第六节多元函数的极值

对于具有二阶连续偏导数的函数求函数 z = f (x, y) 极值的步骤: 极值的步骤: 1. 求方程 组
f x′(x, y) = 0, 的解, 得到所有驻点. 的解 得到所有驻点 ′ f y (x, y) = 0
2.求出二阶偏导数 f xx (x, y), f xy (x, y), f yy (x, y), 并 求出二阶偏导数 ′′ ′′ ′′ 对每一驻点, 对每一驻点 求出二阶偏导数的值 A, B, C. 3.对每一驻点 (x0, y0), 定出 B2–AC 的符号 按照 对每一驻点 的符号, 是否为极值, 定理的结论, 定理的结论 判定 f (x0, y0) 是否为极值 是极大值还是 极小值. 极小值 4.求出极值点处的函数值 求出极值点处的函数值. 求出极值点处的函数值
x
x z
y
y
极值存在的必要条件) 定理 (极值存在的必要条件 设函数 z = f (x, y)在 极值存在的必要条件 在 取得极值, 点(x0,y0)取得极值 且在该点的偏导数存在 则必有 取得极值 且在该点的偏导数存在,
′ f x′(x0 , y0 ) = 0, f y (x0 , y0 ) = 0.
条件极值
2 2 求函数 z = x + y 在条件 x =1 下 的极小值 z
z
x
y
2 2
x 最低点极小值为z=1 最低点极小值为
y 上的
极小值点为曲面 z = x + y 上 的最低点极小值为z=0 的最低点极小值为
z = x2 + y2 极小值点为曲线 z =1
对于函数 z = f (x, y) 在条件(x, y) = 0 下的条件 极值问题, z 极值问题,称 = f (x, y) 为目标函数,方程 x, y) = 0 目标函数, ( 称为约束条件 约束条件. 称为约束条件. 几何上看, 几何上看,目标函数 z = f (x, y) 在条件 (x, y) = 0 下的极值是指当点 P(x, y) 在xOy 坐标面上的曲线 (x, y) = 0上变 动时, 动时,相应函数值 f (x, y) 的极
求函数极 值流程图
求z = f (x, y) 极值 求驻点 (x0, y0 ) 计算 B2 AC
B2 AC > 0
f (x0, y0 ) 非极值
B2 AC < 0
f (x0, y0 ) 极值
B2 AC = 0
极值不定
A < 0或C < 0
f (x0, y0 ) 极大值
A > 或C > 0
f (x0, y0 ) 极小值
将原条件极值化为求函数 L(x, y, λ) 的无条件极值问题 (2)由无条件极值问题必要条件有 ′ ′ Lx = f x + λ′ = 0 x ′ L′ = f y + λ′ = 0 y y L′ = (x, y) = 0 λ 解方程组, 解方程组,求出可能的极值点 (3)判别是否取得极值. 判别是否取得极值.
x
o y z
x
y
问题:如何判定一个驻点是否为极值点? 问题:如何判定一个驻点是否为极值点?
定理 (极值的充分条件) 设函数z =f (x, y)在点(x0,y0) 的某一邻域内有连续的一阶与二阶偏导数, 且(x0,y0)是 函数的一个驻点, 即 f x′(x0 , y0 ) = 0, f y′(x0 , y0 ) = 0 , 若记
V = πx2 y, x > 0, y > 0, 其中矩形边长 x, y 满足的约束条件是
2x+2y=2p,即x+y=p.
z
x
求函数 V = f (x, y) = πx2 y 在条件x+y–p=0下的最大值. 构造辅助函数
F(x, y, λ) = πx2 y + λ(x + y p),
求F(x, y)的偏导数, 并建立方程组
解 解方程组
f x ( x, y) = ex y ( x2 2 y2 ) + 2xex y = 0, ′ ′( x, y) = ex y ( x2 2 y2 ) 4 yex y = 0 fy
求函数的二阶偏导数, 得驻点(0, 得驻点 0), (–4, –2). 求函数的二阶偏导数
′′ ( x, y) = ex y ( x2 2 y2 + 4x + 2), f xx
在驻点(0,0)处, = 0, B = 3,C = 0, 且B2 AC > 0 A 所以,点不是极值点; 在驻点(1,1)处, = 6, B = 3,C = 6, 且B2 AC < 0 A 所以,函数有极值 f (1,1) = 1
f (x, y) = ex y (x2 2y2 )的极值 的极值. 例 求函数
在点(0,0)处的两个偏导数 例 函数 z = y2 x2, 在点 处的两个偏导数 同时为零, 同时为零 即 z′ (0,0) = 0, z′ (0,0) = 0. x y
z
但驻点(0,0)不是函数的极值点 不是函数的极值点. 但驻点 不是函数的极值点 极值点也可能不是驻点. 极值点也可能不是驻点 因为偏导数不存在的点也 可 能是极值点. 能是极值点 如锥面 z = x2 + y2 的顶 偏导数不存在, 点(0,0,1) 偏导数不存在 但顶 点是极值点. 点是极值点
B2 AC = 64e4 72e4 = 8e4 < 0,
而 A<0, 由极值的充分条件, 知点(–4,–2)为极大值点, f (–4,–2)= –8e–2 是函数的极大值.
