流体第3章

流体质点的运动轨迹称为迹线。
流线：在某一瞬时，此曲线上的每一点的速 度矢量总是在该点与此曲线相切。
流线的数学表达式可推导如下：设流线上 某点M（x，y，z）处的速度为 v，它在坐标轴 上的投影为vx，vy，vz，于是，速度与坐标轴夹 角的方向余弦为
vy vx vz cos(v , z ) cos(v , x) cos(v , y ) v v v
第六节 连续方程
用流体系统总质量的随体导数可表示为
dV vn dA 0 t CV CS
定常流动的连续方程为
（3-19）
vn dA 0
CS
（3-20）
它表明，在定常流动条件下，通过控制面 的流体质量通量等于零。
vn1dA vn 2 dA
流体质点的运动方程
（3-7）
流体质点的速度
dx x ( a, b, c, t ) dt t dy y ( a, b, c, t ) vy dt t dz z ( a, b, c, t ) vz dt t vx
（3-8）
流体质点加速度
截面为无限小的流管称为微元流管。
处处与流线相垂直的流束的截面称为该流束 的有效截面。
流束内流线间的夹角很小，流线曲率半径很 大的近乎平行直线的流动称为缓变流，不符合上 述条件的流动称为急变流。
单位时间内流经某一规定表面的流体量称为 经过该表面的流量。
qv vdA
A
（3-12）
qv v cos( v , n )dA
( )与坐标轴夹角的 该点流线微元ds的切线
ˆ
ˆ
ˆ
方线余弦为 dx dy dz cos( , x) cos( , y ) cos( , z ) ds ds ds
ˆ
ˆ
ˆ
由于流线上M点的切线和M点的速度矢量相重 合，对应的方向余弦应该相等，所以
vx dx v va A
（3-14）
在总流的有效截面上，流体同固体边界接触 部分的周长称为湿周。用χ表示。
图3-9 湿周
总流的有效截面积与湿周之比称为水力半径， 以Rh表示：
Rh
A

2
（3-15）
半径为 r 的圆管内充满流体，其水力半径为
r r Rh 2r 2
（3-16）
一、惯性坐标系中的动量方程与动量矩方程
流体系统动量的随体导数可表示为
d vdV t v dV vnv dA dt V CV CS
流体系统动量的时间变化率等于作用在 系统上的外力的矢量和，即
d vdV fdV pn dA dt V V A
（3-17）
（3-17a）
式（3-17）就是流体系统内物理量对时间 的随体导数公式，或称输运公式。
在定常流动的条件下， t
dV 0，则有
CV
dN vn dA dt CS
（3-18）
结论：在定常流动条件下，整个系统内部的 流体所具有的某种物理量的变化率只与通过控制 面的流动有关，而不必知道系统内部流动的详细 情况。
t
lim
( dV )t t ( dV )t

