平行四边形练习题(含答案)

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二年级下册数学-平行四边形练习(含解析)

二年级下册数学-----平行四边形练习一、单选题1.下列图形中不属于平行四边形的是( )。

A. B. C.2.四边形的性质是（）。

A. 三个角B. 四条边C. 对边相等3.下面的四边形中，（）不是平行四边形。

A. B. C.二、判断题4.两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。

5.判断对错．两个面积相等的三角形，一定能拼成一个平行四边形．6.判断：过平行四边形的一个顶点向对边能画无数条高。

7.一个平行四边形可以分成两个完全一样的三角形，梯形、长方形三、填空题8.请你试着数一数，下图中有________个平行四边形里包含着三角形．9.一个平行四边形的一条边是12厘米，它的邻边比它少2厘米，这个平行四边形的周长是________厘米.10.平行四边形的对边是________。

11.请你做一个平行四边形框架并拉一拉，说说你发现了什么.平行四边形具有________性，即________变形.12.有________个平行四边形四、计算题13.平行四边形的周长是56厘米，其中一条边长是10厘米。

平行四边形另外三条边分别是多少厘米？五、解答题14.用硬纸条和图钉做成一个长方形框架，拉动框架，你会发现什么?15.数一数下图中有多少个平行四边形．①：②：六、应用题16.平均四边形的周长是56厘米，其中一条边长是10厘米．平行四边形另外三条边分别是多少厘米？参考答案一、单选题1.【答案】B【解析】【解答】解：不属于平行四边形的是B。

【分析】平行四边形的两组对边分别平行且相等，长方形是特殊的平行四边形。

2.【答案】B【解析】3.【答案】C【解析】【解答】解：C的一组对边不相等，不是平行四边形。

故答案为：C。

【分析】平行四边形的对边平行且相等，注意长方形和正方形都是特殊的平行四边形。

二、判断题4.【答案】正确【解析】【解答】两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，可以动手做做看。

【分析】平行四边形的知识巩固练习5.【答案】错误【解析】【解答】两个完全相同的三角形，一定能拼成一个平行四边形，原题说法错误.故答案为：错误.【分析】三角形的面积=底×高÷2，两个面积相等的三角形，不一定是完全相同的三角形，所以不一定能拼成一个平行四边形，据此解答.6.【答案】错误【解析】【解答】解：过平行四边形的一个顶点向对边能画两条高，原题说法错误.故答案为：错误【分析】过平行四边形的一个顶点，可以向平行四边形的两条底边各画出一条高，由此判断即可.7.【答案】错误【解析】【分析】平行四边形对角线，能把它分成两个完全一样的两个三角形；在平行四边形对边相反方向各取等长点，这两点连线就能把平行四边形分成两个完全一样的梯形；因为平行四边形没有直角所以不能分成一样的长方形三、填空题8.【答案】11【解析】【解答】1+3+2+3+2=4+2+3+2=6+3+2=9+2=11（个）故答案为：11.【分析】根据题意，先数单个平行四边形，有▲的平行四边形有1个，再数由2个小平行四边形组成的大平行四边形，有▲的有3个，然后再数由3个小平行四边形组成的大平行四边形，有▲的有2个，再数由4个小平行四边形组成的大平行四边形，有▲的有3个，最后再数由6个小平行四边形组成的大平行四边形，有▲的有2个，然后相加即可.9.【答案】44【解析】【解答】解：12×2+(12-2)×2=24+20=44(厘米)故答案为：44【分析】用一条边的长度减去2厘米即可求出邻边的长度，把平行四边形四条边的长度相加就是平行四边形的周长.10.【答案】相等【解析】【解答】根据平行四边形的特征直接进行填空即可11.【答案】不稳定；易【解析】【解答】通过实验可以发现，平行四边形具有不稳定性，即易变形.故答案为：不稳定；易.【分析】根据题意，可以做一个平行四边形的框架，然后动手拉一拉，可以得到平行四边形的特性：容易变形，不稳定.12.【答案】45【解析】【解答】解：单个的平行四边形10个，两个小平行四边形组成的有13个，三个小平行四边形组成的有6个，四个小平行四边形组成的有8个，五个小平行四边形组成的有2个，6个小平行四边形组成的有3个，8个小平行四边形组成的有2个，10个小平行四边形组成的有1个，共10+13+6+8+2+3+2+1=45(个) 故答案为：45【分析】平行四边形的两组对边分别平行且相等，先判断单个的平行四边形，再判断组合而成的平行四边形，然后判断总数即可.四、计算题13.【答案】56－10－10＝36厘米、36的一半是18厘米，10厘米，18厘米【解析】【解答】56厘米里边包括两组对边，一条边是10厘米，那么它的对边也是10厘米，因此56－10－10＝36厘米，36厘米是两条对边的长度，所以就是36的一半18厘米。

平行四边形的判定练习题(含答案)

平行四边形的判定练习题(含答案)（1）因为AD∥BC，AB=CD，所以ABCD是平行四边形．（）（2）因为AB∥CD，AD=BC，所以ABCD是平行四边形．（）（3）因为AD∥BC，AD=BC，所以ABCD是平行四边形．（）（4）因为AB∥CD，AD∥BC，所以ABCD是平行四边形．（）（5）因为AB=CD，AD=BC，所以ABCD是平行四边形．（）（6）因为AD=CD，AB=AC，所以ABCD是平行四边形．（）5．已知AD∥BC，要使四边形ABCD为平行四边形，需要增加条件________．6．如图所示，∠1=∠2，∠3=∠4，问四边形ABCD是不是平行四边形．7．如图所示，在四边形ABCD中，AB=CD，BC=AD，E，F 为对角线AC上的点，且AE=CF，求证：BE=DF．8．如图所示，D为△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，且AE=CE，FC∥AB．求证：CD=AF．9．如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，在AB 的延长线上截取BE=•AB，BF=BD，连接CE，DF，相交于点M．求证：CD=CM．10．如图所示，在四边形ABCD中，DC∥AB，以AD，AC为边作□ACED，延长DC•交EB于F，求证：EF=FB．知能点2 三角形的中位□线11．如图所示，已知E为□ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE=DC，连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于点O，连接OF，求证：AB=2OF．12．如图所示，在ABCD中，EF∥AB且交BC于点E，交AD于点F，连接AE，BF•交于点M，连接CF，DE交AD．于点N，求证：MN∥AD且MN=1213．如图所示，DE是△ABC的中位线，BC=8，则DE=_______．14．如图所示，在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OE∥BC交CD•于E，•若OE=3cm，则AD的长为（）． A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm 15．如图所示，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，•则四边形EFGH是平行四边形吗？为什么？16．如图所示，在△ABC中，AC=6cm，BC=8cm，AB=10cm，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，求△DEF的面积．规律方法应用17．如图所示，A，B两点被池塘隔开，在A，B外选一点C，连接AC和BC，•并分别找出AC和BC的中点M，N，如果测得MN=20m，那么A，B两点间的距离是多少？18．如图所示，在□ABCD中，AB=2AD，∠A=60°，E，F 分别为AB，CD的中点，EF=1cm，那么对角线BD的长度是多少？你是怎样得到的？19．如图所示，在△ABC中，E为AB的中点，CD平分∠ACB，AD⊥CD于点D．•（BC-AC）．试说明：（1）DE∥BC．（2）DE=12开放探索创新20．如图所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AD•于E，EF∥BC交AC于F，那么AE与CF相等吗？请验证你的结论．中考真题实战21．（长沙）如下左图所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD•为平行四边形，则应添加的条件是________．（添加一个即可）22．（呼和浩特）如上右图所示，已知E，F，G，H是四边形ABCD各边的中点，•则S四边形EFGH ：S四边形ABCD的值是_________．23．（南京）已知如图19-1-55所示，在Y ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.求证：（1） △AFD≌△CEB．（2）四边形AECF是平行四边形．答案:1．C 2．C 3．D4．（1）× （2）× （3）∨ （4）∨ （5）∨ （6）×5．AD=BC或AB∥CD6．解：∵∠1=∠2，∴AD∥BC．又∵∠3=∠4，∴AB∥CD．∴四边形ABCD是平行四边形．7．证明：∵AB=CD，BC=AD，∴四边形ABCD是平行四边形．∴AB∥CD，∴∠BAE=∠DCF．又∵AE=CE，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴BE=EF．8．证明：∵FC∥AB，∴∠DAC=∠ACF，∠ADF=∠DFC．又∵AE=CE，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴DE=EF．∵AE=CE，∴四边形ADCF为平行四边形．∴CD=AF．9．证明：∵四边形ABCD是平行四边形．∴AB//DC．又∵BE=AB，∴BE//DC，∴四边形BDCE是平行四边形．∵DC∥BF，∴∠CDF=∠F．同理，∠BDM=∠DMC．∵BD=BF，∴∠BDF=∠F．∴∠CDF=∠CMD，∴CD=CM．10．证明：过点B作BG∥AD，交DC的延长线于G，连接EG．∵DC∥AB，∴ABGD是平行四边形，∴BG// AD．在□ACED中，AD//CE，∴CE//BG．∴四边形BCEG为平行四边形，∴EF=FB．11．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，AD=BC．∵CE=CD，∴AB//CE，∴四边形ABEC为平行四边形．∴BF=FC，∴OF//1AB，即AB=2OF．212．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC．又∵EF∥AB，∴EF∥CD．∴四边形ABEF，ECDF均为平行四边形．又∵M，N分别为Y ABEF和Y ECDF对角线的交点．∴M为AE的中点，N为DE的中点，即MN为△AED的中位线．∴MN∥AD且MN=12AD．13．4 14．B15．解：EFGH是平行四边形，连接AC，在△ABC中，∵EF是中位线，∴EF//12AC．同理，GH//12AC．∴EF//GH，∴四边形EFGH为平行四边形．16．解：∵EF，DE，DF是△ABC的中位线，∴EF=12AB，DE=12AC，DF=12BC．又∵AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm，∴EF=5cm，DE=3cm，DF=4cm，而32+42=25=52，即DE2+DF2=EF2．∴△EDF为直角三角形．∴S△EDF =12DE·DF=12×3×4=6（cm2）．17．解：∵M，N分别是AC，BC的中点．∴MN是△ABC的中位线，∴MN=12AB．∴AB=2MN=2×20=40（m）．故A，B两点间的距离是40m．18．解：连接DE．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD．∵DF=12CD，AE=12AB，∴DF//AE．∴四边形ADFE是平行四边形．∴EF=AD=1cm．∵AB=2AD，∴AB=2cm．∵AB=2AD，∴AB=2AE，∴AD=AE．∴∠1=∠4．∵∠A=60°，∠1+∠4+∠A=180°，∴∠1=∠A=∠4=60°．∴△ADE是等边三角形，∴DE=AE．∵AE=BE，∴DE=BE，∴∠2=∠3．∵∠1=∠2+∠3，∠1=60°，∴∠2=∠3=30°．∴∠ADB=∠3+∠4=90°．=cm）．19．解：延长AD交BC于F．（1）∵AD⊥CD，∴∠ADC=∠FDC=90°．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠FCD．在△ACD与△FCD中，∠ADC=∠FDC，DC=DC，∠ACD=∠FCD．∴△ACD≌△FCD，∴AC=FC，AD=DF．又∵E为AB的中点，∴DE∥BF，即DE∥BC．（2）由（1）知AC=FC，DE=12BF．∴DE=12（BC-FC）=12（BC-AC）．20．解：AE=CF．理由：过E作EG∥CF交BC于G，∴∠3=∠C．∵∠BAC=90°，AD⊥BC，∴∠ABC+∠C=90°，∠ABD+∠BAD=90°．∴∠C=∠BAD，∴∠3=∠BAD．又∵∠1=∠2，BE=BE，∴△ABE≌△GBE（AAS），∴AE=GE．∵EF∥BC，EG∥CF，∴四边形EGCF是平行四边形，∴GE=CF，∴AE=CF．21．答案不唯一，如AB=CD或AD∥BC．22．1223．解：（1）在□ABCD中，AD=CB，AB=CD，∠D=∠B．∵E，F分别为AB，CD的中点，∴DF=12CD，BE=12AB，∴DF=BE，∴△AFD≌△CEB．（2）在□ABCD中，AB=CD，AB∥CD．由（1）得BE=DF，∴AE=CE，∴四边形AECF是平行四边形．。

初中数学平行四边形练习题(含答案)

初中数学平行四边形练习题（含答案）一、选择题（共10小题，3*10=30）1．在下列条件中，能够判定一个四边形是平行四边形的是( )A ．一组对边平行，另一组对边相等B ．一组对边相等，一组对角相等C ．一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线D ．一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线2．在▱ABCD 中，若∠BAD 与∠CDA 的角平分线交于点E ，则△AED 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定3．下列不能判定一个四边形是平行四边形的条件是( )A ．两组对角分别相等B ．两组对边分别相等C ．一组对边平行且相等D ．一组对边平行，另一组对边相等4．只用下面的一种正多边形，不能进行平面镶嵌的是( )A ．正三角形B ．正方形C ．正五边形D ．正六边形5．如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，EF 经过点O ，分别交AD ，BC 于点E ，F ，已知▱ABCD 的面积是20 cm 2，则图中阴影部分的面积是( )A ．12 cm 2B ．10 cm 2C ．8 cm 2D ．5 cm 26. 如图，在▱ABCD 中，AB ＝12，AD ＝8，∠ABC 的平分线交CD 于点F ，CG ⊥BF ，垂足为点G ，若BF ＝4，则线段CG 的长为( )A.152B ．4 3C ．215 D.557．顺次连接平面上A，B，C，D四点得到一个四边形，从①AB∥CD；②BC＝AD；③∠A＝∠C；④∠B＝∠D四个条件中任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况共有()A．5种B．4种C．3种D．1种8．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF，GH的交点P在BD上，则图中面积相等的平行四边形有()A．3对B．2对C．1对D．0对9．如图，在四边形ABCD中，E，F，P，Q分别为AB，AD，BC，CD的中点．若∠ABC＝90°，∠AEF＝60°，则∠CPQ的度数为()A．15° B．30°C．45° D．60°10．如图，在▱ABCD中，∠ABC＝60°，BC＝2AB＝8，点C关于AD的对称点为E，连接BE交AD 于点F，点G为CD的中点，连接EG，BG.则△BEG的面积为()A．16 3 B．14 3C．8 3 D．73二．填空题（共8小题，3*8=24）11．一个多边形的内角和等于900°，则这个多边形是_________边形．12. 如图，五边形ABCDE是正五边形．若l1∥l2，则∠1－∠2＝______.13．如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O.E是CD的中点，BD＝12，则△DOE 的周长为________．14．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，如果AC＝14，BD＝8，AB＝x，那么x的取值范围是____________．15．如图，面积为12 cm2的△ABC沿BC方向平移至△DEF的位置，平移的距离是BC的3倍，则四边形ACED的面积为_________．16．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF＝45°，且AE＋AF＝22，则▱ABCD 的周长是________．17．如图，已知∠XOY＝60°，点A在边OX上，OA＝2.过点A作AC⊥OY于点C，以AC为一边在∠XOY内作等边三角形ABC，点P是△ABC围成的区域(包括各边)内的一点，过点P作PD∥OY 交OX于点D，作PE∥OX交OY于点E.设OD＝a，OE＝b，则a＋2b的取值范围是___________.18．如图，点A，E，F，C在一条直线上，若将△DEC的边EC沿AC方向平移，平移过程中始终满足下列条件：AE＝CF，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，且AB＝CD，则当点E，F不重合时，BD与EF的关系是____________．三．解答题（共7小题，66分）19．(8分) 如图，在▱ABCD中，连接BD，E是DA延长线上的点，F是BC延长线上的点，且AE＝CF ，连接EF 交BD 于点O.求证：OB ＝OD.20．(8分) 是否存在一个多边形，它的每一个内角都相等且等于相邻外角的14请说明理由．21．(8分) 如图，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 边上的中点，连接DE 并延长，交CB 的延长线于点F.(1)求证：AD ＝BF ；(2)若平行四边形ABCD 的面积为32，试求四边形EBCD 的面积．22．(10分) 如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，EF 经过点O 并且分别和AB ，CD 相交于点E，F，点G，H分别为OA，OC的中点．求证：四边形EHFG是平行四边形．23．(10分)如图，四边形ABCD为平行四边形，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F.(1)求证：△ABE≌△FCE.(2)过点D作DG⊥AE于点G，H为DG的中点．判断CH与DG的位置关系，并说明理由．24．(10分)如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分线交于点E，且点E刚好落在AD上，分别延长BE，CD交于点F.(1)AB与AD之间有什么数量关系？并证明你的猜想；(2)CE与BF之间有什么位置关系？并证明你的猜想．25．(12分) 在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，AE＝AB，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得∠EGB＝∠EAB，连接AG.(1)如图1，当EF与AB相交时，若∠EAB＝60°，求证：EG＝AG＋BG；(2)如图2，当EF与CD相交，且∠EAB＝90°时，请你写出线段EG，AG，BG之间的数量关系，并证明你的结论．参考答案1-5CBDCD 6-10CCABB11. 七 12. 72° 13.15 14.3＜x ＜11 15. 60 cm 2 16．8 17. 2≤a ＋2b≤5 18.互相平分19. 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC.∴∠ADB ＝∠CBD.又∵AE ＝CF ，∴AE ＋AD ＝CF ＋BC.∴ED ＝FB.又∵∠EOD ＝∠FOB ，∴△EOD ≌△FOB(AAS)．∴OB ＝OD.20. 解：不存在，理由如下：假设存在这样的一个多边形，设其一个外角的度数度为x°，则相邻的内角度数为180°－x°，由题意，得14x ＝180－x ，解得x ＝144，即这个多边形的每一个外角的度数都是144°，由多边形的外角和为360°，得这个多边形的边数为360°÷144°＝2.5，因为多边形的边数应为整数，所以不存在这样的多边形．21. 解：(1)∵E 是AB 边上的中点，∴AE ＝BE.∵AD ∥BC ，∴∠ADE ＝∠F.在△ADE 和△BFE 中，∠ADE ＝∠F ，∠DEA ＝∠FEB ，AE ＝BE ，∴△ADE ≌△BFE.∴AD ＝BF(2)过点D 作DM ⊥AB 与M ，则DM 同时也是平行四边形ABCD 的高．∴S △AED ＝12×12AB·DM ＝14AB·DM ＝14×32＝8， ∴S 四边形EBCD ＝S ▱ABCD －S △ADE ＝32－8＝2422. 证明：如图所示．∵点O 为▱ABCD 对角线AC ，BD 的交点，∴OA ＝OC ，OB ＝OD.∵G ，H 分别为OA ，OC 的中点，∴OG ＝12OA ，OH ＝12OC. ∴OG ＝OH.又∵AB ∥CD ，∴∠1＝∠2.在△OEB 和△OFD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠1＝∠2，OB ＝OD ，∠3＝∠4，∴△OEB ≌△OFD(ASA)．∴OE ＝OF.∴四边形EHFG 为平行四边形．23．(1)证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD ，∴∠B ＝∠ECF.∵E 为BC 的中点，∴BE ＝CE.在△ABE 和△FCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠B ＝∠ECF ，BE ＝CE ，∠AEB ＝∠FEC ，∴△ABE ≌△FCE.(2)解：CH ⊥DG.理由如下：由(1)知△ABE ≌△FCE ，∴AB ＝CF.∵AB ＝CD ，∴DC ＝CF ，即点C 为DF 的中点．∵H 为DG 的中点，∴CH ∥FG.∵DG ⊥AE ，∴CH ⊥DG.24. 解：(1)AD ＝2AB.证明如下：∵BF 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠FBC.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB ＝CD ，∴∠FBC ＝∠AEB ，∴∠AEB ＝∠ABE ，∴AB ＝AE ，同理可证：CD ＝DE ，∴AD ＝AE ＋ED ＝AB ＋CD ＝2AB.(2)CE ⊥BF.证明如下：∵BF 平分∠ABC ，∴∠ABC ＝2∠EBC ，∵CE 平分∠BCD ，∴∠BCD ＝2∠BCE.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠ABC ＋∠BCD ＝180°，∴2∠EBC ＋2∠BCE ＝180°，∴∠EBC ＋∠BCE ＝90°，∴∠BEC ＝90°，即CE ⊥BF.25. 解：(1)证明：如图①，作∠GAH ＝∠EAB 交GE 于点H ，设EF 与AB 相交于点P.则∠GAB ＝∠HAE.∵∠EAB ＝∠EGB ，∠APE ＝∠BPG ，∴∠ABG ＝∠AEH.在△ABG 和△AEH 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠GAB ＝∠HAE ，AB ＝AE ，∠ABG ＝∠AEH ，∴△ABG ≌△AEH(ASA)．∴BG ＝EH ，AG ＝AH.∵∠GAH ＝∠EAB ＝60°，∴△AGH 是等边三角形．∴AG ＝HG.∴EG ＝AG ＋BG.(2)EG ＝2AG －BG.证明如下：如图②，作∠GAH ＝∠EAB 交GE 的延长线于点H.∴∠GAB ＝∠HAE.∵∠EGB ＝∠EAB ＝90°，∴∠ABG ＋∠AEG ＝∠AEG ＋∠AEH ＝180°.∴∠ABG ＝∠AEH.又∵AB ＝AE ，∴△ABG ≌△AEH ，∴BG ＝EH ，AG ＝AH.∵∠GAH ＝∠EAB ＝90°，∴△AGH 是等腰直角三角形． ∴2AG ＝HG.∴EG ＝2AG －BG.。

八年级数学平行四边形30道经典题(含答案和解析)

