北京航空航天大学高等代数2001-2008年考研真题(最全版)
北京航空航天大学(已有09试题)
北京航空航天大学理学院理论力学2000——2008理论力学（2）2002固体物理1999——2008自动控制原理1999——2002，2006——2007自动控制原理综合2008——2009自动控制原理（1）2001——2005（2001，2003——2005有答案）自动控制原理（2）2001——2005自动控制原理（3）2001传感器与仪表2004数学专业基础课2009数学专业综合课2009单片机原理及应用2003——2004高等代数2001——2008数学分析2002——2008量子力学1999，2001——2006统计物理2004——2005普通物理学2002大学物理1999，2001，2003——2005光学2005——2006物理化学1999——2008无机化学2005——2008电子技术综合2006模拟电路与数字电路2000——2005数字与模拟电路1998——2002数字电路与计算机组成原理2001——2002数字电路1994——1997，1999（注：1994年共4页，缺P2，P4）航空科学与工程学院理论力学2000——2008力学基础2009理论力学（2）2002材料力学2001——2008热工基础2003——2009工程热力学2000——2008自动控制原理1999——2002，2006——2007自动控制原理综合2008——2009自动控制原理（1）2001——2005（2001，2003——2005有答案）自动控制原理（2）2001——2005自动控制原理（3）2001计算机专业技术基础2003——2006（2003——2004有答案）计算机专业综合2007——2008概率与数理统计2000——2001，2003——2008金属学原理1999——2002大学物理1999，2001，2003——2005机械工程及自动化学院机电工程专业综合2008——2009机械工程专业综合2007，2009机械工程专业综合（1）2008机械工程专业综合（2）2008机械设计2001检测技术综合2007——2009材料力学2001——2008计算机专业技术基础2003——2006（2003——2004有答案）计算机专业综合2007——2008数学专业基础课2009数学专业综合课2009数理逻辑与编译原理1998，2000——2002数理逻辑1999数据库与操作系统2001——2002操作系统2000数据结构与C语言程序设计2005——2008数据结构与程序设计1998——2002，2004数字逻辑与计算机组成原理1999——2000计算机组成原理部分2000——2002高等代数2001——2008自动控制原理1999——2002，2006——2007自动控制原理综合2008——2009自动控制原理（1）2001——2005（2001，2003——2005有答案）自动控制原理（2）2001——2005自动控制原理（3）2001电子技术综合2006模拟电路与数字电路2000——2005数字与模拟电路1998——2002数字电路与计算机组成原理2001——2002数字电路1994——1997，1999（注：1994年共4页，缺P2，P4）物理化学1999——2008工业设计专业基础2005——2006热工基础2003——2009工程热力学2000——2008汽车空气动力学2003——2005汽车理论2001金属学原理1999——2002大学物理1999，2001，2003——2005自动化科学与电气工程学院电气工程综合2006——2009控制工程综合2006——2009控制理论综合2006——2007机械电子工程综合2006——2008检测技术综合2007——2009材料力学2001——2008微机原理及接口技术2002——2005微机原理及应用2000——2002电子技术综合2006模拟电路与数字电路2000——2005数字与模拟电路1998——2002数字电路与计算机组成原理2001——2002数字电路1994——1997，1999（注：1994年共4页，缺P2，P4）自动控制原理1999——2002，2006——2007自动控制原理综合2008——2009自动控制原理（1）2001——2005（2001，2003——2005有答案）自动控制原理（2）2001——2005自动控制原理（3）2001信号与系统1994，1996——2002电路分析1999——2001，2003电机学2001，2003——2005光电技术2004，2006大学物理1999，2001，2003——2005汽车工程系材料力学2001——2008机械电子工程综合2006——2008机械工程专业综合2007，2009机械工程专业综合（1）2008机械工程专业综合（2）2008工程热力学2000——2008理论力学2000——2008理论力学（2）2002汽车空气动力学2003——2005汽车理论2001自动控制原理1999——2002，2006——2007自动控制原理综合2008——2009自动控制原理（1）2001——2005（2001，2003——2005有答案）自动控制原理（2）2001——2005自动控制原理（3）2001大学物理1999，2001，2003——2005电子信息工程学院通信类专业综合2004——2009信息类专业综合2004——2008光电类专业综合2004——2008交通信息类专业综合2005——2008电子技术综合2006光电技术2004，2006模拟电路与数字电路2000——2005数字与模拟电路1998——2002数字电路与计算机组成原理2001——2002数理逻辑与计算机组成原理2001数字电子技术与计算机组成原理2002电子线路2003数字电路1994——1997，1999（注：1994年共4页，缺P2，P4）电路分析1999——2001，2003信号与系统1994，1996——2002电磁场理论1998——1999，2001——2003信息技术基础2004信息系统基础2004微波技术1999——2000大学物理1999，2001，2003——2005电机学2001，2003——2005仪器科学与光电工程学院自动控制原理1999——2002，2006——2007自动控制原理综合2008——2009自动控制原理（1）2001——2005（2001，2003——2005有答案）自动控制原理（2）2001——2005自动控制原理（3）2001电子技术综合2006图像处理与识别2007——2008模拟电路与数字电路2000——2005数字与模拟电路1998——2002数字电路与计算机组成原理2001——2002数字电路1994——1997，1999（注：1994年共4页，缺P2，P4）光电类专业综合2004——2008光电技术2004，2006微机原理及接口技术2002——2005微机原理及应用2000——2002传感器与仪表2004单片机原理及应用2003——2004大学物理1999，2001，2003——2005材料科学与工程学院物理化学1999——2008无机化学2005——2008固体物理1999——2008传热学2001金属学原理1999——2002大学物理1999，2001，2003——2005能源与动力工程学院流体力学1999——2000，2002——2008工程热力学2000——2008材料力学2001——2008自动控制原理1999——2002，2006——2007自动控制原理综合2008——2009自动控制原理（1）2001——2005（2001，2003——2005有答案）自动控制原理（2）2001——2005自动控制原理（3）2001大学物理1999，2001，2003——2005电机学2001，2003——2005经济管理学院工商管理基础2008管理科学基础2003——2008企业管理基础2003——2007（2003——2005有部分答案）经济学2004——2008（2004——2005有答案）经济管理基础2004（2004有答案）金融学基础（联考）2002——2008（2002——2005有答案）运筹学2000——2002证券投资学2003——2004（2003——2004有答案）国际贸易基础2001，2003（2001，2003有答案）财务管理2002（2002有答案）数据结构与C语言程序设计2005——2008数据结构与程序设计1998——2002，2004管理工程1998，2000——2002信息系统基础2004自动控制原理1999——2002，2006——2007自动控制原理综合2008——2009自动控制原理（1）2001——2005（2001，2003——2005有答案）自动控制原理（2）2001——2005自动控制原理（3）2001宇航学院通信类专业综合2004——2009信息类专业综合2004——2008光电类专业综合2004——2008电子技术综合2006模拟电路与数字电路2000——2005数字与模拟电路1998——2002数字电路与计算机组成原理2001——2002数字电路1994——1997，1999（注：1994年共4页，缺P2，P4）电路分析1999——2001信号