八年级数学上册 4_3 一次函数的图象例题与讲解素材 (新版)北师大版
北师大版八年级数学上册 ：4-3 一次函数的图象 第1课时
y y=2x 4
1. 列表. 2. 描点. 3. 连线.
3
2
1
0
x
-3 -2 -1 1 2 3
-1
-2
-3
-4
【跟踪训练】
请你画出 y 2 x 的图象．
比较两个函数的相同点与不同点.
比较归纳
两图象都是经过原点的 直线 ，函数y=2x的图象从左向 右_上__升__,即函数值y随x的增大而 增大 ,经过第 一、三 象 限；函数 y=-2x 的图象从左向右 下降 ,即函数值y随x 的增大而 减小 ,经过第 二、四 象限.
4.3 一次函数的图象
第1课时
1.会画正比例函数的图象. 2.掌握正比例函数的图象和简单性质.
3.会用正比例函数的知识解决简单的 实际问题.
一位鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥 （候鸟）套上标志环；大约128天后，人们 在2.56万km外的澳大利亚发现了它． (1)这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米?
【解析】（1）y=5×15x/100，
即 y 3 x x. 0
4
y/元
（2）列表 x 0 4
6
描点 y 0 3
5 4
连线
3
2
（3）当 x 220 时，
1
y 3 220 165（元）.
O
x/km 1 23 4 5 6 7 8
4
答：该汽车行驶220 km所需油费是165元．
课堂小结：
本节课你学到了什么？与同学分享。
的有 （
）
（1）Y=4X
(2) y 2 x
3
（3）Y=-0.6X
(4)y 5x （5）y ( 2 3)x
8. 已知某种小汽车的耗油量是每100km耗油15 L．所使 用的汽油今日涨价到5元/ L ．
八年级数学上册 4.3 一次函数的图象例题与讲解素材 (新版)北师大版
3 一次函数的图象1．函数的图象对于一个函数，我们把它的自变量x与对应的变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系中描出它的对应点，所有这些点组成的图形就叫做该函数的图象．谈重点函数图象与点的坐标的关系(1)函数图象上的任意点P(x，y)必满足该函数关系式．(2)满足函数关系式的任意一对x，y的值，所对应的点一定在该函数的图象上．(3)判定点P(x，y)是否在函数图象上的方法是：将点P(x，y)的坐标代入函数表达式，如果满足函数表达式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的表达式，这个点就不在函数的图象上．【例1】判断下列各点是否在函数y＝2x－1的图象上．A(2,3)，B(－2，－3)．分析：将x的值代入函数表达式，如果等于y的值，这个点就在函数的图象上；否则，这个点不在函数的图象上．解：∵当x＝2时，y＝2×2－1＝3，∴A(2,3)在函数y＝2x－1的图象上；∵当x＝－2时，y＝－2×2－1＝－5≠－3，∴B(－2，－3)不在函数y＝2x－1的图象上．2．函数图象的画法画函数图象的一般步骤：(1)列表：列表给出自变量与函数的一些对应值，通常把自变量x的值放在表的第一行，其对应函数值放在表的第二行，其中x的值从小到大．(2)描点：以表中每对对应值为坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点．描点时一般把关键的点准确地描出，点取得越多，图象越准确．(3)连线：按照自变量从小到大的顺序，把所描的点用平滑的曲线连接起来．释疑点平滑曲线的特点所谓的“平滑曲线”，现阶段可理解为符合图象的发展趋势、让人感觉过渡自然、比较“平”“滑”的线，实际上有时是直线．【例2】作出一次函数y＝－2x－1的图象．分析：取几组对应值，列表，描点，连线即可．解：列表：连线：把这些点连起来．注：一次函数y ＝－2x －1的图象是直线，连线时，两端要露头．3.一次函数的图象和性质(1)一次函数的图象和性质①一次函数的图象：一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象是一条直线．由于两点确定一条直线，因此画一次函数的图象，只要描出图象上的两个点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫通常求出与x 轴的交点⎝ ⎛⎭⎪⎫－b k ，0和与y 轴的交点(0，b )，过这两点作一条直线就行了．我们常常把这条直线叫做“直线y ＝kx ＋b ”．②一次函数中常量k ，b (k ≠0)：直线y ＝kx ＋b (k ≠0)与y 轴的交点是(0，b )，当b ＞0时，直线与y 轴的正半轴相交；当b ＜0时，直线与y 轴的负半轴相交；当b ＝0时，直线经过原点，此时一次函数即为正比例函数．一次函数y ＝kx ＋b 中的k ，决定了直线的倾斜程度，k 的绝对值越大，则直线越接近y 轴，反之，越靠近x 轴．③一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的性质：当k ＞0时，直线y ＝kx ＋b 从左向右上升，函数y 的值随自变量x 的增大而增大；当k ＜0时，直线y ＝kx ＋b 从左向右下降，函数y 的值随自变量x 的增大而减小．(2)正比例函数的图象和性质①正比例函数的图象：一般地，正比例函数y ＝kx (k 是常数，k ≠0)的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y ＝kx .在画正比例函数y ＝kx 的图象时，一般是经过点(0,0)和(1，k )作一条直线．②正比例函数y ＝kx 的性质：当k ＞0时，直线y ＝kx 经过第一、三象限，从左往右上升，即y 随x 的增大而增大；当k ＜0时，直线y ＝kx 经过第二、四象限，从左往右下降，即y 随x 的增大而减小．【例3－1】 作出一次函数y ＝－3x ＋3的图象．分析：由于一次函数的图象是一条直线，因此只要过其图象的两点画出一条直线即可．解：列表：描点，连线．【例3－2】若一次函数y＝(2m－6)x＋5中，y随x增大而减小，则m的取值范围是________．解析：当我们知道函数的增减性后，就知道了k的取值范围，因为y随x增大而减小，所以k就小于0，即2m－6＜0，m＜3.所以m的取值范围是m＜3.答案：m＜3析规律 k与b的作用在一次函数解析式中，k确定函数的增减性，b确定函数图象与y轴的交点．【例3－3】下图表示一次函数y＝kx＋b与正比例函数y＝kx(k，b是常数，且k≠0)图象的是( )．解析：对于两个不同的函数图象共存于同一坐标系的问题，常假设某一图象正确，确定k，b的符号，然后再根据k或b的符号判断另一函数图象是否与k，b的符号相符合．观察A中一次函数图象可知k＞0，b＜0，而正比例函数的图象经过第二、四象限，此时k＜0，所以A不正确，用同样的方法可确定B，C不正确．故选D.答案：D点技巧同一坐标系中多函数图象问题解答这类问题一般首先根据正比例函数和一次函数的图象分别先确定k的符号，对比k的符号，若k 符号一致，才说明可能正确，再结合题中的其他条件确定最终正确答案．