八年级数学平行四边形30道经典题（含答案和解析）1.如图，平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝5，AE平分∠BAD交BC于点E，则CE的长为（）．A.1B.2C.3D.4答案：B.解析：∵平行四边形ABCD，AE平分∠BAD交BC于点E.∴∠BAE＝∠EAD,∠EAD＝∠AEB.∴∠BAE＝∠AEB.∴AB＝BE＝3.∴EC＝2.所以答案为B．考点：三角形——全等三角形——角平分线的性质定理.四边形——平行四边形——平行四边形的性质.2.如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，若BF＝12，AB＝10，则AB的长为（）．A.13B.14C.15D.16答案：D解析：∵平行四边形ABCD，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F.∴四边形ABEF为平行四边形.∴∠FAB＋∠ABE＝180°，∠FAE＝∠EAB，∠ABF＝∠FBE. ∴∠BAE＋∠ABF＝90°，AE⊥BF.∴四边形ABEF为菱形.设AE，BF交点为点O，则点O平分线段AE，BF.在△ABO中，AO2＋BO2＝AB2，(12AE)2+(12BF)2=AB2.∵BF＝12，AB＝10.解得AE＝16.所以答案为D．考点：三角形——直角三角形——勾股定理.四边形——平行四边形——平行四边形的性质.四边形——菱形——菱形的判定.3.如图，已知平行四边形纸片ABCD的周长为20，将纸片沿某条直线折叠，使点D与点B重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，连接BE，则△ABE的周长为．答案：10.解析：依题可知，翻折轴对称BE＝DE,△ABE的周长＝AB＋AE＋BE＝AB＋AD＝10．考点：四边形——平行四边形.几何变换——图形的对称——翻折变换（折叠问题）.4.下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（）．A. AB∥CD，AD∥BCB. AB＝CD，AD∥BCC. AB∥CD，AB＝CDD. ∠A＝∠C，∠B＝∠D答案：B.解析：如图：A选项，∵AB∥CD，AD∥BC .∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误.B选项，根据AB＝CD和AD∥BC 可以是等腰梯形，错误，故本选项正确.C选项，∵AB∥CD，AB＝CD.∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误.D选项，∵∠A＝∠C，∠B＝∠D.∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误.故选B．考点：四边形——平行四边形——平行四边形的判定.5.阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：过直线外一点作已知直线的平行线．已知：直线l及其外一点A．求作：l的平行线，使它经过点A．小云的作法如下：（1）在直线l上任取一点B，以点B为圆心，任意长为半径作弧，交直线l于点C.（2）分别以A，C为圆心，以BC，AB的长为半径作弧，两弧相交于点D.（3）作直线AD．所以直线AD即为所求．老师说：“小云的作法正确．”请回答：小云的作图依据是．答案：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；平行四边形对边平行；两点确定一条直线. 解析：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；平行四边形对边平行；两点确定一条直线．考点：四边形——平行四边形——平行四边形的判定.尺规作图——过一点作已知直线的平行线.6.如图所示，平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，点E，F分别在CD和BC的延长线上,AE∥BD,EF⊥BC，CF＝√3．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形．（2）求AB的长．答案：（1）证明见解析．（2）AB＝√3.解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形.∴AB∥DC，AB＝CD．∵AE∥BD.∴四边形ABDE是平行四边形．（2）由（1）知，AB＝DE＝CD．即D为CE中点．∵EF⊥BC.∴∠EFC＝90°．∵AB∥CD.∴∠DCF＝∠ABC＝60°．∴∠CEF＝30°．∴CE＝2CF＝2√3.∴AB＝CD＝√3．考点：三角形——直角三角形——含30°角的直角三角形.四边形——平行四边形——平行四边形的性质——平行四边形的判定.7.如图，在矩形ABCD中，E是BC边的中点，沿直线AE翻折△ABE，使B点落在点F处，连结CF并延长交AD于G点．（1）依题意补全图形．（2）连接BF 交AE 于点O ，判断四边形AECG 的形状并证明．（3）若BC ＝10，AB ＝203，求CF 的长．答案：（1）画图见解析．（2）四边形AECG 是平行四边形，证明见解析．（3）CF ＝6．解析：（1）依题意补全图形，如图：（2）依翻折的性质可知，点O 是BF 中点.∵E 是BC 边的中点. ∴EO ∥CG. ∵AG ∥CE.∴四边形AECG 是平行四边形．（3）在Rt △ABE 中.∵BE ＝12BC ＝5，AB ＝203.∴AE ＝253.∵S △BAE ＝12AB×BE ＝12AE×BO.∴BO ＝4. ∴BF ＝2BO ＝8. ∵BF ⊥AE ，AE ∥CG. ∴∠BFC ＝90°. ∴CF ＝6．考点：三角形——直角三角形——勾股定理.四边形——平行四边形——平行四边形的判定.几何变换——图形的对称——作图：轴对称变换.8.如图，平行四边形ABCD的周长为40，△BOC的周长比△AOB的周长多10，则AB为（）．A.20B.15C.10D.5答案：D.解析：∵平行四边形的周长为40.∴AB＋BC＝20.又∵△BOC的周长比△AOB的周长多10.∴BC－AB＝10.解得：AB＝5，BC＝15．故答案为：D．考点：四边形——平行四边形——平行四边形的性质.9.如图，将矩形ABCD沿对角线BD所在直线折叠，点C落在同一平面内，落点记为C′和B C′与AD交于点E，若AB＝3，BC＝4，则DE的长为．答案：25.8解析：由折叠得，∠CBD＝∠EBD.由AD∥BC得，∠CBD＝∠EDB.∴∠EDB＝∠EBD.∴DE＝BE.设DE＝BE＝x，则AE＝4－x.在Rt△ABE中.AE2+AB2=BE2.(4−x)2+32=x2..解得x＝258∴DE的长为25．8考点：三角形——直角三角形——勾股定理.四边形——矩形——矩形的性质.几何变换——图形的对称——翻折变换（折叠问题）.10.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，DE∥AC交BA的延长线于点E，点F在BC上，BF＝BO，且AE＝6，AD＝8．（1）求BF的长．（2）求四边形OFCD的面积．答案:（1）BF＝5．．（2）S四边形OFCD＝332解析：（1）∵四边形ABCD是矩形.∴∠BAD＝90°.∴∠EAD＝180°－∠BAD＝90°.∵在Rt△EAD中，AE＝6，AD＝8.∴DE＝√AE2+AD2=10.∵DE∥AC，AB∥CD.∴四边形ACDE 是平行四边形． ∴AC ＝DE ＝6．在Rt △ABC 中,∠ABC ＝90°. ∵OA ＝OC. ∴BO ＝12AC ＝5．∵BF ＝BO. ∴BF ＝5．（2）取BC 中点为O.∴BG ＝CG.∵四边形ABCD 是矩形.∴OB ＝OD ，∠BCD ＝90°，CD ⊥BC ． ∴OG 是△BCD 的中位线． ∴OG ∥CD ．由（1）知，四边形ACDE 是平行四边形，AE ＝6. ∴CD ＝AE ＝6． ∴OG ＝12CD ＝3．∵AD ＝8. ∴BC ＝AD ＝8．∴S △BCD ＝12BC×CD ＝24，S △BOF ＝12BF×OG ＝152． ∴S 四边形OFCD ＝S △BCD －S △BOF ＝332．考点：三角形——三角形基础——三角形中位线定理.直角三角形——勾股定理.四边形——平行四边形——平行四边形的性质——平行四边形的判定. 矩形——矩形的性质. 四边形基础——四边形面积.11. 如图，在菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝1，延长AD 到点E ，使DE ＝AD ，延长CD 到点F ，使DF ＝CD ，连接AC 、CE 、EF 、AF ．（1）求证：四边形ACEF是矩形．（2）求四边形ACEF的周长．答案：（1）证明见解析．（2）四边形ACEF的周长为：2＋2√3．解析：（1）∵DE＝AD，DF＝CD.∴四边形ACEF是平行四边形.∵四边形ABCD为菱形.∴AD＝CD.∴AE＝CF.∴四边形ACEF是矩形．（2）∵△ACD是等边三角形.∴AC＝1.∴EF＝AC＝1.过点D作DG⊥AF于点G，则AG＝FG＝AD×cos30°=√3.2∴AF＝CE＝2AG＝√3.∴四边形ACEF的周长为：AC＋CE＋EF＋AF＝1＋√3＋1＋√3＝2＋2√3．考点：三角形——等腰三角形——等边三角形的判定.锐角三角函数——解直角三角形.四边形——平行四边形——平行四边形的判定.矩形——矩形的判定.菱形——菱形的性质.四边形基础——四边形周长.12.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F，M，N分别是OA，OB，OC,OD的中点，连接EF，FM，MN，NE．（1）依题意，补全图形．（2）求证：四边形EFMN 是矩形．（3）连接DM ，若DM ⊥AC 于点M ，ON ＝3，求矩形ABCD 的面积．答案：（1）答案见解析．（2）证明见解析．（3）36√3．解析：（1）（2）∵点 E ，F 分别为OA ，OB 的中点.∴EF ∥AB ，EF ＝12AB ．同理，NM ∥DC ，NM ＝12DC ．∵四边形ABCD 是矩形. ∴AB ∥DC ，AB ＝DC ，AC ＝BD. ∴EF ∥NM ，EF ＝NM.∴四边形EFMN 是平行四边形．∵点E ，F ，M ，N 分别OA ，OB ，OC ，OD 的中点. ∴OE ＝12OA ，OM ＝12OC ．在矩形ABCD 中.OA ＝OC ＝12AC ，OB ＝OD ＝12BD.∴EM ＝OE ＋OM ＝12AC ．同理可证FN ＝12BD ． ∴EM ＝FN ．∴四边形EFMN 是矩形．（3）∵DM ⊥AC 于点M.由（2）可知，OM ＝12OC. ∴OD ＝CD ．在矩形ABCD 中.OA ＝OC ＝12AC ，OB ＝OD ＝12BD ，AC ＝BD. ∴OA ＝OB ＝OC ＝OD. ∴△COD 是等边三角形. ∴∠ODC ＝60°. ∵NM ∥DC.∴∠FNM ＝∠ODC ＝60°. 在矩形EFMN 中，∠FMN ＝90°. ∴∠NFM ＝90°－∠FNM ＝30°. ∵ON ＝3.∴FN ＝2ON ＝6，FM ＝3√3，MN ＝3. ∵点F ，M 分别OB ，OC 的中点. ∴BC ＝2FM ＝6√3.∴矩形ABCD 的面积为BC×CD ＝36√3.考点：直线、射线、线段——直线、射线、线段的基本概念——线段中点、等分点.三角形——三角形基础——三角形中位线定理. 直角三角形——含30°角的直角三角形——勾股定理. 四边形——矩形——矩形的性质——矩形的判定.13. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，若菱形ABCD 的顶点A ，B 的坐标分别为(-3，0) ，(2，0)，点D 在y 轴正半轴上，则点C 的坐标是．答案：（5,4）.解析：由题意及菱形性质，得：AO＝3，AD＝AB＝DC＝5.根据勾股定理，得DO＝√AD2−AO2=√52−32=4.∴点C的坐标是（5,4）.考点：三角形——直角三角形——勾股定理的应用.四边形——菱形——菱形的性质.14.如图，在矩形ABCD中，边AB的长为3，点E，F分别在AD，BC上，连接BE，DF，EF，BD．若四边形BFDE是菱形，且EF＝AE＋FC，则边BC的长为（）．√3A. 2√3B.3√3C. 6√3D.92答案：B.解析：∵四边形ABCD是矩形.∴∠A＝90°，AD＝BC，AB＝DC＝3．∵四边形BEDF是菱形.∴EF⊥BD，∠EBO＝∠DBF，ED＝BE＝BF.∴AD－DE＝BC－BF，即AE＝CF．∵EF＝AE＋FC，EO＝FO.∴AE＝EO＝CF＝FO.∴△ABE≌△OBE.∴AB＝BO＝3，∠ABE＝∠EBO.∴∠ABE＝∠EBD＝∠DBC＝30°.∴在Rt△BCD中，BD＝2DC＝6.∴BC＝√BD2−DC2=3√3．考点：三角形——直角三角形——勾股定理.四边形——矩形——矩形的性质.菱形——菱形的性质.15.如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．小米的作法是：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM 是菱形．则小米的依据是．答案：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．解析：根据平行四边形定义可知，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；根据菱形的定义可知对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以答案为一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．考点：四边形——平行四边形——平行四边形的判定.菱形——菱形的判定.16.在数学课上，老师提出如下问题：如图1：将锐角三角形纸片ABC(BC＞AC)经过两次折叠，得到边AB，BC，CA上的点D，E，F．使得四边形DECF恰好为菱形．小明的折叠方法如下：如图2:（1）AC边向BC边折叠，使AC边落在BC边上，得到折痕交AB于D．（2）c点向AB边折叠，使C点与D点重合，得到折痕交BC边于E，交AC边于F．老师说：“小明的作法正确．”请回答：小明这样折叠得到菱形的依据是．答案：CD和EF是四边形DECF对角线，而CD和EF互相垂直且平分（答案不唯一）.解析：如图，连接DF、DE.根据折叠的性质知，CD⊥EF，且OD＝OC，OE＝OF.则四边形DECF恰为菱形．考点：四边形——菱形——菱形的判定.几何变换——图形的对称——翻折变换（折叠问题）.17.如图，在平行四边形ABCD中，点E，M分别在边AB，CD上，且AE＝CM．点F，N分别在边BC，AD上，且DN＝BF．（1）求证：△AEN≌△CMF．（2）连接EM，FN，若EM⊥FN，求证：四边形EFMN是菱形．答案：（1）证明见解析．（2）证明见解析．解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形.∴AD＝BC，∠A＝∠C.∵ND＝BF.∴AD－ND＝BC－BF.即AN＝CF.在△AEN和△CMF中.{AN=CM ∠A=∠C AN=CF.∴△AEN ≌△CMF．（2）由（1）△AEN ≌△CMF．∴EN＝FM.同理可证：△EBF ≌△MDB．∴EF＝MN.∵EN＝FM，EF＝MN.∴四边形EFMN是平行四边形.∵EM⊥FN.∴四边形EFMN是菱形．考点：三角形——全等三角形——全等三角形的判定.四边形——平行四边形——平行四边形的性质.菱形——菱形的判定.18.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，分别过点A，C作AE∥DC和CE∥AB，两线交于点E．（1）求证：四边形AECD是菱形．（2）若∠B＝60°，BC＝2，求四边形AECD的面积．答案：（1）证明见解析．（2）S菱形AECD＝2√3．解析：（1）∵AE∥DC，CE∥AB.∴四边形AECD是平行四边形.∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线.∴CD＝AD．∴四边形AECD是菱形．（2）连结DE．∵∠ACB＝90°，∠B＝60°.∴∠BAC＝30°.∴AB＝4，AC＝2√3．∵四边形AECD是菱形.∴EC＝AD＝DB.又∵CE∥DB.∴四边形ECBD是平行四边形. ∴ED＝CB＝2.∴S菱形AECD＝AC×ED2=2√3×22＝2√3．考点：四边形——平行四边形——平行四边形的性质——平行四边形的判定.菱形——菱形的性质——菱形的判定.四边形基础——四边形面积.19.如图，正方形ABCD的面积是2，E，F，P分别是AB，BC，AC上的动点，PE＋PF的最小值等于．答案：√2.解析：∵线段AC是正方形ABCD的对角线.∴F对线段AC的对称点永远落在线段DC上.如图所示，做F对线段AC的对称点于F’，连接EF’，EF’的长就是PE＋PF的值.根据两平行线的距离定义，从一条平行线上的任意一点到另外一条直线做垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．∴PE＋PF的最小值等于垂线段EH的长度.根据平行线间的距离处处相等，可知EH＝AD.∵正方形ABCD的面积是2.∴AD＝EH＝√2.所以答案为√2.考点：几何变换——图形的对称——轴对称与几何最值.20.如图，正方形ABCD的边长为2，点E在AB边上，四边形EFGB也为正方形，设△AFC的面积为S，则（）．A. S＝2B. S＝2.4C. S＝4D. S随BE长度的变化而变化答案：A.解析：法一：∵AC∥BF.∴S△AFC＝S△ABC＝2.法二：∵S△AFC＝S正方形ABCD＋S正方形EFGB＋S△AEF－S△FGC－S△ADC.∴设正方形EFGB的边长为a.∴S△AFC＝2×2+a2+12a(2−a)−12(2+a)a−12×2×2.＝4+a2+a−12a2−a−12a2−2.＝2．考点：三角形——三角形基础——三角形面积及等积变换.四边形——正方形.21.将正方形A的一个顶点与正方形的对角线交点重合，如图1位置，则阴影部分面积是正方形A面积的18，将正方形A与B按图2放置，则阴影部分面积是正方形B面积的．（几分之几）答案：12.解析：在图1中，∠GBF ＋∠DBF ＝∠CBD ＋∠DBF ＝90°.∴∠GBF ＝∠CBD ，∠BGF ＝∠CDB ＝45°，BD ＝BG. ∴ △FBG ≌△CBD.∴阴影部分的面积等于△DGB 的面积，且是小正方形的面积的14，是大正方形面积的18．设小正方形的边长为x ，大正方形的边长为y. 则有14X 2=18y 2. ∴y =√2x ．同上，在图2中，阴影部分的面积是大正方形的面积的14，为14y 2=12x 2.∴阴影部分的面积是正方形B 面积的12．考点：三角形——全等三角形——全等三角形的性质——全等三角形的判定.四边形——正方形——正方形的性质.22. 如图，正方形的对角线交于O ，OE ⊥AB ，EF ⊥OB ，FG ⊥EB ．若△BGF 的面积为1，则正方形ABCD 的面积为．答案：32.解析：∵两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形.且OE ⊥AB 于点E ，EF ⊥OB 于点F ，FG ⊥EB 于点G. ∴E 为AB 的中点，F 为BO 的中点，G 为EB 的中点. ∴AB ＝EB ＝EO ＝12AB ，EF ＝BF ＝FO ，GF ＝BG ＝EG ＝12EB .∴BGAB =14.∴S△BGFS△BAD =(BGAB)2=116.∴S△BAD＝16.∴S正方形ABCD＝2S△ABD＝32．故答案为32．考点：三角形——相似三角形——相似三角形的性质.四边形——正方形——正方形的性质.23.在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动．将边长为2的正方形ABCD与边长为3的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一条直线上，AB与AG在同一条直线上．（1）小明发现DG＝BE且DG⊥BE，请你给出证明．（2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时△ADG的面积．答案：（1）证明见解析．（2）1+12√14．解析：（1）如图1，延长EB交DG于点H.∵四边形ABCD与四边形AEFG是正方形.∴AD＝AB，∠DAG＝∠BAE＝90°，AG＝AE.∴△ABC≌△ABE(SAS).∴∠AGD＝∠AEB，DG＝BE.∵△ADG中，∠AGD＋∠ADG＝90°.∴∠AEB＋∠ADG＝90°.∴△DEH中，∠AEB＋∠ADG＋∠DHE＝180°.∴∠DHE＝90°.∴DG⊥BE．（2）如图2，过点A作AM⊥DG交DG于点M.∴∠AMD＝∠AMG＝90°.∵BD是正方形ABCD的对角线.∴∠MDA＝45°.在Rt△AMD中.∵∠MDA＝45°，AD＝2.∴AM＝DM＝√2．在Rt△AMG中.∵AM2+GM2=AG2.∴GM=√7.∵DG=DM+GM=√2+√7.∴S△ADG=12×DG×AM=12×(√2+√7)×√2=1+12√14．考点：三角形——全等三角形——全等三角形的性质——全等三角形的判定.直角三角形——勾股定理.四边形——正方形——正方形的性质.24.如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°.若AB＝5，BC＝8，则EF的长为．答案：32.解析：∵DE 为△ABC 的中位线.∴DE ＝12BC =4，点D 是线段AB 的中点. 又∵∠AFB ＝90°. ∴DF =12AB =52. ∴EF =DE −DF =32.所以答案为32.考点：三角形——三角形基础——三角形中位线定理.直角三角形——直角三角形斜边上的中线.25. 如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ⊥BD ，点E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA的中点．若AC ＝8，BD ＝6，则四边形EFGH 的面积为（）．A. 14B. 12C. 24D.48 答案：B解析：∵点E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点．∴EF =HG =12AC ＝4，FG =EH =12BD ＝3，EF ∥HG ，FG ∥EH. ∴四边形EFGH 是平行四边形．∵AC⊥BD.∴EF⊥FG.∴四边形EFGH是矩形．∴四边形EFGH的面积为3×4＝12．考点：三角形——三角形基础——三角形中位线定理.四边形——矩形——矩形的判定.四边形基础——四边形面积.26.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别是AB、BC、CA的中点，若CD＝6cm，则EF＝cm ．答案：6.解析：由题意，得：EFAB ＝12.在Rt△ABC中，D是AB的中点.∴CD＝EF＝12AB.又∵CD＝6.∴EF＝CD＝6cm.考点：三角形——三角形基础——三角形中位线定理.直角三角形——直角三角形斜边上的中线.27.如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点.那么CH的长是．答案：√5.解析：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3.∴AB＝BC＝1，CE＝EF＝3，∠E＝90°.延长AD交EF于M，连接AC、CF.则AM＝BC＋CE＝1＋3＝4，FM＝EF－AB＝3－1＝2.∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形.∴∠ACD＝∠GCF＝45°.∴∠ACF＝90°.∵H为AF的中点.AF.∴CH＝12在Rt△AMF中，由勾股定理得：AF=√AM2+FM2=√42+22=2√5.∴CH＝√5.故答案为：√5.考点：三角形——直角三角形——直角三角形斜边上的中线——勾股定理.四边形——正方形——正方形的性质.28.用两个全等的直角三角形无缝隙不重叠地拼下列图形：①矩形；②菱形；③正方形；④等腰三角形；⑤等边三角形.一定能够拼成的图形是（填序号）．答案：①④.解析：由于菱形和正方形中都有四边相等的特点，而直角三角形不一定有两边相等，故两个全等的直角三角形不一定能拼成菱形和正方形．由于等边三角形三个角均为60°，而直角三角形不一定含60°角，故个全等的直角三角形不一定能拼成等边三角形．两个全等的直角三角形一定能拼成矩形和等腰三角形，如图．考点：三角形——等腰三角形——等腰三角形的判定——等边三角形的判定.四边形——矩形——矩形的判定.菱形——菱形的判定——正方形——正方形的判定.29. 边长为a 的菱形是由边长为a 的正方形“形变”得到的，若这个菱形一组对边之间的距离为h ，则称ah 为这个菱形的“形变度”．（1）一个“形变度”为3的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比为．（2）如图，A 、B 、C 为菱形网格（每个小菱形的边长为1，“形变度”为98）中的格点，则△ABC 的面积为．答案：（1）1:3.（2）12. 解析：（1）如图所示．∵“形变度”为3. ∴ah ＝3，即h ＝13a .∴一个“形变度”为3的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比为aℎa 2=ℎa =13．（2）在正方形网格中，△ABC 的面积为：6×6−12×3×3－12×3×6−12×3×6=272.由（1）可得，在菱形网格中，△ABC的面积为89×272=12．考点：式——探究规律——定义新运算.三角形——三角形基础——三角形面积及等积变换.四边形——菱形——菱形的性质.30.有这样一个问题：如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．请探究筝形的性质与判定方法．小南根据学习四边形的经验，对筝形的性质和判定方法进行了探究．下面是小南的探究过程：（1）由筝形的定义可知，筝形的边的性质是：筝形的两组邻边分别相等，关于筝形的角的性质，通过测量，折纸的方法，猜想：筝形有一组对角相等，请将下面证明此猜想的过程补充完整.已知：如图，在筝形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD.求证：___________________________．证明：由以上证明可得，筝形的角的性质是：筝形有一组对角相等．（2）连接筝形的两条对角线，探究发现筝形的另一条性质：筝形的一条对角线平分另一条对角线．结合图形，写出筝形的其他性质（一条即可）：．（3）筝形的定义是判定一个四边形为筝形的方法之一．试判断命题“一组对角相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形是筝形”是否成立，如果成立，请给出证明：如果不成立，请举出一个反例，画出图形，并加以说明．答案：（1）求证：∠B＝∠D．证明见解析．（2）筝形的两条对角线互相垂直.（3）不成立．解析：（1）求证：∠B ＝∠D ．已知：如图，筝形ABCD 中，AB ＝AD ，CB ＝CD ．求证：∠B ＝∠D ．证明：连接AC ，如图．在△ABC 和△ADC 中.{AB =AD CB =CD AC =AC.∴△ABC ≌△ADC ． ∴∠B ＝∠D ．（2）筝形的其他性质．①筝形的两条对角线互相垂直． ②筝形的一条对角线平分一组对角． ③筝形是轴对称图形．（3）不成立．反例如图2所示．在平行四边形ABCD 中，AB≠AD ，对角线AC ，BD 相交于点O ．由平行四边形性质可知此图形满足∠ABC ＝∠ADC ，AC 平分BD ，但该四边形不是筝形．考点：四边形——平行四边形.。

平行四边形专题训练(含答案)

平行四边形专题训练一．解答题（共17小题）1．如图，在▱ABCD中，CE⊥AD于点E，且CB＝CE，点F为CD边上的一点，CB＝CF，连接BF 交CE于点G．（1）若∠D＝60°，CF＝2，求CG的长；（2）求证：AB＝ED+CG．2．如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥BC交BC于点E，且DE＝AD，F为DC上一点，且AD＝FD，连接AF与DE交于点G．（1）若∠C＝60°，AB＝2，求GF的长；（2）过点A作AH⊥AD，且AH＝CE，求证：AB＝DG+AH．3．如图，已知▱ABCD中，DE⊥BC于点E，DH⊥AB于点H，AF平分∠BAD，分别交DC、DE、DH 于点F、G、M，且DE＝AD．（1）求证：△ADG≌△FDM．（2）猜想AB与DG+CE之间有何数量关系，并证明你的猜想．4．如图，已知▱ABCD中，AE平分∠BAD交DC于E，DF⊥BC于F，交AE于G，且AD＝DF．过点D作DC的垂线，分别交AE、AB于点M、N．（1）若M为AG中点，且DM＝2，求DE的长；（2）求证：AB＝CF+DM．5．在平行四边形ABCD中，BE⊥AD，F为CD边上一点，满足BF＝BC＝BE．（1）如图1，若BC＝12，CD＝13，求DE的长；（2）如图2，过点G作DG∥BE交BF于点G．求证：BG＝AE+DG．6．如图，在平行四边形ABCD中，∠ACB＝45°，点E在对角线AC上，BE的延长线交CD于点F，交AD的延长线于点G．（1）若BE＝，EC＝，求△BCE的面积；（2）若∠ABE＝2∠EBC，且AB＝BE，求证：EC＝DG．7．如图1，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，E恰为BC的中点，tan B＝2．（1）求证：AD＝AE；（2）如图2，点P在线段BE上，作EF⊥DP于点F，连接AF，求证：；（3）请你在图3中画图探究：当P为射线EC上任意一点（P不与点E重合）时，作EF 垂直直线DP，垂足为点F，连接AF，线段DF、EF与AF之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论．8．如图①，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB＝AC，AB⊥AC，过点A作AE⊥BD于点E．（1）若BC＝6，求AE的长度；（2）如图②，点F是BD上一点，连接AF，过点A作AG⊥AF，且AG＝AF，连接GC交AE 于点H，证明：GH＝CH．9．在▱ABCD中，点E是BC的中点，过点A作AF⊥CD交直线CD于点F，连接AE、DE（1）如图1，当点F与点C重合时，AB＝AC＝2，求线段DE的长；（2）如图2，若∠EAF＝30°，AE＝CF，求证：BE＝AF．10．已知，在▱ABCD中，AB⊥AC，点E是AC上一点，连换BE，延长BE交AD于点F，BE＝CE．（1）如图1，当∠AEB＝60°，BF＝2时，求▱ABCD的面积；（2）如图2，点G是过点E且与BF垂直的直线上一点，连接GF，GC，FC，当GF＝GC时，求证：AB＝2EG．ABCD BD AD E CD AE BD F G为AF的中点，连接DG．（1）如图1，若DG＝DF＝1，BF＝3，求CD的长；（2）如图2，连接BE，且BE＝AD，∠AEB＝90°，M、N分别为DG，BD上的点，且DM＝BN，H为AB的中点，连接HM、HN，求证：∠MHN＝∠AFB．12．在△BCF中，点D是边CF上的一点，过点D作AD∥BC，过点B作BA∥CD交AD于点A，点G是BC的中点，点E是线段AD上一点，且∠CDG＝∠ABE＝∠EBF．（1）若∠F＝60°，∠C＝45°，BC＝2，请求出AB的长；（2）求证：CD＝BF+DF．13．已知在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥BC于点E，且AD＝DE．连接AC交DE于点F，作DG⊥AC于点G．（1）如图1，若，AF＝，求DG的长；（2）如图2，作EM⊥AC于点M，连接DM，求证：AM﹣EM＝2DG．14．已知，在平行四边形ABCD中，点E是AD边上一点，且DE＝DC．（1）若点E与点A重合（如图1），点B沿MN翻折后的点B1恰好落在AC上，且∠MNB1＝45°，AB1＝1，AM＝2，BM＝．求：①∠AMN的度数；②BN的长；（2）如图2，若CE交对角线BD于F，∠ABD＝2∠DBC，求证：BC＝DF+AB．15．在平行四边形ABCD中，点E是AD边上的点，连接BE．（1）如图1，若BE平分∠ABC，BC＝8，ED＝3，求平行四边形ABCD的周长；（2）如图2，点F是平行四边形外一点，FB＝CD．连接BF、CF，CF与BE相交于点G，若∠FBE+∠ABC＝180°，点G是CF的中点，求证：2BG+ED＝BC．16．如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是BC上一点，且AB＝AE，连接EO并延长交AD于点F．过点B作AE的垂线，垂足为H，交AC于点G．（1）若AH＝3，HE＝1，求△ABE的面积；（2）若∠ACB＝45°，求证：DF＝CG．17．如图，在▱ABCD中，∠ACB＝45°，点E在对角线AC上，BE＝BA，BF⊥AC于点F，BF的延长线交AD于点G．点H在BC的延长线上，且CH＝AG，连接EH．（1）若BC＝12，AB＝13，求AF的长；（2）求证：EB＝EH．18．如图，平行四边形ABCD中，过点C作CE⊥AB于点E，点F是AD上一点，连结BF、CF，交CE于点G。

