函数对称性
函数的对称性与奇偶性
函数的对称性与奇偶性对于函数而言，它的对称性和奇偶性是一种重要的性质，可以帮助我们更好地理解和分析函数的特点。
在数学中，对称性指的是函数在某种变换下保持不变的性质，而奇偶性则是函数在自身的对称轴上的性质。
本文将重点讨论函数的对称性和奇偶性。
1. 函数的对称性函数的对称性是指在某种变换下，函数的图像能够保持不变。
常见的函数对称性包括中心对称和轴对称。
1.1 中心对称性中心对称性是指函数的图像以某个点为对称中心，对称轴上的任意两点关于对称中心对称。
形式化地说，对于函数f(x)，如果对于任意的x，有f(-x) = f(x)，则函数f(x)具有中心对称性。
例如，函数f(x) = x^2是一个具有中心对称性的函数。
我们可以将其图像想象成一个抛物线，以原点为对称中心，任意一点关于原点的对称点的函数值是相等的。
1.2 轴对称性轴对称性是指函数的图像以某条直线为对称轴，对称轴上的任意两点关于对称轴对称。
形式化地说，对于函数f(x)，如果对于任意的x，有f(-x) = f(x)，则函数f(x)具有轴对称性。
举个例子，函数f(x) = sin(x)是一个具有轴对称性的函数。
我们可以将其图像想象成一条波浪线，其对称轴为x轴，任意一点关于x轴的对称点的函数值是相等的。
2. 函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数在自身的对称轴上的性质。
奇函数和偶函数是两种常见的奇偶性。
2.1 奇函数奇函数是指函数在自身的原点上具有对称性，即对于任意的x，有f(-x) = -f(x)。
奇函数的图像关于原点对称。
举个例子，函数f(x) = x^3是一个奇函数。
我们可以观察到，任意一点关于原点的对称点的函数值是相等的，而且函数的图像关于原点对称。
2.2 偶函数偶函数是指函数在自身的对称轴上具有对称性，即对于任意的x，有f(-x) = f(x)。
偶函数的图像关于对称轴对称。
例如，函数f(x) = x^2是一个偶函数。
我们可以观察到，任意一点关于y轴的对称点的函数值是相等的，而且函数的图像关于y轴对称。
函数的对称性
函数的对称性函数的对称性是指函数的图形在一条对称轴上的对称表现，或者说任意函数的定义域内的变化模式有着一定的对称特征。
通俗地讲，当给定一个函数，可以通过将它的图形翻转沿着某条对称轴的方式去考察其对称性，而是否存在某种对称性则会取决于函数的形式及其参数，也就是说它们会决定函数的对称轴甚至其非对称情况。
对称性非常重要，因为它有助于记忆和理解函数。
举个例子来说，如果你有一个函数f，它的定义域内具有左右对称性，那么你可以通过在x=0处切割它们，为此可以将函数中的x称为对称轴，这样就可以很容易地推断出它的行为规律。
而此外，如果一个函数的定义域内没有对称的规律，它可能不是很容易理解。
人们可以用三种方式来表达函数的对称性：反比例、反射和旋转。
反比例方式指的是在定义域内以反比例多少的方式进行调整，即以相同的数字翻转，使得变化的规律完全一致，但是具体的数字却不同。
反射方式指的是把一个函数的所有点的x坐标的值取反，使表达式（f（-x））成为另一个函数（f（x））的对称图形。
而旋转方式则是指以y轴或者x轴中心点旋转，使每个点的坐标的值发生变化，从而形成对称的函数图形。
另外，函数的对称性还受把某个参数称为平移向量或旋转角度所影响。
对于平移向量来说，可以将函数内部的某些坐标（x，y）向左右或上下方移动，使其变得更加对称，形成相对简单的函数图形。
而旋转角度则是指以一个定义域内某个点为中心，使整个函数的图像旋转一定的角度，使函数的变化模式更加简单。
总而言之，函数的对称性是一个重要的概念，它不仅可以帮助我们理解函数的表现规律，还可以帮助我们把函数的参数和变量更好地对应起来。
各种不同的变换会使函数的定义域内的变化模式发生改变，这同样也影响了函数的对称性，所以理解函数的对称性也是重要的，也是一个要注意的问题。
函数对称性的总结
函数对称性的总结函数对称性是数学中一个重要的概念，可以帮助我们更好地理解和分析各种函数。
在本文中，我将总结函数对称性的基本概念、性质和应用，以及如何判断函数的对称性。
首先，什么是函数对称性？函数对称性指的是函数在某种变换下保持不变的性质。
具体来说，如果函数在某个变换下满足等式 f(x) = f(-x)，那么我们称这个函数具有对称性。
这个变换可以是关于原点对称、关于y轴对称、关于x轴对称等。
常见的函数对称性包括：1. 关于原点对称：如果一个函数满足 f(x) = f(-x)，则称该函数关于原点对称。
这意味着函数的图像在原点处对称，即图像的左右两侧是镜像关系。
2. 关于y轴对称：如果一个函数满足 f(x) = f(-x)，则称该函数关于y轴对称。
这意味着函数的图像在y轴上对称，即在图像的左右两侧相互重合。
3. 关于x轴对称：如果一个函数满足 f(x) = -f(-x)，则称该函数关于x轴对称。
这意味着函数的图像在x轴上对称，即图像关于x轴对称。
函数对称性的性质也值得我们注意：1. 对称性可以简化函数的分析和计算。
例如，如果一个函数是关于y轴对称的，那么我们只需要计算出函数在y轴右侧的部分，然后将结果镜像到左侧即可。
2. 对称性可以帮助我们发现函数的特点。
例如，如果一个函数是关于x轴对称的，那么当 x = a 是函数的零点时，可以确定 x = -a 也是函数的零点。
现在，让我们来看看如何判断一个函数是否具有对称性。
一般来说，我们可以通过一些简单的方法来进行判断。
1. 对称性的代数判断方法：通过代数运算，我们可以验证函数的对称性。
例如，对于关于原点对称的函数，我们可以将 x 替换为 -x，然后将两边进行比较来判断函数是否具有对称性。
2. 对称性的图形判断方法：通过函数的图形来判断函数是否具有对称性。
我们可以绘制函数的图像，并观察图像是否在某个变换下保持不变。
3. 对称性的性质判断方法：通过函数的性质来判断函数是否具有对称性。
函数对称性
函数的对称性：y=f（|x|）是偶函数，它关于y轴对称，y=|f（x）|是把x轴下方的图像对称到x轴的上方，但无法判断是否具备对称性。
例如，y=|lnx|没有对称性，而y=|sinx|却有对称性。
