3.2 函数模型及其应用
高中数学人教版：3.2--数学模型及其应用(共73张PPT)
例3. 一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图 所示.
(1) 求图中阴影部分的面积, 并说明所求面积的实际含义; (2) 假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为 2004 km, 试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数 s km与 时间 t h 的函数解析式, 并作出相应的图象.
所示.
(1) 求图中阴影部分的面积, 并说明所求面积的实际含义;
(2) 假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为
2004 km, 试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数 s km与
时间 t h 的函数解析式, 并作出相应的图象.
s/km
解: (2) 列表表示:
2350
2300
[0, 1)
s[1=, 2)
y4 5 2.3107 1.4295 1.1407 1.0461 1.0151 1.005
关于 x 呈指数型函数变化的变量是 y2 y4.
分析: y1, y2, y3 都是 增函数, 增长速度最快的 是 y2, 所以 y2 最有可能 是指数型函数.
y4 是减函数, 画出 图象如图: y4 也可能是 指数形函数.
y
2048
y=2x
幂函数 y = x3
对数函数 y = log2x
x
5
8 10 11 1231
2x 32 256 1024 2048 1024
1000
x3 125 512 1000 1231
log2x 2.32 3 3.32 3.46 512
随着 x 的增大, 2x 的图象 几乎垂直向上, 增速很大.
口人增数(长1)率5如95(61精果确以50到6各030年.0人508702口41)增, 5用9长867马率尔的660萨6平2斯均6人5值164口作增为62长2我88模国型6这643建5一立时69我5期49国的这人60772
高一数学线性函数(新编2019教材)
长史刁膺谏勒先送款于帝 必须杀此老氐 好《毛诗》 秦众虽少 拜上光禄大夫 不过十旬 贵兄常侍及奋 遇遵于李城 实在于此 臣窃谓无益于先皇先后 观相国之入也 保根余山 令三年一贡 复不听过京师 因攻司徒傅祗于三渚 唐柱等筑龙城 赦四岁刑 性刚正 融军人获而送之 大单于 鲜卑
入屯北垒 所以割肌肤之惠 俊立闵而问之曰 大司马 并州刺史东嬴公腾 洛阳既陷 爵封轻重随功位为差 廉清各一人 焚桥 放之殿中 权翼 非为臣之义也 恪追及于泒水 元海之为左贤王 车骑将军慕容廆自弱冠莅国 何足呈也 言念君子 士卒饑冻而死者万有馀人 武闭垒距之 署左长史郭敖
咸和三年 人神无助 且陛下若爱忘其丑 生杀拜除皆迭日省决 使其右将军刘参攻郭默于怀城 公卿乃请使太尉告社稷 从大秦国来 曜乃承制加染前锋大都督 虽宗族无能识者 吾当躬自率众以继卿后 殊曰 冀大饑 傅颜等统步骑五万 其尚书左丞申绍上疏曰 入紫微 机不虚发 皝掘钊父利墓
立粲为皇太子 师次范阳 羌及长卿战于堡南 长安可袭而取之 仇生等水陆五千距之 公天生神武 此岂是帝王三讯之法邪 此法当失 归于襄国 将伺隙为乱 立汉高祖以下三祖五宗神主而祭之 必仰准乾象 其乐平王石苞时镇长安 二王已许之矣 谣曰 升故太极前殿 洪曰 躬率弱卒以防南陕 聪
眷等引还 阳骛为辅义将军 所向辄溃 内觇大驾强弱 故周公戒成王以啬财为本 或服勤死事之孤 愿徙汧 窃以大难未夷 勒曰 但以末年惛惑 司徒章绶 曰 河间王颙惧东师之盛 三至灞上 忧勤社稷 经凤阳门 起龙城宫阙 虽有贷赡之名而无其实 遂成痴也 及迁都和龙 曜曰 连兵积年 冉闵之
乱 可谓弱矣 并州十六万人城长安未央宫 将军何其怯乎 共为羽翼 吾所忿戮 若其促攻 必怀疑贰 食不累味 凉州之兵始达咸阳 悬食给之 俊遣慕容评 杖陛下神规 逆众不济 亦未必万全 匿者腰斩 处乌丸杂类于冯翊 故九州之人 段辽遂寇徒河 其太尉张举进曰 曜遣其军骑刘雅 治致升平
3.2.1几类不同增长的函数模型
3.2函数模型及其应用3.2.1几类不同增长的函数模型1．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是() A．y＝100x B．y＝log100xC．y＝x100D．y＝100x答案 D解析几种函数模型中，指数函数增长最快，故选D.2．当2＜x＜4时，2x，x2，log2x的大小关系是() A．2x＞x2＞log2x B．x2＞2x＞log2xC．2x＞log2x＞x2D．x2＞log2x＞2x答案 B解析法一在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝log2x，y＝x2，y＝2x，在区间(2,4)上从上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x的图象，所以x2＞2x＞log2x.法二比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法．可取x＝3，经检验易知选B.3．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致是()答案 D解析设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意，ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，∴y＝f(x)的图象大致为D中图象．4．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝a log2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，到第7年它们发展到( )A ．300只B ．400只C ．500只D ．600只 答案 A解析 由已知第一年有100只，得a ＝100.将a ＝100，x ＝7代入y ＝a log 2(x ＋1)，得y ＝300. 5．某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为________．答案 y ＝－14x ＋50(0＜x ＜200)．解析 设解析式为y ＝kx ＋b ，由⎩⎨⎧30＝k ×80＋b 20＝k ×120＋b，解得k ＝－14，b ＝50， ∴y ＝－14x ＋50(0＜x ＜200)．三种函数模型的选取(1)当增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型．(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型．(3)幂函数模型y ＝x n (n ＞0)，则可以描述增长幅度不同的变化：n 值较小(n ≤1)时，增长较慢；n 值较大(n ＞1)时，增长较快．。
【成才之路】2014-2015学年高中数学 3.2.2 函数模型的应用实例课件 新人教A版必修1
当该顾客购买茶杯 40 个时，采用优惠办法 (1) 应付款 y1 ＝
5×40＋60＝260元；采用优惠办法(2)应付款y2＝4.6×40＋73.6 ＝257.6元，由于y2<y1，因此应选择优惠办法(2).