平行四边形综合练习附答案

平行四边形综合练习学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列判断错误的是（）A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形B．四个内角都相等的四边形是矩形C．四条边都相等的四边形是菱形D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形【答案】D【解析】【分析】分别利用平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定定理，对选项逐一分析即可做出判断．【详解】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，符合平行四边形的判定，故本选项正确，不符合题意；B、∵四边形的内角和为360°，四边形的四个内角都相等，∴四边形的每个内角都等于90°，则这个四边形有三个角是90°，∴这个四边形是矩形，故四个内角都相等的四边形是矩形，本选项正确，不符合题意；C、四条边都相等的四边形是菱形，符合菱形的判定，故本选项正确，不符合题意；D、两条对角线垂直且平分的四边形是菱形，不一定是正方形，故本选项错误，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定定理，解题的关键是正确理解并掌握判定定理．2．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E是BC的中点．若OE ，则AB的长为（）6cm【答案】D【解析】【分析】根据平行四边形的性质，可得出点O 平分AC ，则OE 是三角形ABC 的中位线，则AB ＝2OE ，继而求出答案．【详解】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AO ＝CO ，∵点E 是CB 的中点，∴OE 为△ABC 的中位线，∴AB ＝2OE ，∵OE ＝6cm ，∴AB ＝12cm ．故选：D ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和三角形的中位线定理，关键是根据平行四边形的性质得出OE 为△ABC 的中位线．3．如图，点P 是矩形ABCD 的对角线上一点，过点P 作EF //BC ，分别交,AB CD 于,E F ，连接,PB PD ，若1,3AE PF ==，则图中阴影部分的面积为（）A ．3B ．6C ．9D ．12 【答案】A【解析】【分析】先根据矩形的性质证得DFP PBE SS =，然后求解即可．【详解】∴四边形AEPM 、四边形DFPM 、四边形CFPN 和四边形BEPN 都是矩形，∵ADC ABC S S =△△，AMP AEP S S =，PBE PBN S S =，PFD PDM S S =，PFC PCN S S =， ∴S 矩形DFPM =S 矩形BEPN ，∵PM =AE =1，PF =NC =3， ∴131322DFP PBE S S ==⨯⨯=△△， ∴S 阴=33+=322，故选：A ．【点睛】本题主要考查矩形的性质、三角形的面积等知识，证得DFP PBE S S =是解答本题的关键． 4．在四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（） A ．AC ＝BD ，AB ∥CD ，AB ＝CDB ．AD ∥BC ，∠A ＝∠C C ．AO ＝BO ＝CO ＝DO ，AC ⊥BDD ．AO ＝CO ，BO ＝DO ，AB ＝BC【答案】C【解析】【详解】试题分析：根据正方形的判定：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行分析从而得到最后的答案．解：A ，不能，只能判定为矩形；B ，不能，只能判定为平行四边形；C ，能；D ，不能，只能判定为菱形．故选C ．5．如图，ABC ∆中，DE BC ∥，EF AB ∥，要判定四边形DBFE 是菱形，还需要添加的条件是（）A ．BE 平分ABC ∠B ．AD BD =C ．BE AC ⊥D ．AB AC =【答案】A【解析】【分析】当BE 平分∠ABC 时，四边形DBFE 是菱形，可知先证明四边形BDEF 是平行四边形，再证明BD=DE 即可解决问题．【详解】解：当BE 平分ABC ∠时，四边形DBFE 是菱形，理由：∵DE BC ∥，∴DEB EBC ∠=∠，∵EBC EBD ∠=∠，∴EBD DEB ∠=∠，∴BD DE =，∵DE BC ∥，EF AB ∥，∴四边形DBFE 是平行四边形，∵BD DE =，∴四边形DBFE 是菱形.其余选项均无法判断四边形DBFE 是菱形，故选A.【点睛】本题考查菱形的判定、平行四边形的判定和性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 6．若一个菱形的边长为2，则这个菱形两条对角线长的平方和为( )A ．16B ．8C ．4D ．1【答案】A根据菱形的对角线互相垂直平分，即菱形被对角线平分成四个全等的直角三角形，根据勾股定理，即可求解．【详解】解：设两对角线长分别是：a ，b ．则（12a ）2+（12b ）2=22，故有a 2+b 2=16．故选：A ．【点睛】本题主要考查了菱形的性质和勾股定理，菱形被两个对角线平分成四个全等的直角三角形，因为菱形的这个性质，使得菱形的题目一般都会和勾股定理结合起来，同学们要注意掌握．7．如图，把一张矩形纸片ABCD 按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形BEF ，若BC =1，则AB 的长度为（）A 2B 21+C 51+D ．43【答案】A【解析】【分析】先判断出∠ADE =45°，进而判断出AE =AD ，利用勾股定理即可得出结论．【详解】解：由折叠补全图形如图所示，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ADA '=∠B =∠C =∠A =90°，AD =BC =1，CD =AB ，由第一次折叠得：∠DAE =∠A =90°，∠ADE =12∠ADC =45°，∴∠AED =∠ADE =45°，∴AE =AD =1，在Rt △ADE 中，根据勾股定理得，DE 2AD 2，由第二次折叠可知，DC DE =【点睛】本题考查了图形的折叠和勾股定理，搞清楚折叠中线段的数量关系是解决此类题的关键．8．如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 作OG AC ⊥，交AB 于点G ，连接CG ，若15BOG ∠=，则BCG ∠的度数是（）A ．15B ．15.5C ．20D ．37.5【答案】A【解析】【分析】根据矩形的性质求出OCB ∠的度数，从而得到GAC ∠的度数，再根据垂直平分线的性质得到GCA GAC ∠=∠，最后求出BCG ∠的度数．【详解】解：∵OG AC ⊥，∴90COG ∠=︒，∵15BOG ∠=︒，∴901575COB COG BOG ∠=∠-∠=︒-︒=︒，∵四边形ABCD 是矩形，∴AC BD =，12OC OA AC ==，12OB OD BD ==，//AB DC ，90BCD ∠=︒， ∴OC OB =， ∴1801807552.522COB OCB OBC ︒-∠︒-︒∠=∠===︒， ∴37.5ACD BCD OCB ∠=∠-∠=︒，∵//AB CD ，∴37.5GAC ACD ∠=∠=︒，∴GO 是AC 的垂直平分线，∴AG CG =，∴37.5GCA GAC ∠=∠=︒，∴52.537.515BCG OCB GCA ∠=∠-∠=︒-︒=︒．故选：A ．【点睛】本题考查矩形的性质，垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握这些性质定理，并结合题目条件进行证明．二、填空题9．正方形是有一组邻边_______，并且有一个角是_______的平行四边形，因此它既是______又是________．【答案】相等直角矩形菱形【解析】【分析】根据正方形的定义和性质填空即可．【详解】正方形是有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形，因此它既是矩形又是菱形．故答案为：相等，直角，矩形，菱形【点睛】本题考查了正方形的定义，解题关键是明确正方形的定义：正方形是有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形，因此它既是矩形又是菱形．10．如图，在矩形ABCD 中，5AB =，4BC =，将矩形ABCD 翻折，使得点B 落在CD 边上的点E 处，折痕AF 交BC 于点F ，则FC =______【答案】32【分析】在Rt△ADE中，AD2+DE2=AE2，可得DE=3，CE=CD-DE=2，设FC=x，则EF=BC-FC=4-x，在Rt△ECF中，EF2=EC2+FC2，可得（4-x）2=22+x2，解方程即可．【详解】解∵△ABF≌△AEF，∴AE=AB=5，在矩形ABCD中，AD=BC=4，在Rt△ADE中，AD2+DE2=AE2，∴DE=3，CE=CD-DE=2，设FC=x，则EF=BC-FC=4-x，在Rt△ECF中，EF2=EC2+FC2，即（4-x）2=22+x2，8x=12，x=32，∴FC=32．故此答案为32．【点睛】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．11．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，将△ABC沿CB向右平移得到△DEF，若平移距离为2，则四边形ABED的面积等于_______．【答案】8【解析】【分析】形ABED 是平行四边形，最后根据平行四边形的面积公式即可得．【详解】由平移的性质得2AD BE ==，4DF AC ==，90C DFE ∠=∠=︒∴四边形ACFD 是矩形//AD CF ∴//AD BE ∴∴四边形ABED 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）则四边形ABED 的面积为428DF BE ⋅=⨯=故答案为：8．【点睛】本题考查了平移的性质、平行四边形的判定、矩形的判定与性质等知识点，掌握平移的性质是解题关键．12．如图，ACE ∆是以ABCD 的对角线AC 为边的等边三角形，点C 与点E 关于x 轴对称．若E 点的坐标是(7,33)-，则D 点的坐标是_____．【答案】（5，0）【解析】【分析】设CE 和x 轴交于H ，由对称性可知63CE =63AC CE ==根据勾股定理即可求出AH 的长，进而求出AO 和DH 的长，所以OD 可求，又因为D 在x 轴上，纵坐标为0，问题得解．【详解】解：点C 与点E 关于x 轴对称，E 点的坐标是(7,33)-， C ∴的坐标为(7，33)，33CH ∴=3CE =63AC ∴=，9AH ∴=，7OH =，2AO DH ∴==，5OD ∴=，D ∴点的坐标是(5,0)，故答案为：(5,0)．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、点关于x 轴对称的特点以及勾股定理的运用，解题的关键是综合应用以上知识点．13．如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，P 是AD 上不与A 和D 重合的一个动点，过点P 分别作AC 和BD 的垂线，垂足为E ，F ，则PE PF +的值为______．【答案】245【解析】【分析】连接OP ，利用勾股定理列式求出BD ，再根据矩形的对角线相等且互相平分求出OA 、OD ，然后根据S △AOD =S △AOP +S △DOP 列方程求解即可．【详解】解：如图，连接OP ，∵AB=6，AD=8，∴2222.6810BD AB AD ++=，∵四边形ABCD 是矩形，∵S△AOD=S△AOP+S△DOP，∴12×12×6×8=12×5•PE+12×5•PF，解得PE+PF=245．故答案为：245．【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形的面积，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键．14．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（20，0），点B的坐标是（16，0），点C、D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，则点C的坐标为_____．【答案】（2，6）【解析】【分析】此题涉及的知识点是平面直角坐标系图像性质的综合应用．过点M作MF⊥CD于F，过C作CE⊥OA于E，在Rt△CMF中，根据勾股定理即可求得MF与EM，进而就可求得OE，CE的长，从而求得C的坐标．【详解】∵四边形OCDB是平行四边形,点B的坐标为(16,0)，CD∥OA，CD=OB=16，过点M作MF⊥CD于F,则182CF CD，==过C作CE⊥OA于E，∵A(20,0)，∴OA=20，OM=10，∴OE=OM−ME=OM−CF=10−8=2，连接MC,110,2MC OA==∴在Rt△CMF中，2222108 6.MF MC CF=-=-=∴点C的坐标为(2,6).故答案为(2,6).【点睛】此题重点考察学生对坐标与图形性质的实际应用，勾股定理，注意数形结合思想在解题的关键．三、解答题15．如图是某区部分街道示意图，其中AB AF⊥，E、D分别是FA和FG的中点，点C、D、E在一条直线上，点A、G、B在一条直线上，//BC FG．从B站乘车到E站只有两条路线有直接到达的公交车，路线1是B D A E⇒⇒⇒，且长度为5公里，路线2是B C F E⇒⇒⇒，求路线2的长度．【答案】5公里【解析】【分析】证明四边形BCDG是平行四边形，得到DG＝CB，再证四边形BCFD是平行四边形，根据平行四边形的性质计算，得到答案．【详解】解：∵E、D分别是FA和FG的中点，∴AB∥DE，∵BC∥GF，∴四边形BCDG是平行四边形，∴DG＝CB．∵FD＝DG，∴CB＝FD．又∵BC ∥DF ，∴四边形BCFD 是平行四边形，∴CF ＝BD ，∵AB ∥DE ，AB AF ⊥，FE ＝AE ，∴CE 垂直平分AF ，∴AE ＝FE ，FD ＝DA ，∴BC ＝DA ，∴路线2的长度：BC +CF +FE ＝AD +BD +AE ＝5（公里）．【点睛】本题考查的是平行四边形的判定和性质、线段垂直平分线的性质，掌握平行四边形的判定定理和性质定理是解题的关键．16．已知：如图，ABCD 中，5AB =，3BC =．（1）作DAB ∠的角平分线，交CD 于点E （用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）求CE 的长．【答案】（1）见解析；（2）CE 的长为2【解析】【分析】（1）根据尺规作图作DAB ∠的平分线即可；（2）根据平行四边形的性质和角平分线的定义，求出DE ＝DA ＝BC ＝3，再求出CE 即可．【详解】解：如图，（1）AE 即为∠DAB 的角平分线；（2）∵AE 为∠DAB 的角平分线，∴∠DAE ＝∠BAE ，在▱ABCD中，CD∥AB，∴∠BAE＝∠DEA，∴∠DAE＝∠DEA，∴DE＝DA＝BC＝3，∵DC＝AB＝5，∴CE＝CD﹣DE＝2．答：CE的长为2．【点睛】当平行线遇上角平分线时，通过角的转化，可以得到等腰三角形，这是初中几何一个很重要的数学模型，要深刻领会．17．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF，（1）求证：AF=DC；（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）根据AAS证△AFE≌△DBE，推出AF=BD，即可得出答案．（2）得出四边形ADCF是平行四边形，根据直角三角形斜边上中线性质得出CD=AD，根据菱形的判定推出即可．【详解】解：（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE．∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，∴AE=DE，BD=CD．在△AFE和△DBE中，∵∠AFE=∠DBE，∠FEA=∠BED，AE=DE，∴△AFE≌△DBE（AAS）∴AF =BD ．∴AF =DC ．（2）四边形ADCF 是菱形，证明如下：∵AF ∥BC ，AF =DC ，∴四边形ADCF 是平行四边形．∵AC ⊥AB ，AD 是斜边BC 的中线，∴AD =DC ．∴平行四边形ADCF 是菱形．18．如图，四边形ABCD 是边长为13cm 的菱形，其中对角线BD 长10cm ．求：（1）对角线AC 的长度；（2）菱形ABCD 的面积．【答案】（1）24cm AC =；（2）2120cm【解析】【分析】（1）根据菱形的对角线互相垂直平分，可利用勾股定理求出AE 的长，从而求出AC 的长；（2）根据菱形的面积公式：两条对角线乘积的一半即可求得面积．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是菱形，AC 与BD 相交于点E ，∴90AED ∠=︒（菱形的对角线互相垂直），11105(cm)22DE BD ==⨯=（菱形的对角线互相平分）． ∴222213512(cm)AE AD DE =--=．∴221224(cm)AC AE ==⨯=（菱形的对角线互相平分）；（2）ABD BDC ABCD S S S =+菱形1122BD AE BD CE =⋅+⋅ 1()2BD AE CE =⋅+ 12BD AC =⋅ 110242=⨯⨯ 2120(cm )=．【点睛】本题主要考查了菱形的性质、菱形的面积公式、勾股定理，熟知菱形的性质是解本题的关键．19．如图，E 是▱ABCD 的边CD 的中点，延长AE 交BC 的延长线于点F ．（1）求证：△ADE ≌△FCE ．（2）若∠BAF =90°，BC =5，EF =3，求CD 的长．【答案】（1）证明过程见解析；（2）8【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD ∥BC ，AB ∥CD ，证出∠DAE =∠F ，∠D =∠ECF ，由AAS 证明△ADE ≌△FCE 即可；（2）由全等三角形的性质得出AE =EF =3，由平行线的性质证出∠AED =∠BAF =90°，由勾股定理求出DE ，即可得出CD 的长．【详解】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，∴∠DAE =∠F ，∠D =∠ECF ，∵E 是▱ABCD 的边CD 的中点， ∴DE =CE ，在△ADE 和△FCE 中，DAE F D ECF DE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ADE ≌△FCE （AAS ）；（2）∵ADE≌△FCE，∴AE=EF=3，∵AB∥CD，∴∠AED=∠BAF=90°，在▱ABCD中，AD=BC=5，∴DE=2222-=-=4，AD AE53∴CD=2DE=8【点睛】考点：（1）平行四边形的性质；（2）全等三角形的判定与性质20．(1)如图,纸片▱ABCD中,AD=5,S▱ABCD=15.过点A作AE⊥BC,垂足为E,沿AE剪下△ABE,将它平移至△DCE'的位置,拼成四边形AEE'D,则四边形AEE'D的形状为() A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形(2)如图,在(1)中的四边形纸片AEE/D中,在EE/上取一点F,使EF=4,剪下△AEF,将它平移至△DE/F/的位置,拼成四边形AFF/D．①求证:四边形AFF'D是菱形;②求四边形AFF'D的两条对角线的长.图1图2【答案】（1）C；（2）①证明见解析；1010【解析】【详解】试题分析：（1）如图1，纸片▱ABCD中，AD=5，S▱ABCD=15，过点A作AE⊥BC，垂足为E，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCE′的位置，拼成四边形AEE′D，则四边形AE E′D的形状为矩形，故选C；（2）①证明：∵纸片▱ABCD中，AD=5，S▱ABCD=15，过点A作AE⊥BC，垂足为E，∴AE=3．如图2：∵△AEF ，将它平移至△DE′F′，∴AF ∥DF′，AF=DF′，∴四边形AFF′D 是平行四边形．在Rt △AEF 中，由勾股定理，得AF=2222=34++AE EF =5，∴AF=AD=5，∴四边形AFF′D 是菱形；②连接AF′，DF ，如图3：在Rt △DE′F 中E′F=FF′﹣E′F′=5﹣4=1，DE′=3，∴DF=2222=13=10''++E D E F ，在Rt △AEF′中EF′=EF+FF′=4+5=9，AE=3，∴AF′=2222=39'++AE F E =310．考点：①图形的剪拼；②平行四边形的性质；③菱形的判定与性质；④矩形的判定；⑤平移的性质．21．如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别为边AD 和CD 上的点，且AE=CF ，连接AF 、CE 交于点G ．求证：AG=CG ．【答案】证明见解析．【解析】【分析】先用SAS 证明△ADF ≌△CDE ，得∠DAF=∠DCE ，再用AAS 证明△AGE ≌△CGF 即可.【详解】∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ADF=∠CDE=90°，AD=CD ．∵AE=CF ，∴DE=DF ，在△ADF 和△CDE 中,AD AD ADF CDE DF DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ADF ≌△CDE （SAS ），∴∠DAF=∠DCE ，在△AGE 和△CGF 中，GAE GCF AGE CGF AE CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AGE ≌△CGF （AAS ），∴AG=CG ．22．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝45°，△AEF 是由△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转得到的，连接BE ，CF 相交于点D,（1）求证：BE ＝CF ；（2）当四边形ACDE 为菱形时，求BD 的长．【答案】（1）证明见解析（22【解析】【分析】（1）先由旋转的性质得AE=AB ，AF=AC ，∠EAF=∠BAC ，则∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF ，即∠EAB=∠FAC ，利用AB=AC 可得AE=AF ，得出△ACF ≌△ABE ，从而得出BE=CF ；（2）由菱形的性质得到DE=AE=AC=AB=1，AC ∥DE ，根据等腰三角形的性质得∠AEB=∠ABE ，根据平行线得性质得∠ABE=∠BAC=45°，所以∠AEB=∠ABE=45°，于是可判断△ABE 为等腰直角三角形，所以22BD=BE ﹣DE 求解．【详解】（1）∵△AEF 是由△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转得到的，∴AE=AB ，AF=AC ，∠EAF=∠BAC ，∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF ，即∠EAB=∠FAC ，在△ACF 和△ABE 中，AC AB CAF BAE AF AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACF ≌△ABE∴BE=CF.（2）∵四边形ACDE 为菱形，AB=AC=1，∴DE=AE=AC=AB=1，AC ∥DE ，∴∠AEB=∠ABE ，∠ABE=∠BAC=45°，∴∠AEB=∠ABE=45°，∴△ABE 为等腰直角三角形，∴BE=2AC=2，∴BD=BE ﹣DE=21-．考点：1．旋转的性质；2．勾股定理；3．菱形的性质． 23．如图，AD 是ABC 的中线，//AE BC ，且12AE BC =，连接DE ，CE ．（1）求证：AB DE =；（2）当ABC 满足条件__________时，四边形ADCE 是矩形．【答案】（1）见解析；（2）AB =AC 或 ABC ACB ∠=∠【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理和平行四边形的判定和性质解答即可；（2）根据矩形的判定解答即可．【详解】（1）∵AD 是ABC 的中线，∴12BD BC =， ∵12AE BC =， ∴AE BD =，∵//AE BC ，∴四边形ABDE 是平行四边形，∴AB DE =（2）当△ABC 满足AB =AC 或ABC ACB ∠=∠时，四边形ADCE 是矩形， 11,,22BC BD AE CD BC =∴== ∴AE =CD ，∵AE ∥BC ，∴四边形ADCE 是平行四边形，∵AB =DE ，∴当AB =AC 或ABC ACB ∠=∠时，AC =DE ，∴四边形ADCE 是矩形．【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质以及矩形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．24．在边长为5的正方形ABCD 中，点E 在边CD 所在直线上，连接BE ，以BE 为边，在BE 的下方作正方形BEFG ，并连接AG ．（1）如图1，当点E 与点D 重合时，AG ＝；（2）如图2，当点E 在线段CD 上时，DE ＝2，求AG 的长；（3）若AG ＝5172，请直接写出此时DE 的长．【答案】（1）5（2109（3）52或152．【解析】【分析】（1）如图1，连接CG ，证明△CBD ≌△CBG （SAS ），可得G ，C ，D 三点共线，利用勾股定理可得AG 的长；（2）如图2，作辅助线，构建全等三角形，证明△BCE ≌△BKG ，可得AK 和KG 的长，利用勾股定理计算AG 的长；（3）分三种情况：①当点E在边CD的延长线上时，如图3，同（2）知△BCE≌△BKG （AAS），BC＝BK＝5，根据勾股定理可得KG的长，即可CE的长，此种情况不成立；②当点E在边CD上；③当点E在DC的延长线上时，同理可得结论．【详解】（1）如图1，连接CG，∵四边形ABCD和四边形EBGF是正方形，∴∠CDB＝∠CBD＝45°，∠DBG＝90°，BD＝BG，∴∠CBG＝45°，∴∠CBG＝∠CBD，∵BC＝BC，∴△CBD≌△CBG（SAS），∴∠DCB＝∠BCG＝90°，DC＝CG＝5，∴G，C，D三点共线，∴AG＝22+＝22AD DG+＝55，510故答案为：55；（2）如图2，过点G作GK⊥AB，交AB的延长线于K，∵DE＝2，DC＝5，∴CE＝3，∵∠EBG＝∠EBC＋∠CBG＝90°，∠CBG＋∠GBK＝90°，∵BE＝BG，∠K＝∠BCE＝90°，∴△BCE≌△BKG（AAS），∴CE＝KG＝3，BC＝BK＝5，∴AK＝10，由勾股定理得：AG＝22103+＝109；（3）分三种情况：①当点E在CD的延长线上时，如图3，由（2）知△BCE≌△BKG（AAS），∴BC＝BK＝5，∵AG＝5172，由勾股定理得：KG＝22517102⎛⎫-⎪⎪⎝⎭=52，∴CE＝KG＝52，此种情况不成立；②当点E在边CD上时，如图4，由（2）知△BCE≌△BKG（AAS），∵AG＝5172，由勾股定理得：KG＝22517102⎛⎫-⎪⎪⎝⎭=52，∴CE＝KG＝52，∴DE＝CD-CE=52；③当点E在DC的延长线上时，如图5，同理得CE＝KG＝52，∴DE＝5＋52＝152；综上，DE的长是52或152．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．。

(完整版)八年级数学平行四边形专题练习题(含答案)

图1 A B C D初二数学平行四边形专题练习1．如果边长分别为4cm 和5cm 的矩形与一个正方形的面积相等，那么这个正方形的边长为______cm ．2．（08贵阳市）如图1，正方形ABCD 的边长为4cm ，则图中阴影部分的面积为 cm 2．3.若四边形ABCD 是平行四边形，请补充条件 (写一个即可)，使四边形ABCD 是菱形．4．在平行四边形ABCD 中，已知对角线AC 和BD 相交于点O ，△ABO 的周长为17，AB ＝6，那么对角线AC ＋BD ＝⒎以正方形ABCD 的边BC 为边做等边△BCE ，则∠AED 的度数为 .5．已知菱形ABCD 的边长为6，∠A ＝60°，如果点P 是菱形内一点，且PB ＝PD ＝2那么AP 的长为．6．在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 的坐标分别是A(－2，5)，B(－3，－1)，C(1，－1)，在第一象限内找一点D ，使四边形ABCD 是平行四边形，那么点D 的坐标是．二、选择题（每题3分，共30分）7．如图2在平行四边形ABCD 中，∠B=110°，延长AD 至F ，延长CD 至E ，连结EF ，则∠E ＋∠F ＝( )A ．110°B ．30°C ．50°D ．70°图2 图3 图48．菱形具有而矩形不具有的性质是 ( )A ．对角相等B ．四边相等C ．对角线互相平分D ．四角相等9．如图3所示，平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，点E 是BC 的中点．若OE=3 cm ，则AB 的长为 ( )A ．3 cmB ．6 cmC ．9 cmD ．12 cm10．已知：如图4，在矩形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 的中点．若AB ＝2，AD ＝4，则图中阴影部分的面积为 ( )A ．8B ．6C ．4D ．3E AF D C B HG11．将两块能完全重合的两张等腰直角三角形纸片拼成下列图形：①平行四边形（不包括菱形、矩形、正方形）②矩形③正方形④等边三角形⑤等腰直角三角形( )A．①③⑤B．②③⑤C．①②③D．①③④⑤12．如图5所示，是一块电脑主板的示意图，每一转角处都是直角，数据如图所示(单位：mm)，则该主板的周长是( )A．88 mm B．96 mm C．80 mm D．84 mm图5 图613、（08甘肃省白银市）如图6所示，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若150∠=o，∠=（）则AEFA．110° B．115°C．120° D．130°14、四边形ABCD，仅从下列条件中任取两个加以组合，使得ABCD是平行四边形，一共有多少种不同的组合？（）AB∥CD BC∥AD AB=CD BC=ADA.2组B.3组C.4组D.6组15、下列说法错误的是（）A.一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形.B.每组邻边都相等的四边形是菱形.C. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形.D.四个角都相等的四边形是矩形.三、解答题16、如图7，四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8 cm ,BD＝6 cm, DH⊥AB于H，求：DH的长。

初三数学-平行四边形专题练习题(含答案)

图1 A B C D 初三数学平行四边形专题练习1．如果边长分别为4cm 和5cm 的矩形与一个正方形的面积相等，那么这个正方形的边长为______cm ．2．如图1，正方形ABCD 的边长为4cm ，则图中阴影部分的面积为 cm 2．3.若四边形ABCD 是平行四边形，请补充条件(写一个即可)，使四边形ABCD 是菱形．4．在平行四边形ABCD 中，已知对角线AC 和BD 相交于点O ，△ABO 的周长为17，AB ＝6，那么对角线AC ＋BD ＝⒎以正方形ABCD 的边BC 为边做等边△BCE ，则∠AED 的度数为 .5．已知菱形ABCD 的边长为6，∠A ＝60°，如果点P 是菱形内一点，且PB ＝PD ＝2那么AP 的长为．6．在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 的坐标分别是A(－2，5)，B(－3，－1)，C(1，－1)，在第一象限内找一点D ，使四边形ABCD 是平行四边形，那么点D 的坐标是．二、选择题（每题3分，共30分）7．如图2在平行四边形ABCD 中，∠B=110°，延长AD 至F ，延长CD 至E ，连结EF ，则∠E ＋∠F ＝( )A ．110°B ．30°C ．50°D ．70°图2 图3 图48．菱形具有而矩形不具有的性质是 ( )A ．对角相等B ．四边相等C ．对角线互相平分D ．四角相等9．如图3所示，平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，点E 是BC 的中点．若OE=3 cm ，则AB 的长为 ( )A ．3 cmB ．6 cmC ．9 cmD ．12 cm10．已知：如图4，在矩形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 的中点．若AB ＝2，AD ＝4，则图中阴影部分的面积为 ( ) E A F D C B HGA．8 B．6 C．4 D．311．将两块能完全重合的两张等腰直角三角形纸片拼成下列图形：①平行四边形（不包括菱形、矩形、正方形）②矩形③正方形④等边三角形⑤等腰直角三角形( )A．①③⑤B．②③⑤C．①②③D．①③④⑤12．如图5所示，是一块电脑主板的示意图，每一转角处都是直角，数据如图所示(单位：mm)，则该主板的周长是( )A．88 mm B．96 mm C．80 mm D．84 mm图5 图613、如图6所示，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若150∠=o，则AEF∠=（）A．110° B．115°C．120° D．130°14、四边形ABCD，仅从下列条件中任取两个加以组合，使得ABCD是平行四边形，一共有多少种不同的组合？（）AB∥CD BC∥AD AB=CD BC=ADA.2组B.3组C.4组D.6组15、下列说法错误的是（）A.一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形.B.每组邻边都相等的四边形是菱形.C. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形.D.四个角都相等的四边形是矩形.三、解答题16、如图7，四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8 cm ,BD＝6 cm, DH⊥AB于H，求：DH的长。

初中数学平行四边形练习题(含答案)

