2012年北京密云数学二模试题及答案
2012年北京数学中考二模-----圆和四边形整理[1]
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圆和四边形整理四边形（2012延庆二模）17．（本题满分5分）已知：如图，在四边形ABCD 中， 60=∠C ，135=∠DAB ,8=BC ，62=AB求DC 的长．（2012石景山二模）19．如图，梯形纸片ABCD 中，AD //BC ，∠B =30º．折叠纸片使BC 经过点A ，点B 落在点B ’处，EF 是折痕，且BE =EF =4，AF ∥CD ． （1）求∠BAF 的度数；（2）当梯形的上底AD 多长时，线段DF 恰为该梯形的高？ 解：（2012门头沟二模）19.已知：如图，四边形ABCD 中，BC =CD =DB ，∠ADB =90°，sin ∠ABD =54，S △BCD =39.求四边形ABCD 的周长.（2012密云二模）20．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE AB ⊥于E ．设CD ＝CB＝AD ＝9，AB ＝15． 求B ∠的余弦值及AC 的长．DCBA A BDECB 'DCBA（2012海淀二模）18. 如图，在四边形ABCD 中，∠ADB =∠CBD =90︒，BE//CD 交AD于E , 且EA=EB ．若AB=54，DB =4, 求四边形ABCD 的面积．（2012昌平二模）19．在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =4．过点A 作A E ⊥AB 且AB =AE ，过点E 分别作E F ⊥AC ，ED ⊥BC ，分别交AC 和BC 的延长线与点F ，D ．若FC =5，求四边形ABDE 的周长．圆 （2012延庆二模）19. （本题满分5分） 已知：在⊙O 中,AB 是直径，CB 是⊙O 的切线，连接AC 与⊙O 交于点D,(1) 求证：∠AOD=2∠C (2) 若AD=8，tanC=34，求⊙O 的半径。
（2012石景山二模）21．已知：如图，M 是⊙O 的直径AB 上任意一点，过点M 作AB 的垂线MP ，D 是MP 的延长线上一点，联结AD 交⊙O 于点C ，且PC PD =．（1）判断直线PC 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； （2）若22tan =D ，3=OA ，过点A 作PC 的平行线AN 交⊙O 于点N ．求弦AN 的长． 解：（2012门头沟二模）20. 如图，已知直线PA 交⊙O 于A 、B 两点，AE 是⊙O 的直径．点C 为⊙O 上一点，且AC 平分∠PAE ，过C 作CD ⊥PA ，垂足 为D .(1)求证：CD 为⊙O 的切线；(2)若DC +DA =6，⊙O 的直径为10，求AB 的长.AE DC A E FD A B C（2012密云二模）19．已知：如图，AB 为⊙O 的直径，P A 、PC 是⊙O的切线，A 、C 为切点，∠BAC =30 ． （1）求∠P 的大小； （2）若AB =6，求P A 的长．（2012海淀二模）20．如图，AC 、BC 是⊙O 的弦, BC //AO , AO 的延长线与过点C 的射线交于点D , 且∠D =90︒-2∠A .（1）求证：直线CD 是⊙O 的切线； （2）若BC=4，1tan 2D =，求CD 和AD 的长．（2012昌平二模）20．如图，⊙O 的半径OA 与OB 互相垂直，P 是线段OB 延长线上的一点，连结AP 交⊙O 于点D ，点E 在OP 上且DE =EP（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）作DH ⊥OP 于点H ，若HE =6，DE =43，求⊙O（2012大兴二模）21．如图，以△ABC 的边AB 为直径的⊙O 与边BC 交于点D ，过点D作DE ⊥AC ,垂足为E ，延长AB 、ED 交于点F ，AD 平分∠BAC ． （1）求证：EF 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径 为2，AE =3，求BF 的长．。
历年北京中考全真模拟试题及答案-2012年密云二模
历年北京中考全真模拟试题及答案-2012年
密云二模
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2012年北京各区县二模试题分类几何综合解析版
2012年北京各区县二模试题分类几何综合解析版2012年北京市中考数学二模分类汇编——几何综合与中点有关的问题1.(昌平24) 如图，D 是△ABC 中AB 边的中点，△BCE 和△ACF 都是等边三角形，M 、N 别是CE 、CF 的中点. （1）求证：△DMN 是等边三角形； （2）连接EF ，Q 是EF 中点，CP ⊥EF 于点P .求证：DP ＝DQ . 同学们，如果你觉得解决本题有困难，可以阅读下面两位同学的解题思路作为参考：小聪同学发现此题条件中有较多的中点，因此考虑构造三角形的中位线，添加出了一些辅助线；小慧同学想到要证明线段相等，可通过证明三角形全等，如何构造出相应的三角形呢？她考虑将△NCM 绕顶点旋转到要证的对应线段的位置，由此猜想到了所需构造的三角形的位置.24. 证明：（1）取AC 的中点G ，连接NG 、DG .NME F C∴DG ＝21BC ，DG ∥BC ；△NGC 是等边三角形.∴NG = NC CM . …………………2分 ∵∠1 + ∠2 = 180º，∴∠NGD + ∠2 = 240º.∵∠2 + ∠3 = 240º，∴∠NGD =∠3.∴△NGD≌△NCM . ……………………3分 ∴ND = NM ，∠GND =∠CNM .∴∠DNM =∠GNC = 60º.∴△DMN 是等边三角形.………………………………4分（2）连接QN 、PM .∴QN=21CE= PM . ……………………5分Rt △CPE 中，PM =EM ，∴∠4= ∠5.∵MN ∥EF ，∴∠5= ∠6，∠7=∠8.67854P Q N M E C C 321G NM E F∵NQ ∥CE ，∴∠7= ∠4.∴∠6= ∠8.∴∠QND = ∠PMD . ………………………6分∴△QND ≌△PMD .∴DQ = DP . ……………………7分2.（丰台24）在△ABC 中，D 为BC 边的中点，在三角形内部取一点P ，使得∠ABP =∠ACP ．过点P 作PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥AB 于点F ． （1）如图1，当AB =AC 时，判断的DE 与DF 的数量关系，直接写出你的结论； （2）如图2，当AB AC ，其它条件不变时，（1）中的结论是否发生改变？请说明理由．图1图224．解：（1）DE =DF ．……1分A E F PB DC E B A DF P（2）DE =DF 不发生改变． (2)分理由如下：分别取BP 、CP 的中点M 、N ，联结EM 、DM 、FN 、DN ．∵D 为BC 的中点，∴BP DN BP DN //,21=．……3分∵,AB PE ⊥∴BP BM EM 21==． ∴21,∠=∠=EM DN ．∴12213∠=∠+∠=∠．…4分 同理,524,//DM FN MD PC =∠=∠．∴四边形MDNP 为平行四边形．……5分∴67∠=∠ ∵,41∠=∠∴35∠=∠． ∴EMD DNF ∠=∠．……6分∴△EMD ≌△DNF ． ∴DE =DF ．……7分3.(海淀25.)在矩形ABCD 中, 点F 在AD 延长线上，且DF = DC , M 为AB 边上一点, N 为MD 的中点, 点E 在直线CF 上（点E 、C 不重合）.（1）如图1, 若AB =BC , 点M 、A 重合, E为CF 的中点，试探究BN 与NE 的位置关系及BM CE 的值, 并证明你的结论;（2）如图2，且若AB =BC , 点M 、A 不重合,7654321N M C D B P F E ABN =NE ，你在（1）中得到的两个结论是否成立,若成立,加以证明; 若不成立, 请说明理由;（3）如图3，若点M 、A 不重合，BN =NE ，你在（1）中得到的结论两个是否成立, 请直接写出你的结论.图 1 图 2 图325. 解：（1）BN 与NE 的位置关系是BN ⊥NE ；CE BM 2 证明：如图，过点E 作EG ⊥AF 于G , 则∠EGN =90°．∵ 矩形ABCD 中, AB =BC ，∴ 矩形ABCD 为正方形.∴ AB =AD =CD , ∠A =∠ADC =∠DCB =90°．∴ EG//CD , ∠EGN =∠A , ∠CDF =90°．……………1分∵ E 为CF , F A ( M ) D N D A C E N M B F E C BF N M E C B∴ GF =DG =11.22DF CD = ∴ 1.2GE CD = ∵ N 为MD (AD )的中点，∴ AN =ND =11.22AD CD = ∴ GE =AN ,NG=ND+DG=ND+AN=AD=AB . ………2分∴ △NGE ≌△BAN ．∴ ∠1=∠2.∵ ∠2+∠3=90°，∴ ∠1+∠3=90°．∴ ∠BNE =90°.∴ BN ⊥NE ． ……………………………3分∵ ∠CDF =90°, CD =DF ,可得 ∠F =∠FCD =45°， 2.CF CD =. 于是122CF CE CE CE BM BA CD CD ==== …………4分（2）在（1）中得到的两个结论均成立.证明：如图，延长BN 交CD 的延长线于点G ，连结BE 、GE ，过E 作EH ⊥CE ，交CD 于点H ．H B C E M∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CG．∴∠MBN=∠DGN，∠BMN=∠GDN.∵N为MD的中点，∴MN=DN．∴△BMN≌△GDN．∴MB=DG，BN=GN.∵BN=NE，∴BN=NE=GN.∴∠BEG=90°． (5)分∵EH⊥CE，∴∠CEH =90°．∴∠BEG=∠CEH．∴∠BEC=∠GEH．由（1）得∠DCF =45°．∴∠CHE=∠HCE =45°．∴EC=EH,∠EHG =135°．∵∠ECB=∠DCB+∠HCE =135°，∴∠ECB =∠EHG．∴△ECB≌△EHG．∴EB=EG，CB=HG．∵BN=NG，∴BN⊥NE. ……………………6分∵BM =DG= HG-HD= BC-HD =CD-2CE，∴2. ……………………7分CEBM不一定等于（3）BN⊥NE；CEBM2. ……………………8分密云25．已知菱形ABCD的边长为1，60ADC∠=o，等边△AEF两边分别交DC、CB于点E、F．（1）特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点，求证：菱形ABCD对角线AC、BD的交点O即为等边△AEF的外心；（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动，记等边△AEF的外心为P．①猜想验证：如图2，猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；②拓展运用：如图3，当E 、F 分别是边DC 、CB 的中点时，过点P 任作一直线，分别交DA 边于点M ，BC 边于点G ，DC 边的延长线于点N ，请你直接写出11DM DN+的值．25．（本小题满分8分）证明：（1）如图1：分别连结OE 、OF ．∵四边形ABCD 是菱形，∴AD DC CB ==，AC BD ⊥，DO BO =， 且112302ADC ∠=∠=∠=o ． ∴在Rt △AOD 中，有12AO AD =． 又 E 、F 分别是边DC 、CB 的中点，∴1122EO CB DC OF ===．∴AO EO FO ==．∴点O 即为等边△AEF 的外心． ------------------------- 3分（2）①猜想：△AEF 的外心P 落在对角线DB 所在的直线上．证明：如图2：分别连结PE 、PA ，作PQ DC ⊥于Q ，PH AD⊥于H ．则90PQE PHD ∠=∠=o∵60ADC ∠=o， ∴在四边形QDHP 中，120QPH ∠=o．又 ∵点P 是等边△AEF 的外心，60EFA ∠=o，∴PE PA =，2260120EPA EFA ∠=∠=⨯=oo． ∴αβ∠=∠．∴△PQE ≌△PHA （AAS ）．∴PQ=PH ． ∴点P 在ADC ∠的角平分线上．∵菱形ABCD 的对角线DB 平分ADC ∠， ∴ 点P 落在对角线DB 所在直线上--- 6分 ②112DM DN+=． ---------------------- 8分 旋转变换在几何证明应用延庆24. （1）如图1：在△ABC 中，AB=AC ，当∠ABD =∠ACD=60°时，猜想AB 与BD+CD 数量关系，请直接写出结果 ；（2）如图2：在△ABC 中，AB=AC ，当∠ABD =∠ACD=45°时，猜想AB 与BD+CD 数量关系并证明你的结论； （3）如图3：在△ABC 中，AB=AC ，当∠ABD =∠ACD=β（20°≤β≤70°）时，直接写出AB 与BD+CD 数量关系(用含β的式子表示)。
密云县初三数学二模试题及答案
密云县2012年初三第二次综合检测数 学 试 卷学校 姓名 准考证号一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1． －3的绝对值是A ． 3B ． －3C ． ±3 D． 132．函数11y x =-的自变量x 的取值范围是A ．x ≠0 B．x ≠1 C．x ≥1 D ．x ≤1 3．若右图是某几何体的三视图，则这个几何体是A ． 长方体B ． 正方体C ．三棱柱 D ． 圆锥4．一组数据1，－1，2，5，6，5的平均数和极差分别是A ．7和3B ．3和7C ．5和7D ．3和55． 若2(2)0x +=，则y x 的值为A ．－8B ．－6C ．8D ． 66．从1、2、3、4、5、6这六个数中随机取出一个数，取出的数是3的倍数的概率是A ．16B ．13C ．12D ．237．如图，AB 是半⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，OD BC ⊥于D ，若:4:3AC BC =，10AB =cm ，则OD 的长为 A ．2 cmB ．4 cmC ．6 cmD ．8 cm 8．如图，Rt△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，P 是斜边AB上一动点（不与点A 、B 重合），PQ ⊥AB 交△ABC 的直角边于 点Q ，设AP 为x ，△APQ 的面积为y ，则下列图象中，能表示y 关于x 的函数关系的图象大致是 二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．已知32A x =-，12B x =+，则A B -= ．10．不等式组211,1(6)2x x x -≥⎧⎪⎨-⎪⎩的解集是 ．11．已知关于x 的一元二次方程22410x x k ++-=有实数根，则的最大值是 ． 12．如图，在边长为1的等边△ABC 中，若将两条含120︒圆心角的AOB 、BOC 及边AC 所围成的阴影部分的面积记为S ，则S 与△ABC面积的比是 ．三、解答题（本题共30分，每小题5分） 131tan 602-+-． 14．用配方法解方程：01632=--x x ．15．已知：如图，∠C =∠CAF =90°，点E 在AC 上，且AE =BC ，EF ⊥AB 于点D ．求证：AB =FE ． 16．已知2a ＋b －1＝0，求代数式22()(1)()aa b a b a b-+÷-+的值． 17．如图，A 、B 两点在反比例函数ky x=（x ＞0）的图象上．（1）求该反比例函数的解析式；（2）连结AO 、BO 和AB ，请直接写出△AOB 的面积． 18．列方程解应用题：某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？ 四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．已知：如图，AB 为⊙O 的直径，PA 、PC 是⊙O 的切线，A 、C 为切点，∠BAC =30．（1）求∠P 的大小； （2）若AB =6，求PA 的长．20．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE AB ⊥于E ．设CD ＝CB AD ＝9，AB ＝15． 求B ∠的余弦值及AC 的长．21．国家规定“中小学生每天在校体育活动时间不低于1小时”．为此，某区就“你每天在校体育活动时间是多少”的问题随机调查了辖区内300名初中学生．根据调查结果绘制成的条形统计图（部分）如图所示，其中分组情况是： Ａ组：0.5h t <；Ｂ组：0.5h 1h t <≤ Ｃ组：1h 1.5h t <≤Ｄ组： 1.5h t ≥请根据上述信息解答下列问题： （1）Ｃ组的人数是 ； （2）将条形统计图补充完整； （3）本次调查数据的中位数落在组内；（4）若该区约有4300名初中学生，请估计其中达到国家规定体育活动时间的人大约有 多少？22．定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内．．点．．如图1，PH PJ =，PI PG =，则点P 就是四边形ABCD 的准内点． （1）如图2， AFD ∠与DEC ∠的角平分线,FP EP 相交于点P ．求证：点P 是四边形ABCD 的准内点．（2）分别画出图3平行四边形和图4梯形的准内点（作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明）．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．已知关于x 的方程 2220x ax a b --+=，其中a 、b 为实数．（1）若此方程有一个根为2 a （a ＜0），判断a 与b 的大小关系并说明理由；（2）若对于任何实数a ，此方程都有实数根，求b 的取值范围．24． 如图，在直角坐标系xoy 中，以y 轴为对称轴的抛物线经过直线23y x =-+与y 轴的交点A 和点M (2-，0)． （1）求这条抛物线所对应的二次函数的解析式； （2）将这条抛物线沿x 轴向右平移，使其经过坐标原点．①在题目所给的直角坐标系xoy 中，画出平移后的 抛物线的示意图；②设平移后的抛物线的对称轴与直线AB （B 是直线23y x =-+与x 轴的交点）相交于C 点，判断以O 为圆心、OC 为半径的圆与直线AB 的位置关系，并说明理由； （3）P 点是平移后的抛物线的对称轴上的点，求P 点的坐标，使得以O 、A 、C 、P 四点为顶点的四边形是平行四边形．25．已知菱形ABCD 的边长为1，60ADC ∠=，等边△AEF 两边分别交DC 、CB 于点E 、F ．（1）特殊发现：如图1，若点E 、F 分别是边DC 、CB 的中点，求证：菱形ABCD 对角线AC 、BD 的交点O 即为等边△AEF 的外心；（2）若点E 、F 始终分别在边DC 、CB 上移动，记等边△AEF 的外心为P ．①猜想验证：如图2，猜想△AEF 的外心P 落在哪一直线上，并加以证明；②拓展运用：如图3，当E 、F 分别是边DC 、CB 的中点时，过点P 任作一直线，分别交DA 边于点M ，BC 边于点G ，DC 边的延长线于点N ，请你直接写出11DM DN+的值．密云县2012年初三第二次综合检测数学试卷答案参考及评分标准阅卷须知：1．为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为详细，阅卷时，只要考生将主要过程正确写出即可．2．若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考给分． 3．评分参考中所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．（本小题满分5分）1tan 602-+-12=···················· 4分12=． ·························· 5分 14．（本小题满分5分）解：原方程化为：03122=--x x …………………………………………1分131122+=+-x x ………………………………………………2分()341-2=x ………………………………………………3分∴3321,332121-=+=x x ………………………………………………5分 15．（本小题满分5分）证明：∵EF ⊥AB 于点D ，∴ ∠ADE =90°．∴∠1+∠2=90°．-----------------------------1分又∵∠C =90°， ∴ ∠1+∠B =90°．∴ ∠B =∠2． -------------------------------2分 在△ABC 和△FEA 中，ww w.x kb1.co m2,, .B BC AE C FAE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩-----------------------------------------------------------3分∴△ABC ≌△FEA ． -----------------------------------------------------------4分∴AB =FE ． -------------------------------------------------------------------------5分16．（本小题满分5分）解：22()(1)()aa b a b a b-+÷-+＝21()()a b a b a b a b a b+-+⨯⨯+- ---------------------------------------------------3分 ＝ 2a＋b ． ------------------------------------------------------------------------------ 4分∵ 2a ＋b －1＝0，∴ 2a ＋b ＝1． ∴原式＝1 ． ----------------------------------------------------------------------------- 5分 17．（本小题满分5分）解：（1）∵点A （1，6）在反比例函数(0)my x x=>的图象上， ∴166m xy ==⨯= ．∴反比例函数解析式为6(0)y x x=．-------------------------------------2分（2）△AOB 的面积是352． --------------------------------------------------------5分 18．（本小题满分5分）解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染x 台电脑， ···· 1分依题意得：1(1)81x x x +++=， ············ 3分 解得 12810x x ==-，（舍去），∴8x =． ---------------------------------------------------------------------------4分答：每轮感染中平均每一台电脑会感染8台． ······· 5分 四、解答题（本题共20分，第19题4分，第20题5分，第21题6分，第22题5分） 19．（本小题满分5分）（1）解：∵PA 是⊙O 的切线，AB 为⊙O 的直径，∴ PA AB ⊥． ∴90BAP ∠=．----------------------------------1分∵ ∠BAC =30，∴ 9060PAC BAC ∠=-∠=．又∵PA 、PC 切⊙O 于点A 、C ，∴PA PC =．-------------------------------------------------------------------2分∴△PAC 是等边三角形． ∴60P ∠=． ------------------------------------------------------------------3分 (2 ) 如图，连结BC ．∵AB 是直径，∠ACB =90．---------------------------------------4分 在R t △ACB 中，AB =6，∠BAC =30，新课 标第 一 网∴cos 6cos3033AC AB BAC =⋅∠==． 又∵△PAC 是等边三角形， ∴PA AC == ----------------------------------------------------------------5分 20．（本小题满分5分）解：如图，在AB 上截取AF AD =，连结CF ． -------------------------------------1分∵ AC 平分∠BAD ，∴12∠=∠． 又AC AC =，∴△ADC ≌△AFC ．∴AF =AD =9，CF=CD =CB =．------------2分∴△CBF 是等腰三角形． 又∵CE AB ⊥于E ，∴ EF =EB =21BF =21（AB －AF ）=3．--------------------------------------------------3分在Rt △BEC中，cosBE B BC ===． ---------------------------------4分 在Rt △BEC （或Rt △FEC ）中，由勾股定理得 CE =5． 在Rt △AEC 中，由勾股定理 得AC =13．-------------------------------------------5分∴ B ∠AC 的长为13． 21．（本小题满分5分）解：（1）120； ---------------------------------1分（2）图形正确 -------------------------------2分（3）Ｃ；--------------------------------------3分（4）达国家规定体育活动时间的人数约占12060100%60%300+⨯=．------------4分 ∴ 达国家规定体育活动时间的人约有 430060%2580⨯=（人）．-----------5分 22．（本小题满分5分） 证明：（1）如图2，过点P 作AD PJ CD PI BC PH AB PG ⊥⊥⊥⊥,,,，∵EP 平分DEC ∠，∴PH PJ =． -----------------------------------------1分 同理 PI PG =．∴P 是四边形ABCD 的准内点．----------------------2分（2）说明：①平行四边形对角线,AC BD 的交点1P （或者取平行四边形两对边中点连线的交点1P ）是准内点，如图3（1）和图3（2）； -------------------------4分②梯形两腰夹角的平分线与梯形两腰中点连线的交点2P 是准内点，如图4. --5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．（本小题满分7分） 解：（1）∵ 方程 2220x ax a b --+=有一个根为2a ， ∴ 224420a a a b --+=．整理，得 2ab =． ∵a <， ∴2a a <，即a b <． ---------------------------------------------3分（2） 2244(2)448a a b a a b ∆=--+=+-．∵ 对于任何实数a ，此方程都有实数根，∴ 对于任何实数a ，都有2448a a b +-≥0 ，即22a a b +-≥0．∴ 对于任何实数a ，都有b ≤22a a +．∵ 22111()2228a a a +=+- ，当 12a =-时，22a a +有最小值18-．∴ b 的取值范围是b ≤18-． ----------------------------------------------7分 24．（本小题满分7分）（1）设0x =，则2y =．∴A （0,2）．设这条抛物线所对应的二次函数的解析式为：22y ax =+．∵过点M (-0)，∴有2(20a ⨯+=．解得83a =-．∴所求的这条抛物线所对应的二次函数的解析式为2823y x =-+．----------2分（2）①平移后的抛物线如图所示:--------------------------------------------------------------3分 ②相切．理由：由题意和平移性质可知，平移后的抛物线的对称轴为直线x =∵C 点是对称轴与直线AB 的相交，∴易求得点C 的坐标为（2，32）．由勾股定理，可求得OC =设原点O 到直线AB 的距离为d ，则有 AB d AO BO ⋅=⋅．∵点A 为（0，2），点B 为（0），∴4AB =．42d =⨯．∴d OC ==．这说明，圆心O 到直线AB 的距离d 与⊙O 的半径OC 相等．∴以O 为圆心、OC 为半径的圆与直线AB 相切． -------------------------------------5分（3）设P 点的坐标为（2，p ）． ∵抛物线的对称轴与y 轴互相平行，即AO ∥PC ．∴只需PC AO =2=，即可使以O ，A ，C ，P 为顶点的四边形是平行四边形．由（2）知，点C 的坐标为（2，32）， ∴322p -=．∴22p -=±．解得 172p =，212p =-．∴ P 点的坐标为1p 72）或2p 12-）．----------------------------7分25．（本小题满分8分）证明：（1）如图1：分别连结OE 、OF ．X kb 1 .c o m∵四边形ABCD 是菱形，∴AD DC CB ==，AC BD ⊥，DO BO =， 且112302ADC ∠=∠=∠=．∴在Rt △AOD 中，有12AO AD =．又 E 、F 分别是边DC 、CB 的中点，∴1122EO CB DC OF ===．∴AO EO FO ==． ∴点O 即为等边△AEF 的外心． -------------------------------------------------- 3分 （2）①猜想：△AEF 的外心P 落在对角线DB 所在的直线上．证明：如图2：分别连结PE 、PA ，作PQ DC ⊥于Q ，PH AD ⊥于H ．则90PQE PHD ∠=∠=．∵60ADC ∠=，∴在四边形QDHP 中，120QPH ∠=．又 ∵点P 是等边△AEF 的外心，60EFA ∠=，∴PE PA =，2260120EPA EFA ∠=∠=⨯=． ∴αβ∠=∠． ∴△PQE ≌△PHA （AAS ）．∴PQ=PH ． ∴点P 在ADC ∠的角平分线上． ∵菱形ABCD 的对角线DB 平分A D C ∠， ∴ 点P 落在对角线DB 所在的直线上． ----------------------------------- 6分 ②112DM DN +=． ---------------------------------------------------------------- 8分。
