2.3.2平面与平面垂直的判定定理
2.3.2面面垂直的判定
A
)
B．它们两两都垂直
C．平面PAB与平面PBC垂直、与平面PAD不垂直
D．平面PAB与平面PBC、
平面PAD都不垂直
例2
如图，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，
CD＝DA，E，F，G分别是CD，DA，AC的中 点，求证：平面BEF⊥平面BGD.
1.如图所示，ABCD—A1B1C1D1 为长方体，且底
面ABCD为正方形．求证：截面ACB1⊥平面 BDD1B1.
解：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.
∵BB1⊥底面ABCD，∴AC⊥B1B.
又BD∩BB1＝B，故AC⊥平面BDD1B1，
又AC⊂平面ACB1，
∴截面ACB1⊥平面BDD1B1.
二、填空题：
1.过平面α的一条垂线可作_____ 无数 个平面 与平面α垂直. 无数 个平面与已知平面垂直. 2.过一点可作_____ 1 个平面与 3.过平面α的一条斜线，可作____ 平面α垂直. 4.过平面α的一条平行线可作____ 1 个平 面与α垂直.
学完一节课或一个内容，
应当及小结，梳理知识
1、证明面面垂直的方法：
（1）证明二面角为直角 （2）用面面垂直的判定定理 2、 线线垂直
线面垂直面面垂直
二面角的计算步骤
1、找到或作出二面角的平面角
2、证明所作的角就是所求二面角的平面角 3、计算出此角的大小
一“作”二“证”三“计算”
4.如图，P 是边长为 2 2的正方形 ABCD 外 一点，PA⊥AB，PA⊥BC，且 PC＝5，
2
2
B
1
α
l
A
O
M
β
6.如图，已知A、B是120的二 面角—l—棱l上的两点，线 段AC，BD分别在面，内，且 AC⊥l，BD⊥l ，AC=2，BD=1， B C AB=3，求线段CD的长。
2.3.2面面垂直判定定理(已修改)
1．线面垂直的定义
如果直线 l 与平面内的任意一条直线都 垂直，则称直线 l 和平面 互相垂直． 记作：l⊥
2．线面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交 直线都垂直，则该直线与此平面垂 直．
3 二面角:
(1) 二面角定义: 从一条直线出发的两个半平面所组成的 图形叫做二面角。
[0 ,180 ]
A
。
。
B
O
两个平面互相垂直的定义
两个平面相交,如果它们所成的二 面角是直二面角，就说这两个平面 相互垂直.
记作:
问题：
如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？
Hale Waihona Puke 猜想：如果一个平面经过了另一 个平面的一条垂线，那么这两 个平面互相垂直.
面面垂直的判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一 条垂线，那么这两个平面互相垂直
(2) 二面角的平面角定义
过二面角棱上任一点在两个半平面内分别作 垂直于棱的射线，则这两条射线所成的角叫 做二面角的平面角。
（3）二面角的平面角必须满足：
1）角的顶点在棱上 2）角的两边分别在两个面内 3）角的边都要垂直于二面角的棱
(4)二面角的范围 (5)直二面角
平面角为直角的二面角 叫做直二面角
归纳小结：
(1)判定面面垂直的两种方法： ①定义法 ②根据面面垂直的判定定理 (2)面面垂直的判定定理不仅是判定两个平面
互相垂直的依据，而且是找出垂直于一个平
面的另一个平面的依据；
(3)从面面垂直的判定定理我们还可以看出面
面垂直的问题可以转化为线面垂直的问题来
解决.
O
A
B
另一个平面的一条垂线。
§2.3.2平面与平面垂直的判定
§2.3.2 平面与平面垂直的判定 【学习目标】 1. 理解和掌握二面角和二面角的平面角的相关概念； 2. 掌握平面与平面垂直的判定定理. 【重点难点】 1.二面角的平面角； 2.面面垂直的判定定理. [自主感知] 1. 二面角及其相关定义？ 2. 两个平面互相垂直的判定定理: 文字语言：若一个平面过另一个平面的 ,则这两个 平面 .简称：若线面垂直，则面面垂直 符号语言：若_______________________________，则 . [深入探究] 探究一：二面角大小的表示往往利用二面角的平面角例 2 如图所示，已知三棱锥D ABC -中，满足A B A C D B ==DC == 2,BC DA ==，求二面角A B C D --的大小. 探究二：面面垂直判定定理的考察 例1 如图，AB 是⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上不同于,A B 的任意一点，求证：平面PAC PBC ⊥平面.……………………………………装…………………………………订…….…………………………………线……….………………………………...................................…[拓展运用]例3 如图，在正方体''''ABCD A B C D-中，求证：平面''ACC A⊥平面'A BD．【课堂小结】1.二面角的平面角；2.面面垂直的判定定理.【当堂检测】1.已知直线l⊥平面α，则经过l且和平面α垂直的平面有（）A.1个B.2个C.有无数个D.不存在2.正方体A1B1C1D1－ABCD中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1－BD－A的正切值等于()A.33B.22C. 2D. 33.直线l是平面α的斜线，则经过l且和平面α垂直的平面有个.4.四边形ABCD是矩形，P为平面ABCD外一点，P A⊥平面ABCD，且P A=AB，则二面角P—BC—D的大小为.【课下作业】复习导学案，并完成相应学科练.【预习指导】请同学们提前预习下一节课课本内容和导学案.。
第二章 2.3.2 平面与平面垂直的判定
2.3.2平面与平面垂直的判定学习目标 1.理解二面角及其平面角的概念，能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角.2.掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角.3.掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直.知识点一二面角的概念1.定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形.2.相关概念：(1)这条直线叫做二面角的棱；(2)两个半平面叫做二面角的面.3.画法：4.记法：二面角α－l－β或α－AB－β或P－l－Q或P－AB－Q.5.二面角的平面角：若有(1)O∈l；(2)OA⊂α，OB⊂β；(3)OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB.知识点二平面与平面垂直1.平面与平面垂直的定义(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.(2)画法：(3)记作：α⊥β.2.平面与平面垂直的判定定理1.二面角的平面角所确定的平面与二面角的棱垂直.(√)2.对于确定的二面角而言，平面角的大小与顶点在棱上的位置有关.(×)3.已知一条直线垂直于某一平面，则过该直线的任意一个平面与该平面都垂直.(√)4.两垂直平面的二面角的平面角大小为90°.(√)题型一二面角的求法例1(1)如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中：①二面角D′－AB－D的大小为________.②二面角A′－AB－D的大小为________.答案①45°②90°解析①在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD′，AB⊥AD，因此∠D′AD为二面角D′－AB－D的平面角.在Rt△D′DA中，∠D′AD＝45°，所以二面角D′－AB－D的大小为45°.②因为AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD，AB⊥AA′，因此∠A′AD为二面角A′－AB－D 的平面角，又∠A′AD＝90°，所以二面角A′－AB－D的大小为90°.(2)如图，已知Rt△ABC，斜边BC⊂α，点A∉α，AO⊥α，O为垂足，∠ABO＝30°，∠ACO ＝45°，求二面角A－BC－O的大小.解如图，在平面α内，过O作OD⊥BC，垂足为点D，连接AD，设CO＝a.∵AO ⊥α，BC ⊂α，∴AO ⊥BC . 又AO ∩OD ＝O ，∴BC ⊥平面AOD . 而AD ⊂平面AOD ， ∴AD ⊥BC .∴∠ADO 是二面角A －BC －O 的平面角. 由AO ⊥α，OB ⊂α，OC ⊂α， 知AO ⊥OB ，AO ⊥OC .∵∠ABO ＝30°，∠ACO ＝45°，CO ＝a ， ∴AO ＝a ，AC ＝2a ，AB ＝2a . 在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°， ∴BC ＝AC 2＋AB 2＝6a ， ∴AD ＝AB ·AC BC ＝2a ·2a 6a ＝233a .