绝密★启用前《平行四边形》培优专题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一．解答题（共40小题）1．附加题：（成绩只作参考，不计入总分）如图：正方形ABCD中内有一E，连接AE，BE，使∠EAB＝∠EBA＝15°，证明：（1）DE＝CE；（2）△CDE是正三角形．2．如图，在正方形ABCD中，P是CD上一点，且AP＝BC+CP，Q为CD中点，求证：∠BAP＝2∠QAD．3．已知，如图，在正方形ABCD中，O是对角线的交点，AF平分∠BAC，DH⊥AF于点H，交AC于点G，DH延长线交AB于点E．求证：BE＝2OG．4．如图，在矩形ABCD中，已知AD＝12，AB＝5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD，PE⊥AC，E、F分别是垂足，求PE+PF的长．5．在正方形ABCD中，P为AB的中点，BE⊥PD的延长线于点E，连接AE、BE、F A⊥AE 交DP于点F，连接BF，FC．求证下列结论：①FB＝AB；②CF⊥EF，FC＝EF．6．平行四边形ABCD中，AB＝2BC，BE⊥AD于点E，F是DC中点．求证：∠EFC＝3∠DEF．7．如图，在△ABC中，D为BC的中点，点E、F分别在边AC、AB上，并且∠ABE＝∠ACF，BE、CF交于点O．过点O作OP⊥AC，OQ⊥AB，P、Q为垂足．求证：DP＝DQ．8．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，BC＝10cm，AD＝8cm，E点F点分别为AB，AC的中点．（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）求菱形AEDF的面积；（3）若H从F点出发，在线段FE上以每秒2cm的速度向E点运动，点P从B点出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向C点运动，问当t为何值时，四边形BPHE是平行四边形？当t取何值时，四边形PCFH是平行四边形？9．如图，已知正方形ABCD的边长为√2，连接AC、BD交于点O，CE平分∠ACD交BD 于点E，（1）求DE的长；（2）过点EF作EF⊥CE，交AB于点F，求BF的长；（3）过点E作EG⊥CE，交CD于点G，求DG的长．10．菱形ABCD中，F是对角线AC的中点，过点A作AE⊥BC垂足为E，G为线段AB上一点，连接GF并延长交直线BC于点H．（1）当∠CAE＝30°时，且CE=√3，求菱形的面积；（2）当∠BGF+∠BCF＝180°，AE＝BE时，求证：BF＝（√2+1）GF．11．在▱ABCD中，E，F分别是AB、CD的中点，AF与DE相交于点G，CE与BF相交于点H．（1）求证：四边形EHFG是平行四边形；（2）▱ABCD应满足什么条件时，四边形EHFG是矩形？并说明理由；（3）▱ABCD应满足什么条件时，四边形EHFG是正方形？（不要说明理由）．12．如图，在△ABC中，点D在边AC上，DB＝BC，E是CD的中点，F是AB的中点，求证：EF=12AB．13．边长为a的正方形ABCD中，点E是BD上一点，过点E作EF⊥AE交射线CB于点F，连结CE．（1）若点F在边BC上（如图）；①求证：CE＝EF；②若BC＝2BF，求DE的长．（2）若点F在CB延长线上，BC＝2BF，请直接写出DE的长．14．如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A、B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．（1）求证：GF＝GC；（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．15．（1）如图1，已知DE∥BC，∠D：∠DBC＝2：1，∠1＝∠2．求∠DEB的度数．（2）“三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题，今天人们已经知道，仅用圆规直尺是不可能做出的．在探索中，有人曾利用过如图2所示的图形，其中，ABCD是长方形（AD ∥CB，F是DA延长线上一点，G是CF上一点，并且∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠F，你能证明∠ECB=13∠ACB吗？16．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF＝90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．（1）求证：OM＝ON．（2）若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．17．如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是BC上一点，且AB ＝AE，连接EO并延长交AD于点F．过点B作AE的垂线，垂足为H，交AC于点G．（1）若AH＝3，HE＝1，求△ABE的面积；（2）若∠ACB＝45°，求证：DF=√2CG．18．如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB＝10，AC＝6，求DF的长．19．如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线一点，对角线BD与AC交于点O，以线段AG为边作一个正方形AEFG，连接EB、GD．（1）求证：EB＝GD；（2）若AB＝5，AG＝2√2，求EB的长．20．如图1，在矩形ABCD中，AC为对角线，延长CD至点E使CE＝CA，连接AE．F为AB上的一点，且BF＝DE，连接FC．（1）若DE＝1，CF=2√2，求CD的长；（2）如图2，点G为线段AE的中点，连接BG交AC于H，若∠BHC+∠ABG＝60°，求证：AF+CE=√3AC．21．如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，且AB＝AE，延长AB与DE的延长线交于点F．下列结论中：求证：（1）△ABE是等边三角形；（2）△ABC≌△AED；（3）S△ABE＝S△CEF．22．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：AF＝DC；（2）△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是矩形？并证明你的结论．23．如图1，在平行四边形ABCD中，E，F分别在边AD，AB上，连接CE，CF，且满足∠DCE＝∠BCF，BF＝DE，∠A＝60°，连接EF．（1）若EF＝2，求△AEF的面积；（2）如图2，取CE的中点P，连接DP，PF，DF，求证：DP⊥PF．24．在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，连接AC、BD，E、F分别是AC、BD的中点，连接EF，试证明EF⊥BD．25．如图①，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PE＝P A，PE交CD于F．（1）求证：PC＝PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图②，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其它条件不变，若∠ABC＝65°，则∠CPE ＝度．26．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE．已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．求证：（1）AC＝EF；（2）四边形ADFE是平行四边形；（3）AC⊥DF．27．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝8，DC＝6，AD＝10．动点P 从点D出发，沿线段DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．（1）若四边形ABQP为平行四边形，求运动时间t．（2）当t为何值时，三角形BPQ是以BQ或BP为底边的等腰三角形？28．如图，在▱ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与边AD、BC分别交于E、F．四边形AFCE是菱形吗？请说明理由．29．如图，在矩形ABCD中，BC＝24cm，P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发，沿AD、BC、CB、DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止、已知在相同时间内，若BQ＝xcm（x≠0），则AP＝2xcm，CM＝3xcm，DN＝x2cm，（1）当x为何值时，点P、N重合；（2）当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形．30．如图，以△ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，试判断△ABC与△AEG面积之间的关系，并说明理由．31．正方形ABCD中，E、F是AD上的两个点，AE＝DF，连CF交BD于点M，连AM交BE于点N，连结DN．如果正方形的边长为2．（1）求证：BE⊥AM；（2）求DN的最小值．32．如图，已知△ABD、△BCE、△ACF都是等边三角形．（1）试判断四边形ADEF的形状并说明理由．（2）当△ABC满足，四边形ADEF是矩形（不需证明）．（3）当△ABC满足，四边形ADEF是菱形（不需证明）．（4）当△ABC满足，四边形ADEF不存在（不需证明）．33．如图，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，AE、DE、BF、AF把正方形分成8小块，各小块的面积分别为S1、S2、…S8，若S2＝2，S7＝3，S8＝8，则S3的值为．34．如图：在△ABC中，CE、CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD，AE⊥CE于E，AF ⊥CF于F，直线EF分别交AB、AC于M、N．（1）求证：四边形AECF为矩形；（2）试猜想MN与BC的关系，并证明你的猜想；（3）如果四边形AECF是菱形，试判断△ABC的形状，直接写出结果，不用说明理由．35．已知：如图，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，点E为AC中点，点F 为BD中点．求证：EF⊥BD．36．已知，正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：；（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图③，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于点H，且MH＝2，NH＝3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论）37．如图正方形ABCD的边长为12，E为CD上一点（CE＜DE），P为AD上一点，且∠PBE ＝45°，PE＝10，过B作BF⊥PE于F．（1）求证：BF＝CD；（2）求CE的长．38．如图，任意五边形ABCDE，M、N、P、Q分别为AB、CD、BC、DE的中点，K、L分别为MN、PQ的中点，求证：KL∥AE且KL=14AE．39．如图所示．在四边形ABCD中，CD＞AB，AB与CD不平行，E，F分别是AC，BD的中点．求证：EF＞12(CD−AB)．40．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，O为AC、BD的中点，AB＝10，AC＝16，BD＝12．（1）四边形ABCD是什么特殊的四边形？请证明；（2）点P在AO上，点Q在DO上，且AP＝2OQ．若PQ＝BQ，求AP的长．《平行四边形》培优专题参考答案与试题解析一．解答题（共40小题）1．附加题：（成绩只作参考，不计入总分）如图：正方形ABCD中内有一E，连接AE，BE，使∠EAB＝∠EBA＝15°，证明：（1）DE＝CE；（2）△CDE是正三角形．【分析】（1）由正方形的性质可以得出∠DAB＝∠ABC＝90°，由∠EAB＝∠EBA＝15°，可以得出∠DAE＝∠EBC＝75°及AE＝BE，从而可以证明△AED≌△BEC，然后就可以得出结论．（2）以AB为边作正三角形ABM，连接ME，可以得到∠EAM＝∠EBM＝75°，利用三角形全等可以得出∠AEM＝∠BEM＝75°，可以得出ME＝MB，再证明△BME≌△BCE，可以得出CE＝ME，得到EC＝BC＝CD．从而得出结论．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，∵∠EAB＝∠EBA＝15°，∴∠DAE＝∠EBC＝75°，AE＝BE，∴△AED≌△BEC，∴DE＝CE．（2）以AB为边作正三角形ABM，连接ME，如图所示：∵∠EAB＝∠EBA＝15°，∴AE＝BE，又∠EAM＝∠EBM＝75°，∵ME＝ME，∴△MAE≌△MBE，∴∠MEB＝∠MEA＝75°，∴EM＝MB＝AB，∵∠EBC＝75°，∴∠CBE＝∠EBM，∴△BME≌△BCE，∴CE＝ME＝CB＝DC，同理：DE＝EM＝CB＝DC，∴CE＝DE＝CD，∴△CDE是正三角形．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定和等腰三角形的性质的运用．2．如图，在正方形ABCD中，P是CD上一点，且AP＝BC+CP，Q为CD中点，求证：∠BAP＝2∠QAD．【分析】作∠BAC的平分线交BC于M，交DC的延长线于F，进而求证△ABM≌△ANM，进而可得△ABN≌△ADQ，Rt△PMN≌Rt△PMC，△ABM≌△ADQ进而可得出结论．【解答】解：作∠BAP的平分线交BC于M，作MN⊥AP，垂足为N，连接MP∵AF是∠BAP的平分线，MN⊥AP，∴∠BAM＝∠MAP，∠B＝∠ANM＝90°，AM＝AM，∴△ABM≌△ANM（AAS），∴MB＝MN，AB＝AN，∵AP＝PC+CB＝PC+AB，又AP＝AN+NP＝AB+NP∴NP＝PC，∵PM＝PM，∴Rt△PMN≌Rt△PMC（HL），∴MN＝MC，∴MB＝MC，∴△ABM≌△ADQ（SAS），∴∠QAD＝∠BAM，∴∠BAP＝2∠QAD【点评】本题考查了正方形各边长相等的性质，全等三角形的判定，全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△ABM≌△ADQ是解题的关键．3．已知，如图，在正方形ABCD中，O是对角线的交点，AF平分∠BAC，DH⊥AF于点H，交AC于点G，DH延长线交AB于点E．求证：BE＝2OG．【分析】作OM∥AB交DE于M．首先证明OM是△DEB的中位线，再证明OG＝OM即可解决问题．【解答】解：作OM∥AB交DE于M．∵四边形ABCD是正方形，∴OB＝OD，∵OH∥BE，∴EM＝DM，∴BE＝2OM，∵∠OAD＝∠ADO＝∠BAC＝45°，∵F A平分∠BAC，∴∠EAH＝22.5°，∵AF⊥DE，∴∠AHE＝∠AHD＝90°，∴∠AEH＝67.5°，∵∠ADE+∠AED＝90°，∴∠ADE＝22.5°，∴∠OGD＝∠GAD+∠ADE＝67.5°，∵∠AEH＝∠OME＝67.5°，∴∠OGM＝∠OMG，∴OG ＝OM ，∴BE ＝2OG ．【点评】本题考查正方形的性质、三角形的中位线定理、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造三角形中位线解决问题，属于中考常考题型．4．如图，在矩形ABCD 中，已知AD ＝12，AB ＝5，P 是AD 边上任意一点，PE ⊥BD ，PE⊥AC ，E 、F 分别是垂足，求PE +PF 的长．【分析】连结OP ，由S △AOP +S △DOP ＝15，可得12×OA ×PF +12×OD ×PE ＝15．由此即可解决问题．【解答】解：连结OP ．由矩形ABCD ，AD ＝12，AB ＝5．∴AC ＝BD ＝2OA ＝2OB ＝13．∴OA ＝OD ＝6.5．而S 矩形＝12×5＝60．∴S △AOD =14×60＝15．∴S △AOP +S △DOP ＝15．即12×OA ×PF +12×OD ×PE ＝15． ∴12×6.5×（PE +PF ）＝15．∴PE +PF =6013．【点评】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．5．在正方形ABCD 中，P 为AB 的中点，BE ⊥PD 的延长线于点E ，连接AE 、BE 、F A ⊥AE交DP 于点F ，连接BF ，FC ．求证下列结论：①FB ＝AB ；②CF ⊥EF ，FC ＝EF ．【分析】（1）根据已知和正方形的性质推出∠EAB＝∠DAF，∠EBA＝∠ADP，AB＝AD，证△ABE≌△ADF即可；取EF的中点M，连接AM，推出AM＝MF＝EM＝DF，证∠AMB ＝∠FMB，BM＝BM，AM＝MF，推出△ABM≌△FBM，利用全等三角形的性质得出结论；（2）利用（1）中△ABM≌△FBM可得∠BAM＝∠BFM，求出∠FDC＝∠EBF，推出△BEF ≌△DFC，利用全等三角形的性质即可得出结论．【解答】证明：（1）∵正方形ABCD，BE⊥PD，EA⊥F A，∴AB＝AD＝CD＝BC，∠BAD＝∠EAF＝90°＝∠BEF，∵∠APD＝∠EPB，∴∠EAB＝∠DAF，∠EBA＝∠ADP，∵AB＝AD，在△ABE与△ADF中，{∠EAB=∠DAF AB=AD∠EBA=∠ADP，∴△ABE≌△ADF（ASA），∴AE＝AF，BE＝DF，∴∠AEF＝∠AFE＝45°，取EF的中点M，连接AM，∴AM⊥EF，AM＝EM＝FM，∴BE∥AM，∵AP＝BP，∴AM＝BE＝DF，∴∠EMB＝∠EBM＝45°，∴∠AMB＝90°+45°＝135°＝∠FMB，在△ABM与△FBM中，{AM=FM∠AMB=∠FMB BM=BM，∴△ABM≌△FBM（SAS），∴AB＝BF；（2）∵△ABM≌△FBM，∴∠BAM＝∠BFM，∵∠BEF＝90°，AM⊥EF，∴∠BAM+∠APM＝90°，∠EBF+∠EFB＝90°，∴∠APF＝∠EBF，∵AB∥CD，∴∠APD＝∠FDC，∴∠EBF＝∠FDC，在△BEF与△DFC中，{BE=DF∠EBF=∠FDC BF=CF，∴△BEF≌△DFC（SAS），∴CF＝EF，∠DFC＝∠FEB＝90°，∴CF＝EF且CF⊥EF．【点评】本题主要考查对正方形的性质，等腰直角三角形，直角三角形斜边上的中线性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．6．平行四边形ABCD中，AB＝2BC，BE⊥AD于点E，F是DC中点．求证：∠EFC＝3∠DEF．【分析】取AB中点G，连接FG交BE于O，连接FB，利用三线合一的性质可判断出△FEB 是等腰三角形，然后根据菱形及平行四边形的性质得出FO，FB是∠EFC的三等分线，继而可证得结论．【解答】证明：取AB中点G，连接FG交BE于O，连接FB，则AD∥FG，BE⊥FG，∵G是AB中点，∴O是BE中点，∴△FEB是等腰三角形（三线合一的性质），∴∠EFO＝∠BFO，又∵CF=12CD＝CB，∴四边形BCFG是菱形，∴∠GFB＝∠CFB，∴FO，FB是∠EFC的三等分线，∴DEF＝∠EFO=13∠DEF，故可得∠EFC＝3∠DEF．【点评】本题考查了平行四边形及菱形的性质，作出AD的平行线FG是解答本题的关键，要求我们熟练掌握等腰三角形的三线合一性质．7．如图，在△ABC中，D为BC的中点，点E、F分别在边AC、AB上，并且∠ABE＝∠ACF，BE、CF交于点O．过点O作OP⊥AC，OQ⊥AB，P、Q为垂足．求证：DP＝DQ．【分析】取OB中点M，OC中点N，根据三角形中位线定理可得到DM∥OC，DM=12OC，DN∥OB，DN=12OB，再根据直角三角形斜边上的中线的性质得到QM=12OB，PN=12OC，再根据三角形外角的性质即可推出∠QMD＝∠PND，从而利用SAS判定△QMD≌△DNP，根据全等三角形的对应的边相等即可证得结论．【解答】证明：如图，取OB中点M，OC中点N，连接MD，MQ，DN，PN．∵D为BC的中点∴DM∥OC，DM=12OC，DN∥OB，DN=12OB．∵在Rt△BOQ和Rt△OCP中，QM=12OB，PN=12OC．∴DM＝PN，QM＝DN．∠QMD＝∠QMO+∠OMD＝2∠ABO+∠FOB，∠PND＝∠PNO+∠OND＝2∠ACO+∠EOC．∵∠ABO＝∠ACO，∠FOB＝∠EOC，∴∠QMD＝∠PND．∴△QMD≌△DNP，∴DQ＝DP．【点评】此题主要考查学生对三角形中位线定理及全等三角形的判定与性质的综合运用能力．8．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，BC＝10cm，AD＝8cm，E点F点分别为AB，AC的中点．（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）求菱形AEDF的面积；（3）若H从F点出发，在线段FE上以每秒2cm的速度向E点运动，点P从B点出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向C点运动，问当t为何值时，四边形BPHE是平行四边形？当t取何值时，四边形PCFH是平行四边形？【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一可得出D为BC的中点，结合E、F分别为AB、AC的中点可得出DE和DF是△ABC的中位线，根据中位线的定义可得出DE∥AC、DF∥AB，即四边形AEDF是平行四边形，根据三角形中位线定义可得出DE=12AC、DF=12AB，结合AB＝AC即可得出DE＝DF，从而得出四边形AEDF是菱形；（2）根据中位线的定义可得出EF的长度，根据菱形的面积公式可求出菱形AEDF的面积；（3）由中位线的定义可得出EF∥BC，根据平行四边形的判定定理可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴D为BC的中点．∵E、F分别为AB、AC的中点，∴DE和DF是△ABC的中位线，∴DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形．∵E，F分别为AB，AC的中点，AB＝AC，∴AE＝AF，∴四边形AEDF是菱形，（2）解：∵EF为△ABC的中位线，∴EF=12BC＝5．∵AD＝8，AD⊥EF，∴S菱形AEDF=12AD•EF=12×8×5＝20．（3）解：∵EF∥BC，∴EH∥BP．若四边形BPHE为平行四边形，则须EH＝BP，∴5﹣2t＝3t，解得：t＝1，∴当t＝1秒时，四边形BPHE为平行四边形．∵EF∥BC，∴FH∥PC．若四边形PCFH为平行四边形，则须FH＝PC，∴2t＝10﹣3t，解得：t＝2，∴当t＝2秒时，四边形PCFH为平行四边形．【点评】本题考查了菱形的判定与性质、三角形的中位线、菱形的面积、等腰三角形的性质、平行四边形的判定以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）根据三角形中位线的性质找出DE∥AC、DF∥AB；（2）牢记菱形的面积公式；（3）根据平行四边形的判定定理找出关于t的一元一次方程．9．如图，已知正方形ABCD的边长为√2，连接AC、BD交于点O，CE平分∠ACD交BD 于点E，（1）求DE的长；（2）过点EF作EF⊥CE，交AB于点F，求BF的长；（3）过点E作EG⊥CE，交CD于点G，求DG的长．【分析】（1）求出BC＝BE，根据勾股定理求出BD，即可求出DE；（2）求出△FEB≌△ECD，根据全等三角形的性质得出BF＝DE即可；（3）延长GE交AB于F，证△GDE∽△FBE，得出比例式，代入即可求出答案．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，∠DBC＝∠BCA＝∠ACD＝45°，∵CE平分∠DCA，∴∠ACE＝∠DCE=12∠ACD＝22.5°，∴∠BCE＝∠BCA+∠ACE＝45°+22.5°＝67.5°，∵∠DBC＝45°，∴∠BEC＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°＝∠BCE，∴BE＝BC=√2，在Rt△ACD中，由勾股定理得：BD=√(√2)2+(√2)2=2，∴DE＝BD﹣BE＝2−√2；（2）∵FE⊥CE，∴∠CEF ＝90°，∴∠FEB ＝∠CEF ﹣∠CEB ＝90°﹣67.5°＝22.5°＝∠DCE ，∵∠FBE ＝∠CDE ＝45°，BE ＝BC ＝CD ，∴△FEB ≌△ECD ，∴BF ＝DE ＝2−√2；（3）延长GE 交AB 于F ，由（2）知：DE ＝BF ＝2−√2，由（1）知：BE ＝BC =√2，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ∥DC ，∴△DGE ∽△BFE ，∴DG BF =DE BE ， ∴2−√2=√2√2，解得：DG ＝3√2−4．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键，题目比较好，难度偏大．10．菱形ABCD 中，F 是对角线AC 的中点，过点A 作AE ⊥BC 垂足为E ，G 为线段AB 上一点，连接GF 并延长交直线BC 于点H ．（1）当∠CAE ＝30°时，且CE =√3，求菱形的面积；（2）当∠BGF +∠BCF ＝180°，AE ＝BE 时，求证：BF ＝（√2+1）GF ．【分析】（1）只要证明△ABC 是等边三角形，即可解决问题；（2）如图，连接GC ，作GM ⊥GF 交BF 于M ．想办法证明△BGC 是等腰直角三角形，再证明△BGM ≌△CGF 即可解决问题；【解答】（1）解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ，∵AE ⊥BC ，∠EAC ＝30°，∴∠ACE ＝60°，AC ＝2EC ＝2√3，∴△ABC ，△ACD 都是等边三角形，∴S 菱形ABCD ＝2•S △ABC ＝2×√34×（2√3）2＝6√3．（2）如图，连接GC ，作GM ⊥GF 交BF 于M ．∵四边形ABCD 是菱形，∴BA ＝BC ，∵AF ＝FC ，∴BF ⊥AC ，∴∠BF A ＝90°，∵∠BGF +∠BCF ＝180°，∠AGF +∠BGF ＝180°，∴∠AGF ＝∠ACB ，∵∠GAF ＝∠CAB∴△AGF ∽△ACB ，∴AG AC =AF AB ， ∴AG AF =AC AB ，∵∠CAG ＝∠BAF ，∴△CAG ∽△BAF ，∴∠CGA＝∠BF A＝90°，∵AE⊥BE，AE＝BE，∴∠ABE＝45°，∴∠GBC＝∠GCB＝45°，∴GB＝GC，∵∠BGC＝∠MGF，∴∠BGM＝∠CGF，∵∠GBM＝∠GCF，∴△BGM≌△CGF，∴BM＝CF，GM＝GF，FM=√2GF，∵∠AGC＝90°AF＝FC，∴GF＝FC＝BM，∴BF＝BM+FM＝GF+√2GF＝（√2+1）GF．【点评】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．11．在▱ABCD中，E，F分别是AB、CD的中点，AF与DE相交于点G，CE与BF相交于点H．（1）求证：四边形EHFG是平行四边形；（2）▱ABCD应满足什么条件时，四边形EHFG是矩形？并说明理由；（3）▱ABCD应满足什么条件时，四边形EHFG是正方形？（不要说明理由）．【分析】（1）通过证明两组对边分别平行，可得四边形EHFG是平行四边形；（2）当平行四边形ABCD是矩形时，通过证明有一组邻边相等，可得平行四边形EHFG是菱形；（3）当平行四边形ABCD是矩形，并且AB＝2AD时，先证明四边形ADFE是正方形，得出有一个内角等于90°，从而证明菱形EHFG为一个正方形．【解答】解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AE ∥CF ，AB ＝CD ，∵E 是AB 中点，F 是CD 中点，∴AE ＝CF ，∴四边形AECF 是平行四边形，∴AF ∥CE ．同理可得DE ∥BF ，∴四边形FGEH 是平行四边形；（2）当平行四边形ABCD 是矩形时，平行四边形EHFG 是菱形．∵四边形ABCD 是矩形∴∠ABC ＝∠DCB ＝90°，∵E 是AB 中点，F 是CD 中点，∴BE ＝CF ，在△EBC 与△FCB 中，∵{BE =CF∠ABC =∠DCB BC =BC，∴△EBC ≌△FCB ，∴CE ＝BF ，∠ECB ＝∠FBC ，BH ＝CH ，EH ＝FH ，平行四边形EHFG 是菱形；（3）当平行四边形ABCD 是矩形，并且AB ＝2AD 时，平行四边形EHFG 是正方形．连接EF ．∵E，F分别为AB，CD的中点，且AB＝CD，∴AE＝DF，且AE∥DF，∴四边形AEFD为平行四边形，∴AD＝EF，又∵AB＝2AD，E为AB中点，则AB＝2AE，于是有AE＝AD=12AB，这时，EF＝AE＝AD＝DF=12AB，∠EAD＝∠FDA＝90°，∴四边形ADFE是正方形，∴EG＝FG=12AF，AF⊥DE，∠EGF＝90°，∴此时，平行四边形EHFG是正方形．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定和正方形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．12．如图，在△ABC中，点D在边AC上，DB＝BC，E是CD的中点，F是AB的中点，求证：EF=12AB．【分析】连接BE，根据等腰三角形三线合一的性质可得BE⊥AC，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明．【解答】证明：如图，连接BE，∵在△BCD中，DB＝BC，E是CD的中点，∴BE⊥CD，∵F是AB的中点，∴在Rt△ABE中，EF是斜边AB上的中线，∴EF=12 AB【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．13．边长为a的正方形ABCD中，点E是BD上一点，过点E作EF⊥AE交射线CB于点F，连结CE．（1）若点F在边BC上（如图）；①求证：CE＝EF；②若BC＝2BF，求DE的长．（2）若点F在CB延长线上，BC＝2BF，请直接写出DE的长．【分析】（1）①先利用正方形的对称性可得到∠BAE＝∠BCE，然后在证明又∠BAE＝∠EFC，通过等量代换可得到∠BCE＝∠EFC；②过点E作MN⊥BC，垂直为N，交AD于M．依据等腰三角形的性质可得到FN＝CN，从而可得到NC的长，然后可得到MD的长，在Rt△MDE中可求得ED的长；（2）先根据题意画出图形，然后再证明EF＝EC，然后再按照（1）②中的思路进行证明即可．【解答】解：（1）①证明：∵正方形ABCD关于BD对称，∴△ABE≌△CBE，∴∠BAE＝∠BCE．又∵∠ABC＝∠AEF＝90°，∴∠BAE＝∠EFC，∴∠BCE＝∠EFC，∴CE＝EF．②过点E作MN⊥BC，垂直为N，交AD于M．∵CE＝EF，∴N是CF的中点．∵BC＝2BF，∴CNBN =14．又∵四边形CDMN是矩形，△DME为等腰直角三角形，∴CN＝DM＝ME，∴ED=√2DM=√2CN=√24a．（2）如图所示：过点E作MN⊥BC，垂直为N，交AD于M．∵正方形ABCD关于BD对称，∴△ABE≌△CBE，∴∠BAE＝∠BCE．又∵∠ABF＝∠AEF＝90°，∴∠BAE＝∠EFC，∴∠BCE＝∠EFC，∴CE＝EF．∴FN＝CN．又∵BC＝2BF，∴FC=32a，∴EN＝BN=14a，∴DE=3√24a．【点评】本题主要考查的是正方形的性质、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定、等腰直角三角形的性质，掌握本题的辅助线的法则是解题的关键．14．如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A、B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．（1）求证：GF＝GC；（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．【分析】（1）如图1，连接DF，根据对称得：△ADE≌△FDE，再由HL证明Rt△DFG≌Rt△DCG，可得结论；（2）证法一：如图2，作辅助线，构建AM＝AE，先证明∠EDG＝45°，得DE＝EH，证明△DME≌△EBH，则EM＝BH，根据等腰直角△AEM得：EM=√2AE，得结论；证法二：如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△DAE≌△ENH，得AE＝HN，AD＝EN，再说明△BNH是等腰直角三角形，可得结论．【解答】证明：（1）如图1，连接DF，∵四边形ABCD是正方形，∴DA＝DC，∠A＝∠C＝90°，∵点A关于直线DE的对称点为F，∴△ADE≌△FDE，∴DA＝DF＝DC，∠DFE＝∠A＝90°，∴∠DFG＝90°，在Rt△DFG和Rt△DCG中，DG =DG∴Rt △DFG ≌Rt △DCG （HL ），∴GF ＝GC ；（2）BH =√2AE ，理由是：证法一：如图2，在线段AD 上截取AM ，使AM ＝AE ，∵AD ＝AB ，∴DM ＝BE ，由（1）知：∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠ADC ＝90°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝90°，∴2∠2+2∠3＝90°，∴∠2+∠3＝45°，即∠EDG ＝45°，∵EH ⊥DE ，∴∠DEH ＝90°，△DEH 是等腰直角三角形，∴∠AED +∠BEH ＝∠AED +∠1＝90°，DE ＝EH ，∴∠1＝∠BEH ，在△DME 和△EBH 中，∵{DM =BE∠1=∠BEH DE =EH，∴△DME ≌△EBH ，∴EM ＝BH ，Rt △AEM 中，∠A ＝90°，AM ＝AE ，∴EM =√2AE ，∴BH =√2AE ；证法二：如图3，过点H 作HN ⊥AB 于N ，∴∠ENH ＝90°，由方法一可知：DE ＝EH ，∠1＝∠NEH ，在△DAE 和△ENH 中，∵{∠A =∠ENH∠1=∠NEH DE =EH，∴△DAE ≌△ENH ，∴AE ＝HN ，AD ＝EN ，∵AD ＝AB ，∴AB ＝EN ＝AE +BE ＝BE +BN ，∴AE ＝BN ＝HN ，∴△BNH 是等腰直角三角形，∴BH =√2HN =√2AE ．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理，对称的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解决本题的关键是利用正方形的性质得到相等的边和相等的角，证明三角形全等，作出辅助线也是解决本题的关键．15．（1）如图1，已知DE ∥BC ，∠D ：∠DBC ＝2：1，∠1＝∠2．求∠DEB 的度数．（2）“三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题，今天人们已经知道，仅用圆规直尺是不可能做出的．在探索中，有人曾利用过如图2所示的图形，其中，ABCD是长方形（AD ∥CB，F是DA延长线上一点，G是CF上一点，并且∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠F，你能证明∠ECB=13∠ACB吗？【分析】（1）利用平行线的性质即可解决问题；（2）由AD∥CB，由此∠FCB＝∠F，由∠AGC是△AGF的外角，推出∠AGC＝∠GAF+∠F＝2∠F，又∠ACG＝∠AGC，可得∠ACB＝∠ECB+∠ACG＝∠F+2∠F＝3∠F＝3∠ECB；【解答】（1）解：如图1中，∵DE∥BC，∴∠D+∠DBC＝180°，∵∠D：∠DBC＝2：1，∴∠D＝2∠DBC，∴2∠DBC+∠DBC＝180°，即∠DBC＝60°，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠2＝30°，∵DE∥BC，∴∠DEB＝∠1＝30°．（2）解：如图2中，∵AD∥CB，∴∠FCB＝∠F，∵∠AGC是△AGF的外角，∴∠AGC＝∠GAF+∠F＝2∠F，又∵∠ACG＝∠AGC，∠ACB＝∠ECB+∠ACG，＝∠F+2∠F＝3∠F＝3∠ECB，∴∠ECB=13∠ACB．【点评】本题考查平行线的性质、矩形的性质、三角形的内角和定理、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．16．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF＝90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．（1）求证：OM＝ON．（2）若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．【分析】（1）证△OAM≌△OBN即可得；（2）作OH⊥AD，由正方形的边长为4且E为OM的中点知OH＝HA＝2、HM＝4，再根据勾股定理得OM＝2√5，由直角三角形性质知MN=√2OM．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OB，∠DAO＝45°，∠OBA＝45°，∴∠OAM＝∠OBN＝135°，∵∠EOF＝90°，∠AOB＝90°，∴∠AOM＝∠BON，∴△OAM≌△OBN（ASA），∴OM＝ON；（2）如图，过点O作OH⊥AD于点H，∵正方形的边长为4，∴OH＝HA＝2，∵E为OM的中点，∴HM＝4，则OM=√22+42=2√5，∴MN=√2OM＝2√10．【点评】本题主要考查正方形的性质，解题的关键是掌握正方形的四条边都相等，正方形的每条对角线平分一组对角及全等三角形的判定与性质．17．如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是BC上一点，且AB ＝AE，连接EO并延长交AD于点F．过点B作AE的垂线，垂足为H，交AC于点G．（1）若AH＝3，HE＝1，求△ABE的面积；（2）若∠ACB＝45°，求证：DF=√2CG．【分析】（1）利用勾股定理即可得出BH的长，进而运用公式得出△ABE的面积；（2）过A作AM⊥BC于M，交BG于K，过G作GN⊥BC于N，判定△AME≌△BNG（AAS），可得ME＝NG，进而得出BE=√2GC，再判定△AFO≌△CEO（AAS），可得AF＝CE，即可得到DF＝BE=√2CG．【解答】解：（1）∵AH＝3，HE＝1，∴AB＝AE＝4，又∵Rt△ABH中，BH=2−AH2=√7，∴S△ABE=12AE×BH=12×4×√7=2√7；（2）如图，过A作AM⊥BC于M，交BG于K，过G作GN⊥BC于N，则∠AMB＝∠AME ＝∠BNG＝90°，∵∠ACB＝45°，∴∠MAC＝∠NGC＝45°，∵AB＝AE，∴BM＝EM=12BE，∠BAM＝∠EAM，又∵AE⊥BG，∴∠AHK＝90°＝∠BMK，而∠AKH＝∠BKM，∴∠MAE＝∠NBG，设∠BAM＝∠MAE＝∠NBG＝α，则∠BAG＝45°+α，∠BGA＝∠GCN+∠GBC＝45°+α，∴AB＝BG，∴AE＝BG，在△AME和△BNG中，{∠AME=∠BNG ∠MAE=∠NBG AE=BG，∴△AME≌△BNG（AAS），∴ME＝NG，在等腰Rt△CNG中，NG＝NC，∴GC=√2NG=√2ME=√22BE，∴BE=√2GC，∵O是AC的中点，∴OA＝OC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠OAF＝∠OCE，∠AFO＝∠CEO，∴△AFO≌△CEO（AAS），∴AF＝CE，∴AD﹣AF＝BC﹣EC，即DF＝BE，∴DF＝BE=√2CG．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形以及等腰直角三角形，利用全等三角形的对应边相等得出结论．18．如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB＝10，AC＝6，求DF的长．【分析】延长CF交AB于点G，判断出AF垂直平分CG，得到AC＝AG，根据三角形中位线定理解答．【解答】解：延长CF交AB于点G，∵AE平分∠BAC，∴∠GAF＝∠CAF，∴AF垂直平分CG，∴AC＝AG，GF＝CF，又∵点D是BC中点，∴DF是△CBG的中位线，∴DF=12BG=12（AB﹣AG）=12（AB﹣AC）＝2．【点评】本题关键是通过题目角平分线和垂线合一启发构造等腰三角形，从而构造出DF为△BCG的中位线，利用中位线定理解决问题．19．如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线一点，对角线BD与AC交于点O，以线段AG为边作一个正方形AEFG，连接EB、GD．（1）求证：EB＝GD；（2）若AB＝5，AG＝2√2，求EB的长．【分析】（1）根据正方形的性质得到∠GAD＝∠EAB，证明△GAD≌△EAB，根据全等三角形的性质证明；（2）根据正方形的性质得到BD⊥AC，AC＝BD＝5√2，根据勾股定理计算即可．【解答】（1）证明：在△GAD和△EAB中，∠GAD＝90°+∠EAD，∠EAB＝90°+∠EAD，∴∠GAD＝∠EAB，在△GAD和△EAB中，{AC=AE∠GAD=∠EAB AD=AB∴△GAD≌△EAB，∴EB＝GD；（2）∵四边形ABCD是正方形，AB＝5，∴BD⊥AC，AC＝BD＝5√2，∴∠DOG＝90°，OA＝OD=12BD=5√22，∵AG＝2√2，∴OG＝OA+AG=9√2 2，由勾股定理得，GD=2+OG2=√53，∴EB=√53．【点评】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握正方形的对角线相等、垂直且互相平分是解题的关键．。