2012年二模考试试题分类几何综合学生版
2012年北京市中考数学二模分类汇编——几何综合与中点有关的问题1.(昌平24) 如图，D 是△ABC 中AB 边的中点，△BCE 和△ACF 都是等边三角形，M 、N 分别是CE 、CF 的中点.（1）求证：△DMN 是等边三角形；（2）连接EF ，Q 是EF 中点，CP ⊥EF 于点P . 求证：DP ＝DQ .同学们，如果你觉得解决本题有困难，可以阅读下面两位同学的解题思路作为参考：小聪同学发现此题条件中有较多的中点，因此考虑构造 三角形的中位线，添加出了一些辅助线；小慧同学想到要证明线段相等，可通过证明三角形全等，如何构造出相应的三角形呢？她考虑将△NCM 绕顶点旋转到要证的对应线段的位置，由此猜想到了所需构造的三角形的位置.2.（丰台24）在△ABC 中，D 为BC 边的中点，在三角形内部取一点P ，使得∠ABP =∠ACP ．过点P 作PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥AB 于点F ．（1）如图1，当AB =AC 时，判断的DE 与DF 的数量关系，直接写出你的结论；（2）如图2，当AB AC ，其它条件不变时，（1）中的结论是否发生改变？请说明理由．图1 图23.(海淀25.)在矩形ABCD 中, 点F 在AD 延长线上，且DF = DC , M 为AB 边上一点, N 为MD 的中点, 点E 在直线CF 上（点E 、C 不重合）.（1）如图1, 若AB =BC , 点M 、A 重合, E 为CF 的中点，试探究BN 与NE 的位置关系及BMCE的值, 并证明你的结论;（2）如图2，且若AB =BC , 点M 、A 不重合, BN =NE ，你在（1）中得到的两个结论是否成立, 若成立,加以证明; 若不成立, 请说明理由;（3）如图3，若点M 、A 不重合，BN =NE ，你在（1）中得到的结论两个是否成立, 请直接写出你的结论.AEFPD CCE BAD F PF A ( M ) D N D A C E NM BFE C BF N M E C B3.（密云25）已知菱形ABCD 的边长为1，60ADC ∠=，等边△AEF 两边分别交DC 、CB 于点E 、F ．（1）特殊发现：如图1，若点E 、F 分别是边DC 、CB 的中点，求证：菱形ABCD 对角线AC 、BD 的交点O 即为等边△AEF 的外心；（2）若点E 、F 始终分别在边DC 、CB 上移动，记等边△AEF 的外心为P ． ①猜想验证：如图2，猜想△AEF 的外心P 落在哪一直线上，并加以证明；②拓展运用：如图3，当E 、F 分别是边DC 、CB 的中点时，过点P 任作一直线，分别交DA边于点M ，BC 边于点G ，DC 边的延长线于点N ，请你直接写出11DM DN+值．旋转变换在几何证明应用1.（延庆24）（1）如图1：在△ABC 中，AB =AC ，当∠ABD =∠ACD =60°时，猜想AB 与BD +CD数量关系，请直接写出结果 ；（2）如图2：在△ABC 中，AB =AC ，当∠ABD =∠ACD =45°时，猜想AB 与BD +CD 数量关系并证明你的结论； （3）如图3：在△ABC 中，AB =AC ，当∠ABD =∠ACD =β（20°≤β≤70°）时，直接写出AB 与BD +CD 数量关系(用含β的式子表示)。
2012年北京市各区高考二模试题分类解析【数学
一、集合〔必修一〕1.〔20####二模文〕设集合{0,1234,5}{12}U A ==，，，，，，{}2540B x x x =∈-+<Z ,则=⋃)(B A C U 〔 D 〕A ．{0,1,2,3}B ．{5}C ．{124}，，D ．{0,4,5} 2.〔20##丰台二模文9〕已知集合A=｛x ｜2x-x 2>0｝,B=｛x ｜x>1｝,则AB =______． 答案：{}12x x <<。
3.〔20##昌平二模文1〕若集合}{0>=x |x A ,}4|{2<=x x B ,则=B A 〔 B 〕 A.{02<<-x |x } B. {20<<x |x } C. {22<<-x |x } D. {2->x |x }4.〔20##东城二模文1〕若集合{}0A x x =≥,且AB B =,则集合B 可能是〔 A 〕 A ．{}1,2 B.{}1x x ≤ C.{}1,0,1- D.R六、不等式〔必修五〕1.〔20##西城二模 文12〕已知函数2()1f x x bx =++是R 上的偶函数,则实数 b =_____；不等式(1)f x x -<的解集为_____．答案：0,{|12}x x <<。
2.〔20##昌平二模文6〕 爬山是一种简单有趣的野外运动,有益于身心健康,但要注意安全,准备好必需物品,控制好速度.现有甲、乙两人相约爬山,若甲上山的速度为1v ,下山的速度为2v 〔21v v ≠〕,乙上下山的速度都是221v v +〔甲、乙两人中途不停歇〕,则甲、乙两人上下山所用的时间21,t t 的关系为〔 A 〕A ．21t t > B. 21t t < C. 21t t = D. 不能确定七、常用逻辑用语〔选修2-1〕1.〔20####二模文3〕如果命题"p 且q 〞是假命题,"q ⌝〞也是假命题,则〔 C 〕A ．命题"⌝p 或q 〞是假命题B ．命题"p 或q 〞是假命题C ．命题"⌝p 且q 〞是真命题D ．命题"p 且q ⌝〞是真命题 2.〔20##昌平二模文2〕"1>x 〞 是"0lg >x 垂直〞的〔 C 〕A. 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件3.〔20##海淀二模文2〕已知命题p ：x R ∃∈,x x 21sin <. 则p ⌝为〔 D 〕 A ．x R ∃∈,x x 21sin =B.x ∀∈R ,x x 21sin <C.x R ∃∈,x x 21sin ≥D.x ∀∈R ,x x 21sin ≥。
2012年北京各区县初三数学二模(共六套)
海淀区九年级第二学期期末练习数 学 2012. 6一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1. -5的倒数是A ．15B ．15- C ．5- D ．52. 2012年4月22日是第43个世界地球日，中国国土资源报社联合腾讯网发起“世界地球 日”微话题，共有18 891 511人次参与了这次活动，将18 891 511用科学记数法表示（保 留三个有效数字）约为 A. 18.9⨯106 B. 0.189⨯108 C. 1.89⨯107 D. 18.8⨯1063. 把2x 2 − 4x + 2分解因式，结果正确的是A ．2(x − 1)2B ．2x (x − 2)C ．2(x 2 − 2x + 1)D ．(2x −2)24. 右图是由七个相同的小正方体堆砌而成的几何体， 则这个几何体的俯视图是A BCD 5．从1, -2, 3这三个数中,随机抽取两个数相乘,积为正数的概率是A ．0B ．13C ．23D ．16. 如图，在△ABC 中，∠C =90°，BC =3，D ，E 分别在 AB 、AC 上，将△ADE 沿DE 翻折后，点A 落在点A ′处，若A ′为CE 的中点，则折痕DE 的长为 A. 21B. 3C. 2D. 1A'ED ABCC. 中位数是51.5D. 众数是588．如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ,∠ABC =60°，AB = DC =2, AD =1， R 、P 分别是BC 、CD 边上的动点（点R 、B 不重合, 点P 、C 不重合），E 、F 分别是AP 、RP 的中点，设BR=x ，EF=y ，则下列 图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是A B C D二、填空题（本题共16分，每小题4分）9. 若二次根式23-x 有意义，则 x 的取值范围是 .10．若一个多边形的内角和等于540︒，则这个多边形的边数是 .11. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 、B 、C 在双 曲线xy 6=上，BD ⊥x 轴于D , CE ⊥ y 轴于E ,点F 在x 轴上， 且AO =AF , 则图中阴影部分的面积之和为 .12．小东玩一种“挪珠子”游戏，根据挪动珠子的难度不同而得分不同，规定每次挪动珠子的颗数与所得分数的对应关系如下表所示：按表中规律，当所得分数为71分时，则挪动的珠子数为 颗; 当挪动n 颗 珠子时（n 为大于1的整数）, 所得分数为 （用含n 的代数式表示）.FE R P B C D A班级三、解答题（本题共30分，每小题5分） 1311|5|()3tan604---+︒．14．解方程：6123x x x +=-+.15. 如图，AC //EG , BC //EF , 直线GE 分别交BC 、BA 于P 、D ，且AC=GE , BC=FE . 求证：∠A =∠G .16．已知2220a a --=，求代数式221111121a a a a a --÷--++的值．17. 如图，一次函数的图象与x 轴、y 轴分别交于点A (-2, 0)、B (0, 2). （1）求一次函数的解析式;（2）若点C 在x 轴上，且OC =23, 请直接写出∠ABC 的度数.18. 如图，在四边形ABCD 中，∠ADB =∠CBD =90︒，BE//CD 交AD 于E , 且EA=EB ．若AB=54，DB =4, 求四边形ABCD 的面积．GF E D CA P EDCA四、解答题（本题共20分，第19题、第20题各5分，第21题6分，第22题4分） 19. 某街道办事处需印制主题为“做文明有礼的北京人，垃圾减量垃圾分类从我做起”的宣传单. 街道办事处附近的甲、乙两家图文社印制此种宣传单的收费标准如下： 甲图文社收费s （元）与印制数t (张)的函数关系如下表：乙图文社的收费方式为：印制2 000张以内（含2 000张），按每张0.13元收费；超过 2 000张，均按每张0.09元收费.（1）根据表中给出的对应规律，写出甲图文社收费s （元）与印制数t (张)的函数关系式； （2）由于马上要用宣传单，街道办事处同时在甲、乙两家图文社共印制了1 500张宣传单，印制费共179元，问街道办事处在甲、乙两家图文社各印制了多少张宣传单？（3）若在下周的宣传活动中，街道办事处还需要加印5 000张宣传单，在甲、乙两家图文社中选择 图文社更省钱.20．如图，AC 、BC 是⊙O 的弦, BC //AO , AO 的延长线与过点C 的射线交于点D , 且∠D =90︒-2∠A .（1）求证：直线CD 是⊙O 的切线； （2）若BC=4，1tan 2D =，求CD 和AD 的长．21. 李老师为了了解所教班级学生完成数学课前预习的具体情况，对本班部分学生进行了 为期半个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类，A ：很好；B ：较好；C ：一般；D ： 较差.并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：（1）李老师一共调查了多少名同学？（2）C 类女生有 名，D 类男生有 名，将上面条形统计图补充完整； （3）为了共同进步，李老师想从被调查的A 类和D 类学生中各随机选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位 男同学和一位女同学的概率.类别50%25%15%D C B A22．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：我们定义: 如果一个图形绕着某定点旋转一定的角度α (0︒ <α <360︒) 后所得的图形与原图形重合，则称此图形是旋转对称图形. 如等边三角形就是一个旋转角为120︒的旋转对称图形. 如图1，点O 是等边三角形△ABC 的中心, D 、E 、F 分别为AB 、BC 、 CA 的中点, 请你将△ABC 分割并拼补成一个与△ABC 面积相等的新的旋转对称图形.图1小明利用旋转解决了这个问题，图2中阴影部分所示的图形即是与△ABC 面积相等的新的旋转对称图形.请你参考小明同学解决问题的方法，利用图形变换解决下列问题：如图3，在等边△ABC 中, E 1、E 2、E 3分别为AB 、 BC 、CA 的中点，P 1、P 2, M 1、M 2, N 1、N 2分别为 AB 、BC 、CA 的三等分点. （1）在图3中画出一个和△ABC 面积相等的新的旋转 对称图形，并用阴影表示（保留画图痕迹）； （2）若△ABC 的面积为a ，则图3中△FGH 的面积为 ．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．已知抛物线 2(1)(2)1y m x m x =-+--与x 轴交于A 、B 两点． （1）求m 的取值范围；（2）若m >1, 且点A 在点B 的左侧，OA : OB =1 : 3, 试确定抛物线的解析式；（3）设（2）中抛物线与y 轴的交点为C ，过点C 作直线l //x 轴, 将抛物线在y 轴左侧的部分沿直线 l 翻折, 抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象. 请你结合新图象回答: 当直线13y x b =+与新图象只有一个公共点P (x 0, y 0)且 y 0≤7时, 求b 的取值范围.E 3 E 1 E 2P 1 P 2 N 1N 22 1 B A图3 GFH24. 如图, 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线x x my 222-=与x 轴负半轴交于点A , 顶点为B , 且对称轴与x 轴交于点C .（1）求点B 的坐标 (用含m 的代数式表示)；（2）D 为BO 中点，直线AD 交y 轴于E ，若点E 的坐标为(0, 2), 求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，点M 在直线BO 上，且使得△AMC 的周长最小，P 在抛物线上，Q 在直线 BC 上，若以A 、M 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐 标.备用图25. 在矩形ABCD 中, 点F 在AD 延长线上，且DF = DC , M 为AB 边上一点, N 为MD 的中 点, 点E 在直线CF 上（点E 、C 不重合）.（1）如图1, 若AB =BC , 点M 、A 重合, E 为CF 的中点，试探究BN 与NE 的位置关系及BMCE的值, 并证明你的结论; （2）如图2，且若AB =BC , 点M 、A 不重合, BN =NE ，你在（1）中得到的两个结论是否成立, 若成立,加以证明; 若不成立, 请说明理由;（3）如图3，若点M 、A 不重合，BN =NE ，你在（1）中得到的结论两个是否成立, 请直接写出你的结论.图1 图2 图3A N DA C E D NM B F E C B F N M E C B海淀区九年级第二学期期末练习数学试卷答案及评分参考 2012. 6说明: 与参考答案不同, 但解答正确相应给分. 一、选择题（本题共32分，每小题4分）1. B2. C3. A4. C5. B6. D7. D8. C 二、填空题（本题共16分，每小题4分）9.23x ≥10. 5 11. 12 12．8; 21n n +- （每空各 2分） 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13115()3tan604---+︒=54-+ …………………………………………………4分=1. …………………………………………………5分14．解：去分母，得 ()()()()63223x x x x x ++-=-+． ………………………………2分2261826x x x x x ++-=+-. ……………………………………………………3分 整理，得 324x =-． 解得 8x =-． ………………………………………………………………4分 经检验，8x =-是原方程的解． 所以原方程的解是8x =-． ……………………………………………………5分15．证明：∵ AC //EG ，∴ C CPG ∠=∠． …………1分 ∵ BC //EF ，∴ CPG FEG ∠=∠．∴ C FEG ∠=∠． …………………………………………2分在△ABC 和△GFE 中，,,,AC GE C FEG BC FE =⎧⎪∠=∠⎨=⎪⎩ ∴ △ABC ≌△GFE ． …………………………………………………4分∴A G ∠=∠． …………………………………………………5分16. 解：原式=()()()21111111a a a a a +-⋅-+-- ……………………………………………2分 =()21111a a a +--- …………………………………………………3分 =22.(1)a -- …………………………………………………4分由2220a a --=，得 2(1)3a -=.∴ 原式=23-. …………………………………………………5分 GFEDC AP17．解：（1）依题意设一次函数解析式为2y kx =+. …………………………………1分∵ 点A (2,0-)在一次函数图象上， ∴022k =-+. ∴ k =1. ……………………………………………………2分 ∴ 一次函数的解析式为2y x =+. …………………………………3分 （2）ABC ∠的度数为15︒或105︒． （每解各1分） ……………………5分18．解: ∵∠ADB =∠CBD =90︒，∴ DE ∥CB . ∵ BE ∥CD ， ∴ 四边形BEDC 是平行四边形. ………1分 ∴ BC=DE .在Rt △ABD 中，由勾股定理得8AD =. ………2分设DE x =，则8EA x =-． ∴8EB EA x ==-．在Rt △BDE 中，由勾股定理得 222DE BD EB +=.∴ 22248x x +=-（）． ……………………………………………………3分 ∴ 3x =．∴ 3BC DE ==． ……………………………………………………4分 ∴1116622.22ABD BDC ABCD S S S BD AD BD BC ∆∆=+=⋅+⋅=+=四边形 ………… 5分 四、解答题（本题共20分，第19题、第20题各5分，第21题6分, 第22题4分）19．解：（1）甲图文社收费s （元）与印制数t （张）的函数关系式为0.11s t =. ……1分（2）设在甲、乙两家图文社各印制了x 张、y 张宣传单， 依题意得 {1500,0.110.13179.x y x y +=+= ………………………………………… 2分解得800,700.x y =⎧⎨=⎩……………………………………………… 3分答：在甲、乙两家图文社各印制了800张、700张宣传单. ………………4分（3） 乙 . ……………………………………………………… 5分20.（1）证明：连结OC .∴ ∠DOC =2∠A . …………1分 ∵∠D = 90°2A -∠， ∴∠D +∠DOC =90°. ∴ ∠OCD =90°.∵ OC 是⊙O 的半径，∴ 直线CD 是⊙O 的切线. ………………………………………………2分 （2）解: 过点O 作OE ⊥BC 于E , 则∠OEC =90︒.∵ BC =4,∴ CE =12BC =2.∵ BC //AO , ∴ ∠OCE =∠DOC .D EC BA∵∠COE +∠OCE =90︒, ∠D +∠DOC =90︒,∴ ∠COE =∠D . ……………………………………………………3分 ∵tan D =12, ∴tan COE ∠=12. ∵∠OEC =90︒, CE =2,∴4tan CEOE COE==∠.在Rt △OEC 中, 由勾股定理可得OC ==在Rt △ODC 中, 由1tan 2OC D CD ==，得CD =, ……………………4分由勾股定理可得 10.OD =∴10.AD OA OD OC OD =+=+= …………………………………5分 21．解：（1）(64)50%20+÷=. 所以李老师一共调查了20名学生. …………………1分 （2）C 类女生有 3 名，D 类男生有 1 名；补充条形统计图略.说明：其中每空1分，条形统计图1分. ……………………………………4分 （3）解法一：由题意画树形图如下：………………………5分从树形图看出，所有可能出现的结果共有6种，且每种结果出现的可能性相等，所选 两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的结果共有3种. 所以P (所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学)=3162=. ………………6分 解法二：由题意列表如下：………………………5分由上表得出，所有可能出现的结果共有6种，且每种结果出现的可能性相等，所选 两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的结果共有3种. 所以P (所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学)=3162=. ………………6分 22.解：（1）画图如下：(答案不唯一) …………………………………2分图3从D 类中选取从A 类中选取女女男男女女男女男（2）图3中△FGH 的面积为7a. …………………………………4分 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23. 解：（1）∵ 抛物线2(1)(2)1y m x m x =-+--与x 轴交于A 、B 两点，∴210,(2)4(1)0.m m m ì- ïïíïD =-+->ïî由①得1m ¹， 由②得0m ¹，∴ m 的取值范围是0m ¹且1m ¹． ……………………………………………2分 （2）∵ 点A 、B 是抛物线2(1)(2)1y m x m x =-+--与x 轴的交点，∴ 令0y =，即 2(1)(2)10m x m x -+--=． 解得 11x =-，211x m =-． ∵1m >， ∴10 1.1m >>-- ∵ 点A 在点B 左侧，∴ 点A 的坐标为(1,0)-，点B 的坐标为1(,0)1m -. …………………………3分 ∴ OA=1，OB =11m -． ∵ OA : OB =1 : 3，∴131m =-. ∴ 43m =．∴ 抛物线的解析式为212133y x x =--． ………………………………………4分 （3）∵ 点C 是抛物线212133y x x =--与y 轴的交点，∴ 点C 的坐标为(0,1)-.依题意翻折后的图象如图所示．令7y =，即2121733x x --=． 解得16x =, 24x =-．∴ 新图象经过点D (6,7). 当直线13y x b =+经过D 点时，可得5b =.① ② …………………………………………1分当直线13y x b =+经过C 点时，可得1b =-．当直线1(1)3y x b b =+<-与函数2121(33y x x x =-->的图象仅有一个公共点P (x 0, y 0)时，得20001121333x b x x +=--.整理得 2003330.x x b ---=由2(3)4(33)12210b b D =----=+=，得74b =-结合图象可知，符合题意的b 的取值范围为15b -<≤或4b <-． ……………7分 24.解：（1）∵22222221212112()()4422y x x x mx m m x m m m m m m =-=-+-⋅=--，∴抛物线的顶点B 的坐标为11(,)22m m -. ……………………………1分（2）令2220x x m-=，解得10x =, 2x m =.∵ 抛物线x x my 222-=与x 轴负半轴交于点A ， ∴ A (m , 0), 且m <0. …………………………………………………2分过点D 作DF ⊥x 轴于F . 由 D 为BO 中点，DF //BC , 可得CF =FO =1.2CO ∴ DF =1.2BC由抛物线的对称性得 AC = OC . ∴ AF : AO =3 : 4. ∵ DF //EO ,∴ △AFD ∽△AOE . ∴.FD AFOE AO= 由E (0, 2)，B 11(,)22m m -，得OE =2, DF =14m -.∴134.24m-=∴ m = -6.∴ 抛物线的解析式为2123y x x =--. ………………………………………3分（3）依题意，得A （-6,0）、B (-3, 3)、C (-3, 0).可得直线OB 的解析式为x y -=,直线BC 为3x =-. 作点C 关于直线BO 的对称点C '(0，3)，连接AC '交BO于M ，则M 即为所求. 由A （-6，0），C ' (0, 3)，可得直线AC '的解析式为321+=x y .由13,2y x y x⎧=+⎪⎨⎪=-⎩ 解得2,2.x y =-⎧⎨=⎩ ∴ 点M 的坐标为(-2, 2). ……………4分由点P 在抛物线2123y x x =--上，设P (t ，213t - (ⅰ)当AM 为所求平行四边形的一边时. 如右图，过M 作MG ⊥ x 轴于G ,过P 1作P 1H ⊥ BC 于H , 则x G = x M =-2, x H = x B =-3.由四边形AM P 1Q 1为平行四边形， 可证△AMG ≌△P 1Q 1H . 可得P 1H = AG =4. ∴ t -(-3)=4. ∴ t =1.∴17(1,)3P -. ……………………5分 如右图，同 方法可得 P 2H=AG =4. ∴ -3- t =4. ∴ t =-7.∴27(7,)3P --. ……………………6分 (ⅱ)当AM 为所求平行四边形的对角线时, 如右图，过M 作MH ⊥BC 于H , 过P 3作P 3G ⊥ x 轴于G , 则x H = x B =-3，x G =3P x =t . 由四边形AP 3MQ 3为平行四边形， 可证△A P 3G ≌△MQ 3H . 可得AG = MH =1. ∴ t -(-6)=1. ∴ t =-5. ∴35(5,)3P -. ……………………………………………………7分 综上，点P 的坐标为17(1,)3P -、27(7,)3P --、35(5,)3P-. 25. 解：（1）BN 与NE 的位置关系是BN ⊥NE ；CE BM证明：如图，过点E 作EG ⊥AF 于G , 则∠EGN =90°．∵ 矩形ABCD 中, AB =BC ， ∴ 矩形ABCD 为正方形.∴ AB =AD =CD , ∠A =∠ADC =∠DCB =90°． ∴ EG//CD , ∠EGN =∠A , ∠CDF =90°． ………………………………1分 ∵ E 为CF 的中点，EG//CD ,∴ GF =DG =11.22DF CD =∴ 1.2GE CD =∵ N 为MD (AD )的中点， ∴ AN =ND =11.22AD CD = ∴ GE =AN , NG=ND+DG=ND+AN=AD=AB . ……………………………2分 ∴ △NGE ≌△BAN ． ∴ ∠1=∠2. ∵ ∠2+∠3=90°， ∴ ∠1+∠3=90°． ∴ ∠BNE =90°. ∴ BN ⊥NE ． ……………………………………………………………3分 ∵ ∠CDF =90°, CD =DF , 可得 ∠F =∠FCD =45°，CFCD= .于是12CFCE CE CE BM BA CD CD ==== ……………………………………4分 （2）在（1）中得到的两个结论均成立.证明：如图，延长BN 交CD 的延长线于点G ，连结BE 、GE ，过E 作EH ⊥CE ，交CD 于点H ．∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ AB ∥CG ．∴ ∠MBN =∠DGN ，∠BMN =∠GDN . ∵ N 为MD 的中点，∴ MN =DN ．∴ △BMN ≌△GDN ．∴ MB =DG ，BN =GN . ∵ BN =NE ，∴ BN =NE =GN . ∴ ∠BEG =90°． ……………………………………………5分 ∵ EH ⊥CE ， ∴ ∠CEH =90°． ∴ ∠BEG =∠CEH ． ∴ ∠BEC =∠GEH ． 