控制工程3系统数学模型
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控制工程基础第一章控制系统的数学模型
(t)
m dt
m
1a
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
c
式中，
Tm
Ra
Ra J m f m CmCe
为电动机机电时间常数,s；
K1
Ra
f
Cm
C C
m
me
K2
Ra
f
Ra
C C
m
me
为电动机传递系数。
如果电枢电阻Ra和电动机的转动惯量Jm都很小而忽略不计，式（1-9）
还可进一步简化为
C u (t) (t)
em
a
这时，电动机的转速ωm(t)与电枢电压ua(t)成正比，于是电动机可作为
（1）运算放大器Ⅰ。输入量（即给定电压）ug与速度反馈电压uf在此 合成产生偏差电压并经放大，即
u1 K1(ug u f )
式中，
K1
R2 R3
为运算放大器Ⅰ的比例系数。
（2）运算放大器Ⅱ。考虑RC校正网络，u2与u1之间的微分方程为
u2
K（2
d u1
dt
u1）
式中，K 2
R5 R4
为运算放大器Ⅱ的比例系数；τ=R4C为微分时间常数。
m
(t) (t) (t)
m dt
mm
m
c
式中，fm为电动机和负载折合到电动机轴上的黏性摩擦系数；Jm为电
动机和负载折合到电动机轴上的转动惯量。
由式（1-5）、式（1-6）和式（1-7）中消去中间变量ia(t)、Ea及
Mm(t)，便可得到以ωm(t)为输出量，以ua(t)为输入量的直流电动机微
分方程，即
按照其建立的条件，数学模型可分为两种。一是静态数学模型： 静态条件（变量各阶导数为零）下描述变量之间关系的代数方程。 它反映了系统处于稳态时，系统状态有关属性变量之间的关系。二 是动态数学模型：动态条件（变量各阶导数不为零）下描述变量各 阶导数之间关系的微分方程；也可定义为描述实际系统各物理量随 时间演化的数学表达式。它反映了动态系统瞬态与过渡态的特性。 本章以动态数学模型的研究为主。
控制工程数学模型
控制⼯程数学模型1 控制系统的数学模型数学模型是描述系统输⼊量、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，揭⽰了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。
静态数学模型：静态条件（变量各阶导数为零）下描述变量之间关系的代数⽅程。
反映系统处于稳态时，系统状态有关属性变量之间关系的数学模型。
动态数学模型：描述变量各阶导数之间关系的微分⽅程，描述动态系统瞬态与过渡态特性的模型。
也可定义为描述实际系统各物理量随时间演化的数学表达式。
微分⽅程或差分⽅程常⽤作动态数学模型。
对于给定动态系统，数学模型表达不唯⼀。
⼯程上常⽤的有：微分⽅程，传递函数和状态⽅程。
不过对于线性系统，它们之间是等价的。
2 建⽴数学模型的⽅法1. 解析法依据系统及元件各变量之间所遵循的物理规律写出相应的数学关系式，建⽴模型。
2. 实验法⼈为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并⽤适当的数学模型进⾏逼近，这种⽅法也称为系统辨识。
3 数学模型的形式1. 时间域微分⽅程差分⽅程状态⽅程（⼀阶微分⽅程组）2. 复数域传递函数结构图3. 频率域频率域4 建⽴数学模型的⼀般步骤⽤解析法列写系统或元件微分⽅程的⼀般步骤是：1. 分析系统⼯作原理和信号传递变换过程，确定系统和各元件的输⼊、输出量。
2. 从系统输⼊端开始，按照信号传递变换过程，依据各变量所遵循的物理学定律，依次列写各元件、部件的动态微分⽅程。
3. 消去中间变量，得到⼀个描述元件或系统输⼊、输出变量之间关系的微分⽅程。
4. 写成标准化形式。
与输⼊有关项放在等式右侧，与输出有关项放在等式左侧，且各阶导数项按降幂排列。
5 控制系统微分⽅程的列写5.1 机械系统在机械系统中，有些构件惯性和刚度较⼤，有些构件惯性较⼩、柔度较⼤。
我们将前者的弹性忽略视其为质量块，将后者的惯性忽略视其为⽆质量弹簧。
这样，机械系统便可以抽象为质量-弹簧-阻尼系统。
1. 质量2. 弹簧3. 阻尼5.1.1 机械平移系统列出各元件的动态微分⽅程：消去中间变量并写成标准形式：式中，m、D、k通常均为常数，故机械平移系统可以由⼆阶常系数微分⽅程描述。
控制工程基础——数学模型
c
d dt
xo (t)
?
kxo
(t )
?
fi (t)
此式为二阶常系 数线性微分方程。
系统的数学模型可用方块图表示：
方块图描述了系统 中信号转换、传递的 过程，给出了系统的 工作原理。
☆ 举例2：电网络系统
设输入端电压u i(t)为系统输入量。电容器 c两端电压uo(t)为系统输
出量。现研究输入电压 ui(t)和输出电压 uo(t)之间的关系。电路中的
电流i(t)为中间变量。
根据电压方程，可写出
Ri(t) ?
L
d dt
i (t )
?
ui (t)
?
uo (t)
1
? uo (t) ? C i(t)dt
消去中间变量i(t)，稍加整理，即得
LC
d2 dt 2
uo
(t )
?