4．k ，b 的符号与直线所过象限的关系学习了一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)，我们知道一次函数图象经过哪些象限是由k ，b 的符号决定的．一般分为四种情况：(1)k ＞0，b ＞0时，图象过第一、二、三象限；(2)k ＞0，b ＜0时，图象过第一、三、四象限；(3)k ＜0，b ＞0时，图象过第一、二、四象限；(4)k ＜0，b ＜0时，图象过第二、三、四象限．析规律 k ，b 的符号与直线的关系根据一次函数y ＝kx ＋b 中k ，b 的符号可以确定图象所经过的象限；根据函数图象所经过的象限，可以确定k ，b 的符号．解决有关问题，应熟练把握k ，b 的符号与函数图象所经过象限的几个类型，并能灵活应用．【例4－1】 一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过第二、三、四象限，则正比例函数y ＝kbx 的图象经过哪个象限？分析：要确定函数y ＝kbx 的图象经过哪些象限，则需要确定kb 的符号，而kb 的符号由k 的符号和b 的符号决定，所以只要根据已知条件确定k ，b 的符号即可解决问题．解：因为y ＝kx ＋b 的图象经过第二、三、四象限，所以k ＜0，b ＜0，所以kb ＞0.所以函数y ＝kbx 的图象经过第一、三象限．【例4－2】 如图是一次函数y ＝kx ＋b 的图象的大致位置，试分别确定k ，b 的正负号，并判断一次函数y ＝(－k －1)x －b 的图象所经过的象限．分析：由函数y ＝kx ＋b 的图象可知，函数的图象经过第一、三、四象限，所以k ＞0，b ＜0，由此可得－k －1＜0，－b ＞0，从而确定一次函数y ＝(－k －1)x －b 的图象经过第一、二、四象限．解：观察图象可得k ＞0，b ＜0，所以－k －1＜0，－b ＞0，所以一次函数y ＝(－k －1)x －b 的图象经过第一、二、四象限．5.一次函数图象与坐标轴的交点一次函数的图象是直线，这条直线与x 轴交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－b k ，0，与y 轴交于点(0，b )．考查直线与两坐标轴的交点的问题常见的有三类：(1)判定直线所过的象限，一般给出函数关系式，判定直线经过哪几个象限或确定不经过哪个象限．(2)求直线的解析式，一般先设出函数关系式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，把已知的两点的坐标分别代入，求出k ，b 的值即可．(3)求两交点与坐标轴围成的三角形的面积，由于这个三角形是直角三角形，利用面积公式即可．【例5】 如图，已知直线y ＝kx －3经过点M (－2,1)，求此直线与x 轴，y 轴的交点坐标，并求出与坐标轴所围的三角形的面积．分析：先将点M (－2,1)代入y ＝kx －3，确定一次函数解析式，再分别令x ＝0和y ＝0，即可求出此直线与x 轴，y 轴的交点坐标．解：将点M (－2,1)代入y ＝kx －3，得1＝－2k －3，解得k ＝－2，所以y ＝－2x －3.又当x ＝0时，y ＝－3，当y ＝0时，x ＝－32，所以此直线与x 轴，y 轴的交点坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，(0，－3)．所以所围三角形的面积为12×32×3＝94. 点评：在平面直角坐标系中求图形的面积时，通常把轴上的边作为底，再利用点的坐标求得底上的高，然后利用面积公式求解．6．关于一次函数的最值问题对于一般的一次函数，由于自变量的取值范围可以是全体实数，因此不存在最大、最小值(简称“最值”)，但在实际问题中，因题目中的自变量受到实际问题的限制，所以就有可能出现最大值或最小值．求解这类问题，先分析问题中两个变量之间的关系是否适合一次函数模型，再在自变量允许的取值范围内建立一次函数模型．运用一次函数解决实际问题的关键是根据一次函数的性质来解答．除正确确定函数表达式外，利用自变量取值范围去分析最值是解题的关键．“在生活中学数学，到生活中用数学”，是新课标所倡导的一个主旨之一，在考题中，有许多利用数学知识求解生活中的实际问题的试题，考查同学们利用所学知识求解实际问题的能力．【例6】某报刊销售亭从报社订购晚报的价格是0.7元，销售价是每份1元，卖不掉的报纸可以以每份0.2元的价格退回报社，若每月按30天计算，有20天每天可卖出100份报纸，其余10天每天只能卖出60份，但每天报亭从报社订购的份数必须相同，报亭每天从报社订购多少份报纸，才能使每月所获得的利润最大？分析：若报亭每天从报社订购x份报纸，每月获得的利润为y，那么y是x的一次函数，且自变量的取值范围是60≤x≤100，并根据函数的性质来确定订多少份报纸．解：根据题意，得y＝(1－0.7)×(20x＋10×60)－(0.7－0.2)(x－60)×10，即y＝x＋480(60≤x≤100)．∵此函数是一次函数，且一次项的系数大于0，函数y随x的增大而增大，∴当x＝100时，y有最大值，其最大值为100＋480＝580(元)．订购方案：每天从报社订100份报纸，这样获得利润最大，最大利润为580元．。
北师大版八年级数学上册：4-3一次函数的图象(教案)
2.教学难点
-斜率k的正负对一次函数图象在坐标平面内位置的影响，特别是斜率为0和斜率不存在的情况；
4.作出一次函数图象的方法，包括描点法和图形变换；
5.运用一次函数图象解决实际问题，如根据图象求解方程和不等式。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标如下：
1.培养学生的逻辑推理能力，使其能够通过一次函数的定义和性质，推导出图象的特点和变化规律；
2.提升学生的数据分析能力，使其能够利用一次函数图象解决实际问题，进行数据预测和分析；
3.增强学生的空间想象力和几何直观，通过作一次函数图象，培养学生的图形认识和变换能力；
4.培养学生的数学建模素养，使其能够运用一次函数模型表达现实世界中的数量关系，解决实际问题；
5.培养学生的团队协作和交流能力，通过小组合作探讨一次函数图象的绘制和运用，促进学生之间的相互学习与分享。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解一次函数的定义及一般形式，掌握y = kx + b中k和b的含义及其对图象的影响；
-学会通过分析斜率k和截距b的符号，判断一次函数图象在坐标平面内的位置关系；
-掌握用描点法绘制一次函数图象的基本步骤，并能够运用图象解决相关问题；
-能够运用一次函数图象分析实际问题中的数量关系，建立数学模型。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一次函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
八年级数学上册 4.3 一次函数的图象 一次函数的图象谁来定素材 (新版)北师大版