平行四边形综合练习附答案

平行四边形综合练习学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列给出的条件中，不能判断四边形ABCD 是平行四边形的是（） A ．AB ∥CD ，AD ＝BCB ．∠A ＝∠C ，∠B ＝∠D C ．AB ∥CD ，AD ∥BCD ．AB ＝CD ，AD ＝BC 【答案】A【解析】【分析】直接根据平行四边形的判定定理判断即可．【详解】平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．∴C 能判断；平行四边形判定定理1，两组对角分别相等的四边形是平行四边形；∴B 能判断；平行四边形判定定理2，两组对边分别相等的四边形是平行四边形；∴D 能判定；平行四边形判定定理3，对角线互相平分的四边形是平行四边形；平行四边形判定定理4，一组对边平行相等的四边形是平行四边形；故选A ．【点睛】此题是平行四边形的判定，解本题的关键是掌握和灵活运用平行四边形的5个判断方法．2．在平行四边形ABCD 中，∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 的值可以是( )A ．4∶3∶3∶4B ．7∶5∶5∶7C ．4∶3∶2∶1D ．7∶5∶7∶5 【答案】D【解析】【详解】解：因为平行四边形的对角相等，∠A 与∠C 是对角，∠B 与∠D 是对角，所以∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 的值可以是7∶5∶7∶5，故选：D3．下列条件不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是（）A ．,AD BC AB CD ==B ．,AC BD ∠=∠∠=∠C ．//,AB CD BC AD = D ．//,AD BC B D ∠=∠【答案】C【解析】【分析】根据平行四边形的判定逐一判断即可．【详解】解：A ．由AD =BC ，AB =CD 可根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形知四边形ABCD 是平行四边形，此选项不符合题意；B ．由∠A =∠C ，∠B =∠D 可根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形知四边形ABCD 是平行四边形，此选项不符合题意；C ．由AB ∥CD ，BC =AD 不能判定四边形ABCD 是平行四边形，此选项符合题意； D ．由AD ∥BC 知∠A +∠B =180°，结合∠B =∠D 知∠A +∠D =180°，所以AB ∥CD ，此时可根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形知四边形ABCD 是平行四边形，此选项不符合题意；故选：C ．【点睛】本题主要考查平行四边形的判定，解题的关键是掌握两组对边分别平行的四边形是平行四边形、两组对边分别相等的四边形是平行四边形、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．4．如图，菱形ABCD 的对角线AC BD ，相交于点O ，DH AB ⊥于点H ，连接OH ，若AH DH =，则DHO ∠的度数是( )．A ．25°B ．22.5°C ．30°D ．15°【答案】B【解析】【分析】求出∠HDO ，再证明∠DHO =∠HDO 即可解决问题；【详解】∵AH DH DH AB =⊥，，∴45DAH ADH ∠=∠=︒.∵四边形ABCD 是菱形，∴12252DAO DAB ∠=∠=．°， ∵AC BD ⊥，∴90675AOD ADO ∠=︒∠=︒，．， ∴225HDO ADO ADH ∠=∠-∠=︒．.∵90DHB DO OB ∠=︒=，，∴OH OD =，∴225DHO HDO ∠=∠=︒．.故选B.【点睛】此题考查菱形的性质，解题关键在于掌握菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．判断OH 为直角三角形斜边上的中线．5．下列命题中，其逆命题是真命题的是（）A ．对顶角相等B ．两直线平行，同位角相等C ．全等三角形的对应角相等D ．正方形的四个角相等【答案】B【解析】【分析】先写成各选项的逆命题，再根据对顶角的定义、平行线的判定、三角形全等的判定、正方形的判定逐项判断即可得．【详解】A 、逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角相等的两个角不一定是对顶角，则此逆命题是假命题B 、逆命题：同位角相等，两直线平行由平行线的判定可知，此逆命题是真命题C 、逆命题：如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形是全等三角形由三角形全等的判定定理可知，此逆命题是假命题D 、逆命题：如果一个四边形的四个角都相等，则这个四边形是正方形如果一个四边形的四个角都相等，则这个四边形是矩形，不一定是正方形，则此逆命题是假命题故选：B ．【点睛】本题考查了命题的逆命题、对顶角的定义、平行线的判定、三角形全等的判定、正方形的判定，正确写出各命题的逆命题是解题关键．6．如图，把菱形ABCD向右平移至DCEF的位置，作EG⊥AB，垂足为G，EG与CD 相交于点K，GD的延长线交EF于点H，连接DE，则下列结论：①BG=AB+HF；②DG=DE；∠BAD；④∠B=∠DEF，其中正确结论的个数是（）③∠DHE=12A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】【分析】首先证明△ADG≌△FDH，再利用菱形的性质、直角三角形斜边中线的性质即可一一判断．【详解】解：∵菱形ABCD向右平移至DCEF的位置，∴AB∥CD∥EF，AD＝CD＝DF，∴∠GAD＝∠F，∵∠ADG＝∠FDH，∴△ADG≌△FDH，∴DG＝DH，AG＝FH，∴BG =AB＋AG＝AB＋HF，故①正确，∵EG⊥AB，∴∠BGE＝∠GEF＝90°，又∵DG＝DH，∴DE＝DG＝DH，故②正确，∴∠DHE＝∠DEH，∠CEF，∠CEF＝∠CDF＝∠BAD，∵∠DEH＝12∴∠DHE＝1∠BAD，故③正确，2∵∠B ＝∠DCE ，∠CED ＝∠CDE ＝∠DEF ＝∠DHE ，∴∠DCE ＝∠EDH ，∴∠B ＝∠EDH ，若 ∠B =∠DEF ，则∠EDH=∠DEF =∠DHE ，那么∆ DHE 是等边三角形，但题目中没有明确∆ DHE 是等边三角形，故④错误．故选：C ．【点睛】本题考查菱形的性质、平移变换、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 7．如图所示，在长方形ABCD 中，AB ＝22，在线段BC 上取一点E ，连接AE 、ED ，将ABE 沿AE 翻折，点B 落在点B '处，线段E B '交AD 于点F ．将ECD 沿DE 翻折，点C 的对应C '恰好落在线段EB '上，且点C '为EB '的中点，则线段EF 的长为（）A ．3B ．23C ．4D ．32【答案】A【解析】【分析】由折叠的性质可得AB ＝A B '＝CD ＝C 'D ＝2，∠B ＝∠B '＝90°＝∠C ＝∠D C 'E ，BE ＝B 'E ，CE ＝C 'E ，由中点性质可得B 'E ＝2C 'E ，可得BC ＝AD ＝3EC ，由勾股定理可求CE 的长，由“AAS ”可证AB F '≌DC F '△，可得C F B F ''=＝1，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ＝2，AD ＝BC ，∠B ＝∠C ＝90°由折叠的性质可得：AB ＝AB '＝CD ＝C D '＝2∠B ＝∠B '＝90°＝∠C ＝∠DC E '，BE ＝B E '，CE ＝C E '，∠BEA =∠B EA '=12BEB '∠，∠CED =∠C ED '=12CEC '∠ ∴∠AED =12BEB '∠+12CEC '∠ =1()2BEB CEC ''∠+∠ =11802⨯︒=90︒ ∴AED 是直角三角形∴AD 2＝AE 2+DE 2，∵点C '恰好为EB '的中点，∴B E '＝2C E '，∴BE ＝2CE ，∴BC ＝AD ＝3EC ，∵AE 2＝AB 2+BE 2，DE 2＝DC 2+CE 2，∴(3CE )2= AB 2+BE 2+DC 2+CE 2即9CE 2＝8+4CE 2+8+CE 2，∴CE ＝2，∴B E '＝BE ＝4，BC ＝AD ＝6，C E '＝2，∴B C ''＝2，∵∠B '＝∠DC 'F ＝90°，∠AF B '＝∠DFC '，A B '＝C 'D ， ∴A B 'F ≌D C 'F （AAS ），∴C 'F ＝B 'F ＝1，∴EF ＝C 'E +C 'F ＝3，故选：A ．【点睛】此题考查了翻折变换、矩形的性质、全等三角形的性质、勾股定理等，解题的关键是求出CE 的长．8．如图，正方形ABCD 中，AB ＝12，点E 在边BC 上，BE ＝EC ，将△DCE 沿DE 对折至△DFE ，延长EF 交边AB 于点G ，连接DG 、BF ，给出以下结论：①△DAG ≌△DFG ；②BG ＝2AG ；③BF //DE ；④S △BEF ＝725．其中所有正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】【分析】根据正方形的性质和折叠的性质可得AD ＝DF ，∠A ＝∠GFD ＝90°，于是根据“HL ”判定Rt △ADG ≌Rt △FDG ；②再由GF ＋GB ＝GA ＋GB ＝12，EB ＝EF ，△BGE 为直角三角形，可通过勾股定理列方程求出AG ＝4，BG ＝8，即可判断；③由△BEF 是等腰三角形，证明∠EBF ＝∠DEC ，；④结合①可得AG ＝GF ，根据等高的两个三角形的面积的比等于底与底的比即可求出三角形BEF 的面积．【详解】解：①由折叠可知，DF ＝DC ＝DA ，∠DFE ＝∠C ＝90°，∴∠DFG ＝∠A ＝90°，在Rt △ADG 和Rt △FDG 中，AD DF DG DG ⎧⎨⎩＝＝ ∴Rt △ADG ≌Rt △FDG （HL ），故①正确；②∵正方形边长是12，∴BE ＝EC ＝EF ＝6，设AG ＝FG ＝x ，则EG ＝x ＋6，BG ＝12−x ，由勾股定理得：EG 2＝BE 2＋BG 2，即：（x ＋6）2＝62＋（12−x ）2，解得：x ＝4，∴AG ＝GF ＝4，BG ＝8，BG ＝2AG ，故②正确；③∵EF＝EC＝EB，∴∠EFB＝∠EBF，∵∠DEC＝∠DEF，∠CEF＝∠EFB＋∠EBF，∴∠DEC＝∠EBF，∴BF//DE，故③正确；④∵S△GBE＝12BE•BG＝12×6×8＝24，∵GF＝AG＝4，EF＝B E＝6，∴42=63 BFGBEFS GFS EF==，∴S△BEF＝35S△GBE＝35×24＝725，故④正确．综上可知正确的结论的是4个．故选：D．【点睛】本题考查了图形的翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算，有一定的难度．二、填空题9．正方形的四个角________四条边_________，对角线________且互相_______，每条对角线_________一组对角．【答案】都是直角都相等相等垂直平分平分【解析】【分析】根据正方形的性质（正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等且互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角）求解即可求得答案．【详解】解：正方形的四个角都是直角，四条边都相等，对角线相等且互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角．故答案为：都是直角；都相等；相等，垂直平分；平分．【点睛】此题考查了正方形的性质．此题比较简单，注意熟记正方形的性质是解此题的关键．10．已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A(10，0)，C(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则P点的坐标为__________．【答案】（3，4）或（2，4）或（8，4）【解析】【详解】解：∵A(10，0)，C(0，4)，∴OA=BC=10，OC=AB=4，如图所示，PD=OD=5，点P在点D的左侧．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4．在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE=2222-=-=，543PD PE∴OE=OD-DE=5-3=2，∴此时点P坐标为（2，4）；如图所示，OP=OD=5．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4．在Rt△POE中，由勾股定理得：OE2222--=，543OP PE∴此时点P坐标为（3，4）；如图所示，PD=OD=5，点P在点D的右侧．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4．在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE=2222543PD PE-=-=，∴OE=OD+DE=5+3=8，∴此时点P坐标为（8，4）．综上所述，点P的坐标为：（2，4）或（3，4）或（8，4）．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，并利用分类讨论思想解答是解题的关键．11．如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB=5，AC=2，则DF的长为_________．【答案】3 2【解析】【详解】解：如图，延长CF交AB于点G，∵在△AFG和△AFC中，∠GAF=∠CAF，AF=AF，∠AFG=∠AFC，∴△AFG ≌△AFC （ASA ）．∴AC=AG ，GF=CF ．又∵点D 是BC 中点，∴DF 是△CBG 的中位线．∴DF=12BG=12（AB ﹣AG ）=12（AB ﹣AC ）=32．故答案为：32． 12．等腰梯形ABCD 一个内角为120︒，下底长为5，梯形面积为43，则梯形ABCD 的周长为_________【答案】12【解析】【分析】作AE BC ⊥于E ，作DF BC ⊥于F ，设BE x =，表示出等腰梯形的腰、高、上底，用面积列出关于x 的方程，解出即可求出梯形的周长.【详解】解：如图：等腰梯形ABCD ，//AD BC ，=AB CD ，120BAD ∠=︒，5BC =，梯形面积为43，作AE BC ⊥于E ，作DF BC ⊥于F ，设BE x =，∴90AEF ∠=︒，90DFE ∠=︒，18090EAD AEF ∠=︒-∠=︒，∴四边形AEFD 是矩形∴AD EF =,∵等腰梯形ABCD ，//AD BC ，∴B C ∠=∠，又∵90AEB DFC ∠=∠=︒,=AB CD ，∴AEB △≌DFC △（AAS ），∴=BE FC x =，∴52AD EF x ==-，∵//AD BC ，120BAD ∠=︒，∴18060B BAD ∠=︒-∠=︒，30BAE ∠=︒,∴2AB x =，223AE AB BE x -=，∵梯形面积为43， ∴1()2AD BC AE +=43，即143(525)3=2x x -+，解得：121,4=x x =，又∵520AD x =->，∴1x =，∴梯形ABCD 的周长为52522102AD BC AB CD x x x x +++=-+++=+=12.故答案为：12.【点睛】本题考查了矩形的判定与性质定理，三角形全等的判定定理，含30度的直角三角形的性质，勾股定理，等腰梯形的性质，梯形的面积，解题的关键是用字母表示相关线段. 13．如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=6，D 是AB 的中点，则CD=_____．【答案】3【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．【详解】∵∠ACB=90°，D 为AB 的中点，∴CD=12AB=12×6=3．故答案为3．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．14．在平行四边形ABCD 中， BC 边上的高为4 ，AB =5 ，25AC =，则平行四边形ABCD 的周长等于______________ ．【答案】12或20【解析】【分析】根据题意分别画出图形，BC 边上的高在平行四边形的内部和外部，进而利用勾股定理求出即可．【详解】解：情况一：当BC边上的高在平行四边形的内部时，如图1所示：在平行四边形ABCD中，BC边上的高为4，AB=5，AC=25，在Rt△ACE中，由勾股定理可知：2222CE AC AE，(25)42在Rt△ABE中，由勾股定理可知：2222=-=-=,BE AB AE543∴BC=BE+CE=3+2=5,此时平行四边形ABCD的周长等于2×(AB+BC)=2×(5+5)=20；情况二：当BC边上的高在平行四边形的外部时，如图2所示：在平行四边形ABCD中，BC边上的高为AE=4，AB=5，AC=25在Rt△ACE中，由勾股定理可知：2222(25)42CE AC AE，在Rt△ABE中，由勾股定理可知：2222-=-,543BE AB AE∴BC=BE-CE=3-2=1,∴平行四边形ABCD的周长为2×(AB+BC)=2×(5+1)=12,综上所述，平行四边形ABCD的周长等于12或20．故答案为：12或20．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理等知识，分高在平行四边形内部还是外部讨论是解题关键．三、解答题15．（1）如图1，在四边形ABCD中，F、E分别是BC、AD的中点，连结EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE，求证：AB=CD；（提示取BD的中点H，连结FH，HE作辅助线）（2）如图2，在△ABC中，且O是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线OE交BA的延长线于点G，若AB=DC=5，∠OEC=60°，求OE的长度.【答案】（1）证明见解析；（2）OE=5 2 .【解析】【分析】（1）连结BD，取DB的中点H，连结EH、FH，证明出EH∥AB，EH=12AB，FH∥CD，FH=12CD，证出HE=HF，进而证出AB=CD；（2）连结BD，取DB的中点H，连结EH、OH，证明出HO=HE，可证明证出△OEH是等边三角形，进而求出OE=5 2 .【详解】（1）证明：如图一，连结BD，取DB的中点H，连结EH、FH. ∵E、F分别是AD、BC的中点，∴EH∥AB，EH=12AB，FH∥CD，FH=12CD，∵∠BME=∠CNE，∴∠HEF=∠HFE，∴HE=HF，∴AB=CD；（2）如图二，连结BD，取DB的中点H，连结EH、OH，∵AB=CD，HE为△ABD的中位线，HO为△BCD的中位线，∴HO=HE=12AB=12CD，，∴∠HOE=∠HEO，∵OH∥AC，∠OEC=60°，∴∠OEH=∠HOE=∠OEC=60°，∴△OEH是等边三角形，∵AB=DC=5，∴OE=5 2 .故答案为（1）证明见解析；（2）OE=5 2 .【点睛】本题考查三角形中位线定理，等边三角形的判定与性质.16．如图，四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，对角线AC，BD相交于点O，且OA ＝OD．求证：四边形ABCD是矩形．【答案】见解析【解析】【分析】先由两组对边分别相等证明四边形ABCD是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是矩形证明即可.【详解】证：∵四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AC＝2AO，BD＝2OD，∵OA＝OD，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．【点睛】本题主要考查了矩形的判定，灵活的根据已知条件选择合适的判定方法是证明的关键. 17．如图，ABC的两条高分别为BE、CF，M为BC的中点．求证：ME MF．【答案】证明见解析．【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得12ME BC =，12MF BC =，从而得证．【详解】证明：∵BE 是ABC 的高，M 为BC 的中点，∴12ME BC =， ∵CF 是ABC 的高，M 为BC 的中点，∴12MF BC =， ∴ME MF =．【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．18．如图，在正方形ABCD 中，点F 为CD 上一点，BF 与AC 交于点E ．(1)ACB ∠的大小＝______°；(2)求证：ABE △≌ADE ；(3)若20CBF ∠=︒，则AED ∠的大小＝______°．【答案】(1)45(2)证明见解析(3)65【解析】【分析】（1）由正方形的性质求解即可；（2）由正方形ABCD 可知，AB AD =，EAB EAD ∠=∠，进而可证EAB ≌EAD （SAS ）；（3）由EAB ≌EAD 可知AED AEB ∠=∠，由三角形外角的性质可知AEB EBC BCE ∠=∠+∠，计算求解即可．(1)解：∵四边形ABCD 是正方形，∴90BCD ∠=︒，11904522ACB BCD ∠=∠=⨯︒=︒ 故答案为45．(2)证明：∵四边形ABCD 是正方形∴AB AD =，EAB EAD ∠=∠在EAB 和EAD 中∵EA EA EAB EAD AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴EAB ≌EAD （SAS ）．(3)解：∵EAB ≌EAD∴AED AEB ∠=∠∵204565AEB EBC BCE ∠=∠+∠=︒+︒=︒∴65AED ∠=︒故答案为65．【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等，三角形外角的性质．解题的关键在于对知识的灵活运用．19．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 和CD 上，且BE CF =，连接AE 、BF ，其相交于点G ，将BCF △沿BF 翻折得到BC F '△，延长FC '交BA 延长线于点H ．（1）求证：AE BF =；（2）若3AB =，2EC BE =，求BH 的长．【答案】（1）见解析；（2）5．【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得到BA BC =，90ABC BCD ∠=∠=︒，利用SAS 定理证明ABE BCF △△≌，根据全等三角形的性质证明结论；（2）根据折叠的性质得到C BF CBF ∠'=∠，90BC F BCF ∠'=∠=︒，证明HB HF =，根据勾股定理列式计算即可．【详解】（1）证明：四边形ABCD 是正方形，BA BC ∴=，90ABC BCD ∠=∠=︒，在ABE △和BCF △中，AB BC ABE BCF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE BCF SAS ∴△≌△，AE BF ∴=；（2）解：3BC AB ==，2EC BE =，2EC ∴=，1BE =，1C F CF ∴'==，由折叠的性质可知，C BF CBF ∠'=∠，90BC F BCF ∠'=∠=︒，90C FB C BF ∠'+∠'=︒，90HBF FBC ∠+∠=︒，C FB HBF ∴∠'=∠，HB HF ∴=，312HC HF C F HB C F AH AH ∴'=-'=-'=+-=+，在Rt HBC '△中，222HB C B C H ='+'，即222AH AH+=++，(3)3(2)解得：2AH=，BH AH AB∴=+=．5【点睛】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、折叠的性质、勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质定理是解题的关键．20．如图，四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，O是AC的中点，AD∥BC，AC ＝8，BD＝6．(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；(2)若AC⊥BD，求▱ABCD的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）24.【解析】【分析】(1)先证明△AOD≌△COB，可证明对角线互相平分，从而证明平行四边形；(2)由题意得四边形是菱形，菱形的面积等于对角线积的一半.【详解】(1)证明：∵O是AC的中点，∴OA＝OC.∵AD∥BC，∴∠DAO＝∠BCO.又∵∠AOD＝∠COB，∴△AOD≌△COB，∴OD＝OB，∴四边形ABCD是平行四边形．(2)∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，AC·BD＝24.∴▱ABCD的面积＝12【点睛】此题主要考查平行四边形的判定和菱形的判断和性质．熟练掌握各种特殊四边形的性质定理和判定定理是解题的关键．21．已知：AC是菱形ABCD的对角线，延长CB至点E，使得BE＝BC，连接AE．（1）如图1，求证：AE⊥AC；（2）如图2，过点D作DF⊥AB，垂足为点F，若AE＝6，CE＝10，求DF的长．【答案】（1）见解析；（2）24 5【解析】【分析】（1）连接BD，交AC于点O，由菱形的性质可得AO=CO，∠BOC=90°，由三角形的中位线定理可得OB=12AE，BD∥AE，即可得结论；（2）由勾股定理可求AC的长，再根据BE＝BC，AE＝2BO，BO＝3＝DO，BC＝5＝AB，由菱形的面积公式可求DF的长．【详解】（1）证明：连接BD，交AC于点O，∵四边形ABCD是菱形∴AO＝CO，∠BOC＝90°∵AO＝CO，BE＝BC∴OB＝12AE，BD∥AE，且∠BOC＝90°∴∠EAC＝∠BOC＝90°∴AE⊥AC（2）连接BD，∵∠EAC＝90°，AE＝6，CE＝10，∴AC22CE AE＝8∵AE＝6，CE＝10，BE＝BC，AE＝2BO∴BO ＝3＝DO ，BC ＝5＝AB∵S 菱形ABCD ＝DF×AB ＝12AC×BD ，∴5DF ＝12×6×8 ∴DF ＝245【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，熟练运用菱形的性质是本题的关键．22．如图，AD 是ABC 的中线，//AE BC ，且12AE BC =，连接DE ，CE ．（1）求证：AB DE =；（2）当ABC 满足条件__________时，四边形ADCE 是矩形．【答案】（1）见解析；（2）AB =AC 或 ABC ACB ∠=∠【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理和平行四边形的判定和性质解答即可；（2）根据矩形的判定解答即可．【详解】（1）∵AD 是ABC 的中线，∴12BD BC =， ∵12AE BC =， ∴AE BD =，∵//AE BC ，∴四边形ABDE 是平行四边形，（2）当△ABC 满足AB =AC 或ABC ACB ∠=∠时，四边形ADCE 是矩形， 11,,22BC BD AE CD BC =∴== ∴AE =CD ，∵AE ∥BC ，∴四边形ADCE 是平行四边形，∵AB =DE ，∴当AB =AC 或ABC ACB ∠=∠时，AC =DE ，∴四边形ADCE 是矩形．【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质以及矩形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．23．如图①，正方形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，点P 是线段AO 上（不与点A ，O 重合）的一个动点，过点P 作PE PB ⊥且PE 交边CD 于点E ．（1）求证：PE PB =．（2）如图②，若正方形ABCD 的边长为2，过点E 作EF AC ⊥于点F ，在点P 运动的过程中，PF 的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值；若变化，请说明理由．（3）用等式表示线段PB ，PA ，CE 之间的数量关系．【答案】（1）见解析；（2）在P 点运动的过程中，PF 的长度不发生变化，理由见解析；（3）2PC PA EC =，理由见解析【解析】【分析】（1）作辅助线，构建全等三角形，根据ASA 证明△BMP ≌△PNE 可得结论；（2）如图②，连接OB ，通过证明△OBP ≌△FPE ，得PF ＝OB ，则PF 2 （3）根据△AMP 和△PCN 是等腰直角三角形，得PA 2，PC 2，整理可【详解】（1）证明：如图①，过点P 作MN AD ，交AB 于点M ，交CD 于点N ．∵PB PE ⊥，∴90BPE ∠=︒，∴90MPB EPN ∠+∠=︒．∵四边形ABCD 是正方形，∴90BAD D ∠=∠=︒．∵AD MN ∥，∴90BMP BAD PNE D ∠=∠=∠=∠=，∵90MPB MBP ∠+∠=︒，∴EPN MBP ∠=∠．在Rt PNC △中，45PCN ∠=︒，∴PNC △是等腰直角三角形，∴PN CN =，∴BM CN PN ==，∴()ASA BMP PNE △≌△，∴PB PE =．（2）解：在P 点运动的过程中，PF 的长度不发生变化．理由：如图②，连接OB ．∵点O 是正方形ABCD 对角线AC 的中点，∴OB AC ⊥，∴90AOB ∠=︒，∴90AOB EFP ∠=∠=︒，∴90OBP BPO ∠+∠=︒．∴90BPE ∠=︒，∴90BPO OPE ∠+∠=︒，∴OBP OPE ∠=∠．由（1）得PB PE =，∴OBP FPE △≌△，∴PF OB =．∵2AB =，ABO 是等腰直角三角形，∴OB ==∴PF（3）解：PC PA =．理由：如图1，∵45BAC ∠=︒， ∴AMP 是等腰直角三角形，∴PA ．由（1）知PM NE =，∴PA ．∵PCN △是等腰直角三角形，∴)PC NE EC PA +==．【点睛】本题是一个动态几何题，考查用正方形性质、等腰直角三角形的性质、三角形全等的条件和性质进行有条理的思考和表达能力．利用条件构造三角形全等是解题的关键．本题涉及知识点较多，综合性很强，难度适中．24．在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，点P 是射线BD 上一动点，以AP 为边向右侧作等边APE ．（1）如图1，当点E 在菱形ABCD 内部或边上时，连接,CE BP 与CE 的数量关系是______，CE 与AD 的位置关系是________；（2）当点E 在菱形ABCD 外部时（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．（请结合图2的情况予以证明或说理．）（3）如图3，当点P 在线段BD 的延长线上时，连接BE ，若2,31AB BE ==，求四边形ADPE 的面积．【答案】（1）BP CE =；CE AD ⊥；（2）成立，见解析；（31513【解析】【分析】（1）①连接AC ，证明△ABP ≌△ACE ，根据全等三角形的对应边相等即可证得BP =CE ；②根据菱形对角线平分对角可得30ABD ︒∠=，再根据△ABP ≌△ACE ，可得30ACF ABD ︒∠=∠=，继而可推导得出90CFD ︒∠=，即可证得CE ⊥AD ；（2）（1）中的结论：BP =CE ，CE ⊥AD 仍然成立，利用（1）的方法进行证明即可；（3）连接AC 交BD 于点O ，连接CE ，作EH ⊥AP 于H ，由已知先求得23BD =利用勾股定理求出CE 的长，AP 长，由△APE 是等边三角形，求得PH ，EH 的长，再根据ADP APE ADPE S SS =+四边形，进行计算即可得．【详解】（1）①BP=CE ，理由如下：连接AC ，∵菱形ABCD ，∠ABC =60°，∴△ABC 是等边三角形，∴AB=AC ，∠BAC =60°，∵△APE 是等边三角形，∴AP=AE ，∠P AE =60° ，∴∠BAP =∠CAE ，∴△ABP ≌△ACE ，∴BP=CE ；②CE ⊥AD ，∵菱形对角线平分对角，∴30ABD ︒∠=，∵△ABP ≌△ACE ，∴30ACF ABD ︒∠=∠=，∵6ACD 0ADC ︒∠=∠=，∴30DCF ︒∠=，∴90DCF ADC ︒∠+∠=，∴90CFD ︒∠=，∴CF ⊥AD ，即CE ⊥AD ；（2）（1）中的结论仍然成立，理由如下：连接AC ，∵菱形,60ABCD ABC ∠=︒，ABC ∴和ACD △都是等边三角形，120120,,AB AC BAD BAP DAP ∴=∠=︒∠=︒+∠， APE 是等边三角形，60AP AE PAE ∴=∠=︒，6060120CAE DAP DAP ∴∠=︒+︒+∠=︒+∠，BAP CAE ∴∠=∠，ABP ACE ∴≌，BP CE ∴=，30,30,60,ACE ABD DCE ADC ∴∠=∠=︒∴∠=︒∠=︒90,,90DCE ADC CHD CE AD ∴∠+∠=︒∴∠=︒∴⊥∴（1）中的结论,BP CE CE AD =⊥仍然成立；（3）连接AC 交BD 于点O ，连接CE ，作EH AP ⊥于H ，∵四边形ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，BD 平分ABC ∠，30ABO ∴∠=︒ ，1,3AO BO DO ∴===3BD ∴=由（2）知CE AD ⊥，//AD BC ，CE BC ∴⊥， ∵31,2BE BC AB ==，31433CE ∴=-由（2）知33BP CE ==3DP ∴=3OP ∴=11213AP ∴=+= APE 是等边三角形，ADP APE ADPE S S S +=四边形，2131513(13)2ADPE S DP AO ∴=⨯⨯+=四边形 ∴四边形ADPE 1513 【点睛】本题考查四边形综合题、菱形的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确添加常用辅助线，寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．。