2
2
二次函数模型问题与函数的图象
西部山区的某种特产由于运输原因，长期只能
在当地销售，当地政府对该项特产的销售投资收益为：每年投 1 入 x 万元，可获得利润 P＝－160(x－40)2＋100(万元)．当地政 府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售，其规划方 案为： 在规划前后对该项目每年都投入 60 万元的销售投资， 在 未来 10 年的前 5 年中， 每年都从 60 万元中拨出 30 万元用于修 建一条公路，5 年修成，通车前该特产只能在当地销售；
●温故知新
旧知再现 1．常见的函数模型 kx k为常数，k≠0)； (1)正比例函数模型：f(x)＝____(
k (2)反比例函数模型：f(x)＝____( x k为常数，k≠0)；
(3)一次函数模型：f(x)＝________( kx＋b k，b为常数，k≠0)； ax2＋bx＋c a ， b ， c 为常数， (4) 二次函数模型： f(x) ＝ ____________(
(1)分别求出通话费y1、y2与通话时间x之间的函数关系式； (2)请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜．
[分析]
由题目可获取以下主要信息： (1)通过图象给出函
数关系， (2) 函数模型为直线型， (3) 比较两种函数的增长差 异．解答本题可先用待定系数法求出解析式，然后再进行函数 值大小的比较．
1 又由题设 P＝－160(x－40)2＋100 知， 每年投入 30 万元时， 795 利润 P＝ 8 (万元)． 前 5 年的利润和为 795 2 775 8 ×5－150＝ 8 (万元)．
重点高中数学各章节内容
重点高中数学各章节内容————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：第一章集合与函数概念1．1集合1．2函数及其表示1．3函数的基本性质第二章基本初等函数（Ⅰ）2．1指数函数2．2对数函数2．3幂函数第三章函数的应用3．1函数与方程3．2函数模型及其应用【必修二】第一章空间几何体1．1空间几何体的结构1．2 空间几何体的三视图和直观图1．3 空间几何体的表面积与体积第二章点、直线、平面之间的位置关系2．1空间点、直线、平面之间的位置关系2．2直线、平面平行的判定及其性质2．3直线、平面垂直的判定及其性质第三章直线与方程3．1直线的倾斜角与斜率3．2直线的方程3．3直线的交点坐标与距离公式第四章圆与方程4．1圆的方程4．2直线、圆的位置关系4．3空间直角坐标系第一章算法初步1．1算法与程序框图1．2基本算法语句1．3算法案例第二章统计2．1随机抽样2．2用样本估计总体2．3变量间的相关关系第三章概率3．1随机事件的概率3．2古典概型3．3几何概型【必修四】第一章三角函数1．1任意角和弧度制1．2任意角的三角函数1．3三角函数的诱导公式1．4三角函数的图象和性质1．5函数的图象1．6三角函数模型的简单应用第二章平面向量2．1平面向量的实际背景及基本概念2．2平面向量的线性运算2．3平面向量的基本定理及坐标表示2．4平面向量的数量积2．5平面向量应用举例第三章三角恒等变换3．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．2简单的三角恒等变换【必修五】第一章解三角形1．1正弦定理和余弦定理1．2应用举例第二章数列2．1数列的概念与简单表示法2．2等差数列2．3等差数列的前n项和2．4等比数列2．5等比数列的前n项和第三章不等式3．1不等关系与不等式3．2一元二次不等式及其解法3．3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3．4基本不等式选修2-1第一章常用逻辑用语1-1命题及其关系1-2充分条件与必要条件1-3简单的逻辑联结词1-4全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2-1曲线与方程2-2椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2-3双曲线探究与发现2-4抛物线探究与发现阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用小结复习参考题第三章空间向量与立体几何3-1空间向量及其运算阅读与思考向量概念的推广与应用3-2立体几何中的向量方法小结复习参考题选修2-2第一章导数及其应用1-1变化率与导数1-2导数的计算1-3导数在研究函数中的应用1-4生活中的优化问题举例1-5定积分的概念1-6微积分基本定理1-7定积分的简单应用小结复习参考题第二章推理与证明2-1合情推理与演绎推理2-2直接证明与间接证明2-3数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3-1数系的扩充和复数的概念3-2复数代数形式的四则运算小结复习参考题选修2-3第一章计数原理1-1分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少1-2排列与组合探究与发现组合数的两个性质1-3二项式定理探究与发现“杨辉三角”中的一些秘密小结复习参考题第二章随机变量及其分布2-1离散型随机变量及其分布列2-2二项分布及其应用阅读与思考这样的买彩票方式可行吗探究与发现服从二项分布的随机变量取何值时概率最大2-3离散型随机变量的均值与方差2-4正态分布信息技术应用μ，σ对正态分布的影响小结复习参考题第三章统计案例3-1回归分析的基本思想及其初步应用3-2独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结复习参考题。
