拉普拉斯变换及反变换.ppt

机械工程控制基础
一、拉普拉斯变换 1. 定义 Laplace 正变换 F (s)
拉普拉斯变换及反变换
1 j st F ( s ) e ds Laplace 反变换 f (t ) j 2j ( t 0)
0
0

— —
表示为：
f (t )e dt
st
F(s)=ℒ[f(t)] f(t)=ℒ -1[F(s)]
df ( t ) 则 ℒ[ ] sF ( s ) f (0 ) dt 2 d f (t ) 2 ] s F ( s ) sf ( 0 ) f ( 0 ) ℒ [ 2 dt
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•例3 某动态电路的输入—输出方程为
拉普拉斯变换及反变换
d2 d d r ( t ) a r ( t ) a r ( t ) b e (t ) b0 e (t ) 1 0 1 2 dt dt dt

0
1 sa
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3. f (t ) (t ) （单位脉冲函数）
0 (t 0) (t ) (t 0)
δ(t)
拉普拉斯变换及反变换



(t )dt 1
0
t
ℒ [ ( t )]



0
( t )e st dt 0 (t )dt
u(t) t
F(s)=
1 st 0 e dt e 0 s
st

0
1 s
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2. f (t ) eat u(t ) (指数函数)
0 （t 0） f (t ) t e （t 0）
拉普拉斯变换及反变换
1 ( s a )t at at st e F(s)= ℒ [e ] e e dt 0 sa 1 j t ℒ [e ] s j
拉普拉斯变换及反变换
例 右图所示电路中，电压源为
ui (t ) ea t u(t ) ，
试用时域卷积定理求零状态响应电流i(t)。 ui (t ) 解（1）写出系统动力学方程 di (t ) i (t ) R L ui (t ) dt
（2）作Laplace变换得
R i(t) L h(t)
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六、初值定理和终值定理 初值定理
拉普拉斯变换及反变换
若ℒ [f(t)]=F(s)，且 f(t)在t = 0处无冲激，
t 0 s
则
f (0 ) lim f ( t ) lim sF ( s )
终值定理 f(t)及其导数f (t)可进行拉氏变换，且 lim f ( t )存在时
拉普拉斯变换及反变换
机械工程控制基础
拉 普 拉 斯 变 换 的 基 本 性 质 表
拉普拉斯变换及反变换
机械工程控制基础
拉普拉斯变换的基本性质表
拉普拉斯变换及反变换
机械工程控制基础
本讲小结： 拉普拉斯变换定义 常用函数的拉普拉斯变换 拉普拉斯变换的基本性质
拉普拉斯变换及反变换
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
初态为r(0-)及r/(0-)，原始值为e(0-)=0，求r(t)的象函数。
解：设r(t)，e(t)均可进行拉氏变换即有E(S)=L[e(t)] , R(S)=L[r(t)]
• 对方程两端进行拉氏变换，应用线性组合与微分定理可得 [S2R(s)-Sr(0-)-r/(0-)]+a1[SR(s)-r(0-)]+a0R(s)=b1[SE(s)-e(0-)]+b0E(s)
拉氏变换积 分上限说明：
F (s) f (t )est dt
0

f (t )e dt f (t )est dt
st 0 0
0

当f(t)含有冲激函数项时，此项 0
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s j 称为复频率 。
拉普拉斯变换及反变换
f(t) ，t [0,)称为原函数，属时域。 原函数 用小写字母表示，如 f(t) ，i(t)，u(t) F(s) 称为象函数，属复频域 。
st

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拉普拉斯变换及反变换
5. f (t ) t
ℒ [t ]
n
n
n


（幂函数）

0
t e dt 0
n st



t n st de s

t st e s
tn 0 st lim t e
0
e st n n n1 st dt t e dt 0 s 0 s
拉普拉斯变换及反变换
L L 域卷积性：若f1 (t ) F1 ( s), f 2 (t ) F2 ( s)
则f1 (t ) f 2 (t )
L
1 2 j
F1 (s) F2 ( s)
九、尺度变换性
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拉 普 拉 斯 变 换 的 基 本 性 质 表
n [ t ] ℒ [ t n 1 ] s
n
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拉普拉斯变换及反变换
n ℒ [ t ] ℒ [ t n 1 ] s
n
1 当 n＝1， ℒ [t ] 2 ； s 2 2 当n＝2， ℒ [t ] 3 ； s
L 依次类推， 得 ℒ
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常 用 函 数 的 拉 普 拉 斯 变 换 表 δ(t) δn(t) u(t) t tn e-at te-at tne-at e-jwt 1 sn 1/s 1/s2

