微课

微课：配方法在初中数学中的应用
教学设计
教学背景：
配方法是初中数学一种很重要的思想方法，具有举足轻重的作用和地位，在中考中频频出现，是初中生必备的一种数学能力。

在解一元二次方程，二次函数，因式分解,解特殊方程，有关最大或最小值题目，代数式求值中有广泛应用。

教学目标：
1、了解配方法的定义；
2、理解并掌握配方法的应用；
教学方法：
视频教学、例题讲解
教学过程：
一、温故知新
什么是配方法？
配方法是指通过配、凑等手段得到完全平方形式，再利用完全平方项是非负数等性质，达到增加题目的条件等目的。

二、学习新知
展示配方法的四个方面应用：
（一）、配方法解一元二次方程
例1：用配方法解方程3x2+8x-3=0.
步骤：
1.化1:把二次项系数化为1;
2.移项:把常数项移到方程的右边;
3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方;
4.变形:方程左边分解因式,右边合并同类;
5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方;
6.求解:解一元一次方程;
7.定解:写出原方程的解.
重点讲解第一和第三步骤
（二）、配方法求二次函数的最值
例2：已知x是实数，求y＝x2-6x+10的最值.
分析：配方成顶点式即可求出函数最值.
（三）、配方法求代数式的最值
例3:证明无论x为何实数，代数式2x2-３x+10的值恒大于零.
分析：将这个二次三项式配方，就可判断其最值是什么.
接着提问：你能求出此代数式的最值吗？
（四）、配方法解特殊方程
例4：已知方程x2 -10x +y2-8y＋41=0．求x+y值.
分析：先解方程求出x和y值，将41拆成25+16,等式左边配方凑成两完全平方式，于是可化为两数平方和为0的式子，从而分别求出x、y的值.
三、回味无穷
1、配方法的应用
一、配方法解一元二次方程
二、配方法求二次函数的最值
三、配方法求代数式的最值
四、配方法解特殊方程
2、思考：上面配方法的四个应用中，哪些是“配”，哪些是“凑”呢？
第一、二、三方面关键在“配”，第四方面关键在“凑”.
四、作业设计：见进阶练习
五、教学总结：
配方法在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好。

一元一次方程的应用
科目数学年级七年级课题一元一次方程的应用
教学目标借助“线段图”分析行程问题中的数量关系，继续利用路程时间速度三个量之间的关系，列方程解应用题。

