14.1.1.直角三角形三边关系2
八年级数学上第14章勾股定理14.1勾股定理1直角三角形三边的关系目标二勾股定理与图形的面积华东师大
方法技巧练 1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月20日星期日下午2时52分39秒14:52:3922.3.20
2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那 些善于独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月下午2时52分22.3.2014:52March 20, 2022
7 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边 分别为a，b，c，则a，b，c满足的关系为_a_2_＋__b_2_＝__c2． (1)分别以Rt△ABC的三边为边作正方形，如图①所示， 你能发现S1，S2，S3之间有什么关系吗？ 解：由题意得S1＝b2，S2＝a2，S3＝c2. 因为a2＋b2＝c2，所以S1＋S2＝S3.
(2)分别以Rt△ABC的三边为直径作半圆，如图②所示， (1)中的结论是否仍成立？请说明理由． 解：仍成立．理由如下： 由题意得 S1＝π8·b2，S2＝π8·a2，S3＝π8·c2. 因为 a2＋b2＝c2，所以 S1＋S2＝S3. 即(1)中的结论仍成立．
(3)分别以Rt△ABC的三边为斜边作等腰直角三角形， 如图③所示，(1)中的结论仍成立吗(直接写出结论， 不需要证明)? 解：仍成立．
【点拨】
根据勾股定理可得a2＋b2＝13，由题意知四 个直角三角形的面积和是 1ab×4＝13－1＝12，
2 即2ab＝12，则(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝13＋12＝
25.
6 如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，
其中阴影部分的面积( B )
A．16
核心素养导向下的数学教学设计——以14.1.“1_直角三角形三边的关系”为例
核心素养导向下的数学教学设计———————以14.1.1“直角三角形三边的关系”为例文|武旦珠核心素养导向下的数学教学是对传统教学的一次变革，摆脱了过去以课时为单位的传统范式，推崇以单元为整体的设计理念。
这种变革体现了对数学知识内在逻辑关系的深层次思考，教学设计应该体现单元整合教学内容。
这种教学设计旨在通过深入挖掘数学知识之间的关系，为学生提供更为系统和全面的学习体验。
教学设计要充分考虑核心素养的重要性，确保在整个教学过程中的指导作用。
教学目标应该是全面的、有层次的，可以涵盖知识、技能和态度的培养，以确保学生在学习过程中获得全面的发展。
教师要考虑学生的数学核心素养、创造力、批判性思维等方面的发展。
在每个课时中，结合教学内容和目标展开教学，能够更好地发展学生的核心素养。
【教材分析】北师大版数学八年级上册“直角三角形三边的关系”，是“勾股定理”章节的主要内容，重点讲解了勾股定理的证明过程。
教材通过两个例子“正方形的瓷砖”和“试一试”来发现直角三角形三边之间的关系。
接着，通过“做一做”的实践验证，学生先获得直接的经验，再进行总结和归纳，证明勾股定理。
勾股定理是几何学中最为重要的定理之一，它揭示了直角三角形中三边的数量关系。
直角三角形中斜边较长，而另外两条边较短，该定理证明它们之间有着精确的数量关系，为学生今后学习解直角三角形问题奠定基础。
因此，探索直角三角形三边的关系对学生来说非常重要，既能使学生更好地理解直角三角形，又能培养他们的逻辑思维能力。
【学情分析】八年级学生已经具备了一定的逻辑思维和抽象思维能力，并且掌握了学习数学的基本方法。
直角三角形是他们非常熟悉的图形，因此，通过自主探索、合作互助、交流分享的方式来验证和应用勾股定理是非常适合的。
通过这样的学习方式，学生能够轻松、愉快地完成本节课的学习目标。
【教学目标】1.育人目标（1）通过探究、验证、证明和应用勾股定理，培养学生对数学学习的意识和能力。
直角三角形三边的关系
解：如图,在Rt△ABC中, ∠ACB=90゜
AC=12， BC=5,
根据勾股定理得：
12
AB AC2BC2
5
122 52
13
答：要用13米长的直角钢三角丝形三边绳的关才系 能把电线杆固定.
例1如图14.1.4，将长为5.41米的梯子AC斜靠在墙上， ＢＣ长为2.16米，求梯子上端A到墙的底边的垂直 距离ＡＢ．（精确到0.01米）
（2）等腰直角三角形的三边关系：AC2 + BC2 =AB2
说明:在等腰直角三角形ＡＢＣ中， 两直角边的平方和等于斜小
方
格 表 示
A
R c bQ
Sp 9
SQ 16
1 平 方
B aC
SR 25
Sp SQSR
厘
P
BC2 + AC2 =AB2
米
a2 b2 c2
直角三角形三边的关系
勾股定理： 对于任意的直角三角形，如果 它的两条直角边分别为a、 b，斜边为c， 那么一定有a2＋b2＝c2。
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
b
c
a
勾股定理揭示了直角三
角形三边之间的关系
直角三角形三边的关系
直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方.
cb
┏
a
a2+b2=c2
直角三角形三边的关系
24m
9m
?
