3.2 特殊的平行四边形教材全解及配套练习(含答案)

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【3套】特殊平行四边形习题(含答案)

特殊平行四边形习题（含答案）特殊平行四边形习题一、选择题1.如图,在菱形ABCD中,AB=5,∠BCD=120°,则△ABC的周长等于( )A.20B.15C.10D.5答案 B ∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC,AB∥CD,∴∠B+∠BCD=180°,∴∠B=180°-∠BCD=180°-120°=60°,∴△ABC是等边三角形,故△ABC的周长=3AB=15.2.如图,四边形ABCD的对角线互相平分,要使它变为矩形,需要添加的条件是( )A.AB=CDB.AD=BCC.AC=BDD.AB=BC答案 C 可添加AC=BD,∵四边形ABCD的对角线互相平分,∴四边形ABCD是平行四边形,∵AC=BD,∴平行四边形ABCD是矩形,故选C.3.已知:如图,菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,OE∥DC交BC于点E,AD=6cm,则OE 的长为( )A.6cmB.4cmC.3cmD.2cm答案 C 因为菱形的四条边相等且对角线互相垂直平分,所以可以由OE∥DC证得点E是BC 的中点,此时利用三角形的中位线或直角三角形斜边上中线的性质都可以求得OE的长为3 cm.4.如图,在菱形ABCD中,AB=8,点E、F分别在AB、AD上,且AE=AF,过点E作EG∥AD交CD于点G,过点F作FH∥AB交BC于点H,EG与FH交于点O.当四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12时,AE的值为( )A.6.5B.6C.5.5D.5答案 C 设AE=x,则EB=8-x,∵四边形ABCD是菱形,AE=AF,EG∥AD,FH∥AB,∴四边形AEOF和四边形OHCG都是菱形.∵四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12,∴4x-4(8-x)=12,解得x=5.5.故选C.5.如图,将一个长为10cm,宽为8cm的矩形纸片先按照从左向右对折,再按照从下向上的方向对折两次后,沿所得矩形两邻边中点的连线(虚线)剪下(如图1-4-5①),再打开,得到如图1-4-5②所示的小菱形的面积为( )A.10cm2B.20cm2C.40cm2D.80cm2答案 A 由题意可得AC=5cm, BD=4cm,故小菱形的面积为×4×5=10(cm2).故选A.6.如图,正方形ABCD中,E、F是对角线AC上两点,连接BE、BF、DE、DF,则添加下列条件:①∠ABE=∠CBF;②AE=CF;③AB=AF;④BE=BF.可以判定四边形BEDF是菱形的条件有( )A.1个B.2个C.3个D.4个答案 C 连接BD,交AC于点O,在正方形ABCD中,AB=BC,∠BAC=∠ACB,AC⊥BD,OB=OD,①在△ABE与△CBF中,∴△ABE≌△CBF(ASA),∴AE=CF,∵OA=OC,∴OE=OF,又∵AC⊥BD,∴四边形BEDF是菱形,故①正确.②正方形ABCD 中,OA=OB=OC=OD,∵AE=CF,∴OE=OF,又EF⊥BD,BO=OD,∴四边形BEDF是菱形,故②正确.③由AB=AF不能推出四边形BEDF其他边的关系,故不能判定它是菱形,故③错误.④在正方形ABCD 中,OA=OC=OB=OD,AC⊥BD,∵BE=BF,EF⊥BD,∴OE=OF,∴四边形BEDF是菱形,故④正确.故选C.7.如图所示,在菱形ABCD中,BE⊥AD,BF⊥CD,E、F为垂足,AE=ED,则∠EBF等于( )A.75°B.60°C.50°D.45°答案 B 连接BD.因为BE⊥AD,AE=ED,所以AB=BD.又因为AB=AD,所以△ABD是等边三角形,所以∠A=60°,所以∠ADC=120°.在四边形BEDF 中,∠EBF=360°-∠BED-∠BFD-∠ADC=360°-90°-90°-120°=60°,故选B.8.如图所示,矩形纸片ABCD中,AB=6cm, BC=8cm,现将其沿EF对折,使得点C与点A重合,则AF长为( )A .cm B.cm C.cm D.8cm答案 B 设AF=x cm,则D'F=DF=(8-x)cm,在Rt△AFD'中,(8-x)2+62=x2,解得x=.9.如图所示,把一个长方形的纸片对折两次,然后剪下一个角,为了得到一个钝角为120°的菱形,剪口与第二次折痕所成角的度数应为( )A.15°或30°B.30°或45°C.45°或60°D.30°或60°答案 D 画出所剪的图形示意图如图.∵四边形ABCD是菱形,∴∠ABD=∠ABC,∠BAC=∠BAD,AD∥BC,∵∠BAD=120°,∴∠ABC=180°-∠BAD=180°-120°=60°,∴∠ABD=30°,∠BAC=60°.∴剪口与第二次折痕所成的角的度数应为30°或60°.故选D.10.如图,E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点,且CE=DF,AE、BF相交于点O,下列结论:(1)AE=BF;(2)AE⊥BF;(3)AO=OE;(4)S△AOB=S四边形DEOF,其中正确的有( )A.4个B.3个C.2个D.1个答案 B ∵四边形ABCD为正方形,∴AB=AD=DC,∠D=∠BAD=90°,∵CE=DF,∴DE=AF,∴△DEA≌△AFB,∴AE=BF,∠DEA=∠AFB,又∠DEA+∠DAE=90°,∴∠AFB+∠DAE=90°,∴∠AOF=90°,即AE⊥BF.由△DEA≌△AFB得S△DEA=S△AFB,∴S△DEA-S△AOF=S△AFB-S△AOF,∴S△AOB=S四边形DEOF,所以正确的是(1)(2)(4),共3个,故选B.二、填空题11.如图,菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,不添加任何辅助线,请添加一个条件,使四边形ABCD是正方形(填一个即可).答案AC=BD(答案不唯一)12.如图,O是矩形ABCD的对角线AC的中点,M是AD的中点,若AB=5,AD=12,则四边形ABOM 的周长为.答案20解析在Rt△ABC中,由勾股定理易得AC=13,由矩形的性质得AO=BO=AC=,而OM是△ACD 的中位线,所以OM=CD=,所以四边形ABOM的周长为AB+BO+OM+AM=5+++6=20.13.如图,已知矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,若AO=1,那么BD= .答案2解析∵在矩形ABCD中,AC与BD相交于点O,AO=1,∴AO=CO=BO=DO=1,∴BD=2.14.如图,在矩形ABCD中,AB=3,对角线AC,BD相交于点O,AE垂直平分OB于点E,则AD的长为.答案3解析∵AE垂直平分OB,AB=3,∴AB=AO=3,∵四边形ABCD是矩形,∴BO=AO=3,∴BD=2BO=6,∴AD===3.15.如图,两个完全相同的三角尺ABC和DEF在直线l上滑动.要使四边形CBFE为菱形,还需添加的一个条件是(写出一个即可).答案CB=BF(或BE⊥CF或∠EBF=60°或BD=BF等,答案不唯一)解析由已知得CB∥EF,CB=EF,∴四边形CBFE是平行四边形.因此可以添加CB=BF;BE⊥CF;∠EBF=60°;BD=BF等,都能说明四边形CBFE是菱形.16.如图,正方形ABCO的顶点C,A分别在x轴,y轴上,BC是菱形BDCE的对角线,若∠D=60°,BC=2,则点D的坐标是.答案(2+,1)解析过点D作DF⊥x轴,垂足为F,在正方形ABCO中,∠BCO=90°,所以∠BCF=90°,在菱形BDCE中,BD=DC,又因为∠D=60°,所以△BCD是等边三角形,因为BC=2,所以CD=2,又∠BCD=60°,所以∠DCF=30°,在Rt△DCF中,因为∠DCF=30°,CD=2,所以DF=CD=1,由勾股定理得CF=,所以OF=OC+CF=2+,所以点D的坐标为(2+,1).17.如图，菱形ABCD的面积为120cm2,正方形AECF的面积为50cm2,则菱形的边长为cm.答案13解析连接BE,EF,FD,AC,∵菱形、正方形为轴对称图形,对角线所在直线是其对称轴,∴B,E,F,D在同一条直线上,∵S正方形AECF=AC·EF=AC2=50cm2,∴AC=10cm,∵S菱形ABCD=AC·BD=120cm2,∴BD=24cm.设AC,BD的交点为O,由菱形的性质可得AC⊥BD,AO=5cm,OB=12 cm,∴AB===13cm.18.如图,在菱形ABCD中,∠BAD=120°,点E、F分别在边AB、BC上,△BEF与△GEF关于直线EF对称,点B的对称点是点G,且点G在边AD上.若EG⊥AC,AB=6,则FG的长为.答案3解析设AC与EG相交于点O,∵四边形ABCD是菱形,∠BAD=120°,∴∠EAC=∠DAC=60°,∠B=60°,AB=BC.∴△ABC是等边三角形.又∵AB=6,∴△ABC的面积为18.∴菱形ABCD的面积为36,∵EG⊥AC,∴∠AOE=∠AOG=90°.∴∠AGE=90°-60°=30°.∵△BEF与△GEF关于直线EF对称,点B的对称点是点G,∴∠EGF=∠B=60°,∴∠AGF=∠EGF+∠AGE=90°.∴FG⊥AD,∴FG===3.三、解答题19.如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.(1)证明:四边形ACDE是平行四边形;(2)若AC=8,BD=6,求△ADE的周长.答案(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,∴AB∥CD,AC⊥BD,∴AE∥CD,∠AOB=90°,又∵DE⊥BD,即∠EDB=90°,∴∠AOB=∠EDB.∴DE∥AC.∴四边形ACDE是平行四边形.(2)∵四边形ABCD是菱形,AC=8,BD=6,∴AO=4,DO=3,∴AD=CD==5.又∵四边形ACDE是平行四边形,∴AE=CD=5,DE=AC=8.∴△ADE的周长为AD+AE+DE=5+5+8=18.20.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是中线,E是AD的中点,过点A作AF∥BC交BE的延长线于F,连接CF.(1)求证:AD=AF;(2)如果AB=AC,试判断四边形ADCF的形状,并证明你的结论.答案(1)证明:∵AF∥BC,∴∠EAF=∠EDB,∵E是AD的中点,∴AE=DE,在△AEF和△DEB中,∴△AEF≌△DEB(ASA),∴AF=BD,∵在△ABC中,∠BAC=90°,AD是中线,∴AD=BD=DC=BC,∴AD=AF.(2)四边形ADCF是正方形.∵AF=BD=DC,AF∥BC,∴四边形ADCF是平行四边形,∵AB=AC,AD是中线,∴AD⊥BC,∵AD=AF,∴四边形ADCF是正方形.21.如图,在正方形ABCD中,点E、F分别在边AB、BC上,∠ADE=∠CDF.(1)求证:AE=CF;(2)连接DB交EF于点O,延长OB至点G,使OG=OD,连接EG、FG,判断四边形DEGF是否为菱形,并说明理由.答案(1)证明:在正方形ABCD中,AD=CD,∠A=∠C=90°,在△ADE和△CDF中,∴△ADE≌△CDF(ASA),∴AE=CF.(2)四边形DEGF是菱形.理由如下:在正方形ABCD中,AB=BC,∵AE=CF,∴AB-AE=BC-CF,即BE=BF,∴BD垂直平分EF,∴OE=OF,又∵OG=OD,∴四边形DEGF为平行四边形,∵△ADE≌△CDF,∴DE=DF,∴四边形DEGF是菱形.22.如图,AB∥CD,点E、F分别在AB、CD上,连接EF.∠AEF、∠CFE的平分线交于点G,∠BEF、∠DFE的平分线交于点H.(1)求证:四边形EGFH是矩形;(2)小明在完成(1)的证明后继续进行了探索.过G作MN∥EF,分别交AB、CD于点M、N,过H 作PQ∥EF,分别交AB、CD于点P、Q,得到四边形MNQP.此时,他猜想四边形MNQP是菱形.请在下列框图中补全他的证明思路.答案(1)证明:∵EH平分∠BEF,∴∠FEH=∠BEF.∵FH平分∠DFE,∴∠EFH=∠DFE.∵AB∥CD,∴∠BEF+∠DFE=180°,∴∠FEH+∠EFH=(∠BEF+∠DFE)=×180°=90°,又∠FEH+∠EFH+∠EHF=180°,∴∠EHF=180°-(∠FEH+∠EFH)=180°-90°=90°.同理可证,∠EGF=90°.∵EG平分∠AEF,∴∠FEG=∠AEF.∵EH平分∠BEF,∴∠FEH=∠BEF.∵点A、E、B在同一条直线上,∴∠AEB=180°,即∠AEF+∠BEF=180°.∴∠FEG+∠FEH=(∠AEF+∠BEF)=×180°=90°,即∠GEH=90°.∴四边形EGFH是矩形.(2)本题答案不唯一,下面答案供参考.例如,FG平分∠CFE;GE=FH;∠GME=∠FQH;∠GEF=∠EFH.23.已知E,F分别为正方形ABCD的边BC,CD上的点,AF,DE相交于点G,当E,F分别为边BC,CD 的中点时,有:①AF=DE;②AF⊥DE成立.试探究下列问题:(1)如图①,若点E不是边BC的中点,F不是边CD的中点,且CE=DF,上述结论①,②是否仍然成立?(请直接回答“成立”或“不成立”,不需要证明)(2)如图②,若点E,F分别在CB的延长线和DC的延长线上,且CE=DF,此时,上述结论①,②是否仍然成立?若成立,请写出证明过程,若不成立,请说明理由;(3)如图③,在(2)的基础上,连接AE和EF,若点M,N,P,Q分别为AE,EF,FD,AD的中点,请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种,并证明你的结论.答案(1)成立.(2)仍然成立.证明:∵四边形ABCD为正方形,∴AD=DC,∠BCD=∠ADC=90°.在△ADF和△DCE中,∴△ADF≌△DCE(SAS),∴AF=DE,∠FAD=∠EDC,∵∠ADG+∠EDC=90°,∴∠ADG+∠DAF=90°,∴∠AGD=90°,即AF⊥DE.(3)四边形MNPQ是正方形.证明:如图,设MQ,DE分别交AF于点G,O,PQ交DE于点H,∵点M,N,P,Q分别为AE,EF,FD,AD的中点,∴MQ=PN=DE,PQ=MN=AF,MQ∥DE,PQ∥AF,∴四边形OHQG是平行四边形,∵AF=DE,∴MQ=PQ=PN=MN,∴四边形MNPQ是菱形,∵AF⊥DE,∴∠AOD=90°,∴∠HQG=∠AOD=90°,∴四边形MNPQ是正方形.人教版八年级数学下册第十八章平行四边形单元检测卷一、选择题1.如图,在平行四边形ABCD中,下列结论中错误的是( )A.∠1=∠2B.∠BAD=∠BCDC.AB=CDD.AC=BC2.如图,▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且AC+BD=16,CD=6,则△ABO的周长是( )A.10B.14C.20D.223.四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,给出下列四个条件:①AD∥BC;②AD=BC;③OA=OC;④OB=OD.从中任选两个条件,能使四边形ABCD为平行四边形的选法有( )A.3种B.4种C.5种D.6种4.如图,在△ABC中,AB=6,AC=10,点D,E,F分别是AB,BC,AC的中点,则四边形ADEF的周长为( )A.8B.10C.12D.165.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D,E分别是边AB,AC的中点,延长BC至F,使CF=BC,若AB=10,则EF的长是( )A.5B.4C.3D.26.下列命题中正确的是( )A.两条对角线相等的平行四边形是矩形B.有三个角是直角的多边形是矩形C.两条对角线相等的四边形是矩形D.有一个角是直角的四边形是矩形7.如图,菱形ABCD的周长为20,一条对角线AC的长为8,另一条对角线BD的长为( )A.16B.12C.6D.48.如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,CE∥BD,DE∥AC,若AC=4,则四边形CODE的周长为( )A.4B.6C.8D.109.如图,以正方形ABCD的对角线AC为一边作菱形AEFC,则∠FAB=( )A.30°B.45°C.22.5°D.135°10.如图,直线EF经过矩形ABCD对角线的交点O,分别交AB、CD于点E、F,那么图中阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的( )A. B. C. D.二、填空题11.如图,平行四边形ABCD的周长为20,对角线AC的长为5,则△ABC的周长为.12.如图,在平行四边形ABCD中,点E、F分别在边BC、AD上,请添加一个条件: ,使四边形AECF是平行四边形(只填一个即可).13.如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,直线EF是OA的中垂线,分别交AD、OA 于点E、F.若AB=6 cm,BC=8 cm,则△DEO的周长= cm.14.如图,菱形ABCD中,对角线AC交BD于O,AB=8,E是CD的中点,则OE的长等于.15.如图,在正方形ABCD中,点E是BC上的一定点,且BE=5,EC=7,点P是BD上的一动点,则PE+PC的最小值是.16.如图所示,平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点O的直线分别交AD、BC于点M、N,若△CON的面积为2,△DOM的面积为4,则△AOB的面积为.三、解答题17.如图,四边形ABCD是平行四边形,点E在BA的延长线上,且BE=AD,点F在AD上,AF=AB,求证:△AEF≌△DFC.18.如图,四边形ABCD是平行四边形,DE平分∠ADC,交AB于点E,BF平分∠ABC,交CD于点F.(1)求证:DE=BF;(2)连接EF,写出图中所有的全等三角形.(不要求证明)19.在矩形ABCD中,点E是BC上一点,AE=AD,DF⊥AE,垂足为F,求证:DF=DC.20.如图,在▱ABCD中,E、F为BC上的两点,且BE=CF,AF=DE.求证:(1)△ABF≌△DCE;(2)四边形ABCD是矩形.21.已知:如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,DE∥AC,AE∥BD.(1)求证:四边形AODE是矩形;(2)若AB=6,∠BCD=120°,求四边形AODE的面积.22.如图,在直角梯形纸片ABCD中,AB∥DC,∠A=90°,CD>AD,将纸片沿过点D的直线折叠,使点A落在边CD上的点E处,折痕为DF.连接EF并展开纸片.求证:四边形ADEF是正方形.23.在▱ABCD中,点E、F分别在AB、CD上,且AE=CF.(1)求证:△ADE≌△CBF;(2)若DF=BF,求证:四边形DEBF为菱形.参考答案1-10 DBBDA ACCCB11.1512.答案不唯一,如AF=CE13.1314.415.1316.617.证明∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD且AB∥CD,∴∠EAF=∠ADC,又∵AF=AB,BE=AD,∴AF=CD,AE=DF,在△AEF和△DFC中,∴△AEF≌△DFC.18.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC∥AB,∴∠CDE=∠AED,∵DE平分∠ADC,∴∠ADE=∠CDE,∴∠ADE=∠AED,∴AE=AD,同理,CF=CB,又AD=CB,AB=CD,∴AE=CF,∴DF=BE,∴四边形DEBF是平行四边形,∴DE=BF.(2)△ADE≌△CBF,△DFE≌△BEF.19.证明∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD,AD∥BC,∠B=90°.∵DF⊥AE,∴∠AFD=∠B=90°.∵AD∥BC,∴∠DAE=∠AEB,又∵AD=AE,∴△ADF≌△EAB,∴DF=AB,∴DF=DC.20.证明(1)∵BE=CF,BF=BE+EF,CE=CF+EF,∴BF=CE.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=DC.在△ABF和△DCE中,∴△ABF≌△DCE(SSS).(2)∵△ABF≌△DCE,∴∠B=∠C.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD.∴∠B+∠C=180°.∴∠B=∠C=90°.∴四边形ABCD是矩形.21.(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,即∠AOD=90°,∵DE∥AC,AE∥BD,∴四边形AODE是平行四边形,∵∠AOD=90°,∴▱AODE是矩形.(2)∵四边形ABCD是菱形,∴AO=OC=AC,BO=OD,AB=BC,AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD=180°,∵∠BCD=120°,∴∠ABC=60°,∴△ABC是等边三角形.∴AC=AB=6,∴OA=3.在Rt△ABO中,由勾股定理得BO=3,∴DO=3,∴S矩形AODE=AO·DO=3×3=9.22.证明∵△DEF由△DAF折叠得到,∴∠DEF=∠A=90°,DA=DE,∵AB∥CD,∴∠ADE=180°-∠A=90°.∵∠DEF=∠A=∠ADE=90°,∴四边形ADEF是矩形.又∵DA=DE,∴四边形ADEF是正方形.23.证明(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,∠A=∠C,∵在△ADE和△CBF中,∴△ADE≌△CBF(SAS).(2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD,∵AE=CF,∴EB=DF,又∵DF∥EB,∴四边形DEBF是平行四边形,又∵DF=BF,∴四边形DEBF为菱形.人教版八年级下册第十八章平行四边形单元测试含答案一、选择题1、下列说法错误的是（）A．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形 B．每组邻边都相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D．四个角都相等的四边形是矩形2、如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，点E是BC边的中点，OE=1，则AB的长是A．1 B． 2 C．3 D．43、如图，将长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F，若∠BAF = 60°，则∠DAE = （）（A）15°（B）30°（C）45°（D）60°4、在□ABCD中，AB=3，BC=4，当□ABCD的面积最大时，下列结论正确的有（）①AC=5；②∠A+∠C=180°；③AC⊥BD；④AC=BD．A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④5、四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．下列条件中，能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AD=BC，AB∥CD B．AO=CO，AD=BCC．AD∥BC，∠ADC=∠ABC D．AD=BC，∠ABD=∠CDB6、如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点，过点E作垂线交BC于点F，已知BC＝10，△ABD的面积为12，则EF的长为( )A．4.8 B．3.6 C．2.4 D．1.27、如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，2），则CE的长是（）A． B．2 C． D．8、如图，正方形ABCD的边长为1，则正方形ACEF的面积为（）A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题9、已知直角坐标系内有四个点O（0，0），A（3，0），B（1，1），C（x，1），若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则x= ．10、如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O．点E是CD的中点，BD=12，则△DOE 的周长为 ______ ．11、如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、CA上的中点，且AB=6cm，AC=8cm，则四边形ADEF的周长等于cm．12、如图，矩形中，、交于点，，平分交于点，连接，则。

第五讲特殊的平行四边形及部分答案

FADEBCABC1OD1C2O2C……第五讲特殊的平行四边形【知识点】1、特殊平行四边形之间的关系；2、用对角线判定特殊平行四边形的方法：（1）对角线 ⇒平行四边形（2）对角线 ⇒矩形（3）对角线 ⇒菱形（4）对角线 ⇒正方形 3、特殊平行四边形的对称性：4、与特殊平行四边形有关的方法技巧：（1）与等边三角形有关的矩形和菱形（2）解决与正方形有关问题常用的方法 5、常用的基本图形【例题精讲】例1、变式题精选： ⑴如图，在正方形ABCD 中，O 是对角线AC,BD 的交点，过O 作O E ⊥OF,分别交AB,BC 于E,F,若AE=4,CF=3,则EF 的长是。

