高考数学圆锥曲线的经典性质50条
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9. 设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点， A 为双曲线长轴上一个顶点，
连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M 、N 两
点， 则 MF ⊥NF.
10. 过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q, A1、A2 为双曲线实轴上的顶点， A 1P 和 A 2Q 交于点 M ， A 2P 和 A 1Q 交于点 N， 则 MF ⊥NF.
⊥ NF.
10. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A 1、 A2 为椭圆长轴上的顶点， A 1P 和 A 2Q 交于点 M ， A2P 和 A 1Q 交于点 N， 则 MF ⊥ NF.
2
2
x 11. AB 是椭圆 a 2
y b2
1 的不平行于对称轴的弦，
M ( x0 , y 0 ) 为 AB 的中点， 则 kOM k AB
P1、P2， 则切点弦 P1P2 的直线方程是
x0 x a2
y0 y b2
x2 y2
7. 椭圆 2
2 1 (a＞b＞ 0)的左右焦点分别为 F1， F 2， 点 P 为椭圆上任意一点
ab
x2 y2 8. 椭圆 a 2 b 2 1 （a＞ b＞ 0）的焦半径公式：
F1PF2
， 则椭圆的焦点角形的面积为
| MF1 | a ex0 ,| MF 2 | a ex0 ( F1( c,0) , F2 (c,0) M ( x0, y0 ) ).
1. S F1PF2
2
b tan . 2
9. 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、 Q 两点， A 为椭圆长轴上一个顶点， 连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M 、N 两点， 则 MF
4. 以焦点半径 PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆 相切 .（内切： P 在右支；外切： P 在左支）
5.
x2 若 P0 ( x0 , y0 ) 在双曲线 a 2
y2 b2
1 （a＞ 0,b＞ 0）上， 则过 P0 的双曲线的切线方程是
x0 x a2
y0 y b2
1.
6.
x2 若 P0 ( x0 , y0 ) 在双曲线 a 2
椭圆与双曲线的对偶性质 -- （必背的经典结论）
椭圆
1. 点 P 处的切线 PT 平分△ PF1F2 在点 P 处的 外角 .
2. PT 平分△ PF1F2 在点 P 处的外角， 则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆， 除去长轴的两个端点 .
3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线 相离 .
2
b a2 ，
即 K AB
b 2 x0 。 a2 y0
x2 12. 若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 a2
y2 b2 1内， 则被 Po 所平分的中点弦的方程是
x0 x a2
y0 y b2
x02 a2
y02 b2
.
x2 y 2
x2 y2
13. 若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 a2 b2 1内， 则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 a2 b 2
S F1PF2
b 2co t . 2
x2 y2 8. 双曲线 a 2 b 2 1 （a＞ 0,b＞ o）的焦半径公式： ( F1 ( c,0) , F2 (c,0)
当 M ( x0 , y0 ) 在右支上时， | MF1 | ex0 a ,| MF2 | ex0 a .
当 M ( x0 , y0 ) 在左支上时， | MF1 | ex0 a ,| MΒιβλιοθήκη Baidu2 | ex0 a
x0x y0 y
a2
b2 .
双曲线
1. 点 P 处的切线 PT 平分△ PF1F2 在点 P 处的 内角 .
2. PT 平分△ PF1F2 在点 P 处的内角， 则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆， 除去长轴的两个端点 .
3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线 相交 .
y2 b2
1（a＞ 0,b＞0）外 ， 则过 Po 作双曲线的两条切线切点为
P1、P2， 则切点弦 P1P2 的直线方程是
x0 x a2
y0 y b2
1.
x2 y 2 7. 双曲线 a2 b 2 1 （ a＞ 0,b＞ o）的左右焦点分别为
F1， F 2， 点 P 为双曲线上任意一点
F1 PF2
， 则双曲线的焦点角形的面积为
x2 11. AB 是双曲线 a 2
y2 b2
1 （a＞ 0,b＞ 0）的不平行于对称轴的弦，
M ( x0 , y0 ) 为 AB 的中点， 则 K OM K AB
b 2x0 a2 y0
，
即 K AB
2
2
12.
若 P0 ( x0 , y0 ) 在双曲线
x a2
y b2
1 （a＞ 0,b＞ 0）内， 则被 Po 所平分的中点弦的方程是
x 程是 a 2
y b2
1.
x2 y2 2. 过双曲线 a 2 b2 1 （ a＞ 0,b＞ o）上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于
B,C 两点， 则直线 BC 有定向且
kBC
b2 x0 a2 y0
（常数）
.
x2 y 2
3. 若 P 为双曲线 2
2 1 （ a＞ 0,b ＞ 0）右（或左）支上除顶点外的任一点
高三数学备课组
椭圆
x2
椭圆 2
a
y2 2 1 （a＞ b＞ o）的两个顶点为 双曲线
b
x2 y2 1. 双曲线 a 2 b2 1（ a＞0,b＞ 0）的两个顶点为 A1( a,0) , A2 ( a,0) ， 与 y 轴平行的直线交双曲线于 P1、P2时 A 1P1 与 A 2P2 交点的轨迹方
2
2
4. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆 内切 .
5.
x2 若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 a2
y2 b2
1上， 则过 P0 的椭圆的切线方程是
x0 x a2
y0 y b2
1.
6.
x2 若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 a2
y2 b2
1外 ， 则过 Po 作椭圆的两条切线切点为
x0x a2
y0 y b2
x02 a2
y02 b2 .
x2 y2
x2 y2
13. 若 P0 ( x0 , y0 ) 在双曲线 a 2 b 2 1 （a＞ 0,b＞ 0）内， 则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 a 2 b2
x0x a2
y0 y b2
.