2016最新高中数理化书本目录详解
第一章集合与函数概念1.1集合1.2函数及其表示1.3函数的基本性质第二章基本初等函数2.1指数函数2.2对数函数2.3幂函数第三章函数的应用3.1函数与方程3.2函数模型及其应用数学必修2第一章空间几何体1.1空间几何体的结构1.2空间几何体的三视图和直观图1.3空间几何体的表面积与体积第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.2直线、平面平行的判定及其性质2.3直线、平面垂直的判定及其性质第三章直线与方程3.1直线的倾斜角与斜率3.2直线的方程3.3直线的交点坐标与距离公式第四章圆与方程2.1圆的方程2.2直线、圆的位置关系2.3空间直角坐标系数学必修3第一章算法初步1.1算法与程序框图1.2基本算法语句1.3算法案例第二章统计2.1随机抽样2.2用样本估计总体2.3变量间的相互关系第三章概率3.1随机事件的概率3.2古典概率3.3几何概率第一章三角函数1.1任意角和弧度制1.2任意角的三角函数1.3三角函数的诱导公式1.4三角函数的图像与性质1.5三角函数模型的简单应用第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念2.2平面向量的线性运算2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.4平面向量的数量积2.5平面向量应用举例第二章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切3.2简单的三角恒等变换数学必修5第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.2应用举例第二章数列2.1数列的概念与简单表示法2.2等差数列2.3等差数列的前n项和2.4等比数列2.5等比数列的前n项和第三章不等式3.1不等关系与不等式3.2一元二次不等式及其解法3.3二元一次不等式（组）与简单的线性3.4基本不等式数学选修1-1第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.2充分条件与必要条件1.3简单的逻辑联结词1.4全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1 椭圆2.2 双曲线2.3 抛物线第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.2导数的计算3.3导数在研究函数中的应用3.4生活中的优化问题举例数学选修1-2第一章统计案例1.1回归分析的基本思想及其初步应用1.2独立性检验的基本思想及其初步应用第二章推理与证明2.1合理推理与演绎证明2.2直接证明与间接证明第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3.2复数代数形式的四则运算第四章框图4.1流程图4.2结构图数学选修2-1第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.2充分条件与必要条件1.3简单的逻辑联结词1.4全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.2椭圆2.3双曲线渐近线2.4抛物线第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.2立体几何中的向量方法数学选修2-2第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.2导数的计算1.3导数在研究函数中的应用1.4生活中的优化问题举例1.5定积分的概念1.6微积分基本定理1.7定积分的简单应用第二章推理与证明2.1合理推理与演绎推理2.2直接证明与间接证明第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3.2复数代数形成的四则运算数学选修2-3第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.2 排列与组合1.3 二项式定理第二章随机变量及其分布2.1离散型随机变量及其分布列2.2二项分布及其应用2.3离散型随机变量的均值与方差2.4正态分布第三章统计案例3.1回归分析的基本思想及其初步应用3.2独立性检验的基本思想及其初步应用物理必修1第一章运动的描述1质点参考系和坐标系2时间和位移3运动快慢的描述——速度4实验：用打点计时器测速度5速度变化快慢的描述——加速度第二章匀变速直线运动的研究1实验：探究小车速度随时间变化的规律2匀变速直线运动的速度与时间的关系3匀变速直线运动的位移与时间的关系4匀变速直线运动的速度与位移的关系5自由落体运动6伽利略对自由落体运动的研究第三章相互作用1重力基本相互作用2弹力3摩擦力4力的合成5力的分解第四章牛顿运动定律1牛顿第一定律2实验：探究加速度与力、质量的关系3牛顿第二定律4力学单位制5牛顿第三定律6用牛顿定律解决问题（一）7用牛顿定律解决问题（二）物理必修2第五章曲线运动1曲线运动2平抛运动3实验：研究平抛运动4圆周运动5向心加速度6向心力7生活中的圆周运动第六章万有引力与航天1行星的运动2太阳与行星间的引力3万有引力定律4万有引力理论的成就5宇宙航行6经典力学的局限性第七章机械能守恒定律1追寻守恒量——能量2功3功率4重力势能5探究功与速度变化的关系6实验：探究功与速度变化的关系7动能和动能定理8机械能守恒定律9实验：验证机械能守恒定律10能量守恒定律与能源物理选修3-1第一章静电场1电荷及其守恒定律2库仑定律3电场强度4电势能和电势5电势差6电势差与电场强度的关系7静电现象的应用8电容器的电容9带电粒子在电场中的运动第