自由幺半群X'的一族极大自由幺子半群
5.3半群
半群的性质
定理5-3.2 有限半群必有等幂元 。 证明：设〈s，*〉是有限半群，只要需证 as，有a*a=a。
bs ，因为运算封闭， b2=b*bs b3，b4 ， …s s有限 ｉ，j(j>ｉ) 有bi=bj。 bi =bj =bj- i * bi。 令p=j－i。当q≥i时 , bq=bp·bq （１）
证明：a) ∵a*a-1=e ∴a是a-1的左逆元 a-1*a=e ∴a是a-1的右逆元
∴(a-1)-1=a b) ∵(a*b)*(b-1*a-1)=a*(b*b-1)*a-1=a*e*a-1=e
∴b-1*a-1是1*（a-1*a）*b＝e
∴b-1*a-1是a*b的左逆元 ∴（a*b）-1=b-1*a-1。 ＃
5.3 半群
群论是代数系统中研究得比较成熟的一个 分支，在计算机形式语言，自动机理论，编码 理论等得到广泛应用。
1
半群
1、定义5-3.1： 具有运算封闭性的代数系统A=〈s，*〉称为广群。
定义5-3.2： 满足运算封闭、结合律的代数系统A=＜s，*＞，称为半群，这里
*是二元运算。 定义5-3.3：
7
感谢您的阅读收藏，谢谢！
存在幺元的半群称为独异点，也称含幺半群(或单位半群或单元 半群)。
2
半群
例1．a)〈N，x〉〈{0，1}，x〉是半群，是独异点,
〈R，-〉 不是半群。
b) 设s={a，b}，*定义如右表：
即a，b都是右零元。 ∵x,y,zs
* ab
① x*ys ∴运算封闭 ② x*（y*z）=x*z=z
aab
（x*y）*z=z
bab
∴结合律成立。
∴〈s，*〉是一半群，该半群称为二元素右零半群。
线性代数幺半群中极大子群的Weyl群结构
!第"#卷第$期郑州大学学报!理学版"%&’("#)&($!*#$+年,月-./012340&56278.!)9:.;<7.=>."?9@.*#$+收稿日期!*#$AB#,B #D 基金项目!国家自然科学基金项目!$$$A$*#*".作者简介!李军!$D++&"’男’江西赣州人’博士研究生’主要从事代数群研究’=B I 97’(W 7I ’11"#DKR 90&&.<&I .线性代数幺半群中极大子群的[:A>群结构李!军!广州大学数学与信息科学学院!广东广州"$###C "摘要!研究了线性代数幺半群的单位群与核中的极大子群间的Y1R ’群结构联系.利用半群理论中幂等元的权重’给出了Y1R ’群的阶的特征刻画.关键词!代数群#代数幺半群#Y1R ’群#极大子群中图分类号!g$"*.,文献标志码!F 文章编号!$CA$B C+H$!*#$+"#$B ##+*B #H "’(!$#($,A#"V W .7N N 2.$CA$B C+H$(*#$A#,+)*引言代数幺半群理论主要是由T 5:<09和b 1221@在近三十多年来系统的建立和发展起来的一个重要且独立的数学分支*$\*+.一个线性代数幺半群是指一个具有含幺半群结构’且乘法映射是代数簇之态射的仿射代数簇.文献*,+证明了一个线性代数幺半群的核!即极小理想"一定存在.文献*H \C +系统地研究了核的结构问题.文献*A +利用代数幺半群中非单位元部分的信息来研究这个代数幺半群的单位群的结构信息’得到了单位群可解的充分必要条件及Y1R ’群的结构刻画.文献*++针对带零元素的不可约代数幺半群’利用幂等元的左!或右"中心化子构造了一类可解代数子群.对于有限群’文献*D +将子群的/B 完备的条件互相结合’研究了有限群的可解性.为了进一步探索代数幺半群中极大子群的可解性’需深入研究相应的Y1R ’群的阶的刻画.本文在文献*A +的思想基础上’利用半群理论的格林关系及幂等元的权重’研究了代数闭域上的不可约线性代数幺半群中核的极大子群的可解性对整体结构的影响’给出了线性代数Y1R ’群的阶的特征刻画.所得结论对文献*++中相应定理进行了推广.+*预备知识本文所讨论的代数幺半群均是在代数闭域上的不可约线性代数幺半群.令%为一个固定的代数闭域’若3为一个正整数’则03!%"表示在%上的所有3U3矩阵全体’&<3!%"表示在%上的所有3U3可逆矩阵全体8若E 是一个集合’则E 表示集合E 中元素的个数8令0为%上的一个不可约线性代数幺半群’(!0"表示0中的所有幂等元构成的集合8若+’9!(!0"’+,9’有+969+6+’则记+_98(!0"的子集,+$_+*_/_+#-’称为(!0"中的一条链8若(!0"中的一条链不包含在其他链中’称它为(!0"的一条极大链8若E 00’E 表示E 在0中的/9@7N M7闭包.给定(!0"的一条链2’那么对于任意的+!2’令H I E !+"6,)!E )+6+)+-’H B E !+"6,)!E +)6+)+-’H E !+"6H I E !+"5H BE !+"8进而令H I E !2"65+!2H I E !+"’H B E !2"65+!2HB E !+"’H E !2"6H I E !2"5H BE !2"8若T 为0的代数子幺半群’T C表示T 的单位分支’&!T "表示T 的单位群8令&6&!0"表示0的单位群’则(!第$期李!军$线性代数幺半群中极大子群的Y1R ’群结构&I +6,2!&2+6+-C ’&B +6,2!&+26+-C ’&+6&I +5&B+8!!令R 为&中一极大环面’:!&"6T &!R "A H &!R "表示&的Y1R ’群.:!&"是一个有限群’并且&是可解群’当且仅当:!&"6$8若+!(!0"’用‘+表示在格林关系下关于+在0中的‘S 类’称‘+5(!R "为+在0中的权重’记为V 0!+"8令L +表示0中包含+的极大子群’那么L +就是+0+的单位群80作为半群有一个最小理想’称为0的核’记作%+I !0"8若+!(!%+I !0""’则称+为0中的极小幂等元’那么L +6+0+8以下为本文证明中需用到的基本引理.引理+*$+!设0是一个带#的不可约代数幺半群’其单位群为&’R 为&的极大环面8那么R 的维数等于(!R "中极大链的长度.引理-*$+!设’(&#&/是一个不可约代数群的满同态’T 6!%+I !’""C 8那么:!&"6:!T "3:!&/"8!!引理/*$+!设0为一个不可约代数幺半群’&为它的单位群’R 是&中的一个极大环面’那么对于任意的+!(!0"’有:!&"6V 0!+"3:!H &!+""8!!引理7*设0为一个不可约代数幺半群’&为它的单位群’2是(!0"的一条极大链’2/62x ,$-’+为2/中的极大元.那么(:!H I &!2""6:!H IL +!2/""’:!H B &!2""6:!H B L +!2/""8!!证明!由对称性’只需证H I&!2"的情况.定义’(H I&!2"#L +()Z #)+8显然’是一个不可约代数群同态8现在证明’!H I &!2""6H I L +!2/"8事实上’对于任意的)!H I&!2"’有’!)"6)+6+)+!L +8对于任意的9!2/’!)+"96)969)969!)+"98因此)!H IL +!2/"8另一方面’对于任意的*!H I L +!2/"’*!L +’并且对于所有的F !2/’都有*F 6F*F8由于L +6H I&!+"+’存在2!H I &!+"’使得*62+8因此!2+"F 6F !2+"F ’从而2F 6F2F ’得到2!H I&!2"8所以’*62+!’!H I &!2""8进而’’!H I &!2""6H IL +!2/"8显然’%+I !’"6,)!H I&!2")+6+-6,)!&)+6+-8则!%+I !’""C 6&I +8下面证明&I +是可解的’从而:!