12时间序列模型
时间序列预测模型
时间序列预测模型时间序列是指把某一变量在不同时间上的数值按时间先后顺序排列起来所形成的序列,它的时间单位可以是分、时、日、周、旬、月、季、年等。
时间序列模型就是利用时间序列建立的数学模型，它主要被用来对未来进行短期预测，属于趋势预测法。
一、简单一次移动平均预测法例1.某企业1月~11月的销售收入时间序列如下表所示.取n 4,试用简单一次移动平均法预测第12月的销售收入,并计算预测的标准误差. 二、加权一次移动平均预测法简单一次移动平均预测法，是把参与平均的数据在预测中所起的作用同等对待，但参与平均的各期数据所起的作用往往是不同的。
为此，需要采用加权移动平均法进行预测，加权一次移动平均预测法是其中比较简单的一种。
三、指数平滑预测法 1、一次指数平滑预测法一元线性回归模型 * 项数n的数值,要根据时间序列的特点而定,不宜过大或过小.n过大会降低移动平均数的敏感性,影响预测的准确性;n过小,移动平均数易受随机变动的影响,难以反映实际趋势.一般取n的大小能包含季节变动和周期变动的时期为好,这样可消除它们的影响.对于没有季节变动和周期变动的时间序列,项数n的取值可取较大的数;如果历史数据的类型呈上升或下降型的发展趋势,则项数n的数值应取较小的数,这样能取得较好的预测效果. 1102.7 1015.1 963.9 892.7 816.4 772.0 705.1 649.8 606.9 574.6 533.8 销售收入 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 月份 t 158542.7 993.6 12 12950.4 19016.4 17662.4 24617.6 27989.323654.4 32652.5 113.8 137.9 132.9 156.9 167.3 153.8 180.7 591.3 634.1 683.5 735.8 796.6 861.3 922.0 591.3 634.1 683.5 735.8 796.6 861.3 922.0 993.6 553.8 574.6 606.9 649.8 705.1 772.0 816.4 892.7 963.9 1015.1 1102.7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11销售收入月份 t 17.05 18.14 16.83 17.24 15.54 16.15 17.6216.41 价格观测值 8 7 6 5 4 3 2 1 时间 t 解: 6.4817.18 9 1.46 0.55 1.10 1.14 0.06 2.13 0.04 1.21 -0.74 -1.05 1.07 0.24 1.46 -0.21 16.41 16.89 16.59 16.17 16.59 16.68 17.26 16.41 16.89 16.59 16.17 16.59 16.68 17.26 17.18 16.41 17.62 16.15 15.54 17.24 16.83 18.14 17.05 1 2 3 4 5 6 7 8 预测值指数平滑值价格观测值时间t 二次指数平滑预测法二次指数平滑预测法是对一次指数平滑值再作一次指数平滑来进行预测的方法,但第t+1期预测值并非第t期的二次指数平滑值,而是采用下列公式进行预测: 二次指数平滑预测法适用于时间序列呈线性增长趋势情况下的短期预测. 例3 仍以例2为例.试用二次指数平滑预测法预测第9个交易日的收盘价 1、某商场1~12月份的销售额时间序列数据如下表所示。
时间序列常用模型
F11 F29 S2 9T2 6 27 33
同理，由此类推，第12,13时期都可恶意预测
F12 F210 S2 10T2 6 10 3 36 F13 F211 S2 11T2 6 11 3 39
• 自相关
• 定义：一个要素的时间序列，其后期与前期要素 的取值之间的相关性。
自相关系数和偏相关系数。通过这两个相关系数序列
的值就可以确定p 和q 的值。
自相关系数
n
(xi x )( yi y)
rxy =
i 1 n
n
(xi x )2 ( yi y)2
i 1
i 1
偏自相关系数
rj
1 Q Qj
n
Q [ yi (a b1x1i b2x2i bmxmi )]2 i1
• 通过比较④，⑤，⑥不难发现，自回归模型和滑 动平均模型都与但是指数平滑模型相似。其实AR ，MA就是无穷自回归模型，无穷滑动平均模型， 简称为，AR(), MA() 同样一个道理，ARMA 模型，也可以表示相似方程⑦。
Yt 1Yt1 12Yt2 13Yt3 1qYtq
e t 1et1 12et2 1pet p
2.自回归滑动平均法（ARIMA）
• 2.1一般的AR模型（自回归）
Yt 1Yt1 1Yt2 pYt p et ①
其中 Yt 是因变量。Yt1,Yt2,,Y tp 是自变量，显然它 们是同一变量的值，但是在不同的时刻1。, 2 , , p
表示自回归系数。最后e，t 是误差或残差项，表
辨别出一个实验性的模型
第一阶段
估计这个模型的参数 p,q,,
诊断这个模型是否满足要求
第二阶段
用这个模型预测
第三阶段
时间序列模型的作用
时间序列模型的作用时间序列模型是一种用于预测和分析时间序列数据的统计模型。
时间序列数据是按照时间顺序排列的数据，例如每日的股票价格、每月的销售额、每年的气温变化等。
时间序列模型通过分析过去的数据，预测未来的趋势和模式，帮助人们做出决策和制定计划。
时间序列模型可以用于预测未来趋势。
通过分析过去的数据，时间序列模型可以发现数据的周期性和趋势性。
例如，通过分析过去几年的销售额数据，可以发现销售额在每年的年底都会上升，这是一个明显的趋势。
基于这个趋势，可以预测未来年底的销售额，并制定相应的销售策略。
时间序列模型可以用于分析季节性变动。
