重积分例题教学文案

重积分例题第10章重积分一、内容分析与教学建议重积分和定积分一样，都是来自实践中非均匀求和的需要，各种积分是不同维数空间的具体表现，因此教学中要从实例引出概念，且重点讲透二重积分概念和计算，避免平均使用力量（一）重积分概念及性质关于重积分的概念，可由曲顶柱体或平面薄片质量等实例，在回顾定积分定义的基础上，通过分割、近似、求和、取极限来建立，至于性质的证明，可略讲。

关于三重积分的概念和性质，和二重积分类似，教学上不必花较多时间。

（二）重积分的计算重积分一般都是化为累次积分来计算的，转化的关键是确定积分的上下限。

对于二重积分，在推出直角坐标和极坐标的计算公式之后，应多举些例题，重点讲解画图，解不等式定限法及选择积分顺序及坐标系等技巧。

关于三重积分，这部分内容比较复杂，教学上应细致。

计算方法有直角坐标、柱面坐标和球面坐标法。

对于直角坐标，除了讲解一般方法（先一后二法），还应介绍先二后一法。

关于极坐标和球面坐标，首先应讲清这些坐标的含义及一些常用曲面的表示方法，然后在此基础上，结合几何意义，讲解定限及积分计算的具体方法。

重积分的具体计算，通常要考虑到以下几个方面，选择合适的坐标系及恰当的积分顺序，确定积分的上下限，正确使用对称性（见附后），最后可通过一些综合例子，加强这方面理解和训练。

（三）重积分应用首先要结合二重积分概念讲清微元法思想及方法，其次要结合足够实例，使学生掌握用重积分来计算几何量（如面积体积等）及 物理量（重心、转动惯量等）。

附：二重积分的对称性质一般的本科教材中都末具体给出，但在计算积分中经常用到，现补充如下：结论1：如果积分区域D 关于y 对称，}0,),(),{(1≥∈=x D y x y x D 则⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=DD y x f y x f d y x f y x f y x f d y x f 1),(),(),(2),(),(0),(时当时当σσ结论2：如果积分区域D 关于x 轴对称，}0,),(),{(1≥∈=y D y x y x D 则 ⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=DD y x f y x f d y x f y x f y x f d y x f 1),(),(),(2),(),(0),(时当时当σσ结论3：如果积分区域D 关于坐标原点O 对称，则⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=---=--=DD y x f y x f d y x f y x f y x f d y x f 1),(),(),(2),(),(0),(时当时当σσ其中}0,),(),{(1≥∈=x D y x y x D结论4：如果积分区域D 关于直线x y ,对称，则⎰⎰⎰⎰=DDd x y f d y x f σσ),(),(三重积分的对称性，由教师自己给出。

二、补充例题例1. 利用二重积分性质，估计积分⎰⎰++=Dd y x I σ)94(22的值，其中D 是图形区域：422≤+y x解法1. 首先求94),(22++=y x y x f 在D 上的最小值m 和最大值M由于x xf2=∂∂，y y f 8=∂∂，令0=∂∂xf，0=∂∂y f 得驻点），00(，9)0,0(=fD 的边界422=+y x ，此时94494),(2222++-=++=y y y x y x f2313y +=402≤≤y 25),(13≤≤∴y x f25}25,13,9max{==∴M ，9}25,13,9min{==m ，25),(9≤≤y x fσσσ25)9(922≤++≤⎰⎰Dd y xπσ4=，ππ10036≤≤∴I解法2：由积分中值定理，在D 上至少D ∈∃),(ηξ，使σηξσ)94()94(2222++=++=⎰⎰Dd y x I其中πσ4=，且422≤+ηξ（4:22≤+y x D ）9)(494)94(222222++≤++≤++ηξηξηξ 2591694922=+≤+η+ξ≤ π≤≤π100I 36 例2求σ-=⎰⎰d x y I D2，其中2y 0,1x 1:D ≤≤≤≤-解： 如图，曲线2x y =把区域D 分为1D 和2D ，其中1x 1D 1≤≤-：，2x y 0≤≤；2y x ,1x 1:D 22≤≤≤≤-σ-+σ-=σ-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰d x y d y x d x y I 21D 2D 2D2()()⎰⎰⎰⎰--=-⋅+-⋅=11221102221513xx dy x y dx dy y xdx 例3证明⎰⎰⎰-=xa ba b a dy y b y f dy y f dx ))(()(（f 连续）证： 左端=⎰⎰xa ba dy y f dx )(，⎩⎨⎧≤≤≤≤bx a xy a D ，作出积分域交换积分顺序，⎩⎨⎧≤≤≤≤by a bx y D左端==⎰⎰xa ba dy y f dx )(⎰⎰by ba dx y f dy )(⎰=-=ba dy yb y f ))((右端，证毕！注： 本题还可这样证明：令⎰⎰⎰--=ta xa ta dx x t x f dy y f dx t F ))(()()(，证明0)(0)(=⇒='t F t F例4 设)(x f 在区间],[b a 上连续，且0)(>x f ，试证明⎰⎰->b ab aa b dx x f dx x f 2)()(1)( 证： 设平面区域},),({b y a b x a y x D ≤≤≤≤=，D 关于直线x y =对称⎰⎰⎰⎰=∴b a b a b ab ady y f dx x f dx x f dx x f )(1)()(1)(222)()()()()(221)()()()(21)()()()(21)()()()(a b dxdy dxdy y f x f y f x f dxdy y f x f y f x f dxdy x f y f y f x f dxdy x f y f dxdy y f x f DD D D DD-==≥+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰例5 计算[]⎰⎰++Ddxdy y x yf x )(122，其中D 由3x y =，1=y ，1-=x 围成。