&I+"6$8令0$6&I +’R $为&I +的一个极大环面8则(!R $"6,$’+-’+是R $中的零元素8因此根据引理$’得>7I R $6$8不妨设0$是某一个03!%"中的闭子幺半群8那么对于任意的2!&*6!&I +’&I+"’>1:!2"6$8从而&*在0$中是闭的8由+!R $’得R $=&*8因此&*一定是一个幂幺群’进而也是可解的8这就证明了&I+是可解的.因此由引理*得:!H I &!2""6:!H I L +!2/""3:!&I +"6:!H IL +!2/""8-*极大子群中[:A>群的阶关系定理+!设0为一个不可约代数幺半群’&为它的单位群’2是(!0"中的一条极大链.对于任意的+!(!0"’2+为(!+0+"的一条极大链.那么:!H I &!2""6:!H I L +!2+""6:!H B L +!2+""6:!H B &!2""8特别地’:!H I &!2""6:!H B&!2""6:!L 9"’其中9为0的任意极小幂等元.证明!令26,+-_+-7$_/_+$_+#-’L +"为在0中包含+"的极大子群’L /+"为在+"7$0+"7$中包含+"的极大子群’"6$’/’-8由于L /+"6&!+"+"7$0+"7$+""6&!+"0+""’得到L +"6L /+"8令0"6+"0+"’&"6&!0""6L +"’2"6,+-_+-7$_/_+"-’"6$’/’-.重复运用引理H 得:!H I &!2""6:!H I &$!2$""6/6:!H I&-!+-""8,+郑州大学学报!理学版"第"#卷由于+-是0的极小幂等元’有+-0+-6&-6L +-’从而H I&-!+-"6,)!+-0+-)+-6+-)+--6+-0+-6L +-8因此:!H I&!2""6:!L +-"8对于0中任意的极小幂等元9’存在)!&’使得96)+-)7$’易证L 96)L +-)7$’所以:!L 9"6:!L +-"6:!H I &!2""8对H B &!2"同理可证:!H B&!2""6:!L 9"8因此’:!H I&!2""6:!H B&!2""6:!L 9"8定理证毕.根据定理$’可以直接得到下面的推论.推论+!设0为一个不可约代数幺半群’&为它的单位群8那么对于(!0"中任意一条极大链2’以下条件等价(!$"H I&!2"是可解的8!*"H B &!2"是可解的8!,"H I L +!2+"是可解的’其中+!(!0"’2+为(!+0+"的一条极大链8!H "H B L +!2+"是可解的’其中+!(!0"’2+为(!+0+"的一条极大链8!""L 9是可解的’其中9是0中的一个极小幂等元.下面’我们利用幂等元的权重’给出了代数幺半群0中单位群&的Y1R ’群阶的刻画.定理-!设0为一个不可约代数幺半群’&为它的单位群’R 是&中的一个极大环面8令26,+-_+-7$_/_+$_$-为(!0"中的一条极大链.那么:!&"6V 0!+$"3V +$0+$!+*"3/3V +-7$0+-7$!+-"3:!L +-"’其中(V +"0+"!+"?$"为幂等元+"?$在幺半群+"0+"中的权重8特别地’若0含有零元素’则:!&"6V 0!+$"3V +$0+$!+*"3/3V +-7$0+-7$!+-"8!!证明!对于幂等元+$’构造映射’(H &!+$"#L +$’2Z #2+$6+$28它是一个满的代数群同态’且%+I !’"C6&+$8由引理*’得:!H &!+$""6:!L +$"3:!&+$"8类似于引理H 的证明’下面证明&+$是可解的’从而:!&+$"6$8令0$6&+$’R $为&+$的一个极大环面8则(!R $"6,$’+$-’+$是R $中的零元素8因此根据引理$’得>7I R $6$8不妨设0$是某一个03!%"中的闭子幺半群8那么对于任意的2!&*6!&+$’&+$"’>1:!2"6$8从而&*在0$中是闭的8由+$!R $’得R $=&*8因此&*只能是一个幂幺群’进而也是可解的8这就证明了&+$是可解的.因此得到:!H &!+$""6:!L +$"3:!&+$"6:!L +$"8!!由引理,’得:!&"6V 0!+$"3:!H &!+$""6V 0!+$"3:!L +$"’容易验证’在0与+$0+$中包含+*的极大子群是相等的8因此考虑代数幺半群+$0+$’其单位群为L +$’类似可得:!L +$"6V +$0+$!+*"3:!L +*"8重复以上过程’即有结论:!&"6V 0!+$"3V +$0+$!+*"3/3V +-7$0+-7$!+-"3:!L +-"’若0含有零元素#’则+-6#’:!L +-"6,#-.因此’:!&"6V 0!+$"3V +$0+$!+*"3/3V +-7$0+-7$!+-"8**例+*令060H !%"’那么&6&<H !%"为0的单位群’所有的H 阶可逆对角矩阵全体构成了&的极大环面.令3$6$####$####$#####’3*6$####$##########’3,6$###############’3H 6)8那么26,#_3,_3*_3$_$-为(!0"的一条极大链’且3"R 为L 3"的极大环面’$""",8H+!第$期李!军$线性代数幺半群中极大子群的Y1R’群结构因此’‘3$5(!R"6$####$####$#####’$####$#########$’$#########$####$’#####$####$####$’‘3*5(!3$R"6$####$##########’$#########$#####’#####$####$#####’‘3,5(!3*R"6$###############’#####$##########’‘3H5(!3,R"6,)-8所以:!&"6V0!3$"3V3$03$!3*"3V3*03*!3,"3V3,03,!3H"6H U,U*U$6*H8参考文献!*$+!T6U O c F?;.P7219@9’31L@97<I&2&7>N*?+.P&2>&2(O9I L@7>3162781@N7:R T@1N N’$D++.**+!b=))=bP=.P7219@9’31L@97<I&2&7>N*?+.)1di&@M(;J@7231@’*##".*,+!T6U O c F?;.g2’7219@9’31L@97<N1I73@&5JN*-+.U@92N9<:7&2N&Q:01F I1@7<92I9:01I9:7<9’N&<71:R’$D+#’*"D!*"(HA$\ HD$.*H+!c6F)ZY h.U01M1@21’&Q9’7219@9’31L@97<N1I73@&5J*-+.e&@5I I9:01I9:7<5I’*##"’$A!""(+"$\+CD.*"+!c6F)ZY h.G1@21’N’@135’9@7:R92>527J&:12:@9>7<9’N72’7219@9’31L@97<I&2&7>N*-+.e&@5I I9:01I9:7<5I’*#$$’*,!H"( +#,\+,H.*C+!c6F)ZY h.U01N:@5<:5@1&Q9Q Q7219’31L@97<I&2&7>N72:1@I N&Q M1@21’>9:9*O+V V U01a2:1@29:7&29’Y&@MN0&J&2F’31L@97< &2&7>N’Z@&5J=I L1>>723N’92>F’31L@97<O&I L729:&@7<N.U&@&2:&’*#$H’A$($$D\$H#.*A+!T6U O c F?;.U013@&5J&Q527:N&Q9<&221<:1>9’31L@97<I&2&7>*-+.P7219@92>I5’:7’7219@9’31L@9’$D+*’$*!