与系统1994，1996——2002电磁场理论1998——1999，2001——2003微波技术1999——2000自动控制原理1999——2002，2006——2007自动控制原理综合2008——2009自动控制原理（1）2001——2005（2001，2003——2005有答案）自动控制原理（2）2001——2005自动控制原理（3）2001计算机专业技术基础2003——2006（2003——2004有答案）计算机专业综合2007——2008数据结构与C语言程序设计2005——2008数据结构与程序设计1998——2002，2004数理逻辑与编译原理1998，2000——2002数理逻辑1999数据库与操作系统2001——2002操作系统2000数字逻辑与计算机组成原理1999——2000计算机组成原理部分2000——2002理论力学2000——2008理论力学（2）2002材料力学2001——2008工程热力学2000——2008流体力学1999——2000，2002——2008金属学原理1999——2002大学物理1999，2001，2003——2005电机学2001，2003——2005计算机学院计算机专业技术基础2003——2006（2003——2004有答案）计算机专业综合2007——2008数据结构与C语言程序设计2005——2008数据结构与程序设计1998——2002，2004数理逻辑与编译原理1998，2000——2002数理逻辑1999数据库与操作系统2001——2002操作系统2000数字逻辑与计算机组成原理1999——2000操作系统2005计算机组成原理部分2000——2002数字图像处理技术基础2008电子技术综合2006模拟电路与数字电路2000——2005数字与模拟电路1998——2002数字电路与计算机组成原理2001——2002数字电路1994——1997，1999（注：1994年共4页，缺P2，P4）信号与系统1994，1996——2003大学物理1999，2001，2003——2005软件学院数据结构与C语言程序设计2005——2008数据结构与程序设计1998——2002，2004计算机专业技术基础2003——2006（2003——2004有答案）计算机专业综合2007——2008数理逻辑与编译原理1998，2000——2002数理逻辑1999数据库与操作系统2001——2002操作系统2000数字逻辑与计算机组成原理1999——2000计算机组成原理部分2000——2002土木工程系材料力学2001——2008结构力学2003——2008物理化学1999——2008工程系统工程系自动控制原理1999——2002，2006——2007自动控制原理综合2008——2009自动控制原理（1）2001——2005（2001，2003——2005有答案）自动控制原理（2）2001——2005自动控制原理（3）2001材料力学2001——2008概率与数理统计2000——2001，2003——2008电子技术综合2006模拟电路与数字电路2000——2006数字与模拟电路1998——2002数字电路与计算机组成原理2001——2002数字电路1994——1997，1999（注：1994年共4页，缺P2，P4）生物工程系细胞生物学和生物化学2005细胞生物学2003——2004，2007——2008生物化学2003——2004生物力学2002生物医学工程基础2006解剖生理学2007——2008物理化学1999——2008通信类专业综合2004——2009信息类专业综合2004——2008光电类专业综合2004——2008数据结构与C语言程序设计2005——2008数据结构与程序设计1998——2002，2004电子技术综合2006模拟电路与数字电路2000——2005数字与模拟电路1998——2002数字电路与计算机组成原理2001——2002数字电路1994——1997，1999（注：1994年共4页，缺P2，P4）电路分析1999——2001信号与系统1994，1996——2002电磁场理论1998——1999，2001——2003微波技术1999——2000流体力学1999——2000，2002——2008材料力学2001——2008理论力学2000——2008理论力学（2）2002大学物理1999，2001，2003——2005人文社会科学学院行政管理基础2006——2009行政管理学2002（2002有答案）行政管理学综合知识2002——2005（2003——2004有答案）公共政策分析2006——2009情报学基础理论2007——2008教育学2000，2002——2007（2003，2005有答案）欧洲哲学史2007——2008科学技术史2007——2008马克思主义哲学2002——2006马克思主义哲学原著2007——2008自然辨证法概论2007——2008经济学2004——2008（2004——2005有答案）经济学综合2004——2008（2004——2005有答案）管理科学基础2003——2008管理学原理2002——2005（2003——2005有答案）通信类专业综合2004——2009电子技术综合2006数字与模拟电路1998——2002数字电路与计算机组成原理2001——2002数字电路1994——1997，1999（注：1994年共4页，缺P2，P4）电路分析1999——2001信号与系统1994，1996——2002自动控制原理1999——2002，2006——2007自动控制原理综合2008——2009自动控制原理（1）2001——2005（2001，2003——2005有答案）自动控制原理（2）2001——2005自动控制原理（3）2001材料力学2001——2008计算机专业技术基础2003——2006（2003——2004有答案）计算机专业综合2007——2008数理逻辑与编译原理1998，2000——2002数理逻辑1999数据库与操作系统2001——2002操作系统2000数据结构与C语言程序设计2005——2008数据结构与程序设计1998——2002，2004数字逻辑与计算机组成原理1999——2001计算机组成原理部分2000——2002信息技术基础2004法学院民法学和商法学2007——2008法理学和宪法学2007——2008民事诉讼法学和刑事诉讼法学2007——2008民法学2004——2006商法学2004——2006外国语言系二外法语2002——2009二外日语2002——2009二外俄语2004——2008二外德语2003——2008英美文学2002——2009（2007，2008有答案）综合英语1991，2001——2009（1991，2003——2005，2007——2009有答案）（注：2007——2009年的答案只有语言学部分的答案）基础英语1991，1999——2009（1991，2005，2007——2009有答案）二外英语2007——2009（2008——2009有答案）综合俄语2005——2008基础俄语2006——2008新媒体艺术与设计学院专业史论2008。
[考研数学]北京航天航空大学线性代数 4-2
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1 1 −1 1 −1 1 −1 1 2 0 0 0 0 − 3 3 − 3 2 1 −1 1 −1 1 0 0 1 − 1 1 2 0 0 0 0 0
3 (-1)
1 − 1 0 0 1 2 0 0 1 − 1 1 2 0 0 0 0 0
1 0 0 0
0 0 1 0 0 1 0 0
10 7 1 − 7 2 − 7 0
10 因为 R( A) = R( A) = 3 = n, x1 = 7 1 x2 = − 所以方程组有唯一解： 所以方程组有唯一解： 7 x3 = − 2 7
求解线性方程组 − x2 + 2x3 = 1 x1 x − 2x2 − x3 = 2 1 3x1 − x2 + 5x3 = 3 − 2x1 + 2x2 + 3x3 = − 4 解 1 −1 2 1 (-1) (-3) 2 1 − 2 −1 2 A= 3 −1 5 3 1 −1 2 1 3 − 4 0 − 1 − 3 1 −2 2 0 2 −1 0 7 − 2 0 0
(2) 因为 R( A) = R( A) = r < n, 此时 A 中有r阶子式不为零 而任意r+1阶子式都为零， 阶子式不为零, +1阶子式都为零 中有 阶子式不为零,而任意 +1阶子式都为零， 这不为零的r阶子式所在的 阶子式所在的r个行向量线性无 这不为零的 阶子式所在的 个行向量线性无 其他行向量都可有这r个行向量线性表出 个行向量线性表出. 关.其他行向量都可有这 个行向量线性表出. 不妨设不为零的r阶子式位于左上角 阶子式位于左上角， 不妨设不为零的 阶子式位于左上角，那么 a11 a12 L a1r L a1n b1 经过行的初等变换可化为 a21 a22 L a2r L a2n b2 M M M M M ar1 ar 2 L arr L arn br A 0 0 L 0 L 0 0 M M M M M 0 0 L 0 L 0 0