由（1）得∠DCF =45°． ∴ ∠CHE =∠HCE =45°．HGA BC DEM N F 321GFEA (M )CD NB∴ EC=EH , ∠EHG =135°．∵∠ECB =∠DCB +∠HCE =135°， ∴ ∠ECB =∠EHG ． ∴ △ECB ≌△EHG ． ∴ EB =EG ，CB =HG ． ∵ BN =NG ，∴ BN ⊥NE. ……………………………………………6分∵ BM =DG= HG -HD= BC -HD =CD -，∴CE BM. ……………………………………………7分（3）BN ⊥NE ；CEBM.………………………………………………8分丰台区2012年初三统一练习（二）数 学 试 卷学校 姓名 准考证号一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．2-的绝对值是A ．12-B ．12C ．2D ．2-2．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，2.5微米等于0.000 002 5米，把0.000 002 5用科学记数法表示为A ．62.510⨯ B ．50.2510-⨯ C ． 62.510-⨯ D ．72510-⨯ 3．如图，在△ABC 中， DE ∥BC ，如果AD =1， BD =2，那么DEBC的值为 A ．12 B ．13 C ．14 D ．194．在4张完全相同的卡片上分别画有等边三角形、矩形、菱形和圆，在看不见图形的情况下随机抽取1张，卡片上的图形是中心对称图形的概率是 A ．14B ．12C ．34D ．1 5．若20x +=则 y x 的值为A ．－8B ．－6C ．6D ．8 6．下列运算正确的是 A ．222()a b a b +=+B ．235a b ab +=C ．632a a a ÷=D ．325a a a ⋅=EDCBA7．小张每天骑自行车或步行上学，他上学的路程为2 800米，骑自行车的平均速度是步行 的平均速度的4倍，骑自行车上学比步行上学少用30分钟．设步行的平均速度为x 米/分．根据题意，下面列出的方程正确的是A ．30428002800=-xx B ．30280042800=-x xC ．30528002800=-x xD ．30280052800=-xx8．如图1是一个小正方体的侧面展开图，小正方体从图2所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格，这时小正方体朝上．．一面的字是 A ．北 B ．京C ．精D ．神二、填空题（本题共16分，每小题4分）9有意义，则x 的取值范围是 ． 10．分解因式：=+-b ab b a 25102．11．如图, ⊙O 的半径为2，点A 为⊙O 上一点，OD ⊥弦BC 于点D ，如果1OD =，那么BAC ∠=________︒． 12．符号“f ”表示一种运算，它对一些数的运算如下：2(1)11f =+，2(2)12f =+，2(3)13f =+，2(4)14f =+，…， 利用以上运算的规律写出()f n = (n 为正整数) ；(1)(2)(3)(100)f f f f ⋅⋅⋅= ．三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：()︒⎪⎭⎫⎝⎛+45sin 4-211-3-272-03．14．已知2230a a --=，求代数式2(1)(2)(2)a a a a --+-的值．DOCBA15．解分式方程：21124x x x -=--．16．如图，在△ABC 与△ABD 中， BC 与AD 相交于点O ，∠1=∠2，CO = DO ．求证：∠C =∠D ．17．已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y =-x 的图象与反比例函数ky x=的图象交于A 、B 两点． （1）求k 的值；（2）如果点P 在y 轴上，且满足以点A 、B 、P 为顶点的三角形是直角三角形，直接写出点P 的坐标．18．为了增强居民的节约用电意识，某市拟出台居民阶梯电价政策：每户每月用电量不超过230千瓦时的部分为第一档，按每千瓦时0.49元收费；超过230千瓦时且不超过400千瓦时的部分为第二档，超过的部分按每千瓦时0.54元收费；超过400千瓦时的部分为第三档，超过的部分按每千瓦时0.79元收费．（1）将按阶梯电价计算得以下各家4月份应交的电费填入下表:（2）设一户家庭某月用电量为x 千瓦时，写出该户此月应缴电费y （元）与用电量x （千瓦时）之间的函数关系式．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．已知：如图，菱形ABCD 中，过AD 的中点E 作AC 的垂线EF ，交AB 于点M ，交CB的延长线于点F ．如果FB 的长是2，求菱形ABCD 的周长．20．已知：如图，点A 、B 在⊙O 上，直线AC 是⊙O 的切线，联结AB 交O C 于点D ，AC =CD ． （1）求证：OC ⊥OB ；B21DOCBAMFEBCDA（2）如果OD=1，tan∠OCA=2，求AC的长．22．小杰遇到这样一个问题：如图1，在□ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连结EF，△AEF的三条高线交于点H，如果AC=4，EF=3，求AH的长．小杰是这样思考的：要想解决这个问题，应想办法将题目中的已知线段与所求线段尽可能集中到同一个三角形中．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现可以通过将△AEH平移至△GCF的位置(如图2)，可以解决这个问题．请你参考小杰同学的思路回答：（1）图2中AH的长等于．（2）如果AC=a，EF=b，那么AH的长等于．B A DCEFHGHFEDAB图1 图2五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．已知关于x 的一元二次方程242(1)0x x k -+-=有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；（2）如果抛物线242(1)y x x k =-+-与x 轴的两个交点的横坐标为整数，求正整数k 的值；（3）直线y =x 与（2）中的抛物线在第一象限内的交点为点C ，点P 是射线OC 上的一个动点（点P 不与点O 、点C 重合），过点P 作垂直于x 轴的直线，交抛物线于点M ，点Q 在直线PC 上，距离点PP 的横坐标为t ，△PMQ 的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式．24．在△ABC 中，D 为BC 边的中点，在三角形内部取一点P ，使得∠ABP =∠ACP ．过点P作PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥AB 于点F ．（1）如图1，当AB =AC 时，判断的DE 与DF 的数量关系，直接写出你的结论； （2）如图2，当AB ≠AC ，其它条件不变时，（1）中的结论是否发生改变？请说明理由．图1 图2AEFPB D CCE AD F P25．如图，将矩形OABC 置于平面直角坐标系xOy 中，A （32，0），C （0，2）． (1) 抛物线2y x bx c =-++经过点B 、C ，求该抛物线的解析式；（2）将矩形OABC 绕原点顺时针旋转一个角度α（0°<α<90°），在旋转过程中，当矩形的顶点落在（1）中的抛物线的对称轴上时，求此时这个顶点的坐标； （3）如图（2），将矩形OABC 绕原点顺时针旋转一个角度θ（0°<θ<180°），将得到矩形OA’B’C’，设A’C’的中点为点E ，联结CE ，当θ= °时，线段CE 的长度最大，最大值为 ．北京市丰台区2011_2012学年第二学期初三综合练习（二）参考答案二、填空题（本题共16分，每小题4分）三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．解：原式=3-1+4-422⨯……4分 =6-22….5分14．解：2(1)(2)(2)a a a a --+-=22224a a a --+……1分. =224a a -+． ……2分2230a a --= ， ∴223a a -=． (3)分∴原式=224347a a -+=+=．….….5分 15．21124x x x -=-- 解：2(2)(4)1x x x +--=．……1分 22241x x x +-+=．……2分23x =-．…… 3分32x =-．…….4分检验：经检验，32x =-是原方程的解．∴原方程的解是32x =-．……5分16．证明： ∠1=∠2， ∴OA=OB ．…1分在△COA 和△DOB 中 ， OA=OB ，∠AOC =∠BOD ， CO=DO ．∴△COA ≌△DOB ．……….4分 ∴∠C =∠D ． …………….5分17．解：（1） 反比例函数ky x= 的图象经过点A (-1，1) ，∴-11-1k =⨯=．…………1分 （2）P 1(0、 P 2(0，、P 3(0，2)、 P 4(0，-2) ……5分18．解：（1）……2分（2）当0230x ≤≤时，0.49y x =；……3分 当230400x <≤时，0.54-11.5y x =；……4分当400x >时，0.79-111.5y x =．……5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．解：联结BD ． ∵在菱形ABCD 中，∴AD ∥BC ，AC ⊥BD ．……1分 又∵EF ⊥AC ， ∴BD ∥EF ． ∴四边形EFBD 为平行四边形．……2分∴FB = ED =2．……3分 ∵E 是AD 的中点． ∴AD =2ED =4．……4分 ∴菱形ABCD 的周长为4416⨯=．……5分（2）700⨯（1-0.04）=672．……5分答：这所学校每学期参加社会实践活动的时间不少于23．解：（1）由题意得△>0． ∴△=2(4)4[2(1)]8240k k ---=-+>．……1分 ∴解得3<k ．……2分（2）∵3<k 且k 为正整数，∴1=k 或2．……3分当1=k 时，x x y 42-=，与x 轴交于点（0，0）、（4，0），符合题意； 当2=k 时，242+-=x x y ，与x 轴的交点不是整数点，故舍去．综上所述，1=k ．……4分（3）∵2,4y x y x x =⎧⎨=-⎩，∴点C 的坐标是（5，5）．∴OC 与x 轴的夹角为45°． 过点Q 作QN ⊥PM 于点N ，（注：点Q 在射线PC 上时，结果一样，所以只写一种情况即可）∴∠NQP =45°，NQ PM S ⋅=21． ∵PQNQ =1．∵P （t t ,），则M （t t t 4,2-），∴PM =t t t t t 5)4(22+-=--．……5分∴t t S 5212+-=． ∴当50<<t 时，t t S 25212+-=；……6分 当5>t 时，t t S 25212-=．……7分24．解：（1）DE =DF ．……1分（2）DE =DF 不发生改变．……2分理由如下：分别取BP 、CP 的中点M 、N ，联结EM 、DM 、FN 、DN ．∵D 为BC 的中点，∴BP DN BP DN //,21=．……3分∵,AB PE ⊥∴BP BM EM 21==．∴21,∠=∠=EM DN ．∴12213∠=∠+∠=∠．…4分同理,524,//DM FN MD PC =∠=∠． ∴四边形MDNP 为平行四边形．……5分∴67∠=∠．∵,41∠=∠∴35∠=∠． ∴EMD DNF ∠=∠．……6分 ∴△EMD ≌△DNF ． ∴DE =DF ．……7分25．解：（1）∵矩形OABC ，A （32，0），C （0，2），∴B （32，2）．∴抛物线的对称轴为x =3．∴b =3．……1分 ∴二次函数的解析式为：22y x =-++．……2分(2)①当顶点A 落在对称轴上时，设点A 的对应点为点A ’，联结OA ’， 设对称轴x =3与x 轴交于点D ，∴OD =3．∴OA ’ = OA =32．在Rt △OA ’D 中，根据勾股定理A ’D =3． ∴A ’(3，-3) ． ……4分 ②当顶点落C 对称轴上时(图略)，设点C 的对应点为点C ’，联结OC ’，在Rt △OC ’D 中，根据勾股定理C ’D =1．7654321NMCD BPFEA∴C ’(3，1)．……6分 (3) 120°，4．……8分2012年门头沟区初三年级第二次统一练习数 学 试 卷一、选择题（本题共32分，每小题4分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的. 1. 4-的倒数是 A.4-B.4C. D. 2. 在日本核电站事故期间，我国某监测点监测到极微量的人工放射性核素碘－131，其浓度为0.000 0963贝克/立方米．将 0.000 0963用科学记数法表示为A. 51063.9⨯ B. 51063.9-⨯ C. 41063.9-⨯ D. 31063.9-⨯ 3. 下列交通标志中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是4. 五边形的内角和是A.360°B.540°C.720°D.900° 5. 为了支援地震灾区同学，某校开展捐书活动， 九（1）班40名同学积极参与．现将捐书数量 绘制成频数分布直方图如图所示，则捐书数量在5.5～6.5组别的频率是A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.46. 某农科院对甲、乙两种甜玉米各用10块相同条件的试验田进行试验，得到两个品种每公41-41Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．EDCB A顷产量的两组数据，两组数据的平均数相同，其方差分别为s 甲2＝0.002、s 乙2＝0.03，则下列说法正确的是 A ．甲比乙的产量稳定B ．乙比甲的产量稳定C ．甲、乙的产量一样稳定D ．无法确定哪一品种的产量更稳定7.关于x 的一元二次方程032=-+m x x 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 A. B. C. D.8. 如图，已知MN 是圆柱底面直径，NP 是圆柱的高.在圆柱的侧面上， 过点M 、P 嵌有一圈路径最短的金属丝.现将圆柱侧面沿NP 剪开，所得的侧面展开图是A. B. C. D.二、填空题（本题共16分，每小题4分）9. 分解因式：22344xy y x x +-= . 10. 如图，在△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 边上的点， 若32=BD AD ，AE =3，则AC = . 11.一商场文具部的某种毛笔每支售价25元，书法练习本每本售价5元. 该商场为促销决定：买1支毛笔就赠送1本书法练习本. 某校书法兴趣小组打算购买这种毛笔10支，这种练习本x （10≥x ）本， 则付款金额y （元）与练习本个数x （本）之间的函数关系式是 .12. 一组按规律排列的式子：22b a ，432b a -，843b a ，1654b a -，…，其中第6个式子是 ，第n 个式子是 （n 为正整数）．三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13.计算：4)3(45sin 80-+-+︒-π14.解不等式组：()⎪⎩⎪⎨⎧<-+≤+321234xx x x15.已知：3=x ，求2212-÷-x x x x 的值.PNM P /N /PN M P /N /P N M P /N /P N M M /P /N/PNM 121>m 121<m 121->m 121-<m16. 已知：如图，点E 、F 分别为□ABCD 的BC 、AD 边上的点，且∠1=∠2. 求证：AE =FC .17. 如图，已知反比例函数y =x6(x ＞0)的图象与一次函数y =kx +b 的图象交于点A （1，m ），B （n ，2）两点． （1）求一次函数的解析式；（2）结合图象回答：反比例函数的值大于一次函数的值时x 的取值范围.18. 列方程或方程组解应用题某中学库存960套旧桌凳，修理后捐助贫困山区学校．现有甲、乙两个木工小组都想承揽这项业务．经协商后得知：甲小组单独修理这批桌凳比乙小组多用20天；乙小组每天修的桌凳套数是甲小组的1.5倍．求甲、乙两个木工小组每天各修桌凳多少套？四、解答题（本题共20分，第19题5分，第20题5分，第21题6分，第22题4分）19.已知：如图，四边形ABCD 中，BC =CD =DB ，∠ADB =90°，sin ∠ABD =54，S △BCD =39. 求四边形ABCD 的周长.20. 如图，已知直线PA 交⊙O 于A 、B 两点，AE 是⊙O 的直径． 点C 为⊙O 上一点，且AC 平分∠PAE ，过C 作CD ⊥PA ，垂足 为D .(1)求证：CD 为⊙O 的切线；(2)若DC +DA =6，⊙O 的直径为10，求AB 的长.21.甲学校到丙学校要经过乙学校. 从甲学校到乙学校有A 1、A 2、A 3三条线路，从乙学校到丙学校有B 1、B 2二条线路．（1）利用树状图或列表的方法表示从甲学校到丙学校的线路中所有可能出现的结果； （2）小张任意走了一条从甲学校到丙学校的线路，求小张恰好经过了B 1线路的概率是多21F EDCBA DC BA少？23. 已知抛物线y ＝ax 2＋x ＋2.(1)当a ＝－1时，求此抛物线的顶点坐标和对称轴； (2)若代数式－x 2＋x ＋2的值为正整数，求x 的值；(3)若a 是负数时，当a ＝a 1时，抛物线y ＝ax 2＋x ＋2与x 轴的正半轴相交于点M (m ，0)；当a ＝a 2时，抛物线y ＝ax 2＋x ＋2与x 轴的正半轴相交于点N (n ，0). 若点M 在点N 的左边，试比较a 1与a 2的大小.24. 有两张完全重合的矩形纸片，小亮将其中一张绕点A 顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），连结BD 、MF ，此时他测得BD ＝8cm ，∠ADB ＝30°． （1）在图1中，请你判断直线FM 和BD 是否垂直？并证明你的结论；（2）小红同学用剪刀将△BCD 与△MEF 剪去，与小亮同学继续探究．他们将△ABD 绕点A 顺时针旋转得△AB 1D 1，AD 1交FM 于点K （如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK 为等腰三角形时，请直接写出旋转角β的度数；（3）若将△AFM 沿AB 方向平移得到△A 2F 2M 2（如图3），F 2M 2与AD 交于点P ，A 2M 2与BD 交于点N ，当NP ∥AB 时，求平移的距离是多少.25. 如图，在直角坐标系中，梯形ABCD 的底边AB 在x 轴上，底边CD 的端点D 在y 轴上.直线CB 的表达式为 ，点A 、D 的坐标分别为（－4，0），（0，4）. 动点P 从A 点出发，在AB 边上匀速运动. 动点Q 从点B 出发，在折线BCD 上匀速运动，速度均为每秒1个单位长度. 当其中一个动点到达终点时，另一动点也停止运动. 设点P 运动t （秒）时，△OPQ 的面积为S （不能构成△OPQ 的动点除外）. （1）求出点C 的坐标；（2）求S 随t 变化的函数关系式；（3）当t 为何值时，S 有最大值？并求出这个最大值.C D MB FE图1D M B图3N 2P 2M 2 D MBFD 1图2B 1K31634+-=x y2012年门头沟数学二模评标一、选择题1.C2.B3.D4.B5.B6.A7.C8.A 二、填空题9.2)2(y x x - 10.215 11. 2005+=x y 12. 6476b a -，n n n n b a 2)1(11++- 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13.解：原式=412222++-……………………………………4分 =5223+ ………………………………………….5分 14. ()⎪⎩⎪⎨⎧<-+≤+)2(321)1(234 xx x x解：由（1）得，1-≥x …………………………………….2分由（2）得，x<3 ………………………………………4分 不等式组的解集是31<≤-x ………………………5分 15.解：2212-÷-x xx x =xx x x x )1(2)1)(1(-⋅-+ ………………………..3分 =12+x ……………………………………..4分 当x=3时，原式=12+x =132+=21…………………………5分16.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD ，∠B=∠D. ………………………….2分 ∵∠1=∠2，……………………………………….3分△ABE ≌△CDF. ………………………………4分 AE=CF. ………………………………………5分17.解：（1）由题意得，m=6，n=3.∴A （1,6），B （3,2）. …………………………2分由题意得，⎩⎨⎧=+=+236b k b k解得，⎩⎨⎧=-=82b k∴一次函数解析式为y=-2x+8. ……………………3分21FEDC B A（2）反比例函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围是0<x<1或x>3. …..5分 18.解：设甲组每天修桌凳x 套，则乙组每天修桌凳为1.5x 套. …………………………..1分由题意得，205.1960960+=xx …………………………………………….3分 解得，x=16 ………………………………………………………………………4分经检验，x=16是原方程的解，且符合实际意义.1.5x=1.5⨯16=24 …………………………………………………………..5分 答：甲组每天修桌凳16套，乙组每天修桌凳为24套. 19.解：过C 作CE ⊥BD 于E. ∵∠ADB =90°，sin ∠ABD =54， ∴AD=4x,AB=5x. ………………………..1分 ∴DB=3x∵BC =CD =DB ，∴DE=x 23，∠CDB=60°. ………………………2分 ∴tan ∠CDB=DECE∴CE=x 233. ……………………………3分 ∵S △BCD =39, ∴3921=⋅⋅CE BD ∴ x=2. ………………………………………….4分 ∴AD=8,AB=10,CD=CB=6.∴四边形ABCD 的周长=AD+AB+CD+CB=30. ……………………………..5分 20.(1)证明：连接OC, ∵OA=OC,∴∠OCA=∠OAC. ∵CD ⊥PA ， ∴∠CDA=90°，∴∠CAD+∠DCA=90°， ∵AC 平分∠PAE ，∴∠DAC=∠CAO. ………………………1分∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC=90°. ∴CD 为⊙O 的切线． …………………………2分 (2)解：过O 作OF ⊥AB ，垂足为F ， ∴∠OCA=∠CDA=∠OFD=90°， ∴四边形OCDF 为矩形， ∴OC=FD ，OF=CD.∵DC+DA=6，设AD=x ，则OF=CD=6-x ， ……………………3分EDCBA∵⊙O 的直径为10，∴DF=OC=5，∴AF=5-x ，在Rt △AOF 中，由勾股定理得222AF +OF =OA . 即22(5)(6)25x x -+-=，化简得：211180x x -+=解得2x =或9x =（舍）. ………………………4分 ∴AD=2, AF=5-2=3. ∵OF ⊥AB ，AB=2AF=6. ………………………..5分 21.(1)………………………………..2分结果：（A 1，B 1）,（A 1，B 2）,（A 2，B 1）,（A 2，B 2）,（A 3，B 1）,（A 3，B 2） ………….4分（2）小张恰好经过了B 1线路的概率是21………………………………………….6分22.（1）正确 ……………………………….2分（一个1分） （2）正确 ………………………………..4分 23. 当a=-1时，y=-x 2+x+2，∴a=-1,b=1,c=2. ∴抛物线的顶点坐标为(21，49)，对称轴为直线x=21.……2分 (2)∵代数式-x 2+x+2的值为正整数，∴函数y=-x 2+x+2的值为正整数.又因为函数的最大值为49，∴y 的正整数值只能为1或2. 当y=1时，-x 2+x+2＝1，解得2511+=x ，2512-=x …………3分 当y=2时，-x 2+x+2＝2，解得x 3=0,x 4=1.……………4分∴x 的值为2511+=x ，2512-=x ，0或1. （3） 当a ＜0时，即a 1＜0，a 2＜0.B 2B 2B 1B 1B 2B 1A 3A 2A 1经过点M 的抛物线y=a 1x 2+x+2的对称轴为121a x -=, 经过点N 的抛物线y=a 2x 2+x+2的对称轴为221a x -=.…………5分∵点M 在点N 的左边，且抛物线经过点(0,2)∴直线121a x -=在直线221a x -=的左侧……………6分∴121a -＜221a -. ∴a 1＜a 2.…………………………………………………………7分24. 解：（1）垂直. …………………………1分证明：延长FM 交BD 于N.如图1，由题意得：△BAD ≌△MAF ．∴∠ADB ＝∠AFM ．又∵∠DMN ＝∠AMF ， ∴∠ADB ＋∠DMN ＝∠AFM ＋∠AMF ＝90°．∴∠DNM ＝90°，∴BD ⊥MF ． ······································································· 2分 （2）β的度数为60°或15°（答对一个得1分） ····················································· 4分 （3）如图2，由题意知四边形PNA 2A 为矩形，设A 2A ＝x ，则PN ＝x ．在Rt △A 2M 2F 2中，∵M 2F 2＝MF ＝BD ＝8，∠A 2F 2M 2＝∠AFM ＝∠ADB ＝30°． ∴M 2A 2＝4，A 2F 2＝34. …………………………..5分 ∴AF 2＝34－x ．在Rt △P AF 2中，∵∠PF 2A ＝30°． ∴AP ＝AF 2tan ·30°＝(34－x )·33＝4－33x ． ∴PD ＝AD －AP ＝34－4＋33x ． ……………..6分D M A BF图2NF 2P A 2M 2 C DMB FE图1N∵NP ∥AB ，∴ABPN ＝DA DP ．∴4x＝3433434x ＋－，解得x ＝6－32．即平移的距离是(6－32)cm ． (7)分25. 解：（1）把y ＝4代入y ＝－43x ＋163，得x ＝1. ∴C 点的坐标为（1，4）. ……………………………………….1分（2） 当y ＝0时，－43x ＋163＝0，∴x ＝4.∴点B 坐标为（4，0）.过点C 作CM ⊥AB 于M ，则CM ＝4，BM ＝3. ∴BC5.∴sin ∠ABC ＝CMBC＝45.① 0＜t ＜4时，过Q 作QN ⊥OB 于N ，则QN ＝BQ ·sin ∠ABC ＝45t.∴S ＝12OP ·QN ＝12（4－t ）×45t ＝－25t 2＋85t （0＜t ＜4）. ……………2分②当4＜t ≤5时，连接QO ，QP ，过点Q 作QN ⊥OB 于N .同理可得QN ＝45t .∴S ＝12OP ·QN ＝12×（t －4）×45t .＝25t 2－85t （4＜t ≤5）. …………………………….3分③当5＜t ≤6时， 连接QO ，QP . S ＝12×OP ×OD ＝12（t －4）×4.＝2t －8（5＜t ≤6）. ……………………………….4分S 随t 变化的函数关系式是⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<-≤<-<<+-)65(82)54(5852)40(585222t t t t t t t t .（3）①当0＜t ＜4时，∵－25<0当t ＝8522()5⨯-＝2时，S 最大＝28()54()5-⨯-＝85. ……………………………5分 ②当4＜t ≤5时， S ＝25t 2－85t ，对称轴为t ＝－85225-⨯＝2，∵25>0 ∴在4＜t ≤5时，S 随t 的增大而增大.∴当t ＝5时，S 最大＝25×52－85×5＝2. …………………………..6分③当5＜t ≤6时，在S ＝2t －8中，∵2＞0，∴S 随t 的增大而增大.∴当t ＝6时，S 最大＝2×6－8＝4. …………………………………………7分∴综合三种情况，当t ＝6时，S 取得最大值，最大值是4. ………………………8分顺义区2012届初三第二次统一练习数学试卷一、选择题（本题共32分，每小题4分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．9的平方根是A ．3B ．-3C ．3±D ．132．据人民网报道，“十一五”我国铁路营业里程达9.1万公里．请把9.1万用科学记数法表示应为A ．59.110⨯ B ．49.110⨯ C ．49110⨯ D ． 39.110⨯ 3．如图，下列选项中不是．．正六棱柱三视图的是（ ）A B C D4．把2416a bb -分解因式，结果正确的是A ．2(24)b a - B ． (22)(22)b a a +-。
北京市密云二中2011-2012学年高二上学期12月月考数学(文)试题
