解（1）不是映射
（2）是映射，也是函数 （3）是映射，不是函数
练习：变式（三）{}{}
20,20≤≤=≤≤=y y N x x M 给出的四个图形，其中能表示集合M 到N 的函数关系的有（B ）
A 、 0个
B 、1个
C 、2个
D 、3个 例4、()()[]()().05,)
10(5)
10(2,的值和求已知f f n n f f n n n f N n ⎩⎨
⎧
<+≥-=∈*
解：()()[]()()()[]()()95911138210105=∴====-==f f f f f f f f f
()()[]()[]()()[]()()909111381050=∴======f f f f f f f f f f
练习：
()()⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧
≥<<--≤+=22)21(2)1(22
x x x x x x x f 已知函数
()⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-471f f f 求
()().,32的值求若a a f = （1）1，（2）a=6,
2
3
变式（四）()()()
()的值求已知912,0lg )0(sin 1-⋅⎪⎭⎫
⎝⎛+⎩⎨
⎧<-≥=+f f x x x x x f π (1)
例5、{}{}1,0,1,,,-==N c b a M 设
（1） 求从M 到N 的映射的个数； (27)
（2） 从M 到N 的映射满足f(a)-f(b)=f(c)，试确定这样的映射f 的个数。

(7) 练习：（变式五）设集合{}{}M x N M f N M ∈→=-=使对任意的映射,:,5,4,3,2,1,0,1 都有x+f(x)+xf(x)是奇数，这样的映射f 共有（C ）个。

A 、 22
B 、15
C 、50
D 、27
例6．函数()f x 对一切实数x ，y 均有()()(21)f x y f y x y x +-=++成立，且(1)0f =， （1）求(0)f 的值；
（2）对任意的11(0,)2x ∈，21
(0,)2
x ∈，都有12()2log a f x x +<成立时，求a 的取值范围．
解：（1）由已知等式()()(21)f x y f y x y x +-=++，令1x =，0y =得(1)(0)2f f -=， 又∵(1)0f =，∴(0)2f =-．
（2）由()()(21)f x y f y x y x +-=++，令0y =得()(0)(1)f x f x x -=+，由（1）知(0)2f =-，∴2()2f x x x +=+．
∵11(0,)2x ∈，∴2
2111111()2()24
f x x x x +=+=+-在11(0,)2x ∈上单调递增，
∴13
()2(0,)4f x +∈．
要使任意11(0,)2x ∈，21
(0,)2
x ∈都有12()2log a f x x +<成立，
当1a >时，21
log log 2
a a x <,显然不成立．
当01a <<时，21log log 2a a x >，∴0113
log 24
a a <<⎧⎪
⎨≥⎪⎩
1a ≤<
∴a 的取值范围是4
．
（四）巩固练习：
1．给定映射:(,)(2,)f x y x y xy →+，点11(,)66-的原象是11(,)32-或12(,)43
-．
2．下列函数中，与函数y x =相同的函数是
（ C ）
()A 2
x y x = ()B 2
y =
()C lg10x
y =
()D 2log 2
x
y = 3．设函数3,(10)
()((5)),(10)
x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩，则(5)f ＝8．
四、小结：
1、映射的定义是有方向性的，即从集合A 到B 与从集合B 到A 的映射是两个不同的映射，映射是一种特殊对应关系，只有一对一、多对一的对应才是映射。

2、函数的定义有两种形式，都描述了定义域、值域和从定义域到值域的对应法则，函数是一种特殊的映射。

3、判断两个函数是否同一，紧扣函数概念三要素是解题关键。

五、作业：。