RC
d dt
uo
(t )
?
uo (t)
?
ui (t)
上式为二阶常系数线性微分方程。该系统也可用方块图表示。
⑵ 同一数学模型可以描述物理性质完全不同的系统。 因此，从控制理论来说，可抛开系统的物理属性，用同 一方法进行普遍意义的分析研究，这就是 信息方法 ，从 信息在系统中传递、转换的方面来研究系统的功能。
☆ 小结：⑶⑷
⑶ 在通常情况下，元件或系统的微分方程的 阶次，等于元件或系统中所包含的独立储能元的 个数。惯性质量、弹性要素、电感和电容都是储 能元件。每当系统中增加一个储能元时，其内部 就增多一层能量交换，即增多一层信息的交换， 描述系统的微分方程将增高一阶。
☆ 举例1：机械平移动力学系统
三 举例
弹簧和质量在静止平衡
控制基本模型-概述说明以及解释
控制基本模型-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述在控制理论和应用中，控制基本模型是指用于描述和分析控制系统的数学模型。
控制基本模型是控制工程师和研究人员研究和设计控制系统时的基础，它提供了系统动力学行为的描述以及控制方法的分析和设计。
控制基本模型可以采用多种形式，包括传递函数模型、状态空间模型和输入-输出模型等。
这些模型通常基于系统动力学方程和输出-输入关系来建立。
通过对模型进行数学分析和仿真实验，我们可以深入了解和预测控制系统的行为，并针对不同的应用需求进行优化设计。
本文将重点介绍控制基本模型的定义和控制方法的介绍。
首先，我们将详细讨论基本模型的定义，包括传递函数模型、状态空间模型和输入-输出模型的基本原理和特点。
然后，我们将介绍一些常用的控制方法，如比例积分微分控制（PID控制），模糊控制和自适应控制等。
这些控制方法可以根据系统的需求和特点来选择和应用。
通过本文的学习，读者将能够理解和掌握控制基本模型的概念和基本原理，了解不同类型的控制方法的适用范围和特点。
同时，读者还将能够应用所学知识来设计和优化控制系统，提高系统的性能和稳定性。
总之，控制基本模型是控制系统设计和分析的基础，具有重要的理论和实际意义。
通过研究和应用控制基本模型，我们可以不断改进和优化控制系统，提高系统的性能和效果。
1.2文章结构1.2 文章结构本文的目的是探讨控制基本模型，并介绍相关的控制方法。
为了更好地组织本文的内容，文章结构如下所示：引言部分将在1.1概述中简要介绍控制基本模型的背景和意义，并在1.3目的中明确阐述本文的研究目标。
正文部分将分为两个小节进行讲解。
首先，在2.1基本模型定义中，我们将详细阐述控制基本模型的定义和内容，包括其在控制系统中的作用和应用领域。
其次，在2.2控制方法介绍中，我们将介绍几种常见的控制方法，包括PID控制器、模糊控制和神经网络控制等，以及它们在控制基本模型中的应用。
结论部分将在3.1总结中对本文进行总结，回顾并强调本文的重点内容和研究成果。
控制工程基础(第三章,控制系统的复数域描述)
负载效应
2、动态结构图的等效变换 结构图表示了系统中各信号之间的传递与运算的全部关 系。但有时结构图比较复杂，需简化后才能求出传递函数， 等效原则是：对结构图任何部分进行变换时，变换前后该 部分的输入量、输出量及其相互之间的数学关系应保持不 变。 （1）串联环节的简化
X 0 (s)
G1 ( s )
4. 积分环节 积分环节的动态方程和传递函数分别为
c (t ) K r (t ) dt
K G (s) s
特点：输出量与输入量的积分成正比例，当输入 消失，输出具有记忆功能。 实例：电动机角速度与角度间的传递函数、电容 充电、模拟计算机中的积分器等。
5. 二阶振荡环节
振荡环节的运动方程和传递函数分别为
(a)
(b)
结构图的相加点(a)和分支点(b)
绘制系统方框图的一般步骤 1） 写出系统中每一个部件的运动方程式 2） 根据部件的运动方程式写出相应的传递函数，一个 部件用一个方框表示在框中填入相应的传递函数
3）根据信号的流向，将各方框单元依次连接起来，并 把系统的输入量置于系统方框图的最左端，输出量置 于最右端 例 绘制下图所示电路的方框图 方程有
Gs 就是该系统的传递函数 阵
用拉氏变换做微分方程组的传递函数矩阵，中间变量的消元
三、典型环节的传递函数 1. 比例环节
比例环节又称放大环节，该环节的运动方程和相 对应的传递函数分别为
c(t ) Kr (t )
式中K为增益。
C ( s) G( s) K R( s )
特点：输入输出量成比例，无失真和时间延迟。
Ｒ-L-C电路
c
弹簧-质量-阻尼器系统
6. 纯时间延时环节
延时环节的动态方程和传递函数分别为
控制工程基础3-第2章 (数学模型1：微分方程,传递函数)
at
sa
2
• 拉氏变换的基本性质 (1) 线性性质
L[af1 (t ) bf 2 (t )] aL[ f1 (t )] bL[ f 2 (t )]
原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉氏变换之和。 (2) 微分性质 L 若[ f (t )] F ( s ) ，则有 L[ f (t )] sF ( s) f (0) f(0)为原函数f(t) 在t=0时的初始值。 (3) 积分性质 则 若 L[ f (t )] F ( s )