北京市密云二中2011-2012 学年高二上学期12 月月考数学（文）试题一、选择题（每题 4 分，满分 40 分）1．已知命题p, q ，若命题“p ”与命题“p q ”都是假命题，则（）A．p为真命题，q 为假命题B．p为假命题，q 为真命题C．p，q均为真命题D．p，q均为假命题2．命题p：x R，x0 的否认是A．p：x R，x0B．C．p：x R，x0D．（）p：x R，x0p：x R，x03.x 3 是 x 5的（）A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件4.x2y21上的P点到点（5，0）的距离为15，则 P 点到（ - 5， 0）的距离为设双曲线169（）(A) 7(B) 23(C) 5或 25(D)7或 235.A 是圆上固定的必定点, 在圆上其余地点任取一点B, 则弦AB的长度不小于半径长度的概率为 ( )A.1B.2C.3D.123246. 一个盒中装有 5 个完整同样的小球，分别标以号码1， 2，3， 4， 5，从中有放回地随机抽取两次，每次只抽一个小球，则两次所抽小球的号码都是偶数的概率是( )A.2B.4C.12 252510D.57．设圆(x 1)2y225 的圆心为C，A（1，0）是圆内必定点，Q为圆周上随意一点，线段 AQ的垂直均分线与CQ的连线交于点M，则 M的轨迹方程是（）A． 4x2 4 y21B． 4x24y21C． 4x2 4 y21D． 4x24y21 21252125252125218. 已知F1，F2是双曲线的两个焦点，过 F2作垂直于实轴的直线PQ 交双曲线于 P ，Q 两点，若∠ PF1Q，则双曲线的离心率 e 等于（）2A． 2 1B．2C． 2 1D．229．设k 1，则对于x，y的方程(1k) x2y 2k 2 1所表示的曲线是()A．长轴在x轴上的椭圆B．长轴在y轴上的椭圆C．实轴在x轴上的双曲线D．实轴在y轴上的双曲线10.已知椭圆 E ：x2y 2 1 ，对于随意实数k ，以下直线被椭圆 E 所截弦长与l ：m4y kx 1被椭圆 E 所截得的弦长不行能相等的是（）．．．A．kx y 2 0B．kx y 1 0C．kx y k 0D．kx y k0二、填空题：本大题共 6 小题，每题 4 分，共 24 分 .11．命题“ax22ax 3 0 不建立”是真命题，则实数 a 的取值范围是_______。
2012北京市中考数学二模几何综合题及答案
2012北京市中考数学二模几何综合题及答案一、海淀25题：在矩形ABCD 中, 点F 在AD 延长线上，且DF = DC , M 为AB 边上一点, N 为MD 的中点, 点E 在直线CF 上（点E 、C 不重合）.（1）如图1, 若AB =BC , 点M 、A 重合, E 为CF 的中点，试探究BN 与NE 的位置关系及BMCE的值, 并证明你的结论; （2）如图2，且若AB =BC , 点M 、A 不重合, BN =NE ，你在（1）中得到的两个结论是否成立, 若成立,加以证明; 若不成立, 请说明理由;（3）如图3，若点M 、A 不重合，BN =NE ，你在（1）中得到的结论两个是否成立, 请直接写出你的结论.图1 图2 图3【参考答案】25. 解：（1）BN 与NE 的位置关系是BN ⊥NE ；CE BM证明：如图，过点E 作EG ⊥AF 于G , 则∠EGN =90°．∵ 矩形ABCD 中, AB =BC ， ∴ 矩形ABCD 为正方形.∴ AB =AD =CD , ∠A =∠ADC =∠DCB =90°．∴ EG//CD , ∠EGN =∠A , ∠CDF =90°． ………………………………1分 ∵ E 为CF 的中点，EG//CD ,∴ GF =DG =11.22DF CD =∴ 1.2GE CD =∵ N 为MD (AD )的中点， ∴ AN =ND =11.22AD CD = ∴ GE =AN , NG=ND+DG=ND+AN=AD=AB . ……………………………2分F A ( M ) D N D C E N MB FEC B F N M E C B A 321FEA (M )CD NB∴△NGE≌△BAN．∴∠1=∠2.∵∠2+∠3=90°，∴∠1+∠3=90°．∴∠BNE =90°.∴BN⊥NE．……………………………………………………………3分∵∠CDF =90°, CD=DF,可得∠F =∠FCD =45°，CFCD=.于是12CFCE CE CEBM BA CD CD====……………………………………4分（2）在（1）中得到的两个结论均成立.证明：如图，延长BN交CD的延长线于点G，连结BE、GE，过E作EH⊥CE，交CD于点H．∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CG．∴∠MBN=∠DGN，∠BMN=∠GDN.∵N为MD的中点，∴MN=DN．∴△BMN≌△GDN．∴MB=DG，BN=GN.∵BN=NE，∴BN=NE=GN.∴∠BEG=90°．……………………………………………5分∵EH⊥CE，∴∠CEH =90°．∴∠BEG=∠CEH．∴∠BEC=∠GEH．由（1）得∠DCF =45°．∴∠CHE=∠HCE =45°．∴EC=EH,∠EHG =135°．∵∠ECB =∠DCB +∠HCE =135°，∴∠ECB =∠EHG．∴△ECB≌△EHG．∴EB=EG，CB=HG．∵BN=NG，∴BN⊥NE. ……………………………………………6分∵BM =DG= HG-HD= BC-HD =CD-，∴CEBM. ……………………………………………7分（3）BN⊥NE；CEBM………………………………………………8分HGAB CDEMNF二、西城24题：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC=6，BC =8．动点P 从点A 开始沿折线AC －CB －BA 运动，点P 在AC ，CB ， BA 边上运动的速度分别为每秒3，4，5 个单位．直线l 从与AC 重合的位置开始，以每秒43个单位的速度 沿CB 方向平行移动，即移动过程中保持l ∥AC ，且分别与CB ，AB 边交于E ，F 两点，点P 与直线l 同时出发，设运动的 时间为t 秒，当点P 第一次回到点A 时，点P 和直线l 同时停止运动． (1)当t = 5秒时，点P 走过的路径长为 ；当t = 秒时，点P 与点E 重合；(2)当点P 在AC 边上运动时，将△PEF 绕点E 逆时针旋转，使得点P 的对应点M 落在EF 上，点F 的对应点记为点N ，当EN ⊥AB 时，求t 的值；(3)当点P 在折线AC －CB －BA 上运动时，作点P 关于直线EF 的对称点，记为点Q ．在点P 与直线l 运动的过程中，若形成的四边形PEQF 为菱形，请直接写出t 的值．【参考答案】解:(1) 当t =5秒时，点P 走过的路径长为 19 ；当t = 3 秒时，点P 与点E 重合．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍2分(2) 如图9，由点P 的对应点M 落在EF 上，点F 的对应点为点N ，可知∠PEF =∠MEN ，都等于△PEF绕点E 旋转的旋转角，记为α．设AP =3t （0< t <2），则CP =63t -，43CE t =． ∵ EF ∥AC ，∠C =90°，∴ ∠BEF =90°，∠CPE =∠PEF =α． ∵ EN ⊥AB ， ∴ ∠B=∠MEN=α．∴ CPE B ∠=∠．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍3分 ∵ tan CE CPE CP ∠=，3tan 4AC B BC ==， ∴ 43CP CE =． ∴ 446333t t -=⨯．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍4分 解得5443t =．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍5分 (3) t 的值为65（秒）或307（秒）．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 7分AA三、东城24题：已知：等边ABC ∆中，点O 是边AC,BC 的垂直平分线的交点，M,N 分别在直线AC , BC 上，且60MON ∠= ．(1) 如图1，当CM=CN 时， M 、N 分别在边AC 、BC 上时，请写出AM 、CN 、MN 三者之间的数量关系；（2） 如图2，当CM ≠CN 时，M 、N 分别在边AC 、BC 上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由；(3) 如图3，当点M在边AC 上，点N 在BC 的延长线上时，请直接写出线段AM 、CN 、MN 三者之间的数量关系．【参考答案】24. 解： (1) AM CN MN =+……2分 （2）AM CN MN =+……3分证明：过点O 作,,OD AC OE BC ⊥⊥易得,120,OD OE DOE =∠=在边AC 上截得DN’=NE ,连结ON ’, ∵ DN ’=NE , OD =OE , ∠ODN ’=∠OEN'.DON EON ∴∆≅∆……4分 ∴ON’=OE. ∠DON ’=∠NOE . 120,DOE ∠=60,MON ∠=∴∠MOD +∠NOE=600. ∴∠MOD +∠DON ’=600.易证'MON MON ∆≅∆.……5分∴MN’=MN.'.,,()(),.MN MD DN MD NE MD AM AD AM CE NE CE CN MN AM CE CE CN AM CN AM CN MN ∴=+=+=-=-=-∴=-+-=-∴=+(3) .MN CN AM =+……7分四、朝阳24题：正方形ABCD 的边长为4，点P 是BC 边上的动点，点E 在AB 边上，且∠EPB =60°，沿PE 翻折△EBP 得到△P EB '. F 是CD 边上一点，沿PF 翻折△FCP 得到△P FC '，使点'C 落在射线'PB 上． （1）如图，当BP =1时，四边形''FC EB 的面积为 ；（2）若BP =m ，则四边形''FC EB 的面积为 （要求：用含m 的代数式表示，并写出m 的取值范围）．备用图【参考答案】24. 证明：（1）取AC 的中点G ，连接NG 、DG .∴DG ＝21BC ，DG ∥BC ；△NGC 是等边三角形. ∴NG = NC ，DG = CM . …………………2分 ∵∠1 + ∠2 = 180º， ∴∠NGD + ∠2 = 240º. ∵∠2 + ∠3 = 240º， ∴∠NGD =∠3.∴△NGD ≌△NCM . ……………………3分 ∴ND = NM ，∠GND =∠CNM . ∴∠DNM =∠GNC = 60º.∴△DMN 是等边三角形. …………………………………………………4分 （2）连接QN 、PM .∴QN =21CE= PM . …………………………………………………………5分 Rt △CPE 中，PM =EM ，∴∠4= ∠5. ∵MN ∥EF ，∴∠5= ∠6，∠7= ∠8. ∵NQ ∥CE ，∴∠7= ∠4. ∴∠6= ∠8.E∴∠QND = ∠PMD . ………………………6分 ∴△QND ≌△PMD .∴DQ = DP . …………………………………………………………………7分五、石景山24题：在△ABC 中，AC AB =,D 是底边BC 上一点，E 是线段AD 上一点,且∠BAC CED BED ∠=∠=2． (1) 如图1,若∠︒=90BAC ,猜想DB 与DC 的数量关系为 ； (2) 如图2,若∠︒=60BAC ，猜想DB 与DC 的数量关系，并证明你的结论； （3）若∠︒=αBAC ，请直接写出DB 与DC 的数量关系.【参考答案】24.解：（1）DC DB 2= (2) DC DB 2=证明：过点C 作CF ∥BE 交AD 的延长线于点F , 在 AD 上取点G 使得CF CG =∴76∠=∠=∠F ∵︒=∠=∠=∠602BAC CED BED ∴︒=∠=∠606F ,︒=∠30CED ∴41205∠=︒=∠ ∵︒=∠+∠=∠=∠+∠6021713 ∴23∠=∠ ∵AC AB = ∴△ABE ≌△CAG∴AG BE AE CG ==, ∵︒=∠-∠=∠306CED GCE ∴EG CG = ∴BE AG CG CF 2121=== 由△DBE ∽△DCF 得2==FCBEDC BD ∴DC DB 2= (3) 结论：DC DB 2=. A B C D E AEB C D 图1 图2 7654321AEBCG FD 图(1)F图(2)六、延庆24题：（1）如图1：在△ABC 中，AB=AC ，当∠ABD =∠ACD=60°时，猜想AB 与BD+CD 数量关系，请直接写出结果 ；（2）如图2：在△ABC 中，AB=AC ，当∠ABD =∠ACD=45°时，猜想AB 与BD+CD 数量关系并证明你的结论； （3）如图3：在△ABC 中，AB=AC ，当∠ABD =∠ACD=β（20°≤β≤70°）时，直接写出AB 与BD+CD数量关系(用含β的式子表示)。
2012密云高三一模数学文科
2012年密云县高三模拟考试数 学（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．1.设集合2{|1},{|1}M x x P x x =>=>，则下列关系中正确的是 A ． M=P B.M ∪P=P C.M ∪P=M D.M ∩P=P 2．函数cos y x =的一个单调递增区间为 A ．,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭B ．()0,πC ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．(),2ππ3．已知向量()1,1=a ，()2,n =b ，若+= a b a b ，则n =A ．3-B ．1-C ．1D ．3 4．已知等比数列{}n a 的前三项依次为1a -，1a +，4a +，则n a =A ．342n⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭ B ．243n⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭ C ．1342n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭D ．1243n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭5．抛物线24y x =上一点M 到焦点的距离为3，则点M 的横坐标x =A ．1B ．2C ．3D ．46．如图1所示，是关于闰年的流程，则以下年份是 闰年的为 A ．2012年 B ．2010年 C ．2100年 D ．1998年7．设变量x ，y 满足约束条件2,,2x y x x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩则目标函数2z x y =+的最小值为A ．6B ．4C ．3D ．28．给出定义：若2121+≤<-m x m （其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x = m. 在此基础上给出下列关于函数{}x x x f -=)(的四个命题：①函数y=)(x f 的定义域为R ，值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0；②函数y=)(x f 的图像关于直线2k x =（Z k ∈）对称；③函数y=)(x f 是周期函数，最小正周期为1；④函数y=)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上是增函数. 其中正确的命题的个数为A ．1 B.2 C. 3 D. 4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．9．某校对全校男女学生共1600名进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知女生抽了95人，则该校的女生人数应是 人． 10．设复数z 满足i 2i z =-，则z = . 11．已知双曲线2214xym-=的离心率为2，则实数m = ．12．如图2所示，函数)(x f y =的图象在点P 处的切线方程是8+-=x y ，则()5f = ，()5f '= ．13．已知α，β是平面，m ，n 是直线，给出下列命题 ①若α⊥m ，β⊂m ，则βα⊥．②若α⊂m ，α⊂n ，m β ，n β ，则αβ ． ③如果m n m ,,αα⊄⊂、n 是异面直线，那么α与n 相交．④若m αβ= ，n ∥m ，且βα⊄⊄n n ,，则n ∥α且n ∥β． 其中正确命题的有 .（填命题序号） ①④ 14．规定一种运算：⎩⎨⎧>≤=⊗ba b b a a b a ,,，例如：1⊗2=1，3⊗2=2，则函数x x x f cos sin )(⊗=的值域为 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15． （本小题满分12分）在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2a =，3c =，1cos 4B =．（I ）求b 的值； （II ）求sin C 的值．16．（本小题满分13分）某高校在2011年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]，得到的频率分布直方图如图所示． (Ⅰ)分别求第3，4，5组的频率；(Ⅱ)若该校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，求第3，4，75 80 85 90 95 100 分数频率0.010.02 5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试?(Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下，学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率．17．（本小题满分14分）如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，点E 在棱1C C 的延长线上，且12111====AB BC E C CC ．(Ⅰ) 求证：1D E //平面1A C B ；(Ⅱ) 求证：平面11D B E ⊥平面1D C B ；（Ⅲ）求四面体AC B D 11的体积．18．（本小题满分14分）设函数3221()231,0 1.3f x x ax a x a =-+-+<<（I ）求函数)(x f 的极大值；（II ）若[]1,1x a a ∈-+时，恒有()a f x a '-≤≤成立（其中()f x '是函数()f x 的导函数），试确定实数a 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知曲线Γ上任意一点P到两个定点()10F 和)20F 的距离之和为4．（I ）求曲线Γ的方程；（II ）设过()0,2-的直线l 与曲线Γ交于C 、D 两点，且0OC OD ⋅=（O 为坐标原点），求直线l 的方程．20．（本小题满分13分）已知数列{}n a 中，12a =，23a =，其前n 项和n S 满足1121n n n S S S +-+=+（2n ≥，*n ∈N ）．（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设14(1)2(na n n nb λλ-=+-⋅为非零整数，*n ∈N ），试确定λ的值，使得对任意*n ∈N ，都有n n b b >+1成立．2012年密云县高三模拟测试数学（文科）试题参考答案 一、选择题9． 760 10. 12i -- 11． 12 12． 3；－1 13. ①④ 14． [1,]2-三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15．（本小题满分12分） 解：（I ）由余弦定理，2222cos b a c ac B =+-，………………………………………2分得222123223104b =+-⨯⨯⨯=，…………………………………………………4分∴b =6分（II ）方法1：由余弦定理，得222cos 2a b cC ab+-=，………………………………8分8==，………………………10分∵C 是A B C ∆的内角，∴sin 8C ==．……………………12分方法2：∵1cos 4B =，且B 是A B C ∆的内角，∴sin 4B ==．………………………………………………………8分 根据正弦定理，sin sin b c BC=，……………………………………………………10分得3sinsin8c BCb⨯===……………………………………………12分16．解：(Ⅰ)由题意，第3组的频率为0.0650.3⨯=，第4组的频率为0.0450.2⨯=，第5组的频率为0.0250.1⨯=．……………………3分(Ⅱ)第3组的人数为0.310030⨯=，第4组的人数为0.210020⨯=，第5组的人数为0.110010⨯=．因为第3，4，5组共有60名学生，所以利用分层抽样的方法在60名学生中抽取6名学生，每组抽取的人数分别为：第3组：306360⨯=，第4组：206260⨯=，第5组：106160⨯=．所以第3，4，5组分别抽取3人，2人，1人．……………………8分(Ⅲ)设第3组的3名学生为1A，2A，3A，第4组的2名学生为1B，2B，第5组的1名学生为1C．则从六名学生中抽两名学生有：1213111211(,),(,),(,),(,),(,),A A A A AB A B A C23212221(,),(,),(,),(,),A A AB A B A C313231(,),(,),(,),A B A B A C1211(,),(,),B B B C21(,),B C共15种可能．其中第4组的2名学生为1B，2B至少有一名学生入选的有：11122122(,),(,),(,),(,),A B A B A B A B3112321121(,),(,),(,),(,),(,),A B B B A B B C B C共9种可能，所以第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率为93155=．…………13分17．解：（Ⅰ）证明：连1ADEBBCAD111////∴四边形11EDAB是平行四边形………2分则11//ABED又⊂1AB平面CAB1，⊄ED1平面CAB1∴1D E //平面1A C B ………5分（Ⅱ） 由已知得221214CE E B C B ==+则C B E B 11⊥ ………6分由长方体的特征可知：⊥CD 平面BCE B 1 而⊂E B 1平面BCE B 1， 则E B CD 1⊥ ……9分 ⊥∴E B 1平面1D C B 又⊂E B 1平面11D B E ∴平面11D B E ⊥平面1D C B ………10分（Ⅲ）四面体D 1B 1AC 的体积 11111D C B A ABCDV -=111D B A A V --1ACB B V --111D C B C V --1ACD D V --32421211312=⨯⨯⨯⨯⨯-= ……14分18．（本小题满分14分）解：（I ）∵2234)(a ax x x f -+-='，且01a <<，…………………………………1分当0)(>'x f 时，得a x a 3<<；当0)(<'x f 时，得a x a x 3><或；∴)(x f 的单调递增区间为(,3)a a ；)(x f 的单调递减区间为),(a -∞和),3(+∞a ……3分 故当3x a =时，)(x f 有极大值，其极大值为()31f a =． …………………4分（II ）∵()()2222432f x x ax a x a a '=-+-=--+，当103a <<时，12a a ->，∴()f x '在区间[]1,1a a -+内是单调递减………6分∴[]()[]()2max min861,21f x f a a a f x f a a ''''==-+-==-（）1-（）1+．∵()a f x a '-≤≤，∴2861,21.a a a a a ⎧-+-≤⎨-≥-⎩此时，a ∈∅．……………………9分当113a ≤<时，[]()2max 2f x f a a ''==（）．∵()a f x a '-≤≤，∴22,21,861.a a a a a a a ⎧≤⎪-≥-⎨⎪-+-≥-⎩即01,1,3771616a a a ⎧⎪≤≤⎪⎪≥⎨⎪⎪-+≤≤⎪⎩ ……11分此时，17316a +≤≤．……………………………………………………………13分综上可知，实数a的取值范围为1316⎡⎢⎣⎦．…………………………………14分 19．（本小题满分14分）解：（I ）根据椭圆的定义，可知动点M 的轨迹为椭圆，………………………………1分 其中2a =，c =1b ==．………………………………………2分所以动点M 的轨迹方程为2214xy +=．………………………………………………4分（2）当直线l 的斜率不存在时，不满足题意．………………………………………5分 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为2y kx =-，设11(,)C x y ，22(,)D x y ， ∵0OC OD ⋅=，∴12120x x y y +=．……………………………………………7分∵112y kx =-，222y kx =-，∴21212122()4y y k x x k x x =⋅-++．∴ 21212(1)2()40k x x k x x +-++=．………… ① …………………………9分由方程组221,4 2.x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得()221416120k x kx +-+=．……………………11分则1221614k x x k+=+，1221214x x k⋅=+，代入①，得()222121612401414k kk kk+⋅-⋅+=++．即24k =，解得，2k =或2k =-．………………………………………………13分 所以，直线l 的方程是22y x =-或22y x =--．………………………………14分 20．（本小题满分13分）解：（I ）由已知，()()111n n n n S S S S +----=（2n ≥，*n ∈N ）， …………………2分即11n n a a +-=（2n ≥，*n ∈N ），且211a a -=．∴数列{}n a 是以12a =为首项，公差为1的等差数列．∴1n a n =+．……………4分（II ）∵1n a n =+，∴114(1)2n n n n b λ-+=+-⋅，要使n n b b >+1恒成立，∴()()112114412120nn n n n n n n b b λλ-++++-=-+-⋅--⋅>恒成立，∴()11343120n nn λ-+⋅-⋅->恒成立，∴()1112n n λ---<恒成立．…………………6分（ⅰ）当n 为奇数时，即12n λ-<恒成立，…………………………………………7分当且仅当1n =时，12n -有最小值为1，∴1λ<．…………………………………9分 （ⅱ）当n 为偶数时，即12n λ->-恒成立，………………………………………10分当且仅当2n =时，12n --有最大值2-，∴2λ>-．……………………………12分 即21λ-<<，又λ为非零整数，则1λ=-．综上所述，存在1λ=-，使得对任意*n ∈N ，都有1n n b b +>．…………………13分。
2012年北京中考二模数学试题分类汇编——代几综合题试题与答案