t 0
t

t 时刻单位时间内流出控制体的流体所具有 的物理量为
( dV ) t t
t 0
lim

t

v cos dA v dA
n CS 2 CS 2
式中CS2表示控制面中流出部分的面积
二维流动问题
v x f (r , x)
一维流动问题
vx f (x)
机翼绕流问题
二维
三维
v f ( x, y, z )i g ( x, y, z ) j h( x, y, z )k
v f ( x, y)i g ( x, y) j
第三节 迹线与流线
（3-1）
( x, y , z , t )
（3-2）
（3-3）
运动质点的坐标对时间的导数等于该质点的速度分量， 故
vx vx v x vx x vx vy vz t x y z v y v y v y v y y vx vy vz t x y z vz vz vz v z z vx vy vz t x y z
CV CS
（3-28）
三、定常管流的动量方程
管流的动量方程
v2 v2 dA v1v1dA Ff Fpn
A2 A1
（3-29）
v
A
2
dA v A
2 a 2
（3-30）
其中
1 v ( ) dA A A va
（3-30a）
（3-9）
第二节 流动的分类
1）按照流体性质分为理想流体的流动和粘 性流体的流动，不可压缩流体的流动和可压缩流 体的流动等；
2）按照运动状态分为定常流动和非定常流 动，有旋流动和无旋流动，层流流动和紊流流动， 亚声速流动和超声速流动等； 3）按照流动空间的坐标变量数目分为一维
流动、二维流动和三维流动。
d 2 x 2 x( a, b, c, t ) ax 2 dt t 2 d 2 y 2 y ( a , b, c , t ) ay 2 2 dt t d 2 z 2 z ( a , b, c , t ) az 2 dt t 2
CV CS
（3-26）
二、旋转坐标系中的动量方程与动量矩方程
在惯性坐标系中，系统动量的时间变化率为
这是因为
d dv v dV dt dV dt V V
d dv d v dV dt dV v dt ( dV ) dt V V V
第五节 系统与控制体
系统是一团流体质点的集合。
推导流体系统所具有的物理量对时间的随体导数 设N表示在t 时刻该系统内流体所具有的某 种物理量（如质量、动量等）的总量，η表示单 位质量流体所具有的这种物理量， dV 。 N
V
在t 时刻，系统内的流体所具有的某种物理 量对时间的导数为
dN d dt dt
A1 A2
（3-21）
或
1v1a A1 2 v2 a A2 va A 常数
（3-22）
（3-22a）
如果流体的密度是常数，即流体是不可 压缩的，得到
va A 常数
（3-23）
说明：对于同一根管子， 管径粗的，截面上的平均流 速小；管径细的，截面上的 平均流速大。
第七节 动量方程与动量矩方程
同理，t 时刻单位时间内流入控制体的流体所 具有的物理量为
( dV )t
t 0
lim

t
v cos dA vn dA
CS1 CS1
式中CS1表示控制面中流入部分的面积
或
dN dV vn dA dt t CV CS dN dV v dA dt t CV CS
vy
dy v ds
vz dz v ds
由此得到流线的微分方程为
dx dy dz vx ( x, y, z, t ) v y ( x, y, z, t ) vz ( x, y, z, t )
第四节 流管 流束 流量
在流场内作一本身不是流线又不相交的封闭 曲线，通过这样的封闭曲线上各点的流线所构成 的管状表面称为流管。流管内部流体称为流束。
dV lim
v
( dV ) t t ( dV ) t
v
t 0
t
v
V′为t+δt 时刻系统的体积，V为 t 时刻系统的体积。
上式可写成
dN lim dt t 0 ( dV )t t ( dV )t

积分形式的动量方程
vdV vnvdA fdV pn dA t CV （3-24） CS CV CS
对于定常流动，控制体内流体的动量 不随时间变化，于是有
vn v dA fdV pn dA
CV CS
（3-27）
（3-27a）
运动坐标系中的动量矩方程
r vr dV r vr vrn dA t CV CS 2 r ( f r 2 vr ) dV r pn dA
（3-6）
（3-6a）
二、拉格朗日方法
拉格朗日方法着眼于每个个别流体质点运动 的研究，综合所有流体质点的运动后便可得到整 个流体的运动规律。
t0 时刻某点(a,b,c)，t 时刻坐标
x x(a, b, c, t ) y y (a, b, c, t ) z z (a, b, c, t )
根据质量守恒定律
d d ( dV ) (dm) 0 dt dt
绕垂直轴作等角速度旋转的运动坐标系中的 动量方程
dvr 2 dt dV ( f r 2 vr )dV pn dA CV CV CS
或
vr dV vrnvr dA t CV CS 2 ( f r 2 vr )dV pn dA
（3-4）
矢量式
v a (v )v t
当地加速度 迁移加速度
物理量 时间变 化率 全导数
d v dt t
当地导数 迁移导数




第一节 研究流体流动的方法 第二节 流动的分类 第三节 迹线与流线 第四节 流管 流束 流量 第五节 系统与控制体 第六节 连续方程 第七节 动量方程与动量矩方程 第八节 能量方程 第九节 伯努利方程及其应用 第十节 沿流线主法线方向压强和速度的变化 第十一节 粘性流体总流的伯努利方程 作业和思考题