lingo1

LINGO模型 — 例1：选址问
某公司有6题个建筑工地，位置坐标为(ai, bi) (单位：公里),
水泥日用量di (单位：吨）
i １ ２ ３ ４５ ６
a 1.25 8.75 0.5 5.75 3 7.25
b 1.25 0.75 4.75 5 6.5 7.75
d3
5
4
7
6 11
假设：料场 和工地之间 有直线道路
j 1 i1
2
s.t.
cij di , i 1,..., 6
j 1
线性规划模型
6
cij e j , j 1,2
用例中数 据计算， 最优解为
i 1
i
123456
c i1
（料场
A）
3
5
0
7
0
1
c i2
（料场
B）
0
0
4
0
6
10
总吨公里数为136.2
location1
选址问题：NLP
LINGO软件
温罗生
CUMCM历年赛题的简析
• 数学建模竞赛的规模越来越大,水平越来越高； • 竞赛的水平主要体现在赛题水平； • 赛题的水平主要体现： •（１）综合性、实用性、创新性、即时性等； •（２）多种解题方法的创造性、灵活性、开放性等； •（３）海量数据的复杂性、数学模型的多样性、求解 结果的不唯一性等。 • 纵览18年的本科组36个题目(专科组17个)，从问 题的实际意义、解决问题的方法和题型三个方面作一些 简单的分析。
am1x1+am2x2+…+amnxn<b
end
m
右边是程序语言的一个比喻写法，为实现
循环结构，Lingo中引入了几个循环语句：
@for(),@sum(),@min(),@max.
为此，需要定义一个数组（向量）的结构，在Lingo中称 之为集合。表征数组的维数的量在循环中有非常重要的作 用。在Lingo中如下定义数组。
可以看到，当m的值比较大时，书写还是 感到麻烦，所以，可以考虑在利用循环实现。
要实现二重循环，并且其中可以将系数作 出一个矩阵（二维数组），所以定义
a11 L
A


L
L
am1 L
a1n
L

amn
这时矩阵A的行列数是m和n,可以看 成由向量x和b派生。
于是为得到约束条件，可以如下的定义集合段 和约束部分。
j 1
非线性规划模型
6
cij e j , j 1,2
i 1
location2
LINGO模型的构成：4个段
集合段（SETS ENDSETS）
数据段（DATA ENDDATA）
LP：移到数据段
初始段（INIT ENDINIT） 目标与 约束段
局部最优：82.2661(吨公里 )
边界
例2：最短路问题
对于约束，可以类似的处理如下：
集合部分：
sets:
cargo/1..n/:c,x,a1,a2,…,am;
rhs/1..m/:b;
endsets 程序部分：
@sum(cargo(i):a1(i)*x(i))<b(1);
@sum(cargo(i):a2(i)*x(i))<b(2);
…
…
@sum(cargo(i):am(i)*x(i))<b(m);
当问题的规模很大时，直接输入的方法 表达最优化问题显得非常不方便甚至是致 命的。主要的原因是所含的变量和约束个 数太多。另一方面，规划问题本身很有规 律，所以我们希望使用循环来实现。引入 如下的两个数组（或者向量），
c=(c1,c2,…,cn),
x=(x1,x2,…,xn), b=(b1,b2,…,bm)，
match( j, k) {0,1}
• @ABS( X)
• This returns the absolute value of X.
• @COS( X)
• This returns the cosine of X, where X is an angle in radians.
• @EXP( X)
2，Lingo程序的结构和语法
一个规划问题，包括下面的一些内容：变量、常量、目标、约束。 还是以前面的例子，说明最基本的程序构成。 model: sets:
cargo/1..n/:c,x; rhs/1..m/:b; mat(rhs,cargo):a; endsets data: c=2,3; b=2,0.5; A=1,1,1,-2; enddata max=@sum(cargo(i):c(i)*x(i)); @for(rhs(j):@sum(cargo(i):a(j,i)*x(i))<b(j)); end
• This returns e (2.718281...) raised to the power X.
• @FLOOR( X)
• This returns the integer part of X. To be specific, if X >0, @FLOOR returns the largest integer, I, such that I <X. If X is negative, @FLOOR returns the most negative integer, I, such that I >X.
CUMCM历年赛题的简析
CUMCM 的历年和优化相关的赛题浏览：
•1994年:(Ａ)山区修建公路的设计造价问题（西电大：何大可） • (Ｂ)锁具的制造、销售和装箱问题（复旦:谭永基等） •1995年:(Ａ)飞机的安全飞行管理调度问题（复旦:谭永基等） • (Ｂ)天车与冶炼炉的作业调度问题（浙大:刘祥官等）
sets: setname/下标起数..下标止数/:数组名； endsets 比如，要实现前面例子的目标函数部分，只要写如下 的代码： 集合段部分：
sets: cargo/1..2/:c,x; endsets 目标函数段：
max=@sum(cargo(i):c(i)*x(i)); 其中i为循环变量，cargo指出循环变量变化的范围。
目标函数为：benefit(si,sj)*match(si,sj)对i,j求 和；约束条件为每个同学只能在某一组。得到规 划问题：
min