2011年考研北京航空航天大学初试参考书目
713自然辩证法概论
《自然辩证法概论》
北京航空航天大学出版社2008版
徐治立主编
《自然辩证法概论》
高等教育出版社2004版
教育部社会科学研究与思想政治工作司组编
721基础英语
不根据某一种教科书命题
722基础俄语
不根据某一种教科书命题
723基础德语
《当代大学德语》1- 4册
沈维道编
《传热学》（2006年第四版）
高等教育出版社
杨世铭编
942机械设计综合
面向21世纪课程教材《材料力学》Ⅰ、Ⅱ
高等教育出版社
单辉祖编
《机械设计基础》下册（2007年第二版）
北京航空航天大学出版社
吴瑞祥主编
951力学基础
《材料力学》（上、下，修订版）或国内其他材料力学（多学时类）教材
国防工业出版社
人民文学出版社(1995年）
曹靖华
《20世纪俄罗斯文学史》
人民大学出版社(2001年）
阿格诺索夫主编、凌建侯等译
《俄语语言国情学》
吉林大学出版社（1997年）
谭林
824综合德语
《德语语言学导论》
外语教学与研究出版社(2002年)
王京平著
《文学与认识》
外语教学与研究出版社（1997年）
王炳钧编著
Kleine Geschichte der deutschen Literatur
周世勋
《量子力学教程》第二版
科学出版社
曾谨言
《量子物理》
高等教育出版社
赵凯华
712行政管理基础
《管理学》(第二版)
高等教育出版社2005年版
周三多
《公共行政学》(第三版)
北京航空航天大学2008年硕士研究生入学考试理论力学真题
北航2008年951力学基础理论力学部分考研试题答案 理论力学部分（共60分）七、（本题15分）重物由软绳悬挂如题七图所示。
设65β=，试利用力三角形求下列情况的α值：1）两绳的拉力相等；2）BC 绳拉力最小；3）BC 绳拉力不超过2P ；4）AC 绳拉力不超过2P 。
题七图八、（本题15分）一重2200NW =的均质梯子AB 长为L ，靠于墙上如题八图所示，(4arctg θ=。
设梯子与墙面间的摩擦系数1/3B f =。
今有一重1600N W =的人沿梯而上，问梯与地面间摩擦系数A f 应有多大，人才能安全到达梯顶？题八图九、（本题15分）求如题九图所示的各杆的内力。
题九图十、（本题15分）求如题十图所示椭圆规，连杆AB长为L，所有构件重力不计。
摩擦力忽略不计。
试用虚位移原理（虚功原理），求在图示平衡位置时主动力A F 和B F 之间的关系。
Ar δ题十图理论力学部分（共60分）三、 解：由题意可得以下平衡条件：2由力平衡条件得到x 轴方向：12cos cos F F βα= （7－1）由力平衡条件得到y 轴方向：12sin sin F F P βα+=（7－2）（1）当12F F =时，由式（7－1）得：65αβ==（2）将式（7－1）代入式（7－2）得：2(tg cos sin )F P βαα+=令 tg cos sin K βαα=+，求得：2P F K=，2F 对K 求导数可得：()22sin cos P F tg Kαβα'=--+取极大值时：sin cos tg αβα=，ctg tg αβ=即：25α= （3）tg cos sin 2PP βαα≤+，求得57.3α≤（4） 由式（7－1）和式（7－2）得： 11sin tg cos F F P βαβ+= 1Ps i n t gc o s2PF βαβ=≤+求解α即可得：68.87α≥ 。
八、解：在x.y 方向上的平衡方程：A B F N =12A B N F W W +=+力矩平衡方程(关于A 点)：21cos cos cos sin 2B B W W Y l F l N l θθθθ+=+另外：A A A F f N =B B B F f N =由以上各式可得：sin (cos )A B Kf f K θθ=+- ， 其中 2112()cos 2W Y W l K W W θ+=+讨论：(1) Af 是关于Y 的增函数，A f 必须满足Y 取最大值l 时的值。
[考研数学]北京航天航空大学线性代数 4-3
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1 1 1 1 1 1 0 0 3 0 0 －3 3 1 1 1 1 (-1) 0 0 1 1 0 0 0 0 于是原方程组的解为 x1 x 2 1 1 0 0 x x 0 0 1 1 2 2 0 0 0 0 x4 x3 x4 x4
j 1 j 1
故(kl1, kl2, …, kln) 为齐次方程组Ax=0的解向量. 注：解向量的任意线性组合仍为解向量. 齐次线性方程组Ax=0解向量的维数为n, 当 它有无穷多解时, 解向量的个数大于n, 因此所 有解向量构成的向量组线性相关, 这样解向量 组就必存在最大线性无关组, 使得每一解向量 可由这个最大线性无关组线性表出.
aij x j 0
j 1
n
i 1,2 ,m
齐次线性方程组解的性质 性质1 齐次线性方程组Ax=0的两个解向量 的和仍是解向量. 证 设(k1, k2, …, kn)及(l1, l2, …, ln) 是齐次 方程组Ax=0的两个解向量，则有
aij ( k j l j ) aij k j aij l j 0
定义 设α1, α2, …, αk是齐次线性方程组(2)的 一组解向量，并且 1. α1, α2, …, αk是线性无关的； 2.方程组(2)的任意一个解向量均可由α1, α2, …, αk 线性表出. 则称α1, α2, …, αk 是齐次方程组(2)的一个 基础解系. 基础解系是齐次方程组解向量组的最大线性 无关组. 而一个向量组的最大线性无关组不唯 一, 同一向量组的不同最大线性无关组所含向 量个数相同, 这样齐次线性方程组Ax=0的基础 解系所含向量个数是唯一确定的.
证 设β1, β2,…, βn-r 是齐次方程组(2)的任意nr个线性无关的解向量， α 是任意一个解向量. 因为R(A)=r<n，则由定理3.1知方程组有基础 解系α1, α2,…, αn-r .
[考研数学]北京航天航空大学线性代数 1-2
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a11 a12 ⋯ a1n ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ a i1 a i 2 ⋯ a in = ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ a j1 a j 2 ⋯ a jn ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ a n1 a n 2 ⋯ a nn
证明
利用性质 7 ，可将左端拆成两个行列式的 便可得到右端即。 和，再利用性质 6 便可得到右端即。
a11 a12 ⋯ a1n ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ a i1 a i 2 ⋯ a in a i1 a i 2 ⋯ a in ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ + ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ a j1 a j 2 ⋯ a jn ka i1 ka i 2 ⋯ ka in ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ a n1 a n 2 ⋯ a nn a n1 a n 2 ⋯ a nn
T t t
又因为行列式 D 可表示为
D = ∑ (− 1) a p1 1a p2 2 ⋯a pnn .
t
故
D = DT .
证毕
说明行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 说明行列式中行与列具有同等的地位 因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立。 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立。 性质 2 如果用同一个数 k 乘行列式中一行（列） 乘行列式中一行（ 的各元素， 乘这个行列式， 的各元素，等于用 k 乘这个行列式，即
例5
计算行列式
1 −2 3 2 −9 5 −1 8 −9 13 −1 5 7 3 −5
− 7 − 10 13 7
解
1 −2 3 2
×2 ⊕ ⊕ 5 −1 3 ×（－ 3 ） ⊕ −1 5 −5 ×（－ 2) 8 − 7 − 10
1
−9 26 26 −9 0 0
13 25
7 17
× ⊕ 2 ×2
0 − 13
北航高等数学期末试卷
t dt 七. ( 8 分) 将函数 f ( x ) 8 t3 展开成 x 的幂级数 . n x n 的收敛区间及和函数 八（ 8 分 . ）求 . n1 ( n 1)!
x 0
九.( 8 分) 已知f (0) 0, x f ( x ) 1 0 (e t sin t f ( t ))dt , 求 f ( x ).