（2）如图，已知E,F 分别正方形ABCD 的边BC,CD 上的点，AE,AF分别与对角线BD 相交于M,N,若∠EAF=50°, 则∠CME+∠CNF= . (3)(2008山东临沂) 如图，菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝2， E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连接AE 、EF 、AF ，则△AEF 的周长为（ B ）A ． 32B ． 33C ． 34D ． 3（4）（2008仙桃）如图，矩形ABCD 的面积为5，它的两条对角线交于点1O ，以AB 、1AO 为两邻边作平行四边形11O ABC ，平行四边形11O ABC 的对角线交于点2O ，同样以AB 、2AO 为两邻边作平行四边形22O ABC ，… ，依次类推，则平行四边形n n O ABC 的面积为 . 52n例2、如图△ABC 中，点O 是AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC,设MN 交∠BCA 的平分线于点E,交∠BCA 的外角平分线于点F. (1) 求证：EO=FO(2) 当点O 运动到何时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论？ (3) 当△ABC 满足什么条件时，四边形AECF 是正方形？例3、（2008上海市）如图11，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC BD ，交于点O ，E 是BD 延长线上的点，且ACE △是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若2AED EAD ∠=∠，求证：四边形ABCD 是正方形．证明：（1）四边形ABCD 是平行四边形，AO CO ∴=．又ACE △是等边三角形，EO AC ∴⊥，即DB AC ⊥． ∴平行四边形ABCD 是菱形；（2）ACE △是等边三角形，60AEC∴∠= ． E O A C ⊥ ，1302AEO AEC ∴∠=∠= ． 2AED EAD ∠=∠ ，15EAD ∴∠= ．45ADO EAD AED ∴∠=∠+∠= ．四边形ABCD 是菱形，290ADC ADO ∴∠=∠= ． ∴四边形ABCD 是正方形．例4、（2008甘肃兰州）如图，平行四边形ABCD 中，AB AC ⊥，1AB =，BC =．对角线AC BD ，相交于点O ，将直线AC 绕点O 顺时针旋转，分别交BC AD ，于点E F ，．（1）证明：当旋转角为90时，四边形ABEF 是平行四边形；（2）试说明在旋转过程中，线段AF 与EC 总保持相等；（3）在旋转过程中，四边形BEDF 可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC 绕点O 顺时针旋转的度数．（1）证明：当90AOF ∠=时，AB EF ∥，又AF BE ∥， ∴四边形ABEF 为平行四边形．（2）证明：四边形ABCD 为平行四边形，AO CO FAO ECO AOF COE ∴=∠=∠∠=∠，，．AOF COE ∴△≌△． AF EC ∴=（3）四边形BEDF 可以是菱形．理由：如图，连接BF DE ，，由（2）知AOF COE △≌△，得OE OF =， EF ∴与BD 互相平分．∴当EF BD ⊥时，四边形BEDF 为菱形．在Rt ABC △中，2AC ==， 1OA AB ∴==，又AB AC ⊥，45AOB ∴∠= ，45AOF ∴∠= ， AC ∴绕点O 顺时针旋转45 时，四边形BEDF 为菱形．EB AABCD OF E A BCD O FE图11-① 图11-②例5、（08·莆田市）某市要在一块平行四边形ABCD 的空地上建造一个四边形花园，要求花园所占面积是ABCD 面积的一半，并且四边形花园的四个顶点作为出入口，要求分别在ABCD 的四条边上，请你设计两种方案：方案（1）：如图11—①所示，两个出入口E 、F 已确定，请在图①上画出符合要求的四边形花园，并简要说明画法；方案（2）：如图②所示，一个出入口M 已确定，请在图②上画出符合要求的梯形花园，并简要说明画法.解：方案（1）画法1：画法2：画法3：（1）过F 作FH ∥AD 交（1）过F 作FH ∥AB 交（1）在AD 上取一点AD 于点H AD 于点H H ，使DH=CF （2）在DC 上任取一点G （2）过E 作EG ∥AD 交（2）在CD 上任取连接EF 、FG 、GH 、 DC 于点G 一点GHE ，则四边形EFGH 连接EF 、FG 、GH 、连接EF 、FG 、GH 、就是所要画的四边形； HE ，则四边形EFGH HE ，则四边形EFGH 就是所要画的四边形就是所要画的四边形（画图正确得4分，简要说明画法得1分）方案（2）画法：（1）过M 点作MP ∥AB 交AD 于点P ，（2）在AB 上取一点Q ，连接PQ ，（3）过M 作MN ∥PQ 交DC 于点N ，连接QM 、PN 、MN则四边形QMNP 就是所要画的四边形（画图正确的2分，简要说明画法得1分）（本题答案不唯一，符合要求即可）AB CDOEA G CD B F E图（a ） A D C B F E G图（b ）【选讲】例6、（2008山东烟台）如图，菱形ABCD 的边长为2，BD=2，E 、F 分别是边AD ，CD 上的两个动点，且满足AE+CF=2. （1）求证：△BDE ≌△BCF ；（2）判断△BEF 的形状，并说明理由；（3）设△BEF 的面积为S ，求S 的取值范围.【练习及作业】 1、（2009山东日照）如图，在□ABCD 中，已知AD ＝8㎝， AB ＝6㎝， DE 平分∠ADC 交BC边于点E ，则BE 等于（ A ）（A ）2cm （B ）4cm（C ）6cm（D ）8cm 2、（2009济南市）如图，矩形ABCD 中，35AB BC ==，．过对角线交点O 作OE AC ⊥ 交AD 于E ，则AE 的长是（ D ）A ．1.6B ．2.5C ．3D ．3.4 3、（2009辽宁铁岭）ABC △是等边三角形，点D 是射线BC 上的一个动点（点D 不与点B C 、重合），ADE △是以AD 为边的等边三角形，过点E 作BC 的平行线，分别交射线AB AC 、于点F G 、，连接BE ．（1）如图（a ）所示，当点D 在线段BC 上时． ①求证：AEB ADC △≌△；②探究四边形BCGE 是怎样特殊的四边形？并说明理由；（2）如图（b ）所示，当点D 在BC 的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立？（3）在（2）的情况下，当点D 运动到什么位置时，四边形BCGE 是菱形？并说明理由．A BCDE（1）①证明：∵ABC △和ADE △都是等边三角形， ∴60AE AD AB AC EAD BAC ==∠=∠=，，°．又∵EAB EAD BAD ∠=∠-∠，DAC BAC BAD ∠=∠-∠， ∴EAB DAC ∠=∠， ∴AEB ADC △≌△．②法一：由①得AEB ADC △≌△， ∴60ABE C ∠=∠=°．又∵60BAC C ∠=∠=°， ∴ABE BAC ∠=∠， ∴EB GC ∥．又∵EG BC ∥， ∴四边形BCGE 是平行四边形．法二：证出AEG ADB △≌△，得EG AB BC ==．由①得AEB ADC △≌△．得BE CG =． ∴四边形BCGE 是平行四边形．（2）①②都成立．（3）当C D C B =（2BD CD =或12CD BD =或30CAD ∠=°或90BAD ∠=°或30ADC ∠=°）时，四边形BCGE 是菱形．理由：法一：由①得AEB ADC △≌△， ∴BECD =又∵CDCB =， ∴BE CB =．由②得四边形BCGE 是平行四边形， ∴四边形BCGE 是菱形．法二：由①得AEB ADC △≌△， ∴BE CD =．又∵四边形BCGE 是菱形， ∴BE CB = ∴CD CB =．法三：∵四边形BCGE 是平行四边形， ∴BE CG EG BC ∥，∥， ∴6060FBE BAC F ABC ∠=∠=∠=∠=°，° ∴60F FBE ∠=∠=°， ∴BEF △是等边三角形．又∵AB BC =，四边形BCGE 是菱形， ∴AB BE BF ==， ∴AE FG ⊥ ∴30EAG ∠=°， ∵60EAD ∠=°， ∴30CAD ∠=°．AG CDB F E图（a ）ADC B F E G 图（b ）。

特殊平行四边形专题含答案

特殊平行四边形专题一．解答题（共20小题）1．如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，BD上，且DE＝CF，AF，BE相交于点G，求证：BE⊥AF．2．如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点F，∠E＝90°，ED＝EC．求证：四边形DFCE是正方形．3．已知，如图，在▱ABCD中，分别在边BC、AD上取两点，使得CE＝DF，连接EF，AE、BF相交于点O，若AE⊥BF．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若菱形ABEF的周长为16，∠BEF＝120°，求AE的长．4．如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，∠ADB＝90°，E是AB的中点，F是BD的中点，连接EF并延长交DC于点G，连接BG．（1）求证：△BEF≌△DGF；（2）证明四边形DEBG是菱形．5．如图，在正方形ABCD中，点E，F在AC上，且AF＝CE．求证：四边形BEDF是菱形．6．如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与矩形的边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN．（1）求证：四边形ANCM为平行四边形；（2）若AD＝4，AB＝2，且MN⊥AC，求DM的长．7．如图，正方形ABCD，G是BC边上任意一点（不与B、C重合），DE⊥AG于点E，BF ∥DE，且交AG于点F．（1）求证：AF﹣BF＝EF；（2）四边形BFDE是否可能是平行四边形，如果可能，请指出此时点G的位置，如不可能，请说明理由．8．如图，四边形ABCD中，已知AB⊥BC，CD⊥BC，且AB＝CD．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）对角线AC，BD相交于O，AE⊥BD，垂足为E，已知AB＝3，AD＝4，求△AEO的面积．9．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，点E是矩形外的一点，其中AE∥BD，BE∥AC．求证：四边形AEBO是菱形．10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，对角线AC、BD交于点O，AO ＝BO，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB＝1，求△OEC的面积．11．如图，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．（1）求证：△DOE≌△BOF；（2）若AB＝6，AD＝8，连接BE，DF，求四边形BFDE的周长．12．如图，矩形ABCD中，AB＝BC，在边AB上截取BE，使得BE＝BC，连接CE，作DF⊥EC于点F，连接BF并延长交AD于点G，连接DE．（1）求证：DE平分∠AEC；（2）若AD＝，求出DG的长．13．在边长为5的正方形ABCD中，点E在边CD所在直线上，连接BE，以BE为边，在BE的下方作正方形BEFG，并连接AG．（1）如图1，当点E与点D重合时，AG＝______；（2）如图2，当点E在线段CD上时，DE＝2，求AG的长；（3）若AG＝，请直接写出此时DE的长．14．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．（1）求证：△BAE≌△CDE；（2）求∠AEB的度数．15．如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且BE＝DF．求证：∠BAE＝∠DAF．16．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CD到E，使DE＝CD，连接AE，OE．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）若AD＝DE＝4，求OE的长．17．菱形ABCD中，AD＝6，AE⊥BC，垂足为E，F为AB边中点，DF⊥EF．（1）直接写出结果：EF＝_______；（2）求证：∠ADF＝∠EDF；（3）求DE的长．18．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC⊥AB，∠AOB＝60°．点E、点F分别是OB、OD的中点，连接AE、EC、CF、F A．（1）求证：四边形AECF为矩形；（2）若AB＝3，求矩形AECF的面积．19．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，F为BC边的中点，连接EF，DF．（1）求证：EF＝DF；（2）若BC＝6．求△DEF的周长；（3）在（2）的条件下，若EC＝BF，求四边形EFDA的面积．20．如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE＝DF，连接AE和BF相交于点M．求证：AE＝BF．特殊平行四边形专题参考答案与试题解析一．解答题（共20小题）1．如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，BD上，且DE＝CF，AF，BE相交于点G，求证：BE⊥AF．解：∵四边形形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝DC，∠BAD＝∠D＝90°，又∵DE＝CF，∴AE＝DF，∴在△BAE和△ADF中，，∴△BAE≌△ADF（SAS）．∴∠ABE＝∠DAF，∵∠DAF+∠BAG＝90°，∴∠ABE+∠BAG＝90°，∴∠AGB＝90°，∴BE⊥AF．2．如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点F，∠E＝90°，ED＝EC．求证：四边形DFCE是正方形．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠FDC＝∠DCF＝45°，∵∠E＝90°，ED＝EC，∴∠EDC＝∠ECD＝45°，∴∠FCE＝∠FDE＝∠E＝90°，∴四边形DFCE是矩形，∵DE＝CE，∴四边形DFCE是正方形．3．已知，如图，在▱ABCD中，分别在边BC、AD上取两点，使得CE＝DF，连接EF，AE、BF相交于点O，若AE⊥BF．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若菱形ABEF的周长为16，∠BEF＝120°，求AE的长．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵CE＝DF，∴AF＝BE，∴四边形ABEF是平行四边形，又∵AE⊥BF，∴四边形ABEF是菱形；（2）解：∵菱形ABEF的周长为16，∴AB＝BE＝4，AB∥EF，∴∠ABE＝180°﹣∠BEF＝180°﹣120°＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴AE＝AB＝4．4．如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，∠ADB＝90°，E是AB的中点，F是BD的中点，连接EF并延长交DC于点G，连接BG．（1）求证：△BEF≌△DGF；（2）证明四边形DEBG是菱形．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠FEB＝∠FGD，∠FBE＝∠FDG，∵F是BD的中点，∴BF＝DF，在△BEF和△DGF中，，∴△BEF≌△DGF（AAS）；（2）由（1）得：△BEF≌△DGF，∴BE＝DG，∵BE∥DG，∴四边形DEBG是平行四边形，∵∠ADB＝90°，E是AB的中点，∴DE＝AB＝BE，∴四边形DEBG是菱形．5．如图，在正方形ABCD中，点E，F在AC上，且AF＝CE．求证：四边形BEDF是菱形．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝CD＝BC，∠DAE＝∠BAE＝∠BCF＝∠DCF＝45°，在△ABE和△ADE中，，∴△ABE≌△ADE（SAS），∴BE＝DE，同理可得△BFC≌△DFC，可得BF＝DF，在△ABE和△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（SAS），∴BE＝BF，∴BE＝BF＝DE＝DF，∴四边形BEDF是菱形．6．如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与矩形的边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN．（1）求证：四边形ANCM为平行四边形；（2）若AD＝4，AB＝2，且MN⊥AC，求DM的长．解：（1）证明：∵在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，∴AD∥BC，AO＝CO，∴∠OAM＝∠OCN，∠OMA＝∠ONC，在△AOM和△CON中，，∴△AOM≌△CON（AAS），∴AM＝CN，∵AM∥CN，∴四边形ANCM为平行四边形；（2）∵在矩形ABCD中，AD＝BC，由（1）知：AM＝CN，∴DM＝BN，∵四边形ANCM为平行四边形，MN⊥AC，∴平行四边形ANCM为菱形，∴AM＝AN＝NC＝AD﹣DM，∴在Rt△ABN中，根据勾股定理，得AN2＝AB2+BN2，∴（4﹣DM）2＝22+DM2，解得DM＝．7．如图，正方形ABCD，G是BC边上任意一点（不与B、C重合），DE⊥AG于点E，BF ∥DE，且交AG于点F．（1）求证：AF﹣BF＝EF；（2）四边形BFDE是否可能是平行四边形，如果可能，请指出此时点G的位置，如不可能，请说明理由．解：（1）证明：∵正方形，∴AB＝AD，∠BAF+∠DAE＝90°，∵DE⊥AG，∴∠DAE+∠ADE＝90°，∴∠ADE＝∠BAF，又∵BF∥DE，∴∠BF A＝90°＝∠AED，∴△ABF≌△DAE（AAS），∴AF＝DE，AE＝BF，∴AF﹣BF＝AF﹣AE＝EF；（2）不可能，理由是：如图，若要四边形是平行四边形，已知DE∥BF，则当DE＝BF时，四边形BFDE为平行四边形，∵DE＝AF，∴BF＝AF，即此时∠BAF＝45°，而点G不与B和C重合，∴∠BAF≠45°，矛盾，∴四边形不能是平行四边形．8．如图，四边形ABCD中，已知AB⊥BC，CD⊥BC，且AB＝CD．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）对角线AC，BD相交于O，AE⊥BD，垂足为E，已知AB＝3，AD＝4，求△AEO 的面积．（1）证明：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴AB∥CD，∵AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴四边形ABCD为矩形；（2）解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAC＝90°，∵AB＝3，AD＝4，∴BD＝5，∵S△ABD＝AB•AD＝BD•AE，∴3×4＝5AE，∴AE＝，∵AC＝BD＝5，∴AO＝AC＝，∵AE⊥BD，∴OE＝＝＝，∴△AEO的面积＝＝．9．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，点E是矩形外的一点，其中AE∥BD，BE∥AC．求证：四边形AEBO是菱形．证明：∵AE∥BD，BE∥AC，∴四边形AEBO是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，∴OA＝OB，∴四边形AEBO是菱形．10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，对角线AC、BD交于点O，AO ＝BO，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB＝1，求△OEC的面积．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∠ADC+∠BCD＝180°，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠BAD＝∠BCD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∵OA＝OB，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．（2）解：作OF⊥BC于F，如图所示．∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝1，∠BCD＝90°，AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，∴AO＝BO＝CO＝DO，∴BF＝FC，∴OF＝CD＝，∵DE平分∠ADC，∠ADC＝90°，∴∠EDC＝45°，在Rt△EDC中，EC＝CD＝1，∴△OEC的面积＝•EC•OF＝．11．如图，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．（1）求证：△DOE≌△BOF；（2）若AB＝6，AD＝8，连接BE，DF，求四边形BFDE的周长．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，DO＝BO，∴∠EDO＝∠FBO，又∵EF⊥BD，∴∠EOD＝∠FOB＝90°，在△DOE和△BOF中，，∴△DOE≌△BOF（ASA）；（2）解：∵由（1）可得，ED∥BF，ED＝BF，∴四边形BFDE是平行四边形，∵BO＝DO，EF⊥BD，∴ED＝EB，∴四边形BFDE是菱形，根据AB＝6，AD＝8，设AE＝x，可得BE＝ED＝8﹣x，在Rt△ABE中，根据勾股定理可得：BE2＝AB2+AE2，即（8﹣x）2＝x2+62，解得：，∴，∴四边形BFDE的周长＝．12．如图，矩形ABCD中，AB＝BC，在边AB上截取BE，使得BE＝BC，连接CE，作DF⊥EC于点F，连接BF并延长交AD于点G，连接DE．（1）求证：DE平分∠AEC；（2）若AD＝，求出DG的长．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥DC，∠ABC＝90°，∵BC＝BE，∴CE＝BC，∵AB＝BC，∴CD＝CE，∴∠CDE＝∠CED，∵AB∥CD，∴∠CDE＝∠AED，∴∠AED＝∠DEC，∴DE平分∠AEC；（2）∵BC＝BE，∠CBE＝90°，∴∠BCE＝∠BEC＝45°，∵CD∥AB，∴∠DCE＝∠BEC＝45°，∵DF⊥CE，∴∠CDF＝45°，∴DF＝CF，∴CD＝DF，∵AB＝CD，AB＝，BC＝BE，∴BE＝DF＝CF＝BC，∵∠ADC＝90°，∴∠FDG＝45°，∴∠BEF＝∠EDF，∵BC＝CF，∠BCF＝45°，∴∠CBF＝∠CFB＝67.5°，∴∠EBF＝90°﹣67.5°＝22.5°，∠DFG＝180°﹣67.5°﹣90°＝22.5°，∴∠EBF＝∠DFG，在△DFG和△EBF中，∴△DFG≌△EBF（ASA），∴DG＝EF，∵EF＝CE﹣CF＝AB﹣BC＝，∴DG＝2．13．在边长为5的正方形ABCD中，点E在边CD所在直线上，连接BE，以BE为边，在BE的下方作正方形BEFG，并连接AG．（1）如图1，当点E与点D重合时，AG＝5；（2）如图2，当点E在线段CD上时，DE＝2，求AG的长；（3）若AG＝，请直接写出此时DE的长．解：（1）如图1，连接CG，∵四边形ABCD和四边形EBGF是正方形，∴∠CDB＝∠CBD＝45°，∠DBG＝90°，BD＝BG，∴∠CBG＝45°，∴∠CBG＝∠CBD，∵BC＝BC，∴△CBD≌△CBG（SAS），∴∠DCB＝∠BCG＝90°，DC＝CG＝5，∴G，C，D三点共线，∴AG＝＝＝5；故答案为：5；（2）如图2，过点G作GK⊥AB，交AB的延长线于K，∵DE＝2，DC＝5，∴CE＝3，∵∠EBG＝∠EBC+∠CBG＝90°，∠CBG+∠GBK＝90°，∴∠EBC＝∠GBK，∵BE＝BG，∠K＝∠BCE＝90°，∴△BCE≌△BKG（AAS），∴CE＝KG＝3，BC＝BK＝5，∴AK＝10，由勾股定理得：AG＝＝；（3）分三种情况：①当点E在CD的延长线上时，如图3，同理知△BCE≌△BKG（AAS），∴BC＝BK＝5，∵AG＝，由勾股定理得：KG＝＝，∴CE＝KG＝，此种情况不成立；②当点E在边CD上时，如图4，同理得：DE＝；③当点E在DC的延长线上时，如图5，同理得CE＝GK＝，∴DE＝5+＝，综上，DE的长是或．14．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．（1）求证：△BAE≌△CDE；（2）求∠AEB的度数．（1）证明：∵△ADE为等边三角形，∴AD＝AE＝DE，∠EAD＝∠EDA＝60°，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA＝90°，∴∠EAB＝∠EDC＝150°，在△BAE和△CDE中，∴△BAE≌△CDE（SAS）；（2）∵AB＝AD，AD＝AE，∴AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∵∠EAB＝150°，∴∠AEB＝（180°﹣150°）＝15°．15．如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且BE＝DF．求证：∠BAE＝∠DAF．证明：四边形ABCD是菱形，∴∠B＝∠D，AB＝AD，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴∠BAE＝∠DAF．16．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CD到E，使DE＝CD，连接AE，OE．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）若AD＝DE＝4，求OE的长．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵DE＝CD，∴DE＝AB，∴四边形ABDE是平行四边形．（2）∵AD＝DE＝4，∠ADE＝90°，∴AE＝4，∴BD＝AE＝4．在Rt△BAD中，O为BD中点，∴AO＝BD＝2．∵AD＝CD，∴矩形ABCD是正方形，∴∠EAO＝∠OAD+∠DAE＝45°+45°＝90°，∴OE＝2．17．菱形ABCD中，AD＝6，AE⊥BC，垂足为E，F为AB边中点，DF⊥EF．（1）直接写出结果：EF＝3；（2）求证：∠ADF＝∠EDF；（3）求DE的长．解：（1）∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°，∵AD＝6，F为AB边中点，∴EF＝AB＝AD＝3．故答案为：3；（2）延长EF交DA于G，∵AD∥BC，∴∠G＝∠FEB，∠GAB＝∠B，∵AF＝BF，∴△AGF≌△BEF（AAS），∴GF＝EF，∵DF⊥EF，∴DG＝DE，∴∠ADF＝∠EDF；（3）设BE＝x，则AG＝x，则DE＝DG＝6+x，∵AE2＝AB2﹣BE2＝62﹣x2，AE2＝DE2﹣AD2＝（x+6）2﹣62，∴62﹣x2＝（x+6）2﹣62，解得x＝﹣3±3，∴BE＝﹣3+3，∴DE═﹣3+3+6═3+3．18．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC⊥AB，∠AOB＝60°．点E、点F分别是OB、OD的中点，连接AE、EC、CF、F A．（1）求证：四边形AECF为矩形；（2）若AB＝3，求矩形AECF的面积．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵点E、点F分别是OB、OD的中点，∴OE＝OB，OF＝OD，∴OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥AB，∠AOB＝60°，∴∠ABO＝30°，∴OA＝OB＝OE，∴AC＝EF，∴四边形AECF为矩形；（2）解：由（1）得：OA＝OE＝OC＝OF，∠AOB＝60°，∠ABO＝30°，∴△OAE是等边三角形，∠OF A＝∠OAF＝30°＝∠ABO，∴AE＝OA，AF＝AB＝3，∵AC⊥AB，∴∠OAB＝90°，∴AE＝OA＝AB＝，∴矩形AECF的面积＝AF×AE＝3．19．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，F为BC边的中点，连接EF，DF．（1）求证：EF＝DF；（2）若BC＝6．求△DEF的周长；（3）在（2）的条件下，若EC＝BF，求四边形EFDA的面积．（1）证明：∵BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，∴∠BDC＝∠BEC＝90°，∵BF＝CF，∴DF＝EF＝BC．（2）解：∵FE＝FB＝FC＝FD，∴∠FBE＝∠FEB，∠FCD＝∠FDC，∵∠A＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝120°，∴∠BFE+∠DFC＝180°﹣2∠ABC+180°﹣2∠ACB＝120°，∴∠EFD＝60°，∵EF＝DF，∴△EFD是等边三角形，∵EF＝BC＝3，∴△DEF使得周长为9．（3）∵EC＝BF，BF＝CF，∴EC＝BC，∴cos∠BCE＝，∴∠ECB＝45°，∵BC＝6，∴EB＝EC＝3，∵∠A＝60°，∠AEC＝90°，∴AE＝×3＝，∴AB＝BE+AE＝3+，在Rt△ADB中，∵∠ABD＝30°，∴AD＝AB＝，∴S四边形EFDA＝S△EDF+S△ADE＝×32+×××＝3+．20．如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE＝DF，连接AE和BF相交于点M．求证：AE＝BF．解：在正方形ABCD中，AB＝CD＝CD＝AD，∵CE＝DF，∴BE＝CF，在△AEB与△BFC中，，∴△AEB≌△BFC（SAS），∴AE＝BF．。

第37课时特殊的平行四边形(含答案)