函数的对称性公式推导1.对称性f(x+a)=f(b-x)记住此方程式是对称性的一般形式.只要x有一个正一个负.就有对称性.至于对称轴可用吃公式求X=a+b/2如f(x+3)=f(5_x)X=3+5/2=4等等.此公式对于那些未知方程,却知道2方程的关系的都通用.你可以去套用,在此不在举例.对于已知方程的要求对称轴的首先你的记住一些常见的对称方程的对称轴.如一原二次方程f(x)=ax2+bx+c对称轴X＝b/2a原函数与反函数的对称轴是y＝x．而对于一些函数如果不加限制条件就不好说它们的对称轴如三角函数，它的对称轴就不仅仅是X＝90还有…（2n＋！）90度等等．因为他的定义为R．f（x）＝｜X｜他的对称轴则是X＝0，还应该注意的是一些由简单函数平移后要求的对称轴就只要把它反原成出等的以后在加上平移的数量就可以了．如f（x－3）＝x－3。
令t＝x－3，则f（t）＝t。
可见原方程是由初等函数向右移动了3个单位。
同样对称轴也向右移3个单位X＝3（记住平移是左加右减的形式，如本题的X－3说明向由移）2，至于周期性首先也的从一般形式说起f（x）＝f（x＋T）注意此公式里面的X都是同号，而不象对称方程一正一负．此区别也是判断对称性还是周期性的关键．同样要记住一些常见的周期函数如三角函数什么正弦函数，余弦函数正切函数等．当然它们的最小周期分别是2π，2π，π，当然他们的周期不仅仅是这点只要是它们最小周期的正数倍都可以是题目的周期．如f（x）＝sinX，T＝2π（T＝2π/W）但是如果是f（x）＝｜sinx｜的话它的周期就是T＝π因为加了绝对值之后Y轴下面的图形全被翻到上面去了，由图不难看出起最小对称周T ＝π．y1=(sinx)^2=(1-cos2x)/2上面的2个方程T＝π（T＝2π/W）而对于≥2个周期函数方程的加减复合方程，如果他们的周期相同，则它的周期还是相同的周期．如y=sin2x+cos2x因为他们有一个公共周期T ＝π所以它的周期为T＝π而对于不相同的周期则它的周期为它们各个周期的最小公倍数．如y=sin3πx+cos2πx，T1＝2/3，T2＝1则T＝2/3对称函数在对称函数中，函数的输出值不随输入变数的排列而改变。
函数的对称性
函数的对称性知识梳理一、对称性的概念及常见函数的对称性1、对称性的概念①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。
②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。
2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值）①常数函数;②一次函数;③二次函数;④反比例函数;⑤指数函数;⑥对数函数;⑦幂函数;⑧正弦函数;⑨正弦型函数sin()y A x ωϕ=+既是轴对称又是中心对称;⑩余弦函数;⑾正切函数;⑿耐克函数;⒁绝对值函数：这里主要说的是(||)y f x =和|()|y f x =两类。
前者显然是偶函数，它会关于y 轴对称;后者是把x 轴下方的图像对称到x 轴的上方，是否仍然具备对称性，这也没有一定的结论，例如|ln |y x =就没有对称性，而|sin |y x =却仍然是轴对称。
⒂形如(0,)ax b y c ad bc cx d +=≠≠+的图像是双曲线，其两渐近线分别直线d x c=- (由分母为零确定)和直线a y c =(由分子、分母中x 的系数确定)，对称中心是点(,)d a c c-。
二、抽象函数的对称性【此类问题涉及到了函数图象的两种对称性，一种是同一函数自身的对称性，我们称其为自对称；另一种是两个函数之间的对称性 ，我们称其为互对称。
】1、函数)(x f y =图象本身的对称性（自对称问题）（1）轴对称①)(x f y =的图象关于直线a x =对称 ⇔)()(x a f x a f -=+ ⇔)2()(x a f x f -=⇔)2()(x a f x f +=-②)()(x b f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图象关于直线22)()(b a x b x a x +=-++=对称. 特别地，函数)(x f y =的图像关于y 轴对称的充要条件是()()f x f x =-.（2）中心对称①)(x f y =的图象关于点),(b a 对称⇔b x a f x a f 2)()(=-++ ⇔b x a f x f 2)2()(=-+⇔b x a f x f 2)2()(=++-。
函数对称性梳理
函数对称性梳理函数的对称性是函数的一个重要性质，对称关系广泛存在于数学问题之中，利用对称性能更简捷地解决问题。
函数的对称包括函数自身的对称性和不同函数之间的对称性。
下面具体分析各个方面：一、函数自身的对称定理1.函数y=f(x)的图像关于点a(a ,b)对称的充要条件是：f(x)+f(2a－x)=2b推论：函数y= f(x)的图像关于原点的对称的充要条件是f(x)+f(－x)=0定理2. 函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称的充要条件是f(a+x)=f(a－x)即f(x)=f(2a－x)推论：函数y=f(x)的图像关于y轴对称（实际是偶函数）的充要条件是f(x)=f(－x)定理3. ①若函数y=f(x) 图像同时关于点a(a,c)和点b(b,c)成中心对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且2|a－b|是其一个周期。
②若函数y=f(x) 图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称（a ≠b），则y=f(x)是周期函数，且2|a－b|是其一个周期。
③若函数y=f(x)图像既关于点a(a,c)成中心对称又关于直线x=b 成轴对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且4|a－b|是其一个周期。
二、不同函数对称性定理4. 函数y=f(x)与y = 2b－f (2a－x)的图像关于点a (a ,b)成中心对称。
定理5. ①函数y=f(x)与y=f(2a－x)的图像关于直线x= a成轴对称。
②函数y=f(x)与a－x=f(a－y)的图像关于直线x+y=a成轴对称。
③函数y=f(x)与x－a=f(y + a)的图像关于直线x－y=a成轴对称。
推论：函数y=f(x)的图像与x=f(y)的图像关于直线x=y 成轴对称（实际是函数与反函数的问题）。