$*"(,A\"#. *++!T6U O c F?;.FN1I73@&5J9JJ@&9<0:&’7219@9’31L@97<3@&5JN*-+.-&5@29’&Q9’31L@9’$D+,’+#!$"($CH\$+".*D+!高辉’高胜哲’尹丽.关于有限群子群的/B完备*-+.郑州大学学报!理学版"’*#$C’H+!*"($$\$,.0H:R=;F@=F;:D9[:A>S;DF P G D9!1V5O1>R F26;DF P G D9&5<:1;$>6:2;15@!D<D5J GP a-52!!C FG G B G902K F+-2K"C O23$Q39G I-2K"G3!C"+3C+’&J234W FG J M3"N+I O"K*’&J234W FG J"$###C’H F"32"$2G=;1@=(U01@1’9:7&2N07J L1:d112Y1R’3@&5JN92>I9]7I9’N5L3@&5JN&Q’7219@9’31L@97<I&2&7>N d9N N:5>71>.E R5N723:01d1730:&Q7>1I J&:12:N9N>1Q721>72N1I73@&5J:01&@R’9<09@9<:1@749:7&2&Q:01&@>1@ &Q:01Y1R’3@&5JN d9N>1@781>.K:A C D;J G(9’31L@97<3@&5JN#9’31L@97<I&2&7>N#Y1R’3@&5JN#I9]7I9’N5L3@&5JN!责任编辑(方惠敏""+。
第六章 几种典型的代数系统
➢ < N, + >， < Z, + >， < Q, + >，< R, + > 都 是无限交换幺半群，幺元是 0。< Z+, + > 不 是幺半群。
定理6.1 群中元素 x 的逆元 x1 的逆元是 x， 即 (x1) 1 = x。 证明 因为 xx1= x1x = e，所以 (x1) 1 = x 。 定理6.2 群中的二元运算满足消去律。 证明 群中的每个元素都有逆元。由定理5.4立 即得出结论。
定理6.3 幺元是群中唯一的幂等元。 证明 ee = e，e 是幂等元。设 a 是群中的任意 幂等元，则 aa = ae。因为群中的二元运算满 足消去律，所以 a = e。
定义6.3 若幺半群 < G, , e > 中的每个元素都有 逆元，f 是 G 上的求逆元运算，即 f(x) = x1，则 称代数系统 < G, , f, e > 为群。若群中的二元运 算是可交换的，则称它为交换群，也称为阿贝 尔群。若群中的集合是有限集，则称该群为有 限群，否则称为无限群。若有限群中的集合有 n 个元素，则称该有限群为 n 阶群。一阶群， 即幺元是群中唯一元素的群称为平凡群。
例如， < Z, +, , 0 > 是无限交换群，称其为整 数加法群。
定义实函数集 RR 上的二元运算 + 如下：
对于任意 f, gRR，(f + g)(x) = f(x) + g(x)。
离散数学 半群与含幺半群(独异点)
∵区间 (0,1) R，且•在(0,1)上封闭可结合， ∴< (0,1), •>是<R, •>的子半群
3
定理2：<S,*>是半群，若S是有限集,则必有aS，使a*a=a。
证明：对 bS ∵<S,*>是半群，*在S上封闭，∴b*b S 记 b2=b*b， 则 b2*b=(b*b)*b=b*(b*b)=b*b2 记 b3=b2*b=b*b2 则b3*b=b2*b*b=b*((b*b)*b)=b*(b2*b)=b*b3
主要内容 1 代数系统的基本概念 2 半群与含幺半群（独异点） 3 群（阿贝尔群与循环群） 4 陪集与拉格朗日定理 5 同态与同构 6 环与域
1
定义1：<S,*>是一个代数系统，S为非空集合，*是定义在S上的二元运算：
• *是封闭的， <S,*>称为广群； • *可结合的广群称为半群； • 含有幺元的半群，称为独异点（含幺半群）； • * 可交换的半群，称为交换半群。
定义3：<G,*>是群，若G是有限集，称<G,*>是有限群； G中元素的个数称为该有限群的阶数，记为 | G |； 若G无限，则<G,*>称为无限群。
定义4：<G,*>是群，a是G中任意元素，nN，定义元素a的幂为： a，……， an+1 = an * a， 定义：a-n = ( a-1) n (其中a-1是a的逆元)
∴x = b ，即元素 b 必满足 b * b = b
7
作业
• P190 （5）
8
半群,幺半群和群的关系
[2] [3] [1],[1] [2] [3]
事实上，可用运算表来完全刻划“+” ，可知“+”是 封闭的。
全部子集构成的集合） ， 通常叫做 A 的幂 集。那么 S , 及 S , 都是有限可换半 群。
定义 2：设 G, 是一个半群，如果 G 中含有单位元 e ，那
么称 G, 为幺半群，通常写为 G,, e .
.
思考题：能否举出一个是半群但不是幺半群的例子？
由于本讲知识是群论的最基本部分，照理不该 出现什么难点，但仍希望能对下列问题引起注意： （1） 半群，幺半群和群的关系. （2） 本讲的论证部分（通过逐渐熟悉这些理论证 明，慢慢踏上“近世代数”的学习之路）. （3） 群的阶和群中元素的阶.
本章教学活动中群的代数运算“ ”习惯上称 为乘法（这时群也称为乘群） ，特殊情况下， “” 也叫加法并改用“+”表示（群也随之叫做加群） 。
都是可换半群。
例 2 取 F 为任一数域， M n (F ) 为 F 上一切 n 阶方阵组成的集合。
若“+”和“ · ”均为通常矩阵的加法和乘法，那么 M n ( F ), 和
M n ，而当 n 1 时 ，
课堂训练 ：由群的定义，判断下列代数体系中哪些是
群？为什么？
1、 Z , 2、 Z , 3、 Q, 4、 Q, 5、 Q, 6、 R, 7、 R,
8、 R , 9、 C, 10、 C ,
11、 C , 12、 N , 13、 N , 14、 N ,
从而 a a aa e .
1
1
自由幺半群A ＊的两类极大自由幺子半群
当 Ｐ是 素数 时 ， ＝ ＜ ＞ Ａ‘ Ｍ Ａ 是 的极 大 自由半 群 ， 本 文对 自由半群 Ａ 的极 自 由子 半 群 进行 了 刻 划 ，
构 造 了 自 由 幺 半 群 的 Ａ’的 两 类 极 大 自 由 幺 子 半
设 Ａ是 一 个 字 母 表 ， 们 称 Ａ上 的 任 意 有 限 我
Ａ ‘． Ｔｈｅ ｃ ａ ｓｃ ｃ ｔ ｎ ａ ｄ ｓｒ ｔ ｒ ｓ ｏ ｈｅ ｍ ａ ｉ ｌｓ ｍｏ ｏ ｄ ｒ ｉ ｅ ｌｓ ｉｆ ａ ｉ ｎ ｔｕｃｕ ｅ ｆｔ ｘ ｍａ ｕｂ ｎ ｉ ｓ ａ ｅ ｇ ｖ ｎ． ｉ ｏ
Ｋｅ ｙ ｗｏｒ ｄｓ：ｍ ａ ｉ ａ ｏ ｘ ｍ ｌｃ ｄｅ；ｒ ｅ ｍｏ ｏ ｄ； ｘｍ ａ ｒ ｅ ｓ ｍｏ ｏ ｄ ｆｅ ｎ ｉ ｍａ ｉ ｌｆｅ ｕｂ ｎ ｉ
结构 。
令 是 幺半 群 ｓ 的 任 意 非 空 子 集． Ｍ‘＝ 且
｛｝ ｕ １ ｕ ｕ … ｕ “ … ， 然 ｕ 显 是 幺半 群 Ｓ
ｂ 其 中 ｂ，ｊ ， ．Ｃ∈Ｂ， ＝１ ２ …ｍ； ｉ ，， ＝１ ２ … １ 那 么 １ ，， １ ， ， １ ，
＝ｍ 且 ｂ ＝Ｃ， ＝１ ２ … １ 则 称 是 一 个 码 。 。 。ｉ ， ， １ ， ，
ＺＨＡＯ Ｐ ｎ ｉ ｇ，ＬＩ Ｚ ｉｍｉ ｈ－ ｎ
（ ｐ ｒ ｎ ｆＭａｈ ａ ｄ Ｃ ｍｐ ｔｒ Ｇｕｚｏ ｒ ａ ｉｅ ｓ ｙ Ｇｕｙ ｎ ，Ｇｕｚ ｏ ５ ０ ， ｉａ Ｄｅ ａｔ ｔｏ ｔ ｎ ｏ ｕｅ ， ｉｈ ｕ Ｎｏ ｌＵｎｖｒｉ ， ｉａ ｇ ｍｅ ｍ ｔ ｉｈ ｕ５ ０ ０１ ０ ０ １ ０ — ５ ０（ ０ ２） ３—０ ７ ０ ８—０ ３