第37课时《特殊的平行四边形》◆考点聚焦 1．理解几种特殊的平行四边形的定义、特征和识别方法． 2．理解几种特殊的平行四边形之间的关系．3．了解特殊平行四边形的面积公式，中点四边形和重心的物理意义． 4．会求解特殊平行四边形与函数或三角函数有关的问题． 5．会求特殊平行四边形中涉及全等、相似和其他几何变换的问题．◆备考兵法 1．本节内容的试题涉及特殊平行四边形的概念、性质、•判定及它们之间的关系，主要考查边长、对角线长、面积等的计算，题型有填空题、选择题，但更多的是证明题，求值计算题、条件探索题、几何动态问题和与函数结合题． 2．在求菱形的边长、角度、对角线长等问题时，•通常是在某一个直角三角形中运用勾股定理及有关直角三角形的知识来解决．正方形的性质很多，要根据题目的已知条件，选择最恰当的方法，使解题思路简捷．3．在解答时，要根据特殊平行四边形的一些特殊规律或添加相应的辅助线，•将所求的结论转化在特殊的平行四边形或三角形中思考，要注意寻找图形中隐含的相等的边和角．◆识记巩固 1．矩形的性质：（1）矩形的对边_______；（2）矩形的四个角都是______；（3）•矩形的对角线_________；•（•4）•矩形是______•对称图形，•其对称轴有______•条，•又是________对称图形，其对称中心是________．2．矩形的判定：（1）•有一个角是______•的________•是矩形；•（•2）•有三个角是______的四边形是矩形；（3）对角线互相_______且_______的四边形是矩形． 3．菱形的性质：（1）菱形的对边______且四条边都_______；•（•2）•菱形的对角线________且都_______一组对角；（3）菱形的对角_______，邻角_______；（4）菱形是轴对称图形，其对称轴有______条，同时又是中心对称图形，其对称中心是_______；（5）菱形的面积为________或_________．4．菱形的判定：（1）四条边_______的四边形是菱形；（2）一组邻边_______的平行四边形是菱形；（3）对角线________的平行四边形是菱形．5．正方形的性质：（1）正方形的对边________且四条边都_______；（2）•正方形的四个角都是_______；（3）正方形的对角线_________；（4）•正方形既是________•又是_______．它的对称轴有_______条，它的对称中心是___________．6．正方形的判定：（1）四条边都_____四个角都________的四边形是正方形；（2）•有一个角是______的菱形是正方形；（3）有一组邻边________的矩形是正方形．注意：特殊平行四边形具有___________的一切性质．识记巩固参考答案 1．（1）平行且相等（2）直角（3）互相平分且相等（4）轴两中心对角线的交点 2．（1）直角平行四边形（2）直角（3）平分相等 3．（1）平行相等（2）互相垂直平分平分（3）相等互补（4）两对角线的交点（5）底×高对角线乘积的一半 4．（1）都相等（2）相等（3）互相垂直 5．（1）平行相等（2）•直角（3）互相垂直平分，相等且平分一组对角（4）轴对称图形 •中心对称图形 •4 对角线的交点 6．（1）相等是直角（2）直角（3）相等平行四边形◆经典例题：例1（08，江苏扬州）如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，垂足为E ，DE=6cm ，sinA=35，是菱形ABCD 的面积是___cm 2．拓展变式：菱形的周长12cm ，高为1.5cm ，则菱形两邻角度数比为____．例2 如图，ABCD 是一个正方形草地，点E ，F 在AD ，DC 上，且DE=•CF ，•要修两条小路BE 和AF ，它们有什么关系？拓展变式1 若四边形ABCD 是正方形，E ，F 在边AD ，DC 上且AF=BE ，则AF 与BE 有何位置关系？拓展变式2 若四边形ABCD 是正方形，E ，F 在边AD ，DC 上且AF ⊥BE ，则AF 与BE•有何数量关系？拓展变式3 正方形ABCD 中（如下图），E ，F ，G ，H 分别在边AB ，BC ，CD ，AD 上且EG=FH ，则EG 与FH 仍互相垂直吗？为什么？例3 如图，四边形OABC 是矩形，OA=4，OC=8，将矩形OABC 沿直线AC 折叠，使点B•落在点D 处，AD 交OC 于点E ．（1）求OE 的长；（2）求过O ，D ，C 三点抛物线的解析式；（3）若F 为过O ，D ，C 三点抛物线的顶点，一动点P 从点A 出发，沿射线AB 为每秒1个单位长度的速度匀速运动，当运动时间t （秒）为何值时，直线PF 把△FAC 分成面积之比为3：1的两部分？◆中考热身1．（2008，四川资阳）已知矩形ABCD 的边AB=15，BC=20，以点B 为圆心作圆，使A ，•C ，D 三点至少有一点在⊙B 内，且至少有一点在⊙B 外，则⊙B 的半径r 的取值范围是（）A ．r>15 B ．15<r<20 C ．15<r<25 D ．20<r<25 2．（2008，浙江义乌）下列命题中是真命题的是（）A ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形B ．对角线垂直且相等的四边形是正方形C ．两条对角线相等的四边形是矩形D ．两条对角线相等的平行四边形是矩形3．（2008，天津）如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 边的中点， G ，F 分别为AD ，BC•边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，则GF 的长为_______．4．（2008，四川沪州）如图，E 是正方形ABCD 的边DC 上的一点，过点A 作FA ⊥AE•交CB 的延长线于点F ．求证：DE=BF ． ◆迎考精练：一、基础过关训练1．在平面直角坐标系中，已知点A （0，2），B （0），C （0，-2），D （0），则以这四个点为顶点的四边形ABCD 是（） A ．矩形B ．菱形C 正方形D ．梯形 2．如图，在矩形ABCD 中，AB=3，AD=4，点P 在AD 上，PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BD 于F ，则PE+•PF 等于（） A ．75B ．125C ．135D ．1453．如图，在矩形ABCD 中，AB=8cm ，CB=4cm ，E 是DC 中点，BF=14BC ，则S 四边形DBFE 为______cm 2． 4．若正方形AOBC 的边OA ，OB 在坐标轴上，顶点C 在第一象限且在反比例函数y=1x的图象上，则点C 的坐标是_______． 5．如图，在ABCD 中，E 为BC 的中点，连结AE 并延长交DC 的延长线于点F ．（1）求证：AB=CF ；（2）当BC 与AF 满足什么数量关系时，四边形ABFC 是矩形？并说明理由．二、能力提升训练6．如图，在ABCD 中，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，连结DB ，BF ，DE ．（1）求证：△ADE ≌△CBF ；（2）若AD ⊥BD ，则四边形BFDE 是什么特殊的四边形？请说明你的结论．第37课时《特殊的平行四边形》（答案）◆经典例题：例1 （2008，江苏扬州）如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，垂足为E ，DE=6cm ，sinA=35，是菱形ABCD 的面积是_______cm 2．解析 ∵sinA=35=6DE AD AD=， ∴AD=10，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB=AD=10 ∴S 菱形ABCD =AB ·DE=10×6=60．答案 60 拓展变式菱形的周长12cm ，高为1.5cm ，则菱形两邻角度数比为___．答案 5：1 例2 如图，ABCD 是一个正方形草地，点E ，F 在AD ，DC 上，且DE=•CF ，•要修两条小路BE 和AF ，它们有什么关系？解析相等且互相垂直．∵ABCD 是正方形．∴AB=AD=DC ，∠BAE=∠D=90°． ∵DE=CF ，∴AE=CF ， ∴△BAE ≌△ADF ， ∴AF=BE ，∠1=∠3．又∵∠1+∠2=90°，∴∠2+∠3=90°， ∴∠BOA=90°．即AF ⊥BE ．拓展变式1 若四边形ABCD 是正方形，E ，F 在边AD ，DC 上且AF=BE ，则AF 与BE 有何位置关系？答案互相垂直拓展变式2 若四边形ABCD 是正方形，E ，F 在边AD ，DC 上且AF ⊥BE ，则AF 与BE•有何数量关系？答案相等拓展变式3 正方形ABCD 中（如下图），E ，F ，G ，H 分别在边AB ，BC ，CD ，AD 上且EG=FH ，则EG 与FH 仍互相垂直吗？为什么？答案垂直。

初二数学特殊的平行四边形试题答案及解析

初二数学特殊的平行四边形试题答案及解析1.如图，在菱形ABCD中，已知∠A=60°，AB=5，则△ABD的周长是（）A．10B．12C．15D．20【答案】C【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，又∵∠A=60°，∴△ABD是等边三角形，∴△ABD的周长=3AB=15．2.如图，菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则菱形的周长是（）A．20B．24C．28D．40【答案】A【解析】据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得BO=OD，AO=OC，在Rt△AOD中，根据勾股定理可以求得AB的长，即可求菱形ABCD的周长．3.已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是（）A．12cm2B．24cm2C．48cm2D．96cm2【答案】B【解析】设菱形的对角线分别为8x和6x，已知菱形的周长为20cm，故菱形的边长为5cm，根据菱形的性质可知，菱形的对角线互相垂直平分，即可知（4x）2+（3x）2=25，解得x=1，故菱形的对角线分别为8cm和6cm，所以菱形的面积=×8×6=24cm2．4.矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOD=120°，AC=8，则△ABO的周长为（）A．16 B．12 C．24 D．20【答案】B【解析】根据矩形性质求出AO=BO=4，得出等边三角形AOB，求出AB，即可求出答案．5.如图，在矩形ABCD中，若AC=2AB，则∠AOB的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】C【解析】∵AC=2AB，∴∠BAC=60°，OA=OB，∴△OAB是正三角形，∴∠AOB的大小是60°．故选C．6.如图，长方形ABCD中，E点在BC上，且AE平分∠BAC．若BE=4，AC=15，则△AEC面积为（）A．15 B．30 C．45 D．60【答案】B【解析】利用角平分线的性质定理可得AC边上的高．进而求得所求三角形的面积．7.如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰三角形有（）A．4个B．6个C．8个D．10个【答案】C【解析】先根据正方形的四边相等即对角线相等且互相平分的性质，可得AB=BC=CD=AD，AO=OD=OC=OB，再根据等腰三角形的定义即可得出图中的等腰三角形的个数．8.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC上，且BF=CE，连接BE、AF相交于点G，则下列结论不正确的是（）A．BE=AF B．∠DAF=∠BEC C．∠AFB+∠BEC="90°" D．AG⊥BE【答案】C【解析】∵ABCD是正方形，∴∠ABF=∠C=90°，AB=BC．∵BF=CE，∴△ABF≌△BCE．∴AF=BE（第一个正确）．∠BAF=∠CBE，∠BFA=∠BEC（第三个错误）．∵∠BAF+∠DAF=90°，∠BAF+∠BFA=90°，∴∠DAF=∠BEC（第二个正确）．∵∠BAF=∠CBE，∠BAF+∠AFB=90°．∴∠CBE+∠AFB=90°．∴AG⊥BE（第四个正确）．所以不正确的是C，故选C．9.已知四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相垂直，则下列结论正确的是（）A．当AC=BD时，四边形ABCD是矩形B．当AB=AD，CB=CD时，四边形ABCD是菱形C．当AB=AD=BC时，四边形ABCD是菱形D．当AC=BD，AD=AB时，四边形ABCD是正方形【答案】C【解析】A、对角线AC与BD互相垂直，AC=BD时，无法得出四边形ABCD是矩形，故此选项错误；B、当AB=AD，CB=CD时，无法得到，四边形ABCD是菱形，故此选项错误；C、当两条对角线AC与BD互相垂直，AB=AD=BC时，∴BO=DO，AO=CO，∴四边形ABCD是平行四边形，∵两条对角线AC与BD互相垂直，∴平行四边形ABCD是菱形，故此选项正确；D、当AC=BD，AD=AB时，无法得到四边形ABCD是正方形，故此选项错误．10.用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形，作图痕迹如图所示，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（）A．一组邻边相等的四边形是菱形B．四边相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形【答案】B【解析】由作图痕迹可知，四边形ABCD的边AD=BC=CD=AB，根据四边相等的四边形是菱形可得四边形ABCD是菱形．11.如图，在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四个判断中，不正确的是（）A．四边形AEDF是平行四边形B．如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形C．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是矩形D．如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是菱形【答案】C【解析】由DE∥CA，DF∥BA，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEDF是平行四边形；又有∠BAC=90°，根据有一角是直角的平行四边形是矩形，可得四边形AEDF是矩形．故A、B正确；如果AD平分∠BAC，那么∠EAD=∠FAD，又有DF∥BA，可得∠EAD=∠ADF，∴∠FAD=∠ADF，∴AF=FD，那么根据邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形AEDF是菱形，而不一定是矩形．故C错误；如果AD⊥BC且AB=AC，那么AD平分∠BAC，同上可得四边形AEDF是菱形．故D正确．12.如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°，对角线AC、BD相交于点O，点E在AB上且BE=BO，则∠BEO=_______度．【答案】65【解析】因为AB=AD，∠BAD=80°，可求∠ABD=50°；又BE=BO，所以∠BEO=∠BOE，根据三角形内角和定理求解．13.如图，菱形ABCD的对角线的长分别为6和8，点P是对角线AC上的任意一点（点P不与点A，C重合），且PE∥BC交AB于点E，PF∥CD交AD于点F，则阴影部分的面积是______．【答案】12【解析】易知四边形AEPF是平行四边形，设AP与EF相交于O点，则S△POF=S△AOE．所以阴影部分的面积等于菱形面积的一半．14.如图，矩形ABCD的面积为5，它的两条对角线交于点O1，以AB，AO1为两邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1O1的对角线交于点O2，同样以AB，AO2为两邻边作平行四边形ABC2O2，…，依此类推，则平行四边形ABCnOn的面积为_______．【答案】【解析】后面的每一个平行四边形都与第一个矩形ABCD同底不同高，而第n个平行四边形的高是矩形ABCD的，所以平行四边形ABCn On的面积为．15.如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是_______．【答案】AC=BD或AB⊥BC【解析】∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，∴四边形ABCD是菱形，∴要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是：AC=BD或AB⊥BC．16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AC，DF⊥BC，当△ABC满足条件_______时，四边形DECF是正方形．（要求：①不再添加任何辅助线，②只需填一个符合要求的条件）【答案】AC=BC【解析】由已知可得四边形的四个角都为直角，根据有一组邻边相等的矩形是正方形，可知添加条件为AC=BC时，能说明CE=CF，即此四边形是正方形．17.如图，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．计算：∠PBA=∠PCQ=30°．【答案】解：∵四边形ABCD是矩形．∴∠ABC=∠BCD=90°．∵△PBC和△QCD是等边三角形．∴∠PBC=∠PCB=∠QCD=60°．∴∠PBA=∠ABC-∠PBC=30°，∠PCD=∠BCD-∠PCB=30°．∴∠PCQ=∠QCD-∠PCD=30°．∴∠PBA=∠PCQ=30°．【解析】因为矩形的内角是直角，等边三角形的内角是60∘，所以根据这两个特殊角可以计算角的度数．18.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD、BC于点E和点F，求证：四边形BEDF是菱形．【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，OB=OD，∴∠EDO=∠FBO，∠OED=∠OFB，∴△OED≌△OFB，∴DE=BF，又∵DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形．【解析】若要证明四边形BEDF是菱形，只需要证明四边形BEDF是平行四边形即可，而DE∥BF，只需要证明DE=BF即可判定四边形BEDF是平行四边形，证明DE=BF可通过证明△OED≌△OFB．19.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．(1) 证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE；(2) 若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；(3) 在(2)的条件下，试确定E点的位置，使∠EFD=∠BCD，并说明理由．【答案】解：(1) ∵AB=AD，CB=CD，AC=AC，∴△ABC≌△ADC．∴∠BAC =∠DAC．∵ AB=AD，∠BAF =∠DAF，AF=AF．∴△ABF≌△ADF．∴∠AFB=∠AFD．又∵∠CFE =∠AFB，∴∠AFD=∠CFE．∴∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE．(2) ∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD．又∵∠BAC=∠DAC，∴∠BAC=∠ACD．∴∠DAC=∠ACD．∴AD=CD，∵AB="AD" ， CB=CD，∴AB=CB=CD=AD．∴四边形ABCD是菱形．(3)当BE⊥CD时，∠EFD=∠BCD．理由：∵四边形ABCD为菱形，∴BC=CD，∠BCF=∠DCF．又∵CF为公共边，∴△BCF≌△DCF．∴∠CBF=∠CDF，∵BE⊥CD，∴∠BEC =∠DEF=90°．∴∠EFD =∠BCD．【解析】(1)利用已知条件和公共边，证得△ABC≌△ADC，即可证明∠BAC=∠DAC；再证明△ABF≌△ADF，得到∠AFB=∠AFD，再利用对顶角相等，易知结论；(2)有平行线的性质和(1)中结论，易知∠DAC=∠ACD，所以AD=CD，进而证得AB=CB=CD=AD，即可证明结论；(3)当BE⊥CD时，有(2)可知BC="CD" ，∠BCF=∠DCF，利用△BCF≌△DCF证得∠CBF=∠CDF，再利用等角的余角相等即可证明结论∠EFD =∠BCD．20.已知矩形BEDG和矩形BNDQ中，BE=BN，DE=DN．（1）将两个矩形叠合成如图10，求证：四边形ABCD是菱形；（2）若菱形ABCD的周长为20，BE=3，求矩形BEDG的面积．【答案】解：（1）答：四边形ABCD是菱形．证明：作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，由题意知：AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵矩形BEDG和矩形BNDQ中，BE=BN，DE=DN，∴两个矩形全等，∴AR=AS，∵AR•BC=AS•CD，∴BC=CD，∴平行四边形ABCD是菱形；（2）解：∵菱形ABCD的周长为20，∴AD=AB=BC=CD=5，∵BE=3，∴AE=4，∴DE=5+4=9，∴矩形BEDG的面积为：3×9=27．【解析】（1）作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，根据题意先证出四边形ABCD是平行四边形，再由BC=CD得平行四边形ABCD是菱形；（2）根据菱形的性质得出AD的长，进而得出AE的长，再利用矩形面积公式求出即可．。

特殊平行四边形课后练习及详解

特殊平行四边形课后练习题一：下列说法中，正确的是()A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形B．对角线相等的四边形是平行四边形C．四条边相等的四边形是菱形D．矩形的对角线一定互相垂直题二：如图，四边形ABCD中，AB∥CD．则下列说法中，不正确的是()A．当AB=CD，AO=DO时，四边形ABCD为矩形B．当AB=AD，AO=CO时，四边形ABCD为菱形C．当AD∥BC，AC=BD时，四边形ABCD为正方形D．当AB≠CD，AC=BD时，四边形ABCD为等腰梯形题三：如图，已知四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，题四：①求证：四边形EFGH是平行四边形．题五：②探索下列问题，并选择一个进行证明．题六：a．原四边形ABCD的对角线AC、BD满足________时，四边形EFGH是矩形．题七：b．原四边形ABCD的对角线AC、BD满足________时，四边形EFGH是菱形．题八：c．原四边形ABCD的对角线AC、BD满足________时，四边形EFGH是正方形．题九：如图所示，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE、等边△BCF．(1)求证：四边形DAEF是平行四边形；(2)探究下列问题：(只填满足的条件，不需证明)①当△ABC满足_________条件时，四边形DAEF是矩形；②当△ABC满足_________条件时，四边形DAEF是菱形；③当△ABC满足_________条件时，以D、A、E、F为顶点的四边形不存在．题十：如图所示，在四边形ABCD中，点E、F是对角线BD上的两点，且BE=FD．题十一：(1)若四边形AECF是平行四边形，求证：四边形ABCD是平行四边形；题十二：(2)若四边形AECF是菱形，那么四边形ABCD也是菱形吗？为什么？题十三：(3)若四边形AECF是矩形，试判断四边形ABCD是否为矩形，不必写理由．题十四：如图，任意四边形ABCD，对角线AC、BD交于O点，过各顶点分别作对角线AC、BD的平行线，四条平行线围成一个四边形EFGH．试想当四边形ABCD的形状发生改变时，四边形EFGH 的形状会有哪些变化？完成以下题目：(1)①当ABCD为任意四边形时，EFGH为___________；②当ABCD为矩形时，EFGH为___________；③当ABCD为菱形时，EFGH为___________；④当ABCD为正方形时，EFGH为___________；(2)请对(1)中①②你所写的结论进行证明．(3)反之，当用上述方法所围成的平行四边形EFGH分别是矩形、菱形时，相应的原四边形ABCD必须满足怎样的条件？题十五：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点．(1)求证：△MBA≌△NDC；(2)四边形MPNQ是什么样的特殊四边形？请说明理由．题十六：在折纸这种传统手工艺术中，蕴含许多数学思想，我们可以通过折纸得到一些特殊图形．把一张正方形纸片按照图①～④的过程折叠后展开．(1)猜想四边形ABCD是什么四边形；(2)请证明你所得到的数学猜想．题十七：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=5cm，BC=8cm，M是CD的中点，P是BC边上的一动点(P与B，C不重合)，连接PM并延长交AD的延长线于Q．(1)试说明△PCM≌△QDM；(2)当P在B、C之间运动到什么位置时，四边形ABPQ是平行四边形？并说明理由．题十八：如图，矩形ABCD中，AB=5cm，BC=10cm，动点M从点D出发，按折线D-C-B方向以2cm/s的速度运动，动点N从点D出发，沿DA方向以1cm/s的速度向点A运动．动点M、N同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动．(1)若点E在线段BC上，且BE=4cm，经过几秒钟，点A、E、M、N组成平行四边形？(2)动点M、N在运动的过程中，线段MN是否经过矩形ABCD的两条对角线的交点？如果线段MN 过此交点，请求出运动的时间；如果线段MN不过此交点，请说明理由．题十九：如图，已知，在四边形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A=120°，CD= 4，∠ABC=∠DCB，求BC的长．题二十：已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB= 4，BC=6，CD=5，AD=3．求：四边形ABCD 的面积．特殊平行四边形课后练习参考答案题一：C．详解：A．对角线互相垂直且相等的四边形不能判定正方形，故本选项错误；B．对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项错误；C．四边相等的四边形是菱形，故本选项正确；D．矩形的对角线互相平分且相等，不一定垂直，故本选项错误；故选C．题二：C．详解：选项A的结论正确，AB=CD可判定为平行四边形，AO=DO可判定对角线相等，故是矩形；选项B的结论正确，AB=AD可判定△ABD为等边三角形，AO=CO可判定△CDB也为等边三角形，故是菱形；选项C的结论错误，判定结果为矩形，不一定是正方形；选项D的结论正确，对角线相等的梯形是等腰梯形；故选C．题三：见详解．详解：①连接AC，BD，∵四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，∴EH∥BD，FG∥BD，∴EH∥FG，同理：GH∥EF，∴四边形EFGH是平行四边形．②a．当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形．∵由①得：四边形MONH是平行四边形，∴当AC⊥BD时，四边形MONH是矩形，∴∠EHG=90°，∴四边形EFGH是矩形．b．当AC=BD时，四边形EFGH是菱形．∵HG=12AC，EH=12BD，∴EH=GH，∴四边形EFGH是菱形；c．由a与b可得：原四边形ABCD的对角线AC、BD满足AC⊥BD且AC=BD时，四边形EFGH是正方形．故答案为：a．AC⊥BD，b．AC=BD，c．AC⊥BD且AC=BD．题四：见详解．详解：(1)∵△ABD和△FBC都是等边三角形，∴BD=BA，BF=BC，∠DBA=∠FBC=60°，∴∠DBA-∠FBA=∠FBC-∠FBA，∴∠DBF=∠ABC．在△ABC和△DBF中，BA=BD，∠ABC=∠DBF，BC=BF，∴△ABC≌△DBF．∴AC=DF=AE．同理△ABC≌△EFC．∴AB=EF=AD．∴四边形ADFE是平行四边形．(2)当∠BAC=150°，∠DAE=360°-60°-60°-150°=90°，∴平行四边形DAEF是矩形．当AB=AC≠BC，有AD=AE，∴平行四边形DAEF是菱形．当∠BAC=60°，△FBC与△ABC重合，故以D、A、E、F为顶点的四边形不存在．题五：见详解．详解：连AC，设AC、BD相交于点O，(1)∵四边形AECF是平行四边形，∴OE=OF，OA=OC，∵BE=FD，∴OB=OD．∴四边形ABCD是平行四边形；(2)∵四边形AECF是菱形，∴OE=OF，OA=OC，AC⊥BD．∵BE=FD，∴OB=OD．∴四边形ABCD是菱形；(3)四边形ABCD不是矩形．题六：见详解．详解：(1)平行四边形；菱形；矩形；正方形；(2)结合图形，联想特殊四边形的特征及识别很容易发现，其中的桥梁为AC、BD．①当ABCD为任意四边形时，EFGH为平行四边形．∵EH∥AC∥FG，EF∥BD∥GH，∴四边形EFGH为平行四边形．②若ABCD为矩形，则EFGH为菱形．∵EH∥AC∥FG，EF∥BD∥GH．∴四边形EACH，ACGF，EFBD，BDHG，EFGH均为平行四边形．∴EH=AC=FG，EF=BD=GH．∵四边形ABCD为矩形．∴AC=BD．∴EH=AC=FG=EF=BD=GH．∴四边形EFGH为菱形．(3)当平行四边形EFGH是矩形时，四边形ABCD必须满足：对角线互相垂直．当平行四边形EFGH是菱形时，四边形ABCD必须满足：对角线相等．题七：见详解．详解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠C=90°，∵在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，∴AM=12AD，CN=12BC，∴AM=CN，在△MAB和△NDC中，∵AB=CD，∠A=∠C=90°，AM=CN，∴△MBA≌△NDC；(2)四边形MPNQ是菱形．理由如下：连接AP，MN，则四边形ABNM是矩形，∴AN和BM互相平分，则A，P，N在同一条直线上，易证：△ABN≌△BAM，∴AN=BM，∵△MAB≌△NDC，∴BM=DN，∵P、Q分别是BM、DN的中点，∴PM=NQ，∵DM=BN，DQ=BP，∠MDQ=∠NBP，∴△MQD≌△NPB，∴四边形MPNQ是平行四边形，∵M是AD中点，Q是DN中点，∴MQ=12AN，∴MQ=12BM，∵MP=12BM，∴MP=MQ，∴平行四边形MQNP是菱形．题八：见详解．详解：(1)四边形ABCD是菱形；(2)∵△AMG沿AG折叠，使AM落在AC上，∴∠MAD=∠DAC=12∠MAC，同理可得∠CAB=∠NAB=12∠CAN，∠DCA=∠MCD=12∠ACM，∠ACB=∠NCB=12∠ACN，∵四边形AMCN是正方形，∴∠MAC=∠MCA=∠NAC=∠NCA，∴∠DAC=∠BAC=∠BCA=∠DCA，∴AD∥BC，AB∥DC，∴四边形ABCD为平行四边形，∵∠DAC=∠DCA，∴AD=CD，∴四边形ABCD为菱形．题九：见详解．详解：(1)∵AD∥BC，∴∠QDM=∠PCM，∵M是CD的中点，∴DM=CM，∵∠DMQ=∠CMP，∴△PCM≌△QDM；(2)当四边形ABPQ是平行四边形时，PB=AQ，∵BC-CP=AD+QD，∴8-CP=5+CP，∴CP=(8-5)÷2=1.5，∴当PC=1.5时，四边形ABPQ是平行四边形．题十：见详解．详解：(1)∵点N只在AD上运动，∴当点M运动到BC边上的时候，点A、E、M、N才可能组成平行四边形，即2.5＜t＜7.5，设经过t秒，四点可组成平行四边形．分两种情形：①当M点在E点右侧，如图：此时AN=EM，则四边形AEMN是平行四边形，∵DN= t，CM=2t -5，∴AN=10- t，EM=10- 4-(2t -5)，∴10- t =10- 4-(2t -5)，解得：t =1，∵2.5＜t＜7.5，∴t =1舍去；②当M点在B点与E点之间，如图，则MC=2t -5，BM=10-(2t -5)=15-2t，∴ME= 4-(15-2t)=2t -11，2t-11=10-t，解得t =7，此时符合，∴当t =7秒时，点A、E、M、N组成平行四边形；(2)动点M、N在运动的过程中，线段MN能经过矩形ABCD的两条对角线的交点，此时M在BC上，如图，∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC，AD∥BC，∴∠NAO=∠MCO，在△ANO和△CMO中，∠NAO=∠MCO，AO=OC，∠AON=∠COM，∴△ANO≌△CMO(ASA)，∴AN=CM，设N运动的时间是t秒，则10-t=2t -5，解得：t =5，即动点M、N在运动的过程中，线段MN能经过矩形ABCD的两条对角线的交点，此时运动的时间是5秒．题十一：8．详解：∵AD∥BC，∠A=120°，∴∠ABC=180°-120°=60°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=12∠ABC=12×60°=30°，又∵∠ABC=∠DCB=60°，∴∠BDC=180°-30°-60°=90°，∴BC=2CD=2×4=8．题十二：18．详解：过D作DE∥AB，交CB于E点，又∵AD∥CB，∴四边形ABED是平行四边形，∴EB=AD=3，DE=AB=4，∵CB=6，∴EC=BC-BE=6-3=3，∵CD=5，∴CD2=DE2+CE2，∴△DEC是直角三角形，∴∠DEC=90°，∴四边形ABCD的面积是：12(AD+CB)•DE=12(3+6)×4=18．。