三、函数对称性应用举例例1 定义在r上的非常数函数满足：f(x+10)为偶函数，且f(5-x)=f(5+x)，则f(x)一定是（）a. 是偶函数，也是周期函数b. 是偶函数，但不是周期函数c. 是奇函数，也是周期函数d. 是奇函数，但不是周期函数例解：因为f(x+10)为偶函数，所以f(10+x)=f(10-x)。
函数的性质对称性
函数的性质对称性张磊函数的对称性是函数的重要性质之一,主要包括轴对称和中心对称两种.在解几中,许多问题中都隐含对称性,如角的平分线,线段的中垂线,光的反射等,要注意挖掘,充分利用对称性,中点坐标公式,斜率关系加以解决;在函数中,对称性与函数的奇偶性、周期性又有着内在的联系,解题时常常要进行相互转化,再加以解决.一对称性的有关结论1 y=f(x)关于x=a对称f(2ax) =f(x) f(2a+x) =f(-x)f(ax) =f(x+x) 内反外同轴对称对称f(ax) =f(bx)引申 y=f(x)关于x=a+b22 y=f(x)关于点(a,0)对称f(2ax) =-f(x)f(2a+x) =-f(-x)f(ax) =f(a+x) 内外都反点对称引申 y=f(x)关于点(a,b)对称 f(2ax) =2bf(x)二对称性与奇偶性关系奇函数的图像关于原点(0 ,0)对称;偶函数图像关于y轴对称.奇偶性实际是一种特殊的对称性.三对称性与周期性关系双对称周期性 (联系正余余弦函数对称性与周期性关系) 1 {f (2a +x ) =f (−x )f (2b +x ) =f (−x )f (2a +x ) = f (2b +x ) f(2a-2b+x)= f(x)所以函数f(x)是周期函数,周期为|2a −2b |2 {f (2a +x )=−f (−x )f (2b +x )=−f (−x )f (2a +x ) = f (2b +x ) f(2a-2b+x)= f(x)所以函数f(x)是周期函数,周期为|2a −2b |3 {f (2a +x )=f (−x )f (2b +x )=−f (−x )f (2a +x )=− f (2b +x ) f(2a-2b+x)= -f(x) f(4a-4b+x)= f(x)所以函数f(x)是周期函数,周期为|4a −4b |四 点关于线的对称点点(x 0 ,y 0)关于直线ax+by+c=0的对称点为(x 02a a 2+b 2(a x 0+by 0+c ) , y 02b a 2+b 2(a x 0+by 0+c ))。
函数的对称性、周期性以及之间的关系
函数的对称性、周期性以及之间的关系对称性、奇偶性、周期性、单调性函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础．在研究函数图象的对称性时，一定要区分是一个图象自身的对称（称之为“自对称”），还是两个函数图象间的对称（称之为“互对称”）。
函数的对称性指的是函数的图象的对称性，通常包括点对称和直线对称，即中心对称和轴对称。
自对称一、函数的对称性关于函数图象的对称性，我们有这样两个命题。
命题1：如果函数y=f(x)的图像关于点M(m, n)对称，那么f (m +x) + f (m－x)=2n 即f(x)+f(2m-x)=2n命题2：如果函数y=f(x)的图像关于直线x=m对称，那么f (m +x) = f (m－x)即f (x) = f (2m－x)二、函数的奇偶性与对称性的联系命题1：函数y=f(x)的图像关于点M(0, 0)对称的充要条件是函数y= f (x)是奇函数，即f (x) + f (－x) = 0命题2：函数y=f(x)的图像关于点直线x=0对称的充要条件是函数y= f (x)是偶函数，即f (x) = f (－x)三、函数的周期性与对称性的联系包括点点对称、线线对称、点线对称的周期性命题：①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (m ,c)和点B (n ,c)成中心对称（m ≠n），则y = f (x)是周期函数，且2| m－n|是其一个周期．②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = m 和直线x = n成轴对称（m≠n），则y = f (x)是周期函数，且2| m－n|是其一个周期．③若函数y = f (x)图像既关于点A (m ,c) 成中心对称又关于直线x =n成轴对称（m≠n），则y = f (x)是周期函数，且4| m－n|是其一个周期．（同为中心对称或同为轴对称乘2；一中心对称一轴对称乘4）四、函数的奇偶性、周期性和对称性的联系奇偶性只是特殊的点线对称。
函数的性质对称性
函数的性质对称性集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN]函数的性质对称性张磊函数的对称性是函数的重要性质之一,主要包括轴对称和中心对称两种.在解几中,许多问题中都隐含对称性,如角的平分线,线段的中垂线,光的反射等,要注意挖掘,充分利用对称性,中点坐标公式,斜率关系加以解决;在函数中,对称性与函数的奇偶性、周期性又有着内在的联系,解题时常常要进行相互转化,再加以解决.一对称性的有关结论1 y=f(x)关于x=a对称f(2ax) =f(x) f(2a+x) =f(-x)f(ax) =f(x+x) 内反外同轴对称对称f(ax) =f(bx)引申 y=f(x)关于x=a+b22 y=f(x)关于点(a,0)对称f(2ax) =-f(x)f(2a+x) =-f(-x)f(ax) =f(a+x) 内外都反点对称引申 y=f(x)关于点(a,b)对称 f(2ax) =2bf(x)二对称性与奇偶性关系奇函数的图像关于原点(0 ,0)对称;偶函数图像关于y轴对称.奇偶性实际是一种特殊的对称性.三对称性与周期性关系双对称周期性 (联系正余余弦函数对称性与周期性关系)1 {f (2a +x ) =f (−x )f (2b +x ) =f (−x )f (2a +x ) = f (2b +x ) f(2a-2b+x)= f(x)所以函数f(x)是周期函数,周期为|2a −2b |2 {f (2a +x )=−f (−x )f (2b +x )=−f (−x )f (2a +x ) = f (2b +x ) f(2a-2b+x)= f(x)所以函数f(x)是周期函数,周期为|2a −2b |3 {f (2a +x )=f (−x )f (2b +x )=−f (−x )f (2a +x )=− f (2b +x ) f(2a-2b+x)= -f(x) f(4a-4b+x)= f(x)所以函数f(x)是周期函数,周期为|4a −4b |四 点关于线的对称点点(x 0 ,y 0)关于直线ax+by+c=0的对称点为(x 02a a 2+b 2(a x 0+by 0+c ) , y 02b a 2+b 2(a x 0+by 0+c ))。
