第六章 二次函数 单元测试卷(含答案)
二次函数单元测试卷(含答案解析)
二次函数单元测试卷（含答案解析）一、初三数学二次函数易错题压轴题（难）1．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，其中A（3，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，直线y＝kx+b1经过点A，C，连接CD．（1）求抛物线和直线AC的解析式：（2）若抛物线上存在一点P，使△ACP的面积是△ACD面积的2倍，求点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使线段AQ绕Q点顺时针旋转90°得到线段QA1，且A1好落在抛物线上？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2y x2x3=-++；3y x=-+；（2）（﹣1，0）或（4，﹣5）；（3）存在；（1，2）和（1，﹣3）【解析】【分析】（1）将点A，B坐标代入抛物线解析式中，求出b，c得出抛物线的解析式，进而求出点C 的坐标，再将点A，C坐标代入直线AC的解析式中，即可得出结论；（2）利用抛物线的对称性得出BD＝AD，进而判断出△ABC的面积和△ACP的面积相等，即可得出结论；（3）分点Q在x轴上方和在x轴下方，构造全等三角形即可得出结论．【详解】解：（1）把A（3，0），B（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bc+c中，得93010b cb c-++=⎧⎨--+=⎩，∴23bc=⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，当x＝0时，y＝3，∴点C的坐标是（0，3），把A（3，0）和C（0，3）代入y＝kx+b1中，得11303k bb+=⎧⎨=⎩，∴113kb=-⎧⎨=⎩∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3；（2）如图，连接BC，∵点D是抛物线与x轴的交点，∴AD＝BD，∴S△ABC＝2S△ACD，∵S△ACP＝2S△ACD，∴S△ACP＝S△ABC，此时，点P与点B重合，即：P（﹣1，0），过B点作PB∥AC交抛物线于点P，则直线BP的解析式为y＝﹣x﹣1①，∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3②，联立①②解得，1xy=-⎧⎨=⎩或45xy=⎧⎨=-⎩，∴P（4，﹣5），∴即点P的坐标为（﹣1，0）或（4，﹣5）；（3）如图，①当点Q在x轴上方时，设AC与对称轴交点为Q'，由（1）知，直线AC的解析式为y＝﹣x+3，当x＝1时，y＝2，∴Q'坐标为（1，2），∵Q'D＝AD＝BD＝2，∴∠Q'AB＝∠Q'BA＝45°，∴∠AQ'B＝90°，∴点Q'为所求，②当点Q在x轴下方时，设点Q（1，m），过点A1'作A1'E⊥DQ于E，∴∠A1'EQ＝∠QDA＝90°，∴∠DAQ+∠AQD＝90°，由旋转知，AQ＝A1'Q，∠AQA1'＝90°，∴∠AQD+∠A1'QE＝90°，∴∠DAQ＝∠A1'QE，∴△ADQ≌△QEA1'（AAS），∴AD＝QE＝2，DQ＝A1'E＝﹣m，∴点A1'的坐标为（﹣m+1，m﹣2），代入y＝﹣x2+2x+3中，解得，m＝﹣3或m＝2（舍），∴Q的坐标为（1，﹣3），∴点Q的坐标为（1，2）和（1，﹣3）．【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及解析式的求解，与三角形面积有关的问题，三角形“k”字型全等，解题的关键是利用数形结合的思想，设点坐标并结合几何图形的性质列式求解．2．如图①是一张矩形纸片，按以下步骤进行操作：(Ⅰ)将矩形纸片沿DF折叠，使点A落在CD边上点E处，如图②；(Ⅱ)在第一次折叠的基础上，过点C再次折叠，使得点B落在边CD上点B′处，如图③，两次折痕交于点O；(Ⅲ)展开纸片，分别连接OB、OE、OC、FD，如图④．（探究）（1）证明：OBC≌OED；（2）若AB＝8，设BC为x，OB2为y，是否存在x使得y有最小值，若存在求出x的值并求出y的最小值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）x=4，16【解析】【分析】（1）连接EF，根据矩形和正方形的判定与性质以及折叠的性质，运用SAS证明OBC≌OED即可；（2）连接EF、BE，再证明△OBE是直角三角形，然后再根据勾股定理得到y与x的函数关系式，最后根据二次函数的性质求最值即可．【详解】（1）证明：连接EF．∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠ABC＝∠BCD＝∠ADE＝∠DAF＝90°由折叠得∠DEF＝∠DAF，AD＝DE∴∠DEF＝90°又∵∠ADE＝∠DAF＝90°，∴四边形ADEF是矩形又∵AD＝DE，∴四边形ADEF是正方形∴AD＝EF＝DE，∠FDE＝45°∵AD＝BC，∴BC＝DE由折叠得∠BCO＝∠DCO＝45°∴∠BCO＝∠DCO＝∠FDE．∴OC＝OD．在△OBC与△OED中，BC DEBCO FDEOC OD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，∴△OBC≌△OED（SAS）；（2）连接EF、BE．∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝8．由（1）知，BC＝DE∵BC＝x，∴DE＝x∴CE＝8－x由（1）知△OBC≌△OED∴OB＝OE，∠OED＝∠OBC．∵∠OED＋∠OEC＝180°，∴∠OBC＋∠OEC＝180°．在四边形OBCE中，∠BCE＝90°，∠BCE＋∠OBC＋∠OEC＋∠BOE＝360°，∴∠BOE＝90°．在Rt△OBE中，OB2＋OE2＝BE2．在Rt△BCE中，BC2＋EC2＝BE2．∴OB2＋OE2＝BC2＋CE2．∵OB2＝y，∴y＋y＝x2＋(8－x)2．∴y＝x2－8x＋32∴当x=4时，y有最小值是16．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形和正方形的判定与性质、折叠的性质、全等三角形的判定、勾股定理以及运用二次函数求最值等知识点，灵活应用所学知识是解答本题的关键．3．如图，在平面直角坐标系x O y中，抛物线y = ax2+ bx + c经过A、B、C三点，已知点A （-3，0），B（0，3），C（1，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标；（3）在直线x = -2上是否存在点M，使得∠MAC = 2∠MCA，若存在，求出M点坐标．若不存在，说明理由．【答案】（1）y=-x2-2x+3；（2）点（-32，154），△PDE的周长最大；（3）点M（-2，3）或（-2，3【分析】（1）将A、B、C三点代入，利用待定系数法求解析式；（2）根据坐标发现，△AOB是等腰直角三角形，故只需使得PD越大，则△PDE的周长越大.联立直线AB与抛物线的解析式可得交点P坐标；（3）作点A关于直线x=-2的对称点D，利用∠MAC = 2∠MCA可推导得MD=CD，进而求得ME的长度，从而得出M坐标【详解】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-3，0），B（0，3），C（1，0），∴9303a b cca b c-+=⎧⎪=⎨⎪++=⎩，解得：123abc=-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以，抛物线的解析式为y=-x2-2x+3；（2）∵A（-3，0），B（0，3），∴OA=OB=3，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAO=45°，∵PF⊥x轴，∴∠AEF=90°-45°=45°，又∵PD⊥AB，∴△PDE是等腰直角三角形，∴PD越大，△PDE的周长越大，易得直线AB的解析式为y=x+3，设与AB平行的直线解析式为y=x+m，联立223y x my x x=+⎧⎨=--+⎩，消掉y得，x2+3x+m-3=0，当△=9-4（m-3）=0，即m=214时，直线与抛物线只有一个交点，PD最长，此时x=-32，y=154，∴点（-32，154），△PDE的周长最大；（3）设直线x=-2与x轴交于点E，作点A关于直线x=-2的对称点D，则D（-1，0），连接MA，MD，MC．∴MA=MD，∠MAC=∠MDA=2∠MCA ，∴∠CMD=∠DCM∴MD=CD=2 ，∴3∴点M（-23）或（-2，3本题是动点和最值的考查，在解决动点问题时，寻找出不变量来分析是解题关键，最值问题，通常利用对称来简化分析4．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）．（1）若b ＝1，a ＝﹣12c ，求证：二次函数的图象与x 轴一定有两个不同的交点； （2）若a <0，c ＝0，且对于任意的实数x ，都有y ≤1，求4a +b 2的取值范围；（3）若函数图象上两点（0，y 1）和（1，y 2）满足y 1•y 2＞0，且2a +3b +6c ＝0，试确定二次函数图象对称轴与x 轴交点横坐标的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）240a b +≤ ；（3）12323b a <-< 【解析】 【分析】（1）根据已知条件计算一元二次方程的判别式即可证得结论； （2）根据已知条件求得抛物线的顶点纵坐标，再整理即可；（3）将（0，y 1）和（1，y 2）分别代入函数解析式，由y 1•y 2＞0，及2a +3b +6c ＝0，得不等式组，变形即可得出答案． 【详解】解：（1）证明：∵y ＝ax 2+bx+c （a≠0）， ∴令y ＝0得：ax 2+bx+c ＝0 ∵b ＝1，a ＝﹣12c ， ∴△＝b 2﹣4ac ＝1﹣4（﹣12c ）c ＝1+2c 2， ∵2c 2≥0，∴1+2c 2＞0，即△＞0，∴二次函数的图象与x 轴一定有两个不同的交点； （2）∵a ＜0，c ＝0，∴抛物线的解析式为y ＝ax 2+bx ，其图象开口向下， 又∵对于任意的实数x ，都有y≤1，∴顶点纵坐标214b a-≤，∴﹣b 2≥4a ， ∴4a+b 2≤0；（3）由2a+3b+6c ＝0，可得6c ＝﹣（2a+3b ）， ∵函数图象上两点（0，y 1）和（1，y 2）满足y 1•y 2＞0， ∴c （a+b+c ）＞0， ∴6c （6a+6b+6c ）＞0，∴将6c ＝﹣（2a+3b ）代入上式得，﹣（2a+3b ）（4a+3b ）＞0，∴（2a+3b）（4a+3b）＜0，∵a≠0，则9a2＞0，∴两边同除以9a2得，24()()033b ba a++<，∴2343baba⎧+<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩或2343baba⎧+>⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩，∴4233ba-<<-，∴二次函数图象对称轴与x轴交点横坐标的取值范围是：12323ba<-<．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、抛物线与一元二次方程的关系及抛物线与不等式的关系等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+6x﹣5的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其顶点为P，连接PA、AC、CP，过点C作y轴的垂线l．（1）P的坐标，C的坐标；（2）直线1上是否存在点Q，使△PBQ的面积等于△PAC面积的2倍？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（3，4），（0，﹣5）；（2）存在，点Q的坐标为：（92，﹣5）或（212，﹣5）【解析】【分析】（1）利用配方法求出顶点坐标，令x=0，可得y=-5，推出C（0，-5）；（2）直线PC的解析式为y=3x-5，设直线交x轴于D，则D（53，0），设直线PQ交x轴于E，当BE=2AD时，△PBQ的面积等于△PAC的面积的2倍，分两种情形分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）∵y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4，∴顶点P（3，4），令x＝0得到y＝﹣5，∴C（0，﹣5）．故答案为：（3，4），（0，﹣5）；（2）令y＝0，x2﹣6x+5＝0，解得：x＝1或x＝5，∴A（1，0），B（5，0），设直线PC的解析式为y＝kx+b，则有534 bk b=-⎧⎨+=⎩，解得：35 kb=⎧⎨=-⎩，∴直线PC的解析式为：y＝3x﹣5，设直线交x轴于D，则D（53，0），设直线PQ交x轴于E，当BE＝2AD时，△PBQ的面积等于△PAC的面积的2倍，∵AD＝23，∴BE＝43，∴E（113，0）或E′（193，0），则直线PE的解析式为：y＝﹣6x+22，∴Q（92，﹣5），直线PE′的解析式为y＝﹣65x+385，∴Q ′（212，﹣5）， 综上所述，满足条件的点Q 的坐标为：（92，﹣5）或（212，﹣5）；【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．6．如图1所示，抛物线223y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，已知C 点坐标为（0，4），抛物线的顶点的横坐标为72，点P 是第四象限内抛物线上的动点，四边形OPAQ 是平行四边形，设点P 的横坐标为m ． （1）求抛物线的解析式；（2）求使△APC 的面积为整数的P 点的个数；（3）当点P 在抛物线上运动时，四边形OPAQ 可能是正方形吗？若可能，请求出点P 的坐标，若不可能，请说明理由；（4）在点Q 随点P 运动的过程中，当点Q 恰好落在直线AC 上时，则称点Q 为“和谐点”，如图（2）所示，请直接写出当Q 为“和谐点”的横坐标的值．【答案】（1）2214433y x x =-+；（2）9个 ；（3）33,22或44，；（4）33【解析】 【分析】（1）抛物线与y 轴交于点C ，顶点的横坐标为72，则472223cb ，即可求解； （2）APC ∆的面积PHAPHCSSS，即可求解；（3）当四边形OPAQ 是正方形时，点P 只能在x 轴的下方，此时OAP 为等腰直角三角形，设点(,)P x y ，则0x y +=，即可求解；（4）求出直线AP的表达式为：2(1)(6)3y m x，则直线OQ的表达式为：2(1)3y m x②，联立①②求出Q的坐标，又四边形OPAQ是平行四边形，则AO的中点即为PQ 的中点，即可求解．【详解】解：（1）抛物线与y轴交于点C，顶点的横坐标为72，则472223cb，解得1434bc，故抛物线的抛物线为：2214433y x x=-+；（2）对于2214433y x x=-+，令0y=，则1x=或6，故点B、A 的坐标分别为(1,0)、(6,0)；如图，过点P作//PH y轴交AC于点H，设直线AC的表达式为：y kx b=+由点A（6，0）、C（0，4）的坐标得460bk b，解得423bk，∴直线AC的表达式为：243y x=-+①，设点2214(,4)33P x x x，则点2(,4)3H x x，APC∆的面积221122146(44)212(16)22333PHA PHCS S S PH OA x x x x x，当1x=时，10S=，当6x=时，0S=，故使APC∆的面积为整数的P点的个数为9个；（3）当四边形OPAQ是正方形时，点P只能在x轴的下方，此时OAP为等腰直角三角形，设点(,)P x y，则0x y+=，即2214433y x x x，解得：32x=或4，故点P的坐标为3(2，3)2或(4,4)-；（4）设点2214(,4)33P m m m，为点(6,0)A，设直线AP的表达式为：y kx t=+，由点A，P的坐标可得260214433k tkm t m m，解之得：2(1)326(1)3k mt m∴直线AP的表达式为：2(1)(6)3y m x，//AP OQ，则AP和OQ表达式中的k值相同，故直线OQ的表达式为：2(1)3y m x②，联立①②得：2(1)3243y m xy x，解得：446mmyx，则点6(Qm，44)m，四边形OPAQ是平行四边形，则AO的中点即为PQ的中点，如图2，作QC x⊥轴于点C，PD x⊥轴于点D，∴OC AD=,则有，66mm，解得：33m，经检验，33m是原分式方程得跟，则633m，故Q的横坐标的值为33【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形正方形的性质、面积的计算等，能熟练应用相关性质是解题的关键．7．定义：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设点P 的坐标为（x ，y ），当x ＜0时，点P 的变换点P′的坐标为（﹣x ，y ）；当x≥0时，点P 的变换点P′的坐标为（﹣y ，x ）． （1）若点A （2，1）的变换点A′在反比例函数y=kx的图象上，则k= ； （2）若点B （2，4）和它的变换点B'在直线y=ax+b 上，则这条直线对应的函数关系式为 ，∠BOB′的大小是 度．（3）点P 在抛物线y=x 2﹣2x ﹣3的图象上，以线段PP′为对角线作正方形PMP'N ，设点P 的横坐标为m ，当正方形PMP′N 的对角线垂直于x 轴时，求m 的取值范围．（4）抛物线y=（x ﹣2）2+n 与x 轴交于点C ，D （点C 在点D 的左侧），顶点为E ，点P 在该抛物线上．若点P 的变换点P′在抛物线的对称轴上，且四边形ECP′D 是菱形，求n 的值．【答案】(1) －2；(2) y=13x+103，90；(3) m ＜0，或m=32；(4) n=﹣8，n=﹣2，n=﹣3． 【解析】 【分析】（1）先求出A 的变换点A ′，然后把A ′代入反比例函数即可得到结论； （2）确定点B ′的坐标，把问题转化为方程组解决；（3）分三种情形讨论：①当m ＜0时；②当m ≥0，PP '⊥x 轴时；③当m ≥0，MN ⊥x 轴时．（4）利用菱形的性质，得到点E 与点P '关于x 轴对称，从而得到点P '的坐标为（2，﹣n ）．分两种情况讨论：①当点P 在y 轴左侧时，点P 的坐标为（﹣2，﹣n ），代入抛物线解析式，求解即可；②当点P 在y 轴右侧时，点P 的坐标为（﹣n ，﹣2）．代入抛物线解析式，求解即可． 【详解】（1）∵A （2，1）的变换点为A ′（－1，2），把A ′（－1，2）代入y =kx中，得到k =－2． 故答案为：－2．（2）点B （2，4）的变换点B ′（﹣4，2），把（2，4），（﹣4，2）代入y =ax +b 中．得到：2442a b a b +=⎧⎨-+=⎩，解得：13103a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴11033y x =+．∵OB 2=2224+=20，OB ′2=2224+=20，BB ′2=22(42)(24)--+-=40，∴OB 2+OB ′2=BB ′2，∴∠BOB ′=90°． 故答案为：y =13x +103，90． （3）①当m ＜0时，点P 与点P '关于y 轴对称，此时MN 垂直于x 轴，所以m ＜0． ②当m ≥0，PP '⊥x 轴时，则点P '的坐标为（m ，m ），点P 的坐标为（m ，﹣m ）．将点P （m ，﹣m ）代入y =x 2﹣2x ﹣3，得：﹣m =m 2﹣2m ﹣3． 解得：12113113m m +-==，（不合题意，舍去）． 所以113m +=． ③当m ≥0，MN ⊥x 轴时，则PP '∥x 轴，点P 的坐标为（m ，m ）． 将点P （m ，m ）代入y =x 2﹣2x ﹣3，得：m =m 2﹣2m ﹣3． 解得：1232132122m m +-==，（不合题意，舍去）． 所以321m +=． 综上所述：m 的取值范围是m ＜0，m =113+或m =321+． （4）∵四边形ECP 'D 是菱形，∴点E 与点P '关于x 轴对称． ∵点E 的坐标为（2，n ），∴点P '的坐标为（2，﹣n ）． ①当点P 在y 轴左侧时，点P 的坐标为（﹣2，﹣n ）． 代入y =（x ﹣2）2+n ，得：﹣n =（﹣2﹣2）2+n ，解得：n =﹣8． ②当点P 在y 轴右侧时，点P 的坐标为（﹣n ，﹣2）．代入y =（x ﹣2）2+n ，得：﹣2=（﹣n ﹣2）2+n ．解得：n 1=﹣2，n 2=﹣3． 综上所述：n 的值是n =﹣8，n =﹣2，n =﹣3． 【点睛】本题是二次函数综合题、一次函数的应用、待定系数法、变换点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的射线思考问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．8．如图，已知二次函数1L ：()22311y mx mx m m =+-+≥和二次函数2L ：()2341y m x m =--+-()1m ≥图象的顶点分别为M 、N ，与x 轴分别相交于A 、B两点（点A 在点B 的左边）和C 、D 两点（点C 在点D 的左边），（1）函数()22311y mx mx m m =+-+≥的顶点坐标为______；当二次函数1L ，2L 的y值同时随着x 的增大而增大时，则x 的取值范围是_______； （2）判断四边形AMDN 的形状（直接写出，不必证明）； （3）抛物线1L ，2L 均会分别经过某些定点；①求所有定点的坐标；②若抛物线1L 位置固定不变，通过平移抛物线2L 的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线2L 应平移的距离是多少？ 【答案】（1）()1,41m --+，13x；（2）四边形AMDN 是矩形；（3）①所有定点的坐标，1L 经过定点()3,1-或()1,1，2L 经过定点()5,1-或()1,1-；②抛物线2L 应平移的距离是4+4-． 【解析】 【分析】（1）将已知抛物线解析式转化为顶点式，直接得到点M 的坐标；结合函数图象填空； （2）利用抛物线解析式与一元二次方程的关系求得点A 、D 、M 、N 的横坐标，可得AD 的中点为（1，0），MN 的中点为（1，0），则AD 与MN 互相平分，可证四边形AMDN 是矩形；（3）①分别将二次函数的表达式变形为1:(3)(1)1L y m x x =+-+和2:(1)(5)1L y m x x =----，通过表达式即可得出所过定点；②根据菱形的性质可得EH 1=EF=4即可，设平移的距离为x ，根据平移后图形为菱形，由勾股定理可得方程即可求解． 【详解】解：（1）12bx a=-=-，顶点坐标M 为(1,41)m --+， 由图象得：当13x 时，二次函数1L ，2L 的y 值同时随着x 的增大而增大．故答案为：(1,41)m --+；13x；（2）结论：四边形AMDN 是矩形．