初二数学特殊的平行四边形试题答案及解析

初二数学特殊的平行四边形试题答案及解析1. (2011福建莆田)如图，在△ABC中，D是AB的中点，E是CD的中点，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F，连接BF．(1)求证：DB＝CF；(2)如果AC＝BC，试判断四边形BDCF的形状，并证明你的结论．【答案】见解析【解析】(1)证明：∵CF∥AB，∴∠DAE＝∠CFE．又∵DE＝CE，∠AED＝∠FEC，∴△ADE≌△FCE，∴AD＝CF．∵AD＝DB，∴DB＝CF．(2)四边形BDCF是矩形．证明：由(1)知DB＝CF，又DB∥CF，∴四边形BDCF为平行四边形．∵AC＝BC，AD＝DB，∴CD⊥AB．∴四边形BDCF是矩形．2.矩形ABCD中，点O是BC的中点，∠AOD＝90°，矩形ABCD的周长为20cm，则AB的长为()A．1cmB．2cmC．cmD．cm【答案】D【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，AB＝DC．又∵O是BC的中点，∴BO＝CO，∴△ABO≌△DCO，∴AO＝DO．∵∠AOD＝90°，∴∠OAD＝∠ODA＝45°，∴∠BAO＝∠AOB＝45°，∴AB＝OB．设AB＝xcm，则BC＝2xcm，∴2(x＋2x)＝20，解得，故选D．3. (2014重庆)如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为()A．30°B．60°C．90°D．120°【答案】B【解析】在矩形ABCD中，OA＝OB＝OC＝OD，所以∠OBC＝∠OCB＝30°，所以∠AOB＝∠OCB＋∠OBC＝60°．4.(2014四川巴中)如图，在四边形ABCD中，点H是边BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E，F，连接BE，CF．(1)请你添加一个条件，使得△BEH≌△CFH，你添加的条件是________，并证明；(2)在问题(1)中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形？请说明理由．【答案】见解析【解析】(1)添加条件：BE∥CF(答案不唯一)．证明：如图，∵BE∥CF，∴∠1＝∠2．∵点H是边BC的中点，∴BH＝CH．又∵∠3＝∠4，∴△BEH≌△CFH．(2)当BH＝EH时，四边形BFCE是矩形，理由如下：连接BF，CE．∵△BEH≌△CFH．∴EH＝FH，又BH＝CH，∴四边形BFCE是平行四边形．又∵BH＝EH，∴EF＝BC，∴四边形BFCE是矩形．5.已知在四边形ABCD中，，请添加一个条件，使四边形ABCD成为矩形，添加的条件可以是________．(只填一个即可)【答案】∠A＝90°(答案不唯一)【解析】由可知，该四边形是平行四边形，根据矩形的定义，只要加上条件“一个角是直角”即可，故填∠A＝90°，或∠B＝90°，或∠C＝90°，或∠D＝90°．6.如图所示，在□ABCD中，点E，F分别为BC边上的点，且BE＝CF，AF＝DE求证：□ABCD是矩形．【答案】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD．∵BE＝CF，∴BF＝CE．又∵AF＝DE，∴△ABF≌△DCE．∴∠B＝∠C．又∵∠B＋∠C＝180°，∴∠B＝∠C＝90°．∴□ABCD是矩形．【解析】已知四边形ABCD是平行四边形，欲证它是矩形，只需证一角是直角即可，由题意易知△ABF≌△DCE，而∠B＋∠C＝180°，因此有∠B＝∠C＝90°，问题迎刃而解．7.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，使顶点B与顶点D重合，折痕为EF．若，AD＝3，则△DEF的周长为________．【答案】6【解析】∵沿EF折叠后，点B与点D重合，点A在点A′的位置，∴A′E＝AE，，BF＝DF．∵四边形ABCD为矩形，∴，BC＝AD＝3，∠C＝∠A＝90°．在Rt△DCF中，设CF＝x，则DF＝BF＝3－x，由勾股定理得，解得x＝1，∴DF＝3－x＝3－1＝2．同理，DE＝2．连接BD，交EF于点O，则点B与点D关于EF称，∴，BD⊥EF．在Rt△EDO中，，由DE＝DF，BD⊥EF，得EO＝OF＝1，∴EF＝2，∴△DEF的周长为DE＋DF＋EF＝2＋2＋2＝6．8.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线交AD、BC于点E、F，AB＝2，BC ＝4，则图中阴影部分的面积为（）A．2B．3C．4D．5【答案】C【解析】矩形ABCD的面积＝AB·BC＝2×4＝8，图中阴影部分面积的和等于矩形面积的一半，故选C．9.如图，在矩形ABCD中，DF平分∠ADC交AC于点E，交BC于点F，∠BDF＝15°，求∠DOC与∠COF的度数．【答案】75°【解析】解：∵DF平分∠ADC，∴∠FDC＝45°．又∵∠BDF＝15°，∴∠BDC＝45°＋15°＝60°．又∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，AO＝OC＝BO＝OD，∴△DOC是等边三角形．∴∠DOC＝60°．在Rt△DCF中，∠FDC＝45°，∴CF＝CD＝OC，∴∠COF＝∠CFO．又∵∠OCF＝90°－∠OCD＝90°－60°＝30°，∴∠COF＝75°．10.（2013湖南邵阳）如图所示，将△ABC绕AC的中点O顺时针旋转180°得到△CDA，添加一个条件________，使四边形ABCD为矩形．【答案】∠B＝90°（答案不唯一）【解析】∵△ABC绕AC的中点O顺时针旋转180°得到△CDA，∴AB＝CD，∠BAC＝∠DCA，∴AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形．当∠B＝90°时，平行四边形ABCD为矩形，∴添加的条件为∠B＝90°．11.如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是()A．AB＝CDB．AD＝BCC．∠AOB＝45°D．∠ABC＝90°【答案】D【解析】因为四边形ABCD的对角线互相平分，所以四边形ABCD为平行四边形，A、B两选项为平行四边形具有的性质，C选项添加后也不是矩形，根据矩形的定义知D正确．故选D．12.矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是()A．对角相等B．对角线互相平分C．一组对边平行另一组对边相等D．对角线相等【答案】D【解析】矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等．13.如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线AB平移至△FEG，DE、FG相交于点H．(1)判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由：(2)连接CG，求证：四边形CBEG是正方形．(提示：旋转前后，图形中对应的角和对应的边分别相等)【答案】见解析【解析】(1)DE⊥FG，理由如下：由题意得∠A＝∠EDB＝∠GFE，∠ABC＝∠DBE＝90°．∴∠BDE＋∠BED＝90°．∴∠GFE＋∠BED＝90°．∴∠FHE＝90°．∴DE⊥FG．(2)证明：∵△ABC沿射线AB平移至△FEG，∴CB∥GE，CB＝GE，∴四边形CBEG是平行四边形．∵∠ABC＝∠GEF＝90°．∴四边形CBEG是矩形．∵BC＝BE．∴四边形CBEG是正方形．14.如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，则图中的等腰三角形有( )A．4个B．6个C．8个D．10个【答案】C【解析】在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，OA＝OB＝OC＝OD，所以等腰三角形有△ABC，△ADC，△ABD，△CBD，△OAB，△OBC，△OCD，△OAD．15.下列命题错误的是( )A．有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形B．有一组邻边相等的矩形是正方形C．有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形D ．有一个角是直角的菱形是正方形【答案】A【解析】由定义可知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形，A 不正确，故选A ．16. 如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，点O 也是正方形A′B′C′O 的一个顶点，两个正方形的边长都等于1，当正方形A′B′C′O 绕顶点O 转动时，两个正方形重叠部分的面积大小有什么规律？并说明理由．【答案】两个正方形重叠部分的面积保持不变，始终为．理由：∵四边形ABCD 是正方形，∴OB ＝OC ，∠OBE ＝∠OCF ＝45°，∠BOC ＝90°． ∵四边形A′B′C′O 是正方形， ∴∠EOF ＝90°，∴∠BOC ＝∠EOF ． ∴∠BOC －∠BOF ＝∠EOF －∠BOF ，即∠COF ＝∠BOE ．∴△BOE ≌△COF(ASA)，∴S △BOE ＝S △COF ．∴重叠部分面积等于S △BOC ．∵S 正方形ABCD ＝1×1＝1，∴，即两个正方形重叠部分的面积保持不变，始终为．【解析】正方形的两条对角线分正方形为四个全等的等腰直角三角形．通过证△BOE ≌△COF ，得．17. 如图，将矩形ABCD 中的△AOB 沿着BC 的方向平移线段AD 长的距离．（1）画出△AOB 平移后的图形．（2）设（1）中O 点平移后的对应点为E ，试判断四边形CODE 的形状，并说明理由．（3）当四边形ABCD 是什么四边形时，（2）中的四边形CODE 是正方形？并说明你的理由．【答案】（1）平移后的图形如图．（2）四边形CODE 是菱形．理由如下：∵△AOB 平移后得到△DEC ， ∴DE ∥AC ，CE ∥BD ． ∵四边形ABCD 是矩形，∴，，且AC＝BD，∵OC＝OD，∴四边形CODE是菱形．（3）当四边形ABCD是正方形时，（2）中的四边形CODE是正方形，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°．∴菱形CODE是正方形．【解析】在图形移动过程中，图形的大小、形状不变，可得四边形CODE是菱形．当AC⊥BD 时，四边形CODE是正方形，此时四边形ABCD是正方形．18.（2013江苏南京）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD 上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M、N．（1）求证：∠ADB＝∠CDB；（2）若∠ADC＝90°，求证：四边形MPND是正方形．【答案】见解析【解析】证明：（1）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD．又∵BA＝BC，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD，∴∠ADB＝∠CDB．（2）∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD＝∠PND＝90°．又∵∠ADC＝90°，∴四边形MPND是矩形．∵∠ADB＝∠CDB，PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM＝PN．∴四边形MPND是正方形．19.（2013济宁）如图中图（1），在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE．（1）求证：AF＝BE．（2）如图中图（2），在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP与NQ是否相等？并说明理由．【答案】（1）证明：如图（1），在正方形ABCD中，AB＝DA，∠BAE＝∠D＝90°，∴∠DAF＋∠BAF＝90°，∵AF⊥BE，∴∠ABE＋∠BAF＝90°，∴∠ABE＝∠DAF，∵在△ABE和△DAF中，∴△ABE≌△DAF（ASA），∴BE＝AF．（2）解：MP与NQ相等．理由如下：如图（2），过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD于E，则BE＝NQ，AF＝MP．只需证BE＝AF即可．与（1）的情况完全相同．【解析】（1）根据正方形的性质可得AB＝DA，∠BAE＝∠D＝90°，再根据同角的余角相等求∠ABE＝∠DAF，然后利用“角边角”证明△ABE和△DAF全等，再根据全等三角形的性质证明即可；（2）过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD于E，然后解法与（1）相同．20.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，下面能判断这个四边形是正方形的是（）A．AD⊥CD，AC＝BDB．AD∥BC，∠A＝∠CC．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BDD．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC【答案】C【解析】对角线相等、互相平分且垂直的四边形是正方形．21.如图，过正方形ABCD的顶点B作直线l，过点A、C作l的垂线，垂足分别为点E、F，若AE＝1，CF＝3，则AB的长度为________．【答案】【解析】由题意，知△BFC≌△AEB，∴CF＝BE，∴．22. 已知，在四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝90°，如果添加一个条件即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是( )A ．∠D ＝90°B ．AB ＝CDC ．AD ＝BCD ．BC ＝CD【答案】D【解析】由∠A ＝∠B ＝∠C ＝90°可判定为矩形，根据正方形的定义，再添加条件“一组邻边相等”即可判定为正方形，故选D ．23. (2014福建福州)如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边三角形ADE ，AC ，BE 相交于点F ，则∠BFC 为( )A ．45°B ．55°C ．60°D ．75°【答案】C【解析】由已知得AB ＝AE ，∠BAE ＝150°，∴∠ABF ＝15°，∴∠BFC ＝∠ABF ＋∠BAF ＝15°＋45°＝60°．24. 如图，边长为2的正方形ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 的直线分别交AD 、BC 于E 、F ，则阴影部分的面积是________．【答案】1【解析】由题意可知△DEO ≌△BFO ，∴S △DEO ＝S △BFO ，∴．25. 如图所示，在菱形ABCD 中，AE 垂直平分BC ，垂足为E ，AB ＝4cm ．那么，菱形ABCD的面积是________，对角线BD的长是________．【答案】cm2；cm【解析】在菱形ABCD中，由AE垂直平分BC可知△ABC是正三角形，故BC＝AC＝4cm，由勾股定理可知cm，∴菱形ABCD的面积是(cm2)，同时菱形的面积还等于两条对角线乘积的一半，∴对角线BD的长为(cm)．26.如图，平行四边形ABCD的两条对角线AC和BD相交于点O，并且BD＝4，AC＝6，．(1)AC与BD有什么位置关系？为什么？(2)四边形ABCD是菱形吗？为什么？【答案】见解析【解析】(1)AC⊥BD，理由如下：∵四边形ABCD为平行四边形，∴，．在△OBC中，OC2＋OB2＝9＋4＝13＝BC2，∴△OBC为直角三角形，即OC⊥OB，∴AC⊥BD．(2)四边形ABCD是菱形，理由如下：∵AC⊥BD．∴平行四边形ABCD是菱形．27.(2012山西)如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是( )A．cmB．cmC．cmD．cm【答案】D【解析】由菱形的性质知菱形边长为(cm)，所以，得cm，故选D．28. (2013山东潍坊)如图，ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB＝OD，请你添加一个适当的条件________，使ABCD成为菱形．(只需添加一个即可)【答案】本题答案不唯一，如OA＝OC或AD＝BC或AD∥BC或AB＝BC等【解析】根据对角线互相垂直平分可添加OA＝OC；或添加AD＝BC或AB＝DC或AD∥BC或AB∥DC或AB＝BC或AD＝DC，由三角形全等得到AO＝CO，再由对角线互相垂直平分得到四边形ABCD是菱形．29.如图，□ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD、BC、AC分别交于点E、F、O，求证：四边形AFCE是菱形．【答案】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥CF，∴∠CAE＝∠ACF又∵∠AOE＝∠COF，OA＝OC，∴△AOE≌△COF．∴OE＝OF，∴四边形AFCE是平行四边形．又∵EF⊥AC．∴四边形AFCE是菱形．【解析】要证四边形AFCE是菱形，首先要证四边形AFCE是平行四边形．30.如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB＝10．(1)求∠ABC的度数；(2)求对角线AC的长度；(3)求菱形ABCD的面积．【答案】(1)连接BD，交AC于点O，如图．∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB．∵E是AB的中点，且DE⊥AB，∴AD＝BD．∴△ABD是等边三角形．∴∠ABD＝60°．∴∠ABC＝60°×2＝120°．(2)∵四边形ABCD是菱形，∴AC，BD互相垂直平分．∴．∴在Rt△AOB中，，∴．(3)．【解析】(1)连接BD，与AC相交于点O，可证△ABD是等边三角形，所以∠ABD＝60°，可得∠ABC的度数；(2)在Rt△OAB中，由勾股定理可求出OA的长，则AC＝2OA；(3)根据菱形的面积公式可求其面积．。

特殊平行四边形练习题(含答案)

特殊平行四边形专题练习一、基础知识点复习：（一）矩形：1、矩形的定义：__________________________的平行四边形叫矩形．2、矩形的性质：①．矩形的四个角都是______；矩形的对角线__________________________．②.矩形既是对称图形,又是图形,它有条对称轴.3、矩形的判定：①．有_____个是直角的四边形是矩形．②．对角线____________________________的平行四边形是矩形．③．对角线________________________________的四边形是矩形．4、练习：①矩形ABCD的两条对角线相交于O，∠AOD=120°，AB=4cm，则矩形对角线AC长为______cm．②．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，能判断它为矩形的题设是（）A．AO=CO，BO=DO B．AO=BO=CO=DOC．AB=BC，AO=CO D．AO=CO，BO=DO，AC⊥BD③．四边形ABCD中，ADBC，则四边形ABCD是 ___________，又对角线AC，BD交于点O，若∠1=∠2，则四边形ABCD是_______________．（二）菱形：1、菱形的定义：有一组_________________________相等的平行四边形叫菱形．2、菱形的性质：①．菱形的四条边______；菱形的对角线_____________，且每条对角线______________．②.菱形既是对称图形,又是图形,它有条对称轴.3、菱形的判定：①．__________________边都相等的四边形菱形．②．对角线_____________________________的平行四边形是菱形．③．对角线_____________________________________________的四边形是菱形．4、菱形的面积与两对角线的关系是________________________5、练习：①．如图，BD是菱形ABCD的一条对角线，若∠ABD=65°，则∠A=_____．②．一个菱形的两条对角线分别是6cm，8cm，则这个菱形的周长等于cm,面积=cm2③．若菱形的周长为8cm,高为1cm,则菱形两邻角的度数比为(三)正方形:1、正方形的定义：的平行四边形叫正方形。

北师大九年级上册第一章特殊的平行四边形复习及对应练习(含答案)

第一章特殊平行四边形的复习1.特殊平行四边形的性质及评定汇总表格例1：若矩形的对角线长为8cm ，两条对角线的一个交角为600，则该矩形的面积为解：由已知条件，得∠DOC=60°,OC=0D,AC=8cm. ∵△ODC 中，∠DOC=60°,OC=0D ； ∴△ODC 是等边三角形； ∴DC=OC=4cm 根据勾股定理，得 AD=∴S =AD ×DC=例2：菱形具有而矩形不具有的性质是（）A ．对角线互相平分； B.四条边都相等； C.对角相等； D.邻角互补答案：B例1 已知：如图，四边形ABCD 是菱形，F 是AB 上一点，DF 交AC 于E ．求证：∠AFD=∠CBE ．解：∵四边形ABCD 是菱形 ∴BC=DC,∠BCE=∠DCE,AB ∥CD 在△BCE 和△DCE 中， ∵BC=DC,∠BCE=∠DCE,CE=CE ∴△BCE ≌△DCE ∴∠CBE=∠CDE 又∵AB ∥CD ∴∠CDE=∠AFD ∴∠CBE=∠AFD要确定一个四边形是正方形，应先确定它是菱形或是矩形，然后再加上相应的条件，确定是正方形.例1 已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．求证：OE=OF．证明：∵正方形ABCD∴∠ODA=∠OAB=45°，∠DAB=90°，OD=OA,AC⊥BD∵DG⊥AE∴∠ADG+∠DAG=90°又∵∠BAE+∠DAG=90°∴∠ADG=∠BAE∵∠ODF=∠ODA-∠ADG, ∠OAE=∠OAB-∠BAE又∵∠ODA=∠OAB=45°∴∠ODF=∠OAE∵OD=OA, ∠AOD=∠EOA=90°∴△DOF≌△AOE∴OE=OF特殊的平行四边形练习题一、选择题1、平行四边形ABCD中，∠A=50°，则∠D=（）A. 40°B. 50°C. 130°D. 不能确定2、如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD＝2，DE＝2，则四边形OCED的面积( )A．2 B．4 C．4 D．83、如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD边上的中点，连接EF.若EF＝，BD＝2，则菱形ABCD的面积为( )A．2 B. C．6 D．84、如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB＝2，∠ABC＝60°，则BD的长为( )A．2 B．3 C. D．25、如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB＝30°，AB＝4，则OC＝( ) A．5 B．4 C．3.5 D．36、如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（）cm2．A．16﹣8B．﹣12+8C．8﹣4D．4﹣27、如图，正方形ABCD的边长为1，则正方形ACEF的面积为（）A. 2B. 3C. 4D. 58、如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM=3，BC=10，则OB的长为（）A. 5B. 4C.D.9、如图，P是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上的一点，点E是AB的中点，则P A+PE的最小值是（）A. B. C. D.10.当矩形的对角线互相垂直时, 矩形变成( )A. 菱形B. 等腰梯形C. 正方形D. 无法确定.二、填空题11、如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝10，则菱形ABCD的面积为_______．12、如图，边长为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为．13、如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，，= .14、如图所示，正方形ABCD的边长为4，E是边BC上的一点，且BE=1，P是对角线AC 上的一动点，连接PB、PE，当点P在AC上运动时，△PBE周长的最小值是______ ．15、如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，若AB=OB=6，则矩形的面积为______ ．三、简答题16、平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF=AE，连接BF，AF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若AF平分∠BAD，且AE=3，DE=4，求矩形BFDE的面积．17、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF＝2DE，连接CE，AF.(1)证明：AF＝CE；(2)当∠B＝30°时，试判断四边形ACEF的形状并说明理由．18、如图，正方形ABCD中，点E、F分别是AB和AD上的点。