自由 幺半 群 木的两 类 极 大 自由 幺子 半 群
【国家自然科学基金】_幺半群_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140730
2010年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
科研热词 语言图γ (x*)的横截集 极大前缀码 信号码 自由幺半群 自同态 正则半群 本原字 循环完全图 平凡解 l集合范畴 l幺半群模 l幺半群t代数 l可模
推荐指数 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2011年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
科研热词 遗传性 语言图γ (x~*)的横截集 自由clifford幺半群 模糊逻辑系统幺半群 模糊播挪运算 模糊播挪空间 极大前缀码 弱m-armendariz环 弱armendariz环 字树 含恒等元的自由半格 同态映射 半交换环 前缀码 专业领域 m-armendariz环
推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2014年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
2014年 科研热词 雷斯矩阵半群 阿贝尔幺半群 模糊数 本原富足半群 整体 平坦性 幂半群 左几乎正则幺半群 富足幺半群 富足半群 代数运算 zadeh扩张原理 rp-framed富足半群 n-左几乎正则幺半群 推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2011年 科研热词 推荐指数 正规rees矩阵半群 3 态射 2 幺半群 2 半格分解 2 ρ -green关系 2 super-r-ample半群 2 r-ample半群 2 矩形单幂幺半群 1 正则orthocryptou半群 1 条件(e) 1 推广 1 循环系 1 强平坦覆盖 1 强半格 1 弱混合 1 平移壳 1 完全■-单半群 1 完全j* 1 完全(∮)*'~-单半群 1 好同态 1 同构 1 单幂幺半群 1 半群的加细半格 1 半群作用 1 几乎周期点 1 传递性 1 ~-单半群 1 u-超富足半群 1 u-semigroups 1 regular orthocryptou semigroups 1 refined semilattices of semigroups 1 rectangular u-semigroups 1 lρ c-正则半群 1 good homomorphisms 1 (￡)ρ c-正则半群 1
第九章 半群与群(Semigroups and Groups)
第九章半群与群（Semigroups and Groups）本章讨论含一个二元运算的特殊的代数系统――半群与群。
群论近世代数中发展最早、内容最丰富、应用最广泛的部分，也是建立其他代数系统的基础。
群论在自动机政论、形式语言，语法分析快速加法器设计、纠错码制定等方面均有卓有成效的应用。
2－1 半群与含幺半群定义2－1.1 满足结合律的代数系统U=<S,*>称为半群。
例2－1.1 <N,+>,<N,×>,<2I+,+>和<2I+,×>都是半群。
例2－1.2 <Nm ,+m>和<Nm,×m>都是半群。
例2－1.3 <M2(I),+>和<M2(I),·>都是半群。
定义2－1.2含幺元e的半群U=<S,*>称为含幺半群，常记作U=<S,*,e>。
在例2－1.1～例2－1.3中，除<2I+,+>和<2I+,×>外都是含幺半群。
例2－1.4 设S是任意非空集合，则<p(S),∪>和<p(S),∩>都是含幺半群。
例2－1.5在形式语言中，我们常称非空有限字符集合为字母表。
字母表中字符的n 重序元称为字符串，由m个字符所组成的字符串称为长度为m的字符串。
长度为0的字符串称为空串，用来表示。
如对V={a,b}, =aa和β=ab都是长度为2的字符串；γ=aab 和δ=bab都是长度为3的字符串。
我们用*来表示两个字符串的邻接运算，如,α*δ=aabab,α*γ=aaaab。
设用V*表示字母表V的所有有限长度字符串的集合，而用V+表示V*-{ }，则显然<V+,*>是半群，<V+,*, >是含幺半群。
定义2－1.3对运算满足交换律的半群（含幺半群）称为交换半群（交换含幺半群）。
第4讲_半群和群的性质_New
群中等幂元唯一
例：在群<G,*>中，除单位元e外，不可 能有任何别的等幂元(即a*a=a)
证：e*e=e，∴e为等幂元 现设a∈G，a≠e且a*a=a 则有a=e*a=(a-1*a)*a=a-1*(a*a)=a-1*a=e
2013-7-4
30
例1 元素的阶1
例： G为群，a∈G， |a|=r, 证明|at| = r/(t,r) 证： 令|at| = s, 设(t, r) = d , t =dp, r = dq , r/(t,r) = r/d = q 只要证s = q
20
群的等价定义2
定义：设<G,*>是一个半群，a,b∈G，方程 a*x=b和y*a=b在G中有解，则G是群。
证 找右单位元和任意元素的右逆元. 任取b∈G,方程bx=b 的解记为e. ∀a∈G, yb=a 的解记为c, 即cb = a. ae = (cb)e = c(be) = cb =a e为右单位元. ∀a∈G, 方程ax=e 有解，得到a 的右逆元
2013-7-4
b17
b16 b15 b11
b10
26
幂等元构造
bi=bp*bi.
bi=bkp*bi,可找到k使得kp≥i
bi=bp*bi=bp*（bp*bi） =……=bp*……*bp*（bp*bi） bi *b*b*…*b =bkp*bi *b*b*…*b
bq=bkp*bq,其中 q =kp 设a=bkp，则a*a=a
元素a 的阶 |a|：使得ak=e 成立的最小正整数k
有限群的元素都是有限阶，比群的阶小（为群 的阶的因子！！！）； 元素都是有限阶的群不一定是有限群
glj-chapter3 半群和群
例
设半群V1=<S, .>,独异点V2=<S, . , e>其
中
a 0 S 0 d a, d R
独异点的子半群可以是独异点，但 a R T 0 0 不一定是它的子独异点。
. 为矩阵乘法，e为2阶单位矩阵。 令 a 0
证明：(1) 先证存在 a G ，使 a 1 a 。
事实上，若 a G ，都有 a1 a ，即 a 2 e
由例6知， 是阿贝尔群，与题设矛盾。 G
(2) 再证结论成立。
a 设 a G ， 1 a ，令 b a 1 ，
则 a, b非幺元，且 a b ，但 ab ba 。
所以 2 3 。 同理可得：1 6 ，3 2 ， 4 3
5 6 , |0|=1。
6、群的性质。
定理1. 设G为群，则G中的幂运算满足： (1)(a-1)-1=a (2)(ab)-1=b-1a-1 (3)anam=an+m (4)(an)m=anm (5)若G为交换群，则(ab)n=anbn
定理2. G为群，a, bG. 方程ax=b和ya=b在G 中有解且有唯一解.
证: a-1b是ax=b的解. a(a-1b)=b 假设c为解，则 c = ec = (a-1a)c =a-1(ac) = a-1b 同理可证ba-1是ya=b的唯一解.