在Rt △AOD 中，sin ∠ADO ＝AO AD ＝a 233a ＝32.∴∠ADO ＝60°，即二面角A －BC －O 的大小是60°.反思感悟 (1)定义法：在二面角的棱上找一点，在两个半平面内过该点分别作垂直于棱的射线.(2)垂面法：过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面形成交线，这两条射线(交线)所成的角，即为二面角的平面角.(3)垂线法：利用线面垂直的性质来寻找二面角的平面角，这是最常用也是最有效的一种方法. 跟踪训练1 如图，AB 是⊙O 的直径，P A 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上的一点，且P A ＝AC ，求二面角P －BC －A 的大小.考点 二面角 题点 求二面角的大小解 由已知P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴P A⊥BC.∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，∴AC⊥BC.又∵P A∩AC＝A，P A，AC⊂平面P AC，∴BC⊥平面P AC.又PC⊂平面P AC，∴PC⊥BC.又∵BC是二面角P－BC－A的棱，∴∠PCA是二面角P－BC－A的平面角.由P A＝AC知△P AC是等腰直角三角形，∴∠PCA＝45°，即二面角P－BC－A的大小是45°.题型二平面与平面垂直的判定例2在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，求证：平面PDB⊥平面P AC.证明∵PC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PC⊥BD.∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，又PC∩AC＝C，∴BD⊥平面P AC.∵BD⊂平面PBD，∴平面PDB⊥平面P AC.反思感悟(1)证明平面与平面垂直的方法①利用定义：证明二面角的平面角为直角；②利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.(2)根据面面垂直的定义判定两平面垂直，实质上是把问题转化成了求二面角的平面角，通常情况下利用判定定理要比定义简单些，这也是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只要转证线面垂直，其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直.跟踪训练2已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，且∠DAB＝60°，AD＝AA1，F 为棱BB1的中点，M为线段AC1的中点.求证：平面AFC1⊥平面ACC1A1.证明 延长C 1F 交CB 的延长线于点N ，连接AN .连接BD .由四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1为直四棱柱，可知AA 1⊥平面ABCD ， 又∵BD ⊂平面ABCD ，∴A 1A ⊥BD . ∵四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD . 又∵AC ∩A 1A ＝A ，AC ，A 1A ⊂平面ACC 1A 1， ∴BD ⊥平面ACC 1A 1.∵BF ∥CC 1，F 为NC 1的中点，∴B 为NC 的中点. 在四边形DANB 中，DA ∥BN 且DA ＝BN ， ∴四边形DANB 为平行四边形， ∴NA ∥BD ，∴NA ⊥平面ACC 1A 1.又∵NA ⊂平面AFC 1，∴平面AFC 1⊥平面ACC 1A 1.图形的折叠问题典例 如图所示，在矩形ABCD 中，已知AB ＝12AD ，E 是AD 的中点，沿BE 将△ABE 折起至△A ′BE 的位置，使A ′C ＝A ′D ，求证：平面A ′BE ⊥平面BCDE .证明 取BE 的中点N ，CD 的中点M ，∵AB ＝12AD ，E 是AD 的中点，∴AB ＝AE ，即A ′B ＝A ′E .∴A ′N ⊥BE .∵A ′C ＝A ′D ，∴A ′M ⊥CD . 在四边形BCDE 中，CD ⊥MN ， 又∵MN ∩A ′M ＝M ，∴CD ⊥平面A ′MN ，∴CD ⊥A ′N .∵DE ∥BC 且DE ＝12BC ，∴BE 必与CD 相交， 又∵A ′N ⊥BE ，A ′N ⊥CD ， ∴A ′N ⊥平面BCDE . 又∵A ′N ⊂平面A ′BE ， ∴平面A ′BE ⊥平面BCDE .[素养评析] (1)折叠问题，即由平面图形经过折叠成为立体图形，在立体图形中解决有关问题.解题过程中，一定要抓住折叠前后的变量与不变量.(2)折叠问题要借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，理解所要解决的数学问题，对于平面与平面垂直问题的证明，要有理有据，有逻辑地表达出来，所以，本题充分体现直观想象与逻辑推理的数学核心素养.1.过平面α外两点且垂直于平面α的平面( ) A.有且只有一个 B.有一个或两个 C.有且仅有两个 D.有一个或无数个答案 D2.直线l ⊥平面α，l ⊂平面β，则α与β的位置关系是( ) A.平行 B.可能重合 C.相交且垂直D.相交不垂直 考点 平面与平面垂直的判定 题点 判定两平面垂直 答案 C解析 由面面垂直的判定定理，得α与β垂直，故选C. 3.下列命题中正确的是( )A.平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥βB.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥βC.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥βD.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β 考点 平面与平面垂直的判定 题点 判定两平面垂直 答案 C解析 当平面α和β分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面α和β有可能平行，故A 错；由直线与平面垂直的判定定理知，B，D错，C正确.4.在二面角α－l－β的棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α－l－β的平面角，则必须具有的条件是()A.AO⊥BO，AO⊂α，BO⊂βB.AO⊥l，BO⊥lC.AB⊥l，AO⊂α，BO⊂βD.AO⊥l，BO⊥l，且AO⊂α，BO⊂β答案 D5.如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，△ABD的面积是△ACD的面积的2倍，沿AD将△ABC 翻折，使翻折后BC⊥平面ACD，求此时二面角B－AD－C的大小.考点二面角题点看图索角解由已知BD＝2CD，翻折后，在Rt△BCD中，∠BDC＝60°，而AD⊥BD，CD⊥AD，故∠BDC是二面角B－AD－C的平面角，其大小为60°.1.求二面角大小的步骤简称为“一作二证三求”.2.平面与平面垂直的判定定理的应用思路(1)本质：通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂直⇒面面垂直.(2)证题思路：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题来解决.一、选择题1.下列不能确定两个平面垂直的是()A.两个平面相交，所成二面角是直二面角B.一个平面垂直于另一个平面内的一条直线C.一个平面经过另一个平面的一条垂线D.平面α内的直线a垂直于平面β内的直线b考点平面与平面垂直的判定题点判定两平面垂直答案 D解析如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面A1B1CD内的直线A1B1垂直于平面ABCD内的一条直线BC，但平面A1B1CD与平面ABCD显然不垂直.2.已知直线m，n与平面α，β，给出下列三个结论：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，n⊥α，则m⊥n；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β.其中正确结论的个数是()A.0B.1C.2D.3考点垂直问题的综合应用题点线线、线面、面面垂直的相互转化答案 C解析①若m∥α，n∥α，则m与n可能平行、相交或异面，故①错误；易知②③正确.所以正确结论的个数是2.3.如图，已知P A⊥矩形ABCD所在的平面，则图中互相垂直的平面有()A.2对B.3对C.4对D.5对考点平面与平面垂直的判定题点判定两平面垂直答案 D解析∵P A⊥平面ABCD，∴平面P AD⊥平面ABCD，平面P AB⊥平面ABCD，又CD⊥平面P AD，AB⊥平面P AD，BC⊥平面P AB，∴平面PCD⊥平面P AD，平面P AB⊥平面P AD，平面PBC⊥平面P AB，∴共有5对互相垂直的平面.4.