最新北师大版九年级数学上册教案 1.3 第1课时 正方形的性质1

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1.3第1课时 正方形的性质(数学北师大版九年级上册)

1.3第1课时  正方形的性质(数学北师大版九年级上册)

A
D
解:BE=DF,且BE⊥DF.理由如下:
(1)∵四边形ABCD是正方形.
∴BC=DC,∠BCE =90° .
(正方形的四条边都相等,四个角都是直角)
B
∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°.
E
F C
∴∠BCE=∠DCF.
又∵CE=CF.
∴△BCE≌△DCF. A
∴BE=DF.
6.如图,平面内直线l1∥l2∥l3∥l4,且相邻两条平行线间隔均为1,正方形ABCD 四个顶点分别在四条平行线上,则正方形的面积为 .
【答案】5 【解答】解:过C点作EF⊥l2,交l1于E点,交l4于F点. ∵l1∥l2∥l3∥l4,EF⊥l2, ∴EF⊥l1,EF⊥l4, 即∠CED=∠BFC=90°. ∵ABCD为正方形, ∴∠BCD=90°. ∴∠DCE+∠BCF=90°. 又∵∠DCE+∠CDE=90°, ∴∠CDE=∠BCF. 在△CDE和△BCF中,
∴△PME≌△PNB(ASA), ∴EM=BN.
课堂小结
正方形
定义 有一组邻相等,并且有一个角是直角的平行 四边形叫做正方形
1.四个角都是直角
性质 2.四条边都相等
3.对角线相等且互相垂直平分
归纳结论
相互平分
对角线
对边平行且相等

相等
对角线

四个角相等都是90°
正方形
对称性
四边相等

对角线
相互垂直且 平Hale Waihona Puke 对角轴对称图形(4条对称轴)
三 正方形性质定理的应用
典例精析
例1:如图在正方形ABCD中,E为CD上一点,F为BC边延长线上一点,且

北师大版初三数学上册教案全册教案

北师大版初三数学上册教案全册教案

北师大版九年级数学上全册精品教案第一章证明(二)(课时安排)1.你能证明它们吗?3课时2.直角三角形2课时3.线段的垂直平分线2课时4.角平分线1课时1.你能证明它们吗?(一)教学目标:知识与技能目标:1.了解作为证明基础的几条公理的内容。

2.掌握证明的基本步骤和书写格式.过程与方法1.经历“探索——发现——猜想——证明”的过程。

2.能够用综合法证明等区三角形的有关性质定理。

情感态度与价值观1.启发、引导学生体会探索结论和证明结论,即合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系.2.培养学生合作交流、独立思考的良好学习习惯.重点、难点、关键1.重点:探索证明的思路与方法。

能运用综合法证明问题.2.难点:探究问题的证明思路及方法.3.关键:结合实际事例,采用综合分析的方法寻找证明的思路.教学过程:一、议一议:1.还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗?2.你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗?给出公理和定理:1.等腰三角形两腰相等,两个底角相等。

2.等边三角形三边相等,三个角都相等,并且每个角都等于 60 延伸.二、回忆上学期学过的公理本套教材选用如下命题作为公理 :1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;3.两边夹角对应相等的两个三角形全等; (SAS )4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等; (ASA )5.三边对应相等的两个三角形全等; (SSS )6.全等三角形的对应边相等,对应角相等.三、推论两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

(AAS )证明过程: 已知:∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF 求证:△ABC ≌△DEF证明:∵∠A+∠B+∠C=180°,∠D+∠E+∠F=180°B CF E(三角形内角和等于180°)∴∠C=180°-(∠A+∠B)∠F=180°-(∠D+∠E)又∵∠A=∠D,∠B=∠E(已知)∴∠C=∠F又∵BC=EF(已知)∴△ABC≌△DEF(ASA)推论等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

3.正方形的性质与判定第1课时正方形的性质PPT课件(北师大版)

3.正方形的性质与判定第1课时正方形的性质PPT课件(北师大版)