一次函数的图象谁来定众所周知，一次函数(0)y kx b k =+≠的图象是一条直线，而决定这条直线在直角坐标系中位置的两个因素是k 和b ，其中k 的符号决定直线的方向〔上升或下降〕，b 值实质上是直线与y 轴交点的纵坐标，它的符号决定直线与y 轴交点的位置．具体情况是：当0k >，0b >时，直线y kx b =+经过第一、二、三象限；当0k >，0b =时，直线y kx b =+经过第一、三象限；当0k >，0b <时，直线y kx b =+经过第一、三、四象限；当0k <，0b >时，直线y kx b =+经过第一、二、四象限；当0k <，0b =时，直线y kx b =+经过第二、四象限；当0k <，0b <时，直线y kx b =+经过第二、三、四象限；利用上述规那么，我们可以由k 和b 的符号确定直线y kx b =+的位置；反过来，也可以由直线y kx b =+的位置确定k 和b 的符号．例1、一次函数y kx k =-，假设y 随x 的增大而减小，那么该函数的图象经过〔 〕．（A ） 第一、二、三象限 〔B 〕第一、二、四象限〔C 〕 第二、三、四象限 〔D 〕第一、三、四象限析解：假设判定一次函数y kx k =-的图象所经过的象限，需知道字母系数k 的取值．由于y 随x 的增大而减小，根据一次函数的图象性质知：0k <，所以0k ->，所以此函数的图象经过第一、二、四象限．应选〔B 〕．例2、如果一次函数y kx b =+的图象经过第一象限，且与y 轴负半轴相交，那么〔 〕． 〔A 〕0k >，0b > 〔B 〕0k >，0b <〔C 〕0k <，0b > 〔D 〕0k <，0b <析解：与上例不同，此题是由直线y kx b =+的位置确定k 和b 的符号．由于一次函数y kx b =+的图象经过第一象限，那么0k >；又该直线与y 轴负半轴相交，那么0b <．故应选〔B 〕．例3、关于x 的一次函数(3)25y a x a =-+-的图象与y 轴的交点不在x 轴的下方，且y 随x 的增大而减小，那么a 的取值范围是 ．析解：由于一次函数(3)25y a x a =-+-的图象与y 轴的交点不在x 轴的下方，那么25a -≥0；又因为y 随x 的增大而减小，那么30a -<；组成不等式组，得250,30,a a -⎧⎨-⎩≥<解之，得3a 5≤<2．即a 的取值范围是3a 5≤<2．例4、 函数y ax b =+①和y bx a =+②(0)ab ≠在同一坐标系中的图象可能是( ).析解：此题可使用排除法．由题可知，0ab ≠ ，那么0a ≠且b ≠0，故淘汰(C)；对于选项(A)，由于①中的0b >，而②中的0b <，矛盾；对于选项(B)，由于①中的0b <，而②中的0b >，也矛盾；故应选(D). ①② ① ② ① ②① 〔A 〕 〔B 〕 〔C 〕 〔D 〕。
数学八年级上北师大版4.3一次函数的图象
2.在直线y=k1x+b1与 直线y=k2x+b2中， k1 = k2 , b1≠b2 如果______________, 那么这两条直线平行。
3.y=kx+b(k≠0)所经过的象限： 二、四、一 k<0,b>0→___ ___ ___ 一、三、二 k>0,b>0→___ ___ ___
一、三、四 k>0,b<0→___ ___ ___
4.3 一次函数图象
一次函数的图象有的像上山一样,随自变量 的增大而上升,有的像下山一样随自变量的增大 而下降.它和函数关系式有什么关系呢？
在第一个平面直角坐标系中，依次画出一次函数 y=2x-1, y=3x, y=x+4，的图像，再在第二个平面 直角坐标系中，依次画出一次函数y=-2x-1, y=-3x, y=-x+4。
二、四、三 k<0,b<0→___ ___ ___
巩固练习 7.直线y=kx+b与直线y=kbx， 它们在同一个坐标系中的图象大致为 （ ）
y 0 x y 0 x2
3
y 0 x 0
y x
x3
A
B
C
D
巩固练习
5.一次函数y=kx+b中，kb>0,且y随x的增 大而减小，则它的图象大致为（ ）
y 0 x y 0 x2
3
y 0 x 0
y x
x3
A
B
C
D
6. 直线 y=kx-k的图象的大致位置是(
y y
)
2 x3 3
0
x
2 x3 3
0
x
A
y
B
y
2 x3 3
八年级数学上册 4.4 一次函数的应用例题与讲解素材 (新版)北师大版
4 一次函数的应用1．确定一次函数表达式(1)借助图象确定函数的表达式先观察直线是否过坐标原点，若过原点，则为正比例函数，可设其关系式为y ＝kx (k ≠0)；若不过原点，则为一次函数，可设其关系式为y ＝kx ＋b (k ≠0)；然后再观察图象上有没有明确几个点的坐标．对于正比例函数，只要知道一个点的坐标即可；对于一次函数，则需要知道两个点的坐标；最后将各点坐标分别代入y ＝kx 或y ＝kx ＋b 中，求出其中的k ，b ，即可确定出其关系式．(2)确定正比例函数、一次函数表达式需要的条件①由于正比例函数y ＝kx (k ≠0)中只有一个未知系数k ，故只要一个条件，即一对x ，y 的值或一个点的坐标，就可以求出k 的值，确定正比例函数的表达式．②一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)有两个未知系数k ，b ，需要两个独立的关于k ，b 的条件，求得k ，b 的值，这两个条件通常是两个点的坐标或两对x ，y 的值．【例1】 如图，直线AB 对应的函数表达式是( )．A ．y ＝－32x ＋3 B ．y ＝32x ＋3 C ．y ＝－23x ＋3 D ．y ＝23x ＋3 解析：设直线AB 对应的函数表达式是y ＝kx ＋b (k ≠0)，当x ＝0时，y ＝3，代入得b＝3，当x ＝2时，y ＝0，则2k ＋3＝0，k ＝－32，故y ＝－32x ＋3. 答案：A点技巧 用待定系数法求直线解析式由图象观察可知该函数为一次函数，故应设成y ＝kx ＋b (k ≠0)的形式，再将A ，B 两点坐标代入该关系式，即可求出k ，b ，从而确定出具体的关系式．2．待定系数法(1)定义：先设出式子中的未知系数，再根据条件求出未知系数，从而写出这个式子的方法，叫做待定系数法，其中的未知数也称为待定系数．(2)用待定系数法求解析式的一般步骤：①根据已知条件写出含有待定系数的解析式；②将x，y的几对值或图象上几个点的坐标代入上述的解析式中，得到以待定系数为未知数的方程或方程组；③解方程(组)，得到待定系数的值；④将求出的待定系数代回所求的函数解析式中，得到所求函数的解析式．【例2－1】一次函数图象如图所示，求其解析式．分析：利用图象所给的信息，即直线与坐标轴交点的坐标，再用待定系数法求出k，b 的值，从而确定表达式．解：设一次函数解析式为y＝kx＋b，∵一次函数图象过点(0，－2)，∴－2＝k×0＋b，∴b＝－2.∵一次函数图象过点(1,0)，∴0＝k×1＋b，∴k＝2.∴一次函数解析式为y＝2x－2.【例2－2】在直角坐标系中，一次函数y＝kx ＋b的图象经过三点A(2,0)，B(0,2)，C(m, 3)，求这个函数的表达式，并求m的值．解：根据题意，得2k＋b＝0①，b＝2, km＋b＝3②，把b＝2代入①，得2k＋2＝0，即k＝－1；把b＝2，k＝－1代入②，得m＝－1.故函数的表达式为y＝－x＋2.3．