由二次函数21:231(1)L y mx mx m m =+-+和二次函数22:(3)41(1)L y m x m m =--+-解析式可得：A 点坐标为(1-0)，D 点坐标为(3+，0)， 顶点M 坐标为(1,41)m --+，顶点N 坐标为(3,41)m -，AD ∴的中点为(1,0)，MN 的中点为(1,0)， AD ∴与MN 互相平分，∴四边形AMDN 是平行四边形，又AD MN =，∴□AMDN 是矩形；（3）①二次函数21:231(3)(1)1L y mx mx m m x x =+-+=+-+，故当3x =-或1x =时1y =，即二次函数21:231L y mx mx m =+-+经过(3,1)-、(1,1)两点，二次函数22:(3)41(1)(5)1L y m x m m x x =--+-=----，故当1x =或5x =时1y =-，即二次函数22:(3)41L y m x m =--+-经过(1,1)-、(5,1)-两点， ②二次函数21:231L y mx mx m =+-+经过(3,1)-、(1,1)两点，二次函数22:(3)41L y m x m =--+-经过(1,1)-、(5,1)-两点，如图：四个定点分别为(3,1)E -、(1,1)F ，(1,1)H -、(5,1)G -，则组成四边形EFGH 为平行四边形，∴FH ⊥HG ，FH=2，HM=4-x ，设平移的距离为x ，根据平移后图形为菱形， 则EH 1=EF=H 1M=4，由勾股定理可得：FH 2+HM 2=FM 2， 即22242(4)x =+-， 解得：423x =±，抛物线1L 位置固定不变，通过左右平移抛物线2L 的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线2L 应平移的距离是423+或423-．【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．9．如图，已知顶点为M （32，258）的抛物线过点D （3，2），交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，点P 是抛物线上一动点． （1）求抛物线的解析式；（2）当点P 在直线AD 上方时，求△PAD 面积的最大值，并求出此时点P 的坐标；（3）过点P 作直线CD 的垂线，垂足为Q ，若将△CPQ 沿CP 翻折，点Q 的对应点为Q '．是否存在点P ，使Q '恰好落在x 轴上？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）213222y x x =-++；（2）最大值为4，点P （1，3）；（3）存在，点P 1393132-+）． 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解即可；（2）由△PAD 面积S ＝S △PHA +S △PHD ，即可求解；（3）结合图形可判断出点P 在直线CD 下方，设点P 的坐标为（a ，213222a a -++），当P 点在y 轴右侧时，运用解直角三角形及相似三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：（1）设抛物线的表达式为：y ＝a （x ﹣h ）2+k ＝a （x ﹣32）2+258， 将点D 的坐标代入上式得：2＝a （3﹣32）2+258， 解得：a ＝﹣12，∴抛物线的表达式为：213222y x x =-++； （2）当x ＝0时，y ＝﹣12x 2+32x +2＝2，即点C 坐标为（0，2），同理，令y ＝0，则x ＝4或﹣1，故点A 、B 的坐标分别为：（﹣1，0）、（4，0），过点P 作y 轴的平行线交AD 于点H ， 由点A 、D 的坐标得，直线AD 的表达式为：y ＝12（x +1）， 设点P （x ，﹣12x 2+32x +2），则点H （x ，12x +12）， 则△PAD 面积为： S ＝S △PHA +S △PHD ＝12×PH ×（x D ﹣x A ）＝12×4×（﹣12x 2+32x +2﹣12x 12-）＝﹣x 2+2x +3， ∵﹣1＜0，故S 有最大值，当x ＝1时，S 有最大值，则点P （1，3）；（3）存在满足条件的点P ，显然点P 在直线CD 下方，设直线PQ 交x 轴于F ，点P 的坐标为（a ，﹣12a 2+32a +2），当P 点在y 轴右侧时（如图2），CQ ＝a ， PQ ＝2﹣（﹣12a 2+32a +2）＝12a 2﹣32a ， 又∵∠CQ ′O +∠FQ ′P ＝90°，∠COQ ′＝∠Q ′FP ＝90°， ∴∠FQ ′P ＝∠OCQ ′，∴△COQ′∽△Q′FP，'''Q C Q PCO FQ=，即213222'a aaQ F-=，∴Q′F＝a﹣3，∴OQ′＝OF﹣Q′F＝a﹣（a﹣3）＝3，CQ＝CQ′＝22223213CO OQ+=+=，此时a＝13，点P的坐标为（13，9313-+）．【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，综合考查了翻折变换、相似三角形的判定与性质，解答此类题目要求我们能将所学的知识融会贯通，属于中考常涉及的题目．10．在平面直角坐标系xOy中（如图），已知二次函数2y ax bx c=++（其中a、b、c 是常数，且a≠0）的图像经过点A（0，-3）、B（1，0）、C（3，0），联结AB、AC．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点D是线段AC上的一点，联结BD，如果:3:2ABD BCDS S∆∆=，求tan∠DBC的值；（3）如果点E在该二次函数图像的对称轴上，当AC平分∠BAE时，求点E的坐标．【答案】（1）243y x x=-+-；（2）32；（3）E（2，73-）【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法，把A、B、C三点代入解析式，即可得到答案；（2）过点D作DH⊥BC于H，在△ABC中，设AC边上的高为h，利用面积的比得到32ADDC=，然后求出DH和BH，即可得到答案；（3）延长AE至x轴，与x轴交于点F，先证明△OAB∽△OFA，求出点F的坐标，然后求出直线AF的方程，即可求出点E的坐标.【详解】解：（1）将A（0，-3）、B（1，0）、C（3，0）代入20y ax bx c a=++≠（）得，03,0934,300a ba bc=+-⎧⎪=+-⎨⎪-=++⎩解得143abc=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴此抛物线的表达式是：243y x x=-+-．（2）过点D作DH⊥BC于H，在△ABC中，设AC边上的高为h，则11:():():3:222ABD BCDS S AD h DC h AD DC∆∆=⋅⋅==，又∵DH//y轴，∴25CH DC DHOC AC OA===．∵OA=OC=3，则∠ACO=45°，∴△CDH为等腰直角三角形，∴26355CH DH==⨯=．∴64255BH BC CH=-=-=．∴tan∠DBC=32DHBH=.（3）延长AE至x轴，与x轴交于点F，∵OA=OC=3，∴∠OAC=∠OCA=45°，∵∠OAB=∠OAC-∠BAC=45°-∠BAC，∠OFA=∠OCA-∠FAC=45°-∠FAC，∵∠BAC=∠FAC，∴∠OAB=∠OFA．∴△OAB∽△OFA，∴13 OB OAOA OF==．∴OF=9，即F（9，0）；设直线AF的解析式为y=kx+b（k≠0），可得093k bb=+⎧⎨-=⎩，解得133kb⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴直线AF的解析式为：133y x=-，将x=2代入直线AF的解析式得：73y=-，∴E（2，73 -）.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，求二次函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，求一次函数的解析式，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质，以及正确作出辅助线构造相似三角形.。
二次函数单元综合测试(Word版 含答案)
二次函数单元综合测试（Word版含答案）一、初三数学二次函数易错题压轴题（难）1．如图，二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A（1，0）和点B（3，0），交y轴于点C，抛物线上一点D的坐标为（4，3）（1）求该二次函数所对应的函数解析式；（2）如图1，点P是直线BC下方抛物线上的一个动点，PE//x轴，PF//y轴，求线段EF的最大值；（3）如图2，点M是线段CD上的一个动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点N，当△CBN是直角三角形时，请直接写出所有满足条件的点M的坐标．【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）EF的最大值为24；（3）M点坐标为可以为（2，3），（552+，3），（552-，3）．【解析】【分析】（1）根据题意由A、B两点坐标在二次函数图象上，设二次函数解析式的交点式，将D点坐标代入求出a的值，最后将二次函数的交点式转化成一般式形式．（2）由题意可知点P在二次函数图象上，坐标为（p，p2﹣4p+3）．又因为PF//y轴，点F 在直线BC上，P的坐标为（p，﹣p+3），在Rt△FPE中，可得FE2PF，用纵坐标差的绝对值可求线段EF的最大值．（3）根据题意求△CBN是直角三角形，分为∠CBN＝90°和∠CNB＝90°两类情况计算，利用三角形相似知识进行分析求解．【详解】解：（1）设二次函数的解析式为y＝a（x﹣b）（x﹣c），∵y＝ax2+bx+与x轴r的两个交点A、B的坐标分别为（1，0）和（3，0），∴二次函数解析式：y＝a（x﹣1）（x﹣3）．又∵点D（4，3）在二次函数上，∴（4﹣3）×（4﹣1）a＝3，∴解得：a＝1．∴二次函数的解析式：y＝（x﹣1）（x﹣3），即y＝x2﹣4x+3．（2）如图1所示．因点P 在二次函数图象上，设P （p ，p 2﹣4p+3）．∵y ＝x 2﹣4x+3与y 轴相交于点C ，∴点C 的坐标为（0，3）．又∵点B 的坐标为B （3，0），∴OB ＝OC∴△COB 为等腰直角三角形．又∵PF//y 轴，PE//x 轴，∴△PEF 为等腰直角三角形．∴EF 2PF ．设一次函数的l BC 的表达式为y ＝kx+b ，又∵B （3，0）和C （0，3）在直线BC 上，303k b b +=⎧⎨=⎩， 解得：13k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的解析式为y ＝﹣x+3．∴y F ＝﹣p+3．FP ＝﹣p+3﹣（p 2﹣4p+3）＝﹣p 2+3p ．∴EF 2p 22．∴线段EF 的最大值为，EF max 42-24． （3）①如图2所示：若∠CNB ＝90°时，点N 在抛物线上，作MN//y 轴，l//x 轴交y 轴于点E ，BF ⊥l 交l 于点F ．设点N 的坐标为（m ，m 2﹣4m+3），则点M 的坐标为（m ，3），∵C 、D 两点的坐标为（0，3）和（4，3），∴CD ∥x 轴．又∵∠CNE ＝∠NBF ，∠CEN ＝∠NFB ＝90°，∴△CNE ∽△NBF ．∴CE NE ＝NF BF， 又∵CE ＝﹣m 2+4m ，NE ＝m ；NF ＝3﹣m ，BF ＝﹣m 2+4m ﹣3，∴24m m m-+＝2343m m m --+-， 化简得：m 2﹣5m+5＝0．解得：m 1＝552+，m 2＝552-． ∴M 点坐标为（55+，3）或（55-，3） ②如图3所示：当∠CBN ＝90°时，过B 作BG ⊥CD ，∵∠NBF ＝∠CBG ，∠NFB ＝∠BGC ＝90°，∴△BFN ∽△CGB ．∵△BFN 为等腰直角三角形，∴BF ＝FN ，∴0﹣（m 2﹣4m+3）＝3﹣m ．∴化简得，m 2﹣5m+6＝0．解得，m ＝2或m ＝3（舍去）∴M 点坐标为，（2，3）． 综上所述，满足题意的M 点坐标为可以为（2，3），（552+，3），（552-，3）． 【点睛】本题考查待定系数法求解函数解析式，二次函数和三角函数求值，三角形相似等相关知识点；同时运用数形结合和分类讨论的思想探究点在几何图形上的位置关系．2．在平面直角坐标系中，抛物线22(0)y ax bx a =++≠经过点(2,4)A --和点(2,0)C ，与y 轴交于点D ，与x 轴的另一交点为点B ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接BD ，在抛物线上是否存在点P ，使得2PBC BDO ∠=∠？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，连接AC ，交y 轴于点E ，点M 是线段AD 上的动点（不与点A ，点D 重合），将CME △沿ME 所在直线翻折，得到FME ，当FME 与AME △重叠部分的面积是AMC 面积的14时，请直接写出线段AM 的长． 【答案】（1）22y x x =-++；（2）存在，（23，209）或（103，529-）；（3）5或 【解析】【分析】（1）根据点A 和点C 的坐标，利用待定系数法求解；（2）在x 轴正半轴上取点E ，使OB=OE ，过点E 作EF ⊥BD ，垂足为F ，构造出∠PBC=∠BDE ，分点P 在第三象限时，点P 在x 轴上方时，点P 在第四象限时，共三种情况分别求解；（3）设EF 与AD 交于点N ，分点F 在直线AC 上方和点F 在直线AC 下方时两种情况，利用题中所给面积关系和中线的性质可得MN=AN ，FN=NE ，从而证明四边形FMEA 为平行四边形，继而求解．【详解】解：（1）∵抛物线22(0)y ax bx a =++≠经过点A （-2，-4）和点C （2，0），则44220422a b a b -=-+⎧⎨=++⎩，解得：11a b =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为22y x x =-++；（2）存在，理由是：在x 轴正半轴上取点E ，使OB=OE ，过点E 作EF ⊥BD ，垂足为F ，在22y x x =-++中，令y=0，解得：x=2或-1，∴点B 坐标为（-1，0），∴点E 坐标为（1，0），可知：点B 和点E 关于y 轴对称，∴∠BDO=∠EDO ，即∠BDE=2∠BDO ，∵D （0，2），∴=，在△BDE 中，有12×BE ×OD=12×BD ×EF ，即2×EF ，解得：，∴，∴tan ∠BDE=EF DF =55÷=43， 若∠PBC=2∠BDO ，则∠PBC=∠BDE ，∵BE=2，则BD 2+DE 2＞BE 2，∴∠BDE 为锐角，当点P 在第三象限时，∠PBC 为钝角，不符合；当点P 在x 轴上方时，∵∠PBC=∠BDE ，设点P 坐标为（c ，22c c -++），过点P 作x 轴的垂线，垂足为G ，则BG=c+1，PG=22c c -++，∴tan ∠PBC=PG BG =221c c c -+++=43， 解得：c=23， ∴22c c -++=209， ∴点P 的坐标为（23，209）；当点P 在第四象限时，同理可得：PG=22c c --，BG=c+1，tan ∠PBC=PG BG =221c c c --+=43， 解得：c=103， ∴22c c -++=529-， ∴点P 的坐标为（103，529-）， 综上：点P 的坐标为（23，209）或（103，529-）；（3）设EF 与AD 交于点N ，∵A （-2，-4），D （0，2），设直线AD 表达式为y=mx+n ，则422m n n -=-+⎧⎨=⎩，解得：32m n =⎧⎨=⎩， ∴直线AD 表达式为y=3x+2，设点M 的坐标为（s ，3s+2），∵A （-2，-4），C （2，0），设直线AC 表达式为y=m 1x+n 1，则11114202m n m n -=-+⎧⎨=+⎩，解得：1112m n =⎧⎨=-⎩， ∴直线AC 表达式为y=x-2，令x=0，则y=-2，∴点E 坐标为（0，-2），可得：点E 是线段AC 中点，∴△AME 和△CME 的面积相等，由于折叠，∴△CME ≌△FME ，即S △CME =S △FME ，由题意可得：当点F 在直线AC 上方时，∴S △MNE =14S △AMC =12S △AME =12S △FME ， 即S △MNE = S △ANE = S △MNF ，∴MN=AN ，FN=NE ，∴四边形FMEA 为平行四边形， ∴CM=FM=AE=12AC=221442+22 ∵M （s ，3s+2）， ()()2223222s s -++=解得：s=45-或0（舍），∴M （45-，25-）， ∴AM=22422455⎛⎫⎛⎫-++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=6105，当点F 在直线AC 下方时，如图，同理可得：四边形AFEM 为平行四边形，∴AM=EF ，由于折叠可得：CE=EF ，∴AM=EF=CE=22，综上：AM 的长度为105或22 【点睛】 本题是二次函数综合题，涉及到待定系数法，二次函数的图像和性质，折叠问题，平行四边形的判定和性质，中线的性质，题目的综合性很强．难度很大，对学生的解题能力要求较高．3．如图，抛物线()250y ax bx a =+-≠经过x 轴上的点1,0A 和点B 及y 轴上的点C ，经过B C 、两点的直线为y x n =+．（1）求抛物线的解析式．（2）点P 从A 出发，在线段AB 上以每秒1个单位的速度向B 运动，同时点E 从B 出发，在线段BC 上以每秒2个单位的速度向C 运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t 秒，求t 为何值时，PBE △的面积最大并求出最大值． （3）过点A 作AM BC ⊥于点M ，过抛物线上一动点N （不与点B C 、重合）作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q ．若点A M N Q 、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的横坐标．【答案】（1）265y x x =-+- （2）2t =；2（3）5412或4或5412【解析】【分析】（1）先确定A 、B 、C 三点的坐标，然后用待定系数法解答即可；（2）先求出AB 、BC 的长并说明△BOC 是等腰直角三角形，再求出点P 到BC 的高d 为()24542d BP sin t =⋅︒=-，则12PBE S BE d =⨯⨯)()122244222t t t =⨯⨯-=-，再根据二次函数的性质即可确定最大值； （3）先求出2454222AM AB sin =⋅︒=⨯=N 作直线AM 的平行线交直线BC 于点,Q 则，再说明四边形AMNQ 是平行四边形，得到22NQ AM ==；再过点N 作NH x ⊥轴，交x 轴于点,G 交BC 于点,H 结合题意说明NQH 为等腰直角三角形，求得22884NH NQ HQ =+=+=；设()2,65N m m m -+-，则(),0G m ， (),5H m m -，最后分点N 在x 轴上方时、点N 在x 轴下方且5m >时和1m <三种情况解答即可．【详解】解：()1因为直线y x n =+经过B C 、两点，且点B 在x 轴上，点C 在y 轴上， ∵()(),,00,B n C n -∴抛物线25y ax bx =+-经过点1,0A ，点(),0B n -，点()0,C n ，∴250505a b an bn n +-=⎧⎪--=⎨⎪-=⎩，解得51,6n a b =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以抛物线的解析式为265y x x =-+-．()2∵()()()1,05,0,0,,5,A B C -∴4,AB BC BOC ==为等腰直角三角形，∴45,ABC ∠=由题意得4,2,02BP t BE t t =-=<≤点P 到BE的距离()4542d BP sin t =⋅︒=- 所以12PBE S BE d =⨯⨯)()1244222t t t t =⨯⨯-=-； ∵二次函数()()42f t t =-的函数图象开口向下，零点为0和4, ∴0422t +==时， ∴()()()22422maxf t f ==⨯⨯-=即2t =时，PBE △的面积最大，且最大值为()3由题意得454AM AB sin =⋅︒== 过点N 作直线AM 的平行线交直线BC 于点,Q 则,NQ BC ⊥ ∵点,A M N Q 、、为顶点的四边形是平行四边形，∴NQ AM ==过点N 作NH x ⊥轴，交x 轴于点,G 交BC 于点,H∵:5BC l y x =-，∴NQH 为等腰直角三角形，∴22884,NH NQ HQ =+=+=设()2,65N m m m -+-， 则(),0G m ，(),5H m m -，①点N 在x 轴上方时，此时()()2655,NH m m m =-+---∴()()26554m m m -+---=，即()()140,m m --=解得1m =（舍，因为此时点N 与点A 重合）或4m =；②点N 在x 轴下方且5m >时，此时()()2565,NH m m m =---+- ∴()()25654m m m ---+-=，即2540,m m --=解得54152m -=<（舍）或5412m +=③点N 在x 轴下方且1m <时，此时()()2565,NH m m m =---+- ∴()()25654m m m ---+-=，即2540,m m --=解得5412m -=或5412m +=（舍）综上所述，5414,2m m +==，5412m -=符合题意， 即若点,A M N Q 、、为顶点的四边形是平行四边形， 点N 的横坐标为541-或4或541+．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、平行四边形的判定与性质，掌握二次函数的性质以及分类讨论思想是解答本题的关键4．对于函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0），若存在实数x0，使得a 20x +（b+1）x 0+b ﹣2＝x0成立，则称x 0为函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点． （1）当a ＝2，b ＝﹣2时，求y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点；（2）若对于任何实数b ，函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）恒有两相异的不动点，求实数a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的图象上A ，B 两点的横坐标是函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点，且直线y ＝﹣x+2121a +是线段AB 的垂直平分线，求实数b 的取值范围．【答案】（1）不动点是﹣1或2；（2）a 的取值范围是0＜a ＜2；（3）b 的取值范围是﹣4≤b ＜0． 