2012年北京市中考数学二模分类汇编——函数中档题1.(平谷17)已知：正比例函数111(0)y k x k =≠和反比例函数222(0)k y k x=≠图象都经过点A （13，）.（1） 求满足条件的正比例函数和反比例函数的解析式；（2） 设点P 是反比例函数图象上的点，且点P 到x 轴和正比例函数图象的距离相等，求点P 的坐标.17．解：(1) 因为111(0)y k x k =≠和222(0)k y k x=≠的 图象都经过点A （13，）.所以 123,3k k ==. 所以 1233y x y x==，. ........................................2分 (2) 依题意（如图所示），可知，点P 在∠AOx 的平分线上. 作PB ⊥x 轴，由A （13，）可求得∠AOB=60°， 所以 ∠POB=30°. 设(,)P x y ，可得3tan 303y x =︒=. 所以 直线'PP 的解析式为 33y x =................................................3分 把33y x =代入3y x=，解得3x =±. 所以 (3,1)'(3,1)P P --和.（'P 点的坐标也可由双曲线的对称性得到..........5分 2.(门头沟17)如图，已知反比例函数y =x6(x ＞0)的图象与一次函数y =kx +b的图象交于点A （1，m ），B （n ，2）两点． （1）求一次函数的解析式；（2）结合图象回答：反比例函数的值大于一次函数的值时x 的取值范围.17.解：（1）由题意得，m=6，n=3.∴A （1,6），B （3,2）. …………………………2分由题意得，⎩⎨⎧=+=+236b k b k 解得，⎩⎨⎧=-=82b k∴一次函数解析式为y=-2x+8. ……………………3分（2）反比例函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围是0<x<1或x>3. …..5分3.（密云17）．如图，A 、B 两点在反比例函数ky x=（x ＞0）的图象上． （1）求该反比例函数的解析式；（2）连结AO 、BO 和AB ，请直接写出△AOB 的面积．17．（本小题满分5分）解：（1）∵点A （1，6）在反比例函数(0)my x x=>的图象上，∴166m xy ==⨯= ．∴反比例函数解析式为6(0)y x x= --------2分 （2）△AOB 的面积是352． --------------------5分 4.(房山18)如图，平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴交于点A （2，0），与y 轴交于点B ，点D 在直线AB 上．⑴求直线AB 的解析式；⑵将直线AB 绕点A 逆时针旋转30°，求旋转后直线解析式．18．解： ⑴依题意可知，⎩⎨⎧=+=+302b k b k ⎪⎩⎪⎨⎧=-=323b k 解得 所以，直线AB 的解析式为323+-=x y -------------------------2分 ⑵ A （2，0）B ()32,032,2==∴OB OA 可求得060=∠BAO 当直线AB 绕点A 逆时针旋转30°交y 轴于点C ，可得030=∠CAO 在Rt ∆AOC 中OC =o30tan OA =332yx31DBO A)332,0(C ∴ --------------------3分设所得直线为1y =mx+332, A （2，0）33220+=∴m解得33-=m，----------------4分 所以y 1=－33x + 332 ---------------------------------------5分 5.(通州17)如图，点C 在反比例函数xky =的图象上，过点C 作CD ⊥y 轴，交y 轴负半轴于点D ，且△ODC 的面积是3． （1）求反比例函数xky =的解析式； （2）若CD =1，求直线OC 的解析式．17. 答案：解：（1）∵△ODC 的面积是3， ∴6=⋅DC OD∵点C 在xky =的图象上， ∴x y=k . ∴(－ y) x = 6.∴ k = x y = －6. ………………………………..(1分) ∴所求反比例函数解析式为x6y -=. ………………..(2分) （2）∵ CD =1，即点C ( 1, y )， 把x =1代入6y x=-，得y =－6．∴ C (1，－6) ．………………..(3分) 把C (1，－6)代入解析式：x k y 1=∴61-=k …………………..(4分)∴正比例函数的解析式为：x y 6-= ………………..(5分) 6.（延庆18.）已知：如图，直线13y x =与双曲线ky x=交于A 、B 两点，且点A 的坐标y为（6,m ）．（1）求双曲线ky x=的解析式； （2）点C （,4n ）在双曲线ky x=上，求△AOC 的面积；（3）在（2）的条件下，在x 轴上找出一点P, 使△AOC 的面积等于△AOP 的面积的三倍。
2012二模函数答案
（延庆）18．解：（1）∵点A (6,)m 在直线13y x =上， ∴1623m =⨯=． --------------------------------------------------------------------1分∵点A (6,2)在双曲线ky x=上， ∴26k=， 12k =． ∴双曲线的解析式为12y x=． ---------------2分（2）分别过点C ，A 作CD ⊥x 轴，AE ⊥x 轴，垂足分别为点D ，E ．（如图5）∵点C (,4)n 在双曲线12y x=上， ∴124n=，3n =，即点C 的坐标为(3,4)． ---------------------------------3分 ∵点A ，C 都在双曲线12y x=上， ∴11262AOE COD S S ∆∆==⨯=． ∴AOC S ∆=COEA S 四边形AOE S ∆-=COEA S 四边形COD S ∆-=CDEA S 梯形，∴AOC S ∆=DE AE CD ⋅+)(21=)36()24(21-⨯+⨯=9． --------------------4分（3）P(3,0)或P(-3,0)． -----------------------------------------------------------------5分 （延庆）23. （1）解：∵关于x 的一元二次方程有实根 ∴m ≠0，且△≥0…………..1分∴△=（2m+2）2-4m （m-1）=12m+4≥0解得m ≥31-∴当m ≥31-，且 m ≠0时此方程有实根,……..2分（2）解：∵在(1)的条件下,当m 取最小的整数, ∴m=1…………..3分∴原方程化为：x 2-4x=0x （x-4）=0 x 1=0，x 2=4 ………….. …………..4分（3）解：如图所示：①当直线l 经过原点O 时与半圆P 有两个交点，即b=0………5分②当直线l 与半圆P 相切于D 点时有一个交点，如图由题意可得R t △EDP 、R t △ECO 是等腰直角三角形，∵DP=2 ∴EP=22………….6分 ∴OC=2-22 即b=2-22∴当0≤b ＜2-22时，直线l 与半圆P 只有两个交点。
2012年北京密云区中考二模数学试卷
2012年北京密云中考二模数 学2012年6月一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的 1． －3的绝对值是A ． 3B ． －3C ． ±3D ．132．函数11y x的自变量x 的取值范围是A ．x ≠0B ．x ≠1C ．x ≥1D ．x ≤13．若右图是某几何体的三视图，则这个几何体是A ． 长方体B ． 正方体C ． 三棱柱D ． 圆锥4．一组数据1，－1，2，5，6，5的平均数和极差分别是A ．7和3B ．3和7C ．5和7D ．3和55． 若2(2)0x ，则yx 的值为A ．－8B ．－6C ．8D ． 66．从1、2、3、4、5、6这六个数中随机取出一个数，取出的数是3的倍数的概率是A ．16B ．13C ．12D ．237．如图，AB 是半⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，OD BC 于D ，若:4:3AC BC ，10AB cm ，则OD 的长为A ．2 cmB ．4 cmC ．6 cmD ．8 cm8． 如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，P 是斜边AB上一动点（不与点A 、B 重合），PQ ⊥AB 交△ABC 的直角边于 点Q ，设AP 为x ，△APQ 的面积为y ，则下列图象中，能表示 y 关于x 的函数关系的图象大致是二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．已知32A x ，12B x ，则A B．10．不等式组211,1(6)2x x xf 的解集是．11．已知关于x 的一元二次方程22410x x k有实数根，则的最大值是．12．如图，在边长为1的等边△A B C 中，若将两条含120 圆心角的¼AOB 、¼BOC及边AC 所围成的阴影部分的面积记为S ，则S 与△ABC 面积的比是．三、解答题（本题共30分，每小题5分） 131tan 602 o14．用配方法解方程：01632 x x ．15．已知：如图，∠C =∠CAF =90°，点E 在AC 上，且AE =BC ，EF ⊥AB 于点D ．求证：AB =FE ．16．已知2a ＋b －1＝0，求代数式22()(1)()aa b a b a b的值．17．如图，A 、B 两点在反比例函数k y x（x ＞0）的图象上．（1）求该反比例函数的解析式；（2）连结AO 、BO 和AB ，请直接写出△AOB 的面积．18．列方程解应用题：某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．已知：如图，AB 为⊙O 的直径，PA 、PC 是⊙O 的切线，A 、C 为切点，∠BAC =30o． （1）求∠P 的大小； （2）若AB =6，求PA 的长．20．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE AB 于E ．设CD ＝CB AD ＝9，AB ＝15.求B 的余弦值及AC 的长．21．国家规定“中小学生每天在校体育活动时间不低于1小时”．为此，某区就“你每天在校体育活动时间是多少”的问题随机调查了辖区内300名初中学生．根据调查结果绘制成的条形统计图（部分）如图所示，其中分组情况是： Ａ组：0.5h t ；Ｂ组：0.5h 1h t ≤Ｃ组：1h 1.5h t ≤Ｄ组： 1.5ht ≥请根据上述信息解答下列问题： （1）Ｃ组的人数是 ； （2）将条形统计图补充完整； （3）本次调查数据的中位数落在组内；（4）若该区约有4300名初中学生，请估计其中达到国家规定体育活动时间的人大约有多少？22．定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内点．．．．如图1，PH PJ ，PI PG ，则点P 就是四边形ABCD 的准内点．（1）如图2， AFD 与DEC 的角平分线,FP EP 相交于点P ．求证：点P 是四边形ABCD 的准内点．（2）分别画出图3平行四边形和图4梯形的准内点（作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明）．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．已知关于x 的方程 2220x ax a b ，其中a 、b 为实数．（1）若此方程有一个根为2 a （a ＜0），判断a 与b 的大小关系并说明理由； （2）若对于任何实数a ，此方程都有实数根，求b 的取值范围．24． 如图，在直角坐标系xoy 中，以y 轴为对称轴的抛物线经过直线2y 与y 轴的交点A 和点M (2，0)．（1）求这条抛物线所对应的二次函数的解析式；（2）将这条抛物线沿x 轴向右平移，使其经过坐标原点．①在题目所给的直角坐标系xoy 中，画出平移后的抛物线的示意图；②设平移后的抛物线的对称轴与直线AB （B 是直线23y x与x 轴的交点）相交于C 点，判断以O 为圆心、OC 为半径的圆与直线AB 的位置关系，并说明理由；（3）P 点是平移后的抛物线的对称轴上的点，求P 点的坐标，使得以O 、A 、C 、P 四点为顶点的四边形是平行四边形．25．已知菱形ABCD 的边长为1，60ADC o，等边△AEF 两边分别交DC 、CB 于点E 、F ．（1）特殊发现：如图1，若点E 、F 分别是边DC 、CB 的中点，求证：菱形ABCD 对角线AC 、BD 的交点O 即为等边△AEF 的外心；（2）若点E 、F 始终分别在边DC 、CB 上移动，记等边△AEF 的外心为P ．①猜想验证：如图2，猜想△AEF 的外心P 落在哪一直线上，并加以证明；②拓展运用：如图3，当E 、F 分别是边DC 、CB 的中点时，过点P 任作一直线，分别交DA 边于点M ，BC 边于点G ，DC 边的延长线于点N ，请你直接写出11DM DN的值．数学试卷答案及评分参考阅卷须知：1．为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为详细，阅卷时，只要考生将主要过程正确写出即可．2．若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分． 3．评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数．三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．（本小题满分5分）1tan 602 o12································································································ 4分12． ··························································································································· 5分14．（本小题满分5分）解：原方程化为：03122 x x …………………………………………1分131122 x x………………………………………………2分 341-2 x ………………………………………………3分 ∴3321,332121x x ………………………………………………5分 15．（本小题满分5分）证明：∵EF ⊥AB 于点D ，∴ ∠ADE =90°．∴ ∠1 +∠2=90°．-----------------------------1分 又∵∠C =90°， ∴ ∠1+∠B =90°．∴ ∠B =∠2． -------------------------------2分 在△ABC 和△FEA 中，2,,.B BC AE C FAE-----------------------------------------------------------3分 ∴ △ABC ≌△FEA ． -----------------------------------------------------------4分 ∴ AB =FE ． -------------------------------------------------------------------------5分16．（本小题满分5分） 解：22()(1)()aa b a b a b＝ 21()()a b a b a b a b a b---------------------------------------------------3分 ＝ 2a ＋b ． ------------------------------------------------------------------------------ 4分∵ 2a ＋b －1＝0，∴ 2a ＋b ＝1． ∴ 原式＝1 ．----------------------------------------------------------------------------- 5分17．（本小题满分5分）解：（1）∵点A （1，6）在反比例函数(0)my x x的图象上， ∴166m xy ．∴反比例函数解析式为6(0)y x xf ．-------------------------------------2分 （2）△AOB 的面积是352． --------------------------------------------------------5分 18．（本小题满分5分）解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染x 台电脑， ······································· 1分依题意得：1(1)81x x x ， ······························································· 3分解得 12810x x ，（舍去），∴ 8x ． ---------------------------------------------------------------------------4分答：每轮感染中平均每一台电脑会感染8台．··················································· 5分 四、解答题（本题共20分，第19题4分，第20题5分，第21题6分，第22题5分） 19．（本小题满分5分）（1）解：∵PA 是⊙O 的切线，AB 为⊙O 的直径，∴ PA AB ．∴90BAP o．----------------------------------1分∵ ∠BAC =30o，∴ 9060PAC BAC o o．又∵PA 、PC 切⊙O 于点A 、C ，∴ PA PC ．-------------------------------------------------------------------2分∴△PAC 是等边三角形．∴ 60P o． ------------------------------------------------------------------3分( 2 ) 如图，连结BC ．∵AB 是直径，∠ACB =90o．---------------------------------------4分在R t △ACB 中，AB =6，∠BAC =30o，∴cos 6cos30AC AB BAC o ．又∵△PAC 是等边三角形，∴ PA AC ----------------------------------------------------------------5分20．（本小题满分5分）解：如图，在AB 上截取AF AD ，连结CF ． -------------------------------------1分∵ AC 平分∠BAD ，∴12 ．又AC AC ，∴△ADC ≌△AFC ．∴ AF =AD =9，CF=CD =CB ------------2分∴△CBF 是等腰三角形． 又∵CE AB 于E ，∴ EF =EB =21BF =21（AB －AF ）=3．--------------------------------------------------3分在Rt △BEC 中，cosBE B BC． ---------------------------------4分 在Rt △BEC （或Rt △FEC ）中，由勾股定理得 CE =5．在Rt △AEC 中，由勾股定理 得AC =13．-------------------------------------------5分∴ B AC 的长为13． 21．（本小题满分5分）解：（1）120； ---------------------------------1分（2）图形正确 -------------------------------2分（3）Ｃ；--------------------------------------3分（4）达国家规定体育活动时间的人数约占12060100%60%300．------------4分 ∴达国家规定体育活动时间的人约有 430060%2580 （人）．-----5分22．（本小题满分5分）证明：（1）如图2，过点P 作AD PJ CD PI BC PH AB PG ,,,，∵EP 平分DEC ，∴PH PJ ． -----------------------------------------1分同理 PI PG ．∴P 是四边形ABCD 的准内点．----------------------2分（2）说明：①平行四边形对角线,AC BD 的交点1P （或者取平行四边形两对边中点连线的交点1P ）是准内点，如图3（1）和图3（2）； -------------------------4分 ②梯形两腰夹角的平分线与梯形两腰中点连线的交点2P 是准内点，如图4. --5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．（本小题满分7分）解：（1）∵ 方程 2220x ax a b 有一个根为2a ，∴ 224420a a a b ．整理，得 2a b ． ∵ 0a ， ∴2a a ，即ab ． ---------------------------------------------3分（2） 2244(2)448a a b a a b ．∵ 对于任何实数a ，此方程都有实数根，∴ 对于任何实数a ，都有2448a a b ≥0 ，即22a a b ≥0．∴ 对于任何实数a ，都有b ≤22a a ． ∵ 22111()2228a a a ，当 12a 时，22a a 有最小值18 ． ∴b 的取值范围是b ≤18． ----------------------------------------------7分 24．（本小题满分7分）（1）设0x ，则2y ． A （0,2）．设这条抛物线所对应的二次函数的解析式为：22y ax ．∵过点M (0)， 有2(20a ．解得83a ． 所求的这条抛物线所对应的二次函数的解析式为2823y x ．----------2分（2）①平移后的抛物线如图所示: --------------------------------------------------------------3分 ②相切．理由：由题意和平移性质可知，平移后的抛物线的对称轴为直线x ．∵C 点是对称轴与直线AB 的相交，易求得点C ，32）．由勾股定理，可求得OC 设原点O 到直线AB 的距离为d ，则有 AB d AO BO ．∵点A 为（0，2），点B 为（0）， 4AB ．42d d OC ．这说明，圆心O 到直线AB 的距离d 与⊙O 的半径OC 相等．以O 为圆心、OC 为半径的圆与直线AB 相切． -------------------------------------5分（3）设P ，p ）． ∵抛物线的对称轴与y 轴互相平行，即AO ∥PC ．只需PC AO 2 ，即可使以O ，A ，C ，P 为顶点的四边形是平行四边形．由（2）知，点C ，32）， 322p ． 22p ．解得172p ，212p ．P 点的坐标为1p ，72）或2p ，12 ）．----------------------------7分25．（本小题满分8分）证明：（1）如图1：分别连结OE 、OF ．∵四边形ABCD 是菱形，AD DC CB ，AC BD ，DO BO ，且112302ADC o ． 在Rt △AOD 中，有12AO AD ．又 E 、F 分别是边DC 、CB 的中点， 1122EO CB DC OF ． AO EO FO ．点O 即为等边△AEF 的外心． -------------------------------------------------- 3分（2）①猜想：△AEF 的外心P 落在对角线DB 所在的直线上．证明：如图2：分别连结PE 、PA ，作PQ DC 于Q ，PH AD 于H ．则90PQE PHD o．∵60ADC o ， 在四边形QDHP 中，120QPH o ．又 ∵点P 是等边△AEF 的外心，60EFA o， P E P A ，2260120EPA EFA o o ． ． △PQE ≌△PHA （AAS ）． PQ=PH ． 点P 在ADC 的角平分线上．∵菱形ABCD 的对角线DB 平分A D C ，点P 落在对角线DB 所在的直线上． ----------------------------------- 6分②112DM DN ． ---------------------------------------------------------------- 8分。
北京市密云县2012年高中模拟试卷及答案(文数)含答案
2012年密云县高三模拟考试数学（文科）、选择题：本大题共 8小题，每小题5分，满分40分•在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.21•设集合M {x|x 1}, P {x|x 1}，则下列关系中正确的是C . 1A • M=PB.M UP=P2.函数y cosx 的一个单调递增区间为C.M U P=M3.已知向量aB .0, C .D .M n P =PD • ,21,1 , b2, n ,若agD ，则 n4.已知等比数列a n 的前三项依次为则a n25.抛物线y 4x 上一点M 至憔点的距离为A . 1B . 2C . 36 .如图1所示，是关于闰年的流程，则以下年份是闰年的为 A . 2012年 B . 2010 年 C . 2100 年 D . 1998年x 2,7.设变量x , y 满足约束条件y x,则目标函数z 2x y 的最小值为3,则点M 的横坐标x D . 4输小//输出：于長国甲/ /眷出‘棗倒年/1 1&给出定义：若m x m (其中m为整数)，则m叫做离实数x最近的整数,2 2记作x = m.在此基础上给出下列关于函数f(x) x x的四个命题：1①函数y= f (x)的定义域为R,值域为0,-；2k②函数y= f (x)的图像关于直线x - ( k Z )对称；2③函数y= f (x)是周期函数，最小正周期为 1 ；1 1④函数y= f (x)在-,-上是增函数.2 2其中正确的命题的个数为A . 1 B.2 C. 3 D. 4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分. 9 .某校对全校男女学生共样本•已知女生抽了设复数z满足iz 10.1600名进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为95人，则该校的女生人数应是_________ 人.i，贝y z __________ .200的11.x2已知双曲线 -41的离心率为2，则实数m12.如图2所示，函数y f (x)的图象在点P处的切线方程是13.已知8，则f 5是平面, m , n是直线，给出下列命题①若m，则②若m,m P , n P ，则③如果m,n ,m、n是异面直线，那么相交.④若I// m，且，则n// 且n// 其中正确命题的有(填命题序号) ①④14 •规定一种运算：a a, abb, ab，例如：1b 2=1 ,3 2=2，则函数f (x) sinx cosxx的值域为三、解答题：本大题共6小题，满分80分•解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.15. (本小题满分12分)1 在厶ABC中，角A, B,C所对的边分别为a,b,c，已知a2 , c 3, cosB -.4(I)求b的值；(II)求sin C的值.16. （本小题满分13分）某高校在2011年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第 1 组［75，80），第 2 组［80，85），第 3 组［85，90），第 4 组［90，95），第 5 组［95，100］, 得到的频率分布直方图如图所示.（I ）分别求第3, 4, 5组的频率；（II ）若该校决定在笔试成绩高的第3,4,5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，求第3, 4, 5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试?（川）在（I）的前提下，学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率.频率17. (本小题满分14分)女口图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，点E在棱CC1的延长线上，且1 CC1C1E BC AB 1.2(I )求证：D1E //平面ACB1；(n )求证：平面D1B1E 平面DCB1；(川)求四面体D1 B1AC的体积.A B1 设函数f(x) —X32ax23a2x 1, 0 a 1.3(I)求函数f (x)的极大值；(II)若x 1 a,1 a时，恒有a f (x) a成立(其中f x是函数f x的导函数)，试确定实数a的取值范围.已知曲线上任意一点P到两个定点R, .3,0和F2 .3,0的距离之和为4. (I)求曲线的方程；(II)设过0, 2的直线I与曲线交于C、D两点，且OO C OD 0 ( O为坐标原点),求直线I的方程.2，已知数列a n中，a i 2, a23，其前n项和&满足& i S n 1 2& 1 ( n * n N *)．(I)求数列a n的通项公式；(II)设b n 4n ( 1)n 1 2a n(为非零整数，n N*)，试确定的值，使得对任意n N *，都有b n 1 b n 成立．2012年密云县高三模拟测试数学（文科）试题参考答案及评分标准9. 76010. 1 2i 11. 1212. 3;— 113.①④14. [ 1,]2三、解答题：本大题共 6小题，满分80分•解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15.（本小题满分12分）解：（I ）由余弦定理， b 2 a 2 c 2 2accosB , ............................................................ 2分1得 b 2 22 322 2 310, .................................................................... 4 分4b .10 . ............................................................................................................. 6 分16.