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法中正确的是()A.若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥βB.若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α∥βC.若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥βD.若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥β答案 C解析由m∥α，m∥n得n∥α或n⊂α，由n⊥β，知α⊥β.5.如图所示，在四面体D－ABC中，若AB＝BC，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是()A.平面ABC⊥平面ABDB.平面ABD⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED.平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE考点平面与平面垂直的判定题点判定两平面垂直答案 C解析因为AB＝BC，且E是AC的中点，所以BE⊥AC.同理，DE⊥AC.又BE∩DE＝E，所以AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.6.在四面体A－BCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，A－BD－C为直二面角，E是CD的中点，则∠AED等于()A.90°B.45°C.60°D.30°考点 二面角 题点 求二面角的大小 答案 A解析 如图，设AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝a ，取BD 中点F ，连接AF ，CF .由题意可得AF ＝CF ＝22a ，∠AFC ＝90°. 在Rt △AFC 中，可得AC ＝a ， ∴△ACD 为正三角形. ∵E 是CD 的中点， ∴AE ⊥CD ，∴∠AED ＝90°，故选A.7.在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 为矩形，则下列结论中错误的是( )A.平面P AB ⊥平面P ADB.平面P AB ⊥平面PBCC.平面PBC ⊥平面PCDD.平面PCD ⊥平面P AD 答案 C解析 对于A ，∵P A ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 为矩形，∴P A ⊥AB ，又AB ⊥AD ，∴AB ⊥平面P AD ，∴平面P AB ⊥平面P AD ，故A 正确；对于B ，∵P A ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 为矩形，∴P A ⊥BC ，又BC ⊥AB ，∴BC ⊥平面P AB ，∴平面P AB ⊥平面PBC ，故B 正确；对于D ，∵P A ⊥底面ABCD ，∴P A ⊥CD ，又CD ⊥AD ，∴CD ⊥平面P AD ，∴平面PCD ⊥平面P AD ，故D 正确.故选C.8.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，截面A 1BD 与底面ABCD 所成二面角A 1－BD －A 的正切值为( ) A.32 B.22C. 2D. 3 考点 二面角题点求二面角的大小答案 C解析如图所示，连接AC交BD于点O，连接A1O，O为BD中点，∵A1D＝A1B，∴在△A1BD中，A1O⊥BD.又∵在正方形ABCD中，AC⊥BD.∴∠A1OA为二面角A1－BD－A的平面角.设AA1＝1，则AO＝2 2.∴tan∠A1OA＝122＝ 2.二、填空题9.已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为26，则侧面与底面所成的二面角为________. 答案60°解析正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为26，则底面边长为23，底面积为12，所以正四棱锥的高为3，所以侧面与底面所成的二面角的正切值为3，故所求的二面角为60°.10.已知两条不同的直线m，n，两个不同的平面α，β，给出下列结论：①若m垂直于α内的两条相交直线，则m⊥α；②若m∥α，则m平行于α内的所有直线；③若m⊂α，n⊂β，且α∥β，则m∥n；④若n⊂β，n⊥α，则α⊥β.其中正确结论的序号是________.(把正确结论的序号都填上)答案①④解析①中的内容即为线面垂直的判定定理，故①正确；②中，若m∥α，则m与α内的直线平行或异面，故②错误；③中，两个平行平面内的直线平行或异面，所以③错误；④中的内容为面面垂直的判定定理，故④正确.11.α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________. 考点平面与平面垂直的判定题点用定义法证明两平面垂直答案①③④⇒②解析m⊥n，将m和n平移到一起，则确定一平面，∵n⊥β，m⊥α，∴该平面与平面α和平面β的交线也互相垂直，从而平面α和平面β的二面角的平面角为90°，∴α⊥β.故答案为①③④⇒②.三、解答题12.如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，SC⊥平面ABCD，E为SA的中点.求证：平面EBD⊥平面ABCD.考点平面与平面垂直的判定题点用定义法证明两平面垂直证明连接AC与BD交于O点，连接OE.∵O为AC的中点，E为SA的中点，∴EO∥SC.∵SC⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD.又∵EO⊂平面EBD，∴平面EBD⊥平面ABCD.13.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，D为棱CC1上任一点.(1)求证：直线A1B1∥平面ABD；(2)求证：平面ABD⊥平面BCC1B1.证明(1)由直三棱柱ABC－A1B1C1，得A1B1∥AB.因为A1B1⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，所以直线A1B1∥平面ABD.(2)因为三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，所以AB⊥BB1.又因为AB⊥BC，BB1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，且BB1∩BC＝B，所以AB⊥平面BCC1B1.又因为AB⊂平面ABD，所以平面ABD⊥平面BCC1B1.14.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)考点平面与平面垂直的判定题点判定两平面垂直答案DM⊥PC(或BM⊥PC等)解析由题意得BD⊥AC，∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥BD.又P A∩AC＝A，∴BD⊥平面P AC，∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.15.如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，E为BB1的中点，求证：截面A1CE⊥侧面ACC1A1.考点平面与平面垂直的判定题点利用判定定理证明两平面垂直证明如图所示，取A1C的中点F，AC的中点G，连接FG，EF，BG，则FG∥AA1，且GF＝12AA 1.因为BE ＝EB 1，A 1B 1＝CB ，∠A 1B 1E ＝∠CBE ＝90°，所以△A 1B 1E ≌△CBE ，所以A 1E ＝CE .因为F 为A 1C 的中点，所以EF ⊥A 1C .又FG ∥AA 1∥BE ，GF ＝12AA 1＝BE ，且BE ⊥BG ， 所以四边形BEFG 是矩形，所以EF ⊥FG . 因为A 1C ∩FG ＝F ，所以EF ⊥侧面ACC 1A 1. 又因为EF ⊂平面A 1CE ，所以截面A 1CE ⊥侧面ACC 1A 1.。
2.3.2平面与平面垂直的判定(张用)
请问哪些平面是互相垂直的,为什么?
AB 面BCD 面ABC 面BCD AB 面BCD 面ABD 面BCD CD 面ABC 面ABC 面ACD
B D A
C
探究： 如图所示：在Rt△ABC中，∠ABC=900 ,P 为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，你能 发现哪些平面互相垂直，为什么？
∠D1CD D1 A1 B1 C1
45°
D
C B
A
1、在300二面角的一个面内有一点A，它到另 一个面的距离是10cm，求它到棱的距离。
解：如图所示，过点A作AH⊥β，垂足为H， 由题意AH=10cm. 过点H作HO⊥EF，垂足为O，连OA， 则OA⊥EF，OA就是点A到棱EF的距离。 所以∠AOH就是二面角 α-EF-β 的 一 个 平 面 角 ， ∠AOH=300，OA=20cm.