例：解方程
设群G=<P({a, b}, )>， 为集合的对称差运算 解下列方程： {a} X= Y {a, b}={b} X={a}-1 Y={b} {a, b}-1
第三章 半群与群
第一节 半群与独异点 Semigroup &Monoid
第十三章 半群与群
半群同态映射 f 可以不是惟一的。
根据半群同态映射 f 是单射(一对一)、满射、 双射，把半群同态映射 f 分别定义半群单一 同态映射、半群满同态映射和半群同构映 射。
如果两个半群，存在一个同构映射，则称 一个半群同构于另一个半群。
19
第十三章 半群与群
下面给出一个半群同态保持等幂性的定理。 定理13.2.1 如果 f 为从<S，⊙>到<T，*>的 半群同态映射，对任意a∈S且 a⊙a = a，则 有 f(a) *f(a)= f(a)。 证明：因为 f 为同态映射，对任意等幂元 a∈S, 有 a⊙a = a， 所以 f(a) *f(a)= f (a⊙a)=f (a)
4
第十三章 半群与群
定理13.1.1 <S，⊙>为有限半群 (x)(x∈S∧x⊙x=x)
证明：因为是半群，因此运算是可结合的， 故对任意 y∈S 有： y⊙y = y2∈S, y2⊙y = y3∈S , y3⊙y = y4∈S,...... 因为是有限半群，因此存在 j>i，使得 yj= yi。 令 p= j-i, 则 yj = yi+p = yi⊙yp, 所以对 q>i 有 yq = yq ⊙ yp, 因为 p>=1，所以存在k>=1, 使得 kp>=i。 对于 ykp ∈S, 则 ykp = ykp⊙yp= (ykp⊙yp)⊙yp=... = ykp⊙ykp 因此，存在 x=ykp ∈S，使得 x⊙x=x。
3
第十三章 半群与群
例13.1.1 给定<N，+>和<N，×>，其中N 为自然数集合，+和×为普通加法和乘法。 易知<N，+>和<N，×>都是半群，而且还 是独异点。 因为0是+的幺元，1是×的幺元。 如果半群<S，⊙>中的集合S是有限的，则 称半群为有限半群。 定理13.1.1 <S，⊙>为有限半群 (x)(x∈S∧x⊙x=x)(有限半群存在等幂元)
半群
Δ
a
b
c
a
a
b
c
b
aLeabharlann bcca
b
c
验证<S, Δ>是一个半群。
解 从表5-3.1中可知运算Δ是封闭的，同时a,b和c都是左幺 元。所以，对于任意的x,y,zS，都有
xΔ(yΔz)=xΔz=z=yΔz=(xΔy)Δz 因此，<S, Δ>是半群。
明显地，代数系统<I+，->和<R，/>都不是半群，这里，和/分别是普通的减法和除法。
当k=4时， *k的运算表如下：
*k 0 1 2 3 00000 10123 20202 30321
找出<Nk，*k>中的等幂元。 0和1都是等幂元。
例题2 设S={a,b,c}，在S上的一个二元运算Δ 定义如表5-3.1 所示。 表5-3.1：
Δ
a
b
c
a
a
b
c
b
a
b
c
c
a
b
c
验证<S, Δ>是一个半群。
因S是一个有限集合，所以必存在 j>i，使得
bi = bj
令
p=j-i 即 j =p+i 代入上式：bi = bp bi
所以， bq = bp bq i≤q
因为p≥1所以总可以找到k≥1，使得 kp≥i ,
对于bkp S，就有 bkp = bp bkp = bp (bp bkp )
本例题的实例见 表5-3.2和表5-3.3
(1)由运算+m和×m的定义，可知它们在Zm上都是封闭的。
(2)对于任意[i]，[j]，[k]Zm ([i]+m[j])+m[k]=[i]+m([j]+m[k])
离散数学专业名词
第一章集合论、逻辑与算法基础1.1集合set（集合）power set（幂）complement of a set（补集）roster method（枚举法）universalset set（全集）symmetric difference（对称差集）set-builder method（集合构造方法）Venn diagrams（文氏图）ordered pair（有序对）subset（子集）union of sets（并集）Cartesian product（笛卡尔积）superset（父集）intersection of sets（交集）diagonal of a set（对角集）proper subset（真子集）disjoint sets（不相交集）ordered n-tuples（有序n元组）equal sets（相等集合）index set（索引集）n-flod Cartesian product（n次笛卡尔积）empty （null）set（空集）set difference（差集）bit string（位串）finite set（有限集）mutually disjoint（互不相交）length（长度）infinite set（无限集）pairwise disjoint（互不相交）singleton set（单体集合）relative complement（相对补集）1.2数理逻辑statement（命题）condition（条件）converse（逆命题）proposition（命题）biimplication（双向蕴涵）inverse（反命题）truth value（真值）biconditional（双向条件）contrapositive（逆否命题）negation（非）logical connectives（逻辑连接词）statement formula（命题公式）conjunction（合取）well-formed formulas（良态公式）formula（公式）disjunction（析取）tautology（重言式）implication（蕴涵）contradiction（矛盾式）1.3论证有效性proof（证明）modus tollens（否定法）disjunctive addition（析取加法）argument（论证）disjunctive syllogisms（析取三段论）conjunctive addition（合取加法）conclusion（结论）hypothetical syllogism（假设三段论）logically valid（逻辑有效）premise（前提）dilemma（二难推论）modus ponens（断言法）conjunctive simpli fications（合取简化）1.4量词与一阶逻辑statement logic（命题逻辑）predicate（谓词）domain（域）propositional logic（命题逻辑）propositional function（命题函数）free vricable（自由变量）n-place predicate（n位谓词）bound variable（约束变量）first-order logic（一阶逻辑）universal quantifier（全称量词）counterexample（反例）existential quantifier（存在量词）disproof（反证）1.5证明方法theorem（定理）indirect proof（间接证明）proof by contradiction（反证法）proof by direct method（直接证明方法）direct proof（直接证明）1.6 算法algorithm（算法）two-way selection（双路选择）list（列表）input（输入）if two-dimensional array（二维数组）output（输出）thenread precision（精度）else printuniqueness（唯一性）whilesubproprams（子程序）finiteness（有限性）do proceduregenerality（通用性）forfunction assignment operator（赋值运算符）begin constant polynomial（常量多项式）assignment statement（赋值语句）enddegree（次数）control structures（控制结构）return one-way selection（单路选择）arrays（数组）第三章关系与偏序集3.1关系与偏序集binary relation （二元关系）directed graph representation（有向图表示）digraph （有向图）relation （关系）vertex（顶点）adjacent to （与...相邻）R-related （R-相关）directed edge（有向边）adjacent from（从...相邻）related （相关）directed arc（有向弧）loop （环）empty relation （空关系）arrow diagram （矢量图）domain （域）universal relation （全称关系）directed graph（有向图）range （值域）image (映像) equivalence class （等价类）transitive closure （传递闭包）inverse （逆）R-class（R-类）directed walk （有向通路）composition （复合）reflexive （自反）R-equivalence class （R-等价类）walk （通路）partition （划分）vertices of the walk （通路顶点）transitive （传递）equivalence relation induced by the partition （划分推出的等价关系）terminal vertex （终止顶点）equivalence relation （等价关系）internal vertices （内部顶点）equality relation （相等性关系）reflexive closure （自反闭包）path （路径）congruence modulo m （模m同余）symmetric closure （对称闭包）3.2偏序集antisymmetric （反对称）lexicographic order （词典序）topological ordering （拓扑排序）partial order （偏序）dictionary order （字典序）upper bound（上界）partially ordered set （偏序集）closed （闭合）poset （偏序集）least upper bound（lub）（最小上界）covers （覆盖）lower bound （下界）dual （序偶）Hasse diagram （哈赛图）greatest lower bound （glb）（最大下界）comparable （可比）minimal element （极小元）lattice （格）linearly ordered set （线性有序集）maximal element （极大元）distributive （可分配性）totally ordered set （完全有序集）greatest element （最大元）complement （补元）chain （链）least element （最小元）Boolean algebra （布尔代数）product partial order （积偏序）compatible （兼容，相容）第四章矩阵与关系闭包4.1矩阵matrix（矩阵）diagonal matrix（对角矩阵）join（并）rectangular array（矩阵阵列）identity matrix（单位矩阵）Boolean meet（布尔交）element（元素）sum（和）meet（交）entry（项）difference（差）join of meet expression（相交表达式的并）equal（等于）multiplication（乘法）Boolean product（布尔积）square matrix（方阵）transpose（转置）product（积）zero matrix（零矩阵）symmetric（对称）diagonal element（对角元素）Boolean join（布尔并）4.2 关系矩阵与闭包matrix of a relation（关系矩阵）Warshall’s algorithm（Warshall算法）第五章函数5.1 函数function（函数）target（目标）onto（满射）well