s.t.


benefit(i, j) * match(i, j)
i j
match( j, k) 1,i 1, 2,3, 4
ji或k i
从这个例子得到的知识有：顶点的编号；
产生边集（稀疏图）；动态规划的思想； 循环语句的使用。
程序中出现了“i #GT# 1:”在循环语句 中，这实际上是常见的，也就是我们希望 对满足条件的执行循环，否则不执行，称 之为逻辑语句。
运算符的优先级
三类运算符：
算术运算符
逻辑运算符 关系运算符
优先级 运算符
CUMCM历年赛题的简析
CUMCM的历年和优化相关的赛题浏览：
•1996年:(A)最优捕鱼策略问题（北师大：刘来福） • (B)节水洗衣机的程序设计问题（重大：付鹂） •1997年:(A)零件参数优化设计问题（清华：姜启源） • (B)金刚石截断切割问题（复旦：谭永基等） •1998年:(A)投资的收益和风险问题（浙大：陈淑平） • (B)灾情的巡视路线问题（上海海运学院:丁颂康） •1999年:(A)自动化机床控制管理问题（北大：孙山泽） • (B)地质堪探钻井布局问题（郑州大学：林诒勋）
最高 #NOT# —（负号）
^
*/
+ —（减法）
#EQ# #NE# #GT# #GE# #LT# #LE#
最低
#AND# #OR# <(=) = >(=)
例3：匹配问题（说明逻辑运算符）
某班8名同学准备分成4个调查队（每队两人） 前往四个地区进行社会调查，假设这8位同学 两两之间组队的效率如表所示（由于对称性， 只列出严格上三角部分），问如何组队可以使 总效率最高？
前面是两个循环语句的用法，函数以 “@”开头，里面是循环变量以及界定循环 变量的变化范围，后面是循环体。还有另 外的两个循环函数：@min和@max，其用 法相类似。
从一维数组派生二维数组在数学上是常 用的，比如运输问题，由顶点集可以派生 边，大家可以使用本方法产生标准的运输 问题的Lingo程序。可以参考例子。
1，Lingo怎样表示优化问题
线性规划是优化方法中最基本，也是最重要
的，最根本的原因是模型的规范性以及求解的高 效率。其最基本的形式如下：
min

s.t.