许多时间序列数据都具有明显的季节性，例如每年的节假日销售额、每周的股票交易量等。
时间序列模型可以发现这些季节性变动的规律，并对未来的季节性变动进行预测。
这对于制定季节性促销活动和调整供应链计划非常有帮助。
时间序列模型还可以用于异常检测。
异常数据是指与其他数据明显不符的数据点，可能是由于突发事件或错误导致的。
时间序列模型可以通过分析数据的波动性和趋势性，检测出异常数据点。
这对于发现潜在问题和采取相应措施非常重要。
例如，在股票交易中，如果某只股票的价格突然大幅上涨或下跌，可能是由于市场操纵或错误交易导致的，时间序列模型可以及时发现这种异常情况。
时间序列模型还可以用于评估政策和策略的效果。
许多政策和策略的效果需要一定时间才能体现出来，例如推出新产品后的销售情况、实施市场营销活动后的品牌知名度等。
时间序列模型可以通过分析过去的数据，评估政策和策略的效果，并帮助做出相应调整。
这对于企业和政府部门制定决策和规划具有重要意义。
时间序列模型在预测和分析时间序列数据方面发挥着重要作用。
它可以帮助人们预测未来的趋势和模式，分析季节性变动，检测异常数据，评估政策和策略的效果。
通过合理应用时间序列模型，人们可以更好地理解和利用时间序列数据，做出准确的预测和决策。
《时间序列模型 》课件
目录
Contents
• 时间序列模型概述 • 时间序列模型的基础 • 时间序列模型的建立 • 时间序列模型的预测 • 时间序列模型的应用 • 时间序列模型的未来发展
01 时间序列模型概述
时间序列的定义
01 时间序列是指按照时间顺序排列的一系列观测值 。
02 时间序列数据可以是数值型、分类型或混合型。 03 时间序列数据可以用于描述和预测时间变化的现
详细描述
通过分析历史经济数据的时间序列特性，时间序列模型能够预 测未来经济走势，为政策制定者和企业决策者提供重要参考。
举例说明
例如，利用ARIMA模型分析国内生产总值（GDP）的时间 序列数据，可以预测未来一段时间的GDP增长趋势。
股票预测
01
总结词
时间序列模型在股票市场中具有实际应用价值。
02 03
SARIMA、VAR等。
识别模型阶数
02
确定模型的参数，如自回归阶数、差分阶数和移动平均阶数。
考虑季节性和趋势性
03
如果时间序列数据存在季节性和趋势性，需要在模型中加以考
虑。
参数估计
01
使用最小二乘法或最大似然法等统计方法估计模型 的参数。
02
考虑使用软件包或编程语言进行计算，如Python的 statsmodels库或R语言的forecast包。
象。
时间序列的特点
时序性
时间序列数据是按照时间顺序排列的，具有 时间上的连续性。
趋势性
时间序列数据通常具有一定的趋势，如递增 、递减或周期性变化。
季节性
一些时间序列数据呈现季节性变化，如年度 、季度或月度的变化规律。
不确定性
时间序列数据受到多种因素的影响，具有不 确定性，难以精确预测。
时间序列模型建模步骤
时间序列模型建模步骤时间序列模型是一种用来预测未来数据走势的统计模型，它基于时间序列数据的历史信息来进行预测。
建立时间序列模型的步骤主要包括数据收集、数据预处理、模型选择、模型拟合和模型评估等。
数据收集是建立时间序列模型的第一步。
我们需要收集与研究对象相关的时间序列数据，这些数据可以是经济指标、股票价格、气温等不同领域的数据。
收集到的数据需要包含一定的时间跨度，以便后续建模和预测。
接下来是数据预处理阶段，这一步是非常重要的。
我们需要对收集到的数据进行缺失值处理、异常值检测和处理，以及平稳性检验等。
确保数据的质量和完整性是建立准确模型的基础。
在选择模型的阶段，我们需要根据时间序列数据的特点来选择合适的模型。
常用的时间序列模型包括移动平均模型（MA）、自回归模型（AR）、自回归移动平均模型（ARMA）和自回归积分移动平均模型（ARIMA）等。
根据数据的自相关性和平稳性来选择最适合的模型。
模型拟合是建立时间序列模型的核心步骤。
在这一步中，我们需要对选定的模型进行参数估计，即利用历史数据来拟合模型的参数。
通过最大似然估计等方法来求解模型的参数，使模型能够较好地拟合历史数据。
最后是模型评估阶段，我们需要对建立的时间序列模型进行评估。
评估模型的好坏可以通过残差分析、模型拟合优度检验、预测准确度等指标来进行。
根据评估结果来判断模型的有效性和稳定性，进而决定是否需要进行调整和改进。
总的来说，建立时间序列模型是一个复杂而严谨的过程，需要充分理解数据的特点和模型的原理，结合实际情况来选择合适的建模方法和技术。
通过不断地优化和改进模型，可以提高时间序列预测的准确性和可靠性，为决策提供有力的支持。
数学建模中的预测方法：时间序列分析模型
自相关函数
k 满足 ( B) k 0
它们呈指数或者正弦波衰减，具有拖尾性
3）ARMA（ p, q）序列的自相关与偏自相关函数均是拖尾的
（2）模型的识别
自相关函数与偏自相关函数是识别ARMA模型的最主 要工具，B-J方法主要利用相关分析法确定模型的阶数. 若样本自协方差函数 k 在 q 步截尾，则 X t 是MA（ q ）序列
注：实参数 1 ,2 ,
,q 为移动平均系数，是待估参数
引入滞后算子，并令 (B) 1 1B 2 B2 q Bq 则模型【3】可简写为
X t ( B)ut
【4】
注1：移动平均过程无条件平稳 注2：滞后多项式的根都在单位圆外时，AR过程与MA过程 能相互表出，即过程可逆，
2
N 为样本大小，则定义AIC准则函数
用AIC准则定阶是指在
得 AIC (S )
p, q
最小的点
ˆ,q ˆ) (p
作为
( p, q)
的估计。
2p N 2( p q ) 2 ( p , q ) ˆ ARMA 模型 ： AIC ln N
AR（ p ）模型 ：
ˆ2 AIC ln
应用案例：
（1）CUMCM2004-A:奥运临时超市网点设计；
（2）CUMCM2004-B:电力市场的输电阻塞管理；