如图，大风将一根木制旗 杆吹裂，随时都可能倒下， 十分危急。接警后“119” 迅速赶到现场，并决定从 断裂处将旗杆折断。现在 需要划出一个安全警戒区 域，那么你能确定这个安 全区域的半径至少是多少 米吗？
2022秋八年级数学上册第14章勾股定理14.1勾股定理1直角三角形三边的关系__认识勾股定理授课课
解： 根据勾股定理， 可得
长度，可以求出第三 边的长度.
AB2 + BC2 = AC2. 所以 AC = A B 2 ＋ B C 26 2 ＋ 8 2 1 0 .
知1－讲
例2 在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a， b，c， ∠C＝90°. (1)已知a＝3，b＝,4，求c； (2)已知c＝13，a＝12，求b； (3)已知a∶b＝2∶1，c＝5，求b（结果保留根号）.
知1－导
要点精析： (1)勾股定理揭示的是直角三 角形的三边的平方关系， 只有在直角三角形中才可 以使用勾股定理； (2)勾股定理的内容描述的是直角三角形三边之间的 数量关系，已知其中任意两边可以求出第三边； (3)勾股定理的变形公式：a2＝c2－b2，b2＝c2－a2； (4) 运用勾股定理，若分不清 哪条边是斜边时，则要 分 类讨论，写出所有可能的 情况，以免漏解或解 ．
知1－讲
利用勾股定理求直角三角形边长的方法：一般 都要经过“一分二代三化简”这三步：即一分：分 清哪条边是斜边、哪些是直角边；二代：代入a2＋b2 ＝c2及两边之间的关系式；三化简．
知1－讲
例1 在Rt△ABC中，已知∠B＝90°, AB=6,BC=8.
求AC.
应用勾股定理，由直
角三角形任意两边的
知1－讲
例3 已知直角三角形的两边长分别为3，4，求第 三边的长．
错解：第三边的长为 32＋ 42 255. 错解分析：由于习惯了“勾三股四弦五”的说法，因此
将题意理解为两直角边长分别为3和4，于是 斜边长为5.但这一理解的前提是3，4为直角 边长，而题中并没有任何说明，因而所求的 第三边长可能为斜边长，也可能为直角边 长．所以需要分情况求解．
正方形R的面积=
初中数学14.1.1直角三角形的三边关系(2)先进优质课课件
课堂小结： 通过本节课的学习你有什么收获？（从知识方面、能 力方面、解题技巧等方面进行总结）
运用勾股定理求三角形的边长时，还能运用方程解答。 在解决问题时，常把实际问题转化为数学问题，然后 运用数学知识解答。 运用勾股定理时要先构造直角三角形。 本节课运用的思想方法有：方程思想，转化思想，数 形结合思想。
设疑自探 勾股定理: 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 你能说说勾股定理的内容吗?公式又能如 若直角三角形的两条直角边分别为a,b, 何变形？ 斜边为c,则 a2+b2=c2 .
A
c2=a2 + b2 a2=c2－b2 b2 =c2-a2
2
2
b
c
a c b
2
C
b= c2-a2
2
a
c a b B 在直角三角形中，知道任意两边长，利
展示点评分工表
题号 2 2 展示方式 板书 板书 展示组 4组3号 5组3号 评价组
1组2号 6组2号
展示要求：
1、展示要板书工整、规范、快速； 2、非展示同学结合展示仔细观察讨论或认真倾听，随时准备评 价，并做好变式编题 准备。
点评要求：
1、声音洪亮，言简意赅，思路清晰，点评出优、缺点及总结方法 规律。 2、非点评同学认真听讲，有疑问及时提出来,并设计变式训练。 3、注意教态端庄大方，身体与黑板成30°角。 4、对展示同学打分，每题满分10分。
质疑再探
通过刚才的学习，同学们还有哪些问题没 有解决，或又产生了哪些新的疑问，请大 胆提出来，大家共同解决。
拓展应用
1· 请你自编一道题，考考你的同桌，好的题 目不要忘了介绍给大家。
想一想:
14.1.1 直角三角形三边的关系 知识考点梳理(课件)华东师大版数学八年级上册
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解题通法
当题目中没有直角三角形时，往往先通过
重
难
题 作垂线（或作高）构造直角三角形，然后利用勾股定理求
型 得线段的长.