一次函数的实际应用(1)通过图象获取信息通过观察一次函数的图象获取有用的信息是我们在日常生活中经常遇到的问题，要掌握这个重点在于对函数图象的观察和分析，观察函数图象时，首先要看横轴、纵轴分别代表的是什么，也就是观察图象反映的是哪两个变量之间的关系．释疑点函数图象中的特殊点观察图象获取信息时，一定要注意图象上的特殊点，这些特殊点对我们解决问题有很大的帮助．(2)一次函数图象的应用一次函数和正比例函数是我们接触到的最简单的函数，它们的图象和性质在现实生活中有着广泛的应用．利用一次函数和正比例函数的图象解决问题是本节的一个重点，这部分内容在中考中占有重要的地位．谈重点函数y＝kx＋b图象的变化形式在实际问题中，当自变量的取值范围受到一定的限制时，函数y＝kx＋b(k≠0)的图象就不再是一条直线．要根据实际情况进行分析，其图象可能是射线、线段或折线等等．【例3－1】甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y(m)与挖掘时间x(h)之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：(1)乙队开挖到30 m时，用了________ h．开挖6 h时甲队比乙队多挖了__________ m.(2)请你求出：①甲队在0≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；②乙队在2≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式．(3)当x为何值时，甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等？分析：(1)由图象可以直接看出乙队开挖到30 m时，用了2 h．开挖6 h时甲队比乙队多挖了10 m；(2)设甲队在0≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式为y＝k1x(k1≠0)，由图可知，函数图象过点(6,60)，∴6k1＝60，解得k1＝10，∴y＝10x.设乙队在2≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式为y＝k2x＋b(k2≠0)，由图可知，函数图象过点(2,30)，(6,50)，代入y＝k2x＋b，求出k2＝5，b＝20，∴y＝5x＋20.(3)由题意，得10x＝5x＋20，解得x＝4(h)．解：(1)2 10(2)①y＝10x.②y＝5x＋20.(3)由题意，得10x＝5x＋20，解得x＝4(h)．故当x为4 h时，甲、乙两队所挖的河渠长度相等．【例3－2】某单位急需用车，但又不准备买车，他们准备和一个体车主或一国有出租车公司签订月租车合同．设汽车每月行驶x km，应付给个体车主的月费用为y1元，应付给国有出租车公司的月费用是y2元，y1，y2分别与x之间的函数关系图象(两条射线)如图，观察图象回答下列问题：(1)每月行驶的路程在什么范围内时，租国有出租车公司的车合算？(2)每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同？(3)如果这个单位估计每月行驶的路程为2 600 km，那么这个单位租哪家车合算？分析：本题从给出的两个函数图象中可获取以下信息：都是一次函数，一个是正比例函数；两条直线交点的横坐标为1 500；表明当x＝1 500时，两个函数值相等；根据图象可知：x＞1 500时，y2＞y1；0＜x＜1 500时，y2＜y1.解：观察图象，得：(1)每月行驶的路程小于1 500 km时，租国有出租车公司的车合算；(2)每月行驶的路程为1 500 km时，租两家车的费用相同；(3)如果每月行驶的路程为2 600 km，那么这个单位租个体车主的车合算．析规律函数图象交点规律两函数图象在同一坐标系中，当取相同的自变量时，下方图象对应的函数的函数值小；交点处的函数值相等．4．一次函数和一元一次方程的关系当一次函数y＝kx＋b(k≠0)中的函数值为0时，可得0＝kx＋b即kx＋b＝0，这在形式上变成了求关于x的一元一次方程，也就是说，当一次函数y＝kx＋b的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程kx＋b＝0的解；若从图象上来看，则可看做函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点的横坐标，即为方程kx＋b＝0的解．由此可见，方程与函数是密不可分的．【例4】某汽车生产厂对其生产的A型汽车进行耗油量实验，实验中汽车视为匀速行驶．已知油箱中的余油量y(L)与行驶时间t(h)的关系如下表，与行驶路程x(km)的关系如下图．请你根据这些信息求A型车在实验中的速度.分析：考查综合利用一次函数的相关知识解决问题的能力．解法一：∵余油量y与行驶路程x的关系图象是一条直线，∴可设关系式为y＝kx＋b(k≠0)．由图象可知y＝kx＋b经过两点(0,100)和(500,20)，则有b＝100,20＝500k＋b.把b＝100代入20＝500k＋b，得20＝500k＋100，解得k＝－4 25 .∴直线的解析式为y ＝－425x ＋100. 当y ＝100时，x ＝0；当y ＝84时，x ＝100.由图表可知，油箱中的余油量从100 L 到84 L ，行驶时间是1 h ，行驶路程是100 km. ∴A 型汽车的速度为100 km/h.解法二：由图表可知：A 型汽车每行驶1 h 的路程耗油16 L.由图象可知：A 型汽车耗油80 L 所行驶的路程为500 km.可设汽车耗油16 L 所行驶的路程为x km ，则500∶80＝x ∶16，解得x ＝100.∴A 型汽车1 h 行驶的路程为100 km.∴它的速度为100 km/h.点评：有时，我们利用一次函数的图象求一元一次方程的近似解．5．一次函数图象的平移一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象可以看做由直线y ＝kx 平移|b |个单位长度而得到(当b ＞0时，向上平移；当b ＜0时，向下平移)．实际上就是指一次函数y ＝kx ＋b 的图象沿y轴平移时，在b 的位置上按照“上加下减”的规律进行．如：一次函数l 1：y ＝23x ＋2的图象可以看做是由正比例函数l ：y ＝23x 的图象沿y 轴向上平移2个单位长度得到的；一次函数l 2：y ＝23x －2的图象可以看做是由正比例函数l ：y ＝23x 的图象沿y 轴向下平移2个单位长度得到的．【例5】 如图所示，将直线OA 向上平移1个单位长度，得到一个一次函数的图象，那么这个一次函数的解析式是__________．解析：由图象可知，直线经过原点，所以设直线的解析式为y ＝kx (k ≠0)．因为直线经过点(2,4)，所以直线的解析式为y ＝2x .根据“上加下减”的原则，可知所求的一次函数解析式为y ＝2x ＋1.答案：y ＝2x ＋1析规律平移中的函数解析式解决平移问题可以对性质进行记忆直接运用，也可以找出平移后借助坐标系运用待定系数法求解．平移前后k的值不变，改变的是b的值．6.