函数的对称性
函数的对称性知识梳理 一、对称性的概念及常见函数的对称性1、对称性的概念①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。
②2、; ;轴对称;|ln |y x =。
1、（1）轴对称①)(x f y =的图象关于直线a x =对称 ⇔)()(x a f x a f -=+ ⇔)2()(x a f x f -=②)()(x b f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图象关于直线22)()(b a x b x a x +=-++=对称. 特别地，函数)(x f y =的图像关于y 轴对称的充要条件是()()f x f x =-.（2）中心对称①)(x f y =的图象关于点),(b a 对称⇔b x a f x a f 2)()(=-++ ⇔b x a f x f 2)2()(=-+⇔b x a f x f 2)2()(=++-。
②c x b f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),2(c b a +对称.相邻对 x x =)有等根，则)(x f ＝ ．例2.（★★）已知函数)(x f 对一切实数x 满足条件)3()1(x f x f +=-，已知2≥x 时，x x x f -=2)(， 求2<x 时)(x f 的解析式. 巩固练习（自对称）1.（★★）已知函数()f x 定义域为R ，且对于任意实数x 满足(2)(6)f x f x -=-，当02x ≤≤时，2()235f x x x x =++++，则(1)(3)f f = .2. （★★）设()f x 是定义在R 上以6为周期的函数，()f x 在(0,3)内单调递减，且()y f x =的图像关于直线3x =对称，则下面正确的结论是 （ ）3. （★★）设函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，它的图象关于直线2x =对称，已知[]2,2-∈x 时，1)(2+-=x x f ，求[]2,6--∈x 时，)(x f 的解析式.例3. （★★）已知函数xy e =的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称，则 A ．()22()xf x e x R =∈ B ． )0(ln 2ln )2(>⋅=x x x f C ．()22()xf x e x R =∈ D ．()2ln ln 2(0)f x x x =+> 例4. （★★）已知函数2()3f x x x =++，函数()g x 与()f x 的图像关于轴03x =对称，求函数()g x 在区间[]34，上的最值. 巩固练习1.（★★）若函数)(x g y =图像与函数)1()1(2≤-=x x y 的图像关于直线x y =对称，则(4)g =＿；2.在同一直角坐标系中，函数()y g x =的图像与x y e =的图像关于直线y x =对称，而函数()y f x =的图像与()y g x =的图像关于y 轴对称，若()1f a =-，则a 的值是（ ）A ．e -；B ．1e-； C ．1e ； D ．e ． 3.若函数)(x f 的图像与对数函数x y 4log =的图像关于直线0=+y x 对称，则)(x f 的解析式为4.（★★）函数()101x y a a =+<<的反函数的图象大致是（A ） （B ） （C ） （D ）关于点对称例5.（★★）已知函数()y f x =满足：(2)()4f x f x -+=，则函数()y f x =的图象（ ）A ．关于点(1,1)M 对称B ．关于点(0,1)M 对称C ．关于点(1,0)M 对称D ．关于点(1,2)M 对称例6.（★★）设1>a ，函数)(x f 的图像与函数2|2|24--⋅--=x x a ay 的图像关于点)2,1(A 对称．求函数)(x f 的解析式．练习1.（★★★）()f x 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且(2)0f =，则方程()0f x =在区间（0，6）内解的个数的最小值是（ ）A ．7B ．3C ．4D ．52. （★★）已知函数f(x)＝a x a x -+-1的反函数的图象的对称中心是 (1，21)，则函数g(x)＝)2(log 2x x a -的单调递增区间是 ； 函数对称性与周期性的联系21，则x 21-=，1. 函数(1)y f x =-与函数()1y f x =-的图象关于关于__________对称。
函数对称性的总结
参考一：函数对称性总结函数的对称性一、三角函数图像的对称性1、y =f (x ) 与y =-f (x ) 关于x 轴对称。
换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) =-g (x ) ，即它们关于y =0对称。
2、y =f (x ) 与y =f (-x ) 关于Y 轴对称。
换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) =g (-x ) ，即它们关于x =0对称。
3、y =f (x ) 与y =f (2a -x ) 关于直线x =a 对称。
换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) =g (2a -x ) ，即它们关于x =a 对称。
4、y =f (x ) 与y =2a -f (x ) 关于直线y =a 对称。
换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) +g (x ) =2a ，即它们关于y =a 对称。
5、y =f (x ) 与y =2b -f (2a -x ) 关于点(a , b ) 对称。
换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) +g (2a -x ) =2b ，即它们关于点(a , b ) 对称。