平行四边形判定专项练习30题

平行四边形的判定专项练习30题（有答案）1．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，ED∥BF，AF=CE，求证：ABCD是平行四边形．2．如图，四边形ABCD中，∠BAC=90°，AB=11﹣x，BC=5，CD=x﹣5，AD=x﹣3，AC=4．求证：四边形ABCD为平行四边形．3．已知四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，现给出四个条件：①OA=OC；②AB=CD；③∠BAD=∠DCB；④AD∥BC．请你从中选择两个，推出四边形ABCD为平行四边形，并写出你的推理过程．（1）从以上4个条件中任意选取2个条件，能推出四边形ABCD是平行四边形的有（用序号表示）_________ ．（2）从（1）中选出一种情况，写出你的推理过程．4．如图，已知：点B、E、F、D在一条直线上，DF=BE，AE=CF．请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使四边形ABCD是平行四边形，并说明理由，供选择的三个条件（请从其中选择一个）：①AB=DC；②BC=AD；③∠AED=∠CFB．5．如图，在▱ABCD中，AC交BD于点O，点E，点F分别是OA，OC的中点，请判断线段BE，DF的位置关系和数量关系，并说明你的结论．6．如图所示，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形△ABD、△BCE、△ACF，猜想：四边形ADEF 是什么四边形，试证明你的结论．7．如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE=CF．求证：（1）AD是△ABC的中线；（2）请连接BF、CE，试判断四边形BECF是何种特殊四边形，并说明理由．8．如图，矩形ABCD的两条对角线AC和BD相交于点O，E、F是BD上的两点，且∠AEB=∠CFD．求证：四边形AECF 是平行四边形．9．如图：在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E是BC上一点，DE=AB．求证：四边形ABED是平行四边形．10．如图，已知 AB∥DC，E是BC的中点，AE，DC的延长线交于点F；（1）求证：△ABE≌△FCE；（2）连接AC，BF．则四边形ABFC是什么特殊的四边形？请说明理由．11．等边△ABC中，点D在BC上，点E在AB上，且CD=BE，以AD为边作等边△ADF，如图．求证：四边形CDFE是平行四边形．12．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE．若∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连结DF．求证：（1）△ABC≌△EAF；（2）四边形ADFE是平行四边形．13．已知：如图，在△ABC中，中线BE，CD交于点O，F，G分别是OB，OC的中点．求证：四边形DFGE是平行四边形．14．如图所示：在四边形ABCD中，AD∥BC、BC=18cm，CD=15cm，AD=10cm，AB=12cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以2cm/秒的速度由A向D运动，点Q以3cm/秒的速度由C向B运动．（1）几秒钟后，四边形ABQP为平行四边形？并求出此时四边形ABQP的周长（2）几秒钟后，四边形PDCQ为平行四边形？并求出此时四边形PDCQ的周长．15．求证：顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形．16．△ABC中，中线BE、CF相交于O，M是BO的中点，N是CO的中点，求证：四边形MNEF是平行四边形．17．如图，AD=DB，AE=EC，FG∥AB，AG∥BC．（1）证明：△AGE≌△CFE；（2）说明四边形ABFG是平行四边形；（3）研究图中的线段DE，BF，FC之间有怎样的位置关系和数量关系．18．如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在BC边上，AB边上有一点F，且BF=DC，连接EF、EB．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）求证：四边形EFCD是平行四边形．19．已知在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，点F在DE的延长线上，且EF=DE，图中有几个平行四边形？请说明你的理由．20．如图，在△ABC中，AD是中线，点E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，连接BF．求证：四边形AFBD是平行四边形．21．如图：在四边形ABCD中，AD∥BC，E是BC的中点，BC=2AD．找出图中所有的平行四边形，并选择一个说明它是平行四边形的理由．22．求证：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．23．已知：如图，A、B、C、D在同一条直线上，且AB=CD，AE∥DF，AE=DF．求证：四边形EBFC是平行四边形．24．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD及其延长线上，CE∥BF，连接BE、CF．图中的四边形BFCE 是平行四边形吗？为什么？25．已知点E、F、G、H分别为四边形ABCD四边的中点，试问四边形EFGH的形状并说明理由．26．如图，已知四边形ABCD中AD=BC，点A、B、E在同一条直线上，且∠B=∠EAD，试说明四边形ABCD是平行四边形．27．如图，AD∥BC，ED∥BF，且AE=CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．28．已知：△ABC的中线BD、CE交于点O，F、G分别是OB、OC的中点．求证：四边形DEFG是平行四边形．29．如图，△ACD、△ABE、△BCF均为直线BC同侧的等边三角形．当AB≠AC时，求证：四边形ADFE为平行四边形．30．已知：在四边形ABCD中，AD∥BC，且AB=DC=5，AC=4，BC=3．求证：四边形ABCD为平行四边形．平行四边形的判定30题参考答案：1．∵AD∥BC，∴∠DAE=∠BCF，∵ED∥BF，∴∠DEF=∠BFE，∴∠AED=∠CFB，又∵AF=CE，∴AE=CF，在△ADE和△CBF中：∵∠DAE=∠BCF，∠AED=∠CFB，AE=CF，∴△ADE≌△CBF（AAS），∴AD=CB，即：AD∥CB，AD=CB，∴四边形ABCD是平行四边形，2．∵∠BAC=90°，AB=11﹣x，BC=5，AC=4．∴（11﹣x）2+42=52，解得：x1=8，x2=14＞11（舍去），当x=8时，BC=AD=5，AB=CD=3，∴四边形ABCD为平行四边形．3．（1）解：能推出四边形ABCD是平行四边形的有①④、③④；故答案是：①④、③④；（2）以①④为例进行证明．如图，在四边形ABCD中，OA=OC，AD∥BC．证明：∵AD∥BC，∴∠DAO=∠BCO．∴在△AOD与△COB中，，∴△AOD≌△COB（ASA），∴AD=BC，∴在四边形ABCD中，AD BC，∴四边形ABCD为平行四边形．4．选择①，∵DF=BE，AE=CF，AB=CD，∴△ABE≌△CDF（sss），∴∠ABE=∠CDF，∴四边形ABCD是平行四边形．5. BE=DF，BE∥DF因为ABCD是平行四边形，所以OA=OC，OB=OD，因为E，F分别是OA，OC的中点，所以OE=OF，所以BFDE是平行四边形，所以BE=DF，BE∥DF 6．四边形ADEF是平行四边形．连接ED、EF，∵△ABD、△BCE、△ACF分别是等边三角形，∴AB=BD，BC=BE，∠DBA=∠EBC=60°．∴∠DBE=∠ABC．∴△ABC≌△DBE．同理可证△ABC≌△FEC，∴AB=EF，AC=DE．∵AB=AD，AC=AF，∴AD=EF，DE=AF．∴四边形ADEF是平行四边形7．（1）∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BED=∠CFD．∵∠BDE=∠CDF，BE=CF，∴△BED≌△CFD．∴BD=CD．∴AD是△ABC的中线．（2）四边形BECF是平行四边形，由（1）得：BD=CD，ED=FD．∴四边形BECF是平行四边形8．∵四边形ABCD是矩形∴AB∥CD，AB=CD，∴∠ABE=∠CDF，又∵∠AEB=∠CFD，∴△ABE≌△CDF，∴BE=DF，又∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC，OB=OD，∴OB﹣BE=OD﹣DF，∴OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形9．∵AD∥BC，AB=CD，∴四边形ABCD是等腰梯形，∴∠B=∠C，∵DE=AB，∴∠DEC=∠B，∴AB∥DE，∴四边形ABED是平行四边形．10．（1）证明：∵AB∥DC，∴∠1=∠2，∠FCE=∠EBA，∵E为BC中点，∴CE=BE，∵在△ABE和△FCE中，∠1=∠2，∠FCE=∠EBA，CE=BE，∴△ABE≌△FCE；（2）四边形ABFC是平行四边形；理由：由（1）知：△ABE≌△FCE，∴EF=AE，∵CE=BE，∴四边形ABFC是平行四边形11．连接BF，∵△ADF和△ABC是等边三角形，∴AF=AD=DF，AB=AC=BC，∠ABC=∠ACD=∠CAB=∠FAD=60°，∴∠FAD﹣∠EAD=∠CAB﹣∠EAD，∴∠FAB=∠CAD，在△FAB和△DAC中，∴△FAB≌△DAC（SAS），∴BF=DC，∠ABF=∠ACD=60°，∵BE=CD，∴BF=BE，∴△BFE是等边三角形，∴EF=BE=CD，在△ACD和△CBE中∵，∴△ACD≌△CBE（SAS），∴AD=CE=DF，∵EF=CD，∴四边形CDFE是平行四边形．12．（1）∵△ABE为等边三角形，EF⊥AB，∴EF为∠BEA的平分线，∠AEB=60°，AE=AB，在△ABC和△EAF中，，∴△ABC≌△EAF（AAS）；（2）∵∠BAC=30°，∠DAC=60°，∴∠DAB=90°，即DA⊥AB，∵EF⊥AB，∴AD∥EF，∵△ABC≌△EAF，∴EF=AC=AD，∴四边形ADFE是平行四边形13．在△ABC中，∵AD=BD，AE=CE，∴DE∥BC且DE=BC．在△OBC中，∵OF=FB，OG=GC，∴FG∥BC且FG=BC．∴DE∥FG，DE=FG．∴四边形DFGE为平行四边形14．（1）x秒后，四边形ABQP为平行四边形．则2x=18﹣3x，解得x=3.6．3.6秒钟后，四边形ABQP为平行四边形，此时四边形ABQP的周长是3.6×2×2+12×2=38.4cm．（2）y秒后，四边形PDCQ为平行四边形．10﹣2y=3y，解得y=2.2秒钟后，四边形PDCQ为平行四边形，此时四边形PDCQ的周长是3.6×2×2+15×2=43.2cm．15．：连接BD，∵E、F为AD，AB中点，∴FE BD．又∵G、H为BC，CD中点，∴GH BD，故GH FE．同理可证，EH FG．∴四边形FGHE是平行四边形16．∵BE，CF是△ABC的中线，∴EF∥BC且EF=BC，∵M是BO的中点，N是CO的中点，∴EF∥MN且EF=MN，∴四边形MNEF是平行四边形．17．（1）证明：∵AG∥BC（已知）∴∠G=∠EFC（两直线平行，内错角相等）∵∠AEG=∠FEC（对顶角相等），又AE=EC（已知）∴△AGE≌△CFE（AAS）；（2）说明：∵FG∥AB，AG∥BC（已知）∴四边形ABFG是平行四边形（平行四边形的定义）；（3）解：线段DE，BF，FC之间的位置关系是DE∥BF，DE∥FC，数量关系是DE=BF=FC，理由：由（1）可知△AGE≌△CFE∴AG=FC，FE=EG（全等三角形的对应边相等），∴E是FG的中点，又∵AD=DB（已知）∴DE为三角形ABC的中位线，∴DE=BC，DE∥BC，即DE∥BF，DE∥FC，由（2）可知四边形ABFG是平行四边形∴AG=BF，∴BF=FC=BC，∴DE=BF=FC，即线段DE，BF，FC之间的位置关系是DE∥BF，DE∥FC，数量关系是DE=BF=FC．18．（1）∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AE=AD，AB=AC，∠EAD=∠BAC=60°，∴∠EAD﹣∠BAD=∠BAC﹣∠BAD，即：∠EAB=∠DAC，∴△ABE≌△ACD（SAS）；（2）证明：∵△ABE≌△ACD，∴BE=DC，∠EBA=∠DCA，又∵BF=DC，∴BE=BF．∵△ABC是等边三角形，∴∠DCA=60°，∴△BEF为等边三角形．∴∠EFB=60°，EF=BF∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∴∠ABC=∠EFB，∴EF∥BC，即EF∥DC，∴四边形EFCD是平行四边形19．平行四边形ADCF和平行四边形DBCF．理由：（1）∵D、E分别是AB、AC边的中点，∴DE∥BC ，．又∵EF=DE，∴DF=BC，∴四边形DBCF是平行四边形；（2）在四边形ADCF中，∵EF=DE，又∵E是AC边的中点，∴EA=EC，∴四边形ADCF是平行四边形20．∵E为AD中点，∴AE=DE，∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE，在△AEF和△CED中∵，∴△AEF≌△CED（AAS），∴AF=DC，∵AD是△ABC的中线，∴BD=DC，∴AF=BD，即AF∥BD，AF=BD，故四边形AFBD是平行四边形21．图中有两个平行四边形：▱ABED、▱AECD．∵，∴AD=BE，∵AD∥BC，∴四边形ABED是平行四边形．22．已知：四边形ABCD，∠A=∠C，∠B=∠D，求证：四边形ABCD是平行四边形，证明：∵∠A=∠C，∠B=∠D，∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∴2∠A+2∠B=360°，∴∠A+∠B=180°，∴AD∥BC，同理AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．在△ABE和△DCF中∴△ABE≌△DCF（SAS），∴EB=FC，∠ABE=∠DCF，∵∠ABE+∠EBC=180°，∠DCF+∠FCB=180°，∴∠EBC=∠FCB，∴BE∥FC，∵BE=FC，∴四边形EBFC是平行四边形24．∵CE∥BF，BD=CD，∴△BDF≌△CDE，∴BF=CE，∴四边形BFCE是平行四边形．25．四边形EFGH是平行四边形证明：连接AC、BD∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四边的中点∴EH=BD，FG=BD，HG=AC，EF=AC∴EH=FG，EF=HG∴四边形EFGH是平行四边形．26．∵∠B=∠EAD，∴AD∥BC，∵AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形．27．∵AD∥BC，∴∠EAD=∠FCB，又ED∥BF，∴∠FED=∠EFB，∠AED=180°﹣∠FED，∠CFB=180°﹣∠EFB，∴∠AED=∠CFB，又已知AE=CF，∴△AED≌△CFB，∴AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形．28．∵AD∥BC，∴∠EAD=∠FCB，又ED∥BF，∴∠FED=∠EFB，∠AED=180°﹣∠FED，∠CFB=180°﹣∠EFB，∴∠AED=∠CFB，又已知AE=CF，∴△AED≌△CFB，∴AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形．29．∵△ABE、△BCF为等边三角形，∴AB=BE=AE，BC=CF=FB，∠ABE=∠CBF=60°．∴∠FBE=∠CBA，在△FBE和△CBA中，，∴△FBE≌△CBA（SAS）．∴EF=AC．又∵△ADC为等边三角形，∴CD=AD=AC．∴EF=AD．同理可得AE=DF．∴四边形AEFD是平行四边形30．∵AB=5，AC=4，BC=3∴AB2=AC2+BC2∴∠BCA=90°∵AD∥BC∴∠DAC=∠BCA=90°∵DC=5，AC=4，∴AD2=DC2﹣AC2=9∴AD=BC=3∴四边形ABCD为平行四边形．。

初中数学平行四边形练习题(含答案和解析)

一般平行四边形习题1．如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD 于F．（1）求证：BE=DF；（2）若M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF的形状（不必说明理由）．2．如图所示，▱AECF的对角线相交于点O，DB经过点O，分别与AE，CF交于B，D．求证：四边形ABCD是平行四边形．3．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AC与BD交于点O，求证：AO=CO．4．已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD．求证：EF=AD．5．如图，已知D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点O，且OA=OC，猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系，并加以证明．6．如图，已知，▱ABCD中，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点．求证：四边形MFNE是平行四边形．7．如图，平行四边形ABCD，E、F两点在对角线BD上，且BE=DF，连接AE，EC，CF，FA．求证：四边形AECF是平行四边形．8．在▱ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE、DF．求证：四边形BEDF是平行四边形．9．如图所示，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点，求证：BC=DE．9．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=24cm，BC=30cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C 向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截梯形为两个四边形．问当P，Q同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形？答案与评分标准1．如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD 于F．（1）求证：BE=DF；（2）若M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF的形状（不必说明理由）．考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质。

八年级数学下册《平行四边形》练习题与答案(人教版)

八年级数学下册《平行四边形》练习题与答案(人教版)一、选择题1.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＋BD＝16，CD＝6，则△ABO周长是( )A.10B.14C.20D.222.如图，在▱ABCD中，BC＝BD，∠C＝74°，则∠ADB的度数是( )A.16°B.22°C.32°D.68°3.下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是( )A.两组对边分别平行B.一组对边平行，另一组对边相等C.两组对边分别相等D.一组对边平行且相等4.如图，已知点E是菱形ABCD的边BC上一点，且∠DAE＝∠B＝80°，那么∠CDE度数为( )A.20°B.25°C.30°D.35°5.如图，已知菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE∥AB交BC于点E，AD＝6cm，则OE的长为( )A.6cmB.4cmC.3cmD.2cm6.如图，将矩形纸片ABCD沿BD折叠，得到△BC′D，C′D与AB交于点E.若∠1＝35°，则∠2的度数为( )A.20°B.30°C.35°D.55°7.如图，将边长为3a的正方形沿虚线剪成两块正方形和两块长方形.若拿掉边长2b的小正方形后，再将剩下的三块拼成一块矩形，则这块矩形较长的边长为( )A.3a＋2bB.3a＋4bC.6a＋2bD.6a＋4b8.在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD.如果再增加条件AC＝BD，此四边形一定是( )A.正方形B.矩形C.菱形D.都有可能9.如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE.若AB的长为2，则FM的长为( )A.2B. 3C. 2D.110.如图，正方形ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别沿AE、AF折叠，点B、D 恰好都落在点G处，已知BE＝1，则EF的长为( )A.1.5B.2.5C.2.25D.311.如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是( )A.AB∥DCB.AC＝BDC.AC⊥BDD.AB＝DC12.如图,在四边形ABCD中,AC＝a,BD＝b,且AC⊥BD,顺次连接四边形ABCD各边中点,得到四边形A1B1C1D1,再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点,得到四边形A2B2C2D2,…,如此进行下去,得到四边形A n B n C n D n.下列结论正确的是( )①四边形A 4B 4C 4D 4是菱形;②四边形A 3B 3C 3D 3是矩形;③四边形A 7B 7C 7D 7的周长为a ＋b 8; ④四边形A n B n C n D n 的面积为ab 2n . A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④二、填空题13.如图，在四边形ABCD 中，AD//BC ，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件，使四边形ABCD 是平行四边形(填一个即可).14.如图所示，已知▱ABCD ，下列条件：①AC ＝BD ，②AB ＝AD ，③∠1＝∠2，④AB ⊥BC 中，能说明▱ABCD 是矩形的有(填写序号) ．15.如图，如果要使平行四边形ABCD 成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是_________.16.如图，把矩形ABCD 绕着点A 逆时针旋转90°可以得到矩形AEFG ，则图中△AFC 是三角形.17.如图，四边形ABCD 是正方形，延长AB 到点E ，使AE ＝AC ，则∠BCE 的度数是 .18.如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，BC边上有一点E，BE＝4，将纸片折叠，使A点与E点重合，折痕MN交AD于M点，则线段AM的长是.三、解答题19.如图，平行四边形ABCD，E、F两点在对角线BD上，且BE＝DF，连接AE，EC，CF，FA.(1)求证：四边形AECF是平行四边形.(2)若AF＝EF，∠BAF＝108°，∠CDF＝36°，直接写出图中所有的等腰三角形.20.如图，已知在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE，垂足为E.(1)求证：△ABD≌△CAE.(2)连结DE，线段DE与AB之间有怎样的位置关系和数量关系？请证明你的结论．21.如图，在△ABC中，∠A CB＝90°，O，D分别是边AC，AB的中点，过点C作CE∥AB交DO的延长线于点E，连接AE.(1)求证：四边形AECD 是菱形；(2)若四边形AECD 的面积为24，BC ：AC ＝34，求BC 的长.22.如图，已知点E 是正方形ABCD 的边CD 上一点，点F 是CB 的延长线上一点，且EA ⊥AF.求证：DE ＝BF.23.已知：如图1，四边形ABCD 四条边上的中点分别为E 、F 、G 、H ，顺次连接EF 、FG 、GH 、HE ，得到四边形EFGH(即四边形ABCD 的中点四边形)．(1)四边形EFGH 的形状是，证明你的结论．(2)如图2，请连接四边形ABCD 的对角线AC 与BD ，当AC 与BD 满足条件时，四边形EFGH 是矩形；证明你的结论．(3)你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？说明理由．24.已知四边形ABCD为正方形，E是BC的中点，连接AE，过点A作∠AFD，使∠AFD＝2∠EAB，AF交CD于点F，如图①，易证：AF＝CD＋CF．(1)如图②，当四边形ABCD为矩形时，其他条件不变，线段AF，CD，CF之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明；(2)如图③，当四边形ABCD为平行四边形时，其他条件不变，线段AF，CD，CF之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．参考答案1.B.2.C3.B4.C.5.C6.A.7.A.8.B.9.B10.B11.C12.B.13.答案为：AD＝BC(答案不唯一).14.答案为：①④.15.答案为：AB＝AD或AC⊥BD；16.答案为：等腰直角.17.答案为：22.5°.18.答案为13 2.19.证明：(1)如图，连接AC交BD于点O，在▱ABCD中，OA＝OC，OB＝OD∵BE＝DF∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF∴四边形AECF是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)；(2)解：∵AB∥CD∴∠ABF＝∠CDF＝36°∴∠AFB＝180°﹣108°﹣36°＝36°∴AB＝AF∵AF＝EF∴△ABF 和△AFE 是等腰三角形同理△EFC 与△CDE 是等腰三角形.20.证明：(1)∵AB ＝AC∴∠B ＝∠ACB又∵AD 是BC 边上的中线∴AD ⊥BC ，即∠ADB ＝90°.∵AE ∥BC∴∠EAC ＝∠ACB∴∠B ＝∠EAC.∵CE ⊥AE ，所以∠CEA ＝90°∴∠ADB ＝∠CEA.又∵AB ＝CA∴△ABD ≌△CAE(AAS)．(2)解：AB ∥DE 且AB ＝DE.证明：由△ABD ≌△CAE 可得AE ＝BD又∵AE ∥BD∴四边形ABDE 是平行四边形∴AB ∥DE 且AB ＝DE.21.(1)证明：∵点O 是AC 的中点∴OA ＝OC.∵CE ∥AB∴∠DAO ＝∠ECO.又∵∠AOD ＝∠COE∴△AOD ≌△COE(ASA)∴AD ＝CE∴四边形AECD 是平行四边形.又∵CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的中线∴CD ＝AD ＝12AB∴四边形AECD 是菱形；(2)由(1)知，四边形AECD 是菱形∴AC ⊥ED.在Rt △AOD 中 OD OA 34可设OD ＝3x ，OA ＝4x则ED ＝2OD ＝6x ，AC ＝2OA ＝8x.由题意可得12·6x ·8x ＝24 ∴x ＝1∴OD ＝3.∵O ，D 分别是AC ，AB 的中点∴OD 是△ABC 的中位线∴BC ＝2OD ＝6.22.证明：∵∠FAB ＋∠BAE ＝90°，∠DAE ＋∠BAE ＝90°∴∠FAB ＝∠DAE∵∠AB ＝AD ，∠ABF ＝∠ADE∴△AFB ≌△ADE∴DE ＝BF.23.解：(1)四边形EFGH 的形状是平行四边形．理由如下：如图1，连结BD ． ∵E 、H 分别是AB 、AD 中点∴EH ∥BD ，EH ＝12BD同理FG ∥BD ，FG ＝12BD∴EH ∥FG ，EH ＝FG∴四边形EFGH 是平行四边形；(2)当四边形ABCD 的对角线满足互相垂直的条件时，四边形EFGH 是矩形．理由如下：如图2，连结AC 、BD ．∵E 、F 、G 、H 分别为四边形ABCD 四条边上的中点∴EH ∥BD ，HG ∥AC∵AC ⊥BD∴EH ⊥HG又∵四边形EFGH 是平行四边形∴平行四边形EFGH 是矩形；(3)菱形的中点四边形是矩形．理由如下：如图3，连结AC 、BD ．∵E 、F 、G 、H 分别为四边形ABCD 四条边上的中点∴EH ∥BD ，HG ∥AC ，FG ∥BD ，EH ＝12BD ，FG ＝12BD∴EH ∥FG ，EH ＝FG∴四边形EFGH是平行四边形．∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD∵EH∥BD，HG∥AC∴EH⊥HG∴平行四边形EFGH是矩形．故答案为：平行四边形；互相垂直．24.解：(1)AF=CD+CF；(2)AF=CD+CF.。

《平行四边形》专题练习（含答案）

平行四边形专题练习一、选择题1. (2018·宜宾)在ABCD Y 中，若BAD Ð与CDA Ð的平分线交于点E ，则AED Ð的形状是() A.锐角三角形锐角三角形 B.直角三角形直角三角形 C.钝角三角形钝角三角形 D.不能确定不能确定2. (2018·黔西南州)如图，在ABCD Y 中，4AC =cm.若ACD D 的周长为13 cm ，则AB C D Y的周长为( ) A. 26 cm B. 24 cm C. 20 cmD. 18 cm3. (2018·海南)如图ABCD Y 的周长为36，对角线,AC BD 相交于点O ，E 是CD 的中点，12BD =，则DOE D 的周长为() A.15 B. 18 C. 21D. 24 4. ( 2018·台州)如图，在ABCD Y 中，2,3AB BC ==.以点C 为圆心，适当长为半径画弧，交BC 于点P ，交CD 于点Q ，再分别以点,P Q 为圆心，大于12PQ 的长为半径画弧，两弧相交于点N ，射线CN 交BA 的延长线于点E ，则AE 的长是( ) A.12B. 1C. 65D. 325. (2018·东营)如图，在四边形ABCD 中，E 是BC 边的中点，连接DE 并延长，交AB 的延长线于点F ，AB BF =.添加一个条件使四边形ABCD 是平行四边形，你认为下列四个条件中可选择的是( ) A. AD BC = B. CD BF = C. A C Ð=Ð D. F CDF Ð=Ð 6. (2018·安徽)在ABCD Y 中，,E F 是对角线BD 上不同的两点.下列条件中，不能得出四边形AECF 一定为平行四边形的是() A. BE DF = B. AE CF = C. //AF CED. BAE DCF Ð=Ð 7. (2018·玉林)在四边形ABCD 中:①//AB CD ;②//AD BC ;③AB CD =;④AD BC =，从以上选择两个条件使四边形ABCD 为平行四边形的选法共有() A. 3种 B. 4种 C. 5种D. 6种8. (2018·呼和浩特)顺次连接平面上,,,A B C D 四点得到一个四边形，从①//AB CD ;②BC AD =;③A C Ð=Ð;④B D Ð=Ð四个条件中任取其中两个，可以得出‘“四边形ABCD 是平行四边形”这一结论的情况共有() A. 5种 B. 4种 C. 3种D. 1种 9. (2018·眉山)如图，在ABCD Y 中，2CD AD =，BE AD ^于点E ，F 为DC 的中点，连接,EF BF ，下列结论:①2ABC ABF Ð=Ð;②EF BF =;③2EFBDEBCS SD =四边形;④3CFE DEF Ð=Ð.其中正确的结论共有() A.1个 B. 2个 C. 3个D. 4个10. (2018·通辽)如图，ABCD Y 的对角线,AC BD 交于点O ，DE 平分ADC Ð交AB 于点E ，60BCD Ð=°，12AD AB =，连接OE .下列结论:①ABCDS AD BD =Y g ; ②DB 平分CDE Ð; ③AO DE =;④5ADEOFES SD D =.其中正确的有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个二、填空题11. (2018·常州)如图，在ABCD Y 中，70A Ð=°，DC DB =，则CDB Ð=.12. (2018·十堰)如图，ABCD Y 的对角线,AC BD 相交于点O ，且8AC =，10BD =，5AB =，则OCD D 的周长为的周长为 . 13. (2018·泰州)如图，在ABCD Y 中，,AC BD 相交于点O .若6,16AD AC BD =+=，则BOC D 的周长为的周长为. 14. (2018·衡阳)如图，ABCD Y 的对角线相交于点O ，且A D C D ¹，过点O 作OM AC ^，交AD 于点M .如果CDM D 的周长为8，那么ABCD Y 的周长是的周长是.15.(2018·临沂)如图，在ABCD Y 中，10,6AB AD ==，AC BC ^，则BD 的长为. 16. (2018·东营)如图，(3,3)B -，(5,0)C ，以,OC CB 为边作OABC Y ，则经过点A 的反比例函数的解析式为比例函数的解析式为. 17. (2018·株洲)如图，在ABCD Y 中，连接BD ，且BD CD =，过点A 作AM BD ^于点M ，过点D 作DN AB ^于点N ，且32DN =，在DB 的延长线上取一点P ，满足ABD MAP PAB Ð=Ð+Ð，则AP 的长为的长为.18.(导学号78816053)(2018·无锡)如图，60XOY Ð=°，点A 在边OX 上，2OA =.过点A作AC OY ^于点C ，以AC 为一边在XOY Ð内作等边三角形ABC ，P 是ABC D 围成的区域(包括各边)内的一点，过点P 作//PD OY 交OX 于点D ，作//PE OX 交OY于点E .设,OD a OE b ==，则2a b +的取值范围是的取值范围是 . 三、解答题19. (2018·无锡)如图，在A B C D Y 中，,E F 分别是边,B C A D 的中点.求证:ABF CDE Ð=Ð.20. (2018·衢州)如图，在ABCD Y 中，AC 是对角线，BE AC ^，DF AC ^，垂足分别为E ，F .求证:AE CF =.21. (2018·大连)如图，ABCD Y 的对角线,AC BD 相交于点O ，点,E F 在AC 上，且AF CE =.求证:BE DF =.22. (2018·福建)如图，ABCD Y 的对角线,AC BD 相交于点O ，EF 过点O 且与,AD BC分别相交于点,E F .求证:OE OF =.23. (2018·宿迁)如图，在ABCD Y 中，点,E F 分别在边,CB AD 的延长线上，且BE DF =，EF 分别与,AB CD 交于点,G H .求证:AG CH =.24. (2018·曲靖)如图，在ABCD Y 的边,AB CD 上截取,AF CE ，使得AF CE =，连接,,EF M N 是线段EF 上两点，且EM FN =，连接,AN CM .(1)求证: AFN CEM D @D ;(2)若107CMF Ð=°，72CEM Ð=°，求NAF Ð的度数.25. (2018·岳阳)如图，在ABCD Y 中，AE CF =.求证:四边形BFDE 是平行四边形.26. (2018·孝感)如图，,,,B E C F 在一条直线上，已知//,//,AB DE AC DF BE CF =，连接AD 求证:四边形ABED 是平行四边形.27. (2018·陕西)如图，//AB CD ，,E F 分别为,AB CD 上的点，且//EC BF ，连接AD ，分别与,EC BF 相交于点,G H ，若AB CD =，求证:AG DH =.28. (2018·巴中)如图，在ABCD Y 中，过点B 作BM AC ^于点E ，交CD 于点M ，过点D 作DN AC ^于点F ，交AB 于点N .(1)求证:四边形BMDN 是平行四边形;(2)已知12,5AF EM ==，求AN 的长.29. (2018·江西)如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，2AB CD =，E 为AB 的中点，请仅用无刻度的直尺分别按下面的要求画图.(保留画图痕迹)(1)在图①中，画出ABD D 的BD 边上的中线; (2)在图②中，若BA BD =，画出ABD D 的AD 边上的高.30. (2018·黄冈)如图，在ABCD Y 中，分别以边,BC CD 作等腰三角形BCF 、等腰三角形CDE ，使,BC BF CD DE ==，CBF CDE Ð=Ð，连接,AF AE .(1)求证: ABF EDA D @D ;(2)延长AB 与CF ，相交于点G ，若AF AE ^，求证: BF BC ^.31. (2018·永州)如图，在ABC D 中，90ACB Ð=°，30CAB Ð=°，以线段AB 为边向外作等边三角形ABD ，E 是线段AB 的中点，连接CE 并延长交线段AD 于点F .(1)求证:四边形BCFD 为平行四边形;(2)若6AB =，求BCFD Y 的面积.32. (2018·重庆)如图，在ABCD Y 中，O 是对角线AC 的中点，E 是BC 上一点，且AB AE =，连，连接EO 并延长交AD 于点F .过点B 作AE 的垂线，垂足的垂线，垂足为H ，交AC 于点G .(1)若3,1AH HE ==，求ABE D 的面积;(2)若45ACB Ð=°，求证:2DF CG =.参考答案参考答案一、1. B 2. D 3. A 4. B 5. D 6. B 7. B 8. C9. D10. B 二、填空题二、填空题11. 40° 12. 1413. 14 14. 16 15. 41316. 6y x= 17. 618. 225a b £+£ 三、三、19. 点拨：证明()ABF CDE SAS D @D ，即可得ABF CDE Ð=Ð. 20. 点拨：证明()ABE CDF AAS D @D ，即可得AE CF =. 21. 点拨：证明()BEO DFO SAS D @D ，即可得BE DF =. 22. 点拨：证明()AOE COF ASA D @D ，即可得OE OF =. 23. 点拨：证明()AGF CHE ASA D @D ，即可得AG CH =.24. (1)点拨：由FN EM AFN CEM AF CE =ìïÐ=Ðíï=î，得到AFN CEM D @D(2) 35NAF Ð=°25. 点拨：由//BF DEBF DF ìí=î，得到四边形BFDE 是平行四边形是平行四边形26. 点拨：证明()ABC DEF ASA D @D ，得到AB DE =，又∵//AB DE ，∴四边形ABED 是平行四边形.27. 点拨：证明()AEG DFH ASA D @D ，得到AG DH =.28. (1) 点拨：由////CD ABDN BM ìíî，得到四边形BMDN 是平行四边形;(2)13AN = 29. (1)如图①，连接CE ，交BD 于点F ，连接AF ，线段AF 即为所求即为所求 (2)如图②，连接CE ，交BD 于点F ，连接AF ，DE 交于点G ，连接BG ，并延长BG ，交AD 于点H ，线段BH 即为所求即为所求30. (1) 点拨：由BF DA ABF EDA AB DE=ìïÐ=Ðíï=î，得到ABF EDA D @D(2) 点拨：由90CBF EAF Ð=Ð=°，得到BF BC ^ 31. (1) 点拨：由////BC DFCF BD ìíî，得到四边形BCFD 为平行四边形; (2) 93BCFD S =Y 32. (1) 27ABE S D =(2) 点拨：AOF COE D @D ，得到AF CE =， ∵AD BC =， ∴DF BE =.AME BNG D @D ，得到ME NG =，∴22BE ME NG ==在Rt GNC D 中，45GCN Ð=°，∴2CG NG =，∴22CG NG =， ∴2DF CG =。