二章恒定电流1电源和电流2电动势3欧姆定律4串联电路和并联电路5焦耳定律6导体的电阻7闭合电路的欧姆定律8多用电表的原理9实验：练习使用多用电表10实验：测定电池的电动势和内阻11简单的逻辑电路第三章磁场1磁现象和磁场2磁感应强度3几种常见的磁场4通电导线在磁场中受到的力5运动电荷在磁场中受到的力6带电粒子在匀强磁场中的运动物理选修3-2第四章电磁感应1划时代的发现2探究感应电流的产生条件3楞次定律4法拉第电磁感应定律5电磁感应现象的两类情况6互感和自感7涡流、电磁阻尼和电磁驱动第五章交变电流1交变电流2描述交变电流的物理量3电感和电容对交变电流的影响4变压器5电能的输送第六章传感器1传感器及其工作原理2传感器的应用（一）3实验：传感器的应用物理选修3-3第七章分子动理论1物体是由大量分子组成的2分子的热运动3分子间的作用力4温度的温标5内能第八章气体1气体的等温变化2气体的等容变化和等压变化3理想气体的状态方程4气体热现象的微观意义第九章固体、液体和物态变化1固体2液体3饱和汽和饱和气压4物态变化中的能量交换第十章热力学定律1功和内能2热和内能3热力学第一定律能量守恒定律4热力学第二定律5热力学第二定律的微观解释6能源和可持续发展物理选修3-4第十一章机械振动1简谐运动2简谐运动的描述3简谐运动的回复力和能量4单摆5外力作用下的振动第十二章机械波1波的形成和传播2波的图像3波长、频率和波速4波的衍射和干涉5多普勒效应6惠更斯原理第十三章光1光的反射和折射2全反射3光的干涉4实验：用双缝干涉测量光的波长5光的衍射6光的偏振7光的颜色8激光第十四章电磁波1电磁波的发现2电磁振荡3电磁波的发射和接收4电磁波与信息化社会5电磁波谱第十五章相对论简介1相对论的诞生2时间和空间的相对性3狭义相对论的其他结论4广义相对论简介物理选修3-5第十六章能量守恒定律1 实验：探究碰撞中的不变量2 动量和动量定律3 动量守恒定律4 碰撞5 反冲运动火箭第十七章波粒二项性1 能量量子化2 光的粒子性3 粒子的波动性4 概率波5 不确定性关系第十八章原子结构1 电子的发现2 原子的核式结构模型3 氢原子光谱4 玻尔的原子模型第十九章原子核1 原子核的组成2 放射性元素的衰变3 探测射线的方法4 放射性的应用与防护5 核力与结合能6 核裂变7 核聚变8 粒子和宇宙化学必修1第一章从实验学化学第一节化学实验基本方法第二节化学计量在实验中的应用第二章化学物质及其变化第一节物质的分类第二节离子的反应第三节氧化还原反应第三章金属及其化合物第一节金属的化学物质第二节几种重要的金属化合物第三节用途广泛的金属材料第四章非金属及其化合物第一节无机非金属材料的主角——硅第二节富集在海水的元素——氯第三节硫和氮的氧化物第四节氨硝酸硫酸化学必修2第一章物质结构元素周期表第一节元素周期表第二节元素周期律第三节化学键第二章化学反应与能量第一节化学能与热能第二节化学能与电能第三节化学反应的速率和限度第三章有机化合物第一节最简单的有机化合物——甲烷第二节来自石油和煤的两种基本化工原料第三节生活中两种常见的有机物第四节基本营养物质第四章化学与自然资源的开发利用第一节开发利用金属矿物和海水资源第二节资源综合利用环境保护化学选修1第一章关注营养平衡第一节生命的基础能源——糖类第二节重要的体内能源——油脂第三节生命的基础——蛋白质第四节维生素和微量元素第二章促进身心健康第一节合理选择饮食第二节正确使用药物第三章探索生活材料第一节合金第二节金属的腐蚀和防护第三节玻璃、陶瓷和水泥第四节塑料、纤维和橡胶第四章保护生存环境第一节改善大气质量第二节爱护水资源第三节垃圾资源化化学选修2第一章走进化学工业课题1 化工生产过程的基本问题课题2 人工固氮技术——合成氮课题3 纯碱的生产第二章化学与资源开发利用课题1 获取洁净的水课题2 海水的综合利用课题3 石油、煤和天然气第三章化学与材料的发展课题1 无机非金属材料课题2 金属材料课题3 高分子化合物与材料第四章化学与技术的发展课题1 化肥和农药课题2 表面活性剂精细化学品化学选修3第一章原子结构与性质第一节原子结构第二节原子结构与元素的性质第二章分子结构与性质第一节共价键第二节分子的立体结构第三节分子的性质第三章晶体结构与性质第一节晶体的常识第二节分子晶体与原子晶体第三节金属晶体第四节离子晶体化学选修4第一章化学反应与能量第一节化学反应与能量的变化第二节燃烧热能源第三节化学反应热的计算第二章化学反应速率和化学平衡第一节化学反应速率第二节影响化学反应速率的因素第三节化学平衡第四节化学反应进行的方向第三章水溶液中的离子平衡第一节弱电解质的电离第二节水的电解和溶液的酸碱性第三节盐类的水解第四节难溶电解质的溶解平衡第四章电化学基础第一节原电池第二节化学电源第三节电解池第四节金属的电化学腐蚀与防护化学选修5第一章认识有机化合物第一节有机化合物的分类第二节有机化合物的结构特点第三节有机化合物的命名第四节研究有机化合物的一般步骤和方法第二章烃和卤代烃第一节脂肪烃第二节芳香烃第三节卤代烃第三章烃的含氧衍生物第一节醇粉第二节醛第三节羧酸酯第四节有机合成第四章生命中的基础有机化学物质第一节油脂第二节糖类第三节蛋白质和核酸第五章进入合成有机高分子化合物的时代第一节合成高分子化合物的基本方法第二节应用广泛的高分子材料第三节功能高分子材料。
3.2函数模型及其应用
解：借助计算器或计算机作出函数y=0.25x， y=log7x+1，y=1.002x的图象（图3.2-2）
y 8 7 6 5 4 3 2 1 O
y=0.25x y=1.002x y=5 y=log7x+1
200
400 600
800 1000
x
观察图象发现，在区间[10,1000]上，模型 y=0.25x，y=1.002x的图象都有一部分在直线y=5的 上方，只有模型y=log7x+1的图象始终在y=5的下方， 这说明只有按模型y=log7x+1进行奖励时才符合公司 的要求. 下面通过计算确认上述判断.