解：（I ）由题意，第3组的频率为0.06 50.3 ,（II ）方法1：由余弦定理，得 cosC2 , 2 2a b c 2ab4 10 9 迈 ...........................2 2 10 8 '•/ C 是ABC 的内角,二 sin C • 1 cos 2 C3,6 8 1方法2：v cosB ，且B 是ABC 的内角,4sin B ■. 1 cos 2 B根据正弦定理,b c sin B sin C得 sin Ccsin B b15—4 103-6 8 .8分10分12分8分10分12分3分第4组的频率为0.04 5 0.2 , 第5组的频率为0.02 5 0.1 .(n )第3组的人数为0.3 100 30 , 第4组的人数为0.2 100 20 , 第5组的人数为0.1 100 10 •因为第3 , 4 , 5组共有60名学生，所以利用分层抽样的方法在 60名学生中抽取6名学生，每组抽取的人数分别为：第3组： 3060 6 3 , 第4组：20 6 2,60第5组：10 6 1.60所以第3，4，5组分别抽取3人，2人，1人. ...................... 8分 (川)设第3组的3名学生为A , A 2 , A 3,第4组的2名学生为B 1, B 2 , 第5组的1名学生为C 1 • 则从六名学生中抽两名学生有：(A 1,A 2),(A 1 ,A 3),( A 1 ,B 1 ),(A 1,B 2),(A 1,C 1),(A 2,A 3),( A 2 , B 1),( A 2,B 2 ),(A 2 ,C 1 ),(A 3, BJ,(A 3,B 2),( A 3,G),(B 1, B 2),( B 1 ,C 1 ),(B2C),共15种可能.其中第4组的2名学生为B 1, B 2至少有一名学生入选的有：(A 1, B 1 ),( A 1, B 2),( A 2, B 1 ),( A 2, B 2),(A 3, BJ,( B 1,B 2),( A 3, B 2),( B 1,CJ,( B2G),共 9种可能，93所以第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率为....... 13分15 517.解：(I)证明：连AD 1四边形AB i ED i 是平行四边形2分由长方体的特征可知:CD 平面 B i BCE平面D i B i E 平面DCB i (川)四面体D i B i AC 的体积i i 2 i i 2 4 3 2i8.(本小题满分i4分)••• f (x)的单调递增区间为(a,3a)；i a —时，i3• f (x)在区间i a,i a 内是单调递减.AD 1//BC 1//B 1E则 D 1E//AB 1 又AB i 平面AB i C , D i E 平面AB i C D i E //平面 ACB i (n) 由已知得B i C 2 B i E 2 4 CE 2则 B 1E B 1C6分E5分i而B i E 平面B 1 BCE ,则 CD B i E B i E 平面 DCB i又B i E平面D 1B 1E10分VABCD A i B i C i D i iV A A i^D i V B ACB iV C B 1C i D i V D ACD ii4分解：(I )： f (x)x 2 4ax 3a 2,当f (x)0时，得3a ； 当 f (x) 0时，得x a 或x 3a ；f (x)的单调递减区间为(,a)和(3a,故当x 3a 时,f (x)有极大值，其极大值为x 2 4ax 3a 2x 2aa 2a ,此时,a9分19.（本小题满分14分）解：（I ）根据椭圆的定义，可知动点 M 的轨迹为椭圆， .......................... 1分其中a 2，c 3， 则b a 2 c 21 . ............................. ............. 2分2所以动点M 的轨迹方程为—y 21 . ........................................................ 4分4（2）当直线l 的斜率不存在时，不满足题意............................... 5分 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx 2，设C (x-i , y-i ) , D(x 2, y 2), uur uuur••• OC OD 0，二 x-j x 2 y-j y 2 0 . ............................................................. 7 分••• y 1 kx 1 2, y 2 kx ?2,2y 1y 2 k x-i x 2 2k (为 x 2) 4 .2•- (1 k )X 1X 2 2k(X 1 X 2) 4 0 .................................. ① ............................................................................ 9 分2X21 由方程组4 71,y kx 2.得 1 4k 2 x 2 16kx 12 0. .......................................................................... 11 分f (x)f 1-a8 a 28a 2 2a 16a 1, f(x) minf 1+a 2a 1.6a 1 a, a.当13a 1时, f (x )f 2amaxf (x)2a a,2a 1 a, 8a 2 6a 1此时,7 .,17 16综上可知, 实数a.716a 1, 1 3'帀7 .17 1611分13分a 的取值范围为丄,71731614分二 a n n 1 . ....................................................................................................................... 4 分 (II )•「a nn 1 ,• b n 4n ( 1)n12n1，要使 b n 1 b n 恒成立，•- 01 04n1 4n 1 n 2n 2 1 n 1 2n 1 0 恒成立，•- 3 4n 31 n 1 2n 1 0恒成立，n 1n 1•- 1 2 恒成立. ................................................ 6分(i) 当n 为奇数时，即2n 1恒成立， ............................... 7分当且仅当n 1时，2n 1有最小值为1, •1 . .......................................................... 9 分(ii)当n 为偶数时，即......................... 2n 1恒成立， 10分则 x 1 x 216k 1 4k 2,x 1 x 2代入①，得12121 4k 216k ’ 门2 4 0.4k 22k 1 即 k 2 4, 解得，k13分所以，直线 I 的方程是 y 2x 2x14分20. 解：(本小题满分 13 分) (I )由已知, S n 1 S n S n S n 12，n N )，即 a n 1 a n )，且 a 2•••数列a n2为首项，公差为1的等差数列.当且仅当n 2时，2n 1有最大值2 ,• 2 . ....................................................................................................... 12 分即2 1,又为非零整数，则 1 .综上所述，存在1，使得对任意n N*，都有b n 1 b n. ............................................................. 13分。
2012密云县初三数学二模试题及答案
密云县2012年初三第二次综合检测数 学 试 卷学校 姓名 准考证号一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1． －3的绝对值是A ． 3B ． －3C ． ±3D ． 132．函数11y x =-的自变量x 的取值范围是 A ．x ≠0 B ．x ≠1 C ．x ≥1 D ．x ≤1 3．若右图是某几何体的三视图，则这个几何体是A ． 长方体B ． 正方体C ． 三棱柱D ． 圆锥4．一组数据1，－1，2，5，6，5的平均数和极差分别是A ．7和3B ．3和7C ．5和7D ．3和55． 若2(2)0x +=，则y x 的值为A ．－8B ．－6C ．8D ． 66．从1、2、3、4、5、6这六个数中随机取出一个数，取出的数是3的倍数的概率是A ．16 B ．13 C ．12 D ．237．如图，AB 是半⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，OD BC ⊥于D ，若:4:3AC BC =，10AB =cm ，则OD 的长为 A ．2 cm B ．4 cm C ．6 cmD ．8 cm8．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，P 是斜边AB上一动点（不与点A 、B 重合），PQ ⊥AB 交△ABC 的直角边于 点Q ，设AP 为x ，△APQ 的面积为y ，则下列图象中，能表示 y 关于x 的函数关系的图象大致是二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．已知32A x =-，12B x =+，则A B -= ．10．不等式组211,1(6)2x x x -≥⎧⎪⎨-⎪⎩的解集是 ．11．已知关于x 的一元二次方程22410x x k ++-=有实数根，则的最大值是 ． 12．如图，在边长为1的等边△ABC 中，若将两条含120︒圆心角的 AOB 、BOC 及边AC 所围成的阴影部分的面积记为S ，则S 与△ABC 面积的比是 ．三、解答题（本题共30分，每小题5分） 131tan 602-+- 14．用配方法解方程：01632=--x x ．15．已知：如图，∠C =∠CAF =90°，点E 在AC 上，且AE =BC ，EF ⊥AB 于点D ．求证：AB =FE ． 16．已知2a ＋b －1＝0，求代数式22()(1)()aa b a b a b-+÷-+的值． 17．如图，A 、B 两点在反比例函数ky x=（x ＞0）的图象上． （1）求该反比例函数的解析式；（2）连结AO 、BO 和AB ，请直接写出△AOB 的面积． 18．列方程解应用题：某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．已知：如图，AB 为⊙O 的直径，P A 、PC 是⊙O 的切线，A 、C 为切点，∠BAC =30． （1）求∠P 的大小； （2）若AB =6，求P A 的长．20．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE AB ⊥于E ．设CD ＝CB AD ＝9，AB ＝15． 求B ∠的余弦值及AC 的长．21．国家规定“中小学生每天在校体育活动时间不低于1小时”．为此，某区就“你每天在校体育活动时间是多少”的问题随机调查了辖区内300名初中学生．根据调查结果绘制成的条形统计图（部分）如图所示，其中分组情况是： Ａ组：0.5h t <；Ｂ组：0.5h 1h t <≤ Ｃ组：1h 1.5h t <≤Ｄ组： 1.5h t ≥请根据上述信息解答下列问题： （1）Ｃ组的人数是 ； （2）将条形统计图补充完整； （3）本次调查数据的中位数落在组内；（4）若该区约有4300名初中学生，请估计其中达到国家规定体育活动时间的人大约有多少？22．定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内．．点．．如图1，PH PJ =，PI PG =，则点P 就是四边形ABCD 的准内点．（1）如图2， AFD ∠与DEC ∠的角平分线,FP EP 相交于点P ．求证：点P 是四边形ABCD 的准内点．（2）分别画出图3平行四边形和图4梯形的准内点（作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明）．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．已知关于x 的方程 2220x ax a b --+=，其中a 、b 为实数．（1）若此方程有一个根为2 a （a ＜0），判断a 与b 的大小关系并说明理由； （2）若对于任何实数a ，此方程都有实数根，求b 的取值范围．24． 如图，在直角坐标系xoy 中，以y 轴为对称轴的抛物线经过直线2y x =+与y 轴的交点A 和点M (0)． （1）求这条抛物线所对应的二次函数的解析式； （2）将这条抛物线沿x 轴向右平移，使其经过坐标原点．①在题目所给的直角坐标系xoy 中，画出平移后的 抛物线的示意图；②设平移后的抛物线的对称轴与直线AB （B 是直线2y x =+与x 轴的交点）相交于C 点，判断以O 为圆心、OC 为半径的圆与直线AB 的位置关系，并说明理由； （3）P 点是平移后的抛物线的对称轴上的点，求P 点的坐标，使得以O 、A 、C 、P 四点为顶点的四边形是平行四边形．25．已知菱形ABCD 的边长为1，60ADC ∠=，等边△AEF 两边分别交DC 、CB 于点E 、F ．（1）特殊发现：如图1，若点E 、F 分别是边DC 、CB 的中点，求证：菱形ABCD 对角线AC 、BD 的交点O 即为等边△AEF 的外心；（2）若点E 、F 始终分别在边DC 、CB 上移动，记等边△AEF 的外心为P ． ①猜想验证：如图2，猜想△AEF 的外心P 落在哪一直线上，并加以证明；②拓展运用：如图3，当E 、F 分别是边DC 、CB 的中点时，过点P 任作一直线，分别交DA 边于点M ，BC 边于点G ，DC 边的延长线于点N ，请你直接写出11DM DN+的值．密云县年2012初三第二次综合检测数学试卷答案参考及评分标准阅卷须知：1．为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为详细，阅卷时，只要考生将主要过程正确写出即可．2．若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考给分． 3．评分参考中所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．（本小题满分5分）1tan 602-+-12= ····························································································· 4分 12=． ······················································································································ 5分 14．（本小题满分5分） 解：原方程化为：03122=--x x …………………………………………1分 131122+=+-x x ………………………………………………2分 ()341-2=x ………………………………………………3分 ∴3321,332121-=+=x x ………………………………………………5分 15．（本小题满分5分）证明：∵EF ⊥AB 于点D ，∴ ∠ADE =90°．∴ ∠1 +∠2=90°．-----------------------------1分 又∵∠C =90°， ∴ ∠1+∠B =90°．∴ ∠B =∠2． -------------------------------2分 在△ABC 和△FEA 中，2,,.B BC AE C FAE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩-----------------------------------------------------------3分 ∴ △ABC ≌△FEA ． -----------------------------------------------------------4分 ∴ AB =FE ． -------------------------------------------------------------------------5分16．（本小题满分5分）解：22()(1)()aa b a b a b-+÷-+ ＝ 21()()a b a b a b a b a b+-+⨯⨯+- ---------------------------------------------------3分 ＝ 2a ＋b ． ------------------------------------------------------------------------------ 4分∵ 2a ＋b －1＝0，∴ 2a ＋b ＝1．∴ 原式＝1 ． ----------------------------------------------------------------------------- 5分 17．（本小题满分5分）解：（1）∵点A （1，6）在反比例函数(0)my x x=>的图象上， ∴166m xy ==⨯= ．∴反比例函数解析式为6(0)y x x=．-------------------------------------2分（2）△AOB 的面积是352． --------------------------------------------------------5分 18．（本小题满分5分）解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染x 台电脑， ····································· 1分依题意得：1(1)81x x x +++=， ···························································· 3分 解得 12810x x ==-，（舍去），∴ 8x =． ---------------------------------------------------------------------------4分 答：每轮感染中平均每一台电脑会感染8台． ················································ 5分 四、解答题（本题共20分，第19题4分，第20题5分，第21题6分，第22题5分） 19．（本小题满分5分）（1）解：∵P A 是⊙O 的切线，AB 为⊙O 的直径，∴ PA AB ⊥．∴90BAP ∠=．----------------------------------1分∵ ∠BAC =30，∴ 9060PAC BAC ∠=-∠=． 又∵P A 、PC 切⊙O 于点A 、C ，∴ PA PC =．-------------------------------------------------------------------2分 ∴△P AC 是等边三角形．∴ 60P ∠=． ------------------------------------------------------------------3分( 2 ) 如图，连结BC ．∵AB 是直径，∠ACB =90．---------------------------------------4分 在R t △ACB 中，AB =6，∠BAC =30，∴cos 6cos3033AC AB BAC =⋅∠== 又∵△P AC 是等边三角形，∴ PA AC == ----------------------------------------------------------------5分20．（本小题满分5分）解：如图，在AB 上截取AF AD =，连结CF ． -------------------------------------1分∵ AC 平分∠BAD ，∴12∠=∠． 又AC AC =，∴△ADC ≌△AFC ．∴ AF =AD =9，CF=CD =CB =------------2分 ∴△CBF 是等腰三角形． 又∵CE AB ⊥于E ， ∴ EF =EB =21BF =21（AB －AF ）=3．--------------------------------------------------3分在Rt △BEC 中，cosBE B BC === ---------------------------------4分 在Rt △BEC （或Rt △FEC ）中，由勾股定理得 CE =5．在Rt △AEC 中，由勾股定理 得AC =13．-------------------------------------------5分∴ B ∠AC 的长为13． 21．（本小题满分5分）解：（1）120； ---------------------------------1分 （2）图形正确 -------------------------------2分 （3）Ｃ；--------------------------------------3分 （4）达国家规定体育活动时间的人数约占12060100%60%300+⨯=．------------4分 ∴ 达国家规定体育活动时间的人约有 430060%2580⨯=（人）．-----------5分22．（本小题满分5分）证明：（1）如图2，过点P 作AD PJ CD PI BC PH AB PG ⊥⊥⊥⊥,,,，∵EP 平分DEC ∠，∴PH PJ =． -----------------------------------------1分同理 PI PG =．∴P 是四边形ABCD 的准内点．----------------------2分（2）说明：①平行四边形对角线,AC BD 的交点1P （或者取平行四边形两对边中点连线的交点1P ）是准内点，如图3（1）和图3（2）； -------------------------4分 ②梯形两腰夹角的平分线与梯形两腰中点连线的交点2P 是准内点，如图4. --5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．（本小题满分7分）解：（1）∵ 方程 2220x ax a b --+=有一个根为2a ， ∴ 224420a a a b --+=．整理，得 2ab =． ∵ 0a <， ∴ 2aa <，即a b <． ---------------------------------------------3分 （2） 2244(2)448a a b a a b ∆=--+=+-．∵ 对于任何实数a ，此方程都有实数根，∴ 对于任何实数a ，都有2448a a b +-≥0 ，即22a a b +-≥0． ∴ 对于任何实数a ，都有b ≤22a a +．∵ 22111()2228a a a +=+- ，当 12a =-时，22a a +有最小值18-．∴ b 的取值范围是b ≤18-． ----------------------------------------------7分24．（本小题满分7分）（1）设0x =，则2y =．∴A （0,2）．设这条抛物线所对应的二次函数的解析式为：22y ax =+．∵过点M (0)，∴有2(20a ⨯+=．解得83a =-．∴所求的这条抛物线所对应的二次函数的解析式为2823y x =-+．----------2分 （2）①平移后的抛物线如图所示: --------------------------------------------------------------3分②相切．理由：由题意和平移性质可知，平移后的抛物线的对称轴为直线x =． ∵C 点是对称轴与直线AB 的相交，∴易求得点C 32）．由勾股定理，可求得OC =设原点O 到直线AB 的距离为d ，则有 AB d AO BO ⋅=⋅．∵点A 为（0，2），点B 为（0），∴4AB =．42d =⨯∴d OC ==．这说明，圆心O 到直线AB 的距离d 与⊙O 的半径OC 相等．∴以O 为圆心、OC 为半径的圆与直线AB 相切． -------------------------------------5分（3）设P p ）． ∵抛物线的对称轴与y 轴互相平行，即AO ∥PC ．∴只需PC AO =2=，即可使以O ，A ，C ，P 为顶点的四边形是平行四边形．由（2）知，点C 32）， ∴322p -=．∴22p -=±．解得 172p =，212p =-．∴ P 点的坐标为1p （2，72）或2p （2，12-）．----------------------------7分25．（本小题满分8分）证明：（1）如图1：分别连结OE 、OF ．∵四边形ABCD 是菱形，∴A D D CC B ==，AC BD ⊥，DO BO =，且112302ADC ∠=∠=∠=．∴在Rt △AOD 中，有12AO AD =．又 E 、F 分别是边DC 、CB 的中点，∴1122EO CB DC OF ===．∴AO EO FO ==．∴点O 即为等边△AEF 的外心． -------------------------------------------------- 3分 （2）①猜想：△AEF 的外心P 落在对角线DB 所在的直线上．证明：如图2：分别连结PE 、P A ，作PQ DC ⊥于Q ，PH AD ⊥于H ．则90PQE PHD ∠=∠=．∵60ADC ∠=，∴在四边形QDHP 中，120QPH ∠=．又 ∵点P 是等边△AEF 的外心，60EFA ∠=，∴PE PA =，2260120EPA EFA ∠=∠=⨯=． ∴αβ∠=∠． ∴△PQE ≌△PHA （AAS ）．∴PQ=PH ． ∴点P 在ADC ∠的角平分线上．∵菱形ABCD 的对角线DB 平分A D C ∠，∴ 点P 落在对角线DB 所在的直线上． ----------------------------------- 6分 ②112DM DN+=． ---------------------------------------------------------------- 8分。
北京市密云二中2012届高三数学12月月考试题 理