第一章
特殊平行四边形 3.正方形的性质与判定
第1课时 正方形的性质
第1课时 正方形的性质
1 …知…识…回…顾…. 2 …新…知…导…航…. 3 …轻…松…过…招….
第1课时 正方形的性质
知识回顾
正方是轴对称图形,它有 4 条对称轴,即经 过对边中点的直线或两对角线所在直线:正方形又 是中心对称图形,两对角线交点是它的对称中心 (也是对边中点的直线的交点)。 .
第1课时 正方形的性质
新知导航
变式训练
1.已知正方形ABCD的对角线相交于点O. (1)若周长为8,则对角线长为 2 2 , 面积为 4 ; (2)图中共有 8 个等腰直角三角形.
第1课时 正方形的性质
新知导航
2.如图,过正方形ABCD的顶点B作直线l,过点A,C 作l的垂线,垂足分别为E,F,若 AE=1,CF=3.求AB的长.
第1课时 正方形的性质
轻松过招
3.如图,正方形ABCD中,E为CD边上一点,F为 BC延长线上一点,且CE=CF. (1)求证:△BCE≌△DCF;
(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴BC=DC,∠BCE=∠DCF=90°
CE=CF
在△BCE和△DCF中, ∠BCE=∠DCF ,
∴△BCE≌△DCF.
解:∵四边形ABCD是正方形, ∴∠CBF+∠FBA=90°,AB=BC, ∵CF⊥BE,∴∠CBF+∠BCF=90°, ∴∠BCF=∠ABE, ∵∠AEB=∠BFC=90°,AB=BC, ∴△ABE≌△BCF(AAS),∴AE=BF=1,BE=CF=3, ∴AB= AE2+BE2 = 1+9 = 10 .
第1课ห้องสมุดไป่ตู้ 正方形的性质
轻松过招

1.3正方形的性质与判定第1课时正方形的性质(教案)2022秋九年级上册初三数学北师大版(安徽)

1.3正方形的性质与判定第1课时正方形的性质(教案)2022秋九年级上册初三数学北师大版(安徽)
三、教学难点与重点
1.教学重点
-正方形性质的掌握:包括正方形的定义、四条边相等、四个角为直角、对角线互相垂直平分且相等、对边平行且相等等性质。
-性质的运用:能够运用正方形的性质解决具体问题,如求正方形对角线长度、面积等。
-逻辑推理能力培养:通过性质推导,培养学生严密的逻辑推理能力。
举例:在讲解正方形对角线性质时,重点强调对角线互相垂直平分且相等的特点,并通过实际例题演示如何应用这一性质求解相关问题。
3.成果展示:每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
(四)学生小组讨论(用时10分钟)
1.讨论主题:学生将围绕“正方形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法,并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发:在讨论过程中,我将作为引导者,帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
(二)新课讲授(用时10分钟)
1.理论介绍:首先,我们要了解正方形的基本概念。正方形是四边相等且四个角为直角的四边形。它在几何图形中具有特殊地位,因为具有多种图形的性质,如矩形、菱形等。
2.案例分析:接下来,我们来看一个具体的案例。通过分析正方形的特点,了解它在实际中的应用,以及如何帮助我们解决问题。
同时,我也发现学生们在解决问题的过程中,对于正方形性质的运用还不够熟练。这说明我在教学过程中需要加强对重点难点的讲解和练习,让学生在实际操作中更好地掌握正方形性质。
最后,通过今天的课堂总结,我发现学生们对于正方形的应用有了更深入的认识。但在回顾环节,我没有给予学生充分的提问机会,这是我在以后的教学中需要改进的地方。我会更加关注学生的需求,给他们提供更多的思考和提问空间。
2.正方形的性质:

北师大版数学九年级上册1.3正方形的性质与判定(第一课时)教学设计

北师大版数学九年级上册1.3正方形的性质与判定(第一课时)教学设计
在教学过程中,教师要关注学生的个体差异,因材施教,使每位学生都能在原有基础上得到提高。同时,教师应注重启发式教学,引导学生主动探究、积极思考,使学生在轻松愉快的氛围中学习数学。
二、学情分析
九年级学生在经过前两年的数学学习后,已经具备了一定的几何图形认知基础和逻辑思维能力。在本章节学习正方形的性质与判定前,学生已经掌握了矩形、菱形的基本性质和判定方法,这为学习正方形打下了良好的基础。然而,正方形作为一种特殊的矩形和菱形,其性质和判定方法具有一定的特殊性,学生在理解上可能存在一定难度。此外,学生在解决实际问题时,可能会遇到将理论知识与实际情境相结合的挑战。ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ此,在教学过程中,教师应关注以下几点:
1.充分调动学生的已有知识经验,引导他们发现正方形与矩形、菱形的联系与区别,降低学习难度。
2.注重培养学生的空间想象力,通过实际操作、观察和思考,提高学生对正方形性质的理解。
3.针对学生个体差异,给予个性化指导,使每位学生都能在原有基础上得到提高。
4.创设丰富的教学情境,激发学生的学习兴趣,鼓励他们积极思考、主动探究,提高解决问题的能力。
注意事项:
1.作业量适中,难度由浅入深,以培养学生的自信心和挑战意识。
2.鼓励学生独立完成作业,培养其自主学习能力。
3.注重作业反馈,及时发现并纠正学生的错误,提高学生的学习效果。
4.针对不同学生的个体差异,适当调整作业难度和类型,使每位学生都能在作业中收获成长。
三、教学重难点和教学设想
(一)教学重难点
1.重点:正方形的定义、性质、判定方法及其在实际问题中的应用。
2.难点:正方形性质的理解与运用,特别是正方形与矩形、菱形性质的异同;正方形判定方法的灵活运用。
(二)教学设想

1.3正方形的性质与判定教案2022-2023学年北师大版数学九年级上册

1.3正方形的性质与判定教案2022-2023学年北师大版数学九年级上册
五、教学反思
在本次《1.3正方形的性质与判定》的教学过程中,我注意到了几个值得反思的地方。首先,我发现学生们对于正方形的性质和判定方法的理解程度参差不齐。有的同学能够迅速掌握,但也有一些同学在理解上存在困难。这让我意识到,在讲解基本概念时,需要更加细致、生动,尽量用生活中的实例来帮助他们理解和记忆。
在学生小组讨论环节,我注意到他们在分享成果时,有时候表达不够清晰、逻辑性不强。这提醒我在今后的教学中,要加强对学生表达能力的培养,让他们学会如何条理清晰地表达自己的观点和思考。
最后,总结回顾环节,虽然我鼓励学生提问,但仍有部分同学可能因为害羞或其他原因,没有提出自己的疑问。为了更好地了解学生的学习情况,我应该在课后主动与他们交流,了解他们在学习过程中遇到的问题,及时给予解答和指导。
2.逻辑推理:学会运用定义、定理进行正方形的判定,培养学生严密的逻辑推理能力。
3.数学建模:利用正方形的性质解决实际问题,提高学生建立数学模型、解决问题的能力。
4.空间观念理解。
5.数学抽象:理解正方形面积和周长的计算公式,提高学生的数学抽象思维能力。
1.3正方形的性质与判定教案2022-2023学年北师大版数学九年级上册
一、教学内容
《1.3正方形的性质与判定》,选自2022-2023学年北师大版数学九年级上册,主要包括以下内容:正方形的定义及基本性质;正方形的判定方法;正方形中特殊的角与线段;正方形的面积与周长计算;以及正方形在实际问题中的应用。具体教学内容如下:
举例:给出一些平面设计、建筑设计中的问题,如计算正方形房间地板的面积,或计算正方形园林中道路的长度,让学生运用正方形的性质和计算公式进行解答。
四、教学流程
(一)导入新课(用时5分钟)
同学们,今天我们将要学习的是《1.3正方形的性质与判定》这一章节。在开始之前,我想先问大家一个问题:“你们在日常生活中是否注意过哪些物体的形状是正方形?”(如桌子、窗户等)这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题,我希望能够引起大家的兴趣和好奇心,让我们一同探索正方形的性质与判定的奥秘。

正方形的性质与判定第1课时课件北师大版九年级上册数学

正方形的性质与判定第1课时课件北师大版九年级上册数学
那么图形所在的平面上可以作为旋转中心的点共有( B )
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
合作探究
如图,在正方形ABCD中,AC为对角线,E为AC上一
点,连接EB、ED.
(1)求证:△BEC≌△DEC.
(2)延长BE交AD于点F,当∠BED=120°时,求∠EFD的
度数.
合作探究
解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴BC=CD,
第一章 特殊平行四边形
3 正方形的性质与判定 第1课时
素养目标
1.知道正方形的概念、性质;知道正方形是轴对称图形.
2.知道正方形与平行四边形、菱形、矩形的区分与联系.
3.通过四边形的从属关系渗透集合思想,明晰这几种特殊的
平行四边形的从属关系.
◎重点:正方形的性质,正方形与菱形、矩形的关系.
预习导学
∠ECB=∠ECD=45°.
又∵EC=EC,∴△BEC≌△DEC(SAS).