C
寻找二面角的平面角
在正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出下列二面角 的平面角：
（1）二面角D’-AB-D和A’-AB-D； （2）二面角C’-BD-C和C’-BD-A. D’ C’ A’ B’ D A B
C
在正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出下列二面角 的平面角：
（1）二面角D’-AB-D和A’-AB-D； （2）二面角C’-BD-C和C’-BD-A. D’ C’ A’ B’ D A O B
l
O
A
下列说法中正确的是
(
)
①两个相交平面组成的图形叫做二面角②异面直线a，
b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b形成的角
与这个二面角的平面角相等或互补。③二面角的平 面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所 成角的最小角④二面角的大小与其平面角的顶点在 棱上的位置没有关系。
2.3.2平面和平面垂直的判定
跟踪训练1
如图，过S点引三条长度相等但不共面的线段
SA、SB、SC，且∠ASB＝∠ASC＝60°，∠BSC＝90°.
求证：平面ABC⊥平面BSC.
证明 取BC中点D，连接SD、AD， 由SA＝SB＝SC，∠ASB＝∠ASC＝60°，得AB＝AC＝SA. ∴AD⊥BC，SD⊥BC， ∴∠ADS是二面角A－BC－S的平面角. 2 2 又∠BSC＝90° ，令 SA＝1，则 SD＝ 2 ，AD＝ 2 ， ∴SD2＋AD2＝SA2. ∴∠ADS＝90°，∴平面ABC⊥平面BSC.
又CD⊥AA1，故CD⊥面A1ABB1，
所以 C 到平面 A1ABB1 的距离为 CD＝ BC2－BD2＝ 5.
解析答案
解
如图，取D1为A1B1的中点，连接DD1，则DD1∥AA1∥CC1.
又由(1)知CD⊥面A1ABB1，故CD⊥A1D，CD⊥DD1， 所以∠A1DD1为所求的二面角A1－CD－C1的平面角.
解析答案
规律与方法
1.求二面角的步骤
简称为“一作二证三计算”.
2.作二面角的三种常用方法 (1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直 于棱的射线.如图①，则∠AOB为二面角α－l－β的平面角. (2)垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的A点向另一个平面作垂线， 垂足为 B，由点 B向二面角的棱作垂线，垂足为 O，连接 AO，则 ∠AOB 为二面角的平面角或其补角，如图③， ∠AOB 为二面角 α － l － β 的平面 角.
2 从而 A1D＝ AA2 ＋ AD ＝2 3. 1
DD1 AA1 6 所以，在 Rt△A1DD1 中，cos∠A1DD1＝ A D ＝A D＝ 3 . 1 1
反思与感悟
2.3.2 平面与平面垂直的判定
2．3.2平面与平面垂直的判定理解教材新知知识点一二面角入门答辩随手打开一本书，发现每两书页之间所在的平面也形成一个空间问题，或将一张纸拆叠后也会形成同样的问题．问题1：通过上述问题，联想空间两直线、空间线与面都可形成角，那么空间两平面会形成角吗？问题2：动手折叠一张纸，随着翻动，会发现两平面形成角有何特点？问题3：两平面形成的角可否为0°角？新知自解二面角(1)定义：从一条直线出发的____________所组成的图形叫做二面角(如图)．________叫做二面角的棱，______________叫做二面角的面．记法：________，在α，β内，分别取点P、Q时，可记作________；当棱记为l时，可记作________或________．(2)二面角的平面角①定义：在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，如图所示，以点O为垂足，在________分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做__________．②直二面角：平面角是________的二面角．知识点二平面与平面垂直入门答辩建筑工地上，泥水匠砌墙时，为了保证墙面与地面垂直，泥水匠常常在较高处固定一条端点系有铅锤的线，再沿着该线砌墙，如图，这样就能保证墙面与地面垂直．问题1：由上述可知当直线与平面垂直时，过此直线可作无数个平面，那么这些平面与已知平面有何关系？问题2：若要判断两平面是否垂直，根据上述问题能否得出一方法？新知自解1．面面垂直的定义(1)定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是________，就说这两个平面互相垂直．(2)画法：记作：________．2．两平面垂直的判定(1)文字语言：一个平面过另一个平面的________，则这两个平面垂直．(2)图形语言：如图．(3)符号语言：AB⊥β，AB∩β＝B，AB⊂α⇒α⊥β.归纳升华领悟1．对于二面角及其平面角的理解(1)二面角是一个空间图形，而二面角的平面角是平面图形，二面角的大小通过其平面角的大小表示，体现了由空间图形向平面图形转化的思想．(2)二面角的平面角的定义是两条“射线”的夹角，不是两条直线的夹角，因此，二面角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.2．对于平面与平面垂直的判定定理的理解平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直．通常我们将其记为“线面垂直，则面面垂直”．因此，处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题．以后证明平面与平面垂直，只要在一个平面内找到一条直线和另一个平面垂直即可．把握热点考向考点一面面垂直的判定[例1]如图，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，CD＝DA，E，F，G分别是CD，DA，AC的中点，求证：平面BEF⊥平面BGD.[思路点拨]要证明两个平面互相垂直，有两种方法：一种是用定义证明，一种是用判定定理证明．在这里易证AC⊥平面BGD，而EF∥AC，故EF所在平面与平面BGD垂直．[精解详析]∵AB＝BC，G为AC中点，所以AC⊥BG.同理可证，AC⊥DG.又∵BG∩DG＝G，∴AC⊥面BGD.∵E，F为△ADC的中点，∴EF∥AC，∴EF⊥面BGD.又∵EF⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面BGD.[一点通]证明面面垂直的方法有两种(1)根据定义．若∠ABE是二面角α－l－β的平面角，且∠ABE＝90°，则α⊥β.具体作法是：作出两面构成的二面角的平面角，计算其为90°.(2)利用面面垂直的判定定理．具体作法是在其中一个平面内寻找与另一个平面垂直的直线．题组集训1．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一组条件是()A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，n⊂βC．m∥n，n⊥β，m⊂αD．m∥n，m⊥α，n⊥β2．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是CC1的中点，求证：平面A1BD⊥平面BED.考点二垂直关系的综合应用[例2](2011·珠海二中)△ABC 为正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，且CE ＝CA ＝2BD ，M 是EA 的中点．求证：(1)DE ＝DA ；(2)平面BDM ⊥平面ECA ； (3)平面DEA ⊥平面ECA.[思路点拨] (1)利用垂直关系证明并计算DE 、DA 可得结论； (2)证明OM ⊥面AEC ； (3)由(2)可证．[精解详析] (1)设BD ＝a ，作DF ∥BC 交CE 于F ， 则CF ＝DB ＝a.因为CE ⊥面ABC ， 所以BC ⊥CF ，DF ⊥EC ，所以DE ＝EF 2＋DF 2＝5a ， 又因为DB ⊥面ABC ，所以DA ＝DB 2＋AB 2＝5a ， 所以DE ＝DA.(2)取CA 的中点N ，连接MN ，BN ，则MN 綊12CE 綊DB.所以四边形MNBD 为平行四边形，所以MD ∥BN. 又因为EC ⊥面ABC ，所以EC ⊥BN ，EC ⊥MD. 又DE ＝DA ，M 为EA 中点，所以DM ⊥AE. 