函数、方程和不等式的完美结合从“数”的角度看，由于任何一元一次方程都可以转化为ax＋b＝0(a，b为常数，且a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以看做：当一次函数y＝ax＋b的值为0时，求相应的自变量的值；反之，求自变量x为何值时，一次函数y＝ax＋b的值为0，只要求出方程ax＋b ＝0的解即可．由于任何一元一次不等式都可以转化为类似ax＋b＞0或ax＋b＜0的形式，所以解一元一次不等式可以看做：当一次函数y＝ax＋b的值大(小)于0时，求自变量相应的取值范围；反之，求一次函数y＝ax＋b的值何时大(小)于0时，只要求出不等式ax＋b ＞0或ax＋b＜0的解集即可．从一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的关系可以看出，三者最终能用函数观点统一起来，并且达到一种完美的结合，这种结合，又常常在一些考题中得以体现．【例6】已知一次函数y＝ax＋b(a，b是常数，且a≠0)．x与y的部分对应值如下表：那么方程ax＋b__________．解析：本题先以表格的形式向我们提供了一次函数y＝ax＋b的信息．按一般解法，我们完全可以利用这些对应值，通过待定系数法求出未知系数a和b，然后再去解方程或不等式，于是得解．果真那样去做的话，说明你没有真正领会到本题的用意．事实上，本题是想考查你对一元一次方程、一元一次不等式和一次函数之间关系的掌握情况．由三者之间的关系可知，求方程ax＋b＝0的解，实质上就是求一次函数y＝ax＋b的函数值为0时，对应的自变量x的取值，从表中可直接看出x＝1；同理，求不等式ax＋b＞0的解集，实质上就是求当一次函数y＝ax＋b的函数值大于0时，对应的自变量x的取值范围，这时也可以从表中直接看出为x＜1.答案：x＝1 x＜17．如何确定一次函数的表达式确定正比例函数和一次函数的解析式是一次函数这部分内容考查的一个重要知识点．那么应该怎样确定正比例函数和一次函数的解析式呢？因为正比例函数的解析式y＝kx中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了正比例函数的解析式．而一次函数的解析式y＝kx＋b中，有两个待定系数k和b，因此需要两个条件，此条件可以是直线上的两个点的坐标，也可以是两对变量与函数的对应值．但在实际求正比例函数和一次函数的解析式时，应该具体问题具体分析．(1)定义型若两个量y 与x 成正比例，可设为正比例函数形式：y ＝kx (其中k 是常数，k ≠0)，再用待定系数法求比例系数k .(2)两(或一)点型把点的坐标代入所设的关系式中，根据点的坐标求解．(3)图象型解决看图获取信息的问题，不仅要注意坐标轴所表示的量是什么，还要抓住图中一些关键的点(如：起点、终点、折线中的折点)所反映出的信息．通过观察图象，发掘图象经过坐标轴上的两点，根据两点的坐标构造待定系数的方程组，求出k ，b ；它体现了数与形的完美结合，是解题的重要思想方法之一．点在函数图象上，就是说点的坐标满足该图象的函数解析式．只需把点的坐标代入函数解析式，然后求方程(组)的解即可．(4)平移型平移不改变k 的大小，只改变b 的大小．(5)实际应用型解这类题的方法是对问题的审读和理解，掌握用一个变量的代数式表示另一个变量，建立两个变量间的等量关系，同时从题中确定自变量的取值范围．这是求实际应用型问题的函数关系式的至关重要的一点．【例7－1】 求一次函数y ＝(m －2)xm 2－3－m ＋3的关系式．解：由一次函数的定义，得 m 2－3＝1，且m －2≠0.解得m ＝－2.故所求关系式为y ＝－4x ＋5.【例7－2】 直线y ＝kx ＋b 经过点A (－3,0)和点B (0,2)，求这条直线的表达式． 分析：把点A 和点B 的横、纵坐标分别当做x ，y 的值代入y ＝kx ＋b 中，求出k ，b 即可．解：把点A 和点B 的横、纵坐标分别当做x ，y 的值代入y ＝kx ＋b 中，得0＝－3k ＋b,2＝b ，得出k ＝23，b ＝2，从而得出这条直线的表达式为y ＝23x ＋2. 【例7－3】 已知某个一次函数的图象如图所示，则该函数的解析式为__________．解析：设一次函数解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，∵由图可知一次函数y ＝kx ＋b 的图象过点(0,2)，(1,0)，∴2＝k ×0＋b,0＝k ×1＋b ，解得b ＝2，k ＝－2.∴一次函数的解析式为y＝－2x＋2.答案：y＝－2x＋2【例7－4】将直线y＝2x向上平移两个单位长度，所得的直线是( )．A．y＝2x＋2 B．y＝2x－2C．y＝2(x－2) D．y＝2(x＋2)解析：由于直线y＝kx＋b可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位长度而得到(当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移)，所以将直线y＝2x向上平移两个单位长度，所得的直线是y＝2x＋2.答案：A【例7－5】大拇指尽量伸开时，拇指与食指的距离称为指距，某研究表明，一般情况下，人的身高h是指距d的一次函数，下表是测得指距与身高的一组数据：(1)求出h与d(2)某人身高196 cm，一般情况下他的指距是多少？解：(1)设一次函数的解析式为h＝kd＋b(k，b为常数，且k≠0)．由题意，得160＝20k＋b①，169＝21k＋b②.②－①，得k＝9，代入①，得b＝－20.故一次函数的解析式为h＝9d－20.(2)当h＝196时，196＝9d－20，得d＝24.因此某人身高196 cm，一般情况下他的指距是24 cm.8.分段计费问题在自变量的不同取值范围内表示函数关系的解析式有不同的形式，这样的函数称为分段函数，有关运用分段函数的知识解决生活中的问题是近几年中考的热点之一，能考查学生分析问题、解决问题的能力，及培养学生思维的广阔性和深刻性．分段计费问题和实际生活联系密切，这类问题考查有效地应用数学知识解决实际问题的能力．常见的分段计费问题有：水费分段计费、电费分段计费、话费分段计费等．点评：解决问题的关键是根据已知条件构建函数在不同的条件下的解析式，再由条件选择对应的解析式求解．【例8】某市居民生活用电基本价格为每度0.4元，若每月用电超过a度，超过部分按基本电价的70%收费．(1)某户五月份用电84度，共缴电费30.72元，求a的值；(2)若该户六月份的电费平均为每度0.36元，求六月份共用电多少度？应缴电费多少元？分析：先判断是不是超过a度，再进行计算．解：设该户每月用电为x度，缴纳电费为y元，根据题意可分段构建函数关系式：当x≤a 时，y＝0.4a①；当x＞a时，y＝0.4a＋0.4×70%(x－a)②.(1)∵0.4×84＝33.6＞30.72，∴五月份的用电超过a度，应满足解析式②.∴30.72＝0.4a＋0.4×70%(84－a)，解得a＝60.(2)∵0.36＜0.4，∴六月份用电超过a度．∴0.36x＝0.4×60＋0.4×70%(x－60)，解得x＝90.∴六月份共用电90度，应缴电费0.36×90＝32.4元．。
北师大版八年级数学上册《43 一次函数的图像》课件
一次函数y=kx+b的图象是一条直线.它 的图象也称为直线y=kx+b.