初二数学特殊的平行四边形试题答案及解析

初二数学特殊的平行四边形试题答案及解析1.如图，在菱形ABCD中，AC、BD是对角线，若∠BAC=50°，则∠ABC等于（）A．40° B．50° C．80° D．100°【答案】C【解析】首先根据菱形的菱形的每一条对角线平分一组对角可得∠BAD的度数，再根据菱形的性质可得AD∥BC，根据平行线的性质可得∠ABC+∠BAD=180°，再代入所求的∠BAD的度数即可算出答案．2.如图，菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则菱形的周长是（）A．20B．24C．28D．40【答案】A【解析】据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得BO=OD，AO=OC，在Rt△AOD中，根据勾股定理可以求得AB的长，即可求菱形ABCD的周长．3.如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为（）A．6cm B．4cm C．2cm D．1cm【答案】C【解析】由折叠可知，∠BAE=∠B1AE，∴∠BAE=∠B1AE=45°，又∵∠B=45°，∴∠AEB=45°，∴BE=AB=4，∴CE=BC－BE=8－6=2．故选C．4.如图，在矩形ABCD中，若AC=2AB，则∠AOB的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】C【解析】∵AC=2AB，∴∠BAC=60°，OA=OB，∴△OAB是正三角形，∴∠AOB的大小是60°．故选C．5.如图，长方形ABCD中，E点在BC上，且AE平分∠BAC．若BE=4，AC=15，则△AEC面积为（）A．15 B．30 C．45 D．60【答案】B【解析】利用角平分线的性质定理可得AC边上的高．进而求得所求三角形的面积．6.如图，矩形ABCD的周长为20cm，两条对角线相交于O点，过点O作AC的垂线EF，分别交AD，BC于E，F点，连接CE，则△CDE的周长为（）A．5cm B．8cm C．9cm D．10cm【答案】D【解析】∵ABCD为矩形，∴AO=OC．∵EF⊥AC，∴AE=EC．∴△CDE的周长=CD+DE+EC=CD+DE+AE=CD+AD=10（cm）．7.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=5，则四边形CODE的周长是（）A．5 B．7 C．9 D．10【答案】D【解析】根据矩形性质求出OC=OD，根据菱形判定得出四边形DECO是菱形，求出OD=OC=EC=DE=，即可求出答案．8.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（）A．AB=BC B．AC=BC C．∠B=60°D．∠ACB=60°【答案】B【解析】∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，∴AB∥CD，且AB=CD，∴四边形ABCD为平行四边形，当AC=BC时，平行四边形ACED是菱形．9.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（）A．BC=AC B．CF⊥BF C．BD=DF D．AC=BF【答案】D【解析】根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE=EC，BF=FC进而得出四边形BECF是菱形；由菱形的性质知，以及菱形与正方形的关系，进而分别分析得出即可．10.如图，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB于点E，PE=4cm，则点P到BC的距离是______cm．【答案】4【解析】根据菱形的性质，BD是∠ABC的平分线，再根据角平分线的性质即可得到点P到BC的距离．11.如图，菱形ABCD的对角线的长分别为6和8，点P是对角线AC上的任意一点（点P不与点A，C重合），且PE∥BC交AB于点E，PF∥CD交AD于点F，则阴影部分的面积是______．【答案】12【解析】易知四边形AEPF是平行四边形，设AP与EF相交于O点，则S△POF=S△AOE．所以阴影部分的面积等于菱形面积的一半．12.如图，在△ABC中，∠ACB=90°．D是AC的中点，DE⊥AC，AE∥BD，若BC=4，AE=5，则四边形ACBE的周长是______．【答案】18【解析】求出∠CDB=∠DAE，∠C=∠ADE=90°，AD=DC，证△ADE≌△DCB，推出DE=BC，得出平行四边形DEBC，推出BE=DC，根据勾股定理求出DC，即可得出答案．13.如图，矩形ABCD的两条线段交于点O，过点O作AC的垂线EF，分别交AD、BC于点E、F，连接CE，已知△CDE的周长为24cm，则矩形ABCD的周长是_______cm．【答案】48【解析】∵OA=OC，EF⊥AC，∴AE=CE，∵矩形ABCD的周长=2（AE+DE+CD），∵DE+CD+CE=24，∴矩形ABCD的周长=2（AE+DE+CD）=48cm．14.如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是_______．【答案】AC=BD或AB⊥BC【解析】∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，∴四边形ABCD是菱形，∴要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是：AC=BD或AB⊥BC．15.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD、BC于点E和点F，求证：四边形BEDF是菱形．【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，OB=OD，∴∠EDO=∠FBO，∠OED=∠OFB，∴△OED≌△OFB，∴DE=BF，又∵DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形．【解析】若要证明四边形BEDF是菱形，只需要证明四边形BEDF是平行四边形即可，而DE∥BF，只需要证明DE=BF即可判定四边形BEDF是平行四边形，证明DE=BF可通过证明△OED≌△OFB．16.如图△ABC中，点O是AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠GCA的平分线于点F．（1）说明 EO=FO．（2）当点O运动到何处，四边形AECF是矩形？说明你的结论．（3）当点O运动到何处，AC与BC具有怎样的关系时，四边形AECF是正方形？为什么？【答案】解：（1）∵MN∥BC，∴∠ECB=∠CEO，∠GCF=∠CFO，∵CE，CF分别为∠BOC，∥GOC的角平分线，∴∠ECB=∠ECO，∠GCF=∠OCF，∴∠CEO=∠ECO，∠CFO=∠OCF，∴OC=OE，OC=OF，∴OE=OF，（2）当O点运动到AC的中点时，四边形AECF为矩形，理由：∵O点为AC的中点，∴OA=OC，∵OE=OF，OC=OE=OF，∴OA=OC=OE=OF，∴AC=EF，∴四边形AECF是矩形，（3）当O点运动到AC的中点时，AC⊥BC时，四边形AECF是正方形，理由：∵O点为AC的中点时，四边形AECF是矩形，∴AC=EF，∵AC⊥BC，MN∥BC，∴AC⊥EF，∴四边形AECF是正方形．【解析】（1）由平行线的性质和角平分线的性质，推出∠ECB=∠CEO，∠GCF=∠CFO，∠ECB=∠ECO，∠GCF=∠OCF，通过等量代换即可推出∠CEO=∠ECO，∠CFO=∠OCF，便可确定OC=OE，OC=OF，可得OE=OF；（2）当O点运动到AC的中点时，四边形AECF为矩形，根据矩形的判定定理（对角线相等且互相平分的四边形为矩形），结合（1）所推出的结论，即可推出OA=OC=OE=OF，求出AC=EF后，即可确定四边形AECF为矩形；（3）当O点运动到AC的中点时，AC⊥BC时，四边形AECF是正方形，根据（2）所推出的结论，由AC⊥BC，MN∥BC，确定AC⊥EF，即可推出结论．17.已知矩形BEDG和矩形BNDQ中，BE=BN，DE=DN．（1）将两个矩形叠合成如图10，求证：四边形ABCD是菱形；（2）若菱形ABCD的周长为20，BE=3，求矩形BEDG的面积．【答案】解：（1）答：四边形ABCD是菱形．证明：作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，由题意知：AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵矩形BEDG和矩形BNDQ中，BE=BN，DE=DN，∴两个矩形全等，∴AR=AS，∵AR•BC=AS•CD，∴BC=CD，∴平行四边形ABCD是菱形；（2）解：∵菱形ABCD的周长为20，∴AD=AB=BC=CD=5，∵BE=3，∴AE=4，∴DE=5+4=9，∴矩形BEDG的面积为：3×9=27．【解析】（1）作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，根据题意先证出四边形ABCD是平行四边形，再由BC=CD得平行四边形ABCD是菱形；（2）根据菱形的性质得出AD的长，进而得出AE的长，再利用矩形面积公式求出即可．18.如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上的一个动点（不与点A重合），延长ME交CD的延长线于点N，连接MD，AN．（1）求证：四边形AMDN是平行四边形．（2）当AM的值为何值时，四边形AMDN是矩形？请说明理由．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴ND∥AM．∴∠NDE=∠MAE，∠DNE=∠AME．又∵点E是AD边的中点，∴DE=AE．∴ΔNDE≌ΔMAE，∴ND=MA，∴四边形AMND是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．（2）当AM的值为1时，四边形AMDN是矩形．理由如下：∵AM=1=AD，∴∠ADM=30°∵∠DAM=60°，∴∠AMD=90°，∴平行四边形AMDN是矩形．【解析】（1）由四边形ABCD为菱形，可以说明ΔNDE≌ΔMAE，得到ND=MA和ND∥AM，推出四边形AMND是平行四边形．（2）若四边形AMDN为矩形，则∠AMD为直角，此时AM=1．19.如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2AD，点 E、F分别是AB、CD的中点，过点A作AG∥BD，交CB的延长线于点G．（1）求证：四边形DEBF是菱形；（2）请判断四边形AGBD是什么特殊四边形？并加以证明．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD且AB=CD，AD∥BC且AD=BC．E，F分别为AB，CD的中点，∴BE=AB，DF=CD，∴BE=BF，∴四边形DEBF是平行四边形在△ABD中，E是AB的中点，∴AE=BE=AB=AD，而∠DAB=60°，∴△AED是等边三角形，即DE=AE=AD，故DE=BE．∴平行四边形DEBF是菱形．（2）解：四边形AGBD是矩形，理由如下：∵AD∥BC且AG∥DB，∴四边形AGBD是平行四边形．由（1）的证明知AD=DE=AE=BE，∴∠ADE=∠DEA=60°，∠EDB=∠DBE=30°．故∠ADB=90°．∴平行四边形AGBD是矩形．【解析】（1）利用平行四边形的性质证得△AED是等边三角形，从而证得DE=BE，问题得证；（2）利用平行四边形的性质证得∠ADB=90°，利用有一个角是直角的平行四边形是矩形判定矩形．20.已知：如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连接AE，CF．（1）求证：AF=CE；（2）若AC=EF，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论．【答案】（1）证明：在△ADF和△CDE中，∵AF∥BE，∴∠FAD=∠ECD．又∵D是AC的中点，∴AD=CD．∵∠ADF=∠CDE，∴△ADF≌△CDE．∴AF=CE．（2）解：若AC=EF，则四边形AFCE是矩形．证明：由（1）知：AF=CE，AF∥CE，∴四边形AFCE是平行四边形．又∵AC=EF，∴平行四边形AFCE是矩形．【解析】（1）可通过全等三角形来证明简单的线段相等．△ADF和△CDE中，已知了AD=CD，∠ADF=∠CDE，AF∥BE，因此不难得出两三角形全等，进而可得出AF=CE．（2）需先证明四边形AFCE是平行四边形，那么对角线相等的平行四边形是矩形．。

特殊平行四边形知识点讲解与练习(含答案)

特殊平行四边形知识点与练习重要知识点：一、矩形的定义、性质及判定：1、定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．2、性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等3、判定：(1)有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；(2)有三个角是直角的四边形是矩形：(3)两条对角线相等的平行四边形是矩形（直接跟本章的内容有联系）．4、对称性：矩形是轴对称图形也是中心对称图形．二、矩形的定义、性质及判定：1、定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．2、性质：(1)菱形的四条边都相等。

(2)菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角(3)菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形．(4)菱形的面积等于两条对角线长的积的一半。

3、判定：(1)有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形(2)四条边都相等的四边形是菱形；(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形（4）对称性：跟矩形一样三、正方形定义、性质及判定．'1．定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．2．性质：(1)正方形四个角都是直角，四条边都相等；(2)正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；(3)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；(4)正方形的对角线与边的夹角是45。

(5)正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．3．判定：(1)先判定一个四边形是矩形，再判定出有一组邻边相等；(2)先判定一个四边形是菱形，再判定出有一个角是直角．4．对称性：正方形是轴对称图形也是中心对称图形．四、等腰梯形的性质及判定．1.定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形．两腰相等的梯形是等腰梯2．等腰梯形的性质：等腰梯形的两腰相等；同一底上的两个角相等；两条对角线相等．3．等腰梯形的判定：两腰相等的梯形是等腰梯形；同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；两条对角线相等的梯形是等腰梯形．4．对称性：等腰梯形是轴对称图形（注意理解！）．练习11.在△ABC 中,,90︒=∠C 若,7=+b a △ABC 的面积等于6，则边长c=2、3.如图4.3-15，平行四边形ABCD 的面积为15，设P 是AD 边上任一点，那么△PBC 的面积等于 .3.一个三角形的三边之比为5∶12∶13，它的周长为60，则它的面积是＿＿＿.4.※直角三角形的面积为S ，斜边上的中线长为d ，则这个三角形周长为（）（A ）22d S d ++ （B ）2d S d --（C ）222d S d ++ （D ）22d S d ++ 5、如图，在△ABC 中，AB=AC=6，P 为BC 上任意一点，请用学过的知识试求PC ·PA+PA 2的值。

2019年秋季数学北师大版九年级上册第一章特殊平行四边形单元练习包含答案和部分解析

2019年秋季初三数学北师大版九年级上册第一章特殊平行四边形单元练习1．矩形具有而菱形不一定具有的性质是( )A ．对角线互相垂直B ．对角线相等C ．对角线互相平分D ．邻边相等 2. 一张矩形纸片ABCD ，已知AB ＝3，AD ＝2，小明按如图所示的步骤折叠纸片，则线段DG 的长为( )A ． 2B ．2 2C ．1D ．23．如图，F 是正方形ABCD 的边CD 上的一个动点，BF 的垂直平分线交对角线AC 于点E ，连结BE ，FE ，则∠EBF 的度数是( )A ．45°B ．50°C ．60°D ．不确定4. 如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，将△ABC 沿AC 折叠，使点B 落在点E 处，CE 交AD 于点F ，则DF 的长等于( )A ．35B ．53C ．73D ．545. 如图，在矩形ABCD 中，AD ＝2，AB ＝3，过点A ，C 作相距为2的平行线段AE ，CF ，分别交CD ，AB 于点E ，F ，则DE 的长是( )A ． 5B ．136C ．1D ．566. 如图，已知点P 是矩形ABCD 内一点(不含边界)，设∠PAD＝θ1，∠PBA ＝θ2，∠PCB ＝θ3，∠PDC ＝θ4.若∠APB＝80°，∠CPD ＝50°，则( )A ．(θ1＋θ4)－(θ2＋θ3)＝30°B ．(θ2＋θ4)－(θ1＋θ3)＝40°C ．(θ1＋θ2)－(θ3＋θ4)＝70°D ．(θ1＋θ2)＋(θ3＋θ4)＝180° 7. 如图，已知菱形ABCD ，对角线AC ，BD 相交于点O .若tan ∠BAC ＝13，AC ＝6，则BD 的长是．8. 如图，在菱形ABCD 中，AB ＝2，∠B 是锐角，AE ⊥BC 于点E ，M 是AB 边的中点，连结MD ，ME.若∠EMD＝90°，则cos B 的值为．9. 如图②，小靓用七巧板拼成一幅装饰图，放入长方形ABCD 内，装饰图中的三角形顶点E ，F 分别在边AB ，BC 上，三角形①的边GD 在边AD 上，则ABBC的值是．10. 如图，四边形ABCD 与四边形AECF 都是菱形，点E ，F 在BD 上，已知∠BAD ＝120°，∠EAF ＝30°，则ABAE＝．11. 如图为某城市的部分街道示意图，四边形ABCD 为正方形，点G 在对角线BD 上，GE ⊥CD ，GF ⊥BC ，AD ＝1 500 m ，小敏行走的路线为B→A→G→E，小聪行走的路线为B→A→D →E →F.若小敏行走的路程为3 100 m ，则小聪行走的路程为 m.12. 如图，在▱ABCD 中，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ，且BE＝DF.(1)求证：▱ABCD 是菱形；(2)若AB ＝5，AC ＝6，求▱ABCD 的面积．13. 如图，在矩形ABCD 中，点E 在BC 上，AE ＝AD ，DF ⊥AE ，垂足为F.(1)求证：DF＝AB；(2)若∠FDC＝30°，AB＝4，求AD的值．14. 已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.(1)如图①，E，G分别是OB，OC上的点，CE与DG的延长线相交于点F.若DF⊥CE，求证：OE＝OG.(2)如图②，H是BC上的点，过点H作EH⊥BC，交线段OB于点E，连结DH交CE 于点F，交OC于点G.若OE＝OG.①求证：∠ODG＝∠OCE；②当AB＝1时，求HC的长．15. 如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连结AC，DF.(1)求证：四边形ACDF是平行四边形；(2)当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．16. 如图，在▱ABCD中，DB＝DA，点F是AB的中点，连结DF并延长，交CB的延长线于点E，连结AE.(1)求证：四边形AEBD是菱形；(2)若DC＝10，tan∠DCB＝3，求菱形AEBD的面积．答案和解析： 1. B 2. A3. A 解析:如图，过点E 作HI∥BC，分别交AB ，CD 于点H ，I ，则∠BHE＝∠EIF ＝90°.∵E 是BF 的垂直平分线EM 上的点，∴EF ＝EB ．∵E 是∠BCD 平分线上一点，∴E 到BC 和CD 的距离相等，即BH ＝⎩⎪⎨⎪⎧EB ＝EF ，BH ＝EI ，∴Rt △BHE ≌Rt △EI.在Rt △BHE 和Rt △EIF 中，EIF ，∴∠HBE＝∠IEF.∵∠HBE ＋∠HEB＝90°，∴∠IEF ＋∠HEB＝90°， ∴∠BEF ＝90°.∵BE ＝EF ，∴∠EBF ＝∠EFB＝45°.故选A ．4. B 解析:由折叠的性质，可得AE ＝AB ，∠E ＝∠B ＝90°.又∵四边形ABCD 为矩形，∴AB ＝CD ，∴AE ＝DC ．在△AEF 与△CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AFE＝∠CFD，∠E ＝∠D，AE ＝CD ，∴△AEF≌△CDF ，∴EF ＝DF.∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ＝BC ＝6，CD ＝AB ＝4. ∵Rt △AEF ≌Rt △CDF ，∴FC ＝FA ．设FA ＝x ，则FC ＝x ，FD ＝6－x ，在Rt △CDF 中，CF 2＝CD 2＋DF 2，即x 2＝42＋(6－x)2，解得x ＝133，则FD ＝6－x ＝53.故选B ．5. D 解析:如图，过点F 作FH⊥AE，垂足为H.∵AE，CF 是平行线段，∴FH ＝2＝AD ．∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ．又∵AE∥CF，∴四边形AECF 为平行四边形，∴AF ＝CE ，∴设DE＝BF ＝x ，即FA ＝3－x.在矩形ABCD 中，∵∠BAD ＝∠D＝∠AHF＝90°，∴∠DAE ＝∠AFH.又∵FH＝AD ，∴△ADE ≌△FHA ，∴AE ＝FA ＝3－x.∴在Rt △ADE 中，由勾股定理，得22＋x 2＝(3－x)2，解得x ＝56，即DE ＝56.故选D ．6. A 解析:∵AD∥BC，∴∠CBP ＋∠DAP＝∠AP B ．∵∠APB ＝80°，∴∠CBP ＝∠APB－∠DAP＝80°－θ1， ∴∠ABC ＝θ2＋80°－θ1. ∵∠DCP ＋∠CPD ＋∠CDP＝180°，∴∠DCP ＝180°－∠CPD－∠CDP＝130°－θ4， ∴∠BCD ＝θ3＋130°－θ4. ∵∠ABC ＋∠BCD＝180°，∴θ2＋80°－θ1＋θ3＋130°－θ4＝180°， ∴(θ1＋θ4)－(θ2＋θ3)＝30°.故选A ． 7. 2 8.3－12解析: 如图，连结DE ，延长DM 交CB 的延长线于点H.∵四边形ABCD是菱形，∴AB ＝BC ＝AD ＝2，AD ∥CH ，∴∠ADM ＝∠H.又∵AM＝BM ，∠AMD ＝∠HMB，∴△ADM ≌△BHM ，∴AD ＝HB ＝2，HM ＝DM.∵EM⊥DH ，HM ＝DM ，∴EH ＝ED ．∵AE⊥BC， ∴AE⊥AD，∴∠AEB ＝∠EAD＝90°.设BE ＝x ，∵AE 2＝AB 2－BE 2＝DE 2－AD 2，∴22－x 2＝(2＋x)2－22，∴x ＝3－1或－3－1(舍去)．∴cos ∠ABC ＝BE AB ＝3－12.9.2＋14 解析: 设七巧板的边长为1，则AB ＝12＋22，BC ＝12＋1＋12＝2，∴AB BC ＝12＋222＝2＋14. 10.6＋22解析: 如图，连结AC ，过点E 作EN⊥AB 于点N.∵四边形ABCD 与四边形AECF 都是菱形，点E ，F 在BD 上，∠BAD ＝120°，∠EAF ＝30°， ∴∠ABD ＝30°，∠EAC ＝15°，则∠BAE AE ＝2x ，BN ＝NEtan 30°＝3＝45°.∴设AN ＝x ，则NE ＝x ，x ，∴AB AE ＝x ＋3x 2x ＝6＋22.11. 4600 解析:小敏行走的路程为AB ＋AG ＋GE ＝1500＋(AG ＋GE)＝3100(m)，则AG ＋GE ＝1600 m ．小聪行走的路程为BA ＋AD ＋DE ＋EF ＝3000＋(DE ＋EF)．如图，连结CG，在正方形ABCD中，∵点A和点C关于对称轴BD对称，∴AG＝CG.又∵GE⊥CD，GF⊥BC，∠BCD＝90°，∴四边形GECF是矩形，∴CG＝EF.又∵∠CDG ＝45°，∴DE＝GE，∴小聪行走的路程为BA＋AD＋DE＋EF＝3000＋(GE＋AG)＝3 000＋1 600＝4600(m)．12. (1) 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D．∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFD＝90°.又∵BE＝DF，∴△AEB≌△AFD，∴AB＝AD，∴▱ABCD是菱形．(2) 解：如图，连结BD交AC于点O.∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，∴AC⊥BD，AO＝OC＝12AC＝12×6＝3.∵AB＝5，AO＝3，∴BO＝AB2－AO2＝52－32＝4，∴BD＝2BO＝8，∴S▱ABCD＝12·AC·BD＝24.13. （1）证明：在矩形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAF.又∵DF⊥AE，∴∠DFA＝90°，∴∠DFA＝∠B．又∵AD＝EA，∴△ADF≌△EAB，∴DF＝AB．（2）解：∵∠ADF＋∠FDC＝90°，∠DAF＋∠ADF＝90°，∴∠FDC＝∠DAF＝30°，∴AD＝2DF.∵DF＝AB，∴AD＝2AB＝8.14. (1) 证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OD＝OC，∴∠DOG＝∠COE ＝90°，∴∠OEC＋∠OCE＝90°.∵DF⊥CE，∴∠OEC＋∠ODG＝90°，∴∠OCE＝∠ODG，∴△COE≌△DOG，∴OE＝OG.(2) ①证明：∵OG＝OE，∠DOG＝∠COE＝90°，OD＝OC，∴△ODG≌△OCE，∴∠ODG＝∠OCE.②解：设CH＝x.∵四边形ABCD是正方形，AB＝1，∴BH＝1－x，∠DBC＝∠BDC ＝∠ACB＝45°.∵EH⊥BC，∴∠BEH＝∠EBH＝45°，∴EH＝BH＝1－x.∵∠ODG ＝∠OCE，∴∠BDC－∠ODG＝∠ACB－∠OCE，∴∠HDC＝∠ECH.∵EH⊥BC，∴∠EHC＝∠HCD＝90°，∴△CHE∽△DCH，∴EHHC＝HCCD，∴HC2＝EH·CD，∴x2＝(1－x)·1，解得x＝5－12或－5－12(舍去)，∴HC＝5－12.15. (1) 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠FAE＝∠CDE.∵E是AD的中点，∴AE＝DE，又∵∠FEA＝∠CED，∴△FAE≌△CDE，∴CD＝FA．又∵CD∥AF，∴四边形ACDF是平行四边形．(2) 解：BC＝2CD．理由如下：∵CF平分∠BCD，∴∠DCE＝45°.∵∠CDE＝90°，∴△CDE是等腰直角三角形，∴CD＝DE.∵E是AD的中点，∴AD ＝2CD．∵AD＝BC，∴BC＝2CD．16. （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CE，∴∠DAF＝∠EBF.∵AF＝BF，∠AFD＝∠BFE，2019年秋季数学北师大版九年级上册第一章特殊平行四边形单元练习包含答案和部分解析 11 / 11 ∴△AFD ≌△BFE ，∴AD ＝BE.∵AD∥BE，∴四边形AEBD 是平行四边形．又∵BD＝AD ，∴四边形AEBD 是菱形．（2）解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ＝10，AB ∥CD ，∴∠ABE ＝∠DCB，∴tan ∠ABE ＝tan ∠DCB ＝3.∵四边形AEBD 是菱形，∴AB ⊥DE ，AF ＝FB ，EF ＝DF ，∴tan ∠ABE ＝EF BF＝3. ∵BF ＝102，∴EF ＝3102， ∴DE ＝310，∴S 菱形AEBD ＝12·AB·DE＝12×10×310＝15.。