所以DM ⊥平面AEC ，所以面BDM ⊥面ECA. (3)由(2)知DM ⊥平面AEC ，而DM ⊂面DEA ， 所以平面DEA ⊥平面ECA.[一点通] 证明垂直关系时，注意“线线垂直 线面垂直 面面垂直”的应用． 题组集训 3.如图，设P是正方形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是()A．平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直B．它们两两都垂直C．平面PAB与平面PBC垂直、与平面PAD不垂直D．平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直4.如图所示，ABCD—A1B1C1D1为长方体，且底面ABCD为正方形．求：截面ACB1⊥平面BDD1B1?考点三二面角[例3](12分)四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.(1)求二面角A－PD－C平面角的度数；(2)求二面角B－PA－D平面角的度数；(3)求二面角B－PA－C平面角的度数．[思路点拨](1)证明面PAD⊥面PCD；(2)定义法确定二面角；(3)∠BAC为所求角，可求．[精解详析](1)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又四边形ABCD为正方形， (2分)∴CD⊥AD，PA∩AD＝A.∴CD⊥平面PAD，又CD⊂平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD. (3分)∴二面角A－PD－C平面角的度数为90°. (4分)(2)∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AD⊥PA.∴∠BAD为二面角B－PA－D的平面角． (6分)又由题意∠BAD＝90°，∴二面角B－PA－D平面角的度数为90°. (8分)(3)∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AC⊥PA.∴∠BAC为二面角B－PA－C的平面角． (10分)又四边形ABCD为正方形，∴∠BAC＝45°.即二面角B－PA－C平面角的度数为45°. (12分)[一点通]解答此类问题的关键是清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点．求二面角的大小的方法为：一作，即先作出二面角的平面角；二证，即说明所作角是二面角的平面角；三求，即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函数值，其中关键是“作”．题组集训5．下列说法中正确的是()①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b形成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．6．如图，P是边长为22的正方形ABCD外一点，PA⊥AB，PA⊥BC，且PC＝5，则二面角PBDA的余弦值为________．方法规律小结1．要证明两平面垂直，可以利用定义证明两平面所构成的二面角为直二面角；也可以利用定理，其关键是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直．2．二面角的平面角必须具备三个条件：(1)顶点在二面角的棱上；(2)角的两边分别在两半平面内；(3)角的两边分别与二面角的棱垂直．学生应用创新演练请完成课时跟踪训练(十三)。
2.3.2面面垂直的判定
1.点在棱上，2.线在面内，3.与棱垂直.
二面角的大小的范围: 0 180
平面角是直角的二面角叫做直 二面角.相交成直二面角的两个平面， 叫做互相垂直的平面。
二面角的平面角的作法：
1、定义法
2、三垂线定理法
3、垂面法
B
O
l
P
A
练习： 指出下列各图中的二面角的平面角：
已知：AB⊥β，AB∩β=B，AB α
∪
求证：α⊥β.
α
A
证明：设α∩β=CD,则B∈CD.
∪
∵AB⊥β，CD β，∴AB⊥CD.
C β
B E
D 在平面β内过B点作直线BE⊥CD，则 ∠ABE就是二面角α--CD--β的平面角，
∪
∵AB⊥β， BE β，
∴AB⊥BE. ∴二面角α--CD--β是
直二面角，∴α⊥β.
略解：①过 A作 AO⊥于O，过 O作 AD⊥ l 于D， 垂足分别为O 、D，连OD
②则l ⊥面ADO， ∴ OD⊥ l
③ ∴∠ADO就是二面角 － l－ 的平面角 A ④∵ AO为 A到的距离 ， AD为 A到 l 的距离
∴AO=2 3 ，AD=4
D
O
l
在Rt△ADO中，
∵sin∠ADO=
AO AD
4.若m⊥α，m β，则α⊥β.( √ )
∪
二、填空题： 1.过平面α的一条垂线可作__无__数_个平面
与平面α垂直.
2.过一点可作_无__数__个平面与已知平面垂
直.
3.过平面α的一条斜线，可作__一__个平
面与平面α垂直.
4.过平面α的一条平行线可作__一__个平
面与α垂直.
2.3.2平面与平面垂直的判定定理(典型)
又 PB=PC，F为BC的中点， PF BC 而 PF EF=F， BC 面PEF. BC PE 故由PE AC，PE BC，AC BC=C， PE 面ABC. PE 面PAC， 面PAC 面ABC.
定理 如果一个平面经过另一个平面的一条 垂线，那么这两个平互相垂直 符号语言： 图形语言：
a B a A
a
作用：线面垂直面面垂直
应用该定理，关键是找出两个平面中的其中任一个的垂线.
例1: 如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平 面于A，C是圆O上不同于A、B的任意一点. 求证：平面PAC⊥平面PBC
P
证明： 正方形ABCD中，A C BD
PA 平面ABCD PA BD BD 平面ABCD
A
D
O
B C
BD 平面PAC 平面PAC 平面PBD。 BD 平面PBD
例3： ABCD是正方形，边长为2，O是正方形
的中心，PO⊥平面ABCD ，PO=√2， E是PC的
证明：由AB是圆O的直径，可得AC⊥BC
PA 平面ABC PA BC BC 平面ABC BC AC PA AC A
C A
B
P
BC 平面PAC
BC 平面PBC
O
平面PAC⊥平面PBC
练习
例2、已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面，A为垂足。
求证：平面PAC平面PBD。
P E D A O B C
中点，求证：平面PAC⊥BDE.
练习（P69）
1.如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D
高一数学必修二 2.3.2 平面与平面垂直的判定
二图 面示 角
的 平
ห้องสมุดไป่ตู้
符 号
OA⊂α,OB⊂β,α∩β=l,O∈l,OA⊥l,OB⊥l⇒∠AOB 是二面角 的平面角
面 角
范 围
0°≤∠AOB≤180°
规 定
二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角 是多少度,就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面 角叫做直二面角
知识梳理
12
名师点拨 1.二面角的平面角的大小是由二面角的两个面的位置唯 一确定的,与选择棱上的点的位置无关.
重难点突破
12
2.处理翻折问题的关键 剖析:处理翻折问题的关键是对翻折前的平面图形与翻折后的立 体图形进行对比,有哪些位置关系和相关量发生了变化;如果发生 变化,那么发生了怎样的变化,还有哪些没有发生变化,切不可混淆 不清. 例如:在正三角形ABC中,E,F,P分别是AB,AC,BC边上的点,满足
证明:因为BB1⊥AB,BB1⊥BC,AB∩BC=B, 所以BB1⊥平面ABCD.又BB1⊂平面BDD1B1, 所以平面ABCD⊥平面BDD1B1.
重难点突破
12
1.理解二面角及其平面角 剖析:(1)二面角是一个空间图形,而二面角的平面角是平面图形, 二面角的大小通过其平面角的大小来刻画,体现了由空间图形向平 面图形转化的思想. (2)二面角的平面角的定义是两条射线的夹角,不是两条直线的夹 角,因此,二面角θ的取值范围是0°≤θ≤180°. (3)两个平面相交,可以构成四个二面角,其中相对的两个二面角 相等,相邻的两个二面角互补.
高一数学必修二教学课件
2.3.2 平面与平面垂直的判定
学习目标
1.了解二面角及其平面角的概念. 2.掌握两个平面互相垂直的定义和画法. 3.理解并掌握两个平面垂直的判定定理,并能解决有关面面垂直 的问题.