四（8 分）设有向曲线L 为圆周 x 2 y 2 ax . 从 A( a, 0)经 M ( a , a ) 至 O ( 0, 0) 的部分.求： 2 2 ( e x cos y my)dx ( e x sin y m )dy． L
m a 2 e a 1. 四. 8
五（8 分）计算 x 2dydz y 2dydx z 2dxdy, . 其中 是曲面 z 2 x 2 y 2 介于平面 z 0 和 z h ( h 0) 之间部分的下侧 .
三（8 分 . ）设 u f ( x , y, z )，其中 z z ( x , y) 由方程 ( x 3 , e y , z ) 0 所确定，而 y sin x . 又设 du . f , 具有一阶连续偏导数且 3' 0. 求 dx 2 y
du f f cos x 3 x e 2 cos x f 1 三. 1 2 3 dx 3
2. 设 D {( x , y) 1 x 2 y 2 4 }. sin( y x 2 y 2 ) 则 dxdy _________ x 2 y2 D A. 4 ; B. 0 ; C. 1; D. 4. 3.部分和数列{sn } 有界是正项级数 un 收敛的___.
5. 微分方程 ( x
2
2002-10,12-14,16-18北京邮电大学高等代数
2008年硕士研究生入学考试试题考试科目代码： 856 考试科目名称： 高等代数 （如无特殊注明，所有答案必须写在答题纸上，否则以“0”分计算）一、（15分）计算下列各题：1、（5分）已知阶行列式的第3行元素分别为 40,D 1,2,4−，第行元素对应的余子式依次是5,，求的值.40,a B A ,1,4a第 1 页 (共 2 页)2、（5分）已知矩阵满足关系A B AB =−，其中，求矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=200012021B A .3、（5分）设为阶方阵*A 3A 的伴随矩阵，A =，计算行列式2|21*1A A −−)3(≥n )3(|的值. 0111010n 110x x D x 二、（15分）计算阶行列式：n x L L L O M L 0x x =MM M 。
（注释：该行列式主对角线上元素都是0，第一行和第一列除去第一个位置的元素是外，其余的都是1，行列式中其余的元素都是x 。
要求写出解题步骤，也可以用语言叙述）.三、（30分）证明下列各题1、（10分）如果((，那么),())f x g x =(()(),()())1f x g x f x g x 1+=.2、（10分）A 为阶方阵，如果n A A =2，则：秩()A E −+)秩(A =，其中n E 是阶单位矩阵.n 3、（10分） σ是线性空间V 上的可逆线性变换，则σ的特征值一定不为. 0四、（15分） 设4元齐次线性方程组()i 为，又已知某4元齐次线性方程组(的通解为：k k . 122400x x x x +=⎧⎨−=⎩)ii )k k −⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟+⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠为任意常数12120112,(,1201（1）（5分）求方程组的基础解系；()i ))ii 32x x α（2）（10分）问方程组与(是否有非零公共解？若有，则求出所有的非零公共解. 若没(i 有，则说明理由.五、（20分）设实二次型通过正交线性变换3121232221321222),,(x x x x x x x x x x f −−−++=PY =23y β+,化成标准形，求常数222122y y f +=X αβP ,,)m 的值及所用的正交线性变换矩阵. 六、（15分）符号12(,L αααL ,m 表示由向量12,,αααL 生成的子空间。
北航2001-2010控制工程真题合集
试画出参数 T 由零变化到正无穷时的闭环系统根轨迹。
三、（本题 15 分，第一小题 10 分，第二小题 5 分）某系统结构图如 题三图所示：
其中， G(s)
=
10 s(s +1) ,Gc (s)
=
τs +1 ,τ 0.08s +1
>
0
（1）确定参数τ，使开环渐进扶贫特性曲线的截止频率为 5 rad/s；
* ⎡0 x = ⎢⎣1
1⎤ 2⎥⎦
x
+
⎢⎣⎡10⎥⎦⎤u,
y
=
[0
1]x
（1）设计状态反馈向量 k，使得经状态反馈 u=kx+r 后，闭环系统极
点在-1±j 处，这里 r 为参考输入；
（2）队该被控对象构造一极点-5，-5 的状态观测器；
*
*
（3）若采用控制u = k x+ r ，其中 k 为本题（1）求出的反馈向量， x 为
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北京航空航天大学 2008 年 硕士研究生入学考试试题 科目代码：933
控制工程综合 （共 6 页）
考生注意：所有答题务必书写在考场提供的答题纸上，书写 在本试题单上的答案一律无效（本题单不参与阅卷）
九、（本题共 16 分，每小题 8 分） （1）对于题九图（a）所示的电路，按动开关 S，使 D1 端的波形如 图 D 所示，画出Q1,Q2, Z 的波形，并求出按动开关 S 在 Z 端形成的脉 冲极性及宽度，Q1,Q2 的厨师状态均为“1”。
[考研数学]北京航天航空大学线性代数 1-1
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a1 ⋯al a b1 ⋯bm b c1 ⋯cn
m 次相邻对换
a1 ⋯ al ab b1 ⋯ bmc1 ⋯cn ab
m + 1 次相邻对换 a ⋯a b b ⋯b a c ⋯c 1 l b 1 m a 1 n
∴ a1 ⋯al ab1 ⋯bm bc1 ⋯cn ,
2m + 1次相邻对换 a ⋯a bb ⋯b ac ⋯c , 1 l 1 m 1 n
时为奇排列. 当 n = 4k + 2,4k + 3 时为奇排列
定义 把一个排列中某两个数字位置互换，而 把一个排列中某两个数字位置互换，
其余的数字位置保持不变， 其余的数字位置保持不变，就构成了一 个新的排列。 个新的排列。我们把对排列所施行的这 种变换称为排列的一个对换。 种变换称为排列的一个对换。
所以一次对换改变排列奇偶性. 所以一次对换改变排列奇偶性
注：n≥2时，n个数码构成的奇排列与偶排列 个数相等，各为n!/2个. 重新考察二阶、三阶行列式每项的符号，可 以得到以下规律：当行序取成标准排列，由 当行序取成标准排列， 当行序取成标准排列 列序排列的奇偶性决定每项前的正负号. 列序排列的奇偶性决定每项前的正负号 二阶：a11a22, τ(12)=0, 偶排列，正号； a12a21, τ(21)=1, 奇排列，负号. 三阶：正号三项的列标排列123, 231, 321是 偶排列；负号三项的列标排列312, 213, 132 是奇排列.
利用上面的说明，二阶、三阶行列式也可以 这样写：
a a
a a a
11
11
21
a = ∑ (−1) a
12 j1 j 2 22
τ ( j1 j 2 )
a a .