6、y =f (a -x ) 与y =f (x -b ) 关于直线x =二、单个函数的对称性一、函数的轴对称：定理1：如果函数y =f (x )满足f (a +x )=f (b -x )，则函数y =f (x )的图象关于直线x =a +b2a +b 2对称。
对称.推论1：如果函数y =f (x )满足f (a +x )=f (a -x )，则函数y =f (x )的图象关于直线x =a 对称. 推论2：如果函数y =f (x )满足f (x )=f (-x )，则函数y =f (x )的图象关于直线x =0（y 轴）对称. 特别地，推论2就是偶函数的定义和性质. 它是上述定理1的简化.二、函数的点对称：定理2：如果函数y =f (x )满足f (a +x )+f (a -x )=2b ，则函数y =f (x )的图象关于点(a , b )对称.推论3：如果函数y =f (x )满足f (a +x )+f (a -x )=0，则函数y =f (x )的图象关于点(a , 0)对称.推论4：如果函数y =f (x )满足f (x )+f (-x )=0，则函数y =f (x )的图象关于原点(0, 0)对称. 特别地，推论4就是奇函数的定义和性质. 它是上述定理2的简化.性质5：函数y =f (x ) 满足f (a +x ) +f (b -x ) =c 时，函数y =f (x ) 的图象关于点（a +b ，c ）对称。
函数对称性总结
函数对称性总结函数的对称性三角函数图像的对称性三角函数包括y=sin x。
y=cos x。
y=tan x。
两个函数的图像对称性1、y=f(x)与y=-f(x)关于x轴对称。
换句话说，如果y=f(x)和y=g(x)满足f(x)=-g(x)，那么它们关于y=0对称。
2、y=f(x)与y=f(-x)关于y轴对称。
换句话说，如果y=f(x)和y=g(x)满足f(x)=g(-x)，那么它们关于x=0对称。
3、y=f(x)与y=f(2a-x)关于直线x=a对称。
换句话说，如果y=f(x)和y=g(x)满足f(x)=g(2a-x)，那么它们关于x=a对称。
4、y=f(x)与y=2a-f(x)关于直线y=a对称。
换句话说，如果y=f(x)和y=g(x)满足f(x)+g(x)=2a，那么它们关于y=a对称。
5、y=f(x)与y=2b-f(2a-x)关于点(a,b)对称。
换句话说，如果y=f(x)和y=g(x)满足f(x)+g(2a-x)=2b，那么它们关于点(a,b)对称。
6、y=f(a-x)与y=f(x-b)关于直线x=a+b/2对称。
单个函数的对称性1、函数的轴对称：定理1：如果函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=(a+b)/2对称。
推论1：如果函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称。
推论2：如果函数y=f(x)满足f(x)=f(-x)，则函数y=f(x)的图像关于y轴对称。
特别地，推论2就是偶函数的定义和性质。
2、函数的点对称：定理2：如果函数y=f(x)满足f(a+x)+f(a-x)=2b，则函数y=f(x)的图像关于点(a,b)对称。
推论3：如果函数y=f(x)满足f(a+x)+f(a-x)=0，则函数y=f(x)的图像关于点(a,0)对称。
推论4：如果函数y=f(x)满足f(x)+f(π-x)=π/2，则函数y=f(x)的图像关于点(π/2,π/4)对称。
函数对称性知识点归纳总结
函数对称性知识点归纳总结函数对称性是数学中一个重要的概念，它涉及到函数图像在某种变换下的性质和特点。
本文将针对函数对称性的相关知识进行归纳总结，包括函数关于x轴对称、y轴对称和原点对称的特点以及应用。
希望通过本文的介绍，读者能够全面了解函数对称性，并能够应用到实际问题中。
1. 函数关于x轴对称函数关于x轴对称是指函数图像在x轴旋转180度后重合。
具体表现为当函数中的每一个点(x, y)都对应于另一个点(x, -y)。
如果函数的表达式为f(x)，那么函数关于x轴对称可以表示为f(x) = f(-x)。
常见的函数关于x轴对称的例子有二次函数和正弦函数。
2. 函数关于y轴对称函数关于y轴对称是指函数图像在y轴旋转180度后重合。
具体表现为当函数中的每一个点(x, y)都对应于另一个点(-x, y)。
如果函数的表达式为f(x)，那么函数关于y轴对称可以表示为f(x) = f(-x)。
常见的函数关于y轴对称的例子有二次函数和余弦函数。
3. 函数关于原点对称函数关于原点对称是指函数图像以原点为对称中心，旋转180度后重合。
具体表现为当函数中的每一个点(x, y)都对应于另一个点(-x, -y)。
如果函数的表达式为f(x)，那么函数关于原点对称可以表示为f(x) = -f(-x)。
常见的函数关于原点对称的例子有奇次函数和正切函数。
除了以上三种常见的对称性，函数还可能具有其他特殊的对称性，比如关于直线y=x的对称性、关于直线y=-x的对称性等。
这些对称性在函数的研究和应用中都有重要的意义。
函数对称性的应用十分广泛。
其中一项重要的应用是利用对称性来求函数的零点。
如果函数关于x轴对称，也就是满足f(x) = f(-x)，那么我们可以通过找到函数图像上的一个零点，得到一个对称的零点。
这是因为如果f(x) = 0，则f(-x) = 0，对称点也是零点。
同样，对于关于y 轴对称或原点对称的函数，我们也可以利用对称性来求解零点。
函数的对称性
一、函数图象本身的对称性（自身对称）（一）、函数关于直线对称：1、函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（T 为常数）的充要条件是)(x f y =的图象关于直线T x =对称。
2、函数)(x f y =满足)2()(x T f x f -=（T 为常数）的充要条件是)(x f y =的图象关于直线T x =对称。
3、函数)(x f y =满足)()(x b f x a f -=+的充要条件是)(x f y =图象关于直线22)()(b a x b x a x +=-++=对称。