假设你有一笔资金用于投资，现有三种投 资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元，以后每天 比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天 的回报比前一天翻一番. 请问，你会选择哪种投资方案？
解：
设第x天所得回报是y元，则 方案一：y=40(x∈N*)；
20 1.05E+06
30 40 1.07E+09 1.10E+12
400
70 1.18E+21 4900
900
80 1.21E+24 6400
1600
„ „ „
y=2x 1.13E+15 y=x2 2500
再在同一平面直角坐标系内 画出这两个函数的图象（图2）
y
y=2x
1.13E+15
1.10E+12 y=x2
0.953
0.877
0.817
y log1 x
2
3.322 1.737
1
【红对勾】高中数学 3.2.2函数模型的应用举例课件 新人教版必修1
(2)设最大利润为Q(x)，
1 2 则Q(x)＝1.6x－y＝1.6x－10x －3x＋40
(2)函数关系未知的应用题 其解题步骤可归纳为以下几步： ①阅读理解题意 摆脱对实际问题陌生的心理障碍，按题目的有关规定 去领悟其中的数学本质，理顺题目中的数与形、形与形的 数量关系和位置关系，看一看可以用什么样的函数模型， 初步拟定函数类型．
②抽象函数模型 在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型． ③研究函数模型的性质 根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有 关性质，获得函数模型的解． ④得出问题的结论 根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目 的要求，给出实际问题的解．
(1)求y与x之间的函数关系式，并在保证商家不亏本的 前提下，写出x的取值范围； (2)假设这种汽车平均每周的销售利润为z万元，试写出 z与x之间的函数关系式； (3)当每辆汽车的销售单价为多少万元时，平均每周的 销售利润最大？最大利润是多少？
【解析】
解决本题需弄清楚：每辆车的销售利润＝
销售单价－进货单价；先求出每辆车的销售利润，再乘以 售出辆数可得每周销售利润．通过二次函数求最值，可得 汽车合适的销售单价．
预习篇01
新知导学
解函数模型应用题的一般步骤
1．函数模型应用的两个方面 (1)利用已知函数模型解决问题； (2)建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解 释有关现象，对某些发展趋势进行预测．
2．解函数应用题的一般步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数理关 系． (2)建模：将文字语言转化为数学语言，用数学知识建 立相应的数学模型． (3)求模：求解数学模型，得到数学结论． (4)还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的 意义．
1．常见的函数模型有哪些？ 提示：(1)正比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)； k (2)反比例函数模型：f(x)＝ (k为常数，k≠0)； x (3)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)；
§3.2.2 函数模型的应用举例
第三章函数的应用3.2 函数模型及其应用§3.2.2 函数模型的应用举例【学习目标】1.能够运用函数性质，解决某些简单的实际问题。
2.能够根据实际问题构建适当的函数模型，体会函数模型的广泛应用。
【预习提纲】1.函数模型的分类及其建立与应用根据实际应用问题提供的两个变量的数量关系是否确定，可把构建的函数模型分为两大类：第一类是确定函数模型，这类应用题提供的变量关系是确定的，是以现实生活为原型设计的；第二类是近似函数模型，或称拟合函数模型，这类应用题提供的变量关系是不确定的，只是给出了两个变量的几组对应值（是搜集或用实验方法测定的）.根据函数自身的种类，常见函数模型可分为一次函数模型、、、、、等.2.解答应用问题的程序概括为以下几点：（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；（2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符合语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；（3）求模：求解数学模型，得出数学结论；（4）还原：将数学结论还原为实际问题的意义.【例题精讲】例1．如图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距80 km的两城镇间旅行的函数图象，由图可知：骑自行车者用了6小时，沿途休息了1小时，骑摩托车者用了2小时，根据这个函数图象，推出关于这两个旅行者的如下信息：①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时，晚到1小时；②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；③骑摩托车者在出发了1.5小时后，追上了骑自行车者．其中正确信息的序号是( )A．①②③B．①③C．②③D．①②例2. 一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示。
（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004 km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数关系式，并作出相应的图象。
h例3.一种药在病人血液中得量保持在1500 mg 以上，才有疗效；而低于500mg ，病人就有危险。
3.2.1几类不同增长的函数模型
课堂讲义
预习导学
第三章 函数的应用
2.三种函数的增长速度比较
(1)在区间(0，＋∞)上，函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和
增函数 ，但__________ 增长速度 不同，且不在同 y＝xn(n＞0)都是_________
一个“档次”上．(2)在区间(0，＋∞)上随着x的增大，y＝ ax(a＞1)增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0) 的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会________ 越来越慢． (3)存在一个x0，使得当x＞x0时，有logax＜xn＜ax.