(2)∵△BEC≌△DEC,∴∠BEC=∠DEC= ∠BED.

∵∠BED=120°,∴∠BEC=60°=∠AEF,∴∠EFD=60°
+45°=105°.
合作探究
如图,在正方形ABCD中,AC、BD交于点O,点E在
OA上,点G在OB上,且OE=OG,CG的延长线交BE于点F,猜
归纳总结
又是

矩形、菱形都是特殊的平行四边形,既是矩形,
形的四边形叫做
正方形 .
预习导学
·导学建议·
利用自制教具或借助几何画板等现代教学手段演示矩形到
正方形,菱形到正方形的变化过程,帮助学生理解正方形与菱
形、矩形的联系与区分.
预习导学

九年级数学上册 1.3.1 正方形的性质与判定教案 北师大版(2021学年)

九年级数学上册 1.3.1 正方形的性质与判定教案 北师大版(2021学年)

九年级数学上册1.3.1 正方形的性质与判定教案(新版)北师大版编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(九年级数学上册1.3.1 正方形的性质与判定教案(新版)北师大版)的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈,这将是我们进步的源泉,前进的动力。

本文可编辑可修改,如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅,最后祝您生活愉快业绩进步,以下为九年级数学上册1.3.1 正方形的性质与判定教案(新版)北师大版的全部内容。

课题:1.3.1正方形的性质与判定教学目标:1.理解正方形的概念,通过由一般到特殊的研究方法,分析平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念及性质之间的区别与联系.并形成文本信息与图形信息相互转化的能力.2.在观察、操作、推理、归纳等探索明正方形的性质定理过程中,发展合情推理能力,进一步培养自己的说理习惯与能力3.培养学生勇于探索、团结协作交流的精神.激发学生学习的积极性与主动性. 教学重、难点:重点:理解正方形的定义和性质.难点:选择适当的方法解决有关正方形的问题. 教学过程:一、回忆童年,情境引入 活动内容:动手做风车.(学生在动手中对正方形产生感性认识,并感知正方形与矩形的关系)问题1:做风车需要准备一张什么样的纸啊? 问题2:你们是如何把一张矩形的纸片折叠出正方形的? 问题3:结合菱形和矩形的定义想一想什么样的四边形是正方形?处理方式:问题1、2由学生口答完成。