c1x1 c2 x2 L cn xn a11x1 a12 x2 L a1n xn b1
M
am1x1 am2 x2 L amn xn bm x1, x2 ,L , xn 0
•2006年:(A)出版社的资源管理问题（北工大:孟大志）
•2007年:(B)“乘公交，看奥运”问题（吉大：方沛辰，
•
国防科大：吴孟达）
•2009年:(B)眼科病床的合理安排问题（国防科大:吴孟达）
•2011年:(B）交巡警服务平台的设置与调度
CUMCM历年赛题的简析
• 最多的是优化方法和概率统计的方法. • 优化方法共25个题，占总数的66.7%，其中整 数规划4个，线性规划6个，非线性规划15个,多目 标规划7个。 • 概率统计方法18个题，占50%，平均每年至少 有一个题目用到概率统计的方法。 • 插值与拟合方法有7个； • 图论与网络优化方法有7个； • 综合评价方法至少有６个；
CUMCM历年赛题的简析
CUMCM的历年和优化相关的赛题浏览：
•2000年: (B)钢管的订购和运输问题（武大：费甫生） •2001年: (B)公交车的优化调度问题（清华：谭泽光） •2002年: (A)汽车车灯的优化设计问题（复旦:谭永基等） •2003年:(B)露天矿生产的车辆安排问题（吉林大：方沛辰） •2004年:(A)奥运会临时超市网点设计问题(北工大：孟大志) • (B)电力市场的输电阻塞管理问题(浙大:刘康生） •2005年:(B)DVD在线租赁问题（清华大学：谢金星等）
集合部分： sets: cargo/1..n/:c,x; rhs/1..m/:b; mat(rhs,cargo):a; endsets
程序部分： @for(rhs(j):@sum(cargo(i):a(j,i)*x(i))<b(j));
j为循环变量，rhs指出需要循环的次数。
从上面的例子大家看出引入集合的作用 以及基本的用法，下面的部分给出Lingo的 整体结构和更复杂的例子。
s1
s2
s3
s4
s5
s6
s7
s8
s1
9
3
4
2
1
5
6
s2
1
7
3
5
2
1
s3
4
4
2
9
2
s4
1
5
5
2
s5
8
7
6
s6
2
3
s7
4
match
将效率矩阵记为benefit,用match(si,sj)=1表示同学 si和同学sj组成一个队，而match(si,sj)=0表示不 组队，由对称性，只考虑i<j共28个0－1变量。
上面讲到图的问题，但是实际中的图往
往是稀疏图，这样的问题尽管可以用前面
的方法处理，但是计算量往往非常的大，
是不实际的。下面讲由顶点集派生边集的
例子。
6
S 3 3
A1
6
5
8
A2
6
7
A3
4
6 B1
7
8
B2
9
C1
5
T
6 C2
shortestpath
前图是有九个顶点组成的图，连线代表
顶点之间的边，其上的数字代表边的长度。 要求得到所有顶点到顶点T的最短距离。分 析Lingo程序。
2）改建两个新料场，需要确定新料场位置(xj,yj)和 运量cij ，在其它条件不变下使总吨公里数最小。
26
mi n
cij [(x j ai )2 ( y j bi )2 ]1/ 2 决策变量：
j 1 i1
ci j，(xj,yj)~16维
2
s.t.
cij di , i 1,..., 6
CUMCM历年赛题的简析
CUMCM的历年和优化相关的赛题浏览：
•2003年:(B)露天矿生产的车辆安排问题（吉林大：方沛辰）
•2004年:(A)奥运会临时超市网点设计问题(北工大：孟大志)
• (B)电力市场的输电阻塞管理问题(浙大:刘康生）
•2005年:(B)DVD在线租赁问题（清华大学：谢金星等）
1)现有 2 料场，位于 A (5, 1), B (2, 7), 记(xj,yj),j=1,2, 日储量 ej 各有 20 吨。
目标：制定每天的供应计划，即从 A, B 两料场分别向
各工地运送多少吨水泥，使总的吨公里数最小。
决策变量：ci j (料场j到工地i的
运量）~12维
26
mi n
cij [(x j ai )2 ( y j bi )2 ]1/ 2
我们可以得到下面的对应关系
c1x2+c2x2+…+cnxn
s=0 for i=1:n
s=s+c(i)*x(i) end
a11x1+a12x2+…+a1nxn<b1
for i=1:m for j=1:n
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a21x1+a22x2+…+a2nxn<b2
。。。
。。。
s(i)=s(i)+a(i,j)*x(j) end s(i)<b(i)