1 j1 2 j2
北京航空航天大学历年真题快速下载索引
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学校 科目及年份 北京航空航天大学 专业史论2008 专业史论综合2007 交通信息类专业综合2005 交通信息类专业综合2007 交通信息类专业综合2008 交通信息类综合2004 交通信息类综合2005 交通信息类综合2006 企业管理基础2003 企业管理基础2003答案 企业管理基础2004 企业管理基础2004答案 企业管理基础2005 企业管理基础2005答案 企业管理基础2007 传感器与仪表2004 传热学2001 俄语（二外）2002 俄语（二外）2003 俄语（二外）2004 俄语（二外）2005 俄语（二外）2006 俄语（二外）2007 俄语（二外）2008 信号与系统1997 信号与系统1998 信号与系统1999 信号与系统2000 信号与系统2001 信号与系统2002 信号与系统2003 信息技术基础2004 信息类专业综合2004 信息类专业综合2005 信息类专业综合2006 信息类专业综合2007 信息类专业综合2008 信息系统基础2002 信息系统基础2004 信息系统设计基础2002 光学2005 光学2006 光电技术2004 光电技术2006 光电类专业综合2004 光电类专业综合2005
北京邮电大学2019年《816高等代数》考研专业课真题试卷
பைடு நூலகம்
考试科目：高等代数 请考生注意：＠所有答案（包括选择题和填空题）一律写在答题纸上，否
则不计成绩。
＠不允许使用计算器
一(15分）．求适合条件/(ab) = f(a)f( b)(a,b 是任意的数）的多项式
a a+ d…a+(n-l)d
a+ d a+2d …
4x1 +5x2 -5x3 =-1
与｛釭 +bx, 飞 =0 2x1 - x2 +ax3 = 3
同解，
求线性方程组的通解及a,b 的值
五(15分）．已知m个向量a1 ,a2 ,…，am 线性相关，但其中任意m-I个向量
都线 性无关 ，证 明 ： (1)如 果k1 a1 + k2 a2 + …+ km am = 0 , 则这些
l。: 集合，在R[x]3 上定义内积为(f(x),g(x))= f(x)g(x)dx . 设W是由零次
w 多项式及零多项式组成的子空间，求W的正交补子空间 .1 以及它的 一
组基
考试科目： 816高等代数
第2页 共2页
a
二(15分）．计算n阶行列式 D =I a+2d a+3d …
a+ d ,.
a+(n-I)d
a ... a+(n-2)d
三(15分）．设为 B 一rxr矩阵，C为-rxn矩阵，且秩(C) =r. 证明：
(1)如果CB = O, 那么B = O; (2)如果CB = C, 那么B = E.
2x1 + X2 - X3 =1 四(15分）．设线性方程组{ x,- x, + x,-2
北航2001-2010年控制工程真题
一、(本题 15 分)系统动态结构图如题一图所示。求传递函数 C(s) R(s) ,
C(s)
R(s)
G1
G2
G3
1
G4
题一图
二、(本题共 20 分, 每小题各 10 分)单位负反馈系统的开环传递函数为：
G(s) = 4 s(s + 2 2)
1,计算系统阶跃响应指标(调节时间 ts , 超调量 σ%)； 2,计算系统在输入 r(t)=(1+2t)×1(t)作用下的稳态误差 es
H(s)
R(s)
E(s)
G1(s)
C(s)
G2(S)
题六图
七、(本题 20 分)非线性系统如题五图所示。试用描述函数法说明(要求作图)系统 是否存在自振，并确定使系统稳定工作的初始范围（指 x 处的初始值）。
r=0
x
1 450
y
0 450 -1
0.5(s + 1)
c
s(s −1)
题五图
八、(本题共 15 分, 第 1 小题为 8 分，第 2 小题为 7 分)已知系统动态方程如下：
(误差定义为：e(t)=r(t)-c(t))
第 431-1 页 三、(本题 20 分)已知单位负反馈系统的开环传递函数为
G(s) =
K
(s + 4)(s2 + 2s + 2)
试作 K>0 时闭环系统的根轨迹；并确定使闭环传递函数主导极点的阻尼比 =0.5 时的 K 值。
四、(本题共 20 分, 每小题各 10 分)已知单位负反馈系统的开环传递函数 G(s) = 100(0.1s +1) s(0.2s +1)( 1 s +1) 120
2008年考研高数一真题(附答案)
2008年考研数学一试题分析、详解和评注一、选择题：(本题共8小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) （1）设函数2()ln(2)x f x t dt =+⎰，则()f x '的零点个数为【 】(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3． 【答案】应选(B).【详解】22()ln(2)22ln(2)f x x x x x '=+⋅=+．显然()f x '在区间(,)-∞+∞上连续，且(1)(1)(2ln 3)(2ln 3)0f f ''-∙=-∙<，由零点定理，知()f x '至少有一个零点．又2224()2ln(2)02xf x x x''=++>+，恒大于零，所以()f x '在(,)-∞+∞上是单调递增的．又因为(0)0f '=，根据其单调性可知，()f x '至多有一个零点．故()f x '有且只有一个零点．故应选(B).（2）函数(,)arctan x f x y y=在点(0,1)处的梯度等于【 】(A) i (B) i -. (C) j . (D) j - . 【答案】 应选(A).【详解】因为222211f y y x xx yy∂==∂++．222221x f x yx yx yy-∂-==∂++．所以(0,1)1f x∂=∂，(0,1)0f y∂=∂，于是(0,1)(,)i grad f x y =.故应选(A).（3）在下列微分方程中，以123cos 2sin 2xy C e C x C x =++（123,,C C C 为任意的常数）为通解的是【 】(A) 440y y y y ''''''+--=. (B) 440y y y y ''''''+++=.(C) 440y y y y ''''''--+=. (D) 440y y y y ''''''-+-=. 【答案】 应选(D).【详解】由123cos 2sin 2xy C e C x C x =++，可知其特征根为11λ=，2,32i λ=±，故对应的特征值方程为2(1)(2)(2)(1)(4)i i λλλλλ-+-=-+3244λλλ=+-- λλλ3244=-+-所以所求微分方程为440y y y y ''''''-+-=．应选(D).（4）设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是【 】．(A) 若{}n x 收敛，则{()}n f x 收敛 (B) 若{}n x 单调，则{()}n f x 收敛 (C) 若{()}n f x 收敛，则{}n x 收敛. (D) 若{()}n f x 单调，则{}n x 收敛. 【答案】 应选(B).【详解】若{}n x 单调，则由函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界知，若{()}n f x 单调有界，因此若{()}n f x 收敛．故应选(B).（5）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵．若30A =，则【 】则下列结论正确的是：(A) E A -不可逆，则E A +不可逆. (B) E A -不可逆，则E A +可逆.(C) E A -可逆，则E A +可逆. (D) E A -可逆，则E A +不可逆. 【答案】应选(C). 【详解】故应选(C).23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+=．故E A -，E A +均可逆．故应选(C).（6）设A 为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程()1x xyz A y z ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在正交变换下的标准方程的图形如图，则A 的正特征值个数为【 】(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.【答案】 应选(B).【详解】此二次曲面为旋转双叶双曲面，此曲面的标准方程为222221x y z ac+-=．故A 的正特征值个数为1．故应选(B).（7） 设随机变量,X Y 独立同分布且X 的分布函数为()F x ，则max{,}Z X Y =的分布函数为【 】(A) 2()F x . (B) ()()F x F y . (C) 21[1()]F x --. (D) [1()][1()]F x F y --. 