中考数学真题精选专题试卷特殊的平行四边形(含答案解析) (含答案解析)

特殊的平行四边形一．选择题（共19小题）1．（•河北）如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对下列各值：①线段MN的长；②△PAB的周长；③△PMN的面积；④直线MN，AB之间的距离；⑤∠APB 的大小．其中会随点P的移动而变化的是（）A．②③ B．②⑤ C．①③④ D．④⑤考点：三角形中位线定理；平行线之间的距离．分析：根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MN=AB，从而判断出①不变；再根据三角形的周长的定义判断出②是变化的；确定出点P到MN的距离不变，然后根据等底等高的三角形的面积相等确定出③不变；根据平行线间的距离相等判断出④不变；根据角的定义判断出⑤变化．解答：解：∵点A，B为定点，点M，N分别为PA，PB的中点，∴MN是△PAB的中位线，∴MN=AB，即线段MN的长度不变，故①错误；PA、PB的长度随点P的移动而变化，所以，△PAB的周长会随点P的移动而变化，故②正确；∵MN的长度不变，点P到MN的距离等于l与AB的距离的一半，∴△PMN的面积不变，故③错误；直线MN，AB之间的距离不随点P的移动而变化，故④错误；∠APB的大小点P的移动而变化，故⑤正确．综上所述，会随点P的移动而变化的是②⑤．故选B．点评：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等底等高的三角形的面积相等，平行线间的距离的定义，熟记定理是解题的关键．2．（•山西）如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB，BC的中点．若△DBE的周长是6，则△ABC 的周长是（）A．8 B．10 C．12 D．14考点：三角形中位线定理．分析：首先根据点D、E分别是边AB，BC的中点，可得DE是三角形BC的中位线，然后根据三角形中位线定理，可得DE=AC，最后根据三角形周长的含义，判断出△ABC的周长和△DBE的周长的关系，再结合△DBE的周长是6，即可求出△ABC的周长是多少．解答：解：∵点D、E分别是边AB，BC的中点，∴DE是三角形BC的中位线，AB=2BD，BC=2BE，∴DE∥BC且DE=AC，又∵AB=2BD，BC=2BE，∴AB+BC+AC=2（BD+BE+DE），即△ABC的周长是△DBE的周长的2倍，∵△DBE的周长是6，∴△ABC的周长是：6×2=12．故选：C．点评：（1）此题主要考查了三角形中位线定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．（2）此题还考查了三角形的周长和含义的求法，要熟练掌握．3．（•铁岭）如图，点D、E、F分别为△ABC各边中点，下列说法正确的是（）A．DE=DF B．EF=AB C．S△ABD=S△ACD D．AD平分∠BAC考点：三角形中位线定理．分析：根据三角形中位线定理逐项分析即可．解答：解：A、∵点D、E、F分别为△ABC各边中点，∴DE=AC，DF=AB，∵AC≠AB，∴DE≠DF，故该选项错误；B、由A选项的思路可知，B选项错误、C、∵S△ABD=BD•h，S△ACD=CD•h，BD=CD，∴S△ABD=S△ACD，故该选项正确；D、∵BD=CD，AB≠AC，∴AD不平分∠BAC，故选C．点评：本题考查了三角形中位线定理的运用，解题的根据是熟记其定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．4．（•安顺）如图，在▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（）A．3：2 B．3：1 C．1：1 D．1：2考点：平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质．专题：几何图形问题．分析：根据题意得出△DEF∽△BCF，进而得出=，利用点E是边AD的中点得出答案即可．解答：解：∵▱ABCD，故AD∥BC，∴△DEF∽△BCF，∴=，∵点E是边AD的中点，∴AE=DE=AD，∴=．故选：D．点评：此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质等知识，得出△DEF∽△BCF是解题关键．5．（•衢州）如图，在▱ABCD中，已知AD=12cm，AB=8cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则CE的长等于（）A．8cm B．6cm C．4cm D．2cm考点：平行四边形的性质．分析：由平行四边形的性质得出BC=AD=12cm，AD∥BC，得出∠DAE=∠BEA，证出∠BEA=∠BAE，得出BE=AB，即可得出CE的长．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=12cm，AD∥BC，∴∠DAE=∠BEA，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BEA=∠BAE，∴BE=AB=8cm，∴CE=BC﹣BE=4cm；故答案为：C．点评：本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．6．（•玉林）如图，在▱ABCD中，BM是∠ABC的平分线交CD于点M，且MC=2，▱ABCD的周长是在14，则DM等于（）A．1 B． 2 C． 3 D． 4考点：平行四边形的性质．分析：根据BM是∠ABC的平分线和AB∥CD，求出BC=MC=2，根据▱ABCD的周长是14，求出CD=5，得到DM的长．解答：解：∵BM是∠ABC的平分线，∴∠ABM=∠CBM，∵AB∥CD，∴∠ABM=∠BMC，∴∠BMC=∠CBM，∴BC=MC=2，∵▱ABCD的周长是14，∴BC+CD=7，∴CD=5，则DM=CD﹣MC=3，故选：C．点评：本题考查的是平行四边形的性质和角平分线的定义，根据平行四边形的对边相等求出BC+CD 是解题的关键，注意等腰三角形的性质的正确运用．7．（•绥化）如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC=60°，AB=BC，连接OE．下列结论：①∠CAD=30°；②S▱ABCD=AB•AC；③OB=AB；④OE=BC，成立的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．分析：由四边形ABCD是平行四边形，得到∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，根据AE平分∠BAD，得到∠BAE=∠EAD=60°推出△ABE是等边三角形，由于AB=BC，得到AE=BC，得到△ABC是直角三角形，于是得到∠CAD=30°，故①正确；由于AC⊥AB，得到S▱ABCD=AB•AC，故②正确，根据AB=BC，OB=BD，且BD＞BC，得到AB≠OB，故③错误；根据三角形的中位线定理得到OE=AB，于是得到OE=BC，故④正确．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠EAD=60°∴△ABE是等边三角形，∴AE=AB=BE，∵AB=BC，∴AE=BC，∴∠BAC=90°，∴∠CAD=30°，故①正确；∵AC⊥AB，∴S▱ABCD=AB•AC，故②正确，∵AB=BC，OB=BD，∵BD＞BC，∴AB≠OB，故③错误；∵CE=BE，CO=OA，∴OE=AB，∴OE=BC，故④正确．故选C．点评：本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的面积公式，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．8．（•河南）如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若BF=6，AB=5，则AE的长为（）A．4 B． 6 C．8 D．10考点：平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；作图—基本作图．专题：计算题．分析：由基本作图得到AB=AF，加上AO平分∠BAD，则根据等腰三角形的性质得到AO⊥BF，BO=FO=BF=3，再根据平行四边形的性质得AF∥BE，所以∠1=∠3，于是得到∠2=∠3，根据等腰三角形的判定得AB=EB，然后再根据等腰三角形的性质得到AO=OE，最后利用勾股定理计算出AO，从而得到AE的长．解答：解：连结EF，AE与BF交于点O，如图，∵AB=AF，AO平分∠BAD，∴AO⊥BF，BO=FO=BF=3，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AF∥BE，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴AB=EB，而BO⊥AE，∴AO=OE，在Rt△AOB中，AO===4，∴AE=2AO=8．故选C．点评：本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分．也考查了等腰三角形的判定与性质和基本作图．9．（•本溪）如图，▱ABCD的周长为20cm，AE平分∠BAD，若CE=2cm，则AB的长度是（）A．10cm B．8cm C．6cm D．4cm考点：平行四边形的性质．分析：根据平行四边形的性质得出AB=CD，AD=BC，AD∥BC，推出∠DAE=∠BAE，求出∠BAE=∠AEB，推出AB=BE，设AB=CD=xcm，则AD=BC=（x+2）cm，得出方程x+x+2=10，求出方程的解即可．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，AD∥BC，∴∠DAE=∠BAE，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠BAE，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，设AB=CD=xcm，则AD=BC=（x+2）cm，∵▱ABCD的周长为20cm，∴x+x+2=10，解得：x=4，即AB=4cm，故选D．点评：本题考查了平行四边形的在，平行线的性质，等腰三角形的判定的应用，解此题的关键是能推出AB=BE，题目比较好，难度适中．10．（•福建）如图，在▱ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，下列结论错误的是（）A．AB∥CD B．AB=CD C．AC=BD D．OA=OC考点：平行四边形的性质．分析：根据平行四边形的性质推出即可．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，OA=OC，但是AC和BD不一定相等，故选C．点评：本题考查了平行四边形的性质的应用，能熟记平行四边形的性质是解此题的关键，注意：平行四边形的对边相等且平行，平行四边形的对角线互相平分．11．（•陕西）在▱ABCD中，AB=10，BC=14，E，F分别为边BC，AD上的点，若四边形AECF为正方形，则AE的长为（）A．7 B．4或10 C．5或9 D．6或8考点：平行四边形的性质；勾股定理；正方形的性质．专题：分类讨论．分析：设AE的长为x，根据正方形的性质可得BE=14﹣x，根据勾股定理得到关于x的方程，解方程即可得到AE的长．解答：解：如图：设AE的长为x，根据正方形的性质可得BE=14﹣x，在△ABE中，根据勾股定理可得x2+（14﹣x）2=102，解得x1=6，x2=8．故AE的长为6或8．故选：D．点评：考查了平行四边形的性质，正方形的性质，勾股定理，关键是根据勾股定理得到关于AE的方程．12．（•营口）▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠DAC=42°，∠CBD=23°，则∠COD是（）A．61° B．63° C．65° D．67°考点：平行四边形的性质．分析：由平行四边形的性质可知：AD∥BC，进而可得∠DAC=∠BCA，再根据三角形外角和定理即可求出∠COD的度数．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA=42°，∴∠COD=∠CBD+∠BCA=65°，故选C．点评：本题考查了平行四边形的性质以及三角形的外角和定理，题目比较简单，解题的关键是灵活运用平行四边形的性质，将四边形的问题转化为三角形问题．13．（•巴彦淖尔）如图，P为平行四边形ABCD的边AD上的一点，E，F分别为PB，PC的中点，△PEF，△PDC，△PAB的面积分别为S，S1，S2．若S=3，则S1+S2的值为（）A．24 B．12 C．6 D．3考点：平行四边形的性质；三角形中位线定理．分析：过P作PQ平行于DC，由DC与AB平行，得到PQ平行于AB，可得出四边形PQCD与ABQP都为平行四边形，进而确定出△PDC与△PCQ面积相等，△PQB与△ABP面积相等，再由EF为△BPC的中位线，利用中位线定理得到EF为BC的一半，且EF平行于BC，得出△PEF与△PBC 相似，相似比为1：2，面积之比为1：4，求出△PBC的面积，而△PBC面积=△CPQ面积+△PBQ 面积，即为△PDC面积+△PAB面积，即为平行四边形面积的一半，即可求出所求的面积．解答：解：过P作PQ∥DC交BC于点Q，由DC∥AB，得到PQ∥AB，∴四边形PQCD与四边形APQB都为平行四边形，∴△PDC≌△CQP，△ABP≌△QPB，∴S△PDC=S△CQP，S△ABP=S△QPB，∵EF为△PCB的中位线，∴EF∥BC，EF=BC，∴△PEF∽△PBC，且相似比为1：2，∴S△PEF：S△PBC=1：4，S△PEF=3，∴S△PBC=S△CQP+S△QPB=S△PDC+S△ABP=S1+S2=12．故选：B．点评：此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．14．（•常州）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列说法一定正确的是（）A．AO=OD B．AO⊥OD C．AO=OC D．AO⊥AB考点：平行四边形的性质．分析：根据平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分进行判断即可．解答：解：对角线不一定相等，A错误；对角线不一定互相垂直，B错误；对角线互相平分，C正确；对角线与边不一定垂直，D错误．故选：C．点评：本题考查度数平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分是解题的关键．15．（•淄博）如图，在平行四边形ABCD中，∠B=60°，将△ABC沿对角线AC折叠，点B的对应点落在点E处，且点B，A，E在一条直线上，CE交AD于点F，则图中等边三角形共有（）A．4个B．3个C．2个D．1个考点：平行四边形的性质；等边三角形的判定；翻折变换（折叠问题）．分析：根据折叠的性质可得∠E=∠B=60°，进而可证明△BEC是等边三角形，再根据平行四边形的性质可得：AD∥BC，所以可得∠EAF=60°，进而可证明△EFA是等边三角形，由等边三角形的性质可得∠EFA=∠DFC=60°，又因为∠D=∠B=60°，进而可证明△DFC是等边三角形，问题得解．解答：解：∵将△ABC沿对角线AC折叠，点B的对应点落在点E处，∴∠E=∠B=60°，∴△BEC是等边三角形，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠D=∠B=60°，∴∠B=∠EAF=60°，∴△EFA是等边三角形，∵∠EFA=∠DFC=60°，∠D=∠B=60°，∴△DFC是等边三角形，∴图中等边三角形共有3个，故选B．点评：本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质以及等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟记等边三角形的各种判定方法特别是经常用到的判定方法：三个角都相等的三角形是等边三角形．16．（•连云港）已知四边形ABCD，下列说法正确的是（）A．当AD=BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形B．当AD=BC，AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形C．当AC=BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形D．当AC=BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形考点：平行四边形的判定；矩形的判定；正方形的判定．分析：由平行四边形的判定方法得出A不正确、B正确；由矩形和正方形的判定方法得出C、D不正确．解答：解：∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，∴A不正确；∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，∴B正确；∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，∴C不正确；∵对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，∴D不正确；故选：B．点评：本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定、正方形的判定；熟练掌握平行四边形、矩形、正方形的判定方法是解决问题的关键．17．（•台湾）坐标平面上，二次函数y=﹣x2+6x﹣9的图形的顶点为A，且此函数图形与y轴交于B 点．若在此函数图形上取一点C，在x轴上取一点D，使得四边形ABCD为平行四边形，则D点坐标为何？（）A．（6，0）B．（9，0）C．（﹣6，0）D．（﹣9，0）考点：平行四边形的判定；二次函数的性质．分析：首先将二次函数配方求得顶点A的坐标，然后求得抛物线与y轴的交点坐标，根据电C和点B的纵坐标相同求得点C的坐标，从而求得线段BC的长，根据平行四边形的性质求得AD的长即可求得点D的坐标．解答：解：∵y=﹣x2+6x﹣9=﹣（x﹣3）2，∴顶点A的坐标为（3，0），令x=0得到y=﹣9，∴点B的坐标为（0，﹣9），令y=﹣x2+6x﹣9=﹣9，解得：x=0或x=6，∴点C的坐标为（6，﹣9），∴BC=AD=6，∴OD=OA+AD=3+6=9，∴点D的坐标为（9，0），故选B．点评：本题考查了平行四边形的判定、二次函数的性质等知识，主要利用了抛物线与坐标轴交点的求法，平行四边形的对边平行且相等的性质，综合题，但难度不大．18．（•绵阳）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD=90°，BC=4，BE=ED=3，AC=10，则四边形ABCD的面积为（）A．6 B．12 C．20 D．24考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．分析：根据勾股定理，可得EC的长，根据平行四边形的判定，可得四边形ABCD的形状，根据平行四边形的面积公式，可得答案．解答：解：在Rt△BCE中，由勾股定理，得CE===5．∵BE=DE=3，AE=CE=5，∴四边形ABCD是平行四边形．四边形ABCD的面积为BC•BD=4×（3+3）=24，故选：D．点评：本题考查了平行四边形的判定与性质，利用了勾股定理得出CE的长，又利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，最后利用了平行四边形的面积公式．19．（•泰安）如图，∠ACB=90°，D为AB的中点，连接DC并延长到E，使CE=CD，过点B作BF∥DE，与AE的延长线交于点F．若AB=6，则BF的长为（）A．6 B．7 C．8 D．10考点：三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线．分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到CD=AB=3，则结合已知条件CE=CD 可以求得ED=4．然后由三角形中位线定理可以求得BF=2ED=8．解答：解：如图，∵∠ACB=90°，D为AB的中点，AB=6，∴CD=AB=3．又CE=CD，∴CE=1，∴ED=CE+CD=4．又∵BF∥DE，点D是AB的中点，∴ED是△AFB的中位线，∴BF=2ED=8．故选：C．点评：本题考查了三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线．根据已知条件求得ED的长度是解题的关键与难点．二．填空题（共11小题）20．（•泰安）如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM 的中点．若AB=8，AD=12，则四边形ENFM的周长为20．考点：三角形中位线定理；勾股定理；矩形的性质．分析：根据M是边AD的中点，得AM=DM=6，根据勾股定理得出BM=CM=10，再根据E、F分别是线段BM、CM的中点，即可得出EM=FM=5，再根据N是边BC的中点，得出EM=FN，EN=FM，从而得出四边形EN，FM的周长．解答：解：∵M、N分别是边AD、BC的中点，AB=8，AD=12，∴AM=DM=6，∵四边形ABCD为矩形，∴∠A=∠D=90°，∴BM=CM=10，∵E、F分别是线段BM、CM的中点，∴EM=FM=5，∴EN，FN都是△BCM的中位线，∴EN=FN=5，∴四边形ENFM的周长为5+5+5+5=20，故答案为20．点评：本题考查了三角形的中位线，勾股定理以及矩形的性质，是年中考常见的题型，难度不大，比较容易理解．21．（•巴中）如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD、AE分别为△ABC的中线和角平分线，过点C作CH⊥AE于点H，并延长交AB于点F，连结DH，则线段DH的长为1．考点：三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．分析：首先证明△ACF是等腰三角形，则AF=AC=3，HF=CH，则DH是△BCF的中位线，利用三角形的中位线定理即可求解．解答：解：∵AE为△ABC的角平分线，CH⊥AE，∴△ACF是等腰三角形，∴AF=AC，∵AC=3，∴AF=AC=3，HF=CH，∵AD为△ABC的中线，∴DH是△BCF的中位线，∴DH=BF，∵AB=5，∴BF=AB﹣AF=5﹣3=2．∴DH=1，故答案为：1．点评：本题考查了等腰三角形的判定以及三角形的中位线定理，正确证明HF=CH是关键．22．（•盐城）如图，点D、E、F分别是△ABC各边的中点，连接DE、EF、DF．若△ABC的周长为10，则△DEF的周长为5．考点：三角形中位线定理．分析：由于D、E分别是AB、BC的中点，则DE是△ABC的中位线，那么DE=AC，同理有EF=AB，DF=BC，于是易求△DEF的周长．解答：解：如上图所示，∵D、E分别是AB、BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=AC，同理有EF=AB，DF=BC，∴△DEF的周长=（AC+BC+AB）=×10=5．故答案为5．点评：本题考查了三角形中位线定理．解题的关键是根据中位线定理得出边之间的数量关系．23．（•无锡）已知：如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD=BE=6，则AC的长等于．考点：三角形中位线定理；勾股定理．专题：计算题．分析：延长AD至F，使DF=AD，过点F作平行BE与AC延长线交于点G，过点C作CH∥BE，交AF于点H，连接BF，如图所示，在直角三角形AGF中，利用勾股定理求出AG的长，利用SAS 证得△BDF≌△CDA，利用全等三角形对应角相等得到∠ACD=∠BFD，证得AG∥BF，从而证得四边形EBFG是平行四边形，得到FG=BE=6，利用AAS得到三角形BOD与三角形CHD全等，利用全等三角形对应边相等得到OD=DH=3，得出AH=9，然后根据△AHC∽△AFG，对应边成比例即可求得AC．解答：解：延长AD至F，使DF=AD，过点F作FG∥BE与AC延长线交于点G，过点C作CH∥BE，交AF于点H，连接BF，如图所示，在Rt△AFG中，AF=2AD=12，FG=BE=6，根据勾股定理得：AG==6，在△BDF和△CDA中，∴△BDF≌△CDA（SAS），∴∠ACD=∠BFD，∴AG∥BF，∴四边形EBFG是平行四边形，∴FG=BE=6，在△BOD和△CHD中，，∴△BOD≌△CHD（AAS），∴OD=DH=3，∵CH∥FG，∴△AHC∽△AFG，∴=，即=，解得：AC=，故答案为：点评：本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，平行四边形的判定和性质以及勾股定理的应用，作出辅助线构建直角三角形和平行四边形是解题的关键．24．（•宿迁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点．若CD=5，则EF的长为5．考点：三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线．分析：已知CD是Rt△ABC斜边AB的中线，那么AB=2CD；EF是△ABC的中位线，则EF应等于AB的一半．解答：解：∵△ABC是直角三角形，CD是斜边的中线，∴CD=AB，又∵EF是△ABC的中位线，∴AB=2CD=2×5=10cm，∴EF=×10=5cm．故答案为：5．点评：此题主要考查了三角形中位线定理以及直角三角形斜边上的中线等知识，用到的知识点为：（1）直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；（2）三角形的中位线等于对应边的一半．25．（•广州）如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB 上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为3．考点：三角形中位线定理；勾股定理．专题：动点型．分析：根据三角形的中位线定理得出EF=DN，从而可知DN最大时，EF最大，因为N与B重合时DN最大，此时根据勾股定理求得DN=DB=6，从而求得EF的最大值为3．解答：解：∵ED=EM，MF=FN，∴EF=DN，∴DN最大时，EF最大，∵N与B重合时DN最大，此时DN=DB==6，∴EF的最大值为3．故答案为3．点评：本题考查了三角形中位线定理，勾股定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键．26．（•云南）如图，在△ABC中，BC=1，点P1，M1分别是AB，AC边的中点，点P2，M2分别是AP1，AM1的中点，点P3，M3分别是AP2，AM2的中点，按这样的规律下去，P n M n的长为（n 为正整数）．考点：三角形中位线定理．专题：规律型．分析：根据中位线的定理得出规律解答即可．解答：解：在△ABC中，BC=1，点P1，M1分别是AB，AC边的中点，点P2，M2分别是AP1，AM1的中点，点P3，M3分别是AP2，AM2的中点，可得：P1M1=，P2M2=，故P n M n=，故答案为：点评：此题考查三角形中位线定理，关键是根据中位线得出规律进行解答．27．（•珠海）如图，在△A1B1C1中，已知A1B1=7，B1C1=4，A1C1=5，依次连接△A1B1C1三边中点，得△A2B2C2，再依次连接△A2B2C2的三边中点得△A3B3C3，…，则△A5B5C5的周长为1．考点：三角形中位线定理．专题：规律型．分析：由三角形的中位线定理得：A2B2、B2C2、C2A2分别等于A1B1、B1C1、C1A1的一半，所以△A2B2C2的周长等于△A1B1C1的周长的一半，以此类推可求出△A5B5C5的周长为△A1B1C1的周长的．解答：解：∵A2B2、B2C2、C2A2分别等于A1B1、B1C1、C1A1的一半，∴以此类推：△A5B5C5的周长为△A1B1C1的周长的，∴则△A5B5C5的周长为（7+4+5）÷16=1．故答案为：1点评：本题主要考查了三角形的中位线定理，关键是根据三角形的中位线定理得：A2B2、B2C2、C2A2分别等于A1B1、B1C1、C1A1的一半，所以△A2B2C2的周长等于△A1B1C1的周长的一半．28．（•衢州）如图，小聪与小慧玩跷跷板，跷跷板支架高EF为0.6米，E是AB的中点，那么小聪能将小慧翘起的最大高度BC等于 1.2米．考点：三角形中位线定理．专题：应用题．分析：先求出F为AC的中点，根据三角形的中位线求出BC=2EF，代入求出即可．解答：解：∵EF⊥AC，BC⊥AC，∴EF∥BC，∵E是AB的中点，∴F为AC的中点，∴BC=2EF，∵EF=0.6米，∴BC=1.2米，故答案为：1.2．点评：本题考查了三角形的中位线性质，平行线的性质和判定的应用，解此题的关键是求出BC=2EF，注意：垂直于同一直线的两直线平行．29．（•昆明）如图，在△ABC中，AB=8，点D、E分别是BC、CA的中点，连接DE，则DE=4．考点：三角形中位线定理．分析：根据三角形的中位线等于第三边的一半即可得出DE=AB=4．解答：解：∵在△ABC中，点D、E分别是BC、CA的中点，AB=8，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=AB=×8=4．故答案为4．点评：本题考查了三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．30．（•陕西）如图，AB是⊙O的弦，AB=6，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°．若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是3．考点：三角形中位线定理；等腰直角三角形；圆周角定理．分析：根据中位线定理得到MN的最大时，AC最大，当AC最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．解答：解：∵点M，N分别是AB，BC的中点，∴MN=AC，∴当AC取得最大值时，MN就取得最大值，当AC时直径时，最大，如图，∵∠ACB=∠D=45°，AB=6，∴AD=6，∴MN=AD=3故答案为：3．点评：本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及圆周角定理，解题的关键是了解当什么时候MN的值最大，难度不大．1．（•苏州）如图，在△ABC中，CD是高，CE是中线，CE=CB，点A、D关于点F对称，过点F 作FG∥CD，交AC边于点G，连接GE．若AC=18，BC=12，则△CEG的周长为27．考点：三角形中位线定理；等腰三角形的性质；轴对称的性质．分析：先根据点A、D关于点F对称可知点F是AD的中点，再由CD⊥AB，FG∥CD可知FG是△ACD的中位线，故可得出CG的长，再根据点E是AB的中点可知GE是△ABC的中位线，故可得出GE的长，由此可得出结论．解答：解：∵点A、D关于点F对称，∴点F是AD的中点．∵CD⊥AB，FG∥CD，∴FG是△ACD的中位线，AC=18，BC=12，∴CG=AC=9．∵点E是AB的中点，∴GE是△ABC的中位线，∵CE=CB=12，∴GE=BC=6，∴△CEG的周长=CG+GE+CE=9+6+12=27．故答案为：27．点评：本题考查的是三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解答此题的关键．2．（•铜仁市）如图，∠ACB=9O°，D为AB中点，连接DC并延长到点E，使CE=CD，过点B作BF∥DE交AE的延长线于点F．若BF=10，则AB的长为8．考点：三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线．分析：先根据点D是AB的中点，BF∥DE可知DE是△ABF的中位线，故可得出DE的长，根据CE=CD可得出CD的长，再根据直角三角形的性质即可得出结论．解答：解：∵点D是AB的中点，BF∥DE，∴DE是△ABF的中位线．∵BF=10，∴DE=BF=5．∵CE=CD，∴CD=5，解得CD=4．∵△ABC是直角三角形，∴AB=2CD=8．故答案为：8．点评：本题考查的是三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解答此题的关键．3．（•淮安）如图，A，B两地被一座小山阻隔，为测量A，B两地之间的距离，在地面上选一点C，连接CA，CB，分别取CA，CB的中点D、E，测得DE的长度为360米，则A、B两地之间的距离是720米．考点：三角形中位线定理．专题：应用题．分析：首先根据D、E分别是CA，CB的中点，可得DE是△ABC的中位线，然后根据三角形的中位线定理，可得DE∥AB，且DE=，再根据DE的长度为360米，求出A、B两地之间的距离是多少米即可．解答：解：∵D、E分别是CA，CB的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，且DE=，∵DE=360（米），∴AB=360×2=720（米）．即A、B两地之间的距离是720米．故答案为：720．点评：此题主要考查了三角形中位线定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．4．（•梅州）如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，BC=6，DE=2，则▱ABCD的周长等于20．考点：平行四边形的性质．分析：根据四边形ABCD为平行四边形可得AE∥BC，根据平行线的性质和角平分线的性质可得出∠ABE=∠AEB，继而可得AB=AE，然后根据已知可求得结果．解答：解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AE∥BC，AD=BC，AD=BC，∴∠AEB=∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE，∴AE+DE=AD=BC=6，∴AE+2=6，∴AE=4，∴AB=CD=4，∴▱ABCD的周长=4+4+6+6=20，故答案为：20．点评：本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是根据平行线的性质和角平分线的性质得出∠ABE=∠AEB．5．（•大连）如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，AB=10cm，AD=8cm，AC⊥BC，则OB=cm．考点：平行四边形的性质；勾股定理．分析：由平行四边形的性质得出BC=AD=8cm，OA=OC=AC，由勾股定理求出AC，得出OC，再由勾股定理求出OB即可．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=8cm，OA=OC=AC，∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，∴AC===6，。