椭圆与双曲线的对偶性质 -- （会推导的经典结论）
b2 x0 a 2 y0 。
连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M 、N 两
点， 则 MF ⊥NF.
10. 过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q, A1、A2 为双曲线实轴上的顶点， A 1P 和 A 2Q 交于点 M ， A 2P 和 A 1Q 交于点 N， 则 MF ⊥NF.
⊥ NF.
10. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A 1、 A2 为椭圆长轴上的顶点， A 1P 和 A 2Q 交于点 M ， A2P 和 A 1Q 交于点 N， 则 MF ⊥ NF.
2
2
x 11. AB 是椭圆 a 2
y b2
1 的不平行于对称轴的弦，
M ( x0 , y 0 ) 为 AB 的中点， 则 kOM k AB
P1、P2， 则切点弦 P1P2 的直线方程是
x0 x a2
y0 y b2
x2 y2
7. 椭圆 2
2 1 (a＞b＞ 0)的左右焦点分别为 F1， F 2， 点 P 为椭圆上任意一点
ab
x2 y2 8. 椭圆 a 2 b 2 1 （a＞ b＞ 0）的焦半径公式：
F1PF2
， 则椭圆的焦点角形的面积为
| MF1 | a ex0 ,| MF 2 | a ex0 ( F1( c,0) , F2 (c,0) M ( x0, y0 ) ).
1. S F1PF2
2
b tan . 2
9. 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、 Q 两点， A 为椭圆长轴上一个顶点， 连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M 、N 两点， 则 MF
4. 以焦点半径 PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆 相切 .（内切： P 在右支；外切： P 在左支）
5.
x2 若 P0 ( x0 , y0 ) 在双曲线 a 2
y2 b2
1 （a＞ 0,b＞ 0）上， 则过 P0 的双曲线的切线方程是
x0 x a2
y0 y b2
1.
6.
x2 若 P0 ( x0 , y0 ) 在双曲线 a 2
椭圆与双曲线的对偶性质 -- （必背的经典结论）
椭圆
1. 点 P 处的切线 PT 平分△ PF1F2 在点 P 处的 外角 .
2. PT 平分△ PF1F2 在点 P 处的外角， 则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆， 除去长轴的两个端点 .
3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线 相离 .
2
b a2 ，
即 K AB
b 2 x0 。 a2 y0
x2 12. 若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 a2
y2 b2 1内， 则被 Po 所平分的中点弦的方程是
x0 x a2
y0 y b2
x02 a2
y02 b2
.
x2 y 2
x2 y2
13. 若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 a2 b2 1内， 则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 a2 b 2
S F1PF2
b 2co t . 2
x2 y2 8. 双曲线 a 2 b 2 1 （a＞ 0,b＞ o）的焦半径公式： ( F1 ( c,0) , F2 (c,0)
当 M ( x0 , y0 ) 在右支上时， | MF1 | ex0 a ,| MF2 | ex0 a .
当 M ( x0 , y0 ) 在左支上时， | MF1 | ex0 a ,| MΒιβλιοθήκη Baidu2 | ex0 a
x0x y0 y
a2
b2 .
双曲线
1. 点 P 处的切线 PT 平分△ PF1F2 在点 P 处的 内角 .
2. PT 平分△ PF1F2 在点 P 处的内角， 则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆， 除去长轴的两个端点 .
3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线 相交 .
y2 b2
1（a＞ 0,b＞0）外 ， 则过 Po 作双曲线的两条切线切点为
P1、P2， 则切点弦 P1P2 的直线方程是
x0 x a2
y0 y b2
1.
x2 y 2 7. 双曲线 a2 b 2 1 （ a＞ 0,b＞ o）的左右焦点分别为
F1， F 2， 点 P 为双曲线上任意一点
F1 PF2
， 则双曲线的焦点角形的面积为
x2 11. AB 是双曲线 a 2
y2 b2
1 （a＞ 0,b＞ 0）的不平行于对称轴的弦，
M ( x0 , y0 ) 为 AB 的中点， 则 K OM K AB
b 2x0 a2 y0
，
即 K AB
2
2
12.
若 P0 ( x0 , y0 ) 在双曲线
x a2
y b2
1 （a＞ 0,b＞ 0）内， 则被 Po 所平分的中点弦的方程是
x 程是 a 2
y b2
1.
x2 y2 2. 过双曲线 a 2 b2 1 （ a＞ 0,b＞ o）上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于
B,C 两点， 则直线 BC 有定向且
kBC
b2 x0 a2 y0
（常数）
.
x2 y 2
3. 若 P 为双曲线 2
2 1 （ a＞ 0,b ＞ 0）右（或左）支上除顶点外的任一点
高三数学备课组
椭圆
x2
椭圆 2
a
y2 2 1 （a＞ b＞ o）的两个顶点为 双曲线
b
x2 y2 1. 双曲线 a 2 b2 1（ a＞0,b＞ 0）的两个顶点为 A1( a,0) , A2 ( a,0) ， 与 y 轴平行的直线交双曲线于 P1、P2时 A 1P1 与 A 2P2 交点的轨迹方
2
2
4. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆 内切 .
5.
x2 若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 a2
y2 b2
1上， 则过 P0 的椭圆的切线方程是
x0 x a2
y0 y b2
1.
6.
x2 若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 a2
y2 b2
1外 ， 则过 Po 作椭圆的两条切线切点为
x0x a2
y0 y b2
x02 a2
y02 b2 .
x2 y2
x2 y2
13. 若 P0 ( x0 , y0 ) 在双曲线 a 2 b 2 1 （a＞ 0,b＞ 0）内， 则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 a 2 b2
x0x a2
y0 y b2
.
椭圆与双曲线的对偶性质 -- （会推导的经典结论）
b2 x0 a 2 y0 。