【解析】 【分析】（1）将a ＝2，b ＝﹣2代入函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0），得y ＝2x 2﹣x ﹣4，然后令x ＝2x 2﹣x ﹣4，求出x 的值，即y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点；（2）对于任何实数b ，函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）恒有两相异的不动点，可以得到x ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）时，对于任何实数b 都有△＞0，然后再设t ＝△，即可求得a 的取值范围；（3）根据y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的图象上A ，B 两点的横坐标是函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点，可知点A 和点B 均在直线y ＝x 上，然后设出点A 和点B 的坐标，从而可以得到线段AB 的中点坐标，再根据直线y ＝﹣x+2121a +是线段AB 的垂直平分线，从而可以求得b 的取值范围． 【详解】解：（1）当a ＝2，b ＝﹣2时， 函数y ＝2x 2﹣x ﹣4， 令x ＝2x 2﹣x ﹣4， 化简，得x 2﹣x ﹣2＝0 解得，x 1＝2，x 2＝﹣1，即y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点是﹣1或2； （2）令x ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2， 整理，得 ax 2+bx+b ﹣2＝0，∵对于任何实数b ，函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）恒有两相异的不动点，∴△＝b 2﹣4a （b ﹣2）＞0，设t ＝b 2﹣4a （b ﹣2）＝b 2﹣4ab+8a ，对于任何实数b ，t ＞0， 故（﹣4a ）2﹣4×1×8a ＜0， 解得，0＜a ＜2，即a 的取值范围是0＜a ＜2； （3）由题意可得， 点A 和点B 在直线y ＝x 上， 设点A （x 1，x 1），点B （x 2，x 2），∵A ，B 两点的横坐标是函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点， ∴x 1，x 2是方程ax 2+bx+b ﹣2＝0的两个根， ∴x 1+x 2＝﹣b a， ∵线段AB 中点坐标为（122x x +，122x x+）， ∴该中点的坐标为（2b a -，2b a-）， ∵直线y ＝﹣x+2121a +是线段AB 的垂直平分线，∴点（2b a -，2ba -）在直线y ＝﹣x+2121a +上， ∴2ba -＝21221b a a ++∴﹣b ＝221a a ≤+4，（当a ＝2时取等号）∴0＜﹣b∴﹣4≤b ＜0，即b 的取值范围是﹣4≤b ＜0． 【点睛】本题是一道二次函数综合题、主要考查新定义、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．5．在平面直角坐标系中，二次函数22y ax bx =+-的图象与x 轴交于点(4,0)A -，(1,0)B ，与y 轴交于点C ．（1）求此抛物线的解析式；（2）点P 是抛物线22y ax bx =+-上的任意一点，过点P 作x 轴的垂线PD ，直线PD交直线AC 于点D ．①是否存在点P ，使得PAC ∆的面积是ABC ∆面积的45？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．②点Q 是坐标平面内的任意一点，若以O ，C ，Q ，D 为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点Q 的坐标． 【答案】(1)213222y x x =+- (2)①存在，点P 的坐标为(22,12)-+-，(222,12)--+，(2,3)--②1816,55Q ⎫⎛-- ⎪⎝⎭，2(2,1)Q -，34525Q ⎝⎭，44525Q ⎛ ⎝⎭【解析】 【分析】(1)将(4,0)A -，(1,0)B 两点坐标代入解析式中求解即可； (2)①先求出△PAC 的面积为4，再求出直线AC 的解析式为122y x =--．设点P 的横坐标为(t ,213222t t +-)，利用21442∆∆∆=-=⋅=+=PAC PDC PDA S S S OA PD t t 即可求解； ②先设出D 点坐标，然后再按对角线分成三种情况讨论即可求解． 【详解】解：(1)由题意得,将(4,0)A -，(1,0)B 两点坐标代入解析式中：1642020a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得：1232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． ∴此抛物线的解析式为213222y x x =+-， 故答案为213222y x x =+-． (2)①存在点P ，使得PAC ∆的面积是ABC ∆面积的45．理由如下： 作出如下所示示意图：∵点(4,0)A -，(1,0)B ， ∴4OA =，5AB =， 令0x =，则2y =-， ∴(0,2)C -，∴2OC =， ∴1152522ABC S AB OC ∆=⋅=⨯⨯=， ∴445545PAC ABC S S ∆∆==⨯=， 设直线AC 的解析式为y mx n =+，则有402m n n -+=⎧⎨=-⎩，解得：122m n ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴直线AC 的解析式为122y x =--．设点P 的横坐标为t ，则其纵坐标为213222t t +-， 即213,222P t t t ⎫⎛+- ⎪⎝⎭． ∵PD x ⊥轴，则点D 的坐标为1,22t t ⎫⎛-- ⎪⎝⎭． ∴2213112222222PD t t t t t ⎫⎛=+----=+ ⎪⎝⎭． ∵22111424222PAC PDC PDA S S S OA PD t t t t ∆∆∆=-=⋅=⨯⨯+=+． ∴244t t +=，即2440t t +-=或2440t t ++=， 解得：1222t =-+，2222t =--，32t =-．∴点P 的坐标为(222,12)-+-，(222,12)--+，(2,3)--， 故答案为：(222,12)-+-或(222,12)--+或(2,3)--． ②分类讨论：情况一：当OC 为菱形的对角线时，此时DO=DC ，即D 点在线段OC 的垂直平分线， ∴D 点坐标(-2,-1)，将△OCD 沿y 轴翻折，此时四边形ODCQ 为菱形，故此时Q 点坐标为(2,-1)，如下图一所示，情况二：当OQ 为对角线时，DO=DQ ，如下图二所示，DQ=OC=OD=2，设D 点坐标1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭x x ，则EO=-x ，DE=122x +，在Rt △EDO 中，由勾股定理可知：EO²+ED²=DO²， 故221(2)42++=x x ，解得80(),5舍==-x x ，此时Q 点坐标为816,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭，情况三：当OD 为对角线时，OC=OQ=2，如下图三所示：设D 点坐标1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭m m ，则EO=|m|，DE=122m +，QE=2-(122m +)=12m ， 在Rt △QDO 中，由勾股定理可知：QE²+EO²=QO²， 故221()()42+=m m ，解得124545,==-m m ，此时Q 点坐标为4525,⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或4525,55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 综上所述，Q 点的坐标为1816,55Q ⎫⎛-- ⎪⎝⎭，2(2,1)Q -，34525,55Q ⎫⎛-⎪ ⎝⎭，44525,Q ⎫⎛-⎪ ⎝⎭．故答案为1816,55Q ⎫⎛-- ⎪⎝⎭，2(2,1)Q -，34525,Q ⎫⎛-⎪ ⎝⎭，44525,Q ⎫⎛-⎪ ⎝⎭．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积问题，菱形的存在性问题等，属于综合题，具有一定的难度，熟练掌握二次函数的图形及性质是解决本题的关键．6．如图，已知点()1,2A 、()()5,0B n n >，点P 为线段AB 上的一个动点，反比例函数()0ky x x=>的图像经过点P ．小明说：“点P 从点A 运动至点B 的过程中，k 值逐渐增大，当点P 在点A 位置时k 值最小，在点B 位置时k 值最大．”（1）当1n =时．①求线段AB 所在直线的函数表达式．②你完全同意小明的说法吗？若完全同意，请说明理由；若不完全同意，也请说明理由，并求出正确的k 的最小值和最大值．（2）若小明的说法完全正确，求n 的取值范围．【答案】（1）①1944y x =-+；②不完全同意小明的说法；理由见详解；当92x =时，k 有最大值8116；当1x =时，k 有最小值2；（2）109n ≥；【解析】 【分析】（1）①直接利用待定系数法，即可求出函数的表达式； ②由①得直线AB 为1944y x =-+，则21944k x x =-+，利用二次函数的性质，即可求出答案；（2）根据题意，求出直线AB 的直线为21044n n y x --=+，设点P 为（x ，kx），则得到221044n n k x x --=-，讨论最高项的系数，再由一次函数及二次函数的性质，得到对称轴52ba -≥，即可求出n 的取值范围． 【详解】解：（1）当1n =时，点B 为（5，1）， ①设直线AB 为y ax b =+，则251a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得：1494a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴1944y x =-+； ②不完全同意小明的说法；理由如下： 由①得1944y x =-+， 设点P 为（x ，kx），由点P 在线段AB 上则 1944k x x =-+， ∴22191981()444216k x x x =-+=--+； ∵104-<，∴当92x =时，k 有最大值8116； 当1x =时，k 有最小值2；∴点P 从点A 运动至点B 的过程中，k 值先增大后减小，当点P 在点A 位置时k 值最小，在92x =的位置时k 值最大． （2）∵()1,2A 、()5,B n ， 设直线AB 为y ax b =+，则25a b a b n +=⎧⎨+=⎩，解得：24104n a n b -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， ∴21044n ny x --=+， 设点P 为（x ，kx），由点P 在线段AB 上则 221044n n k x x --=-， 当204n -=，即n=2时，2k x =，则k 随x 的增大而增大，如何题意； 当n≠2时，则对称轴为：101042242n n x n n --==--；∵点P 从点A 运动至点B 的过程中，k 值逐渐增大，当点P 在点A 位置时k 值最小，在点B 位置时k 值最大．即k 在15x ≤≤中，k 随x 的增大而增大； 当204n ->时，有 ∴20410124n n n -⎧>⎪⎪⎨-⎪≤⎪-⎩，解得：26n n >⎧⎨≥-⎩，∴不等式组的解集为：2n >； 当204n -<时，有∴2410524nnn-⎧<⎪⎪⎨-⎪≥⎪-⎩，解得：1029n≤<，∴综合上述，n的取值范围为：109n≥．【点睛】本题考查了二次函数的性质，反比例函数的性质，一次函数的性质，以及解不等式组，解题的关键是熟练掌握所学的知识，掌握所学函数的性质进行解题，注意利用分类讨论的思想进行分析．7．定义：函数l与l'的图象关于y轴对称，点(),0P t是x轴上一点，将函数l'的图象位于直线x t=左侧的部分，以x轴为对称轴翻折，得到新的函数w的图象，我们称函数w是函数l的对称折函数，函数w的图象记作1F，函数l的图象位于直线x t=上以及右侧的部分记作2F，图象1F和2F合起来记作图象F．例如：如图，函数l的解析式为1y x=+，当1t=时，它的对称折函数w的解析式为()11y x x=-<．（1）函数l的解析式为21y x=-，当2t=-时，它的对称折函数w的解析式为_______；（2）函数l的解析式为1²12y x x=--，当42x-≤≤且0t=时，求图象F上点的纵坐标的最大值和最小值；（3）函数l的解析式为()2230y ax ax a a=--≠．若1a=，直线1y t=-与图象F有两个公共点，求t的取值范围．【答案】（1）()212y x x=+<-；（2）F的解析式为2211(0)211(0)2y x x xy x x x⎧=--≥⎪⎪⎨⎪=--+<⎪⎩；图象F上的点的纵坐标的最大值为32y=，最小值为3y=-；（3）当3t=-，312t<≤，352t+<<时，直线1y t=-与图象F有两个公共点．【解析】【分析】（1）根据对折函数的定义直接写出函数解析式即可；（2）先根据题意确定F的解析式，然后根据二次函数的性质确定函数的最大值和最小值即可；（3）先求出当a=1时图像F的解析式，然后分14t-=-、点(),1t t-落在223()y x x x t=--≥上和点(),1t t-落在()223y x x x t=--+<上三种情况解答，最后根据图像即可解答．【详解】解：（1）()212y x x=+<-（2）F的解析式为2211(0)211(0)2y x x xy x x x⎧=--≥⎪⎪⎨⎪=--+<⎪⎩当4x=-时，3y=-，当1x=-时，32y=，当1x=时，32y=-，当2x=时，1y=，∴图象F上的点的纵坐标的最大值为32y=，最小值为3y=-.（3）当1a=时，图象F的解析式为2223()23()y x x x ty x x x t⎧=--≥⎨=--+<⎩∴该函数的最大值和最小值分别为4和-4；a：当14t-=-时，3t=-，∴当3t=-时直线1y t=-与图象F有两个公共点；b：当点(),1t t-落在223()y x x x t=--≥上时，2123t t t-=--，解得1t=232t=c：当点(),1t t-落在()223y x x x t=--+<上时，2123t t t-=--+，解得34t=-（舍），41t=14t-=，∴55t=∴当31712t -<≤或31752t +<<时，直线1y t =-与图象F 有两个公共点； 综上所述：当3t =-，3171t -<≤，3175t +<<时，直线1y t =-与图象F 有两个公共点.【点睛】 本题属于二次函数综合题，考查了“称折函数”的定义、二次函数的性质、解二元一次方程等知识，弄清题意、灵活运用所学知识是解答本题的关键．8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠交x 轴于点(2,0),(3,0)A B -，交y 轴于点C ，且经过点(6,6)D --，连接,AD BD ．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）△ANM 与ABD ∆是否相似?若相似，请求出此时点M 、点N 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P 是直线AD 上方的抛物线上一动点(不与点,A D 重合)，过P 作//PQ y 轴交直线AD 于点Q ，以PQ 为直径作⊙E ，则⊙E 在直线AD 上所截得的线段长度的最大值等于 ．（直接写出答案）【答案】（1）2113442y x x =--+；（2）点M （0，32）、点N （34，0）或点M （0，32），N （-3，0）或点M （-1，32）、点N （-3，0）或N （14-，0）、M （-1，32）；（3）QH 有最大值，当x=2-时，其最大值为125． 【解析】【分析】（1）用交点式函数表达式得：y=a （x-2）（x+3），将点D 坐标代入上式即可求解； （2）分∠MAB=∠BAD 、∠MAB=∠BDA ，两种大情况、四种小情况，分别求解即可； （3）根据题意，利用二次函数的性质和三角函数，QH=PQcos ∠PQH=35PQ=352113(442x x --+33)42x -+=23392055x x --+，即可求解．【详解】解：（1）用交点式函数表达式得：y=a （x-2）（x+3），将点D 坐标代入上式并解得：14a =-， 故函数的表达式为：2113442y x x =--+…①， 则点C （0，32）；（2）由题意得：AB=5，AD=10，BD=，①∠MAN=∠ABD 时，（Ⅰ）当△ANM ∽△ABD 时，直线AD 所在直线的k 值为34，则直线AM 表达式中的k 值为34-， 则直线AM 的表达式为：3(2)4y x =--，故点M （0，32）， AD AB AM AN =，则AN=54，则点N （34，0）； （Ⅱ）当△AMN ∽△ABD 时，同理可得：点N （-3，0），点M （0，32）， 故点M （0，32）、点N （34，0）或点M （0，32），N （-3，0）； ②∠MAN=∠BDA 时，（Ⅰ）△ABD ∽△NMA 时， ∵AD ∥MN ，则tan ∠MAN=tan ∠BDA=12， AM ：y=12-（x-2），则点M （-1，32）、点N （-3，0）； （Ⅱ）当△ABD ∽△MNA 时，AD BDAM AN ==， 解得：AN=94， 故点N （14-，0）、M （-1，32）； 故：点M （-1，32）、点N （-3，0）或N （14-，0）、M （-1，32）；综上，点M （0，32）、点N （34，0）或点M （0，32），N （-3，0）或点M （-1，32）、点N （-3，0）或N （14-，0）、M （-1，32）； （3）如图所示，连接PH ，由题意得：tan ∠PQH=43，则cos ∠PQH=35， 则直线AD 的表达式为：y=3342x -， 设点P （x ，2113442x x --+），则点Q （x ，3342x -）， 则QH=PQcos ∠PQH=35PQ=352113(442x x --+33)42x -+ =23392055x x --+ =2312(2)205x -++， ∵3020-<， 故QH 有最大值，当x=2-时，其最大值为125． 【点睛】本题考查的是二次函数综合应用，涉及到一次函数、圆的基本知识，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，其中（2）需要分类求解共四种情况，避免遗漏．9．如图，直线3y x 与x 轴、y 轴分别交于点A ，C ，经过A ，C 两点的抛物线2y ax bx c =++与x 轴的负半轴的另一交点为B ，且tan 3CBO ∠=（1）求该抛物线的解析式及抛物线顶点D 的坐标；（2）点P 是射线BD 上一点，问是否存在以点P ，A ，B 为顶点的三角形，与ABC 相似，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）243y x x =++，顶点(2,1)D --；（2）存在，52,33P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭或(4,3)-- 【解析】【分析】（1）利用直线解析式求出点A 、C 的坐标，从而得到OA 、OC ，再根据tan ∠CBO=3求出OB ，从而得到点B 的坐标，然后利用待定系数法求出二次函数解析式，整理成顶点式形式，然后写出点D 的坐标；（2）根据点A 、B 的坐标求出AB ，判断出△AOC 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出AC ，∠BAC=45°，再根据点B 、D 的坐标求出∠ABD=45°，然后分①AB 和BP 是对应边时，△ABC 和△BPA 相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出BP ，过点P 作PE ⊥x 轴于E ，求出BE 、PE ，再求出OE 的长度，然后写出点P 的坐标即可；②AB 和BA 是对应边时，△ABC 和△BAP 相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出BP ，过点P 作PE ⊥x 轴于E ，求出BE 、PE ，再求出OE 的长度，然后写出点P 的坐标即可．【详解】解：（1）令y=0，则x+3=0，解得x=-3，令x=0，则y=3，∴点A （-3，0），C （0，3），∴OA=OC=3，∵tan ∠CBO=3OC OB=， ∴OB=1，∴点B （-1，0），把点A 、B 、C 的坐标代入抛物线解析式得， 93003a b c a b c c -+=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩，解得：143a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴该抛物线的解析式为：243y x x =++，∵y=x 2+4x+3=（x+2）2-1，∴顶点(2,1)D --；（2）∵A （-3，0），B （-1，0），∴AB=-1-（-3）=2，∵OA=OC，∠AOC=90°，∴△AOC是等腰直角三角形，∴AC=2OA=32，∠BAC=45°，∵B（-1，0），D（-2，-1），∴∠ABD=45°，①AB和BP是对应边时，△ABC∽△BPA，∴AB ACBP BA=，即2322BP=，解得BP=223，过点P作PE⊥x轴于E，则BE=PE=23×22=23，∴OE=1+23=53，∴点P的坐标为（-53，-23）；②AB和BA是对应边时，△ABC∽△BAP，∴AB ACBA BP=，即2322=，解得BP=32过点P作PE⊥x轴于E，则BE=PE=32×22=3， ∴OE=1+3=4， ∴点P 的坐标为（-4，-3）；综合上述，当52,33P ⎛⎫--⎪⎝⎭或(4,3)--时，以点P ，A ，B 为顶点的三角形与ABC ∆相似；【点睛】本题是二次函数综合题型，主要利用了直线与坐标轴交点的求解，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，难点在于（2）要分情况讨论．10．在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2+bx +2的图象与x 轴交于A （﹣3，0），B （1，0）两点，与y 轴交于点C ．（1）求这个二次函数的关系解析式；（2）点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点P ，使△ACP 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；（3）在平面直角坐标系中，是否存在点Q ，使△BCQ 是以BC 为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由；【答案】（1）224233y x x =--+；（2）存在，点P 35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，使△PAC 的面积最大；（3）存在点Q ，使△BCQ 是以BC 为腰的等腰直角三角形．Q 点坐标为：Q 1（2，3），Q 2（3，1），Q 3（﹣1，﹣1），Q 4（﹣2，1）．