课件4： 2.3.2 平面与平面垂直的判定
在Rt△AOC中，OC＝
2 ，AC＝
2
2,
∴∠OAC＝30°.即AO与A′C′所成角的度数为30°.
(2)作OE⊥BC，平面BC′⊥平面ABCD，
∴OE⊥平面ABCD，∠OAE为OA与平面ABCD所成的角．
在Rt△OAE中，OE=
1 2
，AE=
∴tan∠OAE=
OE AE
=
5， 5
12 ( 1 )2 2
D．不确定
解析 若方向相同则相等，若方向相反则互补．
3．已知a⊂α，b⊂β，c⊂β，a⊥b，a⊥c，则( D )
A．α⊥β
B．α与β相交
C．α∥β
D．以上都有可能
4．两个平面相交可形成____4____个二面角．
5．若α∥β，a⊥α，则a与β的位置关系是__垂__直____．
6．自二面角内任意一点分别向两个面引垂线，则两
2．面面垂直
①定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角
是 直二面角 ，就说这两个平面互相垂直．
②画法：
记判定定理
文字语言：一个平面过另一个平面的 一条垂线，则这
两个平面垂直．
a⊥β
符号表示： a⊂α
⇒α⊥β
思考应用 1．二面角的平面角的大小，是否与角的顶点在棱上 的位置有关？
5, 2
(3)∵OC⊥OA，OC⊥OB，∴OC⊥平面AOB.
又∵OC⊂平面AOC，∴平面AOB⊥平面AOC，
即平面AOB与平面AOC所成的角为90°.
跟踪训练2 如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥ 平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，PA＝AD＝a. (1)求证：MN∥平面PAD； (2)求证：平面PMC⊥平面PCD.
2.3.2平面与平面垂直的判定
面
A
观察：教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面
角？分别指出构成这些二面角的面、棱、平面角及度 数
A α
β
B D
γ
C
定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角
是直二面角，就说这两个平面互相垂直
图形
β
记号
α⊥β
α
两个平面互相垂直的判定定理：
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
β
l
注：这个定理简称“线面垂直，则面面垂直”
O α
例3：如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平
面，C是圆周一不同于A，B的任意一点，求证：平面 PAC⊥平面PBC
P探究：你还Βιβλιοθήκη 发现哪些面互相垂直？C
B
A O
l
记号： l
P
直线l叫做平面 的垂线 平面为直 线l的垂面 点P为垂足
直线和平面垂直画法的 l
P
直线和平面垂直的判断定理： 如果一条直线和一个平面内的两条 相交直线都垂直，那么这条直线垂直于 这个平面。
注意：两条相交直线
例题1:如图所示,已知a∥b,a⊥α, 求证:b⊥α
证明:在平面α内作两条相交直线m、n. ∵直线a⊥α，根据直线与平面 垂直的定义知:a⊥m, a⊥n。 又∵b∥a， ∴b⊥m， ∴b⊥a。 b⊥n m α n
a
b
又m α， nα，m，n是两条相交直线。
半平面
定义：从一条直线出发
的两个半平面所组成的 图形叫做二面角
棱
记号：二面角α-l-β或αAB-β
l
简记：P-l-Q或P-AB-Q
P α C O
B Q D β
2.3.2平面与平面垂直的判定
一、二面角的定义：
四、二面角的平面角的作法： 五、二面角的计算：
一“作”二“证”三“计算”
练习 如图，已知A、B是120的二 面角—l—棱l上的两点，线段AC， BD分别在面，内，且AC⊥l， BD⊥l ，AC=2，BD=1，AB=3，求 线段CD的长。
C
l
D
B
A
练习 如图，已知A、B是120的二面 角—l—棱l上的两点，线段AC，BD分 别在面，内，且AC⊥l，BD⊥l ， AC=2，BD=1，AB=3，求线段CD的长。 分析： ∠OAC ＝120 AO=BD=1, AC=2
3.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎 样定义的？
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的 锐角, 叫做这条直线和这个平面所成的角。
思考：异面直线所成的角、直线和平面所成的 角与有什么共同的特征？ 它们的共同特征都是将三维空间的角转化 为二维空间的角,即平面角。
一条直线上的一个点把这条直线分成两个 部分，其中的每一部分都叫做射线。 一个平面内的一条直线把这个平面分成两 个部分，其中的每一部分都叫做半平面。
知识回顾
1.在平面几何中"角"是怎样定义的？
从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。 或: 一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角。
Байду номын сангаас
2.在立体几何中,"异面直线所成的角"是怎样 定义的？ 直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O, 分别引直线a' //a, b'// b,我们把相交直线a' 和 b' 所成的锐角 （或直角）叫做异面直线所成的 角。
线线垂直
线面垂直
面面垂直
人教版数学必修22.3.2平面与平面垂直的判定
§2.3.2 平面与平面垂直的判定
问题重现
1、直线与平面垂直的定义及判定定理。 2、空间中两平面的位置关系有几种？
思考1:直线上的一点将直线分割成两部分，每一部分叫什 么？ 平面上的一条直线将平面分割成两部分，每一部分 叫什么名称？
射线 射线
半平面 半平面
β
B
O
lA
α
β
B′ B
o′
α
lO
A′
A
Hale Waihona Puke 思考4:在上图中如何调整OA、OB的位 置，使∠AOB被二面角α-l-β唯一确 定？这个角的大小是否与顶点O在棱 上的位置有关？
β
B
l O
A
α
定义
以二面角的棱上任意一点为端点，以该点为垂 足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线， 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角
A O⊥ l ，B O⊥ l
二面角的平面角的三个特征:
A
l O
B
1.点在棱上 2.边在面内 3.边棱垂直
二面角的大小可以用它的平面角来 度量，二面角的平面角是多少度， 就说二面角是多少度.
0 180
练习：三棱锥A-BCD,AB垂直于底面ＢＣＤ,底面ＢＣＤ
为等边三角形,求二面角D-AB-C的大小.
例3：AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在平面，
C是圆周上不同于A, B的任意一点， 求证：平面PCA 平面PBC。
p
C
A
O
B
证明: 设已知⊙O所在平面为α PA 面, BC 面
PA BC 又 AB为圆的直径
AC BC
PA BC PPAAA面CACPABCCA AC 面PAC
2.3.2平面与平面垂直的判定
线线垂直
线面垂直
观察: 教室里的墙面所在平面与地面所在平面相交,它们 所成的二面角及其度数.
1. 平面与平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角， 就说这两个平面互相垂直. 平面与垂直，记作⊥.
画法：直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直。
（面面垂直的定义是判定面面垂直的一种方法）
平面与平面垂直的判定
复习回顾
1.线面垂直定义： l l垂直于平面内的所有直线. 2.线面垂直判定定理：
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直， 则该直线与此平面垂直．
n m n p l lm ln
判定定理
m
l
m
P
n
(1)除了定义之外,如何判定两个平面互相垂直? (2)如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？
如果铅锤线和墙面紧贴，那么墙面与地面垂直。
大家知道其中的理论根据吗？
2. 平面与平面垂直的判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
α
m m
β
m
简记：线面垂直面面垂直 关键:在其中一个面内找出另一个平面的垂线.
√)
∪
3. 平面与平面垂直的判定定理的应用 P69例3、如图,AB是 ⊙O的直径,PA垂直于⊙O所 在的平面,C是 圆周上不同于A,B的任意一点,求证: 平面PAC⊥平面PBC.