密云二中高三年级12月考数学试题(理)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．在复平面内，复数121i z i -=+对应的点位于 (A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限2．若全集U =Ｒ，集合A =｛2|430x x x ++>｝，B =｛3|log (2)1x x -≤｝，则()UC A B = A ．｛x |1-<x 或2>x ｝ B ．｛x |1-<x 或2≥x ｝C ．｛x |1-≤x 或2>x ｝D ．｛x |1-≤x 或2≥x ｝3. “b a =”是“直线2+=x y 与圆()()222=-+-b x a x 相切”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4. 已知24sin 225α=-, (,0)4πα∈-，则sin cos αα+=（ ） A ．15- B ．51 C ．75- D ．57 5．在ABC ∆中，90C =，且3CA CB ==，点M 满足2,BM MA CM CB =⋅则=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．66．已知等差数列{n a }的前n 项和为n S ，且3100(12)S x dx =+⎰，2017S =，则30S =（ ）A ．15B ．20C ．25D ．3011．程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 的值是A ．2B ．12-C ．3-D ．13 12．设奇函数()f x 的定义域为Ｒ，最小正周期3T =，若23(1)1,(2)1a f f a -≥=+，则a 的取值范围是 A ．213a a <-≥或 B ．1a <- C ．213a -<≤ D ．23a ≤二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 已知π3(,π),sin ,25αα∈=则πtan()4α+=__ _． 10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 35+ .11. 在ABC ∆中，已知 (23,31)AB k k =++，(3,)AC k =()k ∈R ，则BC =__；若90B ∠=︒，则k =__ _．12. 已知函数12log (),40,()2cos ,0.x x f x x x --≤<⎧⎪=⎨⎪≤≤π⎩若方程()f x a =有解，则实数的取值范围是__ _．13. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴， 直线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是14.设函数()1f x x α=+()α∈Q 的定义域为[][],,b a a b --，其中0a b <<．若函数()f x 在区间[],a b 上的最大值为6，最小值为3，则()f x 在区间[],b a --上的最大值与最小值的和为__ _．填空题答题卡9、 10、 11、 ，12、 13、 14、三、解答题：本大题共6小题，共90分15．（本题满分12分）已知函数21()cos cos ,2f x x x x x R =--∈． (Ⅰ) 求函数)(x f 的最小值和最小正周期；（Ⅱ）已知ABC ∆内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且3,()0c f C ==， 若向量(1,sin )m A =与(2,sin )n B =共线，求a b 、的值．16. （本小题满分13分）设数列{}n a 的前项和为n S ，且221n n a S n =++()n *∈N .（Ⅰ）求1a ，2a ，3a ；（Ⅱ）求证：数列{}2n a +是等比数列；（Ⅲ）求数列{}n n a ⋅的前项和n T .17．（本题满分12分)已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，且2AD =，1AB =，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是线段AB 、BC 的中点．（Ⅰ）证明：PF FD ⊥；（Ⅱ）判断并说明PA 上是否存在点G ，使得EG ∥平面PFD ；（Ⅲ）若PB 与平面ABCD 所成的角为45，求二面角A PD F--的余弦值．18. （本小题满分13分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 经过点1)2P ，离心率为2，动点(2,)(0).M t t >（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）求以OM 为直径且被直线3450x y --=截得的弦长为2的圆的方程；（Ⅲ）设F 是椭圆的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ，证明线段ON 的长为定值，并求出这个定值．19. （本小题满分14分） 设函数3211()(,,,0)32f x ax bx cx a b c a =++∈≠R 的图象在点(),()x f x 处的切线的斜率为()k x ，且函数1()()2g x k x x =-为偶函数.若函数()k x 满足下列条件：①(1)0k -=；②对一切实数，不等式211()22k x x ≤+恒成立. （Ⅰ）求函数()k x 的表达式； （Ⅱ）求证：1112(1)(2)()2n k k k n n +++>+()n *∈N .20．（本小题满分14分）已知定义在R 上的函数()f x 和数列121{},,n a a a a a =≠，当*2n N n ∈≥且时，111(),()()()n n n n n n a f a f a f a k a a ---=-=-且，其中,a k 均为非零常数．（Ⅰ）若数列{}n a 是等差数列，求k 的值；（Ⅱ）令*11(),1n n n b a a n N b +=-∈=若，求数列{}n b 的通项公式；（Ⅲ）若数列{}n a 为等比数列，求函数()f x 的解析式．密云二中高三年级12月考数学试题(理)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．C 2．D 3. A 4. B 5. B 6. A 7. D 8．C三、解答题：本大题共6小题，共90分15．（本题满分12分）已知函数21()cos cos ,2f x x x x x R =--∈． (Ⅰ) 求函数)(x f 的最小值和最小正周期；（Ⅱ）已知ABC ∆内角AB C 、、的对边分别为a b c 、、，且3,()0c f C ==， 若向量(1,sin )m A =与(2,sin )n B =共线，求a b 、的值．15． 解：(Ⅰ)211()cos cos 2cos 2122f x x x x x x =--=--sin(2)16x π=-- ……………………………………………………3分 ∴ ()f x 的最小值为2-，最小正周期为π. ………………………………5分 （Ⅱ）∵ ()sin(2)106f C C π=--=， 即sin(2)16C π-= ∵ 0C π<<，112666C πππ-<-<，∴ 262C ππ-=，∴ 3C π=． ……7分 ∵ m n 与共线，∴ sin 2sin 0B A -=．由正弦定理 sin sin a b A B=， 得2,b a = ①…………………………………9分 ∵ 3c =，由余弦定理，得2292cos 3a b ab π=+-， ②……………………10分解方程组①②，得a b ⎧=⎨=⎩ …………………………………………12分 16. （本小题满分13分）设数列{}n a 的前项和为n S ，且221n n a S n =++()n *∈N .（Ⅰ）求1a ，2a ，3a ；（Ⅱ）求证：数列{}2n a +是等比数列；（Ⅲ）求数列{}n n a ⋅的前项和n T .（17）（本小题满分13分）解：（I ）由题意，当1n =时，得1123a a =+，解得13a =.当2n =时，得2122()5a a a =++，解得28a =.当3n =时，得31232()7a a a a =+++，解得318a =.所以13a =，28a =，318a =为所求. ……………3分 (Ⅱ) 因为221n n a S n =++，所以有11223n n a S n ++=++成立.两式相减得：11222n n n a a a ++-=+.所以122n n a a +=+()n *∈N ，即122(2)n n a a ++=+. …………5分 所以数列{}2n a +是以125a +=为首项，公比为的等比数列. ……………7分（Ⅲ）由(Ⅱ) 得：1252n n a -+=⨯，即1522n n a -=⨯-()n *∈N .则1522n n na n n -=⋅-()n *∈N . ……………8分设数列{}152n n -⋅的前项和为n P ,则01221512522532...5(1)252n n n P n n --=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯-⋅+⨯⋅，所以12312512522532...5(1)252n n n P n n -=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⋅+⋅，所以1215(122...2)52n n n P n --=++++-⋅，即(55)25n n P n =-⋅+()n *∈N . ……………11分 所以数列{}n n a ⋅的前项和n T =(1)(55)2522n n n n +-⋅+-⨯， 整理得，2(55)25n n T n n n =-⋅--+()n *∈N . ……………13分17．（本题满分12分)已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，且2AD =，1AB =，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是线段AB 、BC 的中点．（Ⅰ）证明：PF FD ⊥；（Ⅱ）判断并说明PA 上是否存在点G ，使得EG ∥平面PFD ；（Ⅲ）若PB 与平面ABCD 所成的角为45，求二面角A PD F--的余弦值．17． 解法一：（Ⅰ）∵ PA ⊥平面ABCD ，90BAD ∠=，1AB =，2AD =，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()()0,0,0,1,0,0,(1,1,0),(0,2,0)A B F D ．…………2分不妨令(0,0,)P t ∵(1,1,)PF t =-，(1,1,0)DF =-∴111(1)()00PF DF t =⨯+⨯-+-⨯=，即PF FD ⊥．…………………………4分（Ⅱ）设平面PFD 的法向量为(),,n x y z =，由00n PF n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得00x y tz x y +-=⎧⎨-=⎩，令1z =，解得：2t x y ==． ∴,,122t t n ⎛⎫= ⎪⎝⎭． ………………………………………………………6分 设G 点坐标为(0,0,)m ，1,0,02E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1(,0,)2EG m =-， 要使EG ∥平面PFD ，只需0EG n =，即1()0102224t t t m m -⨯+⨯+⨯=-=， 得14m t =，从而满足14AG AP =的点G 即为所求．……………………………8分 （Ⅲ）∵AB PAD ⊥平面，∴AB 是平面PAD 的法向量，易得()1,0,0AB =， …………………………………………………………………………………9分又∵PA ⊥平面ABCD ，∴PBA ∠是PB 与平面ABCD 所成的角，得45PBA ∠=，1PA =，平面PFD 的法向量为11,,122n ⎛⎫= ⎪⎝⎭……10分∴1cos ,1AB nAB n AB n ⋅===⋅ 故所求二面角A PD F --的余弦值为612分 18. （本小题满分13分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 经过点1)22P ，离心率为2，动点(2,)(0).M t t >（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）求以OM 为直径且被直线3450x y --=截得的弦长为2的圆的方程；（Ⅲ）设F 是椭圆的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ，证明线段ON 的长为定值，并求出这个定值．19. （本小题满分14分）设函数3211()(,,,0)32f x ax bx cx a b c a =++∈≠R 的图象在点(),()x f x 处的切线的斜率为()k x ，且函数1()()2g x k x x =-为偶函数.若函数()k x 满足下列条件：①(1)0k -=；②对一切实数，不等式211()22k x x ≤+恒成立. （Ⅰ）求函数()k x 的表达式； （Ⅱ）求证：1112(1)(2)()2n k k k n n +++>+()n *∈N . （19）（本小题满分14分） （Ⅰ）解：由已知得：2()()k x f x ax bx c '==++. ……………1分由1()()2g x k x x =-为偶函数，得21()2g x ax bx c x =++-为偶函数， 显然有12b =. …………2分 又(1)0k -=，所以0a bc -+=，即12a c +=. …………3分 又因为211()22k x x ≤+对一切实数恒成立， 即对一切实数，不等式2111()0222a x x c -++-≤恒成立. …………4分 显然，当12a =时，不符合题意. …………5分 当12a ≠时，应满足 10,21114()()0.422a a c ⎧-<⎪⎪⎨⎪∆=---≤⎪⎩ 注意到12a c += ，解得14a c ==. …………7分 所以2111()424k x x x =++. ……………8分 （Ⅱ）证明：因为2221(1)()44n n n k n +++==，所以214()(1)k n n =+.………9分要证不等式1112(1)(2)()2n k k k n n +++>+成立, 即证22211123(1)24n n n +++>++. …………10分 因为21111(1)(1)(2)12n n n n n >=-+++++, …………12分 所以22211111111123(1)233412n n n +++>-+-++-+++ 112224n n n =-=++. 所以1112(1)(2)()2n k k k n n +++>+成立. ……………14分 20．（本小题满分14分）已知定义在R 上的函数()f x 和数列121{},,n a a a a a =≠，当*2n N n ∈≥且时，111(),()()()n n n n n n a f a f a f a k a a ---=-=-且，其中,a k 均为非零常数．（Ⅰ）若数列{}n a 是等差数列，求k 的值；（Ⅱ）令*11(),1n n n b a a n N b +=-∈=若，求数列{}n b 的通项公式；（Ⅲ）若数列{}n a 为等比数列，求函数()f x 的解析式．。
北京市密云县2012年高中模拟试卷及答案(理数)
m EN 0 2 y 2 z 0 则 ，即 ，令 x 1 ， 2 x 2 y 0 m EF 0 则 y 1 ， z 1 ，即 m (1,1, 1) ，
当 M 是 PA 中点时， m 2 ，则 n (1,1,3) ，
第Ⅱ卷（非选择题
9. 复数
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在题中横线上.
1 3i 1 2i
.
10.样本容量为 1000 的频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图，计算 x 的值 为 ，样本数据落在 6 , 14 内的频数为 ．
频率 组距 x 0.08
（Ⅲ） X 的可能取值为 1，2，3，4 1 P( X 1) P( A1 ) ， 6 5 4 1 P( X 2) P( A1 A2 ) (1 ) ， 6 5 6 5 4 3 1 P( X 3) P( A1 A2 A3 ) (1 ) ， 6 5 4 6 5 4 3 1 P( X 4) P( A1 A2 A3 ) ， 6 5 4 2 所以， X 的分布列为 1 2 3 X 1 1 1 P 6 6 6 1 1 1 1 E ( X ) 1 2 3 4 3 ． 6 6 6 2 18．解： （I）当 a 1 时， f x x e ，
∵ PC // 平面 MEF ，∴ PC n 0 ，即 4 4
24 0 ，解得 m 3 ， m
故 AM 3 ，即点 M 为线段 PA 上靠近 P 的四等分点； 故 PM : MA 1: 3 --------------------------8 分 （Ⅲ） N (4, 4, 2) ，则 EN (0, 2, 2) ，设平面 NEF 的法 向量为 m ( x, y , z ) ，
密云二模答案
密云县中考二模数学试题答案 数学试卷答案参考及评分标准阅卷须知：1．为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为详细，阅卷时，只要考生将主要过程正确写出即可．2．若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考给分． 3．评分参考中所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．一、选择题（本题共32分，每小题4分）二、填空题（本题共16分，每小题4分）三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．（本小题满分5分）011(2010)()2---+12=+························· 4分1=． ···························· 5分14．（本小题满分5分）解：去分母，得(2)6(2)(2)(2)x x x x x ++-=-+．－－－－－－－－－－－-－－－1分 整理 得 88x =． －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－2分解得 1x =． －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－3分 经检验，1x =是原方程的解．－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－4分 ∴ 原方程的解是1x =． －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－5分15．（本小题满分5分）证明：∵ED ⊥AB 于点D ，∴ ∠ADE=90°．----------------------------------------1分∴ ∠DAE +∠AEF =90°．又∵∠C =90°， ∴ ∠BAC +∠B =90° ． ∴∠B =∠AEF ． -------------------------------------------------------------2分∵ AF ⊥AC 于点A ，∴ ∠EAF =90°=∠C ．-------------------------------3分在△ABC 和△FEA 中，,,,B AEF BC AE C AEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABC ≌△FEA ． -----------------------------------------------------------4分∴AB =EF ． ---------------------------------------------------------------------5分16．（本小题满分5分）解：22()(1)()aa b a b a b-+÷-+ ＝ 21()()a b a b a b a b a b+-+⨯⨯+- －－－－－－－－－－－－－－－－－－3分 ＝ 2a ＋b ． －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－4分∵ 2a ＋b －1＝0，∴ 2a ＋b ＝1．∴ 原式＝1 ． －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－5分 17．（本小题满分5分）解：（1）这个反比例函数图象的另一支在第三象限． ············· 1分∵ 这个反比例函数的图象分布在第一、第三象限，∴ 50m ->，解得 5m >． ··················· 2分 （2）如图，由第一象限内的点A 在正比例函数2y x =的图象上，设 点A 的坐标为()()00020x x x >，， 则 点B 的坐标为()00x ，， ∵ 4OABS=，∴ 001242x x ⋅=．解得 02x =（负值舍去）．∴ 点A 的坐标为（2，4）． ···················· 4分 又点A 在反比例函数5m y x-=的图象上， ∴542m -=，即 58m -=． ∴ 反比例函数的解析式为8y x=． ················· 5分18．（本小题满分5分）解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染x 台电脑， ··········· 1分依题意得：1(1)81x x x +++=， ················· 3分 解得 12810x x ==-，（舍去）， ················· 4分 ∴ 8x =．答：每轮感染中平均每一台电脑会感染8台． ·············· 5分 四、解答题（本题共20分，第19题4分，第20题5分，第21题6分，第22题5分） 19．（本小题满分4分）解：在梯形ABCD 中，∵ AD ∥BC , AB DC =，120ADC ∠=， ∴ 120A ADC ∠=∠=，60ABC C ∠=∠=． 又 AB AD =， ∴ 1(180120)302ABD ADB ∠=∠=-=． ∴1203090BDC ∠=-=． ------------------------------------------------------------1分在Rt BDC 中，∵ 4DC AB ==，1cos 2DC C BC =∠=，∴ 8BC =．－－－－2分 作DE BC ⊥于E ． 在Rt BEC 中，3sin 2DE C DC =∠=，∴ 34232DE =⨯=3分∴ 梯形ABCD 的面积为 11()(48)2312322AD BC DE +⋅=+⨯4分 20．（本小题满分5分） 证明：（1）连结OC ．则 OC OA =，∴ 12∠=∠．∵ AC 平分∠DAB ，∴ 13∠=∠．∴23∠=∠． ∴ AD ∥OC ．∴D OCE ∠=∠．又 直线DE 与⊙O 相切于点C ，∴ OC DC ⊥于C ．∴90OCE ∠=．∴90D ∠=．∴ AD ⊥DC ． －－－－－－－－－－－－－————————————－3分 解：（2）在Rt ADC 中，∵1tan 2DC DAC AD =∠=，∴ 112122DC AD ==⨯=． ∴ 由勾股定理 得 5AC = 连结BC ．∵ AB 是⊙O 的直径，∴ ACB ∠90=D =∠．又 13∠=∠， ∴ △ACB ∽△ADC ．∴AC AB AD AC =，即55=．解得 52AB =． ∴O ⊙直径AB 的长是52．－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－5分 21．（本小题满分6分）解：（1）120； ····························· 2分 （2）图形正确 ----------------3分（3）Ｃ；······························ 4分 （4）达国家规定体育活动时间的人数约占12060100%60%300+⨯=．-------------5分 ∴ 达国家规定体育活动时间的人约有2400060%14400⨯=（人）．--------6分 22．（本小题满分5分） 解：（每图1分）－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－————5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．（本小题满分7分）解：（1）142+-=x x y ,配方，得3)2(2--=x y ． 向左平移4个单位， 得3)2(2-+=x y ． ∴平移后的抛物线解析式为142++=x x y ． …………2分（2）由（1）知，两抛物线的顶点坐标分别为(2，－3)和(－2，－3) ，与y 轴的交点为（0，1）（如图）．由图象知，若直线y ＝m 与两条抛物线有且只有四个交点时，m ＞－3且m ≠1 …………………………………………5分（3）由2y x bx c =++配方得，224()24b c b y x -=++．向左平移b -个单位长度得到抛物线的解析式为224()24b c b y x -=-+．∴ 两抛物线的顶点坐标分别为24(,)24b c b --，24(,)24b c b - 与y 轴的交点为（0，c ）．利用（2）的图象知，实数m 的取值范围是： m ＞244c b -，且m ≠c ． …7分24．（本小题满分7分） 证明：（1） 12D E D F =．∵ 1122C D C D ∥，∴ 12C AFD ∠=∠． 又∵90ACB ∠=︒，CD 是斜边上的中线， ∴ DC DA DB ==，即 112221C D C D BD AD ===．∴ 1C A ∠=∠． ∴ 2AFD A ∠=∠．∴ 22AD D F =． 同理：11BD D E =．又∵ 12AD BD =，∴ 21AD BD =． ∴ 12D E D F =．－－－－－－－－－3分 （2）在Rt ABC ∆中，∵8,6AC BC ==，∴ 由勾股定理，得10.AB =∴ 1211225AD BD C D C D ====．又∵ 21D D x =，∴ 11225D E BD D F AD x ====-；21C F C E x ==． ∵ 1122C D C D ∥， ∴ 221BC D BED ∆∆∽．∴ 122212BD E BD C S BD SBD ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 又 221122BD C ABCSS ==，∴ 12222512()(5)525BD E BD C x S S x ∆-==-． ∵ 1122C D C D ∥，∴ 21PFC C ∠=．∵ 1290C C ∠+∠=︒，∴ 2290PFC C ∠+∠=︒．∴ 290FPC ∠=︒．在2Rt FPC 中， ∵2223cos cos 5PC BC C B FC AB ====，224sin cos 5PF AC C B FC AB ====， ∴ 234,55PC x PF x == ． ∴22216225FC P S PC PF x ∆=⨯⨯= ∴ 22122212612(5)2525BC D BED FC P y S S S x x ∆∆∆=--=---． 即 21824(05)255y x x x =-+≤≤． －－－－－－－－－－－－－－－－－7分 25．（本小题满分8分）解：（1）令 0y =，则 有2220(0)x mx m m --=>． 解得 1x m =-，22x m =． ∵ 点A 在点B 的左边，且0m >，∴ A （m -，0），B （2m ，0）．－－－－－－－－－－－－－－－－2分 （2）如图，延长BE 到F 使得DF BD =，连结CF ．∵ D 是OC 中点， ∴DC DO = ． ∴ △FDC ≌△BDO ．∴ 2CF OB m ==，F OBD ∠=∠．∴ FC ∥AB ． ∴ △EFC ∽△EBA ．∴CE CFAE AB=． ∵ 3AB m =，2CF m =， ∴23CE AE =．－－－－－－－－－－4分 （3）如图，∵C 是抛物线上一动点（点C 与点A 、B 不重合），C 、A 两点到y 轴的等距，∴C （m ，22m ）．分别过点E 、A 作DC 、OC 边上的高EP 和AH ，则EP ∥AH ．∴ △CEP ∽△CAH ．∴25EP CE AH CA ==．∴ 52AH EP =．又∵ 2OC CD =，∴115522222AOCSOC AH CD EP CD EP ==⋅⋅=． 又 8152CED S DC EP ==⋅∴165CD EP ⋅=．∴ 55168225AOC S CD EP ==⨯=． 过点C 作AO 边上的高CM ，则 22CM m =，2311222AOCSAO CM m m m =⋅=⋅⋅=．∴ 38m =．∴ 2m =． ∴ 抛物线的解析式为 228y x x =-++．————————————6分 ∴ B 点的坐标为（4，0），C 点的坐标为（2，8）． 过点D 作DN x ⊥轴于N ，则 DN ∥CM ．∵ D 是OC 中点，∴ 112ON OM ==，142DN CM ==． ∴ D 点的坐标为（1，4）．设 直线BE 的解析式为y kx b =+，则 40,4.k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得 4,316.3k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴直线BE 的解析式为 41633y x =-+．－－－－－－－－－－－－－ 8分。
北京市密云县2012年高中模拟试卷及答案(文数) 含答案