defined（合理定义）range（值域）surjective（满射）single valued（单值）numeric functions（数字函数）surjection（满射）image（映像）identity function（恒等函数）one-to-one correspondence（一一映射）preimage（预映像，前射，前像，原像）constant function（常数函数）bijective（双射）mapped（映射）one-one（单射函数）bijection（双射）domain（域）injective（内射）composition（复合）codomain（合域）injection（内射）5.2 特殊函数与集合的基数inverse function（逆函数）images（映像）cardinality（基数）left invertible（左可逆）direct image（直接映像）equivalent（等价）left inverse（左逆）inverse image（逆映像）equipotent（幂等）right invertible（右可逆）floor（下限）countable（可数）right inverse（右逆）ceiling（上限）uncountable（不可数）restriction（限制）floor function（弱取整函数）extension（扩展）ceiling function（强取整函数）5.3 序列与字符串sequence（序列）sum of the terms（项之和）index（索引）nth term of the sequence（序列第n项）summation symbol（求和符号）subscript（下标）finite sequence（有限序列）string（字符串）infinite sequence（无限序列）word（字符）integer sequence（整数序列）dummy variable（哑变量）alphabet（字母表）arithmetic progression（AP）（等差数列）lower limit（下限）length（长度）first term（首项）upper limit（上限）empty string（空字符串）common difference（公差）general term（通项）empty word（空串）geometric progression（GP）（等比数列）product of the terms（项之积）concatenation（接合）common ratio（公比）product symbol（求积符号）5.4 二元运算binary operation（二元运算）mathematical system（数学系统）idempotent（幂等）close under（在……下闭合）groupoid（群）idempotent semigroup（幂等半群）associative（可结合）identity（单位元）band（带）commutative（可交换）semigroup（半群）free semigroup generated by（由……生成的自由半群）Cayley multiplication table（Cayley乘法表）monoid（幺半群）free monoid generated by（由……生成的自由幺半群）Cayley table（Cayley表）transformation semigroup（变换半群）第六章同余6.1同余Congruent （同余）congruence class modulo （模m的同余类）6.3线性同余linear congruence in one variable （一个变量x的线性同余式）inverse （逆）residue representation （余数表示）unique modulo （唯一模）modular representation （模表示）round-robin tournament （循环赛）hashing （散列）hash address （散列地址）linear probing （线性探测）hash table （散列表）hashing function （散列函数）probe sequence （探测数列）hash function （散列函数）collision （冲突）double hashing （双重散列）6.4特殊同余定理Euler phi-function （欧拉phi函数）ciphertext （密文）encryption key （加密钥匙）plaintext（明文）decryption function （加密函数）decryption key （揭秘钥匙）第十章图论10.1图的定义与符号graph （图）parallel （平行边）arc（弧）set of vertices （顶点集合）isolated vertex （顶点孤立）Staring vertex （始点）set of edges （边集）degree （度）terminating vertex （终点）incidence function （关联函数）k-regular graph （k-正则图）in-degree （入度）end vertices （端点）even degree vertex （偶度顶点）out-degree （出度）endpoints（端点）odd degree vertex （奇度顶点）simple graph （简单图）incident （关联）degree sequence (度数列) complete graph（完全图）Adjacent （相邻）directed graph（有向图）triangle （三角形）loop （环）digraph （有向图）bipartite graph （二分图）incidence table （关联表）directed edge（有向边）Bipartition （二分）complete bipartite （完全二分）subgraph （子图）Complement of a graph（补图）Ramsey number （Ramsey数）10.2通路，路径与圈walk （通路）initial vertex （始点）terminal vertex（终点）directed walk （有向通路）length of a walk （通路长度）length of a directed walk （有向通路长度）u-v walk （u-v通路）u-v directed walk （u-v 有向通路）closed walk （闭合通路）closed directed walk （闭合有向通路）open walk （开放通路）open directed walk （开放有向通路）trail （迹) path （路径）trivial walk （平凡通路）trivial path （平凡路径）trivial trail （平凡迹）nontrivial walk （非平凡通路）nontrivial path （非平凡路径）nontrivial trial （非平凡迹）circuit （回路）cycle （圈）k-cycle （k圈）even cycle （偶数圈）odd cycle （奇数圈）subwalk （子通路）reduction of P by Q（P用Q简化）decomposition （分解）connected （连接）connected graph （连接图，连通图）disconnected graph （不连接图，不连通图）component （分支）distance （距离）matching （匹配）M-saturated （M-饱和）M-unsaturated （M-不饱和）perfect matching （完美匹配）maximum matching（最大匹配）neighbors （邻居）10.3图的矩阵表示adjacency （相邻矩阵）incidence matrix（关联矩阵）10.4特殊回路Euler circuit （欧拉回路）Euler trail （欧拉迹）Hamiltonian graph （汉密尔顿图）Euler graph （欧拉图）Hamiltonian cycle （汉密尔顿圈）Hamiltonian path （汉密尔顿路径）10.5同构isomorphic （同构）different （不同）10.6图算法weight （权）weighted graph （加权图）weight matrix （加权矩阵）length of a path （路径长度）shortest path algorithm （最短路径算法）greedy algorithm （贪婪算法）topological ordering （拓扑排序）immediate successor （直接后继）queue （队列）rear （队尾）10.7 平面图和图着色planar graph（平面图）exterior face（外面）proper vertex coloring（正常顶点着色）plane graph（平面图）interior face（内面）chromatic number（色数）planar representation of a graph（图的平面表示）subdivision of a graph（图的细分）edge coloring（边着色）faces（面）homeomorphic（同胚）proper edge coloring（正常边着色）boundary（边界）vertex coloring（顶点着色）chromatic index（色索引）第十一章树与网络11.1 树tree（树）acyclic graph（无环图）11.2 有根树rooted tree（有根树）binary tree（二叉树）postorder traversal（后序遍历）lever（层）trivial tree（平凡树）inorder sequence（中序顺序）child（子节点）left child（左子节点）preorder sequence（前序顺序）terminal vertex（终点）right child（右子节点）postorder sequence（后序顺序）leaf（叶子）left subtree（左子树）binary search tree（二叉搜索树）internal vertex（内顶点）right subtree（右子树）infix（中缀）descendant（后代）full binary tree（完全二叉树）prefix（前缀）ordered rooted tree（有序有根树）inorder traversal（中序遍历）postfix（后缀）height（高度）preorder traversal（前序遍历）expression tree（表达式树）11.3 生成树spanning tree（生成树）minimal spanning tree（最小生成树）weighted tree（加权树）Prim’s algorithm（Prim算法）weight（权）11.4 网络single-source，single-sink network（单元单汇网络）flow conservation（流量守恒）quasipath（拟路径）source（源）flow in edge（边流）forward arc（正向弧）target（目标）flow into（流入）backward arc（反向弧）sink（汇）flow out of（流出）slack（松弛）s-t network（s-t网络）conservation of flow（流量守恒）F-saturated（F-饱和）capacity（容量）value of a flow（流值）F-unsaturated（F-不饱和）transport network（传输网络）s-t cut of network（网络的s-t分割）flow augmenting（流增广）network（网络）capacity of an s-t cut（s-t分割容量）patent（父节点）flow（流）minimal cut（最小分割）immediate predecessor（直接前驱）capacity constraint（容量限制）maximal flow（最大流）。
二、半群和独异点、群与子群
五.