（3）CUMCM2005-A:长江水质的评价与预测；
（4）CUMCM2006-B:艾滋病疗法的评价与预测； （5）CUMCM2008-B:高校学费标准探讨问题。
3.灰预测GM(1,1)：小样本的未来预测 应用案例
k 在
2） kk 的截尾性判断 作如下假设检验：M N
H0 : pk , pk 0, k 1, , M H1 : 存在某个 k ，使kk
时间序列模型及其应用分析
时间序列模型及其应用分析时间序列是一系列时间上连续的数据点所组成的序列，其中每个数据点都表示了某一特定时刻的某个特征。
这些数据点可以是均匀间隔的，也可以是不均匀间隔的。
时间序列模型是对时间序列数据进行分析和预测的一种方法，它可以用来预测未来的趋势、季节性以及周期性变化等。
时间序列模型应用广泛，包括经济学、金融学、气象学、生态学、医学等领域。
时间序列分析的三个方面时间序列模型的分析过程可以分为三个方面：描述性分析、模型建立和模型预测。
描述性分析是对时间序列数据进行探索性的分析，以了解数据的整体特征。
常用的描述性统计学方法有均值、方差、标准差、自相关和偏自相关函数等。
作为对比，我们还可以对比不同时间序列数据之间的相关性、差异性等指标。
模型建立则是对时间序列进行拟合，以找出可以描述时间序列数据模式的数学模型。
时间序列数据的核心特征是时间的序列性质，因此模型的选择需要充分考虑到时间因素。
常用的时间序列模型包括AR、MA、ARMA、ARIMA和季节性模型等。
这些模型可以用自回归、移动平均、季节性变量等手段描述时间序列中可能出现的趋势和周期性变化。
预测也是时间序列模型分析的重要一环，它可以帮助我们预测未来的趋势和变化。
预测分析通常需要对历史数据进行处理、建立模型、进行模型检验和预测。
预测结果应当与实际值进行比较，以评估预测模型的准确性和可靠性。
常规时间序列分析方法：ARMA模型ARMA模型是一个经典时间序列预测模型。
ARMA模型的基本思想是把时间序列变成可以预测的序列，根据历史数据样本建立恰当的模型，预测未来数据的值。
ARMA模型由自回归过程（AR）和移动平均过程（MA）组成，AR过程考虑的是某一时刻的过去的信息对当前时刻的影响，MA过程关注的是随机变量的移动平均值对当前随机变量的影响。
ARMA模型的具体表现形式是：$$ Y_t = \alpha_1 Y_{t-1} + \alpha_2 Y_{t-2} + ... +\alpha_p Y_{t-p} + \epsilon_t + \beta_1 \epsilon_{t-1} + \beta_2 \epsilon_{t-2}+ ... +\beta_q \epsilon_{t-q} $$其中，Yt表示时间序列的实际值，α1到αp表示历史数据对当前时刻的影响，εt到εt-q表示误差项，β1到βq表示误差项对当前时刻的影响。
ARMA模型
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
1、自回归【 AR 】模型
自回归序列 X t：
如果时间序列 X t 是它的前期值和随机项的线性 函数，即可表示为
X t 1 X t1 2 X t2 p X t p ut 【1】
记 Bk 为 k 步滞后算子，即 Bk X t X tk ，则
模型【1】可表示为
Xt 1BXt 2B2 Xt pBp Xt ut
令 (B) 11B 2B2 pBp，模型可简写为
(B) X t ut
【2】
AR（ p ）过程平稳的条件是滞后多项式 (B)
的根均在单位圆外，即 (B) 0 的根大于1
【1】式称为 p 阶自回归模型，记为AR（ p ）
注1：实参数 1,2 , , p 称为自回归系数，是待估参数.
随机项 ut 是相互独立的白噪声序列，且服从均值为0、
方差为 2 的正态分布.随机项与滞后变量不相关。
注2：一般假定 X t
均值为0，否则令
X
t
Xt
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
在实际中，常见的时间序列多具有某种趋势，但很多序 列通过差分可以平稳
判断时间序列的趋势是否消除，只需考察经过差分后序 列的自相关系数
（3）季节性 时间序列的季节性是指在某一固定的时间间隔上，序列
重复出现某种特性.比如地区降雨量、旅游收入和空调销售额 等时间序列都具有明显的季节变化. 一般地，月度资料的时间序列，其季节周期为12个月；
2 q
2,
qkq 2 ,
0,
Dut 2 是白噪声序列的方差
k 0 1 k q
时间序列模型
时间序列模型时间序列模型是一种用于预测时间序列数据的统计模型。
这种模型可以帮助我们了解数据中的趋势、季节性和周期性，并基于这些信息做出未来的预测。
时间序列模型的核心思想是将过去的观察结果作为未来预测的基础。
通过对已有数据的分析和建模，我们可以确定模型的参数和时间序列的性质，从而进行准确的预测。
有许多不同的时间序列模型可以使用，其中最常用的是自回归移动平均模型（ARMA）和自回归集成移动平均模型（ARIMA）。
这些模型假设未来的数值是过去的线性组合，并通过对数据进行差分来观察数据的趋势。
另一个流行的时间序列模型是季节性自回归集成移动平均模型（SARIMA），它在ARIMA模型的基础上增加了季节性组分。
这种模型特别适用于季节性数据，可以更好地捕捉季节性的规律。
除了上述模型之外，还有各种其他的时间序列模型，例如指数平滑模型、灰度预测模型和波动性模型等。
这些模型在数据的不同方面和性质上有不同的适用性。
时间序列模型的应用非常广泛，可以用于经济预测、股票价格预测、天气预测等领域。
它可以帮助我们研究和理解时间序列数据中的规律，并根据过去的观测结果做出未来的预测。
然而，时间序列模型也存在一些不足之处。
首先，它假设未来的数值是过去的线性组合，而无法捕捉非线性的规律。
其次，时间序列模型在数据中存在异常值或离群值时表现不佳。