2012年密云县高三模拟考试数 学（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．1.设集合2{|1},{|1}M x x P x x =>=>，则下列关系中正确的是A ． M=P B.M ∪P=P C.M ∪P=M D.M ∩P=P 2．函数cos y x =的一个单调递增区间为A ．,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．()0,π C ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．(),2ππ 3．已知向量()1,1=a ，()2,n =b ，若+=g a b a b ，则n =A ．3-B ．1-C ．1D ．3 4．已知等比数列{}n a 的前三项依次为1a -，1a +，4a +，则n a =A ．342n ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭B ．243n ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭C ．1342n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭D ．1243n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭5．抛物线24y x =上一点M 到焦点的距离为3，则点M 的横坐标x =A ．1B ．2C ．3D ．4 6．如图1所示，是关于闰年的流程，则以下年份是 闰年的为 A ．2012年 B ．2010年 C ．2100年 D ．1998年7．设变量x ，y 满足约束条件2,,2x y x x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩则目标函数2z x y =+的最小值为A ．6B ．4C ．3D ．28．给出定义：若2121+≤<-m x m （其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x = m. 在此基础上给出下列关于函数{}x x x f -=)(的四个命题： ①函数y=)(x f 的定义域为R ，值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0；②函数y=)(x f 的图像关于直线2kx =（Z k ∈）对称； ③函数y=)(x f 是周期函数，最小正周期为1；④函数y=)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上是增函数. 其中正确的命题的个数为A ．1 B.2 C. 3 D. 4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．9．某校对全校男女学生共1600名进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知女生抽了95人，则该校的女生人数应是 人． 10．设复数z 满足i 2i z =-，则z = .11．已知双曲线2214x y m-=的离心率为2，则实数m = ． 12．如图2所示，函数)(x f y =的图象在点P 处的切线方程是8+-=x y ，则()5f = ，()5f '= ．13．已知α，β是平面，m ，n 是直线，给出下列命题 ①若α⊥m ，β⊂m ，则βα⊥．②若α⊂m ，α⊂n ，m βP ，n βP ，则αβP ． ③如果m n m ,,αα⊄⊂、n 是异面直线，那么α与n 相交． ④若m αβ=I ，n ∥m ，且βα⊄⊄n n ,，则n ∥α且n ∥β． 其中正确命题的有 .（填命题序号） ①④ 14．规定一种运算：⎩⎨⎧>≤=⊗ba b ba ab a ,,，例如：1⊗2=1，3⊗2=2，则函数xx x f cos sin )(⊗=的值域为 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15． （本小题满分12分）在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2a =，3c =，1cos 4B =． （I ）求b 的值；（II ）求sin C 的值．75 80 85 90 95 100 分数 频率0.010.02 16．（本小题满分13分）某高校在2011年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]，得到的频率分布直方图如图所示． (Ⅰ)分别求第3，4，5组的频率；(Ⅱ)若该校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，求第3，4，5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试?(Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下，学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率．如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，点E 在棱1CC 的延长线上，且12111====AB BC E C CC ． (Ⅰ) 求证：1D E //平面1ACB ； (Ⅱ) 求证：平面11D B E ⊥平面1DCB ；（Ⅲ）求四面体AC B D 11的体积．设函数3221()231,0 1.3f x x ax a x a =-+-+<< （I ）求函数)(x f 的极大值；（II ）若[]1,1x a a ∈-+时，恒有()a f x a '-≤≤成立（其中()f x '是函数()f x 的导函数），试确定实数a 的取值范围．已知曲线Γ上任意一点P 到两个定点()1F 和)2F 的距离之和为4．（I ）求曲线Γ的方程；（II ）设过()0,2-的直线l 与曲线Γ交于C 、D 两点，且0OC OD ⋅=u u u r u u u r（O 为坐标原点），求直线l 的方程．已知数列{}n a 中，12a =，23a =，其前n 项和n S 满足1121n n n S S S +-+=+（2n ≥，*n ∈N ）． （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设14(1)2(n an n n b λλ-=+-⋅为非零整数，*n ∈N ），试确定λ的值，使得对任意*n ∈N ，都有n n b b >+1成立．2012年密云县高三模拟测试数学（文科）试题参考答案及评分标准9． 760 10.12i -- 11．12 12．3；－1 13.①④ 14．[1,2-三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15．（本小题满分12分） 解：（I ）由余弦定理，2222cos b a c ac B =+-，………………………………………2分得222123223104b =+-⨯⨯⨯=，…………………………………………………4分 ∴b =6分（II ）方法1：由余弦定理，得222cos 2a bc C ab+-=，………………………………8分8==，………………………10分 ∵C是ABC ∆的内角，∴sin C ==．………………………………………………………12分 方法2：∵1cos 4B =，且B 是ABC ∆的内角， ∴sin B ==．………………………………………………………8分 根据正弦定理，sin sin b cB C =，……………………………………………………10分 得3sin sin c BC b===． ……………………………………………12分16．解：(Ⅰ)由题意，第3组的频率为0.0650.3⨯=，第4组的频率为0.0450.2⨯=，第5组的频率为0.0250.1⨯=．……………………3分(Ⅱ)第3组的人数为0.310030⨯=， 第4组的人数为0.210020⨯=， 第5组的人数为0.110010⨯=．因为第3，4，5组共有60名学生，所以利用分层抽样的方法在60名学生中抽取6名学生，每组抽取的人数分别为： 第3组：306360⨯=， 第4组：206260⨯=， 第5组：106160⨯=． 所以第3，4，5组分别抽取3人，2人，1人． ……………………8分 (Ⅲ)设第3组的3名学生为1A ，2A ，3A ，第4组的2名学生为1B ，2B ， 第5组的1名学生为1C ． 则从六名学生中抽两名学生有：1213111211(,),(,),(,),(,),(,),A A A A A B A B A C23212221(,),(,),(,),(,),A A A B A B A C313231(,),(,),(,),A B A B A C1211(,),(,),B B B C21(,),B C共15种可能．其中第4组的2名学生为1B ，2B 至少有一名学生入选的有：11122122(,),(,),(,),(,),A B A B A B A B3112321121(,),(,),(,),(,),(,),A B B B A B B C B C 共9种可能，所以第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率为93155=．…………13分 17．解：（Ⅰ）证明：连1ADE B BC AD 111////Θ∴四边形11ED AB 是平行四边形 ………2分则11//AB E D又⊂1AB 平面C AB 1，⊄E D 1平面C AB 1∴1D E //平面1ACB ………5分（Ⅱ） 由已知得221214CE E B C B ==+则C B E B 11⊥ ………6由长方体的特征可知：⊥CD 平面BCE B 1而⊂E B 1平面BCE B 1， 则E B CD 1⊥ ………9分⊥∴E B 1平面1DCB 又⊂E B 1平面11D B E∴平面11D B E ⊥平面1DCB ………10分（Ⅲ）四面体D 1B 1AC 的体积11111D C B A ABCD V -=111D B A A V --1ACB B V --111D C B C V --1ACD D V --32421211312=⨯⨯⨯⨯⨯-= ………14分18．（本小题满分14分）解：（I ）∵2234)(a ax x x f -+-='，且01a <<，…………………………………1分当0)(>'x f 时，得a x a 3<<；当0)(<'x f 时，得a x a x 3><或； ∴)(x f 的单调递增区间为(,3)a a ；)(x f 的单调递减区间为),(a -∞和),3(+∞a ．…………………………………3分故当3x a =时，)(x f 有极大值，其极大值为()31f a =． …………………4分 （II ）∵()()2222432f x x ax a x a a '=-+-=--+，当103a <<时，12a a ->， ∴()f x '在区间[]1,1a a -+内是单调递减．…………………………………………6分∴[]()[]()2max min 861,21f x f a a a f x f a a ''''==-+-==-（）1-（）1+．∵()a f x a '-≤≤，∴2861,21.a a a a a ⎧-+-≤⎨-≥-⎩此时，a ∈∅．…………………………………………………………………………9分 当113a ≤<时，[]()2max 2f x f a a ''==（）． ∵()a f x a '-≤≤，∴22,21,861.a a a a a a a ⎧≤⎪-≥-⎨⎪-+-≥-⎩即01,1,3771616a a a ⎧⎪≤≤⎪⎪≥⎨⎪⎪≤≤⎪⎩……11分此时，17316a ≤≤．……………………………………………………………13分 综上可知，实数a的取值范围为17,316⎡+⎢⎣⎦．…………………………………14分19．（本小题满分14分）解：（I ）根据椭圆的定义，可知动点M 的轨迹为椭圆，………………………………1分 其中2a =，c =1b ==．………………………………………2分所以动点M 的轨迹方程为2214x y +=．………………………………………………4分（2）当直线l 的斜率不存在时，不满足题意．………………………………………5分 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为2y kx =-，设11(,)C x y ，22(,)D x y ，∵0OC OD ⋅=u u u r u u u r，∴12120x x y y +=．……………………………………………7分∵112y kx =-，222y kx =-，∴21212122()4y y k x x k x x =⋅-++．∴ 21212(1)2()40k x x k x x +-++=．………… ① …………………………9分由方程组221,4 2.x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得()221416120kxkx +-+=．…………………………………………………11分则1221614k x x k +=+，1221214x x k ⋅=+， 代入①，得()222121612401414k k k k k+⋅-⋅+=++． 即24k =，解得，2k =或2k =-．………………………………………………13分 所以，直线l 的方程是22y x =-或22y x =--．………………………………14分 20．（本小题满分13分）解：（I ）由已知，()()111n n n n S S S S +----=（2n ≥，*n ∈N ）， …………………2分即11n n a a +-=（2n ≥，*n ∈N ），且211a a -=．∴数列{}n a 是以12a =为首项，公差为1的等差数列．∴1n a n =+．……………………………………………………………………………4分（II ）∵1n a n =+，∴114(1)2n n n n b λ-+=+-⋅，要使n n b b >+1恒成立，∴()()112114412120n n n n n n n n b b λλ-++++-=-+-⋅--⋅>恒成立，∴()11343120n nn λ-+⋅-⋅->恒成立，∴()1112n n λ---<恒成立．……………………………………………………………6分（ⅰ）当n 为奇数时，即12n λ-<恒成立，…………………………………………7分当且仅当1n =时，12n -有最小值为1，∴1λ<．………………………………………………………………………………9分 （ⅱ）当n 为偶数时，即12n λ->-恒成立，………………………………………10分当且仅当2n =时，12n --有最大值2-，∴2λ>-．……………………………………………………………………………12分 即21λ-<<，又λ为非零整数，则1λ=-．综上所述，存在1λ=-，使得对任意*n ∈N ，都有1n n b b +>．…………………13分。
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密云县2012年初三第二次综合检测数 学 试 卷一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1． －3的绝对值是A ． 3B ． －3C ． ±3 D． 132．函数11y x =-的自变量x 的取值范围是A ．x ≠0 B．x ≠1 C．x ≥1 D．x ≤1 3．若右图是某几何体的三视图，则这个几何体是A ． 长方体B ． 正方体C ． 三棱柱D ． 圆锥4．一组数据1，－1，2，5，6，5的平均数和极差分别是A ．7和3B ．3和7C ．5和7D ．3和55． 若2(2)30x y ++-=，则yx 的值为A ．－8B ．－6C ．8D ． 66．从1、2、3、4、5、6这六个数中随机取出一个数，取出的数是3的倍数的概率是A ．16B ．13C ．12D ．237．如图，AB 是半⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，O D B C ⊥于D ，若:4:3AC BC =，10A B =cm ，则O D 的长为 A ．2 cm B ．4 cmC ．6 cmD ．8 cm8．如图，Rt△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，P 是斜边AB 上一动点（不与点A 、B 重合），PQ ⊥AB 交△ABC 的直角边于 点Q ，设AP 为x ，△APQ 的面积为y ，则下列图象中，能表示y 关于x 的函数关系的图象大致是二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．已知32A x =-，12B x =+，则A B -= ．10．不等式组211,1(6)2x x x -≥⎧⎪⎨-⎪⎩ 的解集是 ．11．已知关于x 的一元二次方程22410x x k ++-=有实数根，则的最大值是 ． 12．如图，在边长为1的等边△A B C 中，若将两条含120︒圆心角的A OB 、 BO C 及边AC 所围成的阴影部分的面积记为S ，则S 与△ABC 面积的比是 ．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．计算：112tan 6023--+-- ．14．用配方法解方程：01632=--x x ．15．已知：如图，∠C =∠CAF =90°，点E 在AC 上，且AE =BC ，EF ⊥AB 于点D ．求证：AB =FE ．16．已知2a ＋b －1＝0，求代数式22()(1)()a a b a b a b-+÷-+的值．17．如图，A 、B 两点在反比例函数k y x=（x ＞0）的图象上．（1）求该反比例函数的解析式；（2）连结AO 、BO 和AB ，请直接写出△AOB 的面积． 18．列方程解应用题：某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．已知：如图，AB 为⊙O 的直径，PA 、PC 是⊙O 的切线，A 、C 为切点，∠BAC =30 ．（1）求∠P 的大小； （2）若AB =6，求PA 的长．20．如图，在四边形A B C D 中，AC 平分∠BAD ，C E A B ⊥于E ．设CD ＝CB ＝34，AD ＝9，AB ＝15．求B ∠的余弦值及AC 的长．21．国家规定“中小学生每天在校体育活动时间不低于1小时”．为此，某区就“你每天在校体育活动时间是多少”的问题随机调查了辖区内300名初中学生．根据调查结果绘制成的条形统计图（部分）如图所示，其中分组情况是： Ａ组：0.5h t <；Ｂ组：0.5h 1h t <≤ Ｃ组：1h 1.5h t <≤Ｄ组： 1.5h t ≥请根据上述信息解答下列问题： （1）Ｃ组的人数是 ； （2）将条形统计图补充完整； （3）本次调查数据的中位数落在组内；（4）若该区约有4300名初中学生，请估计其中达到国家规定体育活动时间的人大约有多少？22．定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准．内点．．．如图1，P H P J =，P I P G =，则点P 就是四边形ABCD 的准内点．（1）如图2， AFD ∠与DEC ∠的角平分线,FP EP 相交于点P ．求证：点P 是四边形ABCD 的准内点．（2）分别画出图3平行四边形和图4梯形的准内点（作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明）．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．已知关于x 的方程 2220x ax a b --+=，其中a 、b 为实数．（1）若此方程有一个根为2 a （a ＜0），判断a 与b 的大小关系并说明理由； （2）若对于任何实数a ，此方程都有实数根，求b 的取值范围．24．如图，在直角坐标系xoy中，以y轴为对称轴的抛物线经过直线323y x=-+与y轴的交点A和点M(32-，0)．（1）求这条抛物线所对应的二次函数的解析式；（2）将这条抛物线沿x轴向右平移，使其经过坐标原点．①在题目所给的直角坐标系xoy中，画出平移后的抛物线的示意图；②设平移后的抛物线的对称轴与直线AB（B是直线323y x=-+与x轴的交点）相交于C点，判断以O为圆心、O C为半径的圆与直线AB的位置关系，并说明理由；（3）P点是平移后的抛物线的对称轴上的点，求P点的坐标，使得以O、A、C、P四点为顶点的四边形是平行四边形．25．已知菱形ABC D的边长为1，60ADC∠= ，等边△AEF两边分别交DC、C B 于点E、F．（1）特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点，求证：菱形ABCD对角线AC、BD的交点O即为等边△AEF的外心；（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动，记等边△AEF的外心为P．①猜想验证：如图2，猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；②拓展运用：如图3，当E、F分别是边DC、CB的中点时，过点P任作一直线，分别交DA边于点M，BC边于点G，DC边的延长线于点N，请你直接写出11 D M D N+的值．密云县2012年初三第二次综合检测 数学试卷答案参考及评分标准一、选择题（本题共32分，每小题4分）题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 答 案ABCBABBC二、填空题（本题共16分，每小题4分）题 号 91011 12 答 案x －312x ≤313或1:3三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．（本小题满分5分） 解：112tan 6023--+--123332=-+-²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²² 4分12=． ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²² 5分14．（本小题满分5分） 解：原方程化为：03122=--x x …………………………………………1分131122+=+-x x ………………………………………………2分()341-2=x ………………………………………………3分∴3321,332121-=+=x x ………………………………………………5分15．（本小题满分5分）证明：∵EF ⊥AB 于点D ，∴ ∠ADE =90°．∴∠1+∠2=90°．-----------------------------1分又∵∠C =90°， ∴ ∠1+∠B =90°．∴ ∠B =∠2． -------------------------------2分 在△ABC 和△FEA 中，2,,.B BC AE C FAE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩--------------------------------3分 ∴ △ABC ≌△FEA ． --------------------------------4分∴ AB =FE ． -----------------------------------5分16．（本小题满分5分） 解：22()(1)()a a b a b a b-+÷-+ ＝ 21()()a b a b a b a ba b+-+⨯⨯+- -----------------------------3分＝ 2a ＋b ． -------------------------------------------- 4分∵ 2a ＋b －1＝0，∴ 2a ＋b ＝1．∴ 原式＝1 ． ----------------------------------------- 5分 17．（本小题满分5分）解：（1）∵点A （1，6）在反比例函数(0)m y x x=>的图象上，∴166mxy ==⨯= ．∴反比例函数解析式为6(0)y x x= ．---------------------2分（2）△AOB 的面积是352．-------------------------------5分18．（本小题满分5分）解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染x 台电脑， ²²²²²²²²² 1分依题意得：1(1)81x x x +++=， ²²²²²²²²²²²²²²² 3分解得 12810x x ==-，（舍去），∴ 8x =． ---------------------------------4分答：每轮感染中平均每一台电脑会感染8台． ²²²²²²²²²²²² 5分 四、解答题（本题共20分，第19题4分，第20题5分，第21题6分，第22题5分） 19．（本小题满分5分）（1）解：∵PA 是⊙O 的切线，AB 为⊙O 的直径，∴ P A A B ⊥．∴90BAP ∠=．----------------1分∵ ∠BAC =30 ，∴ 9060PAC BAC ∠=-∠=． 又∵PA 、PC 切⊙O 于点A 、C ，∴ P A P C =．----------------------------------------2分 ∴△PAC 是等边三角形．∴ 60P ∠=． -----------------------------3分( 2 ) 如图，连结BC ．∵AB 是直径，∠ACB =90．--------------------4分在R t △ACB 中，AB =6，∠BAC =30 ，∴cos 6cos 3033AC AB BAC =⋅∠==． 又∵△PAC 是等边三角形，∴ 33PA AC ==． ----------------------------------5分20．（本小题满分5分）解：如图，在AB 上截取A F A D =，连结CF ． --------------------------1分∵ AC 平分∠BAD ，∴12∠=∠． 又AC AC =，∴△ADC ≌△AFC ． ∴ AF =AD =9，CF=CD =CB 34=．------------2分∴△CBF 是等腰三角形． 又∵C E A B ⊥于E ， ∴ EF =EB =21BF =21（AB －AF ）=3．-----------------------------------3分在Rt △BEC 中，33cos 343434BE B BC===． ----------------------4分在Rt △BEC （或Rt △FEC ）中，由勾股定理得 CE =5．在Rt △AEC 中，由勾股定理 得AC =13．-------------------------------5分 ∴ B ∠的余弦值为33434，AC 的长为13．21．（本小题满分5分）解：（1）120； ---------------------------------1分（2）图形正确 --------------------------2分 （3）Ｃ；-------------------------------3分 （4）达国家规定体育活动时间的人数约占12060100%60%300+⨯=．------------4分∴ 达国家规定体育活动时间的人约有 430060%2580⨯=（人）．-----------5分 22．（本小题满分5分）证明：（1）如图2，过点P 作AD PJ CD PI BC PH AB PG ⊥⊥⊥⊥,,,， ∵EP 平分DEC ∠，∴PH PJ =． ------------------------------1分同理 PI PG =．∴P 是四边形ABCD 的准内点．----------------------2分（2）说明：①平行四边形对角线,AC BD 的交点1P （或者取平行四边形两对边中点连线的交点1P ）是准内点，如图3（1）和图3（2）； ------------------4分 ②梯形两腰夹角的平分线与梯形两腰中点连线的交点2P 是准内点，如图4. --5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．（本小题满分7分）解：（1）∵ 方程 2220x ax a b --+=有一个根为2a ， ∴ 224420a a a b --+=．整理，得 2a b =．∵ 0a <， ∴ 2a a<，即a b <． ---------------------3分（2） 2244(2)448a a b a a b ∆=--+=+-．∵ 对于任何实数a ，此方程都有实数根，∴ 对于任何实数a ，都有2448a a b +-≥0 ，即22a a b +-≥0． ∴ 对于任何实数a ，都有b ≤22a a +．∵22111()2228a a a +=+-，当 12a=-时，22a a +有最小值18-．∴ b 的取值范围是b ≤18-． -------------------------7分24．（本小题满分7分）（1）设0x =，则2y =．∴A （0,2）．设这条抛物线所对应的二次函数的解析式为：22y ax =+．∵过点M (32-，0)，∴有23()202a ⨯-+=．解得83a =-．∴所求的这条抛物线所对应的二次函数的解析式为2823y x =-+．----------2分 （2）①平移后的抛物线如图所示: ---------------------------------------3分②相切．理由：由题意和平移性质可知，平移后的抛物线的对称轴为直线32x =．∵C 点是对称轴与直线AB 的相交，∴易求得点C 的坐标为（32，32）．由勾股定理，可求得3O C =．设原点O 到直线AB 的距离为d ，则有 A B d A O B O ⋅=⋅． ∵点A 为（0，2），点B 为（23，0），∴4A B =． 4223d =⨯．∴3d O C ==．这说明，圆心O 到直线AB 的距离d 与⊙O 的半径OC 相等．∴以O 为圆心、O C 为半径的圆与直线AB 相切． -------------------5分 （3）设P 点的坐标为（32，p ）．∵抛物线的对称轴与y 轴互相平行，即AO ∥PC ．∴只需P C A O =2=，即可使以O ，A ，C ，P 为顶点的四边形是平行四边形． 由（2）知，点C 的坐标为（32，32），∴322p -=．∴22p -=±．解得 172p =，212p =-．∴ P 点的坐标为1p （32，72）或2p （32，12-）．-------------------7分25．（本小题满分8分）证明：（1）如图1：分别连结OE 、OF ．∵四边形ABCD 是菱形，∴A D D C C B ==，A C B D ⊥，D O BO =， 且112302A D C ∠=∠=∠=．∴在Rt △AOD 中，有12A O A D =．又 E 、F 分别是边DC 、CB 的中点，∴1122E O C B D C OF ===．∴A O E O F O ==．∴点O 即为等边△AEF 的外心． ------------------------------------ 3分 （2）①猜想：△AEF 的外心P 落在对角线DB 所在的直线上．证明：如图2：分别连结PE 、PA ，作PQ DC ⊥于Q ，PH AD ⊥于H ．则90PQ E PH D ∠=∠= ．∵60ADC ∠= ，∴在四边形QDHP 中，120Q PH ∠=．又 ∵点P 是等边△AEF 的外心，60EFA ∠= ，∴PE PA =，2260120EPA EFA ∠=∠=⨯=． ∴αβ∠=∠． ∴△PQE ≌△PHA （AAS ）．∴PQ=PH ． ∴点P 在A D C ∠的角平分线上． ∵菱形ABC D 的对角线DB 平分A D C ∠，∴ 点P 落在对角线DB 所在的直线上． ------------------------- 6分 ②112D MD N+=． --------------------------------------- 8分。