提示:作一次函数的图象只要确定两点就可以了.
动手练一练
( 1 ) 作出一次函数 y 1 x 与 y3x9的图象.
3
例2：在同一坐标系作出下列函数的图象
(1)y = 2x+1 (2)y = -2x+1
y x2
概括
一次函数y＝kx＋b有下列性质：
（1） 当k＞0时，y随x的增大而_增__大__ ，这时 函数的图象从左到右_上__升__ ； （2） 当k＜0时，y随x的增大而_减__小__，这时 函数的图象从左到右下___降__．
(3)
结 论
通过作以上一次函数的图像我们发现y=kx+b 中，k,b的取值跟图像的关系如下：
３.函数图像的位置关系有几种？ ４.关于函数ｙ＝ｋx+b图像的大致 位置跟k,b的关系。组卷网
再见！
有古
一人
个云
在：
路“
上读
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”卷
从书
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学路
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You made my day!
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和
灵
魂
总
要
我们，还在路上……
北师大版数学教材八年级上册
一次函数的图象(一)
y 0x
y
x
0
y x
0
1．一次函数的定义
八年级数学上册 4.3 一次函数的图象 如何画一次函数的图象素材 (新版)北师大版
如何画一次函数的图象函数许多性质都是通过观察函数图象得出的，只有准确地画出函数图象，对函数图象的探索才有了立脚点．下面就如何画一次函数图象介绍两种方法，希望同学们喜欢．一、用描点法画在直角坐标系中画一次函数y=kx+b(k ≠0)的图象，一般要经历以下三个步骤：（1）列表：取自变量的一些值，计算出对应的函数值，然后用表格形式给出． 注意：应在自变量取值范围内取值，通常把自变量的值放在表格的第一行，对应的函数值放在第二行，自变量的值应从小到大依次排列．（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标系内描出相应的点．注意：描点时一般要把关键的点准确地描出，当然取的点越多，图象越精确，为了方便起见，常描七个点．（3）连线：把所描各点用平滑的曲线连接起来，即可得到所画的函数图象．注意：要按照自变量从小到大的顺序连线，用平滑的曲线连接，要体现出曲线向某个方向无限延伸的趋势．例1 画出函数y=x －1的图象．解析：（1）列表：（2）描点，如图1所示．（3）连线，如图1所示．二、用两点法画因为一次函数y=kx+b(k ≠0)的图象是一条直线，而两点确定一条直线，这样便可以用两点法来画一次函数的图象．一般来说，画正比例函数y=kx(k ≠0)的图象，只要选(0，0)和(1，k)两点即可；画一次函数y=kx+b(k ≠0)的图象，一般选(0，b)和(kb ，0)两点． 例2 在同一直角坐标系中画出函数y=x+2、y=x －2、y=－x 和y=－x+2的图象． 解析：把x=0代入y=x+2，得y=2，把y=0代入y=x+2，得x=－2．过两点(0，2)、(－2，0)画一条直线，这条直线就是函数y=x+2的图象．如图2所示．同样过两点(0，－2)、(2，0)画直线y=x－2；过两点(0，0)、(－1，1)画直线y=－x；过两点(0，2)、(2，0)画直线y=－x+2．如图2所示．感悟：通过观察图象发现，函数y=x+2和函数y=x－2的图象互相平行，函数y=－x和y=－x+2的图象互相平行，它们之间可以通过平移得到，因此，有时我们也可以通过平移法来画一次函数图象．2。
八年级数学上册 4.3 一次函数的图象课件(1)(新版)北师大版
1．把一个函数的自变量x与相对应的因变量y的值分别作为点的横坐 标和纵坐标，在直角坐标系中描出它的对应点，所有这些点组成的图 形，叫做该函数的_____图__象___． 2．画函数图象的一般步骤：____列__表__、____描__点__、_____连__线_． 3．正比例函数的图象是一条经过原点(0，0)的____直__线_，因此画正比 例函数图象时，只要确定_____一__个点，再过这点与原点作直线就可 以了． 4 ． 在 正 比 例 函 数 y ＝ kx 中 ， 当 k ＞ 0 时 ， y 的 值 随 着 x 值 的 增 大 而 ____增__大____；当k＜0时，y的值随着x值的增大而___减__小____．
A．a－1
B．1－a
C．(a－1)2
D．(1－a)2
14．已知正比例函数 y＝(m－1)x 的图象上两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
当 x1＜x2 时，有 y1＞y2，那么 m 的取值范围是( D )
A．m＜0
B．m＜－1
C．m＞1
D．m＜1
15．已知正比例函数 y＝(k－1)x 中，y 随 x 的增大而增大，则 k 的取
解：(1)y＝－23x
(2)∵△AOP 的 面 积 为 5 ， 点 A 的 坐 标 为 (3 ， － 2) ， ∴OP＝5，∴点P的坐标为(5，0)或(－5，0)
1．(3分)下列四个点，在正比例函数y＝－x的图象上的点是( D)
A．(2，5)
B．(5，2)
C．(2，－5)
D．(5，－2)
2．(3分)点A(1，m)在函数y＝2x的图象上，则点A关于x轴的对称点的
坐标是____(_1_，__－__2_)_．
3．(3分)(2014·铜仁)正比例函数y＝2x的大致图象是(
八年级数学上册 4.3 一次函数的图象《一次函数的图象与性质》拓展资源素材 (新版)北师大版
一次函数的图象与性质?【每周学习盘点】〔一〕一、理解一次函数的概念知识链接：函数y kx b =+(0k ≠，k ，b 是常数)叫一次函数.特别地当0b =时，y kx =(0k ≠)叫正比例函数.1、：28(3)1m y m x m -=-++是一次函数，求m 的值.【思维激活】y kx b =+是关于x 的一次函数的两个条件：自变量x 的最高次项的次数为1，且一次项系数k ≠0，解：由题意得：3m -≠0，且281m -=，29m =，3m =-或3m =〔舍去〕，因此，3m =-.二、一次函数的图象性质：知识链接：〔1〕特殊点：一次函数的图象是一条直线．．.一般画两点A 〔0,b 〕,B (,0)b k-，然后经过这两点作直线即可；〔2〕图像位置：直线y kx b =+，在直角坐标系中的位置由常数k 、b 的符号决定，当0,k >0b >时，经过一、二、三象限；当0,k >0b <时，经过一、三、四象限；当0,k <0b > 时，经过一、二、四象限；当0,k <0b <时，经过二、三、四象限.〔3〕增减性：当k>0时，y 随着x 的增大而增大；当k<0时，y 随着x 的增大而减小。