预习导学 课堂讲义
课堂讲义
第三章 函数的应用
规律方法
1. 此类问题求解的关键是首先利用待定系数法
求出相关函数模型，也就是借助数据信息，得到相关方程， 进而求出待定参数． 2． 理解“模型能更好反映该公司年销量 y 与年份 x 的关系” 的含义，在此基础上利用既定值来检验模型的优劣．
预习导学
课堂讲义
预习导学 课堂讲义
课堂讲义
解
第三章 函数的应用
建立年销量 y 与年份 x 的函数，可知函数必过点(1,8)，
(2,18)，(3,30)． (1)构造二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 将点坐标代入， a＋b＋c＝8， 可得4a＋2b＋c＝18， 9a＋3b＋c＝30，
第三章 函数的应用
曲线 C1 对应的函数为 g(x)＝0.3x－1， 曲线 C2 对应的函数为 f(x)＝lg x， (2)当 x∈(0，x1)时，g(x)＞f(x)； 当 x∈(x1，x2)时，g(x)＜f(x)； 当 x∈(x2，＋∞)时，g(x)＞f(x)． 函数 g(x)＝0.3x－1 呈直线增长， 函数 f(x)随着 x 的逐渐增大， 其函数值变化的越来越慢，为“蜗牛式”增长．
走进数学建模世界教学设计
.第二届东芝杯·中国师范大学师范专业理科大学生教学技能创新实践大赛参赛教案课题：走进数学建模世界教材：人教版数学必修①3.2函数模型及其应用授课对象：高一学生参赛选手：华南师范大学黄泽君选手专业：数学与应用数学（师范）数学的魅力在于，她能以稳定的模式驾驭流动的世界！【课题】《走进数学建模世界》【教材】人教版数学必修①3.2函数模型及其应用【课时安排】第4课时【教学对象】高一学生【授课教师】华南师范大学数学科学学院黄泽君【教材分析】数学建模是高中数学新课程的新增内容，但《标准》中没有对数学建模的课时和内容作具体安排，只是建议将数学建模穿插在相关模块的教学中。
而“3.2函数模型及其应用”一节只是通过六个例子介绍一次函数、二次函数、指数函数、对数函数与幂函数在解决实际问题中的作用，为以后的数学建摸实践打基础，还未能使学生真正理解数学建模的真实全过程。
本节课通过一个较为真实的数学建模案例，以弥补教材的这一不足。
【学情分析】高一学生在进入本节课的学习之前，需要熟悉前面已学过的二次函数与三角函数的相关性质。
【教学目标】知识与技能（1）初步理解数学模型、数学建模两个概念；（2）掌握框图2——数学建模的过程。
✧过程与方法（1）经历解决实际问题的全过程，初步掌握函数模型的思想与方法；（2）提高学生通过建立函数模型解决实际问题的能力。
✧情感态度价值观（1）体验将实际问题转化为数学问题的数学化过程；（2）感受数学的实用价值，增强应用意识；（3）体会数学以不变应万变的魅力。
【教学重点】框图2——数学建模的过程。
【教学难点、关键】方案二中答案的探究；关键是运用合情推理。
【教学方法】引导探究、讨论交流。
【教学手段】计算机、PPT、几何画板。
【教学过程设计】一、教学流程设计二、教学过程设计1.初步理想化在单位时间内，该水槽能通过的流水量取决于水流速度和它的横截面积。
我们将问题通过比较以上五种方案和横截面设计为【板书设计】走进数学建模世界一、四、六、二、七、三、五、八、附：本教学设计的创新之处1. 数学建模是高中数学新课程的新增内容，但却没有教材，没有具体内容。
2014年新课标人教A版必修1数学3.2.1几类不同增长的函数模型随堂优化训练课件
【变式与拓展】
1.一个水池每小时注入的水量是全池的 1 ，水池还没有注 10 水的部分与总量的比值 y 随时间 x(单位：小时)变化的函数关系
x y＝1－10(0≤x≤10) 式为____________________.
题型 2 指数函数模型 【例 2】 某公司拟投资 100 万元，有两种获利的投资方案
度较快.
练习2：某种商品降价 10%后，欲恢复原价，则应提价( D )
A.10%
C.11%
B.9%
100 D. 9 %
解析：设商品原价为 a，则降价 10%后价格为 90%a，若设
100 应提升 x 才能恢复原价，则 90%a(1＋x)＝a，解得 x＝ 9 %.故
选 D.
练习3：f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞) 时，对三个函数增长速度进行比较，下列选项正确的是( B )
)
5 B.9小时 C.5 小时 D.10 小时
1 A.2小时
解析：由题意，前 5 个小时消除了 90%的污染物， ∵P＝P0e kt，∴(1－90%)P0＝P0e
－ －5k
.∴0.1＝e
－5k
，即－5k＝
1 1 －kt ln0.1.∴k＝－5ln0.1.由 10%P0＝P0e ，得－kt＝ln0.1.即5ln0.1t
可提供选择：一种是年利率为 10%，按单利计算，5 年后收回
本金和利息；另一种是年利率为 9%，按复利计算，5 年后收回
本金和利息.哪一种投资更有利？这一种投资比另一种投资 5 年
后可多得利息多少元？
解：本金100万元，年利率10%，按单利计算，5年后收
回本金和利息是 100×(1＋10%× 5) ＝150(万元) ；本金100
函数模型及其应用
必修1 第3章 函数的应用
3.2函数模型及其应用
函数模型 概念：函数模型就是用函数知识对日常生活中普
遍存在的成本最低、利润最高、产量最大、效益最 好、用料最省等实际问题进行归纳加工，建立相应 的目标函数，确定变量的取值范围，运用函数的方 法进行求解，最后用其解决实际问题。
数学建模： 数学建模就是通过建立实际问题的 ____________ 数学模型 来解决问题的方法．
D
2.某商品进货单价为40元，若销售价为50元，可卖 出50个，如果销售单价每涨1元，销售量就减少1个， 为了获得最大利润，则此商品的最佳售价应为多少 元？
解：设此商品的最佳售价应为x元，获得利润为y元． 由题意得y＝(x－40)[50－(x－50)] ＝(x－40)(100－x) ＝－x2＋140x－4 000 ＝－(x－70)2＋900， ∴当x＝70时，ymax＝900， 即此商品的最佳售价应为70元时获得的利润最大，最大利润为900 元．
分析：由已知利润＝总收入－总成本．由于R(x)是分段
函数，所以f(x)也要分段求出，分别求出f(x)在各段中的 最大值，通过比较Βιβλιοθήκη 就能确定f(x)的最大值．•
[解析] (1)设月产量为 x 台，则总成本为 20 000＋100x， 1 2 － x ＋300x－20 0000≤x≤400 ∴f(x)＝ 2 . 60 000－100xx>400
3. 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元， 每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收入满足 函数：
1 2 400x－ x 0≤x≤400 2 R(x)＝ ， 80 000x>400 其中 x 是仪器的月产量． (1)将利润表示为月产量的函数 f(x)； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多 少元？
高中数学必修一几类不同增长的函数模型 (2)
【知识点拨】 1.三类函数模型的增长差异 (1)对于幂函数y=xn,当x＞0，n＞0时，y=xn才是增函数，当n 越大时,增长速度越快. (2)指数函数与对数函数的递增前提是 a＞1，又它们的图象关 于y=x对称，从而可知，当a越大时，y=ax增长越快；当a越小 时，y=logax(a＞1)增长越快，一般来说，ax＞logax(x＞0,
【变式训练】某债券市场发行三种债券，A种面值为100元， 一年到期本息和为103元；B种面值为50元，半年到期本息和 为51.4元；C种面值为100元，但买入价为97元，一年到期本 息和为100元．作为购买者，分析这三种债券的收益，从小到 大排列为( A.B,A,C C.A,B,C ) B.A,C,B D.C,A,B
确定,常见的有二次函数模型和反比例函数模型 .