线线垂直 线面垂直 面面垂直
证明:
设已知⊙O所在平面为
PA , BC
PA BC
又 AB为圆的直径 AC BC PA BC AC BC BC 面PAபைடு நூலகம் PA AC A PA 面PAC BC 面PBC AC 面PAC
232_平面与平面垂直的判定定理
②该定理作用：是判定两条直线平行的依据.
注意：空间内，垂直于同一条直线的两直线平行的结论不成立.ຫໍສະໝຸດ 2.平面与平面垂直的性质定理
如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们 交线的直线垂直于另一个平面。
注1：①
, l, a , a l a
证明： 在平面β内过B点作BE⊥ l， 又∵AB⊥ l， ∴∠ABE就是二面角α-l -β的平面角 ∴∠ABE=90 ，即AB⊥BE 又∵l∩BE=B， ∴AB⊥β
注1：①
b'
a , b a // b
a
b
O
证明： (反证法)假设a与b不平行 b ，设求b =O过点O作b// a ， b 则过一点O有两条直线b与b
这与过一点有且只有一条直线与已知平面垂直矛盾 ( 相交直线b与b确定平面，且 =c, 则在同一个平面内，有两条相交直线b与b与直线c垂直) 可见假设不成立， a//b
l
O B
注1： ①当二面角的两个面合成一个平面时，规定二面角的大小为180°； ②平面角是直角的二面角叫做直二面角，此时称两半平面所在的两 个平面互相垂直.
二面角的范围为：[0。，180。]
O
B
(5) 二面角的平面角的作法：
①定义法
A
l
O
②作棱的垂面法
B
o
A
l
B
一个平面垂直于二面角 -l- 的棱 l， 且与两半平面的交线分别是射线 OA、 OB，O 为垂足，则∠AOB 为二面角 -l- 的平面角．
1.二面角的概念
(3) 二面角的画法和记法： 面1－棱－面2 ①平卧式： 二面角－ l－
2.3.2平面与平面垂直的判定定理
B
(3)二面角A-BB’-C 90°
练 习:
1、如图，AB是圆的直径， PA垂 直圆所在的平面，C是圆上任一点， 则二面角P-BC-A的平面角为: A A.∠ABP B.∠ACP C.都不是 2、已知P为二面角 l 内一 点，且P到两个半平面的距离都 等于P到棱的距离的一半，则这 个二面角的度数是多少？ 60º
B D A
C
证明面面垂直的方法
• 1，定义法：两个面所成的二面角是直二面 角，那么两个面垂直。 作法：作出两面构成的二面角的平面角， 计算其为90° • 2，面面判定定理：线面垂直 面面垂直 • 作法：在其中的一个平面内寻找与另一平 面垂直的线。
三垂线定理： 在平
面内的一条直线，如果 和这个平面的一条斜线 的射影垂直，那么，它 就和这条斜线垂直。
E FO
C
A
B
例1:在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
平面ACC1 A1 平面A1BD 求证：
D1 C1 B1 D C
.
A1
判定定 理
A
B
例题2
• 已知在一个60°的二面角的棱上有两点A、 B，AC、BD分别是在这个二面角的两个面 内，且垂直于AB的线段，又知AB＝4cm， AC＝6cm，BD＝8cm，求CD的长。
一 4.过平面α的一条平行线可作____个平
面与α垂直.
证明面面垂直的本质和关键是什么？
本质：线面垂直
面面垂直
关键：在其中一个平面中 找
垂直于另一个平面的直线
已知AB 面BCD, BC CD
请问哪些平面互相垂直的,为什么?
AB 面BCD 面ABC 面BCD AB 面BCD 面ABD 面BCD CD 面ABC 面ABC 面ACD
平面与平面垂直的判定定理
A
B
二面角B--B’C--A
A
B
D
O
E
C
二面角A--BC--D
（定义法）
（垂线法）
14
寻找二面角的平面角
在正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出下列二面角 的平面角：
（1）二面角D’-AB-D和A’-AB-D；
（2）二面角C’-BD-C和C’-BD-A.
D’
C’
A’
B’
D A
C B
寻找二面角的平面角
的二面角的平面角,所以∠DGH=600 .
D
又 CD 与 AB 所成角为∠DCG= 300 .
DH DG sin 600 CD sin 300 sin 600 100 sin 300 sin 600 25 3 43.3(m)
600 H
300
AC
G
B
答:沿这条路向上走 100 米,升高约 43.3 米.
2.过一点可作_无__数_个平面与已知平面垂直
3.过平面α的一条斜线，可作__一__个平 面与平面α垂直.
4.过平面α的一条平行线可作_一___个平 面与α垂直.
已知：a ，a . 求证：
证明：设α∩β=CD，AB在α上，则B∈CD. α
A
∪
∵AB⊥β，CD β，∴AB⊥CD.
a
在平面β内过B点作直线BE⊥CD，则
一、二面角的概念
(1) 半平面的定义
平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做 半平面．
(2) 二面角的定义
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. 这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．
半
半
平
2.3.2平面与平面垂直的判定
C
寻找二面角的平面角
在正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出下列二面角 的平面角：
（1）二面角D’-AB-D和A’-AB-D； （2）二面角C’-BD-C和C’-BD-A. D’ C’ A’ B’ D A B
4、异面直线所成的角、直线和平面所成的 角有什么共同的特征？
结论:它们的共同特征都是将三维空间的角 转化为二维空间的角,即平面角来定义。
平面与平面形成以上的图形，我们又该如何分析？
讲授新课
1．半平面的定义 平面内的一条直线把平面分为两部
分，其中的每一部分都叫做半平面． 半 平 面 半 平 面
两个平面垂直的判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平 面互相垂直． 已知：AB⊥β，AB⊂α（图1）． 求证：α⊥β。 [证明]：设α∩β=CD， ∵AB⊥β，CD⊂β， ∴AB⊥CD． 在平面 β 内过点 B 作直线BE⊥CD，则 ∠ABE是二面角α-CD-β的平面角， 而AB⊥BE，故α-CD-β是直二面角． ∴α⊥β。 线线垂直 线面垂直 面面垂直
D
A B E
C
练习3： 如图，O是正方形ABCD的中心，且PA=AB PO⊥底面ABCD ， E是PC的中点，
求证：(1) PC⊥平面BDE；
(2)平面PAC⊥BDE.
P E D A O B C
课堂小结
1. 二面角的定义、二面角的平面角； 2. 二面角平面角的求法；
3. 平面与平面垂直的判定.