突
破
14.1.1 直角三角形三边的关系
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方 ■方法：利用分类讨论思想求直角三角形的边长
法
应用勾股定理时，若题目没有指明哪条边是斜边，哪些
技
巧 边是直角边时，应对未知边是直角边还是斜边进行分类讨
考
［解题思路］ 图 1：∵S 梯形 ACED= ·（a+b）（a+b）
点
清
2
单 ，S梯形ACED= ab+ ab+ c ，∴ （a+b）（a+b）= ab+
解
读 ab+ c2，∴a2+2ab+b2=ab+ab+c2，∴a2+b2=c2，故图 1 可
以验证勾股定理；
图 2：图形的总面积可以表示为
∴S△ABC=
BC×AD= ×14×12=84（cm2）.
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14.1.1 直角三角形三边的关系
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变式衍生
如图，一个直角三角形的两直角边长分别
重
难
题 为 6，8，分别以三边长为直径和一边作三个半圆和三个长
型 方形，则图中阴影部分的面积为 ________．
50
突
破
14.1.1 直角三角形三边的关系
续表
14.1.1 直角三角形三边的关系
考
点
清
单
解
读
华东师大版八年级数学上册14.1.1直角三角形三边的关系优秀教学案例
4.反思与评价：引导学生对自己的学习过程进行反思，总结学习方法和经验，提高他们的自我认知能力。组织学生进行评价，让他们学会欣赏他人，培养他们的公平竞争意识。通过评价，让学生了解自己的不足，激发他们的学习动力，促进他们的全面发展。
1.引导学生观察直角三角形模型，发现三边之间的关系。
2.通过讲解勾股定理的推导过程，使学生理解并掌握直角三角形三边的关系。
3.运用举例、讲解等方法，让学生明确直角三角形三边关系的应用。
（三）学生小组讨论
1.设计具有挑战性的问题，引导学生进行小组讨论，如：“你能用勾股定理解决实际问题吗？”
2.组织学生分享讨论成果，培养他们的合作意识和团队精神。
3.在讨论过程中，关注学生的个体差异，给予他们个性化的指导。
（四）总结归纳
1.引导学生总结直角三角形三边关系的知识点，加深他们对知识的理解。
2.总结本节课的学习方法，培养学生独立思考、合作交流的能力。
3.强调直角三角形三边关系在实际生活中的应用，提高学生的数学素养。
（五）作业小结
1.设计具有针对性的作业，让学生巩固直角三角形三边关系的知识。
五、案例亮点
1.生活情境的引入：通过房屋测量、篮球架高度等实际生活中的例子，引导学生关注直角三角形三边关系在现实生活中的应用，使学生认识到数学与生活的紧密联系，提高他们的学习兴趣。
2.问题导向：设计一系列具有启发性的问题，引导学生独立思考，发现直角三角形三边之间的关系。在解决问题的过程中，培养学生运用已学的知识解决实际问题的能力，提升他们的知识运用水平。
直角三角形三边关系教案_教案：《14.1.1直角三角形三边的关系》
直角三角形三边关系教案_教案：《14.1.1直角三角形三边的关系》教案原创教案：《14.1.1直角三角形三边的关系》一、教学内容华东师大版14.1.1直角三角形三边的关系二、教学目标1．知识与技能：体验勾股定理的探索过程，了解利用拼图验证勾股定理的方法，掌握勾股定理并会用它解决身边与实际生活相关的数学问题；2．思想与方法：在学生经历观察、归纳、猜想、探索勾股定理过程中，发展合情推理能力，体会数形结合思想，并在探索过程中，发展学生的归纳、概括能力；3．情感、态度、价值观：通过探索直角三角形的三边之间关系，培养学生积极参与、合作交流的意识，体验获得成功的喜悦，通过介绍勾股定理在中国古代的研究情况，提高学生民族自豪感，激发学生热爱祖国、奋发学习的热情．教学分析三、重点难点1．探索和验证勾股定理过程．2．通过面积计算探索勾股定理．四、教学方法及教学手段采用探究发现式的教学方法，通过计算面积为学生设计一个数学实验的平台，结合多媒体课件的演示，培养学生动手实践能力和合作交流的意识．五、教学过程（一）激趣导入多媒体演示勾股树图片，激发学生求知欲，成功导入本节课题．（二）合作互动1．小组讨论活动一：动脑想一想观察下图正方形大小，图中每一小方格表示，你能发现图中正方形P、Q、R的面积之间有什么关系？从中你发现了什么？（1）正方形P的面积为，正方形Q 的面积为，正方形R的面积为．（2）你能发现图中正方形P、Q、R的面积之间有什么关系？从中你发现了什么？活动二：其它一般的直角三角形，是否也有类似的性质呢？（你打算用什么方法来研究？共同讨论方法后再确立研究方向）（图中每一小方格表示）（1）正方形P的面积为，正方形Q的面积为，正方形R的面积为．（2）正方形P、Q、R的面积之间的关系是什么？（3）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？试一试：① 在方格图中，画出两条直角边分别为、的直角三角形．② 再用刻度尺量出斜边长．③ 验证刚才的结论对这个直角三角形是否成立？让学生自己总结，并用符号语言、文字语言表达勾股定理的内容．