【答案】应选(A)．【详解】(){}()m ax{,}F z P Z z P X Y z =≤=≤()()2()()()P X z P Y z F z F z F z =≤≤==．故应选(A)．（8）设随机变量X N (0,1) , (1,4)Y N , 且相关系数1XY ρ=，则【 】(A) {21}1P Y X =--= (B) {21}1P Y X =-= (C) {21}1P Y X =-+= (D) {21}1P Y X =+= 【答案】应选 (D)．【详解】用排除法．设Y aX b =+．由1XY ρ=，知X ，Y 正相关，得0a >．排除（A ）和（C ）．由(0,1)X N ，(1,4)Y N ，得0,1,()EX EY E aX b aEX b ==+=+．10a b =⨯+，1b =．从而排除(B).故应选 (D)．二、填空题：(9－14小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.) （9）微分方程0xy y '+=满足条件(1)1y =的解是y = . 【答案】 应填1y x =．【详解】由dy y dxx=-，得dy dx yx=-．两边积分，得ln ||ln ||y x C =-+．代入条件(1)1y =，得0C =．所以1y x=．（10）曲线sin()ln()xy y x x +-=在点(0,1)的切线方程为 . 【答案】 应填1y x =+．【详解】设(,)sin()ln()F x y xy y x x =+--，则1(,)cos()1x F x y y xy y x-=+--，1(,)cos()x F x y x xy y x=+-，(0,1)1x F =-，(0,1)1y F =．于是斜率(0,1)1(0,1)x y F k F '=-='．故所求得切线方程为1y x =+．（11）已知幂级数0(2)nn n a x ∞=+∑在0x =处收敛，在4x =-处发散，则幂级数(2)nnn ax ∞=-∑的收敛域为 .【答案】 (1,5]．【详解】由题意，知0(2)nn n a x ∞=+∑的收敛域为(4,0]-，则0nn n a x ∞=∑的收敛域为(2,2]-．所以0(2)nn n a x ∞=-∑的收敛域为(1,5]．(12)设曲面∑是z =的上侧，则2xydydz xdzdx xdxdy ∑++=⎰⎰ .【答案】 4π．【详解】作辅助面1:0z ∑=取下侧．则由高斯公式，有2xydydz xdzdx xdxdy ∑++⎰⎰122xydydz xdzdx x dxdy xydydz xdzdx x dxdy ∑∑=++-++⎰⎰⎰⎰2224x y ydV x dxdy Ω+≤=+⎰⎰⎰⎰⎰．2222410()2x y x y dxdy +≤=++⎰⎰d r rdr πθππ222116424=∙==⎰⎰．(13) 设A 为2阶矩阵，12,αα为线性无关的2维列向量，10A α=，2122A ααα=+．则A 的非零特征值为___________. 【答案】应填1．【详解】根据题设条件，得1212121202(,)(,)(0,2)(,)01A A A αααααααα⎛⎫==+=⎪⎝⎭． 记12(,)P αα=，因12,αα线性无关，故12(,)P αα=是可逆矩阵．因此 0201AP P ⎛⎫=⎪⎝⎭，从而10201P AP -⎛⎫= ⎪⎝⎭．记0201B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则A 与B 相似，从而有相同的特征值．因为2||(1)01E B λλλλλ--==--，0λ=，1λ=．故A 的非零特征值为1．(14) 设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则{}2P X EX ==____________． 【答案】应填12e.【详解】因为X 服从参数为1的泊松分布，所以1EX D X ==．从而由22()D X EX EX =-得22EX =．故{}{}22P X EX P X ====12e．三、解答题：(15－23小题，共94分. )(15)(本题满分10分) 求极限[]4sin sin(sin )sin limx x x xx→-【详解1】[]4sin sin(sin )sin limx x x xx→-[]3sin sin(sin )limx x x x→-=＝2cos cos(sin )cos lim3x x x xx→-21cos(sin )lim3x x x→-= 0sin(sin )cos lim6x x xx→=(或221(sin )2lim 3x x x→=，或2221sin (sin )2lim 3x x o x x→+=)16=．【详解2】[]4sin sin(sin )sin limx x x xx→-[]4sin sin(sin )sin limsin x x x xx→-=＝3sin limt t t t→-201cos lim3t t t→-=2202lim 3t tt →=（或0sin lim 6t tt→=） 16=．（16）(本题满分9分)计算曲线积分2sin 22(1)Lxdx x ydy +-⎰，其中L 是曲线sin y x =上从(0,0)到(,0)π的一段．【详解1】按曲线积分的计算公式直接计算．2sin 22(1)Lxdx x ydy +-⎰2[sin 22(1)sin cos ]xdx x x x dx π=+-⎰2sin 2x xdx π=⎰2cos 2cos 22x xx xdx ππ=-+⎰2cos 22x xdx ππ=-+⎰2sin 2sin 2222x x x dx πππ=-+-⎰22π=-．【详解2】添加辅助线，按照Green 公式进行计算．设1L 为x 轴上从点(,0)π到(0,0)的直线段．D 是1L 与L 围成的区域12sin 22(1)L L xdx x ydy ++-⎰2(2(1)sin 2D x y x dxdy x y ⎡⎤∂-∂=--⎢⎥∂∂⎣⎦⎰⎰4D xydxdy =-⎰⎰sin 04xxydydx π=-⎰⎰22sin x xdx π=-⎰0(1cos 2)x x dx π=--⎰2cos 22xx xdx ππ=-+⎰2sin 2sin 2222x x x dx πππ=-+-⎰22π=-．因为12sin 22(1)sin 20L xdx x ydy xdx π+-==⎰⎰故2sin 22(1)Lxdx x ydy +-⎰22π=-【详解3】令2sin 22(1)LI xdx x ydy =+-⎰212sin 222Lxdx ydy x ydy I I =-+=+⎰对于1I ，记sin 2,2P x Q y ==-．因为0P P yx∂∂==∂∂，故1I 与积分路径无关．10sin 20I xdx π==⎰．对于2I ， 2222022sin cos sin 2LI x ydy x x xdx x xdx ππ===⎰⎰⎰2cos 2cos 22x xx xdx ππ=-+⎰2cos 22x xdx ππ=-+⎰2sin 2sin 2222x x x dx πππ=-+-⎰22π=-．故2sin 22(1)Lxdx x ydy +-⎰22π=-17（本题满分11分）已知曲线22220,:35,x y z C x y z ⎧+-=⎨++=⎩求C 上距离xoy 面最远的点和最近的点．【详解1】 点(,,)x y z 到xoy 面的距离为||z ，故求C 上距离xoy 面最远的点和最近的点的坐标等价于求函数2H z =在条件22220,x y z +-=35x y z ++=下的最大值点和最小值点．构造拉格朗日函数2222(,,,,)(2)(35)L x y z z x y z x y z λμλμ=++-+++-，由222220,20,220,43.,350x y z L x L y L z z x y z x y z λμλμλμ'=+=⎧⎪'=+=⎪⎪'=-++-=++==⎨⎪⎪⎪⎩ 得x y =，从而22220,23 5.x z x z -=+=⎧⎨⎩解得5,5,5.x y z ==-⎧⎪=-⎨⎪⎩或1.1,1,z x y =⎧=⎪=⎨⎪⎩根据几何意义，曲线C 上存在距离x o y 面最远的点和最近的点，故所求点依次为(5,5,5)--和(1,1,1)．【详解2】 点(,,)x y z 到xoy 面的距离为||z ，故求C 上距离xoy 面最远的点和最近的点的坐标等价于求函数22H x y =+在条件2225203x y x y +-⎛⎫+-= ⎪⎝⎭下的最大值点和最小值点．构造拉格朗日函数222222(,,,)(5)9L x y z x y x y x y λλ⎛⎫=+++-+- ⎪⎝⎭，由222520.422(5)0,9422(5)0,93x y L x x x y L y x x y y y y x λλ⎧⎛⎫'=+-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎛⎫'=+-+-=+-⎨⎪⎝⎭⎛⎫+-= ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎩得x y =，从而2222(25)09x x --=．