高考数学复习 第七章 第三节 简单的线性规划 理(全国通用)

第三节 简单的线性规划A 组 专项基础测试 三年模拟精选一、选择题1．(2015·江南十校模拟)已知点A (－2，0)，点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0上的一个动点，则|AM |的最小值是( ) A ．5B ．3C ．2 2D. 655解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0表示的平面区域如图，结合图象可知|AM |的最小值为点A到直线2x ＋y －2＝0的距离，即|AM |min ＝|2×（－2）＋0－2|5＝655.答案 D2．(2015·河南郑州模拟)如果实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥1，目标函数z ＝kx －y的最大值为6，最小值为0，则实数k 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析 不等式组表示的可行域如图，A (1，2)，B (1，－1)，C (3，0)∵目标函数z ＝kx －y 的最小值为0，∴目标函数z ＝kx －y 的最小值可能在A 或B 时取得； ∴①若在A 上取得，则k －2＝0，则k ＝2，此时，z ＝2x －y 在C 点有最大值，z ＝2×3－0＝6，成立；②若在B 上取得，则k ＋1＝0，则k ＝－1，此时，z ＝－x －y ，在B 点取得的应是最大值， 故不成立，∴k ＝2，故答案为B.答案 B3．(2014·北京海淀二模)若整数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤1，x ＋y ≥1，y ≤32，则z ＝2x ＋y 的最大值是( )A ．1B.132C ．2D ．3解析 根据限制条件画出可行域，如图所示， 画出直线l 0：2x ＋y ＝0，经平移知，在点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32处z 取得最大值，∴z max ＝132.故选B. 答案 B4．(2014·山西考前适应性训练)已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，y ≤2，2x ＋y －2≥0，那么x 2＋y 2的取值范围是( )A ．[1，4]B ．[1，5]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，4D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，5 解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，y ≤2，2x ＋y －2≥0所表示的平面区域，显然，原点O 到直线2x ＋y －2＝0的最短距离为|－2|22＋12＝25，此时可得(x 2＋y 2)min ＝45；点(1，2)到原点O 的距离最大，为12＋22＝5， 此时可得(x 2＋y 2)max ＝5.故选D. 答案 D 二、填空题5．(2014·北京朝阳二模，11)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ≤0，则x 2＋y 2的最小值是________．解析 原不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示． ∵x 2＋y 2表示可行域内任意一点P (x ，y )与原点(0，0)距离的平方， ∴当P 在线段AB 上且OP ⊥AB 时，x 2＋y 2取得最小值，∴(x 2＋y 2)min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|0－0＋1|22＝12.答案 12一年创新演练6．设x ，y 满足条件|x |＋|y －1|≤2，若目标函数z ＝x a ＋y b(其中b >a >0)的最大值为5，则8a ＋b 的最小值为( ) A ．3B ．1C ．5D ．6解析 先画出|x |＋|y |＝2，再将其图象向上平移1个单位，则图中阴影部分即为可行域．∵参照线y ＝－ba x 且－b a<－1，∴当其过点A (2，1)时，z 取最大值，即2a ＋1b ＝5.∴8a ＋b ＝15(8a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫17＋2b a ＋8a b ≥15⎝ ⎛⎭⎪⎫17＋22b a ·8a b ＝5，并且仅当a ＝12，b ＝1时取等号，故C 正确．答案 C7．已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，则z ＝|x ＋3y |的最小值是________．解析 作出现行约束条件的可行域，如图所示：|x ＋3y |＝10×|x ＋3y |10，其中|x ＋3y |10表示可行域内的点到直线x ＋3y ＝0的距离，易知B (3，1)到直线x ＋3y ＝0的距离最小为|3＋3×1|10＝610，所以|x ＋3y |的最小值为6.答案 6B 组 专项提升测试 三年模拟精选一、选择题8．(2014·浙江金华十校模拟)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋3y ≤4，x ≥－2，则z ＝|x －3y |的最大值为( ) A ．10B ．8C ．6D ．4解析 作出可行域(如图中阴影部分)，z ＝|x －3y |＝|x －3y |10×10表示点(x ，y )到直线x －3y ＝0距离的10倍，图中点A (－2，2)到直线x －3y ＝0的距离为810，则z ＝|x －3y |的最大值为810×10＝8，故选B. 答案 B9．