【全国百强校】河北省衡水中学2018届高三上学期九模考试文数试题

2017-2018学年度上学期高三年级九模考试（文科）数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}A x x a =<，{}2320B x x x =-+<，若A B B =I ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a < B ．1a ≤ C ．2a > D ．2a ≥ 2．复数()()1i 1i a ++是实数，则实数a 等于（ ） A ．2 B ．1 C ．0 D ．-13．执行如图所示的程序框图，若输出的2y =，则输入的x =（ ）A ．1B ．2C ．4D ．1或44．已知()f x 满足对任意的x ∈R ，()()0f x f x -+=，且0x ≥时，()xf x e m =+（m 为常数），则()ln5f -的值为（ ）A ．4B ．-4C ．6D ．-65．下列四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是（ ） A ．1a b >+ B ．1a b >- C ．22a b > D ．33a b >开始 输入x2x ≥？9log y x=2x y =输出y结束6．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法.我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：以此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是（）A．18 B．17 C．16 D．157．如图，M是半径R的圆周上一个定点，在圆周上等可能的任取一点N，连接MN，则弦MN的长度超过2R的概率是（）A ．15 B ．14 C ．13 D ．128．已知函数()2ln f x x x =-，则()f x 的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．9．若实数,x y 满足不等式组20,210,0,x y x y y ++≥⎧⎪++<⎨⎪≥⎩，1,1m y x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭u r ，1,21n x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭r ，则m n ⋅u r r 的取值范围为（ ） A ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B ．[)2,+∞ C ．1,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ D ．[)1,2,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭U10．若非零向量a b 、r r满足a b b -=r r r ，则下列不等式恒成立的为（ ） A ．22b a b >-r r r B ．22b a b <-r r rC ．22a a b >-r r rD ．22a a b <-r r r11．已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左焦点为1F ，y 轴上的点P 在椭圆外，且线段1PF 与椭圆E 交于点M ，若133OM MF OP ==，则E 椭圆的离心率为（ ） A ．12B ．32C ．31-D ．312+12．四棱锥P ABCD =的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．815π B ．8120π C ．1015π D ．10120π第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．抛物线()20y ax a =>上 的点03,2P y ⎛⎫⎪⎝⎭到焦点F 的距离为2，则a = ． 14．已知4cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ． 15．设函数()21x f x x +=，()x xg x e=，对任意()12,0,x x ∈+∞，不等式()()121g x f x k k ≤+恒成立，则正数k 的取值范围是 ．16．已知O 为ABC ∆的外心，且3A π=，cos cos 2sin sin B C AB AC mAO C B+=uuu r uuu r uuu r ，则m = ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17． 已知在数列{}n a 中，11a =，12nn n a a +=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求n S .18．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，2AD =，,E F 分别为1,AD AA 的中点，Q 是BC 上一个动点，且()0BQ QC λλ=>.（1）当1λ=时，求证：平面BEF ∥平面1A DQ ；（2）是否存在λ，使得BD FQ ⊥？若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由.19．交警随机抽取了途经某服务站的40辆小型轿车在经过某区间路段的车速（单位：km/h ），现将其分成六组为[)60,65，[)65,70，[)70,75，[)75,80，[)80,85，[]85,90后得到如图所示的频率分布直方图. （1）某小型轿车途经该路段，其速度在70km/h 以上的概率是多少？（2）若对车速在[)60,65，[)65,70两组内进一步抽测两辆小型轿车，求至少有一辆小型轿车速度在[)60,65内的概率.20．已知斜率为k 的直线l 经过点()1,0-与抛物线2:2C y px =（0p >，p 为常数）交于不同的两点,M N ，当12k =时，弦MN 的长为415. （1）求抛物线C 的标准方程；（2）过点M 的直线交抛物线于另一点Q ，且直线MQ 经过点()1,1B -，判断直线NQ 是否过定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由.21．已知函数()()()22211xf x ax a x a a e ⎡⎤=+-+--⎣⎦（其中a ∈R ）.（1）若0x =为()f x 的极值点，求a 的值； （2）在（1）的条件下，解不等式()()21112f x x x x ⎛⎫>-++⎪⎝⎭. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线2cos :3sin x C y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）和定点()0,3A ，12F F 、是此曲线的左、右焦点，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求直线2AF 的极坐标方程；（2）经过点1F 且与直线2AF 垂直的直线交此圆锥曲线于M N 、两点，求11MF NF -的值. 23．选修4-5：不等式选讲已知函数()11f x m x x =---+.（1）当5m =时，求不等式()2f x >的解集；（2）若二次函数223y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围.九模（文科）数学试卷 答案一、选择题1-5:DDDBA 6-10:BDAAA 11、12：CC二、填空题13．