例3
1 1 I ( s ) ℒ [1 e ] s s1 1 1 i ( t ) t lims( )1 s0 s s1
-t
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1 例4：已知F(s)= ，求f(0)和f(∞) sa
拉普拉斯变换及反变换
解：由初值定理得
f (0) lim sF ( s) lim
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(1)
利用
拉普拉斯变换及反变换
ℒ
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拉普拉斯变换及反变换
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拉普拉斯变换及反变换
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拉普拉斯变换及反变换
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拉普拉斯变换及反变换
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拉普拉斯变换及反变换
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拉普拉斯变换及反变换
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拉普拉斯变换及反变换
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拉普拉斯变换及反变换
补充：拉普拉斯变换及反变换 概述 拉氏变换对是求解常系数线性微分方程的工具。 把线性时不变系统的时域模型简便地进行变换，经 求解再还原为时间函数。
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内容
一、 拉普拉斯变换
拉普拉斯变换及反变换
（1）定义
（2）常用函数的拉普拉斯变换 （3）拉普拉斯变换的基本性质 二、 拉普拉斯反变换
I (s) R LsI (s) Ui (s)
Ui(s)
H(s)
I(s)
系统方框图
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（3）求系统传递函数 H(s)
（4）应用时域卷积定理
拉普拉斯变换及反变换
I ( s) 1 U i (s) R Ls
h(t) Ui(s) H(s) I(s)
I(s)=Ui(s)H(s)= ℒ[ui(t)] H(s)
设 ℒ [ f ( t )] F ( s )
d n f (t ) n n 1 n2 ( n 1) ] s F ( s) s f（0 ） s f （0 ） ... f （0 ） ℒ[ n dt
1 d (sin t )] 例1 ℒ [cos t ] ℒ [ dt s 1 [s 2 sint 0 ] 2 2 s 2 s
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• 作业
1、 写出拉普拉斯变换定义式 2、
拉普拉斯变换及反变换
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拉普拉斯变换及反变换
t
f ( ) lim f (t ) lim sF ( s )
t s 0
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例1
拉普拉斯变换及反变换
1 u (t ) t 0 lim s 1 s s 5 2 例2 I ( s ) s1 s 2
5 2 5 2 i (0 ) lims( ) lim( )3 s s s1 s 2 1 1/ s 1 2/ s
1 t ] e ( t 0) ℒ [ s
1
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2.3
一、线性性质
拉普拉斯变换及反变换
拉普拉斯变换的基本性质
若 ℒ [f1 ( t )] F1 ( s ) , ℒ [f 2 ( t )] F2 ( s )
则 ℒ [a f1 ( t ) b f 2 ( t )] aF1 ( s ) bF2 ( s )
n!
拉普拉斯变换及反变换
sn+1
1
s+a (s+a)2 (s+a)n+1
1 n! 1
s+jw
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拉普拉斯变换及反变换
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例题 f1(t) 1 e-t t 1 0 f2(t) e-t t
拉普拉斯变换及反变换
求图示两个函数的拉氏变换式
0
解 由于定义的拉氏变换积分上限是0－，两个函数的 1 拉氏变换式相同 F ( s) s 当取上式的反变换时，只能表示出 t 0 区间的函数式
设 ℒ [ f ( t )] F ( s )
则 ℒ [e t f ( t )] F ( s )
例1 ℒ
[ te
t
1 ] ( s )2
例2 ℒ [e t cos t ] 例3
s ( s )2 2 t ℒ [e sin t ] ( s )2 2

0
=1
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4. f (t ) t （单位斜坡函数）
f(t)
拉普拉斯变换及反变换
0（t 0） f (t ) t（t 0）
0
t
1 t st 1 st F(s)=L[f(t)]= te dt e e dt 2 0 s 0 s s 0
拉普拉斯变换及反变换
设 ℒ [ f ( t )] F ( s )
则 ℒ [
0
t
1 f ( )d ] F ( s ) s
例
机械工程控制基础
四、时域平移
拉普拉斯变换及反变换
设 ℒ [ f ( t )] F ( s )
f(t)
平移
f(t-t0)
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五、 复频域平移
拉普拉斯变换及反变换
s s
1 s 1 sa
由终值定理得
f () lim sF ( s) lim
s 0 s 0
1 s 0 sa
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七、时域卷积性 8时域卷积性：
L 若f1 (t ) F1 ( s ), f 2 (t ) F2 ( s ) L 则f1 (t ) f 2 (t ) F1 ( s ) F2 ( s )
• 整理合并得
（S2+a1S+a0）R(S)-(S+a1)r(0-)-r/(0-)=(Sb1+b0)E(s)-b1×0
( s b1 b0 ) E ( s ) ( s a1 ) r (0 )＋r (0 ) R(s ) s 2 a1 s a0
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三、积分定理
=ℒ e a t (t )
（5）作Laplace反变换得


1 1 1 1 R Ls s a L s R
L
零状态响应电流 i(t)= ℒ-1[I(s)]
R t 1 at (e e L ) (t ) R L ( a) L
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八、S域卷积性
22常用函数的拉普拉斯变换22常用函数的拉普拉斯变换单位阶跃函数ststdtteststst常常用用拉拉斯斯变变换换表表例题求图示两个函数的拉氏变换式两个函数的拉氏变换式相同23拉普拉斯变换的基本性质23拉普拉斯变换的基本性质一线性性质终值定理ft及其导数ft可进行拉氏变换且limlimlimlim例4
象函数F(s) 用大写字母表示 ,如F(s) ，I(s)，U(s)。
拉普拉斯变换对，记为：
f(t) L
L
_
F(S)
机械工程控制基础 2.2
拉普拉斯变换及反变换
常用函数的拉普拉斯变换
（单位阶跃函数） 1. f (t ) u (t )
1 t 0 u (t ) 0 t 0
1 1 例1 ℒ [ A(1 e )] A( ) s s 1 例2 ℒ [sin t ] ℒ [ (e j t e j t )] 2j 1 1 1 [ ] 2 2j s j s j s 2
t
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二、微分定理
拉普拉斯变换及反变换