该标准型为二阶线性常系数微分方程，系统中存在两个储能元件质 量和弹簧，故方程式左端最高阶次为二。
-
机械旋转系统
• [例2]：设有一个惯性负载和粘性摩擦阻尼器组成的机械 旋转系统，试列出以外力矩M(t)为输入信号，角位移 θ(t)为输出信号的数学模型。
M
J
θ
f
解：
1）确定输入量、输出量
M J θ f
F(t) m f
K x(t)
图 2 2 机 械 系 统
d 2x 3）由牛顿第二定律写原始方程： F F (t ) Fk (t ) F f (t ) m 2 dt dx Fk (t ) kx F f (t ) f 4）写中间变量与输出变量的关系式： dt 2 d x dx 5）将上式代入原始方程消中间变量得： m 2 kx f F (t ) dt dt m d 2 x f dx 1 x F (t ) 6）整理成标准型： 令 T2 m T f 2 k dt k dt k m f 2 k k dx 1 2 d x 则方程化为： Tm dt 2 T f dt x k F (t )
第二章 控制系统的数学模型
导 为什么要介绍本章? 分析、设计控制系统的第一步是建立系统的数学模 型。 读
控制工程基础 系统的数学模型
若
x1(t) x2(t)
线性系统
y1 ( t ) y2 ( t ) a1y1(t)+a2y2(t)
线性系统
线性系统
则
a1x1(t)+a2x2(t)
其中a1、a2为常数。 推而广之：
a x (t )
i 1 i i
n
a y (t )
线性系统
i 1 i i
n
其中ai（i=1，2，…，n）为常数。
3. 本课程涉及的数学模型形式
10:17:57
7
3-1 概述
1. 数学模型的概念 数学模型：是描述系统特性的数学表达式。它揭示了
系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。 数学模型是对系统特性（包括动态特性和静态特性） 进行分析、综合的有效工具。 数学模型的类型：微分方程，传递函数，频响函数， 状态空间表达式等。这些模型一般可以互相转化。 经典控制理论采用的数学模型主要以传递函数和频率 响应函数（简称频响函数）为基础。而现代控制理论 采用的数学模型主要以状态空间方程为基础。而以物 理定律及实验规律为依据的微分方程则是最基本的数 学模型，是列写传递函数、频响函数和状态空间方程 的基础。
电网络系统
di uL dt 1 i udt L
23
3-2 系统微分方程的建立
例 1 例 1 ：求图所示电路的微分方程。 解：利用基尔霍夫电压定律得到 L R
I
di (t ) L Ri (t ) uo (t ) ui (t ) (1) dt 1 i (t )dt uo (t ) (2) C
f mx f(t) 或 mx f 0
（对质量）
弹性元件 弹簧刚度k N∙m－1 粘性阻尼元件 粘性阻尼系数 B N∙s∙m－1
控制工程(第3章)
根据系统阻尼比ζ的值，二阶系统有：
：
s1, 2
j n j 1 2 n n n n ( 2 1)
0 0 1 1 1
3. 二阶系统的响应曲线⑴
①欠阻尼系统
系统在s左半平面上有一对共轭复数极点
e nt 1
满足特征方程，那么也必然满足上式： 2
0 (t ) 1 (t )1 2 (t ) 1 n 1 1 n 1 e t
1
0 (t ) 1 (t ) 2 2 (t ) 2 2 n 1 2 n 1 e t
取拉氏反变换，得到零状态响应:
y1 (t ) L1 [Y1 ( s)] ck e pk t ci e pit
k 1 i 1 n v
零状态响应的模式由 系统G（s）和输入u（s） 的极点共同确定。
等号右边的第一项是系统的自然响应，其变化规律只取决于系统函数G的极点在 s平面的位置，体现了系统本身的特点，与激励函数的形式无关，其中的每一项称 为自然响应模式； 第二项是系统的强迫响应，其变化规律只取决于输入激励u的极点在S平面的位 置，即输入信号的性质。但是待定系数与G和u的零极点分布都有关系。
◎ 将 的表达式带入 将无穷级数化为 A 的有限项的表达式。
A n 2 , A n3
的展开式，这样可消去
A n , A n 1 , A n 2
，
e At 0 (t ) I 1 (t ) A n 1 A n 1 i (t ) ◎A 的计算： ,
例2：系统的零点影响
例2
G1 ( s )
已知两个系统的传递函数
4s 2 s 2 3s 2
：
s1, 2
j n j 1 2 n n n n ( 2 1)
0 0 1 1 1
3. 二阶系统的响应曲线⑴
①欠阻尼系统
系统在s左半平面上有一对共轭复数极点
e nt 1
满足特征方程，那么也必然满足上式： 2
0 (t ) 1 (t )1 2 (t ) 1 n 1 1 n 1 e t
1
0 (t ) 1 (t ) 2 2 (t ) 2 2 n 1 2 n 1 e t
取拉氏反变换，得到零状态响应:
y1 (t ) L1 [Y1 ( s)] ck e pk t ci e pit
k 1 i 1 n v
零状态响应的模式由 系统G（s）和输入u（s） 的极点共同确定。
等号右边的第一项是系统的自然响应，其变化规律只取决于系统函数G的极点在 s平面的位置，体现了系统本身的特点，与激励函数的形式无关，其中的每一项称 为自然响应模式； 第二项是系统的强迫响应，其变化规律只取决于输入激励u的极点在S平面的位 置，即输入信号的性质。但是待定系数与G和u的零极点分布都有关系。