【解析】【分析】（1）直接把点A （﹣3，0），B （1，0）代入二次函数y ＝ax 2+bx+2求出a 、b 的值即可得出抛物线的解析式；（2）设点P 坐标为（m ，n ），则n ＝﹣23m 2﹣43m+2，连接PO ，作PM ⊥x 轴于M ，PN ⊥y 轴于N ．根据三角形的面积公式得出△PAC 的表达式，再根据二次函数求最大值的方法得出其顶点坐标即可；（3）以BC 为边，在线段BC 两侧分别作正方形，正方形的其他四个顶点均可以使得“△BCQ 是以BC 为腰的等腰直角三角形”，因此有四个点符合题意要求，再过Q 1点作Q 1D ⊥y 轴于点D ，过点Q 2作Q 2E ⊥x 轴于点E ，根据全等三角形的判定定理得出△Q 1CD ≌△CBO ，△CBO ≌△BQ 2E ，故可得出各点坐标．【详解】（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx+2过点A （﹣3，0），B （1，0），∴093202a b a b =-+⎧⎨=++⎩ 2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得 ∴二次函数的关系解析式为y ＝﹣23x 2﹣43x+2； （2）存在．∵如图1所示，设点P 坐标为（m ，n ），则n ＝﹣23m 2﹣43m+2． 连接PO ，作PM ⊥x 轴于M ，PN ⊥y 轴于N ．则PM ＝﹣23m 2﹣43m+2．，PN ＝﹣m ，AO ＝3． ∵当x ＝0时，y ＝﹣23×0﹣43×0+2＝2， ∴OC ＝2，∴S △PAC ＝S △PAO +S △PCO ﹣S △ACO ＝12AO•PM+12CO•PN ﹣12AO•CO ＝12×3×（﹣23m 2﹣43m+2）+12×2×（﹣m ）﹣12×3×2 ＝﹣m 2﹣3m∵a ＝﹣1＜0∴函数S △PAC ＝﹣m 2﹣3m 有最大值∴当m ＝﹣2b a ＝﹣32时，S △PAC 有最大值． ∴n ＝﹣23m 2﹣43m+2＝﹣23×（﹣32）2﹣43×（﹣32）+2＝52， ∴存在点P （﹣32，52），使△PAC 的面积最大．（3）如图2所示，以BC 为边在两侧作正方形BCQ 1Q 2、正方形BCQ 4Q 3，则点Q 1，Q 2，Q 3，Q 4为符合题意要求的点．过Q 1点作Q 1D ⊥y 轴于点D ，过点Q 2作Q 2E ⊥x 轴于点E ， ∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，∠3+∠4＝90°，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，在△Q 1CD 与△CBO 中，∵11324Q C BC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△Q 1CD ≌△CBO ，∴Q 1D ＝OC ＝2，CD ＝OB ＝1，∴OD ＝OC+CD ＝3，∴Q 1（2，3）；同理可得Q 4（﹣2，1）；同理可证△CBO ≌△BQ 2E ，∴BE ＝OC ＝2，Q 2E ＝OB ＝1，∴OE ＝OB+BE ＝1+2＝3，∴Q 2（3，1），同理，Q 3（﹣1，﹣1），∴存在点Q ，使△BCQ 是以BC 为腰的等腰直角三角形．Q 点坐标为：Q 1（2，3），Q 2（3，1），Q 3（﹣1，﹣1），Q 4（﹣2，1）．【点睛】本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求二次函数解析式，二次函数极值、全等三角形的判定与性质，正方形及等腰直角三角形的性质等知识，涉及面较广，难度较大．。
第六章二次函数单元测试试题(1)
二次函数单元测试试题01一、选择题：(每小题3分,共30分)1.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( )A ．2y ax bx c =++B ． 220x y +-=C ． 22y ax -=-D ．2210x y -+= 2．在同一坐标系中，作22y x =、22y x =-、212y x =的图象，它们共同特点是 ( ) A ． 都是关于x 轴对称，抛物线开口向上 c ．都是关于y 轴对称，抛物线开口向下B ． 都是关于原点对称，顶点都是原点 D ．都是关于y 轴对称，顶点都是原点3．抛物线122+--=m mx x y 的图象过原点，则m 为 （ ）A ．0B ．1C ．－1D ．±14．把二次函数122--=x x y 配方成顶点式为 （ ）A ．2)1(-=x yB ． 2)1(2--=x yC ．1)1(2++=x yD ．2)1(2-+=x y5．已知原点是抛物线y=(m-1)x 2的最高点，则m 的范围是 ( )A ． 1-<mB ． 1<mC ． m ﹥1D ． 2->m6、函数y= x 2-2x+2的图象顶点坐标是 ( )A 、（－1，1）B 、（1 ，1）C 、（0 , 1）D 、(1 , 0 )7、抛物线23y x =向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是 ( ) A 、23(1)2y x =-- B 、23(1)2y x =+- C 、23(1)2y x =++ D 、23(1)2y x =-+ 8、已知h 关于t 的函数关系式212h gt =（ g 为正常数，t 为时间）如图，则函数图 象为 ( )9、下列四个函数中, 图象的顶点在x 轴上的函数是 （ ）A 、232y x x =-+B 、25y x =-C 、22y x x =-+ D 、244y x x =-+10、已知二次函数20，c ﹤0，那么它的图象大致是 （ ）二、填空题：(每小题3分,共30分)11、函数21(1)21m y m xmx +=--+是抛物线，则m ＝ . 12、抛物线223y x x =--+与x 轴交点为 ，与y 轴交点为 .13、二次函数2y ax =-2的图象过点（1，-2），则它的解析式是 ，当x 时，y 随x 的增大而减小.14．抛物线2)1(62-+=x y 可由抛物线262-=x y 向 平移 个单位得到．15．抛物线342++=x x y 的对称轴是直线 在x 轴上截得的线段长度是 ．16．已知抛物线y=x 2-x-1与x 轴的一个交点为(m, 0)，则代数式m 2-m+2014的值为 ．17．抛物线m x x y +-=2，若其顶点在x 轴上，则=m ．18. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x ＝－3，且开口方向与形状与抛物线y= -2 x 2相同，又过原点，那么a ＝ ，b ＝ ，c ＝ .19、二次函数2y x bx c =++的图象如下左图所示，则对称轴是 ，当函数值y ﹥0时，对应x 的取值范围是 .20、已知二次函数21(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点A （－2，6）和B （8，3），如上右图所示，则能使1y ﹤y 2成立的x 的取值范围 .三、解答题：（共90分）21(本题12分，每小题4分)、根据所给条件求抛物线的解析式：（1）、抛物线过点（0，2）、（1，1）、（3，5）（2）、抛物线的顶点坐标为（2，-3）且过（3，-4）（3），抛物线与x 轴交点坐标为(-1,0)(3,0)且过（1，-2）22(本题10分)．已知二次函数c bx x y ++=2的图像经过A （0，2），B （1，－3）两点.(1)求b 和c 的值； (2）试判断点P （－1，3）是否在此函数图像上？23.(本题8分)、某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元，设矩形一边长为x 米，面积为S 平方米.（1） 求出S 与x 之间的函数关系式，并确定自变量x 的取值范围；（2） 请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用.24.(本题10分)、如图，抛物线n x x y ++-=52经过点A(1，0)，与y 轴交于点B.⑴求抛物线的解析式；⑵P 是y 轴上一点，且△PAB 是以AB 为腰的等腰三角形，试求P 点坐标.(3)将抛物线n x x y ++-=52经过怎样的一次平移使它经过原点25.（18分）已知42)2(-++=k k x k y ＋2x+3是二次函数，且函数图象有最高点。
二次函数单元测试题(卷)(含答案)
二次函数单元测试题(卷)(含答案) 二次函数单元测试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1.当-2≤x≦1，二次函数y=-(x-m)^2+ m+1有最大值4，则实数m值为（）A.-7/4B.3或-3C.2或-3D.2或3或-7/42.函数y=mx+x-2m（m是常数）的图像与x轴的交点个数为（）A.0个B.1个C.2个D.1个或2个3.关于二次函数y=ax^2+bx+c的图像有下列命题：①当c=0时，函数的图像经过原点；②当c>0，并且函数的图像开口向下时，方程ax^2+bx+c=0必有两个不相等的实根；③函数图像最高点的纵坐标是4ac-b^2/4a；④当b=0时，函数的图像关于y轴对称。
其中正确命题的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个4.关于二次函数y=2mx+(8m+1)x+8m的图像与x轴有交点，则m的范围是（）A.m-1/16且m≠0 D。
m≥-1/165.下列二次函数中有一个函数的图像与x轴有两个不同的交点，这个函数是（）A.y=x^2B.y=x+4C.y=3x^2-2x+5D.y=3x+5x-16.若二次函数y=ax+c，当x取x1、x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值为（）A.a+cB.a-cC.-cD.c7.下列二次函数中有一个函数的图像与坐标轴有一个交点，这个函数是（）A.y=x^2-2B.y=x+4C.y=x^2-2x+1D.y=3x+5x-18.抛物线y=-3x^2+2x-1的图象与坐标轴交点的个数是（）A.没有交点B.只有一个交点C.有且只有两个交点D.有且只有三个交点9.函数y=ax^2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的一元二次方程ax^2+bx+c-3=0的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个异号的实数根C.有两个相等的实数根D.没有实数根10.若把函数y=x的图象用E(x,x)记，函数y=2x+1的图象用E(x,2x+1)记，……则E(x,x-2x+1)可以由E(x,x)怎样平移得到？A.向上平移1个单位B.向下平移1个单位C.向左平移1个单位D.向右平移1个单位二、填空题11.抛物线y=2x-8-3x与x轴有2个交点，因为其判别式b^2-4ac=2，相应二次方程3x-2x+8=0的根的个数为2.12.关于x的方程mx^2+mx+5=m有两个相等的实数根，则相应二次函数y=mx^2+mx+5-m与x轴必然相交于两点，此时m=0和(x,0)，若x+1/x=7，要使抛物线经过原点，应将它向右平移1个单位。
二次函数单元测试题及答案详解
二次函数单元测试题一、选择题1、二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（）2、如图为抛物线的图像，A、B、C为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是（）A．a＋b=－1 B．a－b=－1 C．b<2a D．ac<03、已知函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A. B. C.且 D.且4、抛物线C1：y=x2+1与抛物线C2关于轴对称，则抛物线C2的解析式为A. y=-x2B. y=-x2+1C. y=x2-1D. y=-x2-15、将抛物线y=2x2向左平移3个单位,再向上平移1个单位得到的抛物线,其解析式是A. y=2(x+3)2+1B. y=2(x－3)2－1C.y=2(x+3)2－1D. y=2(x－3)2+16、根据下表中的二次函数的自变量x与函数y的对应值，可判断二次函数的图象与x 轴…………………………………………………【】X ……-1 0 1 2 ……Y ……-9 -3 -1 -3 ……A.只有一个交点B.有两个交点，且它们分别在y轴两侧C.有两个交点，且它们均在y轴同侧D.无交点7、如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（）A．﹣1＜x＜5 B．x＞5C．x＜﹣1且x＞5 D．x＜﹣1或x＞58、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①b﹣2a=0；②abc＜0；③a﹣2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有（）A．3个B．2个C．1个D．0个9、二次函数的图象如图，若一元二次方程有实数根，则的最大值为（）A．B．3 C．D．910、如图，在正方形ABCD中，AB=3cm，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度运动，同时动点N自A点出发沿折线AD—DC—CB以每秒3cm的速度运动，到达B点时运动同时停止，设△AMN的面积为y（cm2），运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间的函数关系的是11、如图，已知□ABCD中，AB=4,AD=2,E是AB边上的一动点（与点A、B不重合），设AE=,DE的延长线交CB的延长线于点F，设BF=，则下列图象能正确反映与的函数关系的是12、若二次函数（为常数）的图象如下，则的值为（）A． B． C．或 D．13、如图，四边形ABCD是边长为1 的正方形，四边形EFGH是边长为2的正方形，点D与点F重合，点B，D （F），H在同一条直线上，将正方形ABCD沿F→H方向平移至点B与点H重合时停止，设点D、F之间的距离为x，正方形ABCD与正方形EFGH重叠部分的面积为y，则能大致反映y与 x之间函数关系的图象是（）14、如图所示，二次函数的图像经过点（－1，2），且与轴交点的横坐标分别为，，其中，，下列结论：①；②；③；④其中正确的有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个15、抛物线的部分图像如图所示，若y>0，则的取值范围是( )A． B． C． D．二、填空题16、已知二次函数x+2的图象与x轴分别交于A、B两点（如图所示），与y轴交于点C，点P是其对称轴上一动点，当PB+PC取得最小值时，点P的坐标为．17、已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示，（1）给出三个结论：①b2-4ac>0；②c>0；③b>0，其中正确结论的序号是： .（2）给出三个结论：①9a+3b+c<0；②2c>3b；③8a+c>0，其中正确结论的序号是： .18、如图7，把抛物线y=x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（-6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=x2交于点Q，则图中阴影部分的面_____________．19、已知直线（p＞0）与x轴、y轴分别交于点A和点B，过B点的抛物线的顶点为C，如果△ABC恰为等边三角形，则b的值为．20、已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过点(－1，0)，且顶点在第一象限．有下列三个结论：①a＜0；②a＋b＋c＞0；③－＞0．其中正确的结论有。
二次函数单元测试卷含答案
二次函数单元测试卷一、选择题（每题 3 分，共 30 分）1.当 -2 ≤ x≦1, 二次函数 y=- （ x-m）2 + m2 +1有最大值4，则实数 m值为（）7 B. 3 或-3或 -3 D. 2或 3或-7 442.函数ymx2x2m（m是常数）の图像与x轴の交点个数为（）A.0 个 B ．1个 C ．2个 D ．1个或 2个3.关于二次函数yax2bxcの图像有以下命题：①当c时，函数の图像经过原点；②当c0，且函数の图像张口向下时，方程ax 2bx c 0必有两个不相等の实根；③函数图像最高点の纵坐标是4ac b2y轴对称．此中正确命题の个数是（4a；④当 b0时，函数の图像关于）A.1 个 B ．2个C． 3 个 D ．4个4.关于xの二次函数y2mx2(8m1)x8mの图像与x轴有交点，则mの范围是（）m1m ≥1m1m11616 且m 01616 且m 0A ．B ．C． D ．5.以下二次函数中有一个函数の图像与x 轴有两个不一样の交点，这个函数是（）2B ．y x24C．y 3x22x 5D．y 3x25x 1A ．y x6.若二次函数 y ax2 c ，当 x 取 x1、 x2（ x1x2）时，函数值相等，则当x 取 x1x2时，函数值为（）A ．a c B．a c C ．c D ．c7.以下二次函数中有一个函数の图像与坐标轴有一个交点，这个函数是（）A ．y x2—1B ．y x24C．y x2—2x 1 D．y 3x25x 18.抛物线 y3x22x1の图象与坐标轴交点の个数是（）A ．没有交点B．只有一个交点C．有且只有两个交点D．有且只有三个交点9.函数 y ax 2bx c の图象以以下图，那么关于x の一元二次方程ax2bx c30 の根の状况是（）yA ．有两个不相等の实数根B．有两个异号の实数根3C ．有两个相等の实数根D ．没有实数根Ｏx10.. 若把函数 y=x の象用 E（ x， x），函数 y=2x+1 の象用 E（ x，2x+1），⋯⋯E（x， x22x1）可以由E（x， x2）怎平移获得？A ．向上平移１个位B ．向下平移１个位C ．向左平移１个位D．向右平移１个位二、填空（每小 3 分，共 24 分）11. 抛物y2x83x2与 x 有个交点，因其判式b24ac0 ，相二次方程 3x2 2 x80 の根の个数．12. 关于xの方程mx2mx 5 m 有两个相等の数根，相二次函数y mx2mx5m 与 x 必然订交于点，此 m．13. 抛物y x2(2 m 1)x 6m 与 x 交于两点 ( x1，0) 和 ( x2，0) ，若 x1x2x1 x249，要使抛物原点，将它向右平移个位．14. 如所示，函数y(k 2) x 27x (k 5) の像与 x 只有一个交点，交点の横坐x．yＯx15.已知二次函数 y 1 x2bx c ，关于xの一元二次方程 1 x2bx c 0 の两个22根是1和 5，个二次函数の分析式16.若函数 y=（ m 1） x2 4x+2mの象与 x 有且只有一个交点，mの17.若根式1有意，双曲y= 2k - 2与抛物 y=x2+2x+2－2k の交点在第象限 .22k x18.将二次三式 x2+16x+100 化成（ x+p）2+q の形式三、解答（本大共7 小，共66 分）19.. （7 分）已知一个二次函数の象点（0， 0），（ 1， 3），（ 2， 8），求函数分析式。
二次函数单元测试题及答案
二次函数单元测试题及答案一、选择题1. 二次函数y = ax^2 + bx + c中，当a的值变为原来的2倍时，函数图像如何变化？A. 向上平移B. 向下平移C. 向左平移D. 向右平移答案：B2. 下列哪个选项是二次函数的标准形式？A. y = x^2 + 2x + 1B. y = 2x^2 - 3x + 4C. y = 3x + 4D. y = x - 2答案：B3. 若二次函数y = -2x^2 + 3x + 1的顶点坐标为(1, 2)，则下列哪个选项是正确的？A. a = -2, b = 3, c = 1B. a = 2, b = -3, c = -1C. a = -2, b = -3, c = -1D. a = 2, b = 3, c = 1答案：A4. 二次函数y = 3x^2 - 6x + 9的最小值是多少？A. 0B. 3C. 9D. 无法确定答案：C5. 如果二次函数y = x^2 + 4x + 4的图像与x轴相交于两点A和B，那么线段AB的长度是多少？A. 2B. 4C. 6D. 8答案：C二、填空题6. 已知二次函数y = 2x^2 - 5x + 3，其顶点坐标为__________。
答案：(1, -1)7. 函数y = -x^2 + 4x - 3的最大值是__________。
答案：18. 若二次函数y = 3x^2 - 2x - 5的图像关于y轴对称，则新的函数表达式为y = __________。
答案：y = 3x^2 + 2x - 5三、解答题9. 已知二次函数y = -2x^2 + 6x + 3，求该函数在x = -1时的函数值。
答案：当x = -1时，y = -2*(-1)^2 + 6*(-1) + 3 = -2 - 6 + 3 =-5。
10. 给定二次函数y = x^2 - 6x + 9，求该函数的对称轴方程。
答案：对称轴为x = -b/(2a) = -(-6)/(2*1) = 3。
二次函数单元测试卷(含答案)
二次函数单元测试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1. 当-2≤ x ≦1,二次函数y=-（x-m ）2+ m 2+1有最大值4，则实数m 值为（ ）A.-47B. 3或-3C.2或-3D. 2或3或-47 2. 函数22y mx x m =+-（m 是常数）的图像与x 轴的交点个数为（）A. 0个 B ．1个 C ．2个 D ．1个或2个3. 关于二次函数2y ax bx c =++的图像有下列命题：①当0c =时，函数的图像经过原点；②当0c >，且函数的图像开口向下时，方程20ax bx c ++=必有两个不相等的实根；③函数图像最高点的纵坐标是244ac b a -；④当0b =时，函数的图像关于y 轴对称．其中正确命题的个数是（）A. 1个B ．2个C ．3个D ．4个4. 关于x 的二次函数22(81)8y mx m x m =+++的图像与x 轴有交点，则m 的范围是（ ）A ．116m <-B ．116m -≥且0m ≠C ．116m =-D ．116m >-且0m ≠5. 下列二次函数中有一个函数的图像与x 轴有两个不同的交点，这个函数是（ ） A ．2y x =B ．24y x =+C ．2325y x x =-+D ．2351y x x =+-6. 若二次函数2y ax c =+，当x 取1x 、2x （12x x ≠）时，函数值相等，则当x 取12x x +时，函数值为（ ）A ．a c +B ．a c -C ．c -D ．c7. 下列二次函数中有一个函数的图像与坐标轴有一个交点，这个函数是（ ） A ．1x y 2—=B ．24y x =+ C ．1x 2x y 2+=— D ．2351y x x =+-8. 抛物线2321y x x =-+-的图象与坐标轴交点的个数是（ ）A ．没有交点B ．只有一个交点C ．有且只有两个交点D ．有且只有三个交点9. 函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么关于x 的一元二次方程230ax bx c ++-=的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个异号的实数根C ．有两个相等的实数根D ．没有实数根10..若把函数y=x 的图象用E （x ，x ）记，函数y=2x+1的图象用E （x ，2x+1）记，……则 E （x ，122+-x x ）可以由E （x ，2x ）怎样平移得到？A ．向上平移１个单位B ．向下平移１个单位C ．向左平移１个单位D ．向右平移１个单位 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 抛物线2283y x x =--与x 轴有个交点，因为其判别式24b ac -=0，相应二次方程23280x x -+=的根的个数为．12. 关于x 的方程25mx mx m ++=有两个相等的实数根，则相应二次函数25y mx mx m =++-与x 轴必然相交于点，此时m =．13. 抛物线2(21)6y x m x m =---与x 轴交于两点1(0)x ，和2(0)x ，，若121249x x x x =++，要使抛物线经过原点，应将它向右平移个单位．14.如图所示，函数2(2)(5)y k x k =-+-的图像与x 轴只有一个交点，则交点的横坐标0x =．15. 已知二次函数212y x bx c =-++，关于x 的一元二次方程2102x bx c -++=的两个实 根是1-和5-，则这个二次函数的解析式为16. 若函数y=（m ﹣1）x 2﹣4x+2m 的图象与x 轴有且只有一个交点，则m 的值为 17.y =x2-k 2与抛物线y =x 2+2x +2－2k 的交点在第 象限.18. 将二次三项式x 2+16x+100化成（x+p ）2+q 的形式应为 三、解答题（本大题共7小题，共66分）19..（7分）已知一个二次函数的图象经过点（0，0），（1，﹣3），（2，﹣8），求函数解析式。