此外，时间序列模型无法处理缺失值，而且对于长期预测的准确性可能会受到影响。
综上所述，时间序列模型是一种重要的统计模型，可以用于预测时间序列数据。
它能够帮助我们了解数据中的趋势、季节性和周期性，并根据这些信息做出未来的预测。
然而，我们在使用时间序列模型时需要注意其假设和限制，并结合实际情况进行分析和解释。
时间序列模型是一种用于分析和预测时间序列数据的统计模型。
它可以帮助我们识别和理解数据中隐含的模式和趋势，并以此为基础进行未来的预测。
时间序列模型广泛应用于各个领域，如经济学、金融学、交通规划、气象预测等。
时间序列模型概述
时间序列模型概述时间序列模型是一种用于对时间序列数据进行建模和预测的统计模型。
时间序列数据是指按照时间顺序记录的一系列观测值，比如股票价格、气温、销售量等。
时间序列模型的目标是通过分析过去的观测值来预测未来的观测值。
这种模型通常基于以下两个假设：1. 时间序列的未来值是过去值的函数；2. 时间序列的未来值受到随机误差的影响。
常见的时间序列模型包括自回归移动平均模型（ARMA）、自回归整合移动平均模型（ARIMA）、季节性自回归移动平均模型（SARIMA）和指数平滑模型等。
ARMA模型是将时间序列的过去值和滞后误差作为解释变量，使用线性回归方法来预测未来值。
它是基于两个基本组件：自回归（AR）和移动平均（MA）。
AR部分建模了时间序列的过去值与当前值之间的关系，MA部分建模了观测误差的相关性。
ARIMA模型是在ARMA模型的基础上引入了差分操作，用于处理非平稳时间序列。
差分操作可以将非平稳时间序列转化为平稳时间序列，从而使得模型更可靠。
SARIMA模型是ARIMA模型的扩展，用于处理季节性时间序列。
它在ARIMA模型的基础上引入了季节差分，以及季节AR和MA项，以更好地拟合和预测季节性变化。
指数平滑模型是一类基于加权平均的模型，根据时间序列数据的特点赋予不同权重，进行预测。
常见的指数平滑模型包括简单指数平滑（SES）、双指数平滑和三指数平滑。
时间序列模型需要通过对历史数据的拟合来估计模型参数，并通过模型参数进行未来观测值的预测。
评估时间序列模型通常使用误差度量指标，比如均方误差（MSE）和平均绝对误差（MAE）。
时间序列模型在很多领域都有广泛的应用，比如经济学、金融学、气象学、销售预测等。
它可以帮助我们理解时间序列数据的动态特征，提供未来预测和决策支持。
然而，在实际应用中，时间序列模型也面临一些挑战，比如数据缺失、异常值和非线性关系等。
因此，选择适合的时间序列模型需要综合考虑数据的特性和模型的假设。
时间序列分析模型
时间序列分析模型时间序列分析模型是一种通过对时间序列数据进行建模和分析的方法，旨在揭示数据中的趋势、季节性、周期和不规则波动等特征，并进行预测和决策。
时间序列分析模型在经济、金融、市场、气象、医学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍几种常见的时间序列分析模型。
1. 移动平均模型（MA）移动平均模型是时间序列分析中最简单的模型之一。
它基于一个基本假设，即观察到的时间序列数据是对随机误差的线性组合。
该模型表示为：y_t = c + e_t + θ₁e_(t-1) + θ₂e_(t-2) + … + θ_qe_(t-q)其中，y_t 是观察到的数据，c 是常数，e_t 是随机误差，θ₁，θ₂，…，θ_q 是移动平均项的参数，q 是移动平均项的阶数。
2. 自回归模型（AR）自回归模型是基于一个基本假设，即观察到的时间序列数据是过去若干时间点的线性组合。
自回归模型表示为：y_t = c + ϕ₁y_(t-1) + ϕ₂y_(t-2) + … + ϕ_p y_(t-p) + e_t其中，y_t 是观察到的数据，c 是常数，e_t 是随机误差，ϕ₁，ϕ₂，…，ϕ_p 是自回归项的参数，p 是自回归项的阶数。
3. 自回归移动平均模型（ARMA）自回归移动平均模型将自回归模型和移动平均模型结合在一起，用于处理同时具有自相关和移动平均性质的时间序列数据。
自回归移动平均模型表示为：y_t = c + ϕ₁y_(t-1) + ϕ₂y_(t-2) + … + ϕ_p y_(t-p) + e_t +θ₁e_(t-1) + θ₂e_(t-2) + … + θ_qe_(t-q)其中，y_t 是观察到的数据，c 是常数，e_t 是随机误差，ϕ₁，ϕ₂，…，ϕ_p 是自回归项的参数，θ₁，θ₂，…，θ_q 是移动平均项的参数，p 是自回归项的阶数，q 是移动平均项的阶数。
4. 季节性自回归移动平均模型（SARIMA）季节性自回归移动平均模型是自回归移动平均模型的扩展，用于处理具有季节性和趋势变化的时间序列数据。
时间序列模型的介绍
时间序列模型的介绍时间序列模型是一种用于分析和预测时间序列数据的统计模型。
时间序列数据是按时间顺序收集的观测数据，通常具有一定的趋势、季节性和随机性。
时间序列模型的目标是通过对过去的数据进行分析，揭示数据背后的规律性，从而对未来的数据进行预测。
时间序列模型可以分为线性模型和非线性模型。
线性模型假设时间序列数据是由线性组合的成分构成的，常见的线性模型有自回归移动平均模型（ARMA）、自回归模型（AR）和移动平均模型（MA）等。
非线性模型则放宽了对数据的线性假设，常见的非线性模型有非线性自回归模型（NAR）和非线性移动平均模型（NMA）等。
在时间序列模型中，常用的预测方法包括平滑法、回归法和分解法。
平滑法通过对时间序列数据进行平均、加权或移动平均等处理，来消除数据中的随机波动，得到趋势和季节性成分。
回归法则是通过建立时间序列数据与其他影响因素的关系模型，来预测未来的数据。
分解法则将时间序列数据分解为趋势、季节性和随机成分，分别进行建模和预测。
时间序列模型的应用非常广泛。
在经济领域，时间序列模型可以用于宏观经济指标的预测，如国内生产总值（GDP）、通货膨胀率和失业率等。