1．展示评价2．质疑解难勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．注：（1）勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系．（2）在直角三角形中，任意已知其中的两边，就可以计算出第三边的长．C B A 例1 如图，在Rt△ABC中，已知∠B=90°，AB=6,BC=8，求AC. （三）拓展训练A c 1．如图，在Rt△ABC中，AB=c,BC=a ,AC=b,∠C=90°. b （1）已知a=6,c=10,求b; a C B （2）已知a=24,c=25,求b. 2．如果一个直角三角形的两边长分别是3厘米和4厘米，那么这个三角形的周长是多少？（精确到0.1厘米）3．小刚准备测量一条河的深度，他把一根竹竿插到离岸边2米远的水底，竹竿高出水面1米，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶刚好和水面相齐，这河水的深度为多少米? （四）课堂小结师生一起回顾本节知识，主要是让学生回忆学到了哪些知识和方法，教师最后再作补充．（1数学家大会所用标志．2勾股定理是宇宙语言．3利用勾股定理，可以解决“已知直角三角形的两边，求第三边”的问题）（五）作业布置：导学个性化增删部分：在情景引入中融入数学文化，展示国际数学大会的会标，向学生展示中华文化的博大深厚；知识结束后动态演示勾股树的形成，激发学生兴趣。
2勾股定理直角三角形三边的关系精品教案
第十四章勾股定理14.1.1 直角三角形三边的关系（1）教学目标：1.探索并掌握勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.2．会应用勾股定理解决实际问题教学重点：探索勾股定理的证明过程教学难点：运用勾股定理解决实际问题教学过程：一。
探索勾股定理试一试测量你的两块直角三角尺的三边的长度，并将各边的长度填入下表：三角尺直角边a直角边b斜边c 关系12根据已经得到的数据，请猜想三边的长度a、b、c之间的关系．由图14.1.1得出等腰直角三角形的三边关系图14.1.1是正方形瓷砖拼成的地面，观察图中用阴影画出的三个正方形，很显然，两个小正方形P、Q的面积之和等于大正方形R的面积．即AC2＋ＢＣ2＝ＡＢ2，图14.1.1这说明，在等腰直角三角形ＡＢＣ中，两直角边的平方和等于斜边的平方．那么在一般的直角三角形中，两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢?试一试观察图14.1.2，如果每一小方格表示1平方厘米，那么可以得到：正方形P的面积＝平方厘米；正方形Q的面积＝平方厘米；（每一小方格表示1平方厘米）图14.1.2正方形R的面积＝平方厘米．我们发现，正方形P、Q、R的面积之间的关系是．由此，我们得出直角三角形ＡＢＣ的三边的长度之间存在关系．由图14.1.2得出一般直角三角形的三边关系.若∠C=90°,则222c b a =+勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方△ABC 中，∠C=90°, 则222c b a =+(a 、b 表示两直角边，c 表示斜边) 变式：222222,a c b b c a-=-=2．介绍勾股定理的历史背景。
二．例题分析：例1.Rt △ABC 中，AB=c,BC=a,AC=b,∠B=90° （1） 已知a=8,b=10,求c. (c=6) （2）已知a=5,c=12,求b (b=13)注意：“∠B 为直角”这个条件。
三、引申提高：例2如图14.1.4，将长为5.41米的梯子AC 斜靠在墙上，ＢＣ长为2.16米，求梯子上端A 到墙的底边的垂直距离ＡＢ．（精确到0.01米）解 如图14.1.4，在Rt △ＡＢＣ中，ＢＣ＝２.１６米， ＡＣ＝５.４１米， 根据勾股定理可得ＡＢ＝－ＢＣ AC 22＝22 １６.－２ ４１.５≈４.９６（米）．答： 梯子上端A 到墙的底边的垂直距离 ＡＢ 约为4.96米 四．巩固练习： 1．书本P51.1.2 五．课时小结： 1. 勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方2.已知直角三角形两边的长或知道两边关系和第三边的长，可以利用勾股定理求出三角形未知边长，并可运用面积关系式求斜边上的高。
直角三角形三边的关系导学课件华东师大版八年级数学上册
2 22
2
(a＋b)2 c2＋2ab
整个图形面积等于不
,
2
2
重叠、无空隙的各组
即a2+b2=c2.
成部分的面积的和.
感悟新知
3-1. 如图， 写出字母所代表的正方形的面积：SA= 625 ______1，44SB= ______.
感悟新知
3-2. (1)观察图① ②并填写下表(图中每个小方格的边长为1).
图① 图②
A的 面积
16 4
B的 面积
9 9
C的 面积
25 13
感悟新知
(2)三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系？ 解：三个正方形A，B，C的面积之间的关系为SA＋SB＝SC.