〔增减性与b 无关.这里k 的值可以决定直线倾斜的方向，b 的值可以决定直线与y 轴相交的交点的位置〕2、一次函数=(n-2)x+-n-3的图象与y 轴交点的纵坐标为-1，判断=(3-)是什么函数，写出两个函数的解析式，并指出两个函数在直角坐标系中的位置及增减性。
【思维激活】〔1〕一次函数y kx b =+(0k ≠)中，常数项b 就是与y 轴交点的纵坐标，也称作直线在y 轴上的截距。
〔2〕函数的增减性只与k 有关，与b 无关。
解：依题意，得 ，解得 n=-1，∴=-3x-1,=(3-)x,是正比例函数； =-3x-1的图象经过第二、三、四象限，随x 的增大而减小； =(3-)x 的图象经过第一、三象限，随x 的增大而增大。
八年级数学上册4.3《一次函数的图象》拓展素材北师大版(new)
《一次函数的图象》拓展1、作出函数y =34x －4的图象，并回答下面的问题： （1）求它的图象与x 轴、y 轴所围成图形的面积;(2)求原点到此图象的距离.答案：图略 （1)6 (2）512 2、已知一次函数y =－2x －2（1）画出函数的图象。
（2）求图象与x 轴、y 轴的交点A 、B 的坐标。
（3）求A 、B 两点间的距离.（4）求△AOB 的面积.(5）利用图象求当x 为何值时，y ≥0。
答案:（1）如右图(2）A (－1，0）B (0,－2)（3）|AB |=5（4）S △AOB =1（5)x ≤－13、图如图是某汽车行驶的路程S （km ）与时间t （min ）的函数关系图.观察图中所提供的信息，解答下列问题：（1）汽车在前9分钟内的平均速度是多少？（2分）（2)汽车在中途停了多长时间？（2分）（3）在16分钟之后速度是增加了还是减小了？答案：解：（1）依题得：12÷9＝4/3 (km/min)所以汽车在前9分钟内的平均速度是4/3 km/min.（2)16－9=7（min所以汽车在中途停了7min。
(3）增加4、一次函数y=（2a+4）x-（3—b），当a、b为何值时(1)y随x的增大而增大；(2)图象与y轴交在x轴上方；（3)图象过原点．答案：(1）a>-2,b为任意数(2)a≠—2且b〉3 (3)a≠—2且b=3尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。
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3 一次函数的图象1．函数的图象对于一个函数，我们把它的自变量x与对应的变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系中描出它的对应点，所有这些点组成的图形就叫做该函数的图象．谈重点函数图象与点的坐标的关系(1)函数图象上的任意点P(x，y)必满足该函数关系式．(2)满足函数关系式的任意一对x，y的值，所对应的点一定在该函数的图象上．(3)判定点P(x，y)是否在函数图象上的方法是：将点P(x，y)的坐标代入函数表达式，如果满足函数表达式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的表达式，这个点就不在函数的图象上．【例1】判断下列各点是否在函数y＝2x－1的图象上．A(2,3)，B(－2，－3)．分析：将x的值代入函数表达式，如果等于y的值，这个点就在函数的图象上；否则，这个点不在函数的图象上．解：∵当x＝2时，y＝2×2－1＝3，∴A(2,3)在函数y＝2x－1的图象上；∵当x＝－2时，y＝－2×2－1＝－5≠－3，∴B(－2，－3)不在函数y＝2x－1的图象上．2．函数图象的画法画函数图象的一般步骤：(1)列表：列表给出自变量与函数的一些对应值，通常把自变量x的值放在表的第一行，其对应函数值放在表的第二行，其中x的值从小到大．(2)描点：以表中每对对应值为坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点．描点时一般把关键的点准确地描出，点取得越多，图象越准确．(3)连线：按照自变量从小到大的顺序，把所描的点用平滑的曲线连接起来．释疑点平滑曲线的特点所谓的“平滑曲线”，现阶段可理解为符合图象的发展趋势、让人感觉过渡自然、比较“平”“滑”的线，实际上有时是直线．【例2】作出一次函数y＝－2x－1的图象．分析：取几组对应值，列表，描点，连线即可．解：列表：连线：把这些点连起来．注：一次函数y ＝－2x －1的图象是直线，连线时，两端要露头．3.一次函数的图象和性质(1)一次函数的图象和性质①一次函数的图象：一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象是一条直线．由于两点确定一条直线，因此画一次函数的图象，只要描出图象上的两个点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫通常求出与x 轴的交点⎝ ⎛⎭⎪⎫－b k ，0和与y 轴的交点(0，b )，过这两点作一条直线就行了．我们常常把这条直线叫做“直线y ＝kx ＋b ”．②一次函数中常量k ，b (k ≠0)：直线y ＝kx ＋b (k ≠0)与y 轴的交点是(0，b )，当b ＞0时，直线与y 轴的正半轴相交；当b ＜0时，直线与y 轴的负半轴相交；当b ＝0时，直线经过原点，此时一次函数即为正比例函数．一次函数y ＝kx ＋b 中的k ，决定了直线的倾斜程度，k 的绝对值越大，则直线越接近y 轴，反之，越靠近x 轴．③一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的性质：当k ＞0时，直线y ＝kx ＋b 从左向右上升，函数y 的值随自变量x 的增大而增大；当k ＜0时，直线y ＝kx ＋b 从左向右下降，函数y 的值随自变量x 的增大而减小．(2)正比例函数的图象和性质①正比例函数的图象：一般地，正比例函数y ＝kx (k 是常数，k ≠0)的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y ＝kx .在画正比例函数y ＝kx 的图象时，一般是经过点(0,0)和(1，k )作一条直线．