解： 如图，作曲线3x y =，则积分区域被分为1D 和2D ，1D 关于x 轴对称，2D 关于y 轴对称。

由于被积函数是x 的奇函数，故有[]0)(1222=++⎰⎰D dxdy y x yf x ，由于)(22y x xyf +的奇函数，故有[]=++⎰⎰1)(122D dxdy y x yf x ⎰⎰⎰⎰⎰----=-==+0140152)(22031dx x dy xdx xdxdy x D例6 计算⎰⎰⎰+=vdv y x I )(22，v 是由yOz 平面上曲线zy 2=绕z 轴旋转所得平面2=z ，8=z 所围区域。

解： 旋转面方程为z y x 222=+，积分区域{}82,2),,(22≤≤≤+=z z y x z y x V⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+=vD zdxdy y x dz dv y x I 822222)()(ππθπ33628228220203===⎰⎰⎰⎰dz z dr r d dz z注： 本题若采用先一后二法，将较麻烦!例7 设函数)(x f 连续，[]d v y x f z t F v⎰⎰⎰++=)()(222，其中{}Hz t y x z y x V ≤≤≤+=0,),,222（，试求dt dF和2)(lim tt F t → 解： V 在xOy 平面上投影D 为圆222t y x ≤+，于是⎰⎰⎰++=vdv y x f z t F ))(()(222⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=⎪⎭⎫⎝⎛+=++=tt HDd f H t H d H f H d dzy x f z dxdy 0223200230222)(23)(31))((ρρππρρρθπ当0>t 时有： )(23223t Htf t H dt dFππ+= 当0<t 时有： )(23223t Htf t H dt dF ππ+=且0=t 时，有dt dF F t 0lim )0(→='，所以)(23223t Htf t H dt dF ππ+=从而 tt f H t H t t F t t 2)(232lim )(lim 23020++=→→ππ )0(3)(lim 33203Hf H t Hf H t ππππ+=+=→例8 求曲面221y x z ++=在点)3,1,1(0-M 的切平面与曲面22y x z +=所围立体的体积V解： 不难想象，该立体的上、下底曲面一个是曲面22y x z +=的一块，一个是切平面的一块，首先确定立体在xOy 平面上投影区域y x D ,由于切平面的法向量是}1,2,2{}1,,{0--=-=M y x z z n，切平面方程：0)3()1(2)1(=--+--z y x z ，即122--=y x z从而切平面与曲面22y x z +=的交线是⎩⎨⎧--=+=12222y x z y x z ，消去z ，可得投影1)1()1(:22≤++-y x D xy ，注意到在D 上，22122y x y x +≥--，所以()[][]⎰⎰⎰⎰+---=+---=DDdxdy y x dxdy y x y x V 2222)1()1(1122⎰⎰=-=ππθ20122)1(rdr r d例9 设半径为R 的球面∑的球心在定球面)0(2222>=++a a z y x 上，问当R 取何值时，∑在定球面内部的那部分1∑的面积最大？解： 可设∑的方程为2222)R a z y x =-++（，从而两球面的交线是()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+a R a z R a a R y x 224422222222，于是1∑的方程为222y x R a z ---=1∑在xy 在投影为()22222244:R a aR y x D -≤+1∑的面积为⎰⎰⎰⎰--=++=DDy x dxdy yx R R dxdy z z R S 222221)(aR R rdr rR R d R a a R322042022222ππθπ-=-=⎰⎰-234)(R a R R S ππ-=' ，得驻点01=R ，a R 342= R aR S ππ64)(-=''，04)(2<=''πR S∴当a R 34=时，1∑的面积最大。

例10有一半径为R 的球体，0P 是此球的表面上的一个定点，球体上任一点密度与驻点到0P 距离的平方成正比（比例常数0>k ），求球体的重心位置。

解法1： 证所考虑的球体为Ω，以Ω的球心为原点O ，射线0OP 为正x 轴建立直角坐标系，则点0P 的坐标为)0,0,(R 球面方程为2222R z y x =++设Ω的重心位置为),,(z y x ，由对称性得：0=y ，0=z ，[][]d vz y R x k dv z y R x k x x ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ++-++-⋅=222222)()(，而[]()dv R dv z y x dv z y R x k ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ+++=++-2222222)(52200522153234sin 8R R dr r r d d Rππϕϕθππ⎰⎰⎰=+⋅=[]⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ-=++-dv x R dv z y R x x 22222)( ()622215832R dv z y x R π-=++-=⎰⎰⎰Ω4R x -=∴ 因此球体Ω的重心位置为⎪⎭⎫⎝⎛-0,0,4R 。