(3)三个正方形围成的一个直角三角形的三边长之间存在什 么关系？ 三个正方形围成的一个直角三角形的三边长之间的关 系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
感悟新知
解题秘方：紧扣“总体面积等于各部分面积之和” 进行验证. 方法点拨：通过拼图，利用求面积来验证，这种方 法以数形转换为指导思想，以图形拼补为手段，以 各部分面积之间的关系为依据而达到目的.
感悟新知
证明：由题知C′D′=a，AD′=b.
∵四边形BCC′D′为直角梯形，
∴ S 梯形BCC′D′=
方法
加菲尔 德总 统拼图
毕达哥 拉斯 拼图
图形
证明
设梯形的面积为S，则S= 1
(a+b)(a+b)= 1 a2+ 1 b2+ab.2又
1
12
S= ∴
2 ab+ 2 ab+ a2+b2=c2
1 2
c22=
1 2
直角三角形三边的关系
实际应用 勾股定理
如图所示， 如图所示，一棵大树在一次强烈的地震 中于离地面10米处折断倒下 米处折断倒下， 中于离地面 米处折断倒下，树顶落在 离树根24米处 大树在折断之前高多少？ 米处.大树在折断之前高多少 离树根 米处 大树在折断之前高多少？
10
解：如图，在Rt△ABC中，∠B=90°， 如图， 中 ° AB=10米，BC=24米， 米 利用勾股定理 勾股定理可以求出折断倒下部分的长度为 利用勾股定理可以求出折断倒下部分的长度为 26＋10＝36（ AC ＋ AB = 26＋10＝36（米）. 所以，大树在折断之前高为36米 所以，大树在折断之前高为 米.
可要当心噢！
复习题 (P51) 勾股定理 A组 组 1. 求下列阴影部分的面积： 求下列阴影部分的面积： （1） 阴影部分是正方形； ） 阴影部分是正方形； （2） 阴影部分是长方形； ） 阴影部分是长方形； （3） 阴影部分是半圆． ） 阴影部分是半圆．
C A B C A A B C B
能力拓展题
每 一 小 方 格 表 示 1 平 方 厘 米
A
R
c
B
bQ
C
a
P
Sp + SQ = SR
BC2
2
Sp = 9 SQ = 16 SR = 25
AC2 =AB2 +
2 2
a +b = c
试一试 观察图，如果每一小方格表示 平方厘米， 观察图，如果每一小方格表示1平方厘米 平方厘米，
那么可以得到： 那么可以得到： 正方形P的面积 的面积＝ 9 平方厘米； 正方形 的面积＝_________平方厘米； 平方厘米 正方形Q的面积 的面积＝ 16 平方厘米. 正方形 的面积＝________平方厘米 平方厘米 正方形R的面积 ________平方厘米 的面积＝ 25 正方形R的面积＝________平方厘米. 用等式的形式来 表示上面的结论
华师版八年级数学上册课件-14.1.1直角三角形三边的关系
A D
C
B
4.一高为2.5米的木梯,架在高为2.4米的墙上(如图), 这时梯脚与墙的距离是多少?
A
解：在Rt△ABC中，根据勾
股定理，得：
BC2=AB2-AC2
=2.52-2.42
优质 课件
优质八年级数学上（HS） 教学课件
第14章 勾股定理14.1 勾股定理1.直角三角形三边的关系
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
情境引入
1.掌握勾股定理及其简单应用，理解定理的一般探究方
法．（重点）
2.通过利用方格纸计算面积的方法探索勾股定理，经历
观察、归纳、猜想和验证的数学发现过程，发展数形结合
赵爽弦图
证明： S大正方形＝c2
c b
a
b-a
S小正方形＝(b-a)2
S大正方形＝4·S三角形＋S小正方
即形c2=4×12 ab+(b-a)2, c2=2ab+a2-2ab+b2
所以 a2+b2=c2
温馨提示：上述这种验证勾股定理的方法是用面积法
“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明 才智，它是我国古代数学的骄傲.因为，这个图案被选为 2002年在北京召开的国际数学大会的会徽.
的数学思想．（难点）
导入新课
问题情境
某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高 3米，消防队员取来6.5米长的云梯,如果梯子的底部离墙基的 距离是2.5米,请问消防队员能否进入三楼灭火?
讲授新课
直角三角形三边的关系
八年级数学上第14章勾股定理14.1勾股定理2直角三角形三边的关系__验证勾股定理授课新华东师大1
知1－讲
3．用拼图法证明命题1的思路： (1)图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面
积不会改变； (2)根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式； (3)利用等式性质变换证明结论成立，即拼出图形→写出
图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变形→推出 命题1的结论．
知1－讲
例1 图14.1-1是用硬纸板做成的四个两直角边长分别 是a，b，斜边长为c的全等的直角三角形和一个 边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能证明 命题1的图形． (1)画出拼成的这个图形的示意图； (2)证明命题1.