通过观察、类比进一步培养学生的数学创新能力，培养学生与人合作的能力，培养学生学习数学的热情。

学情简析通过新课的学习，学生已经掌握一元一次方程应用基本的解题思路、方法，会分析解决简单的实际问题，但整个知识掌握不系统、不全面，解题正确率不高。

教法发现法、练习法、讨论法教具多媒体课件、彩色粉笔、小黑板等
教学过程
教学环节教学内容教师活动学生活动
创设问题情境回顾旧知
例题赏析趣味数学：
小明和小刚从相距6千米的两地同时出发同向而行，小明每
小时走7千米，小刚每小时走5千米，小明带了一只小狗，小
狗每小时跑10千米，小狗随小明同时出发，向小刚跑去，碰
到小刚后就立即回头向小明跑去，碰到小明后再回头跑向小
刚……,直到小明追上小刚时才停住，求这条小狗一共跑了多
少路？
温故知新
1.路程问题中路程速度时间三者的关系：
2.列方程解应用题的一般步骤：
3.路程问题中的两种基本题型：
例1：一列慢车从某站开出，每小时行驶48千米，45分钟后，
一列快车也从该站出发，与慢车同向而行，如要1.5小时追上
慢车，快车每小时需行多少千米？
过程展示：
相等关系：
快车路程=
慢车先行路
程+慢车后
行路程
引导观察
提问
提出问题
讲解分析
思考回答
思考回答
计算
巩固练习
走进生活
巩固练习
导入题目求解开拓发展解：设快车每小时行x千米，由题意得
1.5x=48×3/4 +48×1.5
解得：x=72
答：快车每小时需行72千米
练习1：小红和小明家距离300米，两人沿同一条路线出发去
某地，小明每秒跑4米，小红骑自行车每秒行10米，若小明
在小红的前面,则小红多长时间可追上小明？
练习2：一队学生去校外进行军事野营训练，以5千米/时的速
度行进，走了12分钟的时候，学校要将一个紧急通知传给队
长，通讯员从学校出发骑自行车以14千米/时的速度，按原路
追上去，通讯员用多少时间可以追上学生队伍？
在一次环城自行车比赛中，已知最快的运动员每小时行30千
米，最慢运动员每小时行10千米，环城一周为60千米，则速
度最快的运动员第一次遇到速度最慢的运动员需用多少小
时？
1、和小明每天绕1个长为400米的环形跑道练习跑步，小彬
每秒跑6米，小明每秒跑4米，若二人同时同地同向跑步，经
几秒后首次相遇?
若二人同时同地反向跑步，经几秒后首次相遇？
2、两站间路程384千米，一列慢车从甲站开出，速度为48千
米/时，慢车开出30分钟后，一列快车从乙站开出，速度为72
千米/时，两车相遇需多长时间？
小明和小刚从相距6千米的两地同时出发同向而行，小明每
小时走7千米，小刚每小时走5千米，小明带了一只小狗，小
狗每小时跑10千米，小狗随小明同时出发，向小刚跑去，碰
到小刚后就立即回头向小明跑去，碰到小明后再回头跑向小
刚……,直到小明追上小刚时才停住，求这条小狗一共跑了多
少路？
1、火车用26秒的时间，通过一座长为256米的隧道（即从车
头进入入口到列车车尾离开出口），这列火车又用16秒的时
间通过了一座长96米的桥，求火车的车长？
2、某初一学生在做作业时，不慎将墨水瓶打翻，使一道作业
题只看到如下字样：“甲乙两地相距40千米，摩托车从甲地出
发，每小时行45千米，运货车从乙站出发，每小时行35千米，
————？（横线部分表示被墨水覆盖的若干文字）”请将这
道作业题补充完整，并列出方程。

个别指导
反馈纠正
引导分析
启发提问
引导分析
启发引导
计算
观察思考
计算
合作交流
思考讨论解
答
小结作业通过本节课的学习：
1.你有哪些收获？
2.你还有什么困惑？
完成学案中其它练习。

拓展提问思考解答
思考总结
教后记
本节复习一元一次方程的应用，由于复习课重视的是知识的系统和提高，练习密度大，学生往往感到单调，所以本节课我通过一道趣味数学题来创设情境，引起学生兴趣。

放在最后求解达到首尾呼应效果，借此题还复习了间接设法，一题多用。

在知识的复习上围绕两种基本题型展开，着重分析等量关系，在讲解追及问题的特例---环城自行车比赛问题时，我设计了动画演示使学生轻松得到了相等关系。

在教学中适当运用讨论法，将一些较难问题如求火车长放手给学生，通过小组合作交流将问题轻松愉快地解决，学生的积极性也被充分调动起来，营造了良好的课堂氛围，还培养了学生的协作能力。

但在一些个别问题的处理上，我有些急于功成，不能大胆的放手给学生；题目形式的设计过于单一，各环节的衔接不够紧凑，今后教学中我会注意这些问题并及时改进。

初中数学教学案例与设计
（一）学习任务分析
“同底数幂的乘法”法则的教学目的应是“熟练掌握”。

为了使“熟练掌握”，一方面要正确理解法则。

让学生自己得出法则，是正确理解法则的措施之一；同时还要扫除正确理解的障碍，即消除一些容易混淆之处。

另一方面，通过把法则运用到各种情况中去来达到熟练运用。

对于易混淆之处，应提高新旧知识的可分辨性。

通过变式对一些以前学过的，对现在法则容易产生混淆的内容（如合并同类项）；以及以前容易发生错误的概念（如
指数1认为没有指数）进行分辨，比较中加深对正面法则的理解。

（二）学习方法分析
同底数幂的乘法是在学习了有理数的乘方和整式的加减之后，为了学习整式的乘法而学习的关于幂的一个基本性质（法则），又是幂的三个性质中最基本的一个性质，学好了同底数幂的乘法，其他两个性质和整式乘法的学习便容易了。

因此，同底数幂的乘法法则既是有理数幂的乘法的推广又是整式乘法的重要基础，在本章的学习中具有举足轻重的地位和作用。

在教学方式上采用教师的讲授与学生的尝试相结合；在学生学习的方式上采用接受式学习与活动式学习相结合。

对于法则的推导过程，我以问题的形式，引导学生先独立地进行思考、探索，再通过交流、讨论，发现法则，使学生的学习过程成为再发现、再创造的过程，使学生在学习的过程中掌握学习与研究的方法，养成良好的学习习惯，从而学会学习，学会思考，学会合作，学会创新；而对于推导出的法则及其语言叙述，我则以一种较轻松而又富有挑战性的方式指导他们接受式记忆。