对于问题3先让学生回答菱形与矩形的概念,然后结合折纸的过程尝试总结正方形的概念.正方形定义:有一组邻边相等......并且有一个角是直角.......的平行四边形.....叫做正方形. 其定义包括了两层意:⑴有一组邻边相等的平行四边形 (菱形)⑵有一个角是直角的平行四边形 (矩形)所以说正方形既是菱形又是矩形.设计意图:从学生的生活实际出发,创设情境,提出问题,激发学生强烈的好奇心和求知欲.学生经历了将实际问题抽象为数学问题的建模过程.二、实践探究,交流新知活动内容1:问题1:正方形是菱形吗?是矩形吗?问题2:你认为正方形有哪些性质?由正方形的定义可以得知,正方形既是有一组邻边相等的矩形,又是有一个角是直角的菱形.所以它应该具备菱形和矩形的所有性质.正方形的四个角都是直角,四条边都相等.正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分.(多媒体显示)正方形性质1:正方形的四个角都是直角,四条边都相等.正方形性质2:正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分.处理方式:学生讨论交流,学生之间互相补充.教师适时点评,强调:正方形既是菱形又是矩形,性质的归纳从边、角、对角线三个方面来叙述.设计意图:本活动的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流,对正方形从感性认识上升到理性认识.活动内容2:正方形性质的证明.处理方式:学生根据文字命题画图,写出已知求证,再结合活动1的结果,独立完成证明的书写,找两位同学黑板板书..设计意图:本活动的设计意在培养学生的推理书写能力.活动内容3:正方形的对称性.问题:正方形有几条对称轴?处理方式:学生通过折纸或者画图去发现正方形的对称轴,并能用准确的语言去叙述.若果学生在活动1中提出了正方形的对成性,可以在活动1中讨论完成.三、例题示范,巩固新知活动内容1:我们学习完正方形的性质后,你能顺利的利用利用性质结题吗?请同学们看例1.(多媒体出示例1)例1 如图1—18,在正方形ABCD 中,E 为CD边上一点,F 为BC 延长线上一点,且CE =CF.BE 与DF 之间有怎样的关系?处理方式:本题是利用正方形的性质判断两条线段的关系,这种关系包括数量关系和位置关系.可以先鼓励学生用自己的方法进行猜想.比如可以从旋转的角度来看,从而猜想BE = DF,且BE⊥DF,在猜想的基础上再展开证明.解:BE = DF,且BE⊥DF.理由如下:(1)∵ 四边形ABCD是正方形,∴BC=DC,∠ BCE = 90°(正方形的四条边相等,四个角都是直角).∴ ∠DCF = 180°—∠BCE = 180°—90°= 90°.∴ ∠BCE= ∠DCF.又∵ CE = CF,∴ △BCE ≌△DCF.∴BE = DF.(2)延长BE交DF 于点M(如图1-19).∵ △BCE≌ △DCF,∴ ∠CBE =∠CDF.∵ ∠DCF = 90°,∴ ∠CDF + ∠F=90°.∴∠CBE + ∠F =90°.∴ ∠BMF = 90°.∴ BE⊥DF.巩固练习1:如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,图中有多少个等腰三角形?2:如图,在正方形ABCD中,点F为对角线AC上一点,连接BF,D F.你能找出图中的全等三角形吗?选择其中一对进行证明.处理方式:第一题让学生口述,第二题首先让同学尽可能多的找出全等的三角形,然后让三名学生主动到黑板板演,其他学生在练习本上完成.教师巡视,适时点拨.学生完成后及时点评,借助多媒体展示学生出现的问题进行矫正.活动内容2:平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的关系议一议:平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系?你能用一个图直观地表示它们之间的关系吗?与同伴交流.(学生画图)(多媒体显示)设计意图:①使学生对通过自己的实践总结得到的关于正方形的性质能够熟练运用、解决具体问题.实际上就是充分锻炼学生理论依据(本节课是关于正方形的定理)图形化的能力,也锻炼了学生文本信息图形化的能力.充分锻炼学生的空间观念.②使学生养成阶段性回顾总结的习惯,使其逐渐养成良好的学习品质.同时又是对知识结构的再建过程,是学生丰富、重建自身认知结构的必要手段.四、课堂小结,内敛提升师:通过这节课的学习,你有哪些收获?有何感想?学会了哪些方法?先想一想,再分享给大家.学生畅谈自己的收获!设计意图:课堂总结是知识沉淀的过程,使学生对本节课所学进行梳理,养成反思与总结的习惯,培养自我反馈,自主发展的意识.五、达标检测,反馈纠正请独立完成导学案中的达标检测题(时间:5分钟).(同时多媒体出示)必做题:1.正方形的四条边______,四个角_______,两条对角线____ ____.2.已知:如图,四边形ABCD为正方形,E、F分别为CD、CB延长线上的点,且DE=BF.求证:∠AFE=∠AEF.选做题:3.如图,E为正方形ABCD内一点,且△EBC是等边三角形,求∠EAD与∠ECD的度F数.处理方式:学生做完后,教师出示答案,指导学生校对,并统计学生答题情况.学生根据答案进行纠错.设计意图:学以致用,当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况,并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性,使每个学生都能有所收益、有所提高,明确哪些学生需要在课后加强辅导,达到全面提高的目的.六、作业布置,落实目标必做题:课本22页习题7.1 第1、2题.选做题:课本22页习题7.1第3题.板书设计:以上就是本文的全部内容,可以编辑修改。