知2－讲
(2)已知直角三角形的一边确定另两边的关系； (3)证明含有平方关系的几何问题； (4)作长为n(n≥1，且n为整数)的线段； (5)一些非直角三角形的几何问题、日常生活中的
应用问题，对于这些问题，首先要将它们转化， 建立直角三角形模型，然后利用勾股定理构建方 程或方程组解决．
知2－讲
例2 如图，Rt △ABC的斜边AC比直角边 AB长 2cm，另一直角边BC长为6 cm.求AC的长.
知2－讲
本题运用建模思想解题，根据实际问题画出直 角三角形，再运用勾股定理解答．当图形不是直角 三角形时，常常通过作垂线构造直角三角形．
知2－讲
例5 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC ＝6 cm，BC＝8 cm，现将直角边AC沿AD折 叠，使点C落在斜边AB上的点E处，试求CD 的长．
导引：利用折叠前后重合的线段相等、重合的角相等， 通过勾股定理列方程，在Rt△BDE中求出线段 DE的长，从而得到CD的长．
解： 由已知AB=AC － 2, BC =6cm， 根据勾股定理，可得 AB2 + BC2 = (AC － 2)2 +62 = AC2, 解得AC= 10(cm).
14.1.1 直角三角形三边的关系(2)湘教版
4米
3米
应用知识回归生活 王子救公主的故事 y=0
营救方案
小船能漂多远？
应用知识回归生活 y=0
4. 如图,为了求出湖两岸的AB两点之间的距离， 一个观测者在点C设桩，使△ABC恰好为Rt△， 通过测量，得到AC长160米，BC长128米，问从A 点穿过湖到点B有多远？
解：Rt△ABC中，AC=160， BC=128， 根据勾股定理得:
c c
c
a
b
有趣的总统证法
美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话 人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明， 就把这一证法称为“总统”证法。
C D c
c a
a
A b E
S 梯形 b
B
ABCD
1 （ a b（ a b ) ) 2
1 2 2 （ a b 2 ab ) 2
北
东
C
练一练：
做一个长，宽，高分别为50厘米，40 厘米，30厘米的木箱，一根长为70厘米 的木棒能否放入，为什么？试用今天学 过的知识说明。
30cm 50cm
40cm
小 结：
1图形经过割补拼接后，只要没有空隙，没有 重叠，面积不会改变。
2构造直角三角形，将实际问题转化为数学问题， 运用勾股定理建立方程求解。
AB
2 2
x
AC
2
2
2
BC
2
2
2
x 160
128
x 96
x 160 128 答：从A点穿过湖到点B有96米。
应用知识回归生活 y=0
5. 假期中，王强和同学到某海岛上去探宝旅游，按照探宝图 （如图），他们登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到 障碍后又往西走3千米，再折向北走到6千米处往东一拐，仅走 1千米就找到宝藏，问登陆点A到宝藏埋藏点B的直线距离是多 少千米?
14.1勾股定理1直角三角形三边的关系第2课时勾股定理的验证及简单应用作业新版华东师大版
[14.1 1. 第2课时勾股定理的验证及简单应用]一、选择题1．如图K－38－1，△ABD的面积是( )A．18 B．30 C．36 D．60图K－38－12．如图K－38－2，在等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，BC＝2，则AD的长为( )图K－38－2A．1 B．2 C. 5 D. 33．下列选项中，不能用来证明勾股定理的是( )图K－38－34．小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1 m，当他把绳子的下端拉开5 m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为( )A．8 m B．10 m C．12 m D．14 m图K－38－45．如图K－38－4，在水塔O的东北方向32 m处有一抽水站A，在水塔的东南方向24 m 处有一建筑物工地B，在A，B之间建一条直水管，则水管的长为( )A．45 m B．40 mC．50 m D．56 m6．如图K－38－5，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB＝3，BD＝2，DC＝1，则AC等于( )图K－38－5A．6 B. 6C. 5 D．4二、填空题7．如图K－38－6，为测量某池塘最宽处A，B两点间的距离，在池塘边定一点C，使∠BAC ＝90°，并测得AC的长为18 m，BC的长为30 m，则最宽处A，B两点间的距离为________．图K－38－68．在如图K－38－7所示的图形中，所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，其中最大的正方形的边长为7 cm，则正方形A，B，C，D的面积之和是________．图K－38－79．如图K－38－8，学校有一块长方形草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”．他们仅仅少走了________步路(假设2步为1米)，却踩伤了花草．图K－38－810．如图K－38－9，已知在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AB＝10，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1＋S2＝________．图K－38－911．