二次函数单元测试卷及答案
二次函数单元测试卷及答案第一部分：选择题（共10题，每题2分）1. 若 $f(x)=2x^2+6x+1$，则该函数的抛物线开口向上（）。
A. 对B. 错2. 对于函数 $f(x)=ax^2+bx+c$，若 $a>0$，则抛物线开口（）。
A. 向上B. 向下3. 已知 $f(x)=x^2+bx+c$，若 $b^2-4c>0$，则该函数（）。
A. 有两个实根B. 无实根C. 有一个实根4. 若 $f(x)=\frac{1}{2}x^2+ax+b$ 的导函数为 $f'(x)=x+1$，则 $f(x)$ 的解析式为（）。
A. $\frac{1}{2}x^2+x+1$B. $\frac{1}{2}x^2+2x+1$C.$\frac{1}{2}x^2+x+2$5. 设 $f(x)=2x^2-10x+8$，$g(x)=x^2-3x+7$，则 $f(x)-g(x)$ 的值域为（）。
A. $(0,+\infty)$B. $(-\infty,0)$C. $[0,+\infty)$6. 函数 $f(x)=x^2-2mx+1$ 与 $y=0$ 交点的横坐标为 $4$，则 $m$ 的值为（）。
A. $1$B. $2$C. $-1$7. 若 $f(x)=x^2+1$，则 $f(2x+1)$ 的最小值为（）。
A. $2$B. $5$C. $6$8. 已知函数 $f(x)=ax^2+bx+c$ 在 $x=1$ 处有极值 $0$，则 $a+b+c$ 等于（）。
A. $-1$B. $0$C. $1$9. 函数 $f(x)=x^2-2x+5$ 与 $g(x)=2x-1$ 的交点横坐标之和为（）。
A. $0$B. $1$C. $2$10. 若 $f(x)=x^2-2x-15$，则 $f(x)$ 的零点为（）。
A. $-3,5$B. $-5,3$C. $-3,-5$答案：1.A 2.A 3.A 4.B 5.A 6.C 7.C 8.B 9.C 10.A第二部分：填空题（共5题，每题4分）1. 函数 $f(x)=x^2+2x+1$ 的零点是 _____________。
二次函数单元测试题及答案
二次函数单元测试题一、选择题（本题共计7 小题，每题3 分，共计21分，）1. 下列函数中是二次函数的是（）+x2A.y=ax2+bx+cB.y=3x2+1C.y=2(x+1)2−2x2D.y=1x2. 已知二次函数的图象如右图，则下列结论中，正确的结论有（）①a+b+c>0②a−b+c<0③abc<0④b=2a⑤b>0．A.5个B.4个C.3个D.2个3. 若正方形的边长为6，边长增加x，面积增加y，则y关于x的函数解析式为（）A.y=(x+6)2B.y=x2+62C.y=x2+6xD.y=x2+12x4. 已知二次函数y=a(x+1)2−b(a≠0)有最小值1，则a，b的大小关系为（）A.a>bB.a<bC.a=bD.不能确定5. 二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点在第一象限，且过点(0, 1)和(−1, 0)．下列结论：①ab<0；②b2>4ac；③0<b<1；④当x<−1时，y< 0．其中正确结论的个数是（）A.1B.2C.3D.46. 设函数y＝a(x−ℎ)2+k(a，ℎ，k是实数，a≠0)，当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y ＝8，（）A.若ℎ＝4，则a<0B.若ℎ＝5，则a>0C.若ℎ＝6，则a<0D.若ℎ＝7，则a>07. 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，现有下列结论：①abc> 0；②b2−4ac<0；③4a−2b+c<0；④b=−2a．则其中结论正确的是（）A.①③B.③④C.②③D.①④二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）8. 抛物线y=x2+x+2上三点(−2, a)、(−1, b)，(3, c)，则a、b、c的大小关系是________．9. 将函数y=−12(x−1)2+5图象向________平移________个单位可得函数y=−12(x+1)2+5的图象．10. 抛物线y=−3x2+8向右平移5个单位的抛物线的函数关系式是________．11. 已知二次函数y=x2，在−1≤x≤3内，函数的最小值为________.12. 不等式x2+px>4x+p−3对于一切0≤p≤4均成立，则实数x的取值范围是________．13. 已知抛物线y=x2−kx−8经过点P(2, −8)，则k=________，这条抛物线的顶点坐标是________．14. 用配方法将抛物线y=x2+2√3x+1化成y=(x+ℎ)2+k的形式是________．15. 如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为________米．16. 在二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法中：①b2−4ac<0；>0；③abc>0；④a−b−c>0，说法正确的是________（填序②−b2a号）．17. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2−4x+1与y轴交于点A，过点A平行于x轴的直线交抛物线y=x2于点B、C两点，点P在抛物线y=−x2−4x+1上且在x轴的上方，连接PB、PC，则△PBC面积的最大值是________．三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）18. 已知抛物线y=x2−2x−3．（1）直接写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）若抛物线与x轴的两个交点为A、B，与y轴的一个交点为C，画草图，求△ABC的面积．19. 利用二次函数y=12x2+x+2的图象和性质，求方程−12x2+x+2=0在3和4之间的根的近似值．（结果精确到0.1）20. 已知二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为(1, 0)，与y轴的交点坐标为(0, −3)．（1）求出b、c的值，并写出此二次函数的解析式；（2）根据图象，直接写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围．21. 如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y=−112x2+23x+53．则他将铅球推出的距离是10m．22. 抛物线y＝−x2+2x+3的顶点为D，它与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求顶点D的坐标；（2）求直线BC的解析式；（3）求△BCD的面积；（4）当点P在直线BC上方的抛物线上运动时，△PBC的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值，并且写出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．23. 已知如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C分别为坐标轴上的三个点，且OA= 1，OB=3，OC=4.(1)求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；(2)在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P，使得以点A，B，C，P为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若点M为该抛物线上一动点，在(2)的条件下，请求出使|PM−AM|最大时点M的坐标，并直接写出|PM−AM|的最大值．参考答案一、选择题（本题共计7 小题，每题 3 分，共计21分）1.【答案】B【考点】二次函数的定义【解答】解：A、y=ax2+bx+c，其中a≠0，故本选项错误；B、y=3x2+1，故本选项正确；C、y=2(x+1)2−2x2，整理后不含二次项，故本选项错误；+x2，不是整式，故本选项错误；D、y=1x故选B．2.【答案】B【考点】二次函数图象与系数的关系【解答】解：根据图象，当x=1时，y=a+b+c>0，当x=−1时，y=a−b+c<0，可知①②正确；>0，且抛物线开口向下，a<根据图象与y轴的交点位置可知c>0，根据对称轴x=−b2a0，可知b>0，abc<0，故③⑤正确；=1得b=−2a，可知④错误．根据对称轴x=−b2a正确的是①②③⑤4个，故选B．3.【答案】D【考点】根据实际问题列二次函数关系式【解答】解：原边长为6的正方形面积为：6×6=36，边长增加x后边长变为：x+6，则面积为：(x+6)2，∴ y=(x+6)2−36=x2+12x．故选：D．4.【答案】A【考点】二次函数的最值【解答】解：∴ 二次函数y=a(x+1)2−b(a≠0)有最小值，∴ 抛物线开口方向向上，即a>0；又最小值为1，即−b=1，∴ b=−1，∴ a>b．故选A．5.【答案】D【考点】二次函数图象上点的坐标特征二次函数图象与系数的关系抛物线与x轴的交点【解答】∴ 二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)过点(0, 1)和(−1, 0)，∴ c＝1，a−b+c＝0．>0，①∴ 抛物线的对称轴在y轴右侧，∴ x=−b2a∴ a与b异号，∴ ab<0，正确；②∴ 抛物线与x轴有两个不同的交点，∴ b2−4ac>0，∴ b2>4ac，正确；③∴ 抛物线开口向下，∴ a<0，∴ ab<0，∴ b>0．∴ a−b+c＝0，c＝1，∴ a＝b−1，∴ a<0，∴ b−1<0，b<1，∴ 0<b<1，正确；④由图可知，当x<−1时，y<0，正确；综上所述，正确的结论有①②③④．6.【答案】C【考点】二次函数的性质待定系数法求二次函数解析式二次函数图象上点的坐标特征【解答】当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8；代入函数式得：，∴ a(8−ℎ)2−a(1−ℎ)2＝7，整理得：a(9−2ℎ)＝1，若ℎ＝4，则a＝1，故A错误；若ℎ＝5，则a＝−1，故B错误；若ℎ＝6，则a＝-，故C正确；若ℎ＝7，则a＝-，故D错误；7.【答案】B【考点】二次函数图象与系数的关系【解答】解：由抛物线的开口向下，得到a<0，>0，∴ b>0，∴ −b2a由抛物线与y轴交于正半轴，得到c>0，∴ abc<0，选项①错误；又抛物线与x轴有2个交点，∴ b2−4ac>0，选项②错误；∴ x=−2时对应的函数值为负数，∴ 4a−2b+c<0，选项③正确；=1，即b=−2a，选项④正确，∴ 对称轴为直线x=1，∴ −b2a则其中正确的选项有③④．故选B二、 填空题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ） 8.【答案】c >a >b【考点】二次函数图象上点的坐标特征【解答】解：∴ 二次函数的解析式为y =x 2+x +2=(x +12)2+74， ∴ 抛物线的对称轴为直线x =−12，∴ (−2, a)、(−1, b)，(3, c)，∴ 点(3, c)离直线x =−12最远，(−1, b)离真相x =−12最近， 而抛物线开口向上，∴ c >a >b ；故答案为c >a >b ．9.【答案】左,2【考点】二次函数图象与几何变换【解答】解：由“左加右减”的原则将函数y =−12(x −1)2+5的图象向左平移2个单位，所得二次函数的解析式为：y =−12(x +1)2+5； 故答案为：左，2．10.【答案】y =−3(x −5)2+8【考点】二次函数图象与几何变换【解答】解：∴ 抛物线y =−3x 2+8顶点坐标为(0, 8)，向右平移5个单位后，顶点坐标为(5, 8)，由顶点式，得平移后抛物线解析式为y =−3(x −5)2+8．故本题答案为：y =−3(x −5)2+8．11.【答案】【考点】二次函数的最值【解答】解：y=x2的对称轴为x=0，且−1≤x≤3，故x=0时，取最小值，最小值为0,故答案为：0.12.【答案】x<−1或x>3．【考点】二次函数与不等式（组）【解答】∴ x2+px>4x+p−3，∴ x2−1>4x−px+p−4，∴ x2−1>(4−p)x+p−4，∴ x2−1>(4−p)(x−1)，当p＝4时，x2−1>0，画出函数y＝x2−1的图象，找出x轴上方所对应的x的取值范围得到x>1或x<−1；当p＝0时，x2−4x+3>0，画出函数y＝x2−4x+3的图象，找出x轴上方所对应的x的取值范围得到x<1或x>3；当0<p<4，①当x>1，不等式变形为x+1>4−p>0，解得x>−1，则x>1；②当x<1，不等式变形为x+1<4−p，则x+1<0，解得x<−1，则x<−1；∴ x>1或x<−1；综上所述，实数x的取值范围为x<−1或x>3．13.【答案】2,(1, −9)【考点】待定系数法求二次函数解析式【解答】解：∴ 抛物线y=x2−kx−8经过点P(2, −8)，∴ 4−2k−8=−8，解得k=2，∴ 此抛物线的解析式为y=x2−2x−8，配方得y=(x−1)2−9，∴ 这条抛物线的顶点坐标是(1, −9)．14.【答案】y=(x+√3)2−2【考点】二次函数的三种形式【解答】解：y=x2+2√3x+1=x2+2√3x+3−3+1=(x+√3)2−2．故化成y=(x+ℎ)2+k的形式是y=(x+√3)2−2．15.【答案】0.5【考点】二次函数的应用【解答】解：以左边树与地面交点为原点，地面水平线为x轴，左边树为y轴建立平面直角坐标系，由题意可得A(0, 2.5)，B(2, 2.5)，C(0.5, 1)，设函数解析式为y=ax2+bx+c，把A，B，C三点分别代入得出c=2.5，同时可得4a+2b+c=2.5，0.25a+0.5b+c=1，解之得a=2，b=−4，c=2.5．∴ y=2x2−4x+2.5=2(x−1)2+0.5．∴ 2>0，∴ 当x=1时，y=0.5米．故答案为：0.5．16.【答案】②③④【考点】二次函数图象与系数的关系【解答】解：由图可知，抛物线与x轴有2个交点，所以b2−4ac>0，故①错误；>0，故②正确；对称轴在y轴右侧，则x=−b2a抛物线开口向上，则a>0，而对称轴在y轴右侧，则a、b异号，所以b<0，其与y轴的交点(0, c)位于y轴的负半轴，则c<0，所以abc>0，故③正确；∴ a>0，b<0，c<0，∴ a−b−c>0，故④正确；故答案为：②③④．17.【答案】4【考点】二次函数图象上点的坐标特征抛物线与x轴的交点【解答】当x=0时，y=−x2−4x+1=1，则A(0, 1)，当y=1时，x2=1，解得x1=1，x2=−1，则B(−1, 1)，C(1, 1)，∴ BC=2，设P(x, −x2−4x+1)，P点在BC上方时，△PBC面积有最大值，⋅2⋅(−x2−4x+1−1)=−x2−4x=−(x+2)2+4，∴ S△PBC=12∴ 当x=−2时，△PBC面积的最大值为4．三、解答题（本题共计6 小题，每题10 分，共计60分）18.【答案】解：（1）∴ y=x2−2x−3=(x−1)2−4，∴ 该抛物线开口向上，对称轴为x=1，顶点坐标为(1, −4)．（2）按点A在点B的左侧画出草图，如图所示．∴ y=x2−2x−3=(x+1)(x−3)，∴ 点A(−1, 0)，点B(3, 0)，当x=0时，y=−3，∴ 点C(0, −3)，∴ S△ABC=12AB⋅OC=12×[3−(−1)]×|−3|=6．【考点】抛物线与x轴的交点【解答】解：（1）∴ y=x2−2x−3=(x−1)2−4，∴ 该抛物线开口向上，对称轴为x=1，顶点坐标为(1, −4)．（2）按点A在点B的左侧画出草图，如图所示．∴ y=x2−2x−3=(x+1)(x−3)，∴ 点A(−1, 0)，点B(3, 0)，当x=0时，y=−3，∴ 点C(0, −3)，∴ S△ABC=12AB⋅OC=12×[3−(−1)]×|−3|=6．19.【答案】解：方程−12x2+x+2=0根是函数y=12x2+x+2与x轴交点的横坐标．如图所示：二次函数y=12x2+x+2的图象，由图象可知方程有两个根，一个在−2和−1之间，另一个在3和4之间．当x=3.2时，y=0.08；当x=3.3时，y=−0.145；因此，x=3.2是方程的一个近似根，故方程−12x2+x+2=0在3和4之间的根的近似值为x≈3.2．图象法求一元二次方程的近似根【解答】解：方程−12x 2+x +2=0根是函数y =12x 2+x +2与x 轴交点的横坐标．如图所示：二次函数y =12x 2+x +2的图象，由图象可知方程有两个根，一个在−2和−1之间，另一个在3和4之间．当x =3.2时，y =0.08；当x =3.3时，y =−0.145；因此，x =3.2是方程的一个近似根，故方程−12x 2+x +2=0在3和4之间的根的近似值为x ≈3.2． 20.【答案】解：（1）由二次函数y =x 2+bx +c 的图象经过(1, 0)和(0, −3)两点，得{1+b +c =0c =−3， 解这个方程组，得{b =2c =−3； ∴ 抛物线的解析式为y =x 2+2x −3．（2）当x <−3或x >1时，y >0．【考点】待定系数法求二次函数解析式二次函数与不等式（组）【解答】解：（1）由二次函数y =x 2+bx +c 的图象经过(1, 0)和(0, −3)两点，得{1+b +c =0c =−3， 解这个方程组，得{b =2c =−3； ∴ 抛物线的解析式为y =x 2+2x −3．（2）当x <−3或x >1时，y >0．21.【答案】当y ＝0时，−112x 2+23x +53=0，解之得x 1＝10，x 2＝−2（不合题意，舍去），所以推铅球的距离是10米．二次函数的应用【解答】当y ＝0时，−112x 2+23x +53=0，解之得x 1＝10，x 2＝−2（不合题意，舍去），所以推铅球的距离是10米．22.【答案】函数的对称轴为：x ＝1，当x ＝1时，y ＝−1+2+3＝4，故点D(1, 4)；y ＝−x 2+2x +3的顶点为D ，它与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，则点A 、B 、C 的坐标分别为：(−1, 0)、(3, 0)、(0, 3)，将点B 、C 的坐标代入一次函数表达式：y ＝kx +b 得：{0=3k +b b =3 ，解得：{k =−1b =3， 故直线BC 的表达式为：y ＝−x +3；过点D 作DG // y 轴交BC 于点G ，则点G(1, 2)，△BCD 的面积=12×DG ×OB =12×(4−2)×3＝3； 过点P 作y 轴的平行线交BC 于点H ，设点P(x, −x 2+2x +3)，点H(x, −x +3)，则S △PBC =12×PH ×OB =32(−x 2+2x +3+x −3)=−32x(x −3)， ∴ −32<0，∴ S △PBC 有最大值，最大值为：278，此时点P(32, 154)．【考点】二次函数综合题【解答】函数的对称轴为：x ＝1，当x ＝1时，y ＝−1+2+3＝4，故点D(1, 4)；y ＝−x 2+2x +3的顶点为D ，它与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，则点A 、B 、C 的坐标分别为：(−1, 0)、(3, 0)、(0, 3)，将点B 、C 的坐标代入一次函数表达式：y ＝kx +b 得：{0=3k +b b =3 ，解得：{k =−1b =3， 故直线BC 的表达式为：y ＝−x +3；过点D 作DG // y 轴交BC 于点G ，则点G(1, 2)，△BCD 的面积=12×DG ×OB =12×(4−2)×3＝3；过点P 作y 轴的平行线交BC 于点H ，设点P(x, −x 2+2x +3)，点H(x, −x +3)，则S △PBC =12×PH ×OB =32(−x 2+2x +3+x −3)=−32x(x −3)， ∴ −32<0， ∴ S △PBC 有最大值，最大值为：278，此时点P(32, 154)． 23.【答案】解：(1)设抛物线的解析式为y =ax 2+bx +c .由题意可知，A(1, 0)，B(0, 3)，C(−4, 0)，∴ {a +b +c =0,c =3,16a −4b +c =0,解得：a =−34，b =−94，c =3，∴ 经过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式为y =−34x 2−94x +3.(2)在平面直角坐标系xOy 中存在一点P ，使得以点A ，B ，C ，P 为顶点的四边形为菱形，理由如下：如图，∴ OB =3，OC =4，OA =1，∴ BC =AC =5.当BP 平行且等于AC 时，四边形ACBP 为菱形，∴ BP =AC =5，且点P 到x 轴的距离等于OB ，∴ 点P 的坐标为(5, 3).当点P 在第二、三象限时，以点A ，B ，C ，P 为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形，则当点P 的坐标为(5, 3)时，以点A ，B ，C ，P 为顶点的四边形为菱形.(3)设直线PA 的解析式为y =kx +b(k ≠0).∴ A(1, 0)，P(5, 3)，∴ {5k +b =3,k +b =0, 解得：{k =34,b =−34, ∴ 直线PA 的解析式为y =34x −34. 当点M 与点P ，A 不在同一直线上时，根据三角形的三边关系可得：|PM −AM|<PA ，当点M 与点P ，A 在同一直线上时，|PM −AM|=PA ，∴ 当点M 与点P ，A 在同一直线上时，|PM −AM|的值最大，即点M 为直线PA 与抛物线的交点，解方程组{y =34x −34,y =−34x 2−94x +3, 得{x 1=1,y 1=0 或{x 2=−5,y 2=−92, ∴ 当点M 的坐标为(1,0)或(−5, −92)时，|PM −AM|的值最大，此时|PM −AM|的最大值为5．【考点】二次函数综合题待定系数法求二次函数解析式【解答】解：(1)设抛物线的解析式为y =ax 2+bx +c .由题意可知，A(1, 0)，B(0, 3)，C(−4, 0)，∴ {a +b +c =0,c =3,16a −4b +c =0,解得：a =−34，b =−94，c =3， ∴ 经过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式为y =−34x 2−94x +3. (2)在平面直角坐标系xOy 中存在一点P ，使得以点A ，B ，C ，P 为顶点的四边形为菱形，理由如下：如图，∴ OB =3，OC =4，OA =1，∴ BC =AC =5.当BP 平行且等于AC 时，四边形ACBP 为菱形，∴ BP =AC =5，且点P 到x 轴的距离等于OB ，∴ 点P 的坐标为(5, 3).当点P 在第二、三象限时，以点A ，B ，C ，P 为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形，则当点P 的坐标为(5, 3)时，以点A ，B ，C ，P 为顶点的四边形为菱形.(3)设直线PA 的解析式为y =kx +b(k ≠0).∴ A(1, 0)，P(5, 3)，∴ {5k +b =3,k +b =0, 解得：{k =34,b =−34, ∴ 直线PA 的解析式为y =34x −34.当点M与点P，A不在同一直线上时，根据三角形的三边关系可得：|PM−AM|<PA，当点M与点P，A在同一直线上时，|PM−AM|=PA，∴ 当点M与点P，A在同一直线上时，|PM−AM|的值最大，即点M为直线PA与抛物线的交点，解方程组{y=34x−34,y=−34x2−94x+3,得{x1=1,y1=0或{x2=−5,y2=−92,∴ 当点M的坐标为(1,0)或(−5, −92)时，|PM−AM|的值最大，此时|PM−AM|的最大值为5．。