定义
有限群
设<G，*>是一个群。如果G是有限集，那末称<G,*>为
有限群，G中元素的个数通常称为该有限群的阶数，记 为|G|；如果G是无限集，则称<G,*>为无限群。
定理
证明
群中不可能有零元。 当群的阶为1时，它的唯一元素视为幺元。 设|G|>1且群<G,*>有零元θ 。那么群中任何元素x∈G， 都有x*θ= θ*x= θ≠e，所以，零元θ就不存在逆元，这 <G,*>是群相矛盾。
例 <I,+>是一个群，设IE={x|x=2n,n∈I}，证明<IE,+>是<I,+> 的一个子群。 分析 1）+在IE上封闭。 2）+在IE上可结合。 3） <IE,+> 有幺元。 4） IE中的每个元素都有逆元。
七. 定义
平凡子群 设<G，*>是一个群， <S，*>是<G,*>的子群，如果
S={e}，或者S=G，则称<S，*>是<G,*>的平凡子群。
定义 设S是一个非空集合，从集合S到S的一个双射称为
S的一个置换。
定理 群<G,*>的运算表中的每一行或每一列都是G的元
素的一个置换。 证明见书Ｐ193
等幂元 定义 定理
证明 代数系统<G, * >中，如果存在a∈G，有a * a=a， 则称a为等幂元。 在群<A,*>中，除幺元e外，不可能有任何别的等幂元。 因为e * e=e，所以e是等幂元。 假设存在a∈A,a≠e且a * a=a 则有 a=e * a=(a-1 * a) * a=a-1 *(a * a)=a-1 * a=e 与假设a ≠ e相矛盾。
自由群与自由半群的二维表示
自由群与自由半群的二维表示一、引言在代数学中，自由群和自由半群是非常重要的概念。
它们是群论和半群论的基础，广泛应用于各个领域。
本文将介绍自由群和自由半群的概念及其二维表示。
二、自由群的概念及特点自由群是指由一组生成元生成的群，生成元之间没有任何关系。
换句话说，自由群中的元素是由生成元及其逆元按照某种规则组合而成的。
自由群的一个重要特点是，它的元素可以表示为字母表中的有限长度字符串。
三、自由群的二维表示为了更直观地表示自由群，我们可以使用二维图形来描述。
假设有两个生成元a和b，它们可以分别表示为二维平面上的两个向量。
那么自由群的元素可以表示为这两个向量在平面上的路径。
具体来说，每个生成元可以表示为一个单位向量，例如a表示为(1,0)，b表示为(0,1)。
那么自由群的元素就可以表示为路径上的一系列向量的累加。
例如，元素aba可以表示为路径上依次经过(1,0)，(0,1)，(1,0)这三个向量。
四、自由半群的概念及特点自由半群是指由一组生成元生成的半群，生成元之间没有任何关系。
与自由群不同的是，自由半群的元素只能表示为生成元按照某种规则组合而成的。
五、自由半群的二维表示与自由群类似，为了更直观地表示自由半群，我们可以使用二维图形来描述。
假设有两个生成元a和b，它们可以分别表示为二维平面上的两个向量。
那么自由半群的元素可以表示为这两个向量在平面上的路径。
不同于自由群，自由半群的元素不能表示为路径上的向量累加。
而是表示为路径上的一系列向量的连接。
例如，元素ab可以表示为路径上连接(1,0)和(0,1)这两个向量的线段。
六、自由群与自由半群的比较自由群和自由半群有相似之处，它们都是由生成元生成的代数结构。
但是在表示方式上有所不同。
自由群的元素可以表示为路径上的向量累加，而自由半群的元素表示为路径上的向量连接。
自由群和自由半群在运算规则上也有所不同。
自由群中的元素可以进行逆元运算，而自由半群的元素只能进行合成运算。
幺半群的例子
幺半群的例子幺半群是一种特殊的代数结构，它由一个非空集合和一个二元运算组成。
该二元运算满足结合律且存在一个单位元素。
下面列举了十个幺半群的例子。
1. 自然数集合上的加法运算：自然数集合{0, 1, 2, 3, ...}上的加法运算是一个幺半群。
单位元素是0，运算满足结合律。
2. 正整数集合上的乘法运算：正整数集合{1, 2, 3, ...}上的乘法运算是一个幺半群。
单位元素是1，运算满足结合律。
3. 有理数集合上的加法运算：有理数集合上的加法运算是一个幺半群。
单位元素是0，运算满足结合律。
4. 实数集合上的乘法运算：实数集合上的乘法运算是一个幺半群。
单位元素是1，运算满足结合律。
5. 矩阵乘法：所有n阶方阵的集合上的矩阵乘法是一个幺半群。
单位元素是n 阶单位矩阵，运算满足结合律。
6. 字符串连接：所有字符串的集合上的字符串连接运算是一个幺半群。
单位元素是空字符串，运算满足结合律。
7. 布尔值集合上的逻辑与运算：布尔值集合{真, 假}上的逻辑与运算是一个幺半群。
单位元素是真，运算满足结合律。
8. 集合的并运算：所有集合的集合上的并运算是一个幺半群。
单位元素是全集，运算满足结合律。
9. 集合的交运算：所有集合的集合上的交运算是一个幺半群。
单位元素是空集，运算满足结合律。
10. 函数的复合运算：所有函数的集合上的函数复合运算是一个幺半群。
单位元素是恒等函数，运算满足结合律。
以上是十个幺半群的例子，它们分别来自于不同的数学领域和实际应用中。
幺半群在代数学、计算机科学、物理学等领域中具有重要的应用价值，深入研究幺半群的性质和结构有助于理解和解决实际问题。
第2节 半群与幺半群
6/13
近世代数
子半群、子幺半群
定义2 设(S,∘)是半群，B是S的一个非空子集. 如果 x, yB，有x∘yB，则称(B,∘)是(S,∘)的一个子半 群，简称B是S的子半群. 定义3 设(S,∘,e)是幺半群，P S. 如果eP 且P是S 的子半群，则称P是S的子幺半群. 定理4 (1) 设(S,∘)是半群，B是S的一个非空子集. B是S的子半群 B∘B B. (2) 设(S,∘,e)是幺半群，P S. P是S的子幺半群 eP且 P∘P P.
性质3 由A生成的的子半群是半群S包含A的最小子 (幺)半群. 由A生成的的子幺半群是幺半群S包含A的最小子幺 半群. 10/13
近世代数
理想
定义5 设A是半群(S,∘)的一个非空子集. 如果r∈S有 rA A(Ar A)，则称A是半群S的左(右)理想. 如果A既是S的左理想，又是S的右理想，则称A是S的 理想.
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近世代数
生成子(幺)半群
定义4 设(S,∘)是半群，A是S的一个非空子集. 由S的 包含A的所有子半群的交集所作成的子半群称为由 A生成的的子半群，记为(A).
设(S,∘,e)是幺半群，A是S的一个非空子集. 由S的包 含A的所有子幺半群的交集所作成的子幺半群称为 由A生成的的子幺半群，记为(A).
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近世代数
子(幺)半群的实例
例2 (Z, ×)是半群，也是幺半群， {0,1}Z，则 ({0,1}, ×)是(Z, ×)是子半群，也是子幺半群. [注意] (1)幺半群的子半群如果有单位元，且和幺半群的单 位元相同，才能被称为子幺半群. 换句话说，也就是幺半群的一个子半群如果有单位 元，但和幺半群的单位元不同，它也不能被称为子 幺半群.（会有这种情况吗？） (2)幺半群有无单位元(不管此单位元是否和幺半群的 单位元相同)的子半群.