②正比例函数y ＝kx 的性质：当k ＞0时，直线y ＝kx 经过第一、三象限，从左往右上升，即y 随x 的增大而增大；当k ＜0时，直线y ＝kx 经过第二、四象限，从左往右下降，即y 随x 的增大而减小．【例3－1】 作出一次函数y ＝－3x ＋3的图象．分析：由于一次函数的图象是一条直线，因此只要过其图象的两点画出一条直线即可．解：列表：描点，连线．【例3－2】若一次函数y＝(2m－6)x＋5中，y随x增大而减小，则m的取值范围是________．解析：当我们知道函数的增减性后，就知道了k的取值范围，因为y随x增大而减小，所以k就小于0，即2m－6＜0，m＜3.所以m的取值范围是m＜3.答案：m＜3析规律 k与b的作用在一次函数解析式中，k确定函数的增减性，b确定函数图象与y轴的交点．【例3－3】下图表示一次函数y＝kx＋b与正比例函数y＝kx(k，b是常数，且k≠0)图象的是( )．解析：对于两个不同的函数图象共存于同一坐标系的问题，常假设某一图象正确，确定k，b的符号，然后再根据k或b的符号判断另一函数图象是否与k，b的符号相符合．观察A中一次函数图象可知k＞0，b＜0，而正比例函数的图象经过第二、四象限，此时k＜0，所以A不正确，用同样的方法可确定B，C不正确．故选D.答案：D点技巧同一坐标系中多函数图象问题解答这类问题一般首先根据正比例函数和一次函数的图象分别先确定k的符号，对比k的符号，若k 符号一致，才说明可能正确，再结合题中的其他条件确定最终正确答案．4．k ，b 的符号与直线所过象限的关系学习了一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)，我们知道一次函数图象经过哪些象限是由k ，b 的符号决定的．一般分为四种情况：(1)k ＞0，b ＞0时，图象过第一、二、三象限；(2)k ＞0，b ＜0时，图象过第一、三、四象限；(3)k ＜0，b ＞0时，图象过第一、二、四象限；(4)k ＜0，b ＜0时，图象过第二、三、四象限．析规律 k ，b 的符号与直线的关系根据一次函数y ＝kx ＋b 中k ，b 的符号可以确定图象所经过的象限；根据函数图象所经过的象限，可以确定k ，b 的符号．解决有关问题，应熟练把握k ，b 的符号与函数图象所经过象限的几个类型，并能灵活应用．【例4－1】 一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过第二、三、四象限，则正比例函数y ＝kbx 的图象经过哪个象限？分析：要确定函数y ＝kbx 的图象经过哪些象限，则需要确定kb 的符号，而kb 的符号由k 的符号和b 的符号决定，所以只要根据已知条件确定k ，b 的符号即可解决问题．解：因为y ＝kx ＋b 的图象经过第二、三、四象限，所以k ＜0，b ＜0，所以kb ＞0.所以函数y ＝kbx 的图象经过第一、三象限．【例4－2】 如图是一次函数y ＝kx ＋b 的图象的大致位置，试分别确定k ，b 的正负号，并判断一次函数y ＝(－k －1)x －b 的图象所经过的象限．分析：由函数y ＝kx ＋b 的图象可知，函数的图象经过第一、三、四象限，所以k ＞0，b ＜0，由此可得－k －1＜0，－b ＞0，从而确定一次函数y ＝(－k －1)x －b 的图象经过第一、二、四象限．解：观察图象可得k ＞0，b ＜0，所以－k －1＜0，－b ＞0，所以一次函数y ＝(－k －1)x －b 的图象经过第一、二、四象限．5.一次函数图象与坐标轴的交点一次函数的图象是直线，这条直线与x 轴交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－b k ，0，与y 轴交于点(0，b )．考查直线与两坐标轴的交点的问题常见的有三类：(1)判定直线所过的象限，一般给出函数关系式，判定直线经过哪几个象限或确定不经过哪个象限．(2)求直线的解析式，一般先设出函数关系式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，把已知的两点的坐标分别代入，求出k ，b 的值即可．(3)求两交点与坐标轴围成的三角形的面积，由于这个三角形是直角三角形，利用面积公式即可．【例5】 如图，已知直线y ＝kx －3经过点M (－2,1)，求此直线与x 轴，y 轴的交点坐标，并求出与坐标轴所围的三角形的面积．分析：先将点M (－2,1)代入y ＝kx －3，确定一次函数解析式，再分别令x ＝0和y ＝0，即可求出此直线与x 轴，y 轴的交点坐标．解：将点M (－2,1)代入y ＝kx －3，得1＝－2k －3，解得k ＝－2，所以y ＝－2x －3.又当x ＝0时，y ＝－3，当y ＝0时，x ＝－32，所以此直线与x 轴，y 轴的交点坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，(0，－3)．所以所围三角形的面积为12×32×3＝94. 点评：在平面直角坐标系中求图形的面积时，通常把轴上的边作为底，再利用点的坐标求得底上的高，然后利用面积公式求解．6．关于一次函数的最值问题对于一般的一次函数，由于自变量的取值范围可以是全体实数，因此不存在最大、最小值(简称“最值”)，但在实际问题中，因题目中的自变量受到实际问题的限制，所以就有可能出现最大值或最小值．求解这类问题，先分析问题中两个变量之间的关系是否适合一次函数模型，再在自变量允许的取值范围内建立一次函数模型．运用一次函数解决实际问题的关键是根据一次函数的性质来解答．除正确确定函数表达式外，利用自变量取值范围去分析最值是解题的关键．“在生活中学数学，到生活中用数学”，是新课标所倡导的一个主旨之一，在考题中，有许多利用数学知识求解生活中的实际问题的试题，考查同学们利用所学知识求解实际问题的能力．【例6】某报刊销售亭从报社订购晚报的价格是0.7元，销售价是每份1元，卖不掉的报纸可以以每份0.2元的价格退回报社，若每月按30天计算，有20天每天可卖出100份报纸，其余10天每天只能卖出60份，但每天报亭从报社订购的份数必须相同，报亭每天从报社订购多少份报纸，才能使每月所获得的利润最大？分析：若报亭每天从报社订购x份报纸，每月获得的利润为y，那么y是x的一次函数，且自变量的取值范围是60≤x≤100，并根据函数的性质来确定订多少份报纸．解：根据题意，得y＝(1－0.7)×(20x＋10×60)－(0.7－0.2)(x－60)×10，即y＝x＋480(60≤x≤100)．∵此函数是一次函数，且一次项的系数大于0，函数y随x的增大而增大，∴当x＝100时，y有最大值，其最大值为100＋480＝580(元)．订购方案：每天从报社订100份报纸，这样获得利润最大，最大利润为580元．。