（二）函数关于点的对称：定理2 函数)(x f y =的图像关于点A （a ，b ）对称的充要条件是b x a f x f 2)2()(=-+推论3：如果函数()x f y =满足()()0=-++x a f x a f ，则函数()x f y =的图象关于点()0,a 对称.推论4：如果函数()x f y =满足()()0=-+x f x f ，则函数()x f y =的图象关于原点()0,0对称.（三）周期性：1、如果函数)(x f y =满足)()(11x T f x T f -=+且)()(22x T f x T f -=+（1T 和2T 是不相等的常数），则)(x f y =是以为)(212T T -为周期的周期函数。
2、如果奇函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是以4T 为周期的周期性函数。
3、如果偶函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是以2T 为周期的周期性函数。
4、若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f --=+)(，且()x b f x b f --=+)(（其中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -2为周期.5、若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f -=+)(，且()x b f x b f --=+)(（其中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -4为周期.6、函数)(x f y =满足如下关系系，则T x f 2)(的周期为A 、)()(x f T x f -=+B 、)(1)()(1)(x f T x f x f T x f -=+=+或 C 、)(1)(1)2(x f x f T x f -+=+或)(1)(1)2(x f x f T x f +-=+（等式右边加负号亦成立）D 、其他情形 （四）对称性周期性的关系1、若函数)(x f y =的图像同时关于点A （a ，c ）和点B （b ，c ）成中心对称（b a≠），则)(x f y =是周期函数，且b a -2是其一个周期。
函数对称性
故点M1（2a－x0，2b－y0）也在 图像上；而点M与点M1关于点P(a ,b)对称。
在掌握了（*）式以后，也基本解决了函数 在平面内关于任一点对称的问题。
（1）f(a＋x)＝f(a－x)。
（2）f(2a－x)＝f(x)。
（3）f(2a＋x)＝f(－x)。
性质2、若函数y＝f(x)关于点(a,0)中心对称，则以下三式成立且等价：
（1）f(a＋x)＝－f(a－x)。
（2）f(2a－x)＝－f(x)。
解：设点 是函数 图象上的任一点。
若 ，则点M关于函数 的图象上；
若 ，则点 关于直线 的对称点为 ，这点也在 的图象上；
若 ，可类似说明。
所以 与 的图象关于直线 对称。
例4.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)= f(1－x),当－1≤x≤0时，
⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0）是它的对称中心，x=kπ+π/2是它的对称轴。
⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x，就是它的对称轴；需要注意的是如果图像向上向下平移，对称轴不会改变，但对称中心的纵坐标会跟着变化。
（A） 1999； （B）2000； （C）2001； （D）2002。
解：∵y = f(x－1)和y = g-1(x－2)函数的图像关于直线y = x对称，
函数的性质之---函数的对称性
函数图像的对称性函数的对称性是函数的一个基本性质, 对称关系不仅广泛存在于数学问题之中,而且利用对称性往往能够更简捷的使问题得到解决,对称关系同时还充分体现数学之美。
1.函数()y f x =的图象的对称性（自身）:定理1: 函数()y f x =的图象关于直2a b x +=对称()()f a x f b x ⇔+=-()()f a b x f x ⇔+-= 特殊的有：①函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=。
②函数()y f x =的图象关于y 轴对称（偶函数）)()(x f x f =-⇔。
③函数)(a x f y +=是偶函数)(x f ⇔关于a x =对称。
定理2：函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称()2(2)f x b f a x ⇔=--⇔b x a f x a f 2)()(=-++特殊的有：① 函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称()(2)f x f a x ⇔=--。
② 函数()y f x =的图象关于原点对称（奇函数）)()(x f x f -=-⇔。
③ 函数)(a x f y +=是奇函数)(x f ⇔关于点()0,a 对称。
定理3：（性质）①若函数y=f (x)的图像有两条铅直对称轴x=a 和x=b(a 不等于b),那么f(x)为周期函数且2|a-b|是它的一个周期。
②若函数y=f (x)的图像有一个对称中心M(m.n)和一条铅直对称轴x=a,那么f(x)为周期函数且4|a-m|为它的一个周期。
③若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（a≠b ），则y = f (x)是周期函数，且2| a －b|是其一个周期。
④若一个函数的反函数是它本身,那么它的图像关于直线y=x 对称。
2.两个函数图象的对称性:①函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称.②函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b x m+=对称. 特殊地: ()y f x a =-与函数()y f a x =-的图象关于直线x a =对称③函数()y f x =的图象关于直线x a =对称的解析式为(2)y f a x =-④函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称的解析式为(2)y f a x =--⑤函数y = f (x)与a －x = f (a －y)的图像关于直线x +y = a 成轴对称。