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1.3正方形的性质与判定
第1课时正方形的性质
1.了解正方形的有关概念,理解并掌握正方形的性质定理;(重点)
2.会利用正方形的性质进行相关的计算和证明.(难点)
一、情景导入
如图(1)所示,把可以活动的矩形框架ABCD的BC边平行移动,使矩形的邻边AD,DC相等,观察这时矩形ABCD的形状.
如图(2)所示,把可以活动的菱形框架ABCD的∠A变为直角,观察这时菱形ABCD的形状.
图(1)中图形的变化可判断矩形ABCD→特殊的四边形是什么四边形?图(2)中图形变化可判断菱形ABCD→特殊的四边形是什么四边形?经过观察,你发现既是矩形又是菱形的图形是什么四边形?
引入正方形的定义:有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.注意:正方形既是特殊的矩形,又是特殊的菱形,即:有一组邻边相等的矩形是正方形或有一个角是直角的菱形是正方形.
二、合作探究
探究点一:正方形的性质
如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC与BD相交于点O,AO=2,求正方形的周长与面积.
解:∵四边形ABCD是正方形,
∴AC⊥BD,OA=OD=2.
在Rt△AOD中,由勾股定理,得
AD=OA2+OD2=22+22=8.
∴正方形的周长为4AD=48=82,面积为AD2=(8)2=8.
方法总结:结合勾股定理,充分利用正方形的四边相等、四角相等、对角线相等且互相垂直平分的性质,是解决与正方形有关的题目的关键.
探究点二:正方形的性质的应用
【类型一】利用正方形的性质求角度
四边形ABCD是正方形,△ADE是等边三角形,求∠BEC的大小.
解析:等边△ADE可以在正方形的内部,也可以在正方形的外部,因此本题分两种情况.
解:当等边△ADE在正方形ABCD外部时,如图①,AB=AE,∠BAE=90°+60°=150°.
∴∠AEB=15°.
同理可得∠DEC=15°.
∴∠BEC=60°-15°-15°=30°;
当等边△ADE在正方形ABCD内部时,如图②,AB=AE,∠BAE=90°-60°=30°,∴∠AEB=75°.
同理可得∠DEC=75°.
∴∠BEC=360°-75°-75°-60°=150°.
综上所述,∠BEC的大小为30°或150°.
易错提醒:因为等边△ADE与正方形ABCD有一条公共边,所以边相等.本题分两种情况:等边△ADE在正方形的外部或在正方形的内部.
【类型二】利用正方形的性质求线段长
如图,正方形ABCD的边长为1cm,AC为对角线,AE平分∠BAC,EF⊥AC,求BE的长.
解析:线段BE是Rt△ABE的一边,但由于AE未知,不能直接用勾股定理求BE,由条件可证△ABE≌△AFE,问题转化为求EF的长,结合已知条件易获解.
解:∵四边形ABCD为正方形,
∴∠B=90°,∠ACB=45°,AB=BC=1cm.
∵EF⊥AC,
∴∠EFA=∠EFC=90°.
又∵∠ECF=45°,
∴△EFC是等腰直角三角形,
∴EF=FC.
∵∠BAE=∠FAE,∠B=∠EFA=90°,AE=AE,
∴△ABE≌△AFE,
∴AB=AF=1cm,BE=EF.
∴FC=BE.
在Rt△ABC中,
AC=AB2+BC2=12+12=2(cm),
∴FC=AC-AF=2-1(cm),
∴BE=2-1(cm).
方法总结:正方形被对角线分成4个等腰直角三角形,因此在正方形中解决问题时常用到等腰三角形的性质与直角三角形的性质.
【类型三】利用正方形的性质证明线段相等
如图,已知过正方形ABCD的对角线BD上一点P,作PE⊥BC于点E,PF⊥CD 于点F,求证:AP=EF.
解析:由PE⊥BC,PF⊥CD知四边形PECF为矩形,故有EF=PC,这时只需说明AP =CP,由正方形对角线互相垂直平分可知AP=CP.
证明:连接AC,PC,如图.
∵四边形ABCD为正方形,
∴BD垂直平分AC,
∴AP=CP.
∵PE⊥BC,PF⊥CD,∠BCD=90°,
∴四边形PECF为矩形,
∴PC=EF,∴AP=EF.
方法总结:(1)在正方形中,常利用对角线互相垂直平分证明线段相等;(2)无论是正方
形还是矩形,经常连接对角线,这样可以使分散的条件集中.
三、板书设计
正方形⎩⎪⎨⎪⎧正方形的定义:有一组邻边相等,并且有一个 角是直角的平行四边形叫做 正方形正方形的性质⎩⎪⎨⎪⎧四个角都是直角四条边都相等对角线相等且互相垂直平分
经历正方形有关性质的探索过程,把握正方形既是矩形又是菱形这一特性来学习本节课内容.在观察中寻求新知,在探究中发展推理能力,逐步掌握说理的基本方法.培养合情推理能力和探究习惯,体会平面几何的内在价值.。

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