2017·丽水我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，绘制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图K－38－10①所示．在图②中，若正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2，且IJ∥AB，则正方形EFGH的边长为________.三、解答题12．如图K－38－11，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：(1)画线段AD∥BC，且使AD＝BC，连结CD；(2)线段AC的长为______，CD的长为______，AD的长为________．图K－38－1113．在如图K－38－12所示的长方形零件示意图中，根据所给的部分尺寸，求两孔中心A和B的距离(单位：mm).图K－38－1214．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小明灵感，他惊喜地发现，当四个全等的直角三角形如图K－38－13摆放时，可以用“面积法”来证明a2＋b2＝c2.请你写出证明过程.15．某市决定在相距10千米的A，B两地之间的E处修建一个土特产加工基地，A，E，B三点在同一条直线上，如图K－38－14所示，有C，D两个农庄，且DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知AD＝8千米，BC＝2千米，要使C，D两农庄到基地的距离相等，那么基地E 应建在距离A地多远的位置？图K－38－14问题情境勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法．我国三国时期的数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明．著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系(勾股定理)”用探索飞船带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言．定理表述请根据图K－38－15①中的直角三角形叙述勾股定理(用文字及符号语言叙述)．图K－38－15尝试证明以图①中的直角三角形为基础，可以构造出以a，b为底，以a＋b为高的直角梯形(如图②)，请你利用图②验证勾股定理．知识拓展利用图②中的直角梯形，我们可以证明a ＋bc<2，其证明如下： ∵BC ＝a ＋b ，AD ＝________．又∵在直角梯形ABCD 中，有BC ________AD (填“>”“<”或“＝”)，即______________，∴a ＋bc＜ 2.详解详析【课时作业】[课堂达标]1．B2．D3．D4．[解析] C设旗杆的高度为x m，则绳子的长为(x＋1)m，由勾股定理，得(x＋1)2＝x2＋52，解得x＝12.5．[解析] B由题意知∠AOB＝90°，由勾股定理得AB＝OA2＋OB2＝322＋242＝40(m)．6．[解析] B∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴由勾股定理，得AD＝AB2－BD2＝32－22＝ 5.又∵DC＝1，∴AC＝DC2＋AD2＝ 6.7．24 m8．[答案] 49 cm2[解析] 如图，∵a2＋b2＝x2，c2＋d2＝y2，∴a2＋b2＋c2＋d2＝x2＋y2＝72＝49(cm2).9．4 10． 12.5π11．10 [解析] 设直角三角形的勾(较短的直角边)为a ，股(较长的直角边)为b.根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝14，b －a ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝8.由勾股定理得直角三角形的弦(斜边)为62＋82＝100＝10， 即正方形EFGH 的边长为10.12．[解析] (1)根据AD ＝BC 和AD∥BC 即可确定点D ；(2)把AC ，CD ，AD 放在网格中的直角三角形中，用勾股定理分别求出AC ，CD ，AD 的长．解：(1)如图．(2)205 513．解：根据图中的数据得AC ＝90－40＝50(mm )，BC ＝160－40＝120(mm )，根据勾股定理，得AB ＝502＋1202＝130(mm )．即两孔中心A 和B 的距离为130 mm .14．证明：如图，∵S 五边形＝S 左边梯形＋S 右边梯形＝S 大正方形＋2S 直角三角形， ∴12(b ＋a ＋b)·b＋12(a ＋a ＋b)·a＝c 2＋2×12ab ，即12ab＋b2＋a2＋12ab＝c2＋ab，∴a2＋b2＝c2.15．解：∵C，D两农庄到基地E的距离相等，∴CE＝DE.在Rt△CBE和Rt△DAE中，由勾股定理，得CE2＝BE2＋BC2，DE2＝AD2＋AE2，∴BE2＋BC2＝AD2＋AE2.设AE＝x千米，则BE＝(10－x)千米，而BC＝2千米，AD＝8千米，所以(10－x)2＋22＝82＋x2，解得x＝2，即基地应建在距离A地2千米的位置．[素养提升]解：[定理表述]如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2＋b2＝c2. [尝试证明]∵Rt△ABE≌Rt△ECD，∴∠AEB＝∠EDC.又∵∠EDC＋∠DEC＝90°，∴∠AEB＋∠DEC＝90°，∴∠AED＝90°.∵S梯形ABCD＝S Rt△ABE＋S Rt△ECD＋S Rt△AED，∴12(a＋b)(a＋b)＝12ab＋12ab＋12c2，整理，得a2＋b2＝c2.[知识拓展]2c ＜a＋b＜2c。
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C