平行四边形专题(含答案)

平行四边形专题一．选择题（共15小题）1．已知平行四边形一边长为10，一条对角线长为6，则它的另一条对角线α的取值范围为（）A．4＜α＜16 B．14＜α＜26C．12＜α＜20 D．以上答案都不正确2．下列说法中错误的个数是（）①两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；②两条对角线相等的四边形是矩形③两条对角线互相垂直的矩形是正方形；④两条对角线相等的菱形是正方形⑤任何一个具有对称中心的四边形一定是正方形或矩形⑥角既是轴对称图形又是中心对称图形⑦线段、圆、矩形、菱形、正方形都是中心对称图形⑧正三角形、矩形、菱形、正方形是轴对称图形，且对称轴都有四条A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，在▱中，8，6，∠30°，点E，F在上，且，则△的面积为（）A．8 B．4 C．6 D．124．下列说法：①平行四边形的任意一条对角线把平行四边形分成两个全等三角形．②平行四边形的面积等于三角形的面积的2倍．③平行四边形的两条对角线把平行四边形分成四个面积相等的小三角形．④平行四边形对角线的交点到一组对边的距离相等，其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．平行四边形中，对角线和相交于点O，如果12，10，，那么x的取值范围是（）A．1＜x＜11 B．5＜x＜6 C．10＜x＜12 D．10＜x＜226．如图所示，四边形是平行四边形，那么下列说法正确的有（）①四边形是平行四边形，记做“四边形是▱”；②把四边形分成两个全等的三角形；③∥，且∥；④四边形是平行四边形，可以记做“▱”．A．1个B．2个C．3个D．4个7．如图，▱的对角线、交于点O，平分∠交于点E ，且∠60°，，连接．下列结论：①∠30°；②S▱•；③；④，成立的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．在▱中，3，4，当▱的面积最大时，下列结论正确的有（）①5；②∠∠180°；③⊥；④．A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④9．如图，在平行四边形中，2，F是的中点，作⊥，垂足E在线段上，连接、，则下列结论中一定成立的是（）①∠∠；②；③S△2S△；④∠3∠．A．①②B．②③④C．①②④D．①②③④10．如图，平行四边形的周长是26，对角线与交于点O，⊥，E是中点，△的周长比△的周长多3，则的长度为（）A．3 B．4 C．5 D．811．如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张正方形纸片的面积为S3，则这个平行四边形的面积一定可以表示为（）A．4S1B．4S2C．4S23D．3S1+4S312．如图，▱的对角线，交于点O，已知8，12，6，则△的周长为（）A．13 B．17 C．20 D．2613．如图，在▱中，6，8，∠C的平分线交于E，交的延长线于F，则的值等于（）A．2 B．3 C．4 D．614．如图，在▱中，平分∠，交于点F，平分∠，交于点E，6，2，则长为（）A．8 B．10 C．12 D．14 15．如图，在△中，∠90°，3，4，点D在上，以为对角线的所有▱中，最小的值是（）A．2 B．3 C．4 D．5二．解答题（共11小题）16．如图，在▱中，E是的中点，连接并延长交的延长线于点F．（1）求证：；（2）连接，若2，求证：⊥．17．如图，E是▱的边的中点，延长交的延长线于点F．（1）求证：△≌△．（2）若∠90°，5，3，求的长．18．如图，四边形中，∥，⊥交于点E，⊥交于点F，且．求证：四边形是平行四边形．19．如图，平行四边形中，⊥，∠45°，E、F分别是、上的点，且，连接交于O．（1）求证：；（2）若⊥，延长交的延长线于G，当1时，求的长．20．如图，是△的角平分线，它的垂直平分线分别交，，于点E，F，G，连接，．（1）请判断四边形的形状，并说明理由；（2）若∠30°，∠45°，2，点H是上的一个动点，求的最小值．21．如图，▱中，⊥，∠45°，E、F分别是，上的点，且，连接交于O．（1）求证：；（2）若⊥，延长交的延长线于G，当1时，求的长．22．如图，▱放置在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），B（6，0），D（0，3），反比例函数的图象经过点C．（1）求反比例函数的解析式；（2）将▱向上平移，使点B恰好落在双曲线上，此时A，B，C，D的对应点分别为A′，B′，C′，D′，且C′D′与双曲线交于点E，求线段′的长及点E的坐标．23．如图，在四边形中，∥，∠90°，8，12，18，点P从点A出发以2的速度沿A→D→C运动，点P从点A出发的同时点Q从点C出发，以1的速度向点B运动，当点P到达点C时，点Q也停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒．（1）从运动开始，当t取何值时，∥？（2）从运动开始，当t取何值时，△为直角三角形？24．如图，四边形为平行四边形，∠的角平分线交于点F，交的延长线于点E．（1）求证：；（2）连接，若⊥，∠60°，4，求平行四边形的面积．25．如图，▱的对角线、相交于点O，．（1）求证：△≌△；（2）若，连接、，判断四边形的形状，无需说明理由．26．已知：如图，在▱中，E，F分别是边，上的点，且，直线分别交的延长线、的延长线于点G，H，交于点O．（1）求证：△≌△；（2）连接，若，则四边形是什么特殊四边形？请说明理由．平行四边形专题（答案）一．选择题（共15小题）1．（2015春•博野县期末）已知平行四边形一边长为10，一条对角线长为6，则它的另一条对角线α的取值范围为（）A．4＜α＜16 B．14＜α＜26C．12＜α＜20 D．以上答案都不正确【分析】因为平行四边形的对角线互相平分，根据三角形三边之间的关系，可先求得另一对角线的一半的取值为大于7而小于13，则它的另一条对角线α的取值范围为14＜α＜26．【解答】解：如图，已知平行四边形中，10，6，求的取值范围，即a的取值范围．∵平行四边形∴2，26∴α，3∴在△中：﹣＜＜即：14＜α＜26故选B．【点评】此题主要考查平行四边形的性质和三角形三边之间的关系．2．（2012•麻城市校级模拟）下列说法中错误的个数是（）①两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；②两条对角线相等的四边形是矩形③两条对角线互相垂直的矩形是正方形；④两条对角线相等的菱形是正方形⑤任何一个具有对称中心的四边形一定是正方形或矩形⑥角既是轴对称图形又是中心对称图形⑦线段、圆、矩形、菱形、正方形都是中心对称图形⑧正三角形、矩形、菱形、正方形是轴对称图形，且对称轴都有四条A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】对平行四边形性质的考查，以及矩形，正方形，中心对称图形的性质及判定．【解答】解：①中对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以①对；②等腰梯形两条对角线也相等，②也不对；③中对角线互相垂直的矩形是正方形，正确；④两条对角线相等的菱形是正方形，正确，⑤任何一个具有对称中心的四边形一定是正方形或矩形，错误，等腰梯形，菱形都有对称中心；⑥角是轴对称图形但不是中心对称图形，所以⑥不对⑦线段、圆、矩形、菱形、正方形都是中心对称图形，都有对称中心，所以正确；⑧正三角形、矩形、菱形、正方形是轴对称图形，且对称轴都有四条，正三角形只有三条对称轴．所以题中共有②⑤⑥⑧四个错误，故答案选D．【点评】本题综合考查了各种图形的性质以及有关判定，熟记性质和判定，准确掌握知识是解题的关键．3．如图，在▱中，8，6，∠30°，点E，F在上，且，则△的面积为（）A．8 B．4 C．6 D．12【分析】可先求平行四边形的总面积，因为，所以三个小三角形的面积相等，进而可求解．【解答】解：如图，过点D作⊥于点G，∵6，∠30°，∴3，∴平行四边形的面积为•8×3=24，∴△的面积为×24=12∴△的面积×12=4故选B．【点评】平行四边形的面积等于平行四边形的边长与该边上的高的积．即•h．其中a可以是平行四边形的任何一边，h必须是a边与其对边的距离，即对应的高，并注意体会三角形面积相等的条件．4．下列说法：①平行四边形的任意一条对角线把平行四边形分成两个全等三角形．②平行四边形的面积等于三角形的面积的2倍．③平行四边形的两条对角线把平行四边形分成四个面积相等的小三角形．④平行四边形对角线的交点到一组对边的距离相等，其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】平行四边形的性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．根据平行四边形的性质，结合图形，逐一分析即可．【解答】解：根据平行四边形的基本性质和判定，可知：①平行四边形的任意一条对角线把平行四边形分成两个全等三角形，正确．②平行四边形的面积等于三角形的面积的2倍，说明不清楚，比较对象不明了，所以错误．③平行四边形的两条对角线把平行四边形分成四个面积相等的小三角形，正确．④平行四边形对角线的交点到一组对边的距离相等，正确．故选C．【点评】主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题，熟记性质是解题的关键，注意解题时要数形结合．5．（2011春•东莞校级期中）平行四边形中，对角线和相交于点O，如果12，10，，那么x的取值范围是（）A．1＜x＜11 B．5＜x＜6 C．10＜x＜12 D．10＜x＜22【分析】根据题意画出图形，根据平行四边形的对角相互相平分，可得，；根据三角形的三边关系，可得x的取值范围是1＜x＜11．【解答】解：∵四边形是平行四边形，12，10，∴6，5，∵，∴x的取值范围是1＜x＜11．故选A．【点评】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角相互相平分．还考查了三角形的三边关系：三角形中任意两边之和＞第三边，三角形中任意两边之差＜第三边．题目比较简单，解题时要细心．6．如图所示，四边形是平行四边形，那么下列说法正确的有（）①四边形是平行四边形，记做“四边形是▱”；②把四边形分成两个全等的三角形；③∥，且∥；④四边形是平行四边形，可以记做“▱”．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据平行四边形的基本性质和基本表示方法进行判断即可．【解答】解：根据有关概念和性质可知：①四边形是平行四边形，记做“四边形是▱”，错误．②把四边形分成两个全等的三角形，正确．③∥，且∥，正确④四边形是平行四边形，可以记做“▱”，应该为：记做“▱”，错误．故选B．【点评】主要考查了平行四边形的基本性质和基本表示方法．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．7．（2015•绥化）如图，▱的对角线、交于点O，平分∠交于点E，且∠60°，，连接．下列结论：①∠30°；②S▱•；③；④，成立的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由四边形是平行四边形，得到∠∠60°，∠120°，根据平分∠，得到∠∠60°推出△是等边三角形，由于，得到，得到△是直角三角形，于是得到∠30°，故①正确；由于⊥，得到S▱•，故②正确，根据，，且＞，得到≠，故③错误；根据三角形的中位线定理得到，于是得到，故④正确．【解答】解：∵四边形是平行四边形，∴∠∠60°，∠120°，∵平分∠，∴∠∠60°∴△是等边三角形，∴，∵，∴，∴∠90°，∴∠30°，故①正确；∵⊥，∴S▱•，故②正确，∵，，∵＞，∴≠，故③错误；∵，，∴，∴，故④正确．故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的面积公式，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．8．（2016•菏泽）在▱中，3，4，当▱的面积最大时，下列结论正确的有（）①5；②∠∠180°；③⊥；④．A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④【分析】当▱的面积最大时，四边形为矩形，得出∠∠∠∠90°，，根据勾股定理求出，即可得出结论．【解答】解：根据题意得：当▱的面积最大时，四边形为矩形，∴∠∠∠∠90°，，∴5，①正确，②正确，④正确；③不正确；故选：B．【点评】本题考查了平行四边形的性质、矩形的性质以及勾股定理；得出▱的面积最大时，四边形为矩形是解决问题的关键．9．（2016•虞城县二模）如图，在平行四边形中，2，F是的中点，作⊥，垂足E 在线段上，连接、，则下列结论中一定成立的是（）①∠∠；②；③S△2S△；④∠3∠．A．①②B．②③④C．①②④D．①②③④【分析】由在平行四边形中，2，F是的中点，易得，继而证得①∠∠；然后延长，交延长线于M，分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△≌△（），得出对应线段之间关系进而得出答案．【解答】解：①∵F是的中点，∴，∵在▱中，2，∴，∴∠∠，∵∥，∴∠∠，∴∠∠，∴∠∠，故此选项正确；②延长，交延长线于M，∵四边形是平行四边形，∴∥，∴∠∠，∵F为中点，∴，在△和△中，，∴△≌△（），∴，∠∠M，∵⊥，∴∠90°，∴∠∠90°，∵，∴，故②正确；③∵，∴S△△，∵＞，∴S△＜2S△故S△2S△错误；④设∠，则∠，∴∠∠90°﹣x，∴∠180°﹣2x，∴∠90°﹣180°﹣2270°﹣3x，∵∠90°﹣x，∴∠3∠，故此选项正确．故选C．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△≌△是解题关键．10．（2016•绵阳）如图，平行四边形的周长是26，对角线与交于点O，⊥，E 是中点，△的周长比△的周长多3，则的长度为（）A．3 B．4 C．5 D．8【分析】由▱的周长为26，对角线、相交于点O，若△的周长比△的周长多3，可得13，﹣3，求出和的长，得出的长，再由直角三角形斜边上的中线性质即可求得答案．【解答】解：∵▱的周长为26，∴13，，∵△的周长比△的周长多3，∴（）﹣（）﹣3，∴5，8．∴8．∵⊥，E是中点，∴4；故选：B．【点评】此题考查了平行四边形的性质、直角三角形斜边上的中线性质．熟练掌握平行四边形的性质，由直角三角形斜边上的中线性质求出是解决问题的关键．11．（2016•宁波）如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张正方形纸片的面积为S3，则这个平行四边形的面积一定可以表示为（）A．4S1B．4S2C．4S23D．3S1+4S3【分析】设等腰直角三角形的直角边为a，正方形边长为c，求出S2（用a、c 表示），得出S1，S2，S3之间的关系，由此即可解决问题．【解答】解：设等腰直角三角形的直角边为a，正方形边长为c，则S2=（）（a﹣c ）2﹣c2，∴S21﹣S3，∴S3=2S1﹣2S2，∴平行四边形面积=2S1+2S23=2S1+2S2+2S1﹣2S2=4S1．故选A．【点评】本题考查平行四边形的性质、直角三角形的面积等知识，解题的关键是求出S1，S2，S3之间的关系，属于中考常考题型．12．（2016•丽水）如图，▱的对角线，交于点O，已知8，12，6，则△的周长为（）A．13 B．17 C．20 D．26【分析】由平行四边形的性质得出3，6，8，即可求出△的周长．【解答】解：∵四边形是平行四边形，∴3，6，8，∴△的周长3+6+8=17．故选：B．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．13．（2016•泰安）如图，在▱中，6，8，∠C的平分线交于E，交的延长线于F，则的值等于（）A．2 B．3 C．4 D．6【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出∠∠，证出8，同理：6，求出﹣2，﹣2，即可得出结果．【解答】解：∵四边形是平行四边形，∴∥，8，6，∴∠∠，∵平分∠，∴∠∠，∴∠∠，∴8，同理：6，∴﹣2，﹣2，∴4；故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形是等腰三角形是解决问题的关键．14．（2016•丹东）如图，在▱中，平分∠，交于点F，平分∠，交于点E，6，2，则长为（）A．8 B．10 C．12 D．14【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出∠∠，得出6，同理可证6，再由的长，即可求出的长．【解答】解：∵四边形是平行四边形，∴∥，6，，∴∠∠，∵平分∠，∴∠∠，则∠∠，∴6，同理可证：6，∵﹣2，即6+6﹣2，解得：10；故选：B．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证出是解决问题的关键．15．（2013•达州）如图，在△中，∠90°，3，4，点D在上，以为对角线的所有▱中，最小的值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当⊥时，线段取最小值．【解答】解：∵在△中，∠90°，∴⊥．∵四边形是平行四边形，∴，．∴当取最小值时，线段最短，此时⊥．∴∥．又点O是的中点，∴是△的中位线，∴ 1.5，∴23．故选B．【点评】本题考查了平行四边形的性质，以及垂线段最短．解答该题时，利用了“平行四边形的对角线互相平分”的性质．二．解答题（共11小题）16．（2016•西宁）如图，在▱中，E是的中点，连接并延长交的延长线于点F．（1）求证：；（2）连接，若2，求证：⊥．【分析】（1）由在▱中，E是的中点，利用，即可判定△≌△，继而证得结论；（2）由2，，可得，又由△≌△，可得，然后利用三线合一，证得结论．【解答】证明：（1）∵四边形是平行四边形，∴∥，∴∠∠，∵E为中点，∴，在△与△中，，∴△≌△（），∴；（2）∵2，，∴，∵△≌△，∴，∴⊥．【点评】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．17．（2016•温州）如图，E是▱的边的中点，延长交的延长线于点F．（1）求证：△≌△．（2）若∠90°，5，3，求的长．【分析】（1）由平行四边形的性质得出∥，∥，证出∠∠F，∠∠，由证明△≌△即可；（2）由全等三角形的性质得出3，由平行线的性质证出∠∠90°，由勾股定理求出，即可得出的长．【解答】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴∥，∥，∴∠∠F，∠∠，∵E是▱的边的中点，∴，在△和△中，，∴△≌△（）；（2）解：∵≌△，∴3，∵∥，∴∠∠90°，在▱中，5，∴4，∴28．【点评】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定方法、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．18．（2016•新疆）如图，四边形中，∥，⊥交于点E，⊥交于点F，且．求证：四边形是平行四边形．【分析】由垂直得到∠∠90°，根据可证明△≌△，得到，根据平行四边形的判定判断即可．【解答】证明：∵⊥，⊥，∴∠∠90°，∵∥，∴∠∠，在△和△中，∵，∴△≌△（），∴，∵∥，∴四边形是平行四边形．【点评】本题考查了平行四边形的判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，关键是推出，主要考查学生运用性质进行推理的能力．19．（2016•梅州）如图，平行四边形中，⊥，∠45°，E、F分别是、上的点，且，连接交于O．（1）求证：；（2）若⊥，延长交的延长线于G，当1时，求的长．【分析】（1）由平行四边形的性质和证明△≌△，得出对应边相等即可；（2）证出，再证明，得出1，即可得出结果．【解答】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴∥，∴∠∠．在△与△中，∴△≌△（）．∴．（2）解：∵⊥，∥，∴∠∠90°．∵∠45°，∴∠∠45°．∴∵⊥，∴∠∠90°．∴∠∠45°．∴，∴1，由（1）可知，1，∴3，∴3．【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题（1）的关键．20．（2016•滨州）如图，是△的角平分线，它的垂直平分线分别交，，于点E，F，G，连接，．（1）请判断四边形的形状，并说明理由；（2）若∠30°，∠45°，2，点H是上的一个动点，求的最小值．【分析】（1）结论四边形是菱形．只要证明即可．（2）作⊥于M，⊥于N，连接交于点H，此时最小，在△中，求出、即可解决问题．【解答】解：（1）四边形是菱形．理由：∵垂直平分，∴，，∴∠∠，∵∠∠，∴∠∠，在△和△中，，∴△≌△，∴，∴，∴四边形是菱形．（2）作⊥于M，⊥于N，连接交于点H，此时最小，在△中，∵∠90°，∠30°，2，∴，∵∥，⊥，⊥，∴∥，，2，在△中，∵∠90°，∠45°，∴∠∠45°，∴，∴3，在△中，∵∠90°，．3，∴10．∵，∴的最小值为10．【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、角平分线的性质、垂直平分线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用对称找到点H 的位置，属于中考常考题型．21．（2015•枣庄）如图，▱中，⊥，∠45°，E、F分别是，上的点，且，连接交于O．（1）求证：；（2）若⊥，延长交的延长线于G，当1时，求的长．【分析】（1）通过证明△与△全等即可求得．（2）由△是等腰直角三角形，得出∠45°，因为⊥，得出∠45°，所以△与△都是等腰直角三角形，从而求得的长和2，然后等腰直角三角形的性质即可求得．【解答】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，∥，∴∠∠，在△与△中∴△≌△（）∴；（2）解：∵⊥，∴∠90°，∵∠45°，∴∠∠45°，∵⊥，∴∠∠45°，∴△是等腰直角三角形，∵∥，⊥，∴⊥，∴，△是等腰直角三角形，∵△≌△（）∴，∴，即2，∵△是等腰直角三角形，∴1，∴，∴在等腰△中，22∴2，【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行线的性质以及平行线分行段定理．22．（2015•潜江）如图，▱放置在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），B（6，0），D（0，3），反比例函数的图象经过点C．（1）求反比例函数的解析式；（2）将▱向上平移，使点B恰好落在双曲线上，此时A，B，C，D的对应点分别为A′，B′，C′，D′，且C′D′与双曲线交于点E，求线段′的长及点E的坐标．【分析】（1）由A与B的坐标求出的长，根据四边形为平行四边形，求出的长，进而确定出C 坐标，设反比例解析式为，把C坐标代入求出k的值，即可确定出反比例解析式；（2）根据平移的性质得到B与B′横坐标相同，代入反比例解析式求出B′纵坐标得到平移的距离，即为′的长，求出D′纵坐标，即为E纵坐标，代入反比例解析式求出E横坐标，即可确定出E坐标．【解答】解：（1）∵▱中，A（2，0），B （6，0），D（0，3），∴4，∥，∴C（4，3），设反比例解析式为，把C坐标代入得：12，则反比例解析式为；（2）∵B（6，0），∴把6代入反比例解析式得：2，即B′（6，2），∴平行四边形向上平移2个单位，即′=2，∴D′（0，5），把5代入反比例解析式得：，即E （，5）．【点评】此题考查了平行四边形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，以及待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．23．（2015•柳州）如图，在四边形中，∥，∠90°，8，12，18，点P从点A出发以2的速度沿A→D→C运动，点P从点A出发的同时点Q从点C出发，以1的速度向点B运动，当点P到达点C时，点Q也停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒．（1）从运动开始，当t取何值时，∥？（2）从运动开始，当t取何值时，△为直角三角形？【分析】（1）已知∥，添加即可判断以为顶点的四边形是平行四边形．（2）点P处可能为直角，点Q处也可能是直角，而后求解即可．【解答】解：（1）当∥时，四边形是平行四边形，此时，∴12﹣2，∴4．∴当4时，四边形是平行四边形．（2）过D点，⊥于F，∴8．﹣18﹣12=6，10，①当⊥，则18．即：218，∴6；②当⊥，此时P一定在上，1=10+12﹣222﹣2t，2，易知，△∽△2P1，∴，解得：，③情形：当⊥时，因∠＜90°，此种情形不存在．∴当6或时，△是直角三角形．【点评】此题主要考查了一组对边平行且相等的四边形是平行四边形以及圆与圆的位置关系等知识，注意分情况讨论和常见知识的应用．24．（2016•永州）如图，四边形为平行四边形，∠的角平分线交于点F，交的延长线于点E．（1）求证：；（2）连接，若⊥，∠60°，4，求平行四边形的面积．【分析】（1）由平行四边形的性质和角平分线得出∠∠，即可得出；（2）先证明△是等边三角形，得出4，2，由勾股定理求出，由证明△≌△，得出△的面积=△的面积，因此平行四边形的面积=△的面积•，即可得出结果．【解答】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴∥，∥，，∴∠∠，∵是∠的平分线，∴∠∠，∴∠∠，∴，∴；（2）解：∵，∠60°，∴△是等边三角形，∴4，∵⊥，∴2，∴2，∵∥，∴∠∠，∠∠E，在△和△中，，∴△≌△（），∴△的面积=△的面积，∴平行四边形的面积=△的面积•×4×2=4．【点评】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、等边三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题（2）的关键．25．（2015•呼和浩特）如图，▱的对角线、相交于点O，．（1）求证：△≌△；（2）若，连接、，判断四边形的形状，无需说明理由．【分析】（1）先证出，再由即可证明△≌△；（2）由对角线互相平分证出四边形是平行四边形，再由对角线相等，即可得出四边形是矩形．【解答】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，，∵，∴，在△和△中，，∴△≌△（）；（2）解：四边形是矩形；理由如下：∵，，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是矩形．【点评】本题考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、矩形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．26．（2016•青岛）已知：如图，在▱中，E，F分别是边，上的点，且，直线分别交的延长线、的延长线于点G，H，交于点O．（1）求证：△≌△；（2）连接，若，则四边形是什么特殊四边形？请说明理由．【分析】（1）由平行四边形的性质得出，∠∠，由证明△≌△即可；（2）由平行四边形的性质得出∥，，证出，得出四边形是平行四边形，得出，再由等腰三角形的三线合一性质得出⊥，即可得出四边形是菱形．【解答】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，∠∠，在△和△中，，∴△≌△（）；（2）解：四边形是菱形；理由如下：如图所示：∵四边形是平行四边形，∴∥，，∵，∴，∴四边形是平行四边形，∴，∵，∴⊥，∴四边形是菱形．【点评】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定．熟练掌握平行四边形的性质，证出四边形是平行四边形是解决问题（2）的关键．。