解得5,5,5.x y z ==-⎧⎪=-⎨⎪⎩或1.1,1,z x y =⎧=⎪=⎨⎪⎩根据几何意义，曲线C 上存在距离x o y 面最远的点和最近的点，故所求点依次为(5,5,5)--和(1,1,1)．【详解3】由22220x y z +-=得cos ,sin .x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩代入35x y z ++=，得5z =所以只要求()z z θ=的最值．令()2sin cos )()03sin )z θθθθθ-+'==++，得cos sin θθ=，解得5,44ππθ=．从而5,5,5.x y z ==-⎧⎪=-⎨⎪⎩或1.1,1,z x y =⎧=⎪=⎨⎪⎩根据几何意义，曲线C 上存在距离x o y 面最远的点和最近的点，故所求点依次为(5,5,5)--和(1,1,1)．（18）(本题满分10分)设()f x 是连续函数， （I ）利用定义证明函数0()()x F x f t dt =⎰可导，且()()F x f x '=；（II ）当()f x 是以2为周期的周期函数时，证明函数2()2()()xG x f t dt x f t dt=-⎰⎰也是以2为周期的周期函数． （I ）【证明】000()()()()()limlimx x x x x f t dt f t dtF x x F x F x xx+∆∆→∆→-+∆-'==∆∆⎰⎰()limx x xx f t dtx+∆∆→=∆⎰()limlim ()()x x f x f f x xξξ∆→∆→∆===∆【注】不能利用L ’Hospital 法则得到0()()lim limx x xx x f t dtf x x xx+∆∆→∆→+∆=∆∆⎰．(II) 【证法1】根据题设，有222000(2)2()(2)()(2)()x G x f t dt x f t dt f x f t dt +'⎡⎤'+=-+=+-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰，22000()2()()2()()x G x f t dt x f t dt f x f t dt '⎡⎤'=-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰．当()f x 是以2为周期的周期函数时，(2)()f x f x +=． 从而 (2)()G x G x ''+=．因而(2)()G x G x C +-=．取0x =得，(02)(0)0C G G =+-=，故 (2)()0G x G x +-=． 即2()2()()xG x f t dt x f t dt =-⎰⎰是以2为周期的周期函数．【证法2】根据题设，有 2200(2)2()(2)()x G x f t dt x f t dt ++=-+⎰⎰，2222022()()()2()x f t dt x f t dt x f t dt f t dt +=+--⎰⎰⎰⎰．对于22()x f t dt +⎰，作换元2t u =+，并注意到(2)()f u f u +=，则有22()(2)()()x x x x f t dt f u du f u du f t dt +=+==⎰⎰⎰⎰，因而 2220()()0x x f t dt x f t dt +-=⎰⎰．于是2(2)2()()()xG x f t dt x f t dt G x +=-=⎰⎰．即2()2()()x G x f t dt x f t dt =-⎰⎰是以2为周期的周期函数【证法3】根据题设，有 2200(2)2()(2)()x G x f t dt x f t dt ++=-+⎰⎰，222002()2()()2()xx xf t dt f t dt x f t dt f t dt +=+--⎰⎰⎰⎰2222()()2()2()x x xf t dt x f t dt f t dt f t dt +=-+-⎰⎰⎰⎰()220()2()()x xG x f t dt f t dt +=+-⎰⎰．当()f x 是以2为周期的周期函数时，必有220()()x xf t dt f t dt +=⎰⎰．事实上22(())(2)()0x d f t dt f x f x dx+=+-=⎰，所以22()x f t dt C +≡⎰．取0x =得，02222()()C f t dt f t dt +≡=⎰⎰．所以2(2)2()()()x G x f t dt x f t dt G x +=-=⎰⎰．即2()2()()x G x f t dt x f t dt =-⎰⎰是以2为周期的周期函数(19)(本题满分11分)将函数2()1(0)f x x x π=-≤≤展开成余弦级数，并求级数11(1)n n n-∞=-∑的和．【详解】将()f x 作偶周期延拓，则有0,1,2,n b n == ．0a =22(1)d x x ππ-⎰2213π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．2()cos n a f x nxdx ππ=⎰22cos cos nxdx x nxdx ππππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰220cos x nxdx πππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰22sin 2sin x nx x nxdx nnπππ⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦⎰1222(1)n nππ--=124(1)n n--=．所以2101221()1cos (1)143cos 2n nn n a f x x nanx nx π-∞∞===-=+=--+∑∑，0x π≤≤．令x=0，有n n f nπ2121(1)(0)143-∞=-=-+∑又(0)1f =，所以n n nπ1221(1)12-∞=-=∑．（20）(本题满分10分)设,αβ为3维列向量，矩阵TTA ααββ=+，其中,TTαβ分别是,αβ得转置．证明： （I ） 秩()2r A ≤；（II ）若,αβ线性相关，则秩()2r A <．【详解】（I ）【证法1】()()()()()()2TTTTr A r r r r r ααββααββαβ=+≤+≤+≤． 【证法2】因为T TA ααββ=+，A 为33⨯矩阵，所以()3r A ≤． 因为,αβ为3维列向量，所以存在向量0ξ≠，使得0,0TTαξβξ==于是 0T T A ξααξββξ=+= 所以0A x =有非零解，从而()2r A ≤．【证法3】因为TTA ααββ=+，所以A 为33⨯矩阵．又因为()00TT TT A αααββαββ⎛⎫ ⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以|||0|00T TaA αββ==故 ()2r A ≤．（II ）【证法】由,αβ线性相关，不妨设k αβ=．于是()2()()(1)()12TTTr A r rk r ααβββββ=+=+≤≤<．(21) (本题满分12分)．设n 元线性方程组A x b =，其中2222212121212a a a aa A aa aa ⎛⎫ ⎪⎪⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，12n x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，b 100⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ．（I ）证明行列式||(1)n A n a =+；（II ）当a 为何值时，该方程组有惟一解，并求1x ． （III ）当a 为何值时，该方程组有无穷多解，并求其通解．【详解】（I ）【证法1】数学归纳法．记2222212121||212n na aa aa D A aa aa==以下用数学归纳法证明(1)nn D n a =+． 当1n =时，12D a =，结论成立． 当2n =时，2222132a D a aa==，结论成立．假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第一行展开得n n n aa aa D aD aa aa2212211021212212--=-2122n n aD a D --=-1222(1)n n anaa n a--=--(1)nn a =+故 (1)nA n a =+．【注】本题（1）也可用递推法．