◎ 将 的表达式带入 将无穷级数化为 A 的有限项的表达式。
A n 2 , A n3
的展开式，这样可消去
A n , A n 1 , A n 2
，
e At 0 (t ) I 1 (t ) A n 1 A n 1 i (t ) ◎A 的计算： ,
例2：系统的零点影响
例2
G1 ( s )
已知两个系统的传递函数
4s 2 s 2 3s 2
第2章_控制系统的动态数学模型_2.3拉氏变换及反变换
式中p1，p2为共轭复数， 由 (α1s + α 2 ) s =− p1 B( s) ( s − p1 )( s − p2 ) 求取α1，α 2 = A( s ) s = p1 （i = 3, 4 L n)
α1 s + α 2
B(s) ki = ( s − pi ) A( s ) s = pi
1 ( e iω t − e − iω t ) 2j 1 iω t ( e + e − iω t ) 2
e dt − ∫ e
0 ∞ − jωt − st
1 L[sin ωt ] = 2j
(∫ e
∞ 0
jωt − st
e t
)
1 1 1 ω = − = 2 2 j s − jω s + jω s + ω 2
2.3.1 拉氏变换的定义
设函数 f(t) 满足: ① t < 0 时 f(t)=0； ② t≥0 时，f(t)分段连续，且 则拉普拉斯变换的定义为：
F ( s) = L[ f (t )] = ∫ f (t )e − st dt
0 ∞
∫
∞
0
| f (t )e − st | dt < ∞ ，
t ≥0
式中f (0)、f ' (0)、 f ( n −1) (0)为f (t )及其各阶导数在 L t = 0时的值。 如f (0) = f ' (0) = L = f ( n −1) (0) = 0，则有 dn n L n f (t ) = s F ( s ) dt
根据微分定理，可以将微分方程变换为代数方程。
f (t) — 原函数（时间函数） F(s) — 象函数，s是复变数
α1 s + α 2
B(s) ki = ( s − pi ) A( s ) s = pi
1 ( e iω t − e − iω t ) 2j 1 iω t ( e + e − iω t ) 2
e dt − ∫ e
0 ∞ − jωt − st
1 L[sin ωt ] = 2j
(∫ e
∞ 0
jωt − st
e t
)
1 1 1 ω = − = 2 2 j s − jω s + jω s + ω 2
2.3.1 拉氏变换的定义
设函数 f(t) 满足: ① t < 0 时 f(t)=0； ② t≥0 时，f(t)分段连续，且 则拉普拉斯变换的定义为：
F ( s) = L[ f (t )] = ∫ f (t )e − st dt
0 ∞
∫
∞
0
| f (t )e − st | dt < ∞ ，
t ≥0
式中f (0)、f ' (0)、 f ( n −1) (0)为f (t )及其各阶导数在 L t = 0时的值。 如f (0) = f ' (0) = L = f ( n −1) (0) = 0，则有 dn n L n f (t ) = s F ( s ) dt
根据微分定理，可以将微分方程变换为代数方程。
f (t) — 原函数（时间函数） F(s) — 象函数，s是复变数
《机械控制工程基础》作业集(高起专)
《机械控制工程基础》作业集层次：高起专授课教师：王军平时间：2014年3月31日《机械控制工程基础》目录第一章绪论第二章拉普拉斯变换的数学方法第三章系统的数学模型第四章控制系统的时域分析第五章系统的频率特性第六章系统的稳定性第一章绪论本章重点：1.控制系统的组成及基本要求；本章难点分析系统的控制原理。
题型-分析及问答题1、根据下图所示的电动机速度控制系统工作原理图，完成：(1) 将a，b与c，d用线连接成负反馈状态；(2) 画出系统方框图。
2、下图是仓库大门自动控制系统原理示意图。
试说明系统自动控制大门开、闭的工作原理，并画出系统方框图。
3、下图为工业炉温自动控制系统的工作原理图。
分析系统的工作原理，指出被控对象、被控量和给定量，画出系统方框图。
4、下图是控制导弹发射架方位的电位器式随动系统原理图。
图中电位器1P 、2P 并联后跨接到同一电源0E 的两端，其滑臂分别与输入轴和输出轴相联结，组成方位角的给定元件和测量反馈元件。
输入轴由手轮操纵；输出轴则由直流电动机经减速后带动，电动机采用电枢控制的方式工作。
试分析系统的工作原理，指出系统的被控对象、被控量和给定量，画出系统的方框图。
5、采用离心调速器的蒸汽机转速控制系统如下图所示。
其工作原理是：当蒸汽机带动负载转动的同时，通过圆锥齿轮带动一对飞锤作水平旋转。
飞锤通过铰链可带动套筒上下滑动，套筒内装有平衡弹簧，套筒上下滑动时可拨动杠杆，杠杆另一端通过连杆调节供汽阀门的开度。
在蒸汽机正常运行时，飞锤旋转所产生的离心力与弹簧的反弹力相平衡，套筒保持某个高度，使阀门处于一个平衡位置。
如果由于负载增大使蒸汽机转速ω下降，则飞锤因离心力减小而使套筒向下滑动，并通过杠杆增大供汽阀门的开度，从而使蒸汽机的转速回升。