二,条件极值 具有某种约束条件的极值问题称为条件极值 条件极值. 具有某种约束条件的极值问题称为条件极值.
无条件极值
2 2 求函数 z = x + y 极小值
即
f x′(x0 , y0 ) f y′(x0 , y0 ) f x′(x0 , y0 ) f y′(x0 , y0 ) = = = λ 令 ′ x (x0 , y0 ) ′ (x0 , y0 ) ′ (x0 , y0 ) ′ (x0 , y0 ) x y y
fx′(x0 , y0 ) + λx (x0 , y0 ) = 0 则上述必要条件可写成 f ′(x , y ) + λ (x , y ) = 0 y 0 0 y 0 0 (x , y ) = 0 0 0
z = f (x, y) 值. 也即曲线 上的极 (x, y) = 0
z
z = f (x, y)
y x
(x, y) = 0
值点. 值点.
对于条件极值的求解可以将其化为无条件极值或 者用下面拉格朗日乘数法求解
求解条件极值的拉格朗日乘数法 问题: 问题:求函数 z = f (x, y) 在满足条件 (x, y) = 0 时的条件极值. 时的条件极值. 分析 设方程 (x, y) = 0 确定隐函数 y = y(x) ,将 其代入目标函数有 z = f [x, y(x)] 处取得条件极值, 若函数 z = f (x, y) 在点(x0 , y0 ) 处取得条件极值,则 处也取得极值, 函数 z = f [x, y(x)] 在 x = x0 处也取得极值,由极值的 必要条件知
′′ ′′ ′′ A = f xx (x0 , y0 ), B = f xy (x0 , y0 ), C = f yy (x0 , y0 ) , 则
(1) 当B2–AC<0, 且A<0时, f (x0, y0)为极大值; 为极大值; 时 为极大值 为极小值. 当B2–AC<0, 且A>0时, f (x0, y0)为极小值 时 为极小值 (2) 当B2–AC>0时, f (x0, y0) 非极值 非极值. 时 可能为极值也可能非极值. (3) 当B2–AC=0时, f (x0, y0) 可能为极值也可能非极值 时
设周长为2 的矩形, 例 设周长为 p 的矩形 绕它的一边旋转构成圆柱 体, 求矩形的边长各为多少时, 圆柱体的体积最大. 求矩形的边长各为多少时 圆柱体的体积最大 设矩形的边长分别为x 且绕边长为y的边 解 设矩形的边长分别为 和 y, 且绕边长为 的边 y 旋转, 旋转 得到旋转圆柱体的体积为
例 求函数 f (x, y) = x3 + y3 3xy 的极值. 解 解方程组
f x ( x, y) = 3x2 3 y = 0 ′ f y ( x, y) = 3 y2 3x = 0 ′
,) 得驻点 (0,0), (11 ,又
′′ ′′ ′′ f xx = 6x f xy = 3 f yy = 6 y
dz dx
x= x0
′ ′ = f x ( x0 , y0 ) + f y ( x0 , y0 )
x= x0
dy dx
x= x0
=0
dy 由隐函数求导公式有 dx
′ ( x0 , y0 ) = x ′ ( x0 , y0 )代入上式得 y
′ (x0 , y0 ) ′ =0 f x′(x0 , y0 ) f y (x0 , y0 ) x ′ (x0 , y0 ) y
极小值 极大值
例 (1)函数 f (x, y) =1+ x2 + 2y2 ,在原点(0,0)处取 得极小值1.因为,对于任何 点(x, y)≠(0, 0),都有 f (x, y) > f (0, 0)=1, (2)函数 f (x, y) = x + y
2 2
z
在原点(0,0)处取得极大值0. 因为对于任何(x, y)≠(0, 0), 都有 f (x, y) < f (0, 0)=0
例 要造一个容积一定的长方体的箱子问选择怎 样的尺寸,才能使用的材料最少? 样的尺寸,才能使用的材料最少? 设箱子的长, 解 设箱子的长,宽,高分别为 x ,y ,z, 箱子的表面积为S,容量为V, S,容量为V,则 箱子的表面积为S,容量为V,则V=XYZ,则有