在金融领域，时间序列模型可以用于股票价格的预测和风险管理，如股票市场的指数预测和波动率的估计。
在气象领域，时间序列模型可以用于天气预报和气候变化研究，如温度、降雨量和风速等的预测。
在交通领域，时间序列模型可以用于交通流量的预测和拥堵状况的评估，如道路交通量和公共交通客流量等的预测。
然而，时间序列模型也存在一些限制和挑战。
首先，时间序列数据通常具有一定的噪声和不确定性，模型需要能够对这些随机波动进行合理的建模和处理。
其次，时间序列数据可能存在非线性关系和非平稳性，传统的线性模型可能无法很好地捕捉到数据的特征。
此外，时间序列数据的长度和频率也会对模型的预测能力产生影响，较短的数据序列和较低的采样频率可能导致预测结果的不准确性。
为了克服这些挑战，研究人员不断提出新的时间序列模型和方法。
时间序列的构成因素及组合模型
二 、时间序列的构成因素及组合模型
图9-3 包含四个构成要素的时间序列
二 、时间序列的构成因素及组合模型
1. 长期趋势
长期趋势也称趋势变动，是时间序列在较长时 期中所表现出来的总态势。长期趋势可能呈现为不 断增长的态势，也可能呈现为不断降低的趋势，还 可能呈现为不变的水平趋势。长期趋势是受某种长 期起根本性作用的因素影响的结果。例如，人口数 时间序列呈现长期递增趋势。图9-4 所示为某事物 长期增长的趋势。
二 、时间序列的构成因素及组合模型
图9-6 某事物循环变动的图形
二 、时间序列的构成因素及组合模型
4. 季节变动
不规则变动是指现象受众多偶然 因素的影响而出现的随机变动。它是时 间序列分离了长期趋势、季节变动、循 环变动以后的波动，无规则可循，如自 然灾害、战争及无法预料和无法解释的 随机性因素等所引起的变动。不规则变 动与时间无关。
图9-7 某事物不规则变动的图形
二 、时间序列的构成因素及组合模型
二、 时间序列构成因素的组合模型
形成时间序列变动的四类构成 因素，按照其对时间序列影响方式 的不同，可以设定为不同的组合模 型，其中最常用的是乘法模型和加 法模型。
二 、时间序列的构成因素及组合模型
时间序列组合模型中包含了四类构成要素，这是时间序 列的完备模式，但是并不是在每个时间序列中都存在这四类 构成要素，一般来说，长期趋势是经常存在的，季节变动和 循环变动则不一定存在；当季节变动或循环变动不存在时， 乘法模型中的S或C取值为1，加法模型中的S或C取值为零。
项目
时间序列的构成因素及组合模型
二 、时间序列的构成因素及组合模型
一、 时间序列的构成因素
客观事物的发展变化是多种因素影响的综合结果。在诸 多影响因素中，有的因素长期起作用，对事物的变化发挥着 决定性作用；有的因素只是短期起作用。在分析时间序列的 变动规律时，虽然不可能将每个影响因素区分开来，但是可 以按照对象变化影响的类型，将影响因素划分为若干种时间 序列的构成要素，然后对这几类构成要素分别进行分析，以 揭示时间序列的变化规律。影响时间序列的构成要素通常可 归纳为长期趋势、季节变动、循环变动和不规则变动。图9-3 所示为包含这四个构成要素的时间序列。
数学建模 时间序列模型
数学建模时间序列模型1. 引言1.1 概述时间序列模型是一种数学建模方法，用于分析和预测随时间变化而变化的数据。
在各个领域，例如经济学、金融学、气象学等，时间序列模型都被广泛应用于数据分析和预测中。
时间序列模型的核心思想是利用过去的观测数据来预测未来的值。
通过对历史数据的分析，可以揭示出其中的规律和趋势，并基于这些规律和趋势来进行预测。
这使得时间序列模型成为了许多领域中非常有用的工具。
时间序列模型有许多不同的方法和技术，每种方法都有其适用的场景和特点。
常见的时间序列模型包括自回归移动平均模型（ARMA）、自回归积分移动平均模型（ARIMA）以及季节性自回归积分移动平均模型（SARIMA）等。
这些模型都基于不同的假设和方程，用于解释和预测时间序列数据。
本文将介绍时间序列模型的基本原理和方法，并探讨在数学建模中的应用。
首先，我们将介绍时间序列模型的基本概念和定义，包括时间序列、平稳性和自相关性等。
然后，我们将深入研究数学建模的基础原理，包括数据预处理、模型选择和参数估计等。
通过学习这些基础原理，读者将能够更好地理解时间序列模型，并能够在实际问题中应用它们进行数据分析和预测。
本文将通过实例和案例分析来说明时间序列模型的应用。
我们将使用真实的数据集，并结合相关的数学模型和算法，在实际问题中进行分析和预测。
通过这种方式，读者将能够更好地理解时间序列模型的实际应用，并能够应用这些方法解决自己遇到的问题。
最后，在结论部分，我们将对本文的内容进行总结，并展望时间序列模型的未来发展方向。
时间序列模型作为一种强大的分析工具，在大数据时代将发挥越来越重要的作用。
随着数据量的增加和计算能力的提升，时间序列模型将更加精确和高效，为各行各业的决策和预测提供更准确的支持。
1.2 文章结构本文按照以下结构组织：1. 引言：在这一部分，我们将提供一个概述性的介绍，包括对时间序列模型和数学建模的定义和背景的讨论。
我们将介绍本文的目的，并列出本文的主要内容。
时间序列模型2
第2章时间序列模型时间序列分析方法由Box-Jenkins (1976) 年提出。
它适用于各种领域的时间序列分析。
时间序列模型不同于经济计量模型的两个特点是：⑴ 这种建模方法不以经济理论为依据，而是依据变量自身的变化规律，利用外推机制描述时间序列的变化。
⑵ 明确考虑时间序列的非平稳性。
如果时间序列非平稳，建立模型之前应先通过差分把它变换成平稳的时间序列，再考虑建模问题。
时间序列模型的应用：（1）研究时间序列本身的变化规律（建立何种结构模型，有无确定性趋势，有无单位根，有无季节性成分，估计参数）。
（2）在回归模型中的应用（预测回归模型中解释变量的值）。