同理，如果由于负载减小使蒸汽机的转速ω增加，则飞锤因离心力增加而使套筒上滑，并通过杠杆减小供汽阀门的开度，迫使蒸汽机转速回落。
这样，离心调速器就能自动地抵制负载变化对转速的影响，使蒸汽机的转速ω保持在某个期望值附近。
控制工程基础第三章系统的传递函数
如图所示为机械转动系统，由惯性负载和粘性摩擦阻 尼器构成，以转矩Ti为输入量，以角速度w为输出量
机械转动系统
dw ( t) 其运动方程式为：J + Bw ( t )= Ti ( t) dt W (s ) 1 K 其传递函数为：G ( s)= = = Ti (s ) Js + B Ts + 1 J 1 式中 T= , K = 。 B B
B
i(t)
C
uo (t)
x
机械平移系统
d 2x dx m 2 B k x f t dt dt
RLC电路
X s 1 1 2n Gs ＝ 2 F s ms Bs k k s 2 2n s 2 n
n
k m
B 2 km
C
uo (t )
其微分方程为：Ri( t)+ u0 () t = ui () t du0 () t i( t)= C dt 消去中间变量后，得 du0 () t RC + u0 () t = ui () t dt 通过拉氏变换求得电路的传递函数为： U0 (s) 1 G( s)= = Ui (s) Ts+1 式中 T=RC
4. 微分环节
输出量与输入量的微分成比例的环节，称为微分环节 dxi ( t) 其运动方程式为：x0 ( t )= TD dt 其传递函数为： G ( s)= TD s
式中 TD ─ 微分环节的时 间常数 。
当输入量为单位阶跃信号时，输出量就是脉冲函数，这 在实际中是不可能的。因此，理想的微分环节不能实现，在 实际中用来执行微分作用的都是近似的，称为实际微分环节， 其传递函数具有如下形式：
一阶微分环节和二阶微分环节的微分方程分别为：
现代控制理论第一章-控制系统数学模型
y b0
b1
bn1
xn
注：如果输入项的导数阶次和输出项导数阶次相同，则有d。
Y (s) R(s)
bn s n an s n
b1s b0 a1s a0
d
bn1sn1 b1s b0 ansn a1s a0
例1-4 已知描述系统的微分方程为 y18y 192y 640y 160u 640u
y bn1z(n1) b1z b0 z b0 x1 b1x2 bn1xn
写成矩阵形式
x1
x2
xn
0
0
0
a0
1 0 0 a1
0 1 0 a2
0 0 0 a3
0
0
0 1 an1
x1 x2
xn
0 u 0
1
x1
第1章 控制系统数学模型
本课程的任务是系统分析和系统设计。而不论是系统分析还是系 统设计，本课程所研究的内容是基于系统的数学模型来进行的。因 此，本章首先介绍控制系统的数学模型。
本章内容为： 1、状态空间表达式 2、由微分方程求出系统状态空间表达式 3、传递函数矩阵 4、离散系统的数学模型 5、线性变换(状态变量选取非唯一）
写成矩阵形式
x1 0 1 0 x1 0
x2
0
0
1
x2
0
u
x3 a0 a1 a2 x3 b0
x1
y 1
0
0
x2
x3
状态图如下：
一般情况下，n 阶微分方程为： y(n) an1 y(n1) a1 y a0 y b0u
选择状态变量如下：
x1 y x1 x2 y x2 x3 y
0
x2
1 M
控制工程基础ppt课件第二章 数学模型
机械平移系统 及其力学模型
fi (t) fD (t) fk (t) kxo (t)
fk
(t)
m
d2 dt 2
xo (t)
fD
(t)
D
d dt
xo
(t)
m d d t2 2yo(t)D d d tyo(t)kyo(t)fi(t)
式中，m、D、k通常均为常数，故机械平移系 统可以由二阶常系数微分方程描述。
建立控制系统的数学模型，并在此基础上对控制系 统进行分析、综合，是机电控制工程的基本方法。如 果将物理系统在信号传递过程中的动态特性用数学表 达式描述出来，就得到了组成物理系统的数学模型。
经典控制理论采用的数学模型主要 以传递函数为基础。而现代控制理论采 用的数学模型主要以状态空间方程为基 础。而以物理定律及实验规律为依据的 微分方程又是最基本的数学模型，是列 写传递函数和状态空间方程的基础。
动态数学模型：描述变量各阶导数之间 关系的微分方程。描述动态系统瞬态与过渡 态特性的模型。也可定义为描述实际系统各 物理量随时间演化的数学表达式。动态系统 的输出信号不仅取决于同时刻的激励信号， 而且与它过去的工作状态有关。微分方程或 差分方程常用作动态数学模型。
对于给定的动态系统，数学模型表达不 唯一。工程上常用的数学模型包括：微分方 程，传递函数和状态方程。对于线性系统， 它们之间是等价的。
x
x0
上式即为非线性系统的线性化模型，称为增
量方程。y0 = f (x0)称为系统的静态方程； 由于反馈系统不允许出现大的偏差，因此，
这种线性化方法对于闭环控制系统具有实际 意义。
增量方程的数学含义就是将参考坐标的原 点移到系统或元件的平衡工作点上，对于实际 系统就是以正常工作状态为研究系统运动的起 始点，这时，系统所有的初始条件均为零。
控制工程基本系统框图及简化
1/G(s)
3.相邻引出点之间的移动
若干个引出点相邻，表明同一信号要送到许多 地方去。因此，引出点之间相互交换位置，不会 改变引出信号的性质，不需要作传递函数的变换。