2 14．45 15．121k e ≥- 16．32三、解答题17．解：（1）因为12n n n a a +=，所以当2n ≥时，112n n n a a --=，所以112n n a a +-=， 所以数列{}n a 的奇数项构成等比数列，偶数项也构成等比数列. 又11a =，2122a a ==， 所以当n 为奇数时，1122122n n n a --=⋅=；当n 为偶数时，122222n n n a -=⋅=，所以1222,,2,.n n n n a n -⎧⎪=⎨⎪⎩是奇是偶.（2）因为11a =，12nn n a a +=，2log n n b a =，所以1n n b b n ++=.讨论：当n 为奇数时，()()()123451n n n S b b b b b b b -=+++++++L ()2102414n n -=++++-=L ；当n 为偶数时，()()()12341n n n S b b b b b b -=++++++L ()21314n n =+++-=L .18．解：（1）1λ=时，Q 为BC 中点，因为E 是AD 的中点， 所以ED BQ =，ED BQ ∥，则四边形BEDQ 是平行四边形， 所以BE QD ∥.又BE ⊄平面1A DQ ，DQ ⊂平面1A DQ ， 所以BE ∥平面1A DQ ，又F 是1A A 中点，所以1EF A D ∥，因为BE ⊄平面1A DQ ，1A D ⊂平面1A DQ ，所以EF ∥平面1A DQ . 因为BE EF E =I ，EF ⊂平面BEF ，BE ⊂平面BEF ， 所以平面BEF ∥平面1A DQ . （2）连接,AQ BD 与FQ ，因为1A A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以1A A BD ⊥.若BD FQ ⊥，1,A A FQ ⊂平面1A AQ ，所以BD ⊥平面1A AQ . 因为AQ ⊂平面1A AQ ，所以AQ BD ⊥.在矩形ABCD 中，由AQ BD ⊥，得AQB DBA ∆∆:， 所以，2AB AD BQ =⋅. 又1AB =，2AD =， 所以，12BQ =，32QC =，则13BQQC =，即13λ=.19．解：（1）速度在70km/h 以上的概率约为()50.0400.0600.0500.0200.85⨯+++=.（2）40辆小型轿车车速在[)60,65范围内有2辆，在[)65,70范围内有4辆.用,A B 表示[)60,65范围内2辆小型轿车，用,,,a b c d 表示车速在[)65,70范围内有4辆小型轿车，则所有基本事件为,,,,,,,,AB Aa Ab Ac Ad Ba Ba Bc Bd ，,,,,,ab ac ad bc bd cd ，至少有一辆小型轿车车速在范围[)60,65内事件有,,,,,,,,AB Aa Ab Ac Ad Ba Ba Bc Bd ， 所以所求概率93155p ==20．解：（1）当12k =时，()1:12l y x =+即21x y =-联立2212x y ypx =-⎧⎨=⎩消x 得2420y py p -+= 由122114152MN y y p k =+-=⇒=所以抛物线C 的标准方程为24y x =；（2）设()()()2221122,2,,2,,2M t t N t t Q t t ，则12211222MN tt k t t t t -==-+， 则()212:2MN y t x t t t -=-+即()11220x t t y tt -++=；同理：()212:220MQ x t t y t t -++=；()1212:220NQ x t t y t t -++=.由()1,0-在直线MN 上11tt ⇒=，即11t t =（1）；由()1,1-在直线MQ 上22220t t tt ⇒+++=将（1）代入()121221t t t t =-+-（2） 将（2）代入NQ 方程()()12122420x t t y t t ⇒-+-+-=， 易得直线NQ 过定点()1,4-.21．解：（1）因为()()()22211xf x ax a x a a e ⎡⎤=+-+--⎣⎦∴()()()()22222111x f x ax a e ax a x a a ⎡⎤⎡⎤'=+-++-+--⎣⎦⎣⎦()221x xe ax a x a e ⎡⎤=+++⎣⎦因为0x =为()f x 的极值点，所以由()000f ae '==，解得0a =检验，当0a =时，()x f x xe '=，当0x <时，()0f x '<，当0x >时，()0f x '>.所以0x =为()f x 的极值点，故0a =.（2）当0a =时，不等式()()()211112x f x x x x x e ⎛⎫>-++⇔-⋅ ⎪⎝⎭()21112x x x ⎛⎫>-++ ⎪⎝⎭.整理得()211102x x e x x ⎡⎤⎛⎫--++> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 即2101102x x e x x ->⎧⎪⎨⎛⎫-++> ⎪⎪⎝⎭⎩或2101102x x e x x -<⎧⎪⎨⎛⎫-++< ⎪⎪⎝⎭⎩令()2112x g x e x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭， ()()()1x h x g x e x '==-+，()1x h x e '=-，当0x >时，()10x h x e '=->；当0x <时，()10x h x e '=-<， 所以()h x 在(),0-∞单调递减，在()0,+∞单调递增，所以()()00h x h ≥=，即()0g x '≥所以()g x 在R 上单调递增，而()00g =； 故211002x e x x x ⎛⎫-++>⇔> ⎪⎝⎭；211002x e x x x ⎛⎫-++<⇔< ⎪⎝⎭. 所以不等式的解集为{}01x x x <>或.22．解：（1）曲线2cos :3sin x C y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩ 可化为22143x y +=，其轨迹为椭圆.焦点为()11,0F -和()21,0F . 经过()0,3A 和()21,0F 的直线方程为13yx +=，即330x y +-=， ∴极坐标方程为3cos sin 3ρθρθ+=.（2）由（1）知，直线2AF 的斜率为3-，因为2l AF ⊥，所以l 的斜率为33，倾斜角为30°，所以l 的参数方程为31212x ty t⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入椭圆C 的方程中，得213123360t t --=.因为,M N 在点1F 的两侧， 所以111212313MF NF t t -=+=.23．解：（1）当5m =时，()()()()521311521x x f x x x x +<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪->⎩，由()2f x >得不等式的解集为3322x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.（2）由二次函数()222312y x x x =++=++，知函数在1x =-取得最小值2，因为()()()()2121121m x x f x m x m x x +<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪->⎩，在1x =-处取得最大值2m -，所以要是二次函数223y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点. 只需22m -≥，即4m ≥.。