函数的对对称性
函数的对对称性
函数的对称性是指函数图像在一条直线上具有反射对称性，这是一个非常重要的函数特性。
在函数中，对称性是指函数的轴或轴线的镜像形式的重复性。
通俗的来讲，当一个函数的图像以某一点作为中心，被沿着一条定向的对称线对称地反射时，它就叫做一个对称函数。
一般情况下，函数的轴可以分为水平轴和垂直轴，但是也可以存在其他轴线形式，比如椭圆形及其它一些复杂形状的轴线。
如果函数图像与某一轴具有对称性，那么这样的函数称为有轴对称函数。
如果函数没有轴，而是关于某一点对称，那么这样的函数称为无轴对称函数。
另外，所有的函数都可以被分为一元函数和多元函数，如果一个函数在其域和定义域上具有反射对称性，那么这样的函数称为一元对称函数。
如果一个函数有多个自变量，且它具有反射对称性，这样的函数称为多元对称函数。
函数的对称性对函数的行为具有重要的影响。
例如，如果一个函数的图像是关于水平线对称的，那么必然有一个解，即函数的原点可以作为函数的最低值或最高值。
另外，函数的对称性还有助于我们在函数的最大值、最小值和局部极大值点求解中的应用。
对称之后，函数的行为会发生变化，从而使我们可以更容易地理解函数的特性。
此外，函数的对称性也可以应用于多项式函数学习、线性回归
模型建立、拟合和数据分析中，以降低计算难度，并开发更准确的算法和模型。
总的来说，函数的对称性是函数学习和应用的核心概念，对对称函数的理解将极大地帮助我们更好地理解函数和解决相关问题。
初中数学 什么是函数的对称性 如何判断一个函数是否具有对称性
初中数学什么是函数的对称性如何判断一个函数是否具有对称性函数的对称性是指函数图像在坐标平面上的某种变换下仍保持不变的性质。
常见的函数对称性包括奇偶性对称、轴对称和中心对称等。
1. 奇偶性对称：如果对于任意$x$，都有$f(-x)=-f(x)$，那么称函数$f(x)$是奇函数。
奇函数图像关于原点对称。
如果对于任意$x$，都有$f(-x)=f(x)$，那么称函数$f(x)$是偶函数。
偶函数图像关于$y$轴对称。
2. 轴对称：如果函数图像关于某条垂直于$x$轴的直线对称，那么称函数具有$x$轴对称性。
同样地，如果函数图像关于某条垂直于$y$轴的直线对称，那么称函数具有$y$轴对称性。
3. 中心对称：如果函数图像关于坐标系中心对称，那么称函数具有中心对称性。
要判断一个函数是否具有对称性，可以采用以下方法：1. 奇偶性判断：对于一个函数，可以根据函数的定义式来判断它是否是奇偶函数。
如果函数的定义式中只包含偶次幂或者只包含奇次幂，那么它就是偶函数或者奇函数。
如果函数的定义式中既包含偶次幂又包含奇次幂，那么它既不是偶函数也不是奇函数。
2. 轴对称判断：通过观察函数图像在坐标平面上的位置和形状，可以判断函数是否具有轴对称性。
如果函数图像关于某条垂直于$x$轴或$y$轴的直线对称，那么函数具有$x$轴或$y$轴对称性。
3. 中心对称判断：通过观察函数图像在坐标平面上的位置和形状，可以判断函数是否具有中心对称性。
如果函数图像关于坐标系中心对称，那么函数具有中心对称性。
需要注意的是，函数的对称性是函数图像在坐标平面上的某种变换下仍保持不变的性质。
不同的对称性可以对应不同的变换方式，具体需要根据函数的定义式和函数图像来进行判断。
希望以上内容能够帮助你理解函数的对称性以及如何判断一个函数是否具有对称性，并提供了一些常用的判断方法和思路。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
专题 函数对称性
一 知识点精讲：
I 函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）
若()()f x a f x b +=±+，则()f x 具有周期性；若()()f a x f b x +=±-，则()f x 具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。
1、)()(x b f x a f -=+ ⇔)(x f y =图象关于直线2
2)()(b a x b x a x +=-++=对称 推论1：)()(x a f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称
推论2、)2()(x a f x f -= ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称
推论3、)2()(x a f x f +=- ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称
2、c x b f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),2
(c b a +对称 推论1、b x a f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称
推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称
推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称
II 两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）
1、)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称
2、)(x f y =与)(x f y --=图象关于原点对称函数
3、函数)(x f y =与()y f x =-图象关于X 轴对称
4、函数)(x f y =与其反函数1()y f x -=图象关于直线y x =对称
5.函数)(x a f y +=与)(x b f y -=图象关于直线2a b x -=对称
推论1:函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称
推论2:函数)(x f y =与)2(x a f y -= 图象关于直线a x =对称
推论3:函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称