课后作业
2.3.2平面与平面 垂直的判定
复习回顾
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2： 如图，M是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB的中点，求二 面角A1－MC－A的正切值． 思路分析：①找基面 平面ABCD ②找基面的垂线 AA1 ③作平面角 作AH⊥CM交CM的延长 线于H，连结A1H
D1 A1
C1
B1
D M B
C
解：作AH⊥CM交CM的延长线于H，连 A 结A1H．∵A1A⊥平面AC，AH是A1H 在平面AC内的射影，∴A1H⊥CM， N ∴∠A1HA为二面角A1－CM－A的平面角．
BD 平面PAC 平面PAC 平面PBD。 BD 平面PBD
例3： ABCD是正方形，O是正方形的
中心，PO⊥平面ABCD ， E是PC的中点，
求证：(1) PC⊥平面BDE；
(2)平面PAC⊥BDE. P E D A O B C
如图，已知AB 平面BCD, BC CD, 你能发现哪些平面互相 垂直，为什么？
我们常说“把门开大些”，是指哪个角开大一些， 我们应该怎么刻画二面角的大小？
一、二面角的概念
(1) 半平面的定义
平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做 半平面．
(2) 二面角的定义
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. 这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．
D1 A1 D
M A
E
C1
B1 C B
F
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3：如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB = 2，BC = BB1 =1 ， E为D1C1的中点，求二面角E－BD－C的大小． 思路分析：①找基面 平面BCD ②作基面的垂线 过E作EF⊥CD于F
解:因为 CDG 是坡面,设 DH 是地平面的垂线 段,DH 就是所求的高度.作 HG⊥AB,垂足为 G, 那么 DG⊥AB,∠DGH 就是坡面和地平面所成 的二面角的平面角,所以∠DGH= 60 .
0
D
600
300
又 CD 与 AB 所成角为∠DCG= 30 .
DH DG sin 60 0
①定义法
A
l
A
O
②垂线法
l
O
B
B
③作棱的垂面法
AB , A , B 过A作AO l 连接OB, 则OB l
o
A
l
B
一个平面垂直于二面角 -l- 的棱 l，
l
且与两半平面的交线分别是射线 OA、 OB，O 为垂足，则∠AOB 为二面角 -l- 的平面角．
空间两个平面有平行、相交两种位置关系.对于两个平面平行， 我们已作了全面的研究，对于两个平面相交，我们应从理论 上有进一步的认识.
两个相交平面的相对位置是由这两个平面所成的“角”来确定的． 在异面直线所成的角、直线与平面所成的角的学习过程中，我们 将三维空间的角转化为二维空间的角，即平面角来刻画.接下来， 我们同样来研究平面与平面的角度问题.
在Rt△ADO中， 2 3 AO ∵sin∠ADO= AD 4 ∴ ∠ADO=60°. 即二面角 － l－ 的大小为60 °.
D
O
l
练 在二面角α-l-β的一个平面α内有一条直线AB，它与棱 l 所成 的角为45°，与平面β所成的角为30°，则这个二面角的大小是 45°或135° ________________.
B
P
BC 平面PAC
BC 平面PBC
O
平面PAC⊥平面PBC
练习
例2、已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面，A为垂足。
求证：平面PAC平面PBD。
P
证明： 正方形ABCD中，A C BD
PA 平面ABCD PA BD BD 平面ABCD
A
D
O
B C
H
设正方体的棱长为1．∵M是AB的中点，且AM∥CD，则在 直角△AMN中，AM = 0.5，AN= 1，MN = 5 ． 2 AM AN 1 A1 A AH tan A1 HA 5 MN AH 5
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3：如图，山坡倾斜度是60度，山坡上一条路CD和坡底 线AB成30度角.沿这条路向上走100米，升高了多少?
∪
back
例1: 如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平 面于A，C是圆O上不同于A、B的任意一点. 求证：平面PAC⊥平面PBC
证明：由AB是圆O的直径，可得AC⊥BC
PA 平面ABC PA BC BC 平面ABC BC AC PA AC A
C A
(4) 二面角的平面角
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于 棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
如图， OA l , OB l ，则∠AOB成为二面角 l 的平面角. 它的大小与点O的选取无关.
A' A
二面角的平面角必须满足： ①角的顶点在棱上
二、平面与平面垂直的判定
如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？
面面垂直的判定定理
文字语言：如果一个平面经过另一个平面 的一条垂线，那么这两个平面 互相垂直 a 符号语言： a B 图形语言：
a A
该定理作用：“线面垂直面面垂直”
应用该定理，关键是找出两个平面中的其中任一个的垂线.
看看能推出哪个线面垂直?)
E
P
C
F
(BC垂直与两条直线PE，AB，但是PE和AB异面，得不出线面垂直结论.
通过找PE和AB的平行线，将二者平移至相交即可得到一组线面垂直关系.)
B
取BC的中点F，连接EF，PF，则EF//AB, EF BC
(此时发现BC 面PEF这个结论是正确，接下来只要证明这个结论成立即可.)
90，E是BD的中点.求证：平面AEC 平面ABD
1.如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D
是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面 体，使G1，G2，G3三点重合，重合后记为G- SEF，则四面体 S—EFG中必有( ). G3 F D G1 E G2 (A)SG⊥△EFG所在平面 (B)SD⊥△EFG所在平面 (C)GF⊥△SEF所在平面 (D)GD⊥△SEF所在平面 S
CD sin 30 0 sin 60 0 100 sin 30 0 sin 60 0 25 3 43.3(m)
0
H B
A C
G
答:沿这条路向上走 100 米,升高约 43.3 米.
练习
一、计算二面角的关键是作出二面角的平面 角，其作法主要有： (1) 利用二面角平面角的定义，即在棱上任取 一点，然后分别在两个面内作棱的垂线， 则两垂线所成的角为二面角的平面角． (2) 利用棱的垂面，即棱的垂面与两个半平面 的交线所成的角是二面角的平面角． 二、求二面角的思路是 “一作、二证、三算”．
A
B
C
D
2.如图所示：在Rt△ABC中，∠ABC=900 ,P为△ABC所在平 面外一点，PA⊥平面ABC，你能发现哪些平面互相垂直， 为什么？ P
PA 面ABC 面PAC 面ABC PA 面PAC
PA 面ABC 面PAB 面ABC PA 面PAB
补充
练习： 指出下列各图中的二面角的平面角：
正方体 A’C中 D’ A’ D A 二面角B--B’C--A B B’ O C C’ A
B
E
O
D C
二面角A--BC--D
（定义法）
（垂线法）
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例1 在正方体AC1中，E为BC中点， 1、求二面角A—B1C—B的正弦值; 2、求二面角E—B1D1—C1的正切值。
2.3.2 平面与平面垂直的判定定理
复 习 回 顾
1.在平面几何中"角"是怎样定义的？ 从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。 或: 一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角。
2.在立体几何中，“异面直线所成的角”是怎样定义的？ 直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a' //a， b'// b，我们把相交直线a' 和 b'所成的锐角 （或直角）叫做异面 直线所成的角. 范围：( 0o, 90o ]． 3.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎样定义的？ 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直 线和这个平面所成的角. 范围：[ 0o, 90o ]．
半 平 面
l
半 平 面
面 面
棱
l
(3) 二面角的画法和记法： 面1－棱－面2 ①平卧式： 二面角－ l－
点1－棱－点2
l
②直立式： A
二面角－AB－
C
l
二面角C－AB－ D B
A
B
D
二面角画法
3、举出二面角的实例，并画出二面角。
直立式
平卧式
由上可知：各二面角的“张角”不同，那么如 何度量二面角的大小呢？
练习
练1： 已知二面角－ l － ，A为面内一点，A到 的距离 为2 3，到l的距离为 4. 求二面角 － l － 的大小. 解： 过 A作 AO⊥于O，过 O作 OD⊥ l 于D，连AD，
则AD⊥ l . ADO就是二面角－ l － 的平面角. A.
且AO 2 3, AD 4
D C D
E A B A B
C
F
D1 A1
C1
B1 A1
D1
（ 1）
（ 2）