二次函数单元综合测试卷(含答案)
二次函数综合测试卷一、填空：(30分)1．二次函数的图象经过三个定点（2，0），（3，0），（•0，-•1），则它的解析式为________，该图象的顶点坐标为__________．2．当k=________时，直线x+2y+k+1=0和2x+y+2k=0的交点在抛物线y=-x2上．3．已知二次函数y=x2-2（k+1）x+k2+2的图象与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，且（x1+1）（x2+1）=8，则k的值为__________．4．如果y与x2成正比例，并且它的图象上一点P的横坐标a和纵坐标b分别是方程x2-x-6=0的两根，那么这个函数的解析式为_________．5．抛物线y=x2-4x+11的对称轴是直线________，顶点坐标为________．6．如果抛物线y=-23x2+（m+2）x+27m的对称轴为直线x=32，则m的值为_________．7．把函数y=5x2+10mx+n的图象向左平移2个单位，向上平移3个单位，•所得图象的函数解析式为y=5x2+30x+44，则m=_______，n=_______．8．二次函数y=a x2+bx+c中的a、b、c满足条件________时，•它的图象经过坐标系中的四个象限．9．开口向下的抛物线y=a（x+1）（x-4）与x轴交于A、B两点，与y•轴交于点C．•若∠ACB=90°，则a的值为________．10．如图，二次函数y=x2-ax+a-5的图象交x轴于点A和B，交y轴于点C，当线段AB•的长度最短时，点C的坐标为________．二、选择题：(20分)11．在同一直角坐标系内，二次函数y1=ax2+bx+c与y2=cx2+bx+a的图象大致为（）12．在同一直角坐标系内，函数y=ax2+bx与y=bx（b≠0）的图象大致为（）13．给出下列四个函数：y=-2x，y=2x-1，y=3x（x>0），y=-x2+3（x>0），其中y随x•的增大而减小的函数有（）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个14．当m取任何实数时，抛物线y=-2（x-m）2-m的顶点所在的直线为（）A．x轴 B．y轴 C．y=x D．y=-x15．当m取任何实数时，抛物线y=-2（x+m）2-m2的顶点所在的曲线为（）A．y=x2 B．y=-x2 C．y=x2（x>0） D．y=-x2（x>0）16．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与抛物线y=x2-4x+3关于x轴对称，则a、b、c•的值分别是（） A．-1，4，-3 B．-1，-4，-3 C．-1，4，3 D．-1，-4，317．已知抛物线y=a x2+bx+c（a≠0）与抛物线y=x2-4x+3关于y轴对称，则函数y=ax2+bx+c的解析式为（）A．y=x2+4x+3 B．y=x2-4x-3 C．y=x2+4x-3 D．y=-x2-4x+318．从一张矩形纸片ABCD的较短边AD上找一点E，过这点剪下两个半圆，它们的直径分别是AE、DE，要使剪下的两个半圆的面积和最小，点E应选在（）A．边AD的中点外 B．边AD的13处 C．边AD的14处 D．边AD的15处19．对某条路线的长度进行n次测量，得到n个结果x1，x2，…，x n，如果用x作为这条路线长度的近似值，当x=p时，（x-x1）2+（x-x2）2+…+（x-x n）2最小，则p的值为（）A．1n（x1+x2+…+x n） B．1n（x1-x2-…-x n）C．1nn+（x1+x2+…+x n） D．1nn+（x1+x2+…+x n）20．已知函数y=-（x-1）2-（x-3）2-（x-5）2-（x-7）2，当x=p时，函数y取得最大值，则p•的值为（）A．4 B．8 C．10 D．16三、解答题：(90分)1．如图，△OAB是边长为2的等边三角形，直线x=t•截这个三角形所得位于直线左方的图形面积为y．（1）写出以自变量为t的函数y的解析式；（2）画出（1）中函数y的图象．2．如图，AB是半径为R的圆的直径，C为直径AB上的一点，•过点C•剪下两个正方形ADCE和BFCG，它们的对角线分别是AC、CB．要使剪下的两个正方形的面积和最小，•点C应选在何处？3．已知一个二次函数的图象过点A（-1，10），B（1，4），C（2，7），点D和B•关于抛物线的对称轴对称，问是否存在与抛物线只有一个公共点D的直线？如果存在，求出符合条件的直线；如不存在，请说明理由．4．如图，在直角坐标系xOy中，A、B是x轴上的两点，以AB为直径的圆交y轴于C，设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=x2-mx+n，方程x2-mx+n=0的两根倒数和为-2．（1）求n的值；（2）求此抛物线的解析式；（3）设平行于x轴的直线交此抛物线于E、F两点，问是否存在此线段EF•为直径的圆恰好与x轴相切，若存在，求出此圆的半径；若不存在，说明理由．5．某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过x度，•那么这个月这户居民只交10元用电费．如果超过x度，这个月除了要交10元用电费外，超过部分按每度元交费．（1）该厂某户居民1月份用电90度，超过了x度的规定，试用x的代数式表示超过部分应交的电费（元）；（2）下表是这户居民2月、3月的用电情况和交费情况，请根据表中的数据，•求出电厂规定的这个标准x度．月份用电量（度）交电费总数（元）2月 80 253月 45 106．如图（1），平面直角坐标系中有一张矩形纸片OABC，O为坐标原点，A•点坐标为（10，0），C点坐标为（0，6）．D是BC边上的动点（与点B、C不重合），现将△COD沿OD翻折，得到△FOD；再在AB边上选取适当的点E，使△BDE沿DE翻折，得到△GDE，并使直线DG，DF重合．（1）如图②，若翻折后点F落在OA边上，求直线DE的函数关系式；（2）设D（a，6），E（10，b），求b关于a的函数关系式，并求b的最小值；（3）一般地，请你猜想直线DE与抛物线y=-124x2+6的公共点的个数，•在图②的情形中通过计算验证你的猜想；如果直线DE与抛物线y=-124x2+6始终有公共点，请在图①中作出这样的公共点．附加题：(10分)当抛物线的解析式中含有字母系数时，随着系数中字母取值的不同，抛物线的顶点坐标也将发生变化．例如：由抛物线y=x 2-2mx+m 2+3m-2． ① 得y=（x-m ）2+3m-2 ②抛物线的顶点坐标为（m ，3m-2），即32x my m =⎧⎨=-⎩ 当m 的值变化时，x ，y 的值也随之变化，•因而y 值也随x 值的变化而变化．将③代入④，得y=3x-2 ⑤可见不论m 取任何实数抛物线顶点的纵坐标y 和横坐标x 都满足关系式y=3x-2，即抛物线①的顶点总在直线y=3x-2上．在上述过程中，由①到②所用的数学方法是__________；由③、④到⑤所用的数学方法是________．请解答:求出抛物线y=x 2-4mx+4m 2-2m•的顶点的纵坐标y 和横坐标x 之间的关系式．答案:一、填空： 1．y=-16x 2+56x-1 （52，124）2．13±63 3．14．y=-29x 2和y=34x 25．x=2 （2，7） 6．0 7．1 18．a 、c 异号，b 为任何实数 9．-10．（0，-3）（设A （x 1，0），B （x 2，0）．（x 1-x 2）2=（x 1+x 2）2-4x 1x 2=a 2-4a+20=（a-2）2+16．当a=2时，•线段AB 的长度最短为4，此时y=x 2-2x-3，点C 的坐标为（0，-3） 二、选择题：11．D 12．D 13．A 14．D 15．B 16．A 17．A 18．A 19．A 20．A 三、解答题：1．（1）y=223(01)23(2)3(2)2t t t t ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪--+≤≤⎪⎩（2）如第1题图.2．设AC 长为x ，BC 长为2R-x ，S 正方形ADCE =12x 2，S 正方形BFCG =12（2R-x ）2． 两个正方形面积之和为y=12x 2+12（2R-x ）2=x 2-2Rx+2R 2=（x-R ）2+R 2， 当x=R 时，两个正方形面积之和有最小值R 2，此时点C 应选在AB•的中点处，即圆心．3．过点A 、B 、C 的抛物线的解析式为y=2x 2-3x+5，其对称轴为直线x=34． 因D 和B 关于直线x=34对称，所以D 点坐标为（12，4）． 与抛物线只有一个公共点D 的直线有两条：（1）平行于y 轴，即直线x=12． （2）不平行于y 轴，设直线为y=kx+b ，因为过D 点，所以4=12k+b ． 即k=8-2b ，（8-2b ）x+b=2x 2-3x+5．2x 2+（2b-11）x+5-b=0．方程有两个相等的实数根，△=（2b-11）2-8（5-b ）=0，解得b=92，k=-1．所以y=-x+92．符合条件的直线为y=-x+92和x=12． 4．（1）设A （x 1，0），B （x 2，0），则OA=-x 1，OB=x 2．因为AB 是直径，OC ⊥AB ，所以CO 2=OA·OB ，•即n 2=-x 1x 2． 又x 1x 2=n ，所以n 2=-n ，n=-1，n=0（舍去）． （2）11x +21x =1212x x x x +=-2，又x 1+x 2=m ，x 1x 2=-1，1m -=-2，m=2， 所求的抛物线的解析式为y=x 2-2x-1．（3）由（2）得抛物线的对称轴为x=1．设满足条件的圆的半径为│a │， 则点F•的坐标为（1+│a │，a ），点F 在抛物线上，a=（1+│a │）2-2（1+│a │）-1，即a 2-a-2=0，a 1=2，a 2=-1， 所求的圆的半径为1或2，故存在以EF 为直径的圆，恰好与x 轴相切． 5．（1）100x（90-x ）元 （2）表格中的数据告诉我们，这户居民2月份用电超标，3•月份用电不超标， 可见45≤x<80，列出方程10+100x（80-x ）=25，即x 2-80x+150=0，解得x 1=30，x 2=50． 因45≤x<80，所以x=30，电厂规定的标准是30度．6．（1）解：根据题意，可知D （6，6），E （10，2），直线DE 的函数关系式为y=-x+12． （2）解：根据题意，可知∠CDO=∠ODF ，∠BDE=∠GDE ．∠CDO+∠ODF+∠BDE+∠GDE=180°，•∠CDO+∠BDE=90°，∠COD+∠CDO=90°，∠COD=∠BDE ．又∠COD=∠DBE=90°，△COD ≌△BDE ．CE COBE BD=． 根据题意，可知BE=6-b ，BD=10-a ，6610a b a =--，b+16a 2-53a+6=16（a-5）2+116． 当a=5时，b 最小值=116．（3）猜想：直线DE 与抛物线y=-124x 2+6只有1个公共点． 证明:由（1）可知，DE 所在直线为y=-124x+12． 代入抛物线y=-x 2+6，消去y ，得-124x 2+6=-x+12．化简，得x 2-24x+144=0，△=0． 直线DE 与抛物线y=-124x 2+6只有1个公共点． 作法一：延长OF 交DE 于点H ，作法二：在DB 上取点M ，使DM=CD ，过M 作MH ⊥BC ，交DE 于点H ． 附加题：配方法; 消元法; y=-4x.。
《二次函数》单元测试卷 (含答案)
《二次函数》单元测试卷 (含答案)考生姓名：______________ 考号：______________时间限制：90分钟一、选择题（每小题2分，共30分）（每小题2分，共30分）1. 下列函数中，是二次函数的是（）A. y = x + 2B. y = 2x^2 + 3x + 1C. y = 1/xD. y = √x2. 设二次函数 f(x) = 2x^2 + 5x - 3，那么它的判别式为（）A. -13B. 17C. 29D. -393. 若二次函数的图象与x轴有两个交点，则该二次函数的判别式必须为（）A. 大于0B. 等于0C. 小于0D. 无法确定4. 已知二次函数 f(x) = 3x^2 + 4x + 2，那么它的对称轴为（）A. x = -2/3B. x = -4/3C. x = 4/3D. x = 2/35. 设函数 f(x) = ax^2 + bx + c，若a > 0，则函数图象开口向（）A. 上B. 下C. 左D. 右...二、填空题（每小题3分，共30分）（每小题3分，共30分）1. 设二次函数 f(x) = 2x^2 - 5x + 3，那么它的顶点坐标为（）答案：(5/4, 37/8)2. 若二次函数 y = ax^2 + bx + c 的顶点坐标为 (2, -3)，则 a + b+ c 的值为（）答案：-53. 设二次函数 f(x) = -x^2 + 4x + 5，那么它的对称轴的方程为（）答案：x = 24. 若二次函数的图象与y轴相交于点 (0, 6)，则该二次函数必定为（）答案：f(x) = 2x^2 + 35. 设二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，若a > 0，则函数的值域为（）答案：( -∞, f(c) ]...三、解答题（共40分）（共40分）1. 解方程 3x^2 - 2x - 1 = 0解答：首先，我们可以求出这个二次方程的判别式：Δ = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4*3*(-1) = 4 + 12 = 16因为判别式大于0，所以方程有两个不相等的实根。
数学九年级上学期《二次函数》单元测试(含答案)
人教版数学九年级上学期《二次函数》单元测试考试总分: 120 分考试时间: 120 分钟一、选择题(共10 小题，每小题 3 分，共30 分)1.函数(是常数)是二次函数的条件是( )A .B .C .D .2.如图，二次函数的图象经过点和，下列关于此二次函数的叙述，正确的是( )A . 当时，的值小于B . 当时，的值大于C . 当时，的值等于D . 当时，的值大于3.函数的图象大致为( )A .B .C .D .4.已知二次函数(h为常数)，在自变量x的值满足1≤x≤3的条件下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为( ).A . 1或-5B . -1或5C . 1或-3D . 1或35.抛物线的顶点坐标是( )A . (3, 1)B . (-3, 1)C . (1, -3)D . (1, 3)6.二次函数的图象的对称轴是直线，其图象的一部分如图所示则:①;②;③;④;⑤当时，．其中判断正确的有( )个．A . 2B . 3C . 4D . 57.如图所示为二次函数的图象，在下列选项中错误的是( )A .B . 时，随的增大而增大C .D . 方程的根是，8.二次函数、、是常数的大致图象如图所示，抛物线交轴于点，．则下列说法中，正确的是( )A . ABC >0 B . B -2A =0C . 3A +C >0D . 9A +6B +4C >09.二次函数的图象如图所示，若点，是图象上的两点，则与的大小关系是( )A . y1<y2B . y1=y2C . y1>y2D . 不能确定10.物体在地球的引力作用下做自由下落运动，它的运动规律可以表示为:．其中表示自某一高度下落的距离，表示下落的时间，是重力加速度．若某一物体从一固定高度自由下落，其运动过程中下落的距离和时间函数图象大致为( )A .B .C .D .二、填空题(共10 小题，每小题 3 分，共30 分)11.已知某商品销售利润(元)与该商品销售单价(个)满足，则该商品获利最多为________元．12.已知二次函数y＝A x 2＋B x ＋C 中，函数y与自变量x的部分对应值如下表:x …－4－3－2－10…y…3－2－5－6－5…则x＜－2时， y的取值范围是▲ ．13.已知二次函数(为常数)，当取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．如图分别是当，，，时二次函数的图象，它们的顶点在一条直线上，则这条直线的解析式是________．14.将二次函数配方成的形式，则y=_________________.15.如图所示，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为、，其中，，下列结论:①;②;③;④．其中正确的结论有________．(填写正确结论的序号)16.已知二次函数的图象如图所示，下列结论:①;②;③;④;⑤;⑥当时，随的增大而增大．其中正确的说法有________(写出正确说法的序号)17.如图，已知点，，…，在函数位于第二象限的图象上，点，，…，在函数位于第一象限的图象上，点，，…，在轴的正半轴上，若四边形、，…，都是正方形，则正方形的边长为________．18.二次函数的部分对应值如下表:…………①抛物线的顶点坐标为;②与轴的交点坐标为;③与轴的交点坐标为和;④当时，对应的函数值为．以上结论正确的是________．19.已知点、三点都在抛物线的图象上，则、的大小关系是________．(填“、、”)20.如图，是二次函数的图象的一部分，给出下列命题:①;②;③的两根分别为和;④．其中正确的命题是________．(只要求填写正确命题的序号)三、解答题(共6 小题，每小题10 分，共60 分)21.某校为绿化校园，在一块长为米，宽为米的长方形空地上建造一个长方形花圃，如图设计这个花圃的一边靠墙(墙长大于米)，并在不靠墙的三边留出一条宽相等的小路，设小路的宽为米，花圃面积为为平方米，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域．22.某企业是一家专门生产季节性产品的企业，经过调研预测，它一年中获得的利润(万元)和月份之间满足函数关系式．若利润为万元，求的值．哪一个月能够获得最大利润，最大利润是多少？当产品无利润时，企业会自动停产，企业停产是哪几个月份？23.为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为米的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设的长度为米，矩形区域的面积为米．求证:;求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围;为何值时，有最大值？最大值是多少？24.已知二次函数的图象与坐标轴交点的坐标分别为，，．求此函数的解析式;求抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标;根据图象直接写出时的取值范围．25.如图，已知二次函数的图象过点和点，对称轴为直线．求该二次函数的关系式和顶点坐标;结合图象，解答下列问题:①当时，求函数的取值范围．②当时，求的取值范围．26.在平面直角坐标系中，平行四边形如图放置，点、的坐标分别是、，将此平行四边形绕点顺时针旋转，得到平行四边形．如抛物线经过点、、，求此抛物线的解析式;在情况下，点是第一象限内抛物线上的一动点，问:当点在何处时，的面积最大？最大面积是多少？并求出此时的坐标;在的情况下，若为抛物线上一动点，为轴上的一动点，点坐标为，当、、、构成以作为一边的平行四边形时，求点的坐标．参考答案一、选择题(共10 小题，每小题 3 分，共30 分)1.函数(是常数)是二次函数的条件是( )A .B .C .D .[答案]D[解析]试题解析:根据二次函数定义中对常数A ，B ，C 的要求，只要A ≠0，B ，C 可以是任意实数，故选D ．2.如图，二次函数的图象经过点和，下列关于此二次函数的叙述，正确的是()A . 当时，的值小于B . 当时，的值大于C . 当时，的值等于D . 当时，的值大于[答案]B[解析][分析]根据抛物线与y轴的交点位置对A 进行判断;根据二次函数的性质，当x=-2时，y=1，则x=-3时，y＞1，于是可对B 进行判断;根据图象，当x=5时，不能确定函数值等于0，则可对C 进行判断;根据二次函数图象上点的坐标特征对D 进行判断．[详解]解:A 、抛物线与y轴的交点在x轴下方，且在点(1，-1)上方，所以x=0时，-1＜y＜0，所以A 选项错误;B 、当x=-3时，y＞1，所以B 选项正确;C 、当x=5时，不能确定函数值等于0，所以C 选项错误;D 、当x=1时，y=-1，所以D 选项错误．故选:B ．[点睛]本题考查了二次函数图象上点的坐标特征:二次函数图象上点的坐标满足其解析式．3.函数的图象大致为()A .B .C .D .[答案]B[解析]分析:本题考查二次函数的图形问题.解析:函数的二次项系数为-1，所以开口向下，抛物线与y轴的交点为(0，1).故选B .4.已知二次函数(h为常数)，在自变量x的值满足1≤x≤3的条件下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为().A . 1或-5B . -1或5C . 1或-3D . 1或3[答案]B[解析]分析:由解析式可知该函数在x=h时取得最小值1、x>h时，y随x的增大而增大、当x<h时，y随x的增大而减小，根据1≤x≤3时，函数的最小值为5可分如下两种情况:①若h<1≤x≤3，x=1时，y取得最小值5;②若1≤x≤3<h，当x=3时，y取得最小值5，分别列出关于h的方程求解即可．详解:本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键.5.