山西省运城市景胜中学2020-2021学年高二10月适应性考试数学(理)试题含答案

景胜中学2020-2021学年高二10月适应性考试
数学试题（理）
一．选择题（共12小题，每题5分，共60分）
1.直线3x+4y﹣10=0与圆x2+y2﹣2x+6y+2=0的位置关系是（）
A. 相交且直线经过圆心
B. 相交但直线不经过圆心
C. 相切
D. 相离
2.下列四个命题中，真命题的个数为（）
（1）若两平面有三个公共点，则这两个平面重合；
（2）两条直线可以确定一个平面；
（3）若,则；
（4）空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内。

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
3.已知直线，平面满足，则直线与直线的位置关系是（）
A. 平行
B. 相交或异面
C. 异面
D. 平行或异面
4.直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆
上，则面积的取值范围是
A. B. C. D.
5.点(0，﹣1)到直线距离的最大值为（）
A. 1
B.
C.
D. 2
6.某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（）．
A. B. C. D.
7.圆心在y轴上，半径为1，且过点的圆的方程是（）
A. B. C.
D.
8.已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（）
A. B. C. 1 D.
9.如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为（）
A. E
B. F
C. G
D. H
10.若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（）
A. B. C. D.
11.过点的直线与圆相交于，两点，则的最小值为（）
A. 2
B.
C. 3
D.
12.如图，在棱长为2的正方体中，是的中点，点是侧面
上的动点，且截面，则线段长度的取值范围是（）.
A. B. C. D.
二、填空题（共4题；共20分）
13.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．
14.已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．
15.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半轻为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是________cm.
16.在平面直角坐标系xOy中，已知，A，B是圆C：上的两个动点，满足，则△PAB面积的最大值是________．
三、解答题（共6题；共70分）
17.在中，已知，且边的中点M在y轴上，边的中点N在x轴上．
（1）求顶点C的坐标；
（2）求的面积．
18.已知圆C：（x﹣1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点．（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；（写一般式）
（2）当直线l的倾斜角为45°时，求弦AB的长．
19.如图，在底面是正方形的四棱锥中，面，交于点，是中点，为上一点．
（1）求证：BD⊥FG ．
（2）确定点在线段上的位置，使平面，并说明理由．
20.已知直线l过点A(2,4)，且被平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y－1＝0所截的线段中点M在直线x＋y－3＝0上，求直线l的方程．
21.已知圆M的方程为，直线l的方程为，点P在直线l上，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．
（1）若，试求点P的坐标；
（2）求四边形PAMB面积的最小值及此时点P的坐标；
（3）求证：经过A，P，M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．
22.已知直角三角形的两直角边，，点P是斜边AB上一点，现沿CP所在直线将折起，使得平面平面ACP；当AB的长度最小时，求：
（1）四面体ABCP的体积；
（2）二面角的余弦值.
景胜中学2020-2021学年度第一学期高二月考（10月）
数学试题（理）答案
一、单选题
1.DADBB 6.DACAB 11.B 1
2.B
二、填空题
13.
14.
15.
16.
三、解答题
17. （1）解：设点,
边的中点M在y轴上，，解得．
又边的中点N在x轴上，，解得．点C的坐标是.
（2）解：．
由题得,
所以直线的方程为，
所以直线的方程为．
又，点B到直线的距离为．
．
18.（1）解圆C：（x﹣1）2+y2=9的圆心为C（1，0），
因直线过点P、C，所以直线l的斜率为2，
直线l的方程为y=2（x﹣1），即2x﹣y﹣2=0
（2）解当直线l的倾斜角为45°时，斜率为1，
直线l的方程为y﹣2=x﹣2，即x﹣y=0
圆心C到直线l的距离为，圆的半径为3，弦AB的长为
19.（1）解：证明：∵P A ⊥面A B C D ，B D ⊂平面A B C D ，
∴，
∵底面是正方形，
∴，
又，平面，平面，
∴平面，
又∵平面，
∴
（2）解：当点位于的中点时，平面，理由如下：
连结，
∵在中，是的中点，是的中点，
∴，
又平面，平面，
∴平面．
20.解：解法一：∵点M在直线x＋y－3＝0上，∴设点M坐标为(t,3－t)，由题意知点M 到l1，l2的距离相等，即，解得t＝，∴.又l过点
A(2,4)，由两点式得，
即5x－y－6＝0，故直线l的方程为5x－y－6＝0.
解法二：设与l1，l2平行且距离相等的直线为l3：x－y＋C＝0，由两平行直线间的距离公式得，解得C＝0，即l3：x－y＝0.
由题意得中点M在l3上，又点M在x＋y－3＝0上．
解方程组得∴.
又l过点A(2,4)，故由两点式得直线l的方程为5x－y－6＝0
21.（1）解：根据题意，点P在直线l上，
设，连接MP，
因为圆M的方程为，
所以圆心，半径．
因为过点P作圆M的切线PA、PB，切点为A、B；
则有，，且，
易得≌，
又由，即，
则，
即有，
解可得：或，
即P的坐标为或；
（2）解：根据题意，≌，则
，
又由，
当MP最小时，即直线MP与直线l垂直时，四边形PAMB面积最小，
设此时P的坐标为；有，解可得，
即P的坐标为；
此时，则四边形PAMB面积的最小值为
（3）证明：根据题意，PA是圆M的切线，则，则过A，P，M三点的圆为以MP为直径的圆，
设P的坐标为，，
则以MP为直径的圆为，
变形可得：，即；则有，解可得：或；
则当、和、时，恒成立，则经过A，P，M三点的圆必过定点，且定点的坐标为和
22.（1）解：作交CP于O，连结AO，
设，则，
∴，.
∵面面ACP，面面，
面BCP，，∴面ACP.
∵面ACP，∴，即为直角三角形，∴
. ∵，∴，∴，
即，时，，
∴，，.
.
∵，
∴，.
∴
（2）解：由（1）可知，，
∴，∴.
过A作交CP延长线于M，
∵面面ACP，面面，
面ACP，，∴面BCP.
过M作交BC于Q，连结AQ，
∵面BCP，面BCP，
∴，又，AM，面，
，∴面AMQ，又面AMQ，
∴，∴为二面角的平面角，在中，，，∴，∴，所以二面角的余弦值为.。