人教版-数学-八年级下册特殊的平行四边形教材习题解析

特殊的平行四边形教材习题解析1．解析：本题主要考查利用对角线相等的平行四边形是矩形这个判断定理．答案是：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，BO＝DO．又∵∠1＝∠2，∴BO＝CO．则BD＝AC．∴平行四边形ABCD是矩形．2．解析：本题主要考查另一种判断矩形的方法．答案是：解：由于四边形的内角和为360°，四个角又都相等，所以它的四个角都是直角．因此这个四边形是矩形．3．解析：本题主要考查一个角是直角的平行四边形是矩形这个判断定理．答案是：解：能，在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯两次，这时他得到的是一个角为直角的平行四边形，即矩形．4．解析：本题主要考查直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半．答案是：解：取AB的中点D并连接CD，则．又∵AB＝2AC，∴AC＝AD＝CD．则△ABC是等边三角形．∴∠A＝60°．∴∠A＝30°．5．解析：本题主要考查学生综合运用菱形的概念和性质的能力．答案是：解:∵四边形ABCD是菱形，∠ACD＝30°，∴∠BAD＝∠BCD＝2∠ACD＝60°，∠ABC＝120°．而BD＝6，∴．6．解析：本题主要考查学生运用菱形判断定理的能力，可以选择不同的判定方法．答案是：解：∵ BD平分∠ABC，AE∥BF，∴∠ABD＝∠ADB．∴AB＝AD同理AB＝BC．∴AD＝BC．而AE∥BF，∴四边形ABCD是平行四边形．∴四边形ABCD是菱形．7．解析：本题主要考查学生一定的想象能力，并综合运用正方形的性质．答案是：解：把一个长方形纸片对折后，它就成了一个轴对称图形，而要得到一个正方形，即要得到一个直角，所以剪口与折痕应成45°角．8．解析：本题主要考查学生综合运用矩形的性质和判定以及正方形的性质的能力．答案是：解：矩形，它的四个角都是直角．9．解析：本题主要考查学生综合运用直角三角形的性质．答案是：解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB与点D，∴∠BCD＝∠A．又∵E是斜边AB的中点，∴AE＝CE．∴∠A＝∠ECA．∴∠A＝∠ECA＝∠BCD．又∵∠ACD＝3∠BCD，∴∠A＝∠ECA＝∠BCD＝22.5°．∴∠ECD＝45°．10．解析：本题主要考查学生运用一组邻边相等的平行四边形式菱形的判定，在保持位置关系和数量关系不变的前提下，这个图形也可以动起来．答案是：解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC＝AB＝CD．又∵MG∥AD，NF∥AB，∴四边形AMEN，EFCG，BCGM，DCFN是平行四边形．∵BM＝DN，∴AM＝AN，FC＝CG则四边形AMEN，EFCG是菱形．11．解析：本题主要考查学生运用菱形的性质的计算题．答案是：解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，AC⊥DB，∴AO＝4，BO＝3．∴AB＝5．则有AB·DH＝2AO·OD，得DH＝4.8．12．解析：本题主要考查学生在平面直角坐标系中，通过确定顶点的坐标，考查矩形、菱形和正方形的性质．答案是：解：（1）C（b，d）；(2)A（－c，０），B（0，－d）；（3）B（d，0），C（d，d）．13．解析：本题主要考查学生正方形的判定，且只要保持题目中所给的条件不变，四边形EFMN始终是正方形．答案是：解：EFMN是正方形．证明如下：∵四边形ABCD是正方形，且AE=BF=CM=DN，∴EB=FC=MD=NA．∴三角形AEN，BFE，CMF，DNM是全等三角形．∴EF=FM=MN=NE，∠BEF=∠ANE．又∵∠ANE+∠AEN=90°，∴∠AEN+∠BEF=90°．∴∠NEF＝90°．∴四边形EFMN是正方形．14．解析：本题主要考查学生动手操作能力．答案是：解：可以分别以AD，AB（AC），BD（CD）为四边形的一条对角线，得到3中平行四边形，它们的对角线长分别为h，（或）；m，m；n，（或）．15．解析：本题主要考查学生综合运用正方形的性质和全等三角形．答案是：解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠BAF +∠DAE＝90°．又∵DE⊥AG，BF∥DE，∴△ABF，△DAE是直角三角形．∴∠BAF＝∠ADE，∠DAE＝∠ABF．∴△ADE≌△BAF．∴AE＝BF．则AF－BF＝EF．16．解析：本题主要考查学生平行四边形的性质和三角形中位线的知识．答案是：解：BO ＝2OD；取BO，CO的中点M，N连接ED，MN，EM，DN，则可知ED为△ABC的中位线，所以ED平行且等于BC的一半；同理MN为△OBC的中位线，所以MN平行且等于BC的一半．所以ED平行且等于MN．所以四边形EDNM为平行四边形．所以MO＝OD，所以BO＝2OD．设BC边上的中线和BD相交于点O′，可知B O′＝2O′D，从而O与O′重合．17．解析：本题主要考查学生综合运用正方形的性质和三角形全等的知识．答案是：解：分法有无数种．只要保持两条小路相互垂直，并且都过正方形的中心即可．。

特殊平行四边形习题(含答案)

特殊平行四边形一、选择题1.如图,在菱形ABCD中,AB=5,∠BCD=120°,则∠ABC的周长等于( )A.20B.15C.10D.5答案 B ∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC,AB∠CD,∴∠B+∠BCD=180°,∴∠B=180°-∠BCD=180°-120°=60°,∴∠ABC是等边三角形,故∠ABC的周长=3AB=15.2.如图,四边形ABCD的对角线互相平分,要使它变为矩形,需要添加的条件是( )A.AB=CDB.AD=BCC.AC=BDD.AB=BC答案 C 可添加AC=BD,∵四边形ABCD的对角线互相平分,∴四边形ABCD是平行四边形,∵AC=BD,∴平行四边形ABCD是矩形,故选C.3.已知:如图,菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,OE∠DC交BC于点E,AD=6cm,则OE 的长为( )12A.6 cmB.4 cmC.3 cmD.2 cm答案 C 因为菱形的四条边相等且对角线互相垂直平分,所以可以由OE ∠DC 证得点E 是BC 的中点,此时利用三角形的中位线或直角三角形斜边上中线的性质都可以求得OE 的长为3 cm.4.如图,在菱形ABCD 中,AB=8,点E 、F 分别在AB 、AD 上,且AE=AF,过点E 作EG ∠AD 交CD 于点G,过点F 作FH ∠AB 交BC 于点H,EG 与FH 交于点O.当四边形AEOF 与四边形CGOH 的周长之差为12时,AE 的值为( )A.6.5B.6C.5.5D.5 答案 C 设AE=x,则EB=8-x,∵四边形ABCD 是菱形,AE=AF,EG ∠AD,FH ∠AB, ∴四边形AEOF 和四边形OHCG 都是菱形. ∵四边形AEOF 与四边形CGOH 的周长之差为12, ∴4x -4(8-x)=12,解得x=5.5.故选C.5.如图,将一个长为10 cm,宽为8 cm 的矩形纸片先按照从左向右对折,再按照从下向上的方向对折两次后,沿所得矩形两邻边中点的连线(虚线)剪下(如图1-4-5①),再打开,得到如图1-4-5②所示的小菱形的面积为( )A.10 cm 2B.20 cm 2C.40 cm 2D.80 cm 2答案 A 由题意可得AC=5 cm, BD=4 cm,故小菱形的面积为12×4×5=10(cm 2).故选A. 6.如图,正方形ABCD 中,E 、F 是对角线AC 上两点,连接BE 、BF 、DE 、DF,则添加下列条3件:①∠ABE=∠CBF;②AE=CF;③AB=AF;④BE=BF.可以判定四边形BEDF 是菱形的条件有( )A.1个B.2个C.3个D.4个答案 C 连接BD,交AC 于点O,在正方形ABCD 中,AB=BC,∠BAC=∠ACB,AC ∠BD,OB=OD,① 在∠ABE 与∠CBF 中,{∠BAE =∠FCB,AB =BC,∠ABE =∠CBF,∴∠ABE ∠∠CBF(ASA),∴AE=CF,∵OA=OC,∴OE=OF,又∵AC ∠BD,∴四边形BEDF 是菱形,故①正确.②正方形ABCD 中,OA=OB=OC=OD,∵AE=CF,∴OE=OF,又EF ∠BD,BO=OD,∴四边形BEDF 是菱形,故②正确.③由AB=AF 不能推出四边形BEDF 其他边的关系,故不能判定它是菱形,故③错误.④在正方形ABCD 中,OA=OC=OB=OD,AC ∠BD,∵BE=BF,EF ∠BD,∴OE=OF,∴四边形BEDF 是菱形,故④正确.故选C. 7.如图所示,在菱形ABCD 中,BE ∠AD,BF ∠CD,E 、F 为垂足,AE=ED,则∠EBF 等于( )A.75°B.60°C.50°D.45°答案 B 连接BD.因为BE ∠AD,AE=ED,所以AB=BD.又因为AB=AD,所以∠ABD 是等边三角形,所以∠A=60°,所以∠ADC=120°.在四边形BEDF中,∠EBF=360°-∠BED-∠BFD-∠ADC=360°-90°-90°-120°=60°,故选B.8.如图所示,矩形纸片ABCD 中,AB=6 cm, BC=8 cm,现将其沿EF 对折,使得点C 与点A 重合,则AF 长为( )4A .258 cm B.254 cm C.252 cm D.8 cm答案 B 设AF=x cm,则D'F=DF=(8-x)cm,在Rt ∠AFD'中,(8-x)2+62=x 2,解得x=254.9.如图所示,把一个长方形的纸片对折两次,然后剪下一个角,为了得到一个钝角为120°的菱形,剪口与第二次折痕所成角的度数应为( )A.15°或30°B.30°或45°C.45°或60°D.30°或60° 答案 D 画出所剪的图形示意图如图.∵四边形ABCD 是菱形,∴∠ABD=12∠ABC,∠BAC=12∠BAD,AD ∠BC,∵∠BAD=120°,∴∠ABC=180°-∠BAD=180°-120°=60°, ∴∠ABD=30°,∠BAC=60°.∴剪口与第二次折痕所成的角的度数应为30°或60°.故选D.10.如图,E 、F 分别是正方形ABCD 的边CD 、AD 上的点,且CE=DF,AE 、BF 相交于点O,下列结论:(1)AE=BF;(2)AE ∠BF;(3)AO=OE;(4)S ∠AOB =S 四边形DEOF ,其中正确的有( )5A.4个B.3个C.2个D.1个答案 B ∵四边形ABCD 为正方形,∴AB=AD=DC,∠D=∠BAD=90°, ∵CE=DF,∴DE=AF,∴∠DEA ∠∠AFB,∴AE=BF,∠DEA=∠AFB,又∠DEA+∠DAE=90°,∴∠AFB+∠DAE=90°,∴∠AOF=90°,即AE ∠BF. 由∠DEA ∠∠AFB 得S ∠DEA =S ∠AFB ,∴S ∠DEA -S ∠AOF =S ∠AFB -S ∠AOF ,∴S ∠AOB =S 四边形DEOF , 所以正确的是(1)(2)(4),共3个,故选B. 二、填空题11.如图,菱形ABCD 中,对角线AC 、BD 相交于点O,不添加任何辅助线,请添加一个条件 ,使四边形ABCD 是正方形(填一个即可).答案 AC=BD(答案不唯一)12.如图,O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点,M 是AD 的中点,若AB=5,AD=12,则四边形ABOM 的周长为 .答案 20解析在Rt ∠ABC 中,由勾股定理易得AC=13,由矩形的性质得AO=BO=12AC=132,而OM 是∠ACD 的中位线,所以OM=12CD=52,所以四边形ABOM 的周长为AB+BO+OM+AM=5+132+52+6=20.13.如图,已知矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,若AO=1,那么BD= .答案2解析∵在矩形ABCD中,AC与BD相交于点O,AO=1,∴AO=CO=BO=DO=1,∴BD=2.14.如图,在矩形ABCD中,AB=3,对角线AC,BD相交于点O,AE垂直平分OB于点E,则AD的长为.答案3√3解析∵AE垂直平分OB,AB=3,∴AB=AO=3,∵四边形ABCD是矩形,∴BO=AO=3,∴BD=2BO=6,∴AD=√BD2-AB2=√62-32=3√3.15.如图,两个完全相同的三角尺ABC和DEF在直线l上滑动.要使四边形CBFE为菱形,还需添加的一个条件是(写出一个即可).答案CB=BF(或BE∠CF或∠EBF=60°或BD=BF等,答案不唯一)解析由已知得CB∠EF,CB=EF,∴四边形CBFE是平行四边形.因此可以添加CB=BF;BE∠CF;∠EBF=60°;BD=BF等,都能说明四边形CBFE是菱形.16.如图,正方形ABCO的顶点C,A分别在x轴,y轴上,BC是菱形BDCE的对角线,若∠D=60°,BC=2,则点D的坐标是.67答案 (2+√3,1)解析过点D 作DF ∠x 轴,垂足为F,在正方形ABCO 中,∠BCO=90°,所以∠BCF=90°,在菱形BDCE 中,BD=DC,又因为∠D=60°,所以∠BCD 是等边三角形,因为BC=2,所以CD=2,又∠BCD=60°,所以∠DCF=30°,在Rt ∠DCF 中,因为∠DCF=30°,CD=2,所以DF=12CD=1,由勾股定理得CF=√3,所以OF=OC+CF=2+√3,所以点D 的坐标为(2+√3,1).17.如图，菱形ABCD 的面积为120 cm 2,正方形AECF 的面积为50 cm 2,则菱形的边长为 cm.答案 13解析连接BE,EF,FD,AC,∵菱形、正方形为轴对称图形,对角线所在直线是其对称轴,∴B,E,F,D 在同一条直线上, ∵S 正方形AECF =12AC ·EF=12AC 2=50 cm 2, ∴AC=10 cm,∵S 菱形ABCD =12AC ·BD=120 cm 2, ∴BD=24 cm. 设AC,BD的交点为O,由菱形的性质可得AC ∠BD,AO=5 cm,OB=12cm,∴AB=√OA 2+OB 2=√52+122=13 cm.18.如图,在菱形ABCD 中,∠BAD=120°,点E 、F 分别在边AB 、BC 上,∠BEF 与∠GEF 关于直线EF8对称,点B 的对称点是点G,且点G 在边AD 上.若EG ∠AC,AB=6√2,则FG 的长为 .答案 3√6解析设AC 与EG 相交于点O, ∵四边形ABCD 是菱形,∠BAD=120°, ∴∠EAC=∠DAC=60°,∠B=60°,AB=BC. ∴∠ABC 是等边三角形.又∵AB=6√2,∴∠ABC 的面积为18√3. ∴菱形ABCD 的面积为36√3, ∵EG ∠AC,∴∠AOE=∠AOG=90°. ∴∠AGE=90°-60°=30°.∵∠BEF 与∠GEF 关于直线EF 对称,点B 的对称点是点G, ∴∠EGF=∠B=60°,∴∠AGF=∠EGF+∠AGE=90°. ∴FG ∠AD, ∴FG=S 菱形ABCD AD =√36√2=3√6.三、解答题19.如图,在菱形ABCD 中,对角线AC 、BD 相交于点O,过点D 作对角线BD 的垂线交BA 的延长线于点E.(1)证明:四边形ACDE 是平行四边形;(2)若AC=8,BD=6,求∠ADE 的周长.答案(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,∴AB∠CD,AC∠BD,∴AE∠CD,∠AOB=90°,又∵DE∠BD,即∠EDB=90°,∴∠AOB=∠EDB.∴DE∠AC.∴四边形ACDE是平行四边形.(2)∵四边形ABCD是菱形,AC=8,BD=6,∴AO=4,DO=3,∴AD=CD=√AO2+DO2=5.又∵四边形ACDE是平行四边形,∴AE=CD=5,DE=AC=8.∴∠ADE的周长为AD+AE+DE=5+5+8=18.20.如图,在∠ABC中,∠BAC=90°,AD是中线,E是AD的中点,过点A作AF∠BC交BE的延长线于F,连接CF.(1)求证:AD=AF;(2)如果AB=AC,试判断四边形ADCF的形状,并证明你的结论.答案(1)证明:∵AF∠BC,∴∠EAF=∠EDB,∵E是AD的中点,∴AE=DE,在∠AEF和∠DEB中,{∠EAF=∠EDB, AE=DE,∠AEF=∠DEB,9∴∠AEF∠∠DEB(ASA),∴AF=BD,∵在∠ABC中,∠BAC=90°,AD是中线,∴AD=BD=DC=12BC,∴AD=AF.(2)四边形ADCF是正方形.∵AF=BD=DC,AF∠BC,∴四边形ADCF是平行四边形,∵AB=AC,AD是中线,∴AD∠BC,∵AD=AF,∴四边形ADCF是正方形.21.如图,在正方形ABCD中,点E、F分别在边AB、BC上,∠ADE=∠CDF.(1)求证:AE=CF;(2)连接DB交EF于点O,延长OB至点G,使OG=OD,连接EG、FG,判断四边形DEGF是否为菱形,并说明理由.答案(1)证明:在正方形ABCD中,AD=CD,∠A=∠C=90°,在∠ADE和∠CDF中,{∠ADE=∠CDF, AD=CD,∠A=∠C=90°,∴∠ADE∠∠CDF(ASA),∴AE=CF.(2)四边形DEGF是菱形.理由如下:在正方形ABCD中,AB=BC,∵AE=CF,1011∴AB -AE=BC-CF,即BE=BF,∴BD 垂直平分EF,∴OE=OF,又∵OG=OD,∴四边形DEGF 为平行四边形,∵∠ADE ∠∠CDF,∴DE=DF,∴四边形DEGF 是菱形.22.如图,AB ∠CD,点E 、F 分别在AB 、CD 上,连接EF.∠AEF 、∠CFE 的平分线交于点G,∠BEF 、∠DFE 的平分线交于点H.(1)求证:四边形EGFH 是矩形;(2)小明在完成(1)的证明后继续进行了探索.过G 作MN ∠EF,分别交AB 、CD 于点M 、N,过H 作PQ ∠EF,分别交AB 、CD 于点P 、Q,得到四边形MNQP.此时,他猜想四边形MNQP 是菱形.请在下列框图中补全他的证明思路.答案 (1)证明:∵EH 平分∠BEF,∴∠FEH=12∠BEF.∵FH 平分∠DFE,∴∠EFH=12∠DFE.12∵AB ∠CD,∴∠BEF+∠DFE=180°,∴∠FEH+∠EFH=12(∠BEF+∠DFE)=12×180°=90°,又∠FEH+∠EFH+∠EHF=180°,∴∠EHF=180°-(∠FEH+∠EFH)=180°-90°=90°.同理可证,∠EGF=90°.∵EG 平分∠AEF,∴∠FEG=12∠AEF.∵EH 平分∠BEF,∴∠FEH=12∠BEF.∵点A 、E 、B 在同一条直线上,∴∠AEB=180°,即∠AEF+∠BEF=180°.∴∠FEG+∠FEH=12(∠AEF+∠BEF)=12×180°=90°,即∠GEH=90°.∴四边形EGFH 是矩形.(2)本题答案不唯一,下面答案供参考.例如,FG 平分∠CFE;GE=FH;∠GME=∠FQH;∠GEF=∠EFH.23.已知E,F 分别为正方形ABCD 的边BC,CD 上的点,AF,DE 相交于点G,当E,F 分别为边BC,CD 的中点时,有:①AF=DE;②AF ∠DE 成立.试探究下列问题:(1)如图①,若点E 不是边BC 的中点,F 不是边CD 的中点,且CE=DF,上述结论①,②是否仍然成立?(请直接回答“成立”或“不成立”,不需要证明)(2)如图②,若点E,F 分别在CB 的延长线和DC 的延长线上,且CE=DF,此时,上述结论①,②是否仍然成立?若成立,请写出证明过程,若不成立,请说明理由;(3)如图③,在(2)的基础上,连接AE 和EF,若点M,N,P,Q 分别为AE,EF,FD,AD 的中点,请判断四边形MNPQ 是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种,并证明你的结论.13答案 (1)成立.(2)仍然成立.证明:∵四边形ABCD 为正方形,∴AD=DC,∠BCD=∠ADC=90°.在∠ADF 和∠DCE 中,{DF =CE,∠ADF =∠DCE =90°,AD =DC,∴∠ADF ∠∠DCE(SAS),∴AF=DE,∠FAD=∠EDC,∵∠ADG+∠EDC=90°,∴∠ADG+∠DAF=90°,∴∠AGD=90°,即AF ∠DE.(3)四边形MNPQ 是正方形.证明:如图,设MQ,DE 分别交AF 于点G,O,PQ 交DE 于点H,∵点M,N,P,Q 分别为AE,EF,FD,AD 的中点,∴MQ=PN=12DE,PQ=MN=12AF,MQ ∠DE,PQ ∠AF,∴四边形OHQG是平行四边形,∵AF=DE,∴MQ=PQ=PN=MN,∴四边形MNPQ是菱形,∵AF∠DE,∴∠AOD=90°,∴∠HQG=∠AOD=90°,∴四边形MNPQ是正方形.14。