【变式训练】若x∈(0,1)，试分析三个函数模型y=2x，
yx ，
1 2
y=lgx的增长差异，用“＞”把它们的取值大小关系连接起来
为______.
【解题指南】关键看在(0,1)上它们的大小关系，可借助中间
值“0”与“1”比较.
【解析】当x∈(0,1)时，2x＞1,1＞
【解析】1.选D.一次函数保持均匀的增长，不符合题意；二
次函数在对称轴的两侧有增也有降；而指数型函数是“爆炸
式”增长，不符合“增长越来越慢”，因此，只有对数型函
数最符合题意，先快速增长，后来越来越慢 .
2.设x名工人制课桌，(30－x)名工人制椅子，一个工人在一 个单位时间里可制7张课桌或10把椅子， ∴制作100张课桌所需时间为函数 P x ＝100 ，制作200把椅子所需 时间为函数 Q x ＝
2 0.5ex0 2 x 0 1, 当x＞x0时,
高中数学必修一3.2函数模型(共23张PPT)
解:每次过滤杂质含量降为原来的
2 3
,过滤n次后杂质含量
为 2%（ 2） n 2 (2)n
3 1003
结合按市场要求杂质含量不能超过0.1%，即可建立数学
模型．依题意，得 2(2)n 1 ,即 (2)n1
100 3 10003 20
例：某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%， 若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少 1 ，问至少应过 滤几次才能使产品达到市场要求？（已知：lg2＝0.33010，lg3＝0.4771）
题型三、指数、对数型函数及直线函数模型的应用
例：三个变量y1、y2、y3随变量x的变化情况如下表：
x
y1
y2
y3
其中x呈对数函数型变化的变量是 y2 呈指数函数型变化的变量是 y3
，f(x)＝mlogax＋n ，f(x)＝abx＋c
呈直线函数型变化的变量是 y1 ． f(x)＝kx＋b
例：某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%， 若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少 1 ，问至少应过 滤几次才能使产品达到市场要求？（已知：lg2＝0.33010，lg3＝0.4771）
2、建立函数模型：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量 的函数，建立函数模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函 数式，不要忘记考察函数的定义域；
3、求解函数模型：主要是计算函数的特殊值，研究函数的单调性，求函 数的值域、最大（小）值等，注意发挥函数图象的作用；
4、还原评价：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科又要符 合实际背景，因于解出的结果要代入原问题进行检验、评判最后作出结 论，作出回答．
∴该函数在[20,30]上单调递减，即
湖南省芷江县第一中学高中数学 3 2 函数模型及其应用
湖南省芷江县第一中学高中数学新课标A 版必修一3 2 函数模型及其应用 学案1【本课重点】 ：能根据实际问题建立适当的数学模型，重点掌握一次、二次、反比例以及分段函数模型；体会数学建模的基本思想【预习导引】 ：1、某 地 高 山 上 温 度 从 山 脚 起 每 升 高 100 米 降 低 0.7 ℃ 。
已 知 山 顶 的 温 度是14.1℃，山 脚的 温 度 是26℃。
则 此 山 高 米。
2、某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为200万元，生产每台计算机的可变成本为3000元，每台计算机的售价为5000元，则生产x 台计算机的总成本C=____________（万元），单位成本P= （万元），销售收入R= （万元），利润L= （万元），若要创利不低于100万元，则至少应生产这种计算机______(台)。
3、某汽车运输公司购买了豪华型大客车投入客运，据市场分析，每辆客车的总利润y 万元与营运年数x(x *N )的函数关系式为y=-x 2+12x-25,则每辆客车营运 年使其营运年平均利润最大。
【典例练讲】：某车站有快、慢两种车，始发站距终点站7.2km ，慢车到终点需要16min ，快车比慢车晚发3min ，且行使10min 后到达终点站。
试分别写出两车所行路程关于慢车行使时间的函数关系式。
两车在何时相遇？相遇时距始发站多远？例2、某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿度，本年度计划将电价调至0.55—0.75元之间，经测算，若电价调至x 元，则本年度新增用电量y 亿度与 (x-0.4)成反比例，又当x=0.65元时，y=0.8。
（1）求y 与x 之间的函数关系式。
（2）若每度电的成本价为0.3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？ [收益=用电量×（实际电价-成本价）]例3、在经济学中，函数()f x 的边际函数()Mf x 定义为()()()1Mf x f x f x =+-，某公司 每月最多生产100台报警系统装置,生产x 台()x N *∈的收入函数为()2300020R x x x =-（单位：元），其成本函数为()5004000C x x =+（单位：元），利润是收入与成本之差。
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(1)阅读理解：即读懂题意，理解实际背景，领悟其数学本质，对已知的条件综合分析，抽象、归纳其中的数量关系并与熟知的数学模型相比较，建立数学模型；
【例3】某工厂有一容量为300吨的水塔，每天从早上6时起到晚上10时止，供应该厂的生活和生产用水，
且规定早上6时t＝0，水塔的进水量为10级，第一级每小时进水10吨，以后每提高一级，每小时进水量就增加10吨，若某天水塔原有水100吨，在开始供水时同时打开进水管，问进水量选择为第几级时，既能保证该厂的用水(水塔中水不空)，又不会供水溢出?