比较点合并
l 注意：比较点和引出点之间一般不宜交换 其位置。
l 由方框图求系统传递函数的基本思路：利用等效 变换法则，移动比较点和引出点，消去交叉回路， 变换成可以运算的简单回路。
s
ê注意：等效传递函数等于前向通道传递函数除以1加（减） 前向通道传递函数与反馈通道传递函数乘积
误差传递函数
X0 (s)= G(s)E(s)
B(s)= H (s)X0 (s)
Es Xi s H sGsEs
EE(ss)= XXii(ss)±BB(ss)
整理得
E(s) Xi (s)=
1
1±G(s)H (s)
G1s G2 s G3s
并联的补充说明
l 这表明几个环节并联时，可以用一个等效环节去取代， 等效环节的传递函数为各环节传递函数的代数和。写成一 般形式为
n
Gs Gi s i 1
（3）反馈
X(s)
Gz
s
1
Gs GsH
s
Y(s)
H
n 如果将系统或环节的输出反馈到输入端与输入信号进行比
较，就构成了反馈连接，如 上图 所示。其中 G1(s) G2(s) 可以是等效方框图，即它们可以是由若干元件方框串、并
若反馈通道传递函数H (S)= 1时，称为单位反馈系统，
此时：
F
(s)=
G (s) 1 G (s)
任何复杂系统的框图，都无非是由串联、并 联和反馈三种基本连接方式组成的，但要实现 上述三种运算，必须先将复杂的交织状态变换 为可运算状态，即进行框图的等效变换。
3.相邻引出点之间的移动
若干个引出点相邻，表明同一信号要送到许多 地方去。因此，引出点之间相互交换位置，不会 改变引出信号的性质，不需要作传递函数的变换。
比较点合并
l 注意：比较点和引出点之间一般不宜交换 其位置。
l 由方框图求系统传递函数的基本思路：利用等效 变换法则，移动比较点和引出点，消去交叉回路， 变换成可以运算的简单回路。
s
ê注意：等效传递函数等于前向通道传递函数除以1加（减） 前向通道传递函数与反馈通道传递函数乘积
误差传递函数
X0 (s)= G(s)E(s)
B(s)= H (s)X0 (s)
Es Xi s H sGsEs
EE(ss)= XXii(ss)±BB(ss)
整理得
E(s) Xi (s)=
1
1±G(s)H (s)
G1s G2 s G3s
并联的补充说明
l 这表明几个环节并联时，可以用一个等效环节去取代， 等效环节的传递函数为各环节传递函数的代数和。写成一 般形式为
n
Gs Gi s i 1
（3）反馈
X(s)
Gz
s
1
Gs GsH
s
Y(s)
H
n 如果将系统或环节的输出反馈到输入端与输入信号进行比
较，就构成了反馈连接，如 上图 所示。其中 G1(s) G2(s) 可以是等效方框图，即它们可以是由若干元件方框串、并
若反馈通道传递函数H (S)= 1时，称为单位反馈系统，
此时：
F
(s)=
G (s) 1 G (s)
任何复杂系统的框图，都无非是由串联、并 联和反馈三种基本连接方式组成的，但要实现 上述三种运算，必须先将复杂的交织状态变换 为可运算状态，即进行框图的等效变换。
控制工程基础课件 第三章
图3-5a 一阶系统的时间响应
c() c(t )
t
1
第三章 控制系统的时域分析
§3-2 一阶系统的时间响应
把t = T代入式(3-3)可得 c(T ) 1 e1 0.632 故时间常数T可定义为系统的时间响应达到稳态值的63.2%所需要 的时间。 从图3-5a可以看出，经过三倍的时间常数，响应曲线上升到稳 态值的95%，经过四倍的时间常数，响应曲线达到稳态值的98.2%。 如果要求响应曲线保持在稳态值的5%～2%的允许误差范围内，那么 系统的调整时间ts =(3～4)T，以此作为评价响应时间长短的标准。 时间常数决定于系统参数 而与输入函数无关。 在图3-3所示系统中 ， T f / k
§3-2 一阶系统的时间响应
时间响应从零值到终值呈指 数曲线上升 。曲线在t = 0的初始 斜率为
d c(t ) 1 T c(0) e d t t 0 T
t
t 0
1 T
可见，时间常数T是一阶系统 重要的特征参数。它表征了系统 过渡过程的品质，T越小，惯性越 小，系统的响应越快。 系统响应的稳态值为
1 R( s) 为单位阶跃函数 R(s) s C (s) 1 1 1 T C (s) R(s) R( s) Ts 1 s s Ts 1
对上式进行拉氏反变换，得出
(3-2)
c(t ) 1 et T ( t ≥ 0 )
时间响应曲线见图3-5a。
(3-3)
第三章 控制系统的时域分析
第三章 控制系统的时域分析
§3-1时间响应及系统性能指标
2%
1 0.9
td
Mp
允许误差
5%
c t
t d ：延迟时间
c() c(t )
t
1
第三章 控制系统的时域分析
§3-2 一阶系统的时间响应
把t = T代入式(3-3)可得 c(T ) 1 e1 0.632 故时间常数T可定义为系统的时间响应达到稳态值的63.2%所需要 的时间。 从图3-5a可以看出，经过三倍的时间常数，响应曲线上升到稳 态值的95%，经过四倍的时间常数，响应曲线达到稳态值的98.2%。 如果要求响应曲线保持在稳态值的5%～2%的允许误差范围内，那么 系统的调整时间ts =(3～4)T，以此作为评价响应时间长短的标准。 时间常数决定于系统参数 而与输入函数无关。 在图3-3所示系统中 ， T f / k