（3）时间序列模型是非经典计量经济学的基础之一（不懂时间序列模型学不好非经典计量经济学）。
分节如下：1．随机过程、时间序列定义2．时间序列模型的分类3．自相关函数与偏自相关函数4．建模步骤（识别、参数估计、诊断检验、案例分析）5．回归与时间序列组合模型6．季节时间序列模型（案例分析）2.1 随机过程、时间序列为什么在研究时间序列之前先要介绍随机过程？就是要把时间序列的研究提高到理论高度来认识。
时间序列不是无源之水。
它是由相应随机过程产生的。
只有从随机过程的高度认识了它的一般规律。
对时间序列的研究才会有指导意义。
对时间序列的认识才会更深刻。
自然界中事物变化的过程可以分成两类。
一类是确定型过程，一类是非确定型过程。
确定型过程即可以用关于时间t的函数描述的过程。
例如，真空中的自由落体运动过程，电容器通过电阻的放电过程，行星的运动过程等。
非确定型过程即不能用一个（或几个）关于时间t的确定性函数描述的过程。
换句话说，对同一事物的变化过程独立、重复地进行多次观测而得到的结果是不相同的。
例如，对河流水位的测量。
其中每一时刻的水位值都是一个随机变量。
如果以一年的水位纪录作为实验结果，便得到一个水位关于时间的函数xt。
这个水位函数是预先不可确知的。
只有通过测量才能得到。
时间序列模型
时间序列模型一、分类①按所研究的对象的多少分，有一元时间序列和多元时间序列。
②按时间的连续性可将时间序列分为离散时间序列和连续时间序列两种。
③按序列的统计特性分，有平稳时间序列和非平稳时间序列。
狭义时间序列：如果一个时间序列的概率分布与时间t 无关。
广义时间序列：如果序列的一、二阶矩存在，而且对任意时刻t 满足均值为常数和协方差为时间间隔τ的函数。
（下文主要研究的是广义时间序列）。
④按时间序列的分布规律来分，有高斯型时间序列和非高斯型时间序列。
二、确定性时间序列分析方法概述时间序列预测技术就是通过对预测目标自身时间序列的处理，来研究其变化趋势的。
一个时间序列往往是以下几类变化形式的叠加或耦合。
①长期趋势变动：它是指时间序列朝着一定的方向持续上升或下降，或停留在某一水平上的倾向，它反映了客观事物的主要变化趋势。
通常用T t表示。
②季节变动：通常用S t表示。
③循环变动：通常是指周期为一年以上，由非季节因素引起的涨落起伏波形相似的波动。
通常用C t表示。
④不规则变动。
通常它分为突然变动和随机变动。
通常用R t表示。
也称随机干扰项。
常见的时间序列模型：⑴加法模型：y t=S t+T t+C t+R t；⑵乘法模型：y t=S t·T t·C t·R t；⑶混合模型：y t=S t·T t+R t；y t=S t+T t·C t·R t；R t2这三个模型中y t表示观测目标的观测记录，E(R t)=0,E(R t2)=σ2如果在预测时间范围以内，无突然变动且随机变动的方差σ2较小，并且有理由认为过去和现在的演变趋势将继续发展到未来时，可用一些经验方法进行预测。
三、移动平均法当时间序列的数值由于受周期变动和不规则变动的影响，起伏较大，不易显示出发展趋势时，可用移动平均法，消除这些因素的影响，分析、预测序列的长期趋势。
移动平均法有简单移动平均法，加权移动平均法，趋势移动平均法等。
时间序列模型
为什么了解随机过程？
12.1 时间序列定义
中国人时间上的前后观
滞后算子：用 L 表示。定义 Lxt = xt -1。 则 k 阶滞后算子定义为 Lkxt = xt - k。
白噪声过程：对于一个随机过程{ xt , tT }， 如果 E(xt) = 0，Var(xt) = 2 , t T； Cov(xt , xt + k ) = 0，(t+k ) T, k 0，则称{xt}为白噪声过程。
12.8 回归与 ARMA 组合模型
file:li-12-1 file: 7arma07 file:li-12-2
第 12 章 时间序列模型
ARMA 模型是与回归模型完全不同的一类 模型，由 G Box 和 G M. Jenkins 于 1970 年 系统提出。 （1）这种建模方法的特点是不考虑其他解释 变量的作用，不以经济理论为依据，而是依 靠变量本身的变化规律，利用外推机制描述 时间序列的变化。 （2）注重平稳性。当时间序列非平稳时，首 先要通过差分使序列平稳后再建立时间序列 模型。 （3）估计 ARMA 模型参数的方法是极大似 然法。 （3）对于给定的时间序列，模型形式的选择 通常并不是惟一的。在实际建模过程中经验 越丰富，模型形式的选择就越准确合理。
1- 1L - 2 L2 - … - p Lp) xt = L) xt = ut 其中L) = 1- 1L- 2 L2 - … - p Lp 称为自回归算子，或自回归特征多项式。
（第3版284页）
12.2 时间序列模型的分类
AR(p) 过程中最常用的是 1 阶自回归过程：xt = 1 xt-1 + ut
2
1
12时间序列模型
12时间序列模型x t - μ - d t = u t + ψ1 u t -1+ ψ2 u t -2 + … + =∑∞=-0j jt j u ψ其中μ 表示x t 的期望。
d t 表示x t 的线性确定性成分，如周期性成分、时刻t 的多项式和指数形式等，能够直截了当用x t 的滞后值推测。
ψ0 = 1，∑∞=02j j ψ< ∞。
u t 为白噪声过程。
u t 表示用x t 的滞后项推测x t 时的误差。
u t = x t - E(x t | x t -1, x t -2 , …)∑∞=-0j j t j u ψ称为x t 的线性非确定性成分。
当d t = 0时，称x t 为纯线性非确定性过程。
Wold 分解定理由Wold 在1938年提出。
Wold 分解定理只要求过程2阶平稳即可。
从原理上讲，要得到过程的Wold 分解，就必须明白无限个ψj 参数，这关于一个有限样本来说是不可能的。