作者:李先贵(平昌县信义小学)
B
B
C
12
∠B=90°,AC=160，BC=128
根据勾股定理得
AB AC2 BC2
1602 1282
= 96（米） :课本112页练习1,2题
作者:李先贵(平昌县信义小学) 7
例题2:如图,将长为5.14米的梯子AC斜靠在墙上,BC长为2.16米,
求梯子上端A到墙的底端B的距离AB.(精确到0.01米)
解 在Rt△ABC中，
BC=2.16米，AC=5.14米，
根据勾股定理可得:
AB＝ AC 2 －BC2 ＝ 5.142 －2.162 ≈4.96（米）． 答：梯子上端A到墙的底边的垂直距离
2.16
？
AB约为4.96米．
作者:李先贵(平昌县信义小学)
8
变式:一个3m长的梯子AC,斜靠在一竖直的墙AB上,这时AB 的距离为2.5m,如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么 梯子底端C向外移多少?(精确到0.01米) 解 在Rt△ABC中， ∴CE = BE-BC
2 2 2
S大正 c2
a b c
作者:李先贵(平昌县信义小学)
5
勾股定理的证明(三)
将上面弦图中的四个三角形 重新拼成右图形式。 你能用面积法证明勾股定理 吗？
2 证明： S大正方形 (a b)
4个
a 2 2ab b 2 2ab c 2
1 (a b) ab 4 c 2 2
2
S大正方形 1 ab 4 c 2 2
a b c
2 2
作者:李先贵(平昌县信义小学)
2
6
例1:如图,为了求出湖两岸的A、B 两点之间的距离,一个观测者在 点C设桩,使⊿ABC 恰好为直角三角形.通过测量,得到AC长160 米,BC长128米.问从点A穿过湖到点B 有多远？
解 在Rt△ABC中，
作者:李先贵(平昌县信义小学) 3
勾股定理的证明(二)
最早是由1700多年前三国 时期的数学家赵爽为《周髀算 经》作注时给出的，他用面积 法证明了勾股定理。 你能用面积法证明勾股定 理吗？ 1 S大正 ab 4 b a 2 证明： 2
弦图
4个
1 2 ab 4 b a c 2 2 2ab b 2 2ab a 2 c 2
华东师大版八年级（上册）
第二课时
执教人:李先贵
作者:李先贵(平昌县信义小学) 1
复习：
1.什么叫勾股定理？ 2.勾股定理有何作用？
(1)在直角三角形中,已知两边,可求第三边;
(2)可用勾股定理建立方程.
3.已知:S1=1,S2=3,S3=2,S4=4.求S5,S6,S7.
S3
S4
分析:
S 1+S 2
SABC
1 1 AC BC AB CD 2 2
1 1 AC BC AB CD 2 2
12 5
10
1 1 3 4 5 CD 2 2
CD
作者:李先贵(平昌县信义小学)
例4:如图正△ ABC的边长为6cm.求： (1)高AD的长；(2)求△ABC的面积。
A
解 (1)过点A作AD垂直BC于D
∟
∵AB=AC,AD⊥BC ∴BD=1/2.BC 在Rt△ABD中， B AB=6，BD=1/2×6=3 根据勾股定理可得: AD= AB2 BD2 62 32 27 3 3 (2)∵AD⊥BC,BC=6, AD 3 3 1 1 S ABC BC AD 6 3 3 2 2
AC=3米，AB=2.5米， = 2.24-1.66 根据勾股定理可得: = 0.58 D 2 2 A C AB BC = ∴梯子底端C向外移0.58米. = 32 －2.52 ≈ 1.66 在Rt△DBE中， E DE=AC=3米， DB=AB-AD=2.5-0.5=2米， 根据勾股定理可得: 注意:此种类型梯子顶端下滑距离与 2 2 DE DB BE = 底端外移距离一般不相等. 2 2 3 － 2 = ≈2.24
D
C
9 3
B
练习:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°, AB为6cm.求AC的长.
作者:李先贵(平昌县信义小学)
C
A
11
作 业
1.一个直角三角形的三边为三个连续偶数,则三边长为 . 一个直角三角形的三边为三个连续整数,则三边长为 . 2.已知：Rt△ABC中,AB=４,AC=３,则BC的长为 . 3.在Rt△ABC中,AB=c,BC=a,AC=b,∠B=90°． ①.已知a=6,b=10,求c； ②.已知a=24,c=25,求b． 4.如图,已知∠ACB=90°, CD⊥AB,AC=5,BC=12. 求CD的长. 5.如图,AB=AC,AB=13,BC=10.求△ABC的面积. A A D
S 3+S 4
S2 S1 S5
S6
S5
+
S7
S6
S7
作者:李先贵(平昌县信义小学)
2
勾股世界
两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯 学派，他们首先发现了勾股定理，因此在 国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定 理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年希 腊曾经发行了一枚纪念邮票。 我国是最早了解勾股定理的 国家之一。早在三千多年前，周 朝数学家商高就提出，将一根直 尺折成一个直角，如果勾等于三， 股等于四，那么弦就等于五，即 “勾三、股四、弦五”，它被记 载于我国古代著名的数学著作 《周髀算经》中。
9
作者:李先贵(平昌县信义小学)
例3.已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3, BC=4.求CD的长. 解 ∵∠ACB=90°,AC=3, BC=4
AB AC2 BC2
A 3 D
3 4 5
2
2
C
4
B
∵∠ACB=90°,CD⊥AB
注意:在直角三角形中两直角边的 积等于斜边与其高的积。