抛物线的顶点坐标是()A . (3, 1)B . (-3, 1)C . (1, -3)D . (1, 3)[答案]A[解析][分析]直接根据二次函数的顶点式可得出结论．[详解]解:∵抛物线的解析式为:y=2(x-3)2+1，∴其顶点坐标为(3，1)．故选:A ．[点睛]本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．6.二次函数的图象的对称轴是直线，其图象的一部分如图所示则:①;②;③;④;⑤当时，．其中判断正确的有()个．A . 2B . 3C . 4D . 5[答案]C[解析][分析]由抛物线的开口方向判断A 与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断C 与0的关系，然后根据对称轴判定B 与0的关系以及2A +B =0;当x=-1时，y=A -B +C ;然后由图象确定当x取何值时，y＞0．[详解]解:①∵开口向下，∴A ＜0，∵对称轴在y轴右侧，∴-＞0，∴B ＞0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴C ＞0，∴A B C ＜0，故正确;②∵对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的一个交点横坐标在2与3之间，∴另一个交点的横坐标在0与-1之间;∴当x=-1时，y=A -B +C ＜0，故正确;③∵对称轴x=-=1，∴2A +B =0;故正确;④∵2A +B =0，∴B =-2A ，∵当x=-1时，y=A -B +C ＜0，∴A -(-2A )+C =3A +C ＜0，故正确;⑤如图，当-1＜x＜3时，y不只是大于0．故错误．∴正确的有4个．故选:C ．[点睛]此题考查图象与二次函数系数之间的关系．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．7.如图所示为二次函数的图象，在下列选项中错误的是()A .B . 时，随的增大而增大C .D . 方程的根是，[答案]C[解析][分析]由抛物线的开口方向判断A 的符号，由抛物线与y轴的交点得出C 的值，根据开口方向及对称轴判断二次函数的增减性，然后根据图象经过的点的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．[详解]解:A 、由二次函数的图象开口向上可得A ＞0，由抛物线与y轴交于x轴下方可得C ＜0，所以A C ＜0，正确;B 、由A ＞0，对称轴为x=1，可知x＞1时，y随x的增大而增大，正确;C 、把x=1代入y=A x2+B x+C 得，y=A +B +C ，由函数图象可以看出x=1时二次函数的值为负，错误;D 、由二次函数的图象与x轴交点的横坐标是-1或3，可知方程A x2+B x+C =0的根是x1=-1，x2=3，正确．故选:C ．[点睛]由图象找出有关A ，B ，C 的相关信息以及抛物线的交点坐标，会判断二次函数的增减性，会利用特殊值代入法求得特殊的式子，如:y=A +B +C ，y=A -B +C ，然后根据图象判断其值．8.二次函数、、是常数的大致图象如图所示，抛物线交轴于点，．则下列说法中，正确的是()A . ABC >0 B . B -2A =0C . 3A +C >0D . 9A +6B +4C >0[答案]D[解析][分析]由抛物线的开口方向判断A 与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断C 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．[详解]解:A 、∵根据图示知，抛物线开口方向向下，∴A ＜0;∵抛物线交x轴于点(-1，0)，(3，0)，∴对称轴x==-=1，∴B =-2A ＞0．∵根据图示知，抛物线与y轴交于正半轴，∴C ＞0，∴A B C ＜0．故本选项错误;B 、∵对称轴x==-=1，∴B =-2A ，∴B +2A =0．故本选项错误;C 、根据图示知，当x=-1时，y=0，即A -B +C =A +2A +C =3A +C =0．故本选项错误;D 、∵A ＜0，C ＞0，∴-3A ＞0，4C ＞0，∴-3A +4C ＞0，∴9A +6B +4C =9A -12A +4C =-3A +4C ＞0，即9A +6B +4C ＞0．故本选项正确．故选:D ．[点睛]本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=A x2+B x+C 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．9.二次函数的图象如图所示，若点，是图象上的两点，则与的大小关系是()A . y1<y2B . y1=y2C . y1>y2D . 不能确定[答案]C[解析][分析]直接利用二次函数的性质得出其增减性，再利用A ，B 点横坐标得出答案．[详解]解:如图所示:x＞-3时，y随x的增大而减小，∵1＜2，∴y1＞y2．故选:C ．[点睛]此题主要考查了二次函数的性质，正确得出二次函数增减性是解题关键．10.物体在地球的引力作用下做自由下落运动，它的运动规律可以表示为:．其中表示自某一高度下落的距离，表示下落的时间，是重力加速度．若某一物体从一固定高度自由下落，其运动过程中下落的距离和时间函数图象大致为()A .B .C .D .[答案]B[解析][分析]先根据函数关系式为h=gt2确定图象属于那一类函数的图象，再根据g、t的取值范围确定图象的具体形状．[详解]解:t为未知数，关系式h=gt2为二次函数，∵g为正常数∴抛物线开口方向向上，排除C 、D ;又∵时间t不能为负数，∴图象只有右半部分．故选:B ．[点睛]根据关系式判断属于哪一类函数，关键要会判断未知数及未知数的指数的高低．二、填空题(共10 小题，每小题 3 分，共30 分)11.已知某商品销售利润(元)与该商品销售单价(个)满足，则该商品获利最多为________元．[答案][解析][分析]由题意知利润y(元)与销售的单价x(元)之间的关系式，化为顶点式求出y的最大值．[详解]解:利润y(元)与销售的单价x(元)之间的关系为y=-20x2+1400x-2000=-20(x-35)2+22500．∵-20＜0∴当x=35元时，y最大为22500元．即该商品获利最多为22500元．故答案为:22500．[点睛]本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数的顶点式解决实际问题．12.已知二次函数y＝A x2＋B x＋C 中，函数y与自变量x的部分对应值如下表:x …－4－3－2－10…y…3－2－5－6－5…则x＜－2时， y的取值范围是▲．[答案]y＞－5[解析]考点:待定系数法求二次函数解析式;二次函数的性质．分析:根据图表知二次函数的顶点坐标是(-1，-6)，可将二次函数的解析式设为顶点式，任取一点坐标代入即可求得二次函数的解析式，然后根据二次函数的性质填空．解:由图表知，二次函数的顶点坐标是(-1，-6)，可设二次函数的解析式为:y=A (x+1)2-6;∵二次函数经过点(0，-5)，∴-5=A -6，解得，A =1，∴二次函数的解析式为:y=(x+1)2-6;∴当x＜-2时，y＞-5;故答案为:y＞-5．13.已知二次函数(为常数)，当取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．如图分别是当，，，时二次函数的图象，它们的顶点在一条直线上，则这条直线的解析式是________．[答案][解析][分析]已知抛物线的顶点式，写出顶点坐标，用x、y代表顶点的横坐标、纵坐标，消去A 得出x、y的关系式．[详解]解:y=x2-4A x+4A 2+A -1=(x-2A ) 2+A -1，∴抛物线顶点坐标为:(2A ，A -1)，设x=2A ①，y=A -1②，①-②×2，消去A 得，x-2y=2，即y=x-1．故答案为:y=x-1．[点睛]此题主要考查了根据顶点式求顶点坐标的方法，消元的思想．主要利用x、y代表顶点的横坐标、纵坐标，消去A 得出是解题关键．14.将二次函数配方成的形式，则y=_________________.[答案][解析]试题解析:利用配方法将一次项和二次项组合，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式，即=x2-2x+1+2=(x-1)2+2.15.如图所示，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为、，其中，，下列结论:①;②;③;④．其中正确的结论有________．(填写正确结论的序号)[答案]①②[解析][分析]由抛物线的开口方向判断A 与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断C 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．[详解]解:①根据图象知，当x=-2时，y＜0，即4A -2B +C ＜0;故①正确;②∵该函数图象的开口向下，∴A ＜0;又∵对称轴-1＜x=-＜0，∴2A -B ＜0，故②正确;③∵A ＜0，-＜0，∴B ＜0．∵抛物线交y轴与正半轴，∴C ＞0．∴A B C ＞0，故③错误．④∵y=＞2，A ＜0，∴4A C -B 2＜8A ，即B 2+8A ＞4A C ，故④错误．综上所述，正确的结论有①②．故答案为:①②．[点睛]本题主要考查对二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，掌握相关性质是解题的关键．16.已知二次函数的图象如图所示，下列结论:①;②;③;④;⑤;⑥当时，随的增大而增大．其中正确的说法有________(写出正确说法的序号)[答案]②④⑤[解析][分析]由抛物线的开口方向判断A 与0的关系，由抛物线与y轴的交点得出C 的值，然后根据抛物线与x轴交点的个数及x=-1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．[详解]解:①由二次函数的图象开口向下可得A ＜0，由抛物线与y轴交于x轴上方可得C ＞0，由对称轴0＜x＜1，得出B ＞0，则A B C ＜0，故①错误;②∵对称轴0＜x＜1，-＜1，A ＜0，∴-B ＞2A ，∴2A +B ＜0，故②正确;③把x=-1时代入y=A x2+B x+C =A -B +C ，结合图象可以得出y＞0，即A -B +C ＞0，故③错误;④把x=-1时代入y=A x2+B x+C =A -B +C ，结合图象可以得出y＞0，即A -B +C ＞0，A +C ＞B ，∵B ＞0，∴A +C ＞0，故④正确;⑤∵图象与x轴有两个交点，∴B 2-4A C ＞0，∴B 2＞4A C ，故⑤正确;⑥当x＞1时，y随x的增大而减小，故⑥错误;故答案为:②④⑤．[点睛]此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数与方程之间的转换，会利用特殊值代入法求得特殊的式子，如:y=A +B +C ，然后根据图象判断其值．17.如图，已知点，，…，在函数位于第二象限的图象上，点，，…，在函数位于第一象限的图象上，点，，…，在轴的正半轴上，若四边形、，…，都是正方形，则正方形的边长为________．[答案][解析][分析]根据正方形对角线平分一组对角可得OB 1与y轴的夹角为45°，然后表示出OB 1的解析式，再与抛物线解析式联立求出点B 1的坐标，然后求出OB 1的长，再根据正方形的性质求出OC 1，表示出C 1B 2的解析式，与抛物线联立求出B 2的坐标，然后求出C 1B 2的长，再求出C 1C 2的长，然后表示出C 2B 3的解析式，与抛物线联立求出B 3的坐标，然后求出C 2B 3的长，从而根据边长的变化规律解答即可．[详解]解:∵OA 1C 1B 1是正方形，∴OB 1与y轴的夹角为45°，∴OB 1的解析式为y=x联立，解得或，∴点B 1(1，1)，OB 1==，∵OA 1C 1B 1是正方形，∴OC 1=OB 1=×=2，∵C 1A 2C 2B 2是正方形，∴C 1B 2的解析式为y=x+2，联立，解得，或，∴点B 2(2，4)，C 1B 2==2，∵C 1A 2C 2B 2是正方形，∴C 1C 2= C 1B 2=×2=4，∴C 2B 3的解析式为y=x+(4+2)=x+6，联立，解得，或，∴点B 3(3，9)，C 2B 3==3，…，依此类推，正方形C 2010A 2011C 2011B 2011的边长C 2010B 2011=2011．故答案为:2011．[点睛]本题考查了二次函数的对称性，正方形的性质，表示出正方形的边长所在直线的解析式，与抛物线解析式联立求出正方形的顶点的坐标，从而求出边长是解题的关键．18.二次函数的部分对应值如下表:…………①抛物线的顶点坐标为;②与轴的交点坐标为;③与轴的交点坐标为和;④当时，对应的函数值为．以上结论正确的是________．[答案]①②④[解析][分析]由上表得与y轴的交点坐标为(0，-8);与x轴的一个交点坐标为(-2，0);函数图象有最低点(1，-9);有抛物线的对称性可得出可得出与x轴的另一个交点坐标为(4，0);当x=-1时，对应的函数值y为-5．从而可得出答案．[详解]根据上表可画出函数的图象，由图象可得，①抛物线的顶点坐标为(1，-9);②与y轴的交点坐标为(0，-8);③与x轴的交点坐标为(-2，0)和(4，0);④当x=-1时，对应的函数值y为-5．故答案是:①②④．[点睛]考查了用函数图象法求一元二次方程的近似根，体现了数形结合的思想方法．19.已知点、三点都在抛物线的图象上，则、的大小关系是________．(填“、、”)[答案][解析][分析]本题需先根据已知条件求出二次函数的图象的对称轴，再根据点A 、B 的横坐标的大小即可判断出y1与y2的大小关系．[详解]解:∵二次函数y=x2+2的图象的对称轴是y轴，在对称轴的左面y随x的增大而减小，∵点A (-4，y1)、B (-3，y2)是二次函数y=x2+2的图象上两点，-4＜-3，∴y1＞y2．故答案为:y1＞y2．[点睛]本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，在解题时要能灵活应用二次函数的图象和性质以及点的坐标特征是本题的关键．20.如图，是二次函数的图象的一部分，给出下列命题:①;②;③的两根分别为和;④．其中正确的命题是________．(只要求填写正确命题的序号)[答案]①③[解析][分析]由图象可知过(1，0)，代入得到A +B +C =0;根据-=-1，推出B =2A ;根据图象关于对称轴对称，得出与X 轴的交点是(-3，0)，(1，0);由A -2B +C =A -2B -A -B =-3B ＜0，根据结论判断即可．[详解]解:由图象可知:过(1，0)，代入得:A +B +C =0，∴①正确;-=-1，∴B =2A ，∴②错误;根据图象关于对称轴x=-1对称，与X轴的交点是(-3，0)，(1，0)，∴③正确;∵B =2A ＞0，∴-B ＜0，∵A +B +C =0，∴C =-A -B ，∴A -2B +C =A -2B -A -B =-3B ＜0，∴④错误．故答案为:①③．[点睛]本题主要考查对二次函数与X轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系等知识点的理解和掌握，能根据图象确定系数的正负是解此题的关键．三、解答题(共6 小题，每小题10 分，共60 分)21.某校为绿化校园，在一块长为米，宽为米的长方形空地上建造一个长方形花圃，如图设计这个花圃的一边靠墙(墙长大于米)，并在不靠墙的三边留出一条宽相等的小路，设小路的宽为米，花圃面积为为平方米，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域．[答案][解析][分析]设小路的宽为x米，那么长方形花圃的长为(15-2x)，宽为(10-x)，花圃面积为y平方米，根据长方形面积公式即可列出方程，进而求出函数的定义域．[详解]解:设小路的宽为米，那么长方形花圃的长为，宽为，根据题意得，由，解得．[点睛]本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，关键是设出小路的宽，表示出长方形花圃的长和宽，根据面积这个等量关系可列出方程．22.某企业是一家专门生产季节性产品的企业，经过调研预测，它一年中获得的利润(万元)和月份之间满足函数关系式．若利润为万元，求的值．哪一个月能够获得最大利润，最大利润是多少？当产品无利润时，企业会自动停产，企业停产是哪几个月份？[答案](1)或;(2)月能够获得最大利润，最大利润是万;(3) 该企业一年中应停产的月份是月、月、月[解析][分析](1)把y=21代入，求出n的值即可;(2)根据解析式，利用配方法求出二次函数的最值即可;(3)根据解析式，求出函数值y等于0时对应的月份，依据开口方向以及增减性，再求出y小于0时的月份即可解答．[详解]解:由题意得:，解得:或;，∵，∴开口向下，有最大值，即时，取最大值，故月能够获得最大利润，最大利润是万;)∵，当时，或者．又∵图象开口向下，∴当时，，当时，，当时，，则该企业一年中应停产的月份是月、月、月．[点睛]此题主要考查了二次函数的应用，难度一般，解答本题的关键是熟练运用配方法求二次函数的最大值，借助二次函数解决实际问题．23.为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为米的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设的长度为米，矩形区域的面积为米．求证:;求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围;为何值时，有最大值？最大值是多少？[答案](1)见解析;(2)y=;(3)当时，有最大值，最大值为平方米[解析][分析](1)根据三个矩形面积相等，得到矩形A EFD 面积是矩形B C FE面积的2倍，可得出A E=2B E;(2)设B E=A ，则有A E=2A ，表示出A 与2A ，进而表示出y与x的关系式，并求出x的范围即可;(3)利用二次函数的性质求出y的最大值，以及此时x的值即可．[详解]解:∵三块矩形区域的面积相等，∴矩形面积是矩形面积的倍，又∵是公共边，∴;设，则，∴，∴，，∴，∵，∴，∴∵，且二次项系数为，∴当时，有最大值，最大值为平方米．[点睛]此题考查了二次函数的应用，以及列代数式，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．24.已知二次函数的图象与坐标轴交点的坐标分别为，，．求此函数的解析式;求抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标;根据图象直接写出时的取值范围．[答案](1)函数的解析式即;(2)抛物线的开口向上，对称轴为直线=1, 顶点坐标;(3)当时，．[解析][分析](1)设抛物线的解析式为y=A (x-x1)(x-x2)，再把A (-1，0)，B (3，0)，C (0，-3)代入即可得出此函数的解析式;(2)根据A 的符号判断抛物线的开口方向、由顶点公式得出对称轴及顶点坐标;(3)由题意把函数转化为不等式，得x2-2x-3＞0，从而求出x的取值范围．[详解]解:设抛物线的解析式为，把，，代入得，解得，∴此函数的解析式即;∵，∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，，顶点坐标;∵，即图象在轴的下方，∴由图象可知:当时，．[点睛]本题考查了二次函数的性质，以及用待定系数法求二次函数的解析式，求抛物线的顶点坐标的方法，是中考的常见题型．25.如图，已知二次函数的图象过点和点，对称轴为直线．求该二次函数的关系式和顶点坐标;结合图象，解答下列问题:①当时，求函数的取值范围．②当时，求的取值范围．[答案](1)抛物线的顶点坐标为;(2)①当时，;②当时，或．[解析][分析](1)把A 点和C 点坐标代入y=A x2+B x+C 得到两个方程，再加上对称轴方程即可得到三元方程组，然后解方程组求出A 、B 、C 即可得到抛物线解析式，再把解析式配成顶点式即可得到顶点坐标;(2)①先分别计算出x为-1和2时的函数值，然后根据二次函数的性质写出对应的函数值的范围;②先计算出函数值为3所对应的自变量的值，然后根据二次函数的性质写出y＜3时，x的取值范围．[详解]解:根据题意得，解得，所以二次函数关系式为，因为，所以抛物线的顶点坐标为;①当时，;时，;而抛物线的顶点坐标为，且开口向下，所以当时，;②当时，，解得或，所以当时，或．[点睛]本题考查了待定系数法求二次函数的解析式:在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解;当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解;当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．26.在平面直角坐标系中，平行四边形如图放置，点、的坐标分别是、，将此平行四边形绕点顺时针旋转，得到平行四边形．如抛物线经过点、、，求此抛物线的解析式;在情况下，点是第一象限内抛物线上的一动点，问:当点在何处时，的面积最大？最大面积是多少？并求出此时的坐标;在的情况下，若为抛物线上一动点，为轴上的一动点，点坐标为，当、、、构成以作为一边的平行四边形时，求点的坐标．[答案](1)抛物线的解析式为:;(2) 当时，的面积最大，最大值，的坐标为:;(3) 点的坐标为:，，，[解析][分析](1)由平行四边形A B OC 绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A ′B ′O C ′，且点A 的坐标是(0，4)，可求得点A ′的坐标，然后利用待定系数法即可求得经过点C 、A 、A ′的抛物线的解析式;(2)首先连接A A ′，设直线A A ′的解析式为:y=kx+B ，利用待定系数法即可求得直线A A ′的解析式，再设点M的坐标为:(x，-x2+3x+4)，继而可得△A MA ′的面积，继而求得答案;(3)分别从B Q为边与B Q为对角线去分析求解即可求得答案．[详解]解:∵平行四边形绕点顺时针旋转，得到平行四边形，且点的坐标是，∴点的坐标为:，∵点、的坐标分别是、，抛物线经过点、、，。
九年级数学《二次函数》单元测试卷及答案