实际中能够对ψj 做另一种假定，即能够把ψ (L )看作是2个有限特点多项式的比，ψ(L ) =∑∞=0j jj L ψ=)()(L L ΦΘ=pp qq L L L LL L φφφθθθ++++++++...1...1221221 注意，不管原序列中含有何种确定性成分，在前面介绍的模型种类中，依旧后面介绍的自相关函数、偏自相关函数中都假设在原序列中差不多剔除了所有确定性成分，是一个纯的随机过程（过程中不含有任何确定性成分）。
假如一个序列如上式， x t = μ + d t + u t + ψ1 u t -1+ ψ2 u t -2 + … +则所有研究差不多上在y t = x t - μ - d t 的基础上进行。
例如前面给出的各类模型中都不含有均值项、时刻趋势项确实是那个道理。
2.3 自相关函数以上介绍了随机过程的几种模型。
实际中单凭对时刻序列的观看专门难确定其属于哪一种模型，而自相关函数和偏自相关函数是分析随机过程和识别模型的有力工具。
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2.6 案例分析1：中国人口时间序列模型（file:b2c1）（怎样建立AR 模型） 4681012145055606570758085909500Y-0.2-0.10.00.10.20.35055606570758085909500DY 图2.11 中国人口序列（1949-2000） 图2.12 中国人口一阶差分序列（1950-2000） 从人口序列图可以看出我国人口总水平除在1960和1961两年出现回落外，其余年份基本上保持线性增长趋势。
51年间平均每年增加人口1451.5万人，年平均增长率为17.5‰ 。
由于总人口数逐年增加，实际上的年人口增长率是逐渐下降的。
把51年分为两个时期，即改革开放以前时期（1949—1978）和改革开放以后时期（1979—1996），则前一个时期的人口年平均增长率为20‰，后一个时期的年平均增长率为13.4‰。
从人口序列的变化特征看，这是一个非平稳序列。
见人口差分序列图。
建国初期由于进入和平环境，同时随着国民经济的迅速恢复，人口的年净增数从1950年的1029万人，猛增到1957年的1825万人。
由于粮食短缺，三年经济困难时期是建国后我国惟一一次人口净负增长时期（1960，1961），人口净增值不但没有增加，反而减少。
随着经济形势的好转，从1962年开始人口年增加值迅速恢复到1500万的水平，随后呈连年递增态势。
1970年是我国历史上人口增加最多的一个年份，为2321万人。
随着70年代初计划生育政策执行力度的加强，从1971年开始。
年人口增加值逐年下降，至1980年基本回落到建国初期水平。
1981至1991年人口增加值大幅回升，主要原因是受1962—1966年高出生率的影响（1963年为43.73‰）。
这种回升的下一个周期将在2005年前后出现，但强势会有所减弱。
从数据看，1992年以后，人口增加值再一次呈逐年下降趋势。
由于现在的人口基数大于以往年份，所以尽管年增人口仍在1千万人以上，但人口增长率却是建国以来最低的（1996年为10.5‰）。
从Δy t 的变化特征看，1960，1961年数据可看作是两个离群值，其它年份数据则表现为平稳特征。
但也不是白噪声序列，而是一个含有自相关和（或）移动平均成分的平稳序列。
下面通过对人口序列y t 和人口差分序列Dy t 的相关图，偏相关图分析判别其平稳性以及识别模型形式。
图2.13 y t 的相关图，偏相关图图2.14 Dy t的相关图，偏相关图（虚线到中心线的距离是2 (1/51) = 0.28）见图2.13和图2.14。
人口序列y t是非平稳序列。
人口差分序列Dy t是平稳序列。
应该用Dy t 建立模型。
因为Dy t均值非零，结合图2.14拟建立带有漂移项的AR(1)模型。
估计结果如下：Dy t = 0.1429 + 0.6171 (Dy t-1 - 0.1429) + v t(8.7) (5.4)R2 = 0.38, Q(10) = 5.2, Qα (k-p-q) = Q0.05 (10-1-0) = 16.9模型参数都通过了显著性t检验。
注意：（1）根据Wold分解定理，EViews的输出格式表示的是，对序列(Dy t - 0.1429) 建立AR(1)模型，而不是对Dy t建立AR(1)模型。
（2）整理输出结果：Dy t = 0.1429 (1-0.6171) + 0.6171 Dy t-1 + v t = 0.0547 + 0.6171 Dy t-1 + v t漂移项θ0 = 0.0547，特征根是1 / 0.62 = 1.61。
输出结果中的0.1429是Dy t的均值，不是模型漂移项。
以AR(1)过程x t = θ0+φ1x t-1 + u t 为例，两侧求期望，得均值μ和漂移项θ0的关系是E(x t ) =101φθ-=μ ，或 θ0 =μ (1-φ1) 对整理后的输出结果两侧求期望，就会反求出μ = 0.0547/ (1-0.6171) = 0.1429（3）有没有漂移项对求特征方程和特征根无影响。
模型残差的相关图和偏相关图如下，图2.15 表2.5中模型（1）残差序列的相关图，偏相关图因为Q (10) = 5.2 < χ20.05( 10-1-0) = 16.9可以认为模型误差序列为非自相关序列。
EViews 操作方法：从EViews 主菜单中点击Quick 键，选择Estimate Equation 功能。
随即会弹出Equation specification 对话框。
输入漂移项非零的AR(1)模型估计命令（C 表示漂移项）如下：D(Y) C AR(1)注意：（1）不能把命令中的AR(1)写成D(Y (-1))（写成D(Y (-1))意味着做OLS 估计）。
（2）写成D(Y)的好处是EViews 可以直接对Y 、D(Y)进行预测。