(第17讲)代数结构
S
3）1是幺元， 4）－1的逆元是－1，1的逆元是1
T
所以，<S, × >是群。
XDC
C
S
群的性质
|
性质1 群中不可能有零元。
S
性质2 （等幂性）群中不存在除了幺元以外的等幂元。
W
性质3（逆元唯一性）设<G，*>是一个群，对于a，b∈G，
必存在唯一的x∈G，使得a*x=b。
U
性质4 （消去性）设<G，*>是一个群，对于任意的a，b，
S
2 对于任意x，y，zR，
T
x*（y*z）=x+（y+z+yz）+x（y+z+yz）
=x+y+z+xy+xz+yz+xyz
（x*y）*z =（x+y+ xy）+ z+（x+y+xy） z
=x+y+z+xy+xz+yz+xyz
所以 x*（y*z）=（x*y）*z ，*在R上可结合。
S
c∈G，如果有a*b=a*c或者b*a=c*a，则必有b=c。
T
性质5（互异性）群的运算表中没有任何两行(或两列)是
完全相同的。
性质6 XDC
设<G，*>是一个群，对于任意的a，b∈G，有 (a*b)-1=b-1*a-1。
C
S
子群
|
定义 设<G，*>是一个群，S是G的非空子集，
若满足：(1)*在S上是封闭的 S
XDC
C
S
| 3 对于任意xR，因为x*e=x+e+xe=x+e(x+1)=x，
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令 是 一个字母 表 ， 称 上 的任 意 有 限字母 的
１ 引言 及 基 本 概 念
令 是 幺半 群 的任 意 非 空 子 集 ， ： ： 且 Ａ
｛ ｝ ｕ ｕ… ｕ ｕ… ， 然 Ａ １ｕ 显 是 半群 Ｓ的 子 半群 ， Ａ 称 是 由 Ａ生成 的 幺半 群 ．的子半 群 。 ｓ 定义 １ 设 Ｍ 是 幺半群 ｜ ｓ的任 意非 空 子 集 ， 若 满 足 ： ＶＵ ，２ …ｕ ，１ｚ ， ， Ｅ （ １ ， ，２ … １ ） ３ Ｍ）
ＸａｄＣ＝ ２ Ｂ （ ＮＢ ） ， ｈｒＥ： ＢＢ ＢＢ ＵＢＢ Ｂ １Ｘ ＼￣ ＵＥ ｗ ｅ Ｂ “（ １ ２１ ２１ ｎ Ｕ ｅ Ｕ Ｕ…ｕＢ － １ ）Ｎ＞ ， 。 Ｂ ｕＢ ， ３Ｍ＞Ｏ ｔ ｎ ，ｈ ｅ
Ｃ ａ ｅ ｓ ｏ ｎ ｔ ｅ ｓ ｂ ｎ ｉ ｓｏ ｅ ｆｅ ｎ ｉ ．Ｔ ｉ ｐ ｐ ｒｃ ｎ ｔ ｃ ｓａ ｌｎ ｕ ｇ ｉｇ ａ ｗ ｔ ａ ｏ ｅ ｒ ｈ ｗ ｈ ｕ ｍｏ ｏ ｄ ｆ ｈ ｒ ｅ ｍｏ ｏ ｄ ｘ ｏ ｔ ｈ ｓ ａ ｅ ｏ ｓｒ ｔ ａ ｇ ａ ｅ ｄ ａ ｒ ｍ ｉ Ｘ。 ｓｎ ｄ ｕ ｈ
由子 半群 ， ， 么 Ｓ＝Ｔ或 Ｔ＝ 。 Ｓ 那 Ｘ
称 Ｓ是 自 由 幺半 群 。 （ ｈ ｒ ２ ０ ； 平 等． ０ ６ Ｓｙ，０ １ 赵 ２０ ；
收 稿 日期 ：０ ２ ３１ 修 回 日期 ：０２０ －０ ２ １－ —５； ０ ２ １ －３２
２ 语 言 图 厂 × 及 同根 子 语 言 图 （ ）
Ａ ｓ ａｔ Ｌｔ ｂ ｅｆ ｅｍ ｎｉ ｅｅａ ｄｂ ｎａ ｈｂｔ ．Ｌｔ｛ Ｂ ｂ ｎａ ｉａｙｔｏｐｒｔｎｏ ｂｔ ｃ： ｅ ｘ ｅｔ ｅ ｏｏ ｇｎｒｔ ｙａ ｌ ａｅ Ｘ ｅ Ｂ ，２ ｅａ ｒ ｔ ｒ ｗ —ａｉｏ ｎ ｒ ｈ ｒ ｄ ｅ ｐ １ ｌ ｂｒ ｔｉ
（ １ ２１ 日Ｕ…ｕ ＢｕＢｘ ，≥ ， ｏ则 ｃ 是 Ｘ 的幺子半群。以Ｘ 为顶点集构造 了一个语言图， 曰ＢＵＢＢｕ ；Ｉ 日 ～ １ ￣ ）Ⅳ ３ ≥ ， 然后利
用 该语 言 图证 明 了 Ｇ 是 的 一 族 极 大 自由 幺子 半群 。 关 键 词 ： 语 言 图 ， 大码 ， 由 幺半 群 ， 大 自由 幺子 半 群 极 自 极 中 图分 类号 ０１６． ５２７ 文献标 识码 Ａ 文 章编 号 １０・ ６ （０２ ０－０１ ３ ０３６ ３ ２１ ）３０１－ ５ ０
ｓ ｔ，ａ ｄ ｐ ｏ ｅ ａ ｅ ｎ ｒ ｖ ｓｔ ｔＣ ａ ｅ ａ ｆｍｉ ｘｍａ ｒ ｅ ｓ ｂ ｎ ｉ ｆｔ ｅ ｆｅ ｎ ｉ ｈ ｒ ａ ｌ ｍａ ｉ ｌｆｅ ｕ ｍｏ ｏｄｓｏ ｈ ｒ ｅ ｍｏ ｏ ｄ Ｘ ． ｙ Ｋｅ ｙ ｗｏｒ ： Ｌａ ｇ ａ ｅ ｄａ ｒ ｍ ，ｍａ ｉ ｌｃ ｄ ｆｅ ｎ ｉ ｍａ ｉ ｌｆｅ ｕｂ ｎ ｉ ｄｓ ｎ ｕ ｇ ｉｇ ａ ｘ ｍａ ｏ ｅ，ｒ ｅ ｍｏ ｏ ｄ， ｘｍａ ｒ ｅ ｓ ｍｏ ｏｄ．
自由 幺半 群 ， 我们称 Ｘ ＼ １ 是 由 生 成 的 自 ＝ ｛｝
由半 群。令 Ｌ是 的非空 子 集 ， 称 是 的一个 语 言 。如果 ｎＬ ＝ ， 称 是 一 个前 缀码 。如 Ｘ 则
果 语 言 ￡是 的基 ， 则称 是 一个 码 。 如果 码 满
足 ： 任 意 ＥＸ ， Ｌｕ ｛ ｝ 是码 ， 对 ＼ 有 不 则称 是
贵 州 科 学 ３ （ ） １ －１ ，０２ ０ ３ ：１ ３ ２ １
Ｇｕ ｏｕ Ｓ ｉｎ ｅ ｋｈ ｃｅ ｃ
自 由 幺半 群 Ｘ术的 一 族 极 大 自 由 幺子 半 群
徐 波
（ 贵州师范大学 数学与计算机科学学院 ， 贵阳 ５０ ０ ） ５ ０ １
摘 要 ： 设 Ｘ 是 由字母表 ｘ生成的 自由 幺 半群 ，Ｂ ， 是 Ｘ的任 意 ２一划分 ， Ｂ ｕ ｌＸ ＼ 。 ｕＥ 其 中 Ｅ＝ “ ・ ｛ Ｂ ｝ Ｇ＝ ２ Ｂ （ ＵＢ ） ，
一
则 称 Ｍ 是 幺半 群 ． ｓ的基 ， 然 显
是 Ｓ的 幺子 半 群
个 极大 码 （ 赵平 等 ，０ ６ ２ ０ ａ２ ０ ｂ ２ １ ） ２ ０ ；０ ７ ；０ ７ ；０ １ 。
且 １
２ ０ ｂ ０７ ）
如果 存 在 的一个 基 ， 得 Ｓ＝Ｂ 则 使 ，
定义 ２ 设 ．是 的 自由子半 群 ， ｜ ｓ 称 ｓ是 的极 大 自由子 半 群 ， 是指 Ｓ满 足 ： 是／ 的任 意 自 Ｘ’
ｕ１ ２ Ｍ … ＝ Ｖ ２ Ｖ ｍ ＝Ｆ， １＝ ， １ … ｍ Ｉ ， ｉ＝ １， … ， ２， ｎ，
排列 是一 个字 。特别地 ， １表示 不含字 母 的空字 ， 用
令 是 上所有 的字 的集合 ， 义 上 的二元运 定
算 为任意 ２个字 的连 接 运 算 ，则 是 由 生 成 的
Ａ ｍ ｉ ａ ｉ ａ ｅ ｂ ｏ ｉ ｆ ｔ ｅ ｏ ｉ ａ Ｆａ ｌ Ｍ ｘ ｍ ｌＦｒ ｅ Ｓｕ ｍ ｎｏ ｄ ｏ ｈｅ Ｆｒ ｅ Ｍ ｎｏ ｄ Ｘ ｙ
Ｘ ｕ Ｂ０
（ ｃｏｌｆＭａｈｍ ｔ ｓ ｎ ｏ ｐ ￣ ｃ ｎｅ Ｇ ｉ ｏ ｏｍ ｌ ｎｖ￣ ｔ， ｕ ａ ｇ ，Ｇ ｉ ｏ ５ ０ １ Ｃ ｉ Ｓｈｏ ｏ ｔｅ ａｉ ｄＣ ｍ ｕ ｒ ｉ ｃ ， ｕ ｈ ｕＮ ｒ ａ ｉ ｉ Ｇ ｉ ｎ ｃａ Ｓｅ ｚ Ｕ ｅ ｙ ｙ ｕ ｈｕ５ ０ ０ ， ｈｎ ｚ ａ）