§3-2 一阶系统的时间响应
时间响应从零值到终值呈指 数曲线上升 。曲线在t = 0的初始 斜率为
d c(t ) 1 T c(0) e d t t 0 T
t
t 0
1 T
可见，时间常数T是一阶系统 重要的特征参数。它表征了系统 过渡过程的品质，T越小，惯性越 小，系统的响应越快。 系统响应的稳态值为
1 R( s) 为单位阶跃函数 R(s) s C (s) 1 1 1 T C (s) R(s) R( s) Ts 1 s s Ts 1
对上式进行拉氏反变换，得出
(3-2)
c(t ) 1 et T ( t ≥ 0 )
时间响应曲线见图3-5a。
(3-3)
第三章 控制系统的时域分析
第三章 控制系统的时域分析
§3-1时间响应及系统性能指标
2%
1 0.9
td
Mp
允许误差
5%
c t
t d ：延迟时间
控制工程第二章线性系统的数学描述1
3. 控制系统中常见的三类数学模型 ➢ 输入输出描述，或外部描述 • 用数学方式把系统的输入量和输出量之间的 关系表达出来。 微分方程、传递函数、频率特性和差分方程 。
➢ 状态空间描述或内部描述 不仅可以描述系统输入、输出之间的关系，而且 还可以描述系统的内部特性。 它特别适用于多输入、多输出系统， 也适用于时变系统、非线性系统和随机控制系统
解 设回路电流为i(t)，由基尔霍夫电压定律可写出回路方程为 di(t) 1
L dt C i(t)dt Ri(t) ui (t)
1
C i(t)dt uo (t)
消去中间变量i(t)，可得描述该无源网络输入输出关 系的微分方程
LC
d
2uo (t) dt 2
RC
duo (t) dt
uo
(t )
ui
(t )
也可以写为
T1T2
d 2uo (t) dt 2
T2
duo (t) dt
uo (t)
ui (t)
其中：T1 L R ， T2 RC 。 这是一个典型的二阶线性常系数微分方程，对应的
系统称为二阶线性定常系统。
➢ 例: 下图表示一个含有弹簧、运动部件、阻尼器的机 械位移装置。外力 f(t) 是系统的输入量，位移 y(t) 是 系统的输出量。试确定系统的微分方程。
转动惯量J 粘滞摩擦系数f
扭转系数k
角位移
角速度
RLC串联网络 电压u 电感L 电阻R
电容的倒数1/C 电荷q 电流i
*非线性微分方程的线性化
➢ 为什么要研究非线性方程的线性化问题？ 系统、元件非线性特性的普遍存在性； 精确描述系统的动态方程通常为非线性微分方 程； 高阶非线性微分方程除计算机求解外，无一般 形式的解，这给研究系统带来理论上的困难； 线性微分方程理论比较成熟。
机械控制工程基础-第一三章
第三章 系统的数学模型 零点和极点
b0 s m + b1s m −1 + ... + bm −1s + bm G ( s) = a0 s m + a1s n −1 + ... + an −1s + an
有理分式形式
G (s) =
b0 ( s − z1 )( s − z 2 )...( s − z m ) a 0 ( s − p1 )( s − p 2 )...( s − p n )
一、 传递函数的定义 二、 典型环节的传递函数
第三章 系统的数学模型 一、 传递函数的定义 在零初始条件( 输入量施加于系统之前，系统处于稳定的 工作状态，即t 工作状态，即t = 0 时，输出量及其各阶导数也均为0 )下， 时，输出量及其各阶导数也均为0 线性定常系统输出量的拉氏变换与（引起该输出的） 输入量的拉氏变换之比。
= g( t )
X c (s) G(s) = = X c ( s ) = L[ g (t )] X r (s)
g(t)称为系统的脉冲响应函数（权函数） g(t)称为系统的脉冲响应函数（权函数） 传递函数 脉冲响应函数 系统动态特性
第三章 系统的数学模型 传递函数特点： 传递函数特点： 通过系统输入量与输出量之间的关系来描述系统的 固有特性，其参数仅取决于系统本身的结构及参数， 与系统的输入形式无关； 对于物理可实现系统而言，传递函数分母S的介次 必少于分子的介次； 不同的物理系统只要其动态特性相同，则传递函数 相同。
B:
L fs(Xm − Xo ) = K2Xo →Xm =
fs + K2 Xo fs
带入上式整理得
sXo +
L−1
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差传递函数的意义。
重点：
系 （1）建立简单机、电元件及系统的微分方程式 统 （2）传递函数概念、典型环节传递函数。 数 （3）简单机、电系统传递函数求取方法。 学 （4）结构图的绘制，结构图化简。
模 难点：
型 （1）列写微分方程式，综合运用机、电基础知识
列写机械和电路方程。
（2）绘制系统结构图并化简，得到系统传递函数。
分方程来描述的
二、系统传递函数
定义：在初始条件为0时，线性系统输出量的拉氏变换
与输入量的拉氏变换之比称为线性系统的传递函数。
系 当初始条件为0时，对线性系统的微分方程的一般表达
统
式
an
dny dt n
a n1
d n1 y dt n1
a1
dy dt
a0y
数 学
bm
dmx dt m
bm1
统
身的结构和参数有关。
数
３.传递函数不反映系统的物理结构。具有相同的传递
学
模