九年级数学《二次函数》单元测试卷一、选择题1、二次函数y ＝(x －1) 2+2的最小值是（ ）A.－2 B.2 C.－1 D.12、已知抛物线的解析式为y ＝(x －2)2＋1，则抛物线的顶点坐标是（ ） A(－2,1) B(2，1) C(2，－1)D(1，2) 3、函数2+y ax b y ax bx c =+=+与在同一直角坐标系内的图象大致是 （ ）4、在一定条件下，若物体运动的路程s （米）与时间t （秒）的关系式为s ＝5t 2+2t ，则当t ＝4时，该物体所经过的路程为（ ） A.28米 B.48米 C.68米 D.88米5、已知二次函数y ＝ax 2+bx+c(a ≠0)的图象如图2所示，给出以下结论：① a+b+c ＜0；② a －b+c ＜0；③ b+2a ＜0；④ abc ＞0 .C. ①④D. ①②③6、二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如图3所示，若M ＝4a+2b+c ，N ＝a －b+c ，P＝4a+2b ，则（ ） A.M ＞0，N ＞0，P ＞0B. M ＞0，N ＜0，P ＞0C. M ＜0，N ＞0，P＞0 D. M ＜0，N ＞0，P ＜07、如果反比例函数y＝k x的图象如图4所示，那么二次函数y ＝kx 2－k 2x －1的图象大致为（ ）8、用列表法画二次函数y ＝x 2+bx+c 的图象时先列一个表，当表中对自变量x 的值以相等间隔的值增加时，函数y 所对应的函数值依次为：20，56，110，182，274，380，506，650.其中有一个值不正确，这个不正确的值是 ( ) A. 506 B.380 C.274 D.189、二次函数y ＝x 2的图象向上平移2个单位，得到新的图象的二次函数表达式是（ ） A. y ＝x 2－2 B. y ＝(x －2)2 C. y ＝x 2+2 D. y ＝(x+2)210、如图6，小敏在跳远比赛中跳出了满意一跳，函数h ＝3.5t －4.9t 2（t 的单位：s ，h 的单位：m ）可以描述他跳跃图1时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是（ ）A.0.71s B.0.70s C.0.63s D.0.36s11．函数y=ax 2+bx+c 的图象如图8所示，那么关于一元二次方程ax 2+bx+c-3=0的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个异号的实数根C ．有两个相等的实数根D ．没有实数根 12．已知a<－1，点（a －1，y 1），（a ，y 2），（a+1，y 3）都在函数y=x 2的图象上，则（ ） A ．y 1<y 2<y 3 B ．y 1<y 3<y 2 C ．y 3<y 2<y 1 D ．y 2<y 1<y 313、当k 取任意实数时，抛物线 的顶点所在曲线是 （ ）A ．y=x 2B ．y=-x 2C ．y=x 2(x>0) D ．y= -x 2(x>0)14、把抛物线y=x 2+bx+c 的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是y=x 2-3x+5，则有（ ）A ，3=b ，7=c B ，9-=b ，15-=c C ，3=b ，3=c D ，9-=b ，21=c 15、已知函数y=ax 2+bx+c 的图像如图所示，则下列关系成立且能最精确表述的是( )A ．012b a <-< B ．022b a <-< C ．122b a <-< D ．12b a -= 16．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c<0；②a －b+c<0；③b+2a<0；④abc>0，其中所有正确结论的序号是（ ） A ．③④ B ．②③ C ．①④ D ．①②③ 二、填空题17，形如y ＝ (其中a ，b 、c 是 )的函数，叫做二次函数. 18，抛物线y ＝(x –1)2–7的对称轴是直线 .19，如果将二次函数y ＝2x 2的图象沿y 轴向上平移1个单位，那么所得图象的函数解析式是 . 20，平移抛物线y ＝x 2+2x －8，使它经过原点，写出平移后抛物线的一个解析式 21，若二次函数y ＝x 2－4x ＋c 的图象与x 轴没有交点，其中c 为整数，则c ＝____(只要求写出一个).22，现有A 、B 两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）.用小莉掷A 立方体朝上的数字为x 、小明掷B 立方体朝上的数字为y 来确定点P （x ，y ），那么它们各掷一次所确定的点P 落在已知抛物线y ＝－x 2+4x 上的概率为＿＿＿.23，已知抛物线y ＝x 2－6x +5的部分图象如图8，则抛物线的对称轴为直线x ＝ ，满足y ＜0的x 的取值范围是 .图8图6Oyx图722)(54k k x y +-=x15题16题图24,若二次函数c bx ax y ++=2的图象经过点（-2，10），且一元二次方程02=++c bx ax 的根为21-和2，则该二次函数的解析关系式为 。
二次函数单元测试卷(答案)
二次函数单元测试卷(答案)1.已知函数y=2x^2+3x-1的自变量x取值范围为[-2,1]，则在该范围内，该函数的最大值为_____，最小值为_____。
答案：最大值为3，最小值为-1.2.已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象经过点(1,2)和点(3,4)，则a+b+c的值为_____。
答案：a+b+c的值为6.3.抛物线y=-x^2+2x+3的顶点坐标为_____。
答案：(1,4)。
4.已知函数y=x^2-4x+5，则将其表示成y=a(x-h)^2+k的形式为_____。
答案：y=(x-2)^2+1.5.抛物线y=ax^2+bx+c的对称轴方程为x=2，且经过点(0,1)，则a+b+c的值为_____。
答案：a+b+c的值为1.6.已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象与x轴交于点(1,0)和点(3,0)，则a的值为_____。
答案：a的值为-1/4.7.抛物线y=2x^2-4x+1的最小值为_____。
答案：最小值为-3.8.已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象经过点(1,1)，且在x=2处取得最大值，最大值为2，则a、b、c的值分别为_____。
答案：a=1，b=-6，c=7.11.二次函数 $y=(x-2)^2+3$ 的一般形式为 $y=ax^2+bx+c$，其中 $a=1$，$b=-4$，$c=7$。
12.一个开口向上，顶点坐标是 $(-2,1)$ 的函数解析式为$y=a(x+2)^2+1$，其中 $a>0$。
13.由于该二次函数的顶点坐标为 $(2,4)$，因此解析式为$y=a(x-2)^2+4$，其中 $a>0$。
又因为该函数的形状与抛物线$y=4x^2$ 相同，所以 $a=4$，最终得到 $y=4(x-2)^2+4$。
14.将原点代入抛物线方程 $y=x^2+kx+(k+3)$，得到$k=0$。
15.由于抛物线 $y=-2x^2-8x+m$ 经过点 $(-1,y_1)$，$(-2,y_2)$，$(-4,y_3)$，因此可以列出以下方程组：begin{cases}-2(-1)^2-8(-1)+m=y_1 \\ -2(-2)^2-8(-2)+m=y_2 \\ -2(-4)^2-8(-4)+m=y_3\end{cases}$$解得 $m=-6$，$y_1=-2$，$y_2=2$，$y_3=10$，因此$y_3>y_2>y_1$。
二次函数单元测试题及答案
二次函数单元测试题及答案一、选择题1. 已知二次函数\( y = ax^2 + bx + c \)，当\( a < 0 \)时，抛物线的开口方向是：A. 向上B. 向下C. 向左D. 向右答案：B2. 对于二次函数\( y = -2x^2 + 3x + 1 \)，其顶点的横坐标是：A. \( -\frac{1}{2} \)B. \( -\frac{3}{2} \)C. \( \frac{3}{4} \)D. \( \frac{1}{4} \)答案：C3. 若二次函数\( y = x^2 + 2x + 1 \)与x轴有交点，则交点的个数是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B二、填空题4. 二次函数\( y = 3x^2 - 6x + 5 \)的对称轴方程是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
答案：\( x = 1 \)5. 当\( x = 2 \)时，二次函数\( y = x^2 - 4x + 3 \)的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
答案：-1三、解答题6. 已知二次函数\( y = -x^2 + 2x + 3 \)，求其与x轴的交点坐标。
解：令\( y = 0 \)，得\( -x^2 + 2x + 3 = 0 \)。
解此方程，我们可以使用求根公式：\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]代入\( a = -1, b = 2, c = 3 \)，得：\[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{-2} = \frac{-2 \pm\sqrt{16}}{-2} = 1 \pm 2 \]因此，与x轴的交点坐标为\( (-1, 0) \)和\( (3, 0) \)。
7. 已知抛物线\( y = 2x^2 - 4x + 1 \)，求其顶点坐标。
解：顶点的横坐标可以通过公式\( x = -\frac{b}{2a} \)求得，代入\( a = 2, b = -4 \)，得：\[ x = -\frac{-4}{2 \times 2} = 1 \]将\( x = 1 \)代入原方程求得\( y \)值：\[ y = 2(1)^2 - 4(1) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1 \]因此，顶点坐标为\( (1, -1) \)。
人教版九年级数学：《二次函数》单元测试题(含答案)
一选择题1.以下函数不属二次函数的是 ( )A. y=(x－ 1)(x+2)B.y= 1(x+1) 2 C. y=2(x+3)2－ 2x2 D. y=1－ 3 x2 222. 抛物线 y＝ 2x ＋ 4x－3 的极点坐标是（）A. （ 1，－ 5）B.（－ 1，－ 5）C.（－ 1，－ 4）D. （－ 2，－ 7）3.在同一坐标系中，抛物线y＝ 4x2， y＝1x2， y＝－1x2的共同特色是（）44A. 对于 y 轴对称，张口向上B. 对于 y 轴对称， y 随 x 的增大而增大C.对于 y 轴对称， y 随 x 的增大而减小D. 对于 y 轴对称，极点是原点4.已知二次函数y ax2bx c( a 0) 的图象以下图，当y 0 时， x 的取值范围是（）A．1x 3B．x3C．x1D．x 3 或 x15.已知抛物线y1x42x 轴订交时的坐标3 的部分图象（以下图），图象再次与3是（）A.（ 5,0 ）B.（ 6,0 ）C.（ 7,0 ）D.（ 8,0 ）6. 函数y =ax2－a与 y=a(a ≠0) 在同向来角坐标系中的图象可能是( ) xA B C D7. 二次函数y ax 2 bx c （ a0 ）的 象如 所示，以下 ：（1） c（ 2） b 0（3） 4a2b c 0（4） ( ac) 2b 2此中正确的有（ ） A.1个B.2个C.3个D.4个8. 因为被墨水 染，一道数学 能 到以下文字： 已知二次函数y ax 2 bx c 的 象 点（ 1，0）⋯⋯求 个二次函数的 象对于直x 2 称 .依据 有信息， 中的二次函数不拥有的性 是（ ）A. 点（ 3， 0）B.点是（ 2，－ 2）C. 在 x 上截得的 段的 是 2D. 与 y 的交点是（0， 3）二填空9. 一根 60cm 的 ， 成一个矩形。
写出矩形面 S(cm 2) 与它的一x(cm) 之 的函数关系式 ____________.10. 若点 P （ 1， a ）和 Q （－ 1， b ）都在抛物 y x 2 1上， 段 PQ 的 是 _____.11. 用配方法将二次函数y ＝ 1x 2 －6x+21 化成 y ＝ a(x － h) 2+k 的形式，那么y ＝ ________.212. 将抛物 y 2x 2 先向左平移 5 个 位，再向下平移3 个 位，所得抛物 的函数关系式．13. 若抛物 y=-4x 2+16x-15 的 点 A ，与 x 的交点 B 、C ，? △ ABC?的面 是 ________．14. 如 ，点 C 是 段 AB 上的一个 点， AB ＝ 4，分 以 AC 和 CB 一 作正方形，用 S 表示 两个正方形的面 之和，当AC ,S 最小.AB2-2009x+2010与 x 轴的交点为（215. 已知函数 y=x m， 0），（ n， 0），则（ m-2009m+2010）2（n -2009n+2010 ） =_________．16. 已知函数y ax2bx c （ a0 ），给出以下四个判断：① a 0 ；② 2a b0 ；③b24ac 0 ；④a b c0 .以此中三个判断作为条件，余下一个判断作为结论，可获得四个命题，此中，真命题的个数有______个 .三解答题17.已知抛物线 y x2 2x c 的部分图象以下图.（1）求 c 的取值范围；（2）若抛物线经过点(0, 1) ，试确立抛物线y x22x c 的分析式；18. （ 1）请你选定a、 b 适合的值 , 而后写出这条抛物线与坐标轴的三个交点, 并画出过三个交点的圆 .（2）试议论此抛物线与坐标轴交点分别是 1 个,2 个 ,3 个时 ,a 、 b 的取值范围 , 而且求出交点坐标 .19.有一个运算装置，当输入值为x 时，其输出值为y，且y是 x 的二次函数，已知输入值为 2 ，0， 1时，相应的输出值分别为5， 3 ， 4 ．（1）求此二次函数的分析式；（2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象，并依据图象写出当输出值y 为正数时输入值 x 的取值范围．20. “中山桥”是位于兰州市中心、横跨黄河之上的一座百年迈桥（图1）．桥上有五个拱形桥架密切相联，每个桥架的内部有一个水平横梁和八个垂直于横梁的立柱，气概宏伟，素有“天下黄河第一桥”之称. 如图2，一个拱形桥架能够近似看作是由等腰梯形ABD8D1和其上方的抛物线D1OD8构成，成立以下图的平面直角坐标系，已知跨度AB＝ 44m，∠A＝45°，AC1＝4m， D2的坐标为（13， 1.69 ）。
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二次函数 单元测试卷
（满分：100分 时间：90分钟）
一、选择题（每题2分，共20分）
1．二次函数y ＝(x －1)2＋2的最小值是 ( )
A ．－2
B ．2
C ．－1
D ．1
2．不论m 取什么实数，抛物线y ＝a (x ＋m)2＋m(a ≠0)的顶点都在 ( )
A ．直线y ＝x 上
B ．直线y ＝－x 上
C ．x 轴上
D ．y 轴上
3．（ ．滨州）抛物线y ＝－x 2＋6x －12经过平移得到y ＝－x 2，则平移方法是 ( )
A ．向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度
B ．向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度
C ．向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度
D ．向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度
4．向上发射一枚炮弹，经x 秒后的高度为y 公尺，且时间与高度间的关系式为y ＝ax 2＋bx ．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则下列时间中，高度最高的是 ( )
A ．第8秒
B ．第10秒
C ．第12秒
D ．第15秒
5．（ ．襄阳）已知函数y=(k －3)x 2+2x+1的图象与x 轴有交点．则k 的取值范围是 ( )
A ．k<4
B ．k ≤4
C ．k<4且k ≠3
D ．k ≤4且k ≠3
6．（ ．湘潭）在同一坐标系中，一次函数1+=ax y 与二次函数a x y +=2的图像可能是
( )
7．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点c ，若OB ＝OC ＝12OA ，则b 的值为 ( )
A ．－12
B ．12
C ．－2
D ．－1
8．如图①是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离
水面2m ，水面宽4 m ．如图②，建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是 ( )
A ．y ＝－2 x 2
B ．y ＝2 x 2
C ．y ＝－12x 2
D ．y ＝12
x 2 9．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，则下列结论正确的是 ( )
A ．a c<0
B ．当x ＝1时，y >0
C ．方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个大于1的实数根
D ．存在一个大于1的实数x 0，使得当x <x 0时，y 随x 的增大而减小；当x >x 0时，y 随
x 的增大而增大
10．（ •雅安）已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图，其对称轴x=－1，给出下列结果①b
2＞4ac ；②abc ＞0；③2a +b=0；④a+b+c ＞0；⑤a －b+c ＜0，则正确的结论是（ ）
A ．①②③④
B ．②④⑤
C ．②③④
D ．①④⑤
二、填空题（每题3分，共24分）
11．农村常需要搭建截面为半圆形的全封闭蔬菜塑料暖房如图所示，则需要塑料布y (m 2)
与半径R(m)的函数关系式是_______（不考虑塑料布被埋在土里的部分）．
12．已知二次函数y ＝a x 2＋bx ＋c(a ≠0)，其中a 、b 、c 满足a －b ＋c ＝0和9a ＋3b ＋c ＝0，
则该二次函数的对称轴为直线_______．
13．已知y ＝x 2－4x ＋a 的顶点纵坐标为b ，那么a －b 的值是_______．
14．如图，平行于y 轴的直线l 与x 轴交于点（－1，0），被抛物线y 1＝12x 2＋1、y 2＝12
x 2
－1所截，当直线l 向右平移3个单位后，直线l 被两条抛物线所截得的线段扫过的图形（图中的阴影部分）面积为_______平方单位．
15．甲、乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一颗十分关键的球，出手点为P ，羽毛球飞出的
水平距离s （米）与其距地面高度h （米）之间的关系式为h ＝21231232
s s -
++．如图，球网AB 距原点5米，乙（用线段CD 表示）扣球的最大高度为94米，设乙的起跳点
C的横坐标为m，若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败，则m的取值范围是_______．
16．如图，抛物线y＝－x2＋2x＋m(m<0)与x轴相交于A(x1，0)、B(x2，0)两点，点A在点B的左侧，当x＝x2－2时，y_______0（填“>”、“＝”或“<”）．
17．已知抛物线y＝x2－6x＋5的部分图象如图所示，则满足y<0的x的取值范围是_______．18．如图，抛物线y＝ax2＋c(a<0)交x轴于点G、F，交y轴于点D，在x轴上方的抛物线上有两点B、E，它们关于y轴对称，点G、B在y轴左侧，BA⊥OG于点A，BC⊥OD于点C．四边形OABC与四边形ODEF的面积分别为6和10，则△ABG与△BCD 的面积之和为_______．
三、解答题（第19题6分；第20、21题每题7分；第22、23题每题8分；第24题10
分，共56分）
19．已知二次函数的图象的对称轴为x＝2，函数的最小值为3，且图象经过点（－1，5），求此二次函数的关系式．
20．（．南京）已知函数y=mx2－6x＋1（m是常数）．
⑴求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；
⑵若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．
21．已知二次函数y＝(k2－1) x2－(3k－1)x＋2．
(1)二次函数的顶点在x轴上，求k的值；
(2)若二次函数与x轴的两个交点A、B均为整数点（坐标为整数的点），则当k为整
数时，求A、B两点的坐标．
22．旅行社为某旅游团包飞机去旅游，其中旅游社的包机费为15 000元，旅游团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算；若旅游团的人数在30或30以下，则飞机票每张收费900元；若旅游团的人数多于30，则给予优惠，每多1人，机票费每张减少10元，但旅游团的人数最多有75．设旅游团的人数为x，每张飞机票价为y元，旅行社可获得的利润为w元．
(1)写出y与x之间的函数关系式；
(2)写出w与x之间的函数关系式；
(3)当旅游团的人数为多少时，旅行社可获得的利润最大？最大利润为多少元？
23．如图，抛物线y ＝x 2＋bx －3与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，并且OA
＝OC ．
(1)求这条抛物线的关系式；
(2)过点C 作CE ∥x 轴，交抛物线于点E ，设抛物线的顶点为点D ，试判断△CDE 的
形状，并说明理由．
24．已知二次函数()
()2680y a x x a =-+>的图象与x 轴分别交于点A 、B ，与y 轴交于点
C ．点
D 是抛物线的顶点．
(1)如图①，连接AC ，将△OAC 沿直线AC 翻折，若点O 的对应点O'恰好落在该抛物
线的对称轴上，求实数a 的值；
(2)如图②，在正方形EFGH 中，点E 、F 的坐标分别是（4，4）、（4，3），边HG 位于
边EF 的右侧．小林同学经过探索后发现了一个正确的命题：“若点P 是边EH 或边HG 上的任意一点，则四条线段PA 、PB 、PC 、PD 不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段不能构成平行四边形）．”若点P 是边EF 或边FG 上的任意一点，刚才的结论是否也成立？请你积极探索，并写出探索过程；
(3)如图②，当点P 在抛物线对称轴上时，设点P 的纵坐标t 是大于3的常数，试问：是
否存在一个正数a ，使得四条线段PA 、PB 、PC 、PD 与一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段能构成平行四边形）？请说明理由．
参考答案
一、1．B 2．B 3．D 4．B 5．B 6．A 7．A 8．C 9．D 10．D
二、11．y ＝30πR ＋πR 2 12．x ＝1 13．4 14．6 15．5<m<4 16．< 17．1<x <5 18．4
三、19．22835999
y x x =-+ 20．⑴当x =0时，1y =．
所以不论m 为何值，函数261y mx x =-+的图象经过y 轴上的一个定点（0，1）． ⑵①当0m =时，函数61y x =-+的图象与x 轴只有一个交点；
②当0m ≠时，若函数261y mx x =-+的图象与x 轴只有一个交点，则方程2610mx x -+=有两个相等的实数根，所以2(6)40m --=，9m =．
综上，若函数261y mx x =-+的图象与x 轴只有一个交点，则m 的值为0或9．
21．(1)k ＝3 (2)A 、B 两点坐标为（－1，0）和(2，0)
22．(1)y ＝－10x ＋1200 (2)w ＝10x 2＋1200x －15000 (3)旅游团的人数为60时，旅行社可获得的利润最大，最大利润为21 000元
23．(1)y ＝x 2＋2x －3 (2)△CDE 是等腰直角三角形
24．。