平行四边形练习题(3套)附答案

卷1一、选择题（3′×10=30′）1．下列性质中，平行四边形具有而非平行四边形不具有的是（）．A．内角和为360° B．外角和为360° C．不确定性 D．对角相等2．ABCD中，∠A=55°，则∠B、∠C的度数分别是（）．A．135°，55° B．55°，135° C．125°，55° D．55°，125°3．下列正确结论的个数是（）．①平行四边形内角和为360°；②平行四边形对角线相等；③平行四边形对角线互相平分；④平行四边形邻角互补．A．1 B．2 C．3 D．44．平行四边形中一边的长为10cm，那么它的两条对角线的长度可能是（）．A．4cm和6cm B．20cm和30cm C．6cm和8cm D．8cm和12cm5．在ABCD中，AB+BC=11cm，∠B=30°，S ABCD=15cm2，则AB与BC的值可能是（）． A．5cm和6cm B．4cm和7cm C．3cm和8cm D．2cm和9cm6．在下列定理中，没有逆定理的是（）．A．有斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等;B．直角三角形两个锐角互余;C．全等三角形对应角相等;D．角平分线上的点到这个角两边的距离相等.7．下列说法中正确的是（）．A．每个命题都有逆命题 B．每个定理都有逆定理C．真命题的逆命题是真命题 D．假命题的逆命题是假命题8．一个三角形三个内角之比为1：2：1，其相对应三边之比为（）．A．1：2：1 B．12：1 C．1：4：1 D．12：1：29．一个三角形的三条中位线把这个三角形分成面积相等的三角形有（）个．A．2 B．3 C．4 D．510．如图所示，在△ABC中，M是BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN．若AB=•14，•AC=19，则MN的长为（）．A．2 B．2.5 C．3 D．3.5二、填空题（3′×10=30′）11．用14cm长的一根铁丝围成一个平行四边形，短边与长边的比为3：4，短边的比为________，长边的比为________．12．已知平行四边形的周长为20cm，一条对角线把它分成两个三角形，•周长都是18cm，则这条对角线长是_________cm．13．在ABCD中，AB的垂直平分线EF经过点D，在AB上的垂足为E，•若ABCD•的周长为38cm，△ABD的周长比ABCD的周长少10cm，则ABCD的一组邻边长分别为______．14．在ABCD中，E是BC边上一点，且AB=BE，又AE的延长线交DC的延长线于点F．若∠F=65°，则ABCD的各内角度数分别为_________．15．平行四边形两邻边的长分别为20cm，16cm，两条长边的距离是8cm，•则两条短边的距离是_____cm．16．如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的______和_______，•那么这两个命题是互为逆命题．17．命题“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题是_________．18．在直角三角形中，已知两边的长分别是4和3，则第三边的长是________．19．直角三角形两直角边的长分别为8和10，则斜边上的高为________，斜边被高分成两部分的长分别是__________．20．△ABC的两边分别为5，12，另一边c为奇数，且a+b+•c•是3•的倍数，•则c•应为________，此三角形为________三角形．三、解答题（6′×10=60′）21．如右图所示，在ABCD中，BF⊥AD于F，BE⊥CD于E，若∠A=60°，AF=3cm，CE=2cm，求ABCD的周长．22．如图所示，在ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BE=DF.求证：（1）AE=CF；（2）AE∥CF．F C DAEB23．如图所示，ABCD的周长是103+62，AB的长是53，DE⊥AB于E，DF⊥CB交CB•的延长线于点F，DE的长是3，求（1）∠C的大小；（2）DF的长．24．如图所示，ABCD中，AQ、BN、CN、DQ分别是∠DAB、∠ABC、∠BCD、•∠CDA的平分线，AQ与BN交于P，CN与DQ交于M，在不添加其它条件的情况下，试写出一个由上述条件推出的结论，并给出证明过程（要求：•推理过程中要用到“平行四边形”和“角平分线”这两个条件）．25．已知△ABC的三边分别为a，b，c，a=n2-16，b=8n，c=n2+16（n>4）.求证：∠C=90°．26．如图所示，在△ABC中，AC=8，BC=6，在△ABE中，DE⊥AB于D，DE=12，S△ABE=60，•求∠C的度数．27．已知三角形三条中位线的比为3：5：6，三角形的周长是112cm，•求三条中位线的长．28．如图所示，已知AB=CD，AN=ND，BM=CM，求证：∠1=∠2．29．如图所示，△ABC的顶点A在直线MN上，△ABC绕点A旋转，BE⊥MN于E，•CD•⊥MN 于D，F为BC中点，当MN经过△ABC的内部时，求证：（1）FE=FD；（2）当△ABC继续旋转，•使MN不经过△ABC内部时，其他条件不变，上述结论是否成立呢？30．如图所示，E是ABCD的边AB延长线上一点，DE交BC于F，求证：S△ABF =S△EFC．答案:一、1．D 2．C 3．C 4．B 5．A 6．C 7．A 8．B 9．C 10．C二、11．3cm 4cm 12．8 13．9cm和10cm 14．50°，130°，50°，130° • • 15．10 16．结论题设 17．同旁内角互补，两直线平行18．5．13 直角三、21．ABCD的周长为20cm 22．略23．（1）∠C=45°（2） 24．略25．•略 26．∠C=90° 27．三条中位线的长为：12cm；20cm；24cm28．提示：连结BD，取BD•的中点G，连结MG，NG29．（1）略（2）结论仍成立．提示：过F作FG⊥MN于G 30．略卷二一、填空题(每空2分,共28分)1.已知在中,AB =14cm ,BC =16cm ,则此平行四边形的周长为 cm .2.要说明一个四边形是菱形,可以先说明这个四边形是形,再说明 (只需填写一种方法)3.如图,正方形ABCD 的对线AC 、BD 相交于点O .那么图中共有个等腰直角三角形.4.把“直角三角形、等腰三角形、等腰直角三角形”填入下列相应的空格上.(1)正方形可以由两个能够完全重合的拼合而成; (第3题)(2)菱形可以由两个能够完全重合的拼合而成;(3)矩形可以由两个能够完全重合的拼合而成. 5.矩形的两条对角线的夹角为 60,较短的边长为12cm ,则对角线长为 cm .6.若直角梯形被一条对角线分成两个等腰直角三角形,那么这个梯形中除两个直角外,其余两个内角的度数分别为和 .7.平行四边形的周长为24cm ,相邻两边长的比为3:1,那么这个平行四边形较短的边长为 cm .8.根据图中所给的尺寸和比例,可知这个“十”字标志的周长为 m .(第8题) (第10题) 9.已知平行四边形的两条对角线互相垂直且长分别为12cm 和6cm ,那么这个平行四边形的面积为 2cm .10.如图,l 是四边形ABCD 的对称轴,如果AD ∥BC ,有下列结论: (1)AB ∥CD ;(2)AB=CD ;(3)AB ⊥BC ;(4)AO=OC .其中正确的结论是 .(把你认为正确的结论的序号都填上)二、选择题(每题3分,共24分)11. 如果一个多边形的内角和等于一个三角形的外角和，那么这个多边形是（）A 、三角形B 、四边形C 、五边形D 、六边形12.下列说法中,错误的是 ( )A.平行四边形的对角线互相平分B.对角线互相平分的四边形是平行四边形C. 平行四边形的对角相等D.对角线互相垂直的四边形是平行四边形13.给出四个特征(1)两条对角线相等;(2)任一组对角互补;(3)任一组邻角互补;(4)是轴对称图形但不是中心对称图形,其中属于矩形和等腰梯形共同具有的特征的共有 ( )A.1个B.2个C.3个D.4个14. 四边形ABCD 中，AD//BC ，那么的值可能是（）A 、3：5：6：4B 、3：4：5：6C 、4：5：6：3D 、6：5：3：415.如图,直线a ∥b ,A 是直线a 上的一个定点,线段BC 在直线b 上移动,那么在移动过程中ABC ∆的面积 ( )A.变大B.变小C.不变D.无法确定 AB C D EF 1m 1m A B C a b ABCD A B CD O A B CD O l(第15题) (第16题) (第17题)16.如图,矩形ABCD 沿着AE 折叠,使D 点落在BC 边上的F 点处,如果 60=∠BAF ,则DAE ∠ 等于 ( )A. 15B. 30C. 45D. 6017.如图,在ABC ∆中,AB=AC =5,D 是BC 上的点,DE ∥AB 交AC 于点E ,DF ∥AC 交AB 于点F , 那么四边形AFDE 的周长是 ( )A.5B.10C.15D.2018.已知四边形ABCD 中,AC 交BD 于点O ,如果只给条件“AB ∥CD ”,那么还不能判定四形 ABCD 为平行四边形,给出以下四种说法:(1)如果再加上条件“BC=AD ”,那么四边形ABCD 一定是平行四边形;(2)如果再加上条件“BCD BAD ∠=∠”,那么四边形ABCD 一定是平行四边形;(3)如果再加上条件“AO=OC ”,那么四边形ABCD 一定是平行四边形;(4)如果再加上条件“CAB DBA ∠=∠”,那么四边形ABCD 一定是平行四边形其中正确的说法是( )A.(1)(2)B.(1)(3)(4)C.(2)(3)D.(2)(3)(4)三、解答题(第19题8分,第20~23题每题10分,共48分)19.如图, 中,DB=CD , 70=∠C ,AE ⊥BD 于E .试求DAE ∠的度数. (第19题)20.如图,中,G 是CD 上一点,BG 交AD 延长线于E ,AF=CG , 100=∠DGE . (1)试说明DF=BG ; (2)试求AFD ∠的度数.(第20题)21.工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行:(1)先截出两对符合规格的铝合金窗料(如图①),使AB=CD,EF=GH ;(2)摆放成如图②的四边形,则这时窗框的形状是形,根据的数学道理是: ;(3)将直角尺靠紧窗框的一个角(如图③),调整窗框的边框,当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时(如图④),说明窗框合格,这时窗框是形,根据的数学道理是: .A BC D EABCD A B C D F E GABCD(图①) (图②) (图③) (图④)(第21题)22.李大伯家有一口如图所示的四边形的池塘,在它的四个角上均有一棵大柳树,李大伯开挖池塘,使池塘面积扩大一倍,又想保持柳树不动,如果要求新池塘成平行四边形的形状.请问李大伯愿望能否实现?若能,请画出你的设计;若不能,请说明理由.(第22题)ADBC答案1.60.2.平行四边形;有一组邻边相等.3.8. 提示:它们是.,,,,,,,ACDBCDABCABDAODCODBOCAOB∆∆∆∆∆∆∆∆4.(1)等腰直角三角形; (2)等腰三角形; (3)直角三角形.7.3.8.4. 提示:如图所示,将“十”字标志的某些边进行平移后可得到一个边长为1m的正方形,所以它的周长为4m.8题)9. 36. 提示:菱形的面积等于菱形两条对角线乘积的一半.10. (1)(2)(4). 提示:四边形ABCD是菱形.11.B. 12.D.13.C. 14.C.15.C. 提示:因为ABC∆的底边BC的长不变,BC边上的高等于直线ba,之间的距离也不变,所以ABC∆的面积不变.16.A. 提示:由于()BAFDAEFAEDAEFAE∠-=∠=∠∠∠9021,所以通过折叠后得到的是由. 17.B. 提示:先说明DF=BF,DE=CE,所以四边形AFDE的周长=AF+DF+DE+AE=AF+BF+CE+AE=AB+AC.18.C.19.因为BD=CD,所以,CDBC∠=∠又因为四边形ABCD是平行四边形,所以AD∥BC,所以,DBCD∠=∠因为20709090,,=-=∠-=∠∆⊥DDAEAEDBDAE中所以在直角.20.(1)因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB=DC,又AF=CG,所以AB－AF=DC－CG,即GD=BF,又DG∥BF,所以四边形DFBG是平行四边形,所以DF=BG;(2)因为四边形DFBG是平行四边形,所以DF∥GB,所以AFDGBF∠=∠,同理可得DGEGBF∠=∠,所以100=∠=∠DGEAFD.21.(1)平行四边,两组对边分别相等的四边形是平行四边形;(2)矩,有一个是直角的平行四边形是矩形.22.如图所示,连结对角线AC、BD,过A、B、C、D分别作BD、AC、BD、AC的平行线,且这些平行线两两相交于E、F、G、H,四边形EFGH即为符合条件的平行四边形.ABCDEFGH练习31、把正方形ABCD 绕着点A ，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG ，边FG 与BC 交于点H （如图）．试问线段HG 与线段HB 相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．2、四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG ．（1）求证：AE =CG ；（2）观察图形，猜想AE 与CG 之间的位置关系，并证明你的猜想．3、将平行四边形纸片ABCD 按如图方式折叠，使点C 与A 重合，点D 落到D ′ 处，折痕为EF ．（1）求证：△ABE ≌△AD ′F ；（2）连接CF ，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？证明你的结论．挑战自我：1、 (2010年眉山市)．如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为（）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°2、（2010福建龙岩中考）下列图形中，单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的图形是（）A. 正三角形B. 正方形C. 正五边形D. 正六边形3．（2010年北京顺义）若一个正多边形的一个内角是120°，则这个正多边形的边数是（）A ．9B ．8C ．6D ．4A B C D E F D ′ DC A B G H F E4、（2010年福建福州中考）如图4，在□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若AC=14，BD=8，AB=10，则△OAB 的周长为。

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第十八章平行四边形18.1 平行四边形1．在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若△AOB的面积为3，则ABCD的面积为A．6 B．9 C．12 D．182．若平行四边形中两个内角的度数比为1∶2，则其中较小的内角是A．90°B．60°C．120°D．45°3．如果四边形ABCD是平行四边形，AB=6，且AB的长是四边形ABCD周长的316，那么BC的长是A．6 B．8 C．10 D．164．如图，在四边形ABCD中，∠DAC=∠ACB，要使四边形ABCD成为平行四边形，则应增加的条件不能是A．AD=BC B．OA=OCC．AB=CD D．∠ABC+∠BCD=180°5．如图，AB∥CD，AD不平行于BC，AC与BD相交于点O，写出三对面积相等的三角形是__________．6．如图，A、B两处被池塘隔开，为了测量A、B两处的距离，在AB外选一适当的点C，连接AC、BC，并分别取线段AC、BC的中点E、F，测得EF=22 m，则AB=__________m．7．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E，F，G分别是BC，AC，AB的中点．若AB=23BC=3DE=12，DG=12AB，求四边形DEFG的周长．8．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=45°，BC=10，过点A作AD∥BC，且点D在点A的右侧．点P 从点A出发沿射线AD方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线CB方向以每秒2个单位长度的速度运动，在线段QC上取点E，使得QE=2，连接PE，设点P的运动时间为t秒．（1）若PE⊥BC，求BQ的长；（2）请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．9．已知ABCD的对角线AC，BD的长分别为10，6，则AB长的范围是A．AB>2 B．AB<8 C．2<AB<8 D．2≤AB≤810．平行四边形ABCD与等边三角形AEF按如图所示的方式摆放，如果∠B=45°，则∠BAE的大小是A．75°B．80°C．100°D．120°11．如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠BCD=∠ABD，DE平分∠ADB，下列说法：①AB∥CD；②ED⊥CD；③∠DFC=∠ADC–∠DCE；④S△EDF=S△BCF，其中正确的结论是A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④12．如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点．点M，N分别为PA，PB的中点，对于下列各值：①线段MN的长；②△PMN的面积；③△PAB的周长；④∠APB的大小；⑤直线MN，AB之间的距离．其中会随点P的移动而不改变的是A．①②③B．①②⑤C．②③④D．②④⑤13．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D是边AB的中点，将△ABC沿着AB平移到△DEF 处，那么四边形ACFB的面积等于__________．14．如图，DE 是ABC △的中位线，M 是DE 的中点，CM 的延长线交AB 于点N ，:DMN CEM S S △△等于_________．15．如图，在ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，OA =5cm ，E ，F 为直线BD 上的两个动点（点E ，F 始终在ABCD 的外面），且DE =12OD ，BF =12OB ，连接AE ，CE ，CF ，AF ．（1）求证：四边形AFCE 为平行四边形．（2）若DE =13OD ，BF =13OB ，上述结论还成立吗？由此你能得出什么结论？（3）若CA 平分∠BCD ，∠AEC =60°，求四边形AECF 的周长．16．（2018·贵州黔东南、黔南、黔西南）如图在ABCD 中，已知AC =4 cm ，若△ACD 的周长为13 cm ，则ABCD 的周长为A ．26 cmB ．24 cmC ．20 cmD ．18 cm17．（2018·甘肃兰州）如图，将ABCD 沿对角线BD 折叠，使点A 落在点E 处，交BC 于点F ，若48ABD ∠=︒，40CFD ∠=︒，则E ∠为A ．102︒B ．112︒C ．122︒D ．92︒18．（2018·黑龙江绥化）下列选项中，不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是A ．AD BC ∥，AB CD ∥ B ．AB CD ∥，AB CD =C ．AD BC ∥，AB DC =D ．AB DC =，AD BC =19．（2018·内蒙古呼和浩特）顺次连接平面上A 、B 、C 、D 四点得到一个四边形，从①AB ∥CD ②BC =AD③∠A =∠C ④∠B =∠D 四个条件中任取其中两个，可以得出“四边形ABCD 是平行四边形”这一结论的情况共有 A ．5种B ．4种C ．3种D ．1种20．（2018·广西玉林）在四边形ABCD 中：①AB ∥CD ；②AD ∥BC ；③AB =CD ；④AD =BC ，从以上选择两个条件使四边形ABCD 为平行四边形的选法共有 A ．3种B ．4种C ．5种D ．6种21．（2018·四川德阳）如图，四边形AOEF 是平行四边形，点B 为OE 的中点，延长FO 至点C ，使3FO OC =，连接AB 、AC 、BC ，则在ABC ∆中::ABO AOC BOC S S S △△△A ．621∶∶B ．321∶∶C ．632∶∶D ．432∶∶ 22．（2018·安徽）ABCD 中，E 、F 是对角线BD 上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是 A ．BE =DF B ．AE =CF C ．AF ∥CED ．∠BAE =∠DCF23．（2018·广西梧州）如图，已知在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，BC =6 cm ，则DE 的长度是__________cm ．24．（2018·湖北十堰）如图，已知ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，且AC =8，BD =10，AB =5，则△OCD的周长为__________．25．（2018·江苏泰州）如图，ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，若AD =6，AC +BD =16，则△BOC 的周长为__________．26．（2018·辽宁抚顺）如图，ABCD 中，AB =7，BC =3，连接AC ，分别以点A 和点C 为圆心，大于12AC 的长为半径作弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交CD 于点E ，连接AE ，则△AED 的周长是__________．27．（2018·山东淄博）在如图所示的平行四边形ABCD中，AB=2，AD=3，将△ACD沿对角线AC折叠，点D落在△ABC所在平面内的点E处，且AE过BC的中点O，则△ADE的周长等于__________．28．（2018·福建）如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AD，BC分别相交于点E，F．求证：OE=OF．29．（2018·广西梧州）如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的一条直线分别交AD，BC于点E，F．求证：AE=CF．30．（2018·辽宁大连）如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E、F在AC上，且AF=CE．求证：BE =DF ．31．（2018·湖北孝感）如图，B ，E ，C ，F 在一条直线上，已知AB DE ∥，AC DF ∥，BE CF ，连接AD .求证：四边形ABED 是平行四边形．32．（2018·江苏无锡）如图，平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、AD 的中点，求证：∠ABF =∠CDE ．33．（2018·湖北恩施州）如图，点B 、F 、C 、E 在一条直线上，FB =CE ，AB ∥ED ，AC ∥FD ，AD 交BE于O ．求证：AD 与BE 互相平分．34．（2018·浙江衢州）如图，在ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，求证：AE=CF．35．（2018·江苏宿迁）如图，在ABCD中，点E、F分别在边CB、AD的延长线上，且BE=DF，EF分别与AB、CD交于点G、H，求证：AG=CH．36．（2018·青海）如图，在平行四边形ABCD中，E为AB边上的中点，连接DE并延长，交CB的延长线于点F．；（1）求证：AD BF（2）若平行四边形ABCD的面积为32，试求四边形EBCD的面积．37．（2018·云南曲靖）如图：在平行四边形ABCD的边AB，CD上截取AF，CE，使得AF=CE，连接EF，点M，N是线段EF上两点，且EM=FN，连接AN，CM．（1）求证：△AFN≌△CEM；（2）若∠CMF=107°，∠CEM=72°，求∠NAF的度数．38．（2018·黑龙江大庆）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是AB、AC的中点，连接CD，过E作EF∥DC交BC的延长线于F．（1）证明：四边形CDEF是平行四边形；（2）若四边形CDEF的周长是25 cm，AC的长为5 cm，求线段AB的长度．1．【答案】C【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∴S△AOD=S△COD=S△BOC=S△AOB．∵△AOB的面积为3，∴ABCD的面积为4×3=12．故选C．2．【答案】B【解析】如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠B+∠C=180°，∵∠B∶∠C=1∶2，∴∠B=13×180°=60°，故选B．3．【答案】C【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，∵AB=6，且AB的长是四边形ABCD周长的316，∴四边形ABCD周长为：6÷316=32，∴AB+BC=12×32=16，∴BC=10．故选C．5．【答案】△ADC和△BDC；△ADO和△BCO；△DAB和△CAB【解析】根据AB∥CD可得：△ABC和△ABD的面积相等，△ACD和△BCD的面积相等，则△ACD的面积减去△OCD的面积等于△BCD的面积减去△OCD的面积，即△AOD和△BOC的面积相等．【解析】∵E、F是AC，CB的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF=12AB，∵EF=22m，∴AB=44m，故答案为44．7．【解析】∵AB=23BC=3DE=12，∴BC=18，DE=4，∴DG=12AB=6，∵E，F，G分别是BC，AC，AB的中点，∴FG=12BC=9，EF=12AB=6，∴四边形DEFG的周长为4+6+9+6=25．8．【解析】（1）作AM⊥BC于M，如图所示：∵∠BAC=90°，∠B=45°，∴∠C=45°=∠B，∴AB=AC，∴BM=CM，∴AM=12BC=5，∵AD∥BC，∴∠PAN=∠C=45°，∵PE⊥BC，∴PE=AM=5，PE⊥AD，∴△APN和△CEN是等腰直角三角形，∴PN=AP=t，CE=NE=5–t，∵CE=CQ–QE=2t–2，∴5–t=2t–2，解得：t=73，BQ=BC–CQ=10–2×71633；（2）存在，t=4；理由如下：若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，则AP=BE，∴t=10–2t+2，解得：t=4，∴存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，t=4．【解析】如图，在平行四边形ABCD中，AO=CO=5，BO=DO=3，∴2<AB<8．故选C．10．【答案】A【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠BAD=180°–∠B=180°–45°=135°，∵△AEF是等边三角形，∴∠EAF=60°，∴∠BAE=∠BAD–∠EAF=75°．故选A．11．【答案】D【解析】∵AD∥BC，∴∠A+∠ABC=180°，∠ADC+∠BCD=180°，∵∠A=∠BCD，∴∠ABC=∠ADC，∵∠A=∠BCD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∴①正确；∵∠A=∠ABD，DE平分∠ADB，∴DE⊥AB，∴DE⊥CD，∴②正确；∵∠A=∠ABD，四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BD=BC，∴∠BDC=∠BCD，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵∠ADC=∠ADB+∠BDC，∴∠ADC=∠DBC+∠BCD，∴∠ADC–∠DCE=∠DBC+ ∠BCD–∠DCE=∠DBC+∠BCF，∵∠DFC=∠DBC+BCF，∴∠DFC=∠ADC–∠DCE；∴③正确；∵AB∥CD，∴△BED的边BE上的高和△EBC的边BE上的高相等，∴由三角形面积公式得：S△BED= S△EBC，都减去△EFB的面积得：S△EDF=S△BCF，∴④正确；综上得①②③④都正确，故选D．12．【答案】B【解析】∵点A，B为定点，点M，N分别为PA，PB的中点，∴MN是△PAB的中位线，∴MN=12 AB，即线段MN的长度不变，故①正确；∵MN的长度不变，点P到MN的距离等于l与AB的距离的一半，∴△PMN的面积不变，故②正确；PA、PB的长度随点P的移动而变化，所以，△PAB的周长会随点P的移动而变化，故③错误；∠APB的大小点P的移动而变化，故④错误．直线MN，AB之间的距离不随点P的移动而变化，故⑤正确；综上所述，随点P的移动而不变化的是①②⑤．故选B．13．【答案】9【解析】∵将△ABC沿AB方向向右平移到△DEF，∴四边形ADFC是平行四边形，四边形ACFB是是梯形．∵∠ACB =90°，AC =3，BC =4，∴22345AB =+=．∵点D 是边AB 的中点，∴AD =BD =15522⨯=，∴CF =AD =12AB 52=，设AB 边上的高为x ．∵AB =5，AC =3，BC =4，AB 边上的高为x ，∴12AC ·BC =12AB ·x ，∴125x =．∴S 梯形ACFB =1512(5)9225⨯+⨯=． 14．【答案】1∶3【解析】如图，作EF AD ∥，M 是DE 的中点，则△DMN ≌△EMF ，得MN =MF ，E 是AC 的中点，则FC =NF ，所以13MF MC =，得13FEM CEMS S =△△，得:DMN CEM S S △△=1∶3．16．【答案】D【解析】∵AC =4 cm ，若△ADC 的周长为13 cm ，∴AD +DC =13-4=9（cm ）．又∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ，AD =BC ，∴平行四边形的周长为2（AB +BC ）=18 cm ．故选D ． 17．【答案】B【解析】∵AD BC ∥，∴ADB DBC ∠=∠，由折叠可得ADB BDF ∠=∠，∴DBC BDF ∠=∠，又∵40DFC ∠=︒，∴20DBC BDF ADB ∠=∠=∠=︒，又∵48ABD ∠=︒，∴ABD △中，1802048112A ︒︒-︒∠=-=︒，∴112E A ∠∠==︒，故选B ．18．【答案】C【解析】A 、由AD BC ∥，AB CD ∥可以判断四边形ABCD 是平行四边形，故本选项不符合题意； B 、由AB CD ∥，AB CD =可以判断四边形ABCD 是平行四边形，故本选项不符合题意； C 、由AD BC ∥，AB DC =不能判断四边形ABCD 是平行四边形，故本选项符合题意；D 、由AB DC =，AD BC =可以判断四边形ABCD 是平行四边形，故本选项不符合题意，故选C ． 19．【答案】C【解析】当①③时，四边形ABCD 为平行四边形；当①④时，四边形ABCD 为平行四边形；当③④时，四边形ABCD 为平行四边形，故选C ． 20．【答案】B【解析】（1）①②，利用两组对边平行的四边形是平行四边形判定；（2）③④，利用两组对边相等的四边形是平行四边形判定；（3）①③或②④，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定，共4种组合方法，故选B ． 21．【答案】B【解析】如图，连接BF ．设平行四边形AFEO 的面积为4m ．∵FO ：OC =3：1，BE =OB ，AF ∥OE ，∴S △OBF =S △AOB =m ，S △OBC =13m ，S △AOC =23m ，∴S △AOB ∶S △AOC ∶S △BOC =m ∶23m ∶13m =3∶2∶1，故选B ． 22．【答案】B【解析】A 、如图，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA =OC ，OB =OD ，∵BE =DF ，∴OE =OF ，∴四边形AECF 是平行四边形，故不符合题意；B、如图所示，AE=CF，不能得到四边形AECF是平行四边形，故符合题意；C、如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，∵AF∥CE，∴∠FAO=∠ECO，又∵∠AOF=∠COE，∴△AOF≌△COE，∴AF=CE，∴AF//CE，∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意；D、如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABE=∠CDF，又∵∠BAE=∠DCF，∴△ABE≌△CDF，∴AE=CF，∠AEB=∠CFD，∴∠AEO=∠CFO，∴AE∥CF，∴AE//CF，∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意，故选B．23．【答案】3【解析】∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=12BC=162=3 cm，故答案为：3．24．【答案】14【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=5，OA=OC=4，OB=OD=5，∴△OCD的周长=5+4+5=14，故答案为：14．25．【答案】14【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=6，OA=OC，OB=OD，∵AC+BD=16，∴OB+OC=8，∴△BOC的周长=BC+OB+OC=6+8=14，故答案为14．26．【答案】10【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，AB=7，BC=3，∴AD=BC=3，CD=AB=7，∵由作图可知，MN 是线段AC的垂直平分线，∴AE=CE，∴△ADE的周长=AD+（DE+AE）=AD+CD=3+7=10，故答案为：10．27．【答案】10【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，CD=AB=2，由折叠，∠DAC=∠EAC，∵∠DAC=∠ACB，∴∠ACB=∠EAC，∴OA=OC，∵AE过BC的中点O，∴AO=12BC，∴∠BAC=90°，∴∠ACE=90°，由折叠，∠ACD=90°，∴E、C、D共线，则DE=4，∴△ADE的周长为：3+3+2+2=10，故答案为：10．28．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AD∥BC，∴∠OAE=∠OCF，在△OAE和△OCF中，OAE OCF OA OCAOE COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE=OF．29．【解析】∵ABCD的对角线AC，BD交于点O，∴AO=CO，AD∥BC，∴∠EAC=∠FCO，在△AOE和△COF中，EAO FCO AO OCAOE COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE=CF．31．【解析】∵AB∥DE，AC∥DF，∴∠B=∠DEF，∠ACB=∠F．∵BE=CF，∴BE+CE=CF+CE，∴BC=EF．在△ABC和△DEF中，B DEF BC EFACB F ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABC≌△DEF（ASA），∴AB=DE．又∵AB∥DE，∴四边形ABED是平行四边形．32．【解析】在ABCD中，AD=BC，∠A=∠C，∵E、F分别是边BC、AD的中点，∴AF=CE，在△ABF与△CDE中，AB CDA C AF CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABF≌△CDE（SAS），∴∠ABF=∠CDE．33．【解析】如图，连接BD，AE，∵FB=CE，∴BC=EF，又∵AB∥ED，AC∥FD，∴∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE，在△ABC和△DEF中，ABC DEF BC EFACB DFE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABC≌△DEF（ASA），∴AB=DE，又∵AB∥DE，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AD与BE互相平分．34．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠BAE=∠DCF．又BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠AEB=∠CFD=90°．在△ABE与△CDF中，AEB CFDBAE DCF AB CD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴得△ABE≌△CDF（AAS），∴AE=CF．35．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD =BC ，∠A =∠C ， ∴∠E =∠F ，又∵BE =DF ， ∴AD +DF =CB +BE ，即AF =CE ，在△CEH 和△AFG 中，E F EC FA C A ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△CEH ≌△AFG ， ∴CH =AG ．36．【解析】（1）∵E 是AB 边上的中点，∴AE BE =， ∵AD BC ∥， ∴ADE F ∠=∠，在ADE △和BFE △中，ADE F ∠=∠，DEA FEB ∠=∠，AE BE =， ∴ADE △≌BFE △， ∴AD BF =．（2）如图，过点D 作DM AB ⊥于点M ，∵AB ∥DC ，∴DM 同时也是平行四边形ABCD 的高， ∴11113282244AED S AB DM AB DM =⋅⋅=⋅=⨯=△， ∴32824EBCD S =-=四边形．37．【解析】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠AFN=∠CEM，∵FN=EM，AF=CE，∴△AFN≌△CEM（SAS）．（2）∵△AFN≌△CEM，∴∠NAF=∠ECM，∵∠CMF=∠CEM+∠ECM，∴107°=72°+∠ECM，∴∠ECM=35°，∴∠NAF=35°．38．【解析】（1）∵D、E分别是AB、AC的中点，F是BC延长线上的一点，∴ED是Rt△ABC的中位线，∴ED∥F C．BC=2DE，又EF∥DC，∴四边形CDEF是平行四边形．（2）∵四边形CDEF是平行四边形；∴DC=EF，∵DC是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴AB=2DC，∴四边形DCFE的周长=AB+BC，∵四边形DCFE的周长为25 cm，AC的长5 cm，∴BC=25-AB，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴AB2=BC2+AC2，即AB2=（25-AB）2+52，解得AB=13 cm．。

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