二 典例解析：
1、定义在实数集上的奇函数)(x f 恒满足)1()1(x f x f -=+，且)0,1(-∈x 时, 512)(+=x x f ,则=)20(log 2f ________。
解析：)(x f y =关于直线1=x 对称，)2()(x f x f +=-，又 是)(x f 奇函数，)()(x f x f -=-，故有
)()2(x f x f -=+，4=T ,)420(log )20(log 22-=f f 15
12)54(log )45(log 45log 222=+-=-==f f 2、已知函数)(x f y =满足0)2()(=-+x f x f ，则)(x f y =图象关于__________对称。
解析：这是一个函数的对称性，由上述结论知)(x f y =图象关于)0,1(对称
3、函数)1(-=x f y 与函数)1(x f y -=的图象关于关于__________对称。
解析：这是两个函数的对称性，两函数的图象关于1=x 对称
4、设函数)(x f y =的定义域为R ，且满足)1()1(x f x f -=-，则)(x f y =的图象关于__________对称。
解析：这是一个函数的对称性，)(x f y =的图象关于y 轴即0=x 对称
5、设函数)(x f y =的定义域为R ，且满足)1()1(x f x f -=+，则)1(+=x f y 的图象关于__________对称。
解析：)(x f y =关于直线1=x 对称，)1(+=x f y 是由)(x f y =向左平移一个单位得到的， 故)1(+=x f y 的图象关y 轴对称
6、设)(x f y =的定义域为R ，且对任意R x ∈，有)2()21(x f x f =-，则)(x f y =关于__________对称，)2(x f y =图象关于__________对称，。
解析：令x t 2=， 则有 )()1(t f t f =- ∴)(t f y = 关于直线2
1=t 即)(x f y =关于 21=x 对称，)2(x f y =是由纵坐标不变，横坐标变为原来的21，)2(x f y =关于4
1=x 对称。
7、已知函数)(x f y =对一切实数x 满足)4()2(x f x f +=-，且方程0)(=x f 有5个实根，则这5个实根之和为（ ）
A 、5
B 、10
C 、15
D 、18
解析：)(x f y =的图象关于直线3=x 对称，故五个实根，有两对关于直线3=x 对称，它们的和为12，还有一个根就是3。
故这5个实根之和为15，正确答案为C
8、设函数)(x f y =的定义域为R ，则下列命题中，①若)(x f y =是偶函数，则)2(+=x f y 图象关于y 轴对称；②若)2(+=x f y 是偶函数，则)(x f y =图象关于直线2=x 对称；③若)2()2(x f x f -=-，则函数)(x f y =图象关于直线2=x 对称；④)2(-=x f y 与)2(x f y -=图象关于直线2=x 对称，其中正确命题序号为_______。
解析：① 错 )2(+=x f y 关于直线2-=x 对称，② 对 ③错 若)2()2(x f x f -=-，则函数)(x f y =图象关于直线0=x 对称；④ 对
二、函数的对称性
函数的对称性是函数的一个基本性质, 对称关系不仅广泛存在于数学问题之中,而且利用对称性往往能够更简捷的使问题得到解决,对称关系同时还充分体现数学之美。
1.函数()y f x =的图象的对称性（自身）:
定理1: 函数()y f x =的图象关于直2a b x +=
对称()()f a x f b x ⇔+=-()()f a b x f x ⇔+-= 特殊的有：
①函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=。
②函数()y f x =的图象关于y 轴对称（奇函数）)()(x f x f =-⇔。
③函数)(a x f y +=是偶函数)(x f ⇔关于a x =对称。
定理2：函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称()2(2)f x b f a x ⇔
=--⇔b x a f x a f 2)()(=-++ 特殊的有：
① 函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称()(2)f x f a x ⇔=--。
② 函数()y f x =的图象关于原点对称（奇函数）)()(x f x f -=-⇔。
③ 函数)(a x f y +=是奇函数)(x f ⇔关于点()0,a 对称。
定理3：（性质）
①若函数y=f (x)的图像有两条铅直对称轴x=a 和x=b(a 不等于b),那么f(x)为周期函数且2|a-b|是它的一个周期。
②若函数y=f (x)的图像有一个对称中心M(m.n)和一条铅直对称轴x=a,那么f(x)为周期函数且4|a-m|为它的一个周期。
③若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（a ≠b ），则y = f (x)是周期函数，且2| a －b|是其一个周期。
④若一个函数的反函数是它本身,那么它的图像关于直线y=x 对称。
2.两个函数图象的对称性:
①函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称.
②函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b x m
+=对称. 特殊地: ()y f x a =-与函数()y f a x =-的图象关于直线x a =对称
③函数()y f x =的图象关于直线x a =对称的解析式为(2)y f a x =-
④函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称的解析式为(2)y f a x =--
⑤函数y = f (x)与a －x = f (a －y)的图像关于直线x +y = a 成轴对称。
函数y = f (x)与x －a = f (y + a)的图像关于直线x －y = a 成轴对称。
函数y = f (x)的图像与x = f (y)的图像关于直线x = y 成轴对称。