(2014·广东汕头4月模拟题)汕头某家电企业要将刚刚生产的100台变频空调送往市内某商场，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供调配．每辆甲型货车的运输费用是400元，可装空调20台，每辆乙型货车的运输费用是300元，可装空调10台，若每辆车至多运一次，则企业所花的最少运费为( ) A ．2 000元 B ．2 200元 C ．2 400元D ．2 800元解析 设需甲、乙型货车各x 、y 辆，由题意有：⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋10y ≥100，0≤x ≤4，0≤y ≤8，令w ＝400x ＋300y ，由线性规划知识易知当x ＝4，y ＝2时，w min ＝2 200. 答案 B 二、填空题10．(2015·浙江余姚模拟)已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0，若目标函数z ＝x ＋ay (a ≥0)恰好在点(2，2)处取到最大值，则a 的取值范围为________． 解析 作出不等式对应的平面区域，当a ＝0时，z ＝x ，即x ＝z ，此时不成立．由z ＝x ＋ay 得y ＝－1a x ＋za 要使目标函数z ＝x ＋ay (a ≥0)仅在点(2，2)处取得最大值，则阴影部分区域在直线y ＝－1a x ＋z a 的下方，即目标函数的斜率k ＝－1a ，满足k ＞k AC ，即－1a＞－3，∵a ＞0，∴a ＞13，即a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞，故答案为：⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞11．(2014·山东青岛4月)若x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，2y －x ≤2，y ≥mx ，且y ＋12x 的最大值为2，则实数m 的值为________．解析 设z ＝y ＋12x ，当y ＋12x 取最大值2时，有y ＋12x ＝2，作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，2y －x ≤2，y ≥mx 对应的可行域，如图，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋12x ＝2，2y －x ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝32，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，代入直线y ＝mx ，得m ＝32.答案 32三、解答题12．(2014·福州六校联考)某企业生产A ，B 两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电耗如下表：产品品种劳动力(个)煤(吨) 电(千瓦)A 产品 3 9 4B 产品1045的利润是12万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦，试问该企业如何安排生产，才能获得最大利润？ 解 设生产A ，B 两种产品分别为x 吨，y 吨，利润为z 万元，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋10y ≤300，9x ＋4y ≤360，4x ＋5y ≤200，x ≥0，y ≥0.目标函数为 z ＝7x ＋12y .作出可行域，如图阴影所示．当直线7x ＋12y ＝0向右上方平行移动时，经过M (20，24)时z 取最大值．∴该企业生产A ，B 两种产品分别为20吨和24吨时，才能获得最大利润．一年创新演练13．已知函数f (x )的定义域为[－2，＋∞)，f (4)＝1，f ′(x )为f (x )的导函数，函数y ＝f ′(x )的图象如图所示．若两正数a ，b 满足f (2a ＋b )<1，则b ＋3a ＋3的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫67，43C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，65D.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，73 解析 由函数y ＝f ′(x )的图象可知， 当x ∈(－2，0)时，f ′(x )<0； 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(－2，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．根据题意知2a ＋b <4，⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b <4，a >0，b >0.表示的平面区域S 是以O (0，0)，A (2，0)，B (0，4)为顶点的三角形(不包括边界)．设P (－3，－3)，则b ＋3a ＋3表示平面区域S 内的点与点P 的连线的斜率，故k PA <b ＋3a ＋3<k PB ，即35<b ＋3a ＋3<73，选D. 答案 D14．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y －x ＋1≤0，y －2x ＋4≥0，若z ＝y －ax 取得最大值时的最优解(x ，y )有无数个，则a 的值为________．解析 依题意，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域，如图所示．要使z ＝y －ax 取得最大值时的最优解(x ，y )有无数个，则直线z ＝y －ax 必平行于直线y －x ＋1＝0，于是有a ＝1. 答案 1。