北师九上3.2特殊的平行四边形同步练习

3。

2特殊平行四边形(时间100分钟满分：100分)教材跟踪训练（一）填空题（共16分)1。

(2分）矩形除了具备平行四边形的性质外，还有一些特殊性质：四个角 ,对角线。

2.（1分）在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若100∠=，AOB 则OAB∠=。

3.（1分）已知菱形一个内角为120，且平分这个内角的一条对角线长为8cm,则这个菱形的周长为 .4.(3分)矩形的两条对角线把这个矩形分成了四个三角形.菱形的两条对角线把这个菱形分成了四个三角形。

正方形的两条对角线把这个正方形分成了四个三角形。

5.（2分）如图，把两个大小完全相同的矩形拼成“L”型图案，则∠=。

∠= ,FCAFAC6.(2分)正方形的边长为a，则它的对角线长，若正方形的对角线长为b,它的边长为。

7.(1分）边长为a的正方形,在一个角剪掉一个边长为的b正方形，则所剩余图形的周长为。

8.（4分）顺次连接四边形各边中点，所得的图形是。

顺次连接对角线的四边形的各边中点所得的图形是矩形。

顺次连接对角线的四边形的各边中点所得的四边形是菱形.顺次连接对角线的四边形的各边中点所得的四边形是正方形。

（二）选择题（每小题2分,共14分)1。

正方形具备而菱形不具备的性质是(）A.对角线互相平分B.对角线互相垂直 C。

对角线相等 D。

每条对角线平分一组对角2。

下列命题是真命题的是（）A.有一个角是直角的四边形是矩形 B。

有一组邻边相等的四边形是菱形C. 有三个角是直角的四边形是矩形D. 有三条边相等的四边形是菱形3.从菱形的钝角顶点,向对角的两边条垂线，垂足恰好在该边的中点,则菱形的内角中钝角的度数是（）A.150B. 135C. 120 D 。

1004.顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形,则下列四边形满足条件的是(）①平行四边形 ②菱形 ③等腰梯形 ④对角线互相垂直的四边形A.①③ B 。

②③ C 。

③④ D.②④5.在平行四边形、菱形、矩形、正方形中,能够找到一个点,使该点到各顶点距离相等的图形是（）A 。

沪教版上海八年级下册数学 223 特殊的平行四边形同步练习包含答案

同步练习 22.3 特殊的平行四边形选择题一.( )1.下列关于矩形的说法中正确的是 B．对角线互相平分的四边形是矩形A．对角线相等的四边形是矩形 D．矩形的对角线相等且互相平分C．矩形的对角线互相垂直且平分cmcm 2.矩形一个角的平分线分矩形一边为和3）两部分，则它的面积为（ 122222cmcmcmcmcm或A.312D. 4B. 4C. 12cm（）两条对角线的长度比为3：4，403．已知菱形的周长为那么两条对角线的长分别为，cmcmcmcmcmcmcmcm A．6，832 B. 3 D. 24，4 C. 12，，16 ）＝O4.如图，菱形ABCD中对角线交于点，且OE⊥AB，若AC＝8，BD6，则,OE的长是（ 2.4 D．不确定A．2.5 B．5 C．P15.如图，E是边长为的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，）RQ，PR⊥BE于点，则PQ+PR的值是（于点为CE上任意一点，PQ⊥BC312 D. B.A C.223面积为ABCD＝ADDC，∠ADC＝∠ABC＝90°，DE⊥AB，若四边形6. 如图，四边形ABCD中，，则DE的长为（ 16）A．3 B．2 C．4 D．8二.填空题42，BC=12，∠ABC=45°， AB=ABCD7．如图四边形中，．BD= ，则AD=CD°，ADC=90∠．，、F，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E，8．如图，矩形ABCD中，AB＝2BC＝3 ．CE 连结，则CE的长______cm的面积为且DE⊥AB，则菱形ABCD9．如图，菱形ABCD的边长是2E，是AB中点，2cm.______cm1∶2，则菱形的两条对角线的长的周长为20，且相邻两内角之比是10．已知菱形ABCD ．和面积分别是11.如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O、O是其中两个正方形的中心，则阴影21部分的面积是_______．l，l，l，l是一组平行线，相邻2条平行线间的距离都是条直线12. 如图，平面内414213个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A、B、C、D都在这些平行线上，其中点Ａ、Ｃ分ll上，该正方形的面积是平方单位．和别在直线41解答题三. DE=BC，且∠BAD=∠CAE．AD=AE．如图，AB=AC，，13 1）求证：△ABE≌△ACD；（ BCDE 是矩形．（2）求证：四边形，分别交BD 作直线EF ⊥，过点AC 、BD 相交于OO 如图，在平行四边形14.ABCD 中，对角线. 是菱形F ，求证：四边形BEDFAD 、BC 于点E 和点Q ．交AC 于点B 在AB 上从A 向运动，连结DP 中，在边长为15．如图，4的正方形ABCD 点P；≌△ABQAB 试证明：无论点P 运动到上何处时，都有△ADQ(1)1；的面积是正方形ABCD 面积的上运动到什么位置时，△当点(2)P 在ABADQ 6(3)若点P 从点A 运动到点B ，再继续在BC 上运动到点C ，在整个运动过程中，当点P 运动到什么位置时，△ADQ 恰为等腰三角形．参考答案选择题一. ；1.【答案】D ；2.【答案】D3. 3，也可能是，所以面积为4×1或4× 【解析】矩形的短边可能是1 3.【答案】C ；22????2kk 6,810?3k 4?k 2k ?，所以两条，∴【解析】设两条对角线的长为.所以有16.对角线的长为12 ， 4.【答案】C ； S=24，【解析】在菱形ABCD 中，AC ⊥BD ，∴AO=4，BO=3，ABCD菱形1211 ．，∴EO=4，∴5EO ＝×3AB ·∴AB=5，S=6EO=AO ·，∵BO AOB △522 ；【答案】D5..CM ⊥BDC 作【解析】连接BP ，过=BE×CM×，+BE×PR×=BC×（PQ+PR）×=BC×PQ×S=S+S△BPC△BPE△BCE BC=BE，∵∴PQ+PR=CM，BC=，∵BE=BC=1，且正方形对角线BD= 又∵BC=CD，CM⊥BD，中点，又△BDC为直角三角形，∴M为BDBD=，∴CM=即PQ+PR=．．故选：D ；6.【答案】C的垂线，交BC的延长线于作BCF，利用互余关系可得∠A＝∠FCD，如图，【解析】过点D又∠AED＝∠F＝90°，AD＝DC，利用AAS可以判断△ADE≌△CDF，∴DE＝DF，SS＝16，DE＝4＝．DEBF正方形ABCD四边形二.填空题234；【答案】 7．【解析】解：如图，作AM⊥BC，DN⊥BC，DH⊥MA，∵∠H=∠HMN=∠DMN=∠DNM=90°，∴四边形MNDH是矩形，=90°，NDH∴∠．ADC=90°，∵∠NDH=∠，∴∠HDA=∠CDN 中，在△ADH和△CDN DNC??H???CDN?ADH??，??DCDA??），∴△ADH≌△CDN（AAS DH=DN，∴是正方形，MNDH∴四边形．∴MN=MH24x，∠AB=ABM=45AH=NC=设°，，在Rt△ABC中，xxx BN=10，，∴=2AH=NC=2，∴∴BM=AM=4，CM=84+，=8-MN=DN=6，∴，∴342.BD=∴13；8.【答案】6132??222??x?3x?x x x3?. ，，DE＝，【解析】设AE＝CE＝2 9.【答案；3.60 【解析】由题意∠A＝°，DE＝32535 10.【答案】5；；；235，面积为和，所以两条对角线长为5 【解析】菱形一个内角为60°，边长为5125?5?53?3. 2211.【答案】2；11＝×【解析】阴影部分面积等于正方形面积的 4＝2. 22；【答案】12.5ll≌△D 【解析】过点作直线ADE，与交于点EEF与平行线垂直，与．易证△F交于点41．25?CD得正方形的面积．，DF＝2．根据勾股定理可求，得DFCCF＝1解答题三.【解析】13. ）证明：∵∠BAD=∠CAE，（1 ∴∠EAB=∠DAC，中在△ABE和△ACDAE=AD ∵AB=AC，∠EAB=∠DAC，；SAS）∴△ABE≌△ACD（）∵△ABE≌△ACD，（2 ∴BE=CD，，又DE=BC BCDE为平行四边形．∴四边形∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB ∵△ABE≌△ACD，∴∠ABE=∠ACD，∴∠EBC=∠DCB BCDE为平行四边形，∵四边形∴EB∥DC，∴∠EBC+∠DCB=180°，∴∠EBC=∠DCB=90°， BCDE是矩形．四边形 14.【解析】是平行四边形ABCD证明：∵四边形OD ＝BC，OB∴AD∥OFB ＝∠FBO, ∠OED∵∠EDO＝∠OFB≌△∴△OEDBF ＝∴DEBF∥又∵ED BEDF∴四边形是平行四边形BDEF⊥∵. BEDF是菱形∴平行四边形．【解析】15 是正方形，证明：∵四边形(1)ABCDAQ AQ°，＝DAC＝∠BAC＝45AB ∴AD＝，∠；（ABQSAS）∴△ ADQ≌△x y．F轴于点⊥QF，E轴于点⊥QE作Q为原点建立如图所示的直角坐标系，过点A以(2)．4181S QE＝＝＝∴ADQE×ABCD正方形362344)(,在正方形对角线AC上∴Q点的坐标为∵点Q3344)Q(,x y4??2x?y，4)2，∴过点D(0，当，＝两点的函数关系式为：0时，＝331；即P运动到AB中点时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的6(3)若△ADQ是等腰三角形，则有QD＝QA 或DA＝DQ或AQ＝AD①当点P运动到与点B重合时，由四边形ABCD是正方形知 QD＝QA此时△ADQ是等腰三角形；②当点P与点C重合时，点Q与点C也重合，此时DA＝DQ，△ADQ是等腰三角形；x时，有AD＝＝AQ P在BC边上运动到CP③如图，设点∵AD∥BC ∴∠ADQ＝∠CPQ．又∵∠AQD＝∠CQP，∠ADQ＝∠AQD，∴∠CQP＝∠CPQ．x．＝CQCP＝∴42，AQ＝AD＝4．＝∵AC42x－4． AC∴＝CQ＝－AQ＝42－4时，△ADQ＝即当CP是等腰三角形．。

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高英,张远东第2节.特殊的平行四边形一、课程标准要求（1）能够用综合法证明矩形的性质定理和判定定理以及其它相关结论，并能用矩形的性质进行证明与计算。

（2）进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用。

（3）体会证明过程中所运用的归纳、概括以及转化等数学思想方法。

二、课前预习1）矩形具有而一般的平行四边形不一定具有的特征是（）A、对角线相等B、对边相等C、对角相等D、对角线互相平分2）在下列命题中，正确的是（）A.一组对边平行的四边形是平行四边形.B.有一个角是直角的四边形是矩形.C.有一组邻边相等的平行四边形是菱形D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形3）矩形ABCD的对角线交于O点，一条短边的边长为1，△AOB是等边三角形，则这个矩形对角线长为＿＿。

4）菱形的两条对角线长是6和8，则菱形的边长是＿＿。

答案：1.C 2. C 3.2 4.5三、教材详解1、相关知识点回顾在八年级上册中已经学习了矩形，菱形和正方形三种特殊的平行四边形，以及它们之间的关系，矩形的性质及判定性质：（1）矩形的对边平行且相等，对角相等，四个角都是直角。

（2）矩形的对角线互相平分且相等。

判定（1）有一个内角是直角的平行四边形是矩形。

（2）有三个角是直角的四边形是矩形。

（3）对角线相等的平行四边形是矩形（4）对角线互相平分且相等的四边形是矩形。

菱形的性质1．菱形的四条边都相等。

2．菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角。

菱形的判定1．有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

2．四条边都相等的四边形是菱形。

3．对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

正方形的判定和性质CEDBA定义：有一个内角是直角，一组邻边相等的平行四边形是正方形。

性质（1）正方形的四个角都是直角，四条边都相等。

（2）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，还平分一组对角。

判定（1）有一个角是直角的菱形是正方形。

（2）对角线相等的菱形是正方形。

（3）有一组邻边相等的矩形是正方形。

（4）对角线互相垂直的矩形是正方形。

2、教材知识点解析知识点1 矩形的性质定理1：矩形的四个角都是直角。

定理2：矩形的对角线相等。

知识点解读：矩形具有平行四边形的所有性质，并且四个角都是直角，对角线相等。

这个性质可得到直角三角形或用来证明两线段垂直或相等。

定理证明提示：由矩形的定义（有一个角是直角的平行四边形是矩形、对角相等、邻角互补），可推出矩形的四个角是直角。

已知：如图3-2-1四边形ABCD 是矩形，AC 、BD 为对角线，求证：AC=BD 证明：∵四边形ABCD 是矩形∴AB=CD ，AD=BC ，∠ABC=ADC=90° 图3-2-1 ∴Rt △ABC ≌Rt △CDA ∴AC=BD点评：用综合法证明矩形的性质，关键是如何利用其定义和全等三角形，来证明矩形中的角或线段相等。

知识点2 推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知识点解读：这个性质可用来证明线段之间的相等关系或倍数关系。

已知：如图3-2-2，BO 是Rt △ABC 斜边AC 的中线，求证：BO= 21AC 证明：过点A 作AD ∥BC 与BO 的延长线交于点D ，连接CD 。

∴∠OCB=∠OAD ∵O 是AC 的中点，OCD BA∴AO=OC又∵∠BOC=∠AOD∴△BOC ≌△AOD ∴AD=BC又∵∠ABC=90° 图3-2-2 ∴四边形ABCD 是矩形 ∴AC=BD BO=21BD= 21AC 点评：证明这个推论的关键是构造辅助图形矩形，且构造方法不唯一，还可以延长BE 到D ，使BE=ED ，再连AD 、CD 再证四边形ABCD 是矩形，在证明时需用到矩形的对角线互相平分的性质，对于特殊平行四边形也有平行四边形的所有性质。

知识点3 有三个角是直角的四边形是矩形。

知识点解读：这是矩形的判定方法之一，可用它来判定一个四边形是矩形。

已知，如图3-2-3，四边形ABCD ，∠A=∠B=∠C=90°，求证：四边形ABCD 是矩形。

提示：利用“同旁内角互补，两直线平行“证明四边形是平行四边形，再根据矩形的定义可得。

证明：∵∠ A=∠B=90°∴∠ A+∠B=180° ∴AD ∥BC 同理AB ∥CD∴四边形ABCD 是平行四边形又∵∠ A=90°∴四边形ABCD 是矩形（矩形的定义）知识点4 对角线相等的平行四边形是矩形。

知识点解读：这是矩形的判定方法之一，可用它来判定一个四边形是矩形已知如图3-2-4，平行四边形ABCD ， AC=BD ，求证：四边形ABCD 是矩形。

提示：利用全等三角形证明平行四边形的某两个相邻的角相等，而这两个角又互补，所以它们都是直角。

证明：∵平行四边形ABCD∴AD=BCDCBA图 3-2-3ODCBA OCDBA∴在△ADC 和△BDC 中，⎪⎩⎪⎨⎧===CD DC BD AC BC AD ∴△ADC ≌△BCD ∵∠ D=∠ C 图3-2-4 又∵∠ D+∠ C=180° ∴∠ D=90° 又∵平行四边形ABCD ∴四边形ABCD 是矩形知识点5：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

知识点解读：证明直角三角形的一种方法。

如图3-2-5，已知△ABC ，BO 是AC 边上的中线，且BO=AC 21，求证：△ABC 是直角三角形。

提示：以已知三角形的三个顶点为顶点，构造平行四边形，证明这个平行四边形的对角线相等，即这个四边形是矩形。

证明：延长BO 至D ，使BO=DO ，连接AD ，DC 。

∵BO 是AC 边上的中线 ∴AO=OC 又∵BO=AC 21，BO=DO ∴BO=AO=OC=OD∴四边形ABCD 是平行四边形又∵BO+0D=AO+OC 图 3-2-5 即BD=AC∴四边形ABCD 是矩形 ∠ABC=90° △ABC 是直角三角形知识点6．菱形的性质证明定理：菱形的四条边都相等。

已知菱形ABCD ，求证AB=BC=CD=DA 。

提示：因为菱形是有一组邻边相等的平行四边形，所以根据平行四边形对边相等的性质，可以证明。

定理：菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角。

已知：如图3-2-6，菱形ABCD ，对角线AC 和BD 相交于点O ，求证AC ⊥BD ，AC 平分∠BAD 和∠BCD ，BD 平分∠ABC 和∠ADC 。

提示：利用“平行四边形的对角线互相平分”和等腰三角形“三线合一”的性质进行证明。

证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB=AD （菱形的四条边都相等）在等腰三角形ABD 中∵BO=OD∴AC ⊥BD ，AC 平分∠BAD同理AC 平分∠BCD ，BD 平分∠ABC 和∠ADC 。

知识点解读：菱形ABCD 的对角线互相垂直，即把菱形分成四个全等的直角三角形，它们的底和高分别是两条对角线的一半，所以利用三角形的面积可以得出菱形的面积等于两条对角线乘积的一半。

知识点7 菱形的判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

已知：如图，平行四边形ABCD ，对角线AC ⊥BD ，求证：平行四边形ABCD 是菱形。

提示：根据菱形的定义和平行四边形对边相等的性质证明。

证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB=OD 又∵AC ⊥BD ∴AB=AD∴四边形ABCD 是菱形。

知识点解读：菱形的判定方法：（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

（2）对角线互相垂直的平行四边形是。

（3）四条边都相等的四边形是菱形。

菱形的判定方法有很多，在解决问题是要根据具体的条件灵活的选择适当的方法证明四边形ODCB A图 3-2-6是菱形。

知识点8正方形的判定和性质定义：有一个内角是直角，一组邻边相等的平行四边形是正方形。

定理及推论：（1）正方形的四个角都是直角，四条边都相等。

（2）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，还平分一组对角。

（3）有一个角是直角的菱形是正方形。

（4）对角线相等的菱形是正方形。

（5）有一组邻边相等的矩形是正方形。

（6）对角线互相垂直的矩形是正方形。

知识点解读：正方形的判定方法有很多，在解决问题是要根据具体的条件灵活的选择适当的方法证明四边形是正方形。

知识点9 依次连接四边形中点问题依次连接任意四边形各边的中点可以得到一个平行四边形，那么，依次连接正方形各边的中点（如图3-2-7）能得到一个怎样的图形呢？先猜一猜，再证明。

证明：∵四边形ABCD 是正方形 ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90° AB=BC=CD=DA又∵E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点 ∴AH=DH=DG=CG=CF=BF=BE=AE ∴△AEH ≌△DGH ≌△CFG ≌△BFE ∴EH=GH=FG=FE ∴∠A=∠B=90° AH=AE ，BE=BF ∴∠AEH=∠FEB=45° ∴∠HEF=90°∴四边形EFGH 是正方形。

点评：此题先证明四边形EFGH 的四条边相等，即是菱形，然后又证明了这个四边形的一个角是直角，即有一个角为直角的菱形是正方形，从而得证四边形A 1B 1C 1D 1是正方形。

当然，HG FE D CBA图 3-2-7EB此题还可以用中位线的定理来证明。

连结AC 、BD ，则EH 为△ABD 的中位线，GF 为△CBD 的中位线，EF 为△ABC 中位线，HG 为△ADC 中位线。

根据中位线的性质定理和正方形的对角线相等可知EH=HG=GF=EF ，然后再证，有一个角为90°，这样也可以证明四边形EFGH 是正方形。

3、本节重点难点重点：证明矩形、菱形的性质定理及其他相关结论。

难点：探索菱形和正方形的证明思路和方法。

四、知识技能归纳 1、典例剖析例1、如下图：某同学根据菱形的面积计算公式推导出对角线长为a 的正方面积是21a 2，对此结论，你认为是否正确。

若正确，给予证明。

若不正确，举一个反例说明。

分析：此题抓住正方形是菱形的一种特殊形式，菱形所具有性质，正方形都具有。

当然，本题还可以根据AB 2+BC 2=a 2，算出AB=BC= a 22，从而求出正方形面积。

证明：∵四边形ABCD 是正方形∴AC ⊥BD ∴AO=OC=OD=OB 又∵AC=a∴S ABCD =S △AOD +S △COD + S △COB +S △AOB =⎪⎭⎫ ⎝⎛∙⎪⎭⎫ ⎝⎛∙∙22214a a =22a 例2 如图3-2-8，正方形ABCD 中，Q 是CD 的中点，点P 在BC 上，且AP=CD+CP ，那么AQ 平分∠PAD 吗？分析:此题要添加适当的辅助线,构造全等.证明：延长AQ 交BC 延长线于E ∵四边形ABCD 是正方形aODCBA图 3-2-8F EDCB A∴AD=CD AD ∥BC DC ⊥BC ∠D=90° ∴∠D=∠DCE=90°又∠1=∠2，DQ=CQ ∴△ADQ ≌△ECQ ∴AD=EC ∠DAQ=∠E∵AP=PC+CD ∴AP=PC+AD=PC+CE=PE ∴∠PAQ=∠E ∴DAQ=∠PAQ ∴AQ 平分∠DAP例3、如图3-2-9：在△ABC 中，AB=BC ，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F.求证：（1）△BOE ≌△CDF （2）∠A=90°时，四边形AEDF 是正方形。

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