由2122n n n D aD a D --==- 得，2211221()()n n n n n n n D aD a D aD aD aD a ------=-==-= ．于是(1)nn D n a =+（I ）【证法2】消元法．记2222212121||212na aa aa A aa aa=221222130121212212na aa a r ar aa aa-3222221301240123321212na aar ar a a aa aa-=n n na aan r ar nn an n an12130124011301110----+(1)nn a =+．（II ）【详解】当0a ≠时，方程组系数行列式0n D ≠，故方程组有惟一解．由克莱姆法则，将n D 得第一列换成b ，得行列式为22211222211121021212121212122n n nn aa a a aa aa D na aa aa aa aa---===所以，11(1)n nD a x D n a-==+．（III ）【详解】 当0a =时，方程组为12101101001000n n x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭此时方程组系数矩阵得秩和增广矩阵得秩均为1n -，所以方程组有无穷多组解，其通解为 ()()010100TTx k =+，其中k 为任意常数．(22) (本题满分11分)设随机变量X 与Y 相互独立，X 的概率密度为1()(1,0,1)3P X i i ===-，Y 的概率密度为1,01,()0,Y y f y 其它.≤<⎧=⎨⎩记Z X Y =+． （I ） 求102P Z X ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭； （II ）求Z 的概率密度)(z f Z . （I ）【详解】解法1．1100221110.222P Z X P X Y X P Y X P Y ⎛⎫⎛⎫≤==+≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=≤==≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解法2．()()1,0120201,0112.022P X Y X P Z X P X P Y X P Y P X ⎛⎫+≤= ⎪⎛⎫⎝⎭≤==⎪=⎝⎭⎛⎫≤= ⎪⎛⎫⎝⎭==≤= ⎪=⎝⎭（II ）解法1．Z z P Z z P X Y z P F (){}{}=P {X+Y z,X=-1}+P {X+Y z,X=0}+P {X+Y z,X=1} =P {Y z+1,X=-1}+P {Y z,X=0}+P {Y z-1,X=1}=P {Y z+1}P {X=-1}+P {Y z}P {X=0}+P {Y z-1}P {X=1}1 =[{Y z+1}P {Y 3=≤=+≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤+≤Y Y Y z z Y Y Y F z F z F z f z F z z f z f z f z 'z}P {Y z-1}]1 =[(1)()(1)]3()()1,12;1(1)()(1)330,.其它+≤+++-=⎧-<<⎪=+++-=⎡⎤⎨⎣⎦⎪⎩解法2．11()()()1,12;1(1)()(1)330,.Z Y i Y Y Y f z P X i f z i z f z f z f z =-==-⎧-<<⎪=+++-=⎡⎤⎨⎣⎦⎪⎩∑其它 （23）(本题满分11分)设n X X X 21,是来自总体2(,)N μσ的简单随机样本，记∑==ni iXnX 11，2211()1ni i S X X n ==--∑，221T XS n=-．（1）证明T 是μ2的无偏估计量； （2）当μσ0,1==时，求.D T . 【详解1】（1）首先T 是统计量．其次 221()()E T E X ES n=-222222111()()D X EX ES nnnσμσ=+-=+-2μ=对一切,μσ成立．因此T 是2ˆμ的无偏估计量． 【详解2】（1）首先T 是统计量．其次()()22111111nnij k i j kn T XXX X n n n n n =≠=-=---∑∑，()()1njk j knET E X EX n ≠=-∑2μ=，对一切,μσ成立．因此T 是2ˆμ的无偏估计量． （2）解法2(0,1)N ，22(1)nXχ ，22(1)(1)n S n χ-- ．于是2()2D nX =，()2(1)2(1)D n S n -=-．所以221()D T D X S n ⎛⎫=-⎪⎝⎭()()()22222112()(1)11D nX D n Snn n nn =+-=--。
北航08-09高数第2学期期末试卷及参考答案.doc
北京航空航天大学2008-2009学年第二学期期末考试统一用答题册考试课程高等數学2院系: ____________ 学号_______________ 姓名_________________2009年6月”日一.填空题(每小题4分，共20分) 1.设比=/ \ 2,则？ -!ln2dz(12-1) 2 2. 微分方程冬=」一的通解为x=y(\ny + C)^y = Ce^ . dx x+ y ---------------------------------3. 设 D = {(x, y)\x 2 + y 2 < 2x, y > o},则 jj y dxdy =—.D A兀24. 已知 d u(x, y) = (x + ye x )dx + (e x + 2y)dy,则 u(x, y) = 一— y 2 4- ye x + C . 2JV v y v 0 则f (劝的傅里叶级数在X = 7T3 九 Q<X <7T,71 点处收敛于—• 2二.单项选择题(每小题4分，共2()分)1・设函数/(兀,y)有一阶连续偏导数,则使得方程几兀,y) = z 在点P(x 0, y 0,z 0)的某邻域内 能唯一确定一个单值、冇连续偏导数的函数x = g(y,z)的充分条件是(C )(A)于(兀0，为)=0,且咒(兀0』0)工。
・ (B)/UoO ;o )= °»且(兀0*0)工°・ (C) /(兀o ，yo )= Z0,且齐(兀0』0)工°・(D) /(Xo ，yo )= Zo ，且 (兀0，沟)工°・ 2.设空间有界闭区域々由分片光滑有向闭曲面2 (外侧)围成，函数P(x 9y,z)f Q(X 9y 9z),R (兀”z)在X2上有一阶连续偏导数，则卜•列正确的公式是(A )d* = # Qdydz + Rclzdx + Pdxdy. Xfff — + + — dv = Pdxdy + Qdydz + Rclzdx.J#® dy dzj 左{(A)塑+艺+叩 dx dy dz 丿 (B)in 込塑+逖 dx dy dz ) dv = ff(P + Q + H)dS(C)法线方程 x-1 y - V32V33.微分方程（\-x ）y f + xy-y = 0的通解是（B ）4.设曲面S:x 2+y 2+z 2 =a 2 （z>0）, S t 是S 在第一卦限的部分，则有（C ）(A) JJ xdS = 4JJ xdS .(B) j|ydS = 4JJ ydS . S S] S S](C) JJ zdS = 4JJ zdS.S S]5.下列叙述中正确的是(C )8（A ）若正项级数工知收敛, n=\88 OO （C ）若级数工知与工％?都收敛，则级数Y （知+乙）收敛.8 8 OO（D ）若级数工知与工b 都发散，贝IJ 级数工（知）发散77=1 n=l n=\三.（10分）求|11|面3”+2〉，2+3, =12在点（1,V3,1）处的切平面与法线方程. 解 设 F(x,y, z) = 3x 2 + 2y 2 + 3z 2 -12,F ： = 6无，F ； = 4y, F ； = 6z,则在点(1,V3,D 的法向量n = (6,4V3,6),于是切平面方程3(兀-D + 2巧(y-73) + 3(z-1) = 0, 即 3 无+ 2 巧 y + 3z — 12 = 0, (D) JJJ(P + Q + /?如 强 dydz + dQ j j dR .. —-cizdx + —— dxdy. oy dz(A) y = c x e x 4-C 2 . (C) y = c x e x +c 2x 2.(B) . y = c {e A + c 2x.(D) y = c x e x +c 2e~x . 则lim 也＜1."Too U n (B) 若 lim 也 vl U n 8 则级数工2如收敛.n=\x+2y + 3z,求该平而薄板的质量.W M = JJ(x + 2y+ 3z)dS 二 JJ (3 — 2兀一 y)y/3dxdy,D: 0<^<l-x, 0<x<l,S D二间;述 \3-2x-y)dyR i=J^(5 -8x + 3x 2 )dx =逅.五. （10分）计算严+ Mz 力+z 艸,其中刀为球面兀2十2+z2= 1的外侧 Z J （2宀宀 z2）3解 作椭球工。