3 函数的应用(I)
突破思路
在日常生活中，我们经常遇到一些丰富的生活实例，例如温度的变化、速度的变化、物价的变化、股市的变化、月相的变化、季节的变化、身高体重的变化、兴趣爱好的变化等，使我们感受现实世界中变量和变量之间存在的各种各样的关系及其规律，于是就产生了函数的概念，在理解了函数的基础上，我们可以设想，学习了函数，在现实生活中必然有着重要的应用，在上述的关系中，可以使我们对函数概念有着更深刻的认识，对于学习数学在现实生活中的应用有着更充分的体会．
解析：由题意易知：汽车与A地的距离x(km)与时间t(h)之间的函数关系式是
车速v(km/h)与时间t(h)的函数关系式及图象略．
点评：本题选择分段函数作为数学模型，往往需要一定的试验，需要让学生动手做一做，体会解决实际问题时的基本方法：提出问题→收集数据→整理、分析数据→建立函数模型→解决问题，这是一个完整的过程．
我的思路：这是一道市场营销问题．这类问题中有这样几个基本量：利润、销总额－总的成本－其他支出费用．由此可求出y与x的函数关系式．
【问题2】A、B两站相距72千米，慢车和快车均由A站开往B站，慢车每小时行36千米，快车每小时行72千米，快车比慢车晚20分钟开出．
合作讨论
【问题1】某化工材料经销公司购进一种化工原料共9000千克，购进价格为每千克40元，物价部门规定其销售单价不得高于每千克90元，也不得低于40元，市场调查发现，单价定为90元时，日均销售80千克，单价每降低1元，日均多售出4千克，在销售过程中，每天还要支出其他费用600元(天数不足一天时，按整天计算)，设销售单价为x元，日均获利y元，求出y关于x的函数的关系式，并指出x的取值范围．
新题解答
【例１】如图所示，有一块半径为R的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上．写出这个梯形周长y，和腰长x间的函数式，并求出它的定义域．
解析：要用腰长表示周长的关系式，应该知道等腰梯形各边的长，下底长已知为2R，两腰长为2x，因此，只需用已知量和腰长x把上底表示出来，即可写出周长y与腰长x的函数式．
解析：利润＝销售总额－进货总额．
设每件提价为x元(x≥0)，利润为y元，每天销售额为(10＋x)(100－10x)元，进货总额为8(100－10x)．显然，100一10x＞0，有0≤x＜10，
y＝(10＋x)(100－10x)－8(100－10x)(0≤x＜10)，
即y＝(2＋x)(100－10x)＝－10(x－4)2＋360．
(2)在同一坐标系内画出两函数的图象；
(3)快车在距A站多远追上慢车?
我的思路：
(1)用行程关系列式，并注意实际问题自变量的范围；
(2)利用关系式画图象；
(3)快车、慢车的图象交点为追上处．
思维过程
学习数学是为了解决问题，这里的问题与常见的问题不同，问题一般来源于实际需要，而实际问题往往头绪纷繁、因素众多，所以首先要对问题的实际背景有全面深入的了解，对大量信息加工处理，删繁就简、去粗存精，抓住核心部分、关键因素，建幸数学模型，再用已掌握的数学知识解决．所以知识面越广越系统，则可解决的问题就越多，而且效果也越好．而我们常用的应用题是已加工好的问题，不必要的因素已去掉，需要的已齐备，只是需要我们翻译成数学语言加以解答即可，这种训练对提高解决实际问题的能力有重要价值．函数作为数学的核心内容，在解决问题时有广泛的应用，一般是根据条件设置适当的变量，将问题转化为变量的函数，再用函数有关知识解决．
设腰长AD＝BC＝x，作DE⊥AB，垂足为E．连结BD，那么∠ADB是直角，故有AD2＝AE×AB，
点评：本题解题过程是从问题出发，引进数学符号，建立函数关系式，再研究函数关系式的定义域，并结合问题的实际意义作出回答，这个过程实际上就是建立数学模型的一种最简单的情形．
【例2】某人开汽车以60km/h的速度从A地到150km远处的B地，在B地停留1h后，再以50 km/h的速度返回A地．把汽车离开A地的路程x(km)表示为时间t(h)(从A地出发时开始)的函数，并画出函数的图象；再把车速v km/h表示为时间t(h)的函数，并画出函数图象．
综上所述，进水量应选为第4级．
而我们通过本部分的教学，通过函数的实际应用，使学生掌握函数的思想方法，即通过求出或构造出函数，应用函数解题的思想方法，培养运用函数的知识解决实际问题的能力．而教学的重点是函数的思想方法，难点是求出或构造出函数模型．第一步，需要帮助学生建立函数思想，学会通过逻辑分析的方法求出函数，解决实际问题；第二步，学会如何运用待定系数法确定函数表达式；第三步，着重学习如何运用函数拟合函数模型，并使学生了解应用数学知识解决实际问题的常规步骤，培养科学研究的意识和能力．
(2)利用相关的数学知识，解出模型的数学结果；
(3)把计算获得的结果回到实际问题中去解释实际问题，即对实际问题进行总结作答．
数学模型方法解决问题的步骤用框图表示如下：
应注意在求解过程中实际问题对变量参数的限制条件．
【例1】某商人如果将进价每件为8元的商品按每件10元售出时，每天可销售100件，现在它采用提高销售价，减少进货量的方法增加利润．已知这种商品涨1元，其销售数就减少10个，问他将售出价定为多少，才能使赚得的利润最大?