函数，从信号传递关系来说，具有相同特性。
型
４.传递函数只表明单输入、单输出信号传递关系。
5 .n≥m
——物理可实现系统
三、系统的零极点
系统传递函数G(s)是以复变量s为自变量的复变函数，
系
可写成一般形式：
Gs
K g s s
z1 s z2 s zm p1 s p2 s pn
统
一般形式
标准形式
m
m
数
K g s zi
K Tis 1
学
Gs
i 1 n
s pj
Gs
i 1 n
Tjs 1
模
j 1
j 1
型
zi——系统的零点；影响瞬态性能 pj——系统的极点；特征根；决定稳定性
K——系统增益(放大倍数) ；稳态输出值
型
F(s) (k1 Bs)X (s) (k1 Bs)Y (s)
Ms 2Y (s) (k1 Bs) X (s) (k1 Bs)Y (s) k2Y (s)
整理可求得
模
型
解：设质量M的位移y(t)为中间变量，再对其
作受力分析图
系 统
k2 y
k1 (x y)
M
k1 (x y)
a
B(x y)
A B(x y)
f(t)
数 依据A点力平衡及牛顿定律列写原始方程式：
学
f (t) B(x y) k1 (x y)
模
作拉氏变换：My B(x y) k1 (x y) k2 y
f(t)
系
m
统 KB
数
f(t)
解：对m受力分析
m
依牛顿定律列方程：
y(t) fK(t) fB(t)
f
(t)
f
K
(t)
f
B
(t) y( dt 2
t)
学 而f(Kt)=Ky(t) f(t)=B·dy(t)/dt
模 型
代入方程可得：
m
d
2
y(t)
B
dy(t)
Ky(t)
f
(t)
dt 2
dt
可见，该系统的瞬态数学模型是用二阶常系数微
＋
R
＋
解：1.确定输入与输出
系 统
i(t)
ui(t)
C
uo(t)
输入为ui(t),输出为uo(t) 2.选电流i(t)为中间变量
数
列方程：
学 模
方法？
u i (t) Ri(t) u o (t)
uo (t)
3.消去中间变量并整理可得微分方程为：
1 C
i(t)dt
型
RC
du o (t) dt
uo
(t)
统 数
列写的一般步骤如下：
学
1. 分析系统和元件的工作原理，找出各物理量之间 的关系，确定输出量及输入量。
模
2. 设中间变量，依据物理、化学等定律忽略次要因
型
素列写微分方程式。
3. 消去中间变量并整理，降阶排列，输出方程左边，
输入在方程右边，即得系统或元件的微分方程式
或数学模型。
例：列写图示RC无源网络的微分方程
（1）了解数学模型基本概念；
系 （2）掌握简单机、电元件及系统微分方程式的列写；
统 （3）掌握传递函数的概念、定义、性质及求取；
数 （4）掌握典型环节传递函数及其瞬态特性；
学 （5）掌握串联、并联、反馈连接等效传递函数的求法；
模
结构图等效变换原则，能用结构图简化方法求系统的
型
传递函数；
（6）理解控制系统开环传递函数、闭环传递函数、误
d m1 x dt m1
b1
dx dt
b0 x
进行拉氏变换可得：
模 ansn an1sn1 a1s a0 Y s bm s m bm1s m1 b1s b0 X s
型
令
Gs
Y s X s
则有
Gs
bm s m an s n
bm1s m1 b0 an1s n1 a0
即为系统传递函数
用框图表示为:
X(s)
G(s)
Y(s)
传递函数的性质
G s
bm s m an s n
bm1s m1 b0 an1s n1 a0
１.传递函数是描述线性系统或线性元件特性的一种数
学模型，它和系统或元件的运动微分方程一一对应。
系
２.传递函数反映系统本身的瞬态特性，它只与系统本
ui
(t)
由此可知，RC无源网络的瞬态数学模型是一阶常系数线
性微分方程
列写下面RC滤波网络的微分方程
R1
R2
系
统
ui
C1
C2
uo
数
学
模
微分方程的列写过程请看教材P 27
该网络微方程为：
型
R1C1R 2C2
d2uo dt 2
(R1C1
R
2
C
2
)
du o dt
uo
ui
例：一弹簧-质量-阻尼机械系统受外力f(t)作用产生位 移y(t)，试列写该系统微分方程
系统零极点在复平面上的表示
零点用“〇”表示，极点用“×”表示
四、简单系统传递函数的求取
1.质量、弹簧、阻尼器机械系统运动微分方程式为
系
m d2 y(t) B dy(t) Ky(t) f (t)
统 数
dt 2
dt
故传递函数为：G(s) Y(s)
1
F(s) ms2 Bs K
学
2.求图示机械系统的传递函数。f(t)为输入，x(t)为 输出（不计摩擦）。
主要内容：
1) （1）数学模型概念；
系 统
2) （2）简单机电元件及系统微分方程的列写；
数 （3）传递函数的定义、性质、求法;
学 （4）典型环节的传递函数及瞬态(动态)特性；
模 （5）控制系统结构图的绘制方法与简化； 型
（6）环节的串并联、带反馈环节的传递函数；
（7）相似原理与相似系统
基本要求：
数学模型
能够用来
系
表达一个系统的动态性能、
统
揭示系统的结构、参数与动态性能之间的关系
数
的数学表达式
学
模
型
线性系统的概念及其特性
线性系统
系 统
能用线性微分方程描述的系统
数 学
线性系统的特性 叠加性
模
型
频率保持特性
微积分性
一、 微分方程列写
列写微分方程的目的：
系
确定输出与输入或扰动之间的函数关系