在整个教学中，分层次地渗透了归纳和演绎的数学方法，以培养学生养成良好的思维习惯。

（三）学习起点与能力分析
从学生的知识情况来看，一是指数概念早已学过，但由于时间和自身的原因，对指数概念中所含名称：底数、指数、幂的含义并不十分明确；二是再加上以前学过的系数的概念，增加了正确理解法则的困难；三是同底数幂的乘法法则容易与合并同类项混淆，这更给熟练掌握增添了障碍。

系数底数指数
合并同类项相加不变不变
同底数幂的乘法相乘不变相加
从学生的能力和情感来看，通过一学期的培养，已由原来的被动式接受学习向主动探究式学习转变，但由于时间和经验的限制，还不够成熟，方
法欠灵活。

（四）教学目标
1、识记目标：①熟记同底数幂乘法的法则；②能正确地运用同底数幂乘法的运算性质，并能应用它解决一些实际问题。

（三）应用练习促进深化
（四）提炼小结完善结构
（五）布置作业延伸学习
正确性吗？
5、比一比，赛一赛
识记公式
6、反思。

“除了记得准、记得快之
外，衡量记忆力好坏还有两个很重
要的标准：持久性和准备性。

回想
一下你是用什么办法记住的？用
这个办法能持久吗？针对此问题，
你能否提出一个更有建设性的改
进措施？”借此激发学生的主观能
动性，使他们自发地产生对公式特
点的探求的一种自身需要，并积极
思索和回顾公式的得来过程。

（法
则的剖析：条件是①乘法②同底数
幂；结果是①底数不变②指数相
加）
7、再识记。

“在理解的基础上，结
合公式的特点和语言叙述，有提取
的记忆一遍。

”
8、“你认为这个公式的应用，应特
别注意什么？”给点时间思考（目
的是让学生记住这个问题），却不
必急于回答，只要带着这个问题进
行练习就行了，之后再作回答。

1、理论之于实践
展示课本P13 例1，可由学生自行
讲练，教师辅助。

2、放手让学生自己独立完成课本
P14 随堂练习1，借以检验所学。

3、闯关练习：①x³+x³;②x²·x³;③
x³·x³;④x³·y³;⑤x²·y³。

帮助学生克
服思维定势，引导学生从条件和结
论两方面来辨析公式特点。

4、又一轮更大的挑战，真实的测
出对公式的理解程度及熟练程度，
培养举一反三，逆向思维的数学品
质。

教育学生学习要多思多想，力
求学深学透。

①am·an·ap等于什么？鼓励学生
自主探究，提倡算法的多样性，同
时要求学生说明每一步计算的理
由。

交流比赛
6、学会反思，学会学习。

进一步
体会到合作交流的必要性与集体
智慧的无穷，增强合作意识，培养
开放的学术性格。

在活动中巩固了
所学知识，达成了识记目标。

①仔
细观察公式特点（二要素、对比、
变化、左边和右边、整体和局部）；
②尝试用自己的语言进行描述、交
流；③回顾性质的得来过程，进一
步体会幂的意义。

7、按要求，用新方法二次识记，
同时体会到“磨刀不误砍柴工”的
道理，增强动脑的自觉性。

8、“一个奇怪的问题，不就是要注
意符合公式的特点吗？刚刚已经
说过了。

难道还有其它的？”
1、战前演习。

具体体会公式在解
题中的应用，熟悉了公式。

2、自我检验，巩固反馈。

考察个
人的实际运用能力，并及时查漏补
缺。

3、对比练习。

通过观察、对比，
找出它们的异同，提高警觉性，增
强对公式特点的灵敏性。

从根本上
消除了知识的负迁移，澄清了概
念，杜绝了错误的发生。

4、随着探讨的步步深入，对公式
的理解不断加深。

充分发挥自身的
主观能动性，思维变得流畅、变通，
更富有创造性。

①先大胆猜测，类比联想，再利用
符号间的运算加以验证。

通过思
考、探究、交流等个体活动，进一
步熟悉了同底数幂的乘法性质、幂
的意义和乘法运算律，同时注意一
同伴交流
个别学习
个别学习与同伴交流
相结合。