（3）模型中若含有移动平均项，EViews 命令用MA(q )表示。
（4）估计的时间序列模型的R 2不可能很高。
因为变量差分后损失了很多信息。
（5）估计的模型是否成立应该从3个方面检查，①模型参数估计量必须通过t 检验；②全部的特征根的倒数必须在单位圆以内；③模型的残差序列必须通过Q 检验。
下面进行预测：Dy 2001 = 0.0547 + 0.6171 Dy 2000 + v t = 0.0547 + 0.6171⨯ 0.0957 = 0.1138y 2001 = y 2000 + Dy 2001 = 12.6743 + 0.1138 = 12.7881EViews 给出的预测值是12.78806，结果相同。
预测的EViews 操作方法：把样本容量调整到1949-2001。
打开估计式窗口，在Equation Specification （方程设定）选择框输入命令，D(Y) C AR(1)，保持Method （方法）选择框的缺省状态（LS 方法），在Sample （样本）选择框中把样本范围调整至1949-2000。
点击OK 键，得到估计结果后，点击功能条中的预测（Forecast ）键。
得对话框及各种选择状态见下图。
点击OK 键，YF 和YFse 序列出现在工作文件中。
打开YF 序列窗口，得2001年预测值12.78806，见前图。
已知2001年中国人口实际数是12.7627亿人。
预测误差为η =7627.127627.127881.12-= 0.002 解法2：把中国人口序列y t 看作是含有确定性趋势的平稳序列。
前提是中国人口序列y t 必须是退势平稳序列。
用y t 对时间t 回归,得y t = 5.0152 + 0.1502 t + u t(110) (102) R 2 = 0.995, (1949-2001)用u t 检验单位根如下。
du t = -0.0940 u t -1 + 0.6681 du t -1(-2.5) (6.3) R 2 = 0.45, (1951-2001), DF 0.05 = -1.96-1.0-0.50.00.51.05055606570758085909500RESID图16 u t 序列u t 是一个平稳序列。
所以y t 是一个退势平稳序列。
有理由建立一个含有固定趋势项的时间序列模型。
图17 u t 的相关图和偏相关图通过观察u t 的相关图和偏相关图，判定u t 是一个二阶自回归过程。
φ1为正，φ2为负。
特征根应该为复根。
建立含有固定趋势项的二阶自回归模型Y C @trend(1948) AR(1) AR(2)估计结果如下：写表达式如下：y t = 4.9729 + 0.1508 t + u t,(1949，t = 1)(34.9) (35.4)其中u t = 1.5503 u t-1 - 0.6491 u t-2 + v t,(1949，t = 1)(13.7) (-5.9)或写为y t = 4.9729 + 0.1508 t + 1.5503 u t-1 - 0.6491 u t-2 + v t,(1949，t = 1)(34.9) (35.4) (13.7) (-5.9)R2 = 0.995, (1951-2000) , Q(10) = 4.6, Q (k-p-q) = Q0.05 (10-2-0) = 15.5 模型残差序列的相关与偏相关图如下，根据上式预测，2001年中国人口预测数是y 2001 = 4.9729 +0.15082⨯53 +1.5503⨯(-0.15179) - 0.6491⨯ (-0.09728)=12.7942（亿人）, (2001年, t = 53)也可以把输出结果写为，y t = 4.9729+0.1508 t +1.5503 (y t -1-4.9729-0.1508(t-1)) - 0.6491(y t -2-4.9729-0.1508(t-2))+v t (34.9) (35.4) (13.7) (-5.9)整理后得y t = 0.5293+0.0149 t +1.5503 y t -1 - 0.6491y t -2 + v t注意：EViews 的输出格式表示的是对序列(y t -4.9729-0.1508t)估计AR(2)模型。
根据上式预测，2001年中国人口预测数是y 2001 = 0.5293 + 0.0149 ⨯53 +1.5503⨯ (12.6743)-0.6491⨯ (12.5786)=12.8032（亿人）, (2001年, t = 53)EViews 预测的结果是12.8033。
已知2001年中国人口实际数是12.7627亿人。
预测误差为η =7627.127627.128033.12-= 0.003案例2 日本人口时间序列模型（file:japopu ）（怎样建立缺项的AR 模型）0.20.40.60.81.01.21.4Y -0.03-0.02-0.010.000.010.020.030.04188019001920194019601980DY图1 日本人口序列(y t ) 日本人口差分序列(Dy t )日本历史上有两次大规模向国外学习的过程。
一次是大化改新。
大化改新（公元645-649）是一场以圣德太子政治理念为基础的贵族革命。
圣德太子（公元574-622）一心加强皇权，决心向中国学习，启蒙日本。
他四度向中国派遣使团和留学生。
在它的影响下，其死后23年，即公元645年，中大兄皇子发动政变，成功地建立了类似唐朝的中央集权机构。
一次是明治维新。
明治维新始于1868年。
从而开始了全面向西方学习的历史。
口号是“富国强兵”（福泽谕吉）。
主要措施是（1）加强中央集权，1871年实施“废藩治县”，（2）1872年采取美国三权分立的政治体制，（3）1872年统一货币，实行1日元=1美元的兑换率，（